【步步高】2015届高考数学总复习 8.3空间中的平行关系课件 理 新人教B版
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【步步高】2015届高考数学总复习 8.4空间中的垂直关系课件 理 新人教B版
数学
R B（理）
§8.4 空间中的垂直关系
第八章 立体几何
基础知识·自主学习
要点梳理
1．两条直线互相垂直 定义：如果两条直线相交于一点或 经过平移后 相交于一点， 并且交角为 直角 ，则称这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果一条直线和一个平面相交于点 O，并且和这个平面内过交 点(O)的 任何 直线都垂直， 就说这条直线和这个平面互相垂直．
(1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
∴BE∥AD.
又∵BE⊄平面 PAD， AD⊂平面 PAD，
∴BE∥平面 PAD.
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
平面与平面垂直的判定与性质
(2013· 北京)
思维启迪 解析 思维升华
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
平面与平面垂直的判定与性质
(2013· 北京)
思维启迪 解析 思维升华
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，
(1)平面 PAD⊥底面 ABCD，可
AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB， 由面面垂直的性质证 PA⊥ 底 平 面 PAD⊥ 底 面 ABCD ， PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD、PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
题型分类·深度剖析
题型一
直线与平面垂直的判定与性质
如图所示，
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】
∴AE⊥平面 PCD.
在四棱锥 P—ABCD 中， PA⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60° ，PA＝ AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
R B（理）
§8.4 空间中的垂直关系
第八章 立体几何
基础知识·自主学习
要点梳理
1．两条直线互相垂直 定义：如果两条直线相交于一点或 经过平移后 相交于一点， 并且交角为 直角 ，则称这两条直线互相垂直． 2．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果一条直线和一个平面相交于点 O，并且和这个平面内过交 点(O)的 任何 直线都垂直， 就说这条直线和这个平面互相垂直．
(1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
∴BE∥AD.
又∵BE⊄平面 PAD， AD⊂平面 PAD，
∴BE∥平面 PAD.
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
平面与平面垂直的判定与性质
(2013· 北京)
思维启迪 解析 思维升华
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
平面与平面垂直的判定与性质
(2013· 北京)
思维启迪 解析 思维升华
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，
(1)平面 PAD⊥底面 ABCD，可
AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB， 由面面垂直的性质证 PA⊥ 底 平 面 PAD⊥ 底 面 ABCD ， PA⊥AD.E 和 F 分别是 CD、PC 的中点．求证： (1)PA⊥底面 ABCD； (2)BE∥平面 PAD； (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
题型分类·深度剖析
题型一
直线与平面垂直的判定与性质
如图所示，
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】
∴AE⊥平面 PCD.
在四棱锥 P—ABCD 中， PA⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60° ，PA＝ AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第八章 第五节空间图形的平行关系 理
第五节 空间图形的平行关系知识梳理1.认识和理解空间中线、面平行的有关性质与判定定理．2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．a ⊥α ⇒α∥β a ⊥βα∥β⇒a ∥β a ⊂αα∥β⇒a ⊥βa ⊥α基础自测1．(2013·山东省高考冲刺预测)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面a ⊂αb ⊂αa ∩b ＝P ⇒α∥β a ∥β b ∥β a ，b ⊂α a ′,b ′⊂βa ∩b ＝P ⇒α∥β a ∥a b ∥b ′β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2解析：m ∥l 1且n ∥l 2，m ，n ⊂α，l 1，l 2为β内两条相交直线，则可得α∥β；若α∥β，l 1，l 2为β内两条相交直线，则不一定有m ∥l 1且n ∥l 2，故选B.答案：B2．(2013·温州检测)已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是( )A ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥βB ．若α∥γ，β∥γ，则α∥βC ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥βD ．若m ，n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α，则α∥β解析：由线面垂直的性质可知A 正确；由两个平面平行的性质可知B 正确；由异面直线的性质易知D 也是正确的；对于选项C ，α，β可以相交、可以平行，故C 错误，选C.答案：C 3．在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 是DD 1的中点，则BD 1与平面ACE 的位置关系为________．解析：如图，连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，因为OE ∥BD 1，而OE ⊂平面ACE ，BD 1⊄平面ACE ，∴BD 1∥平面ACE .答案：平行4.设a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ； ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；⑤ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α.其中正确的命题是________(将正确的序号都填上)．答案：①④⑤⑥1．(2013·安徽卷)如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13；④当34<CQ <1时，S 为六边形；⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62.解析：截面S 与DD 1的交点为M ，由平面与平面平行的性质定理知AM ∥PQ ，若0<CQ <12，则M 在线段DD 1上(不包括端点)如图S 为四边形，命题①正确；当CQ ＝12时，M 点与D 1重合，四边形APQD 1为等腰梯形，命题②正确；当CQ ＝34时，由△PCQ ∽△ADM ，DM AD ＝CQ PC ，则DM ＝AD ·CQPC＝32.连接MQ 交C 1D 1于R 点，C 1R D 1R ＝C 1Q D 1M ＝12，即D 1R ＝2C 1R ，又D 1R ＋C 1R ＝1，则C 1R ＝13，故命题③正确．当34<CQ <1时，连接AM 交A 1D 1于N ，则截面S 为五边形APQRN ，命题④错误．当CQ＝1时，截面S 为菱形，其对角线长分别为2，3，则S 的面积12×2×3＝62，故命题⑤正确．答案：①②③⑤2．(2013·辽宁模拟)如图，多面体ABFEDC 的直观图及三视图如图所示，M ，N 分别为AF ，BC 的中点．(1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体ACDEF 的体积．由多面体ABFEDC 的三视图知，三棱柱AEDBFC 中，底面DAE 是等腰直角三角形，DA ＝AE ＝2，DA ⊥平面ABFE ，四边形ABFE ，ABCD 都是边长为2的正方形．(1)证明：连接EB ，则M 是EB 的中点．在△EBC 中，MN ∥EC ，又EC ⊂平面CDEF ，MN ⊄平面CDEF ， 所以MN ∥平面CDEF .(2)解析：因为DA ⊥平面ABFE ，EF ⊂平面ABFE ， 所以EF ⊥A D.又EF ⊥AE ，所以EF ⊥平面ADE .所以四边形CDEF 是矩形，且侧面CDEF ⊥平面DAE . 取DE 的中点H ，连接AH ，因为DA ⊥AE ，DA ＝AE ＝2，DE ＝2 2. 所以AH ＝2，且AH ⊥平面CDEF . 所以多面体A －CDEF 的体积 V ＝13S 四边形CDEF ·AH ＝13DE ·EF ·AH ＝83.1．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，α⊄β，a ∥α，a ∥β，排除选项A ；若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，选项B 错误；若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，选项C 错误，故正确答案为选项D.答案：D2．如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PC 中点，F 为线段AC 上一点．(1)求证：BD ⊥EF;(2)试确定点F 在线段AC 上的位置，使EF ∥平面PBD ，并说明理由．(1) 证明：∵PA ⊥平面ABCD,∴PA ⊥BD . 又四边形ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .又EF ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥EF .(2)解析：设AC 与BD 交于点O ，当F 为OC 中点，即AF ＝34AC 时，EF ∥平面PBD .理由如下：连接PO ，∵EF ∥平面PBD ，EF ⊂平面PAC ，平面PAC ∩平面PBD ＝PO ，在△POC中，E为PC的中点，∴F为OC的中点．。
新教材高考数学一轮复习第八章8.3空间直线平面的平行课件新人教版ppt
题型二 直线与平面平行的判定与性质 高频考点 角度1|直线与平面平行的判定 [例2] 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，G，F分 别是线段BE，DC的中点． 求证：GF∥平面ADE.
类题通法 1.证明线面平行有两种常用方法：一是线面平行的判定定理；二是 先利用面面平行的判定定理证明面面平行，再根据面面平行的性质证 明线面平行． 2．用线面平行的判定定理证明线面平行 (1)关键：在平面内找到一条与已知直线平行的直线． (2)方法：合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行 四边形等证明两直线平行． (3)易错：容易漏掉说明直线在平面外．
类题通法
说明两个平面平行的方法有：①用定义，此类题目常用反证法来 完成证明；②用判定定理或推论(用“线面平行⇒面面平行”)，通过 线面平行来完成证明；③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行” 这一性质进行证明；④借助“传递性”(“传递性”指的是两个平面 同时和第三个平面平行，则这两个平面平行)来完成．面面平行问题 常转化为线面平行，而线面平行又转化为线线平行，需要注意转化思 想应用．
故选ABC
3．已知平面α，β和直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β， 则α与β的位置关系是________．
答案：平行或相交
解析：若α∥β，可以保证存在直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β， 故平行关系有可能；
若α∩β＝l，且a∥b∥c∥l， 此种情况下也能保证存在直线a，b，c，且a∥b∥c，a⊂α，b⊂β，c⊂β，故两 平面相交也有可能
题组三 易错自纠 1．设m，l表示两条不同的直线，α表示平面，若m⊂α，则“l∥α” 是“l∥m”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2015届高考数学总复习第八章 第五节空间图形的平行关系精讲课件 文
变式探究
1 ．正方体 ABCD － A1B1C1D1 中，点 N 在 BD 上，点 M 在 B1C 上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.
证明： 如图，连接 CN 并延长交 BA所在直线于点P， 连接B1P，则B1P⊂平面AA1B1B.
因为△NDC∽△NBP，
DN CN 所以 NB ＝ NP. 又 CM＝DN，B1C＝BD， CM DN CN 所以MB ＝ NB ＝ NP， 1 所以 MN∥B1P.因为 B1P⊂平面 AA1B1B， 所以 MN∥平面 AA1B1B.
证明：(1)连接BC1，B1C，
则B1C⊥BC1， BC1是AP在平面BB1C1C上的射影， ∴AP⊥B1C. 又B1C∥MN，∴AP⊥MN.
(2)连接B1D1， ∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，
∴PN∥BD.
又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD
(1)证明：∵截面EFGH是一个矩形， ∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD， ∴EF∥平面BCD，而EF⊂平面ACD， 平面ACD∩平面BCD＝CD.∴EF∥CD. 又∵CD⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH， ∴CD∥平面EFGH. (2)解析：由(1)知CD∥EF， 同理 AB∥FG ，由异面直线所成角的定义知 ∠ EFG 即为所 求的角．易得∠EFG＝90°.
(2)证明：∵EC∥PD，PD⊂平面PDA，
EC⊄平面PDA，∴EC∥平面PDA. 同理可得BC∥平面PDA， ∵EC⊂平面EBC，BC⊂平面EBC，且EC∩BC＝C， ∴平面BEC∥平面PDA. 又BE⊂平面EBC，∴BE∥平面PDA.
点评：利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平 面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有， 若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四 边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
【步步高】2015届高考数学总复习-8.4空间中的垂直关系-理-新人教B版PPT优秀课件
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°， 可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)，知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，
题型分类·深度剖析
题型一
直线与平面垂直的判定与性质
数学 R B（理）
§8.4 空间中的垂直关系
第八章 立体几何
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1．两条直线互相垂直 定义：如果两条直线相交于一点或 经过平移后 相交于一点， 并且交角为 直角 ，则称这两条直线互相垂直．
2．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义： 如果一条直线和一个平面相交于点 O，并且和这个平面内过交 点(O)的 任何 直线都垂直，就说这条直线和这个平面互相垂直．
证明 (1)因为 SA＝SC，D 是 AC 的中点，所以 SD⊥AC. 在 Rt△ABC 中，AD＝BD，又 SA＝SB，SD＝SD， 所以△ADS≌△BDS，所以 SD⊥BD. 又 AC∩BD＝D，所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，所以 BD⊥AC. 由(1)知 SD⊥BD，又 SD∩AC＝D，所以 BD⊥平面 SAC.
【例 1】 如图所示， 在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD， AB⊥AD，AC⊥CD， ∠ABC＝60°，PA＝ AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
思维启迪 解析 ∴AE⊥平面 PCD.
思维升华
而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A， ∴AB⊥ 平 面 PAD ， 而 PD ⊂ 平 面 PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A， ∴PD⊥平面 ABE.
【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第八章 立体几何 第2课
∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1， ∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.
又∵A1B1 与 B1D1 相交，∴MN 与 A1B1 不平行，故选 D.
(2)图①中，直线 GH∥MN；
图②中，G、H、N 三点共面，但 M∉面 GHN，
因此直线 GH 与 MN 异面； 图③中，连接 MG，GM∥HN，因此 GH 与 MN 共面； 图④中，G、M、N 共面，但 H∉面 GMN， 因此 GH 与 MN 异面．
否在某个平面的依据； 基本性质 2 及推论是判断或证明点、线共 面的依据； 基本性质 3 是证明三 线共点或三点共线的依据．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)以下四个命题中 ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点 A、B、C、D 共面，点 A、B、C、E 共面，则点 A、 B、C、D、E 共面； ③若直线 a、b 共面，直线 a、c 共面，则直线 b、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 ( )
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
判断空间两直线的位置关系
如图所示，正方体
思维启迪 解析 思维升华
ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分 别是 A1B1、B1C1 的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？ 说明理由； (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？ 说明理由．
(1)证明直线异面通常用反 证法；
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 平面基本性质的应用
【例 1】
如图所示，正方体
思维启迪
又∵A1B1 与 B1D1 相交，∴MN 与 A1B1 不平行，故选 D.
(2)图①中，直线 GH∥MN；
图②中，G、H、N 三点共面，但 M∉面 GHN，
因此直线 GH 与 MN 异面； 图③中，连接 MG，GM∥HN，因此 GH 与 MN 共面； 图④中，G、M、N 共面，但 H∉面 GMN， 因此 GH 与 MN 异面．
否在某个平面的依据； 基本性质 2 及推论是判断或证明点、线共 面的依据； 基本性质 3 是证明三 线共点或三点共线的依据．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)以下四个命题中 ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点 A、B、C、D 共面，点 A、B、C、E 共面，则点 A、 B、C、D、E 共面； ③若直线 a、b 共面，直线 a、c 共面，则直线 b、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． 正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 ( )
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
判断空间两直线的位置关系
如图所示，正方体
思维启迪 解析 思维升华
ABCD—A1B1C1D1 中，M、N 分 别是 A1B1、B1C1 的中点．问： (1)AM 和 CN 是否是异面直线？ 说明理由； (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线？ 说明理由．
(1)证明直线异面通常用反 证法；
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 平面基本性质的应用
【例 1】
如图所示，正方体
思维启迪
新高考数学一轮复习第八章立体几何初步：空间中的平行关系pptx课件新人教B版
2
利用线面平行的性质定理时不会找过该直线的
平面
3
证明面面平行时忽略两直线相交致误
典题索引
考点一、T3
考点二、T2
考点二、T1
考点三、角度1
【教材·基础自测】
1.(必修2 P44练习BT2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是 (
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β
C.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
(3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β;α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).
【变式训练】
1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥
平面AB1C,则线段EF的长度为________.
【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,
2
求证A1C∥平面DEF,只要设法在平面DEF上找到与A1C
平行的直线即可,因为CD=3BD,故联想到连接A1B,在
△BA1C中由比例关系证明平行关系.
【解析】1.取AC的中点G,连接SG,BG.
易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G,
故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.
因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,
①EC⊥平面AFN;
②CN∥平面AFB;
③BM∥DE;
④平面BDE∥平面NCF.其中正确判断的序号是
(
A.①③
D.②③④
B.②③
C.①②④
)
4.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的
形状为________.
高三数学总复习《空间中的平行关系》课件
3.直线与平面平行的性质 定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与 此平面的交线与该直线平行. 符号表示:a∥α,a⊂β,α∩β=b⇒a∥b.
图形:
说明:注意定理中有三个条件:直线a∥平面α,α∩β=b,a⊂β,这 三个条件缺一不可.
4.平面与平面平行的性质
(1)定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们 的交线平行. 符号表示:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b. 图形:
解析:①②显然正确,命题③,直线b有可能在平面M内,对于命
题④,直线b可能与平面M平行或斜交,图所示,在四棱锥P—ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(1)若F为PC的中点,求证:PC⊥平面AEF;
④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的
直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是( )
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 解析:①错,应该为一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行,那么这两个平面相互平行.
③错,两直线可能相交,也可能异面.
故②④正确,选D. 答案:D
回归教材
1.直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此 平面平行. 符号表示:a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α. 图形:
说明:(1)直线与平面平行的判定定理具备三个条件:
平面外的一条直线、平面内的一条直线、两直线平行,三个
条件缺一不可. (2)定理充分体现了转化的思想,它将线面平行问题转化为线
解法二:如图所示,延长DC,AB,设它们交于点N,连接PN. ∵∠NAC=∠DAC=60°,
空间中的平行关系PPT精品课件
答案：平行 5．过三棱柱ABC－A1B1C1任意两条 棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平 行的直线共有__________条．
答案：6
课堂互动讲练
考点一 直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有 三种方法：
(1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平 面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有， 则需作出该直线，常考虑三角形的 中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线．
规律方法总结
2．在解决线面、面面平行的判 定时，一般遵循从“低维”到“高维”的 转化，即从“线线平行”到“线面平行”， 再到“面面平行”；而在应用性质定理 时，其顺序恰好相反，但也要注意， 转化的方向总是由题目的具体条件而 定，决不可过于“模式化”．
规律方法总结
3．在应用有关定理、定义等解 决问题时，应当注意规范性训练，即 从定理、定义的每个条件开始，培养 一种规范、严密的逻辑推理习惯，切 不可只求目标，不顾过程，或言不达 意，出现推理“断层”的错误．
课堂互动讲练
∴PQ∥EK. 又 PQ⊄平面 BEC，EK⊂面 BEC， ∴PQ∥平面 BEC. 法三：如图所示，作 PH∥EB 交 AB 于 H，连结 HQ，则AHHB＝APEP， ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，
∴AH＝AP＝DQ， HB PE BQ
课堂互动讲练
∴HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B， ∴平面PHQ∥平面BCE， 而PQ⊂平面PHQ， ∴PQ∥平面BCE.
课堂互动讲练
【名师点评】 法一、法二均是 依据线面平行的判定定理在平面BCE 内寻找一条直线l，证得它与PQ平 行．
特别注意直线l的寻找往往是通过 过直线PQ的平面与平面BCE相交的交 线来确定．
答案：6
课堂互动讲练
考点一 直线与平面平行的判定
判定直线与平面平行，主要有 三种方法：
(1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平 面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有， 则需作出该直线，常考虑三角形的 中位线、平行四边形的对边或过已 知直线作一平面找其交线．
规律方法总结
2．在解决线面、面面平行的判 定时，一般遵循从“低维”到“高维”的 转化，即从“线线平行”到“线面平行”， 再到“面面平行”；而在应用性质定理 时，其顺序恰好相反，但也要注意， 转化的方向总是由题目的具体条件而 定，决不可过于“模式化”．
规律方法总结
3．在应用有关定理、定义等解 决问题时，应当注意规范性训练，即 从定理、定义的每个条件开始，培养 一种规范、严密的逻辑推理习惯，切 不可只求目标，不顾过程，或言不达 意，出现推理“断层”的错误．
课堂互动讲练
∴PQ∥EK. 又 PQ⊄平面 BEC，EK⊂面 BEC， ∴PQ∥平面 BEC. 法三：如图所示，作 PH∥EB 交 AB 于 H，连结 HQ，则AHHB＝APEP， ∵AE＝BD，AP＝DQ， ∴PE＝BQ，
∴AH＝AP＝DQ， HB PE BQ
课堂互动讲练
∴HQ∥AD，即HQ∥BC. 又PH∩HQ＝H，BC∩EB＝B， ∴平面PHQ∥平面BCE， 而PQ⊂平面PHQ， ∴PQ∥平面BCE.
课堂互动讲练
【名师点评】 法一、法二均是 依据线面平行的判定定理在平面BCE 内寻找一条直线l，证得它与PQ平 行．
特别注意直线l的寻找往往是通过 过直线PQ的平面与平面BCE相交的交 线来确定．
【步步高】高中数学 第一章 1.2.2空间中的平行关系(三)课件 新人教B版必修2
证明 ∵AB 綊 DC 綊 D′C′，
∴ABC′D′是平行四边形，
∴BC′∥AD′.
又∵BC′⊄平面 AB′D′， AD′⊂平面 AB′D′，
∴BC′∥平面 AB′D′.
同理：C′D∥平面 AB′D′， ∵BC′∩C′D＝C′，
∴平面 C′DB∥平面 AB′D′.
研一研· 问题探究、课堂更高效
探究点三 问题 1
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 3 因为两条相交直线确定唯一一个平面， 这启示我们尝 试用两条相交直线来讨论平面的平行问题．当三角板或课 本的两条邻边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？
答 当三角板或课本的两条邻边所在直线分别与桌面平行 时，这个三角板或课本所在平面与桌面平行．
小结 面面平行的判定定理： 如果两个平面没有公共点， 那 么这两个平面叫做平行平面. 记作 α∥β. 这个定理可简单记为线面平行，则面面平行．
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 4 如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？
答 符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝A，a∥α，b∥α⇒α∥β.
图形表示：
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 5
已知 求证
如何证明面面平行的判定定理？
a，b⊂α，a∩b＝A，a，b∥β. α∥β.
证明 假设 α∩β＝c.
研一研· 问题探究、课堂更高效
[问题情境] 通过前面的学习，对直线与平面的平行的判定有了一个明 确的认识，那么空间中两个平面的平行如何判定呢？若两 平面平行又有怎样的性质哪？本节我们就来研究这些问 题．
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探究点一 问题 1
答
平面与平面之间的位置关系 拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻
∴ABC′D′是平行四边形，
∴BC′∥AD′.
又∵BC′⊄平面 AB′D′， AD′⊂平面 AB′D′，
∴BC′∥平面 AB′D′.
同理：C′D∥平面 AB′D′， ∵BC′∩C′D＝C′，
∴平面 C′DB∥平面 AB′D′.
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探究点三 问题 1
研一研· 问题探究、课堂更高效
问题 3 因为两条相交直线确定唯一一个平面， 这启示我们尝 试用两条相交直线来讨论平面的平行问题．当三角板或课 本的两条邻边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？
答 当三角板或课本的两条邻边所在直线分别与桌面平行 时，这个三角板或课本所在平面与桌面平行．
小结 面面平行的判定定理： 如果两个平面没有公共点， 那 么这两个平面叫做平行平面. 记作 α∥β. 这个定理可简单记为线面平行，则面面平行．
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问题 4 如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？
答 符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝A，a∥α，b∥α⇒α∥β.
图形表示：
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问题 5
已知 求证
如何证明面面平行的判定定理？
a，b⊂α，a∩b＝A，a，b∥β. α∥β.
证明 假设 α∩β＝c.
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[问题情境] 通过前面的学习，对直线与平面的平行的判定有了一个明 确的认识，那么空间中两个平面的平行如何判定呢？若两 平面平行又有怎样的性质哪？本节我们就来研究这些问 题．
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探究点一 问题 1
答
平面与平面之间的位置关系 拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻
2015届高三数学第一轮总复习课件：第47讲 空间中的平行关系
15 第十五页，编辑于星期五：八点 五十三分。
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理数
【拓展演练 1】 已知两个不同的平面 α，β 和两条不重合的直线 a，b，则 下列四个命题中为真命题的是( ) A．若 a∥b，b⊂α，则 a∥α B．若 α⊥β，α∩β＝b，a⊥b，则 a⊥β C．若 a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，则 α∥β D．若 α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α，则 a∥β
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理数
解析：确定命题正确常常需要严格的证明，判断命题错 误只需一个反例就可以了．如图在正方体 A′C 中，平面 BB′C′C 垂直平面 A′B′C′D′，直线 AD 平行平面 BB′C′C，但直线 AD 并不垂直平面 A′B′C′D′，故② 错误，排除 C、D；由线面平行的判定定理知，④缺少 m⊄α 的条件，故④错误，故选 A.
19 第十九页，编辑于星期五：八点 五十三分。
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理数
【拓展演练2】如图，AA1、BB1为圆柱OO1的母线，BC 是底面圆O的直径，D、E分别是AA1、CB1的中点，DE⊥平面 CBB1.证明：DE∥平面ABC.
20 第二十页，编辑于星期五：八点 五十三分。
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理数
证明：连接 EO，OA. 因为 E，O 分别为 B1C，BC 的中点， 所以 EO∥BB1，且 EO＝12BB1. 又 DA∥BB1，且 DA＝12BB1， 所以 DA 綊 EO，
3 第三页，编辑于星期五：八点 五十三分。
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理数
解析：由线面平行的判定定理可知充分条件成立，但 a ∥α 时，a 与 b 的位置关系是平行或异面，即必要条件不成 立，故选 A.
4 第四页，编辑于星期五：八点 五十三分。
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理数
2．如图，矩形ABCD中，E，F分别在线段BC和AD 上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为 MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF，则下列叙述不正确的
2015届高三数学一轮总复习课件：8.4空间中的平行关系
题型一
题型二
题型三
解题策略
第十二页，编辑于星期五：八点 三十四分。
重点难点
题型一 线面平行的判定及性质
例1
点拨提示
迁移训练1
判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)
利用线面平行的判定定理(a⊄ α,b⊂ α,a∥b⇒ a∥α);(3)利用面面平行的性质定
理(α∥β,a⊂ α⇒ a∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄ β,a∥α⇒ a∥β).
又 MN∩DN=N,故平面 DMN∥平面 BEC.
又 DM⊂ 平面 DMN,所以 DM∥平面 BEC.
题型一
题型二
题型三
解题策略
第十一页，编辑于星期五：八点 三十四分。
重点难点
题型一 线面平行的判定及性质
例1
点拨提示
迁移训练1
方法二:延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF.
因为 CB=CD,∠BCD=120°,
重点难点
题型一
线面平行的判定及性质
例1
点拨提示
迁移训练1
证明:方法一:分别过点 E,
F 作 EM⊥AB 于点 M,FN⊥BC 于点 N,
连接 MN.∵BB1⊥平面 ABCD,
∴BB1⊥AB,BB1⊥BC.
又结合题意易知 EM∥BB1,FN∥BB1,∴EM∥FN.
∵B1E=C1F,∴EM=FN.
故四边形 MNFE 是平行四边形.从而可知 EF∥MN.
点 F 在 CC1 上,点 G 在 BB1 上,且 AE=FC1=B1G=1,H 是 B1C1 的中点.
(1)求证:E,B,F,D1 四点共面;
(2)求证:平面 A1GH∥平面 BED1F.
题型二
题型三
解题策略
第十二页，编辑于星期五：八点 三十四分。
重点难点
题型一 线面平行的判定及性质
例1
点拨提示
迁移训练1
判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)
利用线面平行的判定定理(a⊄ α,b⊂ α,a∥b⇒ a∥α);(3)利用面面平行的性质定
理(α∥β,a⊂ α⇒ a∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a⊄ β,a∥α⇒ a∥β).
又 MN∩DN=N,故平面 DMN∥平面 BEC.
又 DM⊂ 平面 DMN,所以 DM∥平面 BEC.
题型一
题型二
题型三
解题策略
第十一页，编辑于星期五：八点 三十四分。
重点难点
题型一 线面平行的判定及性质
例1
点拨提示
迁移训练1
方法二:延长 AD,BC 交于点 F,连接 EF.
因为 CB=CD,∠BCD=120°,
重点难点
题型一
线面平行的判定及性质
例1
点拨提示
迁移训练1
证明:方法一:分别过点 E,
F 作 EM⊥AB 于点 M,FN⊥BC 于点 N,
连接 MN.∵BB1⊥平面 ABCD,
∴BB1⊥AB,BB1⊥BC.
又结合题意易知 EM∥BB1,FN∥BB1,∴EM∥FN.
∵B1E=C1F,∴EM=FN.
故四边形 MNFE 是平行四边形.从而可知 EF∥MN.
点 F 在 CC1 上,点 G 在 BB1 上,且 AE=FC1=B1G=1,H 是 B1C1 的中点.
(1)求证:E,B,F,D1 四点共面;
(2)求证:平面 A1GH∥平面 BED1F.
高考数学总复习 第八章 第五节空间图形的平行关系课件 理
第二十八页，共43页。
变式探究
(tànj3iū．) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是 C1C，B1C1，C1D1的中点(zhōnɡ diǎn)，求证：
(1)AP⊥MN； (2)平面MNP∥平面A1BD
第二十九页，共43页。
证明(zhèngmíng)：(1)连接BC1，B1C，则B1C⊥BC1， BC1是AP在面BB1C1C上的射影，
a∩α＝A
一个
a⊥α
一个
第四页，共43页。
二、空间(kōngjiān)两个平面的位置关系
位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
α∥β
没有公共点
两平面相交
α∩β＝l
无数个
第五页，共43页。
三、直线和平面平行(píngxíng)的判定方法
类
语言表述
别
如果一条直线与一个 平面没有公共点，那 么称这条直线与这个 判 平面平行 定 如果平面外的一条直 线平行于该平面内的 一条直线，那么这条 直线平行于这个平面
性质
同时和第三个平面 相交，那么它们的
交线平行
一条直线垂直于两 个平行平面中的一 个平面，它也垂直 于另一个平面
图示
字母表示
应用
证直线 和平面 平行
α∥β γ∩α＝a
⇒a∥b
证两条 直线平
γ∩β＝b
行
α∥β
⇒a⊥β
证直线 和平面
a⊥α
垂直
第十页，共43页。
基础(jīchǔ) 自测 1. (2012·银川市质检)在空间(kōngjiān)中，下列命题正确的是
类别 语言表述
如果一条直线 和一个平面平 行，经过这条 性质 直线的平面和 这个平面相交， 那么这条直线 和交线平行
变式探究
(tànj3iū．) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是 C1C，B1C1，C1D1的中点(zhōnɡ diǎn)，求证：
(1)AP⊥MN； (2)平面MNP∥平面A1BD
第二十九页，共43页。
证明(zhèngmíng)：(1)连接BC1，B1C，则B1C⊥BC1， BC1是AP在面BB1C1C上的射影，
a∩α＝A
一个
a⊥α
一个
第四页，共43页。
二、空间(kōngjiān)两个平面的位置关系
位置关系
图示
表示法
公共点个数
两平面平行
α∥β
没有公共点
两平面相交
α∩β＝l
无数个
第五页，共43页。
三、直线和平面平行(píngxíng)的判定方法
类
语言表述
别
如果一条直线与一个 平面没有公共点，那 么称这条直线与这个 判 平面平行 定 如果平面外的一条直 线平行于该平面内的 一条直线，那么这条 直线平行于这个平面
性质
同时和第三个平面 相交，那么它们的
交线平行
一条直线垂直于两 个平行平面中的一 个平面，它也垂直 于另一个平面
图示
字母表示
应用
证直线 和平面 平行
α∥β γ∩α＝a
⇒a∥b
证两条 直线平
γ∩β＝b
行
α∥β
⇒a⊥β
证直线 和平面
a⊥α
垂直
第十页，共43页。
基础(jīchǔ) 自测 1. (2012·银川市质检)在空间(kōngjiān)中，下列命题正确的是
类别 语言表述
如果一条直线 和一个平面平 行，经过这条 性质 直线的平面和 这个平面相交， 那么这条直线 和交线平行
高中数学1.2.2《空间中的平行关系》课件人教B版数学必修2
如图：空间四边形ABCD中，AC、BD是 它的对角线
空间四边形的常见画法经常用一个平面衬 托，如下图中的两种空间四边形ABCD和 ABOC.
6． 异面直线所成的角：已知两条异面直 线a、b，经过空间任意一点O作直线a’//a， b’//b，由于a’、b’所成的角的大小与点O 的选择无关，我们就把a’与b’所成的锐角 或直角叫做异面直线所成的角.
b a′ ？ OP a
b′ a′ θ O
若两条异面直线所成角为90°，则称 它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b
异面直线所成角θ的取值范围：（0，90]
空间两条直线的位置关系有三种：
位置关系
共面情况
公共点个数
相交直线 在同一平面内 有且只有一个
平行直线 在同一平面内
没有
异面直线 不在任何一平面内 没 有
所以四边形EFGH是平行四边形。
A
E
H
B
D
F
G
C
例2．如图：在长方体ABCD－A1B1C1D1
中，已知E，F分别是AB , BC 的中点，
求证：EF∥A1C1.
证明:连结AC.
D1
C1
在△ABC中, E, F分别A1
B1
是AB, BC 的中点.
所以 EF ∥ AC
D
A
E
C F B
又因为 AA1∥BB1 且 AA1 = BB1 BB1∥CC1 且 BB1 = CC1
公理4反映了两条直线的位置关系. 公理4主要用来证明两条直线平行，它是 证明两直线平行的重要依据.
4. 等角定理：
如果一个角的两边和另一个角的两边分 别平行并且方向相同，那么这两个角相等.
已知：如图所示，∠BAC和 ∠B1A1C1的边AB//A1B1， AC//A1C1，且射线AB与A1B1 同向，射线AC与A1C1同向， 求证：∠BAC=∠B1A1C1.
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结论
a∥αa∩α＝∅a∥b基础知识·自主学习要点梳理
3.面面平行的判定与性质
知识回顾 理清教材
判定 定义 图形
α∩β＝∅
定理
性质
条件 结论
a⊂β，b⊂β， α∥β， α∥β， α ∩ γ ＝ a ， a∩ b ＝ P ， a⊂β β∩γ＝b a∥α，b∥α
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) √ (3) × (4) √ (5) ×
解析
B C
2
②
题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 (2012· 山东) 如图，几何体 E－ ABCD 是四棱锥， △ ABD 为正三角形， CB＝ CD， EC⊥ BD. (1)求证： BE＝ DE； (2) 若∠ BCD＝ 120° ， M 为线段 AE 的中点，求证： DM∥平面 BEC.
⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质 (α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 如图， 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E，H 分别为棱 A1B1，D1C1 上的点，且 EH∥A1D1， 过 EH 的平面与棱 BB1， CC1 相交， 交点分别为 F，G，求证：FG∥平面 ADD1A1.
知识回顾 理清教材
方向相同 ，那么这两个角相等．
(4)空间四边形： 顺次连接 不共面 空间四边形． 的四点 A、B、C、D 所构成的图形，叫做
基础知识·自主学习
要点梳理
2．直线与平面平行的判定与性质
知识回顾 理清教材
判定 定义 图形 定理
性质
a⊂α，
条件 a∩α＝∅
b⊄α， a∥b
b∥α
a∥α
a∥α ， a ⊂ β， α∩β＝b
题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 (2012· 山东) 如图，几何体 E－ ABCD 是四棱锥，
又 DN⊄平面 BEC， BC⊂平面 BEC， 所以 DN∥平面 BEC. 又 MN∩DN＝N，
△ ABD 为正三角形， CB＝ CD， 所以平面 DMN∥平面 BEC. 又 DM⊂平面 DMN， EC⊥ BD. 所以 DM∥平面 BEC. (1)求证： BE＝ DE； 方法二 如图， (2) 若∠ BCD＝ 120° ， M 为线段 延长 AD，BC 交于 AE 的中点，求证： DM∥平面 点 F，连接 EF. 因为 CB＝CD，∠BCD＝120° ， BEC.
证明 因为 EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，
EH⊄平面 BCC1B1，B1C1⊂平面 BCC1B1，
所以 EH∥平面 BCC1B1.
又平面 FGHE∩平面 BCC1B1＝FG， 所以 EH∥FG，即 FG∥A1D1. 又 FG⊄平面 ADD1A1，A1D1⊂平面 ADD1A1， 所以 FG∥平面 ADD1A1.
题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】 (2012· 山东) 如图，几何体 E－ ABCD 是四棱锥，
判断或证明线面平行的常用方法： (1) 利 用 线 面 平 行 的 定 义 ( 无 公 共
△ ABD 为正三角形， CB＝ CD， 点)； (2)利用线面平行的判定定理(a EC⊥ BD. ⊄α， b⊂α，a∥b⇒a∥α)；(3)利用 (1)求证： BE＝ DE； (2) 若∠ BCD＝ 120° ， M 为线段 面面平行的性质定理 (α∥β， a ⊂α AE 的中点，求证： DM∥平面 BEC.
∴截面 EFGH 是平行四边形．
设 AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或 其补角)．
题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
平行关系的综合应用
如图所示，在四面体
思维启迪 解析 思维升华
又设 FG＝x，GH＝y，则由平面几 ABCD 中，截面 EFGH 平行于 x CG y BG 何知识可得a＝BC ， 两式相 b＝BC， 对棱 AB 和 CD，试问截面在什 x y b 加得a＋b＝1，即 y＝a(a－x)， 么位置时其截面面积最大？ ∴S▱EFGH＝FG· GH· sin α b bsin α ＝x·· (a－x)· sin α＝ x(a－x)． a a
又∵B1C1∥BC，
(2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点，
∴GH∥BC，∴B， C，H， G 四点共面．
∴EF∥BC，
∵EF ⊄ 平 面 BCHG ， BC ⊂ 平 面 BCHG，
∴EF∥平面 BCHG.∵A1G 綊 EB，
题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华
所以 MN∥BE.
又 MN⊄平面 BEC，BE⊂平面 BEC， (1)求证： BE＝ DE； 所以 MN∥平面 BEC. (2) 若∠ BCD＝ 120° ， M 为线段 又因为△ABD 为正三角形， AE 的中点，求证： DM∥平面 所以∠BDN＝30° .
BEC.
又CB＝CD，∠BCD＝120° ， 因此∠CBD＝30° . 所以 DN∥BC.
数学
R B（理）
§8.3 空间中的平行关系
第八章 立体几何
基础知识·自主学习
要点梳理
1．平行直线 (1)平行公理： 过直线外一点 有且只有 一条直线和已知直线平行． (2)基本性质 4(空间平行线的传递性)： 平行于 同一条直线 的两条直线互相平行． (3)定理： 如果一个角的两边与另一个角的两边 分别对应平行 ，并且
题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 如图，在三 棱柱 ABC—A1B1C1 中，E，F，G，H 分 别是 AB， AC， A1B1， A1C1 的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位 线，∴GH∥B1C1.
题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
平行关系的综合应用
如图所示，在四面体
思维启迪 解析 思维升华
ABCD 中，截面 EFGH 平行于 对棱 AB 和 CD，试问截面在什 利用线面平行的性质可以得到线 么位置时其截面面积最大？
线平行，可以先确定截面形状， 再建立目标函数求最值．
题型分类·深度剖析
题型三
(2)根据线面平行的判定或两个 平面平行的性质证明线面平行．
题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 (1)如图， 思维升华
【例 1】 (2012· 山东) 如图，几何体 E－ ABCD 是四棱锥，
证明 取 BD 的中点 O， 连接
CO，EO.
△ ABD 为正三角形， CB＝ CD， 由于 CB＝CD，所以 CO⊥BD. 又 EC⊥BD，EC∩CO＝C， EC⊥ BD. CO，EC⊂平面 EOC， (1)求证： BE＝ DE； 所以 BD⊥平面 EOC， (2) 若∠ BCD＝ 120° ， M 为线段 因此 BD⊥EO. AE 的中点，求证： DM∥平面 又 O 为 BD 的中点， BEC. 所以 BE＝DE.
题型分类·深度剖析
题型二 平面与平面平行的判定与性质
思维启迪 解析 思维升华
【例 2】 如图，在三 棱柱 ABC—A1B1C1 中，E，F，G，H 分 别是 AB， AC， A1B1， A1C1 的中点，求证： (1)B，C，H，G 四点共面； (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.
题型分类·深度剖析
【例 3】
平行关系的综合应用
如图所示，在四面体
思维启迪 解析 思维升华
解
∵AB∥平面 EFGH，
ABCD 中，截面 EFGH 平行于 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 对棱 AB 和 CD，试问截面在什 分别交于 FG、EH. ∴AB∥FG，AB∥EH， 么位置时其截面面积最大？
∴FG∥EH，同理可证 EF∥GH，
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 如图， 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中点，E、F、G 分别是 BC、 DC、SC 的中点，求证： (1)直线 EG∥平面 BDD1B1； (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1.
证明 (1)如图，连接 SB， ∵E、G 分别是 BC、SC 的中点，∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)连接 SD，∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1，
∴FG∥平面 BDD1B1，且 EG⊂平面 EFG，
FG⊂平面 EFG，EG∩FG＝G，∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.
题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】
平行关系的综合应用
如图所示，在四面体
思维启迪 解析 思维升华
ABCD 中，截面 EFGH 平行于 对棱 AB 和 CD，试问截面在什 么位置时其截面面积最大？
题型分类·深度剖析
题型一 直线与平面平行的判定与性质
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【例 1】 (2012· 山东) 如图，几何体 E－ ABCD 是四棱锥， △ ABD 为正三角形， CB＝ CD， EC⊥ BD.
(2)方法一 如图， 取 AB 的中点 N， 连接 DM， DN，MN. 因为 M 是 AE 的中点，
题型二 平面与平面平行的判定与性质