圆中分类讨论问题归类举例
圆中的分类讨论习题
细说圆中的分类讨论题------之两解情况由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性,有许多问题需要分类讨论,分类讨论是一种同学们应该掌握并且相当重要的数学思想，对于锻炼同学们的缜密思维和分析问题能力异常的重要，但同学们在遇到分类讨论题时易出现漏解情况,这就要求同学们在解题时一要读懂题意，明白题干的要求，二要有顺序步骤的做。
先从几个方面举例说明如下: 一、根据点与圆的位置分类例１、点P 是圆O 所在平面上一定点，点P 到圆上的最大距离和最短距离分别为８和２，则该圆的半径为。
分析：根据点和圆的位置关系，这个点P 与圆有两种位置关系。
分为点在圆内和点在圆外两种情况。
解：过点P 和圆心O 作直线分别与圆O 相交于A 、B 两点。
PA 、PB 分别表示圆上各点到点P 的最长距离和最短距离。
（1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径；（2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径； 所以，圆O 的直径为2或6。
二、三角形与圆心的位置关系例２：已知∆ABC 内接于圆O ，∠=︒OBC 35，则∠A 的度数为________。
分析：因点A 的位置不确定。
所以点A 和圆心O 可能在BC 的同侧，也可能在BC 的异侧。
也可分析为圆心在∆ABC 的内部和外部两种情况。
解：（1）当点A 和圆心O 在BC 的同侧时，如图3，POBAPOB A图3 图4（2）当点A 和圆心O 在BC 的异侧时，如图4，Θ∠=︒OBC 35∴∠=︒BOC 110∴∠=︒BPC 55∴∠=︒BAC 125 所以∠A 的度数是55︒或125︒。
练习：已知圆内接∆ABC 中，AB=AC ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，圆的半径为6cm,求腰长AB 。
（两种情况如图5、图6）AC图5 图6三、角与圆心的位置关系例3:在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是____。
分析：角与圆心的位置关系为圆心在角内部和外部两种情况。
圆的分类讨论例题及习题
圆的分类讨论例题及习题圆中的分类讨论题------之两解情况一、根据点与圆的位置分类例1、点P 是圆0所在平面上一定点，点 P 到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2, 则该圆的半径为 ___________________ 。
解：过点P 和圆心0作直线分别与圆0相交于A 、B 两点。
PA 、 PB 分别表示圆上各点到点 P的最长距离和最短距离。
（1）当点P 在圆内时，如图1所示，直径（2）当点P 在圆外时，如图2所示，直径--1 - :H .所以，圆0的直径为2或6。
练习1:若。
0所在平面内一点P 到。
0上的点的最大距离为a ,最 小距离为b ，则此圆的半径为（）2: P 在。
0内，距圆心0的距离为4,。
0半径长为5,经过P 点， 有多少条？解：过P 点的弦长为整数的最短弦长是 6cm （该弦垂直于0P ，等于5与4的平方和的平方 根的2倍）；最长的是10cm （过0、P 的直径）；其间弦长为整数的长度还有 7、8、9cm ,所以共 有8条（其中的7、8、9各有两条，以0P 为对称轴）。
3:00的半径为2.5，动点P 到定点0的距离为2,动点Q 到P 的点的距离为1,则点P 、 Q 与O 0有何位置关系？二、弦与弦的位置关系不唯一，需要分类讨论例 1、圆 0 的直径为 10cm ,弦 AB//CD , AB=6cm , CD = 8cm ,求 AB 和CD 的距离。
解：（1）当AB 、CD 在圆心的同侧时，如图，过点 0作0M_AB 交 AB 于点M ，交CD于N ，连结OB 、0D ,得Rt 0MB , Rt 0ND ，然后 由勾股定理求0M = 4cm, 0N = 3cm ，故 AB 和 CD 的距离为 1cm 。
（2）当AB 、CD 在圆心的异侧时，如图9,仍可求得0M = 4cm, ON = 3cm 故AB 和CD 的距离为7cm 。
所以AB 和CD 的距离为1cm 和7cm 。
例2、已知弓形的弦长为8cm ,所在圆的半径为5cm ,则弓形的高为多少？ （ 2或8cm ）k _________ 止 ______________ ________ LAP . 定点 交于。
小专题(十六) 圆中的分类讨论(多解问题)
小专题(十六) 圆中的分类讨论(多解问题)一、由于点与圆的位置关系的多样性引起的不唯一性方法归纳：点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，但圆上的点具有唯一性．所以，只考虑点在圆内和点在圆外两种情况．【例1】 已知点A 到⊙O 的最近距离和最远距离分别是3 cm 和9 cm ，求⊙O 的半径．1．点A 到圆的最近距离是a ，最远距离是b ，则该圆的直径是__________．二、由于圆的对称性引起的不唯一性方法归纳：平行弦位于圆心O 的同侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之差；平行弦位于圆心O 的异侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之和．【例2】 已知，⊙O 的直径是10 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝6 cm ，CD ＝8 cm ，求AB 与CD 之间的距离．2．如图，⊙O 的半径为17 cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝30 cm ，CD ＝16 cm ，圆心O 位于AB ，CD 的上方，则AB 和CD 的距离为________．3．在半径为5 cm 的⊙O 中，如果弦CD ＝8 cm ，直径AB ⊥CD ，垂足为E ，那么AE 的长为________．4．如图，已知PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 分别为切点，C 为⊙O 上不与A ，B 重合的另一点，若∠ACB ＝120°，则∠APB ＝________．5．在半径为1的⊙O 中，弦AB ＝2，AC ＝3，那么∠BAC ＝________．三、由于一弦对二弧而引起的不唯一性方法归纳：一弧对一圆心角和一圆周角，但一弦却对一圆心角和二圆周角，且同弦所对两圆周角互补．【例3】 弦AB 的长等于半径，则AB 所对的圆周角等于多少度？6．⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BOC ＝100°，则∠A ＝________．四、由于动点问题而引发的直线与圆位置关系的不唯一性方法归纳：由于动点的移动而导致的图形整体运动，要抓住在图形变化时几种特殊静态位置的关键要素．从而分类型以静态位置的条件达到解题的目的．【例4】 如图，P 为正比例函数y ＝32x 图象上的一个动点，⊙P 的半径为3，设点P 的坐标为(x ，y)．求⊙P 与直线x ＝2相切时点P 的坐标．7．(无锡期中)如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AB ＝8 cm ，AD ＝24 cm ，BC ＝26 cm ，AB 为⊙O 的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1 cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以3 cm/s 的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s ，问：(1)t 为何值时，P ，Q 两点之间的距离为10 cm?(2)t 分别为何值时，直线PQ 与⊙O 相切？相离？相交？参考答案【例1】(1)如图1，当点A 在⊙O 内时，R ＝3＋9＝12(cm)，所以⊙O 的半径是6 cm.(2)如图2，当点A 在⊙O 外时，R ＝9－3＝6(cm)，所以⊙O 的半径是3 cm.综上所述，⊙O 的半径是6 cm 或3 cm. 1.b －a 或b ＋a【例2】图1 图2如图1，当平行两弦位于圆心O 的同侧时．连接OB ，OD ，过点O 作OE ⊥CD ，OE 的延长线交AB 于F. ∵AB ∥CD ，OE ⊥CD ，∴OF ⊥AB.∵OE ⊥CD ，∴DE ＝12CD ＝4 cm.在Rt △OED 中，OE ＝OD 2－ED 2＝52－42＝3.同理在△OFB 中，OF ＝4. ∴EF ＝OF －OE ＝4－3＝1；如图2，当平行两弦位于圆心O 的异侧时，EF ＝OE ＋OF ＝7.综上所述，AB 与CD 之间的距离是7 cm 或1 cm.2.7 cm3.2 cm 或8 cm4.60°5.75°或15°【例3】(1)当圆周角所对的弧是劣弧时，如图所示：连接OA ，OB ，AC ，BC ，得到△AOB 是等边三角形∴∠AOB ＝60°.∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°. (2)当圆周角所对的弧是优弧时，如图所示：易得∠AC′B ＝150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角等于30°或150°. 6.50°或130°【例4】 过P 作直线x ＝2的垂线，垂足为A ，当点P 在直线x ＝2右侧时，AP ＝x －2＝3，∴x ＝5.∴P(5，152)．当点P 在x ＝2的左侧时，PA ＝2－x ＝3，x ＝－1， ∴P(－1，－32)．∴当⊙P 与直线x ＝2相切时，P 点坐标为(5，152)或(－1，－32)． 7.(1)AP ＝t ，BQ ＝26－3t.如图1：作PE ⊥BC 于E ，QE ＝26－4t.由勾股定理，得(26－4t)2＋64＝100，解得t ＝5或8.(2)当PQ 与⊙O 相切时，如图2，由相切，得PQ ＝AP ＋BQ ＝26－2t ，BE ＝26－4t ，PE ＝8，(26－4t)2＋64＝(26－2t)2，解得t ＝8或23.即t ＝8或23时，直线PQ 与⊙O 相切；当26÷3＝263，当t ＝263时运动停止，0≤t ＜23或8＜t ≤263，直线PQ 与⊙O 相交；23＜t ＜8，直线PQ 与⊙O 相离．。
圆中常见的分类讨论
例２ 已知 圆０的直 径为 ６ Ｐ ， 为直 线ｆ 一点 ， Ｐ ３ 那 么 ，与 圆０的位 上 Ｏ＝ ， Ｚ 置 关系是
．
— —
简解 ： 因为Ｄ 的长度等于圆０ Ｐ 的半径 ， 因此点Ｐ 可能是ｆ 与圆的唯一交
点 ， 时ｆ 圆Ｄ相 切 ； 可 能ｆ 圆０有两 个 不 同交 点 ， 这 与 也 与 点Ｐ是其 中 的一个
ｊ
维普资讯
交点 ， 这时ｆ 与圆０ 相交 ， 因此Ｚ
与圆０的位置关 系应 为相 切或 相 交 ， 图３ 图４ 如 、 ．
三 、 于 弦 所 对 弧 的 不 确 由 定 而 分 类 讨 论
尸 Ｚ
例３ 已知 横截 面 直径 为 ｌＯ ｍ的圆 形下水 道 ，水 面宽 Ｏｅ
除 了 以 上 几 种 情 况 外 ，还 有 以 下 情 况 需 要 分 类 讨 论 ：两 圆 大 小
关 系 的 不 确 定 、两 圆相 切 情 况 的 不 确 定 、两 圆 圆 心 与 公 共 弦 的 位 置
关 系的不确定 、未指明是 内公切线还是外公切线而分类讨论．
下面几 道与 圆相关 的题 都有 两解 ， 你能解 答吗 ？
Ａ 于点 Ｅ ０ 上Ａ 于点 Ｆ 则 ｃ ＬＣ Ｏ ｃ ，Ｆ Ｄ ， 。 ｓ Ａ ：
二
，。ＬＤ Ｏ ／ ｃｓ Ａ ：ｘＹ
，
ＬＣ ＡＯ；
二
４ 。 ＤＡ０＝ ０ ， Ｃ ５ ， ３ 。 ＡＤ＝ Ｃ Ａ０＋ ＤＡ０＝ ５ ＋３ 。 ７ 。 ４ 。 ０－ ５ ；
当ＡＣ ＡＤ在直径Ａ 、 Ｂ同侧时 ， 同理 可得 Ｃ Ｄ＝ Ｃ ０一 Ｄ ０＝ ５ ． Ａ Ａ Ａ １。
Ａ ＝ ４ 则 ＡＡ 的周 长为 — — Ｂ２， Ｏ ０２ ．
高中数学论文用分类思想讨论圆中的问题
用分类思想讨论圆中的问题用分类思想解圆中的问题常常出现在中考题中，这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养学生严谨周密的逻辑思维能力。
如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。
现收集整理这方面的例题进行分析讨论，供大家参考。
按点与圆的位置关系讨论例1 在同一平面内，点P到⊙O的最长距离为8㎝，最短距离为2㎝，则⊙O的半径为。
解析：根据点P与⊙O的位置关系有如图1两种可能。
过点P 和圆心O作直线分别与⊙O相交于A、B两点。
PA、PB分别表示圆上各点到P的最长距离和最短距离。
（1）当P点在圆内时如图1（1）直径AB=PA+PB=10㎝（2）当P点在圆外时如图1（2）直径AB=PA-PB=6㎝所以⊙O的半径应为5㎝或3㎝图 1(2)(1)PB图2(2)(1)aa、例2 ⊙O的直径为6㎝，如果直线a上的一点C到点O的距离为3㎝，则直线a与⊙O的位置关系是。
解析：题目中只涉及点C到圆心的距离，并非是圆心到直线a的距离，所以有如图2两种可能。
（1）当直线a与⊙O仅有一个交点C时，点C到点O的距离为3㎝，它与半径相等。
则此直线为⊙O的切线，交点C为切点。
∴直线a与⊙O相切如图2（1）（2）当直线a与⊙O不止个交点时，OC=3 OC是⊙O的半径∴直线a与⊙O相交如图2（2）所以直线a与⊙O的位置关系是相切或相交。
按点在弧上的位置关系讨论例9、PA、PC分别切⊙0于A、C两点，B为⊙0上与A、C不重合的点，若∠P=50°，则∠ABC=___________度解析：由于点B可能在优弧ABC上，也可能在劣AC上，所以有如图6（1）、6（2）两种情况。
连接OA、OC，由于PA、PC是⊙0的切线，A、C是切点，∠P=50°，∴∠AOC=1300。
（1）当点B在优弧AC上时，∠ABC=65°，1（360°－130°）=1150 （2）当点B在劣弧AC上时，∠ABC=2所以∠ABC=650或115°例10：在⊙0中，AB为直径，CD为弦，AB⊥CD，P为圆周上与C、D不重合的任意一点，判断∠COB与∠CPD的数量关系，并证明你的结论。
人教版数学九年级上册小专题(十九) 圆中的分类讨论(多解问题)
小专题(十九)圆中的分类讨论(多解问题)一、由于点与圆的位置关系的多样性引起的不唯一性【例1】点A到⊙O的最近距离和最远距离分别是3 cm和9 cm，那么⊙O的半径为6_cm或3_cm．提示：如下图，可按点A在⊙O或⊙O外两种情况进展分析．方法归纳：点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，但圆上的点具有唯一性．所以，只考虑点在圆内和点在圆外两种情况．1．点A到圆的最近距离是a，最远距离是b，那么该圆的直径是b－a或b＋a．二、由于圆的对称性引起的不唯一性【例2】⊙O的直径是10 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，那么AB与CD之间的距离为7_cm或1_cm．提示：图1图2方法归纳：平行弦位于圆心O的同侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之差；平行弦位于圆心O的异侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之和．2．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，那么圆上到弦AB所在的直线距离为2的点有(C)A．1个B．2个C．3个D．0个3．在半径为5 cm的⊙O中，如果弦CD＝8 cm，直径AB⊥CD，垂足为E，那么AE的长为2_cm或8_cm．4．在半径为1的⊙O中，弦AB＝2，AC＝3，那么∠BAC＝75°或15°．三、由于一弦对两弧而引起的不唯一性【例3】弦AB的长等于半径，那么AB所对的圆周角等于多少度？解：①当圆周角所对的弧是劣弧时，如图，连接OA ，OB ，AC ，BC ，得到△AOB 是等边三角形． ∴∠AOB ＝60°.∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°； ②当圆周角所对的弧是优弧时，如图，易得∠AC ′B ＝150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角等于30°或150°.方法归纳：一弧对一圆心角和一圆周角，但一弦却对一圆心角和二圆周角，且同弦所对两圆周角互补．5．⊙O 为△ABC 的外接圆，∠BOC ＝100°，那么∠A ＝50°或130°．6．在直径为4的⊙O 中，弦AB ＝23，点C 是圆上不同于A 、B 的点，那么∠ACB 的度数为60°或120°．四、直线与圆相切的不唯一性【例4】 如图，∠ABC ＝80°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，12OB 长为半径作⊙O ，要使射线BA 与⊙O 相切，应将射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转(C )A ．40°或80°B ．50°或100°C ．50°或110°D ．60°或120°方法归纳：线(直线、射线、线段)或圆在运动的过程中出现的相切问题通常需分情况讨论．7．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝45°，半径为 2 cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6 cm .如果⊙P 以1 cm /s 的速度沿由A 向B 的方向移动，那么________秒钟后⊙P 与直线CD 相切(D )A ．4B ．8C ．4或6D ．4或8。
圆的分类讨论问题
圆的分类讨论问题分类讨论是指在解题过程中，根据某一数学对象的数学属性，按照一定的标准分成若干类型逐一解决的思维方法。
它有助于我们条理清晰地全面解决问题。
在圆的有关问题中，需要分情况讨论的问题林林总总，以往有不少人对此进行收集整理，但都不够详尽。
一.根据点和圆的位置分类例1.已知点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆O上各点的最短距离为2，最长距离为4，则圆O的直径为_________。
二.根据圆心和弦的位置分类例2.圆O的半径为5cm，弦AB//CD，弦AB长8cm，另一条弦CD长6cm，则这两条弦之间的距离为_______。
例3.已知，圆O的半径为1，弦，，则∠BAC=_________。
例4.相交两圆的公共弦长为6，若两圆的半径分别为8和5，则两圆的圆心距为______。
三.根据圆心与圆周角的位置关系分类在圆周角定理的证明中，根据圆心与圆周角的位置关系分为三类加以讨论：（1）圆心在角的一边上；（2）圆心在角的内部；（3）圆心在角的外部。
其中，第一种情况是最特殊最容易证明的情况，而其余两种都是转化为第一种情况加以证明的。
通过这三种情况的证明概括得出一般性结论。
四.根据圆心角与圆周角的位置关系分类例5.点C是圆O上任一点，且∠AOB=100°，则∠ACB=_________。
五.同弦所对的圆周角，根据顶点在优弧和顶点的劣弧分类例6.圆的弦长恰好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是_________。
例7.圆的半径等于2cm，圆内一条弦长，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于__________。
七.根据圆心和三角形的位置分类例8.是半径为2cm的圆内接三角形，若，则∠A的度数为______。
八.根据圆与圆的位置关系分类例9.两圆相切，圆心距是10，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是_________。
例10.已知中，∠C=90°，AC=3，BC=4，分别以A、C为圆心作圆A，圆C，且圆C与直线AB不相交，圆A与圆C相切，设圆A的半径为r，那么r的取值范围是_________。
圆中的分类讨论(多解问题)
圆中的分类讨论(多解问题)一、由于点与圆的位置关系的多样性引起的不唯一性方法归纳：点与圆有三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外，但圆上的点具有唯一性．所以，只考虑点在圆内和点在圆外两种情况．【例1】已知点A到⊙O的最近距离和最远距离分别是3 cm和9 cm，求⊙O的半径．1．点A到圆的最近距离是a，最远距离是b，则该圆的直径是__________．2.已知：⊙O的直径为14cm，弦AB=10cm，点P为AB上一点，OP=5cm，则AP的长为______cm．3.已知∆A B C内接于圆O，∠=︒OBC35，则∠A的度数为_______4.已知△ABC中，AB=15，BC=14，△ABC的面积为84，⊙A的半径为13，则点C与⊙A的位置关系是_____________________________________________.二、由于圆的对称性引起的不唯一性方法归纳：平行弦位于圆心O的同侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之差；平行弦位于圆心O的异侧时，平行弦之间的距离等于弦心距之和．【例2】已知，⊙O的直径是10 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，求AB与CD之间的距离．5．如图，⊙O的半径为17 cm，弦AB∥CD，AB＝30 cm，CD＝16 cm，圆心O位于AB，CD的上方，则AB和CD的距离为________．6．在半径为5 cm的⊙O中，如果弦CD＝8 cm，直径AB⊥CD，垂足为E，那么AE的长为________．7．如图，已知PA，PB是⊙O的切线，A，B分别为切点，C为⊙O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________．8．在半径为1的⊙O中，弦AB＝2，AC＝3，那么∠BAC＝________．6.已知点P是半径为2的⊙O外一点，PA是⊙的切线，切点为A，且PA=2，在⊙O内作长为2的弦AB，连接PB，则PB的长为______．三、由于一弦对二弧而引起的不唯一性方法归纳：一弧对一圆心角和一圆周角，但一弦却对一圆心角和二圆周角，且同弦所对两圆周角互补．【例3】弦AB的长等于半径，则AB所对的圆周角等于多少度？9．⊙O为△ABC的外接圆，∠BOC＝100°，则∠A＝________．四、由于动点问题而引发的直线与圆位置关系的不唯一性方法归纳：由于动点的移动而导致的图形整体运动，要抓住在图形变化时几种特殊静态位置的关键要素．从而分类型以静态位置的条件达到解题的目的．【例4】如图，P为正比例函数y＝32x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)．求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标．10．(无锡期中)如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 cm，BC＝26 cm，AB 为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1 cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3 cm/s的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s，问：(1)t为何值时，P，Q两点之间的距离为10 cm?(2)t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切？相离？相交？11.已知△ABC内接与圆O，AB=AC=a，BC=b，AE切○O于点A，BC∥AE，在射线AE上是否存在一点P，使得以A、P、C为顶点的三角形与△ABC相似？若不存在，请说明理由；若存在，求出AP的长。
中考复习之分类讨论思想-圆
A O P
B
A O
B P
连接O、P所在的直线并延 长，交⊙O于A、B. 则PA=a，PB=b， 直径AB=PA+PB = a+b 半径为
连接O、P所在的直线并延 长，交⊙O于A、B. 则PA=a，PB=b， 直径AB=PA-PB = a-b 半径为
综合（1）（2）可知，此圆的半径为 a b
圆都相切的圆有
与两圆均内切.
5
个.
与两圆均 外切.
与一圆外切， 与一圆内切.
与一圆外切， 与一圆内切.
与两圆均 外切.
分类讨论思想在圆中应用的一般步骤：
1、先明确需讨论的对象； 2、选择分类的标准，合理分类；
统一标准，不重不漏 （统一标准，不重不漏）
3、逐类讨论； 4、归纳作出结论。
F
B
OE=3cm
OF=4cm
OE=3cm
OF=4cm
∴ EF=OF-OE=1cm
∴ EF=OF+OE=1cm
分类思想 圆中的应用
三、圆的大小或位置不唯一
例3、在Ｒｔ△ABC中，∠C=900，AC=3，BC=4. 若 以点Ｃ为圆心，Ｒ为半径的圆与斜边只有一个公共点， 则R的值为多少？ B B
D C A C A
分类讨论：（1）当圆的半径R<3时
12 R= 5
（3）当圆的半径R>3时 从圆由小变大的过程中，可知R
3＜ R
4
4
（2）当圆的半径R=3时 圆与斜边有2个交点，不合题意。
∴综上可知，当 R= 5
12
或 3＜ R
4 时，
圆与斜边只有一个公共点.
例谈与圆有关的分类讨论题
． ‘
Ａ ／Ｃ Ｏ Ｂ／ Ｄ， Ｅ上Ｃ Ｄ，
Ｏ ＿ Ｂ， Ｆ 梯 形Ａ Ｃ ＦｊＡ 即Ｅ 为 Ｂ Ｄ的高 ．
・ ．
．
在 Ｒ △Ｏ Ｃ中 ， ｔ Ｅ
．
ＥＣ ＝ １， ＯＣ ＝ ４。
—
．
． ．
Ｏ Ｅ： ｘ—ｃ ／ ｔ ｏ
－
：
：
．
同 理 ， Ｆ＝ 、丁 ．． Ｆ Ｏ Ｏ ／ ・ ．Ｅ ＝ Ｅ＋ Ｏ Ｆ＝ 、 ／
二 、 圆有 关 的 线 段 与
例 ２ 已 知梯 形Ａ Ｃ Ｂ Ｄ内 接 于 ｏ０， Ｂ／ Ｄ， ０的 半 径 为 ４ Ａ ／Ｃ ｏ ，
Ａ Ｂ＝６， Ｄ＝２， 梯 形Ａ Ｃ Ｃ 求 Ｂ Ｄ的 高 ． 错 解 ： 图 ３， ０作 Ｏ 如 过 Ｅ上Ｃ Ｄ于 Ｅ， 延 长 Ｅ 交ＡＢ于Ｆ， 接 Ｏ Ｏ 则 Ｃ Ｏ 连 Ｃ、 Ｂ， Ｅ＝Ｄ ． Ｅ
Ａ Ｂ＝ 、了 ， ＝ 、 ， ／ ＡＣ ／ ／ ４Ｄ：丁 ３ Ｃ －
，
・ ． ．
Ａ Ｅ －
’
．
‘
ＯＡ ＝ １． ｓ ＯＡＤ － Ｄ －Ａ －
＝
－ 一
．
等，
图 ５
Ｃ
ｃｓ ｏ
Ｅ ＝
＝
ＯＡＥ ： ４５。 ．
’
． ．
ＯＡＤ ＝ ３ ． ０
‘ ． ．
鲋 Ｃ： ７ ． ５。
图 考试 …… … …． ．…… …． 圆 外 ．根 据 图形 可 求 出 圆 的 半 径 ．
正解 ： 当点 Ｐ 圆 外 时 ， 图 １ 在 如 ．
：
４ｍ ， ｃ ＰＢ ： ９ ｍ ， ｃ
Ａ
所 以Ａ Ｂ＝Ｐ Ｂ—Ｐ Ａ＝５ｍ， 径 为 ２ ｃ ｃ 半 ． ｍ； ５ 当 点Ｐ 圆 内 时 ， 图 ２ 在 如 ，
分类讨论在圆中的应用(圆专题 于群制作)
0
y C B Q P2
O A
H P1 C’
AB x
点在圆上位置不确定
例3、已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O 的弦，且AB=6cm， CD=8cm，AB∥CD，则AB 与CD之间的距离为 7cm 或 1cm ；
A
B A C B D
O
C
O
D
两弦与圆心的位置关系不确定
变式：已知：⊙O半径为1， AB、 AC ⊙O是弦， 3 AB= ，AC= ，∠BAC的度数为______ 2
r=1+t(t≥0)
(2)问点A出发后多少秒两圆相切？
M A B N
11 3
①当两圆第一次外切,由题意,可得11-2t=1+t+1,t=3； ②当两圆第一次内切,由题意,可得11-2t=1+t-1,t=
③当两圆第二次内切,由题意,可得2t-11=1+t-1,t=11; ④当两圆第二次外切,由题意,可得2t-11=1+t+1,t=13.
在圆中的应用
庄河一中 于群
一张矩形纸片有四个角,剪掉一个 角后，还剩几个角？
在解答某些数学问题时，因为存在一 些不确定的因素，无法用统一的方法解答， 或结论不能给出统一的表述，对这类问题， 我们依情况先分类、再逐类求解（即讨 论），最后归纳出结论，这就是分类讨论。
印象中，通常有哪些 问题需要分类讨论？
M A B N
M
A
2t
A′
B
N
当0≤t≤5.5时,函数表达式为d=11-2t;
M
A
B
2t
A′
N
当t＞5.5时,函数表达式为d=2t-11.
①当0≤t≤5.5时, 函数表达式为d=11-2t;
圆中分类讨论问题归类举例
圆中分类讨论问题一、点和圆的位置凡涉及点与圆的位置关系问题,在没有指明其位置时,应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形.例1.过不在⊙O 上的一点A,作⊙O 的割线,交⊙O 于B 、C,且AB ·AC ＝64,OA ＝10,则⊙O 的半径R 为______. 解:依题意,点A 与⊙O 的位置关系有两种:(1)点A 在⊙O 内,如图1,延长AO 交⊙O 于F,则A E R A F R =-=+1010， 由相交弦定理得:()()R R -+=101064,所以R =241(负值已舍去) (2)点A 在⊙O 外,如图2,此时A E R A F R=-=+1010， 由割线定理得:()()101064-+=R R 所以R =6(负值已舍去),故⊙O 的半径R 为241或6. 二、点与弦的相对位置例2.⊙O 是△ABC 的外接圆,OD ⊥BC 于D,且∠BOD ＝48°,则∠BAC ＝_________.解:(1)点A 和圆心O 在弦BC 同侧,如图3,可求得∠BAC ＝∠BOD ＝48°(2)点A 和圆心O 在弦BC 异侧,如图4,可求得∠BAC ＝132°三、弦所对的圆周角例3.半径为1的圆中有一条弦,如果它的长为3,那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________.解:弦所对的圆周角有两种情况:(1)当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时,其圆周角为60°;(2)当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时,其圆周角为120°.故应填60°或120°.四、平行弦与圆心的位置例4.在半径为5cm 的⊙O 中,弦AB ＝6cm,弦CD ＝8cm,且AB ∥CD,求AB 与CD 之间的距离.分析:两平行弦与圆心的位置关系一般有两种:两弦在圆心的同侧;两弦在圆心的异侧.解:过O 作AB 、CD 的垂线,分别交AB 、CD 于点E 、F,连接OA 、OC.在Rt △OAE 中,O E O A A E c m =-=-=2222534()在Rt △OCF 中,O F O C C F c m =-=-=2222543()(1)当AB 、CD 在圆心O 的同侧时,如图5,AB 和CD 之间的距离为E F c m =-=431()(2)当AB 、CD 在圆心O 的异侧时,如图6,AB 和CD 之间的距离为E F c m =+=437()所以AB 和CD 之间的距离为1cm 或7cm.五、圆心与角的位置例5.在半径为1的⊙O 中,弦AB 、AC 的长分别为3和2,则∠BAC 的度数是____________.解:如图7,当圆心在∠BAC 内部时,连接AO 并延长交⊙O 于E在Rt △ABE 中,由勾股定理得:B E A E==112所以∠BAE ＝30° 同理,在Rt △CAE 中,EC ＝AC,所以∠EAC ＝45°,∠B A C =︒+︒=︒304575 当圆心O 在∠BAC 的外部时(∠BAC'),由轴对称性知:∠B A C '=︒-︒=︒453015,所以∠BAC 为75°或15° 六、点在弧上的位置例6.如图8,在平面直角坐标系中,P 是经过O(0,0),A(0,2),B(2,0)的圆上的一个动点(P 与O 、B 不重合),则∠OAB ＝_________度,∠OPB ＝_________度.解:依题意可知△AOB 是等腰直角三角形,所以∠OAB ＝45°当动点P 在O A B ⌒上时,∠OPB ＝∠OAB ＝45°当动点P 在O B ⌒上时,∠OPB ＝180°－45°＝135°故∠OPB 为45°或135°. 七、相交两圆的圆心与公共弦的位置例7.已知半径为4和22的两圆相交,公共弦长为4,则两圆的圆心距为_________.分析:相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况.解:如图9、图10,在R t O A C ∆1中,O C O A A C 1122224223=-=-= 在R t O A C ∆2中,()O C O A A C 2222222222=-=-= (1)当圆心O O 12、在公共弦AB 的同侧时,如图9,O O O C O C 1212232=-=-(2)当圆心O O 12、在公共弦AB 的异侧时,如图10,O O O C O C 1212232=+=+ 八、直线与圆的位置例8.两圆的半径分别为4和2,如果它们的两条公切线互相垂直,求两圆的圆心距.分析:两圆的公切线有内公切线和外公切线两种,公切线互相垂直,有三种情况.解:(1)当内公切线与外公切线垂直时,如图11,AB 切⊙O 1于A,切⊙O 2于B,EF 切⊙O 1于E,切⊙O 2于F,AB ⊥EF 于D.由切线定理,得:︒==︒==45,452211DFO DB O DE O DA O ∠∠∠∠ 所以∠，，O D OO DO D 1212904222=︒==,故有O O O D O D 121222210=+= (2)当内公切线垂直时,如图12,作O E l O D l 1221⊥，⊥,交点为E,则 ()()O O O E O E 12122222424262=+=+++=(3)当外公切线垂直时,如图13,作O E l O F l O G O E 122221⊥，⊥，⊥于G,则 ()()O O O G O G O E G E E F 1212221222242222=+=-+=-+=图8。
圆中的多解问题
圆中的多解问题圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。
解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。
这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。
1、点与圆的位置关系：例1、若点P到圆的最大距离为14cm，最短距离为6cm，求此圆半径。
（分两种情况）当点P在圆外，半径r=（14-6）÷2=4（cm）当点P在圆内，半径r=（14+6）÷2=10（cm）所以半径为4cm或10cm.2、圆中的平行弦间的距离：例2、在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6cm，弦CD＝8cm，且AB∥CD，求AB 与CD之间的距离。
分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。
由勾股定理易求得两弦在圆心同侧时，两弦间距为1cm；两弦在圆心异侧时，两弦间距为7cm。
3、弦所对圆周角：例3. 半径为2的圆中有一条弦，如果它的长为2，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。
解：弦所对的圆周角有两种情况：（1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为30°；（2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为150°。
故应填30°或150°。
4、弦所在的弓形高：例4.半径为10 cm的圆形水管，测得水面宽度为弦AB为12cm.计算水的最大深度。
解：水的最大深度有两种情况：（1）当弦所对的弧是优弧时，水的最大深度是14cm；（2）当弦所对的弧是劣弧时，水的最大深度是2cm。
5、两圆相切分内切、外切例5、已知两圆相切，一圆半径为2，另一圆半径为3，求两圆的圆心距。
(分内切、外切两种情况)答案应为1或5。
6.两圆相交公共弦的问题。
例6，半径为25和39的两圆相交，公共弦长30，则两圆的圆心距是。
(分圆心在公共弦的同侧或异侧)答案为16或56。
例7. 已知半径为4和的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。
用分类讨论思想解圆的多解问题
图 １
图２
点评
此类题很容易漏解． 应强调平 行弦与 圆心的
图５ 图６
位置关 系有两种．
例 ２ 在 ＱＯ中 ， 径 Ａ ２ 弦 Ａ ， Ａ 直 Ｂ＝ ， Ｃ： 弦 Ｄ＝
，
求 ｃ Ｄ的度数． Ａ
解
・ ． ‘
过 Ａ作 Ａ Ｄ上Ｂ Ｃ于 Ｄ， 连接 Ｏ ． Ｂ
：
分析
此题 应分 圆心在 Ｏ Ｄ的 内侧 和外侧 两种
一４ ：３ ．
弦 Ａ ＝６ Ｃ ＝８ ． Ｂ ＝３ Ｄ ＝４ ． Ｏ ＝ 日 ，Ｄ ，‘ Ｍ ． ，Ｎ ，． Ｍ
√
一３ ：４， ＯＮ ＝ √
部还是外部这样 的讨论 ， 在平 时教学 中不常见． 例 ３ 已知等腰 △ Ｃ内接于半径 为 ５的 ＱＯ， 如果
①两弦在 圆心的两侧时 ， 如图 １ ， 一ｌＭＮ＝ ３＝ ； ４＋ ７
：
分别 位于圆心两侧两种情况讨论．
别 为 ， ． Ⅳ
．
②Ｄ在 Ｏ Ｄ的外 侧时 ， 图 ４ ｃ Ｄ＝ ５ 一３ 。 如 ， Ａ ４ 。 ０
＝１ ． ５。
综上 ， ｃ Ｄ的度数 为 ７， 因为点（ 圆心 ） 在角的 内
２ 以优 弧 。 弧分 类 劣
图９
图 １ ０
１
① Ｃ在优弧上时， 如图９ ／ Ｃ ＿ Ｏ ６ 。 ， Ａ Ｂ＝ １／ Ｂ＝ ０ ； Ａ
二
② 点 Ｃ在 劣 弧上 时 ， 图 １ ， 如 ０
１
在一个圆中， 同一条 弦、 同一 个 圆周 角 所对 的弧 有
优弧劣弧之分 ， 因此需要分两种情况讨论．
解
‘ ． ‘
过 ０作 Ｏ Ｌ Ｂ于 Ｃ， Ｃ＿ Ａ 连接 Ｏ ． Ａ
圆中多解问题分类讨论.doc
圆中多解问题的分类讨论江苏朱元生圆是一种极为重要的几何图形，由于图形位置、形状及大小的不确定，经常出现多结论情况，解题时漏解出错时有发生。
解决这类问题，一定要仔细分析，慎密思考，分类讨论，逐一解答，切忌因思维定势或考虑不周而造成漏解。
现就圆中多解问题举例解析如下，供同学们参考：一、由于点与圆的位置关系的不确定而分类讨论1、点P到⊙O的最近距离为3cm，最远距离为13cm，求⊙O的半径.解析：点P既可能在⊙O的内部；也可能在⊙O的外部，如图，当点P在⊙O的内部时，由AB=PA+PB=16cm，得到⊙O的半径为8cm，当点P在⊙O的外部时，由AB=PBPA=10cm，得到⊙O的半径为5cm，从而得到⊙O的半径应为8cm或5cm。
二、由于点在圆周上位置关系的不确定而分类讨论例2、A、B是⊙O上的两点，且∠AOB=1360，C是⊙O上不与A、B重合的任意一点，那么∠ACB的度数是___________.解析：点C既可能在优弧AmB上，也可能在劣弧AB上，当点C1在优弧AmB上时，如图，∠AC1B=1∠AOB，从而得到∠AC1B=6802当点C2在劣弧AB上时，不难得到∠AC2B=1120。
所以∠ACB为680或1120.三、由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论3、横截面直径为100cm的圆形下水道，如果水面宽AB为80cm，求下水道中水的最大深度.解析：水面AB所对的弧既可能是劣弧，也可能是优弧，如图，当水面AB所对的弧是劣弧时，过圆心O作OE⊥AB，垂足为E，延长OE交⊙O于点F，那么BE=1AB=40cm，OB=50cm，由勾股定理可得2OE50240230cm此时水深EF OF OE503020〔cm〕当水面AB所对的弧是优弧时，同理可求得EF OF OE503080〔cm〕所以水的最大深度为20cm或80cm四、由于两弦与直径位置关系的不确定而分类讨论例4、⊙O的直径AB=2，过点A有两条弦AC=2，AD=3，求∠CAD的度数.解析：两弦既可能在直径的两侧，也可能在直径的同侧，如图，当两弦AC、AD在直径AB的两侧时，作OE⊥AC于点E，OF⊥AD于点F，那么cos∠CAO=2，cos∠DAO=3,22所以∠CAO=450，∠DAO=300，从而得到∠CAD=∠CAO+∠DAO=450+300=750，当两弦AC、AD在直径AB的同侧时，同理可得∠CAD=∠CAO-∠DAO=450-300=15.下面几道多解题，同学们不妨试一试：1〕一条弦把圆分成2：3两局部，这条弦所对的圆周角为2〕△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，假设⊙O的半径为5，圆心到BC的距离为3，那么AB的长度为3〕在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长8cm，另一条弦长6cm，那么这两条平行弦之间的距离是参考答案：〔1〕圆周角为720或1080；〔2〕AB的长度为45或25；〔3〕距离为7cm或1cm；。
专题14 圆中的两解及多解问题分类讨论思想)归类集训-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练
专题14 圆中的两解及多解问题（分类讨论思想）归类集训（解析版）类型一讨论弦上某点或端点的位置1．在半径为10的⊙O中，弦AB的长为16，点P在弦AB上，且OP的长为8，AP长为 ．思路引领：作OC⊥AB于点C，根据垂径定理求出OC的长，根据勾股定理求出PC的长，分当点P在线段AC上和当点P在线段BC上两种情况计算即可．解：作OC⊥AB于点C，∴AC=12AB＝8，由勾股定理得，OC=OA2―AC2=6，∴PC=OP2―OC2=27，当点P在线段AC上时，AP＝AC﹣PC＝8﹣27，当点P在线段BC上时，AP＝8+27，故答案为：8﹣27或8+27．总结提升：本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形、运用分情况讨论思想是解题的关键．2．（2021•无棣县模拟）已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC的长为（ ）A．25cm B．43cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm思路引领：分两种情况，根据题意画出图形，先根据垂径定理求出AM的长，连接OA，由勾股定理求出OM的长，进而可得出结论．解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM=12AB=12×8＝4（cm），OD＝OC＝5（cm），当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM=OA2―AM2=52―42=3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC=AM2+CM2=42+82=45（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得：OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC=AM2+CM2=42+22=25（cm）；综上所述，AC的长为45cm或25cm，故选：C．总结提升：本题考查的是垂径定理和勾股定理等知识，根据题意画出图形，利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．3．（2020•黑龙江）在半径为5的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP ＝ ．思路引领：如图1，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB，如图，根据垂径定理得到AE＝BE=12AB＝2，DF＝CF=12CD＝2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE＝1，同理可得OF＝1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到PA＝PC＝1，根据三角形面积公式求得即可．解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB，则AE＝BE=12AB＝2，DF＝CF=12CD＝2，如图1，在Rt△OBE中，∵OB=5，BE＝2，∴OE=OB2―BE2=1，同理可得OF＝1，∵AB⊥CD，∴四边形OEPF为矩形，∴PE＝PF＝1，∴PA＝PC＝1，∴S△APC=12×1×1=12；如图2，同理：S△APC=12×3×3=92；如图3，同理：S△APC=12×1×3=32；故答案为：12或32或92．总结提升：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．类型二圆心在两弦之间或者两弦之外4．（2021•商河县校级模拟）一下水管道的截面如图所示．已知排水管的直径为100cm，下雨前水面宽为60cm．一场大雨过后，水面宽为80cm，求水面上升多少？思路引领：分两种情形分别求解即可解决问题．解：作半径OD⊥AB交AB于C，连接OB，如图所示，由垂径定理得：BC=12AB＝30cm，在Rt△OBC中，OC=502―302=40cm，当水位上升到圆心以下，水面宽80cm时，则OC′=502―402=30cm，水面上升的高度为：40﹣30＝10cm；当水位上升到圆心以上时，水面上升的高度为：40+30＝70cm，综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．总结提升：本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．5．（1）半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于 ；（2）在半径为1的⊙O中，弦AB，AC的长分别为3和2，则∠BAC的度数是 ；（3）已知圆内接△ABC中．AB＝AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆的半径为7cm，求腰长AB．思路引领：（1）根据垂径定理求得AD的长，再根据三角形函数可得到∠AOD的度数，再根据圆周角定理得到∠ACB的度数，根据圆内接四边形的对角互补即可求得∠AEB的度数；（2）连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据垂径定理求出AE、FA值，根据解直角三角形的知识求出∠OAB和∠OAC，然后分两种情况求出∠BAC即可；（3）可根据勾股定理先求得BD的值，再根据勾股定理可求得AB的值．注意：圆心在内接三角形内时，AD＝10cm；圆心在内接三角形外时，AD＝4cm．解：（1）如图1，过O作OD⊥AB，则AD=12AB=12×3=32．∵OA＝1，∴sin∠AOD=ADOA=32，∠AOD＝60°．∵∠AOD=12∠AOB＝60°，∠ACB=12∠AOB，∴∠ACB＝∠AOD＝60°．又∵四边形AEBC是圆内接四边形，∴∠AEB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°．故这条弦所对的圆周角的度数等于60°或120度．故答案为：60°或120度．（2）解：有两种情况：①如图2所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝BE=32，AF＝CF=32，cos∠OAE=AEOA=32，cos∠OAF=AFOA=22，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝30°+45°＝75°；②如图3所示：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，由垂径定理得：AE＝BE=32，AF＝CF=22，cos∠OAE=AEOA=32，cos∠OAF=AFOA=22，∴∠OAE＝30°，∠OAF＝45°，∴∠BAC＝45°﹣30°＝15°，故答案为：75°或15°；（3）分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，如图4，假若∠A是锐角，△ABC是锐角三角形，连接OB，作AD⊥BC于D，连接OD，∵AB＝AC，∴AD是BC的中垂线，∴OD也是BC的中垂线，∴A、O、D三点共线，∵OD＝3cm，OB＝7cm，∴AD＝10cm，∴BD=OB2―OD2=210cm，∵OD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴AB=AD2+BD2=235cm；如图5，若∠A是钝角，则△ABC是钝角三角形，和图4解法一样，只是AD＝7﹣3＝4cm，∴AB=AD2+BD2=214cm，综上可得腰长AB＝235cm或214cm．总结提升：本题主要考查了垂径定理和勾股定理，注意分圆心在内接三角形内和在内接三角形外两种情况讨论，解题的关键是根据题意作出图形，求出符合条件的所有情况．类型三讨论点在优弧上或劣弧上6．（2022秋•双城区期末）已知⊙O的半径为2，弦AB的长为23，则弦AB的中点到这条弦所对的弧的中点的距离为 ．思路引领：由垂径定理得出AC，再由勾股定理得出OC，从而得出CD和CE的长．解：如图，∵C是弦AB的中点，AB＝23，∴OC⊥AB，AC=12AB=3，∴AD=BD，AE=BE，在Rt△AOC中，OC=22―(3)2=1，∴CD＝2﹣1＝1cm，CE＝2+1＝3．故答案为：1或3．总结提升：本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．8．（2021秋•凉州区校级期末）如图，AB、AC分别与⊙O相切于点B、C，∠A＝50°，点P是圆上异于B、C的一动点，则∠BPC的度数是 ．思路引领：此题分为两种情况，如图p点的位置有两个，所以∠BPC可能是锐角，也有可能是钝角，分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点．（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时，根据AB，AC与⊙O相切，结合已知条件，在△ABC中，即可得出圆心角∠COB的度数，根据同弧所对的圆周角为圆心角的一半，即可得出∠BP1C的度数；（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时，根据⊙O的内接四边形的性质，即可得出∠BP2C的度数．解：分别连接O、C；O、B；B、P1；B、P2；C、P1；C、P2各点，（1）当∠BPC为锐角，也就是∠BP1C时：∵AB，AC与⊙O相切于点B，C两点∴OC⊥AC，OB⊥AB，∵∠A＝50°，∴在△ABC中，∠COB＝130°，∵在⊙O中，∠BP1C为圆周角，∴∠BP1C＝65°，（2）如果当∠BPC为钝角，也就是∠BP2C时∵四边形BP1CP2为⊙O的内接四边形，∵∠BP1C＝65°，∴∠BP2C＝115°故答案为：65°或115°．总结提升：本题考查圆的切线性质，在解题过程中还要注意对圆的内接四边形、圆周角、圆心角的有关性质的综合应用．类型四弦所对的圆周角7．（2018秋•泗阳县期中）若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则该弦所对的圆周角等于 ．思路引领：圆的一条弦把圆分成度数之比为1：3的两条弧，则所分的劣弧的度数是90°，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于45°，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于135°．解：如图，弦AB将⊙O分成了度数比为1：3两条弧．连接OA、OB；则∠AOB＝90°；①当所求的圆周角顶点位于D点时，这条弦所对的圆周角∠ADB=12∠AOB＝45°；②当所求的圆周角顶点位于C点时，这条弦所对的圆周角∠ACB＝180°﹣∠ADB＝135°．故答案为：45°，135°．总结提升：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．9．（2020秋•溧阳市期末）已知△ABC是半径为2的圆内接三角形，若BC＝23，则∠A的度数为（ ）A．30°B．60°C．120°D．60°或120°思路引领：首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质，求得答案．解：如图，作直径BD，连接CD，则∠BCD＝90°，∵△ABC是半径为2的圆内接三角形，BC＝23，∴BD＝4，∴CD=BD2―BC2=2，∴CD=12 BD，∴∠CBD＝30°，∴∠A＝∠D＝60°，∴∠A′＝180°﹣∠A＝120°，∴∠A的度数为：60°或120°．故选：D．总结提升：此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．类型五讨论圆内接三角形的形状10．（2019•绥化）半径为5的⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝AC，连接OB、OC，延长CO交弦AB 于点D．若△OBD是直角三角形，则弦BC的长为 ．思路引领：如图1，当∠ODB＝90°时，推出△ABC是等边三角形，解直角三角形得到BC＝AB＝53，如图2，当∠DOB＝90°，推出△BOC是等腰直角三角形，于是得到BC=2OB＝52．解：如图1，当∠ODB＝90°时，即CD⊥AB，∴AD＝BD，∴AC＝BC，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠DBO＝30°，∵OB＝5，∴BD =32OB =532，∴BC ＝AB ＝53，如图2，当∠DOB ＝90°，∴∠BOC ＝90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，∴BC =2OB ＝52，综上所述：若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为53或52，故答案为：53或52．点睛：本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．101．已知等腰△ABC 的三个顶点都在半径为5的⊙O 上，如果底边BC 的长为8，求BC 边上的高．思路引领：从圆心向BC 引垂线，交点为D ，则根据垂径定理和勾股定理可求出，OD 的长，再根据圆心在三角形内部和外部两种情况讨论．解：连接AO 并延长交BC 于D 点，∵AB ＝AC ，∴AB =AC ，根据垂径定理得AD ⊥BC ，则BD ＝4，根据勾股定理得OD ＝3①圆心在三角形内部时，三角形底边BC 上的高＝5+3＝8；②圆心在三角形外部时，三角形底边BC 上的高＝5﹣3＝2．所以BC 边上的高是8或2．总结提升：本题综合考查了垂径定理和勾股定理在圆中的应用，因三角形与圆心的位置不明确，注意分情况讨论．类型六讨论点与圆的位置关系12．（2020•南通模拟）若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为 ．思路引领：点P可能在圆内，也可能在圆外；当点P在圆内时，直径为最大距离与最小距离的和；当点P在圆外时，直径为最大距离与最小距离的差；再分别计算半径．解：若⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b，若这个点在圆的内部或在圆上时，圆的直径为a+b，因而半径为a+b 2；当此点在圆外时，圆的直径是a﹣b，因而半径是a―b 2；故答案为：a+b2或a―b2．总结提升：本题考查了点与圆的位置关系，培养学生分类的思想及对点P到圆上最大距离、最小距离的认识．13．已知点P到⊙O的最长距离为6cm，最短距离为2cm．试求⊙O的半径长．思路引领：分两种情况进行讨论：①点P在圆内；②点P在圆外，进行计算即可解：①当P在⊙O外时，如图，∵P当⊙O的最长距离是为6cm，最短距离为2cm，∴PB＝6cm，PA＝2cm，∴AB＝4cm，∴⊙O的半径为2cm'；当P在⊙O内时，，此时AB＝8cm，⊙O的半径为4cm．即⊙O的半径长为2cm或4cm．解题秘籍：本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键．类型七讨论直线与圆的位置关系14．（2021•崇明区二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（ ）A．相离B．相交C．相切D．相交或相切思路引领：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．解：∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．总结提升：本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键．15．（2021秋•信都区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 ；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 ．思路引领：如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断．解：如图，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB=AC2+BC2=62+82=10，∵S△ABC=12•AC•BC=12•AB•CH，∴CH=24 5，∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，∴r的取值范围为r＜24 5，∵⊙C与AB边只有一个公共点，∴r的取值范围为6＜r≤8或r=24 5，故答案为：r＜245，6＜r≤8或r=245．总结提升：本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（衢州中考）如图，已知直线l的解析式是y=43x﹣4，并且与x轴、y轴分别交于A、B两点．一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动，当⊙C与直线l 相切时，则该圆运动的时间为（ ）A．3秒或6秒B．6秒C．3秒D．6秒或16秒思路引领：由y=43x﹣4可以求出与x轴、y轴的交点A（3，0）、B（0，﹣4）坐标，再根据勾股定理可得AB＝5，当C在B上方，根据直线与圆相切时知道C到AB的距离等于1.5，然后利用三角函数可得到CB，最后即可得到C运动的距离和运动的时间；同理当C在B下方，利用题意的方法也可以求出C 运动的距离和运动的时间．解：如图，∵x＝0时，y＝﹣4，y＝0时，x＝3，∴A（3，0）、B（0，﹣4），∴AB＝5，当C在B上方，直线与圆相切时，连接CD，则C到AB的距离等于1.5，∴CB＝1.5÷sin∠ABC＝1.5×53=2.5；∴C运动的距离为：1.5+（4﹣2.5）＝3，运动的时间为：3÷0.5＝6；同理当C在B下方，直线与圆相切时，连接CD，则C运动的距离为：1.5+（4+2.5）＝8，运动的时间为：8÷0.5＝16．故选：D．总结提升：此题首先注意分类讨论，利用了切线的性质和三角函数等知识解决问题．17．（2018•浦东新区二模）已知l1∥l2，l1、l2之间的距离是3cm，圆心O到直线l1的距离是1cm，如果圆O 与直线l1、l2有三个公共点，那么圆O的半径为 cm．思路引领：根据题意可以画出相应的图形，从而可以解答本题．解：如下图所示，设圆的半径为r如图一所示，r﹣1＝3，得r＝4，如图二所示，r+1＝3，得r＝2，故答案为：2或4．总结提升：本题考查直线和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．18．（2021秋•新荣区月考）综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个直角三角板和量角器，把量角器的中心O 点放置在AC 的中点上，DE 与直角边AC 重合，如图1所示，∠C ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，OD ＝3，量角器交AB 于点G ，F ，现将量角器DE 绕点C 旋转，如图2所示．（1）点C 到边AB 的距离为 245 ．（2）在旋转过程中，求点O 到AB 距离的最小值．（3）若半圆O 与Rt △ABC 的直角边相切，设切点为K ，求BK 的长．思路引领：（1）如图1，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，利用勾股定理求得AB ，再利用AB •CH ＝AC •BC ，即可求得答案．（2）当CD ⊥AB 时，点O 到AB 的距离最小，再由OH ＝CH ﹣OC ，即可求得答案．（3）分两种情况：①当半圆O 与BC 相切时，如图2，设切点为K ，连接OK ，运用勾股定理即可求得答案；②当半圆O 与AC 相切时，如图3，设切点为K ，连接OK ，运用勾股定理求得CK ，再利用勾股定理即可求得BK ．解：（1）如图1，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵∠ACB ＝90°，BC ＝6，AC ＝8，∴AB =AC 2+BC 2=62+82=10，∵CH ⊥AB ，∴AB •CH ＝AC •BC ，∴CH =AC ⋅BC AB=6×810=245，即点C 到边AB 的距离为245，故答案为：245.（2）∵O 为AC 的中点，∴OC =12AC =12×8＝4，当CD ⊥AB 时，点O 到AB 的距离最小，∴OH ＝CH ﹣OC =245―4=45，∴点O 到AB 距离的最小值为45．（3）①当半圆O 与BC 相切时，如图2，设切点为K ，连接OK ，∴∠OKC ＝90°，在Rt △OCK 中，OK ＝3，OC ＝4，∴CK =OC 2―OK 2=42―32=7，∴BK ＝BC ﹣CK ＝6―7；②当半圆O 与AC 相切时，如图3，设切点为K ，连接OK ，∴∠OKC ＝90°，在Rt △OCK 中，OK ＝3，OC ＝4，∴CK =OC 2―OK 2=42―32=7，在Rt △BCK 中，BK =BC 2+CK 2=62+(7)2=43；综上所述，BK 的长为7或43．解题秘籍：本题是几何综合题，考查了圆的性质，切线的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积，解题关键是熟练掌握旋转变换的性质等相关知识，运用分类讨论思想解决问题．。
例析分类讨论思想在圆中的应用
例析分类讨论思想在圆中的应用由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；既具有对称任意性，又具有旋转不变性，因此往往给解题带来一定的复杂性．为了避免在求解与圆有关的问题时出现漏解，本文将分类讨论思想在圆中的应用作相关归纳与分析，供同学们学习时参考．一、点与圆的位置关系不唯一性例1 已知点P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，点C 是⊙O 上的任意一点(不与A ，B 重合)．若∠APB=50°，求∠ACB 的度数．分析 解题时若对点C 位置理解不透，容易出现漏解的情况，须注意针对分点C 在优 弧与劣弧两种情况分类讨论．解析 如图1，连结OA 、OB ，∵P A ，PB 是⊙O 的两条切线，∴∠PAO=∠PBO=90°．∵∠APB=50°。
∴在四边形PA OB 中，∠AOB=360°一∠PA O 一∠APB 一∠PBO=130°．①若点C 在优弧AB 上，则∠ACB=12∠ AOB=65°； ②若点C 在劣弧AB 上，则∠ACB=12×(360°-130 °)=115°． ∴∠ACB 的度数为65°或115°．变式 已知点P 是⊙O 外一点，PA ，PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B ，点C 是⊙O 上的任意一点(不与A ，B 重合)．若∠APB=n °，求∠A CB 的度数．二、弦与弦的位置关系不唯一性例2 在半径为1的⊙O 中，弦BAC 的度数．分析 此题主要考查的是垂径定理和勾股定理，初学者多数只会做出一个解，要么求得15°，要么求得75°．实际上应全面考虑两弦与圆心的位置，分弦AB 与CD 在圆心O 的两侧与同侧两种情况讨论．解析 如图2，分别作O D ⊥AB ，O E ⊥A C ，垂足分别是D 、E ．∵OD ⊥AB ，OE ⊥A C ，∴AD=BD=2，AE=BE ，∴cos ∠DAO=AD AOcos ∠AEO = AE AO =2，∴∠DA O=45°，∠AEO=30°．当AB 与CD 在圆心O 的两侧时，∠BA C=∠BAO+∠CAO=75°；当AB 与CD 在圆心O 的同侧时，∠BA C=∠BAO-∠CAO=15°，∴∠BAC 的度数为15°或75°．变式 如图3，已知AB 是⊙O 的直径，AB=2，弦在图中画出弦AD ，使AD=1，并求∠CAD 的度数．三、弦与它所对圆周角的不唯一性例3 圆的一条弦长等于它的半径，求这条弦所对的圆周角的度数．分析 多数学生只是求出30。
圆中常见分类讨论问题归类
圆中常见分类讨论问题归类
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。
一、点和圆的位置
凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。
例1.过不在⊙O上的一点A，作⊙O的割线，交⊙O于B、C，且AB·AC＝64，OA＝10，求⊙O的半径R 。
二、点与弦的相对位置
例2.⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于D，且∠BOD＝48°，求∠BAC的度数。
三、弦所对的圆周角
例3.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。
四、平行弦与圆心的位置
例4.在半径为5cm的⊙O中，弦AB＝6cm，弦CD＝8cm，且AB∥CD，求AB与CD 之间的距离。
五、圆心与角的位置
例5.在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，求∠BAC的度数。
六、点在弧上的位置
例6.如图8，在平面直角坐标系中，P是经过O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P与O、B不重合），则∠OAB＝_________度，∠OPB＝_________度。
七、相交两圆的圆心与公共弦的位置
例7.已知半径为4和22的两圆相交，公共弦长为4，则两圆的圆心距为_________。
八、直线与圆的位置
例8.两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。
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圆中分类讨论问题归类举例
三十七中学 张晓君
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。
解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。
这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。
本文就近年中考题举例说明如下。
一、点和圆的位置
凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。
例1.过不在⊙O 上的一点A ，作⊙O 的割线，交⊙O 于B 、C ，且AB ·AC ＝64，OA ＝10，则⊙O 的半径R 为___________。
解：依题意，点A 与⊙O 的位置关系有两种：
（1）点A 在⊙O 内，如图1，延长AO 交⊙O 于F ，则
AE R AF R =-=+1010，
由相交弦定理得：()()R R -+=101064 所以R =241（负值已舍去） （2）点A 在⊙O 外，如图2，
此时AE R AF R =-=+1010，
由割线定理得：()()101064-+=R R
所以R =6（负值已舍去）
故⊙O 的半径R 为241或6。
二、点与弦的相对位置
例2.⊙O 是△ABC 的外接圆，OD ⊥BC 于D ，且∠BOD ＝48°，则∠BAC ＝_________。
解：（1）点A 和圆心O 在弦BC 同侧，如图3，可求得∠BAC ＝∠BOD ＝48°
（2）点A 和圆心O 在弦BC 异侧，如图4，可求得∠BAC ＝132°
三、弦所对的圆周角 例3.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为3，那么这条弦所对的圆周角的度数等于___________。
解：弦所对的圆周角有两种情况：
（1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为60°；
（2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为120°。
故应填60°或120°。
四、平行弦与圆心的位置
例4.在半径为5cm 的⊙O 中，弦AB ＝6cm ，弦CD ＝8cm ，且AB ∥CD ，求AB 与CD 之间的距离。
分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。
解：过O 作AB 、CD 的垂线，分别交AB 、CD 于点E 、F ，连接OA 、OC.
在Rt △OAE 中，OE OA AE cm =-=-=2222534()
在Rt △OCF 中，OF OC CF cm =
-=-=2222543() （1）当AB 、CD 在圆心O 的同侧时，如图5，AB 和CD 之间的距离为
EF cm =-=431()
（2）当AB 、CD 在圆心O 的异侧时，如图6，AB 和CD 之间的距离为
EF cm =+=437()
所以AB 和CD 之间的距离为1cm 或7cm 。
五、圆心与角的位置
例 5.在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 的长分别为3和2，则∠BAC 的度数是____________。
解：如图7，当圆心在∠BAC 内部时，连接AO 并延长交⊙O 于E
在Rt △ABE 中，由勾股定理得：BE AE ==
112
所以∠BAE ＝30°
同理，在Rt △CAE 中，EC ＝AC ，所以
∠EAC ＝45°，∠BAC =︒+︒=︒304575
当圆心O 在∠BAC 的外部时（∠BAC'），由轴对称性可知： ∠BAC '=︒-︒=︒453015
所以∠BAC 为75°或15°
六、点在弧上的位置
例6.如图8，在平面直角坐标系中，P 是经过O （0，0），A （0，2），B （2，0）的圆上的一个动点（P 与O 、B 不重合），则∠OAB ＝_________度，∠OPB ＝_________度。
解：依题意可知△AOB 是等腰直角三角形，所以∠OAB ＝45° 当动点P 在OAB ⌒
上时，∠OPB ＝∠OAB ＝45° 当动点P 在OB ⌒上时，∠OPB ＝180°－45°＝
135°
故∠OPB 为45°或135°。
七、相交两圆的圆心与公共弦的位置
例7.已知半径为4和22的两圆相交，公共弦
长为4，则两圆的圆心距为_________。
分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。
解：如图9、图10，
在Rt O AC ∆1中，O C O A AC 1122224223=
-=-= 在Rt O AC ∆2中，()O C O A AC 2222222222=-=-=
（1）当圆心O O 12、在公共弦AB 的同侧时，如图9
O O O C O C 1212232
=-=-
（2）当圆心O O 12、在公共弦AB 的异侧时，如图10 O O O C O C 1212232=+=+
图8
八、直线与圆的位置
例8.两圆的半径分别为4和2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。
分析：两圆的公切线有内公切线和外公切线两种，公切线互相垂直，有三种情况。
解：（1）当内公切线与外公切线垂直时，如图11，AB 切⊙O 1于A ，切⊙O 2于B ，EF 切⊙O 1于E ，切⊙O 2于F ，AB ⊥EF 于D 。
由切线定理，得： ∠∠∠∠O DA O DE O DB O DF 11224545==︒
==︒ 所以∠，，O DO O D O D 1212904222=︒== 故有O O O D O D 121222210=+=
（2）当内公切线垂直时，如图12，作O E l O D l 1221⊥，⊥，交点为E ，则 ()()O O O E O E 12122222424262
=+=+++=
（3）当外公切线垂直时，如图13，作O E l O F l O G O E 122221⊥，⊥，⊥于G ，则 ()()O O O G O G O E GE EF 121222122
2242222=+=-+
=-+=.。