切线长导学案

公开课《切线长定理》导学案定稿

九年级数学《切线长定理》导学案学习目标：1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点：切线长定理的应用学习过程：一、知识回顾： 1. 切线的性质是什么：二、引入新课：过圆上一点做圆的切线你能画出几条？三、课内探究：1.切线长的定义2.切线长定理：如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。

定理叙述：该定理用数学符号语言叙述为：∵ ∴例1：已知如图，Rt △ABC 的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F ，求⊙O 的半径。

由例1及拓展得到的结论：四.想一想：四边形ABCD 的四条边都与⊙O 相切，切点分别为点E 、F 、G 、H ，图中的线段之间有哪些等量关系？说说你的理由。

五．应用巩固1.如图,从☉O 外一点P 引圆的两条切线PA,PB,切点分别是A,B,如果 ∠APB=60°,线段PA=8,那么弦AB 的长是2.如图,PA,PB 是☉O 的两条切线,切点是 A,B,连接AB 与OP 交于点 C,则下列结论中不一定正确的是（）3.(2016 ·德州中考)«九章算术»是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步,问勾中容圆径几何?”其意思是:“今有直角三角形,勾(短直角边)长为8步,股(长直角边)长为15步,问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆）直径是多少？ A.3步 B.5步 C.6步 D.7步_ www. czsx. com . cn_ PFBEC A4.（杭州）如图，一圆内切四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为（） A ．50 B ．52 C ．54 D ．565（2013•天津）如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，若∠P=70°，则∠C 的大小为度．6.（2016•重庆校级二模）如图，PA 和PB 是⊙O 的切线，点A 和B 是切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P=40°，则∠ACB 的大小是（） A ．60° B ．65° C ．70° D ．75° 7如图，PA 与PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 是上任意一点，过C 作⊙O 的切线交PA 及PB 于D 、E 两点，若PA=PB=5cm ，求△PDE 的周长．（第4题）（第5题）（第6题）（第7题）六．小测试1.如图1,PA,PB 是☉O 的两条切线,切点是 A,B,线段PA=6cm,那么PB 的长是2.如图2，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ， EF 切⊙O 于C 点，分别交P A 、PB 于点E 、F ，已知PA=7cm ，则△PEF 的周长等于_________．3如图3，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）． A ．60° B ．75° C ．105° D ．120°（第2题图）第3题4.如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，∠OAB=30°．（1）求∠APB 的度数；（2）当OA=3时，求AP 的长．5（2014河南中考）如图,CD 是⊙O 的直径，且CD=2cm ，点P 为CD 的延长线上一点，过点P 作⊙O 的切线PA 、PB ，切点分别为点A 、B.（1）连接AC,若∠APO ＝30°，试证明△ACP 是等腰三角形；（2）填空：①当DP= cm 时，四边形AOBD 是菱形； ②当DP= cm 时，四边形AOBP 是正方形．B。

初三数学切线长定理导学案

初三数学切线长定理导学案【】初三数学切线长定理导学案经过学习对例题的剖析，培育先生剖析总结效果的习气，提高先生综合运用知识解题的才干，培育数形结合的思想.1、教材剖析(1)知识结构(2)重点、难点剖析重点：切线长定理及其运用.因切线长定理再次表达了圆的轴对称性，它为证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系等提供了实际依据，它属于工具知识，经常运用，因此它是本节的重点.难点：与切线长定理有关的证明和计算效果.如120页练习题中第3题，它不只运用切线长定理，还用到解方程组的知识，是代数与几何的综合题，先生往往不能很好的把知识连接起来.2、教法建议本节内容需求一个课时.(1)在教学中，组织先生自客观察、猜想、证明，并深入剖析切线长定理的基本图形;对重要的结论及时总结;(2)在教学中，以观察猜想证明剖析运用归结为主线，展开在教员组织下，以先生为主体，活动式教学.教学目的1.了解切线长的概念，掌握切线长定理;2.经过对例题的剖析，培育先生剖析总结效果的习气，提高先生综合运用知识解题的才干，培育数形结合的思想.3.经过对定理的猜想和证明，激起先生的学习兴味，调动先生的学习积极性，树立迷信的学习态度.教学重点:切线长定理是教学重点教学难点:切线长定理的灵敏运用是教学难点教学进程设计:〔一〕观察、猜想、证明，构成定理1、切线长的概念.P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．引导先生了解：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量;切线长是线段的长，这条线段的两个端点区分是圆外一点和切点，可以度量.2、观察应用电脑变化点P 的位置，观察图形的特征和各量之间的关系.3、猜想引导先生直观判别，猜想图中PA能否等于PB. PA=PB.4、证明猜想，构成定理.猜想能否正确。

需求证明.组织先生剖析证明方法.关键是作出辅佐线OA，OB，要证明PA=PB.想一想：依据图形，你还可以失掉什么结论?OPA=OPB等.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．5、归结：把前面所学的切线的5条性质与切线长定理一同归结切线的性质6、切线长定理的基本图形研讨说明：对基本图形的深入研讨和看法是在学习几何中关键，它是灵敏运用知识的基础.〔二〕运用、归结、反思例1、：P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径.求证：AC∥OP.剖析：从条件想，由P是⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A，B是切点可得PA=PB，APO=BPO，又由条件BC是直径，可得OB=OC，由此联想到与直径有关的定理垂径定理和直径所对的圆周角是直角等.于是想到能够作辅佐线AB.从结论想，要证AC∥OP，假设连结AB交OP于O，转化为证CAAB，OP AB，或从OD为△ABC的中位线来思索.也可思索经过平行线的判定定理来证，可取得多种证法.证法一.如图.连结AB.PA，PB区分切⊙O于A，BPA=PBAPO=BPOOP AB又∵BC为⊙O直径ACABAC∥OP (先生板书)证法二.连结AB，交OP于DPA，PB区分切⊙O于A、BPA=PBAPO=BPOAD=BD又∵BO=DOOD是△ABC的中位线AC∥OP证法三.连结AB，设OP与AB弧交于点EPA，PB区分切⊙O于A、BPA=PBOP ABPOBAC∥OP反思：教员引导先生比拟以上证法，激起先生的学习兴味，培育先生灵敏运用知识的才干.例2、圆的外切四边形的两组对边的和相等.(剖析和解题略)反思：(1)例3理想上是圆外切四边形的一个重要性质，请先生记住结论.(2)圆内接四边形的性质：对角互补.P120练习：练习1 填空⊙O的半径为3厘米，PO=6厘米，PA，PB区分切⊙O于A，B，那么PA=_______，APB=________练习2 ：在△ABC中，BC=14厘米，AC=9厘米，AB=13厘米，它的内切圆区分和BC，AC，AB切于点D，E，F，求AF，AD 和CE的长.剖析：设各切线长AF，BD和CE区分为x厘米，y厘米，z厘米.后列出关于x , y，z的方程组，解方程组便可求出结果.(解略)反思：解这个题时，除了要用三角形内切圆的概念和切线长定理之外，还要用到解方程组的知识，是一道综合性较强的计算题.经过对此题的研讨培育先生的综合运用知识的才干.〔三〕小结1、提出效果先生归结(1)这节课学习的详细内容;(2)学习用的数学思想方法;(3)应留意哪些概念之间的区别?2、归结基本图形的结论3、学习了用代数方法处置几何效果的思想方法. 〔四〕作业教材P131习题7.4A组1.(1)，2，3，4.B组1题。

2016年春季新版浙教版九年级数学下学期2.2、切线长定理导学案1

切线长定理
学习目标重点难点
1、经历切线长定理的探索过程 2、掌握切线长定理 3、会运用切线长定理解决有拳几何证明和计算等问题重点：切线长定理及其应用难点：切线长定理的应用【课前自学课堂交流】
一、认真阅读课本 P45 页~46 页的内容完成下列问题：切线长：从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做 1．画一画过圆外点 P 画圆 O 的切线。（1）思考能画几条？（2）这两条切线的长度在什么关系？切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长几何语言: PA、PB 与⊙O 分别相切于点 A、B→ 。 .
M N A O B
【作业】见作业本（2）【反思】说说你在这一节课中的收：在⊙O 中， AC、 BC 分别为⊙O 的切线， A、 B 为切点，已知∠ACB=60°， OC=100cm，
A
求 C 到⊙O 的切线长。
2、已知⊙O 的半径为 5，P 是⊙O 外一点，PO=10，求点 P 到⊙O 的切线长和两切点间的劣弧长。
3、已知：在⊙O 中，弦 AB 垂直平分半径 ON,过点 A、B 的切线相交于点 M，求证△ABM 为等边三角形。
O P
如图：若从⊙O 外的一点引两条切线 PA，PB，切点分别是 A、B，连结 OA、OB、OP，你还能发现什么结论？定理拓展若 PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点，直线 OP 交于⊙O 于点 D、E，交 AB 于 C。（1）写出图中所有相等的线段：（2）写出图中所有相等的弧：（3）写出图中所有的垂直关系：（4）写出图中所有的等腰三角形：（5）写出图中所有的全等三角形：二、课中交流

《24.2.2 第3课时切线长定理》教案、导学案、同步练习

《第3课时切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

九年级数学下册 3_7 切线长定理导学案(新版)北师大版

AOB P第三章圆第7节切线长定理【学习目标】1、了解切线长的概念．2、理解切线长定理【学习重难点】能熟练运用相关性质解决问题【学习过程】模块一预习反馈一、知识回顾1、直线和圆的位置关系有哪些？它们所对应的数量关系又是怎样的？判断直线与圆相切有哪些方法？2、您知道角平分线的性质和判定定理吗？二、自主学习看书94页—95页后，解答下列问题：1、切线长概念：经过圆外一点作圆的切线，这点和之间的线段长，叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理：从圆外一点可以引圆的条切线，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的夹角。

即：如上中，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，则PA= ，∠APO= 。

试证明：3、内切圆：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的，它的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的三角形实践练习:如图，已知AB为⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C为切点，∠BAC=30°．（Ⅰ）求∠P的大小；（Ⅱ）若AB=2，求PA的长（结果保留根号）．【我的疑惑】模块二合作探究探究1、如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm,CA=13cm,求AE、BD、CF的长。

探究2、如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB=60°．求：（1）PA的长；（2）∠COD的度数．•A B P C E F •O B A C PO模块三、小结反思1.本课知识：（1）、与三角形各边都＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的圆叫三角形的内切圆；内切圆的圆心叫＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；这个三角形叫做＿＿＿＿＿＿＿＿。

（2）、内心的性质：（3）、如何作△ABC 的内切圆？2.方法：模块四：形成提升 1、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ， EF 切⊙O 于C 点，分别交PA 、PB 于点E 、F ，已知PA=7cm ，则△PEF 的周长等于________． 2、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=_________．【拓展延伸】1、如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，连接PO 与⊙O 相交于C ，连接AC 、BC ，求证：AC=BC ．2.如图所示，AB是⊙O的直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若∠AEC=∠ODB．（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．组长评价：你认为该成员这一节课的表现：（A）很棒( B)一般(C) 没发挥出来(D)还需努力.家长签名：。

九年级上册《直线与圆的位置关系(二)弦切角定理及切线长定理》导学案

§10 直线与圆的位置关系（二）---------弦切角定理及切线长定理◆导学目标：1、了解弦切角概念，理解并掌握弦切角定理2、了解切线长概念，探索过圆外一点向圆引的两条切线的切线长之间的关系 ◆课前预习：通过预习，解决下列问题：1、弦切角是指2、弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的3、叫切线长，过圆外一点向圆只能作条切线，这点与切点之间的线段长◆课堂导学：例1 如图，已知AC 切⊙O 于A ，CB 顺次交⊙O 于D ，B 点，AC=6，BD=5．连结AD ，AB ．（1）证明：△CAD ∽△CBA ；（2）求线段DC 的长.例2、如图所示,AB 是⊙O 的直径,CB,CE 分别切⊙O 于点B 、D,CE 与BA 的延长线交于点E,连接OC,OD.（1）求证: ⊿OBC ≌⊿ODC;（2）已知DE=a,AE=b,BC=c,请你思考后,选用以上适当的数,设计出计算⊙O 的半径的一种方案: ①你选用的已知数是________ ;②写出求解过程.（结果用字母表示.）◆当堂导练：1、如图，如图，直线AP 是⊙O 的切线，点P 为切点，∠APQ=∠CPQ，则图中与CQ 相等的线段是( )A 、PQB ．PBC ．PCD ．BQc baO E D C B A右手栏A B DO C2、如图，△ABC 内接于⊙O ，DE 是⊙O 的切线，切点为A ，如果∠ABC ＝50°，那么 ∠CAE 等于（）A ．40°B ．50°C ．60°D ．130°3、如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，过点D 的切线交BA 的延长线于点E ，若∠A DE=25°，则∠C=__________度．◆课后练习：基础练习1、如图，已知PA ，PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P=40°，则 ∠BAC 度数是（） A ．70° B ．40° C ．50° D ．20°2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AB 相切于E ，与AC 相切于C ，又⊙O 与BC 的另一交点为D ，试求线段BD 的长。

新人教版九年级数学上册导学案：24.2.1切线长定理

优质文档新人教版九年级数学上册导学案：24.2.1切线长定理课题24.2.1切线长定理课型探究课课时1（提示：假设符合条件的圆已经做出，那么它应当与三角形的三条边都相切，这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径。

如何找到这个圆心呢？）．并得出结论：与三角形各边都的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条的交点，叫做三角形的内心。

四、反馈提升[来源学科网]例1：如图△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm,求AF,BD,CE的长.五、达标测评1、如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O是内心，求∠AOC的度数。

[来源:学#科#网Z#X#X#K]2、△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积。

（提示：设内心为O，连接OA,OB,OC）总结与反思[来源学科网ZXXK]学法指导栏学习目标[来源学科网ZXXK]1．知道切线长的概念[来源:学科网ZXXK]2．理解切线长定理3．三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用学习重点知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念学习难点熟练掌握它的应用教师“复备栏”或学生“笔记栏”学习过程：一、情景引入或知识回顾知识准备三角形的外心：角平分线的性质定理：角平分线的判定定理：二、自主学习问题1：如图，纸上有一⊙O，PA为⊙O的一条切线，沿着直线po将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有说明关系？由探究得出结论：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的如上图，PA、PB是⊙O的两条切线，∴OA⊥AP, OB⊥BP.又OA=OB, OP=OP,在Rt△AOP和Rt△BOP中∴Rt△AOP≌Rt△BOP（）∴PA=PB, ∠OPA=∠OPB.（）由此得到切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条，它们的切线长，这一点和圆心的连线两条切线的 .三、问题探究如图，是一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？PAOPABOEDFOACBOB CA。

《切线长定理》导学案 2022年最新word版 (3)

*3.7 切线长定理学习目标：1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题.学习重点：切线长定理的理解学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：〔一〕探究切线长的定义：如以以下图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线.引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.跟踪训练：判断1. 圆的切线长就圆的切线的长度.〔〕2. 过任意一点总可以作圆的两条切线.〔〕〔三〕探究切线长定理：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，试指出图中相等的量，并证明.切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等.该定理用数学符号语言表达为：∵∴1. 如图，⊙O与△ABC的边BC相切，切点为点D，与AB、AC的延长线相切，切点分别为店E、F，那么图中相等的线段有_______________________________________________________.2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，切线长为18，那么从这点到圆的最短距离为________.3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°.那么∠P=________.四、典例解析：例：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=PB=4cm，∠P=40°，C 是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：〔1〕△PDE的周长；〔2〕∠DOE的度数.稳固训练：1.如图，PC是⊙O的切线，C是切点，PO交⊙O于点 A，过点A的切线交 PC于点D，CD∶DP = 1∶2，AD=2cm，求⊙O的半径.2.如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，BC是直径. 〔1〕求证：AC∥OP︵〔2〕如果∠APC=70°，求 AC的度数3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°.〔1〕求∠APB的度数；〔2〕当OA=3时，求AP的长.六、课堂小结：畅所欲言，查漏补缺第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。

切线长定理练习导学案参考答案

P B AO切线长定理练习导学案参考答案◆随堂检测1. C2. B (提示：②④错误)3. 760 （提示：连接ID,IF ∵∠DEF=520 ∴∠DIF=1040 ∵D 、F 是切点 ∴DI ⊥AB,IF ⊥AC∴∠ADI=∠AFI=900 ∴∠A=1800-1040=760）4. 52 (提示：AB+CD=AD+BC)5. 1150 (提示：∵∠A=500 ∴∠ABC+∠ACB=1300 ∵OB,OC 分别平分∠ABC,∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=650∴∠BOC=1800-650=1150)◆课下作业●拓展提高1. D （提示：AD=AF,BD=BE,CE=CF ∴周长=821218⨯+⨯=）2. C3. D4. 解：∵AD,AE 切于⊙O 于D,E ∴AD=AE=20 ∵AD,BF 切于⊙O 于D,F ∴BD=BF 同理：CF=CE∴C △ABC =AB+BC+AC=AB+BF+FC+AC=AB+BD+EC+AC=AD+AE=405. 解：连接BC ∵PA,PB 切⊙O 于A,B ∴PA=PB ∵∠P=600 ∴△ABC 是正三角形 ∵∠PAB=600∵PA 是⊙O 切线 ∴CA ⊥AP ∴∠CAP=900 ∴∠CAB=300 ∵直径AC ∴∠ABC=900 ∴cos300=AB AC∴AB=636. 解：（1）∵在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°∴∠AOB ＝180°－2×30°＝120°∵PA 、PB 是⊙O 的切线∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ．即∠OAP ＝∠OBP ＝90°∴在四边形OAPB 中，∠APB ＝360°－120°－90°－90°＝60°．（2）如图①，连结OP∵PA 、PB 是⊙O 的切线 ∴PO 平分∠APB ，即∠APO ＝12∠APB ＝30° 又∵在Rt △OAP 中，OA ＝3， ∠APO ＝30°∴AP ＝tan 30OA °＝37. 解：（1）连接OD ∴OD ⊥AC∴△ODA 是Rt △设半径为r ∴AO=r+2 ∴（r+2）2—r 2=16解之得：r=3 ∴BE=6(2) ∵∠ABC=900 ∴OB ⊥BC ∴BC 是⊙O 的切线∵CD 切⊙O 于D ∴CB=CD 令CB=x ∴AC=x+4，BC=4，AB=x ，AB=8 ∵2228(4)x x +=+ ∴6x =∴S △ABC =186242⨯⨯= ●体验中考1. C2. A （提示：∠MPN=600可得∠OPM=300 可得OP=2OM=50）3. 510连接OB ，易得：∠ABC=∠AOB ∴cos ∠AOB=cos ∠35=10OB OA =）4. ∠P=600B A O。

青岛版3.4切线长定理导学案

3.4直线和圆的位置关系第4课时《切线长定理》导学案学习目标1、了解切线长的概念。

2、理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明学习重点理解切线长定理，并能熟练运用切线长定理进行解题和证明学习难点熟练运用切线长定理进行解题和证明学习过程一、自学新知：1自学教材自学教材P 96---P 98，思考下列问题（1）你知道什么是切线长吗？切线长和切线有区别吗？区别在哪里？（2）通过探究可得切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_________相等，这一点和圆心的连线平分__________________．（3）你知道如何证明切线长定理吗？如图，已知PA 、PB 是⊙O 的两条切线．求证：PA=PB ，∠OPA=∠OPB ．证明：（4）若PO 与圆相分别交于C 、D,连接AB 于PO 交于点E,图中相等的线段有，相等的角有，相等的弧有，互相垂直的线段有，全等的三角形有。

二、例题解析课本P97页例4 学生自主完成，与课本对照。

三、当堂反馈1、如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，（1）若PB=12，PO=13，则AO= .（2）若PO=10，AO=6，则PB= ；（3）若PA=4，AO=3，则PO= ；PD= ；2.如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，直线EF 也是⊙O 的切OB A P O B A PB AC DP OB AC P O 线，切点为Q ，交PA 、PB 为E 、F 点，已知12PA cm =，求△PEF 的周长.三、课堂检测1.已知：如图，P 为⊙O 外一点，PA ，PB 为⊙O 的切线，A 和B 是切点，（1）若PA=3cm ，则PB= cm 。

（2）若PA=12-x ，PB=5+x ，则x =（3）若⊙O 的半径为3，∠APB=60°，则PA=2.如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，C 为劣弧AB 上一点，∠APB=30°，则∠ACB=（）． A ．60° B ．75° C ．105° D ．120°3．如图，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B ，并与圆O 的切线，分别相交于C 、D ，•已知PA=7cm ，求△PCD 的周长．4．已知：如图，从两个同心圆O 的大圆上一点A ，作大圆的弦AB 切小圆于C 点，大圆的弦AD 切小圆于E 点．求证：(1)AB=AD ； (2)DE=BC ．四、收获1.基础知识：2.基本技能：3.基本活动经验：4.基本数学思想：五、布置作业六、教学反思 B A P O。

九年级数学《切线长定理》导学案

九年级数学《切线长定理》导学案学习目标：1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点：切线长定理的理解学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：（一）探究切线长的定义：如下图，已知⊙o及⊙o外的一点P，PA与⊙o相切于A点，连接OA、OP，如果将⊙o沿直线OP翻折，与A点重合的点B在圆上吗？如果在，PB 是⊙o的切线吗？为什么？P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

跟踪训练：判断1. 圆的切线长就圆的切线的长度。

（）2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。

（）3.从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等（）（三）探究切线长定理：若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结论？并证明你所发现的结论。

切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。

该定理用数学符号语言叙述为：∵∴跟踪训练：1. 如图，⊙O与△ABC的边BC相切，切点为点D ，与AB、AC的延长线相切，切点分别为店E、F，则图中相等的线段有__________________________ _____________________________。

2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，则从这点到圆的最短距离为________。

3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°。

则∠P=________。

四、典例解析：例：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切A EDFCBO于A、B两点，PA=PB=4cm，∠P=40°，C是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：（1）△PDE的周长；（2）∠DOE的度数。

《24.2.2 第3课时切线长定理》教案、导学案、同步练习

《第3课时切线长定理》教案【教学目标】1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．【教学过程】一、情境导入新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．二、合作探究探究点一：切线长定理【类型一】利用切线长定理求三角形的周长如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB于点E 、F ，切点C 在AB ︵上．若PA 长为2，则△PEF 的周长是________．解析：因为PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，所以PA ＝PB ，因为⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点为C ，所以EA ＝EC ，CF ＝BF ，所以△PEF 的周长PE ＋EF ＋PF ＝PE ＋EC ＋CF ＋PF ＝(PE ＋EC )＋(CF ＋PF )＝PA ＋PB ＝2＋2＝4. 【类型二】利用切线长定理求角的大小如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在⊙O 上，如果∠ACB ＝70°，那么∠OPA 的度数是________度．解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB ＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.【类型三】切线长定理的实际应用为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O 的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO ＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.探究点二：三角形的内切圆【类型一】求三角形的内切圆的半径如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．解析：如图，连接OD .由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以∠OCD ＝30°，OD ⊥BC ，所以CD ＝12BC ，OC ＝2OD .又由BC ＝2，则CD ＝1.在Rt △OCD 中，根据勾股定理得OD 2＋CD 2＝OC 2，所以OD 2＋12＝(2OD )2，所以OD ＝33.即⊙O 的半径为33. 方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．【类型二】求三角形的周长如图，Rt △ABC 的内切圆⊙O 与两直角边AB ，BC 分别相切于点D 、E ，过劣弧DE ︵(不包括端点D 、E )上任一点P 作⊙O 的切线MN 与AB 、BC 分别交于点M 、N .若⊙O 的半径为r ，则Rt △MBN 的周长为( )A ．r B.32r C ．2r D.52r 解析：连接OD ，OE ，∵⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC .又∵MD ，MP 都是⊙O 的切线，且D 、P 是切点，∴MD ＝MP ，同理可得NP ＝NE ，∴C Rt △MBN ＝MB ＋BN ＋NM ＝MB ＋BN ＋NP ＋PM ＝MB ＋MD ＋BN ＋NE ＝BD ＋BE ＝2r ，故选C. 三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.《第3课时切线长定理》教案【教学目标】：1、了解切线长定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关计算。

切线长定理导学案

切线长定理导学案一、导学1.导入课题：情景：如图(1)，纸上有一个⊙O, PA为⊙O的一条切线，沿着直线PO将纸对折，设与点A重合的点为点B.问题1：如图(2)，OB是⊙O的半径吗？PB是⊙O的切线吗？问题2：猜一猜图(2)中的PA与PB有什么关系？，∠APO与∠BPO有什么关系？这节课我们继续探讨圆的切线的性质——切线长定理(板书课题).2.学习目标：（1）知道什么是圆的切线长，能叙述并证明切线长定理.（2）会作三角形的内切圆，知道三角形内心的含义和性质.（3）能用切线长定理和三角形内心的性质来解决简单的问题.3.学习重、难点：重点：切线长定理及其运用.难点：切线长定理的应用及如何作三角形的内切圆.二、分层学习第一层次学习1.自学指导：⑴自学内容：探究切线长定理.⑵自学时间：8分钟.⑶自学方法：完成探究提纲.⑷探究提纲：①过⊙O外一点P画⊙O的切线.动手画图，看看这样的切线能作几条？②在经过圆外一点的圆的切线上，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做这点到圆的切线长，如图的线段＿＿＿与线段＿＿＿的长就是点P到⊙O的切线长.③如图，可知PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？你能证明它们成立吗？④如图，分别用文字语言和几何语言写出切线长定理.文字语言：从圆＿＿一点引圆的＿＿＿条切线，它们的切线长＿＿＿，这一点和圆心的连线＿＿两条切线的＿＿＿.几何语言：∵PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.∴PA PB；OP平分 .2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：看学生能否顺利完成定理的证明.②差异指导：根据学情确定指导方案.（2）生助生：小组内相互交流、研讨.4.强化：⑴切线长定理及它的证明.⑵交流：在提纲④的几何图形中，若连接AB 交OP 于点C ，则图中有哪些垂直关系？哪些全等三角形？若设线段OP 与⊙O 的交点为D ，且PA ＝4，PD ＝2，你能求出⊙O 的半径长吗？第二层次学习1.自学指导：⑴自学内容：P99思考—P100.⑵自学时间：8分钟.⑶自学方法：阅读，画图，推理，猜想.⑷自学参考提纲：①如图，作与△ABC 的三边都相切的⊙I.因为⊙I 与BA,BC 都相切，所以点I 在∠ABC 的；因为⊙I 与CA,CB 都相切，所以点I 在∠ACB 的；所以点I 是与的交点.○a 作∠ABC 的，∠ACB 的，交于点I ； ○b 过I 作ID ⊥BC 于D ，以为圆心，为半径画圆，则⊙I 即为所求. ②三角形的内切圆是指，内切圆的圆心叫三角形的 .它是的交点，它到的距离都相等.③已知：在△ABC 中，BC=9cm ，AC=14cm ，AB=13cm ，它的内切圆分别和BC 、AC 、AB 切于点D 、E 、F ，求AF 、BD 和CE 的长.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生是否清楚三角形内切圆的作图思路.②差异指导：注意帮助学生理清前后知识间的联系.（2）生助生：生生互动，交流，研讨.4.强化：⑴三角形内切圆的作图和内心的概念和性质.⑵如图，△ABC 中，∠ABC=50°，∠ACB=75°，点O 是内心，求∠BOC 的度数．三、评价：1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题方法？2.教师对学生的评价：⑴表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、学习的方法、效果及存在的问题等.⑵纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）. AB C O。

导学案：圆-切线长定理

第8课时切线长定理、三角形的内切圆修改者：杨佳容【学习目标】1.理解切线长定理的条件和结论. 2.会作三角形的内切圆，了解内切圆的一些特性.【学习重点】切线长定理的应用. 【学习过程】一、学习准备1.直线与圆的三种位置关系有：、、 .2.直线和圆有交点时，这条直线叫做圆的切线.当直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于 . 3.切线的性质：圆的切线垂直于 . 二、教材解读 1.切线长定理圆的切线上某一点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长.如图1，PA ⊙O 的切线，A 为切点，则线段PA 就是点P 到⊙O 的切线长.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.已知：如图1，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，求证：PA = PB ，∠OPA =∠OPB . 证明：，即时练习1：如图2，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠BAC = 20°，求∠P 的度数.2．三角形的内切圆思考：有一张三角形的铁皮，如何在它上面截出一个面积最大的圆形铁皮？为了尽量应用这块铁皮，我们画出的圆与铁皮的边要刚刚相切才好.那么,会不会存在这样一个圆，它与这个三角形的三边都相切？如果存在，我们就可以最大化利用了这块三角形铁皮了.图1图2如图3，我们假设这样一个与三角形三边都相切的圆存在,我们看能不能找到它的圆心和半径.设点D 、E 、F 是切点，则有： OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，OF ⊥BC ，又根据切线长定理，则有：AD = AE ，BD = BF ，CF = CE ，而OD = OE = OF ，∴R t △ADO ≌Rt △AEO ，R t △BDO ≌Rt △BFO ，R t △CEO ≌Rt △CFO ， ∠DAO = ∠EAO ，∠DBO = ∠FBO ，∠ECO = ∠FCO ，∴AO 、BO 、CO 是△ABC 三条角平分线.∴圆心O 是就是三角形三条角平分线的交点，半径就是交点O 到三边的距离. 故存在这样的一个圆，它与三角形的三边都相切.定义：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆. 内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形三条内角平分线的交点. 即时练习2：（1）如图4，⊙O 是△ABC 的内切圆，与AB 、BC 、CA 分别相切于点D 、E 、F ，∠DOE =120°，∠EOF = 150°，则∠A = ，∠B = ，∠C = .（2）如图5，△ABC 的内切圆⊙O 与AC 、AB 、BC 分别相切于点D 、E 、F ，且AB = 5cm ，BC = 9cm ，AC = 6cm ，求AE 、BF 和CD 的长.（3）如图5，设△ABC 的内切圆半径为r ，△ABC 的的周长为l 、面积为S ，求证：S =rl 21.A BCDEF O 图4图3 ABC DE FO A CB D E F O · 图5图5 ABCDE FO三、反思小结1、切线的性质：2、切线的判定＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 3．弦切角的特征： 4. 切线长定理： 5. 三角形的“几心”知识回顾和整理：（1）三角形三个内角平分线的交点叫三角形的心，它的特点是：心到距离相等；（2）三角形三条边的垂直平分线的交点叫三角形的心，它的特点是：心到距离相等；（3）三角形三条中线的交点叫三角形的心，它的特点是： .（4）三角形三条高的交点叫三角形的心.ABCDEF O内心外心 ABC重心DEF 垂心A BCD E F OO ┐ ∥∥本课时达标检测一、基础巩固1．请你用尺规作图，作出三角形MNP 的内切圆.2.如图，△ABC 的内切圆⊙O 切AC 、AB 、BC 分别为D 、E 、F ，若AB = 9，AC = 7，CD = 2，求 BC 的长.二、知识拓展3．正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（）. A. 2 B. 3 C.3 D. 234.如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C = 90°，若AC = b ，BC = a ，AC = c ，则⊙O 的半径r 与a 、b 、c 的关系式为 .5. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的一条切线，过点C 另引一条⊙O 的切线交⊙O 于点D ，连接AD 、OC . 求证：AD ∥OC .三、能力提升6. △ABC 的周长为20cm ，面积为35cm 2，那么△ABC 的内切圆半径为 . 7．如图，PA 是⊙O 的切线，PO 的延长线交⊙O 于点E ，已知⊙O 的半径为3，PC = 4.求弦CE 的长.ABC· O 5题图DM 1题图 APECO· 7题图C A BD FE O · 2题图 ABbCO· 4题图┐c a。

2.5.3 切线长定理导学案

*2.5.3 切线长定理导学案【学习目标】1、理解切线长的概念。

2、掌握切线长定理，会利用切线长定理进行简单的计算。

【学习过程】一、课前抽测1、如图1所示，PA 切⊙O 于点A ，若∠APO=30°，OP=2，则⊙O 半径是。

2、如图2所示，已知OA 是⊙O 的半径，延长OA 到B ，使OA=AB ，BC 切⊙O 于C ，则∠B= 。

3、如图3所示，CD 切⊙O 于B ，CO 的延长线交⊙O 于A ，若∠C=36°，则∠ABD= 。

4、全等三角形的判定方法：、、、；直角三角形还可以用判定全等。

二、问题探究探究：切线长定理例1、如图,PA 、PB 分别切⊙O 于A,B,连接PO 与⊙O 相交于C,连接AC 、BC,求证:AC=BC 。

例2、如图,已知以直角梯形ABCD 的腰CD 为直径的半圆O 与梯形上底AD 、下底BC 以及腰AB 均相切,切点分别是D,C,E.若半圆O 的半径为2,梯形的腰AB 为5,则该梯形的周长是。

三、知识归纳1、切线长：经过圆外一点作圆外的切线，这一点与切点之间的线段的长，叫做切线长。

2、切线长定理：过圆外一点所画两条切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。

如图：切线长为、。

如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点根据切线长定理可得出： = ； = 。

图3 C P四、课堂检测1、如图所示，PA 切⊙O 于A ，PB 切⊙O 于B ，OP 交⊙O 于C ，下列结论中，错误的是( )A 、∠1＝∠2B 、PA ＝PBC 、AB ⊥OPD 、PC ＝OC23、如图,PA 、PB 是⊙O 的切线,切点为A 、B,若OP=4,PA=AOB 的度数为( )A 、60゜B 、90 ゜C 、120 ゜D 、无法确定4、如图，四边形ABCD 四条边都和⊙O 相切，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD 的周长为（）A 、50B 、52C 、54D 、565、如图8所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别是A 、B 。

2022年初中数学《切线长定理》导学案(推荐)

2.5.3 切线长定理学习目标：1. 理解切线长的定义；2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题.学习重点：切线长定理的理解学习难点：切线长定理的应用学习过程：一、知识准备：1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？2. 切线的判定和性质是什么？3. 角的平分线的判定和性质是是什么？二、引入新课：过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？三、课内探究：〔一〕探究切线长的定义：如以下列图，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线.P引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.〔二〕探究切线与切线长的区别和联系：跟踪训练：判断1. 圆的切线长就圆的切线的长度.〔〕2. 过任意一点总可以作圆的两条切线.〔〕〔三〕探究切线长定理：如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，试指出图中相等的量，并证明.切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等. 该定理用数学符号语言表达为：∵ ∴ 跟踪训练：1. 如图，⊙O与△ABC的边BC相切，切点为点D，与AB、AC的延长线相切，切点分别为店E、F，那么A 图中相等的线段有_______________________________________________________.2.从圆外一点向半径为9的圆作切线，切线长为18，那么从这点到圆的最短距离为________.3. 如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠ACB=70°.那么∠P=________.四、典例解析：例：如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B两点，PA=PB=4cm，∠P=40°，C是劣弧AB上任意一点，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB与点D、E，试求：〔1〕△PDE的周长；〔2〕∠DOE的度数.稳固训练：1.如图，PC是⊙O的切线，C是切点，PO交⊙O于点 A，过点A的切线交 PC于点D，CD∶DP = 1∶2，AD=2cm，求⊙O的半径.2.如图，P为⊙O外一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，BC是直径. 〔1〕求证：AC∥OP︵〔2〕如果∠APC=70°，求 AC的度数3.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB=30°.〔1〕求∠APB的度数；〔2〕当OA=3时，求AP的长.六、课堂小结：畅所欲言，查漏补缺5.1 频数与频率学习目标：1、通过掷硬币的实验理解频数与频率的概念及其意义；2、知道重复试验中，各试验结果的频数之和等于总次数，频率之和等于1；3、会用频数和频率解决实际问题，感受数学与生活的联系.学习过程：一、问题情境，引入课题你喜欢看小品吗？你最喜欢的小品明星是谁？下面是小明调查的八〔2〕班50位同学最喜欢的小品明星，结果如表： (其中A代表毕福剑，B代表赵本山，C代表小沈阳，D代表冯巩).根据上面的表，你能很快说出该班同学最喜欢的小品明星吗？你认为小明的数据表示方式好不好？你能设计出一个比较好的表示方式吗？下面是小丽根据小明的结果制成的图表，你能从中快速判断出该班同学最喜欢的小品明星吗？从上表可以看出，A，B，C，D出现的次数有的多，有的少，或者说它们出现的频繁程度不同.我们称每个对象频繁出现的次数为频数，如： A出现了23次，那么我们称A的频数为23而每个对象频繁出现的次数〔频数〕与总次数的比值为频率.如：A的频数为23，A的频率为:二、合作探究局部〔要求学生课内合作完成〕一次掷两枚大小一样的硬币的试验一枚硬币有两面，规定：硬币上有金额的一面为“正面〞，另一面为“反面〞.一次掷两枚大小一样的硬币，当硬币落下时，可能出现以下三种情形：A两枚硬币都是正面朝上；B两枚硬币都是反面朝上；C一枚硬币正面朝上，另一枚硬币反面朝上.究竟出现哪一种情形，在掷币之前无法预计，只有掷币后才能知道.现在对全班同学一次掷两枚硬币的游戏进行统计.〔要求：每人各掷两枚硬币一次，分组进行，然后把本组掷币的结果记录到下表中.〕〔各组组长负责监督完本钱组的表格〕全班同学做完一次掷两枚硬币的游戏之后进行全班汇总统计，并思考A、B、C发生的频数之和等于多少？频率之和等于多少？由此归纳：重复试验中，各试验结果的频数之和等于________，各试验结果的频率之和等于________.合作交流：独立完成后，在组长的组织下，组内学生相互沟通、相互讲解、相互补充、相互纠错.由老师指定人选代表汇报完成情况，并确认结论.三、随堂练习1、对某校八年级〔1〕班50名学生的年龄进行了调查，其中15岁的有2名，14岁的有45人，13岁的有3人，那么14岁的频数为，频率为2、某校八年级〔2〕班在一次数学单元测试中，分数段在90~100分的学生有15人，频率为0.3，那么该班有人.3、将一组数据分成4组，其中第一组的频率是0.3，第二组与第四组的频率之和是0.5，那么第三组的频率是独立完成后，组内讨论交流，核对四、课堂小结1、什么是频数和频率？2、如何计算频率呢?五、拓展延伸为了了解某种小麦麦穗的长度，科技人员抽测实验田麦穗的长度，列表如下:(1)填写出表中未完成局部:(2)长度在5.95~6.45cm的麦穗占总数的百分之几?六、作业设计同时掷大小两枚硬币的试验。

2020-2021学年浙教版数学九年级下册 2.2 切线长定理教案

导学案NO.【学习目标】1、知道切线长的概念。

2、会推导切线长定理，并理解切线长定理。

3、能熟练运用切线长定理进行解题和证明。

【学习重点】切线长定理的理解【学习难点】切线长定理的应用.一、基础预习（一）学习内容预习书本P70-71的内容。

（二）预习要点切线长定义1:如图,过⊙O外一点P作⊙O的切线,回答问题:(1)可作几条切线?(2)作切线的依据是什么?(3)切线长定义:从圆外一点作圆的切线,这___和_____之间的线段长叫做这点到圆的切线长. 探究切线长定理2.如图,PA、PB分别与⊙O相切于点A、B.求证:PA=PB,∠APO=∠BPO.二、展示提升1、1、如图，PA，PB分别为⊙O为的切线，PA=3cm，∠APB=60°，则∠APO= ，PB= ，∠AOP=2、如图,PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E,已知PA=6,求△PCD的周长.三、课后练习1.如图，PA、PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠P=40°,则∠BAC的度数是_____.第1题图第2题图2.如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B，如果∠APB=60°,PA=8，那么弦AB的长是_____.3.如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,直线OP交⊙O于点D,E,交BC于C,图中互相垂直的直线共有____对.第3题图第4题图4.如图,AD,DC,BC都与⊙O相切,且AD∥BC,则∠DOC=______.5. 已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径。

求证：AC∥OP。

四、知识梳理许市中学九年级数学教学案NO.课题：2.5.3切线长定理（2）备课日期教出时间主备人：使用人：审核：【教学目标】：1、知道切线长的概念。

2、会推导切线长定理，并理解切线长定理。

3、能熟练运用切线长定理进行解题和证明。

【教学重点】切线长定理理解【教学难点】切线长定理的应用.一、基础预习（一）学习内容预习书本P70-71的内容。

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