北京大学高等代数13年二期中考试题
北京大学高等代数 I_2013 期末答案
北京大学数学科学学院期末试题答案2013 -2014学年第 1 学期考试科目 高等代数I 考试时间 2014 年 1 月 2 日 姓 名 学 号一．（30分）填空题 .1. 已知 A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡01t 1t 101. 当 t = ±2 时, tr （A T A ）= 12 ； 当 t 取 t ≠ 0 值时, AX = 0 解空间的维数等于A 的秩 .2. 设A, B, C, D 为n 阶矩阵, 且A 可逆. 若有可逆的分块矩阵P , Q , 使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡E 00A Q D C B A P , 其中E 是n 阶矩阵, 则P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n 1nI CA 0I ,Q = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--n 1n I 0B A I (写出一种取法), 此时E = D – CA -1B .3．将矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡312451写成U D U -1的形式, U 为可逆矩阵, D 为对角矩阵, 则U =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1112, D = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡40001. (写出一种取法); 当k 趋于正无穷时,A k⎥⎦⎤⎢⎣⎡11趋于 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1232.4. 当 a 取 ( -1, 1 ) 值时, 三元二次型 f = x 12 + 2 x 22 + x 32 + 2 a x 1 x 2 – 2 x 2 x 3正定 ; 此时作变量替换 X = C Y , C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11100110011222a a a a , 可将 f 化为规范型.5. 在实数域上，以下诸矩阵的相抵分类是 {B} {ACD}, 相似分类 {AC}{B}{D} ; 合同分类 {A}{B}{C}{D}.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2t 2t 40200D 201020102C 000030013B 100121003A ,,, (t 取任意实数) 6. 在三维欧氏空间中取定一个中心在原点的正六面体 C , 则恰有 48_ 个3阶正交矩阵A , 使得线性变换 X → A X 保持C 整体不变(顶点映成顶点), 这些正交矩阵中又恰有 _16_ 个矩阵迹等于0 .二.（12分）已知 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010022102, 且A X + I = A T + X , 求矩阵X .解: 移项, 得 ( A －I ) X = A T －I , 对 [ A －I | A T －I ] 作行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10111011012021101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→101110132210021101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→233100132210021101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→233100334010212001 于是 X = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----233334212.三.（18分）设α 1 , α 2 , α 3 , α4是矩阵A = 的列向量.(1) 求子空间 V = < α1 , α2 , α3 , α4 > 的一组基底 ;(2) 当a , b 取何值时, 列向量 β = [ 1 a 2 b 1 + a ] T ∈ V , 此时β在 (1) 中基底下的坐标是什么?⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-96390011541310113202解: (1) 对矩阵A T 作行变换, 得到简化阶梯形⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=90513604023111091312A T ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→01201604023111031110⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→00000310000011030201 简化阶梯形矩阵的非零行构成A T 行空间的基底, 即β1 =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡30201 , β2 =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00110, β3 =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡31000 构成V 的`一组基.(2) 若 β = [ 1 a 2 b 1 + a ] T ∈ V , 则必有β = β1 + a β2 + b β3 . 比较第3, 第5个分量, 有 2 – a = 2 , 3 + 3b = 1 + a . 由此解得a = 0 , b = -2/3 .此时β在基底β1 , β2 , β3 下的坐标是 ( 1, 0, -2/3 ).四.（16分）判断对错, 正确的请给出证明, 错误的举出反例.1) 若A 是一个n 阶矩阵( n > 1 ), 则一定存在一个n 阶矩阵 B , 使得 B A 是 对角矩阵, 且B A 的秩等于A 的秩 . 解: 错误.反例: 取 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0011. 若有矩阵B, 使得B A 是非零的对角矩阵, 则 B A 011≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡-. 但这是不可能的, 因为011A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-.2) 若A 是m 阶正定矩阵, B 是n 阶正定矩阵, 则对任意m ⨯n 实矩阵C, 都有|B ||A |BCC A T≤.解: 错误.反例: 取 A = I 2 , B = I 2 , C = 2 I 2 , 则有1|B ||A |93000030021002011020*********201BC C AT =>=--==.五.（24分）设α1 , α2 , α3 是矩阵A = 的列向量. (1) 求 A T A 的特征值与特征向量 ;(2) 求正交矩阵 P 及对角矩阵D , 使得A T A = P D P T ;(3) 在欧氏空间R 4的所有2维子空间里, 求一个子空间V (写出V 的一组标准正交基), 使得 α1 , α2 , α3的顶点到V 的距离平方和为最小. 确定这个最小值并说明理由.解: (1) A T A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----542452222的特征多项式为942010422542110222542452222A A I T ----=-----=-----=-x x x x x x x x x x x ||= ( x － 1 )( x 2 －11 x + 10 ) = ( x －1 ) 2 ( x － 10 ) .故A T A 的特征值为1 (代数2重) 与 10 .⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100221010001解齐次方程组 ( A T A － I ) X = 0 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-000000221442442221I A A T , x 1 = -2 x 2 + 2 x 3 , x 2 , x 3为自由变量得 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10201222323232321x x x x x x x x x于是特征值1的特征子空间的一组基为 β1 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012, β2 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡102. 对β1 , β2 作Schmidt 正交化:β1 , β2 → β1 , β2 －),(),(1112ββββ β1 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡01254102 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡54251 , 再单位化, 得到特征值1特征子空间的一组标准正交基γ1 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-01251 , γ2 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡542531. 解齐次方程组 ( A T A － 10 I ) X = 0 , 对A T A － 10 I 作行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------=-000110102990452990990452114542452228I 10A A T ,容易看出, 特征值10 的特征子空间的一组基为β3 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-221 , 单位化后得到特征值10 特征子空间的标准正交基γ 3 = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-22131.(2) 由于 γ 1 , γ 2, γ 3构成3维欧氏空间的标准正交基,P = [ γ 1 γ 2 γ 3 ] = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--32535032534513153252 为正交矩阵. 令D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000010001 , 则有 A T A = P D P T ;(3) 设列向量组ξ 1 , ξ 2 是所求2维子空间V 的一组标准正交基,记 B = [ ξ 1 ξ 2 ]. 则α i 到V 的正交投影可表示为( α i , ξ 1 ) ξ 1 + ( α i , ξ 2 ) ξ 2 = ξ 1 ξ 1T α i + ξ 2 ξ 2T α i = BB T α i 由勾股定理, α i 到V 距离的平方为|| α i － BB T α i || 2 = || α i || 2 － || BB T α i || 2= α i T α i － α i T ( BB T )T ( BB T ) α i = α i T α i － α i T B B T α i这里用到ξ 1 , ξ 2 是单位正交向量组, 故有B T B = I 2 .于是α1 , α2 , α3 到V 距离的平方和为 Tr( A T A ) － Tr( A T B B T A ) . 欲使以上距离平方和最小, 只需取单位正交向量组ξ 1 , ξ 2 , 使得 Tr( A T B B T A ) = Tr( B B T A A T ) 最大.由直接计算或利用(2)的结果(见注), 可得A A T = Q E Q T , 这里Q = [ η1 η2 η3 η4 ] = ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10210325350101103900102103253451101103153252是正交矩阵, E = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000100000100001注意到 Tr( A T B B T A ) = Tr( B B T Q E Q T ) = Tr( Q T B B T Q E ) .令 C = Q T B . 设c 1 , c 2 , c 3 , c 4 是CC T 的对角元, 则c 1 + c 2 +c 3 + c 4 = Tr( CC T )= Tr( Q T B B T Q ) = Tr( B T B ) = 2 .又因为C = Q T B 的列向量组是单位正交向量组, 可扩充成欧氏空间R 4的标准正交基. 记C*是此标准正交基排成的正交矩阵, 则有0 ≤ c i = C 第i 个行向量长度的平方 ≤ C*第i 个行向量长度的平方 = 1 . 于是 Tr( A T B B T A ) = Tr( CC T E ) = c 1 + c 2 + 10 c 3 ≤ 11,等号可在 c 3 = 1, c 1 + c 2 = 1, c 4 = 0 取到, 例如取C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡00010010 , B = QC = [ η3 η1 ], 即V = < η3 , η 1 > 时, α1 , α2 , α3 到V 的距离 平方和为最小, 这个最小值为 Tr( A T A )－Tr( A T B B T A ) = 12－11 = 1 .注. 利用 (2) 的分解A T A = P D P T , 我们推得A A T A P = A P D 且 ( A P )T A P = P T A T A P = D .容易看出A P 的列向量A γ 1 , A γ 2 , A γ 3 是实对称矩阵A A T 的特征向量, 特征值分别为1, 1, 10 的特征向量; 且A γ 1 , A γ 2 , A γ 3两两正交, 长度的平方分别为1, 1, 10. 将A γ 1 , A γ 2 , A γ 3单位化, 令η1 = A γ 1 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-001251, η2 = A γ 2 = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5042531, η3 =101A γ 3 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-29211031.再解 A A T X = 0 得A A T 的特征值0的单位特征向量 η4 =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--2121101. 则Q = [ η1 η 2 η 3 η4 ] 是正交矩阵, 且 A A T = Q E Q T .。
北京大学高等代数_I+2016+期中考试题+-+答案
北京大学数学学院期中试题一．（16分）（1）叙述向量组线性相关, 线性无关, 向量组极大无关组的定义 ;（2）已知向量组α1 , ... , α s 能线性表出β1 , ... , β r , 且α1 , ... , α s 的秩等于β1 , ... , β r 的秩 . 证明: β1 , ... , β r 也能线性表出α1 , ... , αs .二．（16分）计算n 级行列式 D = nn 2n 1n n 22212n 12111b a n b a n b a n b a b a b a b a b a b a +++++++++222111. 解：n = 1时，D = 1+ a 1b 1 ；n = 2时，D =（2a 1–a 2 ）（b 1–b 2 ）；n>2时，D = n1n 21n 11n n 12212112n 12111b a n a b a n a b a n a b a a b a a b a a b a b a b a )()()()2()2()2(111------+++= 0 .三．（24分）设矩阵 A 的列向量依次为α1 , ... , α5 . 已知齐次方程组A X = 0解空间的一组基为 [ 3 1 1 0 0 ] T , [ 5 6 1 2 -1 ] T .1) 求A 的简化阶梯型矩阵J ;2) 求A 列向量组的一个极大无关组, 并用此极大无关组表出A 的每个列向量;3) 求 A 行空间的一组基, 并判断当a 取何值时，β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 写出此时β在 基底下的坐标；4) 将A 写成BC 的形式，B 是列满秩的矩阵，C 是行满秩的矩阵.解: 1) 矩阵A 的行空间与A 的解空间在R 5中互为正交补 , 即向量 [ a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 ] 在A 的行空间中当且仅当 3 a 1 + a 2 + a 3 = 0 且 5a 1 + 6a 2 + a 3 +2 a 4 – a 5 = 0 .解此方程组得行空间的一组基⎥⎦⎤⎢⎣⎡---→⎥⎦⎤⎢⎣⎡-12052001131216500113 得 ⎩⎨⎧++=--=42152132523a a a a a a a a 1 , a 2 , a 4为自由变量. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21000501102030125234214214212154321a a a a a a a a a a a a a a a a 故A 的简化阶梯形为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-- 00000210005*********. 2) A 列向量组的一个极大无关组为α1 , α2 , α4 , 且α3 = –3 α1 – α2 , α5 = 2 α1 + 5α2 + 2α3 ;3) A 行空间的一组基为简化阶梯形的前3个行向量；若 β = [ 1 a 0 3 2a –1 ] 落在A 的行空间里, 则β在此基底下的坐标只能是 [ 1 a 3 ] T ，且有–3–a = 0 , 2 + 5 a + 6 =2a –1 .此条件当且仅当 a = –3 时成立.故当且仅当 a = –3 时β落在A 的行空间里, 此时β的坐标是[ 1 –3 3 ] T .4) A = [ a 1 a 2 a 4 ] ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--210005*********.四．（12分）设A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000100010. 记 C( A) = { X ∈ M 3 (R) | A X = X A }.1) 证明: 集合C( A )是线性空间M 3 (R) 的子空间;2) 求子空间C( A ) 的维数和一组基 .解：2) C( A ) 的一组基为 I ，A ，A 2 （ A 3 = 0 ）。
2012-2013学年北京某校高二(上)期中数学试卷(文科)(附答案解析)
2012-2013学年北京某校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题4分，共40分）1. 直线3x+√3y+1=0的倾斜角是( )A.30∘B.60∘C.120∘D.135∘2. 下列命题中，错误的是（）A.平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必与另一个平面相交D.一条直线与两个平行平面所成的角相等3. 若直线2x+3y+8=0，x−y−1=0和x+ky=0相交于一点，则k=()A.−12B.12C.−2D.24. 已知各面均为等边三角形的三棱锥的棱长为2，则它的表面积是（）A.√3B.2√3C.4√3D.8√35. 已知点A(a, 2)(a>0)到直线l:x−y+3=0的距离为√2，则a=()A.1B.2C.3D.46. 直线kx−y+1=3k，当k变动时，所有直线恒过定点坐标为()A.(0, 0)B.(0, 1)C.(3, 1)D.(2, 1)7. 半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积为（）A.2√2RB.4π3R3 C.89√3R3 D.19√3R38. 如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（）A.15π B.18π C.22π D.33π9. “m=−2”是“直线(m+1)x+y−2=0与直线mx+(2m+2)y+1=0相互垂直”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10. 已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列命题：①α // β⇒l⊥m，②α⊥β⇒l // m③l // m⇒α⊥β④l⊥m⇒α // β正确的命题是（）A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③二、填空题（每小题4分，共24分）已知a，b是两条异面直线，直线c // a，那么c与b的位置关系是________．以原点O向直线l作垂线，垂足为点H(−2, 1)，则直线l的方程为________．已知圆C的方程为x2+y2−2y−3=0，则圆心坐标为________．直线l1:x+my+6=0与直线l2：(m−2)x+3y+2m=0互相平行，则m的值为________．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90∘，PA⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角（3）求三棱锥D−D1OC的体积．形．过点P(2, 0)与圆x2+y2+2y−3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是________．三、解答题（共36分）已知经过直线l1:3x+4y−5=0与直线l2:2x−3y+8=0的交点M，（1）过原点和点M的直线方程；（2）过点M且与直线2x+y+5=0平行的直线方程；（3）过点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程．（注意：求出的直线方程要化成一般式）已知圆C的圆心在直线x−y=0上，且过定点A(√5, 2√5)，B(−3, −4)．（1）求圆C的方程；（2）求斜率为2且与圆C相切的直线的方程．正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，O是AC与BD的交点，E为BB1的中点．（1）求证：直线B1D // 平面AEC；（2）求证：B1D⊥平面D1AC；参考答案与试题解析2012-2013学年北京某校高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题4分，共40分） 1.【答案】 C【考点】 直线的倾斜角 【解析】将直线方程化为斜截式，得到直线的斜率后求其倾斜角． 【解答】解：将直线方程化为：y =−√3x −√33， 可得，直线的斜率为−√3， 所以倾斜角为120∘， 故选C . 2.【答案】 A【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系 空间中平面与平面之间的位置关系【解析】平行于同一直线的两个平面平行或相交；由平面平行的判定定理知B 正确；由平面平行的性质定理知C 正确；由平面平行的性质定理知D 正确． 【解答】解：平行于同一直线的两个平面平行或相交，故A 不正确；由平面平行的判定定理知：平行于同一平面的两个平面平行，故B 正确； 由平面平行的性质定理知：一条直线与两个平行平面中的一个相交， 那么这条直线必与另一个平面相交，故C 正确；由平面平行的性质定理知：一条直线与两个平行平面所成的角相等，故D 正确． 故选A ． 3.【答案】 A【考点】两条直线的交点坐标 【解析】先由{2x +3y +8=0x −y −1=0求出直线2x +3y +8=0和x −y −1=0的交点为(−1, −2)．再由三条直线2x +3y +8=0，x −y −1=0和x +ky =0相交于一点，知(−1, −2)在直线x +ky =0上，由此能求出k 的值．【解答】解：由{2x +3y +8=0x −y −1=0解得x =−1，y =−2，∴ 直线2x +3y +8=0和x −y −1=0的交点为(−1, −2)．∵ 三条直线2x +3y +8=0，x −y −1=0和x +ky =0相交于一点， ∴ (−1, −2)在直线x +ky =0上， ∴ −1−2k =0， 解得k =−12． 故选A ． 4.【答案】 C【考点】柱体、锥体、台体的面积求解 【解析】由题意知，三棱锥的各个面都是边长为2的等边三角形，求出一个面的面积，乘以4可得它的表面积． 【解答】解：∵ 三棱锥的棱长为2，各面均为等边三角形，三棱锥的一个侧面的面积为12×2×2×√32=√3，故它的表面积为4√3， 故选C ． 5.【答案】 A【考点】点到直线的距离公式 【解析】直接利用点到直线的距离公式，求解即可． 【解答】解：点A(a, 2)(a >0)到直线l:x −y +3=0的距离为√2， 所以√2=√2，即|a +1|=2，因为a >0，所以a =1．故选A ． 6. 【答案】 C【考点】 直线恒过定点 【解析】将直线的方程变形为k(x −3)＝y −1 对于任何k ∈R 都成立，从而有 {x −3=0y −1=0 ，解出定点的坐标．【解答】解：由kx −y +1=3k ，得k(x −3)=y −1，对于任何k∈R都成立，则{x−3=0，y−1=0，解得x=3，y=1，故选C.7.【答案】C【考点】球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】根据半径为R的球内接一个正方体，根据正方体的对角线过原点，可以求出正方体的棱长，从而根据体积公式求解；【解答】解：∵半径为R的球内接一个正方体，设正方体棱长为a，正方体的对角线过球心，可得正方体对角线长为：2+a2+a2=2R，可得a=3，∴正方体的体积为a3=(√3)3=8√3R39，故选C；8.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】该几何体是一个组合体，上部是半球，下部是到放的圆锥，依据所给数据求解即可．【解答】解；该几何体是一个组合体，上部是半球，半径是3，下部是到放的圆锥，半径是3，高是（4）该几何体的表面积：S＝S上+S下=2π32+12×6π×5=33π．9.【答案】A【考点】两条直线垂直的判定【解析】先求两条直线有斜率垂直时m的值，再求一条直线斜率不存在时m的值，判断充要条件即可．【解答】解：因为直线(m+1)x+y−2=0与直线mx+(2m+2)y+1=0相互垂直，所以斜率相乘等于−1，可得m=−2，当直线mx+(2m+2)y+1=0没有斜率时，m=−1也符合．故选A．10.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】本题应逐个判断：①④需用熟知的定理即线线垂直，面面垂直来说明，②③可举出反例来即可．【解答】解：∵l⊥α，α // β，∴l⊥β，又直线m⊂β，故有l⊥m，即①正确；∵l⊥α，α⊥β，∴l // β，或l⊂β，此时l与m可能平行，相交或异面，即②错误；∵l⊥α，l // m，∴m⊥α，又m⊂β，故有α⊥β，即③正确．∵l⊥α，l⊥m，∴又m⊂β，此时α与β可能相交可能平行，故④错误；故选D二、填空题（每小题4分，共24分）【答案】相交或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【解析】两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．由于a，b是两条异面直线，直线c // a则c有可能与b相交且与a平行，但是c不可能与b平行，要说明这一点采用反证比较简单．【解答】解：∵a，b是两条异面直线，直线c // a∴过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交．另外c与b不可能平行理由如下：若c // b则由c // a可得到a // b这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面．故答案为：相交或异面．【答案】2x−y+5=0【考点】直线的一般式方程【解析】先求出垂线的斜率，即可得到直线l的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式．【解答】解：垂线的斜率为1−0−2−0=−12，则直线l的斜率为2，又直线经过点H(−2, 1)，由点斜式得y−1=2(x+2 )，即2x−y+5=0，故答案为：2x−y+5=0．【答案】(0, 1)【考点】圆的标准方程【解析】将题中的圆化成标准方程，得x2+(y−1)2=4，由此即可得到圆心的坐标．【解答】解：将圆C:x2+y2−2y−3=0化成标准方程，得x2+(y−1)2=4∴圆C表示以(0, 1)为圆心，半径r=2的圆．故答案为：(0, 1)【答案】−1【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系两条直线平行的判定【解析】利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的m的值．【解答】解：由于直线l1:x+my+6=0与直线l2：(m−2)x+3y+2m=0互相平行，∴1m−2=m3≠62m，∴m=−1.故答案为：−1．【答案】4【考点】棱锥的结构特征【解析】本题利用线面垂直，判定出线线垂直，进而得到直角三角形，只需证明直线BC⊥平面PAC问题就迎刃而解了．【解答】解：由PA⊥平面ABC，则△PAC，△PAB是直角三角形，又由已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90∘所以BC⊥AC，从而易得BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PCB也是直角三角形，所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC，△PAB，△ABC，△PCB．故答案为：4【答案】x−2y−2=0【考点】直线和圆的方程的应用直线的一般式方程直线系方程【解析】由题设条件知，此直线一定过圆心，故可以先求出圆心坐标，然后再用两点式写出所求直线的方程．【解答】解：圆x2+y2+2y−3=0可以变为x2+(y+1)2=4，故其圆心为(0, −1)过点P(2, 0)与圆x2+y2+2y−3=0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长的直线一定过圆心故直线方程是y−0−1−0=x−20−2整理得：x+2y−2=0故应填x+2y−2=0三、解答题（共36分）【答案】解：：（1）联立两条直线的方程可得：{3x+4y−5=02x−3y+8=0解得x=−1，y=2，所以l1与l2交点M坐标是(−1, 2)．所以过原点和点M的直线方程：2x+y=0．（2）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0因为直线l过l1与l2交点M(−1, 2)所以c=0所以直线l的方程为2x+y=0．（3）与直线2x+y+5=0垂直的直线斜率为：12，∴点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程y−2=12(x+1)，即x−2y+5=0．【考点】两条直线的交点坐标直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】（1）求出两条直线的交点坐标，直接求解过原点和点M的直线方程；（2）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0，把点M代入即可求出与直线2x+y+5=0平行的直线方程；（3）然后利用直线与直线2x+y+5=0垂直，根据斜率乘积为−1，得到所求直线的斜率，写出过点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程即可．【解答】解：：（1）联立两条直线的方程可得：{3x+4y−5=02x−3y+8=0解得x=−1，y=2，所以l1与l2交点M坐标是(−1, 2)．所以过原点和点M的直线方程：2x+y=0．（2）设与直线2x+y+5=0平行的直线l方程为2x+y+c=0因为直线l过l1与l2交点M(−1, 2)所以c=0所以直线l的方程为2x+y=0．（3）与直线2x+y+5=0垂直的直线斜率为：12，∴点M且与直线2x+y+5=0垂直的直线方程y−2=12(x+1)，即x−2y+5=0．【答案】解：（1）∵圆C的圆心在直线x−y=0上，∴设圆C方程为(x−a)2+(y−a)2=r2又∵A(√5, 2√5)，B(−3, −4)在圆C上∴{(√5−a)2+(2√5−a)2=r2(−3−a)2+(−4−a)2=r2，解之得a=0，r2=25由此可得圆C的方程为x2+y2=25；（2）设斜率为2且与圆C相切的直线为2x−y+m=0，则圆心到直线的距离等于半径r，即d=22=5，解得m=±5√5∴斜率为2且与圆C相切的直线的方程为2x−y±5√5=0．【考点】圆的标准方程圆的切线方程【解析】（1）根据题意，设圆C方程为(x−a)2+(y−a)2=r2，代入A、B两点的坐标，解得a=0且r2=25，可得圆C的方程；（2）设所求切线的方程为2x−y+m=0，切线到圆心的距离等于半径，由此利用点到直线的距离公式建立关于m等式，解出m的值即可得到所求切线方程．【解答】解：（1）∵圆C的圆心在直线x−y=0上，∴设圆C方程为(x−a)2+(y−a)2=r2又∵A(√5, 2√5)，B(−3, −4)在圆C上∴{(√5−a)2+(2√5−a)2=r2(−3−a)2+(−4−a)2=r2，解之得a=0，r2=25由此可得圆C的方程为x2+y2=25；（2）设斜率为2且与圆C相切的直线为2x−y+m=0，则圆心到直线的距离等于半径r，即d=22=5，解得m=±5√5∴斜率为2且与圆C相切的直线的方程为2x−y±5√5=0．【答案】解：（1）连接OE，在△B1BD中，∵E为BB1的中点，O为BD的中点，∴OE // B1D又∵B1D⊄平面AEC∴直线B1D // 平面AEC．（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴B1B⊥AC．∵BD⊥AC且BB1∩BD=B∴B1D⊥AC∴AC⊥B1D 同理可证B1D⊥AD1∵AC∩AD1=A∴B1D⊥平面D1AC．（3）V D−D1OC=V D1−DOC=13⋅DD1⋅S△DOC=13×2×1=23．【考点】直线与平面平行的判定柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直的判定【解析】（1）利用三角形的中位线性质，线面平行的判定定理．（2）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥面BDB1，从而证明AC⊥B1D，同理可证B1D⊥AD1，进而可证；（3）等体积法求三棱锥的体积，三棱锥D−D1OC与三棱锥D1−DOC的体积相等，D1−DOC的高是D1D的长，面积等于底面正方形面积的14，体积可求．【解答】解：（1）连接OE，在△B1BD中，∵E为BB1的中点，O为BD的中点，∴OE // B1D又∵B1D⊄平面AEC∴直线B1D // 平面AEC．（2）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，∵B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴B1B⊥AC．∵BD⊥AC且BB1∩BD=B∴B1D⊥AC∴AC⊥B1D同理可证B1D⊥AD1∵AC∩AD1=A∴B1D⊥平面D1AC．（3）V D−D1OC=V D1−DOC=13⋅DD1⋅S△DOC=13×2×1=23．。
北京市重点中学2013-2014学年高二下学期期中考试 理科数学 含答案
2013——2014学年度第二学期期中练习高 二 数 学（理） 试 卷姓名 班级 学号 成绩一．选择题(本大题共10小题,每小题4分，共40分. 在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. i 是虚数单位，52ii =-（ ） A 。
12i + B. 12i -+C.12i -- D 。
12i -2. 由直线1,2,0x x y ===与抛物线2y x =所围成的曲边梯形的面积为( ）A ．13B ．53C ．73D ．1133.8(2)x y - 的展开式中62x y 项的系数是( ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-4。
若曲线()2ln f x ax x =-在点()1,M a 处的切线平行于x 轴,则a 的值为（ )A ．2-B ．2C ．12- D ．125. 22(1cos )x dx ππ-+⎰等于 ( ）A ．πB 。
2 C. 2π- D 。
2π+6。
5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 （ ) A ．80 B ．80- C ．40 D ．40-7。
6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序 共有 （ ）A.240种 B 。
360种 C 。
480种 D 。
720种8。
下列命题中，假命题为（ ）A. 存在四边相等的四边形不是正方形 B 。
设12,z zC ∈，则12z z +为实数的充要条件是12,z z 互为共轭复数C 。
若,x y R ∈,且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 D. 对于任意n N *∈，012nn n n nCC C C ++++都是偶数 9．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( )A ．324B ．328C ．360D ．648 10。
函数()241xf x x =+()x R ∈ ( )A ．既有最大值2 ,又有最小值2-B ．无最大值,但有最小值2-C ．有最大值2 ,但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二．填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分.将答案填在题中横线上）11. 如果复数()()2i 1i z m m =++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________．12。
(完整word版)高等代数期中考试题答案
高等代数期中考试题答案一、填空题（每小题3分，共15分）1、___1___，__1/a__2、______3_．3、若4、 (n+1)类5、___n-r__二、1 D 2、 C 3、（ D ）4、( B )5、 A三、1、解：（1）由于A ),,(),,(321321αααβββ=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101110111A于是 1321321),,(),,(-=A βββααα………………………… (2分) 故由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-1111010111A C ………………………… (3分)（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=241),,(321),,(321),,(321321321ββββββααααC即向量3α在基321,,βββ下的坐标为)2,4,1('．………………………… (5分) 2、故该向量组的一个极大线性无关组为124,,ααα。
3、所以解空间的维数是2， 它的一组基为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,1,38,911a ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,0,37,922a 四、 证明题（本题共4个小题，每小题10分，共计40分） 1、证：因为复数域C 作为实数域R 上的向量空间，维数是2； 而2dim 2=R ，两者维数相同，所以同构。
另证：建立映射),(;:2b a bi a R C →+→σ，验证它为同构映射。
2、证明：向量β可以由r ααα,,,21 线性表示， 则不妨设r r r r a a a a ααααβ++++=--112211 ，其中0≠r a ， 若0=r a ，则112211--+++=r r a a a αααβ ， 这与β不能由121,,,-r ααα 表示矛盾。
于是11111-----=r rr r r r a a a a a ααβα 。
故向量r α可以由βααα,,,,121-r 线性表示， 即向量组),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 能够相互线性表示， 从而),,,,(121r r αααα- 与),,,,(121βααα-r 等价。
高等代数考研2021考研真题北京大学考研真题二
高等代数考研2021考研真题北京大学考研真题二高等代数作为考研数学科目中的重点内容之一，对于考生来说是一个关键的考察点。
本文将以2021年北京大学考研真题二为基础，讨论高等代数相关知识点，帮助考生更好地备考。
1. 选择题题目一：设A是一个n阶方阵，若λ是A的特征值，那么下面哪个命题是错误的？A. λ是A的特征值，则λ²是A²的特征值。
B. λ是A²的特征值，则λ是A的特征值。
C. λ是A的特征值，则λ⁻¹是A⁻¹的特征值。
D. λ是A⁻¹的特征值，则λ⁻¹是A的特征值。
解析：对于矩阵A的特征值λ和特征向量x，有A×x=λ×x。
因此，对于任意非零实数k和非零向量x，有A(kx) = kA(x)，即特征值与矩阵的乘法具有线性关系。
因此，选项A是正确的，选项B是错误的。
选项C和D中提到了矩阵的逆，根据矩阵特征值的定义，如果λ是矩阵A的特征值，则A⁻¹的特征值是λ⁻¹。
因此，选项C是错误的，选项D是正确的。
综上所述，选项B是错误的命题。
2. 解答题题目二：已知复数z满足|z|=2，求z+z⁻¹的实部和虚部。
解答：设z=a+bi，其中a和b为实数。
根据复数的模定义，有|z|=√(a²+b²)=2，可以得到一个方程，a²+b²=4。
根据复数的乘法性质，可以得到z⁻¹的表达式为z⁻¹=1/z=(a-ib)/((a+ib)(a-ib))=(a-ib)/(a²+b²)=a/(a²+b²)-i(b/(a²+b²))。
将z+z⁻¹展开并分别提取实部和虚部，得到：实部：Re(z+z⁻¹)=a+a/(a²+b²)=a(a²+b²)/(a²+b²)+a/(a²+b²)=(a³+2a)/(a²+b²)。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(课后习题 双线性函数与辛空间)
第10章 双线性函数与辛空间1．V是数域P上一个3维线性空间，ε1，ε2，ε3是它的一组基，f是V上一个线性函数，已知f（ε1＋ε3）＝1，f（ε2－2ε3）＝－1，f（ε1＋ε2）＝－3，求f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）．解：先计算出f（ε1）＝4，f（ε2）＝－7，f（ε3）＝－3，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝4x1－7x2－3x3．2．V及ε1，ε2，ε3同上题，试找出一个线性函数f，使f（ε1＋ε3）＝f（ε1－2ε3）＝0，f（ε1＋ε2）＝1．解：可算出f（ε1）＝f（ε3）＝0，f（ε2）＝1，就得到f（x1ε1＋x2ε2＋x3ε3）＝x2．3．设ε1，ε2，ε3是线性空间V的一组基，f1，f2，f3是它的对偶基，a1＝ε1－ε3，a2＝ε1＋ε2＋ε3，a3＝ε2＋ε3．试证a1，a2，a3是V的一组基并求它的对偶基（用f1，f2，f3表出）．解：可利用定理3．计算由于右端的矩阵的行列式≠0，故a1，a2，a3是V的一组基．设g1，g2，g3是a1，a2，a3的对偶基，则即g1＝f2－f3，g2＝f1－f2＋f3，g3＝－f1＋2f2－f3．4．设V是一个线性空间，f1，f2，…，f n是V*中非零向量，试证，存在a∈V，使f（a）≠0，i＝1，2， (5)证明：每个f i（a）＝0作为V上向量的方程，其全体解向量构成V的一个子空间V，且都不等于V．由第六章补充题第5题的结论及解答后面的注，必有a∈V，a∈，i＝1，2，…，s．所以a满足f i（a）≠0，i＝1，2，V…，s．5．设a1，a2，…，a s是线性空间V中非零向量，证明有f∈V*使f（a i）≠0，i＝1，2，…，s．证明：由于a i**∈（V*）*，a i**（f）＝f（a i），f∈V*，a i**是（V*）*上的非零向量．由第四题必有f∈V*使f（a i）＝a i**（f）≠0．6．V＝P[x]3，对p（x）＝c0＋c1x＋c2x2∈V定义试证f1，f2，f3都是V上线性函数，并找出V的一组基p1（x），p2（x），p3（x）使f1，f2，f3是它的对偶基．证明：易证f1，f2，f3都是V＝P[x]3上线性函数．令p1（x）＝c0＋c1x＋c2x2使得f1（p1（x））＝1，f2（p1（x））＝f3（p1（x））＝0，即有解出得同样可算出满足由于p1（x），p2（x），p3（x）是V的一组基，而f1，f2，f3是它的对偶基．7．设V是一个n维欧氏空间，它的内积为（α，β），对V中确定的向量α，定义V 上一个函数α*：α*（β）＝（α，β）．（1）证明α*是V上线性函数；（2）证明V到V*的映射：α→α*是V到V*的一个同构映射．（在这个同构下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）证明：（1）易证α*是V上线性函数，即α*∈v*．（2）现在令映射φ为下面逐步证明φ是线性空间的同构．①φ是单射．即证明当φ（α）＝φ（β）时有α＝β．对γ∈V，（φ（α））（γ）＝α*（γ）＝（α，γ），（φ（β））（γ）＝（β，γ）．故（α，γ）＝（β，γ），∨γ∈V．这样（α，α）＝（β，α），（α，β）＝（β，β）．于是（α－β，α－β）＝（α，α）－（α，β）－（β，α）－（β，β）＝0，即有α－β＝0，因此α＝β．②φ是满射．取ε1，ε2，…，εn 是V 的一组标准正交基，令f 1，f 2，…，f n 是它们的对偶基，对f ＝l 1f 1＋…＋l n f n ∈V*，令a ＝l 1ε1＋l 2ε2＋…＋l n εn 则对所有εi ，∀故对所有εi ，有φ（α）（εi ）＝f （εi ），即φ（α）＝f ．③φ是线性映射．对α，β，γ∈V，k∈R，∀ φ（α＋β）（γ）＝（α＋β，γ）＝（α，γ）＋（β，γ）＝φ（α）（γ）＋φ（β）（γ）＝[φ（α）＋φ（β）]（γ）．故φ（α＋β）＝φ（α）＋φ（β）．又φ（kα）（γ）＝（kα，γ）＝k （α，γ）＝kφ（α）（γ）＝（kφ（α））（γ），故φ（kα）＝kφ（α）．以上证明了φ是线性空间V 到V *的同构．8．设A 是P 上n 维线性空间V 的一个线性变换．（1）证明：对V 上的线性函数f ，fA 仍是V 上线性函数；（2）定义V *到自身的映射A *为f→fA证明A *是V *上的线性变换（3）设ε1，ε2，…，εn 是V 的一组基，f 1，f 2，…，f n 是它的对偶基，并设A 在ε1，ε2，…，εn 下的矩阵为A ．证明：A *在f 1，f 2，…，f n 下的矩阵为A'．（因此A *称作A 的转置映射）证明：（1）α，β∈V，k∈P，有∀∀f A （α＋β）＝f （A （α＋β））＝f （A α＋A β）＝f A α＋f A β，f A （kα）＝f （A （kα））＝f （k A α）＝kf A α．故f A 是V 上线性函数．（2）由定义A *f ＝f A ，对f ，g∈V *，k∈P，α∈V 有∀A *（f ＋g ）（α）＝[（f ＋g ）A ]（α）＝（f ＋g ）（A （α））＝f A （α）＋g A （α）＝（f A ＋g A ）（α）＝（A *f ＋A *g ）（α）故A *（f ＋g ）＝A *（f ）＋A *（g ）．又（A *（kf ））（α）＝（kf ）A （α）＝kf （A （α））＝k （A *f ）（α），故A *（kf ）＝k （A *f ）．以上证明了A *是V *上的线性变换．（3）由A （ε1，ε2，…，εn ）＝（ε1，ε2，…，εn ）A ，f i A （ε1，ε2，…，εn ）＝（f i （ε1），…，f i （εn ））A ＝（a i1，a i2，…，a in ），于是即有。
北京师大附中2012-2013学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷(理科)(有答案)AqqUMn
北京师大附中2012－2013学年度第一学期高二年级期中考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟 共150分第I 卷（模块卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知过点A （－2，m ）和B （－8,4）的直线与直线01-2=+y x 平行，则m 的值为（ ）A. 0B. －8C. 2D. 10 2. 圆4)2(22=++y x 与圆91)()2(22=-+-y x 的位置关系为（ ） A. 内切 B. 相交 C. 外切D. 相离3. 关于直线a 、b 、l 及平面M 、N ，下列命题中正确的是（ ） A. 若M b M a //,//，则b a // B. 若a b M a ⊥,//，则M b ⊥C. 若,,a M b M ⊂⊂且,l a l b ⊥⊥，则l M ⊥D. 若N a M a //,⊥，则M N ⊥4. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A.122ππ+ B. 144ππ+ C. 12ππ+ D. 142ππ+ 5. 若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A. []3,1--B. []1,3-C. []3,1-D. ),1[]3,(+∞--∞Y 6. 如图，在正四面体P —ABC 中，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是（ ）A. BC//平面PDFB. DF ⊥平面PAEC. 平面PDF ⊥平面ABCD. 平面PAE ⊥平面ABC7. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于A.46B. 410C. 22D. 23 8. 如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H ，则以下命题中，错误．．的命题是（ ）A. 点H 是△A 1BD 的垂心B. AH 垂直平面CB 1D 1C. AH 的延长线经过点C 1D. 直线AH 和BB 1所成角为45°二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京科技大学2013高等代数
高等ห้องสมุดไป่ตู้数
（共
2
页）
说明： 所有答案必须写在答题纸上，做在试题或草稿纸上无效.
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一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）
求 的特征值及特征向量, 并判定 能否对角化.
3
的系数矩阵为 A ， M i 是矩阵 A 中划去第 i 列所得到的 ( n 1) ( n 1) 矩阵的 行列式，证明： ( M 1 , M 2 ,
,( 1)n1 M n )T 是该方程组的一个解.
八(20 分)、设 P[ x ] 3 是次数不超过 3 的多项式全体连同 0 多项式构成的线性空间，
二(10 分)、设 f ( x ) x4 x3 3 x2 4 x 1 , g( x ) x3 x 2 x 1 . 求 ( f ( x ), g( x )) . 三(20 分)、设线性变换 在三维线性空间 V 的一组基 1 , 2 , 3 下的矩阵是
1
1 2 1 A 2 1 0 3 0 1
f ( x ) a0 a1 x a2 x2 a3 x3 P[ x ] 3 , 现有 P[ x ] 3 的线性变换 ：
2
( f ( x)) (a0 2a1 ) (3a0 2a1 ) x (2a 2 3a3 ) x 2 (4a 2 3a3 ) x 3
1 3 3 3 3 1 3 3 五(20 分)、 设实对称矩阵 A . （1） 求可逆矩阵 T ， 使得 T T AT 3 3 1 3 3 3 3 1
2013年北京二模数学代数综合题汇编(无需编辑)
2013年北京二模数学代数综合题汇编1．（西城区）在平面直角坐标系xOy 中， A ，B 两点在函数11:(0)k C y x x=>的图象上，其中1k >．AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，且 AC =1．(1) 若1k =2，则AO 的长为 ，△BOD 的面积为 ； (2) 如图1，若点B 的横坐标为1k ，且11k >，当AO =AB 时，求1k 的值；(3) 如图2，OC =4，BE ⊥y 轴于点E ，函数22:(0)k C y x x=>的图象分别与线段BE ，BD 交于点M ，N ，其中210k k <<．将△OMN 的面积记为1S ，△BMN 的面积记为2S ，若12S S S =-，求S与2k 的函数关系式以及S 的最大值．2．（海淀区）已知：抛物线2(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ． （1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线2(2)2y ax a x =+--在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤．①求m 的取值范围；②若点()2,N m k y +也在图象G 上，且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为 ．3. （东城区）已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）求证：抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个定点；（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的整数根时，把抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．y xO4．（石景山区）（1）如图，抛物线2y x ax b =-++过点A （-1，0），B （3，0），其对称轴与x 轴的交点为C , 反比例函数k y x=（x >0，k 是常数）的图象经过抛物线的顶点D ．（1）求抛物线和反比例函数的解析式． （2）在线段DC 上任取一点E ，过点E 作轴平行线，交y 轴于点F 、交双曲线于点G ，联结DF 、DG 、FC 、GC ．①若△DFG 的面积为4，求点G 的坐标；②判断直线FC 和DG 的位置关系，请说明理由；③当DF =GC 时，求直线DG 的函数解析式．x5.（丰台区）已知关于x的方程2(2)30--+-=.x m x m（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）设抛物线2(2)3=--+-与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关y x m x m于直线y=-x的对称点恰好是点M，求m的值.6. （大兴区）已知：如图，抛物线L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C．（1）直接写出点A和抛物线L1的顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会因k值的变化而发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．7. （昌平区）已知点A （a ，）、B （2a ，y ）、C （3a ，y ）都在抛物线21122y x x=-上.（1）求抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有、y 、y ，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.1y 231y 238. （顺义区）23、已知抛物线232-+=mx x y（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点。
北京大学概率期中考试题
1.二项分布，P=0.2，求频率介于0.18至0.22的概率不小于0.95最小试验次数。
2.求证非负连续随机变量E(X)=从0到正无穷积分(1-F(x))。
3.X1，X2的母函数分别为G1，G2，a介于0和1之间。
求证G1G2和(1-a)G1+aG2也是母函数。
4.求证X依分布收敛到常数C时，也依概率收敛到C。
并举一个非常数时的反例。
5.Yn服从p=r/n的几何分布，求证Yn/n收敛到参数r的指数分布。
6.Xj服从N(Mj,1)，求证从1到n求和(Xj)^2的特征函数是(1/1-2it)exp(....)（记不清了
）
7.Xj是(0,1)上的均匀分布，求顺序统计量X(1)和X(n)的协方差。
8.掷硬币连续出现n个正面的最早时刻的母函数。
9.X,Y,U相互独立，U是(0,1)上均匀分布，问是否可能X,Y和U(X+Y)同分布。
10.（没怎么看）大概是求两个分布复合的特征函数并且求证收敛到正态分布。
北京大学2013年高等代数与解析几何试题及解答
1 = 2 (a1b4 − a2b3 − a3b2 + a4b1) = (B, A).
在此基础上易验算 (k1A1 + k2A2, B) = k1(A1, B) + k2(A2, B), 从而上述映射为对称双线性函数.
(2)
M
=
1 2
01
1 0
0 0
.
0 0 −2
λ −1/2 (3) |λE − M | = −1/2 λ
准型. (
3. (1) 若 A 可逆, 对于任意 B, AB = BA, 证明 det A B
) B = det(A2 − B2). A
(2) 如果 A 为数域 K 上不可逆矩阵, 对于任意 K 上矩阵 B, AB = BA, (1) 中结论是否成立?
(3) 如果 A 可逆, AB = BA 不成立, (1) 中结论是否成立?
(3) 结论不成立. 例如取 A = 0 1
) 1
, B = E21. 0
(
)
(
)
4. (1) 设 A = a1 a2 , B = b1 b2 , 则
a3 a4
b3 b4
(
1 (A, B) =
a1 + b1
2 a3 + b3
a2 + b2 − a1 a4 + b4 a3
a2 − b1 a4 b3
)
b2 b4
(2) A 是投影映射的充要条件是 A2 = A 且 A 为对称映射.
(3) 任意对称映射可以表示为 f (α) = ∑r λiTwi(α), Wi 为子空间.
i=1
(
6. 定义矩阵 A 的双曲余弦 cosh(A) = E + A2 + A4 +· · ·, 是否存在二阶复矩阵 A，使得 cosh(A) = 1
北京大学高等代数_I 2017 期中考试题-答案
北京大学数学学院期中试题考试科目 高等代数I 考试时间 2017年11月8日一． 1）（10分）叙述向量空间K n 的线性子空间的维数和基底的定义 ：若α1 , ... , α r 是K n 的子空间V 中的一组向量，满足以下两条件 （1） α1 , ... , α r 线性无关；（2） α1 , ... , α r 能线性表出子空间V 的每个向量；则称α1 , ... , α r 是子空间V 的一组基， 称基底包含的向量个数r 为 子空间V 的维数 （V 的不同基底包含的向量个数是一样的）。
2）（10分）已知向量组α1 , ... , α s 的秩为r , 且部分组α1 , ... , α r 的能线性表出α1 , ... , α s . 证明: α1 , ... , α r 线性无关 . 证：若部分组α1 , ... , α r 线性相关，则α1 , ... , α r 的秩 < r .另一方面, 部分组α1 , ... , α r 能线性表出α1 , ... , α s , 故 α1 , ... , α r 的秩 ≥ α1 , ... , α s 的秩 = r , 矛盾! 故α1 , ... , α r 线性无关 .二．（10分）计算n 阶行列式222222101000010*******000100001a aa a a a a a a a a a a a ++++++.解: 记此n 阶行列式为D n .我们用数学归纳法证明 D n = 1 + a 2 + a 4 + ... + a 2n . 显然, D 1 = 1 + a 2 , 此时命题成立;以下假设公式对低于n 阶的行列式都成立, 考察n 阶行列式的情况.对D n 的第一列作代数余子式展开 :D n = ( 1 + a 2 ) D n-1 + ( –1 ) a22210100100a a a a a a a a a+++= ( 1 + a 2 ) D n-1 + ( –1 ) a a D n-2= ( 1 + a 2 ) ( 1 + a 2 +... + a 2n-2 ) + ( –1 ) ( a 2 + a 4 + ... + a 2n-2 ) （归纳假设） = 1 + a 2 + a 4 + ... + a 2n .故此公式对任意n 阶行列式成立。
高等代数北大版习题参考答案
高等代数北大版习题参考答案CKBOOD was revised in the early morning of December 17, 2020.第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=。
8） 在P n n ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β，A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α，故A 是P 3上的线性变换。
5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
2012-2013高代第二学期期中试卷答案
北 京 交 通 大 学2012 -2013学年第二学期《高等代数II 》期中考试试卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分30分，共10道小题，每道小题3分）1．已知R 3的两组基：I: )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321===ααα； II: )0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ；那么由I 到II 的过渡矩阵为 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡011110101 。
2. 在22⨯P 中，已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01001A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00012A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00103A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10004A 是22⨯P 的基，那么，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4523A 在该基下的坐标为 (5,3,2,4) 。
3. 设1W 是方程组04321=+++x x x x 解空间，2W 是方程组⎩⎨⎧=+-+=-++0043214321x x x x x x x x 的解空间，那么1W ∩2W 是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+-+=-++000332143214321x x x x x x x x x x x x 的解空间。
4. 设()()()()()()3,2,1,1,1,0,1,0,1,0,1,121L W L W ==, 则()=+21dim W W 3 。
5. 设1W 、2W 都是V 的子空间，且1W +2W 为直和，那么()=⋂21dim W W 0 。
6. 设线性变换A 在基21,εε的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1011，线性变换B 在基12,εε下的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101，那么A+B 在基21,εε下的矩阵为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2002 . 7．设3阶矩阵A 的特征为1，2，3，那么A -1的特征值为 1,1/2,1/3 。
8．设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x 10100001与矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10000001y 相似，那么y x ,的值分别是 0,1 。
北京大学高等代数高代II_2014期末2（1）
北京大学高等代数高代II_2014期末2（1）北京大学数学学院期末试题2013－2014学年第二学期考试科目高等代数II 考试时间 2014年6月12日姓名学号一.（20分）设α 1 , α 2 , α 3是矩阵A =100210101的列向量, 设P 是沿< α 1 > 向< α 2 , α 3 > 所作的投影变换, Q 是欧氏空间R 3向< α 2 , α 3 > 所作的正交投影变换. 求 P , Q 在R 3标准基下的矩阵. 二（18分）已知R 3上的双线性函数f ( α , β ) 在基底α 1 , α 2 , α 3 下的度量矩阵为310121011.1) 证明: f ( α , β ) 是R 3上的一个内积;2) 求内积 f 下的一组标准正交基β1 , β2 , β3 , 使得β1 = α 1 ;3) 求内积 f 下的正交变换A , 使得W = < α 1 > 是A 不变子空间,且A 在商空间 R 3 / W 上的诱导变换α + W A α + W 将α 2 + W 变到k α 3 + W , k > 0 . (写出A 在β1 , β2 , β3下的矩阵).三（12分）设A 是酉空间V 上的线性变换, 满足条件( A α , β ) = ( α , A β ), ? α , β ∈ V (A 称为Hermite 变换).1) 证明: A 在复数域上的特征值都是实数;2) 证明: 若W 是A-子空间, 则W ⊥也是A-子空间.四（20分）设 A 是Q-线性空间V 上的线性变换, 且A 在基底α 1 , α 2 , α 3 , α 4 下的矩阵为 A = .1) 求A 的特征多项式与最小多项式 ;2) 求V 的根子空间分解, 写出各个根子空间W i 的基底以及限制变换 A | W i 在此基底下的矩阵;3) 证明: 若线性变换B 与A 可交换, 则每个W i 也都是B -子空间.五（20分）设 A 是实线性空间V 上的线性变换, 且A 在基底α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 下的矩阵为 A = .1) 求A 的最小多项式;2) 求A 的特征子空间(写出基底);3) 求V 的一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准型.六 ( 10分) 判断对错. 正确的命题请给出证明, 错误的请举出反例.1) 设 A 是n 阶正交矩阵, α , β ∈ R n . 若α + i β是A 的复特征向量, 且α + i β的特征值不等于± 1, 则一定有( α , β ) = 0 ;2) 如果A , B 是正定矩阵, 则A B + BA 一定也是正定矩阵. -100031122020103110000010001010001010101 01。
《高等代数》期中考试试卷 2003-11-6
《高等代数》期中考试试卷 2003-11-6一． 填空题1．已知βα，=A ，其中)1,2(),2,1(==βα，求=5A _________。
2．设B A ,都是n 阶可逆阵，3,2-==B A ，则=-1*2B A _________。
3．⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n I K I A ，则=-1A _________。
4．设A 是一个m n ⨯矩阵，B 是一个n s ⨯矩阵,那么()TAB 是一个________阶矩阵，它的第i 行第j 列元素为________。
5．设123023003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则*1()A -=________。
6．设A ，B 都是可逆矩阵，矩阵00A C B ⎛⎫=⎪⎝⎭的逆矩阵为________。
7．A 既是对称矩阵，又是反对称矩阵，则A 为________矩阵。
8．设方阵111111222222333333,b x c b y c A b x c B b y c b x c b y c ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且2,3A B =-=，则行列式A B +=________。
二．选择题1．设A 是n m ⨯矩阵，设B 是m n ⨯矩阵，则____。
（A ） 当n m >时，必有0≠AB （B ）当n m >时，必有0=AB （C ）当m n >时，必有0≠AB （D ）当m n >时，必有0=AB2．A 是m k ⨯矩阵，B 是k t ⨯矩阵，若B 的第j 列元素全为零，则下列结论正确的是____。
（A ）AB 的第j 列元素全等于零 （B ）AB 的第j 行元素全等于零 （A ）BA 的第j 列元素全等于零 （A ）BA 的第j 行元素全等于零 3．,,A B C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若ABC E =，则有____。
(A) ACB E = （B ）BAC E = （C ）BCA E = （D ）CBA E =4．设A 是5阶方阵，且0A ≠，则*A =____。
高等代数(北大版)第2章习题参考答案
第二章 行 列 式1. 求以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性1) 1 3 4 7 8 2 6 9 5; 2) 2 1 7 9 8 6 3 5 4; 3)9 8 7 6 5 4 3 2 1;解:1) 所求排列的逆序数为:()1011033110134782695=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
2) 所求排列的逆序数为:()1810345401217986354=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
3) 所求排列的逆序数为:()()36219912345678987654321=-=+++++++=τ， 所以此排列为偶排列。
2.选择i 与k 使1) 1274i 56k 9成偶排列； 2) 1i 25k 4897成奇排列。
解: 1) 当3,8==k i 时, 所求排列的逆序数为:()()10011314001274856399561274=+++++++==ττk i ，故当3,8==k i 时的排列为偶排列.。
2)当6,3==k i 时, 所求排列的逆序数为:()()5110110101325648974897251=+++++++==ττk i ，故当6,3==k i 时的排列为奇排列。
3.写出把排列12345变成排列25341的那些对换。
解: 12345()()()2534125431214354,35,22,1−−→−−−→−−−→−。
4.决定排列()211 -n n 的逆序数,并讨论它的奇偶性。
解: 因为1与其它数构成1-n 个逆序,2与其它数构成2-n 个逆序,……n n 与1-构成1个逆序,所以排列()211 -n n 的逆序数为()[]()()()时排列为奇排列。
当时，排列为偶排列；故当34,2414,4211221211++=+=-=+++-+-=-k k n k k n n n n n n n τ5.如果排列n n x x x x 121- 的逆序数为k ,排列121x x x x n n -的逆序数是多 少?解: 因为比i x 大的数有i x n -个,所以在121x x x x n n -与n n x x x x 121- 这两个排列中,由i x 与比它的 各数构成的逆序数的和为i x n -.因而,由i x 构成的逆序总数 恰为 ()()21121-=-+++n n n 。
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北京大学数学学院期中试题
2012－2013学年第二学期
考试科目高等代数II 考试时间2013年5月2日
姓名学号
一．（24分）设f( x ) = x 3 – 2 x– 2, g ( x ) = x 2 + 2 x + 3 ∈Q[ x ] .
1)证明: ( f( x ) , g ( x ) ) = 1 ;
2)求u ( x ) , v ( x ) ∈Q[ x ], 使得u ( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) = 1 ;
3)设θ是f( x ) 在复数域上的一个根. 求次数小于3的多项式
h ( x ) ∈ Q[ x ], 使得h ( θ ) = 27 θ / g ( θ ) .
二．（20分）设V是R[ x ]中全体次数< 5 的多项式构成的实线性空间.
1) 求V的基底1 , x , x 2 , x 3 , x 4 到基底1 , x – 1 , ( x – 1 ) 2,
( x – 1 ) 3 , ( x – 1 ) 4 的过渡矩阵;
2)求x 4 – 4 x+ 3 ∈ V在基底1 , x – 1 , ... , ( x – 1 ) 4下的坐标.
三．（21分）设多项式f ( x ) = x 4 + k x – 5 .
1) k取何整数时, f ( x ) 在Q 上不可约?
2)k取何实数时, f ( x )是R上两个不可约多项式的乘积?
3)k取何复数时, f ( x ) 在C上有重因式?
四．（10分）已知θ1 , θ2 , θ3 是x 3 + a x + b 的三个复根. 求 ( θ12 + 1 ) ( θ22 + 1 ) ( θ32 + 1 ) 的值.
五．（20分）设α1 , α2 , α3 , β1 , β2 依次是A = ∈ M 4,5(Q)
的列向量. 设 U = < α1 , α2 , α3 > , V = < β1 , β2 > 是向量空间Q 4 的子空间.
1) 求 U + V 与 U ⋂ V 的维数与基底.
2) 设 W 是齐次方程组 AX = 0的解空间. 求商空间 Q 5 / W 的维数
与一组基.
六．（5分）设p 是素数, V 是有限域F p 上的一个4维线性空间.
求V 的2维子空间的个数并说明理由.
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡21201407124151161913。