7.3单位脉冲函数(广义傅里叶积分)
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⇒ 广义积分 ∫ e − i (ω −ω0 )t d t = 2πδ (ω − ω0 )
−∞ +∞
作业： 作业：
P142 7.6 （2） 7.8
§7.3 7. 单位脉冲函数（δ-函数） 函数） 函数
7.3 单位脉冲函数（δ-函数）及其傅氏变换 函数） 函数 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲 函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受瞬时冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问 题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
例1 证明：1和2πδ (ω)构成一个傅氏变换对. 证法1：利用广义积分
F [ 1 ] = ∫ 1⋅ e
−∞ +∞ − iωt
dt s = −t ∫ eiω s ds = 2πδ (ω ) .
−∞
+∞
证法2：利用δ-函数的筛选性：
若F(ω)=2πδ (ω), 由傅氏逆变换可得
1 +∞ f (t) =F [2πδ (ω)] = 2πδ (ω)ejωtdω = e jωt =1 ∫−∞ ω=0 2π
1、 δ-函数的定义 函数的定义 函数的定义——广义函数 广义函数
0 t ≠ 0 δ (t ) = ∞ t = 0
且 ∫ δ ( t )dt = 1
-∞
+∞
0 t ≠ t0 或δ ( t -t0 ) = ∞ t = t0
且 ∫ δ ( t -t0 )dt = 1
-∞
+∞
2、 δ-函数的应用 函数的 函数
−∞
+∞
5、广义傅氏变换 ——利用与δ-函数相关的广义积分来求傅氏变换 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏 积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
∫
+∞
−∞
| f (t)| dt <∞
例如常数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而可利用 与单位脉冲函数相关的广义积分就可以求出它们的傅氏 变换，它们的广义傅氏变换也是存在的. 所谓广义是相对 于古典意义的积分而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原 像函数f(t) 和像函数F(ω) 构成一个傅氏变换对.
−∞
+∞
4、δ-函数的傅氏变换:
F[δ (t)] = F(ω) = ∫ δ (t)e
−∞ +∞ − jωt
dt = e
− jωt t =0
=1
于是δ (t)与常数1构成了一个傅氏变换对.
1 δ (பைடு நூலகம் ) = F [1] = 2π
−1
∫
+∞
−∞
e dω
iωt
⇒ 广义积分 ∫ eiωt dω = 2πδ (t )
有了δ-函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 函数 例如质点的线密度、瞬时作用力及脉冲技术中的 非常窄的脉冲电流等都可以借助于δ-函数 函数来表示. 函数
eg1： 在坐标x=x 处有一质量为m的质点,则该质点 0 的线密度分布函数为：ρ ( x ) = mδ ( x − x0 ) eg2： 在t=t0时刻作用一冲量为I的瞬时力可表示为：
−1
例2 证明e
iω0t
和2πδ (ω − ω0 )构成一个傅氏变换对。
−1
证 Q f (t) =F [2πδ (ω −ω0 )] ： 1 +∞ iω0t iωt iωt = ∫−∞ 2πδ(ω −ω0)e dω = e ω=ω0 = e . 2π iω0t 即 和 πδ (ω −ω0 )构 了 个 氏 换 。 e 2 成 一 傅 变 对
F ( t ) = I δ (t -t0 )
eg2： 在t=t 时刻产生一电量为q的脉冲电流可表示为： 0
i ( t ) = qδ (t -t0 )
3、δ-函数的筛选性：
∫
+∞
−∞
δ (t) f (t)dt = f (0)
或 δ (t −t0 ) f (t)dt = f (t0 ). ∫ （ (t)为 续 数 f 连 函 ）
−∞ +∞
作业： 作业：
P142 7.6 （2） 7.8
§7.3 7. 单位脉冲函数（δ-函数） 函数） 函数
7.3 单位脉冲函数（δ-函数）及其傅氏变换 函数） 函数 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲 函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受瞬时冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问 题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
例1 证明：1和2πδ (ω)构成一个傅氏变换对. 证法1：利用广义积分
F [ 1 ] = ∫ 1⋅ e
−∞ +∞ − iωt
dt s = −t ∫ eiω s ds = 2πδ (ω ) .
−∞
+∞
证法2：利用δ-函数的筛选性：
若F(ω)=2πδ (ω), 由傅氏逆变换可得
1 +∞ f (t) =F [2πδ (ω)] = 2πδ (ω)ejωtdω = e jωt =1 ∫−∞ ω=0 2π
1、 δ-函数的定义 函数的定义 函数的定义——广义函数 广义函数
0 t ≠ 0 δ (t ) = ∞ t = 0
且 ∫ δ ( t )dt = 1
-∞
+∞
0 t ≠ t0 或δ ( t -t0 ) = ∞ t = t0
且 ∫ δ ( t -t0 )dt = 1
-∞
+∞
2、 δ-函数的应用 函数的 函数
−∞
+∞
5、广义傅氏变换 ——利用与δ-函数相关的广义积分来求傅氏变换 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏 积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
∫
+∞
−∞
| f (t)| dt <∞
例如常数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而可利用 与单位脉冲函数相关的广义积分就可以求出它们的傅氏 变换，它们的广义傅氏变换也是存在的. 所谓广义是相对 于古典意义的积分而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原 像函数f(t) 和像函数F(ω) 构成一个傅氏变换对.
−∞
+∞
4、δ-函数的傅氏变换:
F[δ (t)] = F(ω) = ∫ δ (t)e
−∞ +∞ − jωt
dt = e
− jωt t =0
=1
于是δ (t)与常数1构成了一个傅氏变换对.
1 δ (பைடு நூலகம் ) = F [1] = 2π
−1
∫
+∞
−∞
e dω
iωt
⇒ 广义积分 ∫ eiωt dω = 2πδ (t )
有了δ-函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 函数 例如质点的线密度、瞬时作用力及脉冲技术中的 非常窄的脉冲电流等都可以借助于δ-函数 函数来表示. 函数
eg1： 在坐标x=x 处有一质量为m的质点,则该质点 0 的线密度分布函数为：ρ ( x ) = mδ ( x − x0 ) eg2： 在t=t0时刻作用一冲量为I的瞬时力可表示为：
−1
例2 证明e
iω0t
和2πδ (ω − ω0 )构成一个傅氏变换对。
−1
证 Q f (t) =F [2πδ (ω −ω0 )] ： 1 +∞ iω0t iωt iωt = ∫−∞ 2πδ(ω −ω0)e dω = e ω=ω0 = e . 2π iω0t 即 和 πδ (ω −ω0 )构 了 个 氏 换 。 e 2 成 一 傅 变 对
F ( t ) = I δ (t -t0 )
eg2： 在t=t 时刻产生一电量为q的脉冲电流可表示为： 0
i ( t ) = qδ (t -t0 )
3、δ-函数的筛选性：
∫
+∞
−∞
δ (t) f (t)dt = f (0)
或 δ (t −t0 ) f (t)dt = f (t0 ). ∫ （ (t)为 续 数 f 连 函 ）