7.3单位脉冲函数(广义傅里叶积分)
第七章 傅立叶变换
T 2
j nwt
j mwt *
pe
-
p 这是因为
j( n - m )
1 j( n - m ) d e j( n - m) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m)
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即 a
T 2 T 2
fT (t ) cos nwt d t T
-
T 2
0
2
2
cos nwt d t
am T cos mwt cos nwt d t
m 1 n
2
T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
1复变函数与积分变换第七章傅立叶变换第七章傅立叶变换71傅立叶积分与傅立叶积分定理72傅氏变换与傅氏逆变换73单位脉冲函数75傅氏变换的性质一傅里叶fourier级数展开71傅立叶积分与傅立叶积分定理在工程计算中无论是电学还是力学经常要和随时间而变的周期函数ftt打交道
复变函数与积分变换
第七章 傅立叶变换
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内 函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都 可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
常用傅里叶逆变换公式
常用傅里叶逆变换公式傅里叶变换和逆变换是信号处理领域中非常基础的数学工具。
在现代数字信号处理领域中，它们被广泛应用于信号滤波、数据压缩和频谱分析等方面。
作为傅里叶变换的逆运算，傅里叶逆变换起着重要的作用。
在这篇文章中，我们将详细介绍一些常用的傅里叶逆变换公式，并说明它们在实际应用中的作用。
傅里叶逆变换的定义在深入讨论傅里叶逆变换公式之前，我们需要先了解一下傅里叶逆变换的定义。
傅里叶逆变换是指将复频域信号转换成复时域信号的过程。
与傅里叶变换不同的是，逆变换是不可逆的。
即使我们进行完傅里叶逆变换之后，再进行傅里叶变换，也不能恢复原来的复频域信号。
傅里叶逆变换的数学表达式如下：$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$$其中，$x(t)$是时域信号，$X(j\omega)$是傅里叶变换后的频域信号，$j$是虚数单位，$\omega$是频率，$t$是时间。
这个公式的意思是，我们可以通过对傅里叶变换后的复频域信号做积分，得到复时域信号$x(t)$。
傅里叶逆变换的性质在实际应用中，我们常常需要使用傅里叶逆变换公式对信号进行处理。
为了更好地利用傅里叶逆变换公式，我们需要了解一些它的性质。
下面是一些常见的性质：1. 线性性质：傅里叶逆变换具有线性性，即如果$x_1(t)$的傅里叶变换是$X_1(j\omega)$，$x_2(t)$的傅里叶变换是$X_2(j\omega)$，那么$ax_1(t)+bx_2(t)$的傅里叶逆变换就是$aX_1(j\omega)+bX_2(j\omega)$。
2. 时移性质：如果$x(t)$的傅里叶变换为$X(j\omega)$，那么$x(t-t_0)$的傅里叶逆变换就是$e^{-j\omega t_0}X(j\omega)$，其中$t_0$是一个常数。
3. 频移性质：如果$x(t)$的傅里叶变换为$X(j\omega)$，那么$x(t)e^{j\omega_0t}$的傅里叶逆变换就是$X(j(\omega-\omega_0))$，其中$\omega_0$是一个常数。
单位脉冲函数
在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。
单位脉冲函数，又称狄拉克（Dirac ）函数，简记为δ一函数，便是用来描述这种集中量分布的密度函数.下面我们通过两个具体的例子，说明这种函数引入的必要性.1在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为0=t )进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流)(t i , 以)(t q 表示上述电路中的电荷函数, 则)(t q =⎩⎨⎧=≠,0,1,0,0t t 由于电流强度是电荷函数对时间的变化率, 即)(t i =dt t dq )(=0lim →∆t tt q t t q ∆-∆+)()(, 所以, 当0≠t 时, )(t i =0;当0=t 时,由于)(t q 不连续, 从而在普通导数意义下, )(t q 在这 一点是不能求导数的. 如果我们形式地计算这个导数, 得)0(i =0lim→∆t tq t q ∆-∆+)0()0(=0lim →∆t (t ∆-1).∞=, 这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度. 为此, 引进一称为狄拉克(Dirac)的函数. 有了这种函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如点电荷点源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的方式加以解决.1 单位脉冲函数的定义定义1 如果函数)(t δ称满足)i )(t δ0=,（当0≠t 时） )ii()1=⎰∞∞-dt t δ，或者()⎰=Idt t 1δ，其中I 是含有0=t 的任何一个区间，则称)(t δ为δ一函数.. 更一般的情况下,如果函数满足)i )(a t -δ0=,（当a t ≠时） )ii()1=-⎰∞∞-dt a t δ，或者()⎰=-Idt a t 1δ，其中I 是含有a t =的任何一个区间，则称为)(a t -δ函数.在现实生活中,这种函数并不存在,它只是如下特殊规律的数学抽象;在某定点非常狭小的区域内，所讨论的问题取非常的值；在这个领域之外，函数值处处为0.如函数⎪⎩⎪⎨⎧+><+<<=-,,,0;,1)(h a t a t h a t a ha t h δ 则脉冲函数)(a t h -δ的极限为lim →h )(a t h -δ=)(a t -δ,而把)(a t -δ的积分理解为lim→h dt a t h ⎰∞∞--)(δ=dt a t ha ah h ⎰+→-)(lim 0δ=11=⎰+dt hha a. 特殊情况下,0=a 时有⎪⎩⎪⎨⎧><<<=,,0,0;0,1)(h t t h t ht h δ 于是lim →h )(t h δ=)(t δlim→h dt t h ⎰∞∞-)(δ=dt t h h h ⎰→00)(lim δ=110=⎰dt hh.一般工程上都称δ一函数为单位脉冲函数,将δ一函数用一个长度等于1的有向线段来表示,这线段的长度表示δ一函数的积分值,称为δ一函数的强度.下面我们推出δ一函数的一个重要结果,称为δ一函数的筛选性质:若()t f 为连续函数,则有()dt t f t ⎰∞∞-)(δ=()0f . (1)更一般情况,有()dt t f a t ⎰∞∞--)(δ=()a f (2)其中()t f 在a t =处连续.由(1)可以求出单位脉冲函数的傅氏变换. )(a t -δ)(a t -δ()=ωF F (){}t δ=()⎰∞∞--dt e t t i ωδ=1|0==-t t i e ω可见, 单位脉冲函数)(t δ与常数1构成了一傅氏变换对；同理, )(a t -δ和ti e ω-亦构成了一个傅氏变换对.同时，若()()ωπδω2=F 时，则由傅氏逆变换得()()ωωπωd e F t f ti ⎰∞∞-=21=()ωωπδπωd e t i ⎰∞∞-221=1|0==t t i e ω故1和()ωπδ2也构成了一个傅氏变换对。
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
积分变换主要公式超强总结 (1)
一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FFt δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos FFt ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−−1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()F n n Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw t w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17[]()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()tF w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2（6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。
积分变换主要公式
一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FF t δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos F Ft ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11 ()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−− 1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()Fnn Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw tw w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()nn n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17 []()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()t F w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2 （6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
t e intdt n
0,1,2,L
这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为
6
接下来讨论非周期函数的展开问题。
任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个 周期函数 fT(t) 当T时转化而来的。
作周期为T 的函数 fT (t), 使其在[T/2,T/2]之内 等于 f (t), 在[T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数轴 上, 则T 越大, fT (t)与 f (t) 相等的范围也越大, 这就说 明当T时, 周期函数 fT(t) 便可转化为 f (t), 即有
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2
n-1n
又 (n )
1
2
f
(
)e jn
d
e jnt
f
(t
)
lim
n 0
n
T
(n
)n
(n ) d n
( )d
最后可得：
f (t) 1
2
an
2 T
T2
T 2 fT t cosntdt
bn
2 T
T2
T 2 fT t sinntdt
在间断点t 处成立：
傅里叶变换基础知识
傅里叶变换基础知识1. 傅里叶级数展开最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。
周期信号的傅里叶级数在有限区间上，任何周期信号()x t 只要满足狄利克雷（dirichlet ）条件，都可以展开成傅里叶级数。
狄利克雷（dirichlet ）条件狄利克雷（dirichlet ）条件为：（1）信号()x t 在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t 从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）；（2）信号()x t 在一周期内只有有限个极大值和极小值；（3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即00/2/2()dt T T x t -⎰应为有限值。
间断点在非连续函数()y f x =中某点处0x 处有中断现象，那么，0x 就称为函数的不连续点。
（1）第一类间断点（有限型间断点）：a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（0x 令分母为零时等情况）；b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（0/y x x =在点0x =处等情况）。
（2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。
傅里叶级数三角函数表达式傅里叶级数三角函数表达式为0001()(cos sin )n n n x t a a n t b n t ωω∞==++∑式中：0a 为信号的常值分量；n a 为信号的余弦信号幅值；n b 为信号的正弦信号幅值。
0a 、n a 、n b 分别表示为： 000000/20/20/20/20/20/201()2()cos 2()sin T T T n T T n T a x t dtT a x t n tdt T b x t n tdtT ωω---===⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰ 式中：0T 为信号的周期；0ω为信号的基频，即角频率，002/T ωπ=，1,2,3...n =。
傅立叶积分变换
第一章 傅里叶积分变换所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种 变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：()()ττF dt t f t k ba−−→−⎰记为),(这里()t f 是要变换的函数，称为原像函数；()τF 是变换后的函数，称为像函数；()τ,t k 是一个二元函数，称为积分变换核 .数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算； 再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换， 其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在： 数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.1．傅里叶级数的指数形式在《高等数学》中有下列定理：定理1.1 设()t f T 是以()0T T <<∞为周期的实函数，且在,22T T ⎛⎫-⎪⎝⎭上满足狄利克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点； （2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有()()∑∞=++=10sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1)其中()dt t f T a TT T ⎰-=2201,()() ,2,1cos 122==⎰-n tdt n t f T a TT T n ω,()() .2,1sin 122==⎰-n tdt n t f T b T T T n ω,在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于()()20000-++t f t f T T .又2cos φφφi i e e -+=,ie e i i 2sin φφφ--=,.于是()∑∞=--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=10222n t in t in nt in t in n T i e e b e e a a t f ωωωω∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛++-+=10222n t in n n t in n n e ib a e ib a a ωω 令,200a c =2n nn ib a c -=, 2n n n ib a c +=-, ,,3,2,1 -n 则 ()∑∞-∞==n tin nT ec t f ω()()2201212i t i t in t i t i t in t n n c c e c e c e c e c e c e ωωωωωω------=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(2)(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义. 容易证明n c 可以合写成一个式子 ,即()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c t in TT T n ω. (3)2．傅里叶积分任何一个非周期函数 ()t f , 都可看成是由某个周期函数()t f T 当T →+∞时转化而来的. 即()t f T T ∞→=lim ()t f =.由公式(2) 、(3)得()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221,可知()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim , 令1,--=∆=n n n n n ωωωωω,则T πω2=或nT ωπ∆=2 .于是()()t i n TT i TT n n e d e f T t f ωτωττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim ()n t i n T T i T n n n e d e f ωττπωτωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰∞-∞=--→∆22021lim , 令()()t i i TT T n T n n e d e f ωτωττπωφ][2122--⎰=,故()t f ()nn nTn ωωφω∆=∑∞-∞=→∆0lim. (4)注意到当,0→∆n ω即∞→T 时,()()t i i n n T n n e d e f ωτωττπωφωφ][21)(-+∞∞-⎰=→. 从而按照积分的定义，（4）可以写为：()t f ()⎰+∞∞-=ωωφd ，或者()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21. (5)公式（5）称为函数()t f 的傅氏积分公式.定理1.2 若()t f 在(-∞, +∞)上满足条件:(1) ()t f 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) ()t f 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,即()dt t f ⎰+∞∞-收敛, 则（5）在()t f 的连续点成里; 而在()t f 的间断点0t 处应以()()20000-++t f t f 来代替.上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当()t f 满足傅氏积分定理条件时，公式(5) 可以写为三角形式，即()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-++=-⎰⎰∞+∞+∞-.,200,]cos [1其它连续点处，在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ(6)上一节介绍了：当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21.从上式出发，设()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰= (1)则()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21 (2)称(1)式，即()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=为()t f 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为()=ωF F ()}{t f .称(2)式，即()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为()t f =F 1-[()t f ].(1)式和(2)式，定义了一个变换对()ωF 和()t f 也称()ωF 为()t f 的像函数；()t f 为的原像函数 ,还可以将()t f 和()ωF 用箭头连接: ()t f ↔()ωF .例 1 求函数()t f ⎩⎨⎧≥<=-0,0,0t e t t β的傅氏变换及其积分表达式其中 0>β.这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.解:根据定义, 有()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰==dt e e t i t ωβ-+∞-⎰0=dt e t i ⎰+∞+-0)(ωβ=ωβi +1=22ωβωβ+-i . 这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义,有()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21ωωβωβπωd e i ti ⎰+∞∞-+-=2221注意到t t eti ωωωsin cos +=， 上式可得()t f ()ωωωωβωβπd t i t i sin cos 2122++-=⎰+∞∞-=ωωβωωβπd tt ⎰+∞++022sin cos 1. 因此⎪⎩⎪⎨⎧>=<=++-∞+⎰.0,,0,2,0,0sin cos 022t e t t d t t t βππωωβωωβ 例2 求()t f =2t Ae β-的傅氏变换其中 0,>βA ---钟形脉冲函数.解: 根据定义, 有()()dt et f F ti ωω-+∞∞-⎰==dt e Ae t i t ωβ-+∞∞--⎰2,=βω42-Aedt Aei t ⎰∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22βωββωβπ42-=Ae .这里利用了以下 结果：()02>=⎰∞+∞--βωπβdx e x . 2．傅里叶变换的物理意义如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式()∑∞-∞==n t in n T e c t f ω,()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21,以及n c 和()ωF 的表达式()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c tin TT T n ω,()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=,由此引出以下术语： 在频谱分析中, 傅氏变换()ωF 又称为()t f 的频谱函数, 而它的模()||ωF 称为()t f 的振幅频谱(亦简称为谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱,因此对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. 显然，振幅函数()||ωF 是角频率ω的偶函数, 即()||ωF ()||ω-=F ,()||ωF 的辐角()ωF arg 称为相角频谱, 显然()ωF arg ()()⎰⎰∞+∞-+∞∞-=tdtt f tdt t f ωωcos sin arctan ,相角频谱()ωF arg 是ω的奇函数.例3 求单个矩形脉冲函数()t f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤,2,0,2,a t a t E 的频谱图.解：()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=dte E t i a a ω--⎰=222sin222ωωωωa Ea a e i E ti =--, 频谱为()||ωF =|2sin2|ωωa E. 请画出其频谱图.以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。
单位脉冲函数及傅里叶变换的性质
1
2
2d
0
1
2
jd
1
2
2d
0
1
2
jd
d
1
2
jd
0
1
0 2
jd
0 .
像函数的微分性：
F() jF[tf (t)] 或F[tf (t)] jF()
F (n) () ( j)nF[tn f (t)] 或F[tn f (t)] jnF (n) ()
由上面两个函数的变换可得
eitd t 2d ()
e d t i(0 )t
2d
(
0 )
注 在 d 函数的 Fourier 变换中，其广义积分是根据 d 函数的
性质直接给出的，而不是通过通常的积分方式得出来的， 称这种方式的 Fourier 变换是一种广义的Fourier变换。
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满 足傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
0
d
(t)d t
lim
0
1 dt 1
0
可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段的长度表示d-函数的积分值.
d (t)
1
O
t
d-函数有性质：
(1) (筛选性质)
d (t) f
(t)d t
f
(0) 及
d (t
t0 )
f
(t)d t
f
(t0 ) .
（f
t 为连续函数）
(2) d函数为偶函数，即d (t) d (t) .
点电荷, 点热源, 集中于一点的质量及脉冲技术中的非常
窄的脉冲等, 就能够象处理连续分布的量那样, 以统一的
单位脉冲函数的傅里叶变换是多少
单位脉冲函数的傅里叶变换是多少
摘要：
1.单位脉冲函数的概念及性质
2.单位脉冲函数的傅里叶变换公式
3.单位脉冲函数傅里叶变换的意义
4.结论
正文：
单位脉冲函数是一种特殊的数学函数，它在某个时间点上具有无限大的值，而在其他时间点上具有零值。
这个时间点通常称为脉冲的“中心点”，单位脉冲函数的傅里叶变换可以用来分析其频谱特性。
单位脉冲函数的傅里叶变换公式可以表示为：
F{δ(t)} = ∫δ(t)e^-jωtdt
其中，F 表示傅里叶变换，δ(t) 表示单位脉冲函数，ω表示角频率，t 表示时间。
根据傅里叶变换的定义，我们知道傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的过程。
对于单位脉冲函数来说，其在时域上的取样性质使得其频谱具有特殊的性质。
具体来说，单位脉冲函数的频谱密度在-∞到+∞区间内处处相等，常称为均匀谱或白色噪声。
单位脉冲函数的积分
单位脉冲函数的积分
单位脉冲函数是一种常见的信号形式，其积分在信号处理中具有重要的作用。
该函数可以用于描述瞬时电流和电压等现象，也可用于建立系统的单位响应和冲激响应等等。
对于单位脉冲函数，其在时域上是一个面积为1，宽度趋近于0的矩形波形。
在频域上，它的傅里叶变换是一个常数，因此它是一种无色的信号形式。
当将单位脉冲函数与其他信号进行卷积运算时，其结果相当于将原信号在单位时间内的平均值与单位脉冲函数的面积相乘。
因此，单位脉冲函数可以用于计算信号的平均值、时间常数等参数，也可用于滤波和降噪处理。
在信号处理中，单位脉冲函数的积分常常用于求解系统的单位响应和冲激响应。
通过将输入信号与单位脉冲函数进行卷积运算，并对结果进行积分，可以得到系统的输出响应。
这种方法在模拟系统分析、数字滤波器设计等方面具有广泛的应用。
总之，单位脉冲函数的积分在信号处理中扮演着重要的角色，其应用范围广泛，为信号处理技术的发展提供了坚实的基础。
- 1 -。
单位脉冲信号的傅里叶变换
单位脉冲信号的傅里叶变换一、引言傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它在信号处理、通信系统、图像处理等领域有着广泛的应用。
单位脉冲信号是一种理想化的信号，它在时域上为一个脉冲，在频域上则为常数1。
本文将介绍单位脉冲信号的傅里叶变换。
二、单位脉冲信号的定义和性质1. 定义单位脉冲信号，也称为Dirac Delta函数，通常用符号$\delta(t)$表示。
它在时域上为一个瞬时的脉冲，满足以下条件：$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1$$对于任意$t_0$，有：$$\int_{t_0-\epsilon}^{t_0+\epsilon}\delta(t)dt=1$$其中$\epsilon$是一个无穷小量。
2. 性质（1）时间平移性质：对于任意$t_0$，有：$$\delta(t-t_0)\xrightarrow{\mathscr{F}}1 e^{-j\omega t_0}$$即在频域上，单位脉冲信号的傅里叶变换为常数1乘以$e^{-j\omega t_0}$。
（2）频率平移性质：对于任意$\omega_0$，有：$$e^{j\omega_0t}\delta(t)\xrightarrow{\mathscr{F}}1e^{j\omega_0t}$$即在频域上，单位脉冲信号的傅里叶变换为常数1乘以$e^{j\omega_0t}$。
（3）尺度变换性质：对于任意$a\neq 0$，有：$$\delta(at)\xrightarrow{\mathscr{F}}\frac{1}{|a|}\delta(\frac{\om ega}{a})$$即在频域上，单位脉冲信号的傅里叶变换为常数$\frac{1}{|a|}$乘以$\delta(\frac{\omega}{a})$。
三、单位脉冲信号的傅里叶变换根据傅里叶变换的定义，将单位脉冲信号表示为：$$\delta(t)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}sinc(\frac{t}{T})=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega t}d\omega$$ 其中$sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$是一个常用的函数。
单位脉冲函数是奇函数
单位脉冲函数是奇函数
脉冲函数是信号处理中一类常用函数，它可以用来描述信号的时
间特性。
脉冲函数中最常用的就是单位脉冲函数。
它是一种奇函数，
表达式为u(t)=1 t>=0，其中u(t)表示函数值，t表示时间变量。
单位脉冲函数是一种奇函数，对应的图形显示为正常在折线上，
但是在 t>=0 处有一个陡峭突起，其他情况下函数都是 0。
也就是说，当 t=0 时，函数值u(t)会突然从 0 瞬间上升到 1，然后保持在 1 不变，而这种突变的特性使得它成为信号处理中的最常用的函数之一。
单位脉冲函数的广泛应用主要归功于它的突起特性，它可以概括
大多数时间序列信号的总体特征，因此常常被用作信号采样的最佳函数，其应用涉及到计算机科学、通信科学、电子工程等领域。
此外，
由于其有序、可控、高效特性，单位脉冲函数也被用来模拟采样和系
统研究中的多项式时域系统以及相关问题。
以上就是单位脉冲函数的基本概念，它是一种非常有用的函数，
在信号处理中都能给我们带来很大的方便。
单位脉冲函数及傅里叶变换的性质34页PPT
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
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单位脉冲函数及傅里叶变换的性质
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
7.3单位脉冲函数(广义傅里叶积分)
F t I (t -t0 )
eg2： 在t=t 时刻产生一电量为q的脉冲电流可表示为： 0
i t q (t -t0 )
3、-函数的筛选性：
(t ) f (t )d t f (0)
或 (t t0 ) f (t )d t f (t0 ) . （f t 为连续函数）
有了δ-函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 例如质点的线密度、瞬时作用力及脉冲技术中的 非常窄的脉冲电流等都可以借助于δ-函数来表示.
eg1： 在坐标x=x 处有一质量为m的质点,则该质点 0 的线密度分布函数为： x m ( x x0 )
eg2： 在t=t0时刻作用一冲量为I的瞬时力可表示为：
5、广义傅氏变换
——利用与-函数相关的广义积分来求傅氏变换 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏
积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f (t ) | d t
例如常数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而可利用 与单位脉冲函数相关的广义积分就可以求出它们的傅氏
变换，它们的广义傅氏变换也是存在的. 所谓广义是相对
于古典意义的积分而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原 像函数f(t) 和像函数F() 构成一个傅氏变换对.
例1 证明：1和2 ()构成一个傅氏变换对. 证法1：利用广义积分
F 1 1 e
it
dt s t eis ds 2 .
4、-函数的傅氏变换:
于是 (t)与常数1构成了一个傅氏变换对.
1 (t ) F [1] 2
1
7.3单位脉冲函数(广义傅里叶积分)
+∞
4、δ-函数的傅氏变换:
F[δ (t)] = F(ω) = ∫ δ (t)e
−∞ +∞ − jωt
dt = e
− jωt t =0
=1
于是δ (t)与常数1构成了一个傅氏变换对.
1 δ (t ) = F [1] = 2π
−1
∫
+∞
−∞
e dω
iωt
⇒ 广义积分 ∫ eiωt dω = 2πδ (t )
F ( t ) = I δ (t -t0 )
eg2： 在t=t 时刻产生一电量为q的脉冲电流可表示为： 0
i ( t ) = qδ (t -t0 )
3、δ-函数的筛选性：
∫
+∞
−∞
δ (t) f (t)dt = f (0)
或 δ (t −t0 ) f (t)dt = f (t0 ). ∫ （ (t)为 续 数 f 连 函 ）
1、 δ-函数的定义 函数的定义 函数的定义——广义函数 广义函数
0 t ≠ 0 δ (t ) = ∞ t = 0
且 ∫ δ ( t )dt = 1
-∞
+∞
0 t ≠ t0 或δ ( t -t0 ) = ∞ t = t0
且 ∫ δ ( t -t0 )dt = 1
-∞
+∞
2、 δ-函数的应用 函数的 函数
−∞
+∞
5、广义傅氏变换 ——利用与δ-函数相关的广义积分来求傅氏变换 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏 积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
∫
+∞
−∞
| f (t)| dt <∞
例如常数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而可利用 与单位脉冲函数相关的广义积分就可以求出它们的傅氏 变换，它们的广义傅氏变换也是存在的. 所谓广义是相对 于古典意义的积分而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原 像函数f(t) 和像函数F(ω) 构成一个傅氏变换对.
单位脉冲函数及其傅氏变换
0
∫ = 1 δ
(t
−
t0
)
=
∞
称为δ函数
定义7.3δ型函数序 列
+∞
∫ =∫ = 1 δ −∞
ε
(t
−
t0
)d
t
t ≠ t0 t = t0
δε (t −
1 t0 +ε
t0 −ε 2ε
且
t0 )= dt
+∞
δ (t
−∞
0
1
20ε
− t0 ) d t
t < t0 − ε t0 − ε < t<
−iπ
⋅e 3 ]
2i
= 1 [(1 + i 3 )ei5t −(1 − i 3 )e−i5t ]
4i
ℱ[eiω0 t ]= 2π δ (ω − ω0 )
ℱ[= f ( t)]
1 {(1 + i 4i
3) ℱ[ei5t ]−(1 − i
3 ) ℱ[e−i5t ]}
= π [(1 + i 3) δ (ω − 5)−(1 − i 3 ) δ (ω + 5)]
2i
ℱ[eiω0 t ] = 2π δ (ω − ω0 )
ℱ[e−iω0 t ] = 2π δ (ω + ω0 )
ℱ[cosω0 t] = π [δ (ω − ω0 )+δ (ω + ω0 )] ℱ[sinω0 t]= −iπ [δ (ω − ω0 )−δ (ω + ω0 )]
ℱ[cos 5t] = π [δ (ω − 5) +δ (ω + 5)]
8
= π i[δ (ω − 3) −3δ (ω − 1)+3δ (ω + 1)−δ (ω + 3)]
广义函数、脉冲函数的基本概念与性质
广义函数、脉冲函数的基本概念与性质广义函数、脉冲函数的基本概念与性质 1 广义函数的产生一般地，给定非空数集A、B，按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A 到集合B的一个函数。
函数是数与数之间的一种对应关系，是经典数学分析的一个基本概念，是代数学中最重要的概念之一。
自然科学的发展表明，古典的函数概念是不够的，或是不完全适合的。
于是，广义函数论随之兴起。
广义函数包括通常的函数在内，甚至更广。
它应是无限次可导和自由地进行极限交换。
广义函数被广泛地应用于数学、物理、力学以及分析数学的其他各个分支，例如微分方程、随机过程、流形理论等等，它还被应用到群的表示理论，特别是它有力地促进了偏微分方程近30年来的发展。
历史上第一个广义函数是由物理学家P。
A。
M。
狄拉克引进的，他因为陈述量子力学中某些量的关系时需要引入了“函数”:当x?0时，=0，但x=0时，=?。
,x,x,x，，，，，，按20世纪前所形成的古典数学概念是无法理解这样奇怪的函数的。
然而物理学上一切点量，如点质量、点电荷、偶极子、瞬时打击力、瞬时源等物理量用它来描述不仅方便、物理含义清楚，而且当它被当作普通函数参加运算，如对它进行微分和傅里叶变换，将它参与微分方程求解等所得到的数学结论和物理结论是吻合的。
这就迫使人们要为这类怪函数确立严格的数学基础。
最初理解的方式之一是把这种怪函数设想成直线上某种分布所相应的“密度”函数。
所以广义函数又称为分布，广义函数论又叫做分布理论。
用分布的观念为这些怪函数建立基础虽然很直观，但对于复杂情况就又显得繁琐而不很明确。
后来随着泛函分析的发展，L。
施瓦尔茨(1945)用泛函分析观点为广义函数建立了一整套严格的理论，接着И。
盖尔范德对广义函数论又作了重要发展。
2 广义函数的定义把普通函数视为某类函数空间上的线性泛函是推广函数概念的一条行之有效的途径。
傅里叶变换基础知识
傅里叶变换基础知识 The manuscript was revised on the evening of 2021傅里叶变换基础知识1. 傅里叶级数展开最简单有最常用的信号是谐波信号，一般周期信号利用傅里叶级数展开成多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号，即一般周期信号是由多个乃至无穷多个不同频率的谐波信号线性叠加而成。
周期信号的傅里叶级数在有限区间上，任何周期信号()x t 只要满足狄利克雷（dirichlet ）条件，都可以展开成傅里叶级数。
狄利克雷（dirichlet ）条件狄利克雷（dirichlet ）条件为：（1）信号()x t 在一个周期内只有有限个第一类间断点（当t 从左或右趋向于这个间断点时，函数有左极限值和右极限值）；（2）信号()x t 在一周期内只有有限个极大值和极小值；（3）信号在一个周期内是绝对可积分的，即00/2/2()dt T T x t -⎰应为有限值。
间断点在非连续函数()y f x =中某点处0x 处有中断现象，那么，0x 就称为函数的不连续点。
（1）第一类间断点（有限型间断点）：a. 可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义（0x 令分母为零时等情况）；b. 跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等（0/y x x =在点0x =处等情况）。
（2）第二类间断点：除第一类间断点的间断点。
傅里叶级数三角函数表达式傅里叶级数三角函数表达式为0001()(cos sin )n n n x t a a n t b n t ωω∞==++∑式中：0a 为信号的常值分量；n a 为信号的余弦信号幅值；n b 为信号的正弦信号幅值。
0a 、n a 、n b 分别表示为：000000/20/20/20/20/20/201()2()cos 2()sin T T T n T T n T a x t dtT a x t n tdt T b x t n tdtT ωω---===⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰式中：0T 为信号的周期；0ω为信号的基频，即角频率，002/T ωπ=，1,2,3...n =。
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有了δ-函数, 对于许多集中于一点或一瞬时的量, 函数 例如质点的线密度、瞬时作用力及脉冲技术中的 非常窄的脉冲电流等都可以借助于δ-函数 函数来表示. 函数
eg1： 在坐标x=x 处有一质量为m的质点,则该质点 0 的线密度分布函数为：ρ ( x ) = mδ ( x − x0 ) eg2： 在t=t0时刻作用一冲量为I的瞬时力可表示为：
F ( t ) = I δ (t -t0 )
eg2： 在t=t 时刻产生一电量为q的脉冲电流可表示为： 0
i ( t ) = qδ (t -t0 )
3、δ-函数的筛选性：
∫
பைடு நூலகம்
+∞
−∞
δ (t) f (t)dt = f (0)
或 δ (t −t0 ) f (t)dt = f (t0 ). ∫ （ (t)为 续 数 f 连 函 ）
§7.3 7. 单位脉冲函数（δ-函数） 函数） 函数
7.3 单位脉冲函数（δ-函数）及其傅氏变换 函数） 函数 在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲 函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在 电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势 作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受瞬时冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问 题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
⇒ 广义积分 ∫ e − i (ω −ω0 )t d t = 2πδ (ω − ω0 )
−∞ +∞
作业： 作业：
P142 7.6 （2） 7.8
1、 δ-函数的定义 函数的定义 函数的定义——广义函数 广义函数
0 t ≠ 0 δ (t ) = ∞ t = 0
且 ∫ δ ( t )dt = 1
-∞
+∞
0 t ≠ t0 或δ ( t -t0 ) = ∞ t = t0
且 ∫ δ ( t -t0 )dt = 1
-∞
+∞
2、 δ-函数的应用 函数的 函数
−∞
+∞
5、广义傅氏变换 ——利用与δ-函数相关的广义积分来求傅氏变换 在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足傅氏 积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
∫
+∞
−∞
| f (t)| dt <∞
例如常数, 单位阶跃函数以及正, 余弦函数等, 然而可利用 与单位脉冲函数相关的广义积分就可以求出它们的傅氏 变换，它们的广义傅氏变换也是存在的. 所谓广义是相对 于古典意义的积分而言的, 在广义意义下, 同样可以说,原 像函数f(t) 和像函数F(ω) 构成一个傅氏变换对.
−1
例2 证明e
iω0t
和2πδ (ω − ω0 )构成一个傅氏变换对。
−1
证 Q f (t) =F [2πδ (ω −ω0 )] ： 1 +∞ iω0t iωt iωt = ∫−∞ 2πδ(ω −ω0)e dω = e ω=ω0 = e . 2π iω0t 即 和 πδ (ω −ω0 )构 了 个 氏 换 。 e 2 成 一 傅 变 对
例1 证明：1和2πδ (ω)构成一个傅氏变换对. 证法1：利用广义积分
F [ 1 ] = ∫ 1⋅ e
−∞ +∞ − iωt
dt s = −t ∫ eiω s ds = 2πδ (ω ) .
−∞
+∞
证法2：利用δ-函数的筛选性：
若F(ω)=2πδ (ω), 由傅氏逆变换可得
1 +∞ f (t) =F [2πδ (ω)] = 2πδ (ω)ejωtdω = e jωt =1 ∫−∞ ω=0 2π
−∞
+∞
4、δ-函数的傅氏变换:
F[δ (t)] = F(ω) = ∫ δ (t)e
−∞ +∞ − jωt
dt = e
− jωt t =0
=1
于是δ (t)与常数1构成了一个傅氏变换对.
1 δ (t ) = F [1] = 2π
−1
∫
+∞
−∞
e dω
iωt
⇒ 广义积分 ∫ eiωt dω = 2πδ (t )