第一讲 二次根式的乘除法
《二次根式的乘除》二次根式PPT(第1课时)
6
6 7
___÷___=____;
7
6
.
10
4.9 .
课堂小结
本节课学习了哪些主要内容？
法
二次根
式乘法
则
拓展法则
⋅ = ( ≥ 0, ≥ 0൯
⋅ ⋅ ⋯⋅ = ⋅ ⋅⋯⋅
（ ≥ 0, ≥ 0, ≥ 0）
⋅ = （ ≥ 0, ≥ 0൯
性
质
= ⋅ （ ≥ 0, ≥ 0൯
(2) 3 + 6 2 + 9 2 ≥ 0, ≥ 0
解：（1） 532 − 282 =
53 − 28)(53 + 28
= 53 − 28 × 53 + 28 = 25 × 81 = 45.
（2） 3 + 6 2 + 9 2 =
+ 3
2
= ( + 3) .
注意：a，b都必须是非负数.
被开方数
根指数
二次根式相乘，________不变，________相乘.
新课导入
问题引入
站在水平高度为 h m的地方看到可见的水平距离为d 米，
它们近似地符合公式为 = 8
ℎ
5
.
ℎ
5
问题1 某一登山者爬到海拔100m处，即 =
20 时，他看到的水平线的距离d1是多少？
当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单
项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根
号外的因数(式)，被开方数的积作为被开方数，即
m a n b mn ab a 0, b 0
知识讲解
例3
比较大小(一题多解):
二次根式乘除法法则
二次根式乘除法法则
二次根式乘除法法则是一种简便的计算方法，它可以帮助我们快速解决复杂的数学问题。
首先，我们要了解二次根式乘除法法则的基本原理，即：当一个二次根式中的两个根式相
乘时，其系数相乘，而根式的指数相加。
当一个二次根式中的两个根式相除时，其系数相除，而根式的指数相减。
其次，我们要学会如何使用二次根式乘除法法则来解决数学问题。
首先，我们要分析问题，找出问题中的二次根式，然后根据二次根式乘除法法则，将二次根式中的系数和指数进行
相应的运算，最后得出结果。
最后，我们要注意二次根式乘除法法则的一些细节，比如当二次根式中的系数为负数时，
要注意系数的符号，以及当二次根式中的指数为负数时，要注意指数的符号。
总之，二次根式乘除法法则是一种简单而有效的计算方法，它可以帮助我们快速解决复杂
的数学问题，但我们也要注意它的一些细节，以便正确使用它。
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
初中数学知识点精讲精析 二次根式的乘除
3.2 二次根式的乘除学习目标1.理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算。
2.能熟练地进行二次根式的化简及变形。
知识详解1.二次根式的乘法二次根式的乘法：a·b＝ab(a≥0，b≥0)即两个二次根式相乘，就是把被开方数相乘.2．积的算术平方根积的算术平方根，等于各算术平方根的积．利用积的算术平方根的性质可对二次根式进行化简，使其不含能开得尽方的因数或因式．3.运用二次根式乘法法则的“四点注意”（1）被开方数：乘法法则中的a,b可以是数，也可以是代数式，但都必须满足a≥0,b ≥0这个条件.（2）二次根式前的“系数”：当二次根式前面的“系数”不为1时，可类比单项式乘以单项式的法则进行运算，即系数之积作为积的系数，被开方数之积作为积的被开方数。
（3）运算的结果：二次根式相乘的结果必须化为最简.（4）二次根式法则的推广：多个二次根式相乘时，所有系数之积作为积的系数，所有被开方数之积作为积的被开方数。
4.二次根式的除法二次根式的除法：ab＝ab(a≥0，b>0)即：二次根式相除，只把被开方数相除，结果仍然作为被开方数．5.商的算术平方根：商的算术平方根等于各算术平方根的商．6. 最简二次根式最简二次根式应满足以下两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．所以，化简二次根式时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．（3）分母中的根号若不能直接约去，先利用除法法则将式子化为商的算术平方根，再把被开方数中的分子、分母都乘以分母，然后化简即可7. 理解二次根式除法法则的四点注意（1）二次根式除法法则中的a,b既可以是数，也可以是代数式.（2）在运算中应注意约分要彻底.（3）若法则中a,b为带分数时，则一定要先化为假分数,再运用法则进行运算.（4）运算过程中，注意符号变化，结果要化成最简二次根式.8. 二次根式化成最简二次根式“四步法”（1）转化：把根号下的带分数或小数化成假分数.（2）分解：被开方式是多项式的要进行分解因式.（3）化简：将被开方式中开得尽方的因数或因式，根据二次根式的性质，用它的算术平方根代替后移到根号外，并化去分母中的根号.（4）约分：约去可以约分的数或因式.【典型例题】例1.这个二次根式可以是（写出满足条件的一个即可）．=2例2. 最简二次根式的条件是（1）；（2）【答案】（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．【解析】根据最简二次根式的定义可知最简二次根式的条件是（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．例=【答案】9【解析】原式=|-9|=9．【误区警示】易错点1：最简二次根式1.当m=时，最简二次根式可以合并．【答案】1 4【解析】由题意，知：3m+1=2-m；解得14 m=易错点2：化简方法2.=【答案】7 11【解析】711原式【综合提升】针对训练1. 下列计算正确的是（）A ．2510a a =（） B ．257a a a +=CD ．2. 下列运算正确的是（ ）A ．326•x x x =B ．2a+3b=5abC ．22a 1a 1+=+（）D 63. (a≥0)的结果是1.【答案】A【解析】A ．2510a a =（）项正确，B ．257a a a +=，C ，D ．错误。
二次根式乘除法 (含答案)
一、知识聚焦：1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
5．最简二次根式：符合以下两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
6．分母有理化：把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”二、经典例题：例1．化简(4)0x),0≥≥y例2．计算(2)31525⋅ 32⨯例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：==4 例4．化简：)0,0(≥>b a (3) )0,0(>≥y x )0,0(>≥y x例5．计算：÷ （4）例6．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1)b a 23 (2)23ab(3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6)xy 8例7. 把下列各式化为最简二次根式：(1)12 (2)b a 245 (3)xy x 2例8. 把下列各式分母有理化(1)4237a b例9. 比较3223和两个实数的大小答案： 例1. (1)12 (2)36 (3)90 (4)3xy (5)3例2. （1 （2）303 （3） （4）6例3. (1)不正确． ×3=6(2) 例4.（1）83 （2）a b 38 （3）y x 83 （4）yx135 例5.（1）2 （2）23 （3）2 （4）22例6．(3)，(4)，(5)是，其它不是 例7．(1)23, (2) b a 53, (3) xy x例8. (1)21144-(2) ba ba a ++2 例9. 3223> 三、基础演练：1. ②×2.化简:3.把下列各式化为最简二次根式：(1)3)(8y x + (2)2114 (3)mn 382334. 把下列各式分母有理化（1）403 （2）xyy 422（x ＞0，y ＞0）5.比较大小(1)76与67 (2)23与32答案：1.①=82 ②=1215 ③=y a 2.25；32；62； 32ab3.(1) )(2)(2y x y x ++ (2) 62 (3) mmnn 6 4.(1)2030 (2) x xy y5.解：(1) 76<67 (2) 23>32四、能力提升：1．，•那么此直角三角形斜边长是（ ）．A ．cmB ．3cmC ．9cmD ．27cm 2．下列各等式成立的是（ ）．A ．B ．C ．×D ．3 ）．A ．27B ．27C D ．74.二次根式：①29x -；②))((b a b a -+；③122+-a a ；④x1；⑤75.0中最简二次根式是（ ）A 、①②B 、③④⑤C 、②③D 、只有④56．分母有理化:(1)=_________; (2)=________ (3) =______.答案：1． B 2． D 3． A 4. A 5．6136．(1)=62 ;(2) = 63 (3) =22五、个性天地：（LJJ00002）（1=_________；（2）=___________；=_________；（2=__________．(SHY00002)已知x=3，y=4，z=5_______．答案：（LJJ00002）（1）4；（2）15；(ZZY00002)57；（2）24x (SHY00002)315。
二次根式的乘除法ppt
乘法运算技巧
对于一些特殊的二次根式乘法，可以采用一些简便方法。
比如$\sqrt{2} \times \sqrt{2}$可以直接得到结果$2$，而$\sqrt{3} \times \sqrt{3}$可以直接得到 结果$3$。
对于$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$，如果$a$和$b$都是平方数，那么可以直接得到结果$\sqrt{ab}$。
THANKS
谢谢您的观看
3
注意结果的合理性
在进行二次根式乘除法时，需要注意结果的合 理性，以避免出现不符合实际情况的结果。
02
二次根式乘法
乘法运算规则
1
二次根式的乘法运算规则与普通实数的乘法运 算规则类似，但需要注意根号的简化。
2
两个二次根式相乘，只需要将两个根式的指数 相加，再将根号内的数值相乘即可。
3
如果两个二次根式的根号下是相同的数，么 它们相乘的结果就是根号下这个数的平方。
除法运算技巧
对于分母中含有能开方的数时，应尽量先开方再 计算。
对于分母中含有多个相同的数时，应将这个数乘 以分子的系数。
对于分母中含有能凑整的数时，应尽量凑整后再 计算。
04
二次根式乘除法应用
面积计算
总结词
二次根式乘除法在面积计算中有着广泛的应用。
详细描述
在计算矩形、三角形、圆形等图形的面积时，可以利用二次根式乘除法进行计算 ，从而得到精确的结果。
学生在进行二次根式乘除法时，可能会按照常规的运算顺序进行计算，即先乘除 后加减，从而导致计算结果错误。正确的运算顺序应该是先化简二次根式，再进 行乘除运算。
忽略结果是否为最简二次根式
总结词
在进行二次根式乘除法时，学生常常会忽略结果是否为最简 二次根式。
二次根式乘除运算法则
二次根式乘除运算法则二次根式乘除运算法则是数学中重要的乘除运算方法，也是高等数学和数学分析中的重要技能。
二次根式乘除运算可以帮助我们解决复杂的算术表达式，它是数学中的重要操作之一。
一般地说，二次根式乘除运算就是将多项式拆分成几个关于根式的乘除运算，再利用乘方公式求解结果。
因此，二次根式乘除运算具有高效性，在解决多个多项式之间乘除运算更受重视。
要掌握二次根式乘除运算，首先要熟悉它的基本运算法则和注意事项：首先，我们要清楚乘方公式，尤其是负数的乘方公式。
这个公式被用来计算多个多项式的运算结果，比如，当x(a+b)的n次方等于x^a*x^b时，就用到了乘方公式。
第二，当处理多项式时，要注意数值的符号问题，例如，当多项式的系数为正和负系数时，必须要确保其合并结果是正的。
第三，在进行根式乘除运算时，要特别注意分母和分子的乘除关系，例如，当根式的分母为1时，可以直接化简；当分子为1时，也可以直接化简，这样可以节约时间和精力。
第四，任何一个多项式乘除运算都不能忽视乘除法则，例如，如果有一个多项式(ax^2+bx+c)*(dx+e)，由乘除法则，应该有(adx^3+ (ae+bd)x^2 + (be+cd)x + ce)的结果。
第五，有时多项式的乘除运算有较强的难度，而二次根式乘除运算可以使求解过程变得容易，比如，当ax^2+bx+c=0时，可以用一次根式乘除运算法求出x1和x2。
另外，在掌握二次根式乘除运算的过程中，要注意把握逻辑思维和推理的能力，因为在计算的过程中，逻辑思维和推理能力是非常重要的。
以上就是对二次根式乘除运算的基本概念和注意事项，可以说，了解了二次根式乘除运算的基本法则，就可以更好的应用这种运算方式，解决多种复杂的算术表达式，从而提高计算效率、增强逻辑思维能力和抽象思维能力。
二次根式乘除运算是数学中重要的操作，如果正确把握规律，并通过一定的实践来熟悉运算，就可以在解决多种复杂算术表达式时发挥重要作用，从而提高解题的效率。
二次根式的乘除法则
一、二次根式的乘法：
（1）法则：根a ·根b =根ab （a≥0且b≥0）
（2）类型：
单项二次根式乘以单项二次根式；
单项二次根式乘以多项二次根式；
多项二次根式乘以多项二次根式
在进行乘法运算时,有时可以应用乘法公式,使计算简便.
二、二次根式的除法：
（1）法则：根a/根b =根a/b （a≥0且b>0）
（2）类型：
单项二次根式除以单项二次根式（应用运算法则计算）
多项二次根式除以单项二次根式（转化为单项二次根式除以单项二次根式）
除数是二个二次根式的和或是一个二次根式与一个有理数的和（把分母有理化进行运算,或与分式的运算类比思考,约去分子,分母中的公因式）。
第一讲 二次根式的概念及二次根式的乘除法
第一讲二次根式的概念及二次根式的乘除法知识与方法1.定义：0)a≥的式子叫做二次根式；特别地，有时把形如0,0a b≠≥）0)a≥表示a的算术平方根2.二次根式的性质：(1)二次根式的双非性≥(0a≥) ；(2)2a=( 0a≥)；a=；=0a≥,0b≥)；=(0a≥,0b>).3.二次根式的乘除:=0a≥,0b≥)；==0a≥,0b>)；(3)=0a≥,0b≥)；(4) =0a≥,0b>,0n≠).4.基本思想方法:(1)逆用性质2a=( 0a≥)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式,这在代数式的化简、计算及其它代数变换中经常会用到.例如,化简22-===；(2)积、商的算术平方根的两个性质是二次根式化简与运算的重要依据，逆用这两个性质可进行二次根式的乘除运算，但一定要注意它们成立的条件；(3)合理运用(或逆用)积、商的算术平方根的两个性质,可将被开方数中开得尽方的因数(或因式)开出来,也可将根号内的分母化去，从而将二次根式化简；有时需要将它们与2a=（a≥）合用，把根号外的非负因式移到根号内.例题解析【例1】x为何值时,下列各式在实数范围内有意义?(1)；(3)234x x --；【巩固练习一】1.11m +有意义,则m 的取值范围是____________.2. x 为何值时,下列各式在实数范围内有意义?(1)x【例20=,求20122012m n +的值.【巩固练习二】12690y y -+=,求()20132x y -的值.2. 若a ,b 是实数，且13b ≤,试求23131b b a --+-的值.【例3】计算； (3)-【巩固练习三】；⎛ ⎝（0,0m n >>）.【例4】(1) 已知x =y =求22x xy y -+的值；(2) 已知1a =,求322a a a +-的值.【巩固练习四】1. 已知3a =+3b =-求22a b ab -的值；2. 若2310x x -+=,.能力训练一1. ．2.当___________时,在实数范围内有意义.3.比较大小:(1) (2)_____4.1a0y >）、1m n+0m ≥，0n ≥）．5.在实数范围内分解因式:(1)2x -； (2)426p p +-.6.把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内:(1)-； (2)(1a - (3)-7.1的整数部分为a ,小数部分为b ，试求)()1a b +的值8.若322x -<<,化简((41x x --第二讲最简根式与二次根式的加减法知识与方法1.最简二次根式:(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式.2.同类二次根式:化成最简后，被开方数相同．．．．．．的几个二次根式.3.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.4.二次根式的混合运算顺序：先乘方，后乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.5.基本思想方法:(1)一个二次根式是最简二次根式的必要条件是根号内的代数式(即被开方数)是整式，此外，还需符合以下条件:①若被开方数是单项式，则要求系数是整数，且该整数的所有质因数的指数及此单项式的所有字母因式的指数均为1；②若被开方数是多项式，则要求此多项式的各项系数是整数，且要求将此多项式充分分解．．．．．．后的每一质因数．．和因式(含多项式因式)的指数均为1.(2)对于同类二次根式，一般只有在把每个二次根式化成最简二次根式后才能作出判断, 此时只要求被开方数相同，而根号前面的因式只要非负即可.(3)把一个二次根式化成最简二次根式，通常先运用分式的基本性质,将被开方数等值变换成分母中的每一质因数或因式的指数均为偶数的形式，再根据二次根式的性质化去根号内的分母，进而再把被开方数分解因式或分解质因数，运用二次根式的性质把其中开得尽方的因数或因式开出来.(4)二次根式的加减运算，要注意防止出现以下错误：①该化简的没化简，如结果中出现等；②不能合并的却合并了，如=；③化简得不正确，如=-.=等；④合并错误，如a(5)有关二次根式的计算、化简、比较大小等题型中常用方法：换元法和取倒数法.例题解析【例1】(1)下列各式哪些是最简二次根式，哪些不是最简二次根式..(2)0+≠).x y【巩固练习一】1. 下列根式中，属最简二次根式的是（ ）A2.；③【例2】判别下列二次根式中,哪些是同类二次根式：0)n >，30)y ->.【巩固练习二】1.若最简二次根式b ()201212012b a --=_______.2.判别下列二次根式中,哪些是同类二次根式：【例3】计算或化简：(1) ； 3x【巩固练习三】1.计算或化简：2⎛ ⎝； ②2b ⎛- ⎝(0,0a b >>).2.已知5x =，求263x 的值.【例425x =，15y =.【巩固练习四】1.已知5x y +=，3xy =的值.2.当2a =2121a a a -+-的值.能力训练二1.下列各式中最简二次根式有( )，，.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.已知0a >,化简43⎛⎛- ⎝⎝后所得的结果是( )A ．0B ．CD ．3.12-=_______.4.t 的值，代入化简后的式子求值5.如果最简二次根式320122013m n -的值.6.2x >)7.设32s +=32t =，求5445s s t st t +++的值.8.m ，小数部分为n ，求(21m mn ++的值.第三讲 二次根式的混合运算及综合应用知识与方法1.分母有理化：将分母中含根号的代数式等值变换成不含分母或分母中不含根号的形式，简言之就是通过等值变换把分母中的根号化去.2.互为有理化因式：两个含根号的代数式相乘，若积中不含根号，则称这两个代数式是互为有理化因式，其中一个称为另一个的有理化因式.3.二次根式的混合运算顺序：先乘方，后乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.4.基本思想方法:(1)分母有理化的常见方法是利用分数的基本性质把分子、分母同乘以分母的最简．．有理化因式，从而化去分母中的根号；但有时也可把分子、分母分解成积的形式，通过约分，使分母不含根式；甚至有时可综合运用两种方法进行分母有理化，这需酌情灵活处理.======等.(2)分母有理化的关键是确定分母的最简．．有理化因式.一般说来：①)②a±有理化因式是ab；③b y；④若分母有多项，往往需适当变形后才能找出其最简有理化因式或将原式逐步化简才能使分母有理化. (3)在混合运算时有理式的运算法则及运算律同样适用，在进行一级运算(即加减运算)时尤其要注意二次根式的化简和同类二次根式的合并，在进行二级运算(即乘除运算)时要注意将式子分母有理化.(4)有理化．．．是一种重要的思想方法，有时为解决一些难题，可创造性地通过将分子有理．．．．化．、方程有理化．．．．．等将命题等价置换，这在一些有关根式的奥数题的解法中常被用到.例题解析【例1】(1)；；. (2)2011+++.【巩固练习一】1..2.2011++；.【例2②；【巩固练习二】1.计算：； ②计算：2m m n ⎛÷ ⎝.【例3】①若12a ≤≤，2a -的值；【巩固练习三】1.a b b c ++； 2.化简12-【例4】(1)的整数部分为a ，小数部分为b ，求11114a b a b+++-的值；(2)设x =y =，求22x y x y ++的值.【巩固练习四】1.④.2.已知a =b =.能力训练三1.若a =()()13a a --=_____________.2.计算()a b +÷-=_____________.3.( )A4.已知a =b =( ) A ．3B ．4C ．5D ．65.)021-；②. 6.；))2211-.7.已知a =⎛⎫⎛÷.8.a ，小数部分为b ，求2212a ab b ++的值.第四讲 勾股定理知识与方法①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）例题解析【例1】如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?【巩固练习一】1、已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，求△ABE 的面积。
二次根式二次根式的乘除法
二次根式二次根式的乘除法一、知识概述1、二次根式的定义形如的式子，叫做二次根式．注意：二次根式有意义的条件是a≥0．2、二次根式的基本性质(1)是一个非负数；(2) ；(3) ．3、二次根式的乘法法则即两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．4、积的算术平方根的性质即两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．5、二次根式的除法法则即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．6、商的算术平方根的性质7、最简二次根式满足下列条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式．二、重难点知识归纳1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数．2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负(≥0).3、利用得到成立，可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式．如．4、注意逆用二次根式的乘除法则，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．5、二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．化简方法有多样，但都要化简．如化简．方法1：．方法2：．方法3：．方法4：6、二次根式的分母有理化当被开方式中含有分母时，要把分母中的根号化去，这个运算过程叫分母有理化．如分母含时，分子分母同乘以；分母为形式，分子分母同乘以，以便运用平方差公式，化去分母中的根号．三、典型例题讲解例1、已知，化简.解析：因为，由二次根式的被平方数为非负性知：x－2≥0且x-2≤0，从而x=2。
所以。
故有。
例2、已知等式在实数范围内成立，其中x、y、a 是两两不同的实数，试求代数式的值．解：由题意得∴由①③得a≥0，由②④得a≤0．∴a=0．故：原等式可化为，∴x=－y．∴例3、计算下列各题．解：例4、已知求二次根式的值.分析：将作为一个整体，逐步平方得到的值.例5、已知x、y为实数，且实数m适合关系式，试确定m的值．分析：∵x－199＋y与199－x－y互为相反数，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同时成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199，又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程组，从而求出m的值．解：由二次根式有意义的条件知，∴x＋y=199将其代入已知等式得．又根据算术平方根为非负实数有②×2－①得x＋y－m＋2=0，结合③得m=x＋y＋2=199＋2=201．总结：当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零．例6、把下列各式化成最简二次根式：分析：（1）～（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）～（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后再运用商的算术平方根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化简．总结：（1）当被开方数中不含有分母，则用积的算术平方根性质进行化简；（2）当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算术平方根．中考解析：例1、（2006年.广州）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（）．A．x>0B．x≥0C．x≠0D．x≥0且x≠1分析：代数式在实数范围内有意义，则被开方数x≥0,又分母不能为零，即x－1≠0,所以x≥0且x≠1．答案：D例2、（2005年，绍兴）化简得（）A．2B．－4x＋4C．－2D．4x－4分析：要注意题目中的隐含条件：2x－3≥0，∴2x－1>0. 由二次根式的双重非负性化简，所以．答案：A课外拓展：例1、已知，求a＋b＋c的值．分析：已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式如何才能确定未知量的值呢？由二次根式的基本性质考虑配方．解：原等式变形为，配方得则得a=2，b=6，c=12，故a＋b＋c=20．例2、若a=－1，求(a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17)99的值．思路：本题若将a=－1代入，确实繁杂，联想到以前学过的整体求值，因此应在a=－1上做文章．解：∵a=－1，∴(a＋1)2=()2即a2＋2a＋1=17．又∵a5＋2a4－17a3－a2＋18a－17= a5＋2a4－(a2＋2a＋1)·a3－a2＋(a2＋2a＋1＋1)a－(a2＋2a＋1)=a5＋2a4－a5－2a4－a3－a2＋a3＋2a2＋2a－a2－2a－1=－1．∴原式=－1．总结：本题是构造出值为17的代数式，然后依据待求式中多次出现17的特点，采用宾主置换的方法，得到简捷的解法，也可以用降次的方法，即将a2=16－2a代入降次求解A 卷一、选择题1、若=x－1，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x>1 D．x<12、二次根式中，最简二次根式的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个3、设a为实数，则的最小值是（）A．1 B．0 C．D．4、若1≤a≤3，化简|a－1|＋的结果为（）A．2 B．－2 C．2a＋2 D．2a－45、当x≤2时，下列等式一定成立的是（）A．B．C．D．6、化简的结果为（）A．B．C．D．7、计算=（）A．1 B．－1 C．D．－8、已知，则的值为（）A．3 B．－3 C．±3 D．9B 卷二、解答题9、已知实数a满足，求a－20052的值．10、设a、b、c都是实数，且满足，求x2＋x＋1的值．11、化简：．12、计算下列各题；；；．13、化简下列各式．14、若实数x，y满足，试求x＋y的值．一．选择题1.A2.D3.D4.A5.C6.C7.D8.A二．解答题9.解：由知a≥2006，∴原式可化为即a－2006=20052，∴a－20052=200610.解：∵(2－a)2≥0，，|c＋6|≥0.而..将a=2，b=2，c=－6代入ax2＋bx＋c=0中得2x2＋2x－6=0，即x2＋x=3．∴x2＋x＋1=4．11.解：由可知x－1≥0即x≥1.12.解：13.解：．14.解：由题意有∴x=2．当x=2时，y=1，∴x＋y=3．。
二次根式的乘除
二次根式的乘除二次根式是数学中重要的概念之一，它是数学中的一类代数式子。
简单来说，二次根式就是一个数学式子，它在根号内含有一个二次式，即一个含有二次幂的多项式。
在计算二次根式的乘除时，需要使用一些基本的数学运算规则和方法，本文将对这些知识进行详细介绍。
首先，我们来了解一些基本概念。
在代数式中，如果一个式子中含有根号，则这个式子被称为根式。
而如果在根式中，根号下面的表达式是一个二次式，即一个多项式中含有二次幂，则这种类型的根式就被称为二次根式。
例如，$\sqrt{2x^2+5x-1}$就是一个二次根式。
接下来，我们来看二次根式的乘法规则。
假设有两个二次根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，则它们的乘积可以表示为$\sqrt{ab}$，即$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
例如，$\sqrt{2x^2+5x-1}\times\sqrt{3x^2-7x+2}=\sqrt{(2x^2+5x-1)\times(3x^2-7x+2)}$。
在进行二次根式的乘法时，需要注意以下两点：1. 如果两个二次根式的根号下面的表达式相同，则可以将它们合并为一个二次根式。
例如，$\sqrt{a}\times\sqrt{a}=\sqrt{a^2}=a$。
2. 如果两个二次根式的根号下面的表达式不同，则需要化简后再进行计算。
化简的方法如下：先将两个二次根式中的根号下面的式子相乘，然后再将根号下面的式子分解成两个因数的积，如$ab=(\sqrt{a}\times\sqrt{b})^2$，最后将这两个二次根式合并。
例如，计算$\sqrt{3x^2-7}\times\sqrt{2x^2+5x-1}$。
首先将两个根式中的根号下面的式子相乘，得到$(3x^2-7)\times(2x^2+5x-1)$。
再将这个式子拆分成两个因数的积，即$(3x^2-7)\times(2x^2+5x-1)=(3x^2)\times(2x^2)+(3x^2)\times(5x)-7\times(2x^2)-7\times(5x)+7=6x^4+8x^3-29x^2+7$。
二次根式的乘除[1]
![二次根式的乘除[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/081e652a59fb770bf78a6529647d27284b73370e.png)
二次根式的乘除（第1课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？（1＝，；（2＝，；（3，；【要点梳理】)0,0a b=≥≥即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．例1计算下列各题：（1（2；（3（4（5）；（6）．【课堂操练】1.计算下列各题：（1）（2（3；（4；（5；（62．等式=成立的条件是.【要点梳理】2．积的算术平方根的性质：)0,0a b=≥≥即：两个非负数的积的算术平方根，等于这两个因数的算术平方根的乘积．例2化简：（1）；（2；（3；（4【课堂操练】１. 化简：（1（2；（3（4【要点梳理】例3化简：（1；（2（3；（4（5）(--．【课堂操练】1．化简：（1；（2（3；（4（5例4比较大小①例5.已知梯形的上底a=,下底b=高h=求面积S.【课后盘点】1.等式=成立的条件是．2＝＝3．＝4．比较大小：-5．把根号-外的因式移到根号内得62=，那么必须满足的条件是（）A．a取全体实数B．0a≥C．a＞０D．a＜０7．计算10253⋅的结果应该是（）A．300B．C．D8．下列计算准确的是( )A==B==C541==-=D==9．在下列运算：=-==()3515==-⨯-=5===中，准确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个10．已知为正实数，下列等式中，一定成立的是（）A=B22a b=+C．2a b=+D a b=-11．化简：（1；（2（3；（4(5) ；(6) ；(7) ．12．填空（1=（2=（3=（4=（5=（6= （7= （8= （9=（10= （11）×= （12= 13．判断下列各式是否准确，不准确的请改正： （1（2=4×=414．若直角三角形两条直角边的边长分别为，•那么此直角三角形斜边长是 （ ） A ．cm B ．cm C ．9cm D ．27cm15．化简（ ） ABC ．D ．16．等式1112-=-⋅+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-117．下列各等式成立的是 （ ） A ．8B ．C ．D ．=18． 自由落体的公式为S=12gt 2（g 为重力加速度，它的值为10m/s 2），若物体下落的高度为720m ，则下落的时间是_________． 19．计算下列各式:(2) (--(3)(4) -(5)(6)20．大家都知道当0a ≥时,a =,实质上当0a ≤时,a =-.这是因为a ==-．这个性质反过来同样成立，请使用上述结论，将下列根号外的因式移至根号内．(1) ;(2) -.21．cm,这边上的求此三角形的面积.22.已知矩形的宽为,长为, 求矩形的面积.23．一个底面为30cm ×30cm 长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？(设计人:周海燕)二次根式的乘除（第2课）【预习引领】计算下列各式，观察计算结果，你发现了什么规律？（1＝；（2＝，．【要点梳理】1.二次根式的除法法则：=0a≥,b>0）即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．例1 计算下列各题：（1；（2；（3；（4）；【课堂操练】1．计算下列各式：（1；（2（3；（4（52.商的算术平方根的性质：=（0a≥，b＞０）例2 化简：；练习：化简下列各式:(1)(2)(3)(4)(5) ；(6) ．例3 观察下列各式及其验证过程:=:(1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想;（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且2n≥)表示的等式，并证明它成立.2．最简二次根式满足下列条件：(1) 被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式.例4下列二次根式中哪些是最简二次根式，哪些不是?，，(8)a>b)【课后盘点】1）A．27B．27CD2．阅读下列运算过程：====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”，（）A．2 B．6 C．13D3.如果（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）A（y>0）By>0）C（y>0）D．以上都不对4．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）A B．D．5．在下列各式中，化简正确的是（）A B±12C D．6的结果是（）A．－3B．C．－3D．7．分母有理化: (1)66=_________；(2) ；(3) =______．8．已知x=3，y=4，z=5，最后结果是_______．9．（x ≥0）10．化简二次根式号后的结果是___ ．11分母有理化为.12=成立的条件是a b=ab的代数式表示为．14.·（-）÷（m>0，n>0）15.-3÷（）×（a>0）16.若y且x、y为实数，17.=，且x为偶数，求（1+x）的值．18.先化简,再求值.32322222b b ab ba b a a b ab a b+-÷--+-，其中a=，b=19.先将2x-,然后自选一个x合适的值,代入化简后的式子求值.20.已知x为奇数,且=求.21．已知a阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：解：-aa-a·1a=（a-122. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．23.在直角坐标系中,一次函数y kx b=+经过点(和(-,求原点o到该直线的距离.24．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：121=--1，32=-=-，同理可得：，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算（+++……））的值．（设计人:周海燕)BAC。
16.2.1二次根式的乘除法
巩固新知：
例1、判断下列等式是否成立？若成立， 请说明理由并改正 (1） (4) (9) 4 9
（ 2）
4a a
42
（a为任何实数）
例2： 计算 （1） 6 27
（ 2）
（ 3 5） 2 10
小结： 根据性质3进行二次根式的乘法，可以把被开方数中的 “完全平方根式（数）”用它的算术平方根代替， 由根号内移到根号外。 一般步骤： （1）运用法则，化为根号内的实数运算 （2）对根号内的实数进行因数（式）分解 （3）将根号内开得尽方的因式用其算术平方根代替 到根号外。
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
（a≥0，b≥0） m a n b mn ab
根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数。
计算：
24 32
方法2： 24 32 2 64 2
5
找因数的最 大公因数,不 方法1： 行再分解因 24 32 数
24 32 2 3 2 ( 8 3 8 4 )
3
8 2 3 2 16 3
16 3
结果必须化为最简二次根式.
课堂练习
完成教材练习的第一题、第二题
a b
a b
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除， 作为商的被开方数 例2：计算
1
解：
24 3
2
3 1 2 18
1
24 24 8 3 3
复习归纳
二次根式的性质：
（ 1） （ 2）
( a) a
2
（a≥0）
当a≤0时，=
a |a|
2
当a≥0时，=
a； -a .
二次根式的乘除运算--知识讲解(提高
二次根式的乘除运算—知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2.能运用二次根式的有关性质进行分母有理化.【要点梳理】要点一、二次根式的乘法1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.要点二、二次根式的除法1.除法法则：==（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.要点三、分母有理化1.分母有理化把分母中的二次根式化去叫做分母有理化.2.有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.有理化因式确定方法如下：a-a-与ba=b等分别互为有理化因式.a+与a-+②两项二次根式：利用平方差公式来确定.如+-.要点诠释：分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式.【典型例题】类型一、二次根式的乘除运算1.（1） 21521)74181(2133÷-⨯ （2）243)2()()(a a a -÷-⋅-【答案与解析】（1）原式=1(3()8=⨯-⨯ =34-(2)原式=22122a a -÷=-【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.举一反三【变式】b b a b a x x b a -÷+⋅-5433622222【答案】原式=21⨯== 2.（2014秋•闵行区校级期中）计算：×（﹣2）÷．【思路点拨】本题中a 作为被开方数，说明a≥0，下面直接利用二次根式的乘除运算法则化简即可．【答案与解析】解：×（﹣2）÷=×（﹣2）×=﹣=﹣=﹣．【总结升华】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．举一反三：【变式】已知，且x 为偶数，求(1+x)的值．【答案】由题意得，即∴6＜x≤9，∵x 为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．类型二、分母有理化3. 把下列各式分母有理化：【思路点拨】找分母有理化因式.【答案与解析】（1）552555252=∙∙=（2）b a b a ba b a b a b a b a ba b a b a b a -+=--∙-=-∙--∙-=--)()()(222222（3）ba b a b a b a b a b a ba -=-∙+-∙-=+-)()()()(【总结升华】有理化因式不止一个，但以它们的乘积较简为宜.显然，a ±b 与a b ，a ±b 与a b ，a ±b 与a b 都是互为有理化因式.举一反三：【变式】（2014春•隆化县校级期末）阅读材料，并解决问题．定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．解：原式==+运用以上方法解决问题：（1）将分母有理化；（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”） （n≥2，且n为整数）（3）化简：+++…+．【答案】解：（1）===2﹣；（2）∵=+，=+，又＜，∴＜，∵=+，=+，∴＜，故答案为：＜，＜；（3）原式=++…+=﹣1+﹣+﹣+…+﹣=﹣1.4.已知x=，y=，求下列各式的值：（1）x yx y+-；（2）223x xy y-+.【思路点拨】先把x、y的值分母有理化，再分别代入所求的两个式子即可.【答案与解析】77x y==-==+（1）x yx y+==-2222 (2)3(73(7(7194x xy y-+=---+++=【总结升华】此题考查分母有理化与二次根式乘除的应用.。
初中数学课件二次根式的乘除法ppt课件
开为 $msqrt{a} + nsqrt{a} + msqrt{b} + nsqrt{b}$。
02
特殊形式处理
当遇到形如 $(sqrt{a} + sqrt{b})^2$ 的表达式时，可以按照完全平方
公式展开为 $a + 2sqrt{ab} + b$。
03
应用实例
对于 $(sqrt{3} + 1)(sqrt{3} - 1)$，可以按照分配律展开为 $sqrt{3}
实例二
计算$frac{sqrt{20} + sqrt{5}}{sqrt{5}}$。
解
$frac{sqrt{20} + sqrt{5}}{sqrt{5}} = frac{sqrt{5}(sqrt{4} + 1)}{sqrt{5}} = sqrt{4} + 1 = 3$。
实例三
计算$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
05 误差分析与计算精度控制
误差来源及影响因素分析
原始数据误差
由于测量工具、方法或人 为因素导致的原始数据不 准确。
运算误差
在进行二次根式乘除法运 算过程中，由于计算规则 或方法不当而产生的误差 。
截断误差
在使用近似计算方法时， 由于省略了某些项或使用 了有限项而产生的误差。
提高计算精度方法和技巧
实例三
计算(2√5 + 3√2) × (2√5 - 3√2)。
实例四
计算√a × √b (a ≥ 0, b ≥ 0)。
03 二次根式除法运算规则
同类二次根式除法法则
法则一
被开方数相同，则直接进行系数相除 。例如：$frac{sqrt{a}}{sqrt{a}} = frac{c}{d}$（其中$a geq 0$，$c$ 和$d$是系数）。
(公开课课件)二次根式的乘除(一)
•
12、人乱于心，不宽余请。10:27:1310:27:1310:27M onday, May 03, 2021
•
13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。21.5.321.5.310:27:1310:27:13May 3, 2021
•
14、抱最大的希望，作最大的努力。2021年5月3日 星期一 上午10时27分13秒10:27:1321.5.3
谢谢大家
2.计算：
•
9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。21.5.321.5.3Monday, May 03, 2021
•
10、低头要有勇气，抬头要有低气。10:27:1310:27:1310:275/3/2021 10:27:13 AM
•
11、人总是珍惜为得到。21.5.310:27:1310:27May-213-May-21
第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
第1课时 二次根式的乘除(一)
课前预习
1.二次根式的乘法法则：
__(_a_≥__0_，__b_≥__0_)___ (
填写a，b的取值范围)，即两个二次根式相乘，把被开方数
___相__乘___，根指数__不__变____.
2.计算：
6 t;0时，
课堂讲练
新知1 二次根式的乘法法则
典型例题
【例1】计算：
1.计算：
举一反三
2
9
新知2 积的算术平方根
典型例题
【例2】计算：
举一反三
1.下列各式从左至右的变形中，一定正确的是
(C )
2.计算： 66
新知3 二次根式乘法公式的推广
典型例题
【例3】计算：
(36) 169 (9).
初中数学知识点精讲精析 二次根式的乘除知识讲解
21·2 二次根式的乘除1．二次根式的乘法法则I.文字语言：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变. Ⅱ.数学语言： Ⅲ.知识解读：（1） ＝（2）＝＝（3）＝ ＝Ⅳ. 公式的条件说明：（1）a 、b 均为非负数时，上式才成立.（2）当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则. （3）公式可逆向应用，逆向应用时要特别注意符号.2．积的算术平方根的性质I.文字语言：两个非负数积的算术平方根等于两数算术平方根的积. Ⅱ. 数学语言：（a ≥0，b ≥0）Ⅲ. 公式的说明：没有a ≥0，b ≥0这个条件，上述性质不成立，当a ＜0，b ＜0时，虽然有意义，而在实数范围内没有意义，总的来说等式不成立，如≠3．二次根式的除法法则I.文字语言：二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变.Ⅱ.数学语言：（a ≥0，b ＞0）Ⅲ.说明：这里a ≥0，b ＞0，原因是b 在分母上，所以b ≠0，这个公式也可以逆用. 4．二次根式商的算术平方根的性质I.文字语言：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.Ⅱ.数学语言：（a ≥0，b ＞0）5. 分母有理化把分母中根号化去，叫做分母有理化.6.二次根式的化简结果要求a b ab a b ⋅=≥≥()00，=⨯254254⨯169⨯169⨯22)53()32(⨯22)53()32(⨯a b a b ⋅=⋅ab b a ,)3()2(-⨯-32-⋅-b aba=b aba =一般地，二次根式运算的结果中，要求分母不含有根号，被开方数中也不会有分母，不含能开得尽方的因数或因式.典型例题例1. 计算（1）（2）3（3）（4）分析：计算题的实质是利用＝来进行二次根式的乘法运算.解：（1）（2） （3）（4）例2. 化简（1） （2） （3） （4） 分析：化简题实质借助公式性质把根式化成最简根式. 解：（1）（2）（3）（4）例3. 计算（1）（2）（3）解：（1）821⨯1025⨯232⨯)521(154-⨯-b a ⋅ab 12812842⨯=⨯==35210325103252302⨯=⨯⨯⨯=⨯⨯=322232648⨯=⨯==-⨯-=-⨯-⨯⨯=⨯=415125412155253103()()()122257⨯2000222853-12343423=⨯=⨯=757575352222⨯=⨯=⨯=2000102510252052222=⨯⨯=⨯⨯=5328532853288125954522-=+⨯-=⨯=⨯=()()31261211÷67212312342===（2）（3）例4. 化简（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）例5. 把下列各式化去分母中的根号（1）（2） （3） （4）解：（1）（2）（3）（4）11216112163263÷=÷=⨯=7267261223===251697110036.012109.0⨯⨯22)32()911(-1625162545==17916943==009121036100031106101120....⨯⨯=⨯⨯=()()()()119231092310036816481892222-=-=-==312327324-2452137********==⨯⨯=23233363=⨯⨯=211447737247324-=⨯⨯-=-123066265625245=⨯⨯==例6. 计算（1） （a ≥0） （2）（x ≥0，y ≥0）（3）（x ≥0，y ≥0）解：（1） ＝ （2）＝（3）＝例7. 化简（1）（a ≥0，b ≥0） （2）（x ≥0，y ≥0）（3）（ab ≥0） 解：（1）＝ （2）＝（3）＝例8. 计算（1）（a ≥0，a+b>0）（2） （a>0，b ≥0）解：（1）＝（2）＝a a 82⋅xyx 11010-⋅2324162xy xy ⋅a a 82⋅a a a a 416822==⋅xyx 11010-⋅yx y x y x ==⨯-22110102324162xy xy ⋅y xy y x xy xy 343422132641232222=⨯⨯=⋅⨯324b a yx x 23+4224b a b a +324b a b ab 2yx x 23+yx x y x x +=+)(24224b a b a +222222)(b a ab b a b a +=+b a a+22294a b b a a+2b a ba a ba b a a ++=++222294a b ab a a 329422=例9. 已知：a ＝解：例10. 计算（1） （2） （3）解：（1）＝4－3＝1（2）＝9+ （3）＝例11. 已知：x ＝. 解：∵∴当x ＝例12. 不求近似值比较.解：∵又∵>。
初二数学二次根式的乘除法
二次根式的乘除法学习目标1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.要点梳理要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中、都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，、可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0，才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的移到根号外面.要点二、二次根式的除法及商的算术平方根1.除法法则：（≥0，＞0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数、的取值范围应特别注意，≥0，＞0，因为在分母上，故不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.2.商的算术平方根:（≥0，＞0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.要点三、最简二次根式如果一个二次根式满足下列两个条件：（1）被开方数不含有能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数的因数是整数，字母因式是整式.我们把这个二次根式叫做最简二次根式.二次根的运算结果应化为最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.典型例题类型一、二次根式的乘除法1．(1)×；(2)×； (3)； (4).【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×＝4××＝4×＝4＝8.2.计算：（1）（2）类型二、最简二次根式3. 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7). 【变式】化简：（1）（2）4. 已知0＜＜,化简.巩固练习一.选择题1. 计算的结果是（）A． B. C. D.2. 当<0, <0时，化简得（）A． B.－ C. D.3. 在中，最简二次根式有（）A．1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 化简二次根式的正确结果是（）．A．B． C． D．5. 下列根式是最简二次根式的是（）A． B． C．D．6. 已知，化简二次根式的正确结果为（）.A. B. C. D.二. 填空题7. 计算：＝____________________________.8. .9．计算：(1)＝_______； (2)＝________.10. 化简：（1）＝_________； (2)＝___________.11. 若＝0，则＝_______________.12. 有如下判断：（1） (2)＝1 (3)（4）（5）（6）成立的条件是同号.其中正确的有_____个.三.解答题13. 已知长方体的体积V＝，长，宽，求长方体的高.14. 把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)； (3)；(4)； (5)15. 先化简，再求值：，其中.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲 二次根式的乘除法
知识概述： 1. （1）式子
只有在条件a≥0时才叫二次根式， 是二次根式吗？ 呢？
若根式中含有字母必须保证根号下式子大于等于零，因此字母范围的限制也是根式的一部分. 例1 当a 为实数时，下列各式中哪些是二次根式？
2. 二次根式2a 有什么性质？
3. 把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”
4. 定义：它要求满足以下两条：
(1)被开方数中的因数是整数，因式是整式。
(2)被开方数中不含能开得尽方的因式或因数。
我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
一、 复习 1、填空：
（1）二次根式的乘法法则用式子表示为____________________. （2）二次根式的除法法则用式子表示为____________________ .
（3）把分母中的_______化去，叫做分母有理化.
将式子
2
2a 分母有理化后等于_______ .
（4_______.
（5_______. （6）
2
12
1
+-=+-x x x x 成立的条件是_______.
（7）化简： =24_______. =⨯1259_______. =-222129_______.
=c b a 3
24 _______ . =44_______. =2b
a _______ .
（8）计算： =⋅1510_______. =⋅x xy 1312 _______ . =÷6
5
321 . 2、判断题：下列运算是否正确.
（ ）（1）ππ-=-14.3)14.3(2 （ ）（2）767372=⨯
（ ）（3）636)9()4(94==-⨯-=-- （ ）（4）5
12
5432516925169
=⨯=⋅= （ ）（5）5.045.16=
（ ）（6）73434342222=+=+=+ （ ）（7）
22
8
=
3 m ＞0 ）化简?
二、讲解新课：
1、运用乘法分配律进行简单的根式运算.
例1 计算 （1）)2732(3+ （2
○
1、在有理数范围内，. ○
2、在运律过程中要注意符号.
练习一、 计算
(1) )82(2+ 2) a a a 5)5320(+
2、比较两个实数的大小.
（1）-6与-7 （2
练习二、比较下列各组中两个数的大小：
（1）8.2与43
2 （2
（3（4） 23-与2-3
3、二次根式的乘除混合运算.
计算 （1）21223222330÷⨯ （2
计算 （1）2122315143
7⨯÷- （2
4、运用分母有理化进行计算.
习题精选
22.1 二次根式：
1. 有意义的条件是 。
2. 当__________有意义。
3. m 的取值范围是 。
4. 当 时，是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式：
429__________,2__________x x -=-+=。
6. 2x =，则x 的取值范围是 。
7. 2x =-，则x 的取值范围是 。
8. 化简： )1(122<+-x x x 的结果是 。
9. 当51<≤x 5_____________x -=。
的根号外的因式移到根号内等于 。
11. 使等式1*1)1)(1(+-=-+x x x x 成立的条件是 。
12. 若1a b -+()2005
_____________a b -=。
13. 在式子中，
y x x x y y x x
++--=+>,1,3,2),2(1,2),0(2
23，
二次根式有（ ）A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ）
15. 若2<a<3等于（ ）
16. 若
A =
（ ）
A. 24a +
B. 22a +
C. ()2
22a + D. ()2
24a + 17. 若1a ≤
化简后为（ ）
A. (1a -
B. (1a -
C. (1a -
D. (1a -
18.
=成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥
19.
的值是（ ）
A. 0
B. 42a -
C. 24a -
D. 24a -或42a -
20. 若2440y y -+=，求xy 的值。
21.
当a 取什么值时，1取值
最小，并求出这个最小值。
22. 去掉下列各根式内的分母：
)0(323<x x y )1()
1(15>+-x x x x
24. 已知,a b 为实数，且
22.2 二次根式的乘除
1. 当0a ≤， 0>b __________=。
2. _____,______m n ==。
3. __________==。
4. 计算：
_____________=。
5. ，则长方形的长约为 （精确到0.01）。
6. 下列各式不是最简二次根式的是（ ）
7. 已知0<xy ，化简二次根式 ）
8. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ）
A. 2
a b =+a b =+
22a b =+a b =+
9. -和- ）
A. -- -- -=-不能确定
10. ） A. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为3 11. 计算：
()
1 ()2
()(()30,0a b -≥≥ （4）)0,0(63<<÷b a ab b a
()5()6⎛÷
⎝
12. 化简：
())
≥≥()2
a b
10,0
13. 把根号外的因式移到根号内：
()1.-()(
-
2.1x。