2016-2017年四川省绵阳市南山中学高二(上)期中数学试卷和答案(理科)
四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学(理)试题 (2)
四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线l 的方程为0133=-+y x ，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．0150 B ．0120 C ．060 D ．0302．抛物线82x y -=的准线方程是（ ）A ．321=x B ．2=y C ．41=x D ．4=y 3．如图程序运行的结果是（ ）A ．5,8B ．8,5C ．8,13D ．5,134．两圆922=+y x 和096822=++-+y x y x 的公切线的条数为（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条5．若20a k <<，则曲线12222=+--k b y k a x 与曲线12222=-by a x 有（ ） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ．相同的焦点 6．已知圆09422=--+x y x 与y 轴的两个交点B A ,都在某双曲线上，且B A ,两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（ ）A ．136922=-x y B ．172922=-x y C ．193622=-x y D ．197222=-x y 7．若圆016222=+--+y x y x 上恰有三点到直线kx y =的距离为2，则k 的值为（ ）A ．21或2 B ．43或34 C ．2 D ．34 8．已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点)2,0(A 的距离与P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（ ） A ．29B ．5C ．2D ．2179．已知l 是双曲线C ：14222=-y x 的一条渐近线，P 是l 上的一点，21,F F 分别是C 的左右焦点，若021=⋅PF ，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．2B ．2C ．362 D ．3610．若方程m x x +=-212有实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．),2[)0,3[+∞- B ．]3,0()0,3[ - C ．),2[]3,(+∞--∞ D ．),2[]2,(+∞--∞11．已知FAB ∆，点F 的坐标为)0,1(，点B A ,分别在图中抛物线x y 42=及圆4)1(22=+-y x 的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么FAB ∆的周长的取值范围是（ ）A ．)6,2(B ．)6,4(C ．)4,2(D ．)8,6(12．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，点Q 为椭圆上一点.21F QF ∆的重心为G ，内心为I ，且21F F λ=，则该椭圆的离心率为（ ）A ．21B ．22C ．31D ．32第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．点)5,3,2(A 关于坐标平面xoy 的对称点B 的坐标是 ． 14．执行如图的程序框图，如果输入10=p ，则输出的=S ．15．已知1F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点，以线段O F 1为边作正三角形OM F 1，若顶点M 在双曲线上，则双曲线的离心率是 ．16．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于N M ,两点，给出下列五个结论： ①PMN ∆必为直角三角形； ②PMN ∆必为等边三角形； ③直线PM 必与抛物线相切； ④直线PM 必与抛物线相交； ⑤PMN ∆的面积为2p . 其中正确的结论是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．直线l 经过两直线042=+-y x 与05=+-y x 的交点，且与直线1l ：06=-+y x 平行. （1）求直线l 的方程；（2）若点)1,(a P 到直线l 的距离与直线1l 到直线l 的距离相等，求实数a 的值. 18．已知ABC ∆的三顶点坐标分别为：)0,21(),7,0(),3,0(C B A -. （1）求ABC ∆的外接圆Γ的标准方程；（2）已知过)3,2(--P 的直线l 被ABC ∆的外接圆Γ截得的弦长为212，求直线l 的一般式方程.19．如果点),(y x M 在运动过程中总满足关系式32)2()2(2222=++++-y x y x .（1）说明点M 的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；（2）O 是坐标原点，直线l ：2+=kx y 交点M 的轨迹于不同的B A ,两点，求AOB ∆面积的最大值.20．已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为)0,1(-F ，O 为坐标原点，点)22,1(G 在椭圆上，过点F 的直线l 交椭圆于不同的两点B A ,. （1）求椭圆C 的方程；（2）求弦AB 的中点M 的轨迹方程；（3）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点，P 为x 轴上一点，若PB PA ,是菱形的两条邻边，求点P 横坐标的取值范围.试卷答案一、选择题1-5：ABCBD 6-10：BDDAC 11、12：BA 二、填空题13．)5,3,2(- 14．45 15．13+ 16．①③⑤ 三、解答题 17．（1）⎩⎨⎧=+-=+-05042y x y x 解得⎩⎨⎧==61y x ，即交点坐标为)6,1(.∵直线1l ：06=-+y x 的斜率为11-=k ， ∴直线l 的斜率为1-=k∴直线l 的方程为)1(6--=-x y ，即07=-+y x .（2）由题知222211|)6(7|11|71|+---=+-+a ，整理得1|6|=-a ， 解得7=a 或5=a .18、解：（1）设ABC ∆外接圆Γ的方程：022=++++F Ey Dx y x则有⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-=++021210749039F D F E F E ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧-===2140F E D ，则外接圆Γ的方程：021422=-++y y x ，即25)2(22=++y x . （2）由（1）及题意知圆心到直线l 的距离2)21(522=-=d ①当直线l 的斜率不存在时，2-=x 符合题意②当直线l 的斜率存在时设直线l ：)2(3+=+x k y 即032=-+-k y kx ∴21|322|2=+-+=k k d 解之得43-=k ，∴)2(433+-=+x y ，即01843=++y x综上，直线l 的一般式方程为2-=x 或01843=++y x .19、解：(1)1322=+y x . （2）由⎪⎩⎪⎨⎧+==+21322kx y y x 得0912)31(22=+++kx x k ，∵03636)31(36)12(222>-=+-=∆k k k ,12>k221221319,3112kx x k k x x +=+-=+， 22212212131164)(||221k k x x x x x x S +-=-+=-⨯=，令)0(12>-=t k t ，则122+=t k ， ∴234364362≤+=+=tt t t S当且仅当332=t 即321±=k 时有最大值.20、解：（1）由题意有122=-b a ，且1)22(1222=+ba，解得1,222==b a ， ∴椭圆C 的方程为1222=+y x . （2）设),(y x M ，),(),,(2211y x B y x A ，则2,22121y y y x x x +=+=， 当21x x =时，M 点的坐标为)0,1(-.当21x x ≠时，∵122121=+y x ，122222=+y x ， 两式相减得))((2))((21212121y y y y x x x x -+-=-+，∴2121222x x y y y x---=⋅，又AB 过F 点，于是AB 的斜率为102121+-=--x y x x y y ，∴12+-=x y y x ， 整理得0222=++x y x . ∵)0,1(-也满足上式，∴M 的轨迹方程为0222=++x y x .（3）设)0,(m P ，AB 的中点),(b a M ，由（2）知，0222=++a b a ① ∵||||PB PA =， ∴AB PM ⊥. ∴1-=⋅MP AB k k ，即11-=-⋅+ma ba b ，整理得m am a a b ++--=22② 将②代入①中，得0222=--+m am a a ，化为0)2)(1(=-+m a a ， ∵1-≠a ，∴2a m =， 由0222>--=a a b （当0=b 时，AB 与x 轴垂直，不合题意，舍去），得01<<-a ， 于是021<<-m ，即P 点的横坐标的取值范围为)0,21(-.。
2016-2017学年四川省绵阳市南山中学实验学校高二上学期半期考试数学(理)试题(解析版)
2016-2017学年四川省绵阳市南山中学实验学校高二上学期半期考试数学（理）试题一、选择题1．若直线26y mx =--与直线()37y m x =-+平行，则m 的值为（ ） A. -1 B. 1或-1 C. 1 D. 3 【答案】C【解析】根据两直线平行斜率相等截距不等有23m m -=-，所以1m =，故选择C. 2．某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是A ．①用简单随机抽样法 ②用系统抽样法B ．①用系统抽样法 ②用分层抽样法C ．①用分层抽样法 ②用简单随机抽样法D ．①用分层抽样法 ②用系统抽样法 【答案】C【解析】因为①的总体中带有明显的三个层次，适合用分层抽样进行抽取，而②的总体个数较少，适合用简单随机抽样的方法进行抽取，所以选C 3．抛物线28x y =的焦点F 的坐标是 （ ）A. ()2,0-B. ()2,0C. ()0,2-D. ()0,2 【答案】D【解析】试题分析：本题已知： 28x y =，则: 28,4,22pp p ===，又焦点在y 轴的正半轴上得： ()0,2【考点】已知抛物线方程求焦点坐标．4．过点()3,1A -且在两坐标轴上截距相等的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B【解析】当截距相等均为0时，直线方程为13y x =-； 当截距相等不为0时，设方程为()10x ya a a+=≠，代入点()3,1-得2a =，直线方程为2x y +=，所以共有2条，故选择B.5．某单位为了了解办公楼用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了四由表中数据得到线性回归方程2ˆˆy x a =-+，当气温为4-℃时，预测用电量均为（ ）A. 68度B. 52度C. 12度D. 28度【答案】A【解析】由表格可知10x =， 40y =，根据回归直线方程必过(),x y 得40060ˆ2a=+=，因此当4x =-时， ˆ68y =，故选择A. 6．圆()2225x y ++=关于y 轴对称的圆的方程为（ ） A. ()2225x y -+= B. ()2225x y +-= C. ()()22225x y +++= D. ()2225x y ++=【答案】A【解析】圆心()2,0-关于y 轴的对称点为()2,0，所以所求圆的方程为()2225x y -+=，故选择A.7．已知ABC ∆中， ,A B 的坐标分别为()0,2和()0,2-，若三角形的周长为10，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A. 22195x y +=（0y ≠）B. 2213620x y +=（0y ≠） C. 22159x y +=（0x ≠） D. 2213236x y +=（0x ≠） 【答案】C【解析】由题4AB =， 6CA CB +=，且6AB >，所以C 点轨迹是以,A B 为焦点，6为长轴长，4为焦距的椭圆，去掉长轴端点，故选择C.点睛：求轨迹方程问题是建立在对圆锥曲线知识整体掌握的基础之上，考查学生对圆锥曲线的综合掌握.常用的求轨迹方程方法有直接法、相关点法、定义法、参数方程法、交轨法等.本题主要考查定义法求轨迹方程，定义法求轨迹方程的一般步骤为（1）判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义；（2）设标准方程，求方程中的基本量；（3）求轨迹方程.8．已知双曲线2222:1y x C a b-=（(0,0)a b >>）的离收率为53，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. 34y x =±B. 43y x =±C. 3y x =±D. 2y x =± 【答案】A【解析】根据53c e a ==有222513c b a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以43b a =，所以根据焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为a y x b =± ，所以双曲线C 的渐近线方程为34y x =±，故选择A.9．直线3y kx =+与圆()()22234x y -+-=相交于,M N两点，若MN ≥k 的取值范围是（ ）A. 3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. ⎡⎢⎣⎦C. ⎡⎣D. 2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】设圆心()2,3到直线3y kx =+的距离为d ，则根据点到直线距离有d =，由直线与圆相交弦长公式2222MN r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以MN ==，解不等式≥213k ≤，所以k ⎡∈⎢⎣⎦，故选择B.10．椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A. 3倍B. 4倍C. 5倍D. 7倍 【答案】C【解析】如图所示， ,M O 分别为112,PF F F 的中点，所以OM 为12PF F ∆的中位线，则2PF x ⊥轴，根据通径易知2212b PF a ==，根据椭圆定义， 12722PF a PF =-=，所以1PF 是2PF 的7倍，故选择D.11．已知点F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A. ()1,+∞B. ()1,2C. (1,1D. ()2,+∞【答案】D【解析】如图，根据双曲线的对称性可知，若ABE ∆是钝角三角形，显然AEB ∠为钝角，因此·0EA EB < ，由于AB 过左焦点且垂直于x 轴，所以2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 2,b B c a ⎛⎫--⎪⎝⎭， (),0E a ，则2,b E A c a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ， 2,b EB c a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ ，所以()422·0b E A E B c a a=---< ，化简整理得： ()2a a c b +<，所以222a ac c a +<-，即2220c ac a -->，两边同时除以2a 得220e e -->，解得2e >或1e <-（舍），故选择D.点睛： 求双曲线离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c的方程或不等式，利用222b a c =-和ce a=转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，在列方程或不等式的过程中，要考虑到向量这一重要工具在解题中的应用.求双曲线离心率主要以选择、填空的形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏高，属于对能力的考查.12．已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是（ ）A.B.C. 1D. 2【答案】C【解析】由题抛物线焦点为()1,0F ，准线方程为1x =- ，如图，点P 到直线l 距离为PA ，根据抛物线定义P 到y 轴距离等于1PF -，所以P 到直线l 距离和y 轴距离之和等于1PA PF +-，由于11PA PF AF +-≥-，所以当,,P A F 三点共线时，距离最小，即FB ，经计算点F 到直线l 1，故选择C.点睛：与抛物线有关的最值问题的求解问题一般情况下都与抛物线定义有关，实现点到点的距离与点到线的距离的转化，解体策略为（1）将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“直线上所有点的连线中的垂线段最短”解题，这类问题主要考查划归转化能力的应用.二、填空题13．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为 。
四川省绵阳市高二上学期期中数学试卷(理科)
四川省绵阳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·平原期末) 中，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·凯里开学考) 已知向量 =（1，0）， =（﹣，），则与的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°3. （2分）设等差数列的前项和为,若，,则当取最大值等于（）A . 4B . 5C . 6D . 74. （2分）(2017·泉州模拟) 已知曲线C：y=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一条对称轴方程为x= ，曲线C向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到的曲线E的一个对称中心为（，0），则|φ﹣θ|的最小值是（）A .B .C .D .5. （2分）(2012·辽宁理) 已知，则tanα=（）A . ﹣1B . -C .D . 16. （2分） (2016高三上·黑龙江期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a6=18﹣a7 ，则S12=（）A . 18B . 54C . 72D . 1087. （2分）在中，角所对的边分别为已知，则的面积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·陆川开学考) 在△ABC中，sin2 = （a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A . 正三角形B . 直角三角形C . 等腰直角三角形D . 等腰三角形9. （2分） (2018高一下·黑龙江开学考) 已知平面向量，，若，则实数（）A . 2B . ﹣2C . 4D . ﹣410. （2分）在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为（）A .B . 2C .D . 711. （2分）在平面上⊥ ，| |=| |=1， = + ，| |＜，则||的取值范围（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数，（其中），其部分图象如图所示，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2020高一上·遂宁期末) 已知为第二象限角，则的值是________．14. （1分） (2016高三上·泰州期中) 已知向量 =（1，m）， =（3，﹣2）且（ + ）⊥ ，则m=________．15. （1分）(2017·顺义模拟) 已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a2=4，S8=﹣8，则a10=________．16. （1分）(2017·林芝模拟) 在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．若，b2﹣a2= ac，则cosB=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高一下·东丰期末) 等差数列的前n项和为，已知（1）求通项；（2）若，求n 。
2016-2017年四川省绵阳市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2016-2017学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°2．（4分）高二年级有男生560人，女生420人，为了解学生职业规划，现用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280人的样本，则此样本中男生人数为（）A．120B．160C．280D．4003．（4分）如果直线l1：x+ax+1=0和直线l2：ax+y+1=0垂直，则实数a的值为（）A．±1B．1C．﹣1D．04．（4分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，则x0=（）A．1B．2C．4D．85．（4分）天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0﹣9之间整数值的随机数，并制定用1，2，3，4，5表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．B．C．D．6．（4分）甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛，比赛得分情况的经营如图如图（单位：分）），其中乙队的一个得分数字被污损，那么估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为（）A．B．C．D．7．（4分）已知两个圆O1和O2，它们的半径分别是2和4，且|O1O2|=8，若动圆M与圆O1内切，又与O2外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）A．圆B．椭圆C．双曲线一支D．抛物线8．（4分）执行如图的程序框图．输出的x的值是（）A．2B．14C．11D．89．（4分）某中学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了100名性别不同的学生，得到如下的2×2列联表：附K2=根据以上数据，该数学兴趣小组有多大把握认为“喜爱该食品与性别有关”？（）A．99%以上B．97.5%以上C．95%以上D．85%以上10．（4分）已知圆C1：x2+y2=4和圆2：（x﹣a）2+y2=4，其中a是在区间（0，6）上任意取得一个实数，那么圆C1和圆C2相交且公共弦长小于2的概率为（）A．B．C．D．11．（4分）若关于x的方程=mx+m﹣1有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．[，）C．（，）D．[，）12．（4分）已知F1，F2为双曲线C：﹣=1（a＞0）的左右焦点，点A在双曲线的右支上，点P（7，2）是平面内一定点，若对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，则|AP|+|AF2|的最小值为（）A．2﹣6B．10﹣3C．8﹣D．2﹣2二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）空间直角坐标系中，设A（﹣1，2，﹣3），B（﹣1，0，2），点M和点A关于y轴对称，则|BM|=．14．（3分）如图算法最后输出的结果是．15．（3分）已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆外存在一点P，满足•=0，则椭圆C的离心率e的取值范围是 ．16．（3分）设点M （3，t ），若在圆O ：x 2+y 2=6上存在两点A ，B ，使得∠AMB=90°，则t 的取值范围是 ．三、解答题（共4小题，满分40分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）某模具长新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：（1）请根据以上数据，求关于x 的线性回归方程=x +；（2）若要制作60个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间． （注：回归方程=x +中斜率和截距最小二乘估计公式分别为=，=﹣，参考数据：x i y i =12050，x =5500）18．（10分）某学习小组20名学生一次数学考试成绩（单位：分）频率直方图如图所示，已知前三个矩形框垂直于横轴的高度成等差数列．（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）分别求出成绩落在[50，60）与[80，90）中的学生人数；（3）从成绩在[50，60）与[80，90）中的学生中人选2人，求此2人的成绩相差20分以上的概率．19．（10分）已知圆M的圆心在直线x+y=0上，半径为1，直线l：6x﹣8y﹣9=0被圆M截得的弦长为，且圆心M在直线l的右下方．（1）求圆M的标准方程；（2）直线mx+y﹣m+1=0与圆M交于A，B两点，动点P满足|PO|=|PM|（O 为坐标原点），试求△PAB面积的最大值，并求出此时P点的坐标．20．（10分）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，顺次连接椭圆四个顶点所得四边形的面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l与椭圆相交于M，N两点，O为原点，若点O在以MN为直径的圆上，试求点O到直线l的距离．2016-2017学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【分析】直接利用倾斜角的正切值等于斜率求解．【解答】解：设直线的倾斜角为α（0°＜α＜180°），则tanα=．所以α=150°．故选：A．2．（4分）高二年级有男生560人，女生420人，为了解学生职业规划，现用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280人的样本，则此样本中男生人数为（）A．120B．160C．280D．400【分析】先根据男生和女生的人数做出年纪大总人数，用要抽取得人数除以总人数得到每个个体被抽到的概率，用男生人数乘以概率，得到结果．【解答】解：∵有男生560人，女生420人，∴年级共有560+420=980，∵用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，∴每个个体被抽到的概率是=，∴要从男生中抽取560×=160，故选：B．3．（4分）如果直线l1：x+ax+1=0和直线l2：ax+y+1=0垂直，则实数a的值为（）A．±1B．1C．﹣1D．0【分析】利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：∵l1⊥l2，则a+a=0解得a=0．故选：D．4．（4分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，则x0=（）A．1B．2C．4D．8【分析】求出抛物线的准线方程，由抛物线的定义，解方程，即可得到所求值．【解答】解：抛物线方程为y2=2x，准线方程为x=﹣，由抛物线的定义，可得|AF|=x0+=x0，解得，x0=1．故选：A．5．（4分）天气预报显示，在今后的三天中，每一天下雨的概率为40%，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0﹣9之间整数值的随机数，并制定用1，2，3，4，5表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．B．C．D．【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有可以通过列举得到共5组随机数，根据概率公式，得到结果．【解答】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，所求概率为=，故选：B．6．（4分）甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛，比赛得分情况的经营如图如图（单位：分）），其中乙队的一个得分数字被污损，那么估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为（）A．B．C．D．【分析】设乙队的一个得分数字被污损的数学为x，求出甲队平均分为45．乙队平均分为，由x的可能取值的个数是10个，满足＞45的x的个数有4个，由此能估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率．【解答】解：设乙队的一个得分数字被污损的数学为x，甲队平均分为：=（38+41+44+46+49+52）=45．乙队平均分为：=（31+47+40+x+42+51+54）=，∵x的可能取值的个数是10个，满足＞45的x的个数有4个，∴估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率p=．故选：C．7．（4分）已知两个圆O1和O2，它们的半径分别是2和4，且|O1O2|=8，若动圆M与圆O1内切，又与O2外切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）A．圆B．椭圆C．双曲线一支D．抛物线【分析】由两个圆相内切和外切的条件，写出动圆圆心满足的关系式，由双曲线的定义确定其轨迹即可．【解答】解：设动圆圆心为M，半径为R，由题意|MO1|=R﹣2，|MO2|=R+4，所以|MO2|﹣|MO1|=6（常数）且6＜8=|O1O2|故M点的轨迹为以，O1O2为焦点的双曲线的一支．故选：C．8．（4分）执行如图的程序框图．输出的x的值是（）A．2B．14C．11D．8【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当x=2，y=1时，满足进行循环的条件，x=5，y=2，n=2，当x=5，y=2时，满足进行循环的条件，x=8，y=4，n=3，当x=8，y=4时，满足进行循环的条件，x=11，y=9，n=4，当x=11，y=9时，满足进行循环的条件，x=14，y=23，n=5，当x=14，y=23时，不满足进行循环的条件，故输出的x值为14，故选：B．9．（4分）某中学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了100名性别不同的学生，得到如下的2×2列联表：附K2=根据以上数据，该数学兴趣小组有多大把握认为“喜爱该食品与性别有关”？（）A．99%以上B．97.5%以上C．95%以上D．85%以上【分析】利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论．【解答】解：K2==4＞3.841，∴该数学兴趣小组有95%以上把握认为“喜爱该食品与性别有关”．故选：C．10．（4分）已知圆C1：x2+y2=4和圆2：（x﹣a）2+y2=4，其中a是在区间（0，6）上任意取得一个实数，那么圆C1和圆C2相交且公共弦长小于2的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出满足条件的a的范围，根据区间长度之比求出满足条件的概率即可．【解答】解：a=2时，C1：x2+y2=4，C2：（x﹣2）2+y2=4，那么圆C1和圆C2相交且公共弦长是2，故满足条件的a的范围是：2＜a＜4，区间长度是2，故在区间（0，6）上任意取得一个实数，a在（2，4）的概率是p==，故选：D．11．（4分）若关于x的方程=mx+m﹣1有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是（）A．（0，）B．[，）C．（，）D．[，）【分析】构造函数g（x）=mx+m﹣1，f（x）=，在同一坐标系中作出二函数的图象，数形结合即可求得实数m的取值范围．【解答】解：令g（x）=mx+m﹣1，f（x）=，∵方程mx+3m=有两个不同的实数解，∴g（x）=mx+m﹣1与f（x）=有两个不同的交点，在同一坐标系中作图如下：∵g（x）=mx+m﹣1为过定点（﹣1，﹣1）的直线，当直线g（x）=mx+m﹣1经过（1，0），即m=时，显然g（x）=mx+m﹣1与f（x）=有两个不同的交点；当直线g（x）=mx+m﹣1与曲线f（x）=相切时，，解得m=或m=0（舍），∴m∈[，），故选：B．12．（4分）已知F1，F2为双曲线C：﹣=1（a＞0）的左右焦点，点A在双曲线的右支上，点P（7，2）是平面内一定点，若对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，则|AP|+|AF2|的最小值为（）A．2﹣6B．10﹣3C．8﹣D．2﹣2【分析】利用对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，得出直线4x+3y+m=0与双曲线的渐近线方程为y=±x，重合或平行，求出a，再利用双曲线的定义进行转化，即可得出结论．【解答】解：∵双曲线C：﹣=1（a＞0），∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∵对任意实数m，直线4x+3y+m=0与双曲线C至多有一个公共点，∴直线4x+3y+m=0与双曲线的渐近线方程为y=±x，重合或平行，∴a=3，∴c=5，∴F1为（﹣5，0），∵P（7，2），∴|PF1|==2，∴|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|﹣6≥|PF1|﹣6=2﹣6∴|AP|+|AF2|的最小值为2﹣6，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）空间直角坐标系中，设A（﹣1，2，﹣3），B（﹣1，0，2），点M和点A关于y轴对称，则|BM|=3．【分析】先求出点M（1，2，3），由此利用两点间距离公式能求出|BM|的值．【解答】解：∵空间直角坐标系中，设A（﹣1，2，﹣3），B（﹣1，0，2），点M和点A关于y轴对称，∴M（1，2，3），|BM|==3．故答案为：3．14．（3分）如图算法最后输出的结果是67．【分析】根据已知中的程序语句可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当i=7时，满足进行循环的条件，S=5，i=5，当i=5时，满足进行循环的条件，S=23，i=3，当i=3时，满足进行循环的条件，S=67，i=1，当i=1时，不满足进行循环的条件，故输出的S值为67，故答案为：6715．（3分）已知F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若椭圆外存在一点P，满足•=0，则椭圆C的离心率e的取值范围是（，1）．【分析】由题意可知：△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，则丨丨2+丨丨2=丨丨2，由（丨丨+丨丨）2≤2（丨丨2+丨丨2）=2丨丨2=8c2，e==≥=，由0＜e＜1，即可求得椭圆C的离心率e的取值范围．【解答】解：椭圆上存在点使•=0，∴⊥，∴△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形，∵丨丨+丨丨=2a，丨丨=2c，椭圆的离心率e==，由（丨丨+丨丨）2≤2（丨丨2+丨丨2）=2丨丨2=8c2，∴e==＞=，由0＜e＜1∴该椭圆的离心率的取值范围是（，1），故答案为（，1）．16．（3分）设点M（3，t），若在圆O：x2+y2=6上存在两点A，B，使得∠AMB=90°，则t 的取值范围是﹣≤t≤．【分析】由题意MA，MB是圆的切线时，|OM|=2，则9+t2≤12，即可求出t 的取值范围．【解答】解：由题意MA，MB是圆的切线时，|OM|=2，∴9+t 2≤12，∴﹣≤t≤，故答案为﹣≤t≤．三、解答题（共4小题，满分40分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）某模具长新接一批新模型制作的订单，为给订购方回复出货时间，需确定制作该批模型所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：（1）请根据以上数据，求关于x的线性回归方程=x+；（2）若要制作60个这样的模型，请根据（1）中所求的回归方程预测所花费的时间．（注：回归方程=x+中斜率和截距最小二乘估计公式分别为=，=﹣，参考数据：x i y i=12050，x=5500）【分析】（1）求出回归系数，可得关于x的线性回归方程=x+；（2）当x=60时，=0.65×60+56.5=95.5分钟，即可得出结论．【解答】解：（1）由数据得，=（10+20+30+40+50）=30，=（64+69+75+82+90）=76，∴回归直线过样本中心点（30，76），∵x i y i=12050，x=5500，∴=0.65，=56.5，∴y关于x的线性回归方程为=0.65x+56.5．…（8分）（2）当x=60时，=0.65×60+56.5=95.5分钟因此可以预测制作60个这种模型需要花费95.5分钟…（10分）18．（10分）某学习小组20名学生一次数学考试成绩（单位：分）频率直方图如图所示，已知前三个矩形框垂直于横轴的高度成等差数列．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）分别求出成绩落在[50，60）与[80，90）中的学生人数；（3）从成绩在[50，60）与[80，90）中的学生中人选2人，求此2人的成绩相差20分以上的概率．【分析】（1）由已知前三个长方形的高成等差数列知，第三个长方形的高为8a，再由频率分布直方图能求出a．（2）由频率分布直方图，能求出成绩落在[50，60）与[80，90）中的学生人数．（3）记成绩落在中的2人为A1，A2，成绩落在中的3人为B1，B2，B3，利用列举法能求出这2人的成绩相差20分以上的概率．【解答】解：（1）由已知前三个长方形的高成等差数列知，第三个长方形的高为8a，于是由频率分布直方图得（2a+5a+8a+3a+2a）×10=1，解得a═0.005．…（2分）（2）由频率分布直方图，知：成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[80，90）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．…（4分）（3）记成绩落在中的2人为A1，A2，成绩落在中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在与中任选2人的基本事件共有10个：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），…（7分）其中2人的成绩相差20分以上的基本事件有6个：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），故这2人的成绩相差20分以上的概率P=．…（10分）19．（10分）已知圆M的圆心在直线x+y=0上，半径为1，直线l：6x﹣8y﹣9=0被圆M截得的弦长为，且圆心M在直线l的右下方．（1）求圆M的标准方程；（2）直线mx+y﹣m+1=0与圆M交于A，B两点，动点P满足|PO|=|PM|（O 为坐标原点），试求△PAB面积的最大值，并求出此时P点的坐标．【分析】（1）利用直线l：6x﹣8y﹣9=0被圆M截得的弦长为，且圆心M在直线l的右下方，求出圆心坐标，即可求圆M的标准方程；（2）要使△PAB的面积最大，点P到直线AB的距离d最大，利用P点在以（2，﹣2）为圆心，2为半径的圆上，即可得出结论．【解答】解：（1）由已知可设圆心M（a，﹣a），圆心到直线l的距离为d，则d==，…（1分）于是，整理得|14a﹣9|=5，解得a=1，或a=．…（3分）∵圆心M在直线l的右下方，∴圆心M是（1，﹣1），∴圆M的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=1．…（4分）（2）直线mx+y﹣m+1=0可变形为m（x﹣1）+y+1=0，即过定点（1，﹣1），∴动直线mx+y﹣m+1=0恰好过圆M的圆心，∴|AB|=2．…（5分）设P（x，y），则由|PO|=|PM|，可得x2+y2=2[（x﹣1）2+（y+1）2]，整理得（x﹣2）2+（y+2）2=4，即P点在以（2，﹣2）为圆心，2为半径的圆上，…（7分）设此圆圆心为N，则N（2，﹣2）．∴要使△PAB的面积最大，点P到直线AB的距离d最大，d max=|PM|=+2=+2，∴△PAB面积的最大值为=．…（8分）∵MN的方程为y=﹣x，…（9分）代入方程（x﹣2）2+（y+2）2=4中，可解得x=4，或0 （舍去），∴此时P（4，﹣4）．…（10分）20．（10分）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，顺次连接椭圆四个顶点所得四边形的面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l与椭圆相交于M，N两点，O为原点，若点O在以MN为直径的圆上，试求点O到直线l的距离．【分析】（1）由题意可知：e==，得a=c，2ab=2，a2﹣c2=b2，即可求得a和b的值，求得椭圆的标准方程；（2）当直线l的斜率不存在时，点O在以MN为直径的圆上，OM⊥ON．求得M和N的坐标，即可求得原点O到直线l的距离为，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，由韦达定理求得x1x2=，y1y2=，由•=0，则x1x2+y1y2═0，求得m2=，原点O到直线l的距离为d，则d===．【解答】解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），焦距为2c．由e==，得a=c，①∵椭圆顶点连线四边形面积为2，即2ab=2，②又∵a2﹣c2=b2，③联立①②③解得c=1，a=，b=1．故椭圆的方程为：；…（4分）（2）当直线l的斜率不存在时，点O在以MN为直径的圆上，∴OM⊥ON．根据椭圆的对称性，可知直线OM、ON的方程分别为y=x，y=﹣x，可求得M（，），N（，﹣）或M（﹣，﹣），N（﹣，），此时，原点O到直线l的距离为．…（6分）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，点M（x1，y1），N（x2，y2），由，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，…（8分）∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•﹣km（﹣）+m2=．∵OM⊥ON，∴•=0，即x1x2+y1y2═+==0，即3m2﹣2k2﹣2=0，变形得m2=．设原点O到直线l的距离为d，则d====．综上，原点O到直线l的距离为定值．…（10分）。
四川省绵阳市高二上学期)期中数学试卷
四川省绵阳市高二上学期）期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共13题；共26分)1. （2分）已知a，b，c∈R，命题“若，则”的否命题是（）A . 若a+b+c≠3，则<3B . 若a+b+c=3，则<3C . 若a+b+c≠3，则≥3D . 若≥3，则a+b+c=32. （2分）若,则（）A . 0B . 2C . 1D . -13. （2分） (2017高二下·孝感期末) 下列四个命题中，真命题是（）A . 若m＞1，则x2﹣2x+m＞0B . “正方形是矩形”的否命题C . “若x=1，则x2=1”的逆命题D . “若x+y=0，则x=0，且y=0”的逆否命题．4. （2分）(2018·海南模拟) 在平面直角坐标系中，双曲线：的一条渐近线与圆相切，则的离心率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二下·重庆期中) 设曲线y= 在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A . 2B . ﹣2C . ﹣D .6. （2分）已知抛物线y2=4x的焦点F，该抛物线上的一点A到y轴的距离为3，则|AF|=（）A . 4B . 5C . 6D . 77. （2分）在椭圆中，记左焦点为F,右顶点为A，短轴上方的端点为B，若，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高三上·玉林月考) 在复平面内，复数满足，则的共轭复数对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限9. （2分）如图所示，曲线围成的阴影部分的面积为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高二上·湖南期中) 平面内，F1 ， F2是两个定点，“动点M满足| |+| |为常数”是“M的轨迹是椭圆”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1 ， x2（a＜x1＜x2＜b）满足f′（x1）=，f′（x2），则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A . （，）B . （0，1）C . （， 1）D . （， 1）12. （2分） F1 ， F2是双曲线的左、右焦点，过左焦点F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若|AB|:|BF2|:|AF2|=3:4:5，则双曲线的离心率是（）A .B .C . 2D .13. （2分） (2015高三上·青岛期末) 已知圆x2+y2﹣2x﹣4y+a=0上有且仅有一个点到直线3x﹣4y﹣15=0的距离为1，则实数a的取值情况为（）A . （﹣∞，5）B . ﹣4C . ﹣4或20D . ﹣11二、填空题 (共5题；共5分)14. （1分） (2016高二上·翔安期中) 设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的________条件．15. （1分） (2018高二下·聊城期中) ________16. （1分） (2016高三上·赣州期中) 由直线y=1，y=2，曲线xy=1及y轴所围成的封闭图形的面积是________．17. （1分）已知命题p：x2﹣x≥6，q：x∈Z，则使得“p且q”与“非q”同时为假命题的所有x组成的集合M=________18. （1分） (2018高二上·浙江月考) 设分别为椭圆的左,右焦点，是椭圆上一点，点是的内心，线段的延长线交线段于点，则 ________.三、解答题 (共6题；共60分)19. （10分） (2019高二下·鹤岗月考) 设函数 .（1）讨论的单调区间；（2）若，求证： .20. （10分） (2019高二上·开封期中) 在平面直角坐标中，，，点是平面上一点，使的周长为 .（1）求点的轨迹方程；（2）求的最大值.21. （10分） (2017高二上·西安期末) 在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．22. （10分） (2016高二上·邗江期中) （文科做）已知函数f（x）=x﹣﹣（a+2）lnx，其中实数a≥0．（1）若a=0，求函数f（x）在x∈[1，3]上的最值；（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．23. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 过椭圆 =1的右焦点F作斜率k=﹣1的直线交椭圆于A，B 两点，且共线．（1）求椭圆的离心率；（2）当三角形AOB的面积S△AOB= 时，求椭圆的方程．24. （10分）(2018·山东模拟) 已知函数．（1）曲线在点处的切线垂直于直线：，求的值；（2）讨论函数零点的个数．参考答案一、选择题 (共13题；共26分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、二、填空题 (共5题；共5分)14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、三、解答题 (共6题；共60分)19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。
四川省绵阳市高二上学期期中数学试卷(理科)
四川省绵阳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列命题中，真命题是（）A .B . 是的充分条件C .D . 的充要条件是2. （2分） (2017高二下·孝感期中) 若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0）F2（3，0），则其离心率为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高三上·四川月考) 是双曲线右支上一点, 直线是双曲线的一条渐近线. 在上的射影为 , 是双曲线的左焦点, 则的最小值为（）A . 1B .C .D .4. （2分） (2017高二下·黄陵开学考) 已知命题p：∀x∈R，2x2+2x+ ＜0，命题q：∃x0∈R，sinx0﹣cosx0= ，则下列判断中正确的是（）A . p是真命题B . q是假命题C . ￢p是假命题D . ￢q是假命题5. （2分） (2017高二上·四川期中) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若的面积的最大值为12，则椭圆的方程为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·仁寿模拟) 已知双曲线E：﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，|F1F2|=6，P是E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q，若|AQ|= ，则E 的离心率是（）A . 2B .C .D .7. （2分） (2019高二上·黑龙江期末) 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分）设方程（m+1）|ex﹣1|﹣1=0的两根分别为x1 ， x2（x1＜x2），方程|ex﹣1|﹣m=0的两根分别为x3 ， x4（x3＜x4）．若m∈（0，），则（x4+x1）﹣（x3+x2）的取值范围为（）A . （﹣∞，0）B . （﹣∞，ln）C . （ln， 0）D . （﹣∞，﹣1）9. （2分） (2019·揭阳模拟) 设是椭圆的右焦点，是椭圆的左顶点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（）A .B .C .D .10. （2分）将正方形沿对角线折成一个直二面角，点到达点，则异面直线与所成角是（）A .B .C .D .11. （2分）从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|-|MT|与b-a的大小关系为（）A . |MO|-|MT|>b-aB . |MO|-|MT|=b-aC . |MO|-|MT|<b-aD . 不确定12. （2分） (2020高三上·宣化月考) 已知双曲线的左、右焦点分别为，，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2020高二上·舟山期末) 双曲线C：的渐近线方程为________，C上一点P到点的距离为7，则点P到点的距离为________.14. （1分）已知F1 ， F2是椭圆 =1的左右焦点，点A（1，），则∠F1AF2的角平分线l所在直线的斜率为________．′．15. （1分） (2018高一上·武威期末) 已知是球上的点， ,， ,则球的表面积等于________．16. （1分） (2016高二下·大丰期中) 如图，已知椭圆C的方程为：（a＞b＞0），B是它的下顶点，F是其右焦点，BF的延长线与椭圆及其右准线分别交于P、Q两点，若点P恰好是BQ的中点，则此椭圆的离心率是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （15分） (2020高二上·天津月考) 在直四棱柱中，已知，，，为上一点，且．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正弦值．18. （5分） (2018高二上·西城期末) 已知椭圆的一个焦点为，离心率为 . 点为圆上任意一点，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）记线段与椭圆交点为，求的取值范围；（Ⅲ）设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.19. （5分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC=EB，AB=4，tan∠EAB=．证明：平面ADE⊥平面ACD.20. （10分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2﹣y2=1．（1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ．21. （10分） (2020高二上·大庆开学考) 如图，四棱锥的底面是菱形，，平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面成角的正弦值.22. （10分）(2020·随县模拟) 已知椭圆，过的焦点且垂直于轴的直线被截得的弦长为，椭圆的离心率为 .（1）求椭圆的标准方程；（2）经过右焦点的直线与交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点，求直线的方程.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共5分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、答案：17-3、考点：解析：。
【全国百强校】四川省绵阳南山中学2015-2016学年高二上学期期中考试理数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共48分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.抛物线28x y =的焦点F 的坐标是 （ ）A 、(2,0)-B 、(2,0)C 、(0,2)-D 、(0,2)【答案】D 【解析】试题分析：抛物线中28422pp p =∴=∴=，焦点在y 轴上，因此焦点坐标为(0,2)，故选D 考点：抛物线方程及性质2.已知直线210ax y +-=与直线(4)10a x ay --+=垂直，则实数a 的值为（ ）A 、0B 、4-或2C 、0或6D 、4-【答案】C考点：两直线垂直的判定3.已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，其前n 项和为n S ，则15S =( )A 、240B 、120C 、80D 、不确定【答案】B 【解析】试题分析：由等差数列性质可知1157916a a a a +=+=()1151515151612022a a S +⨯∴===，故选B 考点：等差数列性质及求和公式4.过点(3,1)A -且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ）A 、2条B 、3条C 、4条D 、无数多条【答案】B 【解析】考点：直线方程【方法点睛】求直线方程一般采用待定系数法，首先由已知条件设出方程的合适形式，已知过的点可设点斜式，已知直线斜率可设斜截式，已知两轴上的截距可设截距式，但要注意各种形式的局限性，本题中已知条件与截距有关，因此可设直线方程的截距式1x ya b+=，由过的点和截距的绝对值相等分别得到关于,a b 的方程，通过求,a b 值得到所求直线，但截距式不能表示过原点的直线，因此过原点的直线要单独考虑是否满足5.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线221169x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为20，则椭圆的离心率e 的值为 （ ）A 、12 B C D 、45【答案】A 【解析】试题分析：双曲线221169x y -=中22216,925a b c ==∴=，焦点为()5,0±，所以椭圆焦点为()5,0±，即椭圆中2225a b -=，由椭圆定义可知椭圆上任意一点到其两个焦点的距离之和为22010a a =∴=51102c e a ∴===，故选A 考点：椭圆双曲线方程及性质6.若圆C 的方程为22(3)(2)4x y -+-=，直线l 的方程为10x y -+=，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为 （ ）A 、22(1)(4)4x y +++=B 、22(1)(4)4x y -+-=C 、22(4)(1)4x y -+-=D 、22(4)(1)4x y +++=【答案】B考点：1.圆的方程；2.点关于直线的对称点7.已知双曲线2222:1y x C a b -=(0,0)a b >>的离心率为53，则双曲线C 的渐近线方程为 （ ）A 、34y x =±B 、43y x =±C 、y x =±D 、y = 【答案】A 【解析】试题分析：双曲线离心率22222225252516339994c c a b b a a a a a b +=∴=∴=∴=∴=，渐近线方程为34y x =±，故选A考点：双曲线方程及性质8.已知圆221:4C x y +=和圆222:68160C x y x y +-++=，则这两个圆的公切线的条数为（ ）A 、0B 、1C 、3D 、4【答案】C 【解析】试题分析：圆221:4C x y +=圆心为()0,0，半径为12r =，圆222:68160C x y x y +-++=变形为()()22349x y -++=，圆心为()3,4-，半径为23r =，因此圆心距为125d r r ==+，所以两圆相外切，共有3条公切线，故选C 考点：两圆的位置关系及公切线9.已知等比数列{}n a 中，42a =，716a =，则数列{}2log n a 的前10项和为 （ ）A 、27B 、26C 、25D 、24【答案】C考点：等比数列通项公式及等差数列求和公式10.椭圆1422=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的 ( )A 、3倍B 、4倍C 、5倍D 、7倍【答案】D 【解析】试题分析：椭圆1422=+y x 中224,12,1a b a b ==∴==，线段1PF 的中点在y 轴上，线段12F F 的中点为原点，结合三角形中位线性质可知2PF x ⊥轴221172422b PF a PF a ∴===∴=，所以1||PF 是2||PF 的7倍，故选D考点：椭圆方程及定义性质11.已知1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线交双曲线C 于P 、Q 两点，若2F PQ ∆为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的值为 （ ）A B 、2 C 、3 D【答案】A 【解析】试题分析：由已知可得P x c =-代入双曲线22221x y a b -=方程得2P b y a =，若2F PQ ∆为正三角形，结合双曲线的对称性可知12PF F ∆为直角三角形，且2112,2,60b PF F F c P a ==∠=22b c a∴=2222020ac e e -=--=∴=A考点：双曲线方程及性质【方法点睛】由双曲线方程可得到双曲线中焦点坐标，焦距，实轴长等基本性质，将点P 横坐标代入方程可得到纵坐标，进而得到1PF 的长度，结合题目中2F PQ ∆为正三角形及双曲线的对称性可得到边长间的,,a b c2220ac -=，从而变形为离心率220e --=，求得离心率的值12.已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，一条长度为4p 的线段AB 的两个端点A 、B在抛物线C 上运动，则线段AB 的中点D 到y 轴距离的最小值为 （ ）xyO BAA 、2pB 、52p C 、32p D 、3p 【答案】C考点：1.抛物线定义及性质；2.梯形中位线性质【方法点睛】本题考查了抛物线的定义和梯形的中位线定理，在求解有关抛物线的题目中常用到抛物线定义：抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，本题中求弦的中点到y 轴的距离可转化为到准线的距离，从而和两端点A,B 到准线的距离构成梯形的上下两底和中位线的位置关系，进而使所求距离转化到A,B 两点到焦点的距离，最后结合三角形两边之和大于第三边可得到所求最小值第Ⅱ卷（共52分）二、填空题（每题3分，满分12分，将答案填在答题纸上）13.已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，且120PF PF ⋅=.若12PF F ∆的面积为9，则b = .【答案】3考点：椭圆方程及性质14.已知直线30ax y +-=与圆心为C 的圆22(2)()9x y a -+-=相交于A 、B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a = .【答案】4 【解析】试题分析：圆的圆心为()2,a ，半径为3r =，ABC ∆为等边三角形，所以圆心到直线的距离为d =4a =± 考点：直线与圆相交的弦长问题15.已知等差数列{}n a 的公差0d >，n S 为其前n 项的和.若410S S =，则数列{}n a 的前n 和n S 取得最小值时，n 的值为 . 【答案】7 【解析】试题分析：()4105610787803000S S a a a a a a a d =∴+++=∴+=∴+=>，所以数列递增780,0a a ∴<>，所以数列前7项均为负数，因此n S 取得最小值时，n 的值为7考点：1.等差数列性质及单调性；2.等差数列求和【方法点睛】当等差数列10,0a d ><时，数列前n 项和存在最大值，所有的非负数项和最大，当10,0a d <>时，数列前n 项和存在最小值，所有的非正数项和最小，本题中公差0d >，数列为增数列，由410S S =可得到数列的第5项到第10项之和为0，结合等差数列性质可确定数列中的负数项和正数项，所有的非正数项的和最小，由此可求得前n 和n S 取得最小值时n 的值16.给出下列命题：①直线10x +-=的倾斜角是23π；②已知过抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则有221212,4p x x y y p ==-；③已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点，点P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则12PF F ∆的内心I 始终在一条直线上.其中所有正确命题的序号为 . 【答案】②③考点：1.直线倾斜角与斜率；2.抛物线和直线相交问题；3.双曲线方程及性质【方法点睛】①中由直线方程首先得到直线的斜率，利用tan k θ=求得倾斜角的值；②中直线与抛物线相交问题一般将直线与抛物线联立，整理为关于x 或y 的二次方程，从而得到根与系数的关系，本题中首先结合直线过的点设出直线方程，设直线方程为2px ky =+较简单，避免讨论斜率存在与不存在两种情况；③中利用圆外一点作圆的两条切线，切线段长度相等与双曲线定义可得到122F D F D a -=，结合122F D F D c +=可求得D 坐标为定值(),0a ，从而得到点I 在直线x a =上三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知一圆经过点(3,1)A ，(1,3)B -,且它的圆心在直线320x y --=上. (1)求此圆的方程;(2)若点D 为所求圆上任意一点，且点(3,0)C ,求线段CD 的中点M 的轨迹方程. 【答案】(1) 22(2)(4)10x y -+-= (2) 2255()(2)22x y -+-=（2）法一：设(,)M x y ，11(,)D x y ，则由(3,0)C 及M 为线段CD 的中点得：113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得：11232x x y y =-⎧⎨=⎩. …… (7分)又点D 在圆22:(2)(4)10N x y -+-=上，所以有22(232)(24)10x y --+-=，化简得：2255()(2)22x y -+-=. ……（9分）故所求的轨迹方程为2255()(2)22x y -+-=. ……（10分） 法二：设(,)M x y ，又点D 是圆22:(2)(4)10N x y -+-=上任意一点，可设(2,4)D αα. ……（6分） ∵(3,0)C ，点M 是线段CD的中点，∴有x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩8分） 消去参数α得：2255()(2)22x y -+-=.故所求的轨迹方程为2255()(2)22x y -+-=. ……（10分） 考点：1.圆的方程；2.动点轨迹方程【方法点睛】求圆的方程一般采用待定系数法和几何法，待定系数法首先设出圆的方程，将已知条件代入得到参数的方程组，解方程组求得参数值，从而确定圆的方程，几何法主要利用与圆有关的几何性质，如弦的垂直平分线过圆心等求得圆的圆心和半径，进而求得方程；求动点的轨迹方程一般思路为：建立坐标系，设出所求点坐标，找到所求点满足的几何性质及关系式，将其坐标化整理化简，检验是否有多余点，求解过程中的最后一步是容易忽略的步骤18.（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，*n N ∈，数列{}n b 满足24log 3,n n a b =+*n N ∈. (1)求,n n a b 的表达式；(2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .【答案】(1) 41,n a n =-12n n b -= (2) (45)25n n T n =-⨯+考点：1.数列通项公式求解；2.错位相减法求和【方法点睛】求数列{}n a 的通项公式主要利用11a S =，()12n n n a S S n -=-≥分情况求解后，验证1a 的值是否满足()12n n n a S S n -=-≥关系式，解决非等差等比数列求和问题，主要有两种思路：其一，转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解（即分组求和）或错位相减来完成，其二，不能转化为等差等比数列的，往往通过裂项相消法，倒序相加法来求和，本题中()1412n n n a b n -=-，根据特点采用错位相减法求和19.（本题满分10分）给定直线:216l y x =-，抛物线2:G y ax =(0)a >.xyO FB CA(1)当抛物线G 的焦点在直线l 上时，求a 的值；(2)若ABC ∆的三个顶点都在（1）所确定的抛物线G 上，且点A 的纵坐标8A y =，ABC ∆的重心恰是抛物线G 的焦点F ，求直线BC 的方程.【答案】(1) 32a =(2) 4400x y +-=（2）由（1）知：抛物线G 的方程是232y x =，(8,0)F .又∵点A 在抛物线G 上，且8A y =，∴(2,8)A . ……（5分） 延长AF 交BC 于点D ，则由点F 是ABC ∆的重心得：点D 为线段BC 的中点.设点(,)D x y ，则由2AF FD =得：(82,08)2(8,0)x y --=--，解之得：114x y =⎧⎨=-⎩.∴(11,4)D - ……（7分）设1122(,),(,)B x y C x y ，则由点,B C 在抛物线232y x =上得：2112223232y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减得：211221()32y y y y x x -⨯+=-，又由点D 为线段BC 的中点得128y y +=-，BC k =4-. ……（9分） ∴直线BC 的方程为(4)4(11)y x --=--，即4400x y +-=. ……（10分）考点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.抛物线的标准方程20.（本题满分10分） 已知椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，且2ABF ∆的周长为8.（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q .求证：以PQ 为直径的圆恒过一定点M .并求出点M 的坐标.【答案】（1）22143x y +=（2）(1,0)M（2）法一：由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(43)84120k x kmx m +++-=. 因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点00(,)P x y ，所以0m ≠，且0∆=，即2222644(43)(412)0k m k m -+-=，化简得22430k m -+=.（*） ……（6分）法二：由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(43)84120k x kmx m +++-=. 因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点00(,)P x y ，所以0m ≠，且0∆=，即 2222644(43)(412)0k m k m -+-=，化简得22430k m -+=.（*） ……（6分） 此时024443km k x k m =-=-+，003y kx m m =+=，所以43(,)k P m m- 由4x y kx m =⎧⎨=+⎩得(4,4)Q k m +. ……（7分） 因为存在定点M 满足条件，由图形对称性知：点M 必在x 轴上.取0,k m ==此时P Q 以PQ为直径的圆的方程为22(2)(4,x y -+=交x 轴于1(1,0)M ,2(3,0)M ;取1,22k m =-=，此时3(1,),(4,0)2P Q ，以PQ 为直径的圆的方程为225345()()2416x y -+-=，交x 轴于点34(1,0),(4,0)M M .所以满足条件的点存在，其必为(1,0). ……（8分） 下面证明点(1,0)M 满足条件. 因为43(1,),(3,4),k MP MQ k m m m =--=+所以1212330MP MQ k k m m⋅=--++=，故 恒有MP MQ ⊥,故点(1,0)M 恒在以线段PQ 为直径的圆上. ……（10分） 考点：1.直线与圆锥曲线的综合问题；2.椭圆的标准方程：。
四川省绵阳市南山中学实验学校2016-2017学年高二上学期半期考试数学理试题 含答案 精品
南山中学实验学校2016年秋季高2015级半期考试数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共48分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线26y mx =--与直线(3)7y m x =-+平行，则m 的值为（ ）A ．-1B ．1或-1C ．1D ．32.某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（ ）A ．①用简单随机抽样法；②用系统抽样法B ．①用分层抽样法；②用简单随机抽样法C ．①用系统抽样法；②用分层抽样法D ．①用分层抽样法；②用系统抽样法3.抛物线28x y =的焦点F 的坐标是（ ）A ．(2,0)-B ．(2,0)C ．(0,2)-D ．(0,2)4.过点(3,1)A -且在两坐标轴上截距相等的直线有（ ）A ．1条B ．2条 C. 3条 D ．4条5.某单位为了了解办公楼用电量y （度）与气温x （℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程2y x a =-+，当气温为4-℃时，预测用电量均为（ ）A ．68度B ．52度 C. 12度 D ．28度6.圆22(2)5x y ++=关于y 轴对称的圆的方程为（ ）A ．22(2)5x y -+=B ．22(2)5x y +-=C. 22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++=7.已知ABC ∆中，,A B 的坐标分别为(0,2)和(0,2)-，若三角形的周长为10，则顶点C 的轨迹方程是（ ）A ．22195x y +=（0y ≠） B ．2213620x y +=（0y ≠） C. 22159x y +=（0x ≠） D ．2213236x y +=（0x ≠） 8.已知双曲线2222:1y x C a b-=（(0,0)a b >>）的离收率为53，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．34y x =±B ．43y x =± C. y x = D ．y x =9.直线3y kx =+与圆22(2)(3)4x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥则k 的取值范围是（ ）A ．3[,0]4- B ．[ C. [ D ．2[,0]3- 10.椭圆2214x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1PF 是2PF 的（ ）A ．3倍B ．4倍 C. 5倍 D ．7倍11.已知点F 是双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是钝角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．(1,2) C. (1,1 D ．(2,)+∞12.已知P 是抛物线24y x =上一动点，则点P 到直线:230l x y -+=和y 轴的距离之和的最小值是（ ）A 1 D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共52分）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）13.已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为 ．14.在某电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 ．15.已知,x y 满足关系x =1y x +的取值范围是 ．16.给出下列命题：①直线10x -=的倾斜角是23π；②已知过抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点F 的直线与抛物线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则有2124p x x =，212y y p =-；③已知12,F F 为双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点，点P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则12PF F ∆的内心I 始终在一条直线上，其中所有正确命题的序号为 ．三、解答题 （本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知直线l 经过点(2,5)P -，且斜率为34-. （1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程.18. 下图是某市有关部门根据该市干部的月收入情况，作抽样调查后画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000，请根据该图提供的信息解答下列问题：（图中每组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)（1）求样本中月收入在[2500,3500)的人数；（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关系，必须从样本和各组中按月收入用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[1500,2000)的这段应抽多少人？（3）试估计样本数据的中位数.19. 已知：圆22:8120C x y y +-+=，直线:20l ax y a ++=.（1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程.20. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离1.（1）求椭圆的方程；（2）已知点(,0)C m 是线段OF 上一个动点（O 为坐标原点），是不存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于,A B 两点，使得AC BC =，并说明理由南山中学实验学校2016年秋季高2015级半期考试数学试题（理科）答案一、选择题1-5: CBDBA 6-10: ACABC 11、12：DC二、填空题13. (3,1,4)-- 14. 4515. [1,1]- 16.②③ 三、解答题17.解：（1）由点斜式方程得，35(2)4y x -=-+，∴34140x y +-=. （2）设m 的方程为340x y c ++=，则由平等线间的距离公式得，1435c +=，解得：2c =或29-.∴3410x y ++=或34290x y +-=18.解： （1）由样本频率分布直方图可知：第一组的频率为10.00085000.4P =⨯=由第一组的频数为4000有：样本总体个数4000100000.4N ==（人） 又由样本频率分布直方图可知：月收入在[1500,2000)的频率是10.40.20.150.050.2P =----=故月收入在[2500,3500)的人数有0.210000200⨯=（人）（2）由样本频率分布直方图可知：收入在[1500,2000)的频率为20.2P =，故人数是2000又抽样比为：100110000100=，故月收入在[1500,2000)的这段应抽1200020100⨯=（人） （3）2000150017502+=. 19.解：圆22:8120C x y y +-+=化成标准方程为22(4)4x y +-=，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.（1）若直线l 与圆C2=，解得34a =-. （2）过圆心C 作CD AB ⊥，则根据题意和圆的性质，得222412CD CD DA AC DA AB ⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪==⎪⎩，解得7a =-或1a =-故所求直线方程为7140x y -+=或20x y -+=.20.解：（1）因为21c e a a c ⎧==⎪⎨⎪+=+⎩所以a =1c =∴1b =，椭圆方程为：2212x y +=. （2）由（1）得(1,0)F ，所以01m ≤≤，假设存在满足题意的直线l ，设l 的方程为(1)y k x =-， 代入2212x y +=，得2222(12)4220k x k x k +-+-= 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122412k x x k +=+，21222212k x x k-∙=+ 121222(2)12k y y k x x k -+=+-=+，设AB 的中点为M ，则2222(,)1212k k M k k -++∵AC BC =，∴CM AB ⊥，即1CM AB k k ∙=- ∴22242201212k k m k k k --+∙=++ ∴2(12)m k m -=∴当102m ≤<时，k =l 当112m ≤≤，k 不存在，即不存在这样的直线l。
四川省绵阳市高二上学期期中数学试卷(理科)
四川省绵阳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）设点P在曲线上，点Q在曲线上，则|PQ|最小值为（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·长寿月考) 两圆和的连心线方程为（）A . x+y+3=0B . 2x－y－5=0C . 3x－y－9=0D . 4x－3y+7=03. （2分）(2017·嘉兴模拟) 已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且与抛物线交于A、B两点，若|AB|=5，则AB中点的横坐标为（）A .B . 2C .D . 14. （2分） (2019高二上·河南期中) 太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为，设点，则的取值范围是A . ，B . ，C . ，D . ，5. （2分）过双曲线左焦点的直线与以右焦点为圆心、为半径的圆相切于A点，且，则双曲线的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分）不论m取何值，直线mx﹣y+2m+1=0恒过定点（）A . （1,）B . （﹣2，1）C . （2，﹣1）D . （-1,-）7. （2分） (2016高一下·沙市期中) 过点（2，1）的直线中，被圆x2+y2﹣2x+4y=0截得的最长弦所在直线的方程是（）A . 3x﹣y﹣5=0B . 3x+y﹣7=0C . x+3y﹣5=0D . x﹣3y+1=08. （2分）已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0 ， y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（）A . 相离B . 相切C . 相交D . 不能确定9. （2分） (2017高二下·济南期末) 双曲线 =﹣1的渐近线方程是（）A . y=± xB . y=± xC . y=± xD . y=± x10. （2分） (2016高二上·唐山期中) 经过（1，2）点的抛物线的标准方程是（）A . y2=4xB . x2= yC . y2=4x 或x2= yD . y2=4x 或x2=4y11. （2分） (2018高二上·南阳月考) 已知椭圆，直线，若对任意的，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）椭圆的焦距是（）A . 2B . 4C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·包头期中) 直线l1的斜率为2，l1∥l2 ，直线l2过点（﹣1，1）且与y轴交于点P，则P点坐标为________14. （1分） (2016高二上·怀仁期中) 若直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）始终平分圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的周长，则ab 的最大值是________．15. （1分）(2018·景县模拟) 如图所示，是椭圆的短轴端点，点在椭圆上运动，且点不与重合，点满足，则＝________。
四川省南山中学高二数学上学期期中考试 理【会员独享】
绵阳南山中学秋季高半期试数学试题（理工类）考试时间：100分钟 试卷满分：100分一．选择题（每题4分，共48分）1.双曲线x y 222-=8的实轴长是 （ ）A ．2B ．C ． 4D ．2. “x <-1”是“x 2-1>0”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要 3. 函数4()3f x x x=+-在[)2,+∞上（ ） A ．无最大值，有最小值7 B ．无最大值，有最小值1C ．有最大值7，无最小值D ．有最大值1，无最小值4. 与命题“若m M ∈，则n M ∉”等价的命题是 （ ）A ．若m M ∈，则n M ∉B ．若n M ∉， 则m M ∈C ．若m M ∉，则n M ∈D ．若n M ∈，则m M ∉5. 对于任意实数a 、b 、c 、d ，命题：①bd ac d c b a >>>>则若,,0；②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22；④ba b a 11,<>则若．其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46. 与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且过点(-的双曲线方程为：（ ） A ．224149x y -= B ．224149y x -= C ．224194y x -= D ．224194x y -= 7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 （ ）A ．34B ．1C ．54D ．748. 在R 上定义运算⊗：(1)x y x y ⊗=-,若不等式()()1x a x a -⊗+>-对任意实数x 恒成立，则( )A ．11a -<<B ． 02a <<C ．1322a -<<D ．3122a -<<9. 椭圆22162x y +=和双曲线2213x y -=的公共焦点1F 、2F ,P 是两曲线的一个交点，那么12cos F PF ∠的值是 （ ）A ．13 B ．23 C ．73 D ．1410.已知点⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+14),(x x y y x y x P 满足，则1y x +的最大值为( ) A ．2 B ．23 C ．32D ．4 11. 已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△2ABF 是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A．()1++∞ B．(1,1 C．( D． 12.已知P 是椭圆22143x y +=上的一点, 1F 、2F 是椭圆的两个焦点，若12PF F ∆的内切圆半径为12，则12PF PF ⋅的值 （ ） A. 32 B. 94 C. 94- D. 0 二．填空题（每题3分，共12分）13.不等式220x x -++>的解为 ；14.焦点坐标为()0,2F 的抛物线的标准方程是 ；15.直线3440x y --=与圆()()22114x y -+-=交于A 、B 两点，则线段AB 的长为 ；16.动点(),M x y 分别到两定点()()3,03,0-、连线的斜率之乘积为169，设(),M x y 的轨迹为曲线C ， 1F 、2F 分别为曲线C 的左、右焦点，则下列命题中：（1）曲线C 的焦点坐标为()15,0F -、()25,0F ；（2）若01260F MF ∠=,则12F MF S ∆=（3）当0x >时，12F MF ∆的内切圆圆心的横坐标是3；（4）设()6,1A ，则235MA MF +；其中正确命题的序号是： 。
2020年四川省绵阳市南山中学高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2018学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°2．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程（）A．x=B．y=2 C．x= D．y=43．（5分）下面程序运行的结果是（）A．5，8 B．8，5 C．8，13 D．5，134．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的公切线条数是（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条5．（5分）设0＜k＜a2，那么双曲线与双曲线有（）A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点6．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣9=0与y轴的两个交点A．B都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．7．（5分）若圆x2+y2﹣2x﹣6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为（）A．或2 B．或C．2 D．8．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3 B．C．D．9．（5分）已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．10．（5分）若方程=2x+m有实数解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，0}）∪[2，+∞）B．[﹣，0）∪（0，] C．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）11．（5分）已知△FAB，点F的坐标为（1，0），点A，B分别在图中抛物线y2=4x及圆（x﹣1）2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围是（）A．（2，6） B．（4，6） C．（2，4） D．（6，8）12．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△QF1F2的重心为G，内心为I，且，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）点A（2，3，5）关于坐标平面xOy的对称点B的坐标是．14．（5分）执行如图的程序框图，如果输入p=10，则输出的S=．15．（5分）已知F1是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，以线段F1O为边作正三角形F1OM，若顶点M在双曲线上，则双曲线的离心率是．16．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列五个结论：①△PMN必为直角三角形；②△PMN必为等边三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM必与抛物线相交；⑤△PMN的面积为p2．其中正确的结论是．三、解答题（本大题共4小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．18．（12分）已知△ABC的三顶点坐标分别为：．（1）求△ABC的外接圆Γ的标准方程；（2）已知过P（﹣2，﹣3）的直线l被△ABC的外接圆Γ截得的弦长为，求直线l的一般式方程．19．（12分）如果点M（x，y）在运动过程中总满足关系式．（1）说明点M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；（2）O是坐标原点，直线l：y=kx+2交点M的轨迹于不同的A，B两点，求△AOB面积的最大值．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），O为坐标原点，点G（1，）在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，P为x轴上一点，若PA、PB是菱形的两条邻边，求点P横坐标的取值范围．2018学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：直线l的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），直线l的方程为，则tan θ=，解得θ=150°，则直线l的倾斜角为150°，故选：A．2．（5分）抛物线y=﹣x2的准线方程（）A．x=B．y=2 C．x= D．y=4【解答】解：抛物线y=﹣x2的准线方程：x2=﹣8y，它的准线方程为：y=2．故选：B．3．（5分）下面程序运行的结果是（）A．5，8 B．8，5 C．8，13 D．5，13【解答】解：执行程序，有A=5B=8X=5A=8B=13输出8，13故选：C．4．（5分）两圆x2+y2=9和x2+y2﹣8x+6y+9=0的公切线条数是（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：圆x2+y2=9表示以（0，0）为圆心，半径等于3的圆．圆x2+y2﹣8x+6y+9=0即（x﹣4）2+（y+3）2=16，表示以（4，﹣3）为圆心，半径等于4的圆．两圆的圆心距等于=5，小于半径之和，大于半径差，故两圆相交，故两圆的公切线的条数为2，故选：B．5．（5分）设0＜k＜a2，那么双曲线与双曲线有（）A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点【解答】解：∵0＜k＜a2，∴a2﹣k＞0，对于双曲线可知，焦点在x轴，且c2=a2﹣k+b2+k=a2+b2，同理双曲线焦点也在x轴上，且c′2=a2+b2故它们由共同的焦点故选：D．6．（5分）若圆x2+y2﹣4x﹣9=0与y轴的两个交点A．B都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣9=0与y轴的两个交点A、B都在双曲线上，且A、B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，∴A、B是双曲线的顶点．令x=0，则y=﹣3或y=3，∴A（0，﹣3），B（0，3），在双曲线中，a=3，2c=3×2a=18，∴a=3，c=9，b2=81﹣9=72，因此，双曲线的标准方程是．故选：B．7．（5分）若圆x2+y2﹣2x﹣6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为（）A．或2 B．或C．2 D．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣6y+1=0的圆心C（1，3），半径r==3，∵圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2，∴圆心C（1，3）到直线y=kx的距离为1，即d==1，解得k=．故选：D．8．（5分）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点M（0，2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．3 B．C．D．【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F（，0），依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|，则点P到点M（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，d=|PF|+|PM|≥|MF|==．即有当M，P，F三点共线时，取得最小值，为．故选：B．9．（5分）已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．【解答】解：双曲线C：﹣=1的a=，b=2，c==，即有F1（﹣，0），F2（，0），设渐近线l的方程为y=x，且P（m，m），•=（﹣﹣m，﹣m）•（﹣m，﹣m）=（﹣﹣m）（﹣m）+（﹣m）2=0，化为3m2﹣6=0，解得m=±，则P到x轴的距离为|m|=2．故选：C．10．（5分）若方程=2x+m有实数解，则实数m的取值范围是（）A．[﹣，0}）∪[2，+∞）B．[﹣，0）∪（0，] C．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：方程=2x+m可化为m=﹣2x；作函数m=﹣2x的图象如下，结合选项可得，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[2，+∞）；故选：C．11．（5分）已知△FAB，点F的坐标为（1，0），点A，B分别在图中抛物线y2=4x及圆（x﹣1）2+y2=4的实线部分上运动，且AB总是平行于x轴，那么△FAB的周长的取值范围是（）A．（2，6） B．（4，6） C．（2，4） D．（6，8）【解答】解：抛物线的准线l：x=﹣1，焦点F（1，0），圆（x﹣1）2+y2=4的圆心为（1，0），半径为2，由抛物线定义可得|AF|=x A+1，∴△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=x A+1+（x B﹣x A）+2=3+x B，由抛物线y2=4x及圆（x﹣1）2+y2=4可得：交点的横坐标为1，∴x B∈（1，3），∴3+x B∈（4，6），故选：B．12．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，点Q为椭圆上一点．△QF1F2的重心为G，内心为I，且，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），设Q（x0，y0），∵G为△F1QF2的重心，∴G点坐标为G（，），∵，则∥，∴I的纵坐标为，又∵|QF1|+|QF2|=2a，|F1F2|=2c，∴=•|F 1F2|•|y0|，又∵I为△F1QF2的内心，∴||即为内切圆的半径，内心I把△F1QF2分为三个底分别为△F1MF2的三边，高为内切圆半径的小三角形，∴=（|QF 1|+|F1F2|+|QF2|）||，即×2c•|y0|=（2a+2c）||，∴2c=a，∴椭圆C的离心率为e=，∴该椭圆的离心率，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）点A（2，3，5）关于坐标平面xOy的对称点B的坐标是（2，3，﹣5）．【解答】解：点A（2，3，5）关于坐标平面xOy的对称点B的坐标是（2，3，﹣5）．故答案为：（2，3，﹣5）．14．（5分）执行如图的程序框图，如果输入p=10，则输出的S=45．【解答】解：由图可以看出，如果输入p=10，循环体被执行9次，可得程序框图的功能是计算并输出S=1+2+3+…+9的值，S=1+2+3+…+9=45．故答案为：45．15．（5分）已知F1是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，以线段F1O为边作正三角形F1OM，若顶点M在双曲线上，则双曲线的离心率是．【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1为（﹣c，0），以线段F1O为边作正三角形F1OM，则可设M（﹣，c），由M在双曲线上，则﹣=1，由e=，b2=c2﹣a2，则e2﹣=1，则e4﹣8e2+4=0，解得，e2=4，即有e=+1或﹣1（舍去）．故答案为：．16．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列五个结论：①△PMN必为直角三角形；②△PMN必为等边三角形；③直线PM必与抛物线相切；④直线PM必与抛物线相交；⑤△PMN的面积为p2．其中正确的结论是①③⑤．【解答】解：抛物线方程为y2=2px（p＞0），焦点为F（，0），则P点坐标为（﹣，0），可求出点M（，p），N（，﹣p），∴|PF|=|MN|=p，∴∠MPN=90°，故①正确，②不正确；直线PM的方程为y=x+，联立，整理得y2﹣2py+p2=0，△=4p2﹣4p2=0，∴直线PM与抛物线相切，故③正确，④不正确．△PMN的面积为S=×2p×p=p2．故⑤正确，故答案为：①③⑤．三、解答题（本大题共4小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）直线l经过两直线2x﹣y+4=0与x﹣y+5=0的交点，且与直线l1：x+y﹣6=0平行．（1）求直线l的方程；（2）若点P（a，1）到直线l的距离与直线l1到直线l的距离相等，求实数a的值．【解答】解：（1）由，解得．即两直线的交点为（1，6），∵直线l1：x+y﹣6=0的斜率为﹣1，∴直线l的斜率为﹣1，∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣1），即x+y﹣7=0；（2）由题意知，，整理得：|a﹣6|=1．解得：a=7或a=5．18．（12分）已知△ABC的三顶点坐标分别为：．（1）求△ABC的外接圆Γ的标准方程；（2）已知过P（﹣2，﹣3）的直线l被△ABC的外接圆Γ截得的弦长为，求直线l的一般式方程．【解答】解：（1）设△ABC外接圆Γ的方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0则有，解之得，则外接圆Γ的方程：x2+y2+4y﹣21=0，即x2+（y+2）2=25．（2）由（1）及题意知圆心到直线l的距离，①当直线l的斜率不存在时，x=﹣2符合题意②当直线l的斜率存在时设直线l：y+3=k（x+2）即kx﹣y+2k﹣3=0∴解之得，∴，即3x+4y+18=0综上，直线l的一般式方程为x=﹣2或3x+4y+18=0．19．（12分）如果点M（x，y）在运动过程中总满足关系式．（1）说明点M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；（2）O是坐标原点，直线l：y=kx+2交点M的轨迹于不同的A，B两点，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）设F（，0），F′（﹣，0），∵点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，∴|MF|+|MF′|=2＞|FF′|=2，∴M的轨迹是椭圆，c=，a=，b=1，∴点M的轨迹方程是：．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∵△=（12k）2﹣36（1+3k2）=36k2﹣36＞0，k2＞1，∴，∴，令，则k2=t2+1，∴当且仅当即时有最大值．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣1，0），O为坐标原点，点G（1，）在椭圆上，过点F的直线l交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆C的方程；（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，P为x轴上一点，若PA、PB是菱形的两条邻边，求点P横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由题意有a2﹣b2=1，且=1，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．…（2分）（2）设M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则x=，y=当x1=x2时，M点的坐标为（﹣1，0）．当x1≠x2时，∵2=1，2=1，两式相减得，∴．又AB过F点，于是AB的斜率为，∴=﹣，整理得x2+2y2+x=0．∵（﹣1，0）也满足上式，∴M的轨迹方程为x2+2y2+x=0．…（6分）（3）设P（m，0），AB的中点M（a，b），由（2）知，a2+2b2+a=0．①∵|PA|=|PB|，∴PM⊥AB．∴k AB•k MP=﹣1，即=﹣1，整理得b2=﹣a2﹣a+am+m，②将②代入①中，得a2+a﹣2am﹣2m=0，化为（a+1）（a﹣2m）=0，∵a≠﹣1，∴m=．由2b2=﹣a2﹣a＞0（当b=0时，AB与x轴垂直，不合题意，舍去），得﹣1＜a＜0，于是﹣＜m＜0，即P点的横坐标的取值范围为（﹣，0）．…（10分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
四川省绵阳市南山中学实验学校2016-2017学年高二10月月考数学(理)试题答案
绵阳南山中学实验学校高中2015级高二上10月月考数学参考答案一、选择题二、填空题13. 9 14. 2015. (1,2] 16. 925三、解答题17、解：（1）由两点式写方程得121515+-+=---x y ，……………………2分 即 6x-y+11=0……………………………………………………3分另解：直线AB 的斜率为 616)1(251=--=-----=k (1)直线AB 的方程为 )1(65+=-x y ………………………………………2分 即 6x-y+11=0…………………………………………………………………3分 （2）设M 的坐标为（00,y x ），则由中点坐标公式得1231,124200=+-==+-=y x 故M （1，1）………………………4分 52)51()11(22=-++=AM …………………………………………6分(3)因为直线AB 的斜率为k AB =51632+=--+········（7分） 设AB 边的高所在直线的斜率为k则有1(6)16AB k k k k ⨯=⨯-=-∴=··········（8分） 所以AB 边高所在直线方程为13(4)61406y x x y -=--+=即········（10分） 18. 解法一： 设所求圆的方程为220xy Dx Ey F，由题意，得·······（2分） 210104 6.D FEF D F解之,得445,D EF,或887.D EF··············（7分）∴所求圆的方程为224450xy x y 或228870x y x y ········（10分） 解法二：设所求圆的方程为222()()x a y b r ，由题意，得·······（2分） 22222222(1)(1)2 6.a b r a b r r b 解之,得445,a b r ,或2213.DEF ··············（7分） ∴所求圆的方程为22(4)(4)25x y 或22(2)(2)13x y ···········（10分）19. 解 （1）圆22:840M x y x y 与圆22:20N x y 关于直线y kx b 对称∴y kx b 为以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线. ··················（2分） ∴402---×1k ，2k . 点（0，0）与（-4，2）的中点为（-2，1），∴1=2×(-2)+b ，b=5. ∴2,5k b ···············································（5分） （2）圆心（-4，2）到2x-y+5=0的距离为d=5552)4(2=+--⨯. ········（7分） 而圆的半径为AOB=120°. ··································（10分） 20. 解：假设存在斜率为1的直线l ,使l 被椭圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点.设l 的方程为1122, (,),(,)yx m A x y B x y . 0OAOB OA OB 由知，＝, 即12120x x y y ＝. ·······················（2分）由2228y x mx y , 消去y ，得2234280x mx m ,···················（4分） 2221643(28)8960m m m ，得2323m ，·····（6分）∴1243mx x ，212283m x x ，221212128()3m y y x x m x x m， 2121231603m x x y y ＝，4323,23m ，···················（9分） 故直线l 存在，方程为：433y x. ·······················(10分)。
绵阳市南山中学试验学校2016-2017学年高二上学期10月月考数学试卷(理科) 含解析
2016-2017学年四川省绵阳市南山中学试验学校高二(上)10月月考数学试卷（理科）一、选择题:本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线经过点A（0，4）和点B(1,2）,则直线AB的斜率为（）A．3 B．﹣2 C．2 D．不存在2．直线2x﹣y=7与直线3x+2y﹣7=0的交点是( ）A．（3，﹣1) B．（﹣1，3）C．(﹣3，﹣1） D．（3，1)3．若直线x+ay+2=0和直线2x+3y+1=0互相垂直，则a的值为（）A．B．C． D．4．椭圆6x2+y2=6的长轴端点坐标为（）A．（﹣1，0），（1，0）B．（﹣6，0），(6，0）C．D．5．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，过F2引一条斜率不为零的直线与椭圆交于点A、B，则三角形ABF1的周长是( ）A．20 B．24 C．32 D．406．从点P（1,﹣2)引圆（x+1)2+（y﹣1）2=4的切线，则切线长是（) A．4 B．3 C．2 D．17．直线2x+3y﹣6=0关于点(1，﹣1)对称的直线是（)A．3x﹣2y+2=0 B．2x+3y+7=0 C．3x﹣2y﹣12=0 D．2x+3y+8=0 8．点P（1，﹣1)到直线ax+3y+2a﹣6=0的距离的最大值为（）A．B．C．D．9．圆x2+y2=1与直线xsinθ+y﹣1=0的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相交10．圆x2+y2﹣2x+4y﹣20=0截直线5x﹣12y+c=0所得弦长为8，则c的值为（）A．10 B．﹣68 C．12 D．10或﹣6811．过椭圆的中心的弦为PQ，焦点为F1，F2，则△PQF1的最大面积是（）A．ab B．bc C．ca D．abc12．椭圆+=1的焦点在x轴上，则它的离心率的取值范围( ）A．(0，）B．［，1）C．（0,] D．[，1)二、填空题(每题3分，满分12分）13．曲线y=|x﹣2|﹣3与x轴围成的图形的面积是．14．两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．15．已知M=｛（x，y）｜x2+y2=1,0＜y≤1}，N=｛（x，y）|y=x+b，b∈R｝，并且M∩N≠∅，那么b的取值范围是．16．设M，N为椭圆的长轴的端点,P为椭圆上异于M，N的点，则直线PM，PN的斜率之积为．三、解答题（本大题共4小题,共40分。
学年上学期高二期中考试数学(理)(附答案)
2014年11月绵阳南山中学2014年秋季高2016届半期考试数学试题（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、抛物线261x y -=的准线方程为（ ） A. 23=y B. 241=xC. 23=xD. 241=y2、已知P(2,-1)，则过P 点且与原点距离最大的直线的方程是( ) A ．x -2y -5=0 B ． 2x -y -5=0 C ．x +2y -5=0D. 2x +y +5=03、以圆0222=++y x x 的圆心为圆心，半径为2的圆的方程是（ ） A ．()4122=+-y x B ．()2122=+-y xC ．()2122=++y x D ．()4122=++y x4、已知双曲线2219x y m-=的一个焦点坐标是()5,0,则双曲线的渐近线方程是（ ）A. y x =B. y x =C. 43y x =±D. 34y x =± 5、抛物线24y x =的焦点到双曲线2213yx -=的渐近线的距离是（ ）A ．12BC ．1D 6、过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（ ）A.B.27、若直线l ：y ＝kx －3与直线x ＋y －3＝0的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ． 3(,]24ππB ．3(,)24ππC ． 3(,)34ππD ．3[,)24ππ 8、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y ,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为( ) A.221927x y -= B. 22136108x y -= C.22110836x y -= D. 221279x y -= 9、设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的面积之比BCFACFS S ∆∆=( )D. 45x ＝a 2c 上存在点P ，使) C.⎣⎡⎭⎫22，1D. ⎝⎛⎦⎤0，22二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，请把答案填在答卷相应横线上. 11、经过点(3,0)A ，且与直线250x y +-=平行的直线方程是________. 12、按如图所示的程序框图运算，若输入x ＝20，则输出的k ＝________.13、椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为__________.14、椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12A A 、，点P 在椭圆C 上，记直线2PA 的斜率为2k ，直线1PA 的斜率为1k ，则 1k ·2k = .15、已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于11(,)M x y 、22(,)N x y 两点，直线OM 、ON （O 为坐标原点）分别与准线l 相交于P 、Q 两点，下列结论正确的是 .（请填上正确结论的序号） ①MF MQ = ②PFQ ∠﹥2π③MN MQ NP <+④以线段MF 为直径的圆必与y 轴相切三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出必要的文字说明、演算过程及步骤.16、（1）过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．（2）已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9，求该抛物线的方程.17、圆M 的圆心在直线x y 2-= 上，且与直线1=+y x 相切于点)1,2(-A , （1）试求圆M 的方程；（2）从点(3,1)P 发出的光线经直线y x =反射后可以照在圆M 上，试求发出光线所在直线的斜率的取值范围．18、已知椭圆C:1422=+y x 及直线L:m x y +=.（1） 当直线L 和椭圆C 有公共点时，求实数m 的取值范围； （2） 当直线L 被椭圆C 截得的弦最长时，求直线L 所在的直线方程 .19、设椭圆E: 22221x y a b+=（a,b>0）过M （2、两点，O 为坐标原点，（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由。
四川省绵阳南山中学205高二数学上学期期中试题 理
四川省绵阳南山中学205-2016学年高二数学上学期期中试题 理 本试卷分试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，共4页；答题卡共4页.满分100分，考试时间100分钟.第Ⅰ卷（选择题，共48分）注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1、抛物线28x y =的焦点F 的坐标是 （ ） A 、(2,0)- B 、(2,0) C 、(0,2)- D 、(0,2)2、已知直线210ax y +-=与直线(4)10a x ay --+=垂直，则实数a 的值为（ ） A 、0 B 、4-或2 C 、0或6 D 、4-3、已知等差数列{}n a 中，7916a a +=，其前n 项和为n S ，则15S = ( ) A 、240 B 、120 C 、80 D 、不确定4、过点(3,1)A -且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有 （ ） A 、2条 B 、3条 C 、4条 D 、无数多条5、已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线221169x y -=的焦点相同，且椭圆上任 意一点到其两个焦点的距离之和为20，则椭圆的离心率e 的值为 （ ）A 、12B 、10C 、5D 、456、若圆C 的方程为22(3)(2)4x y -+-=，直线l 的方程为10x y -+=，则圆C 关于直线l 对称的圆的方程为 （ ） A 、22(1)(4)4x y +++= B 、22(1)(4)4x y -+-=C 、22(4)(1)4x y -+-=D 、22(4)(1)4x y +++= 7、已知双曲线2222:1y x C a b -=(0,0)a b >>的离心率为53，则双曲线C 的渐近线方程为 （ ）A 、34y x =±B 、43y x =±C、y x = D、y x =8、已知圆221:4C x y +=和圆222:68160C x y x y +-++=，则这两个圆的公切线的条数为 （ ）A 、0B 、1C 、3D 、49、已知等比数列{}n a 中，42a =，716a =，则数列{}2log n a 的前10项和为 （ ） A 、27 B 、26 C 、25 D 、2410、椭圆1422=+y x 的焦点为1F 、2F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的 ( )A 、3倍B 、4倍C 、5倍D 、7倍11、已知1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线交双曲线C 于P 、Q 两点，若2F PQ ∆为正三角形，则双曲线C 的离心率e 的值为 （ ）AB 、2C 、3 D12、已知抛物线C 的方程为22(0)y px p =>一条长度为4p 的线段AB 的两个端点A 、B在抛物线C 上运动，则线段AB 的中点D到y 轴距离的最小值为）A 、2pB 、52p 2第Ⅱ卷（非选择题，共52分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题3分，共12分.13、已知12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆上任意一点，且120PF PF ⋅=u u u r u u u u r .若12PF F ∆的面积为9，则b = .14、已知直线30ax y +-=与圆心为C 的圆22(2)()9x y a -+-=相交于A 、B 两点，且ABC ∆为等边三角形，则实数a = .15、已知等差数列{}n a 的公差0d >，n S 为其前n 项的和.若410S S =，则数列{}n a 的前n 和n S 取得最小值时，n 的值为 .16、给出下列命题：①直线10x -=的倾斜角是23π；②已知过抛物线:C 22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，则有221212,4p x x y y p ==-；③已知1F 、2F 为双曲线C ：22221x y a b-=的左、右焦点，点P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，则12PF F ∆的内心I 始终在一条直线上.其中所有正确命题的序号为 .三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、（本题满分10分）已知一圆经过点(3,1)A ，(1,3)B -,且它的圆心在直线320x y --=上.(1)求此圆的方程;(2)若点D 为所求圆上任意一点，且点(3,0)C ,求线段CD 的中点M 的轨迹方程.18、（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，*n N ∈，数列{}n b 满足24log 3,n n a b =+*n N ∈.(1)求,n n a b 的表达式；（2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19、（本题满分10分）给定直线:216l y x =-，抛物线2:G y=(1)当抛物线G 的焦点在直线l 上时，求a （2）若ABC ∆的三个顶点都在（1抛物线G 上，且点A 的纵坐标8A y =， ABC ∆的重心恰是抛物线G 的焦点F ，求直线BC 的方程.20、（本题满分10分）已知椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率12e =.过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，且2ABF ∆的周长为8.（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q .求证：以PQ 为直径的圆恒过一定点M .并求出点M 的坐标.绵阳南山中学2015年秋季高2014级半期考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.D C B B A B A C C D A C12题解答：如图所示，设线段AB 的中点为D ，分别过点A 、B 、D 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为1A 、1B 、1D ,则点D 到y 轴的距离等于111|||||22222AA BB p DD +-=-=- ||3222AB p p ≥-=，当且仅当,,A F B 三点共线时，等号成立. 二、填空题: 本大题共4小题，每小题3分，共12分. 13、3 14、4、7 16、②③16、解答：③设12PF F ∆的内切圆与边12F F 、2PF 、1PF分别相切于点D 、E 、F 三点，则I D x x == 22222||||||||||||OF DF OF F E c PF PE -=-=-+2211||||||||||c PF PF c PF PF FF =-+=-+-12||2()22D D I c a F D c a c x a x a x =+-=+-+=-=-所以I x a =,故点I 在过双曲线右支的顶点(,0)a 且与x 轴垂直的直线上.三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.17、（本题满分10分）解：（1）法一：由已知可设圆心N (,32)a a -，又由已知得||||NA NB =,从而有 =2a =.……（2分）于是圆N 的圆心(2,4)N ,半径r ==……（4分）所以，圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=. ……（5分） 法二：∵(3,1)A ,(1,3)B -,∴311132AB k -==---,线段AB 的中点坐标为(1,2)， ……（1分）从而线段AB 的垂直平分线的斜率为2，方程为22(1)y x -=-即20x y -=……（2分） 由方程组20320x y x y -=⎧⎨--=⎩解得24x y =⎧⎨=⎩， 所以圆心(2,4)N ,半径||r NA ===……（4分） 故所求圆N 的方程为22(2)(4)10x y -+-=. ……（5分）（2）法一：设(,)M x y ，11(,)D x y ，则由(3,0)C 及M 为线段CD 的中点得： 113202x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得：11232x x y y =-⎧⎨=⎩. …… (7分) 又点D 在圆22:(2)(4)10N x y -+-=上，所以有22(232)(24)10x y --+-=，化简得：2255()(2)22x y -+-=. ……（9分） 故所求的轨迹方程为2255()(2)22x y -+-=. ……（10分） 法二：设(,)M x y ，又点D 是圆22:(2)(4)10N x y -+-=上任意一点，可设(2,4)D αα++. ……（6分）∵(3,0)C ，点M 是线段CD的中点，∴有322x y α⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩8分） 消去参数α得：2255()(2)22x y -+-=.故所求的轨迹方程为2255()(2)22x y -+-=. ……（10分） 18、（本题满分10分）解：（1）∵2*2,n S n n n N =+∈，∴当1n =时，113a S ==. ……（1分）当2n ≥时，2212[2(1)(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-.∵1n =时，13a =满足上式，∴*41,n a n n N =-∈. ……（3分）又∵*24log 3,n n a b n N =+∈，∴2414log 3n n b -=+，解得：12n n b -=.故41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈. ……（5分）（2）∵41,n a n =-，12n n b -=，*n N ∈∴1122n n n T a b a b a b =+++L 01213272(45)2(41)2n n n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯L …①12123272(45)2(41)2n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯L …② ……（7分）由①-②得：1213424242(41)2n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯L12(12)34(41)2(54)2512n n n n n --=+⨯--⨯=-⨯-- ……（9分） ∴(45)25n n T n =-⨯+，*n N ∈. ……（10分）19、解：（1）∵抛物线2:(0)G y ax a =>的焦点在x 轴上，且其坐标为(,0)4a （2分） ∴对方程216y x =-，令0y =得：8x =（3分） 从而由已知得84a =，32a =分）（2）由（1）知：抛物线G 的方程是232y x =，(8,0)F 又∵点A 在抛物线G 上，且8A y =，∴(2,8)A 分）延长AF 交BC 于点D ，则由点F 是ABC ∆的重心得：点D 为线段BC 的中点.设点(,)D x y ，则由2AF FD =u u u r u u u r 得：(82,08)2(8,0)x y --=--，解之得：114x y =⎧⎨=-⎩.∴(11,4)D - ……（7分）设1122(,),(,)B x y C x y ，则由点,B C 在抛物线232y x =上得：2112223232y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式相减得：211221()32y y y y x x -⨯+=-，又由点D 为线段BC 的中点得128y y +=-，BC k =4-. ……（9分）∴直线BC 的方程为(4)4(11)y x --=--，即4400x y +-=. ……（10分）20、解：（1）∵22||||||8AB AF BF ++=,即1122||||||||8AF BF AF BF +++=. 又1212||||||||2AF AF BF BF a +=+=，所以48,2a a ==. ……（2分） 又因为12e =，即12c a =，所以1c =，所以b 故椭圆E 的方程为22143x y +=. ……（4分） （2）法一：由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(43)84120k x kmx m +++-=. 因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点00(,)P x y ，所以0m ≠，且0∆=，即 2222644(43)(412)0k m k m -+-=，化简得22430k m -+=.（*） ……（6分） 此时024443km k x k m =-=-+，003y kx m m =+=，所以43(,)k P m m- 由4x y kx m=⎧⎨=+⎩得(4,4)Q k m + ……（7分） 从而以线段PQ 为直径的圆的方程满足43(4,4)(,)0k x y k m x y m m ---⋅+-=，化简得 22344(1)(4)30k k x x y k m y m m m+-+-+++-=. ……（8分） 由对称性知，点M 必在x 轴上.而当0y =时，244(1)30k k x x m m +-+-=,易得1x =，此式恒成立.故命题成立.定点坐标为(1,0)M . …… （10分） 法二：由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(43)84120k x kmx m +++-=. 因为动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点00(,)P x y ，所以0m ≠，且0∆=，即 2222644(43)(412)0k m k m -+-=，化简得22430k m -+=.（*） ……（6分） 此时024443km k x k m =-=-+，003y kx m m =+=，所以43(,)k P m m-由4x y kx m=⎧⎨=+⎩得(4,4)Q k m +. ……（7分）因为存在定点M 满足条件，由图形对称性知：点M 必在x 轴上.取0,k m ==此时P Q 以PQ 为直径的圆的方程为22(2)(4,x y -+=交x 轴于1(1,0)M ,2(3,0)M ;取1,22k m =-=，此时3(1,),(4,0)2P Q ，以PQ 为直径的圆的方程为225345()()2416x y -+-=，交x 轴于点34(1,0),(4,0)M M .所以满足条件的点存在，其必为(1,0). ……（8分） 下面证明点(1,0)M 满足条件. 因为43(1,),(3,4),k MP MQ k m m m =--=+u u u r u u u u r 所以1212330MP MQ k k m m⋅=--++=u u u r u u u u r ，故 恒有MP MQ ⊥u u u r u u u u r ,故点(1,0)M 恒在以线段PQ 为直径的圆上. ……（10分）。
四川省绵阳市南山中学高二数学3月入学考试试题理
绵阳南山中学2016年春季高2017届3月入学考试数学试题(理科)本试卷分试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分组成，共4页；答题卡共4页.满分100分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共48分） 注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、 选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 若)1,0(),2,1(--B A ,且直线l AB ⊥，则直线l 的斜率为 A.3B.3-C.31D.31-2. 某单位有840名职工，现采取系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为 A.11 B.12C.13D.143. 从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，下列两个事件是互斥但不对立的事件是 A.至少有一个白球，都是白球 B.至少有一个白球，至少有一个红球 C.至少有一个白球，都是红球 D.恰有一个白球，都是白球4. 读右边的程序，若输入2-=x ，则输出=y A.4 B.0C.2-D.4-5. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=算得，观测值8.750605060)20203040(1102≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k .附表：参照附表，得到的正确结论是A.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”0.0013.841B.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有无关” 6. 设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与A 连接，则弦长超过半径的概率为A.31 B. 21 C.43 D. 327. 若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线034=-y x 和x 轴都相切，则该圆的标准方程是A.1)37()3(22=-+-y xB.1)1()2(22=-+-y xC.1)3()1(22=-+-y xD.1)1()23(22=-+-y x8. 右图是计算201614121++++ 的值的一个程序 框图，其中判断框内应填入的条件是 A.?10>iB. ?10<iC. ?20>iD. ?20<i9. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表.根据表格可得回归方程∧∧∧+=a x b y 中的∧b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时的销售额为A.63.6万元B.65.5万元C.67.7万元D.72.0万元10.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若C A B A 21⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为 A.21±B. 22±C. 1±D. 2±11.如图，设抛物线x y 42=的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是A.11--AF BF B.1122--AF BFC.11++AF BF D.1122++AF BF12.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与抛物线C 2：)0(22>=p py x 交于点O ，A ，B ．若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 A.2B.23C.2D.25 第Ⅱ卷（非选择题，共52分） 二、填空题: 本大题共4小题，每小题3分，共12分.13.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,若0211=-++-m m m a a a ，3812=-m S ,则=m . 14.117与182的最大公约数是 .15.连掷骰子两次（骰子六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6）得到的点数分别记为a 和b ，则使直线043=-y x 与圆4)()(22=-+-b y a x 相切的概率为 .16.已知F 是双曲线C ：1822=-y x 的右焦点，P 是C 的左支上一点，A(0，66)．当△APF 周长最小时，该三角形的面积为 .三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从甲、乙两种麦苗的试验田中各抽取6株麦苗测量麦苗的株高，数据如下：(单位：cm)甲：9,10,11,12,10,20 乙：8,14,13,10,12,21.(1)在给出的方框内绘出所抽取的甲、乙两种麦 苗株高的茎叶图；(2)分别计算所抽取的甲、乙两种麦苗株高的平 均数与方差，并由此判断甲、乙两种麦苗的长势情况． 18.已知数列}{n a 满足12,111+==+n n a a a .(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)求数列}{n a 的前n 项和n S .19.已知点P(0,5)及圆C ：02412422=+-++y x y x .(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的线段长为43，求l 的方程； (2)求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．20.如图，椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率是22，点P(0，1)在短轴CD 上，且1-=∙.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A,B 两点，是否存在常数λ，使得PBPA OB OA ∙+∙λ为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.绵阳南山中学2016年春季高2014级入学考试数学试题(理科答案)CBDA ADBA BCAB 10 13181612 17．(1)茎叶图如图所示： (2)x 甲＝9＋10＋11＋12＋10＋206＝12，……5分x 乙＝8＋14＋13＋10＋12＋216＝13，……6分s 2甲=341≈13.67，…7分 s 2乙=350≈16.67.…8分 因为x 甲＜x 乙，所以乙种麦苗平均株高较高…9分……4分 又因为s 2甲＜s 2乙，所以甲种麦苗长的较为整齐．…10分 18．（1）12,21-=∴=+∴n n n n a a（2）n n S n n n --=---=+2221)21(21 .22}1{211)1(2112111，首项为为等比数列，公比为数列+∴=++∴+=+∴+=+++n n n n n n n a a a a a a a ……5分……10分 ……7分19.2分6分10分20.……3分未算△不扣分……5分…10分。
四川省绵阳南山中学高二数学上学期期中试题文
四川省绵阳南山中学2016-2017学年高二数学上学期期中试题文注意事项：1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B 铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．3．考试结束后将答题卡收回．一、选择题（每小题4分共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.直线l: 3x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30° B．60° C．120° D．150°2.抛物线y2=4x的焦点坐标是（ 2 ）A．（0，1） B.（1，0） C． D．3. 在空间直角坐标系中，点A（1，0，1）与点B（2，1，-1）间的距离为（）A．3 B. 3 C. 6 D.6 24. 双曲线1的渐近线方程为（）A. y=±52x B. y=±54x C．y=±55x D．y=±255x5.直线（1﹣2a）x﹣2y+3=0与直线3x+y+2a=0垂直，则实数a的值为（）A．-52B．16C．56D．726. 若封闭曲线x+y+2mx+2=0的面积不小于，则实数m的取值范围为 2 2A．(-∞，6]∪[6，+∞) B．[-6，6]C．(-∞，-2]∪[2，+∞) D．[-2，2]7.动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是 ( ）A 双曲线B 双曲线的一支C 两条射线D 一条射线8. 圆(x-1)2+( y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为（）A. (x-2)2+( y-1)2=1B. (x+1)2+( y-2)2=1C. (x+2)2+( y-1)2=1D. (x-1)2+( y+2)2=119.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于 M、N 两点，若△MNF2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e为（）A．12 B -1+.2 C．22D．3310. 已知直线l:y=x+m与曲线21y x有两个公共点，则实数m的取值范围是（）A．（－2，2） B．（－1，1） C．[1, 2] D．[-2,2]11.定义：以原双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线为原双曲线的共轭双曲线，已知双曲线的共轭双曲线为C,过点A（4，4）能做m条直线与C只有一个公共点，设这m条直线与双曲线C的渐近线围成的区域为G，如果点P,Q在区域G内（包括边界）则||的最大值为（）A. 10 B 410 C.17 D. 21712.抛物线C：y2=2px(p>0)的准线为l,焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，圆M与y轴相切，过原点O作倾斜角为的直线m,交直线l于点A，交圆M于不同的两点O,B且|AO|=|BO|=2.若P为抛物线C上的动点，则的最小值为（）A.-2B.2C.D.37二、填空题（每小题3分共12分。
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2016—2017学年四川省绵阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．直线x+y+1=0的倾斜角为（）A．150° B．120° C．60°D．30°2．高二年级有男生560人，女生420人，为了解学生职业规划，现用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280人的样本，则此样本中男生人数为（）A．120 B．160 C．280 D．4003．如果直线l1:x+ax+1=0和直线l2：ax+y+1=0垂直，则实数a的值为（）A．±1 B．1 C．﹣1 D．04．已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，｜AF｜=x0，则x0=( ）A．1 B．2 C．4 D．85．天气预报显示,在今后的三天中，每一天下雨的概率为40％，现用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0﹣9之间整数值的随机数，并制定用1,2,3,4,5表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每3个随机数作为一组,代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．B．C． D．6．甲乙两个竞赛队都参加了6场比赛，比赛得分情况的经营如图如图（单位：分））,其中乙队的一个得分数字被污损，那么估计乙队的平均得分大于甲队的平均得分的概率为( ）A ．B ．C ．D ．7．已知两个丁圆O1和O2，它们的半径分别是2和4，且|O1O2|=8，若动圆M与圆O1内切，又与O2外切,则动圆圆心M的轨迹方程是（）A．圆 B．椭圆C．双曲线一支D．抛物线8．执行如图的程序框图．输出的x的值是（）A．2 B．14 C．11 D．89．某中学兴趣小组为调查该校学生对学校食堂的某种食品喜爱与否是否与性别有关，随机询问了100名性别不同的学生，得到如下的2×2列联表：男生女生总计喜爱 3020 50不喜爱 20 30 50总计 50 50 100附0。
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2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）如果抛物线方程为y2=4x，那么它的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣1，0）D．（﹣2，0）2．（4分）双曲线x2﹣=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x3．（4分）过点A（2，b）和点B（3，﹣2）的直线的斜率为﹣1，则b的值是（）A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣14．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y ﹣3）2=15．（4分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．46．（4分）直线过点（﹣3，﹣2）且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为（）A．2x﹣3y=0 B．x+y+5=0C．2x﹣3y=0或x+y+5=0 D．x+y+5=0或x﹣y+1=07．（4分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切8．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=19．（4分）设F1，F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，则||•||的值等于（）A．2 B．2 C．4 D．810．（4分）如果椭圆+=1的一条弦被点（4，2）平分，则该弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．2x﹣3y﹣2=0 C．x+2y﹣8=0 D．x﹣2y﹣8=011．（4分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（4分）直线y=kx﹣3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案直接填在答题卷中的横线上）13．（3分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，有两点P（1，﹣2，3），M（2，0，4）则两点之间的距离为．14．（3分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则抛物线上一点P（2，m）到抛物线焦点的距离是．15．（3分）按如图所示的程序运行后输出的结果为．16．（3分）如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l1：x+my+6=0．l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，求实数m的值使得：（1）l1，l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1∥l2．18．（10分）已知平面直角坐标系中两定点为A（2，3），B（5，3），若动点M 满足|AM|=2|BM|．（1）求动点M的轨迹方程；（2）若直线l：y=x﹣5与M的轨迹交于C，D两点，求CD的长度．19．（10分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．20．（10分）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是时，．（1）求抛物线C的方程；（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．2016-2017学年四川省绵阳市南山中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）如果抛物线方程为y2=4x，那么它的焦点坐标为（）A．（1，0） B．（2，0） C．（﹣1，0）D．（﹣2，0）【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2，∴焦点坐标为：（1，0）故选：A．2．（4分）双曲线x2﹣=1的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±3x【解答】解：∵双曲线，即，它的a=，b=1，焦点在y轴上，而双曲线的渐近线方程为y=±，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，故选：C．3．（4分）过点A（2，b）和点B（3，﹣2）的直线的斜率为﹣1，则b的值是（）A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1【解答】解：由题意可得：=﹣1，解得b=﹣1．故选：D．4．（4分）圆心在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A．x2+（y﹣2）2=1 B．x2+（y+2）2=1 C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．x2+（y ﹣3）2=1【解答】解法1（直接法）：设圆心坐标为（0，b），则由题意知，解得b=2，故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1．故选A．解法2（数形结合法）：由作图根据点（1，2）到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为x2+（y﹣2）2=1故选A．解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在y轴上，排除C．故选：A．5．（4分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=1，21＞1；第二次循环n=2，22=4．不满足条件2n＞n2，跳出循环，输出n=2．故选：B．6．（4分）直线过点（﹣3，﹣2）且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为（）A．2x﹣3y=0 B．x+y+5=0C．2x﹣3y=0或x+y+5=0 D．x+y+5=0或x﹣y+1=0【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x+y=a，把（﹣3，﹣2）代入所设的方程得：a=﹣5，则所求直线的方程为x+y=﹣5即x+y+5=0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y=kx，把（﹣3，﹣2）代入所求的方程得：k=，则所求直线的方程为y=x即2x﹣3y=0．综上，所求直线的方程为：2x﹣3y=0或x+y+5=0．故选：C．7．（4分）圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选：B．8．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，∴，c=1，∴b==，∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．9．（4分）设F1，F2是双曲线﹣y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且•=0，则||•||的值等于（）A．2 B．2 C．4 D．8【解答】解：由已知，则．即，得．故选：A．10．（4分）如果椭圆+=1的一条弦被点（4，2）平分，则该弦所在的直线方程是（）A．x﹣2y=0 B．2x﹣3y﹣2=0 C．x+2y﹣8=0 D．x﹣2y﹣8=0【解答】解：设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），则有=1①，=1②，①﹣②式可得：+=0，又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0即得k EF==﹣∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：C．11．（4分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，在△AFB中，|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=，由余弦定理得|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF=100+64﹣2×10×8×=36，∴|AF|=6，∠BFA=90°，设F′为椭圆的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．∴|BF′|=6，|FF′|=10．∴2a=8+6，2c=10，解得a=7，c=5．∴e==．故选：B．12．（4分）直线y=kx﹣3与圆（x﹣3）2+（y﹣2）2=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[﹣，0]B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：设圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，MN=2≥2，故d≤1，即≤1，化简得8k（k+）≤0，∴﹣≤k≤0，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案直接填在答题卷中的横线上）13．（3分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，有两点P（1，﹣2，3），M（2，0，4）则两点之间的距离为．【解答】解：∵P（1，﹣2，3），M（2，0，4），∴|PM|==．故答案为14．（3分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右焦点重合，则抛物线上一点P（2，m）到抛物线焦点的距离是4．【解答】解：∵双曲线﹣y2=1中a2=3，b2=1∴c=2，得双曲线的右焦点为F（2，0）因此抛物线y2=2px的焦点（，0）即F（2，0）∴=2，即p=4，∴抛物线上一点P（2，m）到抛物线焦点的距离是2+2=4故答案为4．15．（3分）按如图所示的程序运行后输出的结果为22．【解答】解：由题意，若x＜0，则将y﹣3赋给x；若x＞0，则将y+3赋给x∴x=5，y+3=﹣20+3=﹣17，∴x﹣y=5+17=22故答案为：22．16．（3分）如图，F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是．【解答】解：依题意F1（﹣c，0），B（0，b），∴直线F1B的方程为：y﹣b=x，与双曲线C的渐近线方程联立得：b2x2﹣a2=0，整理得：b2x2﹣2a2cx﹣a2c2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1，x2为上面方程的两根，由韦达定理得：x1+x2=，y1+y2=（x1+x2）+2b=，∴PQ的中点N（，），又直线MN的斜率k=﹣（与直线F1B垂直），∴直线MN的方程为：y﹣=﹣（x﹣），令y=0得M点的横坐标x=c+=．∵|MF2|=|F1F2|，∴﹣c=2c．∴c2=3b2=3（c2﹣a2），∴c2=a2，∴e==．故答案为：．三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知直线l1：x+my+6=0．l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，求实数m的值使得：（1）l1，l2相交；（2）l1⊥l2；（3）l1∥l2．【解答】解：（1）当l1和l2相交时，1×3﹣（m﹣2）m≠0，由1×3﹣（m﹣2）m=0，m2﹣2m﹣3=0，∴m=﹣1，或m=3，∴当m≠﹣1且m ≠3时，l1和l2相交．（2）l1⊥l2 时，1×（m﹣2）+m×3=0，m=，∴当m=时，l1⊥l2．（3）∵m=0时，l1不平行l2，l1∥l2⇔，解得m=﹣1．18．（10分）已知平面直角坐标系中两定点为A（2，3），B（5，3），若动点M 满足|AM|=2|BM|．（1）求动点M的轨迹方程；（2）若直线l：y=x﹣5与M的轨迹交于C，D两点，求CD的长度．【解答】解：（1）设M（x，y），则（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（x﹣5）2+4（y﹣3）2，即（x﹣6）2+（y﹣3）2=4．（2）圆心（6，3）到直线的距离d==，∴|CD|=2=2．19．（10分）如图，曲线C由上半椭圆C1：+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线C2：y=﹣x2+1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）在C1、C2的方程中，令y=0，可得b=1，且A（﹣1，0），B （1，0）是上半椭圆C1的左右顶点．设C1：的半焦距为c，由=及a2﹣c2=b2=1得a=2．∴a=2，b=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知上半椭圆C1的方程为+x2=1（y≥0）．易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入C1的方程，整理得：（k2+4）x2﹣2k2x+k2﹣4=0．（*）设点P（x p，y p），∵直线l过点B，∴x=1是方程（*）的一个根，由求根公式，得x p=，从而y p=，∴点P的坐标为（，）．同理，由得点Q的坐标为（﹣k﹣1，﹣k2﹣2k），∴=（k，﹣4），=﹣k（1，k+2），∵AP⊥AQ，∴•=0，即[k﹣4（k+2）]=0，∵k≠0，∴k﹣4（k+2）=0，解得k=﹣．经检验，k=﹣符合题意，故直线l的方程为y=﹣（x﹣1），即8x+3y﹣8=0．20．（10分）已知过点A（﹣4，0）的动直线l与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于B、C两点．当l的斜率是时，．（1）求抛物线C的方程；（2）设BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），由已知k1=时，l方程为y=（x+4）即x=2y﹣4．由得2y2﹣（8+p）y+8=0①②∴又∵，∴y2=4y1③由①②③及p＞0得：y1=1，y2=4，p=2，即抛物线方程为：x2=4y．（2）设l：y=k（x+4），BC中点坐标为（x0，y0）由得：x2﹣4kx﹣16k=0④∴．∴BC的中垂线方程为∴BC的中垂线在y轴上的截距为：b=2k2+4k+2=2（k+1）2对于方程④由△=16k2+64k＞0得：k＞0或k＜﹣4．∴b∈（2，+∞）。