最新高三教案-专题复习——求轨迹方程人教版 精品

专题复习——求轨迹方程一. 本周教学内容：专题复习——求轨迹方程（一）求轨迹方程的一般方法：1. 待定系数法：如果动点P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。

2. 直译法：如果动点P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P 运动的某个几何量t ，以此量作为参变数，分别建立P 点坐标x ，y 与该参数t 的函数关系x ＝f （t ），y ＝g （t ），进而通过消参化为轨迹的普通方程F （x ，y ）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P 的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P （x ，y ），用（x ，y ）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P 的轨迹方程。

（二）求轨迹方程的注意事项：1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。

)()()(0)(.2为参数又可用参数方程表示程轨迹方程既可用普通方t t g y t f x ，y x ，F ⎩⎨⎧===来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。

3. 求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。

（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。

检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。

【典型例题】例1. 的的中点求线段为定点上的动点是椭圆点M AB ，a ，，A by a x B )02(12222=+ 轨迹方程。

分析：题中涉及了三个点A 、B 、M ，其中A 为定点，而B 、M 为动点，且点B 的运动是有规律的，显然M 的运动是由B 的运动而引发的，可见M 、B 为相关点，故采用相关点法求动点M 的轨迹方程。

解：设动点M 的坐标为（x ，y ），而设B 点坐标为（x 0，y 0） 则由M 为线段AB 中点，可得⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+y y a x x yy x ax 22220220000 即点B 坐标可表为（2x －2a ，2y ）上在椭圆点又1)(222200=+by a x ，y x B，by a a x bya x 1)2()22(12222220220=+-=+∴从而有14)(42222=+-b y a a x M ，的轨迹方程为得动点整理 。

b，a ，a ，M 的椭圆短半轴为长半轴为为中心的轨迹是以动点22)0(例2. 求椭圆的左顶离心率为轴为准线并且以动椭圆过定点，，y ，，M 21)21( 点A 的轨迹方程。

分析：先画出示意图，如图所示：根据已知条件：动椭圆过M （1，2）且以y 轴为其准线，可见该椭圆位于y 轴右侧，注意到点M 在椭圆上，故联想到椭圆的几何性质：椭圆上任一点到焦点的距离与到相应准线的距离之比等于离心率。

即可发现间接涉及动顶点A 的等量关系。

只需用A 的坐标先表示出左焦点F 的坐标，即可列出轨迹方程。

解：，A ，e ，，y x F ，y x A 在椭圆上及点则由离心率左焦点为，设21)()(0= ，x x x ，AK AF 2121||||0=-=即可得)23(230y x F x ，x ，∴=∴ 又∵M 在椭圆上，，，即211)2()231(21||||22=-+-=∴y x MN MF 141)2(91)32(1)2(4)32(92222=-+-=-+-y x y x ，即化简，得的椭圆。

，短半轴为为中心，长半轴为，该方程表示以3121)232(例3. 过点P （2，4）作两条互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A 点，l 2交y 轴于B 点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

分析1：设M （x ，y ），由已知l 1⊥l 2，联想到两直线垂直的充要条件：k 1k 2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M 点坐标表示A 、B 两点坐标。

事实上，由M 为AB 的中点，易找出它们的坐标之间的联系。

解法1：设M （x ，y ），∵M 为AB 中点，∴A （2x ，0），B （0，2y ）。

又l 1，l 2过点P （2，4），且l 1⊥l 2 ∴PA ⊥PB ，从而k PA ·k PB ＝－1，02242204--=--=y，k x k PB PA 而 0521224·224=-+-=--∴y x yx ，化简，得 注意到l 1⊥x 轴时，l 2⊥y 轴，此时A （2，0），B （0，4） 中点M （1，2），经检验，它也满足方程x ＋2y －5＝0 综上可知，点M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。

分析2：解法1中在利用k 1k 2＝－1时，需注意k 1、k 2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB 为直角三角形的几何特性： ||21||AB MP =解法2：设M （x ，y ），连结MP ，则A （2x ，0），B （0，2y ）， ∵l 1⊥l 2，∴△PAB 为直角三角形 ||21||AB MP ，=由直角三角形的性质 2222)2()2(·21)4()2(y x y x +=-+-∴化简，得x ＋2y －5＝0，此即M 的轨迹方程。

分析3：从运动的角度观察发现，点M 的运动是由直线l 1引发的，可设出l 1的斜率k 作为参数，建立动点M 坐标（x ，y ）满足的参数方程。

解法3：设M （x ，y ），设直线l 1的方程为y －4＝k （x －2），（k ≠０） )2(14221--=-⊥x ky l ，l l 的方程为则直线由 ，，A x l )0k 42(1-∴的坐标为轴交点与 ，k，B y l )240(2+的坐标为轴交点与 ∵M 为AB 的中点，)(1222421242为参数k k k y k k x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=-=∴消去k ，得x ＋2y －5＝0。

另外，当k ＝0时，AB 中点为M （1，2），满足上述轨迹方程； 当k 不存在时，AB 中点为M （1，2），也满足上述轨迹方程。

综上所述，M 的轨迹方程为x ＋2y －5＝0。

例4. 已知定点A （2，0），点Q 是圆x 2＋y 2＝1的动点，∠AOQ 的平分线交AQ 于M ，当Q 点在圆上移动时，求动点M 的轨迹方程。

分析1：||||||||OQ OA MQ AM ，=知的性质由三角形的内角平分线，MQ AM ，OQ ，OA 2||||1||2||===故而即点分成比为，M AQ λ=2若设出M （x ，y ），则由分点坐标公式，可表示出点Q 的坐标，因Q 、M 为相关点，（Q 点运动导致点M 运动），可采用相关点法求点M 的轨迹方程。

解法1：设M （x ，y ），，OQ AO MQ AM ，2||||||||==得质定理由三角形内角平分线性∵M 在AQ 上，∴点分成比为M AQ λ=2，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=21·2021·22)()02(0000y y x x ，，y x Q ，A 则的坐标为若设点又上在圆而点1)(23223220000=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∴y x ，y x Q y y x x94)32(1)23()223(122222020=+-=+-=+∴y x ，，y x ，y x 得化简即 。

的轨迹方程为点94)32(22=+-∴y x M分析2：，QO AO QM AM ，2||||||||==知性质由三角形的内角平分线，QM AM ON AN N ，OA OQ MN M 2||||||||==则于交∥作若过 ，OQ ，AQ AM OQ MN ，，N 1||32||||||||)032(===而从而 。

的距离为定值到定点可见动点为定值3232||32||N M ，OQ MN ==∴，，N M 的圆半径为为圆心的轨迹是以因此32，y x 94)32(22=+-∴其方程为而当∠AOQ ＝180°时，其角分线为y 轴，它与AQ 交点为原点O ，显然，该点也满足上述轨迹方程。

注：此种解法为定义法。

例5. 如图，给出定点A （a ，0），（a>0）与定直线l ：x ＝－1，点B 是l 上动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值关系。

分析：由OC 是∠AOB 的平分线，可联想到如下结论： （1）点C 到∠AOB 的两边OA ，OB 的距离相等； （2）OC 与OA 、OB 所成的角相等。

。

||||||||)3(BO AO BC AC = 对于（1）、（2）、（3），若再注意到点C 在直线AB 上，则可求得轨迹方程。

因此，本题从不同角度入手，则有不同解法。

解法1：设B （－1，b ），C （x ，y ），直线OB 的方程为y ＝－bx ，即bx ＋y ＝0， ∵OC 平分∠AOB ，∴点C 到角的两边距离相等。

①||1||2y b y bx =++∴又∵点C 在直线AB 上，∴A 、B 、C 三点共线②即，a ba x y ，k k AB AC --=-=∴1③由②得xa ya b -+=)1( ④由①得0·2)(22=+-xy y x b把③代入④，得)0(02)()1(22a x xy xa y x y a <≤=+--+y a x y x a x a x a y ax ≠时，·，即012011202222()()()()()+-+-=--++=)0(a x <≤y ＝0时，b ＝0，∠AOB ＝180°，点C 坐标为（0，0），满足上述方程。

故方程（a －1）x 2－(a ＋1)y 2＋2ax ＝0是点C 的轨迹方程。

当a ＝1时，方程为y 2＝x ，（0≤x<1），它表示抛物线的一段；)0(11)1()1(122222a x ，a a y a a a a x ，a <≤=-+---≠方程为时当∴0<a<1时，轨迹为椭圆弧；a>1时，轨迹为双曲线弧。

解法2：设B （－1，b ），C （x ，y ） b ，k xy，kk OBOCOA -===0则∵OC 平分∠AOB ∴∠AOC ＝∠COB ∴tg ∠AOC ＝tg ∠COB ，∴··，整理，得，①y x x b y x b x y x bx y by x -+=--+-=+-0101()得消去代入①式又b ，，，xa ya b a b a x y -+=∴--=-)1(1 )0(0)(2)()1(22a x ，x a xy y x y a <≤=-+-+ 以下略，（见解法1的相应部分）解法3：设B （－1，b ），C （x ，y ），又A （a ，0）1||||)()1(||)1(||22222+==-++=++=∴b BO a ，AO ，b y x BC ，b a AC∵OC 平分∠AOB ，由三角形内角平分线性质，得1)()1()1(||||||||22222+=-++++=b ab y x b a ，BO AO BC AC 即整理，得(b 2＋1)·[(a ＋1)2＋b 2]＝a 2[(x ＋1)2＋(y －b)2] 得整理代入上式得又由，，xa ya b k k AB AC -+==)1( )0(0)(2)()1(22a x ，x a xy y x y a <≤=-+-+ 以下略。