初等几何研究综合测试题(五)

《初等几何研究》综合测试题（五）
适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1.若AB C 的边长为a 、b 、c ，且满足等式2
2
2
a b c ab bc ca ++=++，则AB C 的形状是__________。

A.直角三角形；
B.等腰直角三角形；
C.钝角三角形；
D.等边三角形。

2.设一梯形的中位线长为8，下底的长比上底的长大6，则下底的长为_________。

A.11；B.12；C.13；D.14.
3.线段m ，n ，p 的第四比例项是_________。

A.
mn p ；B.np m ；C.mp
n
；D.m np 。

4.已知Rt ABC ∆的斜边中线为6.5，它的周长为30，则Rt ABC ∆的内切圆半径为________。

A.6.5；
B.8.5；
C.4；
D.2.
5.在同圆中，2AB CD ⋂
⋂
=,那么弦AB 和CD 的大小关系是_________。

A.AB>AD ；
B.AB=CD ；
C.AB<CD ；
D.不能确定。

6.如图，AD 和AC 分别为⊙O 的直径和弦，并且∠CAD=30°，OB ⊥AD 交AC 于B ，OB=5,BC 等于_________。

A.3；
B.3；
C.52
-；D.5.
7.在平移过程中，对应线段
A.互相平行且相等；
B.互相垂直且相等；
C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；
D.以上都不对。

8.下列关于平移的说法中正确的是___________。

A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；
B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；
C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。

D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；
二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）
1.两条对角线互相平分且相等的四边形是棱形（ ）
2.两条对角线互相垂直平分且有一组邻边相等的四边形是棱形。

（ ）
3.一边与另两边的中线对应相等的两个三角形全等（ ）
4.有一角对应相等的两个等腰三角形全等。

（ ）
5.有一边对应相等的两个等边三角形全等。

（ ）
第6题图
D
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
1.一个角的补角和它的余角的3
倍的和等于它的周角的
11
12
，则这个角的度数是_________. 2. 如图，铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25km ，C 、D 为两村庄（视为两个点），D A ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建设一个土特产品收购站E ，使C 、D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在距A 站 _______ km 处 3.若两个三角形全等，则它们对应高、对应中线、对应角的平分线
分别_________。

4.不查表，可求得sin15°的值等于___________________。

（利用几何方法）
四、计算题（本题8分）
设∆ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE =12，CF =5，求：线段EF 的长？
五、证明题（本题3小题，每小题9分，共27分）
1．如图：已知AD 为⊙O 的直径，直线BA 与⊙O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相
交于点G ，连接DC .
求证：BA ·DC =GC ·AD .
2. 已知Rt ∆ACB 中，∠ACB =90︒，CD ⊥AB ，BE 平分 ∠ABC ，交CD 于E ，EF //AB 交AC 于F 求证：CE =AF
第2题图
A
B
D
C
E
3. 已知：如图，过正方形ABCD 的顶点A 作直线交BD 于E ，交CD 于F ，交BC 的延长线于G ，若H 是FG 的中点 求证：EC ⊥CH
分析：这道题主要是利用正方形的性质，证明两条线段互相垂直，只要能证明∠ECH 是90︒即可，此题可先间接证出∠4+∠5=90︒，从而推出∠E C H =90︒，通过∆∠ABE ≅∆CBE ，及Rt ∆FCG 的斜边中线CH 可证得
六、探究题（15分）
D
E
图1
A
C
G
N
F
若(1)BD 、CE 分别是△ABC 的内角平分线（已知：如图1，BD 、CE 分别是△ABC 的外角平如图2）（2）BD 为△ABC 的内角平分线，CE 分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，1
垂足分别为F 、G ，连结FG ，延长AF 、AG 与直线BC 相为△ABC 的外角平分线，则在图2，图3两种情况下，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请交，易证FG =（写出你的猜想，并AB +对其中BC +AC 的一种）.2情况给予证明.E
图3
G
A
D
F
N
图2
C
A
D
F
E
G
附：参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1；2；3；4；5；6；7；8.
二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1× ；2 √；3×；4×；5√.
三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）
1. 30°;
2. 10 ;
3.相等;
4. 62
-。

四、计算题（8分）
设∆ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE =12，CF =5，求：线段EF 的长？
分析：这是一道几何中的计算题要求EF 的长，首先发现它在Rt 它在Rt ∆EAF 中，这时利用勾股定理可求出，连结AD 后可证∆ADE ≅∆CDF 解； 连结AD ，则在∆ADE 和∆CDF 中，
∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠∠=∠=︒
A D E A D F C D F A D F A D E C D F D A E D C F 909045，，又
AD =CD ，∴≅∴==∆∆
A D E C D F A E C F 5 又AF +FC =AC =A
B =AE +BE =5+12=17
∴=-=-==+=A F A CF C E A F E F A E A F 17512
13
22在中R t ∆,
即EF 的长为13
五、证明题（27分）
1．如图：已知AD 为⊙O 的直径，直线BA 与⊙O 相切于点A ，直线OB 与弦AC 垂直并相
交于点G ，连接DC .
求证：BA ·DC =GC ·AD . 证：∵ AC
OB ，∴ 90AGB ， 又 AD 是⊙Ｏ的直径，∴ 90DCA
，
又 ∵
BAG ADC （弦切角等于同弧对圆周角）………4分
∴ Rt △AGB ∽Rt △DCA
∴ BA AG
AD DC ， 又∵ OG AC ∴ GC AG
∴
BA
GC
AD
DC
即 BA •DC=G C •AD
2. 已知Rt ∆ACB 中，∠ACB =90︒，CD ⊥AB ，BE 平分 ∠ABC ，交CD 于E ，EF //AB 交AC 于F 求证：CE =AF 分析：要证线段CE =AF ，我们可以将它们转化到两个三角形中，过E 点作EG ⊥BC 于G ，所以EG =DE ，这种填加辅助线的方法属于转对称型，再作FH ⊥AB 于H ，利用平行线间距离相等，
可易证得∆HAF ≅∆GCE ，从而证得CE =AF ，另解还可以过E 点作KM //AC 交AB 于K ，交BC 于M ，证∆MCE ≅∆DKE 即可
3. 已知：如图，过正方形ABCD 的顶点A 作直线交BD 于E ，交CD 于F ，交BC 的延长线于G ，若H 是FG 的中点 求证：EC ⊥CH
分析：这道题主要是利用正方形的性质，证明两条线段互相垂直，只要能证明∠ECH 是90︒即可，此题可先间接证出∠4+∠5=90︒，从而推出∠E C H =90︒，通过∆∠ABE ≅∆CBE ，及Rt ∆FCG 的斜边中线CH 可证得 证明： 简述：在正方形ABCD 中，∠=∠=︒1245 ∵AB =BC ，BE =BE ∴∆ABE ≅∆CBE ∴∠3=∠4，又H 是Rt FCG 斜边上的中点
∴=∴∠=∠∴∠+∠=∠+∠=︒∴⊥CH HG G
G EC CH
534690
六、探究题（本题15分）
1
::2().
2
.,1().2
FG AB AC BC HK HK BK BH AB AC BC FG AB AC BC =+-≡∴=-=+-∴=+-解猜想结果图结果为证:如图2,分别延长AG,AF 交BC 于H,K.易知,BAF BKF,AF=KF,AB=KB.同理,可得AG=HG,AC=HC.1FG=2
又 图2
B
C
A
D
F
E
G
E
图3
G
B
C
A D
F N
M
1:3().2FG BC AC AB =+-另图的结果为。