2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3.2 数学归纳法应用举例导学案新人教A版选修1-2.doc
高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法 利用数学归纳法解题要点素材 新人教A版选修2-2
利用数学归纳法解题要点
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，
第一步：验证n取第一个自然数时成立
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：证明1：所有的马都是一种颜色
首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。
第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。
那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：
1, 2, 3……n, n+1
对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；
对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；
由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。
这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。
数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。
即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。
2019-2020学年高中数学第二章推理与证明2.1.3归纳推理学案新人教A版选修.doc
2019-2020学年高中数学第二章推理与证明2.1.3归纳推理学案新人教A
版选修
【学习目标】
1．了解推理，归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理； 2．培养归纳探索能力，体会并认识归纳推理在数学发现中的应用； 【问题情境】
1．情境1：生活中的一个推理：
天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，我们会想到天将要下雨． 情境2：数学中的一个推理： ∵ 两直线相交，对顶角相等，1与2是对顶角， ∴ 1＝2．
问题1：什么叫推理？
问题2：该如何进行推理呢？先看下面的几个推理案例：
情境3：用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物．由此我们猜想：所有的爬行动物都是用肺呼吸的．
情境4：三角形的内角和是
180，凸四边形的内角和是
1802360⨯=，凸五边形的内角和是
1803540⨯=．由此我们猜想：凸n 边形的内角和是
180)2(⨯-n ．
问题3：上述几个例子有什么共同的特点？什么是归纳推理？
问题4：该如何进行归纳推理？
问题5：归纳推理的结论一定成立吗？
归纳推理所得到的结论不一定成立，为什么还要学习归纳推理？由此，你能想到什么？（哥德巴德赫猜想
．已知不等式：
【巩。
高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法 各种数学归纳法的步骤素材 新人教A版选修22
各种数学归纳法的步骤
第一数学归纳法
一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。
n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
第二数学归纳法
对于某个与自然数有关的命题P(n），
（1）验证n=n0，n=n1时P(n）成立；
（2）假设n≤k时命题成立，并在此基础上，推出n=k+1命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。
倒推归纳法
又名反向归纳法
（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；
（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立，
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立；
螺旋式归纳法
对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n），
（1）验证n=n0时P(n）成立；
（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。
1。
高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课件 新人教B版选修2-2.pptx
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直 接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它 们的大小，对第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比 较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，常 用数学归纳法证明. (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k时成立得n＝k＋1时也成 立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.
7
(2)数学归纳法的框图表示
8
题型探究
9
类型一 用数学归纳法证明等式 例 1 用数学归纳法证明： 1×12 3＋3×22 5＋…＋2n－1n22n＋1＝2n2nn＋＋11.
10 证明
反思与感悟
用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄 清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值 是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”， 将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设， 然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论.
12
跟踪训练 1 用数学归纳法证明当 n∈N＋时，1－12＋13－14＋…＋ 2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
13 证明
类型二 用数学归纳法证明不等式 例 2 用数学归纳法证明 1＋12＋13＋…＋21n>n＋2 1(n∈N＋).
16 证明
反思与感悟
(1)验证第一个n值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0 ＝k＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要 用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归 纳假设.
2019秋高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件新人教A版选修2_2
归纳升华 1．用数学归纳法证明与正整数有关的恒等式的关键 在于“先看项”，弄清等式两边项的构成规律，等式两边 各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关，由 n＝k 到 n＝k＋1 时，等式左边会增加多少项，弄清这些是解决等 式证明的关键． 2．“假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”这一归纳 假设起着已知条件的作用，“n＝k＋1 时命题也成立”则 是求证的目标．在证明“n＝k＋1 时命题也成立”的过程 中，必须利用归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、 性质等推证出 n＝k＋1 时命题也成立．
k＋2 k＋3
2k＋1 2k＋2
即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 综合(1)、(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
类型 2 利用数学归纳法证明不等式 [典例 2] 已知{an}为等比数列且 an＝2n－1，记 bn＝ 2(log2an＋1)(n∈N*)，用数学归纳法证明对任意的 n∈N*， 不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1> n＋1成立． 证明：由已知条件可得 bn＝2n(n∈N*)， 所以所证不等式为2＋2 1，4＋4 1·…·2n2＋n 1> n＋1. (1)当 n＝1 时，左边＝32，右边＝ 2，
即 f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k ＝12k(k－1＋2) ＝12k(k＋1)＝12(k＋1)[(k＋1)－1]， 所以当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，对任意 n∈N*，n≥2，命题都成立．
归纳升华 用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几 何元素从 k 增加到 k＋1 时，所证的几何量增加多少，同 时要善于利用几何图形的直观性，建立 k 与 k＋1 之间的 递推关系．
2019_2020学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法讲义新人教A版选修2_2
2.3 数学归纳法1．数学归纳法的内容如下：一个□01与正整数有关的命题，如果(1)□02当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1或n 0＝2等)时结论正确，(2)□03假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，能够证明当n ＝k ＋1时结论也正确，那么可以断定□04这个命题对n ∈N *且n ≥n 0的所有正整数都成立． 2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是□05递推的基础，第二步的作用是□06递推的依据． 3．数学归纳法实质上是□07演绎推理法的一种，它是一种□08严格的证明方法，它只能□09证明结论，不能发现结论，并且只能证明□10与正整数相关的命题． 4．常把归纳法和数学归纳法结合起来，形成□11归纳—猜想—证明的思想方法，既可以□12发现结论，又能□13给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法． 5．用数学归纳法证明命题时，两步□14缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用□15归纳假设，否则不是数学归纳法．对数学归纳法本质的理解数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然，知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．(1)有n 个骨牌排成如图所示的一排，现推倒第一张骨牌，会有什么现象？(2)要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度) (3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果？(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下)(4)如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？(5)能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和思考，可以得到的结论是：①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下)第一张骨牌被推倒――→利用②第二张骨牌被推倒――→利用②第三张骨牌被推倒――→利用②…运用类比的方法，我们不难将推倒骨牌的原理进行迁移、升华，进而得到数学归纳法证明的步骤：(1)当n ＝1时，结论成立；(2)假设当n ＝k 时结论成立，证明n ＝k ＋1时结论也必定成立． 当n ＝1时结论成立――→利用2当n ＝2时结论成立――→利用2当n ＝3时结论成立――→利用2…1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．( ) (2)数学归纳法的第一步n 0的初始值一定为1.( ) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ 2．做一做(1)已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (n )共有________项，f (2)＝________.(2)定义一种运算“*”，对于正整数n ，满足以下运算性质：①1] . (3)设S k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋1k ＋3＋ (12)，则S k ＋1＝________(用含S k 的代数式表示)． 答案 (1)n 2－n ＋1 12＋13＋14 (2)2×3n －1(3)S k ＋12k ＋1－12k ＋2探究1 用数学归纳法证明等式问题 例1 已知n ∈N *，用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12). [证明] ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时命题成立，即 1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋1k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝右边．故当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上可知，命题对一切非零自然数都成立． 拓展提升用数学归纳法证明与正整数有关的等式问题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式两边会增加多少项．【跟踪训练1】 用数学归纳法证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－116…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝n ＋12n (n ≥2，n∈N *)．证明 ①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．∴当n ＝2时，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2＝k ＋12k，那么，当n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1k ＋12＝k ＋12k·k k ＋2k ＋12＝k ＋22k ＋1＝k ＋1＋12k ＋1，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．根据①②可知，等式对任意n ≥2，n ∈N *都成立． 探究2 用数学归纳法证明不等式问题 例2 证明不等式1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N *)． [证明] ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2. 左边<右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<k 2＋k ＋12＋1k ＋1＝2k ＋1k ＋1＝2k ＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立． 拓展提升用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f (k )>g (k )，求证f (k ＋1)>g (k ＋1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法)．具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当n ＝k ＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论．【跟踪训练2】 用数学归纳法证明1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤12＋n (n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，1＋12≤1＋121≤12＋1∴32≤1＋12≤32，命题成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时命题成立，即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤12＋k ，则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k ≥1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k>1＋k 2＋12k ＋2k ＋12k ＋2k ＋…＋12k ＋2k＝1＋k 2＋2k ·12k ＋1＝1＋k ＋12.又1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k≤12＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k <12＋k ＋12k ＋12k ＋…＋12k ＝12＋k ＋2k·12k ＝12＋(k ＋1)， 即n ＝k ＋1时，命题成立．由①和②可知，命题对所有n ∈N *都成立． 探究3 用数学归纳法证明整除性问题 例3 用数学归纳法证明42n ＋1＋3n ＋2能被13整除，其中n ∈N *. [证明] 证法一：①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时， 42(k ＋1)＋1＋3k ＋3＝42k ＋1·42＋3k ＋2·3－42k ＋1·3＋42k ＋1·3＝42k ＋1·13＋3(42k ＋1＋3k ＋2)，因为42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，所以42k ＋1·13＋3(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除．所以当n ＝k ＋1时命题也成立， 由①②知，当n ∈N *时，42n ＋1＋3n ＋2能被13整除．证法二：①当n ＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除，故结论成立．②假设当n ＝k (k ≥1，且k ∈N *)时，即42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，则当n ＝k ＋1时，[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2) ＝(42k ＋1·42＋3k ＋2·3)－(42k ＋1＋3k ＋2)＝42k ＋1·13＋2(42k ＋1＋3k ＋2)．因为42k ＋1·13能被13整除，42k ＋1＋3k ＋2能被13整除，所以[42(k ＋1)＋1＋3k ＋3]－(42k ＋1＋3k ＋2)能被13整除，所以42(k ＋1)＋1＋3k ＋3能被13整除．所以当n＝k＋1时命题也成立．由①②知，当n∈N*时，42n＋1＋3n＋2能被13整除．拓展提升在推证n＝k＋1时，为了凑出归纳假设，采用了“增减项”技巧，所以证明整除性问题的关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．【跟踪训练3】用数学归纳法证明：62n－1＋1能被7整除，其中n∈N*.证明①当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．②假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由①②知命题成立．1.数列中的归纳—猜想—证明，是对学生观察、分析、归纳论证能力的综合考查，是近几年理科高考的热点之一．解此类问题，需要从特殊入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律.2.数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法．第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.3.在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误.1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证( )A．n＝1 B．n＝2 C．n＝3 D．n＝4答案 C解析由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．2．对于不等式n2＋n<n＋1(n∈N*)，某同学应用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立， 即 k 2＋k <k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1，∴当n ＝k ＋1时，不等式成立． 则上述证法( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理过程中未用到(2)中假设，所以不正确，故选D. 3．用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝n 2n 2＋13(n ∈N *)时，由n ＝k 的假设到证明n ＝k ＋1时，等式左边应添加的式子是________．答案 (k ＋1)2＋k 2解析 当n ＝k 时，左边＝12＋22＋…＋(k －1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12. 当n ＝k ＋1时，左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12， 所以左边添加的式子为(k ＋1)2＋k 2. 4．用数学归纳法证明：(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)时，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”时，左边应增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 当n ＝k (k ∈N *)时，左边＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k －1)(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)， 则左边应增乘的式子是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)，故答案为2(2k ＋1)．5．用数学归纳法证明：13＋23＋…＋n 3＝14n 2(n ＋1)2(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，左边＝13＝1， 右边＝14×12×(1＋1)2＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即13＋23＋…＋k 3＝14k 2(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，13＋23＋…＋k 3＋(k ＋1)3＝14k 2(k ＋1)2＋(k ＋1)3 ＝(k ＋1)2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14k 2＋k ＋1＝14(k ＋1)2(k ＋2)2＝14(k ＋1)2[(k ＋1)＋1]2. 即当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据①②可知，等式对任意n ∈N *都成立.。
高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件新人教A版选修2_2
类型二 用数学归纳法证明不等式 例 2 求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n>56(n≥2，n∈N*).
证明
引申探究 把本例改为求证：n＋1 1＋n＋1 2＋n＋1 3＋…＋n＋1 n>2114(n∈N*).
证明
反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键 (1)验证第一个n的值时，要注意n0不一定为1，若n>k(k为正整数)，则n0＝ k＋1. (2)证明不等式的第二步中，从n＝k到n＝k＋1的推导过程中，一定要用到 归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设.
解答
达标检测
1.已知 f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，计算得 f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，
f(32)>72，由此推算：当 n≥2 时，有
A.f(2n)>2n2＋1(n∈N*)
B.f(2n)>2n＋21＋1(n∈N*)
C.f(2n)>2n2＋1(n∈N*)
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍 自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对 讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
D.以上说法都不正确 解析 由已知，得n＝n0(n0∈N*)时命题成立，则n＝n0＋1时命题成立， 在n＝n0＋1时命题成立的前提下，又可推得，n＝(n0＋1)＋1时命题也成立， 依此类推，可知选C.
高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法课堂探究
高中数学第二章推理与证明 2.3 数学归纳法课堂探究新人教A版选修2-2探究一用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式的三个关键点(1)验证是基础．数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0(n0≥1，n∈N*)，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．(2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(3)利用假设是核心．在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．【典型例题1】用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．思路分析：第一步先验证等式成立的第一个值n0；第二步在n＝k时等式成立的基础上，等式左边加上n＝k＋1时新增的项，整理出等式右边的项．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1.则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，即当n＝k＋1时，等式成立，由(1)(2)知，等式对任意n∈N*都成立．探究二 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明不等式的四个关键点：1．验证第1个n 的取值时，要注意n 0不一定为1，若条件为n ＞k ，则n 0＝k ＋1. 2．证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要应用归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少“归纳递推”．3．应用归纳假设后，若证明方法不明确，可采用分析法证明n ＝k ＋1时也成立，这样既易于找到证明的突破口，又完整表达了证明过程．4．证明n ＝k ＋1成立时，应加强目标意识，即明确要证明的不等式是什么，目标明确了，要根据不等号的方向适当放缩，但不可“放的过大”或“缩的过小”．【典型例题2】用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋1n＞n (其中n ∈N *，n ＞1)．思路分析：按照数学归纳法证明数学问题的方法与步骤进行证明，在由n ＝k 证n ＝k ＋1成立时，可利用比较法或放缩法证得结论．证明：①当n ＝2时，左边＝1＋12，右边＝2，⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－2＝1－22＞0，所以左边＞右边，即不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k ＞k ，则当n ＝k ＋1时， 1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1k ＋1. (方法1)由于⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1－k ＋1＝k 2＋k ＋1－(k ＋1)k ＋1＝k 2＋k －kk ＋1＝k k ＋1(k 2＋k ＋k )＞0，所以k ＋1k ＋1＞k ＋1，即1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1＞k ＋1. (方法2)由于k ＋1k ＋1＝k 2＋k ＋1k ＋1＞k 2＋1k ＋1＝k ＋1k ＋1＝k ＋1，所以1＋12＋13＋…＋1k＋1k ＋1＞k ＋1.即当n ＝k ＋1时原不等式也成立， 由①②知原不等式成立． 探究三 归纳—猜想—证明数学归纳法源于对某些猜想的证明，而猜想是根据不完全归纳法对一些具体的、简单的情形进行观察、类比而提出的．因此归纳—猜想—证明能更好地体现数学归纳法递推的本质，在解决某些归纳猜想问题时要注意以下几点：①计算特例时，不仅仅是简单的算数过程，有时要通过计算过程发现数据的变化规律；②猜想必须准确，绝对不能猜错，否则将徒劳无功；【典型例题3】数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a n n －a n (n ≥2)，求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明．③如果猜想出来的结论与正整数n 有关，一般用数学归纳法证明．思路分析：本题考查数列中的归纳——猜想——证明问题，先由前n 项猜测a n ，再用数学归纳法证明．解：∵a 2＝14，且a n ＋1＝(n －1)a nn －a n(n ≥2)，∴a 3＝a 22－a 2＝142－14＝17，a 4＝2a 33－a 3＝2×173－17＝110.猜想：a n ＝13n －2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明猜想正确． (1)当n ＝1,2时易知猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时猜想正确， 即a k ＝13k －2. 当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(k －1)a kk －a k ＝(k －1)·13k －2k －13k －2＝k －13k －23k 2－2k －13k －2＝k －13k 2－2k －1 ＝k －1(3k ＋1)(k －1)＝13k ＋1＝13(k ＋1)－2，即当n ＝k ＋1时猜想也正确．由(1)(2)可知，猜想对任意n ∈N *都正确． 探究四 易错辨析易错点：没有利用归纳假设而导致出错【典型例题4】用数学归纳法证明：1＋4＋7＋…＋(3n －2)＝12n (3n －1)．错解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，需证1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12(k ＋1)(3k ＋2)(*)．由于等式左边是一个以1为首项，公差为3，项数为k ＋1的等差数列的前n 项和，其和为12(k ＋1)(1＋3k ＋1)＝12(k ＋1)(3k ＋2)，所以(*)式成立，即n ＝k ＋1时等式成立． 根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．错因分析：判断用数学归纳法证明数学问题是否正确，关键要看两个步骤是否齐全，特别是第二步假设是否被应用，如果没有用到假设，那就是不正确的．错解在证明当n ＝k ＋1等式成立时，没有用到假设“当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立”，故不符合数学归纳法证题的要求．正解：证明：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时等式成立，即1＋4＋7＋…＋(3k －2)＝12k (3k －1)，则当n ＝k ＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k －2)＋[3(k ＋1)－2]＝12k (3k －1)＋(3k ＋1)＝12(3k2＋5k ＋2)＝12(k ＋1)(3k ＋2)＝12(k ＋1)[3(k ＋1)－1]，即当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)，可知等式对一切n ∈N *都成立．。
高中数学第二章推理与证明2.3.2数学归纳法应用举例2b22b高二22数学
第一页，共十四页。
2021/12/12
数学 归纳法 (shùxué)
与自然数相关的命题
归纳(guīnà)奠 基
归纳(guīnà)
递推
第二页，共十四页。
2021/12/12
常用 的证明方法 (chánɡ yònɡ)
第三页，共十四页。
2021/12/12
怎么(zěn me)证 明？
第四页，共十四页。
2021/12/12
第五页，共十四页。
2021/12/12
第六页，共十四页。
2021/12/12
数学归纳法在这儿(zhèr)为什么会失效？为什么归纳递 推会不成立？
第七页，共十四页。
2021/12/12
数学归纳法在这儿如何(rúhé)修正？
第十三页，共十四页。
2021/12/12
数学归纳法的具体(jùtǐ)应用
内容(nèiróng)总结
No
Image
12/12/2021
第十四页，共十四页。
第八页，共十四页。
2021/12/12
第九页，共十四页。
2021/12/12
第十页，共十四页。
2021/12/12
还有别的方法(fāngfǎ)吗？
第十一页，共十四页。
2021/12/12
这些证明方法(fāngfǎ)有何异同之处？
第十二页，共十四页。
2021/12/12
方法(fāngfǎ) 小结
2020学年高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法课件新人教A版选修2_2
＝22kk＋＋31，
要证当 n＝k＋1 时结论成立，只需证22kk＋＋31≥ k＋2，
即证2k＋ 2 3≥ （k＋1）（k＋2），
由
基
本
不
等
式
2k＋3 2
＝
（k＋1）＋（k＋2） 2
≥
（k＋1）（k＋2）成立，
故22kk＋＋31≥ k＋2成立， 所以，当 n＝k＋1 时，结论成立． 由①②可知，n∈N*时，不等式2＋2 1·4＋4 1·…·2n2＋n 1 > n＋1成立.
那么当 n＝k＋1 时， 左边＝1－12＋13－14＋…＋2k1－1－21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k1＋1＋2k1＋2. 上式表明当 n＝k＋1 时，命题也成立． 由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立．
则当 n＝k＋1 时， 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k> 1＋k2＋2k·2k1＋1＝1＋k＋2 1.②(8 分) 又 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k <12＋k＋2k·21k＝12＋(k＋1)，③ 即当 n＝k＋1 时，命题成立．(11 分) 由(1)和(2)可知， 命题对所有的 n∈N＋都成立．(12 分)
(3)正确寻求递推关系 我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要 的，如何寻求递推关系呢？ ①在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确 写出来，这样对发现递推关系是有帮助的． ②要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪 个位置． ③ 在 书 写 f(k ＋ 1) 时 ， 一 定 要 把 包 含 f(k) 的 式 子 写 出 来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项， 少了哪些项都要分析清楚.
2019_2020学年高中数学第二章推理与证明章末归纳整合课件新人教A版选修2_2
（2）利用结论：cos 3x＝4cos3x－3cos x，求出sin 18°的 值(3×18°＝90°－2×18°)．
解：（1）cos 4x＝2cos22x－1＝2(2cos2x－1)2－1＝8cos4x－8cos2x
则f′(x)＝1－xl2n x (x＞e)，
显然，在x＞e时，f′(x)＝
1－ln x x2
＜0恒成立，即函数f(x)
在区间(e，＋∞)上单调递减．
又a＞b＞e，则f(b)＞f(a)，即lnbb＞lnaa.
故a，b∈R，a＞b＞e时，ba＞ab成立．
【例5】
设函数f(x)满足2f(x)－f
1 x
【答案】A 【解析】如果乙预测正确，则丙预测正确，不合题意；如 果丙预测正确，假设甲、乙预测不正确，则有丙＞乙，乙＞ 甲，因为乙预测不正确，而丙＞乙正确，故只有丙＞甲不正 确，所以甲＞丙，与丙＞乙，乙＞甲矛盾，不合题意．所以只 有甲预测正确，得甲＞乙，乙＞丙．故选A．
2．(2016 年山东)观察下列等式：
章末归纳整合
【知识构建】
【思想方法专题】
专题一 归纳推理和类比推理 归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论 “合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管 如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用． 演绎推理的主要形式是三段论，在前提和推理形式都正确 的前提下，得到的结论一定正确，事实上，演绎推理是我们解 决问题最常用的推理形式．
＝4x－
2 x
＋1，数列{an}
和{bn}满足下列条件：a1＝1，an＋1－2an＝f(n)，bn＝an＋1－an(n ∈N*)．
课件1：2.3.2 数学归纳法应用举例
那么
12 22 32 k 2 (k 1)2 k(k 1)(2k 1) (k 1)2 6
k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2 (k 1)(2k 2 7k 6)
6
6
(k 1)((k 2)(2k 3) (k 1)[(k 1) 1][2(k 1) 1]
6
6
这就是说，当n=k+1时，等式也成立， 由（1）和（2）可以断定，等式对任何 n∈N+都成立。
例2．证明：平面上n个圆最多把平面分成 n2－n+2个区域。
证明：（1）一个圆将平面分成2个区域， 而当n=1时，n2－n+2=2，因此结论当n=1 时成立；
（2）假设当n=k时，结论成立，即k个圆最 多把平面分成k2－k+2个区域。
∵49M－6∈N ∴命题成立 由（1）、（2）可知当n为正奇数时
7n+1能被8整除．
现在大家能对数学归纳法做一下简 单的总结吗？？
归纳小结
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要
n取第一个值n0（一般取使结论有意义的
最小正整数）时结论正确
在此基础上，为使区域最多，应使新增 加的圆与前k个圆都交于两点，于是新增2k 个交点，
这2k个交点将新圆分成2k段弧，这2k段弧 将所经过的区域一分为二，因此新增2k个区 域，这样k+1个圆最多把平面分成
(k2－k+2) +2k=(k+1)2－(k+1)+2个区域，
这就是说，当n=k+1时，结论也正确，
练习2．求证当n为正奇数时7n+1能被8整除.
2019-2020高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件新人教A版选修2_2
ak＋1＝kk－－1akak＝kk－－13·k31－k－12 2
k－1 ＝3k23－k－2k2－1＝3k2－k－2k1－1
3k－2
＝3k＋k1－1k－1＝3k1＋1
＝3k＋11－2， 即当 n＝k＋1 时猜想也正确． 由(1)(2)可知，猜想对任意 n∈N*都正确．
没有利用归纳假设而致误
[典例] 用数学归纳法证明 1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12n(3n－1)(n∈ [证明] (1)当 n＝1 时，左边＝右边＝1， ∴当 n＝1 时，等式成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立， 即 1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝12k(3k－1)． 则当 n＝k＋1 时，
1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2] ＝12k(3k－1)＋(3k＋1) ＝12(3k2＋5k＋2) ＝12(k＋1)(3k＋2) ＝12(k＋1)[3(k＋1)－1]， 即当 n＝k＋1 时，等式也成立． 根据(1)(2)可知，对一切 n∈N*，等式都成立．
[错因与防范] 本例易犯以下两方面错误． ①省略第一步：归纳奠基，使要证明的数学命题没有成立的基础． ②不用归纳假设而直接推出要证结论． 如假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时成立，即 1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝12k 则当 n＝k＋1 时，需证 1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝12(k＋1 有用归纳假设，而是直接按等差数列{an}，首项为 1，公差为 3 的前 求得等式右端为12(k＋1)(3k＋2)，这种证明不符合数学归纳法的证题
证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： 第一步，归纳奠基：证明当 n 取__第__一__个__值__n__0(_n_0_∈__N_*_)_时命题成立． 第二步，归纳递推：假设 n＝k(k≥n0，k∈N*) 时命题成立，证明当
(新课程)高中数学《第二章 推理与证明》知识点、考点
第二章推理与证明知识点：1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：•通过观察个别情况发现某些相同的性质；•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；•证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：•找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；•用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；•检验猜想。
3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式———“三段论”，包括⑴大前提-----已知的一般原理；⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．5、直接证明与间接证明⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点：逆推证法；执果索因.⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立. 考点：无第三章 数系的扩充与复数的引入知识点：一:复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.(5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴，y 轴除去原点的部分叫做虚轴。
高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法课件1新人教A
需要注意：步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归 纳假设“n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”起着已知的作用， 证明“当 n＝k＋1 时命题也成立”的过程中，必须用到归纳 假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结 论推证出当 n＝k＋1 时命题也成立，而不能直接将 n＝k ＋1 代入归纳假设，此时 n＝k＋1 时命题成立也是假设， 命题并没有得证．
证明：(1)当 n＝2 时，f(22)＝1＋21＋31＋41＝2152＞2＋2 2， 原不等式成立； (2)假设当 n＝k(k∈N*且 k＞1)时不等式成立， 即 f(2k)＝1＋21＋31＋…＋21k＞k＋2 2，
那么当 n＝k＋1 时，有 f(2k＋1)＝1＋12＋…＋21k＋ 2k＋1 1＋…＋2k1＋1＝f(2k)＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k＞ k＋2 2＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k＞k＋2 2＋2k＋1 2k＋… ＋2k＋1 2k＝k＋2 2＋2k＋2k 2k＝k＋2 2＋12＝(k＋12)＋2.
这就是说，当 n＝k＋1 时，不等式也成立．
根据(1)(2)，可知不等式对任意正整数 n 都成立.
题型三 用数学归纳法证明整除问题 例 3 用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9 能被 36 整除． 证明：(1)n＝1 时，f(1)＝(2×1＋7)×31＋9＝36， 能被 36 整除． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9 能被 36 整除．当 n＝k＋1 时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9
§ 2.3 数学归纳法
知识点 数学归纳法 提出问题
在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的 自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那 么整排自行车就会倒下．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020学年高中数学 第二章 推理与证明 2.3.2 数学归纳法应用举例
导学案新人教A 版选修1-2
一、【学习目标】 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、【课前案】
阅读教材71-72页完成下列问题..
1、数学归纳法:
用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：
--------------------------------------------------
(2)假设
由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确
2.数学归纳法应用中的四个常见错误 数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种常用方法。
证明时，它的两个步骤：归纳奠基和归纳递推缺一不可。
使用数学归纳法解决问题易出现的四类错误：（1）初始值0n 确定的错误；（2）对项数估算的错误；（3）没有利用归纳递推；（4）关键步骤含糊不清。
用数学归纳法证明时有一个技巧，即当n=k+1时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”。
但中间的计算过程必须有，不能省略也不能含糊不清。
这一步是数学归纳法的精华所在，阅卷老师关注的重要环节。
三、【课中案】型一：用数学归纳法证明数列求和公式
例1用数学归纳法证明：
6
)12)(1(.........3212222++=++++n n n n
型二：用数学归纳法证明平面几何区域个数问题
例2用数学归纳法证明
平面上n 个圆最多把平面分成22+-n n
个区域
型三：用数学归纳法证明不等式
例3.求证：225n n n >≥时，当
四、【课后案】
1.用数学归纳法证明“2n ＞2
n +1对于n ＞0n 的正整数n 成立”时，第一步证明中的起始值0n 应取（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D.5 2.若f(n)= *1111,()2321
n N n +
++⋅⋅⋅+∈+,则n=1时f(n)是 A. 1 B. 13 C. 11123
++ D.以上对项数估算都有错误 3.用数学归纳法证明不等式11112321n +++⋅⋅⋅+-＜n （n ∈*N ）过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左端增加的项数是（ ）
A. 1
B. 2k
-1
C. 2k
D. 2k +1
4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)= 2n ﹒1﹒3…(2n-1)(n ∈N)时，从“n=k →n=k+1”两边同乘以一个代数式，它是 （ ）
5.用数学归纳法证明21*122221()n n n N -+++⋅⋅⋅=-∈的过程如下：
①当n=1时，左边=1，右边=121-=1，等式成立。
②假设当n=k 时，等式成立，即211222
21k k -+++⋅⋅⋅=- 则当n=k+1时，1211121222
2212k k k k +-+-+++⋅⋅⋅+==- 所以，当n=k+1时等式成立。
由此可知，对任何*n N ∈，等式都成立。
上述证明的错误．．是。