微积分第3章共79页PPT资料
合集下载
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
20
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
22
06
微积分在实际问题中的应用
2024/1/25
23
在物理学中的应用
运动学
描述物体的位置、速度和加速度 之间的关系，通过微积分可以精 确地计算物体的运动轨迹和速度 变化。
力学
研究物体受力作用下的运动规律 ，微积分可用于求解牛顿第二定 律中的加速度和力的关系。
电磁学
分析电场和磁场的分布和变化规 律，微积分可用于求解麦克斯韦 方程组等电磁学基本方程。
2024/1/25
9
微分法则与运算技巧
微分的基本法则
包括和差微分法则、乘积 微分法则、商微分法则等 。
微分运算技巧
换元法、分部积分法、有 理化分母等，用于简化复 杂的微分运算。
隐函数与参数方程
对于无法直接求解的隐函 数和参数方程，可通过微 分法求解其导数。
微分的应用
在几何、物理、经济等领 域中的应用，如求曲线的 切线、求速度加速度、求 边际效应等。
全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖 于Δx, Δy而仅与x,y有关，ρ=(Δx^2+Δy^2)^0.5，则称函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微，AΔx+BΔy称为函数 z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分。
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
《第三章积分学》PPT课件
（一）、原函数
定义 设函数 f ( x )在区间I上有定义， 若存在函数F ( x )，
使对x I , 有 F ( x ) f ( x )
或
dF ( x ) f ( x )dx
成立，
2
则称F ( x )是 f ( x )在区间I上的一个原函数。
例1
（1）f(x) = 3 x 求下列函数的原函数：
dx (9) 2 csc 2 xdx cot x C ; sin x (10) sec x tan xdx sec x C ;
(11) csc x cot xdx csc x C ;
x a x (13) a dx C; ln a
(12) e dx e C ;
第三章、积分学
• • • • • • 第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的计算—换元积分法 分部积分法 第三节 定积分 第四节 广义积分 第五节定积分应用
第一节 不定积分的概念与性质
• • • • 一、原函数与不定积分的概念 二、不定积分的几何意义 三、不定积分的性质 四、基本积分公式
2 dx
1 cos x 1 解：原式 dx ( x sin x ) C 2 2
例10 求 tan 2 xdx
解：原式 (sec x 1)dx sec2 xdx dx
2
tan x x C
1 例11 求 2 dx 2 sin x cos x
易见, sin x C 也是g( x )的原函数。
问题： 1.什么样的函数原函数存在？
2.原函数存在的条件下，原函数是否唯一？ 若不唯一，它们之间有什么联系？
原函数存在定理
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微积分(上册)第三章
第三节
高阶导数
第三节 高 阶 导 数
当x变化时，f(x)的导数f′(x)仍是一 个关于x的函数，对于这个新的函数， 如果可导，就可以将f′(x)继续对x进行求 导，从而得到“导了再导”的函数，这 就是高阶导数.
一、 高阶导数的定义
三、 复合函数的求导法则
注
对于初学者来说，求复合函数的导数是一个难点.但若能够 熟悉复合函数的复合过程，并牢记“由外向里，逐层求导”的 八字原则，则复合函数的求导就会变得简便易行.所谓“由外向 里”，就是按照复合的层次，从最外面开始，依次向里；“逐 层求导”就是一层一层地求下去，直到自变量为止.最后，把各 层求的导数的结果乘起来即可.
二、 反函数的求导法则
定理5
如果x=φ (y)在某区间上单调可导，且φ ′(y)≠0，那么它 的反函数y=f(x)在对应区间上也可导，且有
证因x=φ (y)单调可导，故它的反函数单调连续，下面
证明它的可导性.
当x有增量Δx≠0
Δy=f(x+Δx)－
f(x)≠0
二、 反函数的求导法则
二、 反函数的求导法则
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
定理4
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
【例14】
设y=3x2+2x+7，求y′. 解y′=(3x2+2x+7)′=(3x2)′+(2x)′+(7)′=6x+2.
【例15】
一、 函数的和、差、积、商的求导法则
【例16】
求下列函数的导数. (1)y=xsin x；(2)y=ax(2sin x－3cos x)；(3)y=x4•ex•ln x. 解(1)y′=(xsin x)′=(x)′sinx+x(sin x)′=sin x+xcosx； (2)y′=axln a(2sin x－3cos x)+ax(2cos x+3sinx)； (3)y′=4x3exln x+x4exln x+x3ex=x3ex(4ln x+xln x+1).
第三章微积分基本定理3精品PPT课件
则 lim u( x)v( x) elim v( x)[u( x)1].
例7. 求极限
lim
(
sin
x
)
1 xa
.
xa sin a
(1 型)
解:
lim(sin
x
)
1 xa
lim(sin x1) 1
e xa sin a xa
xa sin a
1 limsin xsin a
esin a xa xa
1 cos a
an,
又 lim
x
f
(x)
lim
x
ex x2
lim
x
ex 2x
lim e x x 2
,
故,
lim
n
en n2
.
注意 : 定理2中的L为(,)时,结论仍然成立.
8
解: lim sin n lim 0 0.
n
n
注意：若令f ( x) sin x ,
不能由 lim f ( x) lim sin x不存在,
, n!an f (n)( x0 ),
即,
ak
1 k!
f
(k )( x0 ),
(k 0,1,2,n),
代入Pn( x)中得：
Pn( x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f ( x0 ) ( x 2!
x0 )2
f
(n)( x0 n!
)
(
x
x0
)n
.
13
称为f(x)在点x0处的n阶泰勒多项式。 f(x)与Pn(x)的误差如何？会是(xx0)n的高阶无穷吗？
定理8 (泰勒公式) 设函数f(x)在点x0处有n阶导数,
微积分(第三章)
（1） y f (sin2 x) g (cos2 x)
（2） y f n [ g n (sin x n )]
第三章 导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
§3 高阶导数
一般地，设 f ' ( x) 在点 x 的某个领域内有定义，若极
限
f ' ( x x ) f ' ( x ) lim x 0 x
f ' ( x0 ) 都存在，就说函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b] 上可导。
第三章 导数、微分、边际与弹性
§1 导数的概念
三 、 导数的几何意义
函数 f ( x) 在点 x0 处的导数 f ' ( x0 ) 的几何意义是曲 线 y f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 )) 处切线的斜率。
定理2 如果函数 x f ( y ) 在区间 I y 内单调、可导
I x x x f ( y ), y I y
且 f ' ( y) 0 ，则它的反函数 y f 1 ( x) 在区间
内也可导，且
[f
1
1 dy 1 ( x)]' f ' ( y) 或 d x dx dy
（4）y cos x
1 （ 6） y x 1 （ 8） y 2 x 5x 6
第三章 导数、微分、边际与弹性
§3 高阶导数
高阶导数有以下运算法则：
1、[u( x) v( x)]( n) u ( n) ( x) v( n) ( x)
1 ' ( n 1) 2、[u ( x) v( x)]( n ) u ( 0) v ( n ) Cn uv k ( k ) ( nk ) k ( k ) ( nk ) Cn u v u ( n ) v ( 0 ) Cn u v n
《高等数学微积分》课件
实际应用
极值问题在经济学、物理学等领域有广泛应 用，如成本最小化、利润最大化等。
曲线的长度
曲线长度公式
利用微积分计算曲线的长度。
参数方程
通过参数方程将曲线表示为参数的函数，便于计算长度。
实际应用
在工程、地理等领域，需要计算各种曲线的长度，如河流长度、 道路长度等。
面积和体积
面积和体积公式
利用微积分计算平面图形的面积和空间图形的体积。
结合律
微积分运算还具有结合律，即函数的微积分运算顺序不影响结果。
交换律
此外，微积分运算还满足交换律，即函数的微积分运算满足交换律 。
微积分运算的法则
分部积分法
分部积分法是微积分运算中的一 种重要方法，它将两个函数的乘 积的导数转化为两个函数的导数 的乘积，从而简化了计算过程。
换元法
换元法是微积分运算中的另一种 重要方法，它通过引入新的变量 来简化计算过程。
如何提高微积分的计算能力？
总结词：掌握计算方法 总结词：细心谨慎 总结词：多做练习题
详细描述：提高微积分的计算能力需要熟练掌握各种计 算方法，如极限的计算、导数的计算和积分的计算等。 掌握这些方法可以更快更准确地完成计算。
详细描述：在微积分的计算过程中，需要细心谨慎，避 免因粗心大意而导致的错误。仔细检查每一步的计算过 程，确保准确性。
微分
微分的定义与性质
微分是函数在某一点附近的小变化量，它描述了函数在该点附近的变化趋势。微分具有一些重要的性质，如线性性、 可加性和可乘性。
微分的计算方法
包括微分的四则运算法则、复合函数的微分法则、隐函数的微分法则等。这些方法可以帮助我们快速准确地计算函数 的微分。
微分的应用
微分在许多领域都有广泛的应用，如近似计算、误差估计、优化问题等。例如，在近似计算中，微分可 以用来估计函数在某一点的近似值；在优化问题中，微分可以用来寻找函数的极值点。
《微积分》课件
微分学主要研究函数在某一点附近的 局部行为，包括切线、函数的变化率 等；积分学则研究函数在某个区间上 的整体行为，包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
大学课程《微积分》PPT课件：微积分3章6节
由
R P Q P f (P),
R
f
(P) Pf (P)
f (P)1
f (P)
f
P (P)
f (P)(1),
知：
(1) 若 | |1 , 需求变动的幅度小于价格变动的幅度. R 0,
R递增. 即价格上涨, 总收益增加; 价格下跌, 总收益减少.
(2) 若 | |1, 需求变动的幅度大于价格变动的幅度.R 0 , R递减. 即价格上涨, 总收益减少; 价格下跌, 总收益增加.
于是总利润为：L R C0 (Q)
a ( b t)Q ( c)Q2
对其求导得，L b t 2( c)Q，
令L
0得驻点：Q0
bt， 2( c)
又L 2( c) 0
可见，驻点为最大值点。因此，企业为使税后利润最大，所生产的商品量为
bt Q0 2( c)
。于是所得总税收为：
边际成本函数为： C( x) x
50
所以在产量为100个水平上的边际成本
C(100) 100 2（元/个） 50
上述计算结果说明：生产前100个产品时，均摊在每个产品上的成本为10元，
在此水平上生产第101个产品，所需要增添的成本大约为2元
例 2 设某企业的产品的成本函数与收益函数分别为：
C(x) 1000 400x 1 x2 （元） 2
例8（讲义例8）一玩具经售商以下列成本及收益函数销售某种产品: C(x) 2.4x 0.0002x2, 0 x 6000 R(x) 7.2x 0.001x2, 0 x 6000
试问何时利润随产量增加(即增加产量可使利润增加)?
例9 某企业的成本函数为
，其中 C 0.5x 5000
大学微积分第三章函数的求导法则ppt课件
x0
f( x) f(0)
x0
lim
x0
xe x 0 1 x
f ( 0 ) 1
f
(x)
e x
xex
,
x0
1,
x0
（讨论分断点的可导性用定义）
24
小结
(1) 掌握求导数的四则运算法则 (2) 熟记16个求导数公式
两条经验
(1).一般函数的求导用公式 (2).求分断点的导数用定义
25
作业 P82 1单 2单 3
h0
h
u( x h ) u( x )
v( x h ) v( x )
lim
v( x h ) lim
u( x )
h0
h
h0
h
u(x) v(x) u(x) v(x)
即 [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
7
3、商的导数
设函数 u u(x), v v(x)在点 x 处可导，(v(x) 0) 则
3x2 cos x ln x x3 sin x ln x x2 cos x
x
11
例4. y tan x 求 y
解
y
(tan
x)
sin
x
cos x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin 2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
x sin y
在
Iy
2
,
2
内单调、可导，且 (sin y) cos y 0
f( x) f(0)
x0
lim
x0
xe x 0 1 x
f ( 0 ) 1
f
(x)
e x
xex
,
x0
1,
x0
（讨论分断点的可导性用定义）
24
小结
(1) 掌握求导数的四则运算法则 (2) 熟记16个求导数公式
两条经验
(1).一般函数的求导用公式 (2).求分断点的导数用定义
25
作业 P82 1单 2单 3
h0
h
u( x h ) u( x )
v( x h ) v( x )
lim
v( x h ) lim
u( x )
h0
h
h0
h
u(x) v(x) u(x) v(x)
即 [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
7
3、商的导数
设函数 u u(x), v v(x)在点 x 处可导，(v(x) 0) 则
3x2 cos x ln x x3 sin x ln x x2 cos x
x
11
例4. y tan x 求 y
解
y
(tan
x)
sin
x
cos x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin 2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
x sin y
在
Iy
2
,
2
内单调、可导，且 (sin y) cos y 0
大一高数上_1完整_第三章ppt课件
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续 在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx
在[1,3]上连,续 在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
10
2、定积分
b f (x)dx ,
依 赖 于 [ a , b ] 和 f ( x ) 的 一 个 数 , 与 x 无 关 ；
a
b
几 何 意 义 ： 若 f(x)0,则f(x)dx是 以 yf(x), a
y0,xa, xb所 围 曲 边 梯 形 的 面 积 ；
y
y f(x)
oa
bx
11
微积分基本公式：
14
广义积分的两个结果：
dx p1, 收 敛
1 xp 0p1,发散
1 dx 01,收敛
0 x 1, 发散
15
定积分的应用—微元法 1、平面图形的面积
y
y f(x)
ao
bx
b
Aa | f(x)|dx
y y f(x)
yg(x)
ao
bx
b
Aa[f(x)g(x)d ]x
y
d
x(y)
x(y)
c
o
x
A d[(y)(y)d ]y.
题型1：原函数与不定积分的概念
例1 ( 9 2 , 3 分 ) 已 知 f ( x ) l 1 n x ， 则 f ( x ) .
解 令 lx n t， 则 x e t， f(t)1et , f(x)1ex,
c
16
2、旋转体的体积
y
y f(x)
oa
b
x
xdx
Vx
b[
a
f
(x)]2dx
y dd
x(y)
x
o
c
x
Vy
d[(y)]2dy
c
17
套筒法：
由 平 面 图 形 0axb,0yf(x)绕 y轴
旋 转 而 成 的 旋 转 体 的 体 积 为
y
y f(x)
oa
bx
Vy
2
b
xf(x)dx
a
18
典型例题
se2cxdxdt(axn) cs2x cdxdc(ox)t
1 1x2 dxd(arctax)n
1 dxd(arcsxin) 等等.
1x2
9
第二类换元法
令x(t)
dx(t)dt
f (x)dx f[(t)](t)dt 回代
F(t)CF[1(x)]C.
分部积分法
uvdx udv
凑微分
uvvduuvvudx.
1、不定积分
若 F ( x ) f ( x ) , 称 F ( x ) 为 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ,
f ( x ) d x F ( x ) C , 称 为 f ( x )的 不 定 积 分 . ddx[f(x)dx]f(x), d[f(x)dx]f(x)dx, F(x)dxF(x)C, dF(x)F(x)C.
积
分 (16) sexcdxln |sex ctaxn |C
表
(17) csxcdxln |csx cco x| tC
(18)
a2
1 x2
dx1 a
arctanx a
C
6
(19)
1 x2 a2
dx 1 2a
ln
xa xa
C
基
本
积
(20)
1 dxarcs inx C
a2x2
a
分
表 (21)
3
(1) kdxkxC (k是常数)
基
(2) xdxx 1 C (1)
1
本
dx
积 (3) x ln| x|C
分
1
表 (4) 1x2 dxarctxa C n
(5)
1 dxarcxsiC n
1x2
(6) coxsdxsinxC
(7) sinxdxcoxsC
4
(8)
dx cos2 x
1 dxlnx( x2a2)C x2 a2
(22)
1 dxln|x x2a2|C x2a2
7
不定积分的线性性质：
( 1 )[ f ( x ) g ( x )d x ] f ( x ) d x g ( x ) d x ;
（可推广到有限多个函数的情况）
(2 ) k(x f)d xkf(x)d x.
8
第一类换元法(凑微分法)
f (x)dx g[(x)](x)dx g(u)du
G(u)CG[(x) ]C.
u(x)
常用凑微分公式：
du(x)dx
dx1d(k xb)(k0) xdx 1d(x2)
k
2
1 dx2d( x) x
1 x2
dxd(1) x
1dxd(ln| x|) x
six n dxdc(ox)s coxd sxds(ix n )
直接(分项)积分法，换元积分法，分部积分法。
a bf(x)dxx(t)f((t))(t)dt
注 意 ： 换 元 要 换 限 ； x ( t )要 单 调 .
buvdxuvb
b
uvdx.
a
aa
13
定积分几个常用公式：
aaf(x)dx0 a[f(x)f(x)d ]x2
a 0
f
0 , f(x)为奇函数 (x)dx, f(x)为偶函数
瓦里0//2斯2cs公oisn nn式xxddxxn nn n 11n n n n 2323 54433212,2n,为 n为 大1正 的 于偶 奇数 数 0
ห้องสมุดไป่ตู้/2
/2
0 f(sx i)n dx0 f(cx o )ds x
/2
0f(sx i)n dx20 f(sx i)n dx
0x(fsx i)d n x20f(sx i)d n x
sec2 xdx tan xC
基 本
(9)
s
dx in2 x
csc2 xdx
coxtC
积
分 (1)0sexc taxn dxsexcC
表 (1)1csxcoxd txcsxcC
(12) exdxex C (13) axdx a x C
ln a
5
(1)4 taxndxln|sexc|C
基
本 (1)5 coxtdxln|csxc|C
考试内容
原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基 本积分公式，定积分的概念和基本性质，定积分中值 定理，积分上限的函数及其导数，牛顿—莱布尼茨公 式，不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法， 反常(广义)积分，定积分的应用
1
考试要求
1、理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基 本性质和基本积分公式，掌握不定积分的换元积分 法与分部积分法。
d
x
f(t)dtf(x)
dx a
牛顿-莱布尼茨公式：
设 函 数 f( x )在 [ a ,b ]上 连 续 , F ( x )是 f( x )的 任 意
一 个 原 函 数 , 则
b f(x)dxF(b)F(a)
F
(
x)
b
a
a
定积分性质：
线性性,区间可加性,比较大小,积分中值定理.
12
定积分的积分法：
2、了解定积分的概念和基本性质，了解定积分中值定 理，理解积分上限的函数并会求它的导数，掌握牛 顿—莱布尼茨公式以及定积分的换元积分法和分部 积分法。
3、会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积 和函数的平均值，会利用定积分求解简单的经济应 用问题。
4、了解反常积分的概念，会计算反常积分。
2
内容提要