不等关系1PPT课件
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人教A版高中数学必修课件：不等式与不等关系
推论 :
a c
b d
a
c bd (同向不等式的可加性)
性质4 : (乘法的单调性) a b,c 0 ac bc
推论1 :
(同向不等式的可乘性)
a b 0 c d 0 ac bd
推论2 : a b 0 an bn (n N*, n 2)
a b 0 n a n b(n N *, n 2)
(本小题满分10分)已知二次函数y＝f(x)图象过原点， 且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的范围.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0. ∴(bc2＋ca2＋ab2)－(b2c＋c2a＋a2b)＜0， 即bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
人教A版高中数学必修5课件：3.1.2不 等式与 不等关 系(共2 3张PPT )
(可乘方性、可开方性)
例１:已知a>b>0,c<0,求证
c a
c b
例2.(1)如果a b 0, 那么 1 1 ab
变式a b 0那么 1
1
ab a
(2)如果a＞b＞c＞0，那么 c
c
ab
变式a＞b＞c＞0，那么 b c a－b a c
练习：已知c＞a＞b＞0，
试比较 b 与 c 的大小？ c-b c a
变式. 已知a，b，m，n∈R＋，求证：am＋n＋bm＋n≥ambn＋anbm. 证明：(am＋n＋bm＋n)－(ambn＋anbm) ＝(am＋n－ambn)＋(bm＋n－anbm)＝(am－bm)(an－bn)． ∵幂函数f(x)＝xm，g(x)＝xn在x∈R＋上是增函数，由对
不等关系课件
不等关系课件不等关系课件不等关系课件教学分析本节课的研究是对初中不等式学习的延续和拓展，也是实数理论的进一步发展.在本节课的学习过程中，将让学生回忆实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.通过本节课的学习，让学生从一系列的具体问题情境中，感受到在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象，完成量与量的比较过程.即能用不等式或不等式组把这些不等关系表示出来.在本节课的学习过程中还安排了一些简单的、学生易于处理的问题，其用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的基本理论，并能用实数的基本理论来比较两个代数式的大小.在本节教学中，教师可让学生阅读书中实例，充分利用数轴这一简单的数形结合工具，直接用实数与数轴上点的一一对应关系，从数与形两方面建立实数的顺序关系.要在温故知新的基础上提高学生对不等式的认识.三维目标1.在学生了解不等式产生的实际背景下，利用数轴回忆实数的基本理论，理解实数的大小关系，理解实数大小与数轴上对应点位置间的关系.2.会用作差法判断实数与代数式的大小，会用配方法判断二次式的大小和范围.3.通过温故知新，提高学生对不等式的认识，激发学生的学习兴趣，体会数学的奥秘与数学的结构美.教学重点：比较实数与代数式的大小关系，判断二次式的大小和范围.教学难点：准确比较两个代数式的大小.课时安排：1课时教学过程导入新课思路1.(章头图导入)通过多媒体展示卫星、飞船和一幅山峦重叠起伏的壮观画面，它将学生带入“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”的大自然和浩瀚的宇宙中，使学生在具体情境中感受到不等关系在现实世界和日常生活中是大量存在的，由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望，自然地引入新课.思路2.(情境导入)列举出学生身体的高矮、身体的轻重、距离学校路程的远近、百米赛跑的时间、数学成绩的多少等现实生活中学生身边熟悉的事例，描述出某种客观事物在数量上存在的不等关系.这些不等关系怎样在数学上表示出来呢?让学生自由地展开联想，教师组织不等关系的相关素材，让学生用数学的观点进行观察、归纳，使学生在具体情境中感受到不等关系与相等关系一样，在现实世界和日常生活中大量存在着.这样学生会由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，从而进入进一步的探究学习，由此引入新课.提出问题：1.回忆初中学过的不等式，让学生说出“不等关系”与“不等式”的异同.怎样利用不等式研究及表示不等关系?2.在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系.你能举出一些实际例子吗?3.数轴上的任意两点与对应的两实数具有怎样的关系?4.任意两个实数具有怎样的关系?用逻辑用语怎样表达这个关系?活动：教师引导学生回忆初中学过的不等式概念，使学生明确“不等关系”与“不等式”的异同.不等关系强调的是关系，可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示，而不等式则是表示两者的不等关系，可用“a>b”“a教师与学生一起举出我们日常生活中不等关系的例子，可让学生充分合作讨论，使学生感受到现实世界中存在着大量的不等关系.在学生了解了一些不等式产生的实际背景的前提下，进一步学习不等式的有关内容.实例1：某天的天气预报报道，最高气温32 ℃，最低气温26 ℃.实例2：对于数轴上任意不同的两点A、B，若点A在点B的左边，则xA实例3：若一个数是非负数，则这个数大于或等于零.实例4：两点之间线段最短.实例5：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.实例6：限速40 km/h的路标指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7：某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.教师进一步点拨：能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较过程，这是我们每个研究数学的人必须要做的，那么，我们可以用我们所研究过的什么知识来表示这些不等关系呢?学生很容易想到，用不等式或不等式组来表示这些不等关系.那么不等式就是用不等号将两个代数式连结起来所成的式子.如-7<-5，3+4>1+4,2x≤6，a+2≥0,3≠4,0≤5等.教师引导学生将上述的7个实例用不等式表示出来.实例1，若用t 表示某天的气温，则26 ℃≤t≤32 ℃.实例3，若用x表示一个非负数，则x≥0.实例5，|AC|+|BC|>|AB|，如下图.|AB|+|BC|>|AC|、|AC|+|BC|>|AB|、|AB|+|AC|>|BC|.|AB|-|BC|<|AC|、|AC|-|BC|<|AB|、|AB|-|AC|<|BC|.交换被减数与减数的位置也可以.实例6，若用v表示速度，则v≤40 km/h.实例7，f≥2.5%，p≥2.3%.对于实例7，教师应点拨学生注意酸奶中的脂肪含量与蛋白质含量需同时满足，避免写成f≥2.5%或p≥2.3%，这是不对的.但可表示为f≥2.5%且p≥2.3%.对以上问题，教师让学生轮流回答，再用投影仪给出课本上的两个结论.讨论结果：(1)(2)略;(3)数轴上任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(4)对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a0a>b;a-b=0a=b;a-b<0a应用示例例1(教材本节例1和例2)活动：通过两例让学生熟悉两个代数式的大小比较的基本方法：作差，配方法.点评：本节两例的求解，是借助因式分解和应用配方法完成的，这两种方法是代数式变形时经常使用的方法，应让学生熟练掌握。
3.1.1不等关系和3.1.2不等关系与不等式(一)课件ppt
a a－ b a (2)当 a＝b 时， ＝1，a－b＝0，∴ ＝1， b b
∴aabb＝abba.(8 分) a (3)当 a＜b 时，0＜ ＜1，a－b＜0， b
a a－b ∴ ＞1，∴aabb＞abba.(11 分) b
综上可知，当 a＞0，b＞0 时，aabb≥abba.(12 分)
课堂讲练互动
自学导引
1．关于a≥b或a≤b的含义 (1)a＞b或a＜b，表示严格的不等式． 大于或等于b 或者a (2)不等式“a≥b”读作“_____________”．其含义是指“_____ ＞b，或者a＝b ______________”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有
一个正确，则a≥b正确． a小于或等于b (3)不等式“a≤b”读作“______________”．其含义是指“或者 a不大于b a＜b，或者a＝b”，等价于“__________”，即a＜b或a＝b中 有一个正确，则a≤b正确．
解 1)(x
2
(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－
1 2 3 －x＋1)＝(x－1)x－ ＋ 2 4
12 3 ∵x＜1，∴x－1＜0，又x－ ＋ ＞0. 2 4 1 2 3 ∴(x－1)[x－ ＋ ]＜0，∴x3－1＜2x2－2x. 2 4
课前探究学习
课堂讲练互动
【题后反思】 (1)作商比较法的应用条件，利用作商比较 法的前提是两个数需同号，一般情况下，比较两个正数间 的大小关系多用作商法． (2)作商法的基本步骤： ①作商；②变形；③判断与1的大小；④得出结论．
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练3】 若m＞0，比较mm与2m的大小．
∴aabb＝abba.(8 分) a (3)当 a＜b 时，0＜ ＜1，a－b＜0， b
a a－b ∴ ＞1，∴aabb＞abba.(11 分) b
综上可知，当 a＞0，b＞0 时，aabb≥abba.(12 分)
课堂讲练互动
自学导引
1．关于a≥b或a≤b的含义 (1)a＞b或a＜b，表示严格的不等式． 大于或等于b 或者a (2)不等式“a≥b”读作“_____________”．其含义是指“_____ ＞b，或者a＝b ______________”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有
一个正确，则a≥b正确． a小于或等于b (3)不等式“a≤b”读作“______________”．其含义是指“或者 a不大于b a＜b，或者a＝b”，等价于“__________”，即a＜b或a＝b中 有一个正确，则a≤b正确．
解 1)(x
2
(x3－1)－(2x2－2x)＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1)＝(x－
1 2 3 －x＋1)＝(x－1)x－ ＋ 2 4
12 3 ∵x＜1，∴x－1＜0，又x－ ＋ ＞0. 2 4 1 2 3 ∴(x－1)[x－ ＋ ]＜0，∴x3－1＜2x2－2x. 2 4
课前探究学习
课堂讲练互动
【题后反思】 (1)作商比较法的应用条件，利用作商比较 法的前提是两个数需同号，一般情况下，比较两个正数间 的大小关系多用作商法． (2)作商法的基本步骤： ①作商；②变形；③判断与1的大小；④得出结论．
课前探究学习
课堂讲练互动
【训练3】 若m＞0，比较mm与2m的大小．
课件高一数学必修：不等关系与不等式PPT课件_优秀版
x
≥
0
y ≥ 0
这是一个二元一次不等式组的问题
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
作差
(a2 2a 15) (a2 2a 8) 变形
7
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0 定符号
转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(a>b>0)，
若再加 m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
怎么解决这个数学问题?
分析:起初糖水的浓度为 b ,加入 m 克糖后的糖 a
水浓度为 b m ,只要证明 b m b 即可,怎么
am
am a
证呢? 这是一个不等式的证明问题
问题 2: 某杂志以每本 2.5 元的价格发行时，可以售出 8 万 册．经过调查，若价格每提高 0.1 元，销售量就相应减少 2000 册．要使杂志社的销售收入不低于 20 万元，每本杂志的价
得到相反的结论，从而误解。
1.不等关系和不等 0
小
a b ab 0
结
a b ab 0
3.作差法的步骤：
（1）作差→（2）变形→（3）定号→（4）结论
其中，变形的方法有：配方法；因式分解法；通分，分子 /分母有理化等，必要时进行讨论。
4、作商法步骤：（1）作商；（2）变形； （3）判断商与1的大小；（4）结论。
证明: =x2(x－1)+(x－1) ∵ b m b (b m)a (a m)b
作差
a m a (a m)a 今天的天气预报说：明天早晨最低温度t为7℃，明天白天的最高温度t为13℃;
=x2(x－1)+(x－1)
§1 1.2 不等关系与不等式
i > j > 0, a j = a1q j −1 , (2)对于任意的 (2)对于任意的
ai = aq = aq 1 1
,
i− 1
( j− +(i− j) 1)
= aq 1
( j− (i− j) 1)
q
= ajq
(i− j)
,
2 因 0 < q <1,由 等 的 要 质3,有q2 <1 =1 为 质3 不 式 主 性
因此, 因此,
a+m a a > , 又 ≥ 10%, b+m b b
一般地, 为正实数, 一般地,设 a,b 为正实数,且 a < b, m > 0 ,则
a+m a > . b+m b
日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式? 糖水越加糖越甜
1．不等式(1)a2＋2>2a；(2)a2＋b2≤2(a－b－1)；(3)a2＋b2>ab 恒成立的个数是 B ) ．不等式 恒成立的个数是( ； － － ； A．0 ． C．2 ． B．1 ． D．3 ．
思考:如何进行作差比较呢? 思考:如何进行作差比较呢?
作差比较法其一般步骤是: 作差比较法其一般步骤是: 其一般步骤是
作差→变形→判断符号→确定大小. 作差→变形→判断符号→确定大小.
（ 的大小. 例 1 试比较 x + 1)( x + 5) 与 ( x + 3) 的大小
2
解:由于
（x + 1)( x + 5) - ( x + 3) 2
m＋ n
的大小关系是( 与 d ＋ d 的大小关系是 A )
《不等式的基本性质》课件ppt
a b 如果a ＞b，c > 0 ,那么 ac>bc(或 ) 就是说 c c
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变。
不等式基本性质3：
如果a>b，c<0 那么ac<bc(或 )就是说不等式 的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向 改变。 不等式的对称性：
a b c c
如果a>b，那么b<a
不等式传递性：
如果a>b，b>c,那么a>c
小结： ①在利用不等式的基本性质进行变形时，当 不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母， 字母代表什么数是问题的关键，这决定了是 用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是 不等号是否要改变方向的问题； ②运用不等式基本性质3时，要变两个号，一 个性质符号，另一个是不等号．
（1）-3<0; （2）4x+3y>0 （3）x=3;（4） X2+xy+y2 （5）x≠5; （6）X+2>y+5;
不等式的性质 2
等式具有那些性质？
不等式是否具有这些的性质？
由a+2=b+2, 你能得到a=b吗？ 由a-2=b-2, 你能得到a=b吗？ 由0.5a=0.5b, 你能得到a=b吗？
a a 正 (2) ∵ , ∴a是____数 2 3
(3) ∵ ax < a 且 x > 1 , 负 ∴a是____数
1、已知 a < - 1 ,则下列不等式中错误的是 （ B ） A、4a < - 4 B、- 4a < 4 C、a + 2 < 1 D、2 – a > 3
2、已知x < y，下列哪些不等式成立？ （1） x – 3 < y – 3 （2）- 5 x < - 5 y
第1讲 不等关系与不等式 课件(共63张PPT)
解析
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.
解决此类题目常用的三种方法 (1)直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是 否成立时要特别注意前提条件． (2)利用特殊值法排除错误答案． (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可 以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断．
1．如果 a>0>b 且 a2>b2，那么以下不等式中正确的个数是
解析 答案
角度 2 作商法 例 3 设 a，b 都是正数，且 a≠b，则 aabb 与 abba 的大小关系是________. 答案 aabb>abba 解析 aaabbbba＝aa－b·bb－a＝aba－b.若 a>b，则ab>1，a－b>0，∴aba－b>1，∴ aabb>abba；若 a<b，则 0<ab<1，a－b<0，∴aba－b>1，∴aabb>abba.
解析 答案
作商法的步骤 (1)作商；(2)变形；(3)判断商与 1 的大小；(4)结论．
4．若 a>0，且 a≠7，则( ) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa 与 7aa7 的大小不确定 解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a，则当 a>7 时，0<7a<1,7－a<0，则7a7－a>1， ∴77aa>7aa7；当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.综上， 77aa>7aa7.
6.若 0<a<b<1，则 ab，logba，log b 的大小关系是________. 答案 log b<ab<logba 解析 ∵0<a<1，∴1a>1.又 0<b<1， ∴log b<log 1＝0.∵0<ab<a0＝1，logba>logbb＝1， ∴log b<ab<logba.
3.1.1不等关系与不等式(1)_ppt1
log 1 a ____ log 1 b.
2 2
小结：
不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥（≦） 、≤（≧） 、≠． (2)解析式是指： 代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R．
那么不等式是否与等式有类似的性质呢?
对于不等式在初中我们已经接触过,知道不等式的基本性 质与等式的基本性质是有所不同的,为什么会这样呢? 这一章主要从实数的基本性质及不等式的基本概念出发, 一步步系统认识不等式,掌握一些不等式,从而为以后进一步学 习数学和其它学科运用不等式打好基础.
首先从实数大小比较说起……
一、新课引入
现实世界和日常生活中 ，既有相等关系，又存 在 着大量的不等关系．如 ：两点之间线段最短； 三 角形两边之和大于第三 边；两边之差小于第三 边 ；长与短、高与矮、轻 与重、大与小、不超过 或 不少于等，都描述了客 观事物在数量上存在的 不 等关系．
相等只是相对的，不等 才是绝对的！
二、新课讲解
定符号
确定大小
∴
( x 1) ( x x 1)
2 2 4 2
(当x=0时取“＝”）
!
对于" "或" "的问题, 既要防止" "的遗漏, 又 要说明何时取到" ".
课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3 2) 2 _____ 6 2 6; < ⑵ ( 3 2) 2 ____( 6 1) 2 ; < 1 1 < ⑶ ______ ; 52 6 5
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
2 2
小结：
不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥（≦） 、≤（≧） 、≠． (2)解析式是指： 代数式和超越式(包括指数式、对数式和三角式等) (3)不等式研究的范围是实数集 R．
那么不等式是否与等式有类似的性质呢?
对于不等式在初中我们已经接触过,知道不等式的基本性 质与等式的基本性质是有所不同的,为什么会这样呢? 这一章主要从实数的基本性质及不等式的基本概念出发, 一步步系统认识不等式,掌握一些不等式,从而为以后进一步学 习数学和其它学科运用不等式打好基础.
首先从实数大小比较说起……
一、新课引入
现实世界和日常生活中 ，既有相等关系，又存 在 着大量的不等关系．如 ：两点之间线段最短； 三 角形两边之和大于第三 边；两边之差小于第三 边 ；长与短、高与矮、轻 与重、大与小、不超过 或 不少于等，都描述了客 观事物在数量上存在的 不 等关系．
相等只是相对的，不等 才是绝对的！
二、新课讲解
定符号
确定大小
∴
( x 1) ( x x 1)
2 2 4 2
(当x=0时取“＝”）
!
对于" "或" "的问题, 既要防止" "的遗漏, 又 要说明何时取到" ".
课堂练习: 在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3 2) 2 _____ 6 2 6; < ⑵ ( 3 2) 2 ____( 6 1) 2 ; < 1 1 < ⑶ ______ ; 52 6 5
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
§1-1.1 不等关系 1.2 不等关系与不等式
(1)以下结论一定能推出 a<b 的是( )
A．(a－b)a2<0
B．a2<b2
C.1a>1b
D．ac<bc
(2)若 bc－ad≥0，bd>0.求证：a＋b b≤c＋d d.
栏目 导引
第三章 不等式
【解】 (1)选 A.对于 A 项，显然 a2>0，必有 a<b；对于 B 项， a2<b2⇔|a|<|b|，当 a，b 均为负值时，有 a>b；对于 C 项，若 a>0， b<0，有1a>1b，但不能推出 a<b；对于 D 项，若 c<0，显然有 a>b. (2)证明：因为 bc－ad≥0，所以 ad≤bc， 因为 bd>0，所以ab≤dc， 所以ab＋1≤dc＋1，所以a＋b b≤c＋d d.
＜α＋|β|＜7.故选 C. (2)由 4≤xy2≤9，得 16≤xy24≤81. 又 3≤xy2≤8，
所以18≤x1y2≤13， 所以 2≤xy43≤27. 所以xy43的最大值是 27. 答案：(1)C (2)27
栏目 导引
第三章 不等式
思想方法 分类讨论思想在比较两代数式大小中的应用
已知
a，b>0，试比较
栏目 导引
第三章 不等式
3.(1)已知 a＋b>0，b<0，那么 a，b，－a，
－b 的大小关系是( )
A．a>b>－b>－a
B．a>－b>－a>b
C．a>－b>b>－a
D．a>b>－a>－b
(2)已知 a>b>0，c<d<0，e<0，求证：a－e c>b－e d.
(名师整理)最新北师大版数学8年级下册第2章第1节《不等关系》精品课件
牛刀小试
1. 用“＜”或“＞”号填空．
(1)－2_＜___2；
(2)－3_＜___－2；
(3)12_＞___6；
(4)0_＞___－8；
(5)－a_＜___a (a＞0)； (6)－a_＞___a(a＜0)．
2. 下列数学表达式：
①－2＜0；②4x＋2y＞0；③x＝1；④x2－xy；
⑤x≠3；⑥x－1＜y＋2.其中不等式有( B )
导引：(1)中“正数”用“＞0”表示； (3)中“非正数”即负数或0，用“≤0”表示； (4)中“不大于”即“小于或等于”，用“≤”表 示．
总结
列不等式首先要找出表示不等关系的关键词，然后用
表示数量关系的式子表示不等式的左边和右边；
常用不等关系的基本语言的意义：
(1)a是正数等价于a＞0； (2)a是负数等价于a＜0；
5. 某市的最高气温是33 ℃，最低气温是24 ℃，则
该市的气温t(℃)的变化范围是( D )
A．t＞33
B．t≤24
C．24＜t＜33
D．24≤t≤33
学习了本课后，你有哪些收获和感想？ 告诉大家好吗？
1.不等式：一般地，用符号“＜”（或 “≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子叫 做不等式。 2. 列不等式是用不等式表示代数式之间的不等关系．
的是( B )
A．2x－5＞0
B．2x－5＜0
C．2x－5≠0
D．2x－5≤0
3.如图，A，B两点在数轴上表示的数
分别为a，b，下列式子成立的是( C )
A．ab＞0
B．a＋b＜0
C．(b－1)(a＋1)＞0
D．(b－1)(a－1)＞0
4.如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的 三边a，b，c的大小关系是( C ) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
数学：《3.1不等式与不等关系第一课时》课件
当堂检测：
1、用不等式表示下列不等关系： （1）今天的天气预报说：明天早晨 最低温度为7℃，明天白天的最高 温度为13℃； （2）△ABC的两边之和大于第三边； （3）a是一个非负实数。
9、分析：（1）利用最低和最高列出不 等关系；（2）利用“大于”列出不等关 系；（3）非负整数即大于或等于零。 解：（1）设明天的温度为x℃，则
x 2 .5 0 .1
(8 x 2 .5 0 .1 (8 0 . 2 ) x 万元
0 . 2 万本
因此，销售总收入为：
用不等式表示为：
x要把长度为4000mm的钢管截 成500mm和600mm的两种规格。按照生产 的要求，600mm的钢管的数量不能超过 500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有 不等关系的不等式呢？ 分析：假设截得500mm的钢管x根，截得 600mm的钢管y根。根据题意，应当有什么 样的不等关系呢？ (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm； (2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm 的钢管数量的3倍； (3)截得两种钢管的数量都不能为负。
x 7 x 1 3
，
即
7 x 13
（2）设△ABC的三边长分别为 a , b , c ，则a+b>c，且a+c>b，且b+c>a
（3)
a0
2、某矿山车队有4辆载重为10t的甲型卡 车和7辆载重 为6t的乙型卡车，有9名驾驶员。此车队每天至少要 运360t矿石至冶炼厂。已知甲型卡车每辆每天可往 返 6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写 出满足上 述所有不等关系的不等式。 分析：设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆。根据题 意，应有如下的不等关系： （1）甲型卡车和乙型卡车总和不能超过驾驶员人数； （2）车队每天至少要运360t矿石； （3）甲型卡车不能超过4辆，乙型卡车不能超过7辆。 用关于x，y的不等式表示上述不等关系即可。
《等式性质与不等式性质》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第一课时不等关系与不等式)
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9
4．设 M＝a2，N＝－a－1，则 M、 M＞N [M－N＝a2＋a＋1＝
N 的大小关系为________．
a＋122＋34＞0，
∴M＞N.]
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10
合作探究 提素养
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11
用不等式(组)表示不等关系 【例 1】 京沪线上，复兴号列车跑出了 350 km/h 的速度，这个速 度的 2 倍再加上 100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经 超过了普通客车的 3 倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
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23
解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪 一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
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24
3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如 果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅 游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家 旅行社价格更优惠？
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系与不等式
2
学习目标
核心素养
1.会用不等式(组)表示实际问题中 1. 借助实际问题表示不等式，提升
的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大 小．(重点)
数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素 养.
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14
1．用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m， 要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其 中的不等关系．
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15
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以 0<x≤18，
9
4．设 M＝a2，N＝－a－1，则 M、 M＞N [M－N＝a2＋a＋1＝
N 的大小关系为________．
a＋122＋34＞0，
∴M＞N.]
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用不等式(组)表示不等关系 【例 1】 京沪线上，复兴号列车跑出了 350 km/h 的速度，这个速 度的 2 倍再加上 100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经 超过了普通客车的 3 倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系．
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解决决策优化型应用题，首先要确定制约着决策优化的关键量是哪 一个，然后再用作差法比较它们的大小即可．
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3．甲、乙两家旅行社对家庭旅游提出优惠方案．甲旅行社提出：如 果户主买全票一张，其余人可享受五五折优惠；乙旅行社提出：家庭旅 游算集体票，按七五折优惠．如果这两家旅行社的原价相同，那么哪家 旅行社价格更优惠？
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质 第1课时 不等关系与不等式
2
学习目标
核心素养
1.会用不等式(组)表示实际问题中 1. 借助实际问题表示不等式，提升
的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大 小．(重点)
数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素 养.
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1．用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m， 要求菜园的面积不小于 216 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其 中的不等关系．
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[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以 0<x≤18，
不等式讲相等关系与不等关系课件pptx
若a<b，b<c，则a<c。证明方法是先证明a和b之间存在一个数x，使得a<x<b，再证明b和c之间存在一个数y，使得b<y<c，那么就可以得出a<c的结论。
不等式的性质证明
对称性的证明
若a<b，则-b<-a。证明方法是通过定义对称性，即定义-b为-a的相反数，得出-b<-a的结论。
结合性的证明
若a<b，c<d，则a+c<b+d。证明方法是通过定义结合性，即先证明a和c之间存在一个数x，使得a<x<b+c，再证明b+c和d之间存在一个数y，使得x<y<d，那么就可以得出a+c<b+d的结论。
Ax ≤ b是指A乘以x的结果小于或等于b，即每个元素$a_{i,j} \times x_j \leq b_i$。
线性不等式的定义
严格线性不等式
$Ax < b$，即矩阵A乘以向量x的结果严格小于向量b。
非严格线性不等式
$Ax \leq b$，即矩阵A乘以向量x的结果小于或等于向量b。
线性不等式的分类
总结词
最大利润问题
总结词
应用线性不等式求解最短路径问题是图论中的经典问题，通常在物流、交通等领域有广泛应用。通过建立线性不等式模型，可以将最短路径问题转化为数学问题，从而用数学方法求出最短路径。
详细描述
最短路径问题是一类经典的图论问题，通常在物流、交通等领域有广泛应用。在求解过程中，通常使用Dijkstra算法、Floyd算法等经典算法构造初始解，并通过不断迭代逐步优化得到最短路径。
证明不等式是均值不等式应用中的另一个重要方面。
详细描述
不等式的性质证明
对称性的证明
若a<b，则-b<-a。证明方法是通过定义对称性，即定义-b为-a的相反数，得出-b<-a的结论。
结合性的证明
若a<b，c<d，则a+c<b+d。证明方法是通过定义结合性，即先证明a和c之间存在一个数x，使得a<x<b+c，再证明b+c和d之间存在一个数y，使得x<y<d，那么就可以得出a+c<b+d的结论。
Ax ≤ b是指A乘以x的结果小于或等于b，即每个元素$a_{i,j} \times x_j \leq b_i$。
线性不等式的定义
严格线性不等式
$Ax < b$，即矩阵A乘以向量x的结果严格小于向量b。
非严格线性不等式
$Ax \leq b$，即矩阵A乘以向量x的结果小于或等于向量b。
线性不等式的分类
总结词
最大利润问题
总结词
应用线性不等式求解最短路径问题是图论中的经典问题，通常在物流、交通等领域有广泛应用。通过建立线性不等式模型，可以将最短路径问题转化为数学问题，从而用数学方法求出最短路径。
详细描述
最短路径问题是一类经典的图论问题，通常在物流、交通等领域有广泛应用。在求解过程中，通常使用Dijkstra算法、Floyd算法等经典算法构造初始解，并通过不断迭代逐步优化得到最短路径。
证明不等式是均值不等式应用中的另一个重要方面。
详细描述
不等式1不等关系与不等式课件
五.不等式基本原理
看数轴上的点a和b，能写出 它们间的不等关系吗？
六.原理应用
ba
例 1 比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
例 2.已知 a 、b、m都是正数,且 a b , 求证: b m b
am a
七.课堂练习
在下列各题的横线中填入适当的不等号.
⑴ ( 3 2)2 __<___ 6 2 6;
一.问题情境
实际生活中
长短
轻重
大小
高矮
说一说 你能例举生活中的不等关系吗?
二.学生活动
问题1 雷电的温度大约是28000℃，比太阳 表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温度为t ℃， 如何表示这个不等关系？
4.5t<28000
学生活动 问题2 这是某酸奶的质量检查规定
脂肪含量（f） 蛋白质含量（p） 不少于2.5％ 不少于2.3％
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号，下结论
如何表示以上不等关系？ f≥2.5% p≥2.3%
四.数学应用
例1：设点A与平面α的距离为d, B为平面α上任意一点，则
A
d≤|AB|
d
B
例2.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售
出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量
就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设
为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于
20万元呢？
思考(1)销售量减少了多少? (2)现在销售量是多少?
x 2.5 0.2万本
0.1
8
x
2.5
0.2
0.1
(3)销售总收入为多少?
(8 x 2.5 0.2)x万元
不等关系与不等式ppt课件演示文稿(1)
第29讲 │ 要点探究
(1)＞ (2)＞ [解答] (1)解法一： (x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y) ＝(x－y)[x2＋y2－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)， ∵x<y<0，∴xy>0，x－y<0，∴－2xy(x－y)>0， ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)． 解法二：∵x<y<0， ∴x－y<0，x2>y2，x＋y<0，xy>0. ∴(x2＋y2)(x－y)<0，(x2－y2)(x＋y)<0， (x2＋y2)(x－y) x2＋y2 ∴0< 2 2 ＝ 2 2 <1， (x －y )(x＋y) x ＋y ＋2xy ∴(x2＋y2)(x－y)>(x2－y2)(x＋y)．
2 x3 x ＋ － [解析] 设 4 ＝(xy2)m( y )n＝xm 2ny2m n，由此得 m＋2n＝3, y
第29讲 │ 不等关系与不等式
第29讲
不等关系与不等式
第29讲 │ 知识梳理 知识梳理
1．两个实数大小的比较原理 (1)差值比较原理：设 a、b∈R，则 a＞b⇔a－b＞0， a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔________. a－b＜0 a a (2)商值比较原理： 设 a、 b∈R＋， 则b＞1⇔a＞b， b＝1⇔ a a＝b，b＜1⇔______. a＜b
第29讲 │ 要点探究
1 设 a∈R，且 a≠0，试比较 a 与a的大小． 1 (a－1)(a＋1) [解答] 由 a－a＝ . a 1 当 a＝± 1 时，a＝a； 1 当－1<a<0 或 a>1 时，a>a； 1 当 a<－1 或 0<a<1 时，a<a.
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2
≤
25
即
l2 16 ≤ 25
7
想
如下图，用两根长度均为ℓ cm 的绳子，
一
分别围成一个
想
正方形和圆。
在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表
示为
l 4
2
，圆的面积要使圆的面积不小于100cm2，那么绳长
ℓ 应满足怎样的关系式？
要使圆的面积不小于100cm2，就是
2、用适当的符号表示下列关系：
(1) a是负数； a＜0 (2) a是非负数； a≥0
(3) a与b的和小于5； (4) x与2的差大于－1；
a＋b＜5
x－2＞－1
(5) x的4倍不大于7； (6) y的一半不小于3．
4x≤7
2020年10月2日
1 2
y ≥3
5
想
如下图，用两根长度均为 ℓ cm 的绳子，
通常用符号“≥____”表示,
读作：__大__于__或__等__于____
32.02什0年10么月2日是不等式?请举例说明.
3
1、判断下列式子哪些是不等式
√ （1）3＞ 2 √ （2） a2+1＞ 0
（3） 3 x 2+2 x
√ （4） x＜ 2 x +1
（5） x ＝2 x －5
（6）a+b≠c
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
14
解：设这棵树生长x年其树围才能超过2.4m， 依题意得：
5＋3x＞240
2020年10月2日
11
用适当的符号表示下列关系：
(1)直角三角形斜边比它的两直角边a 、b都长。
c＞a
c＞b
(2) x与17的和比它的5倍小。 x+17＜5x
(3) x的3倍与8的和比x的5倍大。 3x+8＞5x
(4) 地球上海洋面积s1大于陆地面积s2。 s1＞s2 (5) 铅球的质量m1比篮球的质量m2大。 m1 ＞ m2
想
如下图，用两根长度均为ℓ cm 的绳子，
一
分别围成一个
想
正方形和圆。
1、如果要使正方形的面积不大于25cm2,那么绳长 ℓ 应满足怎样的关系式？
在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表
示为
l 4
2
，圆的面积可以表示为
l 2
2
要使正方形的面积不大于25cm2，就是
2020年10月4l2日
第一章 一元一次不等式和 一元一次不等式组
1-1 不等关系
2020年10月2日
1
生活中的不等关系
铅球与篮球， 谁的质量大？
2020年10月2日
地球上陆地面 积与水面面积 哪个大？
2
1 不等关系
阅读课本2-4页,回答以下问题
1.表示不等式的符号有哪些?
2. “不大于” 指的是 “小于或等于 ”，
通常用符号 “≤____” 表示, 读作:__小__于__或__等__于______ “不小于” 指的是大“于__或__等__于______”。
∴∵2此0420＜年时10月5还2.日1是∴圆此的时面的积圆大的。面积大。
9
想
如下图，用两根长度均为ℓ cm 的绳子，
一
分别围成一个
想
正方形和圆。
在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表
示为
l 4
2
，圆的面积可以表示为
l 2
2
.
当 ℓ = 8、ℓ = 12 时，都是圆的面积大。
4、你能得到什么猜想？改变ℓ 的取值再试一试。
一
分别围成一个
想
正方形和圆.
1、如果要使正方形的面积不大于25cm2,那 么绳长ℓ 应满足怎样的关系式？
2、如果要使圆的面积不小于100cm2，那么 绳长ℓ 应满足怎样的关系式？
提示
3、当 ℓ = 8 时，正方形和圆的面积哪个大？ ℓ = 12 呢？
420、20年你10月能2日得到什么猜想？改变ℓ 的取值再试一试. 6
2020年10月 22l日 2 ≥100
即
l2 4
≥100
8
想
如下图，用两根长度均为ℓ cm 的子，
一
分别围成一个
想
正方形和圆。
在上面的问题中，所围成的正方形的面积可以表
示为
l 4
2
，圆的面积可以表示为
l 2
2
3、当当圆圆∵当ℓℓ的9的=＜=面面1ℓ218=积积时18.时为为5，时，正，48正方12正42方形方≈2形5的形.≈1的面1(和1c面积m.5圆积()为c2的m为面)211281积6622 哪==个94大((ccmm？))ℓ22 = 12 呢？
2020年10月2日
12
补充练习：（用不等式表示）
• 1 ａ绝对值是非负数。 • 2 ｙ的一半比-3大，比小。 • 3 ｍ的5倍与2的差不大6。 • 4 ｘ除以2的商加上2，至多 • 为5。 • （要求独立完成）
2020年10月2日
13
演讲完毕，谢谢观看！
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我们可以猜想，用长度均为ℓcm的两根绳子分别围成
一个正方形和圆，无论ℓ取何值，圆的面积总大于正
方形的面积， 即
l2 ＞ l2
2020年10月2日
4
16
10
做一做
通过测量一棵树的树围（树干的 周长）可以计算出它的树龄，通常规 定以树干离地面1.5cm的地方作为测 量部位. 某树栽种时的树围为5cm, 以 后树围每年增加约3cm。这棵树至少 生长多少年其树围才能超过 2.4 m？
√
2020年10月2日
4
1、用“＜”或“＞”号填空：
(1) －7__＜__－5；
(2) (－3)4_＝___34；
(3) (－4)2_＞___(－3)2； (4) |－0.5|_＜___|－1000|；
(5) 3＋4_＞___1＋4； (6) 5＋3__＞__12－5；
(7) 6×3_＞___4×3； (8) 6×(－3)_＜___4×(－3)