2.1.3代数式：探索规律
代数式探索规律课件
化代数式。
详细描述
在代数式中，如果存在两个或多 个项具有相同的代数性质（如系 数、变量、指数等），则可以将 它们合并为一个项，从而简化代
数式。
示例
将代数式中的同类项合并，如将 $2x + 3x$简化为$5x$。
提取公因式
总结词
提取公因式是简化代数式的一种 常用方法，通过提取公因子，减
04
通过代数式的运算和分析，可以推导出许多物理定理 和公式，例如牛顿第二定律、欧姆定律等。
代数式在计算机科学中的应用
在计算机科学中，代数式被广泛应用于数据加密、密码 学和网络安全领域。
代数式在计算机科学中还用于算法设计和优化，例如在 计算机图形学、机器学习和人工智能等领域中。
通过代数式的变换和运算，可以实现数据的加密和解密 ，保护数据的机密性和完整性。
代数式在物理中的应用
在物理学中，代数式被广泛应用于描述物理量之间的 关系和变化规律。
输标02入题
例如，在力学中，代数式可以用来表示力和加速度、 速度和时间的关系；在电磁学中，代数式可以用来表 示电流、电压和电阻之间的关系。
01
03
代数式在物理学中还用于建立数学模型，通过模型来 描述和预测物理现象。
式，将复杂的代数式转化为简单的情势。
详细描述
02
在代数式中，可以利用已知的代数公式（如平方差公式、完全
平方公式等）进行化简，从而简化代数式。
示例
03
利用平方差公式化简代数式，如将$a^2 - b^2$化简为$(a +
b)(a - b)$。
03
代数式的探索规律
代数式的变化规律
01
冀教版数学七上3.2.4探索规律 教案
第三章代数式3.2 代数式第4课时探索规律教学目标1. 使学生会用代数式表示简单的数量关系，验证所探索的规律.2. 通过从特殊事例中抽象概括一般规律的过程，学会从不同角度分析和解决问题，学会转化思想和归纳思想.教学重难点重点：用代数式表示规律.难点：厘清数量关系，用运算验证规律.教学过程导入新课如图，这是一个由1～120的连续整数排成的“数阵”.如果用方框围住9个数，那么这9个数的和随方框位置的变化而变化.你发现这些数字有什么规律吗？学生独立思考每行每列数字之间的规律.探究新知探究一：1.如果设方框左上角的数为a，用含a的代数式表示这9个数的和.思考：（1）方框内每行的三个数之和，和中间的数有什么关系？（2）怎样表示这九个数的和比较简单？2.方框内9个数的和，与中间的数15有什么关系？3.如果方框下移一行，中间数变为21，此时9个数的和是多少？4.根据上述规律，你能直接写出中间数为m时这9个数的和吗？学生思考交流，教师点拨.答案：1.（1）三个数的和是中间数的三倍；（2）三行数的和依次为3（a+1），3（a+7），3（a+13），故九个数的和为9（a+7）.2.九个数的和为135，为15的9倍.教学反思3.21的9倍.4.这九个数的和为9m .探究二：图1是由点组成的n 行n 列的方阵，图2是由每条边上n 个点围成的空心方阵.图1 图2 1. 图1中方阵的总点数为多少？ 2. 图2中方阵的总点数是多少？你还有其他的计算方法吗？让学生分组讨论，自主探究，然后教师多媒体演示图2中总点数不同的计算方法. 答案：1. n 22.可以是22(2)n n --，4（n -1），2n +2（n −2），4n −4. 课堂练习1.一组按规律排列的数：137132149162536，，，，，… ，第7个数是________；第n 个数是_____________. 2.观察下列等式：1×3＝221-；2×4＝231-； 3×5＝241-；（ ）×（ 6）＝（ ）2−（ ）；填写第4个等式，第n 个等式为 .3.如图，第一排有 1 个三角形；第二排有 3 个三角形；第三排有 5 个三角形；第四排有 个三角形；第n 排有 个三角形；4.如图，按下列格式用火柴棒搭建正方形.1个正方形用4根火柴棒；2个正方形用 火柴棒；3个正方形用___火柴棒；10个正方形用 火柴棒；n 个正方形用 火柴棒 . 参考答案1. 4364 n 2−（n−1）（n+1）2 2. 4 6 5 1 n （n +2）＝(n +1)2 −1教学反思3. 7 （2n-1）教学反思4. 7根10根31根（3n+1）根课堂小结用代数式表示规律：1.用代数式表示数的变化规律；2.用代数式表示图形的变化规律.布置作业教材第108页习题A组第1，2，3题.板书设计第三章代数式3.2 代数式第4课时探索规律探究一：探究二：。
冀教版初中数学七年级上册代数式探索规律精品课件
3 猜测一下，第N个三角形，共有几根？
三角形个数
1
2
3
4
5
…
n
棉棒个数
…
3
解决问题，掌握规律
冀教版初中数学七年级上册代数式探 索规律 精品课 件
【例题】1.若按下图方式摆放桌子和椅子:
（1）一张桌子可坐6人，2张桌子可坐 人。 （2）按照上图方式继续排列桌子，完成下表：
桌子张数
1
2
3
4
5
n
可座人数
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4．（C组探索）按一定规律排列的一列数依次为，
2 ,1, 8 ,11,14 ,17 3 7 9 11 13
按此规律，这列数中的第100个数是__________．
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桌子张数
1
2
3
4
5
n
可座人数
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一
二
三
寻找 数量 关系
用代数式 表示规律
验证 规律
观察 猜想 归纳 验证
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技能 训练
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1 A组基础：独立完成 2 B组提升：小组讨论 3 C组探索：思维锻炼
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1.（A组基础）根据规律，填写下面的空格： （1） 1, 2, 3, 4， ， ， ，……… 。 （2） 1, 3, 5, 7， ， ， ，……… 。 （3） 2, 4, 6, 8， ， ， ，……… 。 （4） 1, 4, 7, 10， ， ， ，……… 。
探索规律列代数式(初中数学)
探索规律列代数式探索规律列代数式这类考题是近几年中考的热点，这类题通常是通过对数、式或图形关系分析，探索规律，并能用代数式反映这个规律．现以近年各地的中考题为例说明如下.1. 探索单项式中的规律例1 （2021年云南）按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n个单项式是（）A．n2a n+1B．n2a n-1C．n n a n+1D．（n+1）2a n解析：观察单项式中a的系数、次数与单项式的序数的关系，有如下规律：第1个单项式a2＝12·a1+1；第2个单项式4a3＝22·a2+1；第3个单项式9a4＝32·a3+1；第4个单项式16a5＝42·a4+1；……所以第n（n为正整数）个单项式为n2a n+1．故选A．2. 探索等式中的规律例2 （2021年嘉兴）观察下列等式：1＝12-02，3＝22-12，5＝32-22，…，按此规律，则第n个等式为2n﹣1＝___________．解析：观察等式中的数字与等式的序数的关系，有如下规律：第1个等式：2×1-1＝12-02；第2个等式：2×2-1=22-12；第3个等式：2×3-1＝32-22；……所以第n个等式为2n﹣1＝n2-（n-1）2．故填n2-（n-1）2．3. 探索图形中的规律例3 （2021年绥化）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形……依此规律，则第n个图形中三角形的个数是_________.解析：观察图中三角形的个数与图形的序数的关系，有如下规律：第1个图形中三角形的个数为1=12+0；第2个图形中三角形的个数为5=22+1；第3个图形中三角形的个数为11=32+2；第4个图形中三角形的个数为19=42+3；……所以第n个图形中三角形的个数为n2+n﹣1．故填n2+n﹣1．第1 页共1 页。
2.1.3代数式：探索规律
例4、搭一搭，填一填：
（1）我们按如图的摆法搭一行正方形。记录你所搭 的正方形的个数和所用的火柴棒的根数，并填表：
正方形 个数 火柴 根数
1
2
3
4
……
n
4
7
10
13
…… 3n+1
按下图方式摆放餐桌和椅子：
10 （1）1张餐桌可坐6人，2张餐桌可4+4+2 人。 （2）按照上图的方式继续排列餐桌，完成下表： 桌子张数 3 4 5 6 ……
3 1 5
,
1 7
ห้องสมุดไป่ตู้
,
1 9
1 2n ＋1 ……，第n项为 _______.
用火柴棒按以下方式搭小鱼
搭n条这样的小鱼需要多少根火柴棒？与同学交 流。 搭20条这样的小鱼需要多少根火柴棒？ 搭100条呢？
8 根火柴棒，搭2条小 搭1条小鱼用___ 14 根，搭3条小鱼用___ 20 根…… 鱼用__ 6 根火柴棒， 每多搭1条小鱼增加___ 搭n条小鱼需要____________ [8+6(n-1)] 根火 柴棒。
试一试
1、按左图方式摆放餐桌和椅子 6 人; (1) 1张餐桌可坐___
10 人. 2张餐桌可坐___ (2) 按照左图的方式继续排列 餐桌,完成下表:
桌子 张数 可坐 人数
1
2
3 4
5 …
n
6 10 1418 22 …
……
4 +4 +4 +4
n张餐桌可坐 (4n+2) 人
练一练（2）：
如图是2002年 6月的日历。现用 一个矩形在日历 中任意框出4个数，
代数式
-----探索规律
《代数式》教案设计
《代数式》教案设计一、教学目标：1. 让学生理解代数式的概念，掌握代数式的表示方法和基本性质。
2. 培养学生运用代数式表示实际问题，解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索代数式的运算规律。
二、教学内容：1. 代数式的定义及表示方法。
2. 代数式的基本性质。
3. 代数式的运算规律。
三、教学重点与难点：1. 重点：代数式的概念、表示方法、基本性质和运算规律。
2. 难点：代数式的运算规律的探索和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究代数式的相关概念和性质。
2. 利用案例分析法，让学生学会将实际问题转化为代数式。
3. 运用小组合作学习法，培养学生团队合作精神和沟通能力。
五、教学过程：1. 导入：通过生活实例，引导学生思考如何用数学语言表示实际问题。
2. 新课导入：介绍代数式的定义和表示方法，让学生掌握基本概念。
3. 案例分析：分析实际问题，让学生学会将问题转化为代数式。
4. 课堂互动：引导学生通过观察、分析、归纳等方法，探索代数式的运算规律。
5. 练习巩固：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
6. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
7. 课后作业：布置适量作业，让学生巩固所学知识。
8. 教学反思：根据学生的反馈，调整教学方法和策略。
六、教学评价：1. 通过课堂提问、练习和小测验，评价学生对代数式概念、表示方法和基本性质的掌握程度。
2. 结合课后作业和小组讨论，评估学生运用代数式解决实际问题的能力。
3. 通过期中和期末考试，检验学生对代数式运算规律的掌握情况。
七、教学资源：1. PPT课件：制作精美的PPT课件，展示代数式的相关概念、性质和运算规律。
2. 教学案例：收集与代数式相关的实际问题，用于课堂分析和练习。
3. 练习题库：编写不同难度的练习题，满足学生的个性化学习需求。
4. 小组讨论工具：提供便于学生合作学习的工具，如白板、投影仪等。
八、教学进度安排：1. 第1周：介绍代数式的定义和表示方法。
2024年秋沪科版七年级数学上册2.1.3 代数式的值 课件(共18张PPT)
然后计算结果 (5 + 1)2 - 3 = 33.
33
练习：当 x = -5 时，(x + 1)2 - 3 = .
(-5 + 1)2 - 3 = 13
13
一项调查研究显示：一个10~50 岁的人，每天所需的睡眠时间 t h 与他的年龄 n 岁之间的关系为
综上所述，a + b 的值为 3 或 -3.
4. 如图，已知长方体的高为 h，底面是边长为 a 的正方形. 当 h = 3，a = 2 时，分别求其体积 V 和表面积 S.
h
a
所以，当 h = 3，a = 2 时，
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
解：当 x = 2，y = -3 时， x(x - y) = 2×[2 - (-3)] = 2×5 = 10
1. 当 x = 2，y = -3 时，求代数式 x(x - y) 的值.
(1) 代入时，要“对号入座”，避免代错字母，其他符号不变．(2) 代数式中，代入数值以后原来省略的乘号一定要还原．(3) 若字母的值是负数，将字母的值代入代数式时，应加上括号，原来的数字和运算符号都不能改变．
解：因为 |a| = 6，|b| = 3，
所以 a = ±6，b = ±3.
因为 ab < 0，
所以 a = 6，b = -3 或 a = -6，b = 3.
①当 a = 6，b = -3 时，
②当 a = -6，b = 3 时，
a + b = 6 + (-3) = 3.
a + b = (-6) + 3 = -3.
3.2代数式去括号、探索规律
代数式去括号、探索规律【知识要点】1、代数式去括号步骤：首先，要看括号前的符号，若是正号，则直接丢掉括号，括号里面的每一项照着抄写下来；若是负号，则一定要注意，去掉括号后，则括号里面的每一项都要变号，括号里的单项式之前是正号，去掉括号变成负号，单项式之前是负号的，去掉括号则变成正号（口诀正正得正，负负得正；正负得负，负正得负）2、代数式去括号时，还应注意，若括号前有系数要与括号里的每一项相乘或相除。
3、去括号之后合并同类项的步骤：①首先，判断字母是否相同，及其次数是否相同，若相同则为同类项，否则不是同类项，只需照抄，不需要再化简了。
②其次，在合并同类项时：注意字母次数不变，系数相加（系数即为字母前面的数字连同符号）。
a 、系数符号相同（同正或同负），数字相加，符号跟着系数走。
b 、系数符号相异（大减小，符号跟着大的走）4、规律探索：一般分为两种，数字规律和图像规律，但入手点是一样的，都是看数量随着项数的变化规律，一般都是分以下三步进行，然后得出结论：（1）观察探索：从实际问题出发，第一步标上项数和该项对应的数量，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律，一般采用的方法就是拿每相邻的两项的数量作差，有时可能需要再次用作完差值的数作差，看看两项之间的联系；如数字，我们看看每一项的数字随项数的变化情况，图象我们也可以看看随着图象演变，出现的数字规律。
（2）归纳猜想：通过观察由前面已知的项数，由此推彼，进行归纳，猜想，并用含有字母的代数式表示规律。
（3）验证：可以举例验证，看看所猜想的代数式是否满足演变规律。
【解题方法】1、 代数式去括号示例：()=a b c a b+c ---；+()=a b c a+b c --2、 代数式去括号之后合并同类项：()+()=+=+-a c b c a+c b c a b -----【知识应用】【代数式去括号】1、已知2<<5,x 化简|24|+|5|=x -x -2、化简(+)()= a b c b ---3、2(3)=( ) a -c -b+a b -4、已知=2a b --，求2()-2()+5=b -c a -c5、已知2(3A)+5(A+2)=4+x -，则A=6、将下列代数式去括号，在合并同类项（1）22532(-2+1)x x x x -- （2）2212(+1)+5(+1)(42)2a a a a ---（3）()+()()x+y -z x -y+z x -y -z - （4）2222(2+)3()+2(+)x y y x x x --7、将下列代数式先化简，后求值：（1）22(2+-2)-3(+),3,=2a b ab ab a b a =b -- （2）222211(2+3)+2(2) , =, =25x -xy y xy x y x y ---8、已知21=2,=3+1,=232A x -B xC x -，求 2+3A B C -【知识应用】【探索规律】1、如图，平面内有公共端点的六条射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，从射线OA 开始按逆时针依次在射线上写出数字1、2、3、4、5、6、7…，则数字“2012”在 （ ） A ．射线OA 上 B ．射线OB 上C ．射线OD 上 D ．射线OF 上2、观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个★．3、如图，下面是用火柴棍摆的正方形，请你仔细观察第n 个图形中共有 根 （用n 的代数式表示）火柴棍。
专题19 探求规律题(解析版)
专题19探求规律题考纲要求:探索规律型问题：指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所隐含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．基础知识回顾:1．数字猜想型：在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2．数式规律型：通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式或函数关系式为主要内容．3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律．4．数形结合猜想型：首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系．5．动态规律型：要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．应用举例:类型一、数字猜想型【例1】观察一列数：﹣3，0，3，6，9，12，…，按此规律，这一列数的第21个数是_______．【答案】57【解析】由题意知，这列数的第n个数为﹣3+3（n﹣1）＝3n﹣6，当n＝21时，3n﹣6＝3×21﹣6＝57，故答案为：57．类型二、数式规律型【例2】按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n个数是_____________．（n为正整数）【答案】（﹣1）n×【解析】第1个数为（﹣1）1×，第2个数为（﹣1）2×，第3个数为（﹣1）3×，第4个数为（﹣1）4×，…，所以这列数中的第n个数是（﹣1）n×．故答案为（﹣1）n×．类型三、图形规律型：【例3】观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有_____个〇．【答案】6058【解答】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1＝4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2＝7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3＝10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4＝13，……∴第2019个图形中共有：1+3×2019＝1+6057＝6058个〇，故答案为：6058．类型四、数形结合猜想型：【例4】在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“OA1→A1A2→A2A3→A3A4→A4A5…”的路线运动，设第n秒运动到点P n（n为正整数），则点P2019的坐标是___________．【答案】（，）．【解析】由题意知，A1（，）A2（1，0）A3（，）A4（2，0）A5（，﹣）A6（3，0）A7（，）…由上可知，每个点的横坐标为序号的一半，纵坐标每6个点依次为：，0，，0，﹣这样循环，∴A2019（，），故答案为：（，）．类型五、动态规律型：【例5】如图，将矩形ABCD绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转90°至图②位置，以此类推，这样连续旋转2017次．若AB=4，AD =3，则顶点A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为（ ）A ．2017πB ．2034πC ．3024πD ．3026π 【答案】D ． 【解析】方法、规律归纳: 数字规律：①标序数(1，2，3，…，n)；②找规律，观察： 当所给的一组数字是整数时：A.数字与序数的关系；B.数字的符号规律，若为正负号交替，则用()1n -或1(1)n --表示符号； 代数式规律：①标序数(1，2，3，…，n)；②找规律，观察：A.系数、代数式字母的指数与序数的关系；B.符号规律方法同“数字规律”. 图形规律：(1)基础图形固定累加：①标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”； ②数图形个数：数出每组图形的个数；③寻找第n 项(某项)的个数与序数n 的关系：将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作差来观察累加个数，然后按照定量变化推导出关系式； ④验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确． (2)基础图形递变累加：①标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；②数图形个数：数出每组图形的个数；③寻找第n项(某项)的个数与序数n的关系：将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行对比，通常作商来观察图形个数；或将图形个数与n进行对比，寻找是否是与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系；④验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．实战演练:1、如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝______．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2﹣1＝3个．第3幅图中有2×3﹣1＝5个．第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，2n﹣1＝2019，n＝1010，故答案为：1010．2.a1，a2，a3，a4，a5，a6，…，是一列数，已知第1个数a1＝4，第5个数a5＝5，且任意三个相邻的数之和为15，则第2019个数a2019的值是______．【答案】6【解答】解：由任意三个相邻数之和都是15可知：a 1+a2+a3＝15，a 2+a 3+a 4＝15， a 3+a 4+a 5＝15， …a n +a n +1+a n +2＝15，可以推出：a 1＝a 4＝a 7＝…＝a 3n +1，a 2＝a 5＝a 8＝…＝a 3n +2， a 3＝a 6＝a 9＝…＝a 3n ， 所以a 5＝a 2＝5， 则4+5+a 3＝15， 解得a 3＝6， ∵2019÷3＝673， 因此a 2017＝a 3＝6． 故答案为：6．3. 如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2017次运动后，动点P 的坐标是______．【答案】( 2017 , 1 )4.如图，将从1开始的自然数按下规律排列，例如位于第3行、第4行的数是12，则位于第45行、第7列的数是________．【答案】2019【解析】观察图表可知：第n 行第一个数是n 2， ∴第45行第一个数是2025，∴第45行、第7列的数是2025﹣6＝2019， 故答案为20195. 已知a ＞0，S 1=，S 2=﹣S 1﹣1，S 3=，S 4=﹣S 3﹣1，S 5=，…（即当n 为大于1的奇数时，S n =；当n 为大于1的偶数时，S n =﹣S n ﹣1﹣1），按此规律，S 2018=_____． 【答案】-【解析】由已知可得： S 1=，S 2=-，S 3=-，S 4=-，S 5=-（a+1）, S 6=a, S 7=⋯根据S n 的变化规律，得出S n 的值每6个为一个循环， 因为，2018=336×6+2， 所以，S 2018= S 2=-.故答案为：-6.已知有理数a ≠1，我们把称为a 的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5【答案】A【解析】∵a1＝﹣2，∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，∵100÷3＝33…1，∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，故选：A．7.如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0），…，则点P2017的坐标是．【答案】（672，1）【解析】8. 观察下列各式及其验证过程：，验证：．，验证：．（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用a（a为自然数，且a≥2）表示的等式，并给出验证；（3）用a（a为任意自然数，且a≥2）写出三次根式的类似规律，并给出验证说理过程．【答案】（1）见解析；（2），验证见解析；（3）见解析【解析】（1）∵，，∴,验证：（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，∴，验证:（3）（a为任意自然数，且a≥2），验证：．9. 图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案,最上面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n层.将图①倒置后与原图①拼成图②的形状,这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n=.如果图③和图④中的圆圈都有13层.(1)我们自上往下，在图③的每个圆圈中填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是___；(2)我们自上往下，在图④每个圆圈中填上一串连续的整数−23，−22，−21，−20，…，求最底层最右边圆圈内的数是___；(3)求图④中所有圆圈中各数之和.(写出计算过程)【答案】（1）79；（2）67；（3）2002.【解析】（1）当有13层时，前12层共有：1+2+3+…+12=78个圆圈，78+1=79，故答案为：79；（2）图④中所有圆圈中共有1+2+3+…+13==91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，故答案为：67；（3）图④中共有91个数，分别为-23，-22，-21，…，66，67，图④中所有圆圈中各数的和为：-23+（-22）+…+（-1）+0+1+2+…+67==2002.10.观察以下等式：第1个等式：＝+，第2个等式：＝+，第3个等式：＝+，第4个等式：＝+，第5个等式：＝+，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：____________；（2）写出你猜想的第n个等式：____________（用含n的等式表示），并证明．【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】（1）第6个等式为：，故答案为：；（2）证明：∵右边＝＝左边．∴等式成立，故答案为：．。
探究规律题型方法总结和练习
探究规律题型方法总结和练习一、教学内容：规律探究型问题1. 图案变化规律2. 数列、代数式运算规律3. 几何变化规律4. 探索研究二、知识要点：近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，目的是考查学生观察分析及探索的能力. 题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。
这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，表达了数学思想从特殊到一般的发现规律。
是中考的一个难点，越来越引起考生重视。
下面我们根据几种不同类型的规律变化类型题进行分析。
“规律探究型问题”根据学生已有的知识基础和认知特点，分别从直观形象和抽象符号上进行规律探索，突出数学的生活化，给学生提供更多时机体验学习和探索的“过程”与“经历”，使之拥有一定的问题解决、课题研究、社会调查的经验，使学生经历探索事物间的数量关系并用字母和代数式表示的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维，进一步使学生体会到代数式是刻画现实世界的有效数学模型。
现就规律探究的几个例子，来探讨一下这类专题：一、规律探索型问题的分类：1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比〔比较同一等式中不同部分的数量关系〕或纵比〔比较不同等式间相同位置的数量关系〕找出各部分的特征，改写成要求的格式。
如：1、有一串单项式：a，2a2，3a3，4a4，…，19a19，20a20，…那么第n个单项式是。
2、争当小高斯：高斯在10岁的时候，曾计算出1+2+3+4+······+100=_________；还有另外一种解法：设S=1+2+3+······+99+100，那么也可以写成S=100+99+98+97+······+2+1，把这两个等式左右两边分别相加，可以得到2S= 〔1+100〕+〔2+99〕+〔3+97〕+······ +〔99+2〕 +〔100+1〕，2S=100×101，S= 由此，猜想前n个自然数和：1+2+3+4+······+n=-________，前n个偶数和：2+4+6+8+······+2n=________，前n个奇数和：1+3+5+7+ 9+······+ (2n-1) =________.猜想归纳是解决这类问题的有效方法，通过对已给出的材料和信息对研究的对象进行观察、实验、比较、归纳和分析综合，作出符合一定规律与事实的推测性想象，从而发现一般规律.它是发现和认识规律的重要手段.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些猜想性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律.2、图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结图形变化所反映的规律。
第3章《字母表示数》好题集之探索规律
第3章《字母表示数》好题集之探索规律第3章《字母表示数》好题集之探索规律选择题1．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，其中a0a1a2均为0或1，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0+a1，h1=h0+a2．运算规则为：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，2．观察图表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有（）次．4．把在各个面上写有同样顺序的数字1～6的五个正方体木块排成一排（如图所示），那么与数字6相对的面上写的数字是（）5．（2009•营口）计算：31+1=4，32+1=10，33+1=28，34+1=82，35+1=244，…，归纳计算结果中的，猜测32009+16．（2006•安顺）探索以下规律：根据规律，从2006到2008，箭头的方向图是（）．CD ．7．如图，当有20个白色的点时，则黑色的点有（ ）8．（2004•烟台）如图“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A 沿道路中央走到终点B ，他共走了（ ）9．在一张日历上，任意圈出一个如图所示的正方形，则正确的等式是（）10．定义图形A ※B 是由图形A 与图形B 组成的图形，已知：．CD ．11．观察右图根据规律，从2008到2010，箭头方向依次为（）12．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…13．如图，搭一个三角形需要3根火柴，搭两个三角形需要5根火柴，搭三个三角形需要7根火柴，…，按这个规律，用2010根火柴可以搭成这样三角形的个数为（）14．根据下列图形的排列规律，第2010个图形是（）．C D．15．如图，△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任意一点，BE交AD于O．某同学在研究这一问题时，发现了如下事实：①当==时，有==；②当==时，有=；③当==时，有=；…；则当=时，=（）．C D．16．如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的后，得图③、④，…，记第n （n≥3）块纸板的周长为P n，则P n﹣P n﹣1等于（）．﹣．+填空题17．（2010•南宁）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…，第n个三角形数记为a n，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算，a100﹣a99=_________，a100=_________．18．（2009•朝阳）下列是有规律排列的一列数：…其中从左至右第100个数是_________．19．（2008•永春县）按一定的规律排列的一列数依次为：﹣2，5，﹣10，17，﹣26，…按此规律排下去，这列数中的第9个数是_________．20．（2008•烟台）表2是从表1中截取的一部分，则a=_________．1 2 3 4 5 6时，输出的数据是_________．22．（2006•临沂）判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍的和能否被7整除．如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除．如126，去掉6后得12，12+6×5=42，42能被7整除，则126能被7整除．类似地，还可通过看去掉该数的一节尾后与此一节尾的n倍的差能否被7整除来判断，则n=_________（n是整数，且1≤n＜7）．23．（2005•南宁）如图是与杨辉三角有类似性质的﹣三角形数垒，a、b、c、d是相邻两行的前四个数（如图所示），那么当a=8时，c=_________，d=_________．24．已知m≥2，n≥2，且m，n均为正整数，如果将m n进行如右下方式的“分解”，那么下列三个叙述：（1）在25的“分解”中最大的数是_________；（2）在43的“分解”中最小的数是_________；（3）若m3的“分解”中最小的数是31，则m等于_________．25．如图，圈中有6个数按一定的规律填入，后因不慎，一滴墨水涂掉了一个数，你认为这个数可能是_________．26．按规律填数：，，，，，_________．27．（2003•肇庆）观察下列等式：1=12，1+3=22，1+3+5=32，…根据观察可得：1+3+5+…+2n﹣1=_________（n 为正整数）．28．一长阶梯，每步跨2阶，最后剩下1阶；每步跨3阶，剩下2阶；每步跨5阶，剩下4阶；每步跨6阶，剩下5阶；每步跨7阶，刚好走完．问一共有_________阶．29．在十进制的十位数中，被9整除并且各位数字都是0或5的数有_________个．30．圆周上有n个点，它们分别表示n个互不相等的有理数，并且其中的任一数都等于它相邻两数的积，则n=_________．第3章《字母表示数》好题集之探索规律参考答案与试题解析选择题1．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，其中a0a1a2均为0或1，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0+a1，h1=h0+a2．运算规则为：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，2．观察图表，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有（）次．4．把在各个面上写有同样顺序的数字1～6的五个正方体木块排成一排（如图所示），那么与数字6相对的面上写的数字是（）5．（2009•营口）计算：31+1=4，32+1=10，33+1=28，34+1=82，35+1=244，…，归纳计算结果中的，猜测32009+16．（2006•安顺）探索以下规律：根据规律，从2006到2008，箭头的方向图是（）．CD ．7．如图，当有20个白色的点时，则黑色的点有（ ）8．（2004•烟台）如图“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A 沿道路中央走到终点B ，他共走了（ ）9．在一张日历上，任意圈出一个如图所示的正方形，则正确的等式是（）10．定义图形A※B是由图形A与图形B组成的图形，已知：．C D．11．观察右图根据规律，从2008到2010，箭头方向依次为（）12．将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，…13．如图，搭一个三角形需要3根火柴，搭两个三角形需要5根火柴，搭三个三角形需要7根火柴，…，按这个规律，用2010根火柴可以搭成这样三角形的个数为（）14．根据下列图形的排列规律，第2010个图形是（）．C D．项变化一次，又由于：15．如图，△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任意一点，BE交AD于O．某同学在研究这一问题时，发现了如下事实：①当==时，有==；②当==时，有=；③当==时，有=；…；则当=时，=（）．C D．∵，∴=．的中点，∴=，∴=．16．如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的后，得图③、④，…，记第n （n≥3）块纸板的周长为P n，则P n﹣P n﹣1等于（）．﹣．+选项的计算结果为填空题17．（2010•南宁）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…，第n个三角形数记为a n，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算，a100﹣a99=100，a100=5050．=18．（2009•朝阳）下列是有规律排列的一列数：…其中从左至右第100个数是．，个数，个数，个数可表示为：个数是19．（2008•永春县）按一定的规律排列的一列数依次为：﹣2，5，﹣10，17，﹣26，…按此规律排下去，这列数中的第9个数是﹣82．20．（2008•烟台）表2是从表1中截取的一部分，则a=18．那么，当输入数据是7时，输出的数据是．解得：所以输出的数据是故答案为22．（2006•临沂）判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍的和能否被7整除．如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除．如126，去掉6后得12，12+6×5=42，42能被7整除，则126能被7整除．类似地，还可通过看去掉该数的一节尾后与此一节尾的n倍的差能否被7整除来判断，则n=2（n是整数，且1≤n＜7）．23．（2005•南宁）如图是与杨辉三角有类似性质的﹣三角形数垒，a、b、c、d是相邻两行的前四个数（如图所示），那么当a=8时，c=9，d=37．+124．已知m≥2，n≥2，且m，n均为正整数，如果将m n进行如右下方式的“分解”，那么下列三个叙述：（1）在25的“分解”中最大的数是17；（2）在43的“分解”中最小的数是13；（3）若m3的“分解”中最小的数是31，则m等于6．25．如图，圈中有6个数按一定的规律填入，后因不慎，一滴墨水涂掉了一个数，你认为这个数可能是26或5．26．按规律填数：，，，，，．=27．（2003•肇庆）观察下列等式：1=12，1+3=22，1+3+5=32，…根据观察可得：1+3+5+…+2n﹣1=n2（n为正整数）．28．一长阶梯，每步跨2阶，最后剩下1阶；每步跨3阶，剩下2阶；每步跨5阶，剩下4阶；每步跨6阶，剩下5阶；每步跨7阶，刚好走完．问一共有119阶．29．在十进制的十位数中，被9整除并且各位数字都是0或5的数有9个．30．圆周上有n个点，它们分别表示n个互不相等的有理数，并且其中的任一数都等于它相邻两数的积，则n=6．，，，参与本试卷答题和审题的老师有：zhangCF；自由人；蓝月梦；心若在；hbxglhl；王岑；如来佛；sunlang；Linaliu；WWF；csiya；jpz；xingfu123；ln_86；zhehe；zhangbo；feng；wdyzwbf；lanchong；cook2360；开心（排名不分先后）菁优网2013年6月1日。
探索规律
当n = 2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有2种，若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；
当n = 3时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1，，2，，2五种，比n = 2时增加了3种，即S = 2 + 3 = 5。
情境2："一物生来真希奇，身穿三百多件衣，每天给它脱一件，年底只剩一张皮." 日历在我们生活中随处可见，它不仅让我们可以很直观地观察出我们需要的数据，其中还蕴涵着很多的数学知识。
（1）我们经常用到的日历中的数字之间都有哪些关系呢？
（2）日历上方框中的9个数字之和与方框正中间和数字有什么关系？
问题与情境
情境1：一首永远也唱不完的儿歌.
1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，1声扑通跳下水；
2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，2声扑通跳下水；
3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，3声扑通跳下水；
......
这样唱下去我们能唱完吗？ 能否用一种方式结束这首儿歌？利用刚学过的字母表示数进行数学建模，可以用一句话来概括"n只青蛙n张嘴，2n只眼睛4n条腿，n声扑通跳下水"。
⑵ 这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：
．
⑶ ① 若，a，b是自然数，则ab≤202＝400． ② 若a＋b＝40，则ab≤202＝400． ③ 若a＋b＝m，a，b是自然数，则ab≤． ④ 若a＋b＝m，则ab≤． ⑤ 若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝...＝an＋bn＝40．且| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥...≥| an－bn|，则 a1b1≤a2b2≤a3b3≤...≤ anbn． ⑥若a1＋b1＝a2＋b2＝a3＋b3＝...＝an＋bn＝m．且| a1－b1|≥|a2－b2|≥|a3－b3|≥...≥| an－bn|，
微专题一 有关代数式的规律探索
2.解答图形规律探索题的方法 数形结合是探求规律的常用方法:从简单图形入手,抓 住随着“编号”或“序号”增加时,后一个图形与前一 个图形相比的变化,通过类比、计算等方法找出数量上 的变化规律,从而推出一般性的结论,再验证所总结规 律的正确性.
【题组过关】
1.(2019·常德中考)观察下列等式:70=1,71=7,72=49,
【解析】(1)该多项式每一项中x的次数从10依次减少1, 每一项中y的次数从0依次增加1;所有项的次数均为 10,x次数为偶数时系数为1,为奇数时系数为-1. (2)根据规律可得第六项为:-x5y5,它的系数是-1,次数 是10. (3)这个多项式是10次11项式.
【类型二】 有关式的规律探索
【例2】(2018·云南中考)按一定规律排列的单项
式:a,-a2,a3,-a4,a5,-a6,…,第n个单项式是( C )
A.an
B.-an
C.(-1)n+1an
D.(-1)nan
【类型三】 有关图形的规律探索 【例3】(2018·绥化中考)将一些圆 按照如图方式摆放,从上向下有无数 行,其中第一行有2个圆,第二行有4 个圆,第三行有6个圆…按此规律排列下去,则前50行共 有圆___2__5_5_0___个.
微专题一 有关代数式的规律探索
【主干必备】 有关代数式的规律探索有数的规律、式的规律和
图形的规律探索等. 【微点警示】 探求规律运用从特殊到一般的数学思想 方法寻找规律.一般需要经过观察、计算、猜想、验证 等手段来完成.
【核心突破】 【类型一】有关数的规律探索 【例1】(2019·咸宁中考)有一列数,按一定规律排列 成1,-2,4,-8,16,-32,…,其中某三个相邻数的积是412, 则这三个数的和是___-_3_8_4___.
七年级数学探索规律专题(教师版)
探索规律【学习目标】1. 通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通过运算验证规律是否正确的过程；2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律是否正确；3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程.【要点梳理】要点一、规律探索型问题常见类型1、数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式.要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证. 2、图形规律根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律.要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想.3、数表规律解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先局部看，再整体找规律.要点二、规律探索型问题解题技巧1、抓住条件中的变与不变找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号. 2、化繁为简，形转化为数有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降低，问题也就容易解决了. 3、要进行计算尝试找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以，从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径. 4、寻找事物的循环节有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 【典型例题1】 类型一、数式规律1．在下列数列里，写出后面两个数：（1）1，10，3，13，5，16，7，19， ， ，… （2）2，5，6，10，18，20，54，40， ， ，… （3）4，16，36，64， ，144，196， ，…， （4）0，1，2，3，6，11，20， ， ，…（5）， ，，，，，，， ， ，….【对点演练1】观察下列各数：1，，，，…，按你发现的规律计算这列数的第6个数为（ ） A ． B ．C ．D ．【总结升华】（1）（2）（4）的第n 项不容易用一个代数式表示出来，（3）的第n 项为4n 2，（5）的第n 项为．1356-991312-17152118-25212924-143(1)3n n n+--【典型例题2】我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式：152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，…（1）根据上述格式反应出的规律填空：952= ；（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果；（3）这种简便计算也可以推广应用：个位数字是5的三位数的平方，请写出1952的简便计算过程及结果．【对点演练2】观察下面组成的图案和算式，解答问题：1+3=4=22；1+3+5=9=32；1+3+5+7=16=42；1+3+5+7+9=25=52；（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19= ；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）= .【总结升华】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“（a5）2=a ×（a+1）×100+25=100a（a+1）+25”．解决该题型题目时，根据给定等式子的变化，找出变化规律是关键．【典型例题3】用火柴棒按图中的方式搭图：(1) 填写下表：(2) 第N个图形需要多少根火柴？【对点演练3】从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有3个三角形（如图2）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有6个三角形（如图3）；……依次类推，则第N个图中共有个三角形？【总结升华】在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后2个复合、再3个复合……依次类推，数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏.【典型例题4】将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（m，n）表示第m排、从左到右第n个数，如（3，2）表示实数5．（1）图中（7，3）位置上的数；数据45对应的有序实数对是．（2）第2n行的最后一个数为，并简要说明理由．【对点演练4】根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字．【总结升华】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：每行数字的个数等于行数，而且奇数行的数字都是奇数，偶数行的数字都是偶数．【典型例题5】观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)：●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止，共有实心球个.【对点演练5】白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？2.如图，一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，则这串珠子被盒子遮住的部分有颗．【总结升华】解决此题的关键是找到规律：每10个球一组；第1，4，5为实心球，第2，3，6，7，8，9，10个为空心球．【巩固练习】一、选择题1．为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：n按照上面的规律，摆个“金鱼”需用火柴棒的根数为（）.A ．B ．C ．D ．2.请你观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a 、b 、 c 的值分别为（ ）.A ．20、29、30B ．18、30、26C ．18、20、26D ．18、30、28 3.从1开始得到如下的一列数：1，2，4，8，16，22，24，28，…其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（ ） A ．21 B ．22C ．23D ．994.伸出你的左手，从大拇指开始如图示那样数数：1，2，3，4……数到2013时，你数到的手指是（ ）.A.小指B.无名指C.中指D.食指 5.下列数据具有一定的排列规律：若整数2016位于第a 行，从左数第b 个数，则a+b 的值是（ ） A ．63 B ．126 C ．2015 D ．10026.已知整数，…满足下列条件：，，，，…，依此类推，则的值为（ ）.26n +86n +44n +8n 1234,,,a a a a 10a =211a a =-+322a a =-+433a a =-+2012a 1 2 3 4 5…2 4 6 810 …3 6 912 15 …4 812 16 20 …510 15 20 25… … … ……18 c3212 15 a 20 24 25 b表二表三表四 表一A.－1005B.－1006C.－1007D.－2012二、填空题7.古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是，2016是第个三角形数．8．有数组：（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），…，则第100组的三个数之和 .9. 一个用数字1和0组成的2003位数码，其排列规律是：101101110101101110……则这个数码中数字“0”共有个．10.观察下列等式：2＝2＝1×22＋4＝6＝2×32＋4＋6＝12＝3×42＋4＋6＋8＝20＝4×5……（1）可以猜想，从2开始到第n（n为自然数）个连续偶数的和是__________；（2）当n＝10时，从2开始到第10个连续偶数的和是_______________.11. 13+23=9=（1+2）2； 13+23+33=36=（1+2+3）2； 13+23+33+43=（1+2+3+4）2，…，则13+23+33+43+…+993+1003= .12. 在数学竞赛的颁奖会上，10位获奖者每位都相互握手祝贺，则他们共握了次手.如果有n位获奖者，则他们共握了次手.13.（2016•泉州）找出下列各图形中数的规律，依此，a的值为．三、解答题14．（2015•广东模拟）观察下列等式：第一个等式：a1 = = ﹣；第二个等式：a 2 == ﹣； 第三个等式：a 3 == ﹣； 第四个等式：a 4 ==﹣．按上述规律，回答以下问题：（1）用含n 的代数式表示第n 个等式：a n = = ﹣ ； （2）式子a 1+a 2+a 3+…+a 20= ﹣ ．15. 观察下面的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：⑴ 写出第五个等式，并在左边画出与之对应的图示；⑵ 猜想并写出与第n 个图形相对应的等式． 16. 用棋子摆出下列一组图形：（1）填写下表：111122=⨯+211122222+=⨯+⨯2111233322++=⨯+⨯21112344422+++=⨯+⨯……n（2）照这样的方式摆下去，写出摆第个图形棋子的枚数；（3）如果某一图形共有99枚棋子，你知道它是第几个图形吗？【答案与解析】一、选择题1．【答案】A；2．【答案】D；【解析】观察表一，寻找规律:每个数可以看成它所在的行数与列数的乘积，由表一得：12＝4×3,15＝5×3，a＝6×3=18；由表二得：20＝4×5,24＝4×6,25＝5×5，b＝5×6＝30；由表三得：18＝6×3,32＝8×4，c＝7×4＝28.3. 【答案】A．【解析】由题意知：1，2，4，8，16，22，24，28，…由此可知，每4个数一组，后面依次为36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，故小于100的个数为：21个.4．【答案】A；【解析】从大拇指到小指再到食指的过程堪称一个循环，一个循环就是8，∵2013÷8=251…5，余数是5，所以是从大拇指开始第五个，就是小指.5. 【答案】B；【解析】解：设第n行中最大的数为a n（n为正整数），观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=1+2+3=6，…，∴a n=1+2+…+n=．令a n≤2016，即≤2016，解得：﹣64≤n≤63．∴1≤n≤63，即整数2016为63行的最后一个数．∴a+b=63+63=126．6. 【答案】B；【解析】解：a 1=0，a 2=－|a 1＋1|=－|0+1|=－1， a 3=－|a 2＋2|=－|－1＋2|=－1， a 4=－|a 3＋3|=－|－1＋3|=－2， a 5=－|a 4＋4|=－|－2＋4|=－2， …，所以，n 是奇数时，a n =，n 是偶数时，a n =， a 2012＝． 二、填空题 7.【答案】45，63．【解析】第9个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+…+n=2016，n （n+1）=4032，解得：n=63．故答案为：45，63．8．【答案】1010100；【解析】观察可得：第一个数表示序列号，第二数是序列号的平方，第三个数是序列号的立方，所以第100组数是（100，1002，1003）.9．【答案】668； 【解析】，“0” 的个数：.10.【答案】（1）n （n ＋1）； （2）110 . 11.【答案】50502；【解析】从给出的三个条件式子中不难发现各式的特点：从1开始的几个连续自然数的立方和，等于这几个数的和的平方.不难找到第N 个式子为： 13+23+33+……+N 3=（1+2+3+……+N ）2．因此，13+23+33+43+……+993+1003＝（1+2+3+4+……+99+100）2＝50502．12．【答案】45，； 【解析】. 13.【答案】226.【解析】解：根据题意得出规律：14+a=15×16，解得：a=226；12n --2n-201210062-=-200392225÷=32222668⨯+=(1)2n n -109452⨯=故答案为：226．三、解答题14.【解析】解：（1）a n == ﹣；（2）a 1+a 2+a 3+…+a 20=﹣+﹣+﹣+…+﹣= ﹣．故答案为，﹣；﹣．15．【解析】解：（1），图示如下：（2）与第n 个图形相对应的等式：.16. 【解析】解：（1）（2） 3（n +1）（3） 3（n +1）=99， n=32，是第32个图形.211123455522++++=⨯+⨯21112322n n n ++++=+。
第三章 代数式重点题型 归纳法在探究规律中的应用(课件)人教版(2024)数学七年级上册
满分题溯源
例 2 观察下列各数:0，3，8，15，24， …，按此规律写出第100 个数
是__9_9_9_9__，第n 个数是 __n_2_－__1_.
解题秘方：解答本题可以先找出一般规律，然后使用这个规律 计算出第100 个数，最后写出第n 个数. 解：给出的数:0，3，8，1 5 ，2 4 ，…序列号:1 ，2 ，3 ，4 ， 5，…容易发现，已知的每一个数都等于它的序列号的平方减1 . 因此，第100 个数是1002－1 =9999 ，第n个数是n2－1 .
猜想第 个等式为_n_·_n_＋n__1_=_n_－__n_＋_n_1_.(用含n 的代数式表示)
解：观察相应位置上变化的数字与序号的对应关系，易得出 第n 个等式为n·n＋n 1=nn－＋n1.
满分题溯源
题 型 2 图形规律探究
由结构类似，多少和位置不同的几何图形组成的图案 的图形的个数之间也有一定的规律可循，并且还可以用一 个通用的式子来表示, 这类题的解决思路有两种: 一种是数 图形，将图形规律转化为数字规律，然后用“观察法”解 决；另一种是通过图形的直观性，从图形中直接寻找规律， 常用“拆图法”解决.
{3，4} 九种取法，则k=5＋3＋1=9=642；依次类推，当n 为偶数时， k=(n－1)＋(n－3)＋… ＋5＋3＋1= n42，故当n=24时，k=23＋21＋ 19＋… ＋5＋3＋1= 2442=144.
满分题溯源
题 型 1 数式规律探究
例 1 探索规律:31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…， 则32 025 的个位数字是____3___. 解：通过观察个位数字的规律，找出哪几个数字为一 组进行循环，然后用指数除以循环组内数字的个数， 结果余几，就和循环组内的第几个数字相同，易得 出 32025 的个位数字是 3.
代数式之规律性问题
规律探索型问题1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题.2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容.3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合.4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题.解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确.考点1数字猜想型问题【例1】（2013·常德）小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：3－2=1；8＋7－6－5=4；15＋14＋13－12－11－10=9；24＋23＋22＋21－20－19－18－17=16；……根据以上规律可知第100行左起第一个数是___.考点2数式规律型问题【例3】（2013·遂宁）为庆祝六一儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示：按照上面的规律，摆第n图，需用火柴棒的根数为.探索数量规律题常用的方法试题(1)(2012·桂林) 下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是________．(2)(2012·黔东南) 如图，第①个图有2个相同的小正方形，第②个图有6个相同的小正方形，第③个图有12个相同的小正方形，第④个图有20个相同的小正方形…按此规律，那么第○n 个图有________个相同的小正方形．(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，第9个图形由________个圆组成．规范答题解析(1)根据每一个图形都是一个正方形和右边的一个矩形构成，得到左边的正方形中小正方形的个数和右边的矩形中的正方形的个数的和即可．仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，分别为：第1个图有：1＋3个；第2个图有：4＋4个；第3个图有：9＋5个；……故第n个图有：n2＋(n＋2)个．(2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．第①个图有2个相同的小正方形，2＝1×2；第②个图有6个相同的小正方形，6＝2×3；第③个图有12个相同的小正方形，12＝3×4；第④个图有20个相同的小正方形，20＝4×5；……按此规律，第○n 个图有n(n＋1)个相同的小正方形．(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．观察分析可得：第1个图有1个圆；第2个图由7个圆组成，7＝1＋6；第3个图由19个圆组成，19＝1＋6＋2×6；……故第9个图由1＋6＋2×6＋3×6＋…＋8×6＝1＋(1＋2＋3＋…＋8)×6＝217个圆组成．2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．第①个图有2个相同的小正方形，2＝1×2；第②个图有6个相同的小正方形，6＝2×3；第③个图有12个相同的小正方形，12＝3×4；第④个图有20个相同的小正方形，20＝4×5；……按此规律，第○n 个图有n(n＋1)个相同的小正方形．(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．观察分析可得：第1个图有1个圆；第2个图由7个圆组成，7＝1＋6；第3个图由19个圆组成，19＝1＋6＋2×6；……。
2.1.3 列代数式(课件)七年级数学上册(华东师大版2024)
（2）3
（3）
30
3+2
5
（4）
【详解】解：1）某款价格为元的钢笔在“双十一”降价20%后的售价是 1 − 20% ；
（2）一个边长为米的正方体钢块的体积是3 立方米；
30
（3）在一次募捐活动中，某班30名同学共捐款元，则平均每个同学捐款 元；
（4）巧克力糖每千克元，奶油糖每千克元，用3千克巧克力糖和2千可奶油糖混合成5千克混合糖，则这样
m2＋n2
（3）x，y两数的平方和减去它们积的2倍． x2＋y2－2xy
课堂测试
6．（22-23七年级下·广东梅州·开学考试）体育委员小金带了500元钱去买体育用品，已知一个足球
x元，一个篮球y元．则代数式 500 − 2 − 3 表示的实际意义为？体育委员买了2个足球、3个篮球，
剩余的经费？
【详解】解：∵体育委员小金带了500元钱去买体育用品，一个足球x元，一个篮球y元，
∴500 − 2 − 3表示体育委员小金买了2个足球、3个篮球后，剩余的经费；
体育委员买了2个足球、3个篮球，剩余的经费为 500 − 2 − 3 元．
7. 请你结合自身生活实际，设计具体情境，解释下列代数式的意义：
n+1
__________；
2n-2
（2）连续三个偶数，中间一个是2n，则第一个和第三个偶数分别是__________、
2n+2
__________.
课堂测试
2．（23-24七年级上·北京丰台·期末）对于式子“ + ”可以赋予实际意义：一个篮球
的价格是m元，一个足球的价格是n元，体育老师购买一个篮球和一个足球共需要付
款 + 元，请你对式子“2”赋予一个实际意义：
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挑战你自己
1.代数式
|x| - 5 ________
x
0 ； 中，x不能取的值是____
x _________
中， x 不能取得值是 _____________. +5 与 -5 |x| - 5
10 2.已知x+y=5,求2(x+y)² - ——— - (x+y)+1的 x+y 44 _________ 值为
＞200 yes 输出结果
当 n 21 时,
nn 1 21 22 231 2 2
挑战自我
1.若a+b=-1,求代数式 (1)a+b+2; (2)3a+3b的值.
解:∵a+b=-1 ∴a+b+2=(-1)+2=1
相同的代数式可以 看作一个整体—— 整体代换.
解:∵a+b=-1 ∴3a+3b+2=3(a+b)+2=3x(-1)+2 =-1
30 ……(第n个数)_____ 6n ② 6,12,18,24, ___ 32 6n+2 变式8,14,20,26,____„„( 第n个数)_______
活动 一
日历中相 邻三个日 期数的关 系和变化 规律是什 么?
后面的数比前面的数多1
请用字母表示这一关系
勇往直前
日历中相 邻三个日 期数的关 系和变化 规律是什 么?
a+b a+b 4(a-b) 3.已知 —— =3，则代数式 —— - —— 的 a-b a-b a+b
5 3 值为________
——
练习：
(1)若 x 1 5，则 x 1 1 24 ；
2
(2) 若 x 5 y 4 ，则 2 x 7 10y 15 ； (3) 若 x 3x 5 4 ，则 2 x 2 6 x 10 8
练习:某种药品的数量与总价关系如下表：
数量(克) 总价(元)
1 2 3
2.1 =2+0.1 4.1 =4+0.1 6.1 =6+0.1 =8+0.1
4
……
8.1
……
写出药品数量x（克）与总价y（元）之间的关系。 y=2x+0.1
1、你能搭出其他图形吗？并解决类似的 问题？
n个三角形呢？
n层
呢？
2、下面的图形是由边长为1的正方形按照 某种规律排列而组成的．
解:当 n=8时,共有8×(8+3) ÷2=44根
n(n+3) 2
……
按下图方式摆放餐桌和椅子：
10 （1）1张餐桌可坐6人，2张餐桌可4+4+2 人。 （2）按照上图的方式继续排列餐桌，完成下表： 桌子张数 3 4 5 6 ……
可坐人数
4+4 4+4 14 +4+4 18 +4+2 +2
4+4 4+4+4 22 26 +4+4 +4+4+4 +4+2 +2
（３）在求值时，原来省略的乘号要添上 （ 4 ）若代入 的是负数或分数，必须加上括号。
你读懂了吗?
按右边图示的程序计算，若 开始输入的n值为3，则最后 231 输出的结果是 。 输入n 计算 的值 no
当n 3 时,
nn 1 3 4 6 2 2
当n 6 时,
nn 1 6 7 21 2 2
桌子 张数 可坐 人数
1
2
3 4
5 …
n
6 10 1418 22 …
……
4 +4 +4 +4
n张餐桌可坐 (4n+2) 人
练一练（2）：
如图是2002年 6月的日历。现用 一个矩形在日历 中任意框出4个数，
a b c d
请你用一个等式表 示a、b、c、d之 间的关系： 。
a+d=b+c a-c=b-d
xy 2 3 1 ab 2
5.用代数式表示： a与b的平方的和
.
例 结合你的生活经验对下列代数式作出 具体解释： （ 1）a – b (2) ab
解：(1) 今年小明b岁，小明的爸 爸a岁，小明比他爸爸小(a – b) 岁; (2) 长方形的长为a厘米，宽为b 厘米，长方形的面积是ab平方厘 米
1 8 15 22 29
2 9 16 23 30
3 10 17 24 31
4 11 18 25
5 12 19 26
a-8 a-7 a-6
a-1
a
a+1
a+6 a+7 a+8
(a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+
9a (a+1)+(a+6)+(a+7)+(a+8) = ______
活动 二
例１.当a=3,b= -1时，求下列各代数式的值。 (1)(a+b)² , (2) a²+2ab+b² , (3) (a-b)² , (4) a²-2ab+b²
解:(1)当a=3,b= -1时，
(a+b)² =[3+ (-1 )]² =2² =4
(2)当a=3,b=
-1时， a² +2ab+b² =3² +2×3× (-1)+(-1)² =9+(-6)+1= 4
整体带入法
例1、若 x 2 y
2
5
的值为7，求代数式 3x 6 y
2
2
4
的值。
解：由已知
x 2 y 5 7 ，则
2
2
x 2y2 2
3x 6 y 4 =3 x 2 y +4（逆用乘法分配律）
3 2 4 10
例2、若2b-a=5，求代数式5(a-2b)2-3(a-2b)-60的值。 解：∵2b-a=5，∴a-2b=-5 ∴ 5(a-2b)2-3(a-2b)-60=5×(-5)2-3×(-5)-60 =125+15-60 =80
(3) 、除法察，按规律填空： （1）、1，2，3，4， 5
，
（2）、2，4，6，8， 10
（3）、1，4，7，10， 13
，
，
2、找规律
n 32 2 ① 2,4,8,16,___……(第n个数)_____ 33 ……(第n个数)_____ 2n+1 变式3,5,9,17, ___
3、研究下列算式，你发现了什么规律？ 用字母表示这个规律. 1×3+1=22； 2×4+1=32； 3×5+1=42； 4×6+1=52； „„„„„ 用n表示自然数,规律 2 n(n+2)+1=(n+1) 是： 。
4、
请你推断第7个数是
43 64
。
这节课你有什么收获？
请和你的同桌进行交流。
探索规律时遇到挫折，你会怎么办？ 作业：
用火柴棒按下图的方式搭三角形.
填写下表:
三角形 个数 火柴棒 根数
1 3
2 5
3 7
4
5
…
…
n
9 11
1+2 3
+2
+2 +2
1 2
+2
+2
3 4 5 … … n
三角形个数 火柴棒根数
3
5
7
9 11
火柴棒根数
2n+1
三角形个数
1 2 3 4 5
…
3=1+2 5=1+2+2 7=1+2+2+2 9=1+2+2+2+2 11=1+2+2+2+2+2
代数式
-----探索规律
越体数 来操学 越，是 聪它思 明使维 。人的
课前检测(5分钟)
1.按正确书写要求书写代数式
(m n) (m n) a(1 10%)
2.一个两位数的个位数字是a，十位数字是b，请用代数式表 示这个两位数.
3.用代数式表示：数a的倒数与b的差的3倍为 4.代数式 (a–b)² 的意义是________________. .
（1）观察图形，填写下表：
图形
正方形的个数
①
8
②
③
13
18
（2）推测第n个图形中，正方形的个数为________ (用含n的代数式表示)．
3、观察下面一列数：1，2，3，4，5，6， 7，．．．，将这列数排成下列形式： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … … …… … …… … …… … 按照上述规律排下去，那么第10行从左边第9 个数是_______.
n
…… 1+2n =1+2+2+2+2+2+2+…+2
做题方法
探索规律的一般步骤：
观 察 特 例 猜 想 规 律 表 示 规 律 验 证 规 律
试一试
1、按左图方式摆放餐桌和椅子 6 人; (1) 1张餐桌可坐___
10 人. 2张餐桌可坐___ (2) 按照左图的方式继续排列 餐桌,完成下表:
解:(1)当a=3,b= -1时， (a+b)² =[3+(-1)]² = 2² =4 (2)当a=3,b= -1时， a² +2ab+b² =3² +2×3× (-1)+(-1)² =9+(-6)+1= 4