(同步精品课堂)高中数学第三章空间向量与立体几何单元检测新人教A版选修21

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高中数学第三章空间向量与立体几何单元测试新人教A版选修2-1(2021年最新整理)

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第三章空间向量与立体几何一、选择题1．若A (0，－1，1）,B （1,1，3），则｜AB ｜的值是( ）． A ．5B ．5C ．9D ．32．化简AB ＋CD －CB －AD ，结果为( )． A ．0B ．ABC ．ACD ．AD3．若a ,b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不成立的是( ）．A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ）B ．(a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·cC ．m (a ＋b ）＝m a ＋m bD ．（a ·b ）·c ＝a ·(b ·c )4．已知a ＋b ＝（2,－1，0），a －b ＝（0，3，－2)，则cos<a ,b 〉的值为( )． A ．31B ．－32C ．33D ．37 5．若P 是平面外一点，A 为平面内一点,n 为平面的一个法向量，且〈PA ，n 〉＝40º，则直线PA 与平面所成的角为（ )．A ．40ºB ．50ºC ．40º或50ºD ．不确定6．若A ,B ,C ，D 四点共面，且0 ＝＋ 3＋ 2＋ OD x OC OB OA ，则x 的值是( ）． A ．4B ．2C ．6D ．－67．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝5,∠BAD ＝90º，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60º，则AC 1的长等于( )．A ．85B ．50C ．85D ．528．已知向量a ＝（2，－1，3），b ＝(－4,2，x )，c ＝(1,－x ,2），若(a ＋b ）⊥c ，则x 等于（）． A ．4 B ．－4C ．21D ．－69．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，考虑下列命题 ①（A A 1＋11D A ＋11B A ）2＝3（11B A )2;②C A 1·（11B A －A A 1）＝0；③向量1AD 与向量B A 1的夹角为60º；④正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积为｜AB ·1AA ·AD |．错误命题的个数是( )． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．已知四边形ABCD 满足AB ·BC ＞0,BC ·CD ＞0，CD ·DA ＞0，DA ·AB ＞0，则该四边形为( )．A ．平行四边形B ．梯形C ．任意的平面四边形D ．空间四边形二、填空题11．设a ＝（－1，1,2),b ＝（2，1，－2),则a －2b ＝．12．已知向量a ，b ,c 两两互相垂直,且|a ｜＝1，｜b ｜＝2,｜c ｜＝3，s ＝a ＋b ＋c ，则|s ｜＝．13．若非零向量a ，b 满足｜a ＋b ｜＝｜a －b ｜，则a 与b 所成角的大小． 14．若n 1，n 2分别为平面，的一个法向量,且<n 1,n 2〉＝60º,则二面角－l －的大小为．15．设A （3，2，1)，B （1，0，4）,则到A ，B 两点距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标x ，y ，z 应满足的条件是．16．已知向量n A A 1＝2a ，a 与b 夹角为30º，且｜a |＝3，则21A A ＋32A A ＋…＋n n A A 1 在向量b 的方向上的射影的模为．三、解答题17．如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是平行四边形，O 是B 1D 1的中点．求证：B 1C //平面ODC 1．18．如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱垂直于底面,底边CA＝CB＝1，∠BCA＝90º，棱AA1＝2，M,N分别是11BA、AA1的中点．(1）求·MC1；(2）求cos<1BA,1CB>．19．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．ACBA1C1B1NM（第18题）A BA1B1D CD1C1O（第17题）(1)证明：D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离; (3)AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4．20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ,∠DAB 为直角，AB //CD ，AD ＝CD ＝2AB ，E ,F 分别为PC 、CD 中点．(1)试证：CD ⊥平面BEF ；(2）设PA ＝k ·AB ，且二面角E —BD —C 的平面角大于30º，求k 的取值范围．ABA 1D B 1C D 1C 1E（第19题）BACPE FD（第20题）参考答案一、选择题 1．D 2．A 3．D4．B解析：两已知条件相加，得 a ＝（1，1,—1），再得 b ＝（1，－2，1），则 cos 〈，•＝－32． 5．B 6．D 7．C 8．B 9．B10．D解析：由·＞0得∠ABC ＞90º,同理，∠BCD ＞90º，∠CDA ＞90º，∠DAB ＞90º，若ABCD 为平面四边形，则四个内角之和为360º，这与上述得到结论矛盾，故选D ．二、填空题11．(－5，－1，6）． 12．14． 13．90°．14．60º或120º． 15．4x ＋4y －6z ＋3＝0． 16．3．三、解答题17．提示:∵C B 1＝D A 1＝11C A ＋D C 1＝21OC ＋D C 1． ∴ 直线B 1C 平行于直线OC 1与C 1D 所确定的平面ODC 1． 18．(1）0．提示：可用向量计算,也可用综合法得C 1M ⊥BN ,进而得两向量数量积为0．（2）1030．提示：坐标法，以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ,z 轴．19．(1）提示：以D 为原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴,可得1DA ·D 1＝0．(2)31．提示：平面ACD 1的一个法向量为n 1＝(2，1，2），d ＝11n n | |1·E D ＝31．（3）2－3．提示：平面D 1EC 的一个法向量为n 2＝（2－x ，1，2)（其中AE ＝x ），利用cos 4x ＝2－3．20．（1)提示:坐标法，A 为原点,直线AD ,AB ，AP 分别为x ，y ，z 轴． (2）k ＞15152．提示：不妨设AB ＝1,则PA ＝k ，利用cos<n 1，n 2>＜23，其中n 1,n 2分别为面EBD ，面BDC的一个法向量．。

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（同步精品课堂）高中数学第三章空间向量与立体几何单元检测新人教A 版选修21第三章空间向量与立体几何单元测试【满分：150分时间：120分钟】第Ⅰ卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．（2019年和平区期中）与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，1B ．(－1，－3,2)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1 D ．()2，－3，－22【答案】C [a ＝(1，－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－1.]2．（2018年东莞市模拟）在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，A 1F →＝12A 1C 1→，AF →＝xAA 1→＋y (AB →＋AD →)，则( )A ．x ＝1，y ＝12B ．x ＝1，y ＝13C ．x ＝12，y ＝1D ．x ＝1，y ＝14【答案】A [AF →＝AA 1→＋A 1F →＝AA 1→＋12A 1C 1→＝AA 1→＋12AC →＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，∴x ＝1，y ＝12.应选A ．]3．（2019年绍兴模拟）已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【答案】B [a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)， ∴a ＋b ＝(－5,9，－2)．]4．（2019年潍坊模拟）已知点A (1,2,1)，B (－1,3,4)，D (1,1,1)，若AP →＝2PB →，则|PD →|的值是( )A ．13B ．23C ．773D ．63【答案】C [设P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －1，y －2，z －1)， PB →＝(－1－x,3－y,4－z )，由AP →＝2PB →知x ＝－13，y ＝83，z ＝3，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，83，3.由两点间距离公式可得|PD →|＝773.]5．（2019年海南期中）在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A ．AB →＝－C 1D 1→ B ．AB →·BC →＝0 C ．AA 1→·B 1D 1→＝0D ．AC 1→·A 1C →＝0【答案】D [如图，AB →∥C 1D 1→，AB →⊥BC →，AA 1→⊥B 1D 1→，故A ，B ，C 选项均正确．]6．（2019年宣城模拟）设▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于E ，P 为空间任意一点，如图1所示，若PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝xPE →，则x ＝( )图1A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】C [∵E 为AC ，BD 的中点， ∴由中点公式得PE →＝12(PA →＋PC →)，PE →＝12(PB →＋PD →)．∴PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PE →.从而x ＝4.]7．（2019年芮城县期末）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A ．627B ．637C ．647D ．657【答案】D [∵a ，b ，c 三向量共面，则存在不全为零的实数x ，y ，使c ＝x a ＋y b ，即(7,5，λ)＝x (2，－1,3)＋y (－1,4，－2) ＝(2x －y ，－x ＋4y,3x －2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7，－x ＋4y ＝5，3x －2y ＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337，y ＝177.∴λ＝3x －2y ＝657.]8．（2018年兴庆区期末）若向量a ＝(x,4,5)，b ＝(1，－2,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( ) A ．3 B ．－3 C ．－11D ．3或－11【答案】A [因为a·b ＝(x,4,5)·(1，－2,2)＝x －8＋10＝x ＋2，且a 与b 的夹角的余弦值为26，所以26＝x ＋2x 2＋42＋52×1＋4＋4，解得x ＝3或－11(舍去)，故选A ．] 9．（2019年珠海期中）若直线l 的方向向量为(2,1，m )，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，且l ⊥α，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】C [∵l ⊥α，∴直线l 的方向向量平行于平面α的法向量．∴21＝112＝m2.∴m＝4.]10．（2019年海南期中）直三棱柱ABCA1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C[建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，∴BA1→＝(－1,0,1)，AC1→＝(0,1,1)，∴cos〈BA1→，AC1→〉＝BA1→·AC1→|BA1→||AC1→|＝12×2＝12.∴〈BA1→，AC1→〉＝60°，即异面直线BA1与AC1所成角为60°.]11．（2019年分宜县月考）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A．23B．33C．23D．13【答案】A[以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则DC→＝(0,1,0)，DB→＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC 1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·DC→|n ||DC →|＝23.] 12．（2019年宁波模拟）在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A BD P 的大小为( )A ．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】A [如图所示，建立空间直角坐标系，则PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453，BD →＝(－3,4,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·PB →＝0，n ·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，－453＝0，(x ，y ，z )·(－3，4，0)＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，34，543.又n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 〉＝n 1·n |n 1||n |＝32，∴所求二面角为30°.]第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．（2019年和平区期中）已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′，则下列三个式子中：①AB →－CB →＝AC →； ②AA ′→＝CC ′→；③AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝AC ′→. 其中正确的有________．【答案】①② [①AB →－CB →＝AB →＋BC →＝AC →，正确；②显然正确；③AB →＋BB ′→＋BC →＋C ′C →＝(AB →＋BC →)＋(BB ′→＋C ′C →)＝AC →＋0≠AC ′→，错误．]14．（2019年三明模拟）若向量m ＝(－1,2,0)，n ＝(3,0，－2)都与一个二面角的棱垂直，则m ，n 分别与两个半平面平行，则该二面角的余弦值为________．【答案】－36565或36565 [∵cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－1×3＋2×0＋0×(－2)5×13＝－36565.∴二面角的余弦值为－36565或36565.]15．（2019年海定县月考）如图2正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是平面A 1B 1C 1D 1的中心，则BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为________.图2【答案】36 [建立坐标系如图，则B (1,1,0)，O ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，DA1→＝(1,0,1)是平面ABC 1D 1的一个法向量．又OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，－1，∴BO 与平面ABC 1D 1所成角的正弦值为|cos 〈OB →，DA 1→〉| ＝|OB →·DA 1→||OB →|·|DA 1→|＝1262×2＝36.] 16．（2019年浙江模拟）设动点P 在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B＝λ，当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A (1,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，设P (x ，y ，z )，则D 1P →＝(x ，y ，z －1)，D 1B →＝(1,1，－1)，由D 1P →＝λD 1B →，得(x ，y ，z －1)＝λ(1,1，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ＝λz －1＝－λ即P (λ，λ，1－λ)，∴PA →＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝(－λ，1－λ，λ－1)，由PA →·PC →<0得－2λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，解得13<λ<1.由题意知PA →与PC →所成的角不可能为π，故13<λ<1.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（2018年太原模拟）(本小题满分10分)如图3，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 是正方形，CC 1＝3，CD ＝2，且∠C 1CB ＝∠C 1CD ＝60°.图3(1)设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，试用a ，b ，c 表示A 1C →； (2)已知O 为四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的中心，求CO 的长. 【答案】 (1)由CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，得CA 1→＝a ＋b ＋c ，所以A 1C →＝－a －b －C ．(2)O 为四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的中心，即O 为线段A 1C 的中点．由已知条件得|a |＝|b |＝2，|c |＝3，a ·b ＝0，〈a ，c 〉＝60°，〈b ，c 〉＝60°. 由(1)得CA 1→＝a ＋b ＋c ，则|CA 1→|2＝CA 1→2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos 60°＋2×2×3×cos 60°＝29.所以A 1C 的长为29，所以CO 的长为292. 18．（2019年梅州模拟）(本小题满分12分)如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD ．图4(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .【答案】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0，即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D ．故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA →＝(1,0,0)，AB →＝(0,0,1)，AQ →＝(0,1,0)，故有DA →·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA →为平面BAQ 的一个法向量．又因为PC→＝(0，－2,1)，且DA→·PC→＝0，即DA⊥PC，且PC⊄平面BAQ，故有PC∥平面BAQ.19．（2019年汉中模拟）(本小题满分12分)如图5所示，已知点P在正方体ABCDA′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.图5(1)求DP与CC′所成角的大小．(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．【答案】(1)如图所示，以D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA＝1.则DA→＝(1,0,0)，CC′→＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设DH→＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈DH→，DA→〉＝60°，由DA→·DH→＝|DA→||DH→|cos〈DH→，DA→〉，可得2m＝2m2＋1.解得m＝22，所以DH→＝⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1.因为cos〈DH→，CC′→〉＝22×0＋22×0＋1×12×1＝22，所以〈DH→，CC′→〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)，因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.20．（2019年湖南期末）(本小题满分12分)如图6，AB 是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．图6(1)求证：平面PBC ⊥平面PAC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，PA ＝1，求二面角C PB A 的余弦值．【答案】(1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ，由PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得PA ⊥BC ．又PA ∩AC ＝A ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ．因为BC ⊂平面PBC ．所以平面PBC ⊥平面PAC ．(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC ．如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝ 3. 又因为PA ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)．故CB →＝(3，0,0)，CP →＝(0,1,1)．设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ CB →·n 1＝0，CP →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)．因为AP →＝(0,0,1)，AB →＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1, 3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图知二面角C PB A 为锐角，故二面角C PB A 的余弦值为64. 21．（2019年思明区月考）(本小题满分12分)如图7，在棱长为2的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．图7(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【答案】以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)，BC 1→＝(－2，0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE →＝(1,1,0)．(1)证明：当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)，因为BC 1→＝(－2,0,2)．所以BC 1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ，而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0，于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角，则m·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角．22．（2019年大兴区期末）(本小题满分12分)如图8，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.图8(1)求证：AA 1⊥平面ABC ； (2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．【答案】 (1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC ．因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC ． (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB ．由题意知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC ．如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)．所以A 1B →＝(0,3，－4)，A 1C 1→＝(4,0,0)．设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以平面A 1BC 1的一个法向量为n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的一个法向量为m ＝(3,4,0)．所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题意知二面角A 1BC 1B 1为锐角，所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为1625.(3)证明：假设D (x 1，y 1，z 1)是线段BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→(λ∈[0,1])，所以(x 1，y 1－3，z 1)＝λ(4，－3,4)．解得x 1＝4λ，y 1＝3－3λ，z 1＝4λ，所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)．由AD →·A 1B →＝0，得9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ．此时BD BC 1＝λ＝925.。

高中数学第三章空间向量与立体几何单元综合测试(含解析)新人教A版选修2-1

单元综合测试三（第三章）时间:90分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题,共60分）一、选择题(每小题5分，共60分)1．与向量a＝(1,－3,2)平行的一个向量的坐标可以是( C )A.错误!B．(－1，－3，2）C。

错误!D．（错误!，－3，－2错误!)解析:a＝（1，－3，2)＝－2错误!。

2．如图所示,在平行六面体ABCD。

A1B1C1D1中，已知错误!＝a,错误!＝b,错误!＝c，则用向量a，b,c表示向量错误!为( D )A．a＋b＋cB．a－b＋cC．a＋b－cD．－a＋b＋c解析：错误!＝错误!＋错误!＋错误!＝－a＋b＋c.3．已知a＝（2，－1,3),b＝（－4，2，x），c＝(1，－x，2）,若(a＋b）⊥c,则x 等于（ B ）A．4 B．－4C。

错误!D．－6解析：a＋b＝（－2，1，3＋x）,∵（a＋b)⊥c，∴(a＋b)·c＝0,∴－2－x＋2(3＋x）＝0，得x＝－4。

4．若a＝(1,λ,2），b＝（2,－1，2),且a，b的夹角的余弦值为错误!，则λ等于（ C ）A．2 B．－2C．－2或错误!D．2或－错误!解析：a·b＝2－λ＋4＝6－λ＝错误!×3×错误!.解得λ＝－2或错误!.5．已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别是AB、AD、DC 的中点,则a2是下列哪个选项的计算结果( C ）A．2错误!·错误!B．2错误!·错误!C．2错误!·错误!D．2错误!·错误!解析：2错误!·错误!＝－a2，A错;2错误!·错误!＝－a2，B错;2错误!·错误!＝－错误!a2，D错;只有C对．6．若A（x,5－x,2x－1）,B（1，x＋2,2－x），当｜错误!|取最小值时，x的值等于（ C ）A．19 B．－错误!C。

错误! D。

错误!解析：错误!＝（1－x，2x－3,－3x＋3），则|错误!｜＝错误!＝错误!＝错误!,故当x＝错误!时,|错误!|取最小值,故选C.7．已知ABCD，ABEF是边长为1的正方形,FA⊥平面ABCD，则异面直线AC与EF所成的角为（ B ）A．30°B．45°C．60°D．90°解析：∵错误!＝错误!＋错误!,四边形ABCD，ABEF均为正方形，∴错误!·错误!＝（错误!＋错误!）·错误!＝－错误!·错误!＋错误!2＝1。

高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角线面角二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线是异面直线，过空间一点分别作直线的平行线，我们把直线所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角，或异面直线的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体中，求：（1）异面直线与所成的角；（2）与所成的角．解：（1）因为，而，所以，即与所成角为．（2）如下图，连接，，因为，所以与所成的角即为与所成的角．又，所以为正三角形，所以和所成的角为，即与所成的角为．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线与平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱、面分别为，的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在，内（棱以外的半平面部分）分别取点，，将这个二面角记作二面角．如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体中，，，，分别是，，和的中点．（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正切值．解：（1）因为，均为所在棱的中点，所以．而，所以．又因为，均为所在棱的中点，所以和均为等腰直角三角形．所以，所以，，故．而，所以．（2）在平面中，过点作于点，连接．由（1）知，又，所以．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。

(新课程)高中数学《第三章空间向量与立体几何》模块检测新人教A版选修2-1

8 模块检测(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p ：若x 2＋y 2＝0(x ，y ∈R )，则x ，y 全为0；命题q ：若a >b ，则1a <1b.给出下列四个复合命题：①p 且q ；②p 或q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析命题p 为真，命题q 为假，故p ∨q 真，綈q 真．答案 B2．“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时，cos 2α＝cos(4k π＋π3)＝cos π3＝12. 反之当cos 2α＝12时，有2α＝2k π＋π3(k ∈Z )⇒α＝k π＋π6(k ∈Z )，或2α＝2k π－π3(k ∈Z )⇒α＝k π－π6(k ∈Z )，故应选A. 答案 A3．若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( )．A ．b ＝(1，0，0)，n ＝(－2，0，0)B ．b ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1)C ．b ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1)D ．b ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)解析若l ∥α，则b·n ＝0.将各选项代入，知D 正确．答案 D4．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是 ( )．。

(同步精品课堂)高中数学第三章空间向量与立体几何单元小结练习新人教A版选修21

（同步精品课堂）高中数学第三章空间向量与立体几何单元小结练习新人教A 版选修21第三章空间向量与立体几何单元小结[核心速填]1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)重要结论：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．模、夹角和距离公式(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则①|a |＝a ·a②cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝(2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2(k ∈R )．(2)设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0.5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.(3)求二面角的大小：(ⅰ)如图31①，AB ，CD 是二面角αl β的两个半平面α，β内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．图31(ⅱ)如图31②③，n 1，n 2分别是二面角αl β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．[体系构建][题型探究]类型一、空间向量的基本概念及运算例1、如图32，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：图32①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________．【答案】 ③④【解析】容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[规律方法] 1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等． [跟踪训练]1.如图33，已知ABCD A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.图33【答案】32[连接BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]类型二、空间向量的坐标运算例2、(1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)(2)已知向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，a ∥b ，b ⊥C ． ①求向量a ，b ，c ；②求a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值.【答案】(1)B [由b ＝12x －2a 得x ＝4a ＋2b ，又4a ＋2b ＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)，所以x ＝(0,6，－20)．](2)①∵向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，且a ∥b ，b ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y ＝2－23＋y －2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝1，∴向量a ＝(－1,1,2)，b ＝(1，－1，－2)，c ＝(3,1,1)． ②∵a ＋c ＝(2,2,3)，b ＋c ＝(4,0，－1)， ∴(a ＋c )·(b ＋c )＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a ＋c |＝22＋22＋32＝17，|b ＋c |＝42＋02＋(－1)2＝17， ∴a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为(a ＋c )·(b ＋c )|a ＋c ||b ＋c |＝517.[规律方法] 熟记空间向量的坐标运算公式设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， (1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2). (2)数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (3)向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. (4)向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)，则|M 1M 2→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算. [跟踪训练]2．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C [∵AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴|AB →|＝32＋42＋(－8)2＝89，|AC →|＝52＋12＋(－7)2＝75，|BC →|＝22＋(－3)2＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，∴△ABC 一定为直角三角形．]类型三、利用空间向量证明平行、垂直问题例3、在四棱锥P ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可．【答案】以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，(1)证明：∵BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD ． (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)，假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ．设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)，从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2(y －1)＝0，－1－2(z －1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD ．[规律方法]利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直．(3)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(4)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．[跟踪训练]3．如图34，长方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D．图34(1)求证：A1C⊥平面AMN.(2)当AB＝2，AD＝2，A1A＝3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN，若存在，试确定P 的位置.【答案】(1)证明：因为CB ⊥平面AA 1B 1B ，AM ⊂平面AA 1B 1B ，所以CB ⊥AM ，又因为AM ⊥A 1B ，A 1B ∩CB ＝B ，所以AM ⊥平面A 1BC ，所以A 1C ⊥AM ，同理可证A 1C ⊥AN ，又AM ∩AN ＝A ，所以A 1C ⊥平面AMN .(2)以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3，所以C (0,0,0)，A 1(2,2,3)，C 1(0,0,3)，CA 1→＝(2,2,3)，由(1)知CA 1⊥平面AMN ，故平面AMN 的一个法向量为CA 1→＝(2,2,3)．设线段AA 1上存在一点P (2,2，t )，使得C 1P ∥平面AMN ，则C 1P →＝(2,2，t －3)，因为C 1P ∥平面AMN ，所以C 1P →·CA 1→＝4＋4＋3t －9＝0，解得t ＝13.所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2，2，13，所以线段AA 1上存在一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13，使得C 1P ∥平面AMN .类型四、利用空间向量求空间角例4、如图35，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1) (2)图35(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′CD B 的平面角的余弦值．[思路探究] (1)利用勾股定理可证A ′O ⊥OD ，A ′O ⊥OE ，从而证得A ′O ⊥平面BCDE ；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．【答案】(1)证明：由题意，得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2. 如图，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理，得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.由翻折不变性，知A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ．同理可证A ′O ⊥OE .又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)如图，过点O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接A ′H .因为A ′O ⊥平面BCDE ，OH ⊥CD ，所以A ′H ⊥CD ．所以∠A ′HO 为二面角A ′CD B 的平面角．结合图(1)可知，H 为AC 的中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋A ′O 2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155. 所以二面角A ′CD B 的平面角的余弦值为155. [规律方法] 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．(3)二面角：如图36，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．图36[跟踪训练]4．在如图37所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．图37(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ． (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F BC A 的余弦值.【答案】 (1)证明：设CF 的中点为I ，连接GI ，HI .在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点，所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB ．在△CFB 中，因为H ，I 分别是FB ，CF 的中点，所以HI ∥BC ．又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ，所以平面GHI ∥平面ABC ．因为GH ⊂平面GHI ，所以GH ∥平面ABC ．(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC ．又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径，所以BO ⊥AC ．以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)．过点F 作FM ⊥OB 于点M ，所以FM ＝FB 2－BM 2＝3，可得F (0，3，3)．故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)．设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧ m ·BC →＝0，m ·BF →＝0可得⎩⎨⎧ －23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33. 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝77，所以二面角F BC A 的余弦值为77.。

人教A版高中数学高二选修2-1单元目标检测第三章空间向量与立体几何

数学人教A 选修2-1第三章空间向量与立体几何单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知点A (－4,8,6)，则点A 关于y 轴对称的点的坐标为( )． A ．(－4，－8,6) B ．(－4，－8，－6) C ．(－6，－8,4) D ．(4,8，－6)2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－23．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )， A ．2 B ．－2 C ．－2或255 D ．2或255- 4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )．A B C ．4 D ．8 5．如图，在四面体ABCD 中，已知AB ＝b ，AD ＝a ，AC ＝c ，12BE EC =，则DE 等于( )．A ．2133-++a b c B ．2133++a b c C ．2133-+a b c D ．2133-+a b c 6．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )．A B C D 7．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为原点)，则当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标为( )．A ．444,,333⎛⎫⎪⎝⎭ B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为( )．A ．310a B ．10a C ．10a D ．710a 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若向量a ＝(4,2，－4)，b ＝(1，－3,2)，则2a ·(a ＋2b )＝________．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为△AFD 的外心，沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，此时KG 的长为__________．11．已知直线AB ，CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ⊥b ？(O 为原点)13．(10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．14．(14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1．D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．(1)求证：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；参考答案1答案：D2答案：D 解析：a ＋λb ＝(λ，1＋λ，－1)．由(a ＋λb )⊥a ，知(a ＋λb )·a ＝0，所以1＋λ＋1＝0，解得λ＝－2． 3答案：C解析：由公式cos 〈a ，b 〉＝||||⋅a ba b ，知89==λ＝－2或255．4答案：A 解析：|a |＝3，|b |＝3，而a·b ＝4＝|a||b|cos ,a b ，∴cos ,a b ＝49，故sin ,a b=于是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 S ＝|a||b|sin ,a b＝33⨯= 5答案：A 解析：DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝DA ＋AB ＋13(AC －AB )＝2133-++a b c ．6答案：A 解析：设PA ＝AB ＝2，建立空间直角坐标系，平面PAB 的一个法向量是m ＝(1,0, 0)，平面PBC 的一个法向量是n＝⎫⎪⎪⎝⎭．则cos 〈m ，n〉＝·3||||||||3===m nm n m n ． ∴正切值tan 〈m ，n．7答案：D 解析：由题意可知OQ ＝λOP ，故可设Q (λ，λ，2λ)，∴QA ·QB ＝6λ2－16λ＋10＝242633λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴43λ=时，QA ·QB 取最小值，此时Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭． 8答案：C 解析：建立如图所示的坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 0,,02a ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则11·0A D =n ，11·0A E =n ，即(x ，y ，z )·(－a,0,0)＝0，(x ，y ，z )·0,,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0， ∴－ax ＝0，02aay z -=． ∴x ＝0，2z y =． ∴n ＝0,,2z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴10,||||2FD d ⎛ ⋅⎝==n n ． 9答案：32解析：2a·(a ＋2b )＝2|a|2＋4a·b ＝2×36＋4×(－10)＝32． 10解析：如图，过K 作KM ⊥EF ，M 为垂足，则向量MK 与FC 的夹角为120°.KG ＝KM ＋MF ＋FC ＋CG ，2KG ＝2KM ＋2MF ＋2FC ＋2CG ＋2KM ·MF ＋2FC ·CG ＋2KM ·FC ＋2KM ·CG . ∴2KG ＝1＋14＋1＋14＋0＋0＋2×1×1×cos 60°＋0＋0＋2×12×12×cos 180°＝2＋12＋1－12＝3． ∴3KG =．答案：60° 解析：设AB 与CD 所成的角为θ，则cos θ＝cos ,AB CD ＝AB CD AB CD⋅．由于AB ·CD ＝(AC ＋CD ＋DB )·CD ＝AC ·CD ＋2CD ＋DB ·CD ＝0＋12＋0＝1，∴cos θ＝11212AB CD AB CD⋅==⨯．由于0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°．12答案：解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b|＝答案：解：OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋t AB ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得95t =，因此存在点E ，使得OE ⊥b ，此时E 点坐标为6142,,555⎛⎫--⎪⎝⎭． 13答案：证明：连结BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是△PBD 的中位线．所以MN ∥BD ．又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ．答案：解法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB＝BD＝6．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AC ．在直角△PAC中，AC =PA =AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4，由此知各点坐标如下：A(，0,0)，B (0，－3,0)，C，0,0)，D (0,3,0)，P(0,，M 3,22⎛-- ⎝，N 3,22⎛- ⎝，Q 33⎛ ⎝⎭．设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量．由AM＝32-⎝，AN＝32-⎝，知30,230.2x y x y -+=+=取z ＝－1，得m ＝(0，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由QM＝32⎛- ⎝⎭，QN＝32⎛- ⎝⎭知30,62330.2x y z x y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 取z ＝5，得n ＝(0,5)．于是cos 〈m ，n〉＝·||||33=m n m n ．所以二面角A －MN －Q的平面角的余弦值为33．解法二：在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BDAB ．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥AD ．所以PB ＝PC ＝PD ．所以△PBC ≌△PDC ．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN ．取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB ＝PA ＝，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE ＝2.在直角△PAC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝222526PB PC BC PB PC +-=⋅，得MQ =在等腰△MQN 中，MQ ＝NQ MN ＝3，得QE ==.在△AEQ 中，2AE =，2QE =，AQ =cos ∠AEQ ＝222233AE QE AQ AE QE +-=⋅.所以二面角A －MN －Q ． 14答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．设C 1D ＝x ，∵AC ∥PC 1， ∴111C P C D xAC CD x==-．由此可得D (0,1，x )，P 0,1,01x x ⎛⎫+⎪-⎝⎭， ∴1A B ＝(1,0,1)，1A D ＝(0,1，x )，1B P ＝1,1,01x x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭．设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ， c )，则11110,0.A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令c ＝－1，则n 1＝(1，x ，－1)． ∵PB 1∥平面BA 1D ，高中数学-打印版精心校对 ∴n 1·1B P ＝1×(－1)＋x ·11x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＋(－1)×0＝0．由此可得12x =，故CD ＝C 1D ．答案：解：由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量n 1＝11,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212123||||312⋅==⨯n n n n ．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． (3)求点C 到平面B 1DP 的距离．答案：解：∵1PB ＝(1，－2,0)，PD ＝10,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，设平面B 1DP 的一个法向量n 3＝(a 1，b 1，c 1)，则311113120,0.2PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 令c 1＝1，可得n 3＝11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭．又10,0,2DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴点C 到平面B 1DP 的距离33||1||3DC d ⋅==n n ．。

高中数学人教新课标A版选修2-1第三章空间向量与立体几何同步测试

高中数学人教新课标A版选修2-1 第三章空间向量与立体几何同步测试共 24 题一、单选题1、在空间直角坐标系中，点与点（）A.关于平面对称B.关于平面对称C.关于平面对称D.关于轴对称2、已知向量， .若向量与向量平行，则实数的值是（）A.6B.-6C.4D.-43、点在空间直角坐标系中的位置是（）A.y轴上B.平面上C.平面上D.平面上4、点关于平面的对称点为（）A. B.C. D.5、已知空间向量 , ,若 ,则实数（）A.-2B.-1C.1D.26、已知，， =1，则向量在方向上的投影是（）A. B.-1C. D.17、已知三棱锥P—ABC中，，底面△ABC中∠C=90°，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为，则下列说法正确的是（）A. B.C.当AC=BC时，D.当AC=BC时，8、在三棱柱中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面的中心，则与平面所成角的大小是（）A. B.C. D.9、在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为1，则二面角的平面角的余弦值为（）A. B.C. D.10、直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.11、在正方体中，，则点到平面的距离为（）A. B.C. D.12、若，，，则的值为（）A.4B.15C.7D.3二、多选题13、如图，点是正方体的棱的中点，点在线段上运动，则下列结论正确的是（）A.直线与直线始终是异面直线B.存在点，使得C.四面体的体积为定值D.当时，平面平面14、如图，已知四棱锥中，平面，底面为矩形，， .若在直线上存在两个不同点，使得直线与平面所成角都为 .则实数的值为（）A.1B.2C.3D.4三、填空题15、如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD的长为________．16、正四棱柱中, 则与平面所成角的正弦值为________．17、已知直线l与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则________.18、如图，以长方体的顶点D 为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________四、解答题19、已知向量 =(1,-3,2), =(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).(1)求|2 + |;(2)在直线AB 上,是否存在一点E,使得 ⊥ ?(O 为原点)20、在长方体中，，，(1)求与平面所成角的大小；(2)求面与面所成二面角的大小.21、长方体中，，．(1)求异面直线与所成角；(2)求点到平面的距离；(3)求二面角的大小22、已知(1)若(k +)∥(−3) ，求实数 k 的值；(2)若，求实数的值．23、如图所示，等边三角形的边长为3，点，分别是边，上的点，满足，．将沿折起到的位置，使二面角为直二面角，连接，．(1)求二面角的余弦值；(2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．24、如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中(1)求证：；(2)求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；参考答案一、单选题1、【答案】C【解析】【解答】两个点和，两个坐标相同，坐标相反，故关于平面对称，故选C.【分析】利用“关于哪个对称，哪个坐标就相同”，得出正确选项.2、【答案】D【解析】【解答】解：，又因为向量与向量平行所以存在实数，使得解得故答案为：【分析】求出向量的坐标，利用向量共线定理即可得出．3、【答案】C【解析】【解答】点的纵坐标为0，横坐标和竖坐标不为0，点在平面上.故答案为：C.【分析】根据点的横坐标、纵坐标以及竖坐标的特点，可得点的位置.4、【答案】D【解析】【解答】由对称关系可知，点关于平面对称的点为故答案为：【分析】根据关于平面对称点的坐标的变化特征可直接写出结果.5、【答案】C【解析】【解答】解：向量，，若，则，解得．故答案为：．【分析】根据时，，列方程求出的值．6、【答案】D【解析】【解答】根据向量数量积的几何意义，所以在方向上的投影为：。

(新人教A版)2019高中数学第三章空间向量与立体几何单元测试(二)选修2-1

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知三棱锥O ABC -，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA =uu v a ，OB =uu u v b ，OC =uuu vc ，用a ，b ，c表示MN uuu v ，则MN uuu v等于（）A ．()12+-b c a B ．()12+-a b c C ．()12-+a b cD ．()12--c a b 2．已知()cos ,1,sin αα=a 、()sin ,1,cos αα=b ，且∥a b ，则向量+a b 与-a b 的夹角是（） A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°3．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为()4,1,3A 、()2,5,1B -、()3,7,C λ，若AB ⊥uu u v AC uuu v，则λ等于（）A ．28B ．28-C ．14D ．14-4．若向量{},,a b c 是空间的一个基底，则一定可以与向量2=+p a b ，2=-q a b 构成空间的另一个基底的向量是（） A ．aB ．bC ．cD ．+a b5．在空间直角坐标系O xyz -中，已知()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、(D ，若1S 、2S 、3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy 、yOz 、zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A ．123S S S =≠ B ．231S S S =≠ C ．132S S S =≠D ．123S S S ==6．已知a 、b 是两异面直线，A 、B a ∈，C 、D b ∈，AC b ⊥，BD b ⊥且2AB =，1CD =，则直线a 、b 所成的角为（）A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°7．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面对角线11A C 的中点，若1BE AA xAB yAD =++uu u v uuu v uuu v uuu v，则（）A ．12x =-，12y =B ．12x =，12y =-C ．12x =-，12y =-D ．12x =，12y = 8．已知()1,1,2A -、()1,0,1B -，设D 在直线AB 上，且2AD DB =uuu v uu u v，设C 1,,13λλλ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若CD AB ⊥，则λ的值为（）A ．116B ．116-C ．12 D ．139．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =E 、F 分别是面1111A B C D 、面11BCC B 的中心，则E 、F 两点间的距离为（）A ．1B C D ．3210．如图，在空间直角坐标系中有长方体1111ABCD A B C D -，1AB =，2BC =，13AA =，则点B 到直线1A C 的距离为（）A ．27B C D ．111．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面1ACD 的距离为（）A ．12B C ．13D ．1612．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是正方形11ADD A 和ABCD 的中心，G 是1CC 的中点，设GF 、1C E 与AB 所成的角分别为α，β，则αβ+等于（）A ．120°B ．60°C ．75°D ．90°二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知()1,2,0A 、()0,1,1B -，P 是x 轴上的动点，当AP BP ⋅uu u v uu v取最小值时，点P 的坐标为_____________．14．已知正四棱台1111ABCD A B C D -中，上底面1111A B C D 边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为___________．15．三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为________________．16．已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC =ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在四棱锥P －ABCD 中，ABCD 为平行四边形，AC 与BD 交于O ，G 为BD 上一点，BG ＝2GD ，PA =uu va ，PB =uu vb ，PC =uu u vc ，试用基底{},,a b c 表示向量PG uuu v ．18．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2ABC π∠=，D 是棱AC 的中点，且12AB BC BB ===．（1）求证：1AB ∥平面1BC D ；（2）求异面直线1AB 与1BC 所成的角．19．（12分）如图所示，在四面体ABCD 中，AB 、BC 、CD 两两互相垂直，且1BC CD ==．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）求二面角C －AB －D 的大小；（3）若直线BD 与平面ACD 所成的角为30°，求线段AB 的长度．20．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知AB ＝2，15AA =，E 、F 分别为1D D 、1B B 上的点，且11DE B F ==．（1）求证：BE ⊥平面ACF ；（2）求点E 到平面ACF 的距离．21．（12分）如图所示，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．（1）证明：PA ∥平面BDE ；（2）求二面角B －DE －C 的余弦值．22．（12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，1AB =，12AC AA ==，AD CD =M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点．（1）求证：MN ∥平面ABCD ；（2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点．若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长．答案一、选择题 1．【答案】D【解析】()()111111222222MN ON OM OC OA OB =-=-+=--=--u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v c a b c a b ，故选D ． 2．【答案】A【解析】∵22=a ，22=b ，()()220+⋅-=-=a b a b a b ， ∴()()+⊥-a b a b ．故选A ． 3．【答案】D【解析】()2,6,2AB =---u u u v ，()1,6,3AC λ=--u u u v，∵AB AC ⊥uu u v uuu v ，∴()2166230AB AC λ⋅=⨯-⨯--=u u u v u u u v，解得14λ=-，故选D ．4．【答案】C 【解析】∵1144=+a p q ，所以a 、p 、q 共面，故a 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除A ； ∵1122=-b p q ，所以b 、p 、q 共面，故b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除B ； ∵3144+=-a b p q ，所以+a b 、p 、q 共面，故+a b 、p 、q 不能构成空间的一个基底，排除D ；故选C ． 5．【答案】B【解析】由题意可得112222S =⨯⨯=，2122S =⨯，3122S =⨯故231S S S =≠．故选B ． 6．【答案】B【解析】由于AB AC CD DB =++u u u v u u u v u u u v u u u v，∴()21AB CD AC CD DB CD CD ⋅=++⋅==uu u v uu u v uuu v uu u v uu u v uu u v uu u v ．1cos ,,602AB CD AB CD AB CD AB CD ⋅==⇒=︒⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，故选B ． 7．【答案】A 【解析】()11111111111222BE BA AA A E AB AA A B A D AB AA AB AD =++=-+++=-+++u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 11122AB AA AD =-++u u u v u u u v u u u v ，∴12x =-，12y =．故选A ．8．【答案】B【解析】设(),,D x y z ，则()1,1,2AD x y z =+--u u u v ，()2,1,3AB =--u u u v ，()1,,1DB x y z =----u u u v，∵2AD DB =uuu v uu u v ，∴()12112222x x y y z z +=-⎧⎪-=-⎨⎪-=--⎩，∴13130x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．∴11033D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，113CD λλλ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭uu u v ，，， ∵CD AB ⊥uu u v uu u v ，∴()1231=03CD AB λλλ⎛⎫⋅=-+--- ⎪⎝⎭uu u v uu u v ，∴116λ=-．故选B ．9．【答案】C【解析】以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(E、F ⎛ ⎝⎭，所以EF = 故选C ． 10．【答案】B【解析】过点B 作BE 垂直1A C ，垂足为E ，设点E 的坐标为(),,x y z ，则()10,0,3A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()11,2,3AC =-u u u v ，()1,,3A E x y z =-u u u v， ()1,,BE x y z =-u u u v．因为1110A E A CBE A C ⎧⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v uu u v uuu v∥，所以31231230x y z x y z -⎧==⎪-⎨⎪-+-=⎩，解得5710767x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以2106,,777BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v ，所以点B 到直线1A C 的距离BE =uu u v ，故选B ．11．【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，直线DA 、DC 、1DD 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()10,0,1D 、()1,1,0E 、()1,0,0A 、()0,2,0C ．从而()11,1,1D E =-u u u v 、()1,2,0AC =-u u u v 、()11,0,1AD =-u u u v，设平面1ACD 的法向量为(),,a b c =n ，则100AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuuv n n ，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩，得2a b a c =⎧⎨=⎩．令2a =，则()2,1,2=n ．所以点E 到平面1ACD 的距离为1212133D E h ⋅+-===uuu v n n．故选C ． 12．【答案】D【解析】建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则()2,0,0B 、()2,2,0A 、()0,0,1G 、()1,1,0F 、()10,0,2C 、()1,2,1E ．则()0,2,0BA =u u v 、()1,1,1GF =-u u u v 、()11,2,1C E =-u u u v，∴cos ,BA GF BA GF BA GF ⋅==⋅uu v uuu v uu v uuu v uu v uuu v111cos ,BA C E BA C E BA C E ⋅==⋅uu v uuu v uu v uuu v uu v uuu v ，∴cos α=，sin α=，cos β=sin β=，()cos 0αβ+=，∴90αβ+=︒．故选D ．二、填空题13．【答案】1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设(),0,0P x ，则()1,2,0AP x =--u u u v ，(),1,1BP x =-u u v，()2171224AP BP x x x ⎛⎫⋅=-+=-+ ⎪⎝⎭uu u v uu v ，∴当12x =时，AP BP ⋅uu u v uu v 取最小值74，此时点P 的坐标为1,0,02⎛⎫⎪⎝⎭．14．【答案】14【解析】设上、下底面中心分别为1O 、O ，则1OO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，直线BD 、AC 、1OO 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． ∵2AB =，111A B =，∴AC BD ==1111AC B D == ∵平面11BDD B ⊥平面ABCD ，∴1B BO ∠为侧棱与底面所成的角， ∴160B BO ∠=︒，设棱台高为h，则tan 60︒=，∴h =∴()0,A，1D ⎛ ⎝⎭，1B ⎝⎭，()C ，∴1AD ⎛= ⎝⎭uuuv，1B C ⎛= ⎝⎭uuu v ， ∴1111111cos ,4AD B C AD B C AD B C ⋅==⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，故异面直线1AD 与1B C 所成角的余弦值为14． 15．【答案】45°【解析】由条件知，AB ＝AC ＝1，∠BAC＝90°，∴BC = ∵PB ＝PC ＝1，∴∠BPC ＝90°，取BC 边中点E ，则PE =AE =又PA ＝1，∴∠PEA ＝90°，故∠PAE ＝45°，∵E 为BC 中点，∴PE ⊥BC ，AE ⊥BC ，∴BC ⊥平面PAE ， ∴平面PAE ⊥平面ABC ，∴∠PAE 为直线PA 与平面ABC 所成角．16．【解析】如图，过B 、D 分别向AC 作垂线，垂足分别为M 、N ．则可求得12AM =、BM =12CN =、DN =1MN =．由于BD BM MN ND =++u u u v u u u v u u u v u u u v ，∴()22BD BM MN ND =++uu u v uuu v uuu v uuu v()2222BM MN ND BM MN MN ND BM ND =+++⋅+⋅+⋅uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v()2225120002=+++++=⎝⎭⎝⎭，∴BD =uu u v 三、解答题17．【答案】212333PG =-+uu u v a b c ．【解析】∵BG ＝2GD ，∴23BG BD =uu u v uu u v．又2BD BA BC PA PB PC PB =+=-+-=+-u u u v u u v u u u v u u v u u v u u u v u u va cb ，∴()221223333PG PB BG =+=++-=-+u u u v u u v u u u v b a c b a b c ．18．【答案】（1）见解析；（2）3π．【解析】（1）如图，连接1B C 交1BC 于点O ，连接OD ．∵O 为1B C 的中点，D 为AC 的中点，∴1OD AB ∥．∵1AB ⊄平面1BC D ，OD ⊂平面1BC D ，∴1AB ∥平面1BC D ．（2）建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ．则()0,0,0B 、()0,2,0A 、()12,0,2C 、()10,0,2B ． ∴()10,2,2AB =-u u u v 、()12,0,2BC =u u u v．1111111cos ,2AB BC AB BC AB BC ⋅==⋅u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v ，设异面直线1AB 与1BC 所成的角为θ，则1cos 2θ=， ∵0,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴3θπ=．19．【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）1．【解析】解法一：（1）∵CD ⊥AB ，CD ⊥BC ，∴CD ⊥平面ABC ．又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面ABC ．（2）∵AB ⊥BC ，AB ⊥CD ，∴AB ⊥平面BCD ， ∴AB ⊥BD ．∴∠CBD 是二面角C －AB －D 的平面角． ∵在Rt △BCD 中，BC ＝CD ，∴∠CBD ＝45°． ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）过点B 作BH ⊥AC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面ACD ⊥平面ABC ，∴BH ⊥平面ACD ，∴∠BDH 为BD 与平面ACD 所成的角．∴∠BDH ＝30°．在Rt △BHD中，BD =BH =又∵在Rt △BHC 中，BC ＝1，∴∠BCH ＝45°， ∴在Rt △ABC 中，AB ＝1．解法二：（1）同解法一．（2）设AB a =，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,0B 、()0,0,A a 、()0,1,0C 、()1,1,0D ，()1,1,0BD =u u u v 、()0,0,BA a =u u v．平面ABC 的法向量()1,0,0CD =u u u v，设平面ABD 的一个法向量为(),,x y z =n ，则有0BD x y ⋅=+=u u u v n ，0BA az ⋅==u u vn ， ∴0z =，取1y =，则1x =-，∴()1,1,0=-n ．∴cos ,CD CD CD ⋅==⋅uu u vuu u v uu u vn n n，由图可知二面角C －AB －D 为锐角， ∴二面角C －AB －D 的大小为45°．（3）()0,1,AC a =-u u u v 、()1,0,0CD =u u u v 、()1,1,0BD =u u u v．设平面ACD 的一个法向量是(),,x y z '''=m ，则0AC y az ''⋅=-=u u u v m ，0CD x '⋅==uu u vm ，令1z '=，∴y a '=，则()0,,1a =m ． ∵直线BD 与平面ACD 所成角为30°，∴cos cos60BD BD BD ⋅⋅==︒⋅u u u vu u u v u u u vm m m ，解得1a =，∴AB ＝1． 20．【答案】（1）见解析；（2）53．【解析】（1）证明：以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D 、()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()10,0,5D 、()0,0,1E 、()2,2,4F ．∴()2,2,0AC =-u u u v 、()0,2,4AF =u u u v 、()2,2,1BE =--u u u v 、()2,0,1AE =-u u u v． ∵0BE AC ⋅=uu u v uuu v ，0BE AF ⋅=uu u v uu u v，∴BE AC ⊥，BE AF ⊥，且AC AF A =I ． ∴BE ⊥平面ACF ．（2）解：由（1）知，BE uu u v为平面ACF 的一个法向量，∴点E 到平面ACF 的距离53AE BE d BE⋅==uu u v ．故点E 到平面ACF 的距离为53．21．【答案】（1）见解析；（2【解析】建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ．设PD DC a ==，则()0,0,0D 、(),0,0A a 、()0,0,P a 、(),,0B a a 、0,,22a a E ⎛⎫⎪⎝⎭、()0,,0C a ，∴(),0,AP a a =-u u u v 、(),,0DB a a =u u u v 、0,,22a a DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭uuu v 、()0,,0DC a =u u u v．（1）设平面BDE 的一个法向量为()1111,,x y z =n ，则有1100DB DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u v uuu v n n ，即11110022ax ay a ay z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，∴111111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩． ∴()11,1,1=-n ．100AP a a ⋅=-++=u u u v n ，∴1AP ⊥uu u vn ，又∵AP ⊄平面BDE ，∴AP ∥平面BDE ．（2）设平面CDE 的一个法向量为()21,0,0=n ．12cos ,==n n B －DE －C22．【答案】（1）见解析；（2（32．【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得()0,0,0A 、()0,1,0B 、()2,0,0C 、()1,2,0D -、()10,0,2A 、()10,1,2B 、()12,0,2C 、()11,2,2D -，又因为M 、N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭、()1,2,1N -．（1）依题意，可得()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu v ，由此可得，0MN ⋅=u u u vn ，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD ．（2）()11,2,2AD =-u u u v 、()2,0,0AC =u u u v，设()1111,,x y z =n 为平面1ACD 的法向量，则11100AD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v n n ，即111122020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设11z =，可得()10,1,1=n ．设()2222,,x y z =n 为平面1ACB 的一个法向量，则21200AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu v uuu v n n ，又()10,1,2AB =u u u v ，得22222020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设21z =，可得()20,2,1=-n ．因此有121212cos ,⋅==⋅n n n n n n，于是12sin ,=n n ，所以二面角11D AC B --（3）依题意，可设111A E A B λ=u u u v u u u u v，其中[]0,1λ∈，则()0,,2E λ，从而()1,2,1NE λ=-+u u u v，又()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量，由已知得1cos 3NE NE NE ⋅===⋅uu u vuu u v uu u vn,n n，整理得2430λλ+-=，又因为[]0,1λ∈，解得2λ=，所以线段1A E 2．。

高中数学第三章空间向量与立体几何检测(A)(含解析)新人教A版选修21

高中数学第三章空间向量与立体几何检测（A）（含解析）新人教A版选修21(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在空间四边形ABCD,连接AC,BD,若△BCD为正三角形,且E为其中心,则化A0 D.解析:如图,F是BC的中点,E为DF的三等分点,于0.故选C.答案:C2设平面α内的两个向量a=(1,2,1),b=(-1,1,2),则下列向量中是α的法向量的是() A.(-1,-2,5) B.(-1,1,-1)C.(1,1,1)D.(1,-1,-1)解析:设平面α的法向量为n=(x,y,z),y=1,得n=(-1,1,-1).答案:B3如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A解析:不妨设CB=1,则B(0,0,1),A(2,0,0),C1(0,2,0),B1(0,2,1).cos故选A.答案:A4若向量a=(1,x,2),b=(2,-1,2),a,b夹角的余弦值A.2B.-2C.-2解析:cos<a,b>解得x=-2或x答案:C5如图,在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E为正方体的棱AA1的中点,F为棱AB上的一点,若∠C1EF=90°,则点F的坐标为()AC解析:由题意可得E(2,0,1),C1(0,2,2),设F(2,y,0),因为∠C1EF=90°,所解得y则点F的坐标C.答案:C6已知点A(-3,4,3),O为坐标原点,则OA与坐标平面yOz所成角的正切值为()A解析:∵点A在平面yOz上射影为B(0,4,3),且|OB|=5,∴OA与平面yOz所成角θ满足tanθ答案:B7如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,若∠A1AB=∠A1AD=60°,且A1A=3,则A1C的长为()AC答案:A8在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°.将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=1,则二面角B-AC-D的余弦值为()A解析:设菱形对角线AC与BD相交于点O,则∠BOD为二面角B-AC-D的平面角,由余弦定理可得cos∠BOD答案:A9如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1A.1 B解析:以点A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则E(1,1所以|EF|C.答案:C10已知正三角形ABC,BC⊂平面α,点A在α上的射影为点A',∠BA'C=90°,则平面ABC与平面α所成的二面角的正弦值等于()AC解析:如图所示,过点A'作A'D⊥BC,垂足为D,连接AD,则易知∠ADA'为所求二面角的平面角,令BC=a,则AB=AC=a,∴A'B=A'C∴A'A∴sin∠ADA'答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11若空间三点A(1,5,-2),B(2,4,1),解析:由已知,∴p故p+q答案:12在空间四边形OABC中,若OB=OC,∠AOB=∠AOC解析:cos答案:013已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点,若直线CF上有一点N,使MN⊥AE,解析:如图,因为MN⊥AE,所因解得m答案:14如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是.解析:如图,以点D为原点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,A1M与ND所成的角为90°.答案:90°15已知在矩形ABCD中,AB=1,BC解析:如图,过点B,D分别向AC作垂线,垂足分别为M,N.则可求得AM因答案:三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)已知a=(1,2,-2).(1)求与a共线的单位向量b;(2)若a与单位向量c=(0,m,n)垂直,求m,n的值.分析:(1)a与b共线,则b=(λ,2λ,-2λ),根据|b|=1,可求得λ;(2)a⊥c,则a·c=0,且|c|=1,注意讨论解的情况.解:(1)设b=(λ,2λ,-2λ),而b为单位向量,∴|b|=1,即λ2+4λ2+4λ2=9λ2=1,∴λ=∴b b(2)由题意,解17(8分)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上一点,CP=m.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.解:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1).又,BB1D1D的一个法向量.设AP与平面BB1D1D所成的角为θ,则sinθ=|cos.依题意60°m故当m,直线AP与平面BDD1B1所成角为60°.18(9分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1,PA=2.(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值;(2)求点P到平面DEF的距离.解: (1)如图所示,以A为原点,AB,AC,AP所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),设平面DEF的法向量n=(x,y,z),取z=1,则平面DEF的一个法向量n=(2,0,1).设PA与平面DEF所成的角为θ,则sinθ故直线PA与平面DEF所成角的正弦值(2)n=(2,0,1),∴点P到平面DEF的距离d19(10分)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE;(3)求二面角A-BE-D的大小.(1)证明如图,设AC与BD交于点G,连接EG.∵EF∥AG,且EF=1,AG∴四边形AGEF为平行四边形,∴AF∥EG.∵EG⊂平面BDE,AF⊄平面BDE,∴AF∥平面BDE.(2)证明∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,且CE⊥AC,∴CE⊥平面ABCD.如图,以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz,则C(0,0,0),A∴CF⊥BE,CF⊥DE.又BE∩DE=E,∴CF⊥平面BDE.(3)解由(2)BDE的一个法向量,设平面ABE的法向量n=(x,y,z),则n·n·令y=1,则z∴n=(0,1cos<n∵二面角A-BE-D为锐角,∴二面角A-BE-D的大小20(10分)如图,在四面体A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=(1)证明:PQ∥平面BCD;(2)若二面角C-BM-D的大小为60°,求∠BDC的大小.方法一(1)证明:取BD的中点O,在线段CD上取点F,使得DF=3FC.连接OP,OF,FQ,因为AQ=3QC,所以QF∥AD,且QF因为O,P分别为BD,BM的中点,所以OP是△BDM的中位线,所以OP∥DM,且OP又点M为AD的中点,所以OP∥AD,且OP从而OP∥FQ,且OP=FQ,所以四边形OPQF为平行四边形,故PQ∥OF.又PQ⊄平面BCD,OF⊂平面BCD,所以PQ∥平面BCD.(2)解:作CG⊥BD于点G,作CH⊥BM于点H,连接GH.因为AD⊥平面BCD,CG⊂平面BCD,所以AD⊥CG.又CG⊥BD,AD∩BD=D,故CG⊥平面ABD.又BM⊂平面ABD,所以CG⊥BM.又GH⊥BM,CG∩GH=G,故BM⊥平面CGH,所以GH⊥BM,CH⊥BM.所以∠CHG为二面角C-BM-D的平面角,即∠CHG=60°.设∠BDC=θ.在Rt△BCD中,CD=BD cosθ=θ,CG=CD sinθ=θsinθ,BG=BC sinθ=在Rt△BDM中,HG在Rt△CHG中,tan∠CHG所以tanθθ=60°.即∠BDC=60°.方法二(1)证明:如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A(0设点C的坐标为(x0,y0,0).因因为M为AD的中点,故M(0又P为BM的中点,所又平面BCD的一个法向量为u=(0,0,1),·u=0.又PQ⊄平面BCD,所以PQ∥平面BCD.(2)解:设m=(x,y,z)为平面BMC的一个法向量.取y=-1,得m又平面BDM的一个法向量为n=(1,0,0),于是|cos<m,n>|又因为BC⊥CD,所故(-x0,·(-x0联立①②,解)所以tan∠BDC因为∠BDC是锐角,所以∠BDC=60°.。

第三章空间向量与立体几何综合测试题(含详解新人教A版选修2-1)

第三章空间向量与立体几何综合测试题（含详解新人教A版选修2-1）x第三章空间向量与立体几何综合测试题（含详解新人教A版选修2-1）(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，若a∥b，则λ与μ的值分别为()A.15，12B．5,2C．－15，－12D．－5，－2解析：选A.a∥b，则存在m∈R，使得a＝mb，又a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，则有λ＋1＝6m，0＝－，2λ＝2m，可得λ＝15，μ＝12.2．已知A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)三点，则△ABC是() A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．等腰三角形解析：选A.AB→＝(3,4，－8)，BC→＝(2，－3,1)，CA→＝(－5，－1,7)，∴BC→•CA→＝－10＋3＋7＝0.∴BC⊥CA.∴△ABC是直角三角形．3．已知在空间四边形OABC中，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，点M 在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN→等于()A.12a－23b＋12cB．－23a＋12b＋12cC.12a＋12b－12cD.23a＋23b－12c解析：选B.因MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－23OA→＝12b ＋12c－23a.4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于() A．310B．210C.10D．5解析：选A.|a－b＋2c|＝－b＋，∵a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)，∴|a－b＋2c|＝92＋32＋0＝310.5．给出下列命题：①已知a⊥b，则a•(b＋c)＋c•(b－a)＝b•c；②A、B、M、N为空间四点，若BA→、BM→、BN→不能构成空间的一个基底，则A、B、M、N四点共面；③已知a⊥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，则基向量a，b可以与向量m＝a ＋c构成空间另一个基底．其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C.当a⊥b时，a•b＝0，a•(b＋c)＋c•(b－a)＝a•b＋a•c＋c•b －c•a＝c•b＝b•c，故①正确；当向量BA→、BM→、BN→不能构成空间的一个基底时，BA→、BM→、BN→共面，从而A、B、M、N四点共面，故②正确；当a⊥b时，a，b不共线，任意一个与a，b不共面的向量都可以与a，b构成空间的一个基底，故③错误；当{a，b，c}是空间的一个基底时，a，b，c不共面，所以a，b，m也不共面，故a，b，m可构成空间的另一个基底，故④正确．6．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是()A.OM→＝2OA→－OB→－OC→B.OM→＝15OA→＋13OB→＋12OC→C.MA→＋MB→＋MC→＝0D.OM→＋OA→＋OB→＋OC→＝0解析：选C.空间的四点M、A、B、C共面只需满足OM→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，且x＋y＋z＝1，或存在实数x，y使得MC→＝xMA→＋yMB→. 7．在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且〈a，i〉＝45°，〈a，j〉＝60°，则〈a，k〉＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C.如图所示，设|a|＝m(m＞0)，a＝OP→，PA⊥平面xOy，则在Rt△PBO中，|PB|＝|OP→|•cos〈a，i〉＝22m，在Rt△PCO中，|OC|＝|OP→|•cos〈a，j〉＝m2，∴|AB|＝m2，在Rt△PAB中，|PA|＝|PB|2－|AB|2＝24m2－m24＝m2，∴|OD|＝m2，在Rt△PDO中，cos〈a，k〉＝|OD||OP|＝12，又0°≤〈a，k〉≤180°，∴〈a，k〉＝60°.8．已知点A(－3,4,3)，O为坐标原点，则OA与坐标平面yOz所成角的正切值为()A.34B.35C.53D．1解析：选B.A点在面yOz上的射影为B(0,4,3)且|OB|＝5，所以OA与平面yOz所成角θ满足tanθ＝|AB||OB|＝35.9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中能作为平面AEF的法向量的是()A．(1，－2,4)B．(－4,1，－2)C．(2，－2,1)D．(1,2，－2)解析：选B.设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，E(1,1，12)，F(12，0,1)．故AE→＝(0,1，12)，AF→＝(－12，0,1)．由AE→•n＝0，AF→•n＝0，即y＋12z＝0，－12x＋z＝0，所以y＝－12z，x＝2z.当z＝－2时，n＝(－4,1，－2)，故选B.10．正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为() A．90°B．60°C．120°D．45°解析：选C.如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的边长为a，则A(a，a,0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)，于是BA→＝(0，a,0)，BD1→＝(－a，a，a)，BB1→＝(0,0，a)．设平面ABD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n•BA→＝(x，y，z)•(0，a,0)＝ay＝0，n•BD1→＝(x，y，z)•(－a，a，a)＝－ax＋ay＋az＝0.∵a≠0，∴y＝0，x＝z.令x＝z＝1，则n＝(1,0,1)，同理，平面B1BD1的法向量m＝(－1，－1,0)．由于cos〈n，m〉＝n•m|n||m|＝－12，而二面角A－BD1－B1为钝角，故为120°.二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11．已知a＝(2，－1,0)，b＝(k,0,1)，若〈a，b〉＝120°，则k＝________. 解析：∵cos〈a，b〉＝a•b|a||b|＝2k5•k2＋1＝－12＜0，∴k＜0，且k2＝511.∴k＝－5511.答案：－551112．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．解析：cos〈a，b〉＝a•b|a||b|＝－27，得sin〈a，b〉＝357，由公式S＝|a||b|sin〈a，b〉可得结果．答案：6513.如图，空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，用a，b，c表示MN→，则MN→＝________. 解析：MN→＝ON→－OM→＝12(OB→＋OC→)－12OA→＝－12a＋12b＋12c.答案：－12a＋12b＋12c14．点P是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1内一点，且满足AP→＝34AB→＋12AD→＋23AA1→，则点P到棱AB的距离为__________．解析：如图所示，过P作PQ⊥平面ABCD于Q，过Q作QE⊥AB于E，连接PE.∵AP→＝34AB→＋12AD→＋23AA1→，∴PQ＝23，EQ＝12，∴点P到棱AB的距离为PE＝PQ2＋EQ2＝56.答案：5615．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则异面直线D1E与AC所成的角的余弦值是________．解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,4)，E(0,4,2)，AC→＝(－4,4,0)，D1E→＝(0,4，－2)．cos〈AC→，D1E→〉＝1632×20＝105.∴异面直线D1E与AC所成角的余弦值为105.答案：105三、解答题(本题共5小题，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，CM＝2MA，A1N＝2ND，且AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，试用a，b，c表示向量MN→.解：∵MN→＝MA→＋AA1→＋A1N→＝－13AC→＋AA1→＋23A1D→＝－13(AB→＋AD→)＋AA1→＋23(A1A→＋A1D1→)＝－13AB→－13AD→＋13AA1→＋23AD→＝－13a＋13b＋13c，∴MN→＝－13a＋13b＋13c.17．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，M为四边形ABCD 的中心．求证：对A1B1上任一点N，都有MN⊥AP.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，P0，0，12，M12，12，0，N(1，y,1)．∴AP→＝－1，0，12，MN→＝12，y－12，1.∴AP→•MN→＝(－1)×12＋0×y－12＋12×1＝0，∴AP→⊥MN→，即A1B1上任意一点N都有MN⊥AP.18.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M.(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．解：(1)证明：∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，∴PD⊥平面ABM.∵AM⊂平面ABM，∴AM⊥PD.(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，2,0)．∵AM⊥PD，PA＝AD，∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1)．∴AC→＝(1,2,0)，AM→＝(0,1,1)，CD→＝(－1,0,0)．设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，由n⊥AC→，n⊥AM→可得x＋2y＝0y＋z＝0，令z＝1，得x＝2，y＝－1.∴n＝(2，－1,1)．设直线CD与平面ACM所成的角为α，则sinα＝|CD→•n||CD→|•|n|＝63.∴cosα＝33，即直线CD与平面ACM所成角的余弦值为33.19.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.(1)证明：PA⊥BD；(2)若PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．解：(1)证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝3AD，从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又因为PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又因为AD∩PD＝D，所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)，P(0,0,1)，AB→＝(－1，3，0)，PB→＝(0，3，－1)，BC→＝(－1,0,0)．设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则n•AB→＝0，n•PB→＝0，即－x＋3y＝0，3y－z＝0，因此可取n＝(3，1，3)．设平面PBC的法向量为m，则m•PB→＝0，m•BC→＝0，可取m＝(0，－1，－3)，〈m，n〉等于二面角A－PB－C的平面角，cos 〈m，n〉＝－427＝－277.故二面角A－PB－C的余弦值为－277.20.如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD中点．(1)求证：PO⊥平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(3)求点A到平面PCD的距离．解：(1)证明：如图所示，以O为坐标原点，OC→、OD→、OP→的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0，0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)．所以OP→＝(0,0,1)，AD→＝(0,2,0)，OP→•AD→＝0，所以，PO⊥AD，又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD.(2)CD→＝(－1,1,0)，PB→＝(1，－1，－1)，所以cos〈PB→，CD→〉＝PB→•CD→|PB→||CD→|＝－1－13×2＝－63，所以异面直线PB与CD 所成的角的余弦值为63.(3)设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，CP→＝(－1,0,1)，CD→＝(－1,1,0)，由n•CP→＝0n•CD→＝0，得－x0＋z0＝0－x0＋y0＝0，即x0＝y0＝z0，取x0＝1，得平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,1)．又AC→＝(1,1,0)，从而点A到平面PCD的距离d＝|AC→•n||n|＝23＝233.。

高中数学第三章《空间向量与立体几何》同步练习二新人教A版选修2-1

空间向量与立体几何一选择题：1. 下列说法中正确的是（B ）A. 若∣a ∣=∣b ∣，则a ，b 的长度相同，方向相反或相同;B. 若a 与b 是相反向量，则∣a ∣=∣b ∣;C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=.2. 已知向量a ，b 是两个非零向量，00,a b 是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ D ）A. 00a b =B. 00a b =或00a b =-C. 01a =D. ∣0a ∣=∣0b ∣3. 在四边形ABCD 中，若AC AB AD =+,则四边形是（ D ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形4. 下列说法正确的是（ D ） A. 零向量没有方向B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等D. 同向且等长的有向线段表示同一向量 5.以下四个命题中正确的是（ C ）A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.若{→a ,→b ,→c }为空间向量的一组基底，则{→a +→b ,→b +→c ,→c -→a }构成空间向量的另一组基底C.△ABC 为直角三角形的充要条件为→AB ·→AC =0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底6. 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量→A 1B 1模相等的向量有(C ) A ．7个 B ．3个C ．5个D ．6个7.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为向量AC 1→的是( D )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→； ③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→. A ．①③ B ．②④ C ．③④D ．①②③④8. 对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( B ) A 若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B 若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C 若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D 若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c9.P 为正六边形ABCDEF 外一点，O 为ABCDEF 的中心则→PA +→PB +→PC +→PD +→PE +→PF 等于（ C ） A.→PO B.3→PO C.6→PO D.→0 10. 下列说法正确的是（ A ）A.a 与非零向量b 共线,b 与c 共线，则a 与c 共线B. 任意两个相等向量不一定共线C. 任意两个共线向量相等D. 若向量a 与b 共线，则a b λ=11. 将边长为1的正方形ABCD 沿角线BD 折成直二面角，若点P 满足→BP =12→BA -12→BC +→BD ,则|→BP|的值为（ D ）A.32B.2C.10-24D.9412.已知平行六面体''''ABCD A B C D -，M 是AC 与BD 交点，若',,AB a AD b AA c ===，则与'B M 相等的向量是（ A ）A. 11-22a b c -+；B. 11-22a b c +；C. 1122a b c -+；D. 1122a b c --+.13. 下列等式中，使M,A,B,C 四点共面的个数是（ B ）①;OM OA OB OC =--②111;532OM OA OB OC =++③0;MA MB MC ++=④0OM OA OB OC +++=.A. 1B. 2C. 3D. 414. 在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中正确命题的个数为（ A ）. A ．0 B.1 C. 2 D. 3 15. 下列命题中：①若0a b •=，则a ，b 中至少一个为0 ②若a 0≠且a b a c •=•，则b c = ③()()a b c a b c ••=••④22(32)(32)94a b a b a b +•-=-正确有个数为（ B ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 16. 已知1e 和2e 是两个单位向量，夹角为3π，则下面向量中与212e e -垂直的是（ C ） A. 12e e + B. 12e e - C. 1e D. 2e17.若a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则312123a a ab b b ==是//a b 的（ A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不不要条件18已知()()1,0,0,0,1,1A B -,OA OB λ+与OB 的夹角为120°，则λ的值为（ C ）A. D. 19.若()()2,2,0,3,2,a x b x x ==-，且,a b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ A ）A. 4x <-B. 40x -<<C. 04x <<D. 4x >20.已知 ()()1,2,,,1,2a y b x =-=，且(2)//(2)a b a b +-，则（ B ）A. 1,13x y ==B. 1,42x y ==-C. 12,4x y ==- D. 1,1x y ==-21. 已知两非零向量e 1，e 2不共线，设a ＝λe 1＋μe 2(λ、μ∈R 且λ2＋μ2≠0)，则( D ) A ．a ∥e 1 B ．a ∥e 2 C ．a 与e 1，e 2共面D ．以上三种情况均有可能22正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，向量AB ′→与BC ′→的夹角是( C )A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°23设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足A B →·A C →＝0，A C →·A D →＝0，A B →·A D →＝0，则△BCD 是( B )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定24.平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，则AC 1的长为 ( D )A.13B.43C.33D.2325. 已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ=（ D ） A. 627 B. 637 C. 647 D. 65726 若a 、b 均为非零向量，则||||⋅=a b a b 是a 与b 共线的（ A ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件 27.已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．528 已知a +b +c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝a 与b 之间的夹角,a b <>为（ C ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对29 .已知()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是（D ）A. .1B. 15C. 35D. 7530.若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ C ）A ．19B ．78-C ．78D ．141931.空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（D ）A ．21 B ．22 C ．－21D ．032.已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ C ） (A)．131(,,)243(B)123(,,)234(C)448(,,)333(D)447(,,)333二填空题：33．已知ABCD ,顶点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2)则顶点D 的坐标为_____.（1，-1,2） 34.Rt ABC 中，,∠BAC=90°, A(2,1,1),B(1,1,2), C(x,0,1)则x=______2 35已知A(3,5,-7),B(-2,4,3),则AB 在坐标平面yoz 上的射影的长度为_____101 36已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a ＋b ＋c|等于________． 3 37已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2xBO →＋3yCO →＋4zDO →，则2x ＋3y ＋4z ＝____138．已知A ，B ，C 三点共线，则对空间任一点O ，存在三个不为0的实数λ，m ，n ，使λOA →＋mOB →＋nOC →＝0，那么λ＋m ＋n 的值为________． 139.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，M 、N 分别为BC 、PD 的中点，且满足M N →＝xAB →＋yAD →＋zAP →则实数x ，y ，z 的值分别为________．-1,0,1240．在空间四边形ABCD 中，A B →·C D →＋B C →·A D →＋C A →·B D →＝________→0.41．已知|a|＝32，|b|＝4，a 与b 的夹角为135°，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，则m ⊥n ，则λ＝________.11642．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a，则(23)(2)a b a b -+=__________________。

高中数学第三章空间向量与立体几何空间向量与平行、垂直的关系练习(含解析)新人教A版选修2-1

第1课时空间向量与平行、垂直的关系[学生用书P141(单独成册)][A 基础达标]1．若n ＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )A ．(0，－3，1)B ．(2，0，1)C ．(－2，－3，1)D ．(－2，3，－1)解析：选D.问题即求与n 共线的一个向量．即n ＝(2，－3，1)＝－(－2，3，－1)． 2．已知A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，则平面ABC 的一个法向量是( ) A ．(1，1，－1) B ．(1，－1，1) C ．(－1，1，1)D ．(－1，－1，－1)解析：选D.AB →＝(－1，1，0)，AC →＝(－1，0，1)．设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．3．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－16，13，－1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α与β相交但不垂直D ．α∥β或α与β重合解析：选D.因为n ＝－3m ，所以m ∥n ，所以α∥β或α与β重合．4．已知平面α内有一点A (2，－1，2)，α的一个法向量为n ＝(3，1，2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．(1，－1，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，3，－32解析：选B.要判断点P 是否在平面α内，只需判断向量PA →与平面α的法向量n 是否垂直，即PA →·n 是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A ，PA →＝(1，0，1)，则PA →·n ＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A ；对于选项B ，PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12，则PA →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4，12·(3，1，2)＝0，故B 正确；同理可排除C ，D.故选B.5．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 的值为( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，PA ＝a ，则B (1，0，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0，0，a )．设点F 的坐标为(0，y ，0)，则BF →＝(－1，y ，0)，PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .因为BF ⊥PE ，所以BF →·PE →＝0，解得y ＝12，即点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，所以F 为AD 的中点，所以AF ∶FD ＝1∶1.6．已知平面α的一个法向量a ＝(x ，1，－2)，平面β的一个法向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，y ，12，若α⊥β，则x －y ＝________．解析：因为α⊥β，所以a ⊥b ，所以－x ＋y －1＝0，得x －y ＝－1. 答案：－17．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB →·AP →＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB →⊥AP →，则AB ⊥AP .AD →·AP →＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP →⊥AD →，则AP ⊥AD .又AB ∩AD ＝A ，所以AP ⊥平面ABCD ，故AP →是平面ABCD 的一个法向量．答案：①②③8．已知AB →＝(1，5，－2)，BC →＝(3，1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，则BP →＝________．解析：因为AB →⊥BC →，所以AB →·BC →＝0，所以3＋5－2z ＝0，所以z ＝4.因为BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP →⊥平面ABC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧BP →·AB →＝0，BP →·BC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157，故BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫337，－157，－39.如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．求证：(1)平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)C 1F ∥平面ABE .证明：如图，以B 为坐标原点，分别以BC ，BA ，BB 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设BC ＝a ，AB ＝b ，BB 1＝c ，则B (0，0，0)，A (0，b ，0)，C 1(a ，0，c )，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c .(1)AB →＝(0，－b ，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－b 2，c .设平面ABE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AE →＝0，即⎩⎨⎧－by ＝0，a 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2y ＋cz ＝0，令x ＝2，则y ＝0，z ＝－a c，即n ＝⎝⎛⎭⎪⎫2，0，－a c . 又平面B 1BCC 1的一个法向量为n 1＝(0，1，0)．因为n 1·n ＝2×0＋0×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a c ×0＝0，所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)C 1F →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，－c ，且n ·C 1F →＝0，所以C 1F →∥平面ABE . 又因为C 1F ⊄平面ABE . 所以C 1F ∥平面ABE .10.如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .证明：由题意得，DA ，DC ，DP 两两垂直，所以以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0，0，1)，A (1，0，0)，D (0，0，0)，B (1，1，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12.所以PB →＝(1，1，－1)， DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，EB →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF →＝(x ，y ，z －1)，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫x ，y －12，z －12.因为EF →⊥PB →，所以x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12－⎝ ⎛⎭⎪⎫z －12＝0，即x ＋y －z ＝0. ①又因为PF →∥PB →，可设PF →＝λPB →，所以x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ. ② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23，所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－16，16.(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DE →＝0，n 1·EB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y 1＋12z 1＝0，x 1＋12y 1－12z 1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝z 1，y 1＝－z 1.取z 1＝－1，则n 1＝(－1，1，－1)．因为PA →＝(1，0，－1)，所以PA ·n 1＝0. 又因为PA ⊄平面EDB ，所以PA ∥平面EDB . (2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的法向量，则有⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF →＝0，n 2·DE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－16y 2＋16z 2＝0，12y 2＋12z 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－z 2，y 2＝－z 2.取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1，1)．所以PB →∥n 2，所以PB ⊥平面EFD .[B 能力提升]11.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1B ，AC 的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：选B.建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2，2，2)，A 1(2，2，0)，C (0，0，2)，B (2，0，2)，所以M (2，1，1)，N (1，1，2)，所以MN →＝(－1，0，1)．又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0，1，0)，因为MN →·n ＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，所以MN →⊥n ，又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.12．如图，在正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.证明：由题意得，DA ，DC ，DD 1两两垂直，所以以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，由题意，知D (0，0，0)，A (22，0，0)，C (0，22，0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)，则B 1E →＝(0，－2，－4)，EF →＝(－2，2，0)．设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·B 1E →＝－2y －4z ＝0，n ·EF →＝－2x ＋2y ＝0，得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，－24. 又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC →＝(－22，22，0)，而n ·AC →＝1×(－22)＋1×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24×0＝0，即n ⊥AC →，所以平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.13．(选做题)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ； (2)求证：平面PAB ⊥平面PAD . 证明：由题意得CB ，CD ，CP 两两垂直，所以以点C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CD 所在直线为y 轴，CP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，因为PC ⊥平面ABCD ，所以∠PBC 为PB 与平面ABCD 所成的角，所以∠PBC ＝30°.因为PC ＝2，所以BC ＝23，PB ＝4.所以D (0，1，0)，B (23，0，0)，A (23，4，0)，P (0，0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.所以DP →＝(0，－1，2)，DA →＝(23，3，0)，CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，32.(1)令n ＝(x ，y ，z )为平面PAD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧DP →·n ＝0，DA →·n ＝0，即⎩⎨⎧－y ＋2z ＝0，23x ＋3y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝12y ，x ＝－32y ，令y ＝2，得n ＝(－3，2，1)．因为n ·CM →＝－3×32＋2×0＋1×32＝0，所以n ⊥CM →，又CM ⊄平面PAD ，所以CM ∥平面PAD .(2)取AP 的中点E ，则E (3，2，1)，BE →＝(－3，2，1)．因为PB ＝AB ，所以BE ⊥PA .又因为BE →·DA →＝(－3，2，1)·(23，3，0)＝0. 所以BE →⊥DA →，所以BE ⊥DA ，又因为PA ∩DA ＝A ，所以BE ⊥平面PAD ，又因为BE ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD .。

高中数学第三章空间向量与立体几何随堂检测理新人

【优化方案】2013-2014学年高中数学第三章空间向量与立体几何随堂检测理新人教A 版选修2-11．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)解析：选A.逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1,4,1)，∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1解析：选A.∵⎩⎪⎨⎪⎧22＋42＋x 2＝62，2×2＋4×y ＋x ×2＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1.∴x ＋y ＝1或－3.3．已知S 是△ABC 所在平面外一点，D 是SC 的中点，若BD →＝xAB →＋yAC →＋zAS →，则x＋y ＋z ＝________.解析：BD →＝12(BC →＋BS →)＝12(AC →－AB →＋AS →－AB →) ＝12AC →－AB →＋12AS →，所以y ＝z ＝12，x ＝－1，x ＋y ＋z ＝0. 答案：04．设|m |＝1，|n |＝2,2m ＋n 与m －3n 垂直，a ＝4m －n ，b ＝7m ＋2n ，则〈a ，b 〉＝________. 解析：∵(2m ＋n )⊥(m －3n )，∴(2m ＋n )·(m －3n )＝0，化简，得m ·n ＝－2. 又∵|a |＝a 2＝(4m －n )2＝16＋4＋16＝6， |b |＝b 2＝(7m ＋2n )2＝49＋16－56＝3， a·b ＝(4m －n )·(7m ＋2n )＝28|m |2－2|n |2＋m·n ＝18，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝186×3＝1，〈a ，b 〉＝0°. 答案：0°5．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为A 1D 1和CC 1的中点．(1)求证：EF ∥平面ACD 1；(2)求异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值；(3)在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P －AC －B 的大小为30°？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．解：如图，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ，由已知得D (0,0,0)、A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、B 1(2,2,2)、E (1,0,2)、F (0，2,1)．(1)证明：易知平面ACD 1的一个法向量DB 1→＝(2,2,2)．∵EF →＝(－1,2，－1)，∴EF →·DB 1→＝－2＋4－2＝0，∴EF →⊥DB 1→，而EF ⊄平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1.(2)∵AB →＝(0,2,0)，∴cos 〈EF →，AB →〉＝EF →·AB →|EF →||AB →|＝426＝63， ∴异面直线EF 与AB 所成的角的余弦值为63. (3)设点P (2,2，t )(0<t ≤2)，平面ACP 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AP →＝0. ∵AC →＝(－2,2,0)，AP →＝(0,2，t )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，2y ＋tz ＝0，取n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，－2t . 易知平面ABC 的一个法向量BB 1→＝(0,0,2)，依题意知〈BB 1→，n 〉＝30°或〈BB 1→，n 〉＝150°，∴|cos 〈BB 1→，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪－4t 2·2＋4t2＝32，即4t 2＝34⎝⎛⎭⎫2＋4t 2，解得t ＝63. ∵63∈(0,2]，∴在棱BB 1上存在一点P ，当BP 的长为63时，二面角P －AC －B 的大小为30°.。

2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元质量测评新人教A版选修2-1(最新整理)

第三章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分．1．若平面α外直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n,则能使l∥α的是( ) A．a＝（1，0，1)，n＝（－2,0,0）B．a＝(1,3，5），n＝(1，0，1)C．a＝（0，2,1），n＝(－1，0，－1）D．a＝(1，－1，3），n＝（0,3，1)答案D解析若l∥α,则a·n＝0，只有选项D中a·n＝0。

2．已知A（1,2，－1）,B为A关于平面xOy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则错误!＝（)A．(－2，0，－2） B．(2,0，2)C．（－1,0,－1) D．(0,－2,－2)答案A解析由题意可知B(1，2,1）,C(－1，2，－1)，∴错误!＝(－2,0，－2）．3．以下四组向量中,互相平行的组数为（)①a＝（2，2,1)，b＝（3,－2，－2)；②a＝(8，4，－6)，b＝(4，2，－3）；③a＝(0，－1，1），b＝(0,3,－3）；④a＝(－3,2,0），b＝（4，－3，3）．A．1 B．2 C．3 D．4答案B解析∵②中a＝2b，∴a∥b；③中a＝－13b，∴a∥b；而①④中的向量不平行．故选B。

4．已知a＝（1，x,1)，b＝(2，1,－1）的夹角为锐角，则函数y＝x2＋4x－1的值域是( )A．（－∞,3) B．（－∞，－3)C．(－4，＋∞）D．(－∞，－4）答案C解析因a＝（1，x,1），b＝（2，1，－1）的夹角为锐角,则a·b〉0，同时a＝（1，x,1），b＝(2，1，－1）不共线，即2＋x－1>0，得x〉－1，则y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5>－4,故选C.5．已知A（2，－4，－1），B（－1,5,1），C(3，－4，1），D（0,0,0），令a＝错误!,b＝错误!，则a＋b为（）A．(5，－9，2) B．(－5,9，－2)C．（5,9,－2） D．（5,－9，－2）答案B解析∵a＝错误!＝(－1，0,－2)，b＝错误!＝（－4,9，0)，∴a＋b＝（－5，9，－2）．6．已知a＝（1,2,－y），b＝(x,1,2)，且(a＋2b）∥(2a－b)，则（）A．x＝错误!，y＝1 B．x＝错误!，y＝－4C．x＝2，y＝－错误!D．x＝1,y＝－1答案B解析由题意知，a＋2b＝（2x＋1,4，4－y），2a－b＝(2－x，3，－2y－2）．∵(a＋2b)∥（2a－b)，∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，∴错误!解得错误!7．已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m＝8j＋3k,n＝－i＋5j－4k，则m·n＝( )A．7 B．－20 C．28 D．11答案C解析因为m＝(0，8，3),n＝（－1，5，－4)，所以m·n＝0＋40－12＝28。

【名师一号】高中数学第三章空间向量与立体几何单元同步测试(含解析)新人教A版选修2-1

【名师一号】2014-2015学年高中数学第三章空间向量与立体几何单元同步测试（含解析）新人教A 版选修2-1(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．向量a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，若a 与b 共线，则( ) A ．x ＝1，y ＝1 B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝23解析由a ∥b 知，a ＝λb ，∴2x ＝λ，1＝－2λy,3＝9λ，∴λ＝13，x ＝16，y ＝－32.答案 C2．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析 a ·b ＝－3＋2x －5＝2，∴x ＝5. 答案 B3．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则实数m 的值为( )A ．3B ．2C ．1D.12 解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴－2＋6－2m ＝0，∴m ＝2. 答案 B4．若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 ∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，而a ·b ＝|a ||b |. ∴cos 〈a ，b 〉＝1，∴〈a ，b 〉＝0.∴a 与b 共线．反之，若a 与b 共线，也可能a ·b ＝－|a |·|b |，因此应选B. 答案 B5．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析 MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23A 1B →＋BC →＋23CA →＝23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →) ＝23B 1B →＋BC →＋23DA →. 而CD →是平面BB 1C 1C 的一个法向量，且MN →·CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23B 1B →＋BC →＋23DA →·CD →＝0，∴MN →⊥CD →.又MN ⊄平面BB 1C 1C ，∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案 B6．已知a ，b ，c 是空间的一个基底，设p ＝a ＋b ，q ＝a －b ，则下列向量中可以与p ，q 一起构成空间的另一个基底的是( )A ．aB ．bC ．cD ．以上都不对解析 ∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋b ，a －b ，c 不共面，∴p ，q ，c 可构成空间的一个基底．答案 C7．已知△ABC 的三个顶点A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( ) A ．2 B ．3 C.647D.657解析 BC 的中点D 的坐标为(2,1,4)， ∴AD →＝(－1，－2,2)． ∴|AD →|＝1＋4＋4＝3. 答案 B8．与向量a ＝(2,3,6)共线的单位向量是( ) A ．(27，37，67)B ．(－27，－37，－67)C ．(27，－37，－67)和(－27，37，67)D ．(27，37，67)和(－27，－37，－67)解析 |a |＝22＋32＋62＝7，∴与a 共线的单位向量是±17(2,3,6)，故应选D.答案 D9．已知向量a ＝(2,4，x )，b ＝(2，y,2)，若|a |＝6且a ⊥b ，则x ＋y 为( ) A ．－3或1 B ．3或－1 C ．－3D ．1解析由|a |＝6，a ⊥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧4＋16＋x 2＝36，4＋4y ＋2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1.∴x ＋y ＝1，或－3. 答案 A10．已知a ＝(x,2,0)，b ＝(3,2－x ，x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是( )A ．x >4B ．x <－4C ．0<x <4D ．－4<x <0解析 ∵〈a ，b 〉为钝角，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉<0，即3x ＋2(2－x )<0，∴x <－4.答案 B11．已知空间四个点A (1,1,1)，B (－4,0,2)，C (－3，－1，0)，D (－1,0,4)，则直线AD 与平面ABC 所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析设平面ABC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵AB →＝(－5，－1,1)，AC →＝(－4，－2，－1)，由n ·AB →＝0及n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－5x －y ＋z ＝0，－4x －2y －z ＝0，令z ＝1，得x ＝12，y ＝－32，∴n ＝(12，－32，1)．又AD →＝(－2，－1,3)，设AD 与平面ABC 所成的角为θ，则sin θ＝|AD →·n ||AD →||n |＝－1＋32＋314×142＝12， ∴θ＝30°. 答案 A12．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35解析不妨令CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2，得O (0,0,0)，B (0,0,1)，C 1(0,2,0)，A (2,0,0)，B 1(0,2,1)，∴BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)．∴cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝BC 1→·AB 1→|BC 1→|·|AB 1→|＝335＝55.答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上) 13．已知{i ，j ，k }为单位正交基底，且a ＝－i ＋j ＋3k ，b ＝2i －3j －2k ，则向量a ＋b 与向量a －2b 的坐标分别是________；________.解析依题意知，a ＝(－1,1,3)，b ＝(2，－3，－2)，则a ＋b ＝(1，－2,1)，a －2b ＝(－1,1,3)－2(2，－3，－2)＝(－5,7,7)．答案 (1，－2,1) (－5,7,7)14．在△ABC 中，已知AB →＝(2,4,0)，BC →＝(－1,3,0)，则∠ABC ＝________.解析 cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC→|AB →||BC →|＝10102＝22，∴〈AB →，BC →〉＝π4，∴∠ABC ＝π－π4＝3π4.答案3π415．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABD 1与面B 1BD 1所夹角的大小为________．解析建立空间直角坐标系D －xyz ，如图．设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)． ∴D 1A →＝(1,0，－1)，D 1B →＝(1,1，－1)，D 1B 1→＝(1,1,0)．设平面ABD 1的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BD 1的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则由m ·D 1A →＝0，m ·D 1B →＝0，可得m ＝(1,0,1)，由n ·D 1B →＝0，n ·D 1B 1→＝0，得n ＝(1，－1,0)，∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝12.∴所求二平面的大小为60°.答案 60°16．在下列命题中：①若a ，b 共线，则a ，b 所在的直线平行；②若a ，b 所在的直线是异面直线，则a ，b 一定不共面；③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；④已知三向量a ，b ，c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中不正确的命题为________．解析 ①a ，b 共线，包括a 与b 重合，所以①错． ②空间任意两个向量均共面，所以②错．③以空间向量的一组基底{a ，b ，c }为例，知它们两两共面，但它们三个不共面，所以③错．④当与a ，b ，c 共面时，不成立，所以④错．答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，如图，M 是PC 的中点，问向量PA →，MB →，MD →是否可以组成一个基底，并说明理由．解 PA →，MB →，MD →不可以组成一个基底．理由如下：连接AC ，BD 相交于点O ， ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC ，BD 的中点．在△MBD 中，连接MO ，则MO →＝12(MD →＋MB →)．在△PAC 中，M 是PC 的中点，O 是AC 的中点 ∴MO →＝12PA →，∴PA →＝2MO →＝MB →＋MD →.∴PA →，MB →，MD →共面，故PA →，MB →，MD →不可以组成一个基底．18．(12分)设a 1＝2i －j ＋k ，a 2＝i ＋3j －2k ，a 3＝－2i ＋j －3k ，a 4＝3i ＋2j ＋5k ，试问是否存在实数a ，b ，c 使a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立？如果存在，求出a ，b ，c 的值；如果不存在，请说明理由．解假设a 4＝a a 1＋b a 2＋c a 3成立．由已知a 1＝(2，－1,1)，a 2＝(1,3，－2)， a 3＝(－2,1，－3)，a 4＝(3,2,5)，可得(2a ＋b －2c ，－a ＋3b ＋c ，a －2b －3c )＝(3,2,5)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b －2c ＝3，－a ＋3b ＋c ＝2，a －2b －3c ＝5，解得：a ＝－2，b ＝1，c ＝－3.故有a 4＝－2a 1＋a 2－3a 3. 综上知，满足题意的实数存在，且a ＝－2，b ＝1，c ＝－3.19．(12分)四棱柱ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝5，AD ＝3，AA ′＝7，∠BAD ＝60°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝45°，求AC ′的长．解 AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→， ∴(AC ′→)2＝(AB →＋AD →＋AA ′→)2＝AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′→＋AD →·AA ′→) ＝25＋9＋49＋2(5×3cos60°＋5×7cos45°＋3×7cos45°) ＝98＋56 2.∴|AC ′→|＝98＋562，即AC ′的长为98＋56 2.20．(12分)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在的平面，AB ＝2，PC 与平面ABCD 所成角是45°，F 是AD 的中点，M 是PC 的中点．求证：DM ∥平面PFB .证明以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由PC 与平面ABCD 所成的角为45°，即∠PCD ＝45°，得PD ＝2，则P (0,0,2)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，F (1,0,0)，D (0,0,0)，M (0,1,1)，∴FB →＝(1,2,0)，FP →＝(－1,0,2)，DM →＝(0,1,1)．设平面PFB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ∴⎩⎪⎨⎪⎧FB →·n ＝0，FP →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0.令y ＝1，则x ＝－2，z ＝－1.故平面PFB 的一个法向量为n ＝(－2,1，－1)． ∵DM →·n ＝0，∴DM →⊥n .又DM ⊄平面PFB ，则DM ∥平面PFB . 21．(12分)如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在C 1C 上，且C 1E ＝3EC . (1)证明A 1C ⊥平面BED ；(2)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．解以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz.依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)． DE →＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)， A 1C →＝(－2,2，－4)，DA 1→＝(2,0,4)．(1)∵A 1C →·DB →＝0，A 1C →·DE →＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE . 又DB ∩DE ＝D ， ∴A 1C ⊥平面DBE .(2)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则n ⊥DE →，n ⊥DA 1→.∴2y ＋z ＝0,2x ＋4z ＝0. 令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4， ∴n ＝(4,1，－2)．∴cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C→|n ||A 1C →|＝1442. ∵〈n ，A 1C →〉等于二面角A 1－DE －B 的平面角， ∴二面角A 1－DE －B 的余弦值为1442. 22．(12分)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．(1)证明：平面AED ⊥平面A 1FD 1；(2)在AE 上求一点M ，使得A 1M ⊥平面DAE.解 (1)证明：建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (0,1,0)，A 1(2,0,2)，D 1(0,0,2)．设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DA →＝x 1，y 1，z 1，0，＝0，n 1·DE →＝x 1，y 1，z 1，2，＝0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝0，2x 1＋2y 1＋z 1＝0. 令y 1＝1，得n 1＝(0,1，－2)．同理可得平面A 1FD 1的法向量n 2＝(0,2,1)．∵n 1·n 2＝0，∴平面AED ⊥平面A 1FD 1.(2)由于点M 在AE 上，∴可设AM →＝λAE →＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，可得M (2,2λ，λ)，于是A 1M →＝(0,2λ，λ－2)．要使A 1M ⊥平面DAE ，需A 1M ⊥AE ，∴A 1M →·AE →＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝25. 故当AM ＝25AE 时，即点M 坐标为(2，45，25)时，A 1M ⊥平面DAE .。

2019-2020年高中数学第三章空间向量与立体几何章末过关检测新人教A版选修2-1

2019-2020年高中数学第三章空间向量与立体几何章末过关检测新人教A 版选修2-1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．空间直角坐标系中A (1，2，3)，B (－1，0，5)，C (3，0，4)，D (4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定1．解析：∵AB →＝(－2，－2，2)，CD →＝(1，1，－1)，又∵AB →＝－2CD →，∴AB →∥CD →，即AB ∥CD .答案：A2．若直线l 的方向向量为a ＝(1，0，2)，平面α的法向量为n ＝(－2，0，－4)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ⊂α D ．l 与α相交2．解析：∵n ＝－2a ，∴a 与α的法向量平行，∴l ⊥α. 答案：B3．已知向量a ＝(0，2，1)，b ＝(－1，1，－2)，则a 与b 的夹角为( ) A ．0° B ．45° C ．90° D ．180° 3．解析：∵cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝2－25×6＝0，∴〈a ，b 〉＝90°. 答案：C4．空间四边形ABCD 的各边和对角线均相等，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →<AE →·CD → B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →的大小不能比较4．解析：取BD 的中点F ，连接EF ，则EF ＝12CD 且EF ∥CD ，因为〈AE →，EF →〉＝〈AE →，CD →〉>90°，因为AE →·BC →＝0，AE →·CD →<0，所以AE →·BC →>AE →·CD →.答案：C5．如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD →1等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c5．解析：BD →1＝BA →＋AD →＋DD 1→＝－a ＋b ＋c . 答案：D6．已知平面α内有一点M (1，－1，2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3，6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )A ．P (2，3，3)B ．P (－2，0，1)C ．P (－4，4，0)D ．P (3，－3，4)6．解析：逐一验证法，对于选项A ，MP →＝(1，4，1)， ∴MP →·n ＝6－12＋6＝0，∴MP →⊥n ，∴点P 在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内．答案：A7．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，则λ等于( ) A.32 B ．－32 C ．±32D ．1 7．解析：由a ·b ＝0及(3a ＋2b )·(λa －b )＝0，得3λa 2＝2b 2，又|a |＝2，|b |＝3，所以λ＝32，故选A.答案：A8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．解析：在△BCD 中，BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2>0，∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．答案：B9．已知A (－1，0，1)，B (0，0，1)，C (2，2，2)，D (0，0，3)，则sin AB →，CD →等于( )A ．－23 B.23 C.53 D ．－539．解析：AB →＝(1，0，0)，CD →＝(－2，－2，1)，所以cosAB →，CD →＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝－21×3＝－23.所以AB →，CD →∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.所以sinAB →，CD →＝1－cos2AB →，CD →＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝53. 答案：C10．在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2，1)，已知点P (－1，3，2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )A ．4B ．2C ．3D ．110．解析：P 点到平面OAB 的距离为d ＝|OP →·n ||n |＝|－2－6＋2|9＝2，故选B.答案：B11．(xx·北京卷)在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，D (1，1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥DABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 111．解析：设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为D 1、D 2、D 3，则AD 1＝BD 1＝2，AB ＝2，∴S 1＝12×2×2＝2，S 2＝S △OCD 2＝12×2×2＝2，S 3＝S △OAD 3＝12×2×2＝ 2.故选D.答案：D12．已知OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 12．解析：设Q (x ，y ，z )，因Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →，可得：x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ，则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－432－23，故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝________．13．解析：P 与不共线三点A ，B ，C 共面，且OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R)，则x ＋y ＋z ＝1是四点共面的充要条件．答案：－214．已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，若a ⊥b ，则x ＝________；若a ∥b ，则x ＝______．14．解析：若a ⊥b ，则－8－2＋3x ＝0，x ＝103；若a ∥b ，则2∶(－4)＝(－1)∶2＝3∶x ，x ＝－6. 答案：103－615．设a ，b 是直线，α，β是平面，a ⊥α，b ⊥β，向量a 1在a 上，向量b 1在b 上，a 1＝(1，1，1)，b 1＝(－3，4，0)，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．15．解析：由题意，cos θ＝|cos 〈a 1，b 1〉|＝|a 1·b 1||a 1||b 1|＝（1，1，1）·（－3，4，0）3·5＝315.答案：31516．如图所示，已知二面角αl β的平面角为θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．16．解析：AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ，即AD 的长为3－2cos θ. 答案：3－2cos θ三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分11分)如图所示，在平行六面体ABCDA 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是C 1D 1，AB 的中点，E 在AA 1上且AE ＝2EA 1，F 在CC 1上且CF ＝12FC 1，试证明ME ∥NF .17．证明：由平行六面体的性质 ME →＝MD 1→＋D 1A 1→＋A 1E →＝12C 1D 1→－AD →＋13A 1A →＝－12AB →－AD →－13AA 1→， NF →＝NB →＋BC →＋CF →＝12AB →＋AD →＋13CC 1→＝12AB →＋AD →＋13AA 1→，∴ME →＝－NF →，又M ，E ，N ，F 不共线，∴ME ∥NF .18．(本小题满分11分)已知空间三点A (－2，0，2)，B (－1，1，2)，C (－3，0，4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．18．解析：a ＝AB →＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，b ＝AC →＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)． (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，所以a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)ka ＋b ＝(k ，k ，0)＋(－1，0，2)＝(k －1，k ，2)，ka －2b ＝(k ，k ，0)－(－2，0，4)＝(k ＋2，k ，－4)，所以(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，所以k ＝－52或k ＝2.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．证明：PC ⊥平面BEF .19．证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．因为AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，所以A ，B ，C ，D ，P 的坐标分别为A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，22，0)，D (0，22，0)，P (0，0，2)．又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，所以E (0，2，0)，F (1，2，1)．所以PC →＝(2，22，－2)，BF →＝(－1，2，1)，EF →＝(1，0，1)．所以PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →＝2＋0－2＝0. 所以PC →⊥BF →，PC →⊥EF →. 所以PC ⊥BF ，PC ⊥EF . 又BF ∩EF ＝F ，所以PC ⊥平面BEF .20．(本小题满分12分)(xx·新课标全国卷Ⅱ)如图，四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角DAEC 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥EACD 的体积．20．(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB . 因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)解析：因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A xyz ，则D ()0，3，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.设B (m ，0，0)(m >0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)．设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝12，即33＋4m 2＝12，解得m ＝32. 因为E 为PD 的中点，所以三棱锥EACD 的高为12.三棱锥EACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.21.(本小题满分12分)如图，在棱长为1的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，CP ＝m .试确定m 使得直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°.21．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，P (0，1，m )，C (0，1，0)，D (0，0，0)，B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)．则BD →＝(－1，－1，0)，BB 1→＝(0，0，1)，AP →＝(－1，1，m )，AC →＝(－1，1，0)．又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0知，AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量．设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈AP →，AC →〉|＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22＋m 2·2，依题意得22＋m 2·2＝sin 60°＝32，解得m ＝63. 故当m ＝63时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角为60°. 22．(本小题满分12分)(xx·广州一模)如图，在棱长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1D 的中点，点F 在棱B 1B 上，且满足B 1F ＝2FB .(1)求证：EF ⊥A 1C 1；(2)在棱C 1C 上确定一点G ，使A ，E ，G ，F 四点共面，并求此时C 1G 的长； (3)求平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．22．(1)证明：以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则A (a ，0，0)，A 1(a ，0，a )，C 1(0，a ，a )，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12a ， F (a ，a ，13a )，所以A 1C 1→＝(－a ，a ，0)，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，－16a .因为A 1C 1→·EF →＝－a 2＋a 2＋0＝0，所以A 1C 1→⊥EF →. 所以EF ⊥A 1C 1.(2)解析：设G (0，a ，h )，因为平面ADD 1A 1∥平面BCC 1B 1，平面ADD 1A 1∩平面AEGF ＝AE ，平面BCC 1B 1∩平面AEGF ＝FG ，所以FG ∥AE .所以存在实数λ，使得FG →＝λAE →.因为AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，12a ，FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，h －13a ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，h －13a ＝λ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，0，12a . 所以λ＝1，h ＝56a .所以C 1G ＝CC 1－CG ＝a －56a ＝16a .故当C 1G ＝16a 时，A ，E ，G ，F 四点共面．(3)解析：由(1)知，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ，0，12a ，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，13a .设n ＝(x ，y ，z )是平面AEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0，n ·AF →＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧－ax ＋12az ＝0，ay ＋13az ＝0.取z ＝6，则x ＝3，y ＝－2.所以n ＝(3，－2，6)是平面AEF 的一个法向量．而DD 1→＝(0，0，a )是平面ABCD 的一个法向量，设平面AEF 与平面ABCD 所成的二面角为θ，则cos θ＝|n ·DD 1→||n |·|DD 1→|＝|0×3＋0×（－2）＋a ×6|32＋（－2）2＋62×|a |＝67. 故平面AEF 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为67.2019-2020年高中数学第三章立体几何单元测试练习理新人教A 版选修2-1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．下列四个命题中，真命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合 ②两条直线可以确定一个平面③若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内 A ．1 B ．2 C ．3D ．43．一个空间几何体的主视图、左视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为( )A ．2 3B ．4 3C ．4D ．84．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )A ．54B ．54πC ．58D ．58π5．设三条不同的直线a 、b 、c ，两个不同的平面α，β，b α，c α.则下列命题不成立的是( ) A ．若α∥β，c ⊥α，则c ⊥β B ．“若b ⊥β，则α⊥β”的逆命题 C ．若a 是c 在α的射影，b ⊥a ，则c ⊥b D ．“若b ∥c ，则c ∥α”的逆否命题 6．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( ) A.23 B.33 C.23D.637．设P 是平面α外一点，且P 到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是( ) A ．梯形 B ．圆外切四边形 C ．圆内接四边形 D ．任意四边形 8．用a ，b ，c 表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ； ③若a ∥γ，b ∥γ，则a ∥b ； ④若a ⊥γ，b ⊥γ，则a ∥b . 其中真命题的序号是( ) A ．①② B．②③ C．①④D ．③④9．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2 B.73πa 2 C.113πa 2 D ．5πa 210．正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，BB 1＝4，长为1的线段PQ 在棱AA 1上移动，长为3的线段MN 在棱CC 1上移动，点R 在棱BB 1上移动，则四棱锥R －PQMN 的体积是( )A ．6B ．10C ．12D ．不确定11．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥m C ．AB ∥βD ．AC ⊥β12．设α，β，γ是三个互不重合的平面，m ，n 是直线，给出下列命题： ①α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若α∥β，m ⊄β，m ∥α，则m ∥β；③若m ，n 在γ内的射影互相垂直，则m ⊥n ；④若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥n . 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．如图，一个空间几何体的主视图左视图和左视图都是边长为2的正三角形，俯视图是一个圆，那么该几何体的体积是________．14．如图，点O 为正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心，点E 为面B ′BCC ′的中心，点F 为B ′C ′的中点，则空间四边形D ′OEF 在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的图的序号)．15．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝6，AD ＝4，AA 1＝3，分别过BC ，A 1D 1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V 1＝VAEA 1－DFD 1，V 2＝VEBE 1A 1－FCF 1D 1，V 3＝VB 1E 1B －C 1F 1C .若V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，则截面A 1EFD 1的面积为________．16．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为AA 1的中点，在对角面BDD 1B 1上取一点M ，使AM ＋ME 最小，其最小值为________．选择题答案13. 14.15. 16.三、解答题：本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知正三棱锥V－ABC的侧棱长为4，俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的三视图；(2)求出侧视图的面积．18．(12分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝CB＝AA1＝2，D是AB的中点．(1)求证：CD⊥平面ABB1A1；(2)求二面角D－A1C－A的正切值．19．(12分) 图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AC ＝BC ＝2，AA 1＝4，AB ＝22，M ，N 分别是棱CC 1，AB 中点．(1)求证：CN ⊥平面ABB 1A 1；(2)求证：CN ∥平面AMB 1；(3)求三棱锥B 1－AMN 的体积．20．(12分)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝AB ＝12CD ＝1，M 为PB 的中点．(1)试在CD 上确定一点N ，使得MN ∥平面PAD ；(2)点N 在满足(1)的条件下，求直线MN与平面PAB 所成角的正弦值．21．(12分) 如图，M 、N 、P 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 、DD 1上的点． (1)若BM MA ＝BN NC，求证：无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN ； (2)若D 1P ∶PD ＝1∶2，且PB ⊥平面B 1MN ，求二面角M －B 1N －B 的余弦值； (3)棱DD 1上是否总存在这样的点P ，使得平面APC 1⊥平面ACC 1？证明你的结论．．22．(14分)圆柱OO1内有一个三棱柱ABC－A1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径.(1)求证：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；(2)设AB＝AA1，在圆柱OO1内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC－A1B1C1内的概率为p.①当点C在圆周上运动时，求p的最大值；②记平面A1ACC1与平面B1OC所成的角为θ(0°＜θ≤90°).当p取最大值时，求cos θ的值.立体几何单元测试（理科）参考答案一、选择题1．B 在空间中，两条直线没有公共点，可能是两条直线平行，也可能是两条直线异面，两条直线平行则两条直线没有公共点，∴“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的必要不充分条件．2．A ①两个平面有三个公共点，若这三个公共点共线，则这两个平面相交，故①不正确；两异面直线不能确定一个平面，故②不正确；在空间交于一点的三条直线不一定共面，故④不正确；据平面的性质可知③正确．3．C 由几何体的三视图可得，此几何体是由两个正四棱锥底面重合在一起组成的，由主视图的面积为32，得菱形的边长为1，此几何体的表面积为S ＝8×12×1×1＝4. 4．A 设圆台的上、下底面半径分别为r ，R ，截去的圆锥与原圆锥的高分别为h ，H ，则r R ＝hH，又πR 2＝9·πr 2，∴R ＝3r ，∴H ＝3h .∴13πR 2·H －13πr 2h ＝52.即13πR 2·H －13π·19R 2·13H ＝52，∴13πR 2H ＝54.5．B 命题C 即为三垂线定理；命题D 中的原命题即为线面平行的判定定理，所以D 正确；命题A 显然成立；对于命题B ，若α⊥β，则b 与β的位置关系都有可能．6．D 如图，连接BD 交AC 于O ，连接D1O ，由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角，易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝62， ∴cos∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝63.∴BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为63. 7．B P 到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则P 在平面α内的射影到四边形的四条边的距离也都相等，故四边形有内切圆．8．C 由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a ∥c ；③不正确，a 与b 有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可知④正确．9．B 由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a . 如图，设O 、O 1分别为下、上底面中心，且球心O 2为O 1O 的中点，又AD ＝32a ，AO ＝33a ，OO 2＝a2，设球的半径为R ，则R 2＝AO 22＝13a 2＋14a 2＝712a 2.∴S 球＝4πR 2＝4π×712a 2＝73πa 2.10．A 四棱锥R －PQMN 的底面积为S ＝S △PQM ＋S △MNP ＝12PQ ·AC ＋12MN ·AC ＝12(PQ ＋MN )·AC ＝12(1＋3)×32＝6 2.其高h ＝322，V R －PQMN ＝13Sh ＝13×62×322＝6.11．D ∵m ∥α，m ∥β，α∩β＝l ，∴m ∥l .∵AB ∥l ，∴AB ∥m .故A 一定正确．∵AC ⊥l ，m ∥l ，∴AC ⊥m .从而B 一定正确． ∵A ∈α，AB ∥l ，l α，∴B ∈α.∴AB ⊄β，l β.∴AB ∥β.故C 也正确．∵AC ⊥l ，当点C 在平面α内时，AC ⊥β成立，当点C 不在平面α内时，AC ⊥β不成立．故D 不一定成立．12．B 本题为线面位置关系的判定，注意对线面平行与垂直的判定定理与性质定理的应用．①错，当两平面同时垂直于一个平面时，这两个平面也可以平行，如正方体相对的两个平面；②正确，不妨过直线m 作一平面与α，β同时相交，交线分别为a ，b ，由α∥β知a ∥b ，又m ∥α⇒m ∥a ，∴m ∥b ，又m ⊄β，∴m ∥β；③错，不妨设该直线为正方体的两对角线，其在底面的射影为正方形的两对角线，它们是互相垂直的，但正方体的两对角线不垂直；④错，以正方形两平行棱，或一条棱及与其相交的面对角线为例，可找到反例．二、填空题13．解析：由三视图知该几何体是底面半径为1，高为3的圆锥．因此，其体积V ＝13π·12×3＝33π. 14．解析：图①为空间四边形D ′OEF 在前面(或后面)上的投影．图②为空间四边形D ′OEF 在左面(或右面)上的投影．图③为空间四边形D ′OEF 在上面(或下面)上的投影．答案： ①②③ 15．解析：设AE ＝x ，BE ＝6－x ，V1＝VAEA 1－DFD 1，V 2＝VEBE 1A 1－FCF 1D 1，V 3＝VB 1E 1B －C 1F 1C ，且V 1∶V 2∶V 3＝1∶4∶1，所以12×(3x )×4∶(6－x )×3×4∶12×(3x )×4＝1∶4∶1，解得x＝AE ＝2，∴A 1E ＝A 1A 2＋AE 2＝13， ∴SA 1EFD 1＝413.答案： 41316．解析：取CC 1的中点F ，连接EF ，EF 交平面BB 1D 1D 于点N ，且EN ＝FN ，所以F 点是E 点关于平面BB 1D 1D 的对称点，则AM ＋ME ＝AM ＋MF ，所以当A ，M ，F 三点共线时，AM ＋MF 最小，即AM ＋ME 最小，此时AM ＋MF ＝AF ＝AC 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫CC 122＝3a 2.答案： 32a 三、解答题17．解：(1)如图所示．(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，∴侧视图中VA ＝42－23×32×232＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.18．解析： (1)证明：因为AC ＝CB ，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，所以CD ⊥AB ，又因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CD ⊥AA 1，又∵AB ∩AA 1＝A ，∴CD ⊥平面ABB 1A 1. (2)建立如图所示的空间直角坐标系，∵AC ＝CB ＝AA 1＝2，∴A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，D (1,1,0)，C (0,0,0)，C 1(0,0,2)．显然平面A 1AC 的法向量为m ＝(0,1,0)，设平面A 1CD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧A 1D →·n ＝0A 1C →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －2z ＝02x ＋2z ＝0，令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)，令m ，n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－33，∴二面角D －A 1C －A 的余弦值为33，其正切值为 2.19．[解析] (1)证明：因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，又因为CN ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥CN . 因为AC ＝BC ＝2，N 是AB 中点，所以CN ⊥AB .因为AA 1∩AB ＝A ，所以CN ⊥平面ABB 1A 1.(2)证明：取AB 1的中点G ，连结MG ，NG ，因为N ，G 分别是棱AB ，AB 1中点，所以NG ∥BB 1，NG ＝12BB 1.又因为CM ∥BB 1，CM ＝12BB 1，所以CM ∥NG ，CM ＝NG .所以四边形CNGM 是平行四边形．所以CN ∥MG . 因为CN ⊄平面AMB 1，GM ⊂平面AMB 1，所以CN ∥平面AMB 1.(3)由(2)知GM ⊥平面AB 1N .所以VB 1－AMN ＝VM －AB 1N ＝13×12×22×4×2＝43.20．解析：方法一：(1)过点M 作ME ∥AB 交PA 于E 点，连接DE .要使MN ∥平面PAD ，则MN ∥ED ，∴四边形MNDE 为平行四边形， ∴EM 綊DN .又∵EM 綊12AB ，而AB ＝12CD ，∴DN ＝14CD ，∴DN ＝12.(2)∵MN ∥ED ，∴直线MN 与平面PAB 所成的角即为直线ED 与平面PAB所成的角．∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥AD ，而AB ⊥AD ，∴DA ⊥面PAB ，∴∠DEA 为直线ED 与平面PAB 所成的角．由题设计算得DE ＝52，∴sin∠DEA ＝AD DE ＝255. 方法二：过点M 作ME ∥AB 交PA 于E 点，连接DE .要使MN ∥平面PAD ，则MN ∥ED ，∴四边形MNDE 为平行四边形．以AD 、AB 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系A —xyz ，如图所示．则由题意得A (0,0,0)、B (0,1,0)、D (1,0,0)、C (1,2,0)、P (0,0,1)、M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12、N ⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0.(1)∵D N →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴|D N →|＝12.(2)∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥AD ，而AB ⊥AD ，∴DA ⊥面PAB .又∵N M →＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，0，12，D A →＝(－1,0,0)，∴cos〈N M →，D A →〉＝NM →·DA →|NM →|·|DA →|＝152·1＝255，∴直线MN 与平面PAB 所成的角的正弦值为255.21．解析： (1)证明：连接AC 、BD ，则BD ⊥AC ，∵BM MA ＝BNNC，∴MN ∥AC ，∴BD ⊥MN .又∵DD 1⊥平面ABCD ，∴DD 1⊥MN ，∵BD ∩DD 1＝D ，∴MN ⊥平面BDD 1.又P 无论在DD 1上如何移动，总有BP ⊂平面BDD 1，∴无论点P 在D 1D 上如何移动，总有BP ⊥MN .(2)以D 为坐标原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM ＝NC ＝t ，则M (1，t,0)，N (t,1,0)，B 1(1,1,1)，P (0,0，23)， B (1,1,0)，A (1,0,0)，∵MB 1→＝(0,1－t,1)，B P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，23.又∵BP ⊥平面MNB 1， ∴MB 1→·B P →＝0，即t －1＋23＝0，∴t ＝13，∴MB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23，1，M N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23，0. 设平面MNB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧MB 1→·n ＝0M N →·n ＝0，得x ＝y ，z ＝－23y . 令y ＝3，则n ＝(3,3，－2)．∵AB ⊥平面BB 1N ，∴A B →是平面BB 1N 的一个法向量，A B →＝(0,1,0)．设二面角M －B 1N －B 的大小为θ，∴cos〈n ，A B →〉＝，3，－，1，22＝32222.则二面角M －B 1N －B 的余弦值为32222.(3)存在点P ，且P 为DD 1的中点，使得平面APC 1⊥平面ACC 1.证明：∵BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，∴BD ⊥平面ACC 1.取BD 1的中点E ，连接PE ，则PE ∥BD ，∴PE ⊥平面ACC 1.∵PE ⊂平面APC 1，∴平面APC 1⊥平面ACC 1.22．【解析】(1)因为A 1A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以A 1A ⊥BC .因为AB 是圆O 的直径，所以BC ⊥AC .又AC ∩A 1A ＝A ，所以BC ⊥平面A 1ACC 1，而BC ⊂平面B 1BCC 1，所以平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1.(2)①设圆柱的底面半径为r ，则AB ＝AA 1＝2r ，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V 1＝12AC ·BC ·2r ＝ACBCr .又因为AC 2＋BC 2＝AB 2＝4r 2. 所以AC ·BC ≤AC 2＋BC 22＝2r 2，当且仅当AC ＝BC ＝2r 时等号成立. 从而V 1≤2r 3，而圆柱的体积V ＝πr 2·2r ＝2πr 3，故p ＝V 1V ≤2r 32πr 3＝1π，当且仅当AC ＝BC ＝2r ，即OC ⊥AB 时等号成立.所以p 的最大值等于1π. ②由①可知，p 取最大值时，OC ⊥AB .于是，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O －xyz (如图)，则C (r,0,0)，B (0，r,0)，B 1(0，r,2r ).因为BC ⊥平面A 1ACC 1，所以＝(r ，－r,0)是平面A 1ACC 1的一个法向量.设平面B 1OC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，取z＝1，得平面B1OC的一个法向量为n＝(0，－2,1)，因为0°＜θ≤90°，所以cos θ＝|cos〈n，〉|＝＝|2r5×2r|＝105.。

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