微积分1-4
4-1[1]高等数学 微积分 视频教程ppt课件
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原函数一定存在；
23
6、 x xdx ______________________；
7、
dx x2 x
_______________________；
8、 ( x 2 3x 2)dx _________________；
9、 ( x 1)( x 3 1)dx _____________；
10、
(1
x)2 x
dx
=____________________
.
二、求下列不定积分：
1、
x2 dx
1 x2
2、
23x 52x dx
3x
24
3、 cos2
x 2
dx
4、
cos 2x cos2 x sin2 x dx
5、
(1
1 x2
)
x
xdx
6、
x 2 sin2 x2 1
x
sec2
xdx
证 F ( x) G( x) F( x) G( x)
f (x) f (x) 0 F ( x) G( x) C （C为任意常数）
4
不定积分的定义：
在区间I 内，函数 f ( x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f ( x)在区间I 内的
不定积分，记为 f ( x)dx .
f ( x)dx F( x) C
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
2xdx x2 C , f ( x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1, 所求曲线方程为 y x2 1.
7
函数 f ( x)的原函数的图形称为 f ( x) 的积分曲线.
微积分(经济类)习题答案1
习题1-1（A ）1． 用集合描述法表示下列集合： （1） 所有非负实数组成的集合；（2） 圆221x y +=外部（不包括圆周）一切点组成的集合； （3） 双曲线222-1x y =与直线y x =交点组成的集合； （4） 抛物线线222y x x =+-与直线y x =交点组成的集合． 解：（1） {|0};x x ≥ （2）22{(,)|1};x y x y +>（3） 22{(,)|21,};x y x y y x -== （4）2{(,)|22,}.x y y x x y x =+-= 2． 用集合列举法表示下列集合：（1）双曲线2221x y -=与直线y x =-交点组成的集合； （2）抛物线221y x x =+-与直线1y x =+交点组成的集合；（3）椭圆2214x y +=与直线y x =交点组成的集合． 解：（1） {(1,1),(1,1)};-- （2）{(1,2),(2,1)};--（3） 3． 设I={1,2,3,4,5,6,7},A={1,2,4,6},B={3,4,5},C={2,3,7}，求下列集合：（1）A B ； （2）A B ； （3）A \B ； （4）AB C ； （5）A B C ； （6）cc A B .解：（1） {1,2,3,4,5,6}； （2）{4}；（3） {1,2,6}； （4） {1,2,3,4,5,6,7}； （5）φ ； （6） {7}.4． 用区间表示满足下列不等式的所有x 的集合：（1）|4|2x -≤； （2）|4|2x ->.解：（1）由|4|2x -≤可得26,x ≤≤ 故所求区间为[2,6]；（2）由|4|2x ->可得2x <或6,x > 故所求区间为(,2)(6,)-∞+∞.5． 求下列函数的定义域： （1）x y e =； （2）y = （3）x x y --+=21； （4）y =解：（1）由10x ->可得1,x > 故所求函数定义域为(1,)+∞；（2）由2ln(1x x +-≥)0有211x x +-≥，解得01,x ≤≤ 故所求函数定义域为[0,1]；（3）由1020x x +≥⎧⎨-≥⎩，，有12x -≤≤故所求函数定义域为[-1,2]；（4）由101xx+>-有11x -<<故所求函数定义域为(-1,1). 6． 设函数2(1)2f x x x -=+，求()f x .解：由2(1)2(1)5(1)3f x x x -=-+-+，得2()253f x x x =++.7．设函数2,11,()1x x f x x ⎧-≤≤⎪=>，求(2)f -, (0).f解：2(2)(0)00.f f -==== 8． 下列各题中，各组函数是否为同一函数？为什么？（1）()||f x x =与()g x ； （2）2()x f x x=与()g x x =；（3）()f x x =与ln ()xg x e=； （4））()f x =与()g x =解：（1||x =恒成立；（2）不相同，因为()f x 定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞，而()g x 定义域为(,)-∞+∞; （3）不相同，因为()f x 定义域为(,)-∞+∞，而()g x 定义域为(0,)+∞; （4）不相同，因为()f x 定义域为(3,)+∞，而()g x 定义域为(,1)(3,)-∞-⋃+∞. 9．判断下列函数的奇偶性：（1）()(0)xxf x a a a -=+>； （2）1()ln 1xf x x+=-. 解：（1）偶函数，因为()()xx f x a a f x --=+=；（2）奇函数，因为11()lnln ()11x xf x f x x x-+-==-=-+-. 10．设()f x 和()g x 是定义在),(l l -上的两个奇函数，()h x 和()q x 是定义在),(l l -上的两个偶函数，证明（1）()()f x g x +是奇函数，()()h x q x +是偶函数；（2）()()f x g x 与()()h x q x 均是偶函数，()()f x h x 是奇函数.证：按照奇函数和偶函数定义证明即可.下面仅以()()f x h x 是奇函数为例进行证明，其余情况类似.由题意可知()(),()()f x f x h x h x -=--=，进而()()()()f x h x f x h x --=-， 故()()f x h x 是定义在),(l l -上的奇函数.习题1—1（B ）1．已知函数()f x 的定义域为(0,1)，求函数1(||),(2),()1f x f x f x --的定义域. 解：由函数()f x 的定义域为(0,1)，可知0||1x <<，解得10x -<<或01x <<，所以(||)f x 的定义域为(1,0)(0,1)-⋃；由函数()f x 的定义域为(0,1)，可知021x <-<，解得23x <<，所以(2)f x -的定义域为(2,3); 由函数()f x 的定义域为(0,1)，可知1011x <<-，解得2x >，所以1()1f x -的定义域为(2,)+∞. 2．若对任何实数y x ,，恒有()()()f x y f x f y +=+，且(2)4f =，求(1)f . 解：在恒等式中，令1x y ==，则有4(2)(1)(1)2(1)f f f f ==+=, 进而(1)2f =. 3．若对任何实数y x ,，恒有()()()f x y f x f y +=，且(1)4f =，求(2)f . 解：在恒等式中，令1x y ==，则有(2)(1)(1)4416f f f ==⨯=. 4．设对任意的x ，有2()2(1)1f x f x x +-=-，求()f x .解：由已知2()2(1)1f x f x x +-=-，可得22(1)2()(1)12f x f x x x x -+=--=-，求解方程组22()2(1)1(1)2()2f x f x x f x f x x x⎧+-=-⎪⎨-+=-⎪⎩，解得2141()333f x x x =-+. 5．证明函数)1lg()(2x x x f ++=是定义在),(∞-∞上的奇函数.证：)1lg()(2x x x f ++=定义域为),(∞-∞，并且()lg()lgf x x x -=-==)()x f x =-=-，因此，函数)1lg()(2x x x f ++=是定义在),(∞-∞内的奇函数.习题1-2（A ）1. 求下列函数的定义域：（1）2ln 1x y x =-； （2）22log (4)sin x y x x =+-； （3）arcsin(21)y x =+； （4）21arctan1x y x +=-； （5）1arccosx y -=； （6）arcsin(1)ln(1)y x x =-++. 解：（1）由201x x >-, 可得1,x > 故所求函数定义域为(1,)+∞； （2）由sin 040x x ≠⎧⎨->⎩，，可得4,x >23...x k k π≠=且，，.故所求函数定义域为{|4,23...}x x x k k π>≠=且，，；（3）由1211x -≤+≤, 可得10x -≤≤， 故所求函数定义域为[1,0]-；（4）由210x -≠, 可得1x ≠±， 故所求函数定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞；（5）由1112||20x x -⎧-≤≤⎪⎨⎪->⎩，，可得23x <≤， 故所求函数定义域为(2,3]； （6）由11110x x -≤-≤⎧⎨+>⎩，，可得02x ≤≤， 故所求函数定义域为[0,2].2．判断下列函数的奇偶性：（1）()f x =（2）()tan cos f x x x x =+.解：（1）奇函数，因为()()f x f x -===-；（2）偶函数，因为()()tan()cos()tan cos ()f x x x x x x x f x -=--+-=+=. 3．在下列函数中哪些是周期函数？如果是周期函数，指出其最小正周期. （1）sin(35)y x =+； （2）tan(24)y x =+； （3）2sin y x =； （4）1cos5y x =+.解：（1）周期函数，最小正周期为23T π=； （2）周期函数，最小正周期为4T π=；（3）不是周期函数；（4）周期函数，最小正周期为25T π=. 4．下列各题中，各组函数是否为同一函数？为什么？（1）()1f x =与2()2cos cos 2g x x x =-； （2）()1f x =与22()sec tan g x x x =-. 解：（1）相同，因为22cos cos 21x x -=恒成立；（2）不相同，因为()f x 定义域为(,)-∞+∞，而()g x 定义域为{|,}2x x k k N ππ≠+∈.5. 证明下列恒等式：（1） 22tan 1sec ;x x += （2）22cot 1csc .x x +=证：对于上述三角函数有意义的x 值，有（1）22222222sin sin cos 1tan 11sec cos cos cos x x x x x x x x++=+===； （2）22222222cos sin cos 1cot 11csc sin sin sin x x x x x x x x++=+===.习题1-2（B ）1．若函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数1()(2)(23)x f f x f x x -+++，的定义域. 解：由函数()f x 的定义域为[0,1]，可知101x x -≤≤，解得1x ≥，所以1()x f x-的定义域为[1,)+∞；由函数()f x 的定义域为[0,1]，可知0210231x x ≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，解得 1.51x -≤≤-，所以(2)(23)f x f x +++的定义域为[ 1.5,1]--.2．若)(x f 是定义在),(+∞-∞上的函数，证明()()()F x f x f x =+-是偶函数，()()()H x f x f x =-- 是奇函数.证：由()()()()F x f x f x F x -=-+=，可知()()()F x f x f x =+-是偶函数；由()()()(()())()H x f x f x f x f x H x -=--=---=-，可知()()()H x f x f x =-- 是奇函数. 3. 定义在(,)(0)a a a ->上的任何一个函数都可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和，并且表示法唯一.证：不妨设()f x 为定义在(,)(0)a a a ->上的一个函数，令 ()()()2f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=，由于()()()()2f x f x F x F x -+-==，因此()F x 是定义在(,)(0)a a a ->上的偶函数；由于()()()()2f x f x G x G x ---==-，因此()G x 是定义在(,)(0)a a a ->上的奇函数，并且易知()()()f x F x G x =+,也就是说定义在(,)(0)a a a ->上的任何一个函数都可以表示成奇函数和偶函数之和形式.假设()()()f x P x Q x =+，其中()P x 为偶函数，()Q x 为奇函数. 由()()()f x F x G x =+，可得()()()()F x P x Q x G x -=-。
微积分基本公式16个
微积分基本公式16个1. 微分：微分是数学中最重要的概念之一，它指的是在一定时间内几何形状的变化率。
可以理解为小步长地移动拟合函数，接近曲线本身。
可以表示为\frac{dy}{dx} 或f'(x) 。
2. 泰勒公式：泰勒公式是一个重要的微积分工具，它可以在某一特定点附近对任意连续函数进行展开，也就是说任意设定一个位置x0，可以根据它附近的数值向量求出函数在该位置的平均值。
可以用公式表示为：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!} + \frac{f^{n}(x_0)(x-x_0)^n}{n!} + ...3. 高斯积分公式：高斯积分是指将函数抽象为一次多项式曲线，采用指数型或线性型积分方法求解积分。
它可以用公式f(x)=\sum_{i=0}^n a_i x^i 表示，其中a_i为积分下限、上限和积分点x_i处函数值相乘所得到的系数。
4. 黎曼积分：黎曼积分是一种常用的积分方法，它通过对连续函数求和，来确定函数在给定区间上的定积分。
可以用公式表示为：\int_{a}^{b}f(x)dx=\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x_i ,其中n为梯形的节点数。
5. Stokes公式：Stokes公式是一种将多变量函数投影到多方向进行积分的方法，可以用公式表示为：\int_{\Omega}\nabla\times{\bf F} dA =\int_{\partial\Omega}{\bf F}\cdot{\bf n}dS，其中\nabla\times{\bf F} 为梯度矢量场，\partial\Omega 为边界，{\bfn}dS 为单位向量与边界面积的乘积。
6. Γ函数：Γ函数是一种重要的数学函数，通常用来表示非负整数的排列组合，也可以表示实数的阶乘，可以用公式表示为：\Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt7. 方阵的行列式：方阵的行列式是指一个n阶矩阵的行列式，可以用公式表示为：D= |a_{i,j}| = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & ... & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & ... & a_{n,n} \end{vmatrix} ，其中a_{i,j} 为矩阵中的元素。
马军主编第三版微积分练习册答案(第1-5单元)
《微积分》练习册参考答案练习1-1一、DDAD 无，二、1、2arcsin(1)2x k π-+；[，2、(5,2)-，3、21,0x x +≠，4、1,0,1x x x-≠；,0,1x x ≠，5、3log (1),1y x x =+>-四、20,)2(2lx x x l V <<-= 五、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤--≤≤=a t a at a a t t a t t S 2,2,)(210212222， 六、（1）⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤≤=1600751600100,01.0)10090100090x x x x P ，（， (2)[]⎪⎩⎪⎨⎧>≤<--≤≤=-=1600751600100,01.0)10030100030)60(x x x x x x x P x L ，（，(3)210001000==x L(元)练习1-2一、DDDBCD ，二、1、1/2，2、0；6，3、4/3，4、4，5、0，三、1、1/2，2、0，3、-1，4、1/2，5、1，6、1，7、-1/2，8、2，四、因为00lim ()lim 11;lim ()lim 11;x x x x f x x f x x --++→→→→=-=-=+=所以0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以0lim ()x f x →不存在五、0000||||lim lim 1;lim lim 1;x x x x x x x x x x x x --++→→→→-==-==00||||lim lim ;x x x x x x -+→→≠所以0||lim x x x→不存在 七、111,0,1,lim 1x x x x e e x→+∞→+∞→∴→=当时即；0,x →当时分左右讨论，1110,,;10,,0x x x e x x e x+-→→+∞→+∞→→-∞→当时当时因此1lim xx e →不存在练习1-3一、,,,,,,,,⨯⨯⨯∨⨯⨯∨⨯二、CBCBDD 三、∞,2,0,1,532503020，四、6，41，2，-2，43，31，∞，32，0，32，31，1，五、1,1-==b a ，六、1 练习1-4 一、DCCAC 二、53，2，21-，21，21， x ,21,21-,21,32, 2,-1,3e,2-e,1-e,1-e ,3e ,e ,3-e,1练习1-5一、CCDAD 二、一；2,1,0=x ；0=b ；1，1；2十、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<+>=1 x 1-1 x 01|| ,11||,0)(，，x x x x f ，1=x 为跳跃间断点，1-=x 不为间断点练习2-1一、,,,,,,⨯⨯⨯∨⨯⨯⨯二、B,C,B,C,D,C,C 三、1、1221y x x-'=+，2、33221522y x x -'=--，3、11ln n n y nxx x --'=+，4、22cos sin sin cos sin x x x x x xy x x--'=+，5、sin ln cos ln sin y x x x x x x'=++6、22(1ln )y x x '=-四、0lim ()lim ln(1)0,(0)0,lim ()0x x x x f x x f f x --++→→→→=+====因此f 在0x =处连续0()(0)ln(1)0(0)lim lim 100x x f x f x f x x ---→→-+-'===--，00()(0)0(0)lim lim 100x x f x f f x x +++→→-'===--，因此f 在0x =处可导练习2-2 一、1、222x y a x -'=-，2、23cos sin 222x x y '=-，3、1sin cos cos sin sin n ny n x x nx n x nx -'=- 4、csc y x '=，5、112sin cos y x x x '=-，6、1ln y x x '=，7、221y x '=+，8121x y e x-'=9、23ln33(1ln )xxy x x x '=+++，10、2sin ln(12)12y x x'=-++11、1113[]112(3)2(3)x y x x x x x '=-+-++-+，12、arctan x xy e e -'=- 二、1、122y x y y x +-'=-，2、ln 1y y x y '=-，3、1y ye y xe '=-，4、1x yx y e y e++'=- 三、1、()()()()()x x f x x f x y f e e e f e e f x '''=+，2、211(arcsin )y f xx''=-3、1()()x e x e y f e x e ex -''=++，4、22sin 2((sin )(cos ))y x f x f x '''=-四、1、50km/h 2、()()(1) 1.4/s t s t s km h ''===练习2-3一、DCDBC,DBDBC二、1、22222(1)x y x -''=+，2、1y x ''=，3、222arctan 1x y x x ''=++，4、23(64)x y e x x ''=+ 三、1、232dy bt dx at=，2、cos sin 1sin cos dy dx θθθθθθ-=-- 四、1、x y x y e y dy dx x e ++-=-，2、1()(1)(1)!(1)n n nn y x ---=+，3、()2312ln ln n y x x x x -=+练习3-1一、ABBBA 二、∞，0，0，0，1，1，6，-1/2，32()ab练习3-2 一、⨯，⨯，∨，∨，⨯，⨯，⨯，二、ADBACDCC三、2,递增，（e ，+∞），（0，e ），-n-1， 1n e ---，1/2,3/2,0,0a b c d =-===，6、7略，1x e -=-，四、略，五、1、(,0),(0,2),(2,),22ln 4x -∞↑↓+∞↑=-时有极小值 2、01x x ==-时有最小值0，时有最大值e 3、(,,()-∞⋂⋃⋂+∞⋃，拐点：(0,0),()22- 4、（1）1,2x y x ==+（2）0,x y x == 5、6、8、略7、cos ,sec K x x ρ==一、21x -，12212-+x x ，32-=x y ，211x x --，c x x ++3312ln 2，二、CBDCC 三、c x x +-2325252，c x x +-arctan ，c x x ++cos sin ，c x x +-sec tan c x x +--4ln 3ln 1)43(3，c x x +--cot练习4-2一、21，21，x 2tan 21，3ln 31x-;二、DDDCC ，三、c x +--23)21(31，c a a x +ln 33，c x +3arctan 31，c e x +-1，c x+23arctan 61，c e x ++)1ln(，c x +|ln |ln ，c x +sec 练习4-3 一、CBA ，二、c x x x +--2121arcsin 21，c x ++-)1(212，c x x +-+|1)23(23|ln 312练习4-4c x x x ++-sin cos ，c n x x n n ++-++)11(ln 111，c x x x ++-)1ln(21arctan 2， c x x x +--21arccos ，c x x x +-ln ln ln ln ，c x x x x +++|)tan sec |ln tan (sec 21，c e xe e x x x x +------222，c x x e x ++)cos (sin 21练习4-4c x x +-+--|3|ln 6|2|ln 5，c x x x ++--+-|1|ln |1|ln 11， c xx x ++-|2sin 2cos |ln 2，c x x ++-)1ln(22， c x x ++-+4347)13(274)13(634， c x x +-+-22arctan 222， c e x x +-+-|1|ln ，c eex xx+-22，c x x x ++-sin 2cos 2一、1、0；2、0,2x =；3、1/2；4、5，二、DDCB三、2π，ln 22，323a ，3(1)e -，116，4，122ln 23+练习5-2一、42arctan 2-，22π-，32π+，263，121e --+，1122+，184π-，2，1，1ln 22-，二、1，π三、略练习5-3一、103，12π-，23a π，2343a π，二、1、152x V π=，863y V π=，2、24x V π=，2y V π=，三、121ln 23+，8||a ，。
微积分下册期末试卷(1-4缺2答案)及答案
安徽财经大学微积分（下）期末总复习练习卷（1）及参考答案二、填空题(每小题3分,共15分)1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知π=⎰∞+∞--dx e x 2,则=⎰∞+--dx e x x0 21___________.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是_________________. 二、选择题(每小题3分,共15分)6 知dx e x p ⎰∞+- 0 )1(与⎰-e p xx dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰, 则下列关系式成立的是( ).(A) 123I I I >> (B) 213I I I>>(C) 123I I I << (D) 213I I I<<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ).(A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+=(C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nn a ( ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.12、求二重极限 11lim 22220-+++→→y x y x y x .13、),(y x z z =由xy e z z=+确定，求y x z∂∂∂2.14、用拉格朗日乘数法求221z x y =++在条件1=+y x 下的极值.15、计算⎰⎰1 212dxe dy yyyx .16、计算二重积分22()Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 是由y 轴及圆周221x y +=所围成的在第一象限内的区域.17、解微分方程x y y +'=''.18、判别级数)11(133∑∞=--+n n n 的敛散性.19、将函数x -31展开成x 的幂级数,并求展开式成立的区间. 20、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与电台广告费用1x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:222121211028321415x x x x x x R ---++=，求最优广告策略.四、证明题(每小题5分,共10分)21、设1133ln()z x y =+，证明：13z z x y x y ∂∂+=∂∂. 22、若∑∞=12n nu与∑∞=12n nv都收敛,则∑∞=+12)(n n nv u收敛.练习卷（1）答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 23、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 二、选择题(每小题3分,共15分)6、(C ).7、 (B).8、(A ) .9、(D). 10、(D). 三、计算题(每小题6分,共60分)11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积. 解：32y x =的反函数为23,0x y y =>。
高等数学-微积分第1章(英文讲稿)
C alc u lus (Fifth Edition)高等数学- Calculus微积分（双语讲稿）Chapter 1 Functions and Models1.1 Four ways to represent a function1.1.1 ☆Definition(1-1) function: A function f is a rule that assigns to each element x in a set A exactly one element, called f(x), in a set B. see Fig.2 and Fig.3Conceptions: domain; range (See fig. 6 p13); independent variable; dependent variable. Four possible ways to represent a function: 1)Verbally语言描述(by a description in words); 2) Numerically数据表述(by a table of values); 3) Visually 视觉图形描述(by a graph);4)Algebraically 代数描述(by an explicit formula).1.1.2 A question about a Curve represent a function and can’t represent a functionThe way ( The vertical line test ) : A curve in the xy-plane is the graph of a function of x if and only if no vertical line intersects the curve more than once. See Fig.17 p 171.1.3 ☆Piecewise defined functions (分段定义的函数)Example7 (P18)1－x if x ≤1f(x)＝﹛x2if x＞1Evaluate f(0)，f(1)，f(2) and sketch the graph.Solution：1.1.4 About absolute value (分段定义的函数)⑴∣x∣≥0；⑵∣x∣≤0Example8 (P19)Sketch the graph of the absolute value function f(x)＝∣x∣.Solution：1.1.5☆☆Symmetry ，(对称) Even functions and Odd functions (偶函数和奇函数)⑴Symmetry See Fig.23 and Fig.24⑵①Even functions: If a function f satisfies f(－x)＝f(x) for every number x in its domain，then f is call an even function. Example f(x)＝x2 is even function because: f(－x)＝ (－x)2＝x2＝f(x)②Odd functions: If a function f satisfies f(－x)＝－f(x) for every number x in its domain，thenf is call an odd function. Example f(x)＝x3 is even function because: f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)③Neither even nor odd functions:1.1.6☆☆Increasing and decreasing function (增函数和减函数)⑴Definition(1-2) increasing and decreasing function:① A function f is called increasing on an interval I if f(x1)＜f(x2) whenever x1＜x2 in I. ①A function f is called decreasing on an interval I if f(x1)＞f(x2) whenever x1＜x2 in I.See Fig.26. and Fig.27. p211.2 Mathematical models: a catalog of essential functions p251.2.1 A mathematical model p25A mathematical model is a mathematical description of a real-world phenomenon such as the size of a population, the demand for a product, the speed of a falling object, the concentration of a product in a chemical reaction, the life expectancy of a person at birth, or the cost of emission reduction.1.2.2 Linear models and Linear function P261.2.3 Polynomial P27A function f is called a polynomial ifP(x) ＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a2x2＋a1x＋a0Where n is a nonnegative integer and the numbers a0，a1，a2，…，a n－1，a n are constants called the coefficients of the polynomial. The domain of any polynomial is R＝(－∞,＋∞).if the leading coefficient a n≠0, then the degree of the polynomial is n. For example, the function P(x) ＝5x6＋2x5－x4＋3x－9⑴Quadratic function example: P(x) ＝5x2＋2x－3 二次函数（方程）⑵Cubic function example: P(x) ＝6x3＋3x2－1 三次函数（方程）1.2.4Power functions幂函数P30A function of the form f(x) ＝x a，Where a is a constant, is called a power function. We consider several cases：⑴a＝n where n is a positive integer ，(n＝1，2，3，…，)⑵a＝1/n where n is a positive integer，(n＝1，2，3，…，) The function f(x) ＝x1/n⑶a＝n－1 the graph of the reciprocal function f(x) ＝x－1 反比函数1.2.5Rational function有理函数P 32A rational function f is a ratio of two polynomials:f(x)＝P(x) /Q(x)1.2.6Algebraic function代数函数P32A function f is called algebraic function if it can be constructed using algebraic operations ( such as addition，subtraction，multiplication，division，and taking roots) starting with polynomials. Any rational function is automatically an algebraic function. Examples: P 321.2.7Trigonometric functions 三角函数P33⑴f(x)＝sin x⑵f(x)＝cos x⑶f(x)＝tan x＝sin x / cos x1.2.8Exponential function 指数函数P34The exponential functions are the functions the form f(x) ＝a x Where the base a is a positive constant.1.2.9Transcendental functions 超越函数P35These are functions that are not a algebraic. The set of transcendental functions includes the trigonometric，inverse trigonometric，exponential，and logarithmic functions，but it also includes a vast number of other functions that have never been named. In Chapter 11 we will study transcendental functions that are defined as sums of infinite series.1.2 Exercises P 35-381.3 New functions from old functions1.3.1 Transformations of functions P38⑴Vertical and Horizontal shifts (See Fig.1 p39)①y＝f(x)＋c，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units upward.②y＝f(x)－c，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units downward.③y＝f(x＋c)，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units to the left.④y＝f(x－c)，（c＞0）shift the graph of y＝f(x) a distance c units to the right.⑵ V ertical and Horizontal Stretching and Reflecting (See Fig.2 p39)①y＝c f(x)，（c＞1）stretch the graph of y＝f(x) vertically by a factor of c②y＝(1/c) f(x)，（c＞1）compress the graph of y＝f(x) vertically by a factor of c③y＝f(x/c)，（c＞1）stretch the graph of y＝f(x) horizontally by a factor of c.④y＝f(c x)，（c＞1）compress the graph of y＝f(x) horizontally by a factor of c.⑤y＝－f(x)，reflect the graph of y＝f(x) about the x-axis⑥y＝f(－x)，reflect the graph of y＝f(x) about the y-axisExamples1: (See Fig.3 p39)y＝f( x) ＝cos x，y＝f( x) ＝2cos x，y＝f( x) ＝（1/2）cos x，y＝f( x) ＝cos（x/2），y＝f( x) ＝cos2xExamples2: (See Fig.4 p40)Given the graph y＝f( x) ＝( x)1/2，use transformations to graph y＝f( x) ＝( x)1/2－2，y＝f( x) ＝(x－2)1/2，y＝f( x) ＝－( x)1/2，y＝f( x) ＝2 ( x)1/2，y＝f( x) ＝(－x)1/21.3.2 Combinations of functions (代数组合函数)P42Algebra of functions: Two functions (or more) f and g through the way such as add, subtract, multiply and divide to combined a new function called Combination of function.☆Definition(1-2) Combination function: Let f and g be functions with domains A and B. The functions f±g，f g and f /g are defined as follows: （特别注意符号(f±g)( x) 定义的含义）①(f±g)( x)＝f(x)±g( x)，domain ＝A∩B②(f g)( x)＝f(x) g( x)，domain ＝A∩ B③(f /g)( x)＝f(x) /g( x)，domain ＝A∩ B and g( x)≠0Example 6 If f( x) ＝( x)1/2，and g( x)＝(4－x2)1/2，find functions y＝f(x)＋g( x)，y＝f(x)－g( x)，y＝f(x)g( x)，and y＝f(x) /g( x)Solution: The domain of f( x) ＝( x)1/2 is [0，＋∞)，The domain of g( x) ＝(4－x2)1/2 is interval [－2，2]，The intersection of the domains of f(x) and g( x) is[0，＋∞)∩[－2，2]＝[0，2]Thus，according to the definitions, we have(f＋g)( x)＝( x)1/2＋(4－x2)1/2，domain [0，2](f－g)( x)＝( x)1/2－(4－x2)1/2，domain [0，2](f g)( x)＝f(x) g( x) ＝( x)1/2(4－x2)1/2＝(4 x－x3)1/2domain [0，2](f /g)( x)＝f(x)/g( x)＝( x)1/2/(4－x2)1/2＝[ x/(4－x2)]1/2 domain [0，2)1.3.3☆☆Composition of functions (复合函数)P45☆Definition(1-3) Composition function: Given two functions f and g the composite function f⊙g (also called the composition of f and g ) is defined by(f⊙g)( x)＝f( g( x)) （特别注意符号(f⊙g)( x) 定义的含义）The domain of f⊙g is the set of all x in the domain of g such that g(x) is in the domain of f . In other words, (f⊙g)(x) is defined whenever both g(x) and f (g (x)) are defined. See Fig.13 p 44 Example7 If f (g)＝( g)1/2 and g(x)＝(4－x3)1/2find composite functions f⊙g and g⊙f Solution We have(f⊙g)(x)＝f (g (x) ) ＝( g)1/2＝((4－x3)1/2)1/2(g⊙f)(x)＝g (f (x) )＝(4－x3)1/2＝[4－((x)1/2)3]1/2＝[4－(x)3/2]1/2Example8 If f (x)＝( x)1/2 and g(x)＝(2－x)1/2find composite function s①f⊙g ②g⊙f ③f⊙f④g⊙gSolution We have①f⊙g＝(f⊙g)(x)＝f (g (x) )＝f((2－x)1/2)＝((2－x)1/2)1/2＝(2－x)1/4The domain of (f⊙g)(x) is 2－x≥0 that is x ≤2 {x ︳x ≤2 }＝(－∞，2]②g⊙f＝(g⊙f)(x)＝g (f (x) )＝g (( x)1/2 )＝(2－( x)1/2)1/2The domain of (g⊙f)(x) is x≥0 and 2－( x)1/2x ≥0 ，that is ( x)1/2≤2 ，or x ≤ 4 ，so the domain of g⊙f is the closed interval[0，4]③f⊙f＝(f⊙f)(x)＝f (f(x) )＝f((x)1/2)＝((x)1/2)1/2＝(x)1/4The domain of (f⊙f)(x) is [0，∞)④g⊙g＝(g⊙g)(x)＝g (g(x) )＝g ((2－x)1/2 )＝(2－(2－x)1/2)1/2The domain of (g⊙g)(x) is x－2≥0 and 2－(2－x)1/2≥0 ，that is x ≤2 and x ≥－2，so the domain of g⊙g is the closed interval[－2，2]Notice: g⊙f⊙h＝f (g(h(x)))Example9Example10 Given F (x)＝cos2( x＋9)，find functions f，g，and h such that F (x)＝f⊙g⊙h Solution Since F (x)＝[cos ( x＋9)] 2，that is h (x)＝x＋9 g(x)＝cos x f (x)＝x2Exercise P 45-481.4 Graphing calculators and computers P481.5 Exponential functions⑴An exponential function is a function of the formf (x)＝a x See Fig.3 P56 and Fig.4Exponential functions increasing and decreasing (单调性讨论)⑵Lows of exponents If a and b are positive numbers and x and y are any real numbers. Then1) a x+y＝a x a y2) a x－y＝a x / a y3) (a x)y＝a xy4) (ab)x+y＝a x b x⑶about the number e f (x)＝e x See Fig. 14，15 P61Some of the formulas of calculus will be greatly simplified if we choose the base a .Exercises P 62-631.6 Inverse functions and logarithms1.6.1 Definition(1-4) one-to-one function: A function f is called a one-to-one function if it never takes on the same value twice；that is，f (x1)≠f (x2)，whenever x1≠x2( 注解：不同的自变量一定有不同的函数值，不同的自变量有相同的函数值则不是一一对应函数) Example: f (x)＝x3is one-to-one function.f (x)＝x2 is not one-to-one function, See Fig.2,3,4☆☆Definition(1-5) Inverse function:Let f be a one-to-one function with domain A and range B. Then its inverse function f－1(y)has domain B and range A and is defined byf－1(y)＝x f (x)＝y for any y in Bdomain of f－1＝range of frange of f－1＝domain of f( 注解：it says : if f maps x into y, then f－1maps y back into x . Caution: If f were not one-to-one function，then f－1 would not be uniquely defined. )Caution: Do not mistake the－1 in f－1for an exponent. Thus f－1(x)＝1/ f(x) ！！！Because the letter x is traditionally used as the independent variable, so when we concentrate on f－1(y) rather than on f－1(y), we usually reverse the roles of x and y in Definition (1-5) and write as f－1(x)＝y f (x)＝yWe get the following cancellation equations:f－1( f(x))＝x for every x in Af (f－1(x))＝x for every x in B See Fig.7 P66Example 4 Find the inverse function of f(x)＝x3＋6Solution We first writef(x)＝y＝x3＋6Then we solve this equation for x:x3＝y－6x＝(y－6)1/3Finally, we interchange x and y：y＝(x－6)1/3That is, the inverse function is f－1(x)＝(x－6)1/3( 注解：The graph of f－1 is obtained by reflecting the graph of f about the line y＝x. ) See Fig.9、8 1.6.2 Logarithmic functionIf a＞0 and a≠1，the exponential function f (x)＝a x is either increasing or decreasing and so it is one-to-one function by the Horizontal Line Test. It therefore has an inverse function f－1，which is called the logarithmic function with base a and is denoted log a，If we use the formulation of an inverse function given by (See Fig.3 P56)f－1(x)＝y f (x)＝yThen we havelogx＝y a y＝xThe logarithmic function log a x＝y has domain (0,∞) and range R.Usefully equations:①log a(a x)＝x for every x∈R②a log ax＝x for every x＞01.6.3 ☆Lows of logarithms :If x and y are positive numbers, then①log a(xy)＝log a x＋log a y②log a(x/y)＝log a x－log a y③log a(x)r＝r log a x where r is any real number1.6.4 Natural logarithmsNatural logarithm isl og e x＝ln x ＝ythat is①ln x ＝y e y＝x② ln(e x)＝x x∈R③e ln x＝x x＞0 ln e＝1Example 8 Solve the equation e5－3x＝10Solution We take natural logarithms of both sides of the equation and use ②、③ln (e5－3x)＝ln10∴5－3x＝ln10x＝(5－ln10)/3Example 9 Express ln a＋(ln b)/2 as a single logarithm.Solution Using laws of logarithms we have:ln a＋(ln b)/2＝ln a＋ln b1/2＝ln(ab1/2)1.6.5 ☆Change of Base formula For any positive number a (a≠1), we havel og a x＝ln x/ ln a1.6.6 Inverse trigonometric functions⑴Inverse sine function or Arcsine functionsin－1x＝y sin y＝x and －π/2≤y≤π / 2，－1≤x≤1 See Fig.18、20 P72Example13 ① sin－1 (1/2) or arcsin(1/2) ② tan(arcsin1/3)Solution①∵sin (π/6)＝1/2，π/6 lies between －π/2 and π / 2，∴sin－1 (1/2)＝π/6② Let θ＝arcsin1/3，so sinθ＝1/3tan(arcsin1/3)＝tanθ＝ s inθ/cosθ＝ (1/3)/(1－s in2θ)1/2＝1/(8)1/2Usefully equations:①sin－1(sin x)＝x for －π/2≤x≤π / 2②sin (sin－1x)＝x for －1≤x≤1⑵Inverse cosine function or Arccosine functioncos－1x＝y cos y＝x and 0 ≤y≤π，－1≤x≤1 See Fig.21、22 P73Usefully equations:①cos－1(cos x)＝x for 0 ≤x≤π②cos (cos－1x)＝x for －1≤x≤1⑶Inverse Tangent function or Arctangent functiontan－1x＝y tan y＝x and －π/2＜y＜π / 2 ，x∈R See Fig.23 P73、Fig.25 P74Example 14 Simplify the expression cos(ta n－1x).Solution 1 Let y＝tan－1 x，Then tan y＝x and －π/2＜y＜π / 2 ，We want find cos y but since tan y is known, it is easier to find sec y first:sec2y＝1 ＋tan2y sec y＝(1 ＋x2 )1/2∴cos(ta n－1x)＝cos y ＝1/ sec y＝(1 ＋x2)－1/2Solution 2∵cos(ta n－1x)＝cos y∴cos(ta n－1x)＝(1 ＋x2)－1/2⑷Other Inverse trigonometric functionscsc－1x＝y∣x∣≥1csc y＝x and y∈(0，π / 2]∪(π，3π / 2]sec－1x＝y∣x∣≥1sec y＝x and y∈[0，π / 2)∪[π，3π / 2]cot－1x＝y x∈R cot y＝x and y∈(0，π)Exercises P 74-85Key words and PhrasesCalculus 微积分学Set 集合Variable 变量Domain 定义域Range 值域Arbitrary number 独立变量Independent variable 自变量Dependent variable 因变量Square root 平方根Curve 曲线Interval 区间Interval notation 区间符号Closed interval 闭区间Opened interval 开区间Absolute 绝对值Absolute value 绝对值Symmetry 对称性Represent of a function 函数的表述（描述）Even function 偶函数Odd function 奇函数Increasing Function 增函数Increasing Function 减函数Empirical model 经验模型Essential Function 基本函数Linear function 线性函数Polynomial function 多项式函数Coefficient 系数Degree 阶Quadratic function 二次函数（方程）Cubic function 三次函数（方程）Power functions 幂函数Reciprocal function 反比函数Rational function 有理函数Algebra 代数Algebraic function 代数函数Integer 整数Root function 根式函数（方程）Trigonometric function 三角函数Exponential function 指数函数Inverse function 反函数Logarithm function 对数函数Inverse trigonometric function 反三角函数Natural logarithm function 自然对数函数Chang of base of formula 换底公式Transcendental function 超越函数Transformations of functions 函数的变换Vertical shifts 垂直平移Horizontal shifts 水平平移Stretch 伸张Reflect 反演Combinations of functions 函数的组合Composition of functions 函数的复合Composition function 复合函数Intersection 交集Quotient 商Arithmetic 算数。
微积分第一章
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下：1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。
2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。
《微积分》上册部分课后习题答案
微积分上册 一元函数微积分与无穷级数第2章 极限与连续2.1 数列的极限1.对于数列n x ,若a x k →2(∞→k ),a x k →+12(∞→k ),证明:a x n → (∞→n )． 证. 0>∀ε, a x k →2 (∞→k ), Z K ∈∃∴1, 只要122K k >, 就有ε<-a x k 2; 又因a x k →+12(∞→k ), Z K ∈∃∴2, 只要12122+>+K k , 就有ε<-+a x k 12. 取{}12,2m ax 21+=K K N , 只要N n >, 就有ε<-a x n , 因此有a x n → (∞→n ). 2．若a x n n =∞→lim ，证明||||lim a x n n =∞→，并举反例说明反之不一定成立.证明： a x n n =∞→lim ，由定义有：N ∃>∀,0ε，当N n >时恒有ε<-||a x n又 ε<-≤-||||||a x a x n n对上述同样的ε和N ，当N n >时，都有ε<-||||a x n 成立 ∴ ||||lim a x n n =∞→反之,不一定成立.如取 ,2,1,)1(=-=n x nn显然 1||lim =∞→n n x ，但n n x ∞→lim 不存在.2.2 函数的极限1. 用极限定义证明:函数()x f 当0x x →时极限存在的充要条件是左、右极限各自存在且相等．证: 必要性. 若()A x f x x =→0lim , 0>∀ε, 0>∃δ, 当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 因而, 当δ<-<00x x 时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =+→0lim ; 同时当δ<-<x x 00时, 有()ε<-A x f , 所以()A x f x x =-→0lim .充分性. 若()A x f x x =+→0lim ,()A x f x x =-→0lim . 0>∀ε, 01>∃δ, 当100δ<-<x x 时, 就有()ε<-A x f , 也02>∃δ, 当200δ<-<x x 时, 有()ε<-A x f . 取{}21,m in δδδ=,则当δ<-<00x x 时, 就有()ε<-A x f . 所以()A x f x x =→0lim .2．写出下列极限的精确定义：（1）A x f x x =+→)(lim 0，（2）A x f x =-∞→)(lim ，（3）+∞=+→)(lim 0x f x x ，（4）-∞=+∞→)(lim x f x ，（5）A x f x =+∞→)(lim ．解：（1）设R x U f →)(:0是一个函数，如果存在一个常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀δε，使得当δ<-<00x x 时，恒有ε<-|)(|A x f ，则称A 是)(x f 当+→0x x 时的极限，记作A x f x x =+→)(lim 0或 )()(0+→=x x A x f . （2）设R f D f →)(:是一函数，其中0,),,()(>>--∞⊃αααR f D .若存在常数R A ∈，满足关系：0)(,0>∈∃>∀R X ε，使得当X x -<时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A 是)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或 A x f =)()(-∞→x .（3）设R x U f →)(:0是任一函数，若0>∀M ，0>∃δ，使得当δ<-<00x x 时，恒有M x f >)(，则称当+→0x x 时)(x f 的极限为正无穷大，记作+∞=+→)(lim 0x f x x 或 +∞=)(x f )(0+→x x . （4）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0>∀M ，0)(>∈∃R X ，使得当X x >时，恒有M x f -<)(则称当+∞→x 时)(x f 的极限为负无穷大，记作：-∞=+∞→)(lim x f x 或 -∞=)(x f )(+∞→x .（5）设R f D f →)(:是一函数，其中R f D ∈>+∞⊃ααα,0),,()(，若存在常数R A ∈，满足关系：0,0>∃>∀X ε，使得当X x >时，恒有ε<-|)(|A x f 成立，则称A是)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或 A x f =)()(+∞→x .2.3 极限的运算法则1.求∑=∞→+⋯++Nn N n 1211lim． 解. ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=+⋯++111212211211n n n n n n n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯++∑=1112111312121122111N N N n Nn 21112lim 211lim1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⋯++∴∞→=∞→∑N nN Nn N 2．求xe e xxx 1arctan11lim110-+→． 解. +∞=+→x x e 10lim , 0lim 10=-→xx e,,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-++++→--→→x ee x e e x xxx xxx ,21arctan lim 11lim 1arctan11lim 0110110π=-+=-+---→→→x e e x e e x x xx x x x 21arctan 11lim 110π=-+∴→x e e x xx3．设)(lim 1x f x →存在，)(lim 2)(12x f x x x f x →+=，求)(x f . 解：设 )(lim 1x f x →=A ，则A x x x f ⋅+=2)(2再求极限：A A A x x x f x x =+=⋅+=→→21)2(lim )(lim 211⇒ 1-=A∴ x x xA x x f 22)(22-=+=.4．确定a ,b ,c ，使 0)1(3)1()1(lim 2221=-+-+-+-→x x c x b x a x 成立.解：依题意,所给函数极限存在且 0)1(lim 21=-→x x∴ 0]3)1()1([lim 221=+-+-+-→x c x b x a x ⇒ 2=c∴ 上式左边=])32)(1(11[lim ))1(321(lim 21221++-+--+=-+-+-+→→x x x x b a x x x b a x x])32)(1(1)32([lim 221++---+++=→x x x x b a x同理有 0]1)32([lim 21=--++→x x b x ⇒ 21=b ∴ 163)23)(1(8)1(3lim )32)(1(1)32(21lim221221=++---=++---++-=→→x x x x x x xx a x x 故 2,21,163===c b a 为所求.2.4 极限存在准则1. 设1x =10，n n x x +=+61，( ,2,1=n )．试证数列{n x }的极限存在，并求此极限． 证: 由101=x , 4612=+=x x , 知21x x >. 假设1+>k k x x , 则有21166+++=+>+=k k k k x x x x . 由数学归纳法知, 对一切正整数n , 有1+>n n x x ,即数列{n x }单调减少. 又显然, () ,2,10=>n x n , 即{n x }有界. 故n n x ∞→lim 存在.令a x n n =∞→lim , 对n n x x +=+61两边取极限得a a +=6, 从而有062=--a a ,,3=∴a 或2-=a , 但0,0≥∴>a x n , 故3lim =∞→n n x2．证明数列 nn n x x x x ++=<<+3)1(3,3011收敛，并求其极限．证明：利用准则II ，单调有界必有极限来证明.∴301<<x ，由递推公式33312131213213)1(30111112=++<++=++=++=<x x x x x x∴ 302<<x 同理可证：30<<n x 有界又 03)3)(3(333)1(311112111112>++-=+-=-++=-x x x x x x x x x x∴ 12x x > 同理 23x x > ，… ，1->n n x x ∴数列 }{n x 单调递增，由准则II n n x ∞→lim 存在，设为A ，由递推公式有：AA A ++=3)1(3 ⇒ 3±=A （舍去负数）∴ 3lim =∞→n n x .3．设}{n x 为一单调增加的数列，若它有一个子列收敛于a ，证明a x n n =∞→lim .证明：设}{k n x 为}{n x 的一子列，则}{k n x 也为一单调增加的数列，且a x k k n n =∞→lim对于1=ε，N ∃，当N n >时有1||<-a x k n 从而||1||||||||a a a x a a x x k k k n n n +<+-≤+-=取|}|1|,|,|,max {|1a x x M N n n += ，对一切k n 都有 M x k n ≤|| 有界.由子列有界，且原数列}{n x 又为一单调增加的数列，所以，对一切n 有M x n ≤||有界，由准则II ，数列}{n x 极限存在且a x n n =∞→lim .2.5 两个重要极限1. 求]cos 1[cos lim n n n -++∞→．解： 原式 =21sin 21sin2lim nn n n n -+++-+∞→⎪⎪⎭⎫⎝⎛++=-+=-+-+-+++-=+∞→n n n n n n nn nn nn n 1110212121sin21sin2lim 2. 求)1sin(lim 2++∞→n n π．解. 原式=()()n nn n n nn n -+-=-+++∞→+∞→1sin 1lim )1sin(lim 22ππππ()()()()0111sin 1lim 222=-+⋅-+-+-=+∞→n nn n nnnn πππ3. 求x x xx )1cos 1(sinlim +∞→． 解. 原式=()[]()e t t t tttt tt xt =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=→→=22sin 2sin 10212012sin 1lim cos sin lim 令4. 设 ⎩⎨⎧+-=32)cos 1(2)(x x x x f 00≥<x x 求 20)(lim x x f x →. 解： 1lim )(lim 232020=+=++→→x x x x x f x x ，1)cos 1(2lim )(lim 2020=-=--→→x x x x f x x ∴ 1)(lim2=→xx f x .2.6 函数的连续性1. 研究函数()[]x x x g -=的连续性，并指出间断点类型. 解. n x =，Z n ∈ (整数集)为第一类 (跳跃) 间断点.2. 证明方程)0(03>=++p q px x 有且只有一个实根.证. 令()()()0,0,3>∞+<∞-++=f f q px x x f , 由零点定理, 至少存在一点ξ使得()0=ξf , 其唯一性, 易由()x f 的严格单调性可得.3．设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01),1ln(0 ,)(11x x x e x f x ，求)(x f 的间断点，并说明间断点的所属类型. 解. )(x f 在()()()+∞-,1,1,0,0,1内连续, ∞=-→+111lim x x e,0lim 111=-→-x x e, ()00=f , 因此,1=x 是)(x f 的第二类无穷间断点; (),lim lim 1110--→→==++e ex f x x x()()01ln lim lim 00=+=--→→x x f x x , 因此0=x 是)(x f 的第一类跳跃间断点.4．讨论nx nxn e e x x x f ++=∞→1lim )(2的连续性．解. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=++=∞→0,0,00,1lim)(22x x x x x e e x x x f nxnxn , 因此)(x f 在()()+∞∞-,0,0,内连续, 又()()00lim 0==→f x f x , ()x f ∴在()+∞∞-,上连续.5.设函数),()(+∞-∞在x f 内连续，且0)(lim=∞→xx f x ，证明至少存在一点ξ，使得0)(=+ξξf .证：令x x f x F +=)()(，则01]1)([lim )(lim>=+=∞→∞→x x f x x F x x ，从而0)(>xx F .由极限保号性定理可得，存在01>x 使0)(1>x F ；存在02<x 使0)(2<x F .)(x F 在],[12x x 上满足零点定理的条件，所以至少存在一点ξ使得0)(=ξF ，即0)(=+ξξf .6．讨论函数nnx x x x f 2211lim )(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型.解： ⎪⎩⎪⎨⎧-=101)(x f 1||1||1||>=<x x x ，显然 1±=x 是第一类跳跃间断点，除此之外均为连续区间.7．证明：方程)0,0(sin >>+=b a b x a x 至少有一个正根，且不超过b a +. 证明：设b x a x x f --=sin )(，考虑区间],0[b a +0)0(<-=b f ，0))sin(1()(≥+-=+b a a b a f ，当0))sin(1()(=+-=+b a a b a f 时，b a x +=是方程的根；当0))sin(1()(>+-=+b a a b a f 时，由零点定理，至少),0(b a +∈∃ξ使0)(=ξf ，即 0sin =--b a ξξ成立,故原方程至少有一个正根且不超过b a +.2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较1. 当0→x 时，下面等式成立吗？(1))()(32x o x o x =⋅；(2))()(2x o xx o =；(3) )()(2x o x o =． 解. （1）()()()002232→→=⋅x xx o x x o x , ()()()032→=⋅∴x x o x o x （2） ()()()0)(,00)()(2222→=∴→→=x x o x x o x x x o xxx o（3） ()2xx o不一定趋于零, )()(2x o x o =∴不一定成立(当0→x 时) 2. 当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax ，则求常数c b a ,,．解. 因为当∞→x 时，若)11(12+=++x o c bx ax , 所以01lim 111lim 22=+++=++++∞→+∞→c bx ax x x c bx ax x x , 故c b a ,,0≠任意.3．写出0→x 时，无穷小量3x x +的等价无穷小量.解： 11lim 1lim lim303630=+=+=+→→→x xx xxx x x x∴ 当0→x ，3x x +～6x第3章 导数与微分3.1 导数概念1. 设函数)(x f 在0x 处可导，求下列极限值． (1)hh x f h x f h )3()2(lim000--+→；(2)000)()(lim 0x x x xf x f x x x --→．解.（1） 原式()()()000000533)3(22)2(lim x f h x f h x f h x f h x f h '=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅---+⋅-+=→（2） 原式()[]()()()()00000000)(limx f x f x x x x x x f x f x f x x x -'=----=→2．设函数R f →+∞),0(:在1=x 处可导，且),0(,+∞∈∀y x 有)()()(y xf x yf xy f += 试证：函数f 在),0(+∞内可导，且)1()()(f xx f x f '+='． 解：令1==y x ，由()()()y xf x yf xy f +=有()()121f f =得()01=f ．()+∞∈∀,0x ，()()()()()()()()()()xx f f x x f xx f x x f x x f x f x x x x xf x x f x x x f x x f x x f x f x x x x +'=+∆-⎪⎭⎫⎝⎛∆+=∆-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆++⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆→∆111lim 11lim 1lim lim 0000 故()x f 在()+∞,0内处处可导，且()()()xx f f x f +'='1． 3.设()f x 在(,)-∞+∞内有意义，且(0)0f =，(0)1f '=， 又121221()()()()()f x x f x x f x x ϕϕ+=+，其中22()cos xx x x e ϕ-=+, 求()f x '．解： ()()()()()()()()x x f x x f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆+∆=∆-∆+='→∆→∆ϕϕ00lim lim()()()()()()()()()001lim 0lim 00ϕϕϕϕ'+'=∆-∆+∆-∆=→∆→∆x f x f xx x f x x f x f x x ()x e x x x 22cos -+==ϕ4.设函数0)(=x x f 在处可导，且21arctan lim )(0=-→x f x e x，求)0(f '.解：由已知，必有0]1[lim )(0=-→x f x e，从而0)(lim 0=→x f x ，而0)(=x x f 在连续，故0)0(=f .于是)0(1)0()(1lim )(lim 1arctan lim200)(0f xf x f x f x e x x x x f x '=-==-=→→→. 故21)0(='f .5.设)(x f 具有二阶导数，)(,sin )()2(lim )(2x dF t xx f t x f t x F t 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=∞→.解： 令t h 1=，则)(2 sin )()2(lim)(0x f x hhxh x f h x f x F t '=⋅-+=→.从而)(2)(2)(x f x x f x F ''+'='，dx x f x x f dx x F x dF )]()([2)()(''+'='=.6．设f 是对任意实数y x ,满足方程 22)()()(xy y x y f x f x f +++= 的函数，又假设1)(lim=→xx f x ,求：（1）)0(f ；（2）)0(f '； （3）)(x f '. 解：（1）依题意 R y x ∈∀,，等式 22)()()(xy y x y f x f y x f +++=+ 成立令0==y x 有 )0(2)0(f f = ⇒ 0)0(=f（2）又 1)(lim=→x x f x ，即 )0(10)0()(lim 0f x f x f x '==--→，∴ 1)0(='f（3）xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x f x x x x x f x f x ∆-∆⋅+∆⋅+∆+=→∆)()()()(lim 220 x x x x x x f x ∆∆⋅+∆⋅+∆=→∆220)()(lim ])([lim 20x x x xx f x ∆⋅++∆∆=→∆ ]1)0(22x x f +=+'=∴ 21)(x x f +='.7．设曲线)(x f y =在原点与x y sin =相切，试求极限 )2(lim 21nf nn ∞→. 解：依题意有 1)0()0(='='f y 且0)0(=f∴ 222)0()2(lim )2(lim 2121=⋅-⋅=⋅∞→∞→n nf n f n nf n n n .8．设函数)(x f 在0=x 处可导且0)0(,0)0(='≠f f ，证明1])0()1([lim =∞→nn f n f .证：n n n n f f n f f n f ])0()0()1(1[lim ])0()1([lim -+=∞→∞→.=10)0(11)0()01(lim )0()0()1(lim ===⋅-+-∞→∞→e ee f nf n f f f n f n n n .1．计算函数baxax xb ab y )()()(= （0,0>>b a ）的导数．解. a xb bx a b a x xb a b a a x b a x a b x b x b a a x x b a b a b y )(1)()()()(ln )(121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+='-- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=x b x a a b a x x b a b b a x ln )()()( 2.引入中间变量,1)(2x x u +=计算1111ln 411arctan 21222-+++++=x x x y 的导数dx dy ．解. 引入,1)(2x x u += 得11ln 41arctan 21-++=u u u y ,于是dxdudu dy dx dy ⋅=, 又 ()()4242422111111111141121x x x u u u u du dy +-=+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+++=,21xx dx du +=, 则()22242121121xx x x x x x dx dy ++-=+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-= 3.设y y x +=2，232)(x x u +=，求dudy． 解. dudxdx dy du dy ⋅= , 又()()1223,12212++=+=x x x dx du y dy dx ,得121+=y dx dy , ()x x x du dx ++=21232, 则得()()xx x y du dy +++=2121232 4．已知 2arctan )(),2323(x x f x x f y ='+-=，求=x dx dy ．解：22)23(12)2323arctan()2323()2323(+⋅+-='+-⋅+-'='x x x x x x x f y π43)23(12)2323arctan(02200=+⋅+-='=∴===x x x x x x y dxdy .1. 计算下列各函数的n 阶导数. (1) 6512-+=x x y ; (2) x e y xcos =． 解 （1）⎪⎭⎫⎝⎛+--=611171x x y ，()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛-=∴++1161117!1611171n n nn n n x x n x x y （2） ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-='4cos 2sin 21cos 212sin cos πx e x x e x x e y x x x()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=''42cos 24sin 4cos 22πππx ex x e y xx由此推得 ()()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=4cos 2πn x eyxnn2. 设x x y 2sin 2=, 求()50y ．解 ()()()()()()()()()()"+'+=248250249150250502sin 2sin 2sin x x C x x C x x y⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=2482sin 2249502492sin 2502502sin 24950250πππx x x x xx x x x x 2sin 212252cos 2502sin 24950250⋅+⋅+-= ()[]x x x x 2cos 1002sin 212252249+-=3. 试从y dy dx '=1, 0≠'y , 其中y 三阶可导, 导出()322y y dy x d '''-=, ()()52333y y y y dy x d '''''-''= 解 y dy dx '=1 ，()()322211y y y y y dy dx y dx d dyx d '''-='⋅'-''=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∴ ()()()()()()52623333313y y y y y y y y y y y dy dx y y dx d dy x d '''''-''='⋅'''⋅'⋅''+''''-=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''-=∴ 4. 设()x f 满足()()0 312≠=⎪⎭⎫⎝⎛+x xx f x f , 求()()()()x f x f x f n ,,'．解 以x 1代x ，原方程为()x x f x f 321==⎪⎭⎫ ⎝⎛，由()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x f x f x x f x f 321 312，消去⎪⎭⎫⎝⎛x f 1，求得()x x x f 12-=，且得()212xx f +='，()()()()2!111≥-=++n x n x f n n n . 5．设()arcsin f x x =，试证明()f x 满足 （1）2(1)()()0x f x xf x '''--= （2） ,1,0,0)()()12()()1()(2)1()2(2==-+--++n x f n x xf n x f x n n n（3）求()(0)n f解 （1）()211x x f -='，()()()22221112211xx xx x x x f --=-⋅--=''， ()()()012='-''-∴x f x x f x ，（2）上式两边对x 求n 阶导数得()()[]()()[]()()()()()()()()()()()()()()()[]x f n x xf x f n n x f x n x f x x f x x f x n n n n n nn⋅⋅+-⋅-⋅---+-='-''-=+++1221211021222即 ()()()()()()()()01212122=-+--++x f nx xf n x f xn n n 。
【微积分初步】-形考作业1-4答案
电大【微积分初步】 形考作业1-4答案作业（一）————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分）1.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：),3()3,2[+∞ 提示：对于)2ln(1-x ，要求分母不能为0，即0)2ln(≠-x ，也就是3≠x ； 对于)2ln(-x ，要求02>-x ，即2>x ；所以函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是),3()3,2[+∞2．函数xx f -=51)(的定义域是 ． 答案：)5,(-∞ 提示：对于x-51，要求分母不能为0，即05≠-x ，也就是5≠x； 对于x -5，要求05≥-x ，即5≤x ；所以函数xx f -=51)(的定义域是)5,(-∞3.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ． 答案：]2,1()1,2(--- 提示：对于)2ln(1+x ，要求分母不能为0，即0)2l n (≠+x ，也就是1-≠x ； 对于)2ln(+x ，要求02>+x ，即2->x ； 对于24x -，要求042≥-x ，即2≤x 且2-≥x ； 所以函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是]2,1()1,2(---4.函数72)1(2+-=-x x x f ，则=)(x f． 答案：62+x提示：因为6)1(72)1(22+-=+-=-x x x x f ，所以6)(2+=x x f5．函数⎩⎨⎧>≤+=0e02)(2x x x x f x，则=)0(f ． 答案：2 提示：因为当0=x是在0≤x 区间，应选择22+x 进行计算，即220)0(2=+=f6．函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f． 答案：12-x 提示：因为1)1(2)1(22--=-=-x x x x f ，所以1)(2-=x x f7．函数1322+--=x x x y 的间断点是 ． 答案： 1-=x提示：若)(x f 在0x 有下列三种情况之一，则)(x f 在0x 间断：①在0x 无定义；②在0x 极限不存在；③在0x 处有定义，且)(lim 0x f x x → 存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→。
修订机械工业出版社《微积分》第1章习题解答
《微积分》习题解答 第一章习题1.1求下列函数的定义域 （1）12-=x y解：由012≥-x 得：1≥x ，即：,1≥x 或1-≤x（2）11-+=x x y 解：由得,011≥-+x x 1,0)1)(1(≠≥-+x x x 且即：1,1-≤>x x 或 （3）)2lg(1+-=x xy解：由02,01>+≥-x x ，21x +≠得12≤<-x 且1x ≠-（4）⎩⎨⎧≥-<-=2,21),1lg(x x x x y解：定义域为21≥<x x 或 （5）1213-++=x x y 解：012,03≠-≥+x x 即213≠-≥x x 且（6）()21lg x x y ++=解：由于对于任意实数x ，221x x >+，所以,122x x x x -≥=>+所以01,2>++x x x 都有对于任意即定义域为+∞<<∞-x（7）)1lg(1+-=x y 解：由0)1lg(1≥+-x 得：1)1lg(≤+x所以91,1010≤<-≤+<x x 即 （8）xy 111-=解：0110≠-≠xx 且 即：1,0≠≠x x 且1-2试判断下列各题中函数对是否相同，并说明理由。
（1）2ln ,ln 2y x y x ==解：函数对不同，因为定义域不同。
前者定义域为0>x ，后者定义域为0≠x（2）1,112+=--=x y x x y解：函数对不同，因为定义域不同。
前者定义域为1≠x ，后者定义域为+∞<<∞-x 。
（3）())32lg(1lg ,321lg 2222++=++=x x y x x y 解：函数对不同，因为对应法则不同，例如当,3lg ,31lg 0-=即时，前者的函数值为x 后者的函数值为0.（4）()()32lg 1lg ,321lg+-+=++=x x y x x y解：函数对不同，因为定义域不同。
微积分基础-答案1-4
微积分初步形成性考核作业（一）解答————函数，极限和连续一、填空题（每小题2分，共20分） 1．函数)2-ln(1)(x x f =的定义域是)∞,3(∪)3,2(+2．函数xx f -51)(=的定义域是)5,-3．函数2-4)2ln(1)(x x x f ++=的定义域是]2,1-(∪)1-,2-(4．函数72-)1-(+=x x x f ，则=)(x f 62+x5．函数>+=e 0≤2)(2x x x x f x，则=)0(f 2 ． 6．函数x x x f 2-)1-(2=，则=)(x f 1-2x7．函数13-2-2+=x x x y 的间断点是1-=x8．=xx x 1sinlim ∞→ 1 ． 9．若2sin 4sin lim0→=kxxx ，则=k 2 ．10．若23sin lim0→=kxxx ，则=k 23二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数2e exxy +=，则该函数是（B ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 2．设函数x x y sin 2=，则该函数是（A ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数3．函数222)(xx xx f +=的图形是关于（D ）对称．A ．x y =B ．x 轴C ．y 轴D ．坐标原点4．下列函数中为奇函数是（C）．A ．x x sinB ．x lnC ．)1ln(2x x ++D ．2x x +5．函数)5ln(41+++=x x y 的定义域为（ D ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x6．函数)1-ln(1)(x x f =的定义域是（D ）．A ． )∞,1(+B ．)∞,1(∪)1,0(+C ．)∞,2(∪)2,0(+D ．)∞,2(∪)2,1(+ 7．设1-)1(2x x f =+，则=)(x f （ C ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2-(x x D ．)1-)(2(x x + 8．下列各函数对中，（D）中的两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)(B ．2)(x x f =，x x g =)(C ．2ln )(x x f =，9．当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx10．当=k （ B ）时，函数=+=,≠,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．111．当=k （ D ）时，函数=+=,≠,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 12．函数23-3-)(2+=x x x x f 的间断点是（ A ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点三、解答题（每小题7分，共56分）⒈计算极限4-23-lim 222→x x x x +．解：4-23-lim 222→x x x x +4121-lim )2-)(2()2-)(1-(lim 2→2→=+=+=x x x x x x x x2．计算极限1-6-5lim 221→x x x x + 解：1-6-5lim 221→x x x x +2716lim )1-)(1()6)(1-(lim 1→1→=++=++=x x x x x x x x3．3-2-9-lim 223→x x x x解：3-2-9-lim 223→x x x x 234613lim )3-)(1()3-)(3(lim 3→3→==++=++=x x x x x x x x4．计算极限45-86-lim 224→++x x x x x解：45-86-lim 224→++x x x x x 321-2-lim )4-)(1-()4-)(2-(lim 4→4→===x x x x x x x x5．计算极限65-86-lim 222→++x x x x x ．解：65-86-lim 222→++x x x x x 23-4-lim )3-)(2-()4-)(2-(lim 2→2→===x x x x x x x x6．计算极限xx x 1--1lim→． 解：x x x 1--1lim→)1-1(lim )1-1()1-1)(1--1(lim 0→0→+=++=x x xx x x x x x 21-1-11lim→=+=x x7．计算极限xx x 4sin 1--1lim→解：x x x 4sin 1--1lim→)1-1(4sin )1-1)(1--1(lim0→++=x x x x x 81-)1-1(44sin 1lim 41-)1-1(4sin lim0→0→=+=+=x xx x x xx x8．计算极限2-44sin lim→+x x x ．解：2-44sin lim→+x x x )24)(2-4()24(4sin lim→+++++=x x x x x16)24(44[lim 4)24(4sin lim 0→0→=++=++=x xxsim x x x x x微积分初步形成性考核作业（二）解答（除选择题）————导数、微分及应用一、填空题（每小题2分，共20分） 1．曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的斜率是21 2．曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是1+=x y 3．曲线21x y =在点)1,1(处的切线方程是03-2=+y x 4．=′)2(xxx22ln 25．若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y ′(0) =_-6 6．已知x x x f 3)(3+=，则)3(f ′3ln 2727+=．7．已知x x f ln )(=，则)(x f ′′=21x8．若xx x f e)(=，则=′′)0(f 29．函数2)1-(3x y =的单调增加区间是)∞,1[+ 10．函数1)(2+=ax x f 在区间)∞,0(+内单调增加，则a 应满足0≥a二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．函数2)1(+=x y 在区间)2,2-(是（ D ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增2．满足方程0)(=′x f 的点一定是函数)(x f y =的（ C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 3．若x x f xcos e)(=，则)0(f ′=（ C ）．A . 2B . 1C . -1D . -2 4．设x y 2lg =，则=y d （ B ）．A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 5．．设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ D ）． A ．x x f d )2(cos 2′ B ．x x x f d22sin )2(cos ′ C ．x x x f d 2sin )2(cos 2′ D ．x x x f d22sin )2(cos ′6．曲线1e2+=xy 在2=x 处切线的斜率是（ C ）．A ．4e B ．2e C ．42e D ．27．若x x x f cos )(=，则=′′)(x f （ C ）． A ．x x x sin cos + B ．x x x sin -cosC ．x x x cos -sin 2-D ．x x x cos sin 2+ 8．若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则=′′)(x f （ C ）． A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos9．下列结论中（ A ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．若)(x f 在[a ，b ]内恒有0)(<′x f ，则在[a ，b ]内函数是单调下降的. 10．若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =)(lim 0→，但)(≠0x f AC ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微11．下列函数在指定区间)∞, +上单调增加的是（ B ）． A ．sin x B ．e x C ．x 2 D ．3 - x12.下列结论正确的有（ A ）． A ．x 0是f (x )的极值点，且f ′(x 0)存在，则必有f ′(x 0) = 0 B ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点 C ．若f ′(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点D ．使)(x f ′不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 三、解答题（每小题7分，共56分） ⒈设xx y 12e =，求y ′．解：x x xx e xe xe x xe y 112121-2)1-(2=+=′x e x 1)1-2(= 2．设x x y 3cos 4sin +=，求y ′.解：x x x y sin cos 3-4cos 42=′3．设x y x 1e1+=+，求y ′. 解：211-121xex y x ++=′4．设x x x y cos ln +=，求y ′. 解：x x x x x y tan -23cos sin 23=+=′ 5．设)(x y y =是由方程4-22=+xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边微分：0)(-22=++xdy ydx ydy xdx xdx ydx xdy ydy 2--2= dx xy xy dy -22-=6．设)(x y y =是由方程1222=++xy y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边对1222=++xy y x 求导，得：0)(222=′++′+y x y y y x 0=′++′+y x y y y x ，)(-)(y x y y x +=′+，1-=′y dx dx y dy -=′=7．设)(x y y =是由方程4e e 2=++x x y x 确定的隐函数，求y d . 解：两边微分，得：02=+++xdx dy xe dx e dx e yyxdx x e e dy xe yxy)2(-++=，dx xe xe e dy yy x 2-++= 8．设1e )cos(=++yy x ，求y d ． 解：两边对1e )cos(=++yy x 求导，得：0)sin()1(=′++′+y e y y x y0)sin(-)sin(-=′++′+ye y y x y y x )sin()]sin(-[y x y y x e y+=′+ )sin(-)sin(y x e y x y y ++=′dx y x e y x dx y dy y)sin()sin(++=′=微积分初步形成性考核作业（三）解答（填空题除外）———不定积分，极值应用问题一、填空题（每小题2分，共20分）1．若)(x f 的一个原函数为2ln x ，则=)(x f 。
《一元函数微积分习题1-1到1-9》答案
《一元函数微积分》习题1—11．确定下列函数的定义域：（1）912-=x y ；解：要使函数有意义，则：092>-x 即 3>x 或3-<x .所以函数定义域：),3()3,(+∞⋃--∞.（2）x y a arcsin log =；解：要使函数有意义，则0arcsin >x ，即10≤<x .所以函数定义域：(0,1].（3）2111x x y --+=； 解：01012≠+≥-x x 且，即111-≠≤≤-x x 且.所以函数定义域：(-1,1].（4）)32(log 213-+-=x x y a ； 解：03202>-≠-x x 且，即232>≠x x 且.所以函数定义域：),2()2,23(+∞⋃. （5）)4(log 21arccos2x x y a -+-=； 解：0412112>-≤-≤-x x 且，则2231<<-≤≤-x x 且。
所以函数定义域：)2,1[- （6）xy πsin 1=. 解：0sin ≠x π,则Z k k x ∈≠,.(其中是Z 整数集),函数定义域：_Z 或}{Z k k x x ∈≠,. 2.求函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000,1sin x x x y 的定义域和值域,并求⎪⎭⎫ ⎝⎛π2f 和)0(f . 解:定义域:),(+∞-∞.当0≠x 时,01≠x ,故11sin 1≤≤-x. 所以值域:[-1,1]. 12sin )2(==ππf ,0)0(=f .3.下列各题中,函数)(x f 和)(x g 是否相同,为什么?(1) 2)(,)(x x g x x f ==;解: 不同 因为||)(2x x x g ==,即)(x g 的值域是全体非负实数,而)(x f 的值域是全体实数.(2) 2sin21)(,cos )(2x x g x x f -==; 解: 相同 因为)(x f 和)(x g 的定义域均为实数R ,值域为[-1,1],且)(cos 2sin 21)(2x f x x x g ==-= (3)1)(,11)(2-=+-=x x g x x x f ; 解: 不同 因为)1(111)(2≠-=+-=x x x x x f .两函数的定义域不同. (4)0)(,)(x x g x x x f ==. 解: 相同 因为)0(1)(),0(1)(0≠==≠==x x x g x x x x f 定义域均为非零实数,在定义域内函数值恒等于1.4.设x x f sin )(=, 证明:)2cos(2sin 2)()(x x x x f x x f ∆+∆=-∆+. 证明: 由三角函数知:)2cos(2sin2sin )sin()()(x x x x x x x f x x f ∆+∆=-∆+=-∆+.5.设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ,试确定a , b 的值.解: 因为 5)(2++=bx ax x f故)5()2(5)1()1()1(22+++++=++++=+b a x b a ax x b x a x f由题设3852)()1(+=++=-+x a ax x f x f所以有:82=a 且3=+b a得:1,4-==b a .6.下列函数哪些是偶函数? 哪些是奇函数?哪些既非奇函数又非偶函数?(1) )1(22x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞ )()1(])(1[)()(2222x f x x x x x f =-=---=-所以函数是偶函数.(2)323x x y -=;解: 定义域:),(+∞-∞ 32323)()(3)(x x x x x f +=---=-,)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-.所以函数既非奇函数又非偶函数. (3)2211x x y +-=; 解: 定义域:),(+∞-∞)(11)(1)(1)(2222x f xx x x x f =+-=-+--=- 所以函数是偶函数.(4))1)(1(+-=x x x y解: 定义域:),(+∞-∞x x x x x x f -=+-=3)1)(1()(,)()()()(33x f x x x x x f -=+-=---=-.所以函数是奇函数.(5)1cos sin +-=x x y ;解: 定义域:),(+∞-∞1cos sin 1)cos()sin()(+--=+---=-x x x x x f ,则)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠- 所以函数既非奇函数又非偶函数. (6)2xx a a y -+=. 解: 定义域:),(+∞-∞)(2)(x f a a x f xx =+=-- 所以函数是偶函数.7.设)(x f 为定义在),(+∞-∞上的任意函数,证明:(1))()()(1x f x f x F -+=为偶函数; (2) )()()(2x f x f x F --=为奇函数.证明: 由题设)(x f 为定义在),(+∞-∞的函数, 则)(),(21x F x F 的定义域也为),(+∞-∞(1) )()()()()()()(111x F x f x f x F x f x f x F =+-=-⇒-+= ,. 故)(1x F 是偶函数.(2) )()()()()()()(222x F x f x f x F x f x f x F -=--=-⇒--= ,.故)(2x F 为奇函数.8. 证明: 定义在),(+∞-∞上的任意函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和. 证明: 设)(x f 是定义在),(+∞-∞上的任意函数.由7题知 )()()(1x f x f x F -+=为偶函数,)()()(2x f x f x F --=为奇函数.且 )(21)(21)(21x F x F x f +=. 故命题成立.9. 设)(x f 为定义在),(L L -上的奇函数,若)(x f 在),0(L 上单增, 证明: )(x f 在)0,(L -上也单增.证明: 由题设知对于任意),(L L x -∈有:)()(x f x f -=-不妨设任意的1x ,2x 满足021<<<-x x L , 则012>-<->x x L . )(x f 在),0(L 上单增, 则)()(21x f x f ->- ，)(x f 奇函数)()(),()(2211x f x f x f x f -=--=-∴ 即 )()(21x f x f ->-)()(21x f x f <所以)(x f 在)0,(L -上也单增.10. 下列各函数中哪些是周期函数? 对于周期函数,指出其周期:(1) )2cos(-=x y ;解:)2cos()22cos(-=+-x x π, 函数是周期函数且周期π2=T .(2) x y 4cos =;解: x x x 4cos )24cos()2(4cos =+=+ππ, 函数是周期函数且周期2π=T .(3) x y πsin 1+=;解: )2(sin 1)2sin(1sin 1++=++=+x x x ππππ,函数是周期函数且周期2=T .(4) x x y cos =;解: 非周期函数(5) x y 2sin =;解: )](2cos 1[21)]22cos(1[21)2cos 1(21sin 2ππ+-=+-=-=x x x x , 函数是周期函数且周期π=T .(6) x x y tan 3sin +=解: )32(3sin )23sin(3sin ππ+=+=x x x , )tan(tan π+=x x ,故原函数的周期为两函数x x tan ,3sin 的周期π32和π最小公倍数. 所以周期为π2=T .11. 下列各组函数中哪些不构成复合函数? 把能构成复合函数的写,成复合函数,并指出定义域.(1) 3x y =,t x sin =;解: 构成复合函数t y 3sin =, 定义域: ),(+∞-∞.(2) u a y =,2x u =;解: 构成复合函数2x a y =, 定义域: ),(+∞-∞.(3) u y a log =,232+=x u ;解: 构成复合函数)22(log 2+=x y a , 定义域: ),(+∞-∞. (4) u y =,2sin -=x u ;解: 不构成复合函数u y =要求0≥u , 但是2sin -=x u 的值域:]1,3[--. (5) u y =,3x u =;解: 构成复合函数3x y =, 定义域: ),0[+∞.(6) u y a log =, 22-=x u .解: 构成复合函数)2(log 2-=x y a , 定义域: ),2()2,(+∞⋃--∞.12. 下列函数是由哪些简单函数复合而成的? (1) 321)1(++=x y ;解: 3u y =,1)1(2++=x u .(2) 2)1(ln 3+=x y ;解: u y 3=, 2v u =, 1ln +=x v .(3) )13(sin 3+=x y ;解: 3u y =, v u sin =, 13+=x v . (4) 32cos log x y a =.解: 3u y =, v u a log =, 2w v =, x w cos =.13. 求下列函数的反函数:(1) x y sin 2=;]2,2[ππ-∈x 解: 原函数的定义域:]2,2[ππ-∈x , 值域:]2,2[-. 反解: 2arcsin y x =. 得反函数: 2arcsin x y =. (2) )2(log 1++=x y a ;解: 原函数的定义域: ),2(+∞-, 值域:),(+∞-∞. 反解: 21-=-y ax . 得反函数: 21-=-x a y反函数的定义域),(+∞-∞:, 值域: ),2(+∞-. (3) 122+=x xy . 解: 121112112122+-=+-+=+=x x x x x y 由于112>+x , 则11210<+<x . 原函数的定义域: ),(+∞-∞, 值域:.)1,0( 反解: yy x -=12, y y x -=1log 2.得反函数: xx y -=1log 2 反函数的定义域: )1,0(, 值域: ),(+∞-∞.14. 某批发商店按照下列价格表整盒在批发销售某种盒装饮料:当购货量小于或等于20盒时,每盒2.50元;当购货量小于或等于50盒时,其超过20盒的饮料每盒2.30元;当购货量小于或等于100盒时,其超过50盒的饮料每盒2.00元;当购货量大于100时,其超过100盒的饮料每盒1.80元;设x 是销售量, y 是总价, 试建立总价y 和销售量x 之间的函数关系式,并作出它的图形. 解: 由题知: 当200≤≤x 时, x y 5.2=;当5020≤<x 时, 43.2)20(3.2205.2+=-+⨯=x x y ;当10050≤<x 时, 192)50(2)2050(3.2205.2+=-+-⨯+⨯=x x y ;当100>x 时, 398.1)100(8.1219+=-+=x x y⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+≤<+≤<+≤≤=100398.110050192502043.22005.2x x x x x x x x y 图形(略)15. 设某商品的市场供应函数p p S Q 480)(+-==, 其中Q 为供应量, p 为市场价格. 商品的单位生产成本是1.5元, 试建立总利润L 与市场价格p 的函数关系式.解: 供应函数p p S Q 480)(+-==则总利润120864)480)(5.1()5.1(2+-=+--=-=p p p p Q p L .16. 用p 代表单价, 某商品的需求函数为p p D Q 500007)(-==, 当Q 超过1 000时成本函数为Q C 2500020+=, 试确定能达到损益平衡的价格 (提示: 当总收入=总成本时,便达到损益平衡).解: 当1000>Q 时 1000500007)(>-==p p D Q 则价格120<p .达到损益平衡, 则 C pQ =即: )500007(25000202500020)500007(p Q p p -+=+=-039001652=+-p p 得282.107165±=p 又因为价格120<p , 故59.28=p答: 当需求量超过1000时,达到损益平衡的价格是28.59.17. 在半径为r 的球内嵌入一个内接圆柱, 试将圆柱的体积V 表示为圆柱的高h 的函数, 并求此函数的定义域.解: 设圆柱的半径为R, 则满足4)2(22222h r h r R -=-= 圆柱的体积: 3222241)4(h h r h h r h R V ππππ-=-==. 定义域: )2,0(r18. 已知华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 在101325帕(一个标准大气压)下, 水的冰点温度不32F 或0℃, 水的沸点温度为212F 或100℃.(1) 写出华氏温度F 与摄氏温度℃的函数关系;(2) 画出该函数的图形;(3) 摄氏20℃相当于华氏几度?解: (1)由华氏温度F 与摄氏温度℃的线性关系, 设当摄氏温度为x ℃时, 华氏温度为y F , 则有关系式 b ax y += 其中a , b 为常数.由题知:⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧+=+⋅=328.1100212032b a b a b a 函数关系: 328.1+=x y (其中x 的度量单位是℃, y 的度量单位是F)(2) 函数图形(略)(3) 摄氏20℃时, y =1.8⨯20℃+32=68(F)习题1－21．（1）0；（2）1；（3）-1；（4）发散2．（1）证明：0>∀ε，要使ε<=-+n n 1111，即ε1>n 。
微积分知识点 1—4
1.函数、极限与连续集合：具有某种特定性质的事物的总体。
元素：组成这集合的事物。
常见集合：数集，点集，函数集。
集合表示法：描述法，列举法。
,M a ∈,M a ∉ 有限集，无限集。
A 是B 的子集B A ⊂。
空集∅，是任何集合的子集。
真子集 N 自然数集，Z 整数集，Q 有理数集，R 实数集。
R Q Z N ⊂⊂⊂。
若B A ⊂，且A B ⊂，则A=B 。
交集B A ⋂，并集B A ⋃，差集 B -A or \A B 。
补集。
直积。
常用的实数集合是区间和领域。
开区间（a,b ），闭区间[a,b]，半开区间。
有限区间，无限区间。
领域：,邻域的称为点}{数集δδa a x x <-去心领域记作)(0a U δ。
映射：f ：x y 。
f 的定义域D （f ）=x ，f 的值域f （x ）为y 的子集。
若f （x ）=y ，则为满射；若每个像只有一个原像，则为单射，既是满射又是单射即为一一映射。
函数：y=f （x ），自变量，因变量，定义域Df 。
定义域和对应法则相同则两函数相同。
函数表示法：表格，图示，公式。
显函数和隐函数，并非任何方程都是隐函数。
反函数与函数关于直线y=x 对称。
函数特性：有界性，单调性，奇偶性，周期性。
任何一个定义域关于原点对称的函数总可表示为奇函数+偶函数。
单调函数的反函数有同样的单调性。
基本初等函数：幂函数a x y =（a 为常数），指数函数)1,0(≠>=a a a y x，对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a，三角函数，反三角函数。
初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数。
分段函数一般不是。
复合函数，注意定义域。
双曲函数，反双曲函数 双曲正弦2sinh xx e e x --=，D=R2cosh 双曲余弦x x e e x -+=，D=Rxxxx e e e e x x x --+-==cosh sinh tanh 双曲正切xx x x x x x x y x y x y x y x y x y x 2222sinh cosh 2cosh ;cosh sinh 22sinh ;1sinh cosh ，sinh sinh cosh cosh )cosh(;sinh cosh cosh sinh )sinh(+===-±=±±=±反双曲正弦函数)1ln(sinh 2++==x x x ar y ，奇函数，单增反双曲余弦函数)1ln(cosh 2-+==x x x ar y ，单增。
1-4,5 无穷大与无穷小 极限运算法则
1 例如, n 时, 是无穷 求 lim ( 2 2 2 ). n n n n
n 时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
解
1 2 n 1 2 n lim( 2 2 2 ) lim n n n n n n2
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
1 2 1 例如,当x 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x
例1. 求
解:
sin x y x
1 lim 0 x x
利用定理 3 可知
1) 无穷小是变量,不能与很小很小的数混淆; 2) 零是可以作为无穷小的唯一的数. 3) 称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；
2.无穷小与函数极限的关系:
定理 1
x x0
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ),
其中 ( x ) 是当 x x 0 时的无穷小.
; 如, 当x 0时, 函数sinx是 无穷小 sin x 当x 时,函 数 ; 是无穷小 x 当x 2时, 函 数x 2是无穷小 ;
( 1)n 当n 时, 数 列 { }是 无 穷 小 . n
当x 1时,
皆非无 穷小.
无穷小是指
在某个过程中
函数变化的趋势.
定义1 0(不论它多么小 ), 0 (或X 0),
本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂 的函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 首先来介绍无穷小。 在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理 论价值，值得我们单独给出定义。
大学数学基础教程课后答案(微积分)
z c -a
-b a x
O
b y
（4） D = ( x, y, z ) x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x 2 + y 2 + z 2 < 1
{
}
z １
O x １
１
y
2
4．求下列各极限： （1） lim 1 − xy 1−0 = =1 2 2 x +y 0 +1 ln( x + e y ) = ln( 1 + e 0 ) = ln 2 1+ 0
4
t t t t z x = −2 sin 2( x − ), z t = sin 2( x − ), z xt = 2 cos 2( x − ), z tt = − cos 2( x − ) 2 2 2 2 t t 2 z tt + z xt = −2 cos 2( x − ) + 2 cos 2( x − ) = 0 . 2 2 y x 1 y 1 x e , z y = e x , dz = − 2 e x dx + e dy ; 2 x x x x
（1）为使函数表达式有意义，需 y − 2 x ≠ 0 ，所以在 y − 2 x = 0 处，函数间
（2）为使函数表达式有意义，需 x ≠ y ，所以在 x = y 处，函数间断。 习题 1—2 1．（ 1） z =
x y + y x
∂z 1 y ∂z 1 x = − 2； = − . ∂x y x ∂y x y 2 (2) ∂z = y cos( xy) − 2 y cos( xy) sin( xy) = y[cos( xy) − sin( 2 xy)] ∂x ∂z = x cos( xy) − 2 x cos( xy) sin( xy) = x[cos( xy) − sin( 2 xy)] ∂y (3) ∂z = y (1 + xy) y −1 y = y 2 (1 + xy) y −1 , ∂x lnz= yln(1+xy)，两边同时对 y 求偏导得 1 ∂z x = ln( 1 + xy) + y , z ∂y 1 + xy
《高等数学(一)微积分》讲义
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
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余割函数
y = csc x
y = csc x
2. 反三角函数
反正弦函数 y = arcsin x
y = arcsin x
反余弦函数 y = arccos x
y = arccos x
反正切函数 y = arctan x
y = arctan x
反余切函数 y = arccot x
1. 指数函数
1 x y =( ) a
y = a x (a > 0 且 a ≠ 1 )
y = ax
(a > 0, a ≠ 1)
(a > 1)
•
( 0 ,1)
2 . 对数函数 (logarithmic function)
y = log a x (a > 0, a ≠ 1)
y = ln x
y = loga xy =arccot x四 Nhomakorabea初等函数
幂函数,指数函数 对数函数 幂函数 指数函数,对数函数 三角函数和反 指数函数 对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数 基本初等函数. 三角函数统称为基本初等函数 由常数和基本 初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函 数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函 称为初等函数 初等函数. 数，称为初等函数
练习题答案
1.基本初等函数 基本初等函数； 一 、1. 基本初等函数 ； 2.[e , e 3 ]； 3.[3.[- 1,1],[ 2kπ , 2kπ + π ],[− a ,1 − a ], 1 [a ,1 − a ] 0 < a ≤ 2 . 1 φ a> 2
x < 20 0 三、 y = 0.2 x ,20 ≤ x ≤ 50 10 + 0.3( x − 50), x > 50
x 考察函数 y = − x
x≥0 x<0
它是一个分段函数， 它是一个分段函数，
但是 ，y = x =
x
2
根据定义，它是一个初等函数 根据定义，它是一个初等函数.
练 习 题
二、应用图形的“叠加”作函数 y = x + sin x 的图形 .
定如下： 20 三、火车站行李收费规 定如下： 千克以 下不计费， 0～50 千克每千克收费 0.20 元， 2 下不计费， 超出 50 千克超出部分每千克 0.30 元，试 建立行李收费 f ( x ) (元 )与行李重量 x (千 之间的函数关系， 克 )之间的函数关系，并作 出图形 .
(1,0 )
•
(a > 1)
y = log 1 x
a
三、三角函数与反三角函数
1. 三角函数 正弦函数 y = sin x
y = sin x
余弦函数 y = cos x
y = cos x
正切函数 y = tan x
y = tan x
余切函数 y = cot x
y = cot x
正割函数 y = sec x
第四节 基本初等函数与初等函数 一、幂函数 二、指数函数与对数函数 三、三角函数与反三角函数 四、初等函数 五、小结 思考题
一、幂函数(power
幂函数
functions )
y= x
µ
(µ是常数 )
y
y = x2
1
(1,1)
y= x
y= x
o
1 y= x
1
x
二、指数(exponential function)和对数函数
五、小结 思考题
1.基本初等函数： 幂函数、指数与对数函数、 1.基本初等函数： 幂函数、指数与对数函数、 基本初等函数 三角函数与反三角函数的图象与简单性质. 三角函数与反三角函数的图象与简单性质 2.初等函数的定义： 2.初等函数的定义： 初等函数的定义
思考题
分段函数一定不是初等函数吗？ 分段函数一定不是初等函数吗？ 解答 不一定