E平面几何性质.
平面几何的基本概念与性质
平面几何的基本概念与性质一、引言平面几何是几何学的重要分支，研究二维平面上的点、线、面及其相互关系。
在实际生活中，平面几何的应用非常广泛，涉及到建筑设计、地理测量、航空航天等领域。
本文将介绍平面几何的基本概念和性质，为读者对该领域有一个全面的了解。
二、点、线、面的基本定义1. 点：平面几何的基本元素之一，是几何图形中最基本的要素。
点在平面上被表示为一对坐标 (x, y)，其中 x 表示水平方向的位置，y 表示垂直方向的位置。
2. 线：由无限多个点按一定规律连成的集合，可以看作是长度无穷长的线段。
线有直线和曲线之分。
3. 面：由无数不相交的点和连接这些点的线组成的平面区域。
面在平面几何中起到分割和包围的作用。
三、平面几何的基本性质1. 直线的性质直线是没有宽度的，可以延伸到无穷远，而且直线上的任意两点都可以连成一条直线。
平面上的任意两条直线要么相交于一点，要么平行。
2. 角的性质角是由两条线共享一个端点而形成的图形。
角分为锐角、直角、钝角和平角四种类型。
任意两个相邻角的和等于直角（180度）。
3. 三角形的性质三角形是由三条线段组成的闭合图形。
三角形的内角之和等于180度。
根据三边之间的关系，可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形等类型。
4. 圆的性质圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的图形。
圆心是固定点，半径是与圆心相连的线段的长度。
圆的直径是通过圆心的一条线段，长度为半径的两倍。
圆上的弧是由圆上的两点所确定的部分。
5. 相似与全等两个图形相似意味着它们的形状相似，尺寸可能不同。
全等意味着两个图形形状完全相同，尺寸也完全相同。
6. 平行线与垂直线平行线是指在同一个平面内，永不相交的直线。
垂直线是指与另一条线段或直线呈90度角的直线。
四、平面几何的应用1. 平面几何在建筑设计中的应用平面几何的基本概念和性质在建筑设计中有广泛的应用，包括平面布局、房间设计、地块规划等。
设计师通过运用几何原理，使建筑物在空间上更加合理、美观。
自然对数e的数值
自然对数e的数值自然对数e是一个非常重要的数值，在数学中有着广泛的应用。
它是一个无理数，其近似值约为2.71828。
本文将从数学、科学以及实际应用等方面，介绍自然对数e的数值及其相关内容。
一、数学中的自然对数e自然对数e是指一个特殊的底数，它是一个无限不循环小数，其近似值为2.71828。
e是一个重要的常数，它是数学中指数函数和对数函数的基础，具有广泛的应用。
自然对数e最早由瑞士数学家欧拉提出，并被广泛应用于微积分、概率论、复杂分析等领域。
二、自然对数e的特性1. 自然对数e的定义自然对数e可以由以下无穷级数表达式定义：e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... + 1/n! + ...。
其中n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 1。
2. 自然对数e的近似值自然对数e的近似值约为2.71828，这是因为e是一个无理数，无法精确表示为有限小数或分数。
近似值2.71828可以用于一般计算，但在需要高精度计算时，需要使用更多的小数位。
3. 自然对数e的重要性质自然对数e有许多重要的性质，其中最重要的是其与指数函数的关系。
指数函数的底数为e时，其导数和积分都具有简单的表达式，这使得e成为很多数学公式的基础。
三、自然对数e的应用1. 微积分中的应用在微积分中，自然对数e的数值经常出现。
例如，当我们研究复利问题时，e的数值可以帮助我们计算连续复利的利息。
此外，在微积分中，e还与导数和积分的计算密切相关。
2. 概率论中的应用在概率论中，e的数值经常用于描述随机事件的概率分布。
例如，在泊松分布和指数分布中，e的数值是重要的参数，用于计算事件发生的概率。
3. 复杂分析中的应用在复杂分析中，自然对数e被广泛应用于解析函数的研究。
复杂分析是研究复数域上的函数的数学分支，e的数值在复杂平面上具有重要的几何和解析性质。
平面几何的基本定理
平面几何的基本定理在数学中，平面几何是研究平面上的图形和形状的分支学科。
它基于一系列基本定理和性质，帮助我们了解和解决与平面图形、角度、线段等相关的问题。
以下是一些平面几何的基本定理。
一、平行线的定理平行线的定理指出，如果一条直线与另外两条直线分别相交，使得同位角之和为180度，则这两条直线是平行的。
这被称为同位角定理。
二、三角形的基本性质1. 三角形内角和定理：任何三角形的内角之和等于180度。
2. 直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这被称为勾股定理。
3. 直角三角形的角度关系：直角三角形的两个锐角是互补角，它们的和为90度。
4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的两条边相等。
5. 等边三角形的性质：等边三角形的所有边相等，所有角度均为60度。
三、四边形的性质1. 矩形的性质：矩形的对角线长度相等，且互相垂直。
2. 正方形的性质：正方形是一种特殊的矩形，所有边长相等，对角线相等且互相垂直。
3. 平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，且对角线长度相等。
4. 梯形的性质：梯形的两边平行，且对角线交于一点。
四、圆的性质1. 圆的定理：圆是以一个点为中心、与该点到各点的距离均相等的点的集合。
2. 弧和圆心角的关系：一个圆心角所对的弧的长度是固定的，而一个弧所对的圆心角的大小也是固定的。
3. 弦和切线的性质：如果一条切线与一条弦相交，那么切线与弦的交点处的角是弦所对的圆心角的一半。
五、相似三角形的定理相似三角形的定理涉及到三角形的比例关系。
如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。
相似三角形有以下定理：1. AAA相似定理：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。
2. AA相似定理：如果两个三角形的一个角相等，且其他两个角的对应边成比例，那么它们是相似的。
3. SAS相似定理：如果两个三角形的一条边成比例，且这两个边之间夹角相等，那么它们是相似的。
总结：平面几何的基本定理使我们能够准确地描述和分析平面图形的性质。
高中数学平面几何知识点总结
高中数学平面几何知识点总结一、平面几何基本概念在高中数学中，平面几何是一门重要的学科，它研究了平面上的点、线和形状等几何概念。
以下是一些平面几何中的基本概念：1. 点：在平面几何中，点是最基本的概念，它是没有大小和形状的。
点通常用大写字母表示，例如A、B等。
2. 直线：直线是由无数个点组成的，它没有宽度和厚度。
直线通常用大写字母表示，例如AB。
3. 射线：射线是由一个点和此点的延伸部分组成的，它只有一个端点。
射线通常用小写字母表示，例如ab。
4. 线段：线段是由两个端点和连接这两个端点的部分组成的。
线段通常用两个字母表示，例如AB。
5. 角：角是由两条射线共享一个端点所组成的，可用度或弧度来度量。
角通常用大写字母表示，例如∠ABC。
6. 平行线：平行线是指在同一个平面上不相交且永不相交的直线。
二、平面几何基本定理平面几何中有一些重要的定理和定律。
下面是其中的一些：1. 垂直定理：垂直定理指出如果两条线段互相垂直，则它们的斜率乘积为-1。
2. 三角形内角和定理：三角形内角和定理指出三角形的三个内角和等于180度。
3. 平行线定理：平行线定理指出如果两条平行线被一条横截线相交，则所成的对应角相等。
4. 相交直线定理：相交直线定理指出如果两条直线相交，则所成的对应角相等。
5. 同旁内角定理：同旁内角定理指出如果两条平行线被一条横截线相交，则所成的同旁内角相等。
6. 直线分割平行线段定理：直线分割平行线段定理指出如果一条直线通过两条平行线，则它将这两条平行线分割成相似的线段。
三、平面几何图形性质在平面几何中，有很多常见的图形，它们有着特定的性质和定理。
1. 点、线、面：点是最简单的图形，线是由点构成的，面是由线构成的。
2. 三角形：三角形是由三条线段组成的图形，它有很多重要的性质和定理，如三角形的内角和为180度、三角形的外角等。
3. 四边形：四边形是由四条线段组成的图形，它包括矩形、正方形、菱形、平行四边形等。
材料力学第四章 平面图形的几何性质
§4.1 静矩和形心
一、静矩，即面积对轴的矩：(与力矩类似)
z
是面积与它到轴的距离之积。
图形对y轴和z轴的静矩为
dA
Sz
ydA
A
z
Sy
zdA
A
特点：
y▲静矩的量纲为长度的三次方；
第四章 平面图形的几何性质
§4.1 静矩和形心 §4.2 惯性矩和惯性半径 §4.3 惯性积 §4.4 平行移轴公式 §4.5 转轴公式 主惯性轴
第四章 平面图形的几何性质
【基本内容】
一、静矩、形心 二、惯性矩、惯性积、惯性半径 三、主轴、主惯性矩、形心主惯性平面的概念 四、平行移轴公式、转轴公式
跟踪训练
1.图示矩形截面的I．Ⅱ两部分对z轴的静矩的关 系是( )
例 1 求下列各图的图形形心位置。
za
y1
1 2
a,
y2
3 2
a
z1
a,
z2
1 2
a
2a o
A1
y
n
Ai yi
i 1
n
Ai
2a2
1a 2 2a2
a2 a2
3 2
a
5 6
a
i 1
A2
a
yz
n
Ai zi
i 1
n
Ai
2a2 a a2 1 a 2
I z1
Iy
2
Iz
Iy
Iz 2
cos2
I yz sin 2
I y1z1
Iy
2
高考数学中的平面几何相关知识点详解
高考数学中的平面几何相关知识点详解高考数学中平面几何是一个重点和难点，需要学生在长期的学习中进行大量的练习和思维训练。
平面几何可以说是数学学科中的好入手也好深入的部分，掌握它不仅可以提高解题能力和思维能力，还可以加强对于数学知识的理解和运用。
本文将着重介绍高考数学中平面几何相关的知识点，并进行详细的分析和解释。
1. 点、线、面平面几何的基本概念有点、线和面。
点是几何中最小的概念，没有任何大小，只有位置。
线是由一组相邻的点按照一定的方向连接而成，具有长度和方向。
面是由一组相邻的线围成的区域，具有面积和形状。
在平面几何中，常常会涉及到点、线、面的相互关系。
比如，过两个点可以画出一条直线，两条相交而不共面的直线至少可以确定一个点，而两个平行的直线在平面上不相交。
此外，还有很多和点、线、面有关的基本定理和定律，需要牢记和灵活运用。
2. 直线和角的性质直线是平面几何中最简单的图形，直线上的点无限多，并没有起点和终点。
在平面几何中，直线所具有的性质有很多，比如，两条直线如果不共面，则它们不可能在任何一点相交；两个平行的直线在任何一点上的夹角都是相等的；如果一条直线上有两个垂直的线段，则它们相互垂直。
角是有大小和方向的图形，是由两条射线共同确定的。
在平面几何中，角所具有的性质也很重要，比如，同侧内角相等定理、同侧外角相等定理、对顶角相等定理等等。
掌握角的性质可以帮助学生解决许多有关平面几何的问题。
3. 相似和全等相似和全等是几何中重要的概念，也是平面几何中常用的概念。
相似是指两个图形形状相同但大小不同的关系。
在相似的图形中，对应的角度相等，对应的边长成比例关系。
全等是指两个图形大小、形状完全相同的关系。
在全等的图形中，对应的角度是相等的，对应的边长是相等的。
相似和全等是平面几何中常常会用到的概念，在解决各种几何问题时需要灵活运用。
4. 三角形和圆三角形是平面几何中最基本和重要的图形之一，具有许多特点和性质。
比如，三角形的内角和为180度，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的垂心、重心、外心等重要概念。
高一数学平面解析几何的基本概念与性质
高一数学平面解析几何的基本概念与性质平面解析几何是数学中的一个重要分支，通过使用坐标系，研究平面上点、线、圆等几何图形的性质与关系。
本文将介绍平面解析几何的基本概念与性质，以帮助高一学生更好地理解和应用这一知识点。
一、直角坐标系平面解析几何的基础是直角坐标系。
直角坐标系由横轴和纵轴组成，横轴又称为x轴，纵轴又称为y轴。
通过给出一个点在横轴和纵轴上的坐标，就可以确定平面上的一个点。
横轴和纵轴的交点被称为坐标原点O，它的坐标为(0, 0)。
在直角坐标系中，我们可以描绘出点、直线、曲线等几何图形。
二、平面上的点与坐标在平面解析几何中，点是最基本的概念之一。
平面上的点可以用有序数对的形式表示，称为坐标。
坐标的形式是(x, y)，其中x为横坐标，y为纵坐标。
例如，A点的坐标为(2, 3)，表示A点在横轴上的坐标为2，在纵轴上的坐标为3。
三、直线的表示与方程直线是平面解析几何中的一个重要概念。
在直角坐标系中，我们可以通过直线上的两个点来表示一条直线。
设直线上两点分别为A(x_1,y_1)和B(x_2, y_2)，则直线的方程可以表示为：(y - y_1)/(x - x_1) = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)该方程被称为点斜式方程，它可以用来表示平面上的一条直线。
四、平面上的距离与中点公式在平面解析几何中，我们常常需要计算两点之间的距离。
设平面上两点P(x_1, y_1)和Q(x_2, y_2)，则点P和点Q之间的距离为：d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)其中sqrt表示开方运算。
利用这个公式，我们可以方便地计算平面上任意两点之间的距离。
另外，我们还可以利用坐标的加法与除2运算得出两点连线上的中点的坐标。
设两点的坐标分别为(x_1, y_1)和(x_2, y_2)，则中点的坐标为：(x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2利用中点公式，我们可以快速找到两点连线上的中点。
平面几何五大公理
平面几何五大公理一、直线公理：通过两个不同点，可以画出一条直线。
直线是平面几何中最基本的概念之一。
根据直线公理，我们可以通过连接两个不同点来得到一条直线。
直线可以看作是无限延伸的，没有宽度和厚度。
直线可以用两个不同的点来确定，其中一个点是直线上的任意一点，另一个点可以在直线上也可以在直线外。
二、点线公理：通过两个不同点，只能画出一条直线。
点线公理是指通过两个不同点只能画出一条直线。
这个公理保证了直线的唯一性。
如果通过两个不同的点可以画出两条不同的直线，那么它们就不再是直线，而是两条不相交的曲线或者折线。
三、平行线公理：通过一点，在平面外只能有一条直线与已知直线平行。
平行线公理是指通过一点，在平面外只能有一条直线与已知直线平行。
这个公理保证了平行线的唯一性。
如果通过一点可以有两条或多条直线与已知直线平行，那么这些直线就不再是平行线，而是相交或重合的直线。
四、垂直公理：如果两条直线与一条直线相交，且两条直线的内部角相等，那么这两条直线是垂直的。
垂直公理是指如果两条直线与一条直线相交，且两条直线的内部角相等，那么这两条直线是垂直的。
垂直是指两条直线相互间的角度为90度。
垂直的直线在数学和几何中有着重要的应用，例如垂直线可以用来构造垂直平分线、垂直角等。
五、同位角公理：如果两条直线被一条直线截断，那么同位角相等。
同位角公理是指如果两条直线被一条直线截断，那么同位角相等。
同位角是指位于两条相交直线的同一侧，并且分别位于两条直线之间的角。
同位角公理是平面几何中关于角度相等的重要性质之一。
通过同位角公理，我们可以推导出许多与角度有关的性质，例如相应角、内错角等。
总结起来，平面几何五大公理是直线公理、点线公理、平行线公理、垂直公理和同位角公理。
这些公理是平面几何中最基本的原理，它们构成了平面几何的基础。
通过这些公理，我们可以推导出许多与直线、角度、平行等概念有关的性质和定理。
这些公理和定理的应用广泛，不仅在数学中有重要意义，还在物理、工程、建筑等领域中有着广泛的应用。
平面几何基础知识基本定理基本性质
平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2． 射影定理（欧几里得定理）3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：222222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥． 高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8． 张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18． 拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理． 以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19． 九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20． 欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21． 欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22． 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23． 重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31； （3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ； （4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24． 垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (CB A yC c y B b y A a C B A x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25． 内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190； （3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===； （5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26． 外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和． 27． 旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,． 旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）； （2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠； （3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28． 三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29． 三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30． 梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT 交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．53． 卡诺定理：通过△ABC 的外接圆的一点P ，引与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 分别成同向的等角的直线PD 、PE 、PF ，与三边的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．54． 奥倍尔定理：通过△ABC 的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC 的外接圆的交点分别是L 、M 、N ，在△ABC 的外接圆上取一点P ，则PL 、PM 、PN 与△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．55． 清宫定理：设P 、Q 为△ABC 的外接圆的异于A 、B 、C 的两点，P 点的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．56． 他拿定理：设P 、Q 为关于△ABC 的外接圆的一对反点，点P 的关于三边BC 、CA 、AB 的对称点分别是U 、V 、W ，这时，如果QU 、QV 、QW 和边BC 、CA 、AB 或其延长线的交点分别是D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．（反点：P 、Q 分别为圆O 的半径OC 和其延长线的两点，如果OC 2=OQ ×OP 则称P 、Q 两点关于圆O 互为反点）57． 朗古来定理：在同一圆周上有A 1、B 1、C 1、D 1四点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P ，作P 点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P 向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上．58． 从三角形各边的中点，向这条边所对的顶点处的外接圆的切线引垂线，这些垂线交于该三角形的九点圆的圆心．59． 一个圆周上有n 个点，从其中任意n －1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点．60． 康托尔定理1：一个圆周上有n 个点，从其中任意n －2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点．61． 康托尔定理2：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 两点，则M 和N 点关于四个三角形△BCD 、△CDA 、△DAB 、△ABC 中的每一个的两条西摩松线的交点在同一直线上．这条直线叫做M 、N 两点关于四边形ABCD 的康托尔线．62． 康托尔定理3：一个圆周上有A 、B 、C 、D 四点及M 、N 、L 三点，则M 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、L 、N 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线、M 、L 两点的关于四边形ABCD 的康托尔线交于一点．这个点叫做M 、N 、L 三点关于四边形ABCD 的康托尔点．63． 康托尔定理4：一个圆周上有A 、B 、C 、D 、E 五点及M 、N 、L 三点，则M 、N 、L 三点关于四边形BCDE 、CDEA 、DEAB 、EABC 中的每一个康托尔点在一条直线上．这条直线叫做M 、N 、L 三点关于五边形A 、B 、C 、D 、E 的康托尔线．64． 费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切．65． 莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形．这个三角形常被称作莫利正三角形．66． 布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF 相对的顶点A 和D 、B 和E 、C 和F ，则这三线共点．67． 帕斯卡（Paskal ）定理：圆内接六边形ABCDEF 相对的边AB 和DE 、BC 和EF 、CD 和FA 的（或延长线的）交点共线．68． 阿波罗尼斯（Apollonius ）定理：到两定点A 、B 的距离之比为定比m ：n （值不为1）的点P ，位于将线段AB 分成m ：n 的内分点C 和外分点D 为直径两端点的定圆周上．这个圆称为阿波罗尼斯圆．69． 库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆．70． 密格尔（Miquel ）点： 若AE 、AF 、ED 、FB 四条直线相交于A 、B 、C 、D 、E 、F 六点，构成四个三角形，它们是△ABF 、△AED 、△BCE 、△DCF ，则这四个三角形的外接圆共点，这个点称为密格尔点．71． 葛尔刚（Gergonne ）点：△ABC 的内切圆分别切边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，则AE 、BF 、CD 三线共点，这个点称为葛尔刚点．72． 欧拉关于垂足三角形的面积公式：O 是三角形的外心，M 是三角形中的任意一点，过M 向三边作垂线，三个垂足形成的三角形的面积，其公式： 222AB C D 4||R d R S S EF -=∆∆．平面几何的意义就个人经验而言，我相信人的智力懵懂的大门获得开悟往往缘于一些不经意的偶然事件．罗素说过：“一个人越是研究几何学，就越能看出它们是多么值得赞赏．”我想罗素之所以这么说，是因为平面几何曾经救了他一命的缘故．天知道是什么缘故，这个养尊处优的贵族子弟鬼迷心窍，想要自杀来结束自己那份下层社会人家的孩子巴望一辈子都够不到的幸福生活．在上吊或者抹脖子之前，头戴假发的小子想到做最后一件事情，那就是了解一下平面几何到底有多大迷人的魅力．而这个魅力是之前他的哥哥向他吹嘘的．估计他的哥哥将平面几何与人生的意义搅和在一起向他做了推介，不然万念俱灰的的头脑怎么会在离开之前想到去做最后的光顾？而罗素真的一下被迷住了，厌世的念头因为沉湎于平面几何而被淡化，最后竟被遗忘了．罗素毕竟是罗素．平面几何对于我的意义只是发掘了一个成绩本来不错的中学生的潜力，为我解开了智力上的扭结；而在罗素那里，这门知识从一开始就使这个未来的伟大的怀疑论者显露了执拗的本性．他反对不加考察就接受平面几何的公理，在与哥哥的反复争论之后，只是他的哥哥使他确信不可能用其他的方法一步步由这样的公理来构建庞大的平面几何的体系的以后，他才同意接受这些公理．公元前334年，年轻的亚历山大从马其顿麾师东进，短短的时间就建立了一个从尼罗河到印度河的庞大帝国．随着他的征服，希腊文明传播到了东方，开始了一个新的文明时代即“希腊化时代”，这时希腊文明的中心也从希腊本土转移到了东方，准确地说，是从雅典转移到了埃及的亚历山大城．正是在这个城市，诞生了“希腊化时代”最为杰出的科学成就，其中就包括欧几里德的几何学．因为他的成就，平面几何也被叫作“欧氏几何”．“欧氏几何”以它无与伦比的完美体系一直被视为演绎知识的典范，哲学史家更愿意把它看作是古代希腊文化的结晶．它由人类理性不可辩驳的几个极其简单的“自明性公理”出发，通过严密的逻辑推理，演绎出一连串的定理，这些在结构上紧密依存的定理和作为基础的几个公理一起构筑了一个庞大的知识体系．世间事物的简洁之美无出其右．★费马点：法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．★拿破仑三角形：读了这个题目，你一定觉得很奇怪．还有三角形用拿破仑这个名子来命名的呢！拿破仑与我们的几何图形三角形有什么关系？少年朋友知道拿破仑是法国著名的军事家、政治家、大革命的领导者、法兰西共和国的缔造者，但对他任过炮兵军官，对与射击、测量有关的几何等知识素有研究，却知道得就不多了吧！史料记载，拿破仑攻占意大利之后，把意大利图书馆中有价值的文献，包括欧几里德的名著《几何原本》都送回了巴黎，他还对法国数学家提出了“如何用圆规将圆周四等分”的问题，被法国数学家曼彻罗尼所解决．据说拿破仑在统治法国之前，曾与法国大数学家拉格朗日及拉普拉斯一起讨论过数学问题．拿破仑在数学上的真知灼见竟使他们惊服，以至于他们向拿破仑提出了这样一个要求：“将军，我们最后有个请求，你来给大家上一次几何课吧！”你大概不会想到拿破仑还是这样一位有相当造诣的数学爱好者吧！不少几何史上有名的题目还和拿破仑有着关联，他曾经研究过的三角形称为“拿破仑三角形”，而且还是一个很有趣的三角形．在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图．这个命题称为拿破仑定理．以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙、的圆心构成的△——外拿破仑的三角形．⊙、⊙、⊙三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图．△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙、⊙、⊙的圆心构成的△——内拿破仑三角形⊙、⊙、⊙三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．如下图．由于外拿破仑三角形和内拿破仑三角形都是正三角形，这两个三角形还具有相同的中心．少年朋友，你是否惊讶拿破仑是一位军事家、政治家，同时还是一位受异书籍、热爱知识的数学家呢？拿破仑定理、拿破仑三角形及其性质是否更让你非常惊讶、有趣呢？★欧拉圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆〔通常称这个圆为九点圆〔nine－point circle〕,或欧拉圆,费尔巴哈圆.九点圆是几何学史上的一个著名问题,最早提出九点圆的是英国的培亚敏.俾几〔Benjamin Beven〕,问题发表在1804年的一本英国杂志上.第一个完全证明此定理的是法国数学家彭赛列〔1788－1867〕.也有说是1820－1821年间由法国数学家热而工〔1771－1859〕与彭赛列首先发表的.一位高中教师费尔巴哈〔1800－1834〕也曾研究了九点圆,他的证明发表在1822年的《直边三角形的一些特殊点的性质》一文里,文中费尔巴哈还获得了九点圆的一些重要性质〔如下列的性质3〕,故有人称九点圆为费尔巴哈圆.九点圆具有许多有趣的性质,例如:1.三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;2.九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;3.三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕.。
初中平面几何知识点
初中平面几何知识点平面几何是数学中的一个重要分支，主要研究二维平面内的图形、直线、角度等概念和定理。
初中阶段的平面几何知识主要包括点、线、角、三角形、四边形、圆等的性质和计算方法。
下面将详细介绍初中平面几何的一些重要知识点。
一、点和直线1.点点是平面上最基本的元素，没有长度、宽度和面积。
用大写字母表示，如A、B、C等。
2.直线直线是由无数个点组成的，可以看作无限延伸的一条路径。
直线没有宽度，用小写字母表示，如a、b、c等。
二、角1.角的定义角是由两条射线共同起点的部分构成，起点称为顶点，两条射线称为边。
2.角的度量角的大小用度（°）表示，一个周角为360°。
也可用弧度（rad）表示，一个周角为2πrad。
3.角的分类（1）零度角：顶点是两个平行直线的交点；（2）锐角：大小小于90°；（3）直角：大小等于90°；（4）钝角：大小大于90°，小于180°；（5）平角：大小等于180°。
三、三角形1.三角形的定义三角形是由三条线段构成的，其中任意两条线段的和大于第三条线段。
2.三角形的分类（1）按边长分类：等边三角形、等腰三角形、普通三角形。
（2）按角度分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。
3.三角形的性质（1）内角和等于180°；（2）直角三角形的两个锐角互补；（3）等腰三角形的底边中线和高线在顶点处垂直；（4）可以通过两边和夹角确定一个三角形。
四、四边形1.四边形的定义四边形是由四条线段构成的闭合图形。
2.四边形的分类（1）平行四边形：对边平行；（2）矩形：四个内角都是直角；（3）正方形：既是矩形又是菱形；（4）菱形：对边相等。
（5）梯形：有两条平行边；（6）平行四边形的性质：对角相等、对边相等、对边互补。
五、圆1.圆的定义圆是平面上所有到圆心距离都相等的点的轨迹。
2.圆的要素（1）圆心：圆的中心点；（2）半径：连接圆心和任意一点的线段；（3）直径：通过圆心的两个任意点构成的线段，长度为半径的两倍。
平面几何体的性质知识点总结
平面几何体的性质知识点总结平面几何体是我们日常生活中常见的对象，它们具有独特的性质和特征。
在本文中，我们将总结平面几何体的性质知识点，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1. 点、线、面的定义和性质点是几何体中最基本的概念，是没有长度、宽度和高度的。
线是由无数个点组成的，没有宽度和高度，但有长度。
面是由无数个线组成的，具有长度和宽度，但没有高度。
点、线和面是构成几何体的基本要素，它们之间有一些重要的性质，如共线性、相交性等，这些性质在解决几何问题时起到重要的作用。
2. 角的性质角是由两条线段所夹的部分，可以用来描述平面内的方向和位置。
在角的定义中，我们需要注意到角的顶点、两边和开口方向。
根据角的大小，我们可以将其分为锐角、直角、钝角和平角。
同时，角的对应角性质也是很重要的，即两个相互对应的角相等。
这些角的性质对解决平面几何问题起到关键的作用。
3. 多边形的性质多边形是由若干条线段组成的封闭图形。
根据边的数量，我们可以将多边形分为三角形、四边形、五边形等。
在多边形的性质中，我们需要了解到不同类型多边形的角度和边长关系。
例如，三角形的内角和为180度，四边形的对角线交点相互连接会形成一个四边形等。
这些多边形的性质可以帮助我们计算图形中的未知量。
4. 圆的性质圆是由一条确定的半径和一个确定的圆心组成的对象。
在圆的性质中，我们需要了解到圆与线段、线和其他圆的关系。
例如，圆与直线的关系有两种情况：相交和相切。
圆的重要性质之一是圆心角，它是由圆心和圆上两个点所组成的角。
圆与圆的关系中，我们常常需要使用切线和弦的概念，这些概念对于解决实际问题非常有用。
5. 空间几何体的性质除了平面几何体外，我们还需要了解一些空间几何体的性质。
例如，直线和平面在三维空间中的关系是非常重要的，平面上的点可以唯一确定一个平面，而一条直线可以唯一确定一个平面等。
此外，我们还需要了解三棱柱、三棱锥、四棱柱、四棱锥等空间几何体的性质和特征，这些性质对于解决三维空间中的几何问题是非常有帮助的。
平面几何中的点线面的性质
平面几何中的点线面的性质在平面几何中，点、线和面是最基本的几何对象，它们分别具有一些独特的性质和特点。
在本文中，将详细探讨点、线和面的性质，以及它们之间的关系。
一、点的性质从定义上来说，点是没有长度、宽度和高度的基本几何对象。
点有以下几个重要的性质：1. 唯一性：在平面上的每一个点都是唯一的，不存在两个完全相同的点。
2. 不同性：任意两个不同的点之间可以连成一条直线。
3. 位置：点在平面上没有具体的位置，只有当几个点共线时，我们才能确定它们的相对位置。
二、线的性质线是由无数个点无限延伸而成，它具有以下重要性质：1. 唯一性：在平面上的任意两个点都可以确定一条唯一的直线。
2. 直线的特点：直线没有弯曲，无论延长多远，它都是保持笔直的。
3. 直线的延伸性：直线可以无限延伸，没有止境。
4. 直线的相交：两条直线可以相交于一个点，也可以平行于某个方向。
三、面的性质面是由无数个直线在空间中形成的，它具有以下重要性质：1. 平面的特点：平面是一个没有厚度的表面，它有无限的面积。
2. 平面的定义：平面由三个或三个以上的非共线点确定。
3. 平面的平行性：如果两个平面没有交点，则它们是平行的。
4. 平面的相交：两个平面可以相交于一条直线，也可以平行无交点。
四、点、线和面之间的关系点、线和面之间存在一些重要的关系：1. 点与线的关系：一个点可以在一条直线上，也可以不在直线上。
2. 点与面的关系：一个点可以在一个平面上，也可以不在平面上。
3. 线与线的关系：两条直线可以相交于一个点，也可以平行于某个方向。
4. 线与面的关系：一条直线可以与一个平面相交于一个点，也可以平行于某个平面。
5. 面与面的关系：两个平面可以相交于一条直线，也可以平行无交点。
综上所述，平面几何中的点线面都具有各自独特的性质和特点。
点作为没有长度、宽度和高度的基本对象，线由点无限延伸而成，而面则是由无数个直线组成。
通过理解它们的性质和相互关系，我们可以更好地研究和掌握平面几何的规律和定理。
平面几何形的性质与判定
平面几何形的性质与判定在平面几何学中，我们经常需要研究不同形状的性质和判定方法。
本文将探讨平面几何形的一些基本性质，并介绍判定这些性质的方法。
1. 点、线、面的定义与性质在平面几何学中，点是几何形的基本元素，它没有大小和方向。
线是由无数个点按照一定的规律排列而成，它没有宽度，但有长度和方向。
面是由无数个线按照一定的规律组成，它是二维的，具有长度和宽度。
2. 四边形的性质与判定四边形是由四条线段组成的平面几何形，它有以下一些性质和判定方法：- 内角和：四边形的内角和等于360°。
- 对角线：四边形的对角线是连接非相邻顶点的线段，如果对角线相等，那么这个四边形是平行四边形。
- 平行四边形的性质与判定：四边形的对边平行，则这个四边形是平行四边形。
3. 三角形的性质与判定三角形是由三条线段组成的平面几何形，它有以下一些性质和判定方法：- 内角和：三角形的内角和等于180°。
- 直角三角形的性质与判定：三角形的一个内角是90°，则这个三角形是直角三角形。
- 等边三角形的性质与判定：三角形的三条边相等，则这个三角形是等边三角形。
4. 圆的性质与判定圆是由半径为r的所有点组成的集合，它有以下一些性质和判定方法：- 圆心：圆的中心点称为圆心。
- 弧：圆上的一段弧线，它的长度等于半径乘以所对应的圆心角的度数除以360°。
- 切线：过圆上一点P并且与圆只有一个交点的直线称为切线。
除了以上提到的形状性质和判定方法，平面几何学还包括了其他许多形状的性质和判定方法，如多边形、圆锥等。
通过了解和熟悉这些形状的性质和判定方法，我们可以更好地应用于解决实际问题和证明几何定理。
总之，平面几何形的性质与判定是平面几何学中的重要内容。
通过学习和掌握各种形状的性质和判定方法，我们可以更好地理解平面几何学的知识，并能够应用于实际问题的解决中。
平面几何与解析几何
平面几何与解析几何平面几何和解析几何都是数学中重要的分支，它们分别从不同的角度研究几何学问题。
平面几何着重于研究二维平面上的图形和性质，而解析几何则运用代数的方法研究几何学问题。
本文将分别介绍平面几何和解析几何的基本概念和应用，以及它们之间的联系和区别。
一、平面几何平面几何是几何学的一个重要分支，它研究的对象是平面上的点、线、面及其相互之间的关系。
在平面几何中，我们研究的主要内容包括几何图形的性质、相似、全等、共线关系、垂直关系等。
1.1 点、线、面的定义与性质在平面几何中，点是最基本的概念，它没有大小和形状，只有位置。
线由无数个点连成，具有长度但没有宽度。
面由无数条线相互交织而成，具有长度和宽度。
在平面几何中，我们还研究了点、线、面的性质。
例如点到点之间可以连接成线段，线段有长度；线与线之间可以相交、平行或垂直；平面内直线和平面之间可以相交、平行或垂直。
1.2 图形的性质在平面几何中，我们研究了各种几何图形的性质。
例如，矩形的对角线相等且互相垂直；正方形的四条边相等，对角线相等且互相垂直；圆的任意一条弧都等于其半径乘以对应的角度。
1.3 相似与全等在平面几何中，我们还研究了相似和全等的概念。
两个图形相似意味着它们的形状相似但大小不同，而全等意味着它们形状和大小完全相同。
二、解析几何解析几何是代数与几何的结合，它运用了坐标系和代数的方法来研究几何学问题。
解析几何将平面几何问题转化为代数问题，通过代数运算来求解。
2.1 坐标系与点的表示在解析几何中，我们使用坐标系来表示平面上的点。
坐标系由横轴和纵轴组成，将平面分为四个象限。
每个点可以用一个有序数对(x, y)来表示，其中x表示点在横轴上的位置，y表示点在纵轴上的位置。
2.2 直线方程与曲线方程在解析几何中，我们研究了直线和曲线的方程。
通过求解方程，我们可以确定直线和曲线在平面上的位置和形状。
例如，直线的一般方程可以表示为Ax + By = C，其中A、B、C为常数；曲线的方程可以通过方程的形式来确定，例如圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)表示圆心坐标，r表示半径。
平面几何体的认识与性质
平面几何体的认识与性质平面几何体是数学中研究平面上的图形的一门学科，其认识与性质对于理解几何学的基本概念和推理能力具有重要作用。
本文将介绍平面几何体的定义、分类以及其特点与性质。
一、平面几何体的定义与分类平面几何体是由线段、直线以及它们之间的相互关系所组成的图形。
根据不同的形状和性质，平面几何体可以分为多种不同的类型，包括三角形、四边形、圆、多边形等。
下面将对这些常见的几何体进行具体介绍。
1. 三角形三角形是由三条线段组成的图形，其特点是三条边的长度和三个角的大小都有一定的关系。
根据边和角的性质，三角形又可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等多种类型。
2. 四边形四边形是由四条线段组成的图形，其特点是四个角的和为360度。
根据边和角的性质，四边形可以分为矩形、正方形、平行四边形、菱形等多种类型。
3. 圆圆是由一条曲线和其中所有的点构成的图形，其特点是任意两点之间的距离都相等。
圆的性质主要包括圆周长、圆面积、圆心、半径等。
4. 多边形多边形是由多条线段组成的图形，其特点是线段首尾相连形成的封闭图形。
根据边的个数和长度，多边形可以分为三角形、四边形、五边形等多种类型。
二、平面几何体的特点与性质平面几何体具有一些共同的特点和性质，下面将逐一介绍。
1. 边和角的关系平面几何体中的边和角之间存在一定的关系，如三角形的边和角满足三角形的两边之和大于第三边；四边形的内角之和是360度等。
2. 对称性平面几何体中的许多图形都具有一定的对称性，如矩形和正方形具有对边平行、对角相等的性质；圆具有轴对称性等。
3. 面积与周长平面几何体的面积和周长是衡量其大小的重要指标。
三角形的面积可以通过底边乘以高的一半得出；圆的面积可以通过半径的平方乘以π得出。
4. 相似性平面几何体中的一些图形可以相互比较，判断它们是否相似。
相似的图形具有形状相同但大小不同的特点，它们的对应边长比值相等。
5. 内外切关系平面几何体中的一些图形可以互相内外切，如圆与三角形、四边形等。
e总结总结平面几何的基本概念并要求学生做好
e总结总结平面几何的基本概念并要求学生做好平面几何是数学的一个重要分支，研究了平面内各种图形的性质和相互关系。
本文将总结平面几何的基本概念，并提出学生在学习平面几何时应注意的要点。
一、点、线、面的定义与性质1. 点：点是几何最基本的对象，它没有长度、面积和体积，只有位置坐标。
2. 线：线是由无数个点连成的，它没有宽度和高度，只有长度。
3. 面：面是由无数个线连成的，它具有长度和宽度，但没有厚度。
二、基本图形的性质与运算1. 直线：直线是无限长的，由两点确定一条直线。
2. 射线：射线是有一个起点，无限延伸的线段。
3. 线段：线段有起点和终点，具有有限长度的直线部分。
4. 角：角是由两条射线共享一个起点组成的图形。
5. 三角形：三角形是由三条线段围成的图形，具有三个顶点和三条边。
三、平面几何中的定理与公式1. 平行定理：若两条直线与一条直线相交，且两个内角和为180°，则这两条直线平行。
2. 垂直定理：若两条直线相交于一点，且相互垂直，则它们构成垂直角。
3. 同位角定理：若两条直线被一条直线截断，相应对应的内角相等。
4. 圆的周长和面积公式：圆的周长公式为C=2πr，面积公式为A=πr²。
四、平面几何的应用1. 建筑设计：平面几何的知识在建筑设计中起到重要作用，如位置布局、平面图绘制等。
2. 地图制作：地图是平面上的缩小比例图，平面几何可以帮助绘制精确的地理图形。
3. 工程测量：平面几何理论被广泛应用于工程测量中，如测量建筑物的高度、距离等。
五、学习平面几何的要点1. 理解基本概念：学习平面几何前，要确保对点、线、面等基本概念的理解准确。
2. 培养几何思维：平面几何是一门需要形象思维的学科，学生需要培养准确观察、形象思考的能力。
3. 多做几何题：通过解题练习，巩固所学的知识，提高应用能力。
4. 培养几何直觉：通过多接触几何图形，可以培养对几何图形的直观感受和准确判断能力。
总结：平面几何是我们学习数学中的重要一环，它涉及到点、线、面的定义与性质，基本图形的性质与运算，定理与公式以及应用等方面。
高中数学平面几何的基本性质
高中数学平面几何的基本性质平面几何是高中数学中的重要部分，它研究的是平面上的图形和它们之间的关系。
在平面几何中，有一些基本性质是我们必须要了解和掌握的。
本文将详细介绍高中数学平面几何的基本性质，包括点、线、角、三角形和多边形等内容。
一、点的性质1. 点是几何图形的最基本元素，它没有大小和方向，并且在平面上无限延伸。
2. 两点确定一条直线，三点确定一平面。
二、线的性质1. 直线是由无穷多个点组成的，它没有宽度和厚度。
2. 直线可以延伸到无穷远，两个不同的点可以确定一条唯一的直线。
3. 平行线是在同一个平面上的两条直线，它们永远不会相交。
4. 垂直线是与另一条直线交于直角的直线。
三、角的性质1. 角是由两条直线的公共端点和其余两个端点所组成的图形。
2. 角的大小通常用度数来表示，一个完整的角是360度。
3. 锐角是小于90度的角，直角是90度的角，钝角是大于90度小于180度的角，而平角是等于180度的角。
4. 对顶角是指两个相邻且不重合的角，它们有公共的顶点和公共的边。
四、三角形的性质1. 三角形是由三条边和三个顶点组成的图形。
2. 根据边的长短，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
3. 根据内角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
4. 三角形的内角和为180度。
五、多边形的性质1. 多边形是由多个边和多个顶点组成的封闭图形。
2. 根据边的数量，多边形可以命名为三边形、四边形、五边形等。
3. 正多边形是指所有边和角都相等的多边形。
4. 多边形的对角线是指连接不相邻顶点的线段。
以上是高中数学平面几何的基本性质的介绍。
了解和掌握这些基本性质对于解决各种几何问题和证明定理都非常重要。
在实际应用中，平面几何的基本性质也被广泛应用于建筑、地理等领域。
因此，我们应该努力学习和掌握这些基本性质，为进一步深入学习数学打下坚实的基础。
几何E相关资料
几何E几何E几何E是一门研究空间形状和变换的数学学科，它是数学中最古老、最基础的分支之一。
研究几何E的历史可以追溯到古希腊时代，古希腊哲学家与数学家亚里士多德被认为是几何E的创始人之一。
在过去的几千年里，几何E在数学中扮演着重要的角色，对人类认识空间的发展产生了巨大影响。
几何E研究的主要对象是空间中的图形。
图形是由点、线、面等基本元素组成的，而几何E则研究图形之间的关系、性质和性质之间的相互依赖。
在几何E中，我们将图形抽象为点、线、面等数学对象，通过定义和运算来研究它们的性质。
几何E的研究对象包括平面几何E和立体几何E。
在平面几何E中，我们主要研究二维平面上的图形和变换。
例如，我们可以研究直线、圆、多边形等图形的性质，以及它们之间的关系和变换。
在平面几何E中，我们还可以研究类似于平行线、相似三角形、勾股定理等基本定理和公理。
在立体几何E中，我们主要研究三维空间中的图形和变换。
例如，我们可以研究立方体、球体、锥体等图形的性质，以及它们之间的关系和变换。
在立体几何E中，我们还可以研究类似于平行面、相似立体、欧几里得空间等基本定理和公理。
几何E在数学中的应用非常广泛。
它不仅是其他数学学科的基础，也与许多其他领域有着紧密的联系。
例如，在物理学中，几何E有助于研究物体的形状、运动和相互作用。
在计算机科学中，几何E有助于虚拟现实技术、计算机图形学和计算机辅助设计等领域的发展。
在工程学中，几何E有助于建筑、机械和电子等领域的设计和制造。
除了在应用领域中的重要性，几何E还对人类的思维和想象力发展起到了重要的推动作用。
研究几何E不仅要求我们具备逻辑思维和抽象能力，还要求我们有想象力和创造力。
通过几何E的学习和研究，我们可以拓展我们的思维空间，培养我们的空间感知能力，并培养我们对美的感知和欣赏能力。
总之，几何E作为一门古老而又重要的学科，不仅在数学中扮演着基础和桥梁的角色，也对其他学科和人类的认识和发展产生了巨大影响。
平面几何的基本概念与性质
平面几何的基本概念与性质平面几何是几何学的一个分支，研究平面内几何对象的性质和关系。
在平面几何中，有一些基本概念和性质是我们需要了解和掌握的。
本文将介绍平面几何的基本概念和性质，以帮助读者更好地理解和应用平面几何知识。
一、点、线、面1. 点：在平面几何中，点是最基本的概念。
点是没有大小和形状的，可以用一个大写字母表示，如A、B、C等。
2. 线段：两个点之间的连结称为线段，用两个大写字母表示，如AB。
线段有长度，可以用尺寸表示。
3. 直线：由无数个点连成的路径称为直线。
直线可以用两个字母表示，如AB，也可以用一条延伸的符号表示。
4. 射线：起点固定，只有一个方向的直线称为射线。
用一个大写字母表示起点，再加上一个小箭头表示方向，如OA。
5. 平面：无限延伸的二维空间称为平面。
平面上的点用一个大写字母表示，如A、B、C等。
二、点的位置关系1. 共线：如果三个或三个以上的点在同一条直线上，称它们共线。
2. 垂直：两条直线或线段相交，且交点的两条周边直角相等时，称这两条直线或线段垂直。
3. 平行：两条直线或线段在平面上没有交点，且它们的方向相同或互为反向延伸时，称这两条直线或线段平行。
4. 垂直平分：垂直平分是指将某个线段平分，并且所用的直线和该线段垂直。
三、角的概念与性质1. 角：由两条射线共同起点所围成的部分称为角。
角可以用一个大写字母表示起点，然后由该字母的顺时针或逆时针方向引出两个箭头表示角的范围，如∠AOB。
2. 顶点：角的两条射线相交的点称为顶点。
3. 内角与外角：两条射线相交所围成的两个角称为内角，其余的两个角称为外角。
4. 相关角：有一些特殊关系的角称为相关角。
a. 对顶角：形成的两个内角互为对顶角。
b. 同位角：相交的两条直线与同一边夹角的对顶角互为同位角。
c. 内错角：内错角是指相交直线的两侧形成的一对非邻接内角。
d. 外错角：外错角是指相交直线的两侧形成的一对非邻接外角。
四、三角形的性质1. 三角形：由三条线段组成的图形称为三角形。
平面的两个基本特征
平面的两个基本特征一、平面几何概述平面几何是研究平面内点、线、面等基本几何元素及其相互关系和性质的数学学科。
它是几何学的基础，也是我们日常生活中常见的几何学分支。
平面几何的两个基本特征是平面和几何。
1. 平面平面是一个无限大的、无厚度的、延伸于无穷远的二维空间。
平面可以用于表示地理图、建筑设计、机械制图等各个领域。
平面具有平行性、垂直性、相交性等基本性质，这些性质在平面几何中起着重要的作用。
2. 几何几何是研究点、线、面及其相互关系和性质的数学分支。
几何可以分为平面几何和立体几何两个部分，其中平面几何是研究平面内点、线、面的性质，而立体几何则是研究空间内立体图形的性质。
二、平面图形的特点与分类平面图形是平面几何研究的重要对象，它们具有不同的特点和分类。
下面我们来介绍一些常见的平面图形。
1. 点与线点是平面上没有大小和形状的基本元素，它只有位置，用坐标来表示。
线是由无数个点组成的，它有长度但没有宽度，可以用于连接两个点或表示一条直线。
2. 多边形多边形是由线段组成的封闭图形，它的边界由一系列直线段组成，每条直线段的端点都是相邻的直线段的端点。
常见的多边形有三角形、四边形、五边形等，它们根据边的数量和边的性质可以进一步分类。
3. 圆与椭圆圆是由平面上与一个固定点的距离相等的所有点组成的图形，这个固定点称为圆心，距离称为半径。
椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹，这两个固定点称为焦点。
4. 曲线曲线是平面上的一条不断变化方向的连续的线段，它没有长度和宽度。
常见的曲线有抛物线、双曲线、螺旋线等，它们通过不同的方程或参数方程来描述。
5. 组合图形组合图形是由多个简单图形组合而成的复杂图形，它们可以通过图形的分解与组合来求解其性质。
常见的组合图形有平行四边形、梯形、菱形等，它们具有多种性质和特点。
总结：平面几何和平面图形是研究平面内点、线、面及其相互关系和性质的重要内容。
平面几何的基本特征是平面和几何，它们在各个领域中都有广泛的应用。
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例：求图示阴影部分的面积对y轴的静矩。
解：
Sy
(
hSy
a)
/zC2
A a
b
h
a
2
2
b h2
2 4
a
2
§I-3 惯性矩、极惯性矩和惯性积
一、惯性矩
Iz
y2dA
A
z
I y
z2dA
A
I y Aiy2 或iy
Iy A
dA y
z
I z Aiz2或 iz
Iz A
O
y
i y 、iz 分别称为平面图形对y轴和z轴的惯性半径
2
y b
2 2
2
d
y
4bh 2 15
z
Sz
y dA
A
b 0
yh1
y2 b2
d y
b2h 4
h
z
h1
y2 b2
O y dy y b
Sy
4bh2 15
b y2
A
dA
A
0
h1
b2
dy
2bh 3
Sz
z
b2h
4
z h1
形心坐标为:
y2
b
2
yC
Sz A
bh 2
Iz
y 2 dA
A
A ( yc a)2 dA
A yc2 dA 2a A yc dA a 2
dA
A
Izc a2 A
z
zc
a
C
yc
b
O
y
Iz Izc a2 A
平行移轴公式：
I y I yC b2 A I z I zC a 2 A I yz I yCzC abA
例：求图示平面图形对y轴的惯性矩 Iy z
§I-4 平行移轴公式
z
zc
y
a
yc
y yc a z zc b
dA
C
zc
yc
bz
O
y
Iz
y2 dA,
A
Iy
z2 dA,
A
Iyz
yz dA
A
I zc A yc2 dA , I yc A zc2 dA , I yczc A yc zc dA
y yc a , z zc b
a
y
a
d
解：
z
a
y
a
d (2a) 3 I y 12
d
d 4
2
128
d 8
2
2d
3
2
d2
8
2d
3
a
2
因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标 轴一定是平面图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的 惯性矩称为主惯性矩。
(3)形心主惯性轴 过形心的主惯性轴称为 形心主惯性轴。
可以证明:任意平面图形必定存在一对相 互垂直的形心主惯性轴。
(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主 惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩。
4 2bh
3b 8
h
3
Oy
dy
b
4bh 2
y
zC
Sy A
15 2bh
2h 53ຫໍສະໝຸດ 例：确定图示图形形心C的位置。
解： yC
Sz A
10 120 5 70 10 45 1200 700
19.7mm
zC
Sy A
10 120 60 70 10 5 39.7mm 1200 700
z
y
dA
z
O
y
I yz
yzdA
A
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐标轴是对称 轴，则平面图形对该对坐标轴的惯性积必等于零。
I yz 0 z
dA dA y
I yz
yzdA
A
几个主要定义: (1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐
标轴y0、z0的惯性积 Iyozo=0时，则坐标轴 y0、z0 称为主惯性轴。
A
形心坐标：
ydA
yC
A
A
zdA
zC
A
A
z
y dA
yC C zC z
O
y
静矩和形心坐标之间的关系：
yC
Sz A
, zC
Sy A
例：计算由抛物线、y轴和z轴所围成的平面图形对y 轴和z轴的静矩，并确定图形的形心坐标。
z
z
h1
y2 b2
O
y
解： Sy
z dA
A2
b 0
1
h
2
1
二、极惯性矩
z
y
O
I p
2 dA
A
dA
2 y2 z2
z Ip Iy Iz
y
例：求图示矩形对对称轴y、z的惯性矩。
解：
Iy
A
z2
dA
h/2
z 2bdz
h/2
bh 3 12
dz
z
例：求图示圆平面对y、z轴的惯性矩。
d4
I p 32 Iy Iz Ip
Iy Iz
三、惯性积
2dA
A
定义为图形对O点的极惯性矩
dA z y
Sz
ydA
A
Sy
zdA
A
图形对z轴和y轴的静矩
Iz
y2dA
A
I y
z2dA
A
图形对z轴和y轴的惯性矩
I yz
y zd A
A
图形对y、z轴的惯性积
I p
2dA
A
图形对O点的极惯性矩
§I-2 静矩和形心
Sz
ydA
A
Sy
zdA
I 平面图形的几何性质
z
y dA
z
y O
Sz
ydA
A
ydA
Sy
zdA
A
定义为图形对z轴和y轴的静矩 z
y
Iz
y2 dA
A
y2 dA
I y
z2dA
A
O
定义为图形对z轴和y轴的惯性矩
dA z y
yzdA
2 dA
z
y
I yz
yzdA
A
O
定义为图形对y、z轴的惯性积
I p