河北保定市河北满城中学高一年级下学期数学期中考试(扫描版)
高中高一数学下学期期中考试(共4页)
云梦县梦泽高中2021-2021学年(xu éni án)高一数学下学期期中考试
〔无答案〕
时间是120分钟，分数150分
一、选择题(10×5分=50分)
1．
( ) A ． B ． C ． D ．
6．等比数列满足，，那么 ( )
A ．64
B ．81
C ．128
D ．243
7．数列}{n a 中， ，假设前n 项和，那么项数( )
A ．96
B ．97
C ．98
D ．99
8．函数是( )
A ．最小正周期为2的奇函数
B ．最小正周期为2π的偶函数
C ．最小正周期为π的奇函数
D ．最小正周期为π的偶函数
9．在△ABC中，，那么( )
A． B． C． D．
10．在△ABC中，，那么(nà me)△ABC外接圆的直径为( )
A． B．60 C． D．
17．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，
(1)求A；
(2)假设，，求c.
18．在△ABC中，假如有性质，试判断三角形的形状？20．数列(shùliè){}是等比数列，其中，且成等差数列
(1)求数列{
a}的通项公式
n
(2)求数列(shùliè){
a}的前n项和
n
内容总结。
2023-2024学年河北省保定市高一下学期期中数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河北省保定市高一下册期中数学试题一、单选题1．在平行四边形ABCD 中，AC BC -=（）A ．DAB ．BDC ．BAD ．DC【正确答案】D【分析】根据平面向量加减法规则求解.【详解】如图，根据平面向量的加法规则有：,AB BC AC AC BC AB DC +=∴-==；故选：D.2．设()23i 3i a b -+=，其中a 、b 为实数，则（）A ．1a =，2b =-B ．1a =，2b =C ．1a =-，2b =D ．1a =-，2b =-【正确答案】C【分析】利用复数的加减运算及复数相等的概念计算即可.【详解】因为a ，b ∈R ，()23i 3i a b a +-=，所以20a b +=，33a -=，解得1a =-，2b =．故选：C3．一个几何体由6个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正多边形，其余各面都是全等的矩形，则该几何体是（）A ．四棱柱B ．六棱台C ．六棱柱D ．正方体【正确答案】A【分析】根据条件，分别对题目中四个选项分析推理.【详解】不妨假定两个平行的面是上下底面，并且必须是6个面，显然六棱柱和六棱台不满足要求，正方体要求各棱相等，题目中没有给出这个条件，也无法证得，不满足要求，而四棱柱满足要求.故选：A.4．已知()0,1A 、(),3B m 、()4,7C 三点共线，则m =（）A ．13-B ．13C ．43D ．2【正确答案】C【分析】求出AB、AC ，可知//AB AC uu u r uuu r ，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数m 的值.【详解】因为()0,1A 、(),3B m 、()4,7C ，则(),2AB m =，()4,6AC = ，因为A 、B 、C 三点共线，则//AB AC uu u r uuu r ，所以86m =，即43m =．故选：C.5．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，且2cos 3a Cbc =+，则ABC 是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形【正确答案】D【分析】正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到2cos sin sin 03A C C +=，进而得到2cos 3A =-，得到ππ2A <<，即可求解.【详解】因为2cos 3a Cbc =+，由正弦定理得2sin cos sin sin 3A C B C =+，又因为πA C B +=-，可得sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，所以2cos sin sin 03A C C +=，因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >，所以2cos 3A =-，又因为(0,π)A ∈，所以ππ2A <<，所以ABC 为钝角三角形.故选：D.6．如图①，这是一个小正方体的侧面展开图，将小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、第2格、第3格、第4格、第5格、第6格，这时小正方体正面朝上的图案是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】根据正方体的侧面展开图找出相对面，再由其特征得到结果.【详解】由图①可知，“同心圆”和“圆”相对，“加号”和“箭头”相对，“心形”和“星星”相对．由图②可得，小正方体从如图②所示的位置翻到第6格时正面朝上的图案是．故选：C.7．如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时A 处看灯塔S 在船的北偏东sin θθ⎛=⎝⎭的方向上.1小时后，船航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东3θ的方向上，则船航行到B 处时与灯塔S 之间的距离为（）A ．B ．C ．海里D ．【正确答案】B【分析】确定2S θ∠=，cos 4θ=，根据正弦定理得到sin 2sin cos BS θθθ=，解得答案.【详解】32S θθθ∠=-=，AB =π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos θ==，则sin sin 2BS AB θθ=，即sin 2sin cos BS θθθ=，cos BS θ==故选：B8．已知复数12i z =+是关于x 的方程20x px q ++=p q ∈R 的一个根，若复平面内满足1z z p q -=+的点Z 的集合为图形M ，则M 围成的面积为（）A ．πB ．16πC ．25πD ．81π【正确答案】A【分析】先由1z 是方程的根求出p ，q ，然后由复数减法的几何意义求解即可.【详解】∵12i z =+是关于x 的方程20x px q ++=p q ∈R 的一个根，∴()()202i 2i p q ++++=p q ∈R ，化简得()()324i 0p q p ++++=，∴32040p q p ++=⎧⎨+=⎩，解得45p q =-⎧⎨=⎩，∴1451z z p q -=+=-+=，如图所示复平面内，复数z 和12i z =+表示的点为Z 和1Z ，表示的向量为OZ和1OZ，则由复数减法的几何意义，复数1z z -表示的向量为11OZ OZ Z Z -= ，若11z z -=，则11Z Z =，∴点Z 的集合图形M 是以1Z 为圆心，半径为1的圆，∴M 围成的面积为2π1πS =⨯=.故选：A.9．已知复数12i z =+，212i z =-，则（）A ．12=z z B ．1z 的共轭复数为2z C ．复数12z z 对应的点位于第二象限D ．复数12z z 为纯虚数【正确答案】AD【分析】利用复数的模长公式可判断A 选项；利用共轭复数的定义可判断B 选项；利用复数的乘法以及复数的几何意义可判断C 选项；利用复数的除法以及复数的概念可判断D 选项.【详解】因为12i z =+，212i z =-，则1z ==，2z ==A 正确；1z 的共轭复数为2i -，故B 错误；()()122i 12i 43i z z =+-=-，复数12z z 对应的点()4,3-位于第四象限，故C 错误；()()()()122i 12i 2i2i 4i 2i 12i 12i 12i 5z z +++++-====--+为纯虚数，故D 正确．故选：AD.二、多选题10．在△ABC 中，1AB =，2AC =，2π3A =，5BC CD = ，E 为AC 的中点，则（）A ．4BD DC =B ．6155AD AC AB=- C ．1AB AC ⋅= D ．3910AD BE ⋅=【正确答案】BD【分析】利用向量的线性运算可得AB 选项正误；利用向量的数量积公式可得CD 选项正误.【详解】因为5BC CD = ，所以6BD CD =，故A 错误；由向量加法的三角形法则，可得()66615555AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=-，故B 正确；由数量积公式得：2πcos 13AB AC AB AC ⋅=⋅=- ，故C 错误；6113955210AD BE AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故D 正确．故选：BD11．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若2a =，π4A =，b x =，满足此条件的三角形只有一个，则x 的值可能为（）AB ．2C．D ．3【正确答案】ABC【分析】由正弦定理及三角函数的图象与性质可判定结果.【详解】由正弦定理得2πsin sin4xB =，则x B =，又3π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足条件的三角形只有一个，即x 有唯一的角与其对应，所以ππ0,24B ⎧⎫⎛⎤∈⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦，故{(]0,2x B =∈ ．故选：ABC ．12．设O 为△ABC 的外心（三角形外接圆的圆心），2AB =，3AC =，2π3BAC ∠=，若AM 为∠BAC 的平分线，则（）A ．2355AM AB AC=+ B ．3255AM AB AC=+C ．3AM AO ⋅= D ．6AM AO ⋅= 【正确答案】BC【分析】根据向量的数量积运算律求解.【详解】如图，取,AB AC 的中点分别为,E D ，因为O 为△ABC 的外心，所以,OE AB OD AC ⊥⊥，因为2AB =，3AC =，AM 为∠BAC 的平分线，所以:2:3BM MC =，则3255AM AB AC =+，所以32325555AM AO AB AC AO AB AO AC AO ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭22312135252AB AC =⨯+⨯=．故选:BC.三、填空题13．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形O A B C ''''，且//O A B C ''''，24O A B C ''''==，2A B ''=，则该平面图形的高为________．【正确答案】42【分析】由直观图与平面图形的关系还原即可.【详解】由直观图可得如图所示的平面图，在直角梯形O A B C''''中，222222O C=+=''，则该平面图形的高为22．故答案为.42四、双空题14．古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现——圆柱容球定理．如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即圆柱的底面直径和高都等于球的直径），则该球与圆柱的体积之比为________，该球与圆柱的表面积之比为________．【正确答案】2323【分析】由题意可设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，再利用球体和柱体的体积和表面积公式计算即可得出结果.【详解】设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，所以324π23π23rVV r r==⋅球圆柱，224π22π2π23S rS r r r==+⋅球圆柱．故23；23.五、填空题15．已知M 为线段AB 上的任意一点，O 为直线AB 外一点，A 关于点O 的对称点为C ，B 关于点C的对称点为D ，若OM xOC yOD =+，则3x y +=________．【正确答案】1-【分析】以,OA OB为基底，利用A ，B ，M 三点共线求解.【详解】因为A 关于点O 的对称点为C ，所以OC OA =- ，2BD BC =，BC OC OB =- ，又B 关于点C 的对称点为D ，所以222OD OB BC OC OB OA OB =+=-=--，又OM xOC yOD =+，所以()()2OM x y OA y OB =--+- ，因为A ，B ，M 三点共线，所以21x y y ---=，即31x y +=-；故1-16．如图，某公园内有一个边长为12m 的正方形ABCD 区域，点M 处有一个路灯，5m BM =，3sin 5MBQ ∠=，现过点M 建一条直路分别交正方形区域两边AB ，BC 于点P 和点Q ，若对五边形APQCD 区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为________2m ．【正确答案】120【分析】设BP 和BQ 的长，使PBQ 的面积最小，即可使五边形APQCD 面积最大.【详解】设m BP x =，m BQ y =，012x <<012y <<，∵3sin 5MBQ ∠=，π0,2MBQ ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，∴π4sin sin cos 25PBM MBQ MBQ ⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，∴PBM 的面积为2114sin 52m 225PBM S BP BM PBM x x =⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅= ，MBQ V 的面积为21133sin 522m 52MBQ y BM BQ M S BQ y =⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅= ，∵PBQ 的面积PBQ PBM MBQ S S S =+ ，∴13222xy x y =+，即43xy x y =+∵012x <<，012y <<，∴由基本不等式得43xy x y =+≥=≥，即48xy ≥，当且仅当43x y =，即6x =，8y =时，等号成立，∴PBQ 的面积的最小值为()2min 14824m 2PBQ S =⨯= ，∴五边形APQCD 面积的最大值()2max min14424120m PB D Q ABC S S S =-=-= ．故答案为.120六、解答题17．已知复数()()222i z m m m m m =-++++∈R .(1)若z 为实数，求m 的值；(2)若z 为纯虚数，求m 的值；(3)若复数z 在复平面内所对应的点位于第四象限，求m 的取值范围.【正确答案】(1)0或1-(2)2(3)10m -<<【分析】若z 为实数，则虚部为0，列出方程求解即可；若z 为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，列出方程组求解即可；若复数z 在复平面内所对应的点位于第四象限，则实部大于0，虚部小于0，列出不等式组求解即可。
河北保定一中2025届高三下期中考试数学试题试卷
河北保定一中2025届高三下期中考试数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设()*n k k N=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ）A ．当8n =时，该命题不成立B ．当8n =时，该命题成立C ．当6n =时，该命题不成立D ．当6n =时，该命题成立 2．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．3．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若m n ⊥，//n α，则m α⊥B ．若//m β，βα⊥，则m α⊥C ．若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥D ．若m n ⊥，n β⊥，βα⊥，则m α⊥ 5．在等差数列{}n a 中，25a =-，5679a a a ++=，若3n nb a =（n *∈N ），则数列{}n b 的最大值是（ ） A ．3- B ．13- C ．1D ．36．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2]7．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =，120QF QF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）A 1B 1C 2D 28．要得到函数12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标（ ）A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移4π个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124π个单位长度9．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点F 重合；②双曲线E 与过点(4,2)P 的幂函数()f x x α=的图象交于点Q ，且该幂函数在点Q 处的切线过点F 关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（ ）A B C ．32D 110．已知角α的终边经过点P(0sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12B C ．12-D ． 11．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12B ．3.13C ．3.14D ．3.1512．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省保定市高一下学期期中数学试卷(理科)
河北省保定市高一下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高一下·浦东期中) 下列命题正确的是（）A . 第一象限的角都是锐角B . 小于的角是锐角C . 2019°是第三象限的角D . 2019°是第四象限的角2. （2分）平面直角坐标系中，直线x+ y+2=0的斜率为（）A .B . -C .D . -3. （2分）已知角α终边上一点P（﹣4，3），则sin（+α）的值为（）A .B .C .D .4. （2分）过点A（0，2），B（﹣2，2），且圆心在直线x﹣y﹣2=0上的圆的方程是（）A . =26B . =26C . =26D . =265. （2分） (2016高一上·绵阳期末) 一个半径是R的扇形，其周长为4R，则该扇形圆心角的弧度数为（）A . 1B . 2C . πD .6. （2分） (2016·枣庄模拟) 已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量 =（3，4），若⊥ ，则tan（α+ ）=（）A . 7B . -C . ﹣7D .7. （2分）设点关于原点的对称点为，则等于（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高一下·宜宾月考) 对于函数的图象，关于直线对称；关于点对称；可看作是把的图象向左平移个单位而得到；可看作是把的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍而得到以上叙述正确的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个9. （2分）直线mx+（2m﹣1）y=0和直线3x+my+3=0垂直，则实数m的值为（）A . 1B . 0C . 2D . ﹣1或010. （2分）已知tanα=﹣，则 =（）A .B . 3C . ﹣D . ﹣3二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2019高一下·上海月考) 角属于第________象限角.12. （1分）第三象限角的集合表示为________．13. （1分）(2018高二上·凌源期末) 已知是直线上的动点，是圆的两条切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值为________．14. （1分）(2018·朝阳模拟) 若，则 ________.三、解答题 (共4题；共45分)15. （15分）已知函数 .（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）指出的周期、振幅、初相、对称轴；（3）说明此函数图象可由的图象经怎样的变换得到.16. （10分） (2016高二上·宁阳期中) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足：a2+c2=b2+ac（1）求∠B 的大小；（2）求 cosA+cosC 的最大值．17. （10分） (2016高一上·潍坊期末) 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（7，﹣1），C（﹣2，5），AB边上的中线所在直线为l．（1）求直线l的方程；（2）若点A关于直线l的对称点为D，求△BCD的面积．18. （10分） (2017高一下·郑州期末) 已知对任意平面向量 =（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到的向量 =（xcosθ﹣ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ得到点P．（1）已知平面内点A（2，3），点B（2+2 ，1）．把点B绕点A逆时针方向旋转角得到点P，求点P 的坐标．（2）设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点沿顺时针方向旋转后得到的点的轨迹方程是曲线y= ，求原来曲线C的方程．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共45分)15-1、15-2、15-3、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、。
河北省保定市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷(II)卷
河北省保定市2019-2020年度高一下学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）已知,,且函数在处有极值，则ab的最大值等于（）A . 2B . 3C . 6D . 92. （2分）已知定义在R上的函数y=f(x）满足以下三个条件：①对于任意的，都有f(x+4)=f(x)；②对于任意的且,都有f(x1)<f(x2),③函数y=f(x+2)的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是（）A . f(4.5)<f(7)<f（6.5）B . f(7)<f(4.5)<f(6.5)C . f(7)<f(6.5)<f(4.5)D . f(4.5)<f(6.5)<f(7)3. （2分）是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）给出下列四个命题：（1）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=acosB，则;（2）设是两个非零向量且，则存在实数λ，使得；（3）方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个；（4）且a3-3b>b3-3a,则a>b；其中正确的个数有A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个5. （2分） (2020高一下·东阳期中) 在△ABC中， ,则△ABC一定是（）A . 直角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 等边三角形6. （2分） (2017高二下·牡丹江期末) 已知 , , ,则的最小值为（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高一下·潮州期中) 已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =（）A . -3B . -2C . 2D . 38. （2分） (2019高三上·浙江月考) 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2020高一下·东阳期中) 已知数列满足，，若，则（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一下·湖州期末) 设，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .二、双空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2019高一上·上饶期中) 已知函数有且仅有一个正实数的零点，则实数的取值范围是________.12. （1分）已知函数f（x）对任意实数x，y满足f（x）+f（y）=f（x+y）+3，f（3）=6，当x＞0 时，f （x）＞3，那么，当f（2a+1）＜5时，实数a的取值范围是________13. （1分） (2017高一上·山东期中) 函数 = 的定义域是________.14. （1分）由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献，人们将函数命名为狄利克雷函数，已知函数，下列说法中：①函数的定义域和值域都是；②函数是奇函数；③函数是周期函数；④函数在区间上是单调函数.正确结论是________．三、解答题 (共6题；共55分)15. （5分） (2016高一下·丰台期末) 设，向量 =（cosα，sinα），．（1）证明：向量与垂直；（2）当| |=| |时，求角α．16. （10分）(2020·江苏模拟) 如图，某校打算在长为1千米的主干道一侧的一片区域内临时搭建一个强基计划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域（为直角）和以为直径的半圆形区域组成，点P（异于B，C）为半圆弧上一点，点在线段上，且满足 .已知，设，且 .初步设想把咨询台安排在线段，上，把宣传海报悬挂在弧和线段上.（1）若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省内高校参展，打算让最大，求该最大值；（2）若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧和线段的长度之和最大，求此时的的值.17. （10分）(2017·东台模拟) 如图，一个圆心角为直角的扇形AOB 花草房，半径为1，点P 是花草房弧上一个动点，不含端点，现打算在扇形BOP 内种花，PQ⊥OA，垂足为Q，PQ 将扇形AOP分成左右两部分，在PQ 左侧部分三角形POQ 为观赏区，在PQ 右侧部分种草，已知种花的单位面积的造价为3a，种草的单位面积的造价为2a，其中a 为正常数，设∠AOP=θ，种花的造价与种草的造价的和称为总造价，不计观赏区的造价，设总造价为f（θ）（1）求f（θ）关于θ 的函数关系式；（2）求当θ 为何值时，总造价最小，并求出最小值．18. （10分）已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；（2）若扇形的周长是12cm，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？并且最大面积是多少？19. （10分）设向量．（其中x∈[0，π]）（1）若，求实数x的值；（2）若，求函数的值．20. （10分） (2020高一下·东阳期中) 已知等差数列的公差不为零，且，、、成等比数列，数列满足（1）求数列、的通项公式；（2）求证： .四、填空题 (共2题；共2分)21. （1分）不等式的解集为________22. （1分）等差数列中，，，则数列中绝对值最小的项是第________项．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、双空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、四、填空题 (共2题；共2分) 21-1、22-1、。
河北省保定市数学高一下学期理数期中考试试卷
河北省保定市数学高一下学期理数期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2019 高三上·深圳月考) 已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（ ）A.B.C.D. 2. （2 分） (2020 高三上·北京月考) 函数 A. B. C. D. 3. （2 分） (2018 高二上·深圳期中) 已知平面向量 （）的最小正周期为（ ），且，则A.B.C.第 1 页 共 17 页D. 4. （2 分） (2018 高一下·泸州期末) 化简式子A.的值是B.C.D.5. （2 分） (2018 高三上·河北月考) 在 （）中，，，，则A.B.C.D.6. （2 分） (2018·肇庆模拟) 将函数 对称轴方程为（ ）的图象向左平移 个单位长度，则平移后新函数图象的A.B.C.D.第 2 页 共 17 页7. （2 分） (2020 高二下·焦作期末) 已知向量 角的余弦值是（ ）A. B. C.，，若，则 与 的夹D. 8. （2 分） 已知函数在上单调递增，则正实数 的取值范围是（ ）A. B. C.D.9. （2 分） (2018 高一下·沈阳期中) 已知 （）且，，则A.B.C. D.3 10. （2 分） (2017 高一上·定州期末) 函数 f（x）=3sinx•ln（1+x）的部分图象大致为（ ）第 3 页 共 17 页A.B.C.D.11. （2 分） 已知平面向量，A.9B.1C.D.，且， 则实数 x 的值为（ ）12. （2 分） 将函数 y=sinx 的图象上每点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），再把所得图象向左平移 个单位，得到的函数解析式为（ ）A . y=sin（2x+ ）B . y=sin（2x+ ）第 4 页 共 17 页C . y=sin（ + ）D . y=sin（ + ）二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2019 高一上·重庆月考) 圆心角为,弧长为 2 的扇形的面积为________.14. （1 分） (2020·淮南模拟) 已知，，则的值为________．15. （1 分） (2019 高三上·沈阳月考) 下列四个命题中，真命题的序号有________.（写出所有真命题的序号）①若，则“”是“”成立的充分不必要条件；②命题“使得”的否定是 “均有”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则”；④函数在区间上有且仅有一个零点.16. （1 分） (2018 高一下·长阳期末) 在△ABC 中， , , 分别是角 , , 的对边,,则的取值范围为________．三、 解答题 (共 6 题；共 50 分)17. （5 分） ）已知函数 f（x）= sin（x﹣ϕ）cos（x﹣ϕ）﹣cos2（x﹣ϕ）+ （0≤ϕ≤ ）为偶函数． （I）求函数的最小正周期及单调减区间；（II）把函数的图象向右平移 个单位（纵坐标不变），得到函数 g（x）的图象，求函数 g（x）的对称中心．18.（10 分）(2020 高一下·金华月考) 已知平面向量，，，且，.（1） 求 和 ；（2） 若，，求向量 与向量 的夹角的大小.19. （10 分） (2020·芜湖模拟) 在 ，记此三角形的面积为 S.中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长，且满足（1） 若，求 S 的值；第 5 页 共 17 页（2） 若，求的取值范围.20. （10 分） (2017 高一下·淮安期末) 已知 sinα=．（1） 求的值；（2） 求的值．21. （5 分） (2016 高一下·吉林期中) 已知：sinα= π），求：sin（α+β）和 sin（α﹣β）的值．，cosβ=﹣，α∈（ ，π），β∈（ ，22. （10 分） (2016 高一上·长春期中) 已知角 α 的顶点在原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P（﹣ ， ）（1） 求 sinα（2） 求的值．第 6 页 共 17 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点： 解析：第 7 页 共 17 页答案：4-1、 考点：解析： 答案：5-1、 考点：解析： 答案：6-1、 考点：第 8 页 共 17 页解析： 答案：7-1、 考点：解析： 答案：8-1、 考点： 解析：答案：9-1、第 9 页 共 17 页解析： 答案：10-1、 考点： 解析：答案：11-1、 考点：解析： 答案：12-1、 考点：第 10 页 共 17 页解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共50分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。
2023-2024学年保定市一中高一数学(下)期中考试卷附答案解析
2023-2024学年保定市一中高一数学（下）期中考试卷满分为150分，考试时间为120分钟2024年4月第Ⅰ卷选择题一、单选题（本大题有8个小题，每小题5分，共40分）1．若α是第一象限角，则下列结论一定成立的是（）A ．sin02α>B ．cos02α>C ．tan02α>D ．sincos 022αα<2．定义在R 上的函数()f x 满足()()πcos f x f x x +=+，当0πx ≤<时，()1f x =，则11π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．2C ．0D ．12-3．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)(1)f x f x +=-，当10x -≤<时，2()log (62)f x x =-+，则253f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．-1B ．-2C ．2D ．14．函数()()213log 1f x x ax =--在()1,+∞上单调递减的一个充分不必要条件是（）A ．1a <-B ．0a ≤C ．1a >D ．2a ≥5．已知函数()33x xf x -=-，则不等式()()210f x f x -->的解集为（）A ．()1,1,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭B ．1,3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．113⎛⎫⎪⎝⎭，D ．()1+∞，6．已知函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()e e 43x xf x x --=-B ．()e e 34x xf x x--=-C ．()e e 43x xf x x -+=-D ．()1x f x x =-7．已知正实数, a b 满足228log ,a bba=+则（）A ．a b =B ．3a b <C ． 3a b=D ．3a b>8．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当12,[0,)x x ∀∈+∞，且12x x ≠时，()()()1212124f x f x x x x x ->+-恒成立，(2)16f =，则满足2(ln )4(ln )f m m ≤的m 的取值范围为（）A ．1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．21,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．21,e ⎡⎤⎣⎦D ．221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题（本大题有3个小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，有错选或不选得0分）9．已知0πx <<，1sin cos 5x x +=，则（）A ．12sin cos 25x x =-B ．12sin cos 25x x =C ．7sin cos 5x x -=-D ．7sin cos 5x x -=10．函数()()log 110,1a y x a a =-+>≠的图象恒过定点P ，若点P 在直线()0100,m m x ny n +->>=上，则（）A ．18mn ≥B ．22142m n +≥C ．214m n +>D ．1231m n+>+11．定义在R 上的函数()log )a f x bx =（0a >且1a ≠，0b ≠），若存在实数m 使得不等式(()0f m f m -+-≥恒成立，则下列叙述正确的是（）A ．若1a >，0b >，则实数m 的取值范围为[]22-,B ．若01a <<，0b <，则实数m 的取值范围为(],2-∞C ．若1a >，0b <，则实数m 的取值范围为(][),22,-∞-+∞UD ．若01a <<，0b >，则实数m 的取值范围为[)2,+∞第Ⅱ卷非选择题三、填空题（本题共3题，每题5分，共15分）12．已知πsin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则11πcos 3x ⎛⎫+=⎪⎝⎭.13．已知函数()[]11,1,05x f x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,2g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的02x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a 的取值范围是．14．已知函数()2log f x x =-，下列四个命题正确的是．（只填序号）①函数()22f x x -+的单调递增区间是[)1,2；②若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，则1ab =；③若()22f ax x a -+的值域为R ，则(]0,1a ∈；④若01a <<，则()()11f a f a +<-.四、解答题（本题共5题，共77分）.15．已知函数()()()()3πsin πcos πsin 25πsin πcos πsin 22f θθθθθθθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求10π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()2f θ=-，求23sin 2sin cos 1θθθ-+的值．16．我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C （万元）与隔热层厚度x （厘米）满足关系式：()(010)38kC x x x =≤≤+，若无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，设()f x 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.(1)求k 值和()f x 的表达式；(2)当隔热层修建多少厘米厚时，()f x 最小？请说明理由并求出()f x 的最小值.17．在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点P m ⎛ ⎝⎭，连接圆心O 和P 得到射线OP ，将射线OP 绕点O 按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-的值；(2)记点B 的横坐标为()f θ，若π164f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求π5πcos cos 36θθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.18．已知二次函数()f x 同时满足以下条件：①()()22f x f x +=-，②()01f =，③()23f =-．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()()4h x f x m x =++，[]1,2x ∈-，求：①()h x 的最小值()m ϕ；②讨论关于m 的方程()m k ϕ=的解的个数．19．已知函数2()2(0,0)g x mx mx n m n =-+>>，在[1,2]x ∈时最大值为2，最小值为1．设()()g x f x x=．(1)求实数m ，n 的值；(2)若存在[1,1]x ∈-，使得不等式()2410x xg k -⋅+<成立，求实数k 的取值范围；(3)若关于x 的方程()332log 310log af x a x+--=有四个不同的实数解，求实数a 的取值范围．1．C【分析】根据α的范围求得2α是第一､三象限角，分类讨论，根据三角函数符号即可判断.【详解】因为α在第一象限，所以π2π2π2k k α<<+，k ∈Z ，所以πππ24k k α<<+，k ∈Z ，所以2α是第一､三象限角，当2α是第一象限角时，sin 02α>，cos 02α>，tan 02α>，sin cos 022αα>；当2α是第三象限角时，sin02α<，cos02α<，tan02α>，sincos022αα>；综上，tan 02α>一定成立.故选：C 2．A【分析】根据函数满足()()πcos f x f x x +=+递推求解即可.【详解】根据题意，有11π8π8π5π5π8πcos cos cos 333333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2π2π5π8π1111cos cos cos 1=33332222f ⎛⎫=+++=-+- ⎪⎝⎭.故选：A 3．B【分析】由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可.【详解】由题意知(1)(1)f x f x +=-，则()()()()1111f x f x f x f x+-=--=-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()2f x f x +=-，所以()()()222f x f x f x ++=-+=⎡⎤⎣⎦，即()()4f x f x +=，所以函数的周期为4，所以()225251118log 62233333f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=--⨯-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B 4．A【分析】先将命题等价转化为研究()21g x x ax =--在()1,∞+上的的性质，然后分类讨论即知使得命题成立的充要条件是0a ≤，最后比较选项即可得出答案.【详解】由于13log x 是定义在()0,∞+上的递减函数，故命题等价于()21g x x ax =--在()1,∞+上单调递增且取值恒为正.若0a >，则221111102224a a a g a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而()g x 在()1,∞+上取值不恒为正，不满足条件；若0a ≤，则对任意()1,x ∞∈+都有()22110g x x ax x =--≥->，且由0a -≥知对任意121x x <<都有()()22222221111111g x x ax x ax x ax g x =--≥-->--=.故()g x 在()1,∞+上单调递增且取值恒为正，满足条件.所以使得原命题成立的充分必要条件是0a ≤，从而观察选项可知A 是充分不必要条件，B 是充要条件，C ，D 是既不充分也不必要条件.故选：A.5．A【分析】判断()f x 的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.【详解】()33x x f x -=-，定义域为R ，又()()33x xf x f x --=-=，故()y f x =为偶函数；又当0x >时，3,3x x y y -==-均为单调增函数，故()33x xg x -=-为()0,+∞上的单调增函数；又()00g =，故当0x >时，()0g x >，则此时()()y f x g x ==为()0,+∞上的单调增函数，故0x <时，()y f x =为单调减函数；()()210f x f x -->，即()()21f x f x ->，则21x x ->，即()2221x x ->，23410x x -+>，也即()()3110x x -->，解得()1,1,3x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：A.6．A【分析】利用()f x 在()1,+∞上的值排除B ，利用奇偶性排除排除C ，利用()f x 在()1,+∞上的单调性排除D ，从而得解.【详解】对于B ，当1x >时，()e e 34x xf x x--=-，易知e e 0x x -->，340x -<，则()0f x <，不满足图象，故B 错误；对于C ，()e e 43x x f x x -+=-，定义域为3333,,,4444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又e e e e ()()4343x x x xf x f x x x --++-===---，则()f x 的图象关于y 轴对称，故C 错误；对于D ，当1x >时，()11111x x f x x x x ===+---，由反比例函数的性质可知，()f x 在()1,+∞上单调递减，故D 错误；检验选项A ，()e e 43x xf x x --=-满足图中性质，故A 正确.故选：A.7．B【分析】将题设条件等价变形为3222log (3),aba b --=-进行放缩移项得到2232log 2,+log (3)a b a b <+构造函数2()2log +x x f x =，利用其单调性即可得到3a b <.【详解】由228log a bba=+可得232222log lo ,g (3)2log log log 3ab a b a b =---=-因2log 31>，则有232,log ()22g 3lo a b b a <--即2232log 2,+log (3)a ba b <+（*）设2()2log +xx f x =，则（*）即()()3f a f b <，因()f x 在(0,)+∞上为增函数，故可得：3a b <.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于发现条件中指对数的结构特征，通过凑项、放缩，使之出现相同的数学结构，进行构造函数，利用函数的单调性得到大小关系.8．D【分析】利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性来求得m 的取值范围.【详解】设12x x >，由()()()1212124f x f x x x x x ->+-，得()()()()()221212121244f x f x x x x x x x ->+-=-，所以()()22112244f x x f x x ->-，令()()24g x f x x =-，则()()12g x g x >，所以函数()g x 在[)0,∞+上单调递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，所以对任意的x ∈R ，()()()()()2244g x f x x f x x g x -=---=-=，所以，函数()g x 为R 上的偶函数，且()()()2224216160g f =-⨯=-=，由2(ln )4(ln )f m m ≤，可得20(ln )4(ln )f m m -≤，即()()ln 2g m g ≤，即ln 2m ≤，所以2ln 2m -≤≤，解得221,e e m ∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：D【点睛】方法点睛：形如()()1212f x f x x x --的已知条件，往往是给出函数的单调性，可以利用函数单调性的定义来进行求解.利用函数的单调性和奇偶性来求解不等式，可将不等式转化为函数不等式的形式，然后结合单调性、奇偶性去掉函数符号，再解不等式来求得答案.9．AD【分析】由条件平方后，可得sin cos x x ，再求出()2sin cos x x -后可得sin cos x x -.【详解】1sin cos 5x x += ，()21sin cos 12sin cos 25x x x x ∴+=+=，12sin cos 25x x ∴=-，故A 正确B 错误；由0πx <<，所以cos 0x <，sin 0x >，又()22449sin cos 12sin cos 12525x x x x -=-=+=，所以7sin cos 5x x -=，故C 错误D 正确.故选：AD 10．BCD【分析】将题目条件等价转化为()21,0m n m n +=>，然后即可给出选项A 的反例()13,,84m n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，并使用放缩法证明B ，C ，D 选项正确.【详解】设(),P u v ，则对任意()()0,11,a ∈+∞ 都有()log 11a v u =-+，这得到11v a u -=-.由1v a -恒为常值1u -，知10v -=，11u -=，所以2u =，1v =，故点P 的坐标是()2,1.而点P 在直线()10,0mx ny m n +-=>上，故条件即为()21,0m n m n +=>.对于A ，取()13,,84m n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则此时131848mn =⨯<，故A 错误；对于B ，有()()()()222221114222222m n m n m n m n +=++-≥+=，故B 正确；对于C ，有()222222212122424m n m n m n m n m mn n m mn n +⎛⎫+=++=++>++== ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，有()()()222232121233331333442m n m n m n n m n n mn n m mn n m n ++=+==>==+++++++，故D 正确.故选：BCD.11．BD【分析】先判断函数()log )a f x bx =为奇函数，再分1a >和01a <<讨论log a y t =的单调性，分0b >和0b <讨论函数t bx =的单调性，根据复合函数的单调性判断得出()f x 的单调性，利用单调性将(()0f m f m -+-≥进行等价转化成含参数m 的不等式，求解即得.【详解】对于函数()log )a f x bx =，因()()log )log )a a f x f x bx bx +-=++-log )]0a bx bx =+-=，则函数()f x 是奇函数.不妨设t bx =+，则log a y t =，对于A 项，当1a >时，log a y t =在定义域内为增函数，因0b >，则t bx =+在R 上也是增函数，故()log )a f x bx =+在R 上也是增函数.由(()0(()()f m f m f m f m f m -+-≥⇔-≥--=，则m m -+≥，即2m ≥（*），①当0m ≤时，此时恒成立；②当0m >时，由（*）可得22124m m +≥，解得22m -≤≤，综上可知，(,2]m ∈-∞，故A 项错误；对于B 项，当01a <<时，log a y t =在定义域内为减函数，因0b <，则t bx =在R 上也是减函数，故()log )a f x bx =+在R 上是增函数，由A 项分析可得，(()0f m f m -+-≥恒成立可得，(,2]m ∈-∞，故B 项正确；对于C 项，当1a >时，log a y t =在定义域内为增函数，因0b <，则t bx =+在R 上是减函数，故()log )a f x bx =在R 上是减函数，由(()0(()()f m f m f m f m f m -+-≥⇔-≥--=，则m m -+≤，即2m ≤（*），①当0m ≤时，无解；②当0m >时，由（*）可得22124m m +≤，解得2m ≤-或2m ≥，综上可知，[2,)m ∈+∞，故C 项错误；对于D 项，当01a <<时，log a y t =在定义域内为减函数，因0b >，则t bx =在R 上也是增函数，故()log )a f x bx =+在R 上是减函数，由C 项分析可得，(()0f m f m -+-≥恒成立可得，[2,)m ∈+∞，故D 项正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：一般先考虑函数的奇偶性，再根据参数分类判断，构成复合函数的内外函数的单调性，利用单调性去掉抽象函数的符号，将其化成含参数m 的不等式恒成立问题，再对参数m 分类讨论不等式解的情况即得.12【分析】根据条件，利用诱导公式，即可求出结果.【详解】因为πsin 63x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以11π5π2ππππcos cos()cos()cos()sin()3332663x x x x x ⎛⎫+=+=-+=-++=+= ⎪⎝⎭..13．01a ≤≤【解析】根据任意的02x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，问题转化为()g x 的值域是()f x 值域的子集，故只需分别求出两个函数的值域，利用子集关系建立不等式，即可求出a 的取值范围.【详解】因为函数()151xf x ⎛⎫= ⎪⎭-⎝在[1,0]-上单调递减，所以(0)()(1)f f x f ≤≤-，即0()4f x ≤≤，所以函数()f x 的值域为[0,4]，因为对任意的02x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，故()g x 的值域是()f x 值域的子集，对22()log 3g x a x a =+，2[,2]2x ∈，当0a =时，()0g x =，符合题意；当0a ≠时，函数()g x在[2]2单调递增，所以2213()32a a g x a a -≤≤+，所以22103234a a a a ⎧≤-⎪⎨⎪+≤⎩，，解得01a ≤≤，又0a ≠，所以01a <≤，综上，实数a 的取值范围是[0,1]．故答案为：[0,1]【点睛】本题主要考查等式型双变量存在性和任意性混搭问题，对于形如“任意的1x A ∈，都存在2x B ∈，使得12()()g x f x =成立”此类问题“等价转化”策略是利用()g x 的值域是()f x 值域的子集来求解参数的范围．14．①②④【分析】对于①，使用复合函数的单调性求解方法即可；对于②，由()f x 的单调性即可得到22log log 0a b +=，从而得出结论；对于③，直接给出0a =作为反例；对于④，利用()f x 的表达式可直接证明结论成立.【详解】对于①，由于()2log f x x =-定义在()0,∞+上且单调递减，22x x -+的单调递减区间是[)1,+∞.故可解不等式组2120x x x ≥⎧⎨-+>⎩得到12x ≤<，从而()22f x x -+的单调递增区间是[)1,2，①正确；对于②，由1a b <<及()f x 单调递减，知()()f a f b ≠，而()()f a f b =，故()()f a f b =-，即()()0f a f b --=.代入表达式()2log f x x =-得22log log 0a b +=，即()2log 0ab =，所以1ab =，②正确；对于③，由于当0a =时有()()()2222log 2f ax x a f x x -+=-=--，而对任意实数M ，取12M x -=-就有()22log 2log 2M x M ---=-=.所以0a =时亦有()22f ax x a -+的值域为R ，从而原条件并不能推出(]0,1a ∈，③错误；对于④，若01a <<，注意到()()11f a f a +<-等价于()()22log 1log 1a a +<-，而这又等价于()()22log 1log 1a a +<--，即()22log 10a -<，即211a -<.而211a -<显然成立，故④正确.故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数函数的相关性质，尤其是单调性和运算法则.15．(2)215【分析】（1）先由诱导公式进行化简，再由商数关系求值即可.（2）求出tan 2θ=-，再化为齐次式，化弦为切，代入求值.【详解】（1）()()()()3πsin πcos πsin 25πsin πcos πsin 22f θθθθθθθ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()sin cos cos tan cos cos cos θθθθθθθ-⋅-⋅-==⋅-⋅，所以1010πππtan πtan 3πtan 3333f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）因为()tan 2f θθ==-，原式=222222223sin 2sin cos sin cos 3tan 2tan 1tan 21sin cos tan 15θθθθθθθθθθθ-++-++==++.16．(1)()()80040601038k f x x x x ==+≤≤+；(2)()4,64min x f x ==【分析】（1）根据关系式()()01038k C x x x =≤≤+：无隔热层，则每年能源消耗费用为5万元，可求k 值，利用()f x 为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和，可求函数关系式；（2）利用基本不等式，即可求得函数的最小值．【详解】（1）当0x =时，()05C =,则40k =，故()()4001038C x x x =≤≤+，所以()()2040800660103838f x x x x x x ⨯=+=+≤≤++;（2）由()()204080080066238161664383838f x x x x x x x ⨯=+=+=++-≥=+++，，当且仅当()80023838x x +=+，即4x =取等号，故4x =时，()min 64f x =即隔热层修建4厘米厚时，总费用达到最小，最小值为64万元.17．(1)1【分析】（1）由题意可得1cos 2α=，进而利用诱导公式化简、求解；（2）由题意可得：()πcos 3f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而可知π1cos 64θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据同角三角关系结合三角恒等变换分析求解.【详解】（1）由于点P 在单位圆上，且α是锐角，可得12m =，所以1cos 2α=，所以()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-3224cos 2cos 4cos 2cos 122cos cos αααααα++===++；（2）由（1）可知1cos 2α=，且α为锐角，可得π3xOP α∠==，根据三角函数定义可得：()πcos 3f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为ππ1cos 0664f θθ⎛⎫⎛⎫-=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此ππ2π,663θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以π5ππππcos cos cos cos π36626θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππsin cos 66θθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1514=.18．(1)()241f x x x =-+(2)①()252,4,1,42,42, 2.m m m m m m m ϕ+≤-⎧⎪⎪=--<<⎨⎪-≥⎪⎩；②答案见解析【分析】（1）由()()22f x f x +=-得，对称轴为2x =，然后设()()22f x a x b =-+，利用另外两个条件列出方程组求解即得；（2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值；②根据①中求得的函数()m ϕ的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数()y m ϕ=的解析式，画出函数()y m ϕ=的图象，利用数形结合方法讨论方程()m k ϕ=的实数根的个数.【详解】（1）（1）由()()22f x f x +=-得，对称轴为2x =，设()()22f x a x b =-+，∴()()04123f a b f b ⎧=+=⎪⎨==-⎪⎩，得13a b =⎧⎨=-⎩，∴()()222341f x x x x =--=-+．（2）（2）①()()()241h x f x m x x mx =++=++，[]1,2x ∈-，对称轴2m x =-，ⅰ当12m -≤-即2m ≥时，()h x 在[]1,2-单调递增，()()min 12h x h m =-=-，ⅱ122m -<-<即42m -<<时，()h x 在1,2m ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，在,22m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()2min124m m h x h ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，ⅲ当22m -≥即4m ≤-时，()h x 在[]1,2-单调递减，()()min 252h x h m ==+，综上：()()2min 52,4,1,42,42, 2.m m m h x m m m m ϕ+≤-⎧⎪⎪==--<<⎨⎪-≥⎪⎩②画出函数()y m ϕ=的图象图下图所示：利用图象的翻转变换得到函数()y m ϕ=的图象如图所示：方程()m k ϕ=的根的个数为函数()y m ϕ=的图象与直线y k =的交点个数，由图象可知：当0k <时，方程()m k ϕ=无解；当01k <<时，方程()m k ϕ=有4个解；当0k =或1k >时，方程()m k ϕ=有2个解；当1k =时，方程()m k ϕ=有3个解.19．(1)1m =，2n =(2)3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(3)1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据二次函数的性质及最值，即可求得1m =，2n =（2）利用换元法可得满足不等式()2min 321k t t >-+，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可，再利用二次函数单调性求得实数k 的取值范围为3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（3）根据题意由方程()332log 310log af x a x +--=有四个不同的实数解，转化为方程()231220a a l l -+++=有两个不相等的正实数根1λ，2λ，利用韦达定理即可求得a 的取值范围为1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【详解】（1）由2()2(0,0)g x mx mx n m n =-+>>可知()g x 关于1x =对称，又0m >，所以函数()g x 在[]1,2上单调递增，可得()()1122g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即12n m n -=⎧⎨=⎩，解得1m =，2n =.（2）由（1）可知()222g x x x =-+，则不等式()2410x x g k -⋅+<，可化为()20222241x x x k -×+-×+<，所以()222234x x x k -×+<×，即21132122x x k 骣琪>×-×+琪桫，令12x t =，又[]1,1x ∈-，可得11,222x t t ⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即2321k t t >-+，显然函数2321y t t =-+，13t =为对称轴，所以在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，由题意得()2min 321k t t >-+，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即可，所以2113321224k 骣琪>´-´+=琪桫，所以k 的取值范围为3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（3）()()22g x f x x x x ==+-，所以()+=332log -3-10log af x a x，即为33322log 2310log log a x a x x+-+-=，可化为：()233log 31log 220x a x a -+++=，令()()3log 0,x λλ=∈+∞，即()231220a a l l -+++=，所以关于x 的方程()332log 310log af x a x+--=有四个不同的实数解等价于()231220a a l l -+++=有两个不相等的正实数根1λ，2λ，满足()()()21212Δ914220310220a aaaλλλλ⎧=+-+>⎪+=+>⎨⎪⋅=+>⎩，11911a aaa⎧--⎪⎪>-⎨⎪>-⎪⎩或，解得19 a>-，所以实数a的取值范围为1,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】求解不等式恒（能）成立的问题时，一般先通过换元法将问题转化成求函数最值问题，即可求得参数的取值范围.。
【数学】河北省保定市高一数学下学期期中试题新人教A版
【关键字】数学2012－2013学年第二学期期中考试高一数学试卷一、选择题（5分×12=60分）1.等比数列中，，公比，则的值为（）2.在中，已知则（）或3.等差数列的前项和为，且，则等于（）4.若为实数，则下列命题正确的是（）若，则若，则若，则若，则5.不等式的解集是，则的值等于（）6.在△ABC中，若，则△ABC的形状为（）直角三角形等腰三角形等边三角形锐角三角形7.已知各项均为正数的等比数列中，则( )8.下列不等式中与不等式的解集相同的是（）① ②且③④或⑤且①④ ②③ ②④ ③⑤9.若角满足，则的取值范围是（）10.如图所示的三角形数阵中，第行第列的数记为，且从第三行起每行都成公比为2的等比数列，则为（）11.若满足条件的有两个解，则边长的取值范围( )12.已知数列满足且，则( )二、填空题（5分×4=20分）13.在中，若，则_______.14.已知等差数列中，，公差，则数列的前项和为_______.15.若对于取一切实数均有意义，则的取值范围_______.16.设函数数列满足，且数列是递增数列，则实数的取值范围是________.三、解答题17.（10分）已知全集，函数的定义域为集合求：．18.（12分）已知海岸上的两座灯塔，一艘近海航行的货轮沿的航向航行，航行速度千米每小时.某时刻货轮在点测得灯塔与航向成，灯塔与航向成；1小时后货轮在测得灯塔与航向成，灯塔与航向成，求两灯塔间的距离.19.（12分）当时，解关于的不等式.20.（12分）设的内角所对的边长分别为，且（1）当时，求的值；（2）当的面积为3时，求的值.21.（12分）已知数列满足，前项和，(1)证明：数列是等比数列；(2)试比较与的大小关系.22.（12分）已知等比数列，公比，，前项和满足，且数列满足(1)求，的通项公式；(2)数列满足求数列的前项和.2012－2013学年第二学期期中考试高一数学试题参照答案一、选择题1~5 CACBC 6~10 BDCAD 11~二、填空题13、2 ；14、； 15、； 16、；三、解答题17.解：解不等式即得：23x ≤<∴{|23}A x x =≤<….…………………………............................................................4分解不等式2680x x -+->即2680x x -+<得：24x <<∴{|24}B x x =<<…………………………………………………………………….8分 ∴{|23}A B x x ⋂=<<………….……………..……………………..……………..10分18.解：在ACD ∆中，30CAD ∠=︒由正弦定理：sin sin CD AD CAD ACD=∠∠得：sin 30sin120AD =︒︒ ∴3AD =…..…………………………………………………………..……………..…..4分在BCD ∆中，60CBD ∠=︒由正弦定理：sin sin CD BD CBD BCD=∠∠sin 45BD =︒∴BD = (8)分 在ABD ∆中，45ADB ∠=︒由余弦定理：2222cos 45AB AD BD AD BD =+-⋅⋅︒9223=+-⨯∴AB =...………………………………………………....…………...…..12分19.解：解方程2(61)60ax a x +++=得6x =-或1x a =-………………………….2分 由0>a ，则2(61)6y ax a x =+++的图像开口向上，结合图像i ）当16a -<-即106a <<时，解不等式得1x a<-或6x >- ii ）当16a -=-即16a =时，解不等式得6x <-或6x >- iii ）当16a ->-即16a >时，解不等式得6x <-或1x a >-………………………...10分综上所述: 当106a <<时，不等式的解集为1(,)(6,)a -∞-⋃-+∞； 当16a =时，不等式的解集为(,6)(6,)-∞-⋃-+∞； 当16a >时，不等式的解集为1(,6)(,)a-∞-⋃-+∞.………………………………….12分 20.解：（1）由题4cos 5B =，得3sin 5B = 由正弦定理：2sin 30sin a B=︒ ∴53a =………………………………………………………………………………..…….4分（2）由13sin 3210ABC S ac B ac ∆=== ∴10ac = ①…………………………………………………………………..…….6分 又由余弦定理：2224cos 25a cb B ac +-== 即：22()2425a c acb ac +--=……………………………………………………………...8分 ∴2()244205a c +-=∴2()40a c +=∴a c +=②………………………………….……………………..………….....10分由①②得：a c ==………………………….…………………………….....12分21.解：（1）当1n =时，11121a S a ==-……………………...…………………….....1分∴111,12a a =+=当2n ≥时，1221n n n n n a S S a a -=-=--∴121n n a a -=+…………………….…………………………………………….…….....2分 ∴111122211n n n n a a a a ---++==++ ∴数列{1}n a +是以2为首项以2为公比的等比数列………………..………….….......6分(2)由（1）12,21n n n n a a +==-. (8)分∴1222n n n S a n n +=-=--又∵*n N ∈，1n ≥∴()12240n n S n +--=-≥∴2n S n ≥-. ……………………………………………………………………….......12分22.解：（1）设数列}{n b 的首项1b ，由题2313138(1)141b b q b q T q ⎧==⎪-⎨==⎪-⎩解方程组得：12,2q b == ∴2n n b =∴22log 121n n a b n =-=- (4)分（2）由（1）(21)2n n n n c a b n ==-⋅∴1211232......(23)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅+-23121232............(23)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅ (7)分 ∴21222...22(21)2n n n S n +-=+⨯++⨯--∴1(23)26n n S n +=-⋅+……………..………………………………………..............12分此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
河北省保定市部分学校2023-2024学年高一下学期13期中考试 数学含答案
河北省保定市部分学校2023-2024学年高一下学期1+3期中考试数学试题（答案在最后）第I 卷（选择题）一、单选题1.设1232i,1iz z m =+=+（其中i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则实数m =（）A.23B.23-C.32-D.322.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.53.已知向量a ，b 的夹角为π3，若()-⊥ a b a ，则向量a在向量b 上的投影向量为（）A.14bB.12b r C.2bD.b4.下列命题中，正确的是（）A.直线1l 、2l 与平面α所成的角相等，则12l l //B.α、β、γ为三个平面，若αβ⊥，γβ⊥，则//αγC.1l 、2l 、3l 为空间中的三条直线，若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //D.1l 、2l 为两条直线，α、β为两个平面，若1l β⊥，2l β⊥，1l α⊥，则2l α⊥5.已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线l 的倾斜角是π6B.若直线:10m x +=，则l m ⊥C.点到直线l 的距离是1D.过2)与直线l 40y --=6.如图，在ABC 中，60,C BC AC ︒===点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（）A.34B.33C.233D.4337.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为（）A.15B.10C.D.8.已知圆22:4C x y +=与x 轴正半轴的交点为D ，从直线:4l x y +=上任一动点P 向圆作切线，切点分别为A ，B ，过点()0,1作直线AB 的垂线，垂足为H ，则DH 的最小值为（）A.B.12- C.1 D.2二、多选题9.今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（）A.《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数B.《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差C.《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差D.《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数10.设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A.若13BM BC =，则1233=+ AM AB ACB.若23AM AC AB =-，则点M B C 、、三点共线C.若点M 是ABC 的重心，则0MA MB MC ++=D.若AM xAB y AC =+ 且13x y +=，则MBC 的面积是ABC 面积的2311.在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱111ABC A B C -展开得到平面图如图所示，90ABC ∠=︒，1AA AB =，P 为1AB 的中点，Q 为1AC 的中点，则在原直三棱柱111ABC AB C -中，下列说法正确的是（）A.P ，Q ，C ，B 四点共面B.11A C AB ⊥C.几何体A PQCB -和直三棱柱111ABC A B C -的体积之比为38D.当BC =时，1AC 与平面1ABB 所成的角为45︒第II 卷（非选择题）三、填空题12.已知两点(34)A -，，(32)B ，，过点()10，P 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是___________.13.甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为12，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为______．14.已知四面体ABCD 中，AB =其余各棱长均为6，则四面体ABCD 外接球的表面积为__________.四、解答题15.从3个黑球1a ，2a ，3a 和3个白球1b ，2b ，3b 中任取3个：（1）写出基本事件空间Ω和基本事件总数n .（2）求颜色都相同的概率；（3）求恰有1个白球的概率.16.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的中位数和众数；（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35～45岁所有人的年龄的方差．17.在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅ ；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且___________.（1）求角B ；（2）在ABC 中，b =，求ABC 周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.矩形ABCD 所在平面与等腰梯形ACEF 所在平面互相垂直，//EF AC ，12EF AC =，直线AF 与平面ABCD 所成角为60︒，2EF AB ==.（1）求平面BDE 与平面ABCD 夹角的余弦值；（2）线段AF 上任意一点到平面BDE 的距离是否为定值?如果是，则求出定值，否则说明理由．19.已知圆22:4O x y +=，点P 为直线:4l x =上的动点．（1）若从P 到圆O 的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（2）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ，求证：直线MN 经过定点()1,0．河北省保定市部分学校2023-2024学年高一下学期1+3期中考试数学试题第I 卷（选择题）一、单选题1.设1232i,1iz z m =+=+（其中i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则实数m =（）A.23B.23-C.32-D.32【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法的运算法则，结合纯虚数的定义进行求解即可.【详解】()()()1232i 1i 33i 2i 23232i z z m m m m m =++=++-=-++，因为12z z 为纯虚数，所以有32033202m m m -=⎧⇒=⎨+≠⎩，故选：D2.某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，684，271，989，730，537，925，907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【答案】B 【解析】【分析】利用古典概率的概率公式进行计算即可.【详解】随机模拟产生10组随机数中，有3组随机数表示手术成功，故3例心脏手术全部成功的概率为：30.310=.故选：B3.已知向量a ，b 的夹角为π3，若()-⊥ a b a ，则向量a在向量b 上的投影向量为（）A.14bB.12b r C.2b D.b【答案】A 【解析】【分析】由()-⊥ a b a 得2b a =，根据投影向量的定义求解.【详解】由()-⊥ a b a 得()0a b a -⋅=，即22π3,cos a b a a b a ⋅=∴⋅=，所以2b a = ，所以向量a在向量b 上的投影向量为π1cos 432a b a b b b b ⋅==⋅.故选：A4.下列命题中，正确的是（）A.直线1l 、2l 与平面α所成的角相等，则12l l //B.α、β、γ为三个平面，若αβ⊥，γβ⊥，则//αγC.1l 、2l 、3l 为空间中的三条直线，若13l l ⊥，23l l ⊥，则12l l //D.1l 、2l 为两条直线，α、β为两个平面，若1l β⊥，2l β⊥，1l α⊥，则2l α⊥【答案】D 【解析】【分析】利用正四面体可判断A 选项的正误；根据面面的位置关系可判断B 选项的正误；根据空间中线线的位置关系可判断C 选项的正误；根据线面垂直的性质可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，在正四面体ABCD 中，AB 、AC 与平面BCD 所成角相等，但AB 与AC 相交，A 选项错误；对于B 选项，若αβ⊥，γβ⊥，则α与γ平行或相交，B 选项错误；对于C 选项，若13l l ⊥，23l l ⊥，则1l 与2l 平行或相交，C 选项错误；对于D 选项，由1l β⊥，2l β⊥得12//l l ，由因为2l α⊥，所以1l α⊥，D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.5.已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A.直线l 的倾斜角是π6B.若直线:10m x +=，则l m ⊥C.点到直线l 的距离是1D.过2)与直线l 40y --=【答案】D 【解析】【分析】求解直线的倾斜角判断A ；利用直线的斜率乘积判断B ；点到直线的距离判断C ；求解直线方程判断D ．【详解】直线10l y -+=，所以直线的倾斜角为：π3，所以A 不正确；直线:10m x +=的斜率为：3，两条直线不垂直，所以B 不正确；点到直线l 的距离是：2=，所以C 不正确；过2)与直线l 40y --=，正确，所以D 正确；故选：D ．6.如图，在ABC 中，60,C BC AC ︒===点D 在边BC 上，且27sin 7BAD ∠=，则CD 等于（）A.34B.33C.233D.433【答案】C 【解析】【分析】在ABC 中，由余弦定理求得AB ，在ABD △中，利用正弦定理求得BD ，则可得CD .【详解】在ABC 中，由余弦定理可得3AB =.又222AB AC BC +=，故ABC 为直角三角形，故906030B ∠=︒-︒=︒.因为sin 7BAD ∠=，且BAD ∠为锐角，故7cos BAD ∠=.由()1sin 302214sin ADB BAD cos BAD sin BAD ∠=︒+∠=∠+⨯∠=利用正弦定理可得AB BD sin ADB sin BAD=∠∠，代值可得27437314BD ==，故3CD BD =-=.故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理以及余弦定理解三角形，属于综合基础题.7.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为（）A.515B.510C.D.【答案】B 【解析】【分析】以D 为原点建立空间直角坐标系，设()1,,M a b ，由1D M CP ⊥可得10D M CP ⋅=，由此得到,a b关系；从而利用a 表示BCM 的面积，利用二次函数最值求得面积的最值.【详解】以D 为坐标原点可建立如下图所示空间直角坐标系则()0,0,0D ，()0,1,0C ，()1,0,0A ，11,0,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,0,1D ，()1,1,0B 设()1,,M a b ，则()11,,1D M a b =- ，11,1,2CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1D M CP⊥ ()1111110222D M CP a b b a ∴⋅=-+-=-+= 21b a ∴=-()()222121562MH a a a a ∴=-+-=-+21156222BCM S BC MB a a ∴=⋅=-+ 当35a =时，()2min 15625a a -+=()min 1152510BCM S ∆∴==故选：B【点睛】本题考查立体几何中三角形面积最值的求解问题，关键是能够将所求三角形面积利用一个变量表示出来，得到二次函数的形式，利用二次函数的最值求得面积的最值.8.已知圆22:4C x y +=与x 轴正半轴的交点为D ，从直线:4l x y +=上任一动点P 向圆作切线，切点分别为A ，B ，过点()0,1作直线AB 的垂线，垂足为H ，则DH 的最小值为（）A.2B.1312- C.1 D.132【答案】B 【解析】【分析】将直线AB 转化为两个圆的公共弦方程，利用垂足确定H 的轨迹为一个圆,然后结合点D 到圆心的距离求DH 最小值即可.【详解】易得()2,0D ，设(),4P a a -，因为,PA PB 是圆C 的两条切线，所以,,PA CA PB CB ⊥⊥所以,A B 在以PC 为直径的圆上,又因为PC =,且PC 的中点为4,22a a -⎛⎫⎪⎝⎭，所以以PC 为直径的圆的方程为：()222244224a a a a x y +--⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以AB 为以PC 为直径的圆和圆C 的的公共弦，两个圆的方程相减得：()()()22224444444a a a a ax a y -+-+---=-所以直线():44AB ax a y +-=,直线AB 恒过定点()1,1M ，过点()0,1N 作直线AB 的垂线，垂足为H ,则H 在以MN 为直径的圆上，设圆的圆心为1,12T ⎛⎫⎪⎝⎭，半径为11=22MN ，所以132DT =，所以DH 的最小值为:1122DT -=．故选：B二、多选题9.今年春节档两部电影票房突破20亿大关，《满江红》不负众望，凭借喜剧元素和家国情怀，以25.96亿票房成为档期内票房冠军，另一部科幻续作《流浪地球2》则成为最高口碑电影．下图是这两部电影连续7天的日票房情况，则（）A.《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数B.《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差C.《满江红》日票房极差小于《流浪地球2》日票房极差D.《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数【答案】ABD 【解析】【分析】根据图表信息逐一判断即可.【详解】由图表可得《满江红》日票房都大于《流浪地球2》日票房，所以《满江红》日票房平均数大于《流浪地球2》日票房平均数，A 正确;由图可得《满江红》日票房单日票房数据波动更大，《满江红》日票房方差大于《流浪地球2》日票房方差，所以B 正确.《满江红》日票房极差大于《流浪地球2》日票房极差，故C 错误；因为70.25 1.75⨯=，《满江红》日票房的第25百分位数是从小到大排序第2个数，因为70.75 5.25⨯=，《流浪地球2》日票房的第75百分位数是从小到大排序第6个数，《满江红》日票房的第25百分位数小于《流浪地球2》日票房的第75百分位数，所以D 正确.故选：ABD.10.设点M 是ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是（）A.若13BM BC =，则1233=+ AM AB ACB .若23AM AC AB =-，则点M B C 、、三点共线C.若点M 是ABC 的重心，则0MA MB MC ++=D.若AM xAB y AC =+ 且13x y +=，则MBC 的面积是ABC 面积的23【答案】CD 【解析】【分析】A 选项，由平面向量基本定理，变形得到12123333AM AC AB AB AC =+≠+，A 错误；假设点M 、B 、C 三点共线，推导出2AM AC AB =-，故B 错误；C 选项，画出图形，结合向量加法法则及重心的概念及性质得到答案；D 选项，可以先得到MBC 的面积与ABC 面积底相同，高线之比为2:3，从而得到答案.【详解】A 选项，()111233323133AM AB BM AB BC AB AC AB AC A AB AC B =+=+=+-=≠++，A 错误；B 选项，假设点M 、B 、C 三点共线，则MB BC λ=，即()AB AM AC AB λ-=- ，整理得：()1AM AC AB λλ=-++，故当2λ=-时，即2AM AC AB =- ，与条件中的23AM AC AB =-不一致，所以点M 、B 、C 三点不共线，B 错误；如图，取BC 中点H ，连接AH ，若点M 是ABC 的重心，则点M 在AH 上，且MA =2MH ，则2MA MB MH +=，则0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r，C 正确；D 选项，由于AM xAB y AC =+ ，而13x y +=，所以333AM xAB y AC =+ ，其中331x y +=，不妨设3AQ AM =，则Q 点在直线BC 上，由于MBC 与ABC 同底，而高线之比等于MQ 与AQ 的比，即比值为2:3，所以MBC 的面积是ABC 面积的23，D 正确.故选：CD11.在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱111ABC A B C -展开得到平面图如图所示，90ABC ∠=︒，1AA AB =，P 为1AB 的中点，Q 为1AC 的中点，则在原直三棱柱111ABC AB C -中，下列说法正确的是（）A.P ，Q ，C ，B 四点共面B.11A C AB ⊥C.几何体A PQCB -和直三棱柱111ABC A B C -的体积之比为38D.当2BC =时，1AC 与平面1ABB 所成的角为45︒【答案】ABD 【解析】【分析】根据线面位置关系可判断A ，B 选项，根据几何体的体积计算方法即可判断C 选项，利用定义法可判断线面角，即可判断D 选项【详解】如图，将展开的平面图还原成立体图形，对A 选项，连接1A B ，P 为1AB 的中点，P ∴也为1A B 的中点，又Q 为1AC 的中点，//PQ BC ∴，P ∴，Q ，C ，B 四点共面，故A 选项正确；对B 选项，90ABC ∠=︒ ，棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴易得BC ⊥平面11ABB A ，又1AB ⊂平面11ABB A ，∴1AB BC ⊥，又1AA AB =，∴四边形11ABB A 为正方形，11AB A B ∴⊥，又1BC A B B ⋂=，1AB ∴⊥平面1A BC ，又1AC ⊂平面1A BC ，11A C AB ∴⊥，∴B 选项正确；对C 选项，P ，Q 分别为1A B ，1AC 的中点，134A BC PQCB S S ∴= 四边形，111111113331144434A PQCB A A BC A ABC ABC A B C ABC A B C V V V -----∴===⨯=∴几何体A PQCB -和直三棱柱111ABC A B C -的体积之比为14，故C 选项错误；对D 选项，当2BC =时，又1AA AB =，且1AA AB ⊥，12A B ∴=，1BC A B ∴=，1A B BC⊥145BAC ∴∠=︒，又由B 选项的分析知BC ⊥平面11ABB A ，1BAC ∴∠即为1AC 与平面1ABB 所成的角，又145BAC ∠=︒，1A C ∴与平面1ABB 所成的角为45︒，故D 选项正确．故选：ABD ．第II 卷（非选择题）三、填空题12.已知两点(34)A -，，(32)B ，，过点()10，P 的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是___________.【答案】(][),11,-∞-+∞ 【解析】【分析】根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．【详解】解： 点(3,4)A -，(3,2)B ，过点(1,0)P 的直线L 与线段AB 有公共点，∴直线l 的斜率PB k k 或PA k k ，PA 的斜率为40131-=---，PB 的斜率为20131-=-，∴直线l 的斜率1k 或1k - ，即(][),11,k ∈-∞-+∞ ，故答案为：(][),11,-∞-+∞ ．13.甲、乙两个篮球队进行比赛，获胜队将代表所在区参加市级比赛，他们约定，先赢四场比赛的队伍获胜．假设每场甲、乙两队获胜的概率均为12，每场比赛不存在平局且比赛结果相互独立，若在前三场比赛中，甲队赢了两场，乙队赢了一场，则最终甲队获胜的概率为______．【答案】1116##0.6875【解析】【分析】考虑先赢四场比赛的队伍获胜，甲队已经赢了两场，故只需再先赢两场则获胜，分析得到甲在随后进行的场次可以有两场连胜，也可输一场赢两场（含两种情况），还可以输两场赢两场（含三种情况），分别计算概率，再利用互斥事件的概率加法公式即得.【详解】由题意得甲、乙两队获胜的概率均为12，且最多再进行四场比赛，最少再进行两场比赛.则①再进行两场比赛甲队获胜的概率为111 224⨯=；②再进行三场比赛甲队获胜的概率为1111111 2222224⨯⨯+⨯⨯=；③再进行四场比赛甲队获胜的概率为111111111322222222216 111222⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=⨯，由互斥事件的概率加法公式，可得最终甲队获胜的概率为11311 441616 ++=．故答案为11 16.14.已知四面体ABCD中，33AB=其余各棱长均为6，则四面体ABCD外接球的表面积为__________.【答案】52π【解析】【分析】作图，由余弦定理计算cos ABC ∠，再得sin ABC ∠，利用正弦定理可求得底面外接圆的半径r ，再计算得1O D 的值，列方程()2221111+=-O A O O O D O O ，代入求解出1513=O O ，从而可求解出R ，代入表面积公式计算.【详解】如图，设外接球的球心为O ，半径为R ，底面ABC 的外心为1O ，底面外接圆的半径为r ，因为33AB =，其余各棱长均为6，所以可得()22263363cos 42633+-∠==⨯⨯ABC ，所以22313sin 144⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭ABC ，由正弦定理得6241221313134==⇒=r r ，即11213=O A ，所以222211121861313⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭O D AD AO ，因为()2221111+=-O A O O O D O O ，可得2221112181313⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭O O O O ，求解得1513=O O ，所以185131313=-=R ，所以外接球的表面积为()22441352πππ==⨯=S R .故答案为：52π【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.四、解答题15.从3个黑球1a ，2a ，3a 和3个白球1b ，2b ，3b 中任取3个：（1）写出基本事件空间Ω和基本事件总数n .（2）求颜色都相同的概率；（3）求恰有1个白球的概率.【答案】（1）见解析，28（2）110（3）920【解析】【分析】（1）根据列举法按找一定的次序不重不漏的列出基本事件即可.（2）由（1）即可找出同色的基本事件，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）()()()(){123121122123,,,,,,,,,,,,a a a a ab a a b a a b Ω=()()()()()()()231232131132133112233,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a ab a a a a b a a b b a a b a b a a b b ()()()113123212,,,,,,,,,a b b a b b a b b ()()()()213223312313,,,,,,,,,,,,a b b a b b a b b a b b ()()}323123,,,,,a b b b b b ，即20n =（2）A =“颜色都相同”，则()(){}123123,,,,,A a a a b b b =，12m=，则()1110m P A n ==（3）同理，B =“恰有1个白球”，则()()()()(){121122123131132,,,,,,,,,,,,,,,B a a b a a b a a b a a b a a b =()()()()}133231232233,,,,,,,,,,,a a b a a b a a b a a b ，共9个基本事件，求得()920P B =.【点睛】本题考查了基本事件的列举以及古典概型的概率计算公式，属于基础题.16.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的中位数和众数；（2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35～45岁所有人的年龄的方差．【答案】（1）中位数为953，众数为27.5（2）10【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求中位数及众数即可；（2）先根据分层抽样求出第四组和第五组抽取的人数，再求出第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数和方差，进而可得出答案.【小问1详解】由于50.0150.070.5;50.0150.0750.060.5⨯+⨯<⨯+⨯+⨯>，所以这20人的年龄的中位数为：0.19530550.063+⨯=⨯，众数为：253027.52+=；【小问2详解】由频率分布直方图得各组人数之比为1:7:6:4:2，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人，设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为45,x x ，方差分别为2245,s s ，则224545537,43,,12x s x s ====，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s ，则()(){}2222245445542139,421066x x s s z z x s z x +⎡⎤⎡⎤===⨯+-+⨯+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m 人中年龄在35～45岁的所有人的年龄方差约为10．17.在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅ ；这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且___________.（1）求角B ；（2）在ABC 中，b =，求ABC 周长的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）3π（2）【解析】【分析】（1）选择①：由正弦定理化边为角即可求出；选择②：利用面积公式和数量积关系化简可得出；（2）利用余弦定理结合基本不等式即可求出.【小问1详解】选择①：条件即sin cos b C B =，由正弦定理可知，sin sin cos B C C B =，在ABC 中，(),0,B C π∈，所以sin 0,sin 0B C ≠≠，所以sin B B =，且cos 0B ≠，即tan B =，所以3B π=；选择②：条件即12sin cos 2ac B B ⨯=，即sin B B =，.在ABC 中，()0,B π∈，所以sin 0B ≠，则cos 0B ≠，所以tan B =，所以3B π=.【小问2详解】由（1）知，,3B b π==由余弦定理知：2222cos3b ac ac π=+-所以22212()3a c ac a c ac =+-=+-得22()12332a c a c ac +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭所以()a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立所以求ABC 周长的最大值为.18.矩形ABCD 所在平面与等腰梯形ACEF 所在平面互相垂直，//EF AC ，12EF AC =，直线AF 与平面ABCD 所成角为60︒，2EF AB ==.（1）求平面BDE 与平面ABCD 夹角的余弦值；（2）线段AF 上任意一点到平面BDE 的距离是否为定值?如果是，则求出定值，否则说明理由．【答案】（1）5（2）是定值，5【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合题意可求得相关点坐标，进而求得平面BDE 与平面ABCD 的法向量，根据空间角的向量求法可得答案；（2）根据线面平行的判定定理可证明AF ∥平面BDE ，从而可判断段AF 上任意一点到平面BDE 的距离为定值，利用空间距离的向量求法可求得定值.【小问1详解】过点F 作FG AC ^,垂足为G ，因为平面ACEF ⊥平面ABCD ，平面ACEF 平面ABCD AC =，FG ⊂平面ACEF ,故FG ⊥平面ABCD ，则FAG ∠为直线AF 与平面ABCD 所成角，即60FAG ∠=︒，过点C 作平面ABCD 的垂线作为z 轴，以,CD CB 为,x y 轴，建立空间直角坐标系，因为1,2,4,2EF AC EF AB AC BC ===∴====在等腰梯形ACEF 中，1(42)22cos 60AF -==，则()()0,,,,,,1(000)002,20,2,C B E D ⎛ ⎝，2)33(2,02,,BD DE ⎛=-=- ⎝ ，设平面BDE 的法向量为1(,,)n x y z = ，则11203022n BD x n DE x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =1,1y z ==，故1n = ，平面ABCD 的一个法向量可取为2(0,0,1)n = ，故1212125cos ,5n n n n n n ⋅〈〉== ，故平面BDE 与平面ABCD夹角的余弦值为5.【小问2详解】设,AC BD 交于点H ，连接EH ，因为AH EF ∥,且12AH AC EF ==，故四边形AHEF 为平行四边形，则AF EH ∥，AF ⊄平面BDE ，EH ⊂平面BDE ，故AF ∥平面BDE ，所以线段AF 上任意一点到平面BDE 的距离是否为定值，又()0),,(2,0,A AD =- ，故A 点到平面BDE的距离为11||5||AD n d n ⋅=== ，即定值为2155.19.已知圆22:4O x y +=，点P 为直线:4l x =上的动点．（1）若从P 到圆O的切线长为P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；（2）若点(2,0),(2,0)A B -，直线,PA PB 与圆O 的另一个交点分别为,M N ，求证：直线MN 经过定点()1,0．【答案】（1）()4,0，4π3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设出P 点的坐标，根据切线长与几何关系即可求出P 点的坐标以及两条切线所夹劣弧长.（2）根据题意求出,M N 坐标，证明直线,M N 与点()1,0三点共线即可.【小问1详解】根据题意，设()4,P t ，设两切点为,C D ，则,OC PC OD PD ⊥⊥，PC PD ==由题意可知222PO OC PC =+，即(222242t +=+，解得0=t ，所以点P 坐标为()4,0．在Rt POC △中，易得π3POC ∠=，所以2π3DOC ∠=，所以两条切线所夹劣弧 DOC 长为2π4π233⨯=.【小问2详解】设()()()1122,,,,1,0M x y N x y Q ，依题意，直线PA 经过点()2,0,(4,)A P t -，可以设():26t AP y x =+，和圆224x y +=联立，得到()22264t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，代入消元得到，()222236441440t x t x t +++-=，因为直线AP 经过点()112,0,(,)A M x y -，所以12,x -是方程的两个根，所以有22112241447222,3636t t x x t t ---==++，代入直线方程():26t AP y x =+得，212272224263636t t t y t t ⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭．同理，设():22t BP y x =-，联立方程有()22224t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，代入消元得到()2222444160t x t x t +-+-=，因为直线BP 经过点()222,0,(,)B N x y ，所以22,x 是方程的两个根，222222416282,44t t x x t t --==++，代入():22t BP y x =-得到22222882244t t t y t t ⎛⎫--=-= ⎪++⎝⎭．若11x =，则212t =，此时2222814t x t -==+，显然,,M Q N 三点在直线1x =上，即直线MN 经过定点(1,0)Q ，若11x ≠则221,1t x ≠≠，所以有212212240836722112136MQ t y t t k t x t t -+===----+，22222280842811214NQ t y t t k t x t t ---+===----+所以MQ NQ k k ，所以,,M Q N 三点共线，即直线MN 经过定点(1,0)Q ．综上所述，直线MN 经过定点(1,0)Q ．。
2023-2024学年河北省保定市部分示范性高中高一(下)期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年河北省保定市部分示范性高中高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数(2−i)(1+3i)在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.下列结论正确的是( )A. 平行向量的方向都相同B. 单位向量都相等C. 零向量与任意向量都不平行D. 两个单位向量之和可能仍然是单位向量3.已知单位向量a与b的夹角为π3，若xa+b与a垂直，则实数x的值为( )A. 12B. −12C. 32D. −324.已知m，n，l是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，m⊂α，n⊂β，α∩β=l，m⊥l，n//α，则下列命题正确的是( )A. m//nB. l//nC. α⊥βD. m⊥β5.在正方形ABCD中，点E满足DE=2EC，点F满足BF=12BA+12BC，若EF=xAD+yAC，则x−y=( )A. −12B. 12C. 32D. −166.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的鳖臑A−BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，过EF的截面α与AC交于点G，与BD交于点H，AB=1，若AB//截面α，且CD//截面α，四边形GEHF是正方形，则CD=( )A. 12B. 1 C. 32D. 27.如图，一艘船航行到点B处时，测得灯塔A在其北偏西60°的方向，随后该船以20海里/小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点C，测得灯塔A在其南偏西75°的方向，此时船与灯塔A间的距离为( )A. 203海里B. 403海里C. 206海里D. 406海里8.如图，在圆锥SO的底面圆中，AC为直径，O为圆心，点B在圆O上，且∠BAC=30°，OA=OS=2，D为线段AB上的动点，则SD+CD的最小值为( )A. 5+1B. 5−1C. 5+12D. 5−12二、多选题：本题共3小题，共18分。
河北高一高中数学期中考试带答案解析
河北高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.（）A．B．C．-D．-2.已知等于（）A．B．C．D．—3.已知，且其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是（）A．B．3 或C．D．或4.函数上的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个5.如果,则的概率为（）A．B．C．D．6.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A．B．C．D．7.将直线绕点（1，0）沿逆时针方向旋转得到直线，则直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切8.方程在上有两个不等的实数根，则（）A．B．C．或D．与a的取值有关9.为得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位10.若，且，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．11.已知函数，则f(x)的值域是（）A．B．C．D．12.当时，下面四个函数中最大的是（）A．B．C．D．二、填空题1.2.函数的值域是3.若，则4.已知动点p(x,y),满足,,则动点p所表示的曲线长度为三、解答题1.（本题10分）在直角坐标系中，角的顶点为坐标原点,始边在轴的正半轴上，当角的终边为射线：=3 (≥0)时,求（1）的值；（2）的值.2.（本题12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息,回答下列问题：(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图；(Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分；(Ⅲ)已知甲的考试成绩为45分，若从成绩在[40,60)的学生中随机抽取2人,求抽到学生甲的的概率.3.（本题12分）（1）求函数的定义域（2）若，求的值.4.（本题12分）投掷一个质地均匀，每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.（1）求点P落在区域上的概率；（2）若以落在区域上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率.5.．（本题12分）已知函数的图象与x轴交点为，相邻最高点坐标为.（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调增区间；（3）求函数在上的最值.6.．（本题12分）已知函数，（1）对任意的，若恒成立，求m取值范围；（2）对，有两个不等实根，求m的取值范围.河北高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.（）A．B．C．-D．-【答案】A【解析】.2.已知等于（）A．B．C．D．—【答案】D【解析】.3.已知，且其中，则关于的值，在以下四个答案中，可能正确的是（）A．B．3 或C．D．或【答案】D【解析】,经检验当a时，式子成立.所以选C.4.函数上的零点个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】因为函数的图像在上有两个交点，所以函数f(x)在区间上有两个零点.5.如果,则的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本试验共有11个结果，其中满足的结果有k=0,1,2,6,7,8共有6个,所以其概率为6.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知,所以退出循环体时S的值为.所以不满足S<p时，才退出循环体，所以7.将直线绕点（1，0）沿逆时针方向旋转得到直线，则直线与圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相交或相切【答案】B【解析】旋转后直线l的斜倾角为,其斜率为，所以直线l的方程为,由于圆心到直线l的距离,所以直线l与圆相切.8.方程在上有两个不等的实数根，则（）A．B．C．或D．与a的取值有关【答案】C【解析】作出在内的图像，则从图像上可看出直线y=a与函数在内的图像有两个交点，那么这两个交点要么关于直线对称，要么关于直线对称.故.9.为得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位【答案】D【解析】因为,所以只需将的图像向右平移个长度单位即可得到函数y=sinx的图像.10.若，且，则下面结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设,所以,当时，,又因为f(x)为偶函数，所以f(x)在上是减函数；因为,所以,所以,所以.11.已知函数，则f(x)的值域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,在同一坐标系中画出y=sinx,y=cosx的图像由图像不难观察f(x)的值域为.12.当时，下面四个函数中最大的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为, .因为,.再令x=,可知,显然,故最大的是二、填空题1.【答案】-1【解析】.2.函数的值域是【答案】【解析】当时，y取得最大值2,当时，y最小为1.所以所求函数的值域为.3.若，则【答案】【解析】.4.已知动点p(x,y),满足,,则动点p所表示的曲线长度为【答案】【解析】，曲线长度为圆的周长.所以长度为.三、解答题1.（本题10分）在直角坐标系中，角的顶点为坐标原点,始边在轴的正半轴上，当角的终边为射线：=3 (≥0)时,求（1）的值；（2）的值.【答案】（1）2；（2）【解析】根据当角的终边为射线：=3 (≥0)时,可得角的终边在第一象限.(1)原式可以通过分子分母同除以,把弦式化成切式，（2）原式可变形为,然后代入即可.当角的终边为射线：=3 (≥0)时,…………3分化为齐次式得（1）2；…………7分；（2）…………10分2.（本题12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)、[50,60)、…、[90,100)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息,回答下列问题：(Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图；(Ⅱ)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分；(Ⅲ)已知甲的考试成绩为45分，若从成绩在[40,60)的学生中随机抽取2人,求抽到学生甲的的概率.【答案】(Ⅰ)频率分布直方图中纵坐标为0.003 ；(Ⅱ)平均分为71 ；(Ⅲ)【解析】(I)根据每个区间上对应的矩形面积和为1,可以求出[70,80]上频率，进而求出纵坐标.（2）平均分等于每个区间的中点值乘以此区间对应的矩形面积之和.（3）先求出成绩在[40,60)的学生有0.25×60=15人,那么随机抽取2人有105种方法，其中2人中含甲的有14种.然后根据古典概率计算公式计算即可.解：(Ⅰ)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分布直方图,有(0.01 + 0.015×2 + 0.025 + 0.005)×10 + x = 1,可得x=0.3,∴频率分布直方图中纵坐标为0.003 (频率3分,画图1分)(Ⅱ)平均分为：=45´0.1+55´0.15+65´0.15+75´0.3 +85´0.25+95´0.05="71" ……8分(Ⅲ)因为成绩在[40,60)的学生有0.25×60=15人，从15人中随机抽取2人的情况共有1+2+3+…+14=105种，其中抽取到的2人中含甲的情况有14中，根据古典概型的计算公式，抽到甲的概率为…………12分3.（本题12分）（1）求函数的定义域（2）若，求的值.【答案】（1）{x|}.（2）【解析】(1)求函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值集合.本小题应满足解此不等式即可.(2)解本小题的关键是利用诱导进行正确的化简,在化简时遵循奇变偶不变，符号看象限的原则.解：（1）由题意可知解得得故函数的定义域为{x|}.…………6分（2）因为=…………12分4.（本题12分）投掷一个质地均匀，每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面的数字是，两个面的数字是2，两个面的数字是4.将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面出现的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标.（1）求点P落在区域上的概率；（2）若以落在区域上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率.【答案】（1）；（2） .【解析】（1）先求出点P的坐标，然后再判断出落入圆内的点的个数.最后根据古典概型概率计算公式计算即可.(2)本小题属于几何概型概率，应先计算出区域M的面积，再算出事件发生的区域C的面积，然后面积相除即可. 解：（1）点P坐标有：（0，0），（0，2），（0，4），（2，0），（2，2），（2，4），（4，0），（4，2），（4，4），共9种，其中落在区域共4种.故点P落在区域上的概率为…………6分（2）区域M为一边长为2的正方形，其面积为4，区域C的面积为10，则豆子落在区域M上的概率为. …………12分5.．（本题12分）已知函数的图象与x轴交点为，相邻最高点坐标为.（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调增区间；（3）求函数在上的最值.【答案】（1）；（2）的单调增区间为，.（3）时，；时，【解析】(I)由最高点可知A=1，再结合x轴交点为，可确定周期，进而确定，再根据,确定.(2)要先确定函数的定义域，根据f(x)>0求出定义域，然后再利用复合函数的单调性，同则增，异则减的原则求其单调区间.（3）在（1）的基础上画出在上的图像，从图像上可观察出函数的最大值及最小值.（1）从图知，函数的最大值为1，则函数的周期为，而，则，又时，，而，则，∴函数的表达式为…………4分；（2）由复合函数的单调性及定义域可求的单调增区间：由得，所以的单调增区间为，.…………8分(注意：右端点一定是开区间)（3）画出在上的图像可知时，；时，，…………12分.6.．（本题12分）已知函数，（1）对任意的，若恒成立，求m取值范围；（2）对，有两个不等实根，求m的取值范围.【答案】（1）m.（2）.【解析】(1)先把函数转化为,(1)对任意的，若恒成立,转化为恒成立问题，然后构造函数求的最小值即可.(2)解本小题的关键是把，，即有两个不同的实根的问题，通过令，则命题转化为：在上有唯一的实根的常规问题来解决.解：（1），，ⅰ：当=0时，对任意m恒成立；ⅱ：当时，，令，，单调递减，当t=1时，，所以m；综上m.……6分(3)（2），令，则命题转化为：在上有唯一的实根.ⅰ：，，经检验当时，，当时，，均不符合题意舍去；ⅱ：，解得：m>0或m<-8；ⅲ(4)f(-1)=0,解得m=-8,此时有=0，符合题意；综上所述：.12分。
河北高一高中数学期中考试带答案解析
河北高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.对于任意的实数，下列命题正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则2.函数的图象一定过点（）A．B．C．D．3.下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体是4.如果角的终边经过点，那么的值是（）A．B．C．D．5.已知为坐标原点，向量，，且，则点的坐标为A．B．C．D．6.已知是函数的零点，若，则的值满足()A．B．C．D．的符号不确定7.已知等差数列前项和为，且，则的值为A．13B．26C．8D．1628.在中，角的对边长分别为，若，则的形状为A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形9.设，，（其中为自然对数的底数），则A．B．C．D．10.已知正数，满足，则的最小值为( )A．1B．C．D．11.设等差数列的前项和为，已知，，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．12.三棱锥的三组相对的棱分别相等，且长度各为，其中，则该三棱锥体积的最大值为A．B．C．D．二、填空题1.函数的定义域为．2.等比数列，已知，且公比为正整数，则数列的前项和．3.把一个半径为的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为__________．4.右图为某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为．三、解答题1.风景秀美的京娘湖畔有四棵高大的银杏树，记做、、、，欲测量、两棵树和、两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现在可以方便的测得、两点间的距离为米，如图，同时也能测量出，，，，则、两棵树和、两棵树之间的距离各为多少？2.已知正方体中，面中心为．（1）求证：面；（2）求异面直线与所成角．3.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．（1）写出函数在的解析式；（2）若函数，求函数的最小值．4.已知的最小正周期为．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；（Ⅱ）在，若，且，求的值．5.森林失火了，火正以的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火后到达现场开始救火，已知消防队在现场每人每分钟平均可灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用每人每分钟元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人元，而每烧毁森林的损失费为元，设消防队派了名消防员前去救火，从到达现场开始救火到火全部扑灭共耗时．（1）求出与的关系式；（2）问为何值时，才能使总损失最小．6.已知，点在函数的图象上，其中（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．河北高一高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.对于任意的实数，下列命题正确的是A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【解析】解：对于B、当c＜0时，不成立；对于D、当c=0时，不成立,A、∵ac2＞bc2，∴c≠0，∴c2＞0,∴一定有a＞b．故A成立；,C、当a＞0．b＜0时，不成立；,故选A【考点】不等关系与不等式点评：本小题主要考查不等关系与不等式、不等式的性质等基础知识，属于基础题2.函数的图象一定过点（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，由于函数，令x-1=0，x=1，可知函数值为2，故可知函数一定过点，选B.【考点】指数函数点评：本试题主要是考查了指数函数恒过（0，1）点的运用，属于基础题。
2022-2023学年河北省保定三中高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年河北省保定三中高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．设复数z 满足z •（1+2i ）＝5，则z 的虚部是（ ） A ．2B ．2iC ．﹣2D ．﹣2i2．已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，对于下列四个命题： ①m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β②n ∥m ，n ⊂α⇒m ∥α ③α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥n ④m ∥α，n ⊂α⇒m ∥n 其中正确命题的个数有（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知A （2，﹣1），B （1，4），C （sin 3π2，cos5π3），O 为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）A ．AB →=（1，﹣5） B ．A ，O ，C 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线D ．OA →+OB →=3OC →4．已知在△ABC 中，2B ＝A +C ，b 2＝ac ，则△ABC 的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形5．斜二测画法是画一个水平放置的平面图形直观图的常用方法之一．现在有高一年级（14）班的某学生用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中BC ＝AB ＝1，则原平面图形的面积为（ ）A ．3√22B ．3√2C ．12√2D ．6√26．“端午节”为中国国家法定节假日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子便是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同．如图，粽子可包成棱长为6cm 的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为32cm ，高为6cm （不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有两碗馅料，若一个碗的容积等于半径为6cm的半球的体积，则这两碗馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的个数为（ ）（参考数据：√2π≈4.44）A ．35，20B ．36，20C ．35，21D ．36，217．在△ABC 中，点M 是BC 上一点，且BC →=3BM →，P 为AM 上一点，向量BP →=λBA →+μBC →(λ＞0，μ＞0)，则3λ+1μ的最小值为（ ）A ．16B ．12C ．8D ．48．已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的各顶点都在球O 的球面上，且AB ＝AC ＝1，BC =√3，若球O 的体积为20√53π，则这个直三棱柱的体积等于（ ） A ．√2 B ．√3 C ．2 D ．√5二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
河北省高一下学期期中数学试卷(I)卷(考试)
河北省高一下学期期中数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·武城期中) 若cosθ＜0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在的象限是（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分） (2016高一下·天水期中) sin（﹣）的值是（）A .B . ﹣C .D . ﹣3. （2分）某单位为了了解用电量Y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温数据如表格所示．若由表中数据得回归直线方程y=bx+a中b=﹣2，据此预测当气温为15℃时，用电量的度数约为（）气温（℃）141286用电量（度）22263438A . 20B . 25C . 30D . 354. （2分）下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况(单位:元),则销售额中的中位数是（）A . 30.5B . 31C . 31.5D . 325. （2分）已知sin（α+π）＜0，cos（α﹣π）＞0，则下列不等关系中必定成立的是（）A . sinαcosα＞0B . sinαtanα＞0C . sinαsecα＜0D . cosαcotα＜06. （2分）已知函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（）A . 3B .C .D .7. （2分）已知函数f（x）=Asin（2ωx+φ）（ω＞0），若f（x+ ）是周期为π的偶函数，则φ的一个可能值是（）A .B .C . πD .8. （2分）若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是（）A . 2πcm2B . 2 cm2C . 4πcm2D . 4 cm29. （2分）下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是（）A . 某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈B . 从10台冰箱中抽出3台进行质量检查C . 某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量D . 从50个零件中抽取5个做质量检验10. （2分）在空间，异面直线，所成的角为，且，则=（）A .B .C . 或D .11. （2分） (2016高二上·蕉岭开学考) 张先生知道清晨从甲地到乙地有好、中、差三个班次的客车．但不知道具体谁先谁后．他打算：第一辆看后一定不坐，若第二辆比第一辆舒服，则乘第二辆；否则坐第三辆．问张先生坐到好车的概率和坐到差车的概率分别是（）A . 、B . 、C . 、D . 、12. （2分）(2018·吉林模拟) 已知函数对任意都满足，则函数的最大值为（）A . 5B . 3C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·葫芦岛月考) 直线与曲线，在上的交点的个数为________.14. （1分） (2016高一下·咸阳期末) 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于________．15. （1分）若函数f（x）=cosωx（ω＞0）在 x上的最大、最小值之和为0，则ω的最小值为________ ．16. （1分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查．为此将他们随机编号为1，2，3， (960)分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到得32人中，编号落入区间[1，460]的人做问卷A，编号落入区间[461，761]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为：________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分）(2017·淮安模拟) 已知 =（cosα，sinα）， =（，﹣1），α∈（0，π）．（1）若⊥ ，求角α的值；（2）求| + |的最小值．18. （5分）某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计，甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩，在13秒内（称为合格）的概率分别为，若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则：①三人都合格的概率；②有2人合格的概率；③至少有一个合格的概率．19. （15分） (2017高二上·佳木斯期末) 某初级中学有三个年级，各年级男、女人数如下表：初一年级初二年级初三年级女生370200男生380370300已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.（1）求的值；（2）用分层抽样的方法在初三年级中抽取一个容量为5的样本，求该样本中女生的人数；（3）用随机抽样的方法从初二年级女生中选出8人，测量它们的左眼视力，结果如下：1.2，1.5，1.2，1.5，1.5，1.3，1.0，1.2．把这8人的左眼视力看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.1的概率．20. （5分）已知函数f（x）= sin（2ωx+φ）（x∈R），其中ω＞0，|φ|＜，f（x）满足以下两个条件：①两条相邻对称轴之间的距离为π；②f（0）=1．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π]内的单调递增区间；（Ⅲ）若方程f（x）+a=0在内有2个不等实根，求实数a的取值范围．21. （10分） (2016高一上·定兴期中) 已知函数f（x）=3x+λ•3﹣x（λ∈R）（1）当λ=﹣4时，求解方程f（x）=3；（2）根据λ的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．22. （5分）(2017·昌平模拟) 已知函数f（x）=2sinxsin（﹣x）．（Ⅰ）求f（）及f（x）的最小正周期T的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣， ]上的最大值和最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、21-1、21-2、22-1、。
2022-2023学年河北省保定市六校联盟高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年河北省保定市六校联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足z •（2+i ）＝3+4i （其中i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√3B ．2C ．√5D ．2√52．已知向量a →与b →的方向相反，b →=(3，−2)，|a →|=3√13，则a →=（ ） A ．（﹣6，4）B ．（﹣4，6）C ．（﹣9，6）D ．（9，﹣6）3．在△ABC 中，A ＝60°，sin 2A ＝sin B sin C ，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形4．已知m ，n 为实数，2+i （i 为虚数单位）是关于x 的方程x 2﹣mx +n ＝0的一个根，则m +n ＝（ ） A ．9B ．7C ．5D ．45．设向量a →与b →的夹角为θ，定义 a →⊕b →=|a →sinθ+b →cosθ|．已知向量a →为单位向量，|b →|=√3，|a →+b →|=2，则 a →⊕b →=（ ）A ．√22B ．1C ．√2D ．√1026．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（ ）A ．6√2B ．20√23C ．46√23D ．16√27．在锐角三角形ABC 中，B ＝60°，AB ＝2，则AB 边上的高的取值范围是（ ） A ．(√34，2) B ．(√34，√3) C ．(√32，√3) D ．(√32，2√3)8．已知向量a →，b →满足|a →|＝1，且对任意实数x ，y ，|a →−x b →|的最小值为√32，|b →−y a →|的最小值为√3，则|a →+b →|＝（ ） A ．√7B ．√5+2√3C ．√7或√3D ．√5+2√3或√5−2√3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A ．3+i ＞2+iB ．i +i 2+i 3+i 4+i 4+…+i 2023＝﹣1C ．若z ＝（1+2i ）2，则复数z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足|z ﹣1|＝|z +1|，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 10．已知向量a →=（﹣6，3），b →=（2，t ），则下列说法不正确的是（ ） A ．当a →+b →=（﹣4，4）时，t ＝﹣1 B ．当a →⊥b →时，t ＝4C ．a →与b →夹角为钝角时，则t 的取值范围为（﹣∞，4） D ．当t ＝2时，a →在b →上的投影向量为(−3√2，−3√2)11．如图，已知圆锥的底面圆心为O ，半径r =√3，圆锥的体积为π，内切球的球心为O 1，则下列说法正确的是（ ）A ．侧面积为2√3πB ．内切球O 1的表面积为(84−48√3)πC ．过点P 作平面α截圆锥的截面面积的最大值为√3D ．设母线PB 中点为M ，从A 点沿圆锥表面到M 的最近路线长为√5−4cos 3π212．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝6，点D 满足AD →=2DB →，且c sin A =√3a cos C ，O 是△ABC 外心，则下列判断正确的是（ ） A ．C =π3B ．△ABC 的外接圆半径是4√3C ．OD ＝2D ．CD 的最大值为2√7三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知复数z ＝3+2i ，则z •z = ．14．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），AD ＝DC ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为 ．15．已知点P 在棱长为1的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA →•PB →的最小值为 ．16．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C 、D 两观测点，且C 、D 与黄河楼底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得黄河楼顶部A 的仰角分别为45°，30°，并测得∠BCD ＝120°，则黄河楼AB 的估计高度为 米．四、解答题：本题共六小题，共70分.需写出必要的文字说明、证明过程. 17．（10分）已知复数z =3+2mi1−i （m ∈R ，i 是虚数单位）． （1）若z 是纯虚数，求m 的值和|z |；（2）设z 是z 的共轭复数，复数z −2z 在复平面上对应的点位于第二象限，求m 的取值范围． 18．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，CF →=12CD →，CE →=2EB →． （1）若EF →=xAB →+yAD →，求2x +9y 的值；（2）若|AB →|=6，|AD →|=3，∠BAD ＝60°，求AC →⋅EF →．19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足b sin A ＝a cos A+C 2．（1）求B ；（2）若b ＝2√5，BA →⋅CB →=3，BD 是△ABC 的中线，求BD 的长．20．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知m →=（b ﹣c ，a ﹣c ），n →=（sin B +sin C ，﹣sin A ），且m →⊥n →． （1）求角B 的值；（2）若b ＝4，求△ABC 周长的取值范围．21．（12分）已知m ＞0，n ＞0，如图，在△ABC 中，点M ，N 满足AM →=mAB →，AN →=nAC →，D 是线段BC 上一点，BD →=13BC →，点E 为AD 的中点，且M ，N ，E 三点共线． （1）求3m +6n 的最小值．（2）若点O 满足2AO →=OB →+OC →，证明：OE ∥BC ．22．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a b+c+bsinB asinB+bsinC=1．（1）求角C ；（2）CD 是∠ACB 的角平分线，若CD =2√33，△ABC 的面积为√3，求c 的值．2022-2023学年河北省保定市六校联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足z •（2+i ）＝3+4i （其中i 为虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√3B ．2C ．√5D ．2√5解：z •（2+i ）＝3+4i ，则|z |=|3+4i||2+i|=√22√2+1=√5．故选：C ．2．已知向量a →与b →的方向相反，b →=(3，−2)，|a →|=3√13，则a →=（ ） A ．（﹣6，4）B ．（﹣4，6）C ．（﹣9，6）D ．（9，﹣6）解：因为向量a →与b →的方向相反，b →=（3，﹣2），所以设a →=λb →=（3λ，﹣2λ），λ＜0， 所以|a →|=√9λ2+4λ2=3√13，解得λ＝﹣3，所以a →=（﹣9，6）． 故选：C ．3．在△ABC 中，A ＝60°，sin 2A ＝sin B sin C ，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形解：在△ABC 中，A ＝60°，sin 2A ＝sin B sin C ，由正弦定理得，a 2＝bc ，又a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos60°＝b 2+c 2﹣bc ， ∴b 2+c 2﹣2bc ＝0，解得b ＝c ，∴△ABC 一定是等边三角形， 故选：D ．4．已知m ，n 为实数，2+i （i 为虚数单位）是关于x 的方程x 2﹣mx +n ＝0的一个根，则m +n ＝（ ） A ．9B ．7C ．5D ．4解：∵2+i （i 为虚数单位）是关于x 的方程x 2﹣mx +n ＝0的一个根， ∴2﹣i （i 为虚数单位）也是关于x 的方程x 2﹣mx +n ＝0的一个根， 则m ＝2+i +2﹣i ＝4，n ＝（2+i ）（2﹣i ）＝4+1＝5，则m +n ＝4+5＝9， 故选：A ．5．设向量a →与b →的夹角为θ，定义 a →⊕b →=|a →sinθ+b →cosθ|．已知向量a →为单位向量，|b →|=√3，|a →+b →|=2，则 a →⊕b →=（ ）A ．√22B ．1C ．√2D ．√102解：向量a →为单位向量，|b →|=√3，|a →+b →|=2，则a →2+2a →⋅b →+b →2=4，即1+2×1×√3×cosθ+3=4，解得cos θ＝0，即θ=π2，a →⊕b →=|a →sinθ+b →cosθ|=|a →|=1． 故选：B ．6．截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（ ）A ．6√2B ．20√23C ．46√23D ．16√2解：截角四面体的体积为大正四面体的体积减去四个相等的小正四面体体积， 因为棱长为1的正四面体的高ℎ=√1−(23×32)2=√63．则棱长为1的正四面体的体积V 1=13×√34×12×√63=√212， 所以该截角四面体的体积为V =√212×63−4×√212×23=46√23． 故选：C ．7．在锐角三角形ABC 中，B ＝60°，AB ＝2，则AB 边上的高的取值范围是（ ） A ．(√34，2)B ．(√34，√3)C ．(√32，√3)D ．(√32，2√3)解：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 则AB 边上的高h ＝a sin B =√32a ，由正弦定理得a =2sinAsinC =2sin(120°−C)sinC =√3cosC+sinCsinC =1+√3tanC， 由△ABC 为锐角三角形，可知30°＜C ＜90°，则tanC ＞√33， 所以a ＝1+√3tanC ∈（1，4），从而√32＜h ＜2√3， 因此AB 边上的高的取值范围是（√32，2√3）．故选：D ．8．已知向量a →，b →满足|a →|＝1，且对任意实数x ，y ，|a →−x b →|的最小值为√32，|b →−y a →|的最小值为√3，则|a →+b →|＝（ ） A ．√7 B ．√5+2√3C ．√7或√3D ．√5+2√3或√5−2√3解：取a →=（1，0），b →=（c ，d ）， |a →−x b →|=√(1−xc)2+x 2d 2=√(c 2+d 2)(x −c c 2+d2)2+1−c 2c 2+d2≥√32，∴1−c 2c 2+d2=34，|b →−y a →|=√(c −y)2+d 2≥√3，可得d 2＝3．解得c 2＝1． 则|a →+b →|=√(1+c)2+d 2=√5+2c =√3或√7． 故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．已知i 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A ．3+i ＞2+iB ．i +i 2+i 3+i 4+i 4+…+i 2023＝﹣1C ．若z ＝（1+2i ）2，则复数z 对应的点位于第四象限D ．已知复数z 满足|z ﹣1|＝|z +1|，则z 在复平面内对应的点的轨迹为直线 解：由两个复数不能进行大小比较可知，A 错误； i +i 2+i 3+i 4+i 4+…+i2023=i(1−i 2023)1−i =i(1−i 3)1−i =i(1+i)1−i =−(1−i)1−i=−1，故B 正确；z ＝（1+2i ）2＝1+4i +4i 2＝﹣3+4i ，则复数z 对应的点的坐标为（﹣3，4），位于第二象限，故C 错误； 已知复数z 满足|z ﹣1|＝|z +1|，则z 在复平面内对应的点的轨迹是以（1，0），（﹣1，0）为端点的线段的垂直平分线，故D 正确． 故选：BD ．10．已知向量a →=（﹣6，3），b →=（2，t ），则下列说法不正确的是（ ） A ．当a →+b →=（﹣4，4）时，t ＝﹣1 B ．当a →⊥b →时，t ＝4C ．a →与b →夹角为钝角时，则t 的取值范围为（﹣∞，4）D ．当t ＝2时，a →在b →上的投影向量为(−3√2，−3√2) 解：a →=（﹣6，3），b →=（2，t ），则a →+b →=（﹣4，4）＝（﹣4，3+t ），即3+t ＝4，解得t ＝1，故A 错误； 当a →⊥b →时，则（﹣6）×2+3t ＝0，解得t ＝4，故B 正确； 当a →与b →夹角为钝角时，则{a →⋅b →＜0−6t ≠3×2，解得t ＜4且t ≠﹣1，故t 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，4），故C 错误； t ＝2，则a →=（﹣6，3），b →=（2，2），故a →在b →上的投影向量为a →⋅b →|b →|×b→|b →|=(−32，−32)，故D 错误．故选：ACD ．11．如图，已知圆锥的底面圆心为O ，半径r =√3，圆锥的体积为π，内切球的球心为O 1，则下列说法正确的是（ ）A ．侧面积为2√3πB ．内切球O 1的表面积为(84−48√3)πC ．过点P 作平面α截圆锥的截面面积的最大值为√3D ．设母线PB 中点为M ，从A 点沿圆锥表面到M 的最近路线长为√5−4cos 3π2解：如图1，设圆锥母线为l ，高为h ，由半径r =√3，体积为π， 可得V =13π×（√3）2•h ＝π，所以h ＝1，I =√ℎ2+r 2=2， 侧面积为mI =2√3π．故A 正确；由圆锥的内切球球心O 1作O 1D ⊥PB ，垂足为点D ，设O 1D ＝O 1O ＝R ，则PO 1＝1﹣R ，由sin ∠OPB =OB PB =O 2D PQ 1=√32，即R 1−R=√32，解得R =2√3−3， 所以内切球O 1表面积为4πR 2=4π×(2√3−3)2=(84−48√3)π，故B 正确； sin ∠OPB =√52 0＜∠OPB ＜π2，所以∠OPB ＝60°，则∠APB ＝120°，过点P 作平面a 截圆锥的截面面积最大时，对应三角形为等腰直角三角形S =12t 2=2，故C 不正确： 如图2，把圆锥的侧面展开一半，点A 展开到A ，PM ＝1，P A ＝P A ＝2，∠A ′PB =πI =√3π2， 由余弦定理AM 2=PA 2+PM 2−2×PA′×PMcos∠APB =5−4cos√3π2，所以从A 点沿圆锥表面到M 的最近路线长AM ＝为√5−4cos 3π2，故D 正确．故选：ABD ．12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知c ＝6，点D 满足AD →=2DB →，且c sin A =√3a cos C ，O 是△ABC 外心，则下列判断正确的是（ ） A ．C =π3 B ．△ABC 的外接圆半径是4√3C ．OD ＝2D ．CD 的最大值为2√7解：∵c sin A =√3a cos C ，∴由正弦定理得sinCcosA =√3sinAcosC ，∵A ∈（0，π），∴sin A ≠0， ∴sinC =√3cosC ，∴tanC =√3，∵C ∈（0，π），∴C =π3，故A 正确； 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R =csinC=4√3，∴R =2√3，故B 不正确； 过O 作OE ⊥BC 于E ，在Rt △BOE 中，OB ＝2√3，BE ＝3，∴cos ∠OBE =BE OB =√32，∴∠OBE =π6， 在△BOD 中，由余弦定理可得OD 2＝OB 2+BD 2﹣2OB ×BD ×cos ∠OBE =12+4−2×2√3×2×√32=4，∴OD ＝2，故C 正确；当点CD 过点O 时CD 最大，CD max ＝OC +OD =2√3+2，故D 不正确． 故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知复数z ＝3+2i ，则z •z = 13 ．解：z ＝3+2i ，则z ⋅z =(3+2i)(3−2i)=9+4=13． 故答案为：13．14．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图），AD ＝DC ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为 3√2 ．解：根据题意，直观图中，AD ＝DC ＝1，DC ⊥BC ，∠ABC ＝45°， 则BC ＝AD +DC ÷tan45°＝2，故直观图的面积S ′=(AD+BC)×CD 2=32，则这块菜地的面积为2√2S ′＝3√2． 故答案为：3√2．15．已知点P 在棱长为1的正方体表面上运动，AB 是该正方体外接球的一条直径，则PA →•PB →的最小值为 −12．解：由题意可得正方体外接球的直径|AB|=√3， 设点O 为正方 体外接球的球心，则O 为AB 的中点， 由题意可得OA →=−OB →，|OA →|=|OB →|=√32，PA →•PB →=（OA →−OP →）•（OB →−OP →）＝（OA →•OB →−（OA →+OB →）•OP →+OP →2=OP →2﹣（√32）2， 由|OP|≥12，PA →•PB →的最小值为(12)2−(√32)2=−12． 故答案为：−12．16．兰州黄河楼，位于黄河兰州段大拐弯处，是一座讲述黄河故事的人文地标，是传承和记录兰州文化的精神产物，展现了甘肃浓厚的历史文化底蕴及黄河文化的独特魅力．某同学为了估算该楼的高度，采用了如图所示的方式来进行测量：在地面选取相距90米的C 、D 两观测点，且C 、D 与黄河楼底部B 在同一水平面上，在C 、D 两观测点处测得黄河楼顶部A 的仰角分别为45°，30°，并测得∠BCD ＝120°，则黄河楼AB 的估计高度为 90 米．解：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝45°，所以BC ＝AB ，在Rt △ABD ，∠ADB ＝30°， 所以AB BD=tan30°，即BD =√3AB ，在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝90，由余弦定理，BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos120°，即3AB 2=AB 2+902−2×90⋅(−12)AB ， 解得AB ＝90或AB ＝﹣45（舍去），即黄河楼AB 的估计高度为90米． 故答案为：90．四、解答题：本题共六小题，共70分.需写出必要的文字说明、证明过程. 17．（10分）已知复数z =3+2mi1−i（m ∈R ，i 是虚数单位）． （1）若z 是纯虚数，求m 的值和|z |；（2）设z 是z 的共轭复数，复数z −2z 在复平面上对应的点位于第二象限，求m 的取值范围． 解：z =3+2mi 1−i =(3+2mi)(1+i)(1+i)(1−i)=3−2m 2+3+2m2i ， （1）若z 是纯虚数，则{3−2m2=03+2m 2≠0，解得m =32，故z ＝3i ，|z |＝3； （2）z −2z =3−2m 2−3+2m 2i −2（3−2m 2+3+2m 2i ）=2m−32−3(3+2m)2i ， 复数z −2z 在复平面上对应的点位于第二象限，则{2m−32＜0−3(3+2m)2＞0，解得m ＜−32，故m 的取值范围为（﹣∞，−32），18．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，CF →=12CD →，CE →=2EB →． （1）若EF →=xAB →+yAD →，求2x +9y 的值；（2）若|AB →|=6，|AD →|=3，∠BAD ＝60°，求AC →⋅EF →．解：（1）平行四边形ABCD 中，CF →=12CD →，CE →=2EB →，所以EF →=CF →−CE →=12CD →−2EB →=12CD →−23CB →=−12AB →+23AD →， 若EF →=xAB →+yAD →，则x =−12，y =23，所以2x +9y ＝2×（−12）+9×23=5； （2）若|AB →|=6，|AD →|=3，∠BAD ＝60°，则AC →⋅EF →=（AB →+AD →）•（−12AB →+23AD →） =−12AB →2+23AD →2+16AB →•AD →=−12×36+23×9+16×6×3×cos60° =−212． 19．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足b sin A ＝a cos A+C 2．（1）求B ；（2）若b ＝2√5，BA →⋅CB →=3，BD 是△ABC 的中线，求BD 的长． 解：（1）因为b sin A ＝a cosA+C 2，所以sin B sin A ＝sin A cos （π2−B 2）＝sin A sin B2，因为sin A ＞0，所以sin B ＝sin B 2=2sin B 2cos B2，又sin B2＞0，故cosB 2=12由B 为三角形内角得B =2π3； （2）因为b ＝2√5，由余弦定理得，b 2=a 2+c 2−2accos2π3=a 2+c 2+ac ， 因为BA →⋅CB →=ca cos π3=3，所以ac ＝6，a 2+c 2＝14，因为BD 是△ABC 的中线，所以BD →=12（BA →+BC →），所以BD →2=14（BA →2+BC →2+2BA →⋅BC →）=14（c 2+a 2﹣ac ）＝2， 故BD =√2．20．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知m →=（b ﹣c ，a ﹣c ），n →=（sin B +sin C ，﹣sin A ），且m →⊥n →． （1）求角B 的值；（2）若b ＝4，求△ABC 周长的取值范围．解：（1）∵m →=（b ﹣c ，a ﹣c ），n →=（sin B +sin C ，﹣sin A ），且m →⊥n →．∴（b ﹣c ）（sin B +sin C ）﹣sin A （a ﹣c ）＝0， 根据正弦定理可得（b +c ）（b ﹣c ）＝a （a ﹣c ），即a 2+c 2﹣b 2＝ac ，∴cosB =a 2+c 2−b 22ac =12， 又∵B ∈（0，π），B =π3；（2）若b ＝4，由余弦定理可得：16=a 2+c 2−2ac ×12=(a +c)2−3ac ∵ac ≤(a+c)24，∴（a +c ）2﹣16≤3(a+c)24，∴（a +c ）2≤64，∴0＜a +c ≤8，当且仅当a ＝c 时取等号， ∵a +c ＞b ＝4，∴8＜a +b +c ≤12， ∴△ABC 周长的取值范围为（8，12]．21．（12分）已知m ＞0，n ＞0，如图，在△ABC 中，点M ，N 满足AM →=mAB →，AN →=nAC →，D 是线段BC上一点，BD →=13BC →，点E 为AD 的中点，且M ，N ，E 三点共线．（1）求3m +6n 的最小值．（2）若点O 满足2AO →=OB →+OC →，证明：OE ∥BC ．（1）解：△ABC 中，AM →=mAB →，AN →=nAC →，BD →=13BC →，所以AD →=AB →+BD →=AB →+13（AC →−AB →）=23AB →+13AC →，因为AE →=12AD →，所以AE →=12（23AB →+13AC →）=12（23m AM →+13nAN →）=13m AM →+16n AN →，因为M ，N ，E 三点共线，所以13m+16n=1，所以3m +6n ＝（3m +6n ）（13m+16n）＝2+2n m +m 2n ≥2+2√2n m ⋅m2n=4， 当且仅当{2n m =m2n 13m +16n=1，即m =23，n =13时等号成立， 所以3m +6n 的最小值为4．（2）证明：因为AD →=23AB →+13AC →，AE →=13AB →+16AC →，且2AO →=OB →+OC →，即2AO →=（OA →+AB →）+（OA →+AC →），即AO →=14（AB →+AC →），所以OE →=AE →−AO →=（13AB →+16AC →）−14（AB →+AC →）=112AB →−112AC →=112CB →，所以OE ∥BC ．22．（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足a b+c+bsinB asinB+bsinC=1．（1）求角C ；（2）CD 是∠ACB 的角平分线，若CD =2√33，△ABC 的面积为√3，求c 的值． 解：（1）由正弦定理得ab+c+b 2ba+cb=1，即a b+c+b a+c=1，整理得a （a +c ）+b （b +c ）＝（a +c ）（b +c ），化简得a 2+b 2﹣c 2＝ab ，由余弦定理得cosC =a 2+b 2−c 22ab =12，又C ∈（0，π ），则C =π3；（2）由面积公式得12absinC =12ab ×√32=√3，解得ab ＝4，∵S △ABC ＝S △BCD +S △ACD ，∴√3=12b •CD sin30°+12a •CD sin30°， 即12CD •sin30°（a +b ）=√3，∴a +b ＝6，又∵ab ＝4，∴c 2＝a 2+b 2﹣ab ＝（a +b ）2﹣3ab ＝36﹣12＝24，∴c =2√6．。
河北省高一下学期期中数学试卷
河北省高一下学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x+y的值为（）A . 7B . 8C . 9D . 1682. （2分） (2020高一下·大丰期中) 若圆心坐标为的圆,被直线截得的弦长为，则这个圆的方程是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二上·湖南月考) 如图是根据，的观测数据得到的点图，由这些点图可以判断变量，具有线性相关关系的图（）A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④4. （2分） (2019高二下·韩城期末) 在某项测量中测量结果，若X在内取值的概率为0.3，则X在内取值的概率为（）A . 0.2B . 0.4C . 0.8D . 0.95. （2分）若直线被圆截得的弦最短，则直线的方程是（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·芮城期末) 设随机变量服从正态分布，，则等于（）A .B .C .D .7. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 78. （2分） (2016高一下·连江期中) 先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）方程表示的图形（）A . 是一个点B . 是一个圆C . 是一条直线D . 不存在10. （2分） (2018高二上·南宁月考) 已知数据x1 ， x2 ， x3 ，…，x100是某市100个普通职工2018年8月份的收入(均不超过0.8万元)，设这100个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上某人2018年8月份的收入x101(约100万元)，则相对于x ， y ， z ，这101个数据（）A . 平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B . 平均数变大，中位数可能不变，方差也不变C . 平均数变大，中位数一定变大，方差可能不变D . 平均数变大，中位数可能不变，方差变大11. （2分） (2015高二上·大方期末) 从1，2，3，4，5，6这六个数中，不放回地任意取两个数，每次取一个数，则所取的两个数都是偶数的概率为（）A .B .C .D .12. （2分）给定下列命题①过点且与圆相切的直线方程为.②在△中，，，，在上任取一点，使△为钝角三角形的概率为③是不等式成立的一个充分不必要条件.④“存在实数使”的否定是“存在实数使”.其中真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查，现将800名学生从1到800进行编号，依从小到大的编号顺序平均分成50个小组，组号依次为1，2，…，50．已知在第1小组随机抽到的号码是m，第8小组抽到的号码是9m，则第6小组抽到的号码是________．14. （1分） (2016高一下·珠海期末) 随机抽取高一年级n名学生，测得他们的身高分别是a1 ， a2 ，…，an ，则如图所示的程序框图输出的s=________．15. （1分）将4个不同的小球装入4个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是________．16. （1分）(2016·海南模拟) 已知圆C：x2+y2=4．直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2，则直线l的方程________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高一上·邢台期末) 一个生物研究性学习小组，为了研究平均气温与一天内某豆类胚芽生长之间的关系，他们分别记录了4月6日至4月11日的平均气温x（℃）与该豆类胚芽一天生长的长度y（mm），得到如下数据：日期4月6日4月7日4月8日4月9日4月10日4月11日平均气温x（℃）1011131286一天生长的长度y（mm）222529261612该小组的研究方案是：先从这六组数据中选取6日和11日的两组数据作为检验数据，用剩下的4组数据即：7日至10日的四组数据求出线性回归方程．（1）请按研究方案求出y关于x的线性回归方程 = x+ ；（2）用6日和11日的两组数据作为检验数据，并判断该小组所得线性回归方程是否理想．（若由线性回归方程得到的估计数据与所选的检验数据的误差不超过1mm，则认为该方程是理想的）参考公式：．18. （5分）点M（x，y）到直线l：x= 的距离和它到定点F（4，0）的距离的比是常数，求点M的轨迹方程．19. （5分）已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是．（Ⅰ）求n的值；（Ⅱ）从袋子中不放回地随机抽取2个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记“2≤a+b≤3”为事件A，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取2个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．20. （10分） (2017高一上·马山月考) 如图，是的直径，点在圆上，且四边形是平行四边形，过点作的切线，分别交延长线与延长线于点，连接 .（1）求证：是的切线；（2）已知圆的半径为2，求的长.21. （10分）盒中有5只灯泡，其中2只次品，3只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：（1）取到的2只中正品、次品各一只；（2）取到的2只中至少有一只正品．22. （15分） (2018高一下·衡阳期末) 已知圆与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点 .（1）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）若在以为圆心半径为的圆上存在点，使得( 为坐标原点)，求的取值范围；（3）设是圆上的两个动点，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，如果直线与轴分别交于和，问是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共55分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、答案：22-3、考点：解析：。