蕉岭县蕉岭中学2019届高三数学上学期第一次质检试题 理

蕉岭中学2018~2019学年度高三第一次质检考试数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知集合{|U x y ==，9{|log }A x y x ==，{|2}x B y y ==-，则()=UAB ð（ ）A ．{}|0x x >B ．RC ．∅D ．{}02.若纯虚数z 满足(1)1i z ai +=-，则实数a 等于（ ）A ．0B ．1-或1C ．1D ．1-3．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足4123a a a ⋅= ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A. 2-B. 3-C. 3D. 24．已知向量a 与b 的夹角是π3，且|a |＝1，|b |＝4，若(3a ＋λb )⊥a ， 则实数λ的值为( )A.32 B ．－32 C.23 D ．－235．函数()2121x x f x x x x +≥⎧=⎨++<⎩，若矩形ABCD 的顶点A 、D 在x 轴上，B 、C 在函数()y f x = 的图象上，且()0,1A ，则点D 的坐标为（ ）A ．()2,0- B．(1-- C ．(1,0)- D ．1(,0)2- 6.在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为锐角三角形”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 既不充分也不必要条件D.充要条件 7．如图，在长方体1111D C B A ABCD -中，点P 是棱CD 上一点，则三棱锥A B A P 11-的左视图可能为A B C D8．已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，将()f x 的图像向左平移3π个单位长度后所得的函数图像过点(0,1)，则函数()cos(2)g x x ϕ=+ （ ）A ．在区间(,)63ππ-上单调递减 B ．在区间(,)63ππ-上有最大值C ．在区间(,)63ππ-上单调递增 D ．在区间(,)63ππ-上有最小值 9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x+1)=f (1-x ),且在[1,+∞)上是增函数,不等式f (ax+2)≤ f (x-1)对任意x ∈[,1]恒成立,则实数a 的取值范围是（ ）A.[-3,-1]B.[-2,0]C.[-5,-1]D.[-2,1]10．记不等式组4326 4x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的区域为Ω，点P 的坐标为(),x y ．有下面四个命题：1:p P ∀∈Ω，0y ≤； 2:p P ∀∈Ω，122x y -≥；3:p P ∀∈Ω，665y -≤≤； 4:p P ∃∈Ω，1125x y -=．其中的真命题是（ ）A ．1p ，2pB ．1p ，3pC ．2p ，4pD ．3p ，4p11．过点)12(-，P 作抛物线y x 42=的两条切线，切点分别为A ，B ，PA ，PB 分别交x 轴于 E ，F 两点，O 为坐标原点，则△PEF 与△OAB 的面积之比为( C )A ．23B ．43D ．41 12．设函数)(x f 在R 上存在导数)(x f '，R x ∈∀，有2)()(x x f x f =+-，在),0(+∞上x x f <')(，若2(2)()220f m f m m m -+--+-≥，则实数m 的取值范围为（ ）A ．[1,1]-B ．[1,+∞）C ．[2,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知已知32)24sin(=-θπ，则=θsin 9114.若nxx )3(-的展开式中各项系数的和为64,则该展开式中的常数项为 540-15．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一 个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵111C B A ABC -中，4,3,51====BC AB AC AA ， 则阳马111A ABB C -的外接球的表面积是__________。

16．已知椭圆与双曲线有公共焦点F 1、F 2 ，F 1 为左焦点，F 2 为右焦点，P 点为它们 在第一象限的一个交点，且∠F 1PF 2=4π,设12e e 分别为椭圆和双曲线离心率，则 1211e e +的最大值为 。

三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T 18．（12分）为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ。

19．（12分）四棱锥-P ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，2,60BC AB ABC =∠=︒，=PA PB ，点M 为AB 的中点。

（Ⅰ）在棱PD 上作点N ，使得AN ∥平面PMC（Ⅱ）若⊥PB AC ，且直线PC 与平面PAB 所成的角是45︒，求二面角--M PC A 的余弦值20．（12分）如图,已知椭圆E 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>,直线AB 恰好交椭圆E 于上顶A (0,1),左顶点B ,平行于AB 的直线1:(1)2l y x m m =+<与椭圆E 交于C ,D 两点.(1)求椭圆E 的标准方程;(2)当梯形ABCD 的面积S 最大时,求m 的值。

21．（12分）已知函数xe x xf 2)1()(-=,x kx xg ln 1)(-+=,且)(x f 在0x x =处取得极小值．（1）若曲线)(x g y =在点（)(,e g e ）处切线恰好经过点))(,(00x f x P ，求实数k 的值；（2）若函数{})(),(m in )(x g x f x F =（{}q p ,m in 表示q p ,中最小值）在）（+∞,0上函数恰有三个零点，求实数k 的取值范围．（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，l 的极坐标方程为(cos 2sin )10ρθθ+=，C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，R θ∈）. （1）写出l 和C 的普通方程；（2）在C 上求点M ，使点M 到l 的距离最小，并求出最小值。

23.[选修4-5：不等式选讲] 已知()22f x ax x =--+. （1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

蕉岭中学2018~2019学年度高三第一次质检考试数学（理科）参考答案一、选择题1．A 2．C 3．D 4．B 5．B 6．D 7．D 8．B 9．B 10．A 11．C 12．B 二、填空题13．12-14．-8415．π50=S三、解答题 17．（1）22n nS a +=○11122n n S a --∴+=()2n ≥ ○2○1-○2得1122n n n n n S S a a a ---=-=，则12nn a a -=()2n ≥，……………………… 3分 在○1式中，令1n =，得12a =.∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2nn a =.……5分（2）2nn b n =⋅. 所以123122232n T =⋅+⋅+⋅+...+()1122n nn n --⋅+⋅，○3则 2n T =231222...⋅+⋅++()122n n --⋅+()1122n n n n +-⋅+⋅，○4 ○3-○4得， 23222n T -=++11...222n n n n -++++-⋅，()1212212n n n +⋅-=-⋅-()12122n n n +=-⋅--⋅()1122n nT n +∴=-⋅+.……………………12分18．解：(1)设事件A 表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只 有一个优秀成绩” ()1223125525p A C =⨯⨯= ……3分 （2）ξ的所有可能取值为0，1，2，3 ……4分()22342255189010050C C p C C ξ⋅====⋅，()211123432422554812110025C C C C C p C C ξ⋅+⋅⋅====⋅()111223242422553210C C C C C p C C ξ⋅⋅+⋅===⋅()21121422551325C C C p C C ξ⋅===⋅ ……8分 ξ∴的分布列为为()9123160123502510255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ……12分19．（Ⅰ）点N 为PD 中点．下证：取PD 中点N ，PC 中点Q ，连结AN ，QN ，MQ ， 在∆PCD 中，,N Q 分别是所在边PD ，PC 的中点， 则NQ CD ∥且1=2NQ CD ．因为点M 为AB 中点，=AB CD ， 所以NQ AM ∥且NQ AM =．所以四边形AMQN 是平行四边形，所以AN MQ ∥． 又因为⊄AN 平面PMC ，MQ ⊂平面PMC ，所以AN ∥平面PMC ．---------4分 （Ⅱ）在∆ABC 中，2=BC AB ，60ABC ∠=︒，设=AB a ，则2=BC a，由余弦定理有：2222cos 60AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=， 则222=+BC AB AC ，由勾股定理的逆定理可得：⊥AC AB ．----------5分 又因为⊥PB AC ，PBAB B =，,PB AB ⊂平面PAB ，所以平面⊥AC PAB ．因为PM PAB ⊂平面，所以⊥AC PM ．因为=PA PB ，点M 为线段AB 的中点，所以⊥PM AB ，因此,,PM AB AC 两两垂直．-----6分 以A 为原点，分别以,AB AC 所在直线为,x y 轴，建立空间直角坐标系． 因为直线PC 与平面PAB 的所成角是45︒，所以45CPA ∠=︒，所以Rt CAP ∆是等腰直角三角形，所以==PA CA 则()0,0,0A ，,0,02a M ⎛⎫⎪⎝⎭，2a P ⎛ ⎝⎭，(),0C，0,0,2MP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，,02a MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 设平面PMC 的一个法向量为()1,,x y z =n ，----9分则110,0,n MP n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,z x =⎧⎪⎨-+=⎪⎩得()123,1,0n =，同理可得，平面PAC 的一个法向量为()2=n ，则121212cos ,13n n n n⋅<>==-n n． 由图可得所求二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为13x20.(1)由题意,点A (0,1)在椭圆E上,故b=1,又l∥AB,且l:y=x+m(m<1),则,从而a=2, 故椭圆E的标准方程为+y2=1. --------4分(2)由(1)知B(-2,0),设C(x1,y1),D(x2,y2),联立椭圆方程与直线l的方程得,即x2+2mx+2m2-2=0,由Δ=4m2-4(2m2-2)>0,可得-<m<1,且x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2. ----6分|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=(-2m)2-4(2m2-2)=4(2-m2), 故|CD|=|x1-x2|=·,而|AB|=,AB与CD两平行线间的距离d=,----8分故S=(|AB|+|CD|)·d=(1+)(1-m)(-<m<1).令m=cos θ(<θ<π),则sin θ,S=(1+)(1-m)=(1+sin θ)(1-cos θ)=1+(sin θ-cos θ)-2sin θcos θ.令μ=sin θ-cos θ=sin(θ-)∈(0,],则2sinθ cos θ=1-μ2,故S=1+μ-(1-μ2)=μ2+μ(μ∈(0,]),可知S在μ∈(0,]上为单调递增函数,故当μ=时,S max=4,由μ=可得θ=,此时m=cos θ=-1.所以当梯形ABCD的面积S最大时,m=-1.--------12分21. 解：（1）f′（x）=（x2﹣1）e x，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递增，在（﹣1，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，f（x）在x=1处取极小值，f（1）=0，故P（1，0），由g′（x）=k﹣，故g′（e）=k﹣，且g（e）=ke，则y=g（x）在点（e，g（e））处切线y﹣ke=（k﹣）（x﹣e），由P（1，0）在切线方程，代入切线方程解得：k=﹣1，故实数k的值﹣1；-----5分（2）g（x）=1+kx﹣lnx．（x＞0），g′（x）=k﹣，当k≤0时，g′（x）＜0，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）无极值，---6分当k＞0时，由g′（x）=0，解得：x=，当x∈（0，）时，g′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0，则g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，此时g（x）存在极小值g（）=2+lnk，无极大值，可知：k≤0时，g（x）在（0，+∞）单调递减，g （x ）在（0，+∞）上至多有一个零点，故k ≤0，不符合题意，---8分 k ＞0时，g （x ）极小值=g （）=2+lnk ，即为g （x ）的最小值， （i ）当g （）=0时，则k=e ﹣2，g （x ）只有一个零点，不满足题意，（ii ）当k ＞e ﹣2，g （）＞0时，g （x ）在（0，+∞）上无零点，不满足题意； （iii ）当0＜k ＜e ﹣2时，g （）＜0，又g （1）=1+k ＞0，故g （）•g （1）＜0，∴g （x ）在（1，）上有一个零点，设为x 1，即g （x 1）=0，由＞e 2，取x=，则g （）=1+k﹣，----10分下面证明g （）=1+k﹣＞0， 令h （x ）=x ﹣lnx 2，x ＞2，∴h ′（x ）=1﹣＞0，故h （x ）在（2，+∞）上单调递增，∴h （x ）＞h （2）=2（1﹣ln2）＞0，即x ＞lnx 2， ∴e x ＞x 2，令x=，则＞，∴g （）=1+k﹣＞1+k •﹣=1＞0， ∴g （）•g （）＜0，∴g （x ）在（，）上有一个零点，设为x 2，则g （x 2）=0∵g （1）=k+1，f （x 1）＞0， f （x 2）＞0， 故F （x ）=min{f （x ），g （x ）}中，有：F （1）=f （1）=0＜g （1）=1+k ，F （x 1）=g （x 1）=0＜f （x 1），F （x 2）=g （x 2）=0＜f （x 2），即函数F （x ）有三个零点；综上，满足题意的k 的取值范围是（0，e ﹣2）．-----12分 22.解：（1）由l ：cos sin 100ρθρϕ+-=，及cos x ρθ=，sin y ρθ=.∴l 的方程为2100x y +-=. 由3cos x θ=，2sin y θ=，消去θ得22194x y +=. （2）在C 上取点(3cos ,2sin )M ϕϕ，则d=05cos()10ϕϕ=--. 其中003cos 54sin 5ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当0ϕϕ=时，d. 此时093sin 3cos 5ϕϕ==0082sin 2cos 5ϕϕ==，98(,)55M .23.解：（1）在2a =时，2221x x --+≤. 在1x ≥时，(22)(2)1x x --+≤，∴15x ≤≤； 在2x ≤-时，(22)(2)1x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，(22)(2)1x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤. （2）∵224x ax +--≤恒成立，而22(1)x ax a x +--≤+， 或22(1)4x ax a x +--≤-+，故只需(1)4a x +≤恒成立，或(1)44a x -+≤恒成立，∴1a =-或1a =.∴a 的取值为1或1-.。