第十一章含时微扰与量子跃迁共68页文档

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量子力学基本原理与基本概念小结-第16讲

薛定谔方程的评论
2、薛定谔方程是时间一次、坐标二次偏微分方程，不具有相对论协变性（时空对称性），因而不是微观粒子的相对论性量子力学运动方程。薛定谔方程是建立在非相对论时空和非相对论运动学基础之上的非相对论量子力学。
3、非相对论性量子多体理论，虽然引进了粒子产生、消灭算符和二次量子化表象，但它们描述的是粒子从一个量子态向另一个量子态的跃迁与转变，并没有真正涉及粒子的产生和消灭。
薛定谔方程中的波函数的物理本质是什么呢？
波恩的观点：
薛定谔方程中的波函数代表的是一种概率，而绝对不是薛定谔本人所理解的是电荷（电子）在空间中的实际分布。波函数，准确地说 r 2 代表了电子在某个地点出现的概率，电子本身不会像波那样扩展开去，但它的出现概率则像一个波。
“微观粒子的运动状态用波函数描述，描写粒子的波是概率波”，这是量子力学的一个基本假设（基本原理）
WII
WII
N
III
(c e c e ) III iknIII ( xb) n
III iknIII ( xb) n
n1
2 ny
sin( ).
WIII
WIII
超晶格结构中电子的薛定谔方程与波函数如何写？
理想超晶格
d
含缺陷结构超晶格
复杂体系中电子运动
多粒子系统的Schrődinger方程
原则上只要对上式进行求解即可得出所有物理性质，然而由于电子之间的相互作用的复杂性，要严格求出多电子体系的Schrődinger方程解是不可能的，必须在物理模型上进一步作一系列的近似。
（一）薛定谔方程
Schrodinger 的方程一般表达式
i
(r,t)
Hˆ (r, t )

量子跃迁

n
Cnk (t) e−iEn t/ |ψn ⟩
Cnk (t) = ⟨ψn |ψ (t)⟩
我们增加k 的指标是为了表明扰动之前是处在|ψk ⟩这个本征态上，出现跃迁是从Ek 这个能级上跃迁出来的。按照统计诠释，t时刻测量力学量F ，得到Fn 的几率应该为 Pnk (t) = |Cnk (t)| = |⟨ψn |ψ (t)⟩|
) ′ ′ eiωmk t ∂Hmk (t′ ) ′ + dt |m⟩ e−iEm t/ = δmk − ωmk ωmk ∂t′ −∞ m ) ( ′ ∑ e−iEm t/ ∫ t ∂H ′ (t′ ) ∑ ′ Hmk ′ ′ mk |m⟩ e−iEk t/ − eiωmk t dt′ |m⟩ = |k ⟩ + ′ Ek − Em Ek − Em −∞ ∂t m m ∑ ( t) ∫
t > t0 t < t0
ˆ 0 ，在某个时刻开始加上一个扰也就是说，在无外界相互作用的时候，体系Hamiltonian 为不含时的H ˆ ′ (t)。动H ˆ 0 本征态|ψk ⟩上， t < t0 时是定态问题，系统处于H ˆ 0 |ψn ⟩ = En |ψn ⟩ H |ψk (t)⟩ = e−iEk t/ |ψk ⟩ (t < t0 )
t iωmk t′ ′ Hmk ′ ′
∫
(1) Cmk
(t)
当t < 0，H 有加上微扰，量子态随时间的演化只是一个非定态的不含时问题，各成分保持不变。从另一个角度也可以理解为跃迁出去多少，从所有别的态跃迁回来也是多少。当0 < t < T ， Cmk (t) = −
(1) ′ eiωmk t Hmk ( t) + ωmk
∫

量子力学-含时间的微扰论-量子跃迁 Ⅱ. 微扰引起的跃迁 Ⅲ. 磁共振 Ⅳ. 绝热近似

a( 2) n
n'
)
则有
i
d dt
a(n0)
(
t)
0
i
d dt
a
(1) n
(
t
)
n'
Vnn
'einn'
ta
(0) n'
(t)
i
d dt
a
(2) n
(t)
n'
Vnn
'einn'
ta
(1) n'
(
t
)
于是有解 a(n0)(t) An ，它与 t 无关。
由初条件 t t0 时，体系处于 Hˆ 0 的定
可，则
a
k(1) n
(t)
1 i
tt0
Vnk
( t1 )eiω nk t1
dt1
这表明，体系在 t0 时刻处于 Hˆ 0定态
k (r, t0)。在 t 时刻，体系可处于 Hˆ 0 的
定态
n (r, t)
，而其概率幅为
a
k(1) n
(t)
（ n k ）。
因此，我们在 t 时刻，测量发现体系处于
这一态的概率为
Pkn
akn(1) (t) 2
1 2
tt0 Vnk (t1)einkt1dt1 2
例1 处于基态（ t ）的氢原
子，受位势
V(t) e x E0e t
（ 0 为实参数）扰动,
① 求 t 时，处于态 nlm 的
概率
Pnlm
1 2
eE0 nlm x 100 e t ei(EnE1)t dt 2
n1n2nm1
t

量子力学-含时间的微扰论 Ⅴ.贝利相位和贝利相位因子第十一章量子散射的近似方法Ⅰ.一些描述散射的物理量

K2 2
42
eiteit
普遍解为
((t))
Ac1 Ac2
Bc1 Bc2
A
K
Aeit Beit K 2 42 eit B K 2
K2 2
42
eit eit
若 t 0 ，电子处于 Hˆ 0本征值为 BB0 的本征态，其表示为
这要求
10
AB0
A K K2 42 B K K2 42 1
性，等概率）条件下：
单位时间跃迁概率，即跃迁率
wkn
e2 40
42 32
u(nk )
r nk
2
00
1 c2
H 1 A μ0
其中 u(nk ) 为辐射的能量密度分布，即光强度分布。
第二十七讲
第十章含时间的微扰论-量子跃迁
Ⅲ. 磁共振
A. 跃迁概率和跃迁率
B. 严格求解—Rabi 振荡
C. 一级近似公式的精确性
e2 4
(4)2 E02 4 (2)3(a03 ) 3
m 2
64a100k 3 (1 k2a02 )6
2
注意： 2m
k2
Ei
, Ei
e2 2a0
0 , 0
e2 2a0
k 2a02
0 0
,
1
k 2a02
0
40
256 3
a03E02
(
0
)6 (
0 0
)3
2
可以看到，在
4 3
0 处跃迁率达到极大。
0
1
2
Bb
2
ei(0 )t 1 2 i(0 )
Bbt
2
sin 1
2 1 ( 2

量子跃迁的微扰理论

第11章量子跃迁

(t ) aneiEnt / n
特例： (0) k , an nk 定态
n
(4)
(5)
(t ) k e
iEk t /
(6)
5
如果体系在初始时刻并不处于能量的本征态，则以后也不处于该本征态，而是若干个能量本征态的叠加，如 (4)所示，叠加系数如(2)式由初态决定。例1 设一个定域电子处于沿x方向的均匀磁场B中(不考虑电子的轨道运动)，电子内禀磁矩与外磁场的作用为 eB eB H s B Sx x L x (7) c 2c
dan (t ) * * ˆ i Φ Φ d τ a ( t ) Φ k' n n k ' H ' Φ n dτ dt n n 利用正交归一性得
dak ' (t ) ˆ ' eik ' nt i an (t )H k 'n dt n (6)
10
ˆ 'φ ) 其中 H 'k 'n (φk ' , H n
0
8
的定态波函数近似的计算出有微扰时的波函数，
从而可以计算无微扰体系在微扰的作用下由一个
量子态跃迁到另一个量子态的跃迁几率。并用这
些结果讨论原子对光的发射和吸收等问题。体系波函数所满足的薛定谔方程是
ˆ i H ( 2) t ˆ 的本征函数 n 为已知：设H 0
ˆ H 0 n n n
2
H'
0
t
k 'k
e
ik ' k t '
2
dtБайду номын сангаас'
( 9)

量子力学中科大课件 Q11讲稿第十一章含时问题与量子跃迁

量子力学中科大课件 Q11讲稿第十一章含时问题与量子跃迁第三部分开放体系问题第十一章含时问题与量子跃迁本章讨论量子力学中的时间相关现象。

它们包括：含时问题求解的一般讨论、含时微扰论、量子跃迁也即辐射的发射和吸收问题。

如果说，以前各章主要研究量子力学中的稳态问题，本章则专门讨论非稳态问题。

根据第五章中有关叙述，由于我们所处时空结构的时间轴固有的均匀性，孤立量子体系的Hamilton量必定不显含时间，从而遵守不显含时间的Schrödinger方程。

因此，这里含时Schrödinger方程所表述的量子体系必定不是孤立的量子体系，而是某个更大的可以看作孤立系的一部分，是这个孤立系的一个子体系。

当这个子体系和孤立系的其他部分存在着能量、动量、角动量、甚至电荷或粒子的交换时，便导致针对这个子体系的各类含时问题。

在了解本章（以及下一章）内容的时候，有时需要注意这一点。

§11.1 含时Schrödinger方程求解的一般讨论1, 时间相关问题的一般分析量子力学中，时间相关问题可以分为两类：i, 体系的Hamilton量不依赖于时间。

这时，要么是散射或行进问题，要么是初始条件或边界条件的变化使问题成为与时间相关的现象。

“行进问题”例如，中子以一定的自旋取向进入一均匀磁场并穿出，这是一个自旋沿磁场方向进动的时间相关问题；258259“初始条件问题”比如，波包的自由演化，这是一个与时间相关的波包弥散问题。

更一般地说，初态引起的含时问题可以表述为：由于Hamilton 量中的某种相互作用导致体系初态的不稳定。

例如Hamilton 量中的弱相互作用导致初态粒子的β 衰变等；最后，“边界条件变动”也能使问题成为一个与时间相关的现象。

例如阱壁位置随时间变动或振荡的势阱问题等。

ii, 体系的Hamilton 量依赖于时间。

这比如，频率调制的谐振子问题或是时间相关受迫谐振子问题，交变外电磁场下原子中电子的状态跃迁问题等等。

第十一章量子跃迁

§2 量子跃迁几率
返回
（一）跃迁几率（二）一阶常微扰（三）简谐微扰（四）实例（五）能量和时间测不准关系
（一）跃迁几率
t 时刻发现体系处于 Ψm 态的几率等于 | a m (t) | 2
m
体系的某一状态
Ψ = ∑ am(t )Ψ m
am(0) (t) = δmk
1 t ′ + ∫ Hmk eiωmk t dt +L 0 ih
比较等式两边得
( (1 δnk = an0) (0) + λan ) (0) +L
(0 an ) (0) = δnk (1 (2 an ) (0) = an ) (0) = L= 0
幂次项得：比较等号两边同 λ 幂次项得：
不随时间变化，所以a 因 an(0)不随时间变化，所以an(0)(t) = an(0)(0) = δnk。后加入微扰，则第一级近似： t ≥ 0 后加入微扰，则第一级近似：
2
2ieiωmk t / 2 sin( 1 ωmk t ) = 2
′ 4 | Hmk |2 sin2( 1 ωmk t ) 2 h2ωmk 2
极限公式：极限公式：
sin2(αx) lim παx2 = δ ( x) α→∞
则当t 上式右第二个分式有如下极限值：则当t →∞ 时上式右第二个分式有如下极限值：
=<φm | F[eiωt + eiωt ] | φk >
=<φm | F | φk > [eiωt + eiωt ] = F k [eiωt + eiωt ] m
(1 am) (t ) =
F k m ih
∫0
t
t

第十一章-含时微扰与量子跃迁

v
例题6 设原子处于激发态，它通过自发辐射而衰变到基态，寿命为τ。这是一个非定态，其能量不确定度是ΔE，称为能级宽度Γ。由于寿命的限制，自发辐射光子相应的辐射波列的长度是Δx~cτ,因此光子动量的不确定度是
p ~ / x ~ / c
光子能量的不确定度是 E cp ~ /
因此原子激发态能量也有一个相应的不确定度，即能级宽度
eB
2c
设初始时刻电子的自旋态为sz的本征态，sz=Ћ/2
(0) 10
求t时刻电子的自旋波函数 (t)
解法一：设t时刻电子的波函数是代入薛定谔方程得
(t )
a(t) b(t)
i
d dt
a(t) b(t)
L
0 1
10 ba((tt))
初始条件：a(0)=1, b(0)=0
则 a iLb, b iLa
P
Cm (t) 2
Cm
(t)
2
(m)d m
(7)
m
即
P
4
Hm k
2 (m)
sin2 (mkt 2
mk
/
2)
dmk
(8)
利用公式
lim
t
sin2 xt
πtx 2
δ (x)
，并作变量代换， x ωmk
2
则
P
2t
Hm k
2 (m)
(mk )dmk
(9)
近似地
P
2t
H m k
2 (m)
(10)
单位时间内的跃迁概率(跃迁速率)为
w
P
/
t
2
Hm k 2 (m)
费米黄金规则 (11)
§11.4 能量-时间不确定度关系

量子力学作业习题

第一章量子力学的诞生[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m 2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m （电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz 实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B 缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）h 2e m ；（2）h 2nm ；（3）hc第二章波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。

量子力学第十一章

2π z
λ
− ω t ),
εy = εz = 0
∵ z ~ 10−11 m, λ ~ 10−6 m ∴ λ >> z
cos( 2π
λ
z − ωt ) ≈ cos ωt +
2π z
λ
sin ωt +⋯
ˆ ˆ ˆ 于是 H ′ = F cos ω t ，其中 F = eε 0 x
ii.共振跃迁速率
wk → m =
粒子的状态变化否？如何变化? ? 运动是没有原因的，但运动的改变是有原因的二、状态变化与跃迁
t ≥ 0 时，要知道系统的状态，需求解含时间的
薛定谔方程：
∂ ˆ iℏ ψ (r , t ) = H (t )ψ (r , t ) ∂t ψ (r ,0) = ϕ k (r ) ∵{ϕn (r )} 完备
2 2 2
2
ω mk + ω
wk →m =
π
2ℏ
Fmk δ ( Em − Ek ± ℏω )
2
+：共振发射 -：共振吸收
微扰频率合适，可引起共振吸收或发射。共振吸收和共振发射几率相等。
三、光照引起的原子跃迁 1.单色线偏振光入射入射方向：z，偏振方向：x，光频：ω i.微扰哈密顿的电偶极近似
ε 电场强度：x = ε 0 cos(
2
∫
t
0
′ H mk (t ′)eiωmnt ′ dt ′
2
dWk → m (t ) 跃迁速率: wk →m (t ) = dt
§11.2 常微扰黄金规则
一、常微扰作用下的跃迁几率和跃迁速率常微扰
0, t < 0 ˆ ′(t ) = H ˆ H ′, t ≥ 0

第10章含时微扰法与量子跃迁

i t ˆ 0 H mk exp imk t dt
10
在一级近似下
am t a m
1
i t ˆ t 0 H mk exp imk t dt
亦即，体系在微扰作用下，由态k跃迁到态m的概率为
Wk m am t
2
0
dt
dam t
1
0 i 0 ˆ an t H mn exp imnt n i 1 ˆ an t H mn exp imnt n
dt
dam t
2
dt
8
当t=0时，体系处于定态k，即
振动态的耦合->跃迁概率
17
电子振动跃迁的选律电子跃迁矩正比于电子跃迁矩, 并正比于相应两电子态的振动波函数之间的重叠积分. 由于振动基态在中间(平衡位置)有最大概率,而激发态在位能曲线附近都有较大的概率.
1, 2, 3,
18
两个态所对应的波函数的直积，至少与x,y,z所属的不可约表示之一相同时，则跃迁是允许的。
15
Franck-Condon原理
E Ee Ev
e v
mk e ke kv d v ke kv d me mv me mv mk
J 1
2. 双原子振动光谱的选择定则 1 E ( )h e (=0,1,2,3, ) 2 d , q q q d dr 1 and 0 跃迁允许若考虑偶极矩的高幂次展开，则也是跃迁允许 2, 3,
电偶极跃迁矩
跃迁矩x方向分量，决定吸收或发射吸收，跃迁选择定律。

高等量子力学-理论方法-量子跃迁理论 ppt课件

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11
2. 一阶常微扰
（1）含时 Hamilton 量
设 H’ 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，
即： 0
t0
Hˆ

Hˆ
(r)
0
0 t t1 t t1
（2）一级微扰近似 am(1)
H’mk 与 t 无关 (0 t t1)
am(1)(t )

an (t )n
n

i t n
an (t )n Hˆ (t )
n
an (t )n
i
n

d dt
an
(t
)
n

i
n
an (t
)
t
n
i t
n

Hˆ 0n
相 an(t )Hˆ 0n an(t )Hˆ (t)n
n
m* Hˆ (t )nd
i n
d dt
an(t ) mn

n
an (t )

* m
Hˆ
(
t
)
ne
i[
m

n
]t
/
d
d
i dt am (t) n
an(t )Hˆ m neimn t
其中

Hˆ
m n

* m
Hˆ
(t
)
nd

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4
含时微扰理论
i Hˆ (t ) t
Hˆ 0 n n n
i t
n

Hˆ 0n

量子力学讲义第1112章

第四篇跃迁问题和散射问题量子跃迁 ~ 初态 −→−'H末态：几率？弹性散射 ~ 初态 −−→−)(r U 末态：散射截面（几率）？第十一章量子跃迁量子态的两类问题：① 体系的可能状态问题，即力学量的本征态和本征值问题。

② 体系状态随时间演化问题ψψH ti =∂∂。

11.1 跃迁与跃迁几率设 )0().()(),()(0)0()0()0(00=∂∂='+=tH r E r H t H H t H n nnψψ → 定态波函数 ,......2,1,)(),()0()0()0(==-n e r t r t E in nn ψψ。

将)(t H ' 作微扰，t =0时加入。

本节讨论在)(t H '作用下，由初态)0(k ψ−→−'H末态)0(m ψ的几率?=→m k W一、体系由)0(k ψ→)0(m ψ的几率将),(t r ψ按}{)0(n ψ展开：)()(),()0(r t C t r n nn ψψ∑=。

由0H 的定态波函数知，0H 引起的变化由tE i n e )0(-反映，故可令t E i n n n et a t C )0()()(-=，)(t H '引起的变化由)}({t a n 反映。

),()()()(),()0()0()0(t r t a r e t a t r n nn n t E in n nψψψ∑∑==→-。

)(~)(2t a t a W m m m k =∴→称为几率幅。

二、)(t a n 的运动方程利用含时S-方程，有∑∑∑∑'+=∂∂+nnn n n n n n n n n n t r H t a t r H t a t r t t a i dt t da t r i ),()(),()(),()()(),()0()0(0)0()0(ψψψψ 由 ∑∑'=→=∂∂nn n n n n n n t r H t a dt t da t r i t r H t r t i ),()()(),(),(),()0()0()0(0)0(ψψψψ用),()*0(t r m ψ左乘，并积分得∑'=nt i mnn m mn e H t a dt t da i ω)()(，式中 )(1,)()()0()0()0()*0(n m mn n m mnE E d r H r H -='='⎰ωτψψ~玻尔频率。

高等量子力学含时微扰理论

跃迁速率：
费米黄金规则：
2阶微扰：
总跃迁速率：
五、简谐微扰
初态为|i>,
t∞时要求：
综合有：
由于故有精细平衡关系
§5.7 对与经典辐射场作用的应用
一、吸收与受激发射
根据初末态的能量关系，可知exp(-iωt)对应于吸收， exp(iωt)对应于受激发射。
对吸收项吸收截面：
§5.5 含时势：相互作用图像 H=H0+V(t),
态矢方程(耦合微分方程组)
§5.6 含时微扰理论
一、直接微扰法：
二、含时微扰的Dyson级数
三、跃迁几率
由
及
知
和
可见
取
则
将微扰展开代入Dyson级数得
其中
四、定势微扰：
据上述微扰理论，有
(时间-能量测不准关系)
末态为准连续态时对末态求和：因故
1 ih
i [x, px ] i
1
于是有(经典结构)：
偶极近似
由于有利用
得偶极近似下：
求和规则总吸收截面： Nhomakorabea振子强度
Thomas-Reiche-Kuhn求和规则：
n
fni
2m h
n
ni
n
xi
2 2m h
n
ni
n
xi
ixn
2 1
2
2m
h
n
i
n
px
i
i
xn
ih
i
xpx
i
ih
i
x ih [x, H0] i
m (ih)2
i [x,[x, H0 ]] i

第十一章微扰论2

第十一章微扰论
本章要求
1. 掌握束缚定态（非简并和简并情况）微
扰理论。
2.了解原子在外电场中的能级分裂— 斯
塔克效应(定态微扰理论的应用) 。
第11章微扰论@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第1页
第十一章微扰论
教学内容
§1 束缚定态微扰论
§2
§3 §4
(17)、(18)两式代入(14)式，得到波函数的一级近似：

上式中
(1) k
'

n
'
H nk ' (0) n (0) (0) Ek En
(19)

n
表示对n求和时，n=k的项必须摒弃。
综上，在一级近似下的k能级本征值和本征态分别为：
(0) Ek Ek H kk '
(20)
H nk ' (0) n (0) (0) Ek En
第11章微扰论@ Quantum Mechanics
Fang Jun
第10页
以下约定：波函数的各高级近似和零级近似均正交
(0) ( n ns ) 0, s 1, 2, ...
(10)
(0) n 左乘(8)式，并利用(10)式得以

(0) n
0
ˆ (1) E (1) (0) H ' (0) ˆ H0 n n n n
微扰矩阵元
Fang Jun 第18页
k
其中
(0) k
Байду номын сангаас
n
'
(21)
(0) ˆ (0) H nk ' = n H ' k

量子跃迁理论

Equation Chapter 9 Section 1 §9.1 含时微扰理论（量子跃迁理论）第八章讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论体系的ˆH不含时间，因而求解的是定态薛定谔方程。

本章主要讨论体系哈密顿算符含有时间的微扰理论。

1、适用情况体系()ˆH t 由0ˆH 和()ˆH t '这两部分组成：()()0ˆˆˆH t H H t '=+ (9.1.1)其中0ˆH 为与时间无关，无微扰哈密顿算符，其本征值与本征函数为已知，本征方程为()()0ˆn n n H r E r φφ=，n E 为分立能级，第n 个定态波函数为()(),n iE tn n r t r eφ-Φ=⋅，薛定谔方程为()()0ˆ,,n nir t H r t t∂Φ=Φ∂。

()ˆH t '显含时间，且要求()0ˆˆ""Ht H '，并且()ˆH t 随时间变化，此时体系能量不是守恒量，体系不存在严格的定态。

此时求解定态薛定谔方程是很困难的，要求解含时薛定谔方程()()()ˆ,,ir t Ht r t tψψ∂=∂ (9.1.2)这时体系能量随时间变化，我们不再讨论能量，主要讨论跃迁几率 2、跃迁几率与跃迁几率（振）幅t 时刻将(),r t ψ按0ˆH 的本征函数系()n r φ完全展开()()()()()()(),,n n n niE tn n n n n nr t c t r a t er a t r t ψφφ-=≡⋅⋅=⋅Φ∑∑∑(9.1.3)相当于选取了能量表象。

上式相当于将体系波函数(),r t ψ按0ˆH 的定态波函数(),n r t Φ做完全展开，展开系数()()(),,n n a t r t r t ψΦ。

根据展开假设()()()222n iE tn n n c t a t ea t -==，表示t 时刻，测量能量值为n E 的几率。

即体系()()2,,n r t r t ψ=Φ，处于()n r φ态的几率。

量子力学11.2

中出现了函数，与有关。此时一级微扰论还成立吗？解释： δ函数出现上述公式中只有当能量连续变化的情况下才有意义。此时我们对所有能量积分时，δ函数就被积分掉，不存在∞问题了。

设( Ek ) 表示体系( H )的末态的态密度，即在 ( Ek , Ek dEk ) 范围中的末态数为 ( E k )dE k 。因此，从初态 k 到 Ek ~ Ek 附近一系列可能末态的跃迁速率之和（求积分）为
2
代入上式，得
对于非相对论粒子，p mv , 则
m2 m2 2 () 2 4 V (q ) 2 4 4 4
d re
3
iq r
2 V (r )
这就是粒子与靶碰撞的散射截面，反映了散射后粒子的空间分布几率。
§11.4 能量与时间测不准关系前面我们学习了Heisenberg测不准关系： x p 2 它从一定程度上反映了对经典粒子和微观粒子描述的关系。下面讨论另一种测不准关系 -----能量-时间测不准关系同当时引入Heisenberg测不准关系类似，我们仍然从几个特例出发来探讨这个问题。
对含时Hamilton体系，有
(t ) Cnk (t )e iEnt n
则
wnk
n
d d 2 Pnk (t ) C nk (t ) , dt dt
kk
含时微扰论的一级近似解为 1 t i (1) C k k (t ) e H k k dt i 0 有简并的情况下跃迁几率为
因此，跃迁几率 (k k ) 为
Pk k (t ) H k k
2 2

k k
1 e
ik k T 2
H k k sin 2 (k k T 2) . 2 2 (k k 2)

56与时间有关的微扰理论

格成立，但偏离一点也跃迁，此时从经典观点看，
能量并不守恒，mk 不确定。
３） mk
不确定的范围：
mk
:
1 t'
(10)
由于k分立，m连续，所以
mk
( m
k h
)
1 h
m
(11)
结果(10),(11)式： t ' m : h (12)
这个微扰过程是测量末态能量的过程：以ω试，到达如何 mk 时跃迁，即可从初态推测到末态。（12）式说明，测量时间间隔t’与能量不确定
１、先求的第k个本征态（初态） k 和第m 个本征态（末态）之间的微扰矩阵元：
Hµ'mk m* Hµ'k d Fmk (eit eit ) (2)
Fmk (m, Fµk),不含时。 (3)
２、将(2)式代入上节 am (t) 公式（5.6-10）,即（14）式中积分：
am
(t)
1 ih
4
H
' mk
h2
2
sin2 mkt
2
2 mk
W 4 h
sin2 mkt
H
' mk
2
(m)
2
2 mk
dmk
(3)
(4)
利用公式
lim
t
sin2 xt
tx2
(x)
W 2t h
H
' mk
2
(m)mk dmk
(5)
如果对（5）式只考虑
H
' mk
和ρ(m)都随
m平滑变
化的情况，将他们移出积分号外。
dt
从k m （初态终态）。即发生量子跃迁，从一个定态另一个定态，系统有局部的能

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§11.1 量子态随时间的演化
含时薛定谔方程的一般讨论：在量子力学中与时间相关的问题可分为两类： (1) 系统的Hamilton量不依赖时间
散射问题或行进问题如
初始条件或边界条件的变化使问题与时间相关
(2) 系统的Hamilton量依赖时间如：频率调制的谐振子问题、与时间相关的受迫谐振子问题、
由于并非力学量完全集中所有的量都是守恒量，因此体系不能保持在本征态，而是处于本征态的线性叠加
(t) C n(k t)e iE n t/ n
n
在初态条件下求解薛定谔方程
i t(t)(H 0H )(t)
(1)9 (2)0
将(19)代入(20)得
i C n ( t) k e i E n t/nC n ( t) k e i E n t/ H n ( 2 )1
(0)
1 0
求t时刻电子的自旋波函数 (t )
解法一：设t时刻电子的波函数是代入薛定谔方程得
(t) ba((tt))
iddtb a((tt))L1 0 1 0b a((tt))
初始条件：a(0)=1, b(0)=0
则 a iL b , b iL a
两式相加、减得
a b iL ( a b ),a b iL ( a b )
C(0) kk
constant
则 C k (0 k)(t)C k (0 k)(0)C kk(0)
根据式(24)有
Ck(0k)(t)kk
一级近似：在式(22)右边，令 Cn(kt)Cn (0)k(t)nk
由此得出一级近似解
i C k (1 k )eikktH k k
(2)8
积分得
C k (1 k )(t)i1 0 teikktH k kdt
更有意思的兴趣：在外界作用下体系在定态间跃迁的概率？
编时算符
设无外界作用时，体系的Hamilton量为H0(不含时间)，包括 H0在内的一组力学量完全集F的共同本征态是{|ψn>}，设体系初始时刻处于某一能量本征态|ψk>
即
(0) k (17)
加入微扰后体系的哈密顿是 H ˆ(t)H ˆ0H ˆ(t) (1)8
n
n
上式左乘<ψk´|，并利用本征函数的归一性得
i C k kC ne k i k n t/ k H n
n
其中
kn(E kE n)/
(2)2 (2)3
初始条件 C n(k0)nk
(2)4
在t时刻测量力学量F得到Fn值的概率是
P nk (t)Cnk (t)2
(2)5
Байду номын сангаас
即体系从初态ψk在t 时刻跃迁到ψn态的概率是Pnk(t)
( 6)
则t时刻的波函数是
(t) U(t)(0) eiH/t ann
n
aeiEnt/
n
n
( 7)
n
例题1 设一定域电子处于沿x轴方向的均匀磁场B中
(不考虑电子的轨道运动)，电子的内禀磁矩与外磁场
的相互作用是
HBecBsx e2Bcx Lx
L
eB
2c
设初始时刻电子的自旋态为sz的本征态，sz=Ћ/2
积分得
a(t)b(t)[a(0)b(0)e]iLt eiLt a(t)b(t)[a(0)b(0)e]iLt eiLt
上两式相加减得
a ( t) co L t,s b ( t) isiL tn
或
(t) cisoisnLtLt
解法二：体系的能量本征态和本征值分别为
x 1, EE L,
1211
上述公式成立的条件是
P kk(t)1 , (fokr k)
(3)3
即跃迁概率很小，体系有很大的概率仍停留在初始状态。
选择定则：若H具有某种对称性使得H´k´k=0, 则Pk´k=0，即在一级近似下，不能从初态k 跃迁到末态k´,或者说从 k态跃迁到k´态是禁戒的，就相应某种选择定则。
注:
(1) Pkk Pkk
单位时间内的跃迁概率（跃迁速率）为
w n k d d tP n(k t)d d tC n(k t)2
(2)6
? 如何求 Cnk (t)
用微扰法近似求解
H H0, Cnk(t)21 且随时间缓慢变化，体系仍
有很大的概率停留在原来的态。
零级近似：忽略H´的影响，按照(22)式有
C k(0k) 0,
及产生与湮灭算符的性质可知，只有 C1(10)()，0 其它均为零
C(1) 10
()
ieE
1/2
交变外电磁场下原子中电子的状态跃迁问题。
11.1.1 Hamilton量不含时的体系
此时含时薛定谔方程的解是
(t) U (t) (0 )e iH / t (0 )
( 3 )
U(t)eiHt/ 是描述量子态随时间演化的算符。
若初态可表示成其中
(0) ann (4)
n
ann(0)
( 5)
Hn Enn
此时跃迁概率为
Pkk(t) 12
t
2
0Hkkdt
(3)5
例题2 设在 t时，一维谐振子处于基态，问经过微扰 H(t)eExt2e/τ2 后，在 t时，处在第n个本征态
|n>的概率。
解： C n (1 0 )( ) i1 ( e)E nx0e t2/2e in td t
利用公式 x2mω1/2(aa)
(2)如果初态和末态有简并，求跃迁概率时，应对初始能级诸简并态求平均，对终止能级诸简并态求和
如在中心力场中 EnlEnl
Pn lnl 2l11m,mPnlm,nlm (3)4
Pnlm,nlm 是从nlm态到n´l´m´态的跃迁概率
(3) 量子跃迁并不意味着末态能量与初态能量不同，也可在同能级
间跃迁，如弹性散射，此时 kk 0
x 1, EE L, 1211
电子的自旋初态为
(0) 1 012
则t 时刻的波函数是
(t)1e iL t
2
eiL t
c iso iL tn L s t
11.1.2 Hamilton量含时体系的量子迁移的微扰理论
量子态随时间的演化
(t) U (t) (0 ),U (t )T e x ip 0 tH (t)d t
(2)9
因此在准确到微扰一级近似下有
Ckk(t)Ck(0 k) Ck(1k)
kki10teikktHkkdt
对k´≠k(初态不同于末态)
Ckk(t)i1 0teikktHk kdt
则
P kk(t) 12 0 teikktH k kdt2
上式是微扰一级近似下的跃迁概率公式。
(30) (3)1 (3)2