2020届浙江省杭州市第二中学高三上学期期中数学试题及答案解析版
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2020届高三上学期期中考试 数学 Word版含答案
2019学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高三年级数学学科试题一、选择题： 1、已知全集,{|}UR M x x ==-<<11，{|}N y y =<0，则()U M C N =（ ）A 、(,)-10 B 、(,]-10 C 、(,)01 D 、[,)01 2、若函数()sin f x x ω=的最小正周期为π，则正数ω的值是（ ）A 、12 B 、1 C 、2 D 、43、已知,a b 都是实数，那么“log log a b >22>”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件4、欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ie 2表示的复数在复平面中位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5、函数()x xe ef x x --=2的图像大致是（ ）6、若函数()sin cos f x x x =+在[,]a a -上是增函数，则正数a 的最大值是（ ）A 、π4 B 、π2C 、π34 D 、π7、已知函数()xf x a x b =+-的零点(,)()x n n n Z ∈+∈01，其中常数,a b 满足a =20192020，b =20202019，则整数n 的值是（ ） A 、-2 B 、-1 C 、1 D 、28、若关于x 的不等式||x x m x -+++≥-221的解集中有2个整数，则实数m 的取值范围是（ ）A 、m -≤<21B 、m -<≤21C 、m -≤<11D 、m -<≤119、设,ln ,ea ebc e e πππ=-=-=-1，则（ ）A 、a b c <<B 、b c a <<C 、c b a <<D 、b ac <<10、设O 是ABC ∆的外心，满足(),()CO tCA t CB t R =+-∈1324，若||AB =4，则ABC∆面积的最大值是（ ）A 、4 B、 C 、8 D 、16二、填空题11、已知向量(,),(,)a b λ=-=121，则||a =_________，若//a b ，则λ=_________.12、已知角α的终边经过点(P -1，则t a n α=___________，sin()()con ππαα+-=2_________.13、已知函数log ,(),xx x f x x >⎧=⎨≤⎩3020，则(l o g )f -=23_________，若()f x =2，则实数x 的值是_________.14、如右图，四边形ABCD 中，,ABD BCD ∆∆分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中,,AD BCADB CDB ==∠=∠14，则cos CDB ∠=_________，AC =_________15、设a >1，曲线()xf x a =与曲线()log a g x x =有且仅有一个公共点，则实数a 的值是_________. 16、设向量,,,a b c e 是单位向量且a b c ++=0，则()()()(a e b e b e c e c e a e -⋅-+-⋅-+-⋅-=_________. 17、若a 为实数，对任意[,]k ∈-11，当(,]x ∈04时，不等式ln x x x a kx +-+≤269恒成立，则a 的最大值是_________. 三、解答题：18、设:||p x x -≤12，:()q x m x m ---<23130. （1）解不等式：||x x -≤12；（2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求m 的取值范围.19、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边的长.cos cos a B b A =4且cos A =17.（1）求角B 的值；（2）若a =8，求ABC ∆的面积.20、已知函数()f x x x =+-12.（1）若不等式()x kf k -⋅≥220在[,]-11上有解，求k 的取值范围； （2）若方程(||)||x x kf k -+-=-2213021有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.21、已知平面向量,a b ，且a b ⋅=0.（1）若||||a b ==2，平面向量c 满足||c a b ++=1，求||c 的最大值；（2）若平面向量c 满足||c a -=3，||c b -=1，||c ≤≤15，求||c a b --的取值范围.22、设,a b R ∈，已知函数()ln ,()f x a x g x x bx b ==++2. （1）设()()xf x F x a =2，求()F x 在[,]a a 2上的最大值()M a ；（2）设()()()G x f x g x =+，若()g x 的极大值恒小于0，求证：a b e +≤4.。
2020届浙江省杭州市二中2017级高三上学期期中考试数学试卷及解析
2020届浙江省杭州市二中2017级高三上学期期中考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：1.若复数z 满足()1234i z i -=+,则z 的虚部为( )A. 2i -B. 2iC. 2D. 2- 【答案】C【解析】 先计算出345i +=,再整理得512z i =-即可得解.【详解】345i +==即()125i z -=, ∴()25125121214i z i i i +===+--. 故选：C.2.若1a =,2b =,且()a a b ⊥-,则向量,a b 的夹角为 （ ）A. 45°B. 60°C. 120°D. 135° 【答案】A 试题分析：根据题意,由于向量()()21,2,?=0-?b 0?b 1a b a a b a a b a a a ==⊥-∴-⇔=∴=且,故可知·b 2cos ,b cos ,b 2|?b |a a a a =⇔=,故可知向量,ab 的夹角为45°,故选A. 3.若2tan πtan 5α=,则3πsin 10πcos 5αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭( ) A. 1B. 13-C. 13D. 3-【答案】C【解析】先转化条件得πtan tan 25α=,再化简原式tan tan 151tan tan 5παπα-=+即可得解.【详解】2tan πtan 5α=, ∴πtan tan 25α=, ∴原式sin cos sin sin cos cos 52555ππcos cos sin sin cos cos 5555πππππααααππαααα⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ tan tan121151231tan tan5παπα--===++. 故选：C. 4.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2467220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列且66b a =,则210b b 等于( ) A. 49 B. 32 C. 94 D. 23【答案】C【解析】根据等差数列的性质转化条件得266320a a -=,再根据等比数列的性质可知22106b b b =即可得解.【详解】2467220a a a -+=,{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列, ∴()()26662220a d a a d --++=即266320a a -=, 又 {}n a 各项不为0, ∴632a =, ∴222106694b b b a ===. 故选：C.。
浙江省杭州市第二中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题
2020学年杭二高一上期中一、选择题：每小题4分，共40分.1. 已知集合{,},{1,3}(,)A a b B a a b R ==+∈，若{}2A B ⋂=，则A B =（ ）A. {2}B. {3}C. {1，2，3}D. {0，1，2}【答案】C2. 与函数()f x =）A. ()2x g x x=B. ()2g x =C. ()g x x =D. ()g x x =【答案】D3. 已知幂函数()f x x α=的图象过点()93，，若()2f t =，则实数t 的值为（ ） A.B. C. 4± D. 4【答案】D4. 己知函数()y f x =，x ∈R ，且(0)3f =，(2)4(0)f f =，(4)4(2)f f =，(6)4(2)f f =，…，(2)4(22)f n f n =-，*n N ∈，则函数()y f x =的解析式可以是（ ）A. ()32xf x =⨯B. ()34xf x =⨯C. ()38xf x =⨯D. ()4xf x =【答案】A 5. 设函数31,1()2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩，则(())2f f a =，则a =（ ） A. 0 B.13C.23D. 1【答案】C6. 若2233x y x y ---<-，则（ ） A. 22y x >B. 1x y<C. lg()0y x ->D. 122yx -⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】D7. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则 A. 0a b ab +<< B. 0ab a b <+< C. 0a b ab +<< D. 0ab a b <<+【答案】B8. 若对任意使得关于x 的方程20ax bx c ++=()0ac ≠有实数解的a ，b ，c 均有222()()()a b b c c a -+-+-2rc ≥，则实数r 的最大值是（ ）A. 1B.98C.916D. 2【答案】B9. 命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. 8a ≥ B. 9a ≥C. 10a ≥D. 11a ≥【答案】CD10. 《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题,这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有图形如图所示,C 为线段AB 上的点,且AC a =,BC b =,O 为AB 的中点,以AB 为直径作半圆.过点C 作AB 的垂线交半圆于D ,连结OD ,AD ,BD ,过点C 作OD 的垂线,垂足为E .则该图形可以完成的所有的无字证明为（ ）A.2a bab +≥(0a >,0b >) B. 222a b ab +≥(0a >,0b >)C.211ab a b≥+(0a >,0b >) D. 2222a b a b++≥(0a ≥,0b >) 【答案】AC11. 华为5G 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如：()()111212122122b b c c a a b b ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，其中1111221c a b a b =+，2112222c a b a b =+.已知定义在R 上不恒为0的函数()f x ，对任意,a b ∈R 有：()()()()121111b y y f a f b a -+⎛⎫=⨯ ⎪-⎝⎭且满足()12f ab y y =+，则（ ）A. ()00=fB. ()11f -=C. ()f x 是偶函数D. ()f x 是奇函数【答案】AD12. 定义域和值域均为[-a ，a ](常数a >0）的函数()y f x =和()y g x =的大致图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）A. 方程(())0f f x =可能存在五个解B. 方程(())0g g x =有且仅有一个解C. 方程(())0f f x =有两负数解和一正数解D. 方程(())0g g x =最多只有三个解【答案】ABC二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分.13. 函数21()1f x x =+的值域是__________. 【答案】（0，1]14. 的数2()ln(2)f x x x =-的单调递增区间是__________. 【答案】（2，+∞）15. 已知函数()()()221f x x x ax b =-++，若对于任意的x ∈R ，都有()()4f x f x =-，则()f x 的最小值是_____. 【答案】16-16. 已知a 、b 、c 为正实数，则代数式938432a b cb c c a a b+++++的最小值是_________. 【答案】4748.三、解答题：5小题，共74分.17. 计算：（1）)2411323230.002105283---⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()21lg5lg8lg10003lg 2lglg 0.066⋅++++ 【答案】（1）20-；（2）1. 18. 设常数a R ∈，集合101x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，{}1B x x a =≤-.（1）若2a =，求A B ，()RAB ；（2）若AB R =，求a 的取值范围.【答案】（1）{|1AB x x =<-或1}x =，(){}R 1A B x x ⋂=>；（2）2a ≥.19. 2020年是不平凡的一年，经历过短暂的网课学习后，同学们回到校园开始了正常的学习生活．为了提高学生的学习效率，某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线．当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图象的一部分，当[]14,40t ∈时，曲线是函数()83log 5a y t =+-，（0a >且1a ≠）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课效果最佳．（1）试求()p f t =的函数关系式；（2）一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．【答案】（1）()(]()(]21311282,0,144log 583,14,40t t p t t ⎧--+∈⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）教师能够合理安排时间讲完题目，理由见解析．20. 已知函数1()xxf x a a =-(a >0，a ≠1). （1）若a >l ，不等式2()(4)0f x bx f x ++->在x ∈R 上恒成立，求实致b 的取值范围； （2）若3(1)2f =且221()2()xx h x a mf x a=+-在[1，+∞)上的最小值为2-，求m 的值. 【答案】（1）35b -<<；（2）2.21. 已知函数()1ln 1kx f x x -=+为奇函数． （1）求实数k的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若存在(),1,αβ∈+∞，使得函数()f x 在区间[],αβ上的值域为ln ,ln 22m m m m αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）209m << 22. 设函数2()f x ax x a b =+-+，a ，b ∈R .（1）若函数()f x 在[]0,2上单调递增，在()2,+∞单调递减，求实数a 的值；（2）若对任意的实数[]0,1b ∈及任意的[]3,3x ∈-，不等式()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）14-；（2）12a =-.。
浙江省杭州第二中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷 含答案解析
数学试卷
一、选择题：每小题4分，共40分
己知集合 A={a,b}, B={a+I,3} (a,beR） ， 若A门 B={2｝ ， 则 AUB= C
A. {2}
B. {3}
2. 与函数J(x）＝ 占7 表示同一函数（ 是
C. {I,2,3}
D. {0,1,2 }
A. a 主8
。 B. 2':9
C. a2".IO
D. a2'= II
c 均有
Hale Waihona Puke A. 0B. �c. -2
D. 1
3
6若2' 2Y <3 x 3 y ， 则（
A. y2 >x2
B.王＜I
y
C. lg(y-x)>0
GJ D.
<r'
7. 己知。＝ log0_2 0.3 , b= log2 0.3 ， 则（
A. a+b<ab<O
B. ab<a+b <0
C. a+b<O<ab
D. ab<O<a+b
，
旦旦 ＝4,
f ( o)
f(2)
f( 4)
则函数y =J (x ）的解析式可以（ 是
；二＜ I A. f(x)=3×2'
5. 设函数f(x）＝｛
B. /(x)=3×4x
C. J(x)=3 × gx
， 则 ！（州））=2 ， 则。＝（
, _l_但L=4 ， ，ε厅 ，
f (2n -2) D. J(x)=4x
8. 若对任意使得关于x的方程。x· 2+bx+C=0(ac cf. 0）有实 数解的。， b '
浙江省杭州市2020高三数学上学期期中试题
浙江省杭州市2020届高三数学上学期期中试题一、选择题： 1、已知全集,{|}UR M x x ==-<<11，{|}N y y =<0，则()U M C N =I （ ）A 、(,)-10B 、(,]-10C 、(,)01D 、[,)012、若函数()sin f x x ω=的最小正周期为π，则正数ω的值是（ ）A 、12B 、1C 、2D 、4 3、已知,a b 都是实数，那么“log log ab >22”是“a b >”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件4、欧拉公式cos sin (ixe x i x i =+为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数理论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，ie 2表示的复数在复平面中位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限5、函数()x xe ef x x--=2的图像大致是（ ）6、若函数()sin cos f x x x =+在[,]a a -上是增函数，则正数a 的最大值是（ ）A 、π4B 、π2C 、π34D 、π7、已知函数()xf x a x b =+-的零点(,)()x n n n Z ∈+∈01，其中常数,a b 满足a =20192020，b =20202019，则整数n 的值是（ ）A 、-2B 、-1C 、1D 、2 8、若关于x 的不等式||x x m x -+++≥-221的解集中有2个整数，则实数m 的取值范围是（ ）A 、m -≤<21B 、m -<≤21C 、m -≤<11D 、m -<≤119、设,ln ,ea ebc e e πππ=-=-=-1，则（ ）A 、a b c <<B 、b c a <<C 、c b a <<D 、b a c <<10、设O 是ABC ∆的外心，满足(),()CO tCA t CB t R =+-∈1324u u u r u u u r u u u r ，若||AB =4u u u r，则ABC ∆面积的最大值是（ ）A 、4 B、、8 D 、16二、填空题11、已知向量(,),(,)a b λ=-=121r r ，则||a =r_________，若//a b r r ，则λ=_________.12、已知角α的终边经过点(P -1，则tan α=___________，sin()()con ππαα+-=2_________.13、已知函数log ,(),x x x f x x >⎧=⎨≤⎩3020，则(log )f -=23_________，若()f x =2，则实数x 的值是_________.14、如右图，四边形ABCD 中，,ABD BCD ∆∆分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中,,AD BCADB CDB ==∠=∠14，则cos CDB ∠=_________，AC =_________.15、设a>1，曲线()x f x a =与曲线()log a g x x =有且仅有一个公共点，则实数a 的值是_________. 16、设向量,,,a b c er r r r 是单位向量且a b c ++=0r r r r ，则()()()()()()a e b e b e c e c e a e -⋅-+-⋅-+-⋅-=r r r r r r r r r r r r_________.17、若a 为实数，对任意[,]k ∈-11，当(,]x ∈04时，不等式ln x x x a kx +-+≤269恒成立，则a 的最大值是_________.三、解答题：18、设:||p x x -≤12，:()q x m x m ---<23130.（1）解不等式：||x x -≤12；（2）若p 是q 成立的必要不充分条件，求m 的取值范围.19、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边的长.cos cos a B b A =4且cos A =17. （1）求角B 的值；（2）若a =8，求ABC ∆的面积.20、已知函数()f x x x=+-12. （1）若不等式()x k f k -⋅≥220在[,]-11上有解，求k 的取值范围； （2）若方程(||)||x x kf k -+-=-2213021有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.21、已知平面向量,a b r r，且a b ⋅=0r r .（1）若||||a b ==2r r ，平面向量c r 满足||c a b ++=1r r r ，求||c r的最大值；（2）若平面向量c r 满足||c a -=3r r ，||c b -=1r r ，||c ≤1r ，求||c a b --r r r的取值范围.22、设,a b R ∈，已知函数()ln ,()f x a x g x x bx b ==++2. （1）设()()xf x F x a =2，求()F x 在[,]a a 2上的最大值()M a ； （2）设()()()G x f x g x =+，若()g x 的极大值恒小于0，求证：a b e +≤4.。
2020-2021学年杭州高级中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年杭州高级中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={x|x≤a}，B={x|1≤x<2且A⊆∁R B，则实数a的取值范围是()A. (∞,1]B. (−∞,1)C. [2,+∞)D. (2,+∞)2.已知a，b∈R，则“a>b>1”是“log2a>log2b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知数列的前项和，第项满足，则k=()A. 9B. 8C. 7D. 64.已知函数f(x)=|mx|−|x−l|(m>0)，若关于x的不等式f(x)≥0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围为()A. (0,1]B. [23,34) C. [43,32) D. [23,2)5.用max{a,b}表示a，b两个数中的较大值，设f(x)=max{2x−1,1x}(x>0)，则f(x)的最小值为()A. −1B. 1C. 0D. 不存在6.某农户计划种植黄瓜和冬瓜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜与冬瓜的产量、成本和售价如表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨 1.2万元0.55万元冬瓜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入−总种植成本)最大，那么黄瓜与冬瓜的种植面积(单位：亩)分别为()A. 50，0B. 30，20C. 20，30D. 0，507. 已知函数f(x)=cos2x⋅cosφ−sin(2x+π)⋅sinφ在x=π3处取得最小值，则函数f(x)的一个单减区间为()A. (π3,4π3) B. (−2π3,π3) C. (π3,5π6) D. (−π6,π3)8. 已知正整数n ≥4，p ∈(0,1)，随机变量X 的分布列是( )X 1 pp 2 ⋯ p n−2 p n−1 Ppp 2p 3⋯p n−1p n则当n 在[4,100]内增大时，( )A. E(X)<1B. E(X)=1C. E(X)>1D. E(X)与1没有确定的大小关系9. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A. B. C. D.10. 数列的前项n 和则( )A.B.C.D.二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 某停车场有6个停车位，现停进了4辆不同的轿车，考虑到进出方便，要求任何三辆车不能连续停放在一起，共有______种停法．(用数字作答)．12. 在边长为2的正三角形ABC 中，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =y CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,x >0,y >0,x +y =1，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为______．13. 函数f(x)=x 2−2x +2在区间[0,m]上的最大值为2，最小值为1，则m 的取值范围是______ ． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 若(1−2x)4(1+ax)3展开式中各项系数和为8，则a = (1) ，展开式中x 2项的系数为 (2) ． 15. 若将函数f(x)=sin2x 的图象向左平移π6个单位，则得到的图象对应的解析式为g(x)= ，g(x)的单调递增区间是 ．16. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，正视图和侧视图是全等的等腰三角形则此三棱锥的体积为： (1) cm 3，此三棱锥的外接球表面积为： (2) cm 2．17. 在平面直角坐标系中，动点P(x,y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线为W ． (Ⅰ)给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y =x 对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是 (1) ；(Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为 (2) ． 四、解答题（本大题共5小题，共74.0分） 18. 已知函数f(x)=2√3sin 2x −sin(2x −π3) (Ⅰ) 求函数f(x)的最小正周期及单调增区间； (Ⅱ) 设α∈(0,π)，f(α2)=12+√3，求sinα的值； (Ⅲ)若x ∈[−π2,0]，函数f(x)的最大值．19. 如图，在三棱锥A −BCD 中，底面BCD 是边长为2的等边三角形，侧棱AB =AD =√2，AC =2，O 、E 、F 分别是BD 、BC 、AC 的中点． (1)求证：EF//平面ABD ； (2)求证：AO ⊥平面BCD ；(3)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值．20. 设不等式组{x <0y <0y ≥−nx −3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为f(n)(n ∈N ∗). (1)求f(1)，f(2)的值及f(n)的表达式；(2)记数列{f(n)}的前n 项和为S n ，若S n >λn 对任意正整数n 恒成立，求λ的取值范围．21. 已知一条曲线C在y轴右边，C上任一点到点F(2,0)的距离减去它到y轴的距离的差都是2(1)求曲线C的方程；(2)一直线l与曲线C交于A，B两点，且|AF|+|BF|=8，求证：AB的垂直平分线恒过定点．22. 已知函数g(x)=(2−a)lnx，ℎ(x)=lnx+ax2(a∈R)，令f(x)=g(x)+ℎ′(x)．(Ⅰ)当a=0时，求f(x)的极值；(Ⅱ)当a<0时，求f(x)的单调区间；(Ⅲ)当−3<a<−2时，若存在λ1，λ2∈[1,3]，使得|f(λ1)−f(λ2)|<(m+ln3)a−2ln3成立，求m 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：因为B={x|1≤x<2}，所以∁B={x|x<1或x≥2}，R由A={x|x≤a}，且A⊆∁R B，得a<1，故选：B．由B={x|1≤x<2}，得∁B={x|x<1或x≥2}，由A⊆∁R B，得a<1，得解．R本题考查了集合的包含关系及其运算，补集的运算，属简单题．2.答案：A解析：解：由log2a>log2b解得：a>b>0，∴“a>b>1”是“log2a>log2b”的充分不必要条件，故选：A．由log2a>log2b”解出a>b>0，再结合充分必要条件的定义从而得到答案．本题考察了充分必要条件，考察对数函数的性质，是一道基础题．3.答案：B解析：解析：试题分析：因为，，所以，；当=2n−10，所以，。
2020-- 浙江省 杭州地区(含周边)重点中学高三上学期 期中考试 数学试题--(附解析答案)
【解析】利用对数函数的单调性解不等式得到 ，取特殊值得到 ，从而得到“ ”是“ ”的充分不必要条件.
【详解】
因为 ，所以
根据不等式的性质得到：
即
反过来，因为当 时， 的值没有意义，所以
则“ ”是“ ”的充分不必要条件
故选:A
【点睛】
本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题.
4．欧拉公式eix＝cosx＋isinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于()
【详解】
当 时， ，解得
当 时， ，解得： （舍）
故答案为： ；
【点睛】
本题主要考查了分段函数已知自变量求函数值以及已知函数值求自变量，属于基础题.
14．如图，四边形 中， 、 分别是以 和 为底的等腰三角形，其中 ， ， ，则 __________， ____________.
【答案】
【解析】由余弦定理得出 ， ，由 建立等量关系，得出 的长，代入 得到 的值，利用二倍角公式得到 ，根据余弦定理即可求出 .
【详解】
，
，
因为函数 与函数 在 上都为增函数，所以函数 在 上是增函数
因为 ，
所以
函数 的零点 ，即
故选：B
【点睛】
本题主要考查了零点存在性定理的运用，属于中档题.
8．若关于x的不等式 的解集中有2个整数则实数m的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】去掉绝对值，令 ， ， ，画出函数 与 的草图，结合图像即可得到实数m的取值范围.
2020届浙江省杭州市第二中学高三上学期期中数学试题
绝密★启用前 2020届浙江省杭州市第二中学高三上学期期中数学试题 试卷副标题注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．若复数z 满足()1234i z i -=+，则z 的虚部为( ) A ．2i - B ．2i C ．2 D ．2- 2．若1a r =，b =r ，且()a a b ⊥-r r r ，则向量,a b r r 的夹角为 （ ） A ．45° B ．60° C ．120° D ．135° 3．若2tan πtan 5α=，则3πsin 10πcos 5αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭( ) A ．1 B ．13- C ．13 D ．3- 4．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2467220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且66b a =，则210b b 等于( ) A ．49 B ．32 C ．94 D ．23 5．若变量,x y 满足2{2390x y x y x +≤-≤≥，则222x x y ++的最大值是（ ） A ．4 B ．9 C ．16 D ．18 6．函数()()33lg x x f x x -=+⋅的图象大致为（ ）……订………………线…………○……线※※内※※答※※题……订………………线…………○……A．B．C．D．7．如图Rt ABC∆中，2ABCπ∠=，2AC AB=，BAC∠平分线交△ABC的外接圆于点D，设AB a=u u u v v，AC b=u u u v v，则向量AD=u u u v（）A．a b+v vB．12a b+vvC．12a b+vvD．23a b+vv8．正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，动点P满足2OP=u u u v，若AP mAB nAD=+u u u v u u u v u u u v，其中,m n∈R，则2122mn++的最大值是( )A．1 B．2 C．3 D．49．已知函数()f x的定义域为R，1122f⎛⎫=-⎪⎝⎭，对任意的x∈R满足()4f x x'<，当[]0,2πα∈时，不等式()cos cos2fαα>的解集为( )A．7π11π,66⎛⎫⎪⎝⎭B．π5π,33⎛⎫⎪⎝⎭C．π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭D．π5π,66⎛⎫⎪⎝⎭10．已知函数()f x的图象在点()00,x y处的切线为():l y g x=，若函数()f x满足x I∀∈（其中I为函数()f x的定义域，当x x≠时，()()()00f xg x x x-->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称x为函数()f x的“转折点”，已知函数()2122xf x e ax x=--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a的取值范围是A．[]0,e B．[]1,e C．[]1,+∞D．(],e-∞第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 11．已知集合}2280P x x x =-->，{}Q x x a =≥，若P Q R =U ，则实数a 的取值范围是______，若P Q Q ⋂=，则实数a 的取值范围是______. 12．若()()1sin sin 3a βαβ+-=-，则22cos cos a β-=_____ 13．设函数()341f x x x =--+，则不等式()5f x >的解集为______，若存在实数x 满足()ax a f x +≥成立，则实数a 的取值范围是______. 14．对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()ln x f x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________. 15．函数()()cos 0f x x ωω=>的图象与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，…，n A ，…在点列{}n A 中存在三个不同的点k A ，t A ，p A ，使得k t p A A A △是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω=______. 16．点D 在ABC V 的边AC 上，且3CD AD =，BD =，sin 23ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为______. 17．已知向量1a b a b ==+=r r r r ，向量c r 满足()24220c a b c -+⋅+=r r r r ，若对任意的t ∈R ，记c ta +r r 的最小值为M ，则M 的最大值为______. 三、解答题 18．设函数())1sin sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求函数()f x 的递增区间；○…………外………………○…………※※答※※题※※ ○…………内………………○…………（Ⅱ）在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若()1f B =，2b =，且()()2cos cos 1b A a B -=+，求ABC V 的面积. 19．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，BA AD ⊥，6DA DC =====，过点A 作平面α垂直于直线CD ，分别交CD ，CP 于点E ，F .(1)求BF 的长度；(2)求平面BCP 与平面ADP 所成的锐二面角的余弦值.20．已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*234,2,,4n S n N S S S ∈-成等差数列，且2341216a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2(2)log na nb n =-+，求数列1{}nb 的前n 项和n T .21．设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的焦距为2，且点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，左右顶点为1A ，2A ，左右焦点为1F ，2F .过点1A 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交直线4x =于点D ，直线2A D 与椭圆C 的另一个交点为G ，直线1GF 与直线1A D 交于点H .(2)若12GF DF ⊥，求k 的值； (3)若1A H HP λ=u u u u v u u u v ，求实数λ的取值范围. 22．已知()1ln 2x f x x e -=-+，()212g x ax x a =-+，其中实数0a >. (1)求()f x 的最大值； (2)若()a g f x x≥对于任意实数()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【解析】【分析】 先计算出345i +=，再整理得512z i=-即可得解. 【详解】Q 345i +==即()125i z -=， ∴()25125121214i z i i i+===+--. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的概念、复数的四则运算以及复数模的概念，属于基础题.2．A【解析】试题分析：根据题意，由于向量()()21,?=0-?b 0?b 1a b a a b a a b a a a ==⊥-∴-⇔=∴=u u r u u r r r r r r r r r r r r 且，故可知·b cos ,b cos ,b 2|?b |a a a a =⇔=r r r r r r r r ，故可知向量,ab r r 的夹角为45°，故选A. 考点：向量的数量积点评：主要是考查了向量的数量积的运用，属于基础题．3．C【解析】【分析】 先转化条件得πtan tan 25α=，再化简原式tan tan 151tan tan 5παπα-=+即可得解. 【详解】 Q 2tan πtan 5α=，∴πtan tan 25α=， ∴原式sin cos sin sin cos cos 52555ππcos cos sin sin cos cos 5555πππππααααππαααα⎛⎫⎛⎫+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ tan tan121151231tan tan5παπα--===++. 故选：C.【点睛】 本题考查了三角函数的化简求值，考查了学生的计算能力，属于基础题.4．C【解析】【分析】根据等差数列的性质转化条件得266320a a -=，再根据等比数列的性质可知22106b b b =即可得解.【详解】Q 2467220a a a -+=，{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，∴()()26662220a d a a d --++=即266320a a -=， 又 {}n a 各项不为0， ∴632a =， ∴222106694b b b a ===. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列和等比数列的性质，要求学生具有转化问题的能力，属于基础题. 5．C【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(0,3),(3,1)A B C --， 而222222(1)11x x y x y PM ++=++-=-，其中(1,0),M P - 为可行域内一点，因为PM CM ≤，所以222x x y ++的最大值是2116,CM -=选C.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.6．D【解析】【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。
2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2020届浙江省杭州地区（含周边）重点中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，{|11}M x x =-<<，{|0}N y y =<，则U ()M N =I ð（ ） A ．(1,0)- B ．(1,0]-C ．(0,1)D ．[0,1)【答案】D【解析】求出集合N 的补集，再进行交集运算. 【详解】因为{|0}N y y =<，所以U {|0}N y y =≥ð 所以U (){|01}M N x x =≤<I ð 故选：D 【点睛】本题主要考查了集合的交并补混合运算，属于基础题.2．若函数()sin f x x ω=的最小正周期为π，则正数ω的值是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】根据周期公式求解即可. 【详解】因为函数()sin f x x ω=的最小正周期为π 所以222T ππωπ=== 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题. 3．已知a ，b 都是实数，那么“22log log a b >”是a b >的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用对数函数的单调性解不等式得到22log log a b >⇒a b >，取特殊值得到22log log a a b b >>⇒/，从而得到“22log log a b >”是“a b >”的充分不必要条件.【详解】因为22log log a b >，所以0a b >> 根据不等式的性质得到：a b >即22log log a b >⇒a b >反过来，因为当1,0a b ==时，2log b 的值没有意义，所以22log log a a b b >>⇒/ 则“22log log a b >”是“a b >”的充分不必要条件故选:A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题.4．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.5．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x ---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．6．若()sin cos f x x x =+在[,]a a -是增函数，则a 的最大值是（ ）A ．4πB ．2π C ．34π D ．π【答案】A【解析】根据辅助角公式,将函数()f x 化简,结合正弦函数的单调性递增区间即可求得函数()f x 的单调递增区间.根据闭区间[,]a a -内单调递增,即可求得a 的最大值. 【详解】函数()sin cos f x x x =+ 所以()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由正弦函数的单调递增区间可知, ()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为22,422k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈解得322,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 因为在[,]a a -是增函数所以a 的最大值是4π故选:A 【点睛】本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用,正弦函数单调区间的求法,属于基础题.7．已知函数()xf x a x b =+-的零点0(,1)(Z)x n n n ∈+∈，其中常数a ，b 满足20192020a =，20202019b =，则整数n 的值是（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】利用指数与对数之间的转化求出a ，b ，结合函数()xf x a x b =+-的单调性以及零点存在性定理，即可得出整数n 的值. 【详解】20192020a =Q ，20202019b =2019log 20201a ∴=> ，2019202020192019log 201911log 2019log 2020log 2020b a====因为函数x y a =与函数y x b =-在R 上都为增函数，所以函数()xf x a x b =+-在R 上是增函数因为11(1)(1)10f a a -=+--=-<，011(0)010f a a a=+-=-> 所以(1)(0)0f f -⋅<函数()xf x a x b =+-的零点0(1,0)x ∈-，即1n =-故选：B 【点睛】本题主要考查了零点存在性定理的运用，属于中档题.8．若关于x 的不等式22|1|x x m x -+++≥-的解集中有2个整数则实数m 的取值范围是（ ）A ．21m -≤<-B ．21m -<≤-C ．11m -≤<D ．11m -<≤【答案】C【解析】去掉绝对值，令2()21,(,1]f x x x x =--∈-∞，2()3,(1,)g x x x =-∈+∞，y m =，画出函数()f x 与()g x 的草图，结合图像即可得到实数m 的取值范围. 【详解】当1x ≤时，222|1|21x x m x m x x -+++≥-⇒≥-- 当1x >时，222|1|3x x m x m x -+++≥-⇒≥-令2()21,(,1]f x x x x =--∈-∞，2()3,(1,)g x x x =-∈+∞，y m = 函数()f x 与()g x 的草图如下图所示由于关于x 的不等式22|1|x x m x -+++≥-的解集中有2个整数 则(0)(2)f m g ≤<，即11m -≤< 故选：C 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解确定参数的取值范围，属于中档题. 9．设a e π=-，ln 1b π=-，e c e e π=-，则（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c b a << D ．b a c <<【答案】D【解析】构造函数()xf x e x =-，()lng x x x =-，利用导数得出函数()f x ，()g x 的单调性，结合单调性得出c a >，b a <，即可得出答案.【详解】设函数()xf x e x =-，()lng x x x =-()1x f x e =-'当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '> 所以函数()x f x e x =-在(,0)-∞上单调递减，在()0,+?上单调递增所以()()e e f f e e e e e e e πππππ>⇒->-⇒->- 故c a >11()1xg x x x-'=-=当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '< 所以函数()ln g x x x =-在(0,1)上单调递增，在()1,+?上单调递减所以()()ln ln ln 1g g e e e e πππππ<⇒-<-⇒-<- 故b a < 综上，b a c << 故选：D 【点睛】本题主要考查了比较大小，关键是利用函数的单调性来解决问题，属于中档题.10．设O 是ABC ∆的外心，满足11()22AO t AB t AC =+-u u u r u u u r u u u r ，()t R +∈，若||||4AB AC ==u u u r u u u r，则ABC ∆的面积是（ ） A ．4 B ．3C ．8D ．6【答案】B【解析】取AC 中点D,由AO AD DO =+u u u r u u u r u u u r 以及题设条件得到8AO AC ⋅=u u u r u u u r，计算11()22AO AC t AB AC t AC AC ⋅=⋅+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，得到3sin BAC ∠=，由三角形面积公式求解即可.【详解】取AC 中点D ，因为O 是ABC ∆的外心，所以DO AC ⊥u u u r u u u r()21=82AO AC AD DO AC AD AC AC ⋅=+⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11()22AO t AB t AC =+-u u u r u u u r u u u r Q21111()cos ()82222AO AC t AB AC t AC AC t AB AC BAC t AC ∴⋅=⋅+-⋅=⋅∠+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur则111cos ()168226BAC t t ∠+-⨯= ，解得：1cos 2BAC ∠=所以3sin 2BAC ∠=即13sin 4443212ABCS AB AC BAC ∆u u u r u u u r 仔=创?=?故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题.二、填空题11．己知向量(1,2)a =-r ，(,1)b λ=-r ，则||a =r _______，若//a b r r，则λ=_________.512【解析】由向量模长的坐标公式以及平行的坐标公式求解即可. 【详解】()22||125a =-+=r//a b r r Q()1120λ∴-⨯--=，解得：12λ=512【点睛】本题主要考查了向量坐标的模长公式、已知两向量平行求参数，属于基础题. 12．已知角α的终边经过点(3)P -，则tan α=_________，sin()cos()2ππαα+-=_________.【答案】3 34-【解析】由任意角的三角函数的定义以及诱导公式求解即可. 【详解】由任意角的三角函数的定义可知3tan 31α==-sin()sin παα+=-，cos()cos ()cos()sin 222πππαααα⎡⎤-=--=-=⎢⎥⎣⎦所以()()222233sin()cos()sin 2413ππααα+-=-=-=--+故答案为：334- 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式，属于基础题.13．已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则2(log 3)f -=__________，若()2f x =，则实数x 的值是_______. 【答案】139 【解析】先判断2log 30-<，代入第一段解析式结合对数的运算性质求解即可；讨论0x >和0x ≤两种情况，代入相应解析式，求解即可. 【详解】2log 30>Q 2log 30∴-<22log log 32131(log 3)223f -∴-=== 当0x >时，33lo ()2g 9g 2lo f x x ===⇒，解得9x =当0x ≤时，()222xf x =⇒=，解得：1x =（舍）故答案为：13；9 【点睛】本题主要考查了分段函数已知自变量求函数值以及已知函数值求自变量，属于基础题.14．如图，四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形，其中1AD =，4BC =，ADB CDB ∠=∠，则cos CDB ∠=__________，AC =____________.【答案】1426 【解析】由余弦定理得出cos CDB ∠，cos ADB ∠，由ADB CDB ∠=∠建立等量关系，得出DB 的长，代入cos 8DB CDB ∠=得到cos CDB ∠的值，利用二倍角公式得到7cos 8ADC ∠=-，根据余弦定理即可求出AC . 【详解】由余弦定理可知：2222cos 288DC DB BC DB DBCDB DC DB DB +-∠===⋅ 2221cos 22AD DB AB ADB AD DB DB+-∠==⋅ 因为ADB CDB ∠=∠，所以182DB DB=，解得：2DB = 所以21cos 884DB CDB ∠=== 217cos cos 22cos 121168ADC CDB CDB ∠=∠=∠-=⨯-=-所以222cos 116726AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=++=故答案为：14；26【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于中档题.15．设1a >，曲线()x f x a =与曲线()log a g x x =有且仅有一个公共点，则实数a 的值是________. 【答案】1e e【解析】由于指数函数()xf x a =与对数函数()log a g x x =互为反函数，则公共点在直线y x =上，即函数()x f x a =，1a >与直线y x =只有一个交点，对应的方程0x a x -=只有一个根构造函数()xh x a x =-，1a >，利用导数求出其最小值，解方程()()log ln log ln 0a a a a a -+=，即可得出实数a 的值.【详解】因为指数函数()x f x a =与对数函数()log a g x x =互为反函数 所以()x f x a =与()log a g x x =关于直线y x =对称由于1a >时，曲线()x f x a =与曲线()log a g x x =有且仅有一个公共点 则公共点在直线y x =上即函数()x f x a =，1a >与直线y x =只有一个交点 即0x a x -=只有一个根 令()x h x a x =-，1a >()ln 1x h x a a '=-当()log ln a x a >-时，()0h x '> 当()log ln a x a <-时，()0h x '<所以函数()h x 在区间()(,log ln )a a -∞-上单调递减，在区间()()log ln ,a a -+∞上单调递增 所以函数()h x 的最小值()()()log ln (log ln )=log ln 0a a a a h a aa --+=即()1ln ln 110ln(ln )1ln ln ln e a a a a e a a e+=⇒=-⇒=⇒= 故答案为：1e e 【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数，关键在于发现同底的指数函数与对数函数互为反函数，关于直线y x =对称，属于较难 题.16．设向量a r ，b r ，c r ，e r是单位向量且0a b c ++=r r r r ，则()()()()()()a eb e b ec e c e a e -⋅-+-⋅-+-⋅-=r r r r r r r r r r r r__________.【答案】32【解析】将2[()()()]a e b e c e -+-+-r r r r r r展开，利用向量的数量积公式，化简即可得出答案.【详解】()223[()()()]a b c ea eb ec e ++-=-+-+-r r r r r r r r r r()()()()()()222()()()2a e b e c e a e b e b e c e c e a e ⎡⎤=-+-+-+-⋅-+-⋅-+-⋅-⎣⎦r r r r r r r r r r r r r r r r r r()()()()()()()2222322a b c e e a b c a e b e b e c e c e a e ⎡⎤=+++-⋅+++-⋅-+-⋅-+-⋅-⎣⎦r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r()()()()()()62a e b e b e c e c e a e ⎡⎤=+-⋅-+-⋅-+-⋅-⎣⎦r r r r r r r rr r r r0a b c ++=r r r r Q33a b c e e ∴++-=-r r r r r则()()()()()()()26239a e b e b e c e c e e e a ⎡⎤+-⋅-+-⋅-+-⎣=⋅--=⎦r r r r r r r r r r r r r 所以()()()()()()96322a eb e b ec e c e a e --⋅-+-⋅-+-⋅-==r r r r r r r r r r r r 故答案为：32【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及向量的混合运算，属于中档题.17．若a 为实数，对任意[1,1]k ∈-，当(0,4]x ∈时，不等式26ln 9x x x a kx +-+≤恒成立，则a 的最大值是_________. 【答案】7【解析】将原不等式26ln 9x x x a kx +-+≤等价于2n 86l a x x x --+≤，构造函数2()6l ,48n ,(0]f x x x x x =--+∈，利用导数求出其最小值min ()7f x =，即可得到a 的最大值.【详解】因为对任意[1,1]k ∈-，当(0,4]x ∈时，不等式26ln 9x x x a kx +-+≤恒成立所以对任意[1,1]k ∈-，当(0,4]x ∈时，不等式26ln 9x x x ak x +-+≤恒成立即222min 6ln 96ln 916l 8n x x x a x x x a k a x x x x x+-++-+≤⇒≤-⇒≤+--所以当(0,4]x ∈时，不等式2n 86l a x x x --+≤恒成立 令2()6l ,48n ,(0]f x x x x x =--+∈ 则min ()a f x ≤2286(22)(3)()x x x x f x x x-+----'==当()0f x '>时，(22)(3)01304x x x x --<⎧⇒<<⎨<≤⎩当()0f x '<时，(22)(3)004x x x -->⎧⇒⎨<≤⎩01x <<或34x <≤所以函数()f x 在区间(0,1)和(3,4]上单调递减，在区间(1,3)上单调递增(1)0187,(4)6ln 41632166ln 4f f =-+==--+=-因为3166ln 4796ln 43(3ln16)3ln 016e --=-=-=>所以min ()7f x =所以7a ≤，a 的最大值为：7 故答案为：7 【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式的恒成立问题，属于难题.三、解答题18．设:|1|2p x x -≤，2:(31)30q x m x m ---<. （Ⅰ）解不等式：|1|2x x -≤；（Ⅱ）若p 是q 成立的必要不充分条件，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）{|2}x x ≤,（Ⅱ）23m ≤【解析】（Ⅰ）对x 的值进行分类讨论，去掉绝对值，利用一元二次不等式的解法求解即可；（Ⅱ）令p 的解集为A ，即{|2}A x x =≤，q 的解集为B ，由题意得到B A ⊆, 根据集合A,B 的包含关系，对参数 m 进行讨论列出相应关系式，求解即可. 【详解】（Ⅰ）当0x ≤，不等式显然成立,当1x ≥时，不等式可化为22012x x x --≤⇒-≤≤，即12x ≤≤,当1x <时，不等式可化为220x x -+≥，由于22172()024x x x -+=-+> 则当1x <时，不等式可化为220x x -+≥恒成立 综上，不等式的解集为{|2}x x ≤.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令p 的解集为A ，即{|2}A x x =≤，q 的解集为B ，由题意知B A ⊆, 方程2(31)30x m x m ---=的两根为1-和3m,当13m -=时，即13m =-，B φ=，B A ⊆显然成立, 当13m ->时，即13m <-，{|31}B x m x =<<-，B A ⊆显然成立,当13m -<时，即13m >-，{|13}B x x m =-<<，要使B A ⊆成立,则32m ≤，即23m ≤,综上23m ≤.【点睛】本题主要考查了解含有绝对值的不等式、根据必要不充分条件求参数范围，属于中档题. 19．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，cos 4cos a B b A =且1cos 7A =. （Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若8a =，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）3B π=,（Ⅱ）103【解析】（Ⅰ）利用正弦定理将边化为角并化简得到1tan tan 4B A =，由利用1cos 7A =，求出tan 3A =而得到tan 3B =B 的范围，求出B;（Ⅱ）根据条件得出3sin 7A =，3sin 14C =，利用正弦定理求出5c =，再由三角形面积公式求解即可. 【详解】（Ⅰ）∵cos 4cos a B b A ⋅=⋅，sin cos 4sin cos A B B A =,即1tan tan 4B A =，又∵1cos 7A =，∴2117tan 437A ⎛⎫- ⎪⎝=⎭=∴tan 3B =∵tan 0B >, ∴B 为锐角 ∴3B π=,（Ⅱ）ABC ∆中，1cos 7A =，则43sin 7A =, 53sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=根据正弦定理5sin sin c ac C A=⇒=, ∴113sin 58103222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形以及正弦定理的边化角公式、三角形面积公式，属于中档题. 20．已知函数1()2f x x x=+-. （Ⅰ）若不等式(2)20x x f k -⋅≥在[1,1]-上有解，求k 的取值范围； （Ⅱ）若方程2(|21|)30|21|xx kf k -+-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1k ≤（Ⅱ）0k >【解析】（Ⅰ）将不等式(2)20x x f k -⋅≥化为2121(2)2x x k ≤-+，令11[,2]22xt =∈，构造函数2()21g t t t =-+，求出max ()g t ，由题意不等式()k g t ≤有解，则max ()k g t ≤;（Ⅱ）将方程化为12|21|230|21||21|xx xkk -+-+-=--，利用换元法得到2(32)210t k t k -+++=，根据函数|21|(0)x t t =->的图像以及题设条件，确定方程2(32)210t k t k -+++=有两个根12,t t ，且1201t t <<<或1201,1t t <<=，构造函数2()(32)21h t t k t k =-+++，列出不等式组，求解即可.【详解】 （Ⅰ）原式2112222012(2)2xxx x xk k =+--⋅≥⇒≤-+, 令11[,2]22x t =∈，则221k t t ≤-+, 令2()21g t t t =-+，()[0,1]g t ∈因为对称轴1t =，所以二次函数()g t 在区间[0,1]上单调递减，所以max ()(0)1g t g == ∵()k g t ≤有解，∴max ()k g t ≤, ∴1k ≤.（Ⅱ）原式可化为12|21|230|21||21|xx x kk -+-+-=--,令|21|(0)xt t =->，原式可化为212230(32)210kt k t k t k t t+-+-=⇒-+++= 因为方程12|21|230|21||21|xx xkk -+-+-=--有三个不同的实数根，所以由|21|(0)x t t =->的图像知,方程2(32)210t k t k -+++=有两个根12,t t ，且1201t t <<<或1201,1t t <<=令2()(32)21h t t k t k =-+++则(0)120(1)0h k h k =+>⎧⎨=-<⎩或(0)120(1)023012h k h k k⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩∴0k >. 【点睛】本题主要考查了函数不等式能成立问题以及根据函数零点的个数求参数的范围，属于中档题. 21．已知平面向量a r ，b r ，且0a b ⋅=r r.（Ⅰ）若2a b ==r r ，平面向量c r满足||1c a b ++=r r r ，求c r 的最大值；（Ⅱ）若平面向量c r满足||3c a -=r r ，||1c b -=r r ，1||5c ≤≤r，求||c a b --r r r的取值范围.【答案】（Ⅰ）221,（Ⅱ）5,3]【解析】（Ⅰ）根据题意用坐标表示向量a r ，b r ，c r，利用向量的加法运算、平面向量的模长公式以及||1c a b ++=r r r ，化简得到22(2)(2)1x y +++=，利用22c x y =+r (0,0)到(2,2)--的距离加半径，求出c r 的最大值；（Ⅱ）根据题意用坐标表示向量a r ，b r ，c r ，由题设条件以及平面向量的模长公式得到222222()9()115x a y x y b x y ⎧-+=⎪+-=⎨⎪≤+≤⎩，化简得到225()()9x a y b ≤-+-≤，利用模长公式得到22||()()c a b x a y b --=-+-r r r22()()x a y b -+-的范围得到||c a b --r r r的取值范围.【详解】（Ⅰ）设(2,0)a OA ==r u u u r ，(0,2)b OB ==u u u r r ，(,)c OC x y ==u u ur r ，(20,02)(2,2)c a b x y x y ++=++++=++r r r则22||1(2)(2)1c a b x y ++=⇒+++=r r r22c x y =+r (0,0)到(2,2)--的距离加半径所以max221c=r （Ⅱ）设(,0)a a =r，(0,)b b =r ，(,)c x y =r,依题意得222222()9()115x a y x y b x y ⎧-+=⎪+-=⎨⎪≤+≤⎩,2211()9()5y b x a ⇒≤--+--≤,∴225()()9x a y b ≤-+-≤(0,0)(,)c a b x a y b x a y b --=----=--r r rQ22||()()[5,3]c a b x a y b ∴--=-+-r r r【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算、坐标表示以及模长公式的应用，关键在于构造坐标，来解决问题，属于中档题.22．设,a b ∈R ，已知函数()ln f x a x =，2()g x x bx b =++.（Ⅰ）设2()()xf x F x a=，求()F x 在[,2]a a 上的最大值. （Ⅱ）设()()()G x f x g x =+，若()G x 的极大值恒小于0，求证：4a b e +≤.【答案】（Ⅰ）max1ln 04()12ln 24a a F x a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩,（Ⅱ）证明见解析 【解析】（Ⅰ）对函数()F x 求导，得出()F x 的单调性，因为()F x 在区间1(0,)e单调递减，在区间1(,)e +∞单调递增，所以函数()F x 在闭区间[,2]a a 上的最大值就是区间[,2]a a 端点的函数值中最大的一个，利用作差法比较它们的大小，即可得到函数()F x 在[,2]a a 上的最大值.（Ⅱ）利用导数求出函数()G x 的极大值2111G()ln x a x x a b =--+，构造函数2()ln K x a x x a b =--+，2a x ∈，利用导数得出3())ln 0222a a a K x K ab <=-+≤，从而得到322a ab a ≤-，5ln 222a a aa b +≤-+，通过换元并构造函数()ln 5m t t t t =-+，利用导数得出函数()m t 的最大值，即可证明4a b e +≤.【详解】（Ⅰ）由题知0a >，1()(1ln )F x x a'=+ 当10x e<<时，()0F x '<；当1x e >时，()0F x '>从而()F x 的单调递增区间是1(,)e +∞，递减区间是1(0,)e从而，max ()max{(2),()}F x F a F a =, 于是2(2)()ln 4ln ln 4F a F a a a a -=-=；当14a >时，(2)()F a F a >，所以max ()(2)2ln 2F x F a a ==; 当104a <≤时，(2)()F a F a ≤，所以max ()()ln F x F a a ==；综上所得max1ln 04()12ln 24a a F x a a ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（Ⅱ）依题知2G()ln (1)x a x x b x =+++，则22()2(0)a x bx aG x x b x x x++'=++=>，因为()G x 存在极大值，则关于x 的方程220x bx a ++=，有两个不等的正根，不妨12x x <，则122a x x =，得0a >，且102ax <<设2()2p x x bx a =++列表如下：x 1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x +∞()p x+—+()G x '+ 0 — 0 +()G x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增从而极大值21111()ln (1)G x a x x b x =+++，又211(2)bx x a =-+，从而2111G()ln 0x a x x a b =--+<，对102ax <<, 设2()ln K x a x x a b =--+，)2a x ∈，则22()a x K x x-'=因为2(,)20x a ∈，所以22()0a x K x x-'=>所以()K x 在)2a 上递增，从而3())0222a a aK x K a b <=-+≤ 所以322a a b a ≤-，55ln 22222a a a a aa b a +≤-=-+, 设,(0)2at t =>，则()ln 5m t t t t =-+，又()4ln m t t '=-. 若4(0,)t e ∈，()0m t '>；若4(,)t e ∈+∞，()0m t '<； 从而44444()()ln 5m t m e e e e e -+=≤=，即4a b e +≤. 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数在给定区间的最值以及证明不等式，考查学生的计算和推理能力，属于难题.。
2020届浙江省杭州市第二中学高三上学期期中数学试题
(2)若 GF1 DF2 ，求 k 的值；
(3)若 A1H HP ，求实数 的取值范围.
22．已知 f x ln x e x1 2 ， g x ax2 2x 1 ，其中实数 a 0 .
a
(1)求 f x 的最大值；
原式
sin
5
2
cos
π 5
cos
5
cos
π 5
sin sin cos cos 5
cos cos sin sin 5
5 5
tan tan 1 5
1 tan tan
x2 2x y2 (x 1)2 y2 1 PM 2 1 ，其中 M (1, 0), P 为可行域内一点，因为
PM CM ，所以 x2 2x y2 的最大值是 CM 2 1 16, 选 C.
成立，则称
x0
为函数
f
x
的“转折点”，已知函数
f
x
ex
1 2
ax2
2x
在区间
0,1 上存在一个“转折点”，则 a 的取值范围是
A． 0, e
B．1, e
C．1,
D． ,e
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)(20200612185018)
2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上学期期中考试数学试题一、单选题1.已知全集U R , M {x| 1 x 1}, N {y |y 0}，则M I (Q N)( )A. ( 1,0)B. ( 1,0]C. (0,1)D. [0,1)【答案】D【解析】求出集合N的补集，再进行交集运算•【详解】因为N {y | y 0}，所以e U N {y | y 0}所以M I (Q J N) {x|0 x 1}故选：D【点睛】本题主要考查了集合的交并补混合运算，属于基础题.2 .若函数f(x) sin x的最小正周期为n,贝U正数的值是( )1A. B. 1 C. 2 D. 42【答案】C【解析】根据周期公式求解即可•【详解】因为函数f(x) sin x的最小正周期为n所以故选：C【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题.3•已知a, b都是实数，那么“ log2a log2b ”是“. b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用对数函数的单调性解不等式得到log 2 a log2b a b，取特殊值得到盲.b log2a log2 b，从而得到“ log 2 a log2 b ”是“ a 、b ”的充分不必要条件•【详解】因为log 2 a log2b，所以a b 0根据不等式的性质得到：「a , b即log2 a log2b .a . b反过来，因为当a 1,b 0时，log z b的值没有意义，所以.a b log2a log2 b则“ log 2 a log2b ”是“，a . b ”的充分不必要条件故选:A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题.4 .欧拉公式e ix = cos x+ isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥” •根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】由题意得e2i cos2 i sin2，得到复数在复平面内对应的点(cos2,sin 2),即可作出解答•【详解】由题意得，e' = cos 2 + isin 2 ,复数在复平面内对应的点为(cos 2 , sin 2).:2e —,• cos 2 € ( —1, 0), sin 2 € (0 , 1),•e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故选B.【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题x xe e5•函数f x2的图像大致为()x【答案】B【解析】 分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像1Q f(1) e e 0 舍去 D;…J"仲宀(x 环 F 2)° xx 2,f(x) 0，xx所以舍去C ;因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变 化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环 往复. 6 .若f(x) si nx cosx 在［a,a ］是增函数，则a 的最大值是()【答案】A【解析】 根据辅助角公式，将函数f(x)化简,结合正弦函数的单调性递增区间即可求得 函数f(x)的单调递增区间.根据闭区间［a,a ］内单调递增，即可求得a 的最大值. 【详解】详解：Q x 0, f ( x)f (x) f (x)为奇函数，舍去 A,Q f (x)A.-4B. — 2C . 3D.函数 f(x) sinx cosx所以 f (x) .2sin故选:A【点睛】本题考查了辅助角公式在三角函数化简中的应用 ，正弦函数单调区间的求法，属于基础题•7 •已知函数f (x) a xx b 的零点x 0 (n,n 1)(n Z)，其中常数a ,b 满足2019a 2020，2020b 2019，则整数 n 的值是()A . 2B.1C. 1D.2【答案】 B【解析】利用指数与对数之间的转化求出a ,b ，结合函数f (x) a xx b 的单调性以及零点存在性定理，即可得出整数 n 的值.【详解】Q 2019a 2020 , 2020b2019log 2019 201911alog2019 2020 1b log 2020 2019—log2019 2020log2019 2020a因为函数y a x 与函数 yx b 在R 上都为增函数，所以函数 f(x) a xx b 在R上是增函数因为f( 1)1(1)1 1 0, f(0)a 00 -11aaaa所以 f( 1) f (0)函数f(x) a x x b 的零点X ) ( 1,0)，即n 1故选：B 【点睛】f (x). 2 sin x 的单调递增区间为4— 2k x —— 2k ,k Z24 2 解得 3 -2k x 2k ,k Z4 4因为在 [ a,a ］是增函数由正弦函数的单调递增区间可知所以a 的最大值是一4本题主要考查了零点存在性定理的运用，属于中档题28 •若关于x的不等式x x m 2 |1 x |的解集中有2个整数则实数m的取值范围是( )A. 2 m 1B. 2 m 1C. 1 m 1D. 1 m 1【答案】C【解析】去掉绝对值，令f (x) x2 2x 1,x ( ,1], g(x) x23,x (1,), y m，画出函数f (x)与g(x)的草图，结合图像即可得到实数m的取值范围.【详解】当x 1时， 2 x x m 2 |1 x| m2x 2x 1当x 1时， 2 x x m2|1 x | m x2 3m令f (x) x22x1,x(,1], g(x)x2 3, x(1, ) , y函数f(X)与g(x)的草图如下图所示由于关于x的不等式x2 x m 2 |1 x |的解集中有2个整数则f (0) m g(2)，即1 m 1故选：C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解确定参数的取值范围，属于中档题9 .设a e , b In1, c e e e ，则（）A . a b cB.b c aC. c b aD.b a c【答案】 D【解析】 构造函数 f(x) xe x , g(x)In x x ，利用导数得出函数f (x),g (x)的单调性， 结合单调性得出c a , b a , 即可得出答案•【详解】设函数 f(x) e xx , g(x)In x xf (x) e x1当 x 0时，f （X ）0，当 x 0时，f （x ） 0所以函数f （x ） e x X 在（，0）上单调递减，在（0，+?）上单调递增 所以f （ )f (e )eee e eeee故c ag(x)1 1 x 1xx当0 x1 时，g (x) 0，当x 1时， g(x) 0所以函数 g(x) In x x 在（0,1）上单调递增，在(1,+? ）上单调递减 所以g （ )g(e) InIn e e In 1 e故b a 综上，b a c 故选：D 【点睛】本题主要考查了比较大小，关键是利用函数的单调性来解决问题，属于中档题uuu uuu| AB | | AC | 4，则 ABC 的面积是()【答案】Buuir 10 •设O 是 ABC 的外心，满足 AO uuu 1 1 uuu tAB ( t)AC , (t R )，若A . 4B. 4.3C. 8D. 6【解析】 取AC 中点D,由 UJ UT AO uu u ADuur DO 以及题设条件得到 AOJJC 8，计算所以 sin BAC 32本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题二、填空题11 •己知向量 a ( 1,2) , b ( , 1)，则 |a | __________ ，若；//b ，贝y _________ 【答案】、、.5 -2【解析】 由向量模长的坐标公式以及平行的坐标公式求解即可 【详解】umr iur uuu uur 1 1 uur ujurAO AC tABAC $ qUACAC ,得到 sin BAC3，由三角形面积公式2求解即可. 【详解】取AC 中点D,因为O 是ABC 的外心，所以 uurDOJJL T ACuuu uur uuu uuir uu AO AC AD DO AC uur uuu 1 1 uuuQ AO tAB ( t)AC 2 2 uur uur uu uu 1 AO AC tAB AC (-uu uu AD AC1 uu2 -AC =8 21 uur uu 2t )AC ACuur uuu t ABAC cos uur 2AC则 16tcos BAC(1 1t) 16 8，解得:2 2cos BAC -2ABCUiu UJUT 1?AB 仔AC sin1BAC =—创 424.3BAC 故选：B【点睛】故答案为:【点睛】 本题主要考查了向量坐标的模长公式、已知两向量平行求参数，属于基础题 12 •已知角 的终边经过点 P( 1,3)，则tan【答案】【详解】故答案为: 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式，属于基础题实数X 的值是 【答案】先判断log 2 3 0，代入第一段解析式结合对数的运算性质求解即可；讨论x 0两种情况，代入相应解析式，求解即可【详解】|a| Q a//b0，解得:sin()cos(-)【解析】由任意角的三角函数的定义以及诱导公式求解即可 由任意角的三角函数的定义可知tansin( sin ，cos( coscos (―2)sin所以sin( )cos(・2sinlog 3 x,13 •已知函数f(x) 2严,X’则 f( log 2 3)，若 f(X)2，则【解析】Q log 2 3 0log 23 0f ( log 2 3) 2log 2 3lo (2诂13当x 0时, f(x) 2 log 3 x 2 log 3 9 , 解得x 9 当x 0时,f(x) 22x2，解得：x1 (舍)故答案为： -；93【点睛】本题主要考查了分段函数已知自变量求函数值以及已知函数值求自变量，属于基础题 14 •如图，四边形ABCD 中，ABD 、 BCD 分别是以AD 和BD 为底的等腰三角形, 其中 AD 1 , BC 4, ADB CDB ，则 cos CDB ____________________ ,AC __________ .1【答案】丄 264【解析】由余弦定理得出cos CDB , cos ADB ，由 ADB CDB 建立等量关DB系，得出DB 的长，代入cos CDB 得到cos CDB 的值，利用二倍角公式得8到cos ADC7，根据余弦定理即可求出 AC .8【详解】 由余弦定理可知：2DB DB 8DB 812 2 2cos CDB DC DB BC2DC DB2 2 2cos ADB ADDB AB2DB 2AD DBDB i因为ADB CDB ，所以帀五，解得：DB 21故答案为：一；2 64【点睛】 本题主要考查了余弦定理的应用，属于中档题15 •设a 1,曲线f(x) a x 与曲线g(x) log a x 有且仅有一个公共点，则实数 a 的值是 ________ .1 【答案】玉e【解析】由于指数函数f(x) a x 与对数函数g(x) log a x 互为反函数，则公共点在直 线y x 上，即函数f(x) a x , a 1与直线y x 只有一个交点，对应的方程a x x 0只有一个根构造函数h(x) a x x , a 1，利用导数求出其最小值，解方程log a In aalog a lna 0 ,即可得出实数a 的值.【详解】因为指数函数f(x) a x 与对数函数g(x) log a x 互为反函数 所以f(x) a x 与g(x) log a x 关于直线y x 对称由于a 1时，曲线f(x) a x 与曲线g(x) log a x 有且仅有一个公共点 则公共点在直线 y x 上即函数f (x) a x , a 1与直线y x 只有一个交点 即a x x 0只有一个根 令 h(x) a x x , a 1h (x) a x lna 1所以cos CDBDB 2 ~8 8cos ADC cos2 CDB2cos 2 CDB 12—116所以AC.AD 2 DC 2 2AD DC cos ADC 厂16一72.62 2当 x log a In a 时，h (x) 0当 xlog a In a 时，h (x) 0所以函数h(x)在区间(，log a Ina )上单调递减，在区间 log a Ina , 上单调递增所以函数 h(x)的最小值 h( log a In a )=a loga lnalog a In a 011 In In a1- 即0 In (In a) 1 In aa eIn a In ae1故答案为：臣 【点睛】互为反函数，关于直线 y x 对称，属于较难 题. 16 .设向量a , b ， C ， e 是单位向量且ar r r r r r r r r r r r a eb e b ec ec e a e.【答案】32【解析】将i (a r r e) (b r e) r (c r 2e)] 展开，利用向量的数量积公式，化简即可得出 答案•【详解】r r r 2 r rr r r r 2ac 3e [(a e)(b e) (c e)]r r. 2r 、2 , r r. 2r r r rr r r r r r r r (a e) (b e) (c e) 2 a eb eb ec e c e a er 2 r 2 r 2rrr r r r r r r r r r r a b c 3e 2eac 2 a eb eb ec e c e ar r r r r r r r r r r r6 2 a e b eb ec e c ea er r r rQ a b c 0rr 〜r 〜rac 3e 3er r r rr r r r r r r r r 2 则6 2 a e b e b e c e c e a e 3e9r r r r rr r r r r r r 9 6 3所以 a e b e be c e c e a e本题主要考查了根据函数零点的个数求参数,关键在于发现同底的指数函数与对数函数贝r O r c163故答案为：-2【点睛】 本题主要考查了平面向量的数量积公式以及向量的混合运算，属于中档题 17 •若a 为实数，对任意k ［ 1,1］，当x (0,4］时，不等式6ln x x 2 9x a kx 恒成立，则a 的最大值是 ___________ 【答案】7令 f(x) 6lnx x 2 8x,x (0,4] 则 a f (x)min2x 2 8x 6 f (x)x所以函数f(x)在区间(0,1)和(3,4］上单调递减，在区间(1,3)上单调递增f(1) 0 1 8 7, f ⑷ 6ln 4 16 32 16 6ln 43e 因为 16 6ln 4 7 9 6ln 4 3(3 ln 16)3ln 0所以 f(X )min 7所以a 7 , a 的最大值为：7 故答案为：7f (x)6ln x 2小x 8x, x(0,4］，利用导数求出其最小值f (x)min7，即可得到a的最大值.【详解】因为对任意 k [1,1]，当 x(0,4］时，不等式 6ln x x 2 9x a k x 恒成立所以对任意 k [1,1]，当 x(0,4］时，不等式 26ln x x9x a k 恒成立x即6ln x2x 9x a , kmin6ln x x 2 9xa1 a6ln x x 2 8xxx1【解析】将原不等式6lnx x 2 9x a kx 等价于a 6lnx x 2 8x ，构造函数所以当x (0,4］时，不等式a 6lnx x 28x 恒成立(2x 2)( x 3)当f (x)0时,(2x 2)(x 3) 0 0x4 当f (x)0时,(2x 2)(x 3) 0 0x48第14页共20页【点睛】本题主要考查了利用导数研究不等式的恒成立问题，属于难题 三、解答题 18•设 p ：x|x 1| 2 , q ： x 2(3m 1)x 3m 0.(I)解不等式：x|x 1| 2 ； (n)若p 是q 成立的必要不充分条件，求m 的取值范围.2【答案】(I) {x|x 2}, (n) m -3【解析】(I)对x 的值进行分类讨论，去掉绝对值，利用一元二次不等式的解法求解 即可；(n)令p 的解集为A ,即A {x|x 2} , q 的解集为B ,由题意得到B A ,根据 集合A,B 的包含关系，对参数 m 进行讨论列出相应关系式，求解即可 .【详解】(I)当x 0 ,不等式显然成立，当x 1时，不等式可化为x 2 x 2 0 1 x 2，即1 x 2,2 1 2 7当x 1时，不等式可化为 x 2 x 2 0，由于x - x + 2=(x-) + >0 2 4则当x 1时，不等式可化为 X 2 X 2 0恒成立综上，不等式的解集为{x|x 2}.(n)由(I)知，令p 的解集为A ,即A {x|x 2} , q 的解集为B,由题意知B A ,方程x (3m 1)x 3m 0的两根为 1和3m,当13m 时, 即 m1B5B A 显然成立，3当1 3m 时, 即 m 1 3B {x |3m x 1} , B A 显然成立 当13m 时,即 m 13，B {x | 1 x 3m}，要使B A 成立则3m 2，即 m23, (2)综上m — 3'【点睛】本题主要考查了解含有绝对值的不等式、根据必要不充分条件求参数范围，属于中档题.119 .在 ABC 中，a,b,c 分别为角A, B, C 所对边的长，acosB 4bcosA 且cos A .7(I)求角B 的值；(n)若a 8，求ABC 的面积.【答案】(I) B -, (n) 10 33【解析】(I)利用正弦定理将边化为角并化简得到tanB -tanA ，由利用cosA -,47求出tan A 4、, 3，从而得到tanB 3 , 根据B 的范围，求出B;角形面积公式求解即可 【详解】二 tan B••• Bc根据正弦定理 ------si nC 1…S ABC acsin B2(n)根据条件得出si nA 心,sin C7色3，利用正弦定理求出 c 5，再由三14a cosB 4b cos A , sin AcosB 4sin B cos A ,即 tan B 1tanA ,又••• cosA4,3，；tanB 0,si nC ABC 中，cos A y ，则sin( A B)sin AcosB sin A 三7cos As in B14asin A—10.3 28 第16页共20页【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形以及正弦定理的边化角公式、 三角形面积公式，属于中档题•120 •已知函数f(x) X 2.X(I)若不等式f(2X ) k 2X 0在［1,1］上有解，求k 的取值范围； (n)若方程f(|2X 1|) 2k 3k 0有三个不同的实数解，求实数k 的取值范|2X 1|围•【答案】(I) k 1 (n) k 01 2 1 1【解析】(I)将不等式f(2X ) k 2X 0化为k 勞子2 1，令t 尸［-,2］, 构造函数g(t) t 2 2t 1，求出g(t)max ，由题意不等式k g(t)有解，则k g(t)max ；x12 k(n)将方程化为|21| |2x 1| 2 |2x 1| 3k 0，利用换元法得到t 2 (3k 2)t 2k 1 0,根据函数t |2X 1|(t 0)的图像以及题设条件，确定方 程t 2 (3k 2)t 2k 1 0有两个根t 1,t 2，且0 t 1 1 t 2或0心1屯1，构造 函数h(t) t 2 (3k 2)t 2k 1，列出不等式组，求解即可.【详解】1 1 2(I)原式2X歹2k 2X0 k2F1，1 1 2令t歹［2,2］，则 k t 2t 1 ,令 g(t) t 2 2t 1, g(t) ［0,1］ 因为对称轴t 1,所以二次函数g(t)在区间［0,1］上单调递减，所以g(t)max g(0) 1 •- k g(t)有解，••• k g(t)max ,(n)原式可化为|2X 1| |2X1| 22k|2X0,【点睛】 本题主要考查了函数不等式能成立问题以及根据函数零点的个数求参数的范围,r rr r r「(I)若a b 2，平面向量C 满足| c a b | 1，求c 的最大值；(n)若平面向量 C 满足|C a| 3， |C b| 1，1 |C| .5，求|C a b|的取值范围•【答案】(I) 2,2 1，(n) L ，5,3]r r r【解析】(I)根据题意用坐标表示向量 a ，b ，C ，利用向量的加法运算、平面向量 的模长公式以及|C a b| 1，化简得到(x 2)2 (y 2)2 1，利用C , x 2 y 2的最大值等价于(0,0)到(2, 2)的距离加半径，求出 C 的最大值；r r r(n)根据题意用坐标表示向量 a , b , C ，由题设条件以及平面向量的模长公式得到1令t |2x1|(t0)，原式可化为t - 2 〒 3k 0 t 2 (3k 2)t 2k12k因为方程211中2冇3k 0有三个不同的实数根，所以由1,t 2则h(0) 1h(1) k 2kh(0) h(1) 0 -1 2k 0 k 0卫12属于中档题•21 .已知平面向量o rb ra且r b(3k 2)t 2k 11 1 t 2或 01 令 h(t) t 2(x a) y 9x 2 (y b)2 1 ,化简得到5 (x a)2 (y b)2 9，利用模长公式得到 1 x 2 y 2 52r r r(y b)2的范围得到|c a b|的取r uun(I)设 a OA (2,0) r luu ,b OB r Luur (0,2) , C OC (x, y),r r rcab (x 2 0,y 0 2) (x 2,y 2)r r r则 |c a b| 1 (x 2)2 (y 2)2 1Cx 2y 2的最大值等价于(0,0)到(2, 2)的距离加半径所以C 2迈1max(n)设 a (a,0)r ,b (0, b), C= (x,y)(x a)22y 9 依题意得 x 2 (yb)2 1 ,1 x 22y5本题主要考查了向量的坐标运算、坐标表示以及模长公式的应用，关键在于构造坐标, 来解决问题，属于中档题• 22•设 a,b R ，已知函数 f (x) alnx , g(x) x 2 bx b .xf (x)(I)设F(x) 2 ，求F(x)在［a,2a ］上的最大值.a(n)设G(x) f (x) g(x)，若G(x)的极大值恒小于o ，求证：a b e(y b)2，根据(x a)22aX92by5 (xa) (y b) Q r c r a(x a0,r|c r a r b|J(x a)2ar b ra【点睛】oy324(I)由题知a(x) -(1 ln x) a1当0 x -时,e1F (x) 0 ;当 x 时，F (x)e1 1从而F(x)的单调递增区间是(&,)，递减区间是(0,—)从而，F(x)max max{ F(2a), F(a)},2F (2a) F (a) ln 4a ln a ln 4a ; 1—时，F(2a) F(a)，所以 F(x)max F(2a) 2ln42a ;综上所得1—时，F(2a)4In aF(x)max(n)依题知G(x)F(a)，所以 F(x)max F(a) ln a ;2ln 2aaln x1 a 一4 1b(x 1)，则［a,2a ］端点的函数值中最大的一个，禾U 用作差法比较它们的大小，即可得到函数在［a,2a ］上的最大值.【详解】In a【答案】(I) F(x)max2ln 2a a4 4, (n)证明见解析1 4【解析】(I)对函数F(x)求导，得出 1F(x)的单调性，因为F(x)在区间(0,2)单调递e减，在区间(丄，)单调递增，所以函数eF(x)在闭区间［a,2a ］上的最大值就是区间F(x)(n)禾U 用导数求出函数 G(x)的极大值 G(x i ) alnx i2 xib ，构造函数K(x)aln x(0,,：)，利用导数得出a 3ab 0，从而得到b2 2aln3a 2a a 5a ln 2 22通过换元并构造函数 m(t) tint 5t ，利用导数得出函数m(t)的最大值，即可证明b e 4.K(x)K a Ina 2x bx a 2x b(x 0)，因为G(x)存在极大值，则关于xxa2x 2 3 bx a 0，有两个不等的正根，不妨 & X 2，则x/2，得a 0,且22x (0,%) X i(X i ,X 2)X 2 (X 2,)p(x)+ 0 一0 +G(x)+ 0 一 0 +G(x)单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增2 2从而极大值 G(x i ) aln X i X i b(x i 1)，又 bx i(2x i a)，(0,e 4)，m(t) 0 ；若 t(e 4, )，m(t)m(t) m(e 4)e 41n e 4 5e 4 e 4，即 a b2从而 G(x i ) aln^ x i a b 0，对 0G(x)x 的方程X i设 K(x) a In x x 2 a b ，x (0小)，则 K (x)a 2x 2因为 2x 2 (0, a)，所以 K (x)a 2x 2所以 K(x)在(0,：)上递增，从而K(x)K (厲aln所以 b aln,担，a bV 2 2a Ina 5a 2 2a a In 2 25a 2j(t 0)，则 m(t) tint5t ，又 m (t) 4 Int从而0 %点睛】本题主要考查了利用导数求函数在给定区间的最值以及证明不等式，推理考查学生的计算和能力，属于难题.第21 页共20 页。
浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期期中考试数学Word版无答案
高三上学期数学期中试题一、选择题：每小题4分，共40分1. 若复数z 满足()1234z -=+i i ，则z 的虚部为（ ）A ．2-iB ．2iC ．2D ．2-2. 若=1a，b ()⊥-a a b ，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒3. 若2tan tan 5απ=，则3sin 10cos 5παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．13-C ．13D ．3-4. 已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2467220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列且66b a =，则210b b 等于（ ）A ．49B ．32C ．94D ．235. 若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则222x x y ++的最大值是（ ）A ．4B ．9C ．16D ．186. 函数()()33lg x x f x x -=+的图象大致为（ ）7. 如图，Rt ABC △中，2ABC π∠=,2AC AB =,BAC ∠平分线交ABC △的外接圆于点D ，设AB =a ，AC =b ，则向量AD =（ ）A ．+a bB ．12+a bC ．12+a bD ．23+a b8. 正方形ABCD 的边长为2，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 满足 2OP =，若AP mAB nAD =+，其中,m n ∈R ，则2122m n ++的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D9. 已知函数()f x 的定义域为R ，1122f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对任意的x ∈R 满足()4f x x '<，当[]0,2απ∈时，不等式()cos cos2f αα>的解集为（ ）ABDDBCAOA ．711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭10. 已知函数()f x 的图象在点()00,x y 处的切线为l ：()y g x =，若函数()f x 满足x I ∀∈（其中I 为函数()f x 的定义域），当0x x ≠时，()()()00f x g x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则称0x 为函数()f x “转折点”，已知函数()2122x f x e ax x =--在区间[]0,1上存在一个“转折点”，则a 的取值范围是（ ）A ．[]0,eB ．[]1,eC ．[]1,+∞D ．(],e -∞二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 已知集合{}2280P x x x =-->，{}Q x x a =≥，若P Q =R ，则实数a 的取值范围是 ，若P Q Q =，则实数a 的取值范围是 ．12. 若()()1sin sin 3αβαβ+-=-，则22cos cos αβ-= ．13. 设函数()341f x x x =--+，则不等式()5f x >的解集为 ，若存在实数x 满足()ax a f x +≥成立，则实数a 的取值范围是 ．14. 对于函数()y f x =，若存在区间[],a b ，当[],x a b ∈时的值域为[],ka kb ()0k >，则称()y f x =为k 倍值函数．若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 ．15. 函数()()cos 0f x x ωω=>的图象与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，，n A ，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A ，t A ，p A ，使得k t p A A A △是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{}n ω，则2019ω= ．16. 点D 在ABC △的边AC 上，且3CD AD =，BD sin2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为 ．17. 已知向量1==+=a b a b ，向量c 满足()24220-+⋅+=c a b c ，若对任意的t ∈R ，记t +c a 的最小值为M ，则M 的最大值为 ．三、解答题：5小题，共74分18. 设函数())1sin sin 2f x xx x =+-． （1）求函数()f x 的递增区间；（2）在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若()1f B =，2b =，且()()2cos cos 1b A a B -=+，求ABC △的面积．19. 如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，BA AD ⊥，6DA DC ====，过点A 作平面α垂直于直线CD ，分别交CD ，CP 于点E ，F ．（1）求BF 的长度；（2）求平面BCP 与平面ADP 所成的锐二面角的余弦值．20. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N ，22S -，3S ，44S 成等差数列，且2341216a a a ++=． （1）求数列{}n a 的通项公式；PFE D CBA（2）若()22log n n b n a =-+，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．21. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2，且点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，左右顶点为1A ，2A ，左右焦点为1F ，2F ．过点1A 作斜率为k 的直线l 交椭圆C 于x 轴上方的点P ，交直线4x =于点D ，直线2A D 与椭圆C 的另一个交点为G ，直线1GF 与直线1A D 交于点H ．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若12GF DF ⊥，求k 的值；（3）若1A H HP λ=，求实数λ22. 已知()1ln 2x f x x e -=-+，()212g x ax x a=-+，其中实数0a >． （1）求()f x 的最大值； （2）若()a gf x x≥对于任意实数()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．。
2020届浙江省杭州二中高三上学期返校考试数学试题(解析版)
1907杭州二中返校考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥0}，B ＝{x |﹣1＜x ≤2}，则A ∪B ＝（ ）A. {x |0≤x ≤2}B. {x |x ≤2}C. {x |x ≥0}D. R【答案】D【解析】【分析】根据并集定义可直接求解得到结果. 【详解】由{|1Ax x ≤＝﹣或0}x ≥,12{|}B x x ≤＝﹣＜，则由并集的定义可知,=A B R U . 故选：D .【点睛】本题考查集合运算中的并集运算,属于基础题,难度容易.2.双曲线2213664x y -=的离心率是（ ）A. 54B.C. 53D. 45【答案】C【解析】【分析】已知双曲线方程，找出方程中a ，c 代入离心率的公式即可.【详解】因为双曲线2213664x y -=，所以6a =，8b =，因为10c ==， 所以离心率10563c e a ===. 故选：C.【点睛】本题主要考查了双曲线方程的离心率，属于基础题.3. 函数f （x ）=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是（ ）A. ab="0"B. a+b="0"C. a=bD. 22a b +=0【答案】D【解析】考点：函数奇偶性的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用奇函数的定义“函数y=f （x ）的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x ∈D ，且f （-x ）=-f （x ），则这个函数叫做奇函数”建立恒等式，求出a 、b 的值即可．解答：解：根据奇函数的定义可知f （-x ）=-x|a-x|+b=-f （x ）=-x|x+a|-b 对任意x 恒成立∴a=0，b=0，故选D点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题． 4.已知直线n 与平面α，β，若n⊂α，则“n ⊥β”是“α⊥β”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析】根据课本的面面垂直的判定得到若“n ⊥β，n ⊂α，则“α⊥β”， 若n ⊂α，α⊥β，则n 不一定垂直β，进而得到答案. 【详解】若“n⊥β，n⊂α，则“α⊥β”， 若n⊂α，α⊥β，则n 不一定垂直β，也可能平行， 故n ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 故选A ．【点睛】这个题目考查了充分不必要条件的判断，判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系． 5.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体的侧面积为（ ）A. 2+B. 2+C. D. 6【答案】C【解析】【分析】【判断几何体的图形，利用三视图的数据求解各侧面面积,求和即可.【详解】由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为2，底面正方形的对角线的长为2,四棱锥的4个侧面面积分别为：1111222222====.所以侧面面积为:故选:C .【点睛】本题考查三视图推出几何体的判断,几何体的侧面积的求法注意视图的应用,难度较易.6.设,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且满足sin cos sin cos 1αββα+=，则sin sin αβ+的取值范围是（ ）A. [B. [-C.D.【答案】D【解析】【分析】 先利用正弦的两角和公式化简已知等式，求得α+β=2π，把sinβ转换为cosα，利用两角和公式化简，根据α的范围求得sinα+sinβ的范围即可．【详解】∵sinαcosβ+sinβcosα=sin (α+β)=1,,,22ππαβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴α+β=2π， ∴−2π≤β=2π−α≤2π， 可判断出2π≥α≥0，224sin sin sin cos sin παβααααα⎫⎛⎫⎪+=+=+ ⎪⎪⎝⎭=⎭+， ∵α∈[0,2π]， ∴3,444πππα⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，∴42sin πα⎤⎛⎫⎥ ⎪∈⎝⎭⎣⎦+，4πα⎛⎫+⎡ ⎪⎣⎝⎭∈， 故选：D .【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，掌握并灵活应用公式是解题的关键，属于中等题. 7.已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （2﹣x ）为奇函数，函数f （x +3）关于直线x ＝1对称，则下列式子一定成立的是（ ）A. f （x ﹣2）＝f （x ）B. f （x ﹣2）＝f （x +6）C. f （x ﹣2）•f （x +2）＝1D. f （﹣x ）+f （x +1）＝0 【答案】B【解析】【分析】直接利用函数的奇偶性,以及函数的对称性,求出()()26f x f x -=+,得到结果即可．【详解】令()()2F x f x =-,()2f x -Q 为奇函数，()()F x F x ∴-=-,即()()22f x f x +=--，∴即()f x 的图象关于点()2,0对称，令()(3),()G x f x G x =+图象关于直线1x =对称，即(1)(1),[(1)3][(1)3],(4)(4)G x G x f x f x f x f x +=-++=-++=-，即()f x 的图象关于直线4x =对称，()[4(4)][4(4)](8)f x f x f x f x =+-=--=-用6x +换表达式中的x ,可得()()26f x f x -=+，又()()22f x f x -+=-，即()()2+6f x f x -=+，∴()()4f x f x -=+，用4x +换表达式中的x ,则()()[]48()()f x f x f x f x -+=+=--=，∴函数()f x 周期为8，故选:B . 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性,函数图象的对称性,属于基础题,难度较易.8.如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为线段AA 1上的一个动点，F 为线段B 1C 1上的一个动点，则平面EFB 与底面ABCD 所成的锐二面角的平面角余弦值的取值范围是（ ）A. 0⎡⎢⎣⎦B. ⎣⎦C. 0⎡⎢⎣⎦D. 0⎡⎢⎣⎦【答案】A【解析】【分析】设面EFB 与底面ABCD 所成的二面角的平面角为θ，设边长为1,建立直角坐标系，设(1,0,),(,1,1),E m F n 可求得平面EFB 的一个法向量为(1,(1),1)m n n ---,而底面ABCD 的一个法向量为(0,0,1),由cos θ=,化简讨论即可求得范围.【详解】设面EFB 与底面ABCD 所成的二面角的平面角为θ，如图所示，建立直角坐标系，()1 0,0,0,(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,),(,1,1),(0,1,),(1, 0,1)D A B C DE mF n BE m BF n =-=-u u u r u u u r 设平面EFB 的一个法向量为(,,)x y z ,则0(1)0y mz n x z -+=⎧⎨-+=⎩取(1,(1),1)m n n ---,而底面ABCD 的一个法向量为(0,0,1),则cos θ=, 结合选项，当1n =时, cos 0θ=，当1n ≠时, cos 0,2θ⎛= ⎝⎦,0,1n m ==时，取到2，故cos 0,2θ⎡∈⎢⎣⎦. 故选:A .【点睛】本题主要考查在空间直角坐标系中二面角的求法，考查学生的转化能力和计算求解能力.难度一般.9.已知向量a r ，b r 满足22a a b a b =⋅=-r r r r r ，，当a r ，b r 的夹角最大时，则a b r r ⋅=（ ）A. 0B. 2C. D. 4【答案】D【解析】分析】 先建系, 设(2,0),(,)OA a OB b x y ====u u u r u u u r r r , 再结合平面向量数量积的坐标及运算性质,将a r ，b r的夹角最大转化为直线OB 与抛物线相切,利用0∆=求出,即可(,)b x y =r ,即可解得所求. 【详解】 设(2,0),(,)OA a OB b x y ====u u u r u u u r r r ,因为2||a b a b ⋅=-r r r r ,所以2x =即24(1)y x =-,为点B 的轨迹方程.由上图易知,当直线OB 与抛物线相切时,,a b r r 的夹角最大.令y kx =,由24(1)y kx y x =⎧⎨=-⎩消去y 得22244016160,1k x x k k -+=∆=-==±，. 所以2x =,即点(2,2)B 或1(2,2)B -时，即(2,2)b =r 或(2,2)b =-r 时，,a b r r 的夹角最大.此时，4a b ⋅=r r .故选:D .【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算,考查转化与化归思想, ,将a r ，b r的夹角最大转化为直线OB 与抛物线相切,考查数形结合的解题思想,难度一般.10.已知r ，s ，t 为整数，集合A ＝{a |a ＝2r +2s +2t ，0≤r ＜s ＜t }中的数从小到大排列，组成数列{a n }，如a 1＝7，a 2＝11，a 121＝（ ）A. 515B. 896C. 1027D. 1792【答案】C【解析】【分析】 （1）由于r s t 、、为整数且0,r s t ≤<<，下面对t 进行分类讨论:t 最小取2时，符合条件127,11,a a ==同理可得3t =,4t =,……，10t =时符合条件的a 的个数，最后利用加法原理计算即得．【详解】 r s t Q、、为整数且0,r s t t ≤<<∴最小取2,此时符合条件的数a 有221C =,当3t =时,,s r 可在0,1,2中取,符合条件有的数a 有233C =所以0120130231232227,22211,22213a a a =++==++==++=,同理4t =时,符合条件有的数a 有246C =,……,t n =时,符合条件有的数a 有2n C222234123++++n n C C C C C +=Q …,且310=120C ,121a 是111n +=的最小值,即10t =时,01101212221027a =++=.故选:C .【点睛】本题考查组合及组合数公式,有理数指数幂的运算性质,数列的概念及简单表示法,难度较难.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.成书于公元一世纪的我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，题目是：“今有池方一丈，点生其中央，出水一尺，引葭赶岸，适马岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈（10尺），有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有1尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到沿岸（池塘一边的中点），则水深为__________尺，芦苇长__________尺.【答案】 (1). 12 (2). 13【解析】【分析】把问题转化为如图的数学几何图形，根据题意，可知EB ′的长为10尺，则B ′C =5尺，设出AB =AB ′=x 尺，表示出水深AC ，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到芦苇的长和水深．【详解】依题意画出图形,设芦苇长AB =AB ′=x 尺,则水深AC =(x −1)尺，∵B ′E =10尺,∴B ′C =5尺，在Rt △AB ′C 中,52+(x −1)2=x 2，解得x =13(尺)，∴水深为12尺，芦苇长为13尺.故答案为：12，13.【点睛】本题考查点、线、面间的距离计算，将实际问题转化为几何问题，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题.12.已知实数x ，y 满足3403400x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝4x +y 的最小值是_____．【答案】5【分析】首先画出题中所给的约束条件对应的可行域,化目标函数所对应的直线方程,数形结合得到最优解,联立方程组求解的坐标,代入目标函数得答案.【详解】画出不等式组3403400x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域，如图所示:目标函数z ＝4x +y 可化为4x +y ＝0，平移直线4x +y ＝0知，当直线过点A 时，z 取得最小值；由340340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得A （1，1）所以目标函数z ＝4x +y 的最小值是z min ＝4×1+1＝5． 故答案为:5.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,结合图形并利用目标函数的几何意义,是解决此类问题的常用方法,难度较易.13.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若6C π=，b ＝1，c ＝2acosB ，则a ＝_____；cosA ＝_____． 【答案】 (1). 1(2).4【分析】首先根据已知和余弦定理222222a c b ac acosB ac +-⨯＝＝化简可得a b ＝,则,A B =由A B C π++=,6C π=,可得5212CA ππ-==,利用51246cos cos πππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭展开计算即可解得. 【详解】在△ABC 中，∵c ＝2acosB ＝2a 2222a c b ac+-⨯， ∴整理可得：a ＝b ， 又b ＝1， ∴a ＝1， ∵6C π=，∴A 5212Cππ-==，cosA ＝cos 512π=cos （46ππ+）2=12-）=故答案为:1;【点睛】本题考查余弦定理,和角的三角函数值计算,难度一般.14.ABC △中，2A B =，1BC =，则AC 的取值范围是__________，BA BC ⋅u u u r u u u r的取值范围是__________.【答案】 (1). 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭(2). 30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理可建立AC 与角B 的关系，求出B 的范围即可得AC 范围，利用向量数量积运算及正弦定理进行边角转化，转化为只与角B 有关的关系式，根据B 的范围即可求解．【详解】在ABC △中，2A B =，1BC =， 则sin sin 2A B =，由正弦定理可得：sin sin BC ACA B=， sin sin 1=sin sin 22cos BC B B AC A B B⋅==，由A +B +C =π，可得3B +C =π，即333C B ππ=-<， 又角B 为三角形内角，所以1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，11,12cos 2AC B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2B AC=， 1=cosB=12BA BC BA BC BA AC⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 由正弦定理可得：()sin 3sin sin 3=22sin 2sin 2sin BA B CB ACB B Bπ-==u u u r ()222sin 2cos 12sin cos 4cos 12sin 2B B B BB B-+-==，所以可得24cos 130,22B -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故答案为：1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，涉及三角形边角转化，和差公式、二倍角公式，向量的数量及运算等知识，属于中等题。
浙江省杭州市第二中学2020届高三数学上学期开学考试试题(含解析)
f
x
x2
x
25
2x2
4x50
所以f
x
3x2
9x
75
，
此时f
x
a1x化为fx
24x，
即3x2
9x
75
24x，所以x2
12x
25
0
在x
1,25不是恒成立的.故A、B不对；
当a
3时，fx
x2
x32x2
4x3，
当x
1,3
时，x2
x
3
0,x2
4x
3
0，
所以f
x
r
1
1
2
1
2
1，
那么|a
b|
|a|
|b|
2a
b
1cos
r
r
3
r
r
3
因此，由“a,b夹角为2π〞不能推出“|a
b|
〞；
3
r
r
3
，那么
r
r
r
2
r
2
rr
1
rr
假设|a
b|
|a
b|
|a|
|b|
2a
b
1211cosa,b3
解得cos
rr
1
r
r
π，
a,b
，即a,b夹角为
2
3
r
r
2π〞
r
r
3〞不能推出“
所以，由“|a
3
4
5
sinC
【点睛】此题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题
.正弦定理是解三角形的有
力工具，其常见用法有以下几种：
2019-2020学年浙江省杭州市第二中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省杭州市第二中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．经过点()1,0-，且斜率为2的直线方程为（ ） A ．220x y +-= B ．220x y -+-= C ．220x y +-= D ．220x y ++=【答案】B【解析】直接利用直线的点斜式方程，再化成一般形式，即可得到答案. 【详解】由直线的点斜式方程得：002(1)22y x x y ⋅-++⇒--==. 故选：B. 【点睛】本题考查直线的点斜式方程，考查对方程形式的理解，属于基础题.2．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成的角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】连结1,A D BD ，得到11//A D B C ，则1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角，再求1DA B ∠的大小，从而得到答案.【详解】连结1,A D BD ，则11//A D B C ，所以1DA B ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角. 在正方体中，因为1A BD ∆为正三角形，所以13DA B π∠=.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角，求解时要注意先利用直线平移找到异面直线所成角，再进行角的大小求解，属于基础题.3．长方体的正视图与侧视图如图所示，则其俯视图的面积为（ ）A ．12B ．8C ．6D ．4【答案】A【解析】由三视图的成图原理，长对正、宽相等、高平齐，所以长方体的俯视图是长为4，宽为3的矩形，计算面积即可得答案. 【详解】由三视图的成图原理，长对正、宽相等、高平齐， 所以长方体的俯视图是长为4，宽为3的矩形， 所以4312S =⨯=. 【点睛】本题考查长方体的三视图，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时利用三视图的成图原理是解题的关键.4．命题“若一个数是质数，则它不能被2整除”的否命题是（ ） A ．若一个数是质数，则它能被2整除 B ．若一个数是合数，则它能被2整除 C ．若一个数不是质数，则它能被2整除 D ．若一个数不是质数，则它不能被2整除 【答案】C【解析】直接利用否命题的定义，对条件和结论均否定，即可得到答案. 【详解】原命题：“若一个数是质数，则它不能被2整除”， 则否命题为：“若一个数不是质数，则它能被2整除”. 故选：C. 【点睛】本题考查原命题与否命题之间的改写，求解时注意命题题的形式，即对条件和结论均否定，属于基础题.5．已知a ，b 是空间中两条不同的直线，α，β是空间中的两个不同的平面，若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a ，b 一定（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直【答案】D【解析】借助正方体模型，研究直线a ，b 的位置关系，即可得答案. 【详解】如图，令α为平面11ADD A ，β为平面ABCD ，11A B 为直线a ，1CC 为直线b ， 由模型可得：a ，b 一定垂直.故选：D. 【点睛】本题考查空间中线线、线面、面面位置关系，考查空间想象能力，求解时要会借助模型使问题求解更直观.6．平面直角坐标系xOy ()cos sin 1y R ααα+=∈与圆22:1O x y +=（ ） A ．相切 B ．相交C ．相离D ．相交或相切【答案】D【解析】利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离d ，再与圆的半径进行比较，即可得到答案. 【详解】圆心到直线的距离1d ==≤，当2πα=时，可取到等号，所以直线与圆相交或相切. 故选：D. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查数形结合思想和运算求解能力，判断不等式的大小关系时，注意考虑等号能否取到.7．过点()4,0-引直线l 与曲线y =A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB ∆面积最大时，直线l 的斜率为（ ）A ．12B C ．-D ． 【答案】B【解析】设直线l 的方程为：4x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ，由于直线与半圆有两个交点，可得判别式大于0且0m >，将面积表示成关于m 的函数，再用换元法求S 的最大值，从而得到对应m 的取值，即可得到答案. 【详解】设直线l 的方程为：4x my =-，1122(,),(,)A x y B x y ， 将直线方程代入圆的方程得：22(1)8120m y my +-+=， 由22164803m m ∆=->⇒>，且0m >，222122222116483414||288211(1)1m m S y y m m m m--=⋅⋅-=⋅==-+++++， 令211t m =+1(0)4t <<， 所以284S t t =⋅-+，当18t =，即211781m m =⇒=+， 所以直线的斜率177k m ==. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、三角形面积的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.8．用一个平面去截一个正四面体，截面不可能．．．为（ ） A ．内角均不为90°的菱形 B ．平行四边形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形【答案】A【解析】作出可能的截面，再利用排除法，即可得到答案. 【详解】对B ，如图所示，取对棱的中点，连成四边形为平行四边形，故B 错误； 对C ，与底面平行的平面，截得的截面为等腰三角形，故C 错误；对D ，显然虚线三角形的一条边无限靠近AC 时，三角形为钝角三角形，故D 错误； 对A ，若截面为菱形，则该截面只能是正方形，所以其内角均为90°. 故选：A.【点睛】本题考查正面体的截面形状，考查空间想象能力和实践操作能力，求解时可以采用排除法，排除3个选项，从而得到正确答案.9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，M ，N 分别为1AB ，11A C 上的点，且1A N AM =，12AM MB =，P ，Q 分别为1BB ，11B C 上的动点，则折线MPQN 长度的最小值为（ ）A ．3B 13C 52+D 10【答案】B【解析】将折线MPQN 化归到同一平面中，利用两点间的距离最短，即可求得答案. 【详解】将折线MPQN 所在平面展成平面图形，如图所示：因为正方体的棱长为3，且1A N AM =，12AM MB =，所以,M N 均为对角线上的三等分点，作,ON OM 分别与正方形的边平行， 所以3,2ON OM ==，所以223213MN =+=， 所以折线MPQN 13故选：B. 【点睛】本题考查立体几何中折线段的最小值问题，考查降维思想的应用，考查转化与化归思想和运用求解能力，求解的关键是将空间问题转化为平面问题. 10．在平面直角坐标系xOy 中，过点)2,10P作直线与两条直线1:l y x =，2:l y x=-交于A ，B 两点，则OA OB AB +-的最大值为（ ） A ．62B ．10C ．20220-D ．152+【答案】A【解析】根据题意，将求OA OB AB +-的最大值转化为求内切圆半径的最大值，即可得到答案.【详解】设直角三角形AOB 的内切圆半径为r ，则2OA OB AB r +-=， 内切圆的圆心必在坐标轴上，当圆心在x 轴上时，2r 小于点P 到直线y x =-的距离，即21025212r +<=+， 当圆心在y 轴上时，内切圆与直线AB 相切于点P 时，内切圆的半径最大，如图所示，设内切圆的方程为：222()x y r r +-=，所以2222(2)(102)2021020r r r r +-=⇒-+=， 解得：32r =或172r =（舍去）， 所以262OA OB AB r +-==，显然62521>+，故OA OB AB +-的最大值为62. 故选：A.【点睛】本题考查解析几何中的最值问题、直线与圆的位置关系，求解的关键是对目标式子进行等价转化，考查分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想的综合运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题11．已知圆22:244A x y x y +-+=，则圆心A 的坐标为______；圆A 的半径为______．【答案】(1,2)- 3【解析】将圆的一般方程通过配方化成标准方程形式，即可得到答案. 【详解】因为2222244(1)(2)9x y x y x y +-+=⇒-++=， 所以圆心(1,2)A -，半径3r =. 故答案为：(1,2)-；3. 【点睛】本题考查圆的普通方程与标准方程的互化，考查对圆方程形式的理解，属于基础题.12．已知直线21:10l x m y ++=与直线2:20l mx y --=，若12l l P ，则m =______；若12l l ⊥，则m =______． 【答案】1- 0或1【解析】利用两直线平行与垂直的充要条件，列出关于m 的方程，即可得到答案. 【详解】当12l l P 21(1)m m ⇔⨯-=⋅且1(2)1m ⨯-≠⨯，解得：1m =-， 当12l l ⊥21(1)0m m ⇔⨯+⨯-=，解得：0m =或1m =.故答案为：1-；0或1. 【点睛】本题考查两直线平行、垂直的充要条件，求解时注意充要条件的应用，考查运算求解能力.13．已知正方体的棱长为1，则它的外接球半径为______；与它各棱都相切的球的半径为______．【答案】22【解析】正方体外接球的直径为正方体的体对角线，与它各棱都相切的球的直径为面对角线. 【详解】因为正方体外接球的直径为正方体的体对角线，所以2222(2)1113R R =++=⇒=； 球与正方体的各棱都相切，则球的直径为面对角线，所以22(2)R R =⇒=.故答案为：3；22. 【点睛】本题考查球与正方体的切、接问题，考查空间想象能力和运算求解能力，求解关键是理解几何体的特点，找到球的直径.14．在平面直角坐标系xOy 中，点()12P ，到直线:410l ax y +-=的距离为2，则a =______．【答案】3a =或53a =【解析】利用点到直线的距离公式得到关于a 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】因为点()12P ，到直线:410l ax y +-=的距离为2，所以22234a a =⇒=+或53a =.故答案为：3a =或53a =. 【点睛】本题考查点到直线距离公式的应用，考查基本运算求解能力，属于基础题.15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，侧棱长为2，底面三角形边长为1，则1BC 与侧面11ACC A 所成角的正弦值是______．【答案】1510【解析】取AC 的中点O ，连结1,C O BO ，证明线面所成角为1BC O ∠，再求角1BC O ∠的正弦值. 【详解】取AC 的中点O ，连结1,C O BO ，因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，两平面相交于AC ，BO AC ⊥，BO ⊂平面ABC ， 所以BO ⊥平面11ACC A ，所以1BC 与侧面11ACC A 所成角为1BC O ∠， 因为侧棱长为2，底面三角形边长为1，所以13,5BO BC ==，所以113152sin 5BO BC O BC ∠===，所以1BC 与侧面11ACC A 所成角的正弦值是15. 故答案为：15.【点睛】本题考查线面角的求解，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意按照一作、二证、三求的步骤进行求角.16．已知三棱锥A BCD -中，F ，G 分别是AC ，AD 的中点，E 在线段AB 上，且2AE EB =，平面EFG 将该三棱锥截成一个四面体和一个五面体，分别记该四面体和五面体的体积为1V ，2V ，则12V V =______；若分别记该四面体和五面体的表面积为1S ，2S ，则2S ______12S （填“＞”、“＜”或“＝”）．【答案】15> 【解析】分别求出125,66V VV V ==，从而得到12V V 的值；根据分点的性质，可得到两个面积等式和两个面积不等式，再进行相加，从而得到2S 与12S 的大小. 【详解】设三棱锥A BCD -的体积为V ，因为，F ，G 分别是AC ，AD 的中点，E 在线段AB 上，且2AE EB =， 所以14AGF ACD S S ∆∆=，设B 到面ACD 的距离为h ，所以E 到面ACD 的距离为23h ， 所以112436V V V =⋅⋅=，256V V =，所以1215V V =. 因为13AEG ABC S S ∆∆=，所以2AEG BCGE S S ∆=四边形， 同理2AEFBDFE S S ∆=四边形，223AGF CDFG CDFG S S S ∆=<四边形四边形，2EFG EFG BCD S S S ∆∆∆<+，所以212S S >. 故答案为：15；>.【点睛】本题考查空间几何体的体积、面积计算，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意分点的比例值，从而得到面积和体积的比例.17．已知，矩形ABCD 中，2AB =，5BC =，E ，F 分别为边BC ，AD 上的定点，且45BAE ∠=︒，30DCF ∠=︒，分别将ABE ∆，CDF ∆沿着AE ，CF 向矩形所在平面的同一侧翻折至AB E '∆与CD F '∆处，且满足B D AB ''⊥，分别将锐二面角B AE D '--与锐二面角D FC B '--记为1θ与2θ，则21cos θ+22cos θ的最小值为______． 【答案】15【解析】根据题意，作'D 在底面的射影G ，'B 在底面的射影H ，找到两个锐二面角的平面角，从而得到222212''cos(),cos ()NG HM D N B Mθθ==，由B D AB ''⊥，得到//B D AD ''，进一步得到//GH AD ，并设(01)NG x x =<<，并所求式子表示成关于x 的二次函数，求二次函数的最小值，即可得到答案. 【详解】如图所示，作'D 在底面的射影G ，'B 在底面的射影H ，DN 垂直CF 于N ，BM 垂直AE 于M ，则222212''cos (),cos ()NG HM D NB Mθθ==， 因为B D AB ''⊥，所以//B D AD ''，则//GH AD ，因为30DCF ∠=︒，所以1DN =，同理45BAE ∠=︒，所以2BM =，作'GG AD ⊥，'HH AD ⊥，则'30G DG ∠=︒ 设(01)NG x x =<<，则''12xGG HH +==， 所以'12222xMH HH -=-=⋅， 所以222221212512cos cos ()4242xx x x θθ-⋅+=+=-+，当15x =时，21cos θ+22cos θ的最小值为15. 故答案为：15.【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、二面角的概念、函数的最值，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是利用平行条件进行问题的转化.三、解答题18．已知:31p ax -≤，()()2:2110q x b x b b -+++≤．（1）当2a =-时，求p 中所对应的实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分必要条件，求a ，b 的值．【答案】（1）21x -≤≤-；（2）2,1,a b =⎧⎨=⎩或4,1.a b =-⎧⎨=-⎩【解析】（1）将2a =-代入绝对值不等式，直接根据绝对值不等式的意义，进行求解； （2）若p 是q 的充分必要条件，则则,p q 中不等式的解集相同，先解q 中的不等式，再对P 中不等式中参数a 进行分类讨论求解，从而得到关于,a b 的方程组，解方程即可得到答案. 【详解】（1）当2a =-时，231231123121x x x x --≤⇔+≤⇔-≤+≤⇔-≤≤-， 所以实数x 的取值范围为21x -≤≤-.（2）():()[1]01q x b x b b x b --+≤⇔≤≤+， 若p 是q 的充分必要条件，则,p q 中不等式的解集相同. 因为3124ax ax -≤⇔≤≤，（1）当0a =时，不等式（1）无解，所以0a =不成立；当0a >时，不等式（1）24x a a ⇔≤≤，所以22,41,1b a ab b a ⎧=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩ 当0a <时，不等式（1）42x a a ⇔≤≤，所以44,21,1b a a b b a⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-⎩⎪=+⎪⎩ 综上所述：2,1,a b =⎧⎨=⎩或4,1.a b =-⎧⎨=-⎩【点睛】本题考查绝对值不等式、一元二次不等式、充要条件的综合运用，考查分类讨论思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.19．平面直角坐标系xOy 中，已知()10A -，，()21B ，，在ABC ∆中，AC 边上的中线所在直线的方程为1y =，BC 边上的高所在的直线斜率为12．（1）求直线BC 的方程；（2）求以AC 为直径的圆的标准方程．【答案】（1）250x y +-=；（2）22141()(1)416x y -+-=【解析】（1）根据BC 边上的高的斜率为12，可得直线BC 的斜率，再利用点斜式方程，求得直线BC 的方程；（2）求出点C 的坐标，再求,A C 的中点坐标，即为圆心坐标，再利用两点间距离公式求半径，进而得到圆的标准方程. 【详解】（1）因为BC 边上的高的斜率为12，所以直线BC 的斜率2-， 因为()21B ，，所以直线BC 的方程为12(2)y x -=--，即250x y +-=.（2）设00(,)C x y ，因为AC 边上的中线所在直线的方程为1y =， 所以000122y y +=⇒=， 由（1）得直线BC 的方程为250x y +-=，所以00032502x y x +-=⇒=，则3(,2)2C ， 所以圆心O 为AC 的中点，即1(,1)4O ，半径222141(1)1416r =++=，所以圆的方程：22141()(1)416x y -+-=. 【点睛】本题考查直线的方程、圆的标准方程求，考查方程思想的应用，求解时注意平面几何知识的应用，考查运算求解能力.20．已知直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆为等腰直角三角形，12AC BC AA ===．（1）求五面体111A B C BC 的体积；（2）若D 为AB 中点，E 为1AC 上一点，且DE P 平面1A BC ，求线段AE 的长度． 【答案】（1）83；（2）22【解析】（1）将五面体111A B C BC 看成一个四棱锥111A BB C C -，再求棱锥的体积，即可得到答案；（2）设AC 与1A C 相交于点O ，连结OB ，利用线面平行的性质定理，得到E 为AO 的中点，从而求得线段AE 的长度. 【详解】（1）因为五面体111A B C BC 为四棱锥111A BB C C -， 因为11111111111,,,AC B C AC CC B C CC C ⊥⊥⋂= 所以11A C ⊥平面11BB C C ， 所以11113BB C C V S AC =⋅⋅四边形184233=⋅⋅=. （2）设AC 与1A C 相交于点O ，连结OB ，因为//DE 平面1A BC ，DE ⊂平面ABO ，平面ABO ⋂平面1A BC BO =， 所以//DE BO ，因为D 为为AB 中点，所以E 为AO 的中点， 所以11222442AE AC ===.【点睛】本题考查多面体的体积计算、线面平行性质定理的运用，考查空间想象能力和运算求解能力，考查转化与化归思想的运用.21．已知1C e ：()2255x y ++=和点()1,3A -．（1）求过点A 且与1C e 相切的直线l 的方程；（2）设2C e 为1C e 关于直线l 对称的圆，则在x 轴上是否存在点P ，使得点P 到两圆2P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）250x y ++=； （2）()2,0P -或()10,0P .【解析】因为点A 在圆上，所以点A 是即是切点，利用切线性质即可求其斜率，写出方程（2）求出对称圆的方程，设x 轴上P 点坐标，利用半径和PC 2的距离，解出两个切线长，再用切线长之比解出结果. 【详解】（1）易知圆心()10,5C -，1C e 的半径15r = 因为点A 恰在1C e 上，所以点A 是即是切点，所以,3521C A k-+==，所以12l k =-． 故直线l 的方程为()1312y x +=--，即250x y ++=．（2）因为点A 恰为12C C 的中点，所以()22,1C -． 所以()()222215C x y =-++=e ．设(),0P a ，则2221525PC PC -=-①．或2221525PC PC -=-②． 由①得()2220224a a +=--，解得2a =-或10a =，所以()2,0P -或()10,0．由②得224220a aa -=+，此方程无解．综上，存在两点()2,0P -或()10,0P 符合题意． 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程的求法，圆的对称性，弦长公式，属于难题. 22．已知四棱锥E ABCD -的底面为直角梯形90DAB ∠=︒，AB CD ∥，AD CD ==122CE AB ==，EAB ∆是以AB 为底边的等腰直角三角形．（1）求证：CE AB ⊥；（2）若H 为EAD ∆的垂心，求二面角H EC B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）133133-【解析】（1）取AB 的中点O ，连结,OE OC ，证明AB ⊥平面EOC ，即可得到答案； （2）证明,,MN MO ME 两两互相垂直，再以M 为原点，,,MN MO ME 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求得两个面的法向量，进而求得二面角H EC B --的余弦值. 【详解】（1）取AB 的中点O ，连结,OE OC ， 因为EAB ∆是以AB 为底边的等腰直角三角形， 所以AB OE ⊥， 因为AD CD ==122CE AB ==，所以四边形AOCD 为正方形， 所以AB OC ⊥，又OC OE O ?，所以AB ⊥平面EOC ， 所以CE AB ⊥.（2）连结EH 并延长交AD 于N ，由（1）得CD CE ⊥，所以DE =AE =N 为AD 的中点，取CO 的中点为M ，连结,MN ME ，则以,,MN MO ME 两两互相垂直， 以M 为原点，,,MN MO ME 分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,1,0),(2,1,0)N E C B --，所以(2,1,0),(2,2,0)CE CN CB ===-u u u r u u u r u u u r，设1(,,)n x y z =u r 为面HEC的一个法向量，则110,0,0,20,n CE y n CN x y ⎧⎧⋅==⎪⎪⇒⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩u v u u u vu v u u u v取1,2,x y z ==-=，所以1(1,n =-u r ， 设2(,,)n x y z =u u r 为面BCE的一个法向量，则220,0,0,220,n CE y n CB x y ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩u u v u u u vu u v u u u v取1,1,x y z ===2n =u u r ，所以121212212cos ,133||||n n n n n n -+⋅<>===-u r u u r u r u u r u r u u r ，因为二面角H EC B --为钝二面角， 所以二面角H EC B --的余弦值为【点睛】本题考查空间中线面垂直、线线垂直的证明、向量法求二面角的大小，考查转化与化归思想的运用，考查空间想象能力和运算求解能力.。
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解：函数的定义域为 ， ，
则函数 为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，
当 时， ，排除A，
当 时， ，排除C，
故选：D.
【点睛】
本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。
7．如图 中， ， ， 平分线交△ABC的外接圆于点 ，设 ， ，则向量 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
A．45°B．60°C．120°D．135°
【答案】A
【解析】试题分析：根据题意，由于向量 ，故可知 ，故可知向量 的夹角为45°，故选A.
【考点】向量的数量积
点评：主要是考查了向量的数量积的运用，属于基础题．
3．若 ，则 ( )
A．1B． C． D．
【答案】C
【解析】先转化条件得 ，再化简原式 即可得解.
（3）当 ， （ ），则 在区间 上单调递增，取 ，则 ，所以 在区间 上单调递增， ，当 时， 恒成立，故 为函数 在区间 上的一个“转折点”，满足题意。
（4）当 ，令 ，解得： ，且 ,则 在区间 上单调递减，在 上单调递增，取 ，故 在 上恒成立，则 在区间 上单调递增，当 时， ，则 当 ， ，则 ，所以 为函数 在区间 上的一个“转折点”，满足题意。
【详解】
由题可得 ，则在 点处的切线的斜率 ， ，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为： ，
即切线 ，
令 ，
则 ，且
，且 ，
，
（1）当 时， ，则 在区间 上单调递增，所以当 ， ，当 ， ，则 在区间 上单调递减， ，在 上单调递增，
所以当 时， ，不满足题意，舍去，
（2）当 时， （ ），则 在区间 上单调递增，所以当 ， ，当 ， ，则 在区间 上单调递减， ，在 上单调递增， ，所以当 时， ，不满足题意，舍去，
【解析】根据 中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形 为菱形，所以 ．
【详解】
解：设圆的半径为 ，在 中， ， ，
所以 ， ， 平分线交 的外接圆于点 ，
所以 ，
则根据圆的性质 ，
又因为在 中， ，
所以四边形 为菱形，所以 ．
故选C．
【点睛】
本题考查了向量的平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力．属于中档题．
点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.
6．函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。
综述所述：实数 的取值范围为 ，
故答案选B
【点睛】
本题主要根据导数求函数的切线方程和函数单调性，判断函数的转折点，属于难题。
二、填空题
11．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是______，若 ，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】先转化出 ，再分别根据 、 即可求得a的范围.
【详解】
又 ，
， ， ，
又动点 满足 , ，
取点 ， ,
则直线 ，
当直线 与圆 相切时 满足 ,
解得 ，
的最大值为1.
故选：A.
【点睛】
本题综合考查了向量的线性运算、直线的斜率、圆的方程以及直线与圆相切，考查了转化化归和数形结合的思想，属于中档题.
9．已知函数 的定义域为 ， ，对任意的 满足 ，当 时，不等式 的解集为( )
， ，
若 则 ，
若 ，则 ,所以 .
故答案为： ， .
2020届浙江省杭州市中学高三上学期期中数学试题及答案解析版
一、单选题
1．若复数 满足 ，则 的虚部为( )
A． B． C．2D．
【答案】C
【解析】先计算出 ，再整理得 即可得解.
【详解】
即 ，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了复数的概念、复数的四则运算以及复数模的概念，属于基础题.
2．若 ， ，且 ，则向量 的夹角为（）
8．正方形 的边长为2，对角线 ， 相交于点 ，动点 满足 ，若 ，其中 ，则 的最大值是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解析】先以 为坐标原点，平行于边 为 轴，转化条件可得 ， ，再把 转化为点 与点 连线的斜率利用圆的切线性质即可得解.
【详解】
如图建系：
正方形 的边长为2， ， ，
设点 ， ，
10．已知函数 的图象在点 处的切线为 ，若函数 满足 （其中 为函数 的定义域，当 时， 恒成立，则称 为函数 的“转折点”，已知函数 在区间 上存在一个“转折点”，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据已知函数，求出切线方程，构造函数 ，求导，根据导数判断单调性，找出其转折点，并讨论 的取值范围。
即 ，
又 各项不为0，
，
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列的性质，要求学生具有转化问题的能力，属于基础题.
5．若变量 满足 ，则 的最大值是（）
A．4B．9C．16D．18
【答案】C
【解析】可行域为一个三角形 及其内部，其中 ，而 ，其中 为可行域内一点，因为 ，所以 的最大值是 选C.
（5）当 ， （ ），则 在区间 上单调递减，取 ，则 ，所以 在区间 上单调递减， ，当 时， 恒成立，故 为函数 在区间 上的一个“转折点”，满足题意。
（6）当 时， （ ），则 在区间 上单调递减，所以当 ， ，当 ， ，则 在区间 上单调递增， ，在 上单调递减，
所以当 时， ，不满足题意，舍去，
【详解】
，Байду номын сангаас
，
原式
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角函数的化简求值，考查了学生的计算能力，属于基础题.
4．已知各项不为0的等差数列 满足 ，数列 是等比数列且 ，则 等于( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据等差数列的性质转化条件得 ，再根据等比数列的性质可知 即可得解.
【详解】
， 为等差数列， 为等比数列，
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，结合条件可知当 ， 单调递增，当 ， 单调递减.转化条件 后即可得解.
【详解】
令 ，
，
又对任意的 满足 ，
当 ， ， ， 单调递增；
当 ， ， ， 单调递减.
又 ， ，
当 ， 即 的解集为 .
故选：B.
【点睛】
本题考查了导数的应用和三角恒等变换，要求学生具备一定的构造函数的能力，属于中档题.