函数的奇偶性在高等数学中的若干讨论
高等数学习题及解答(1)
一般班高数作业（上）第一章 函数1、试判断以下每对函数是不是同样的函数，并说明原因： （2） y sin(arcsin x) 与（6） yarctan(tan x) 与 y x ；（4）y x ；（8）y x 与 y x2；y f ( x) 与 xf ( y) 。
解：判断两个函数的定义域和对应法例能否同样。
（2） y sin(arcsin x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；（4） y x 2x ，两个函数同样；（6） y arctan(tan x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；（8） yf (x) 与 xf ( y) 定义域和对应法例都同样，所以两个函数同样。
2、求以下函数的定义域，并用区间表示：x 211（2） yx；（7） y ex x；（3） y 2 xarcsinln 1x解：（2） x [ 2,0) ；（3） x [1 e 2 ,0) (0,1 e 2 ] ；（7） x(0, e)(e,) 。
1 。
1 ln xf (x)x 2 1, x 03、设 1x 2, x ，求 f ( x) f ( x) 。
解：按 x 0 ， x 0 ， x 0 时，分别计算得， f (x)0 x 0f ( x)x 。
2 04、议论以下函数的单一性（指出其单增区间和单减区间） ：（2） y4xx2；（4） y x x 。
解：（2） y 4xx24 ( x 2) 2单增区间为 [0,2] ，单减区间为 [ 2,4] 。
（4） yx x2x x 0) 。
0 x ，定义域为实数集，单减区间为 ( ,5、议论以下函数的奇偶性：（2）f ( x) x x2 1 tanx ；（3）f (x) ln( x2 1 x)；（6） f ( x) cosln x ；1 x, x 0 （7） f (x)x, x 0。
1解：（2）奇函数；（3）奇函数；（ 6）非奇非偶函数；（ 7）偶函数。
6、求以下函数的反函数及反函数的定义域：2x), D f ( ,0) ；（） f ( x) 2x 1, 0 x 1（）。
函数的奇偶性的拓展运用.doc
函数的奇偶性的拓展运用函数的奇偶性是函数的重要性质Z—，也是每年高考的重点和热点内容Z—。
它在代数，三角函数以及高等数学中有着广泛的应用。
一、关于函数的奇偶性的定义高小代数新教材(上册)(以下称教材)第61页，定义如下：⑴一般地，如果对于函数/⑴ 的定义域内任意一个兀，都有，f(~x) = /(x),那么函数/(x)就称偶函数；⑵一般地，如果对于函数/(X)的定义域内任意一个兀，都有/(-%) = -/(%),那么函数/(兀)就称奇函数；定义说明：上述定义可等价地叙述为：对于函数/(兀)的定义域内任意一个兀：(1)/(-X)= /(x) O /(兀)是偶函数；(2)/(-X)= -/(%)»/ ⑴奇函数；理解定义是应用概念的前提，在教学中应注意引导学牛认识以下两点：⑴、定义中要求“对于函数于(兀)的定义域内任意一个，都有/(-兀)±/(兀)= 0”成立，可见/(切必有意义，即-x也局于/(Q的定义域，即自变量兀的取值要保持任意性。
于是有，奇(偶)函数的定义域是一个对称数集(在数轴上表示为关于原点对称的点集)。
如果将教材中函数/(x) = x2+l, f(x) = x的定义域分别改为疋与(-3,3],学生能很快判断出它们为非奇非偶函数。
也就是说：若一个函数的定义域不对称，则此函数不是奇(偶)函数，所以说，函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必耍不充分条件。
⑵、定义中的等式f(-x) = -f(x)(或f(-x) = f(x))是定义域上的恒等「1 ( X <1)式，而不是对部分兀成立。
如：函数f(x)= < 尽管当I x + l (x >1)<1时，都有/(-X)= /(X),但它并是非偶函数。
二、函数的奇偶性的几个性质①、对称性：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个兀都必须成立；③、可逆性：/(-X)= /(X)<=> /(X)是偶函数；/(一兀)=-f(x) O /(X)奇函数；④、等价性：/(-X)= f(x) o f(-x) - /(X)= 0/(-X)= -/(X)<=> /(-X)+ f(x) = 0⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称；⑥、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数乂是偶函数、非奇非偶函数。
《高等数学》函数考点精讲与例题解析
《高等数学》函数考点精讲与例题解析 第一部分 函数 极限 连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节 函 数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。
【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。
二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。
例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。
（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。
（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。
【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。
如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。
三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。
【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。
特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。
《高等数学教案》
《高等数学教案》word版第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）1.2 极限的概念与性质引入极限的概念探讨极限的性质与运算1.3 无穷小与无穷大定义无穷小与无穷大的概念比较无穷小与无穷大的大小关系1.4 极限的运算法则极限的加减乘除法则极限的复合函数法则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质引入导数的概念探讨导数的性质（单调性、极值等）2.2 导数的计算法则基本导数公式和、差、积、商的导数法则2.3 微分的方法与应用微分的概念与方法微分在近似计算与优化问题中的应用第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与性质引入泰勒公式的概念探讨泰勒公式的性质与应用3.2 微分中值定理的概念与证明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理微分中值定理的应用（导数与函数的极值关系等）第四章：积分与微分方程4.1 积分的基本概念与方法引入积分的概念探讨积分的方法（牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分等）4.2 微分方程的基本概念与方法引入微分方程的概念探讨微分方程的解法（常微分方程、线性微分方程等）第五章：线性代数基础5.1 向量的概念与运算定义向量的概念探讨向量的运算（加减、数乘、点积、叉积等）5.2 矩阵的概念与运算定义矩阵的概念探讨矩阵的运算（加减、数乘、转置、逆矩阵等）5.3 线性方程组的概念与解法引入线性方程组的概念探讨线性方程组的解法（高斯消元法、矩阵求逆法等）5.4 行列式的概念与性质定义行列式的概念探讨行列式的性质与计算方法第六章：概率论基础6.1 随机事件与概率定义随机事件与概率的概念探讨概率的计算（古典概率、条件概率、独立事件等）6.2 随机变量及其分布引入随机变量的概念探讨离散型随机变量与连续型随机变量的分布律6.3 期望与方差定义期望与方差的概念探讨期望与方差的计算及其性质第七章：线性代数进阶7.1 特征值与特征向量定义特征值与特征向量的概念探讨特征值与特征向量的计算及其应用7.2 二次型定义二次型的概念探讨二次型的标准型与判定定理7.3 线性空间与线性变换引入线性空间与线性变换的概念探讨线性变换的性质与计算第八章：常微分方程与应用8.1 常微分方程的基本概念定义常微分方程的概念探讨常微分方程的解法（分离变量法、积分因子法等）8.2 常微分方程的应用探讨常微分方程在物理、生物学等领域的应用8.3 线性微分方程组引入线性微分方程组的概念探讨线性微分方程组的解法与应用第九章：复变函数基础9.1 复数的基本概念与运算定义复数的概念探讨复数的运算（加减、乘除、共轭等）9.2 复变函数的概念与性质引入复变函数的概念探讨复变函数的性质（解析性、奇偶性等）9.3 复变函数的积分与级数探讨复变函数的积分（柯西积分定理、柯西积分公式等）探讨复变函数的级数（泰勒级数、洛朗级数等）第十章：实变函数与泛函分析初步10.1 实函数的基本概念与性质定义实函数的概念探讨实函数的性质（单调性、有界性等）10.2 泛函分析的基本概念引入泛函分析的概念探讨赋范线性空间与希尔伯特空间的基本概念10.3 赋范线性空间的基本定理探讨赋范线性空间中的基本定理（闭区间上的有界线性算子等）重点解析第一章：函数与极限重点：函数的概念与性质、极限的概念与性质、无穷小与无穷大、极限的运算法则。
高等数学教材中若干疑点的探究
美 微 …中没 有 给 出 初 等 函 数 的定 义 ， 由 同济 大 学 数 学 教 研 室 编 写 、 高等 教 育 出 版 社 出 版 例 如 ， 国经 典 《 积 分 》 的 《 等 数 学 》 材 是 全 国 工 科 院 校 各 专 业 以及 非 工 科 甚 至 也 没 有 给 出 基 本 初 等 函 数 的 定 义 ， 与 国 内 《 高 教 这 高等 、微 教 我 可 院校 的工 科 专 业 普遍 采 用 的 优 秀 教 材 ， 该教 材 是 在 樊 映 数 学 》 《 积 分 》 材 有 较 大 差 异 。 们 认 为 ， 以不 给 川 先生 等 编 写 的 《 等 数 学 讲 义 》３ 础 上 改 编 ， 已 有 出 初 等 函数 的定 义 ， 给 出基 本 初 等 函 数 的 定 义 （ 函 高 １基 １ 现 只 幂 了第 五 版 。 中 ， 书 第 二 版 在 １８ 其 该 ９ ７年 国 家 教 育 委 员 会 数 ， 指数函数 ， 对数 函数 ， 三角 函数和 反三角 函数统称 为 举 办 的 全 国 优 秀 教 材 评 选 中获 国家 教 委 一 等 奖 ； 书 第 基 本 初 等 函 数 ） 也便 于研 究 函 数 的 连续 性 等 。 该 ， ２ ２求 高 阶 导数 ．
比 ， 教 材 具 有 结 构 严 谨 、 辑 清 晰 、 述 详 细 、 俗 浅 （９ ， ６ ： 该 逻 叙 通 Ｐ９ 例 ）求对数 函数 Ｉ（ ＋ ） ｎ阶导数 。 ｎ １ ｘ的 显 、 题 较 多 、 于 自学 、 应 面 广 等 优 点 ， 受 广 大 高 例 便 适 深 校 师 生 和数 学 爱 好 者 的 喜 爱 ， 销 近 半 个 世 纪 ， 我 国 畅 是 发 行 量 最 大 、 响 最 广 的 高 校 数 学 教 材 之 一 。 然 该 教 影 虽 材 有 上 述 诸 多 优 点 ， 也 有 一 些 值 得 商 榷 的地 方 ， 文 但 本 就 教材 中初 等 函数 的 定 义 等 问题 进 行 探 讨 。
高等数学a上册教材
高等数学a上册教材高等数学A上册教材是大学数学专业学生必修的一门课程，主要涉及微积分、数列、级数等内容。
本教材的目标是帮助学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养其分析问题和解决问题的能力。
下面将从教材的结构和内容两个方面进行介绍。
一、教材结构高等数学A上册教材总共分为若干章节，每个章节涵盖了特定的数学概念和方法。
下面是各章节的简要介绍：1. 函数与极限：介绍函数的基本概念、性质和分类，以及极限的定义、性质和运算法则。
2. 导数与微分：讲解导数的定义、性质和运算规则，以及微分中值定理和导数应用等内容。
3. 微分中值定理与导数应用：探讨微分中值定理的变形和应用，以及导数与函数图形的关系。
4. 不定积分：系统介绍不定积分的定义、性质和基本积分公式，以及不定积分的简单应用。
5. 定积分及其应用：讨论定积分的概念、性质和计算方法，以及定积分在几何和物理中的应用。
6. 微分方程：介绍一阶微分方程的基本概念、解法和应用。
二、教材内容1. 函数与极限：本章节首先介绍了函数的定义和性质，包括奇偶性、周期性、单调性等。
然后引入极限的概念，包括数列的极限、函数的极限以及无穷小与无穷大。
最后讨论了极限的运算法则和极限不存在的情况。
2. 导数与微分：本章节主要介绍了导数的定义和计算方法，包括基本初等函数的导数、导数的四则运算、复合函数的导数等。
同时阐述了导数的几何意义和物理应用，如切线斜率和速度等。
此外，还介绍了微分的概念和微分的计算方法。
3. 微分中值定理与导数应用：本章节首先介绍了拉格朗日中值定理和柯西中值定理的形式和应用场景。
然后讨论了导数与函数图形的关系，包括函数的单调性、极值和凹凸性等。
最后介绍了泰勒展开式及其应用领域。
4. 不定积分：本章节系统介绍了不定积分的定义、性质和基本积分公式，包括常数积分、幂函数积分、三角函数积分和指数函数积分等。
同时介绍了换元积分法和分部积分法，并通过例题演示了不定积分的求解方法。
浅谈对称性和奇偶性在积分学中的应用
.
２ ∫
５
２
解
Ｄ
２
Ｄ
２
２
１
１
Ｄ
１
－１
ｘ２
－１
Ｄ
４
例 ４ 设区域 Ｄ ＝ { ( ｘꎬｙ) ｜ ｘ２ ＋ ｙ２ ≤ １ꎬｘ ≥ ０} ꎬ计算
１ ＋ ｘｙ
二重积分 Ｉ ＝
ｄｘｄｙ. (２００６ 年考研题)
１
＋
ｘ２ ＋ ｙ２
Ｄ
１ ＋ ｘｙ
分析 因为 Ｄ 关于 ｘ 轴对称ꎬ被积函数
Ｄ
Ｄ
１
１
＝
ｄｘｄｙ
２
２ ｄｘｄｙ ＋ ０ ＝ ２
２
１
＋
ｘ
＋
ｙ
１
＋
ｘ
＋ ｙ２
Ｄ
Ｄ
∬
∬
∬
∬
＝ ２
＝
∫ ｄθ∫
０
π
２
１
０
∬
∬
１
π
ｒｄｒ ＝ ２
２
１ ＋ ｒ２
１
∫
１
０
１
１
ｄ(１ ＋ ｒ２ )
２ １ ＋ ｒ２
π
ｌｎ２( 其中 Ｄ１ 为 Ｄ 在第一限象部分) .
２
专 题 研 究
１２８
ａ
０
∫
ａ
－ａ
∫
ａ
－ａ
ａ
０
∫ ｆ( － ｘ) ｄｘ ＋
Ｄ
２ ｆ( ｘꎬｙ) ｄｘｄｙꎬ当 ｆ( － ｘꎬｙ) ≡ ｆ( ｘꎬｙ) 时ꎬ
Ｄ１
其中 Ｄ１ ＝ { ( ｘꎬｙ) ∈ Ｄꎬｘ ≥ ０} .
(２) 若 Ｄ 关于 ｘ 轴( ｙ ＝ ０) 对称ꎬ则
高等数学课程改革的若干思考
数学 》 ，这本书叙述 简明易懂 ，易于教学，也适合文科学生 学习，从而 实现 了真 正意义上 的分层 次教 学。
２ 深化课堂教学改革
课 堂教学是学 生学习高等数 学的重要环节 ，高等数学 的 教学对象都是 刚入 学的新生 ，对 高等数学 的课堂特 点认识不 足，往往一个 学期下来才知道 高等数学该如何学 习。所 以老 师在学期开始 第一节课就应 该给 学生分析大 学课 堂的特点 ， 高等数学授课 的特 点和学 习 目标 ，高等数学 该如 何学 习等 ， 让学生尽快适应高等数学的课堂教学 。
如今世界 已经进 入崭新 的经济 时代 ，为 了适应 时代的发
了非常便利的条件 。文科专业 的选用 了燕列雅主编 的 《 大学
展 ，培养 出高素质的人才 ，高等数学几乎成 为所有本科生 的 必修课 ，而 高等数学课程 的改革是老师们 一直 在探索和研 究 的一个 问题 。通过高等数学 的学习 ，可 以培养 学生的理性 思
的 理 性 思 维 ，使 学 生 从 学 生 中体 会 数 学 方 法 的特 点 ， 培 养 学
生具有一定 的数学 素质 ，实现文 理平 衡 。经过高等数 学教学
团队的调研和讨 论，最终给理科 学生选用 了吴赣 昌主编的高
同
等数学课程改革 的若干思考
庞琳娜
（ 广西师范大学数 学与 】文章从 多方面多层 次思考深化 改革高等数 学课程 的改革 ，真 正提 高教 学效 果。
函数的奇偶性与对称性研究
函数的奇偶性与对称性研究函数的奇偶性和对称性是高等数学中的一个重要概念，它们对于研究函数的性质和性质之间的关系具有重要的指导作用。
本文将对函数的奇偶性和对称性进行探讨，并说明它们在不同数学领域和实际问题中的应用。
1. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内满足某种对称关系。
具体而言，如果函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
奇函数的特点在于曲线关于坐标原点对称，即如果(x, y)为曲线上的点，则(-x, -y)也为曲线上的点。
相反，偶函数的特点在于曲线关于y轴对称，即如果(x, y)为曲线上的点，则(-x, y)也为曲线上的点。
在实际问题中，奇函数和偶函数的性质常常可以简化问题的分析和求解过程，如对称性的应用可以减少计算量和推导步骤。
例如，在对称图形的面积、重心和质心等问题中，通过利用函数的奇偶性和对称性，可以将问题简化为计算某个部分的面积或质心，然后根据对称性得到整个图形的性质。
2. 函数的对称性函数的对称性是指函数的图像或曲线在某个特定轴线上满足某种对称关系。
常见的函数对称性包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
关于x轴对称的函数具有特点：如果(x, y)为函数图像上的点，则(x, -y)也为函数图像上的点。
这种对称性常常存在于椭圆函数、二次函数等曲线图像中。
关于y轴对称的函数具有特点：如果(x, y)为函数图像上的点，则(-x, y)也为函数图像上的点。
这种对称性常常存在于正弦函数、余弦函数等曲线图像中。
关于原点对称的函数具有特点：如果(x, y)为函数图像上的点，则(-x, -y)也为函数图像上的点。
这种对称性常常存在于指数函数、对数函数等曲线图像中。
3. 奇偶性与对称性的应用举例奇偶性和对称性不仅在数学领域有广泛应用，也在物理、工程等实际问题的分析中发挥着重要作用。
以下是一些具体的例子：3.1 函数的简化通过利用函数的奇偶性和对称性，可以将复杂的函数化简为简单的形式。
高等数学习题及解答 (1)
普通班高数作业（上）第一章 函数1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由： （2）)sin(arcsin x y =与x y =； （4）x y =与2x y =；（6）)arctan(tan x y =与x y =； （8）)(x f y =与)(y f x =。
解：判断两个函数的定义域和对应法则是否相同。
（2）)sin(arcsin x y =定义域不同，因此两个函数不同； （4）x x y ==2，两个函数相同；（6）)arctan(tan x y =定义域不同，因此两个函数不同；（8）)(x f y =与)(y f x =定义域和对应法则都相同，因此两个函数相同。
2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（2）xx x y -+=2； （3）x y x -+=1ln arcsin 21； （7）xey xln 111-+=。
解：（2）)0,2[-∈x ；（3）]1,0()0,1[22--⋃-∈e e x ； （7）),(),0(+∞⋃∈e e x 。
3、设⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=0,10,1)(22x x x x x f ，求)()(x f x f -+。
解：按0>x ，0=x ，0<x 时，分别计算得，⎩⎨⎧=-≠=-+0200)()(x x x f x f 。
4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）： （2）24x x y -=； （4）x x y -=。
解：（2）22)2(44--=-=x x x y 单增区间为]2,0[，单减区间为]4,2[。
（4）⎩⎨⎧≥<-=-=002x x x x x y ，定义域为实数集，单减区间为),(+∞-∞。
5、讨论下列函数的奇偶性：（2）x x x x f tan 1)(2+-=； （3）)1ln()(2x x x f -+=；（6）x x f ln cos )(=； （7）⎩⎨⎧≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。
浅谈学习函数奇偶性应注意的几个问题
浅谈学 习函数奇 偶性 应注意 的几个 问题
郜红苏 河北省 武安市第五 中学 河北 武安市 ０ ６ ０ ５３０
摘 要 ： 文在 阐述 函数 奇偶 性 的 基础 上 ， 尽 地 论 述 了 学 习 时应 注 意 的 六 点 内容 ：． 本 详 １函数 定 义 域 Ｍ 关 于原 点 对
反例 ： 以原点 为圆心 的单位 圆 ＋ ２１ 它 的图象关 ｙ ， ＝ 于原点对称 ，又关 于Ｙ 轴对称 ，可 ＋ １ ＝ 并不具 有奇偶
性。 Βιβλιοθήκη 然而 ， 这样 的两个结论 是正确 的： （） １＿个 函数若 它的 图象关 于原 点对称 ， 则这个 函 数是奇 函数 。 （） ２ 一个 函数若它 的图象关 于ｖ 轴对称 ， 则这个 函数 是偶 函数 ， 由对称性质 和函数奇偶 性定义可得 。 这 那么 ， 前后两个 问题 的区别是 什么呢？ 通过 比较 ，我们不难 发现后 者指 明 了所 论 曲线 是
函数 的奇偶 性是 函数 的一 大特性 。利 用奇偶 函数 图象的对称性 ， 以用 来简化作 图。此 外 ， 可 在高 等数学 中也有着 十分广泛 的应 用 ，如傅 立 叶级 数 的奇数 展开
式 、 数展开式 中 ， 偶 主要 就利用 函数奇偶 性省去 许多计 算， 简化题 目， 而可 以快速解题 。 从 那 么我们 就来探 讨下面两个 问题 ： １ ． 函数的奇偶性 ？ 义 中应特别注意几点 ？若 何为 定 按奇 、 偶性 函数 可划 分为几类？ ２所谓 函数ｙｆｘ 是奇 函数 ， 指对 于 函数ｙｆ ｘ ． ＝（） 是 ＝（ ）
称是 函数为奇 为偶 的必要条件 ； ． 于奇偶 函数 图象问题 ： ２关 奇函数 的 图象关 于坐标原 点对称 ， 函数 的 图象 关于ｙ 偶
学习函数奇偶性应注意的几个问题
义域一定是关于原点对称 的区间。否则 函数为
例 ５讨论函数 ） 的单调性。 ． ＋
例１ ． 判断函数．ｘ＝ ｇ ｘ １的奇偶性。 ， ） ｏ＝ 一 ） （ ｌ （
解： 解不 等式 一 ＞ １ ０得到 ． ） 的定 义域为 ｛ｌ ｌ ， ｘ ＞ ｝因其定 义域不关 于原点对称 ， 函数 ｘ 故 ） 为非奇非偶 函数。
２奇 函数 ．
３偶 ．
ｌａ －＋ Ｊ ） ＋ ／ ｏ （ｘ Ｖ＂￣ （ 、 ｇ ＂
０所 以 ， ） ， （ 不是奇函数。
当然也有学生用旋转的方法来区分 ， 但是 碍 了蛋壳的旋转 ； 白和蛋黄在这里是起着“ 蛋 刹 后， 相对船的位置不再改变 ， 在船上 的记号 办法 ， 这样
不是奇 函数。 ， ． ） （ ＝ （ ＋、 雨 ｒ） （ ＋ （ ） 叫 ／ ＋ ） ）
如函 数 ＝
Ｉ Ｘ ｌ Ｘ＜Ｕ 一
－
２ 鹊昔 ＝
３ ＜ ） ｆｘ ＝
、 ／
＝
因为，０ ＿ ≠ （） １
（ 案 ：． 奇非偶 函数 答 １ 非
函数 ）
解： 函数 的定义域是 （ ∞， ） ０ ＋ 一 ０ ｕ（ ， ∞）
・ ． ．
２ ． 函数 ） 区间 ａｂ （＜ ） 若奇 在 、 ］０ ６ 上有
、
奇（ ） 偶 函数定义的特征
奇（ ） 偶 函数定义指 出 ： 函数定 义域 内的 对
任一个 都有
非奇非偶 函数 。
） ＝
最小值 ｎ则 在区 ， 一 ，口上 在 义 上（） ） （ ＋ ） 最大值 ｍ， ／最小值为一 ） 间［ｂ－ ］ 定 域 ＿ ＋ ＝ 击 争＋ ， （ 的最大值为一／ ， ， ｍ； ３偶 函数． ） 区间 ［、 ］ ［ｂ 一 ｊ０ ． 在 ０ ｂ ，－ ，０ （ ＜ ） － ｘ ２ｘ ）故定 （ ＋） ｑ － ） ）， （ ： 击 争
高等数学1 奇偶校验
高等数学1 奇偶校验
奇偶校验是一种常用于数据传输中的错误检测方法。
它通过对数据中的位进行统计，来确定传输过程中是否发生了奇数个位的错误。
在高等数学1中，奇偶校验通常是指对二进制数中的每一位进行检查。
在奇偶校验中，假设有一个长度为n的二进制数据，其中有k 个位被置为1。
进行奇偶校验时，在数据的最后一位添加一个校验位。
如果k是偶数，则校验位为0；如果k是奇数，则校验位为1。
这样，传输的数据就有(n+1)位，其中1的个数一定是偶数，方便在接收端进行错误检测。
例如，对于数据1011101，其中有4个1。
根据奇偶校验规则，在最后一位添加一个校验位，得到10111010。
这样，传输的数据就有8位，其中1的个数是偶数，可以通过检查校验位得知传输中是否存在错误。
在接收端，会对接收到的数据进行奇偶校验。
如果传输中没有发生错误，则校验位与数据中的1的个数应该一致。
否则，就可以判断传输中发生了错误，并进行相应的错误纠正或重传操作。
奇偶校验是一种简单有效的错误检测方法，广泛应用于串行通信和存储器等领域。
高中数学课程内容主线——函数(可编辑修改word版)
高中数学课程内容主线（一）——函数主线20 世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。
克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。
以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。
”高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。
函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。
在高中阶段，如何认识函数的作用？如何把握函数的内容？如何进行函数的教学？学生学完高中课程，在函数的学习中，应留下什么？每一个高中数学教师都应该认真思考这些问题。
1.对函数的认识（1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型把函数看作是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，通过探索，理解可以用变量与变量之间的依赖关系反映自然规律，这是我们认识现实世界的重要视角。
在现实生活中，在其他学科中，有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，一般地说，速度和湿度就没有依赖关系；有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个变量的变化。
例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化。
又如，世界人口数量是随着时间的变化而变化的。
这些对象的变量之间都有着密切的依赖关系，而且，这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一个变量取定一个值时，依赖于这个变量的另一个变量具有唯一确定的值。
函数的奇偶性在高等数学中的若干讨论
函数的奇偶性在高等数学中的若干讨论作者：刘太岗王春华来源：《教育教学论坛》2016年第09期摘要：介绍了函数奇偶性的定义和图形特征，分析了奇偶函数的性质，并讨论了函数奇偶性在高等数学中的若干应用。
关键词：函数；奇偶性；高等数学中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）09-0169-02函数是高等数学的主要研究对象，奇偶性是函数的基本性质之一。
函数的奇偶性在高等数学中有着十分广泛的应用，如利用奇偶函数图形的对称性缩减函数作图的步骤、利用被积函数的奇偶性化简定积分的计算以及奇偶函数的麦克劳林级数和傅里叶级数的展开都可简化。
一、函数奇偶性的定义定义：设函数f（x）的定义域D关于原点对称。
若？坌x∈D，恒有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数；若？坌x∈D，恒有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数。
例如，y=cosx是偶函数，y=sinx是奇函数。
由定义易知：①常函数y=C是偶函数，特别地，当C=0时，即常函数y=0既是奇函数也是偶函数；②偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称；③偶函数在对称区间上具有相反的单调性，奇函数在对称区间上具有相同的单调性；④奇函数f（x）若在x=0处有定义，则f（0）=0。
二、奇偶函数的性质（一）奇偶函数的四则运算设所考虑函数的定义域关于原点对称，且不恒取零值，则有以下结论成立：两个奇函数的和（或差）为奇函数；两个奇函数的积（或商）为偶函数；两个偶函数的和（或差）为偶函数；两个偶函数的积（或商）为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的和（或差）既非奇函数也非偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积（或商）为奇函数。
（二）奇偶函数的反函数1.偶函数在定义域内不存在反函数；2.奇函数若在定义域内存在反函数，则其反函数也必为奇函数。
（三）奇偶函数的复合函数设函数y=f [g （x）]是由函数y=f（u）和u=g（x）复合得到，且它们的定义域均关于原点对称，则有以下结论成立：1.若y=f（u）和u=g（x）都是奇函数，则y=f [g （x）]是奇函数；2.若y=f （u）和u=g（x）至少有一个是偶函数，则y=f [g （x）]是偶函数。
积分上限函数奇偶性进一步探讨
积分上限函数奇偶性进一步探讨
作者：孟丽君
来源：《都市家教·上半月》2016年第05期
【摘要】本文在已有积分上限函数奇偶性结论的基础上，推广出更为一般的奇偶性性质，进而介绍此结论的运用。
【关键词】积分上限函数；奇偶性
四、结语
定理4可以使我们更深刻的理解积分上线函数，同时为我们解题带来了极大的便利。
参考文献：
[1]同济大学应用数学系.高等数学（第7版）[M].北京：高等教育出版社，2014.
[2]王少英，王淑云.积分上限函数的性质及其应用[J].唐山师范学院学报，2008（9），20-22.
[3]张辉，景慧丽.积分上限函数相关问题的探讨[J].高等数学研究，2010（11），27-30.
[4]张宇.高等数学18讲[M].北京：北京理工大学出版社，2015.
作者简介：
孟丽君（1983～），女，山西晋城人，汉族，研究生在读，讲师，数学方向。
复合函数奇偶性的判断方法
复合函数奇偶性的判断方法复合函数是高等数学中的重要概念，而判断复合函数的奇偶性是解决数学问题时经常会遇到的一个问题。
本文将介绍复合函数奇偶性的判断方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用复合函数的性质。
首先，我们来回顾一下奇函数和偶函数的定义。
一个函数f(x)是奇函数，当且仅当对于任意x，都有f(-x)=-f(x)成立；一个函数g(x)是偶函数，当且仅当对于任意x，都有g(-x)=g(x)成立。
接下来，我们将介绍复合函数的奇偶性判断方法。
假设f(x)是一个奇函数，g(x)是一个偶函数，我们来看复合函数h(x)=f(g(x))的奇偶性。
首先，我们来看h(-x)的表达式。
根据复合函数的定义，h(-x)=f(g(-x))。
由于g(x)是偶函数，所以g(-x)=g(x)，于是h(-x)=f(g(x))。
接着，我们来看-h(x)的表达式。
根据奇函数的定义，-f(x)=-f(-x)，所以-h(x)=-f(g(x))。
综合上面两个式子，我们可以得出结论，如果f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，那么复合函数h(x)=f(g(x))是奇函数。
同样地，如果f(x)是偶函数，g(x)是偶函数，那么复合函数h(x)=f(g(x))是偶函数。
如果f(x)是奇函数，g(x)是奇函数，那么复合函数h(x)=f(g(x))是偶函数。
最后，如果f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，那么复合函数h(x)=f(g(x))是奇函数。
通过以上的推导，我们可以得出结论，复合函数的奇偶性与组成它的函数的奇偶性有密切的关系。
在判断复合函数的奇偶性时，我们可以根据组成它的各个函数的奇偶性来进行推导，从而得出最终的结论。
需要注意的是，以上的结论是建立在f(x)和g(x)都有定义域的情况下。
如果f(x)和g(x)的定义域有限制，那么在判断复合函数的奇偶性时，需要考虑定义域的限制条件。
综上所述，复合函数奇偶性的判断方法是一种基于组成函数奇偶性的推导方法。
奇偶函数的三角函数
奇偶函数的三角函数奇偶函数是我们学习高等数学中常见的一个概念，它在三角函数中也有着重要的应用。
在本文中，我们将深入探讨奇偶函数在三角函数中的应用，以及如何运用奇偶性质简化三角函数的表达式。
一、奇偶函数的定义在数学中，若函数$f(x)$满足$f(x)=-f(-x)$，则称函数$f(x)$为奇函数。
而若函数$f(x)$满足$f(x)=f(-x)$，则称函数$f(x)$为偶函数。
简单来说，奇函数在关于原点对称的图像上对称，而偶函数在关于y轴对称的图像上对称。
例如，$f(x)=x$就是一个奇函数，因为它在关于原点对称的图像上对称；而$f(x)=x^2$就是一个偶函数，因为它在关于y轴对称的图像上对称。
二、三角函数的奇偶性质对于三角函数，我们也可以通过奇偶性质来简化它们的表达式。
具体来说，正弦函数和正切函数是奇函数，而余弦函数是偶函数。
这个结论是很容易证明的。
我们可以用三角恒等式来证明正弦函数是奇函数：$$\sin(-x)=-\sin x$$证毕，因此正弦函数是奇函数。
同样地，我们可以用正弦函数和余弦函数的定义式来证明余弦函数是偶函数：$$\cos(-x)=\frac{\mathrm{adj}}{\mathrm{hypo}}=\frac{\cosx}{\mathrm{hypo}}=\cos x$$证毕，因此余弦函数是偶函数。
至于正切函数，我们可以用正弦函数和余弦函数的定义式来证明它是奇函数：$$\tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tanx$$证毕，因此正切函数是奇函数。
三、奇偶性质的应用知道了三角函数的奇偶性质，我们就可以用它们来简化三角函数的表达式了。
下面是一个简单的例子：$$\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x$$我们可以用余角公式来证明这个等式。
首先，我们有：$$\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\sin\frac{\pi}{2}\cos x-\cos\frac{\pi}{2}\sin x=\cos x$$因为正弦函数和余弦函数在关于y轴对称的图像上相互对称，所以$\sin(\frac{\pi}{2}-x)$可以等效为$\cos x$。
奇偶函数的极限和连续性
奇偶函数的极限和连续性奇偶函数是高等数学中经常出现的一类特殊函数，它们具有一些非常有趣的性质，比如关于其极限和连续性的问题。
本文将围绕这一主题展开讨论。
一、定义与性质先来看一下奇偶函数的定义：设$f(x)$是定义在$\mathbb{R}$上的函数，如果对于任何$x$，有$f(-x)=-f(x)$，那么就称$f(x)$是奇函数。
如果对于任何$x$，有$f(-x)=f(x)$，那么就称$f(x)$是偶函数。
然后，我们来看一下奇偶函数的一些性质：1.奇函数与偶函数的和是奇函数，奇数与偶数的积是偶函数，两个奇函数的积是偶函数。
2.奇函数的图像是关于原点对称的，偶函数的图像是关于$y$轴对称的。
3.奇函数的积分在区间$[-a,a]$上为$0$，偶函数的积分在区间$[-a,a]$上是偶数倍的区间$[0,a]$上的积分。
有了这些性质，我们就可以更加深入地了解奇偶函数。
二、极限的性质极限是数学中非常基础的一个概念，也是我们研究函数性质时经常用到的一个工具。
下面我们来探讨一下奇偶函数的极限性质。
1.奇函数的极限对于$x\to 0$，如果$f(x)$是奇函数，那么有$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}\to 0$，即$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$。
证明：由于$f(x)$是奇函数，所以$f(-x)=-f(x)$。
则有\begin{align*}\frac{f(x)+f(-x)}{2}&=\frac{f(x)-f(x)}{2}=0,\end{align*}所以$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=0$。
这个结论的意义在于：如果$f(x)$是奇函数，那么在$x\to 0$时，它的函数值趋近于$0$，而不会无限趋近于正或负无穷。
2.偶函数的极限对于$x\to 0$，如果$f(x)$是偶函数，那么有$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$，即$f(x)=f(-x)$，所以$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=f(0)$。
《应用高等数学(第2版)》(胡桐春) 第1章 3 基本初等函数
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f (x) ≤ M
如果不存在这样的正数 M，则称函数 f (x)
为在 I 上的无界函数 .
例如： f(x)sin x在(-, +)上是有界的: |sin x|1.
几类基本初等函数
常数函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数
几类基本初等函数
1. 常数函数 y c (c是常数)
常数函数的主要性质： （1）偶函数 （2）有界
几类基本初等函数 2. 幂函数 y x (是常数)
y
y x2
1
yx y x
(1,1)
y 1 x
o1
x
几类基本初等函数
3. 指数函数 y a x (a 0, a 1)
y (1)x a
y ax
y ex
ｅ=2.71828…
• (0,1)
(a 1)
几类基本初等函数
4. 对数函数 y loga x (a 0,a 1)
设函数f(x)的定义域为D. 如果存在一个不为零的数 l,使得对于任一 xD有(xl)D, 且 f(x+l)f(x), 则称f(x)为周期函数, l 称为f(x)的周期.
• 周期函数的图形特点
例如，常见的周期函数为三角函数。 通常说的函数周期是指它的最小正周期。
(4)函数的有界性 设函数 f (x) 在区间 I 上有定义，若存在一个正 数 M ，当 x I 时，恒有
（2）周期 T
（3）在区间
2
k ,
2
k
(k Z)
上单调增加；
几类基本初等函数 5. 三角函数
余切函数 y cot x
（1）奇函数
（2）周期 T
（3）在区间
(k，(k 1)) (k Z)
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函数的奇偶性在高等数学中的若干讨论
作者：刘太岗王春华
来源：《教育教学论坛》2016年第09期
摘要：介绍了函数奇偶性的定义和图形特征，分析了奇偶函数的性质，并讨论了函数奇偶性在高等数学中的若干应用。
关键词：函数；奇偶性；高等数学
中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2016）09-0169-02
函数是高等数学的主要研究对象，奇偶性是函数的基本性质之一。
函数的奇偶性在高等数学中有着十分广泛的应用，如利用奇偶函数图形的对称性缩减函数作图的步骤、利用被积函数的奇偶性化简定积分的计算以及奇偶函数的麦克劳林级数和傅里叶级数的展开都可简化。
一、函数奇偶性的定义
定义：设函数f（x）的定义域D关于原点对称。
若？坌x∈D，恒有f（-x）=f（x），则称f（x）为偶函数；若？坌x∈D，恒有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数。
例如，
y=cosx是偶函数，y=sinx是奇函数。
由定义易知：①常函数y=C是偶函数，特别地，当C=0时，即常函数y=0既是奇函数也是偶函数；②偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称；③偶函数在对称区间上具有相反的单调性，奇函数在对称区间上具有相同的单调性；④奇函数f（x）若在x=0处有定义，则f（0）=0。
二、奇偶函数的性质
（一）奇偶函数的四则运算
设所考虑函数的定义域关于原点对称，且不恒取零值，则有以下结论成立：
两个奇函数的和（或差）为奇函数；两个奇函数的积（或商）为偶函数；两个偶函数的和（或差）为偶函数；两个偶函数的积（或商）为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的和（或差）既非奇函数也非偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积（或商）为奇函数。
（二）奇偶函数的反函数
1.偶函数在定义域内不存在反函数；
2.奇函数若在定义域内存在反函数，则其反函数也必为奇函数。
（三）奇偶函数的复合函数
设函数y=f [g （x）]是由函数y=f（u）和u=g（x）复合得到，且它们的定义域均关于原点对称，则有以下结论成立：
1.若y=f（u）和u=g（x）都是奇函数，则y=f [g （x）]是奇函数；
2.若y=f （u）和u=g（x）至少有一个是偶函数，则y=f [g （x）]是偶函数。
（四）奇偶函数的导数
设函数f（x）在其定义域上可导，则有以下结论成立：
1.若f（x）是奇函数，则f ′（x）是偶函数；
2.若f（x）是偶函数，则f ′（x）是奇函数。
即求导改变函数的奇偶性。
（五）奇偶函数的原函数
1.若f（x）是连续的奇函数，则其所有的原函数均为偶函数；
2.若f（x）是连续的偶函数，则其必有一个原函数为奇函数。
特别地，设f（x）是在对称区间[-a，a]，上连续，？覬（x）=f（t）dt，x∈[-a，a]，则有以下结论成立：
3.若f（x）是奇函数，则？覬（x）是偶函数；
4.若f（x）是偶函数，则？覬（x）是奇函数。
三、函数的奇偶性在高等数学中的应用
（一）奇偶函数在定积分中的应用
设f（x）是在对称区间[-a，a]上连续，则有以下结论成立：
1.若f（x）是奇函数，则f（x）dx=0；
2.若f（x）是偶函数，则f（x）dx=2f（x）dx。
（二）奇偶函数在重积分中的应用
设二重积分I=f（x，y）dxdy，则有以下结论成立：
1.若积分区域D关于y轴对称，则
（i）当f（x，y）关于x为奇函数时，即f（-x，y）=-f（x，y），有I=0；
（ii）当f（x，y）关于x为偶函数时，即f（-x，y）=f（x，y），有I=2f（x，y）dxdy，其中D1={（x，y）|（x，y）∈D，x≥0}；
2.若积分区域D关于x轴对称，则
（i）当f（x，y）关于y为奇函数时，即f（x，-y）=-f（x，y），有I=0；
（ii）当f（x，y）关于y为偶函数时，即f（x，-y）=f（x，y），有I=2f（x，y）dxdy，其中D1={（x，y）|（x，y）∈D，y≥0}。
设三重积分I=f（x，y，z）dxdydz，则有以下结论成立：
①若积分区域Ω关于xOy坐标面对称，则
（i）当f（x，y，z）关于z为奇函数时，即f（x，y，-z）=-f（x，y，z），有I=0；
（ii）当f（x，y，z）关于z为偶函数时，即f（x，y，-z）=f（x，y，z），有
I=2f（x，y，z）dxdydz，其中Ω1={（x，y，z）|（x，y，z）∈Ω，z≥0}；
②当积分区域Ω关于yOz坐标面对称，且被积函数f（x，y，z）关于x有奇偶性，或当积分区域Ω关于zOx坐标面对称，且被积函数f（x，y，z）关于y有奇偶性时有完全类似的结论，本文不再赘述。
（三）奇偶函数在第一类曲线积分中的应用
设第一类曲线积分I=f（x，y）ds，则有以下结论成立：
1.若积分曲线L关于y轴对称，则
（i）当f（x，y）关于x为奇函数时，即f（-x，y）=-f（x，y），有I=0；
（ii）当f（x，y）关于x为偶函数时，即f（-x，y）=f（x，y），有I=2f（x，y）ds，其中L1={（x，y）|（x，y）∈L，x≥0}；
2.若积分曲线L关于x轴对称，则
（i）当f（x，y）关于y为奇函数时，即f（x，-y）=-f（x，y），有I=0；
（ii）当f（x，y）关于y为偶函数时，即f（x，-y）=f（x，y），有I=2f（x，y）ds，其中L1={（x，y）|（x，y）∈L，y≥0}。
本文只讨论了平面曲线的积分，空间曲线的积分有完全类似的结论。
（四）奇偶函数在第一类曲面积分中的应用
设第一类曲面积分I=f（x，y，z）dS，则有以下结论成立：
1.若积分曲面∑关于xOy坐标面对称，则
（i）当f（x，y，z）关于z为奇函数时，即f（x，y，-z）=-f（x，y，z），有I=0；
（ii）当f（x，y，z）关于z为偶函数时，即f（x，y，-z）f（x，y，z），有
I=2f（x，y，z）dS，其中∑1={（x，y，z）|（x，y，z）∈∑，z≥0}。
2.当积分曲面∑关于yOz坐标面对称，且被积函数f（x，y，z）关于x有奇偶性，或当积分曲面∑关于zOx坐标面对称，且被积函数f（x，y，z）关于y有奇偶性时有完全类似的结论，本文不再赘述。
（五）奇偶函数在级数展开中的应用
设函数f（x）在x=0处可以展开为麦克劳林级数，则有以下结论成立：
1.若f（x）是奇函数，则其麦克劳林级数展开式中只含有x的奇次幂项，即
f（x）=x+x+…+x+…；
2.若f（x）是偶函数，则其麦克劳林级数展开式中只含有x的偶次幂项，即
f（x）=f （0）+x+…+x+…。
设函数f（x）在区间[-π，π]上可以展开成傅里叶级数，则有以下结论成立：
①若f（x）是奇函数，则其傅里叶级数展开式中只含有正弦项，即
bsinnx，其中系数b=f（x）sinnxdx（n=1，2，…）；
②若f（x）是偶函数，则其傅里叶级数展开式中只含有余弦项，即
+acosnx，其中系数a=f（x）cosnxdx（n=0，1，2，…）。
四、结语
奇偶性是研究函数性态的重要知识，在高等数学中应用十分广泛.本文对奇偶函数的有关结论进行较为全面的归纳总结，以促进学生对奇偶函数的认识和理解，提高其解题能力。
参考文献：
[1]吴赣昌.高等数学（理工类第四版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.。