七年级平行线与三角形培优辅导
三角形与平行线-七年级培优较难题
一、三角形与平行线七年级下学期综合题(二)11 如图, AB ∥CD , 点P 为一个动点, 下面四个图形中点P 相对于A 、B 、C 、D 四点的位置不同, 那么∠APC 与∠P AB , ∠PCD 的关系是否也不同, 请你分别探讨, 写出你的结论, 并对每一个结论说明理由.12。
已知, 如图, 射线CB ∥OA, ∠C=∠OAB, 点E 、F 在CB 上, 且满足∠FOB=∠AOB, OE 平分∠COF.(1) 若∠C=100°, 求∠EOB 的度数.(2) 若平行移动AB, 其它条件不变, 那么∠OBC:∠OFC 的值是否发生变化? 若变化, 找出变化规律, 若不变, 求出这个比值.(3) 在平行移动AB 的过程中, 若∠OEC=∠OBA, 则有①COEAOB ∠∠为定值; ②OAB OEB ∠∠ 为定值, 其中有一个结论是正确的, 找出正确结论并求该定值.13。
已知, 如图, 直线AB ∥CD, 直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F 两点, EM 、FN 分别平分∠BEF 、∠CFE.(1) 求证: EM ∥FN;(2) 如图, ∠DFE 的平分线交EM 于G 点, 求∠EGF 度数;(3) 如图∠BEG 、∠DFG 的平分线交于H 点, 试问: ∠H 与∠G 的度数是否存在某种特定的等量关系? 证明你的结论, 并根据结论猜想: 若∠BEH 、∠DFH 的平分线交于K点, ∠K与∠G 度数关系,请是,说明理由。
14 已知直线a ∥b, 点A 在直线a 上, 点B 、C 在直线b 上.(1) 如图, 求证: ∠1+∠2+∠3=180°.(2) 如图, 点D 在线段BC 上, 且恰有AB 平分∠MAD, AC 平分∠NAD,若∠DEC=(x+z)°, 且x 、z 满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++90z 91y 90x 890z 91y 90x 890z y x 222, 求证: ∠1=∠2.(3) 若点F 为线段AB 上不与A 、B 重合的一动点, 点H 在AC 上, FQ 平分∠AFD 交AC于Q, 设∠HFQ=y °, (此时点D 为线段BC 不与点B 、C 重合的任一点), 问当α、β、y 之间满足怎样的等量关系时, FH ∥a. (如图)1415 探究下列问题:在下列三个图形中, 已知∠ABC =2°, ∠θ=90°.(1) 在图(a )中, ∠α1=∠β1, 试求∠A 的度数;(2) 在图(b )中, ∠α1=∠β1, ∠α2=∠β2, 试求∠A 的度数;(3) 在图(c )中, ∠α1=∠β1, ∠α2=∠β2, …, ∠αn =∠βn (n 为大于1的自然数), 试推出∠A 的度数x 与n 的关系式.M N16如图,所示△ABC是三块平面镜.已知: 入射光线EF经平面镜AC反射成光线FG, 满足∠EFC=∠AFG. (其余光线经平面镜反射类同)(1) 如图1, 若EF∥AB, FG∥BC, ∠A=70°, 则∠B的度数为;(2) 如图2, 光线EF经平面镜AC反射成FG, 再经平面镜AB反射成GF(∠GEB≠∠FEC), 若∠A=80°, 求∠FEG的度数;(3) 如图3, 若光线EF∥AB, FG∥BC, FG经平面镜AB反射成GH, GH∥AC, GH经平面镜BC反射成HD, 问HD是否平行于AB? 若平行, 请画出HD, 并证明; 若不平行,请说明理由.17两条平行直线上各有n个点, 用这n对点按如下规则连接线段: ①同一直线上的点之间不连接, ②连接的任意两条线段可以有共同的端点, 但不得有其他的交点.(1) 画图说明当n=1, 2, 3时, 连接的线段最多各有多少条?(2) 由(1) 猜想n(n为正整数)对点之间连接的线段最多有多少条, 证明你的结论;(3) 当n=2009时, 所连接的线段最多有多少条?(4) 试猜想当n对点时, 按上述规则画出的图形中, 最少有多少个三角形?(5) 当n=2009时, 按上述规则画出的图形中, 最少有多少个三角形?18如右图, 一个直角△ABC的木框和一个端点为O且可任意调整角度的直尺, 其中∠ACB=90°, ∠A=α.(1) 如图, 调整角尺, 使角尺的一边OD垂直于AB, 另一边OE经过直角顶点C, 与AB交于E点, 若∠DOE=45°, α=30°, 求∠BCE;(2) 如图, 使角尺的一边OD垂直于边AB, 另一边OE搭在直角边AC上, 调整此时的角度, 使∠DOE=∠A, 延长BC交OE于F, 作FG平分∠CFE交AC于G, 请判断此时FG与AB的位置关系, 并证明你的结论;(3) 如图, 使角尺的两边分别与△ABC的两边垂直, 即OD⊥AC于D, OE⊥AB交BA的延长线于E, ∠DOE与∠ACB的平分线交于点P. 是否存在一个α, 使∠P=α? 若存在, 请求出α的值; 若不存在, 请说明理由.19。
7年级数学几何培优提高专题3:平行线与三角形中的几何推理与探索专题
七年级下册几何复习专题三、平行线与三角形中的几何推理与探索专题考点1:说理填空1=∠2=∠3,完成说理过程并注明理由:(1)因为∠1=∠2所以 ____∥____ ( ) (2)因为 ∠1=∠3所以 ____∥____ ( )例2.如图:已知AB ∥CD ,∠1=∠2.说明BE ∥CF. 因为 AB ∥CD所以 ∠ABC =∠DCB ( ) 又 ∠1=∠2所以 ∠ABC -∠1=∠DCB -∠2 即 ∠EBC =∠FCB所以 BE ∥CF ( )例3.填空:如图,AD ⊥BC 于D ,EG ⊥BC 于G ,∠E =∠1,可得AD 平分∠BAC .理由如下:∵AD ⊥BC 于D ,EG ⊥BC 于G ( ) ∴∠ADC =∠EGC = 90°( )∴AD ∥EG ( ) ∴∠1 = ( ) = ∠3 ( )又∵∠E = ∠1( ) ∴∠2 =∠3( ) ∴AD 平分∠BAC (角平分线的定义 ).EDC B A G 321例4.已知:如图4,AD ∥BE ,∠1=∠2,求证:∠A =∠E .例5.已知,如图,∠1=1320,∠ACB =480,∠2=∠3,FH ⊥AB 于H ,问AB 与CD 是 否垂直?并说明理由。
图 931BC A ED 2图25-3ABCD E 例6.如图, AD ∥BC , AD 平分∠EAC,你能确定∠B 与∠C 的数量关系吗?请说明理由。
例7.如图,△ABC 中,∠A =400,把△ABC 纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 内部的A '处时,求∠1+∠2的度数,并说明理由。
例8.如图,已知直线AB ∥CD,求∠A+∠C 与∠AEC 的大小关系并说明理由.例9.已知:△ABC 中,AD ⊥BC ,AE 平分∠BAC ,请根据题中所给的条件,解答下列问题:(1)如图25-1,若∠BAD=600,∠EAD=150,则∠C= 度,(2)如图25-2,若∠BAD=620,∠EAD=220,则∠C= 度, (3)通过以上的计算你发现∠EAD 和∠C —∠B 之间的关系应为:∠C —∠B= ∠EAD ;(4)在图25-3的△ABC 中,∠C>∠B ,那么(3)中的结论仍然成立吗?为什么?图25-1CD E BA图25-2ABE D C 1D 2AECBA'1图 8例10.实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.(1)如图,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射.若被b 反射出的光线n 与光线m 平行,且∠1=50°,则∠2= °,∠3= °.(2)在(1)中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °.(3)由(1)、(2),请你猜想:当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时,可以使任何射到平面镜a 上的光线m ,经过平面镜a 、b 的两次反射后,入射光线m 与反射光线n 平行.你能说明理由吗?例11.如图11,直线AC BD ∥,连结AB ,直线AC BD ,及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点P 落在某个部分时,连结PA PB ,,构成PAC ∠,APB ∠,PBD ∠三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0角.) (1)当动点P 落在第①部分时,求证:APB PAC PBD ∠=∠+∠;(2)当动点P 落在第②部分时,APB PAC PBD ∠=∠+∠是否成立(直接回答成立或不成立)?(3)当动点P 在第③部分时,全面探究PAC ∠,APB ∠,PBD ∠之间的关系,并写出动点P 的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.321nmba A BC D①② ③A BC D P① ②③ ④A BC D ① ② ③ ④ 图11④。
初一数学下寒假培优训练讲义--平行线
初一数学寒假培优训练一(余角 , 补角以及三线八角 , 平行线的判定)一、考点讲解:1.余角:如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角.2.补角:如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为补角.3.对顶角:如果两个角有公共顶点,并且它们的两边互为反向延长线,这样的两个角叫做对顶角.4.互为余角的有关性质:① ∠ 1+∠ 2=90 °,则∠ 1. ∠ 2 互余.反过来,若∠1,∠ 2 互余.则∠ 1+∠ 2=90○.②同角或等角的余角相等,如果∠l 十∠ 2=90○,∠ 1+∠ 3= 90 ○,则∠ 2= ∠ 3 .5.互为补角的有关性质:○互补,反过来,若∠ A. ∠ B互补,则∠ A+∠ B=180 ○①若∠ A +∠B=180 则∠ A. ∠B .②同角或等角的补角相等.如果∠ A +∠ C=18 0○,∠ A+∠ B=18 0 °,则∠ B=∠ C.6.对顶角的性质:对顶角相等.二、互为余角 . 互为补角 . 对顶角比较项目定义性质图形两个角和等于 90 (直角)互余角同角或等角的余角相等11 2 902两个角和等于 180 (平角)互补角同角或等角的补角相等21 2 180 1两直线相交而成的一个角两边对顶角相等对顶角1 2分别是另一角两边反向延长线 1 2三、经典例题剖析:例 1.如图所示, AOB是一条直线,AOC 90 , DOE 90 ,问图中互余的角有哪几对?哪些角是相等的?CD1 2 3 E4A O B(例 1).练习:1. 如图所示, AOE 是一条直线,AOBCOD 90 ,则 (1)如果1 30 ,那么 2,3=。
( 2)和1 互为余角的角有和1相等的角有例 2. ∠ 1 和∠ 2 互余,∠ 2 和∠ 3 互补,∠ 1=63○,∠ 3=_ _ 练习:1. 如果一个角的补角是 150○,那么这个角的余角是 _________2. ∠ 1 和∠ 2 互余,∠ 2 和∠ 3 互补,∠ 3=153○,∠ l=_例 3. 若∠ l=2 ∠ 2,且∠ 1+∠ 2=90○则∠ 1=___,∠ 2=___. 练习:1. 一个角等于它的余角的 2 倍,那么这个角等于它补角的()A.2倍B.1倍 C.5 倍D.1倍25还少452.已知一个角的余角比它的补角的,求这个角。
第十四讲培优相交线、平行线与三角形辅导2
第十讲七年级几何总复习------相交线、平行线、三角形与多边形【知识要点】相交线与平行线(一)相交线1、垂线的定义及其性质(1)定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就叫这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.(2)性质:①在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②从直线外一点到这条直线的所有线段中,垂线段最短2、点到直线的距离:从该点到这条直线的垂线段的长度.3、同位角、内错角、同旁内角的特征(二)平行线1、平行线的定义与平行公理(1)平行线:在同一平面内,两条不相交的直线叫做平行线(2)平行公理:经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行2、平行线的识别方法(1)同位角相等,两直线平行(2)内错角相等,两直线平行(3)同旁内角互补,两直线平行(4)同一平面内,垂直于同一直线的两直线互相平行(5)平行于同一直线的两直线互相平行3、平行线的特征(1)两直线平行,同位角相等(2)两直线平行,内错角相等(3)两直线平行,同旁内角互补4、与平行线有关的性质(1)一个角的两边与另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补(2)两条平行线被第三条直线所截,一组同位角的角平分线互相平行(3)两条平行线被第三条直线所截,一组内错角的角平分线互相平行(4)两条平行线被第三条直线所截,一组同旁内角的角平分线互相垂直(5)一组邻补角的角平分线互相垂直三角形(一)三角形及有关概念1、三角形:由不共线的三条线段首尾顺次连接而成的图形叫做三角形2、三角形的边、顶点、内角、外角以及三角形的符号表示法3、三角形三边关系:三角形任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边4、三角形的分类:(1)按边分(2)按角分(二)与三角形有关的线段1、三角形的角平分线:三角形的一个角的平分线与对边相交,该角顶点到交点之间的线.(三角形的三条角平分线交于三角形内部一点)2、三角形的中线:从三角形的一个顶点到对边中点之间的线段(三角形的三条中线交于三角形内部一点)3、三角形的高:从三角形的一个顶点向对边引垂线,顶点到垂足之间的线段(锐角三角形的三条高交于三角形内部一点,直角三角形的三条高交于三角形的直角顶点,钝角三角形的三条高的延长线交于三角形外部一点)(三)与三角形有关的角1、三角形内角和定理:三角形三个内角之和为180°;直角三角形两锐角互余。
(完整版)七年级数学培优-平行线四大模型
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义,如果平面内的两条直线不相交,就可以判断这两条直线平行,但是,由于直线无限延伸,检验它们是否相交有困难,所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行,这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行.判定方法l:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简称:同位角相等,两直线平行.判定方法2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简称:内错角相等,两直线平行,判定方法3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简称:同旁内角互补,两直线平行,如上图:若已知∠1=∠2,则AB∥CD(同位角相等,两直线平行);若已知∠1=∠3,则AB∥CD(内错角相等,两直线平行);若已知∠1+ ∠4= 180°,则AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).另有平行公理推论也能证明两直线平行:平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.2、平行线的性质利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以判定两条直线平行.反过来,如果已知两条直线平行,当它们被第三条直线所截,得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系,这就是平行线的性质.性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简称:两直线平行,同位角相等性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简称:两直线平行,内错角相等性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简称:两直线平行,同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧,在AB、CD内部“铅笔”模型结论1:若AB∥CD,则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°;结论2:若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°,则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型(M模型)点P在EF左侧,在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP+∠CFP;结论2:若∠P=∠AEP+∠CFP,则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧,在AB、CD外部“臭脚”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;结论2:若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧,在AB、CD外部“骨折”模型结论2:若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明(1)已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°.(2)已知∠P=∠AEP+∠CFP,求证AE∥CF.(3)已知AE∥CF,求证∠P=∠AEP-∠CFP.(4)已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1(1)如图,a∥b,M、N分别在a、b上,P为两平行线间一点,那么∠l+∠2+∠3= .(2)如图,AB∥CD,且∠A=25°,∠C=45°,则∠E的度数是.(3)如图,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE =140°,则∠BCD= .(4) 如图,射线AC∥BD,∠A= 70°,∠B= 40°,则∠P= .练(1)如图所示,AB∥CD,∠E=37°,∠C= 20°,则∠EAB的度数为.(2) 如图,AB∥CD,∠B=30°,∠O=∠C.则∠C= .例2如图,已知AB ∥DE ,BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ,求∠C 、 ∠F 的关系.练如图,已知AB ∥DE ,∠FBC =n 1∠ABF ,∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ; (2)若n =3,试探宄∠C 、∠F 的关系;(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 (用含n 的等式表示).例3如图,已知AB ∥CD ,BE 平分∠ABC ,DE 平分∠ADC .求证:∠E = 2 (∠A +∠C ) .练如图,己知AB ∥DE ,BF 、DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ,求∠C 、∠F 的关系.例4如图,∠3==∠1+∠2,求证:∠A+∠B+∠C+∠D= 180°.练(武昌七校2015-2016 七下期中)如图,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于E,AE⊥DE,∠l+∠2= 90°,M、N分别是BA、CD的延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为().A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图,直线AB∥CD,∠EF A= 30°,∠FGH= 90°,∠HMN=30°,∠CNP= 50°,则∠GHM= .练如图,直线AB∥CD,∠EFG =100°,∠FGH =140°,则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°,∠BCD=45°,∠CDE =30°,∠E=l0°,求证:AB∥EF.练已知AB∥EF,求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l),已知MA1∥NA n,探索∠A1、∠A2、…、∠A n,∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系.(2)如图(2),己知MA1∥NA4,探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4,∠B1、∠B2之间的关系.(3)如图(3),已知MA1∥NA n,探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系.如图所示,两直线AB∥CD平行,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.。
七年级数学培优辅导十三
第十三讲相交线、平行线、相交线1、垂直的定义:两条直线相交所形成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足.用符号“丄”表示,如图,直线AB、CD互相垂直,记作“ AB丄CD于点0” .注意:(1)垂直是两条直线相交的一种特殊情况,它反映的是两条直线的位置关系;(2)线段、射线的垂直特指它们所在的直线垂直垂直的判定:J/ BOC=90°,「. AB丄CD;垂直的性质:J AB丄CD,:/ AOC=90°2、垂线段的定义:过直线外一点作已知直线的垂线,这一点与垂足连接而成的线段叫垂线段3、点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.4、垂线的性质:(1)在同一平面内,经过直线外或直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短5、垂线的画法:用三角板(一靠二过三画)、量角器、尺规作图6、两条直线被第三条直线所截,构成了八个角,简称“三线八角”如图:直线AB、CD被直线EF所截或直线EF截直线AB、CD于点M、N.直线EF就是第三条直线叫做截线,AB、CD叫做被截线.7、同位角、内错角、同旁内角同位角:在截线同侧,在被截线同方向;内错角:在截线两侧,在被截线的内部;同旁内角:在截线同侧,在被截线的内部注意:(1)同位角、内错角、同旁内角是“两条直线被第三条直线所截”形成的八个角中,没有公共顶点的两个角的位置关系;(2)判断同位角、内错角、同旁内角时,首先要判断截线和被截线:两个角都有一边在这条直线上,那么这条直线就是被截线(公共边)二、平行线1、两条直线的位置关系:同一平面内,两条不重合的直线的位置关系只有两种:相交或平行.2、平行线:在同一平面内,不相交(没有公共点)的两条直线叫做平行线. A ______________ 如图:直线AB、CD互相平行,记作:AB// CD. ___________ 注意:(1)同一平面;(2)不相交是指没有交点;(3)线段、射线平行特指线段、射线所在直线平行3、平行线的性质(1)平行公理:经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.(2)平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行4、平行线的识别(1)同位角相等,两直线平行.(J/仁/ 5,二AB / CD)(2)内错角相等,两直线平行.(J/ 4= / 5,二AB / CD)(3)同旁内角互补,两直线平行.(J/ 3+/5=180 °,: AB / CD)(4)垂直于同一直线的两直线平行.(J CD丄AB,EF丄AB,CD / EF)(5)平行线的定义.(6)平行公理推论.(J a / b,a / c,••• b/ c)5、平行线的性质:nA O BDCBD2 1F(1)两直线平行,同位角相等.(J AB / CD• / 2= /6)(2) 两直线平行,内错角相等.(J AB/ CD• / 3= /6)2、F(3)两直线平行,同旁内角互补 .(J AB // CD •••/ 4+Z 6=180 ° )注意:判断线段或射线的垂直或平行,就是判断它们所在直线垂直或平行※典例剖析【例5】如图,已知/ E = Z F ,/ E = Z BAD ,AD 是/ BAC 的平分线吗为什么※培优训练1、 如图一,Z 1=65°,Z C=65°,Z ADC=115°, 则图中的平行线有 _______________________________ .2、 女口图二,若Z 1 = ______________ ,贝U DE / AC ; 若Z 1= _____ ,贝U EF / BC,若Z FED+ ______ =180°,【例1】如图,图中有 _____ 对同位角,分别是 ___________________________ . 图中有 对内错角,分别是 _________________________________________________ . 图中有 对同旁内角,分别是 ________________________________________________ . 【例2】如图,/ 1和/ 2是直线 ________ 和 _____ 被直线 _____ 所截得的 _______ / 2和/ 3是直线 _______ 和 _____ 被直线 ______ 所截得的 _________ 角; / 4和/ A 是直线 ______ 和 _____ 被直线 _____ 所截得的 _________ 角. 【例3】如图,AB 丄CD,垂足为O , OE 是一条射线,OF 平分/ BOC, / AOE=35°,求/ EOF 的度数.【例 4】如图,AB / DE ,Z B=135°,Z D=145 求/ C 的度数.角; AADE贝U DE// AC;若/ 2+ _____ =180°,贝U AB// DF.3、如图三,若AB// CD,则根据 ________________________________________ ,可得/ 2= ______ ;若AD// BC,根据_____________________________________ ,可得/ DAB+ ______ =180 ° .4、如图,已知/ B=62 °,/ 3=30 °,/ 4=88 ° , AB与CD平行吗AD与BC平行吗说明理由5、如图,已知AC// DE, / D= 70 ° CD平分/ ACE,求/ E的度数.6、如图,已知:/ 1 = / 2,Z A=Z C,请猜想/E与/ F的关系,并说明你的理由※能力拓展题组一:1、占八、、A、题组如图,直线CD EF、GH交于一点P,直线M、N,则图中共有内错角().4对平面内有36条B、8 对C、10 对5条直线两两相交,其中仅有B、33 条C、24 条AB 交EF、GH 于D、12 对3条直线经过同一点,则它们彼此截得的线段共有(D、21条D2、F1、如图,已知 AB // CD, / B = Z C.求证:CE// BF2、如图,已知 AB // CD, AE 平分Z BAC , CE 平分Z ACD.求证:AE 丄CE.题组三: 1、如图,已知 AB // CD, 过点P 的直线交HF 于点 2、如图,已知 AB // CD, EF 交AB 、CD 于点G 、H ,点P 是为HD 上一动点,O. 求证:Z HOP=Z AGF-Z HPO. -EAB - ECD Z EAF=4 , Z ECF=4 .求证: 3_/ AFC=4AECC。
七年级数学人教版下册培优训练 平行线与三角板以及折叠类问题的综合习题
2020-2021学年人教版七年级数学下册培优训练平行线与三角板以及折叠类问题的综合一.选择题1.如图,将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上,若∠1=60°15′,则∠2的大小为()A.60°15′B.39°45′C.29°85′D.29°45′2.如图,已知平行线a,b,一个直角三角板的直角顶点在直线a上,另一个顶点在直线b 上,若∠1=70°,则∠2的大小为()A.15°B.20°C.25°D.30°3.如图,已知m∥n,将含30°的直角三角板如图放置,若∠1=40°,则∠2=()A.40°B.30°C.20°D.10°4.如图,直线a∥b∥c,直角三角板的直角顶点落在直线b上.若∠1=35°,则∠2等于()A.115°B.125°C.135°D.145°5.如图,长方形ABCD(四个角都是90°)沿AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果∠BAF=50°,则∠DAE等于()A.20°B.25°C.30°D.40°6.如图,将长方形纸片ABCD沿GH折叠,点C落在点Q处,点D落在AB边上的点E 处,若∠GHC=110°,则∠AGE等于()A.55°B.45°C.40°D.25°7.如图,将一副三角板按如图放置,∠BAC=∠DAE=90°,∠B=45°,∠E=60°,则下列结论正确的有()个.①∠1=∠3;②∠CAD+∠2=180°;③如果∠2=30°,则有AC∥DE;④如果∠2=30°,则有BC∥AD.A.4B.3C.2D.18.一副直角三角尺叠放如图1所示,现将45°的三角尺ADE固定不动,将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动,使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图2:当∠CAE =60°时,BC∥DE.则∠CAE(0°<∠CAE<180°)其它所有可能符合条件的度数为()A.75°和105°B.90°和135°C.90°,105°和150°D.90°,120°和150°二.填空题9.如图,一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线11,l2上,已知∠C是直角,则∠1+∠2的度数等于.10.如图,已知a∥b,直角三角板的直角顶点在直线a上,若∠1=30°,则∠2等于.11.一副三角板按如图所示放置,AB∥DC,则∠CAE的度数为.12.如图,把一把直尺放在含30度角的直角三角板上,量得∠1=56°,则∠2的度数是.13.如图,将一副三角板按如图所示放置,∠CAB=∠DAE=90°,∠C=45°,∠E=30°,则下列结论中:①∠1=∠3=45°;②若AD平分∠CAB,则有BC∥AE;③若AB平分∠DAE,则有BC∥AE;④若∠3=2∠2,则∠C=∠4;其中结论正确的选项有.三.解答题14.如图1是一张长方形的纸带,将这张纸带沿EF折叠成图2,再沿BF折叠成图3.(1)若∠DEF=20°,请你求出图3中∠CFE度数;(2)若∠DEF=a,请你直接用含a的式子表示图3中∠CFE的度数.15.一副直角三角尺叠放如图1所示,现将45°的三角尺ADE固定不动,将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动,使两块三角尺至少有一组边互相平行.如图2:当角∠CAE=60°时,BC∥DE.求其它所有可能符合条件的角∠CAE(0°<∠CAE<180°)的度数,画出对应的图形并证明.16.在一副三角板ABC和DEF中,点C与F重合,∠ACB=∠D=90°,∠A=30°,∠E =45°.(1)如图①,若AB∥CD,求∠DCB的度数,并说明理由;(2)如图②,若点B在CD上时,判断DE与AC的位置关系,并说明理由;(3)如图③,若AB∥EC,求∠DCB的度数,并说明理由.17.综合与实践.问题情境:如图1,是一副三角尺,三角尺ABC中,∠C=90°,∠A=∠B=45°,三角尺DEF中,∠F=90°,∠D=30°,∠E=60°.数学活动课上,同学们用一副三角尺展开了探究活动,同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度,和探究一些角之间的数量关系.如图2,将两个三角尺如图摆放,使点A与点F重合,点E在AC上,AB与DE相交于点G,求∠BGD的度数.智慧小组的解法如下:解:过点G作GH∥DF∵GH∥DF∴∠D=∠HGD(依据1)∵∠C+∠DFE=90°+90°=180°∴BC∥DF又∵GH∥DF∴GH∥BC(依据2)∴∠B=∠BGH∴∠BGD=∠BGH+∠HGD=∠B+∠D=45°+30°=75°反思交流:(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:依据1:;依据2:;(2)如图3,将两个三角尺如图摆放,使点C与点F重合,点A在DF上,点E在BC 上,AB与DE相交于点G,请用平行线的知识求∠AGD的度数.(3)如图4,将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上,使AB∥MN,三角尺DEF的顶点E也在直线MN上,DF与AB相交于P,则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系?说明理由.参考答案一.选择题1.解:如图,由直尺两边平行,可得:∠1=∠3=60°15',∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣60°15'=29°45',故选:D.2.解:∵a∥b,∠1=70°∴∠3=70°,∵直角三角板的直角顶点在直线a上,∴∠2=90°﹣∠3=20°,故选:B.3.解:∵∠C=90°,∠1=40°,∴∠3=180°﹣∠C﹣∠1=50°,∵m∥n,∴∠4=∠3=50°,∵∠A=30°,∴∠2=20°,故选:C.4.解:如图所示,∵a∥b,∴∠3=∠1=35°,又∵∠3+∠4=90°,∴∠4=55°,∴∠5=180°﹣∠4=125°,又∵b∥c,∴∠2=∠5=125°,故选:B.5.解:根据翻折不变性设∠DAE=∠F AE=x度,又∵∠BAF=50°,∠BAD=90°,∴x+x+50°=90°,解得x=20∴∠EAD=20°.故选:A.6.解:∵AD∥BC∴∠DGH+∠GHC=180°,且∠GHC=110°∴∠DGH=70°∵将长方形纸片ABCD沿GH折叠,∴∠DGH=∠EGH=70°∴∠AGE=180°﹣∠DGH﹣∠EGH=40°故选:C.7.解:∵∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∴∠1=∠3,故①正确;∵∠CAD+∠2=∠1+∠2+∠3+∠2=90°+90°=180°,故②正确;∵∠2=30°,∴∠1=60°=∠E,∴AC∥DE,故③正确;∵∠2=30°,∴∠3=60°≠∠B,∴BC与AD不平行,故④不正确;故选:B.8.解:当AC∥DE时,∠CAE=∠E=90°;当BC∥AD时,∠CAE=180°﹣∠C﹣∠DAE=180°﹣30°﹣45°=105°;当BC∥AE时,∵∠EAB=∠B=60°,∴∠CAE=∠CAB+∠EAB=90°+60°=150°;故选:C.二.填空题9.解:如图,∵AD∥BE,∴∠DAB+∠ABE=180°,又∵∠C是直角,∴∠CAB+∠ABC=90°,∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°,故答案为:90°.10.解:给各角标上序号.∵∠1+∠3+∠4=180°,∠1=30°,∠3=90°,∴∠4=60°.∵a∥b,∴∠2=∠4=60°.故答案为:60°.11.解:由图可知,∠1=45°,∠2=30°,∵AB∥DC,∴∠BAE=∠1=45°,∴∠CAE=∠BAE﹣∠2=45°﹣30°=15°,故答案为:15°.12.解:∵把一把直尺放在含30度角的直角三角板上,∴a∥b,∴∠1=∠3=56°,∴∠4=180°﹣∠3=180°﹣56°=124°,∴∠5=360°﹣∠4﹣90°﹣30°=360°﹣124°﹣90°﹣30°=116°,∴∠2=∠5=116°,故答案为:116°.13.解:①如图,∵∠CAB=∠DAE=90°,即∠1+∠2=∠3+∠2+90°;∴∠1=∠3≠45°,故①不正确;②∵AD平分∠CAB∴∠1=∠2=45°,∵∠1=∠3∴∠3=45°,又∵∠C=∠B=45°,∴∠3=∠B∴BC∥AE;故②正确;③∵AB平分∠DAE,∴∠2=∠3=45°∴∠3=∠B,∴BC∥AE;故③正确;④∵∠3=2∠2,∠1=∠3,∴∠1=2∠2,∠1+∠2=90°,∴3∠2=90°,∴∠2=30°,∴∠3=60°,又∠E=30°,设DE与AB交于点F,则∠AFE=90°,∵∠B=45°,∴∠4=45°,∴∠C=∠4.故④正确.故答案为②③④.三.解答题14.解:(1)∵长方形对边AD∥BC,∴CF∥DE,∴图1中,∠CFE=180°﹣∠DEF=180°﹣20°=160°,∵长方形对边AD∥BC,∴∠BFE=∠DEF=20°,∴图2中,∠BFC=160°﹣20°=140°,由翻折的性质得,图3中∠CFE+∠BFE=∠BFC,∴图3中,∠CFE+20°=140°,∴图3中,∠CFE=120°.(2)∵长方形对边AD∥BC,∴CF∥DE,∴图1中,∠CFE=180°﹣∠DEF=180°﹣a,∵长方形对边AD∥BC,∴∠BFE=∠DEF=a,∴图2中,∠BFC=180°﹣2a,由翻折的性质得,图3中∠CFE+∠BFE=∠BFC,∴图3中,∠CFE+a=180°﹣2a,∴图3中,∠CFE=180°﹣3a.15.解:当AC∥DE时,如图所示:则∠CAE=∠E=90°;当BC∥AD时,如图所示:则∠CAE=180°﹣∠C﹣∠DAE=180°﹣30°﹣45°=105°;当BC∥AE时,∵∠EAB=∠B=60°,∴∠CAE=∠CAB+∠EAB=90°+60°=150°;综上所述:∠CAE的度数为90°或105°或150°.16.解:(1)∵AB∥CD,∴∠DCB=∠ABC=60°.(2)DE∥AC.理由如下:∵∠CDE=∠ACB=90°,∴DE⊥CD,AC⊥BC,∵CD与CB重合,∴DE⊥BC,AC⊥BC,∴DE∥AC;(3)∵AB∥EC,∴∠ABC=∠BCE=60°,又∵∠DCE=45°,∴∠DCB=∠BCE﹣∠DCE=15°.17.解:(1)依据1:两直线平行,内错角相等;依据2:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行.故答案为:两直线平行,内错角相等;如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也平行;(2)过点G作GH∥DF,如图2所示,∴∠HGA=∠CAG=45°,∠HGD=∠D=30°,∴∠AGD=∠HGA﹣∠HGD=45°﹣30°=15°;(3)∠DEM﹣∠DPB=30°,理由如下:过点D作DH∥MN,如图3所示,则∠HDE=∠DEM,∵AB∥MN,∴DH∥AB,∴∠HDP=∠DPB,∵∠HDE﹣∠HDP=∠EDF,且∠EDF=30°,∴∠DEM﹣∠DPB=30°.。
第1章 平行线 全章复习与巩固(培优篇) 浙教版数学七年级下册基础知识讲与练(含答案)
专题1.22 平行线(全章复习与巩固)(培优篇)(专项练习)一、单选题1.如图所示,若∠1=∠2=45°,∠3=70°,则∠4等于( )A.70°B.45°C.110°D.135°2.图,C是直线AB上一点,CD⊥AB,EC⊥CF,则图中互余的角的对数与互补的角的对数分别是()A.3,4B.4,7C.4,4D.4,53.如图,直线AB、CD相交于点E,DF∥AB.若∠AEC=100°,则∠D等于( )A.70°B.80°C.90°D.100°4.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,P为直线AB上一动点,连接PC,则线段PC的最小值是( )A.3B.2.5C.2.4D.25.如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的3倍少20°,那么这两个角是( )A.50°、130°B.都是10°C.50°、130°或10°、10°D.以上都不对6.如图,已知,于点,,,则的度数是()A.B.C.D.7.如图,已知长方形纸片ABCD,点E和点F分别在边AD和BC上,且∠EFC=37°,点H和点G分别是边AD和BC上的动点,现将点A,B,C,D分别沿EF,GH折叠至点N,M,P,K,若MN PK,则∠KHD的度数为( )A.37°或143°B.74°或96°C.37°或105°D.74°或106°8.如图,∠1=70°,直线a平移后得到直线b,则∠2-∠3()A.70°B.180°C.110°D.80°9.将一副三角板按如图放置,则下列结论①;②如果,则有;③如果,则有;④如果,必有,其中正确的有()A.①②③B.①②④C.③④D.①②③④10.将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形,并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中,则没有覆盖的阴影部分的周长为()A.16B.24C.30D.40二、填空题11.如图,已知,,,则___度.12.如图,已知AD//BC,BD平分∠ABC,∠A=112°,且BD⊥CD,则∠ADC=_____.13.如图,A、B、C表示三位同学所站位置,C同学在A同学的北偏东方向,在B 同学的北偏西方向,那么C同学看A、B两位同学的视角______.14.如图,已知AD∥CE,∠BCF=∠BCG,CF与∠BAH的平分线交于点F,若∠AFC 的余角等于2∠B的补角,则∠BAH的度数是_____.15.如图,已知A1B AnC,则∠A1+∠A2+…+∠An等于__________(用含n的式子表示).16.如图,已知AB∥CD,点E,F分别在直线AB,CD上点P在AB,CD之间且在EF 的左侧.若将射线EA沿EP折叠,射线FC沿FP折叠,折叠后的两条射线互相垂直,则∠EPF 的度数为_____.17.线段AB和线段CD交于点O,OE平分∠AOC,点F为线段AB上一点(不与点A和点O重合)过点F作FG//OE,交线段CD于点G,若∠AOD=110°,则∠AFG的度数为_____°.18.如图,△ABC中,∠C=90︒,AC=5cm,CB=12cm,AB=13cm,将△ABC沿直线CB 向右平移3cm得到△DEF,DF交AB于点G,则点C到直线DE的距离为______cm.三、解答题19.如图,点,分别是,上的点,,.(1) 求证:;(2) 若比大,求的度数.20.按照下列要求完成画图及相应的问题解答.(1)画直线;(2)画;(3)画线段;(4)过点画直线的垂线,垂足为点;(5)点到直线的距离是线段的长度﹒21.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分,,图中的余角是______把符合条件的角都填出来;如果,那么根据______可得______度;如果,求和的度数.22.如图1,将线段AB平移至DC,使点A与点D对应,点B与点C对应,连接AD,BC.(1) 填空:BC与AD的位置关系为__________,BC与AD的数量关系为__________;(2) 点G,E都在直线BC上,,DF平分交直线BC于点F.①如图2,若G,E为射线CB上的点,,求的度数;②如图3,若G,E为射线BC上的点,,则__________(用含的式子表示).23.已知直线AB和CD交于点O,∠AOC=α,∠BOE=90°,OF平分∠AOD.(1)当α=30°时,则∠EOC=_________°;∠FOD=_________°.(2)当α=60°时,射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动,同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动,当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动,求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合?(3)在(2)的条件下,射线OE′在转动一周的过程中,当∠E′OF′=90°时,请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒.24.(1)问题发现如图①,直线AB∥CD,E是AB与AD之间的一点,连接BE,CE,可以发现∠B+∠C=∠BEC.请把下面的证明过程补充完整:证明:过点E作EF∥AB,∵AB∥DC(已知),EF∥AB(辅助线的作法),∴EF∥DC∴∠C= .∵EF∥AB,∴∠B= ,∴∠B+∠C= .即∠B+∠C=∠BEC.(2)拓展探究如果点E运动到图②所示的位置,其他条件不变,求证:∠B+∠C=360°﹣∠BEC.(3)解决问题如图③,AB∥DC,∠C=120°,∠AEC=80°,则∠A= .(直接写出结论,不用写计算过程)参考答案1.C【分析】根据对顶角的性质可得∠1=∠5,再由等量代换得∠2=∠5,即可得到到a∥b,利用两直线平行同旁内角互补可得∠3+∠4=180°,最后根据∠3的度数即可求出∠4的度数.解:∵∠1与∠5是对顶角,∴∠1=∠2=∠5=45°,∴a∥b,∴∠3+∠6=180°,∵∠3=70°,∴∠4=∠6=110°.故答案为C.【点拨】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质及判定,其中掌握平行线的性质和判定是解答本题的关键.2.B【分析】根据垂直的定义、角互余与互补的定义即可得.解:,,,,,,,,,,则图中互余的角的对数为4对;,,点C是直线AB上一点,,,,又,,,,则图中互补的角的对数为7对,故选:B.【点拨】本题考查了垂直的定义、角互余与互补的定义,熟练掌握各定义是解题关键.3.B解:因为AB∥DF,所以∠D+∠DEB=180°,因为∠DEB与∠AEC是对顶角,所以∠DEB=100°,所以∠D=180°﹣∠DEB=80°.故选B.4.C【分析】当PC⊥AB时,PC的值最小,利用面积法求解即可.解:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,AB=5,∵当PC⊥AB时,PC的值最小,此时:△ABC的面积=•AB•PC=•AC•BC,∴5PC=3×4,∴PC=2.4,故选:C.【点拨】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式,解题的关键是学会利用面积法求高.5.C【分析】首先由两个角的两边分别平行,可得这两个角相等或互补.然后设其中一角为x°,由其中一个角比另一个角的3倍少20°,然后分别从两个角相等与互补去分析,即可求得答案,注意别漏解.解:∵两个角的两边分别平行,∴这两个角相等或互补.设其中一角为x°,若这两个角相等,则x=3x﹣20,解得:x=10,∴这两个角的度数是10°和10°;若这两个角互补,则180﹣x=3x﹣20,解得:x=50,∴这两个角的度数是50°和130°.∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°.故选:C.【点拨】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法.此题难度适中,解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补,注意方程思想的应用.6.C【分析】如图,过点H作,过点F作,根据平行线的性质定理进行解答即可.解:如图,过点H作,过点F作,∴,,∵,∴,∴,∵,,,∴,,∴,,∵,,∴,∴,∵,∴,∴,∴.故选:C.【点拨】本题考查了平行线的判定与性质,熟练掌握判定与性质定理,正确作出辅助线是解题的关键.7.D【分析】分两种情况讨论,①当在上方时,延长、相交于点,根据,推出,得到,求出的度数,再根据即可求解;②当在下方时,延长、相交于点,根据,推出,得到,再根据即可求解.解:①当在上方时,延长、相交于点,如图所示∵∴∵∴∵∴∴∴∵,∴∵翻折∴∴∴∵∴②当在下方时,延长、相交于点,如图所示∵∴∵∴∴∴∵,∴∵翻折∴∴∴∵∴故选D.【点拨】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点,分情况讨论,画出对应图形进行求解是解答本题的关键.8.C【分析】作AB∥a,先证AB∥a∥b,由平行线性质得∠2=180°-∠1+∠3,变形可得结果.解:作AB∥a,由直线a平移后得到直线b,所以,AB∥a∥b所以,∠2=180°-∠1+∠3,所以,∠2-∠3=180°-∠1=180°-70°=110°.故选:C【点拨】此题考查平移问题,关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答.9.D【分析】根据∠1+∠2=∠3+∠2即可证得①;根据求出∠1与∠E的度数大小即可判断②;利用∠2求出∠3,与∠B的度数大小即可判断③;利用求出∠1,即可得到∠2的度数,即可判断④.解:∵∠1+∠2=∠3+∠2=90,∴∠1=∠3,故①正确;∵,∴∠E=60,∴∠1=∠E,∴AC∥DE,故②正确;∵,∴,∵,∴∠3=∠B,∴,故③正确;∵,∴∠CFE=∠C,∵∠CFE+∠E=∠C+∠1,∴∠1=∠E=,∴∠2=90-∠1=,故④正确,故选:D.【点拨】此题考查互余角的性质,平行线的判定及性质,熟练运用解题是关键.10.D【分析】设1号正方形的边长为x,2号正方形的边长为y,则3号正方形的边长为x+y,4号正方形的边长为2x+y,5号长方形的长为3x+y,宽为y-x,根据图1中长方形的周长为32,求得x+y=4,根据图2中长方形的周长为48,求得AB=24-3x-4y,根据平移得:没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2(AB+AD),计算即可得到答案.解:设1号正方形的边长为x,2号正方形的边长为y,则3号正方形的边长为x+y,4号正方形的边长为2x+y,5号长方形的长为3x+y,宽为y-x,由图1中长方形的周长为32,可得,y+2(x+y)+(2x+y)=16,解得:x+y=4,如图,∵图2中长方形的周长为48,∴AB+2(x+y)+2x+y+y-x=24,∴AB=24-3x-4y,根据平移得:没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长,∴2(AB+AD)=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2(24-x-y)=48-2(x+y)=48-8=40,故选:D.【点拨】此题考查整式加减的应用,平移的性质,利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解,解题的关键是设出未知数,列代数式表示各线段进而解决问题.11.65°【分析】过点作∥,根据平行公理得,再依据平行线的性质求角即可.解:过点作∥,如图:,.∵,∴,∵,∴,∵,∴,∵,∴,.故答案为:.【点拨】本题考查了平行线的判定与性质,解题关键是依据平行公理作辅助线,熟练运用平行线的性质解决问题12.124°【分析】先由平行线的性质求得∠ABC,然后根据角平分线的定义求得∠DBC,然后再根据平行线的性质求得∠ADB,最后结合BD⊥CD即可求得∠ADC.解:∵AD//BC∴∠ABC=180°-∠A=180°-112°=68°,∵BD平分∠ABC,∴∠DBC=∠ABC=34°∵AD//BC∴∠ADB=∠DBC=34°∵BD⊥CD,∴∠BDC=90°,∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+34°=124°.故答案为124°.【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、垂直的性质,其中掌握平行线的性质是解答本题的关键.13.【分析】根据平行线的性质:两直线平行,内错角相等,可得答案.解:如图,作,,,,故答案为.【点拨】本题考查了方向角,利用平行线的性质两直线平行内错角相等是解题关键.14.60°##60度【分析】首先设∠BAF=x°,∠BCF=y°,过点B作BM AD,过点F作FN AD,根据平行线的性质,可得∠AFC=(x+2y)°,∠ABC=(2x+y)°,又由∠F的余角等于2∠B的补角,可得方程:90﹣(x+2y)=180﹣2(2x+y),继而求得答案.解:设∠BAF=x°,∠BCF=y°,∵∠BCF=∠BCG,CF与∠BAH的平分线交于点F,∴∠HAF=∠BAF=x°,∠BCG=∠BCF=x°,∠BAH=2x°,∠GCF=2y°,过点B作BM AD,过点F作FN AD,如图所示:∵AD CE,∴AD FN BM CE,∴∠AFN=∠HAF=x°,∠CFN=∠GCF=2y°,∠ABM=∠BAH=2x°,∠CBM=∠GCB=y°,∴∠AFC=(x+2y)°,∠ABC=(2x+y)°,∵∠F的余角等于2∠B的补角,∴90﹣(x+2y)=180﹣2(2x+y),解得:x=30,∴∠BAH=60°.故答案为:60°【点拨】此题考查了平行线的性质与判定以及余角、补角的定义.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,掌握数形结合思想与方程思想的应用.15.【分析】过点向右作,过点向右作,得到,根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案.解:如图,过点向右作,过点向右作,故答案为:.【点拨】本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键.16.45°或135°【分析】根据题意画出图形,然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系,然后可得答案.解:如图1,过作,,,,,,,同理可得,由折叠可得:,,,如图2,过作,,,,,,,,由折叠可得:,,,综上所述:的度数为或,故答案为:45°或135°.【点拨】本题主要考查了平行线的性质,关键是正确画出图形,分两种情况分别计算出∠EPF的度数.17.35°或145°.【分析】分两种情况讨论:点F在AO上,点F在OB上,依据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠AFG度数.解:如图,当点F在AO上时,∵∠AOD=110°,∴∠AOC=70°,又∵OE平分∠AOC,∴∠COE=35°,∵FG∥OE,∴∠OGF=35°,∴∠AFG=∠AOD+∠OGF=110°+35°=145°;如图,当点F在OB上时,∵∠AOD=110°,∴∠AOC=70°,又∵OE平分∠AOC,∴∠AOE=35°,∵FG∥OE,∴∠AFG=∠AOE=35°,故答案为35°或145°.【点拨】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义,熟记概念并准确识图,理清图中各个角度之间的关系是解题的关键.18.【分析】根据平移前后图形的大小和形状不变,添加辅助线构造梯形,利用面积相等来计算出答案.解:如图,连接AD、CD,作CH⊥DE于H,依题意可得AD=BE=3cm,∵梯形ACED的面积,∴,解得;故答案为:.【点拨】本题考查的是图形的平移和点到直线的距离,解题的关键是注意图形平移前后的形状和大小不变,以及平移前后对应点的连线相等.19.(1)证明见分析(2)70°【分析】(1)根据平行线的性质得出,从而得到,根据平行线的判定得出即可;(2)根据平行线的性质得出∠A+∠AED=180°,∠A=∠BFD,得到,结合条件比大,即可求出答案.解:(1)证明:(2)解:【点拨】本题考查了平行线的性质和判定,能熟练地运用定理进行推理是解此题的关键,注意:平行线的性质有:①两直线平行,同位角相等,②两直线平行,内错角相等,③两直线平行,同旁内角互补,反之亦然.20.(1)见分析;(2)见分析;(3)见分析;(4)见分析;(5)CD【分析】(1)画直线AB即可;(2)画∠BAC即可;(3)画线段BC即可;(4)过C点画直线AB的垂线,交直线AB于点D即可;(5)根据点到直线的距离即可得点C到直线AB的距离.解:如图所示:(1)直线AB即为所求作的图形;(2)∠BAC即为所求作的图形;(3)线段BC即为所求作的图形;(4)过C点画直线AB的垂线,交直线AB于点D,CD即为所求作的图形;(5)点C到直线AB的距离为线段CD的长.【点拨】本题考查了作图,作直线、射线、线段、垂线、点到直线的距离,解决本题的关键是根据语句准确画出图形.21.(1)∠BOC、∠AOD(2)对顶角相等,160(3)26°试题分析:(1)根据互余两角和为90°,结合图形找出即可;(2)从图形中可知∠AOC和∠DOB为对顶角,直接可求解;(3)根据角平分线可求∠AOD的度数,然后根据对顶角和邻补角可求解.解:(1)图中∠AOF的余角是∠BOC、∠AOD(把符合条件的角都填出来);(2)如果∠AOC=160°,那么根据对顶角相等可得∠BOD=160度;(3)∵OE平分∠AOD,∴∠AOD=2∠1=64°,∴∠2=∠AOD=64°,∠3=90°﹣64°=26°.22.(1)AD∥BC,AD=BC(2)①100°;②180°-2α【分析】(1)根据平移的性质和图形可得得,对应点连线互相平行且相等可得答案;(2)①利用平行线的性质和角平分线的定义得∠ADC=2∠GDF,从而得出答案;②由①同理可得答案.(1)解:∵将线段AB平移至DC,∴AD BC,AD=BC;(2)①∵AD BC,∴∠ADG=∠DGC,∵∠DGE=∠GDE,∴∠ADG=∠EDG,∵DF平分∠CDE,∴∠EDF=∠CDF,∴∠ADC=2∠GDF=2×40°=80°,∵AD BC,∴∠C+∠ADC=180°,∴∠C=100°;②∵AD BC,∴∠ADG=∠DGE,∵∠DGE=∠GDE,∴∠ADG=∠EDG,∵DF平分∠CDE,∴∠EDF=∠CDF,∴∠GDF=∠GDE-∠EDF=(∠ADE-∠CDE)=∠ADC,∴∠ADC=2α,∵AD BC,∴∠BCD+∠ADC=180°,∴∠BCD=180°-2α.【点拨】本题是几何变换综合题,主要考查了平行线的性质,平移的性质,角平分线的定义,角的和差等知识,熟练掌握平行线的性质是解题的关键,同时注意解题方法的延续性.23.(1)60,75;(2)秒;(3)3或12或21或30【分析】(1)根据题意利用互余和互补的定义可得:∠EOC与∠FOD的度数.(2)由题意先根据,得出∠EOF=150°,则射线OE'、OF'第一次重合时,其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150,列式解出即可;(3)根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边,进而根据其夹角列4个方程可得时间.解:(1)∵∠BOE=90°,∴∠AOE=90°,∵∠AOC=α=30°,∴∠EOC=90°-30°=60°,∠AOD=180°-30°=150°,∵OF平分∠AOD,∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°;故答案为:60,75;(2)当,.设当射线与射线重合时至少需要t秒,可得,解得:;答:当射线与射线重合时至少需要秒;(3)设射线转动的时间为t秒,由题意得:或或或,解得:或12或21或30.答:射线转动的时间为3或12或21或30秒.【点拨】本题考查对顶角相等,邻补角互补的定义,角平分线的定义,角的计算,第三问有难度,熟记相关性质是解题的关键,注意要分情况讨论.24.(2)∠B+∠C=360°﹣∠BEC;证明见分析;(3)20°.分析:利用平行线的性质求解.解:(1)∠CEF;∠BEF;∠BEF+∠CEF.(2)证明:如图②,过点E作EF∥AB,∵AB∥DC,EF∥AB,∴EF∥DC,∴∠C+∠CEF=180°,∠B+∠BEF=180°,∴∠B+∠C+∠BEC=360°,∴∠B+∠C=360°﹣∠BEC;(3)∠A=20°.【点拨】平行线的判定定理(1)同位角相等,两直线平行.(2)内错角相等,两直线平行.(3)同旁内角互补,两直线平行.平行线的性质定理:(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.平面几何中,判定定理和性质定理是成对出现的,定义也可以作为判定定理使用.。
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浙教版七年级下数学平行线复习培优提高LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】EDC BA 平行线复习1、平行线的概念例题:判断对错:1)不相交的直线互相平行 2)不相交的线段互相平行3)不相交的射线互相平行4)有公共点的直线一定不平行 5)过两点有且只有一条直线6)在同一平面内两条不同的直线有且仅有一个公共点7)经过直线外一点,有且仅有一条直线与已知直线平行8)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直9)过一点有且只有一条直线与已知直线平行10)过任意一点可作已知直线的一条平行线2、平行线的画法:一贴,二靠,三移,四画3、同位角,内错角,同旁内角例:分别判断下列各图中有几对同位角,内错角,同旁内角第1图 第2图 第3图4、平行线的判定;平行线的性质例:1)如图要判断AB DH EG BC ∥∥DC EF∥αββα2,,=∠+∠+∠=∠+∠=证明:D C B E A AB CD ∥ABE ∠CDE ∠F 140E ∠=︒BFD ∠2121//AC BD //AB CD E ∠=∠1F ∠=∠2AE CF O CF AE ⊥7、问题探究——平行线性质和判定综合1)已知:如图,△ABC .求证:∠A +∠B +∠C =180°2)如图,∠B =∠D ,∠1=∠3.求证:AD 题探究——平行线间的动点问题如图,直线AC ∥BD ,连接AB ,直线AC 、BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分,规定:线上各点不属于任何部分.当动点P 落在某个部分时,连接PA ,PB ,构成∠PAC ,∠APB ,∠PBD 三个角.(提示:有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°角)(1)当动点P 落在第①部分时,求证:∠APB=∠PAC+∠PBD ;(2)当动点P 落在第②部分时,∠APB=∠PAC+∠PBD 是否成立?(3)当动点P 落在第③部分时,全面探究∠PAC ,∠APB ,∠PBD 之间的关系,并写出动点P 的具体位置和相应的结论.选择其中一种结论加以证明.。
七年级数学培优辅导十三
第十三讲 相交线、平行线※ 知识纵横一、相交线1、 垂直的定义:两条直线相交所形成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足. 用符号“⊥”表 示,如图,直线AB 、CD 互相垂直,记作“AB ⊥CD 于点O ”.注意:(1)垂直是两条直线相交的一种特殊情况,它反映的是两条直线的位置关系;(2)线段、射线的垂直特指它们所在的直线垂直. 垂直的判定:∵∠BOC=90°,∴AB ⊥CD ; 垂直的性质:∵AB ⊥CD ,∴∠AOC=90°2、 垂线段的定义:过直线外一点作已知直线的垂线,这一点与垂足连接而成的线段叫垂线段.3、 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.4、 垂线的性质:(1)在同一平面内,经过直线外或直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直. (2)直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短. 5、 垂线的画法:用三角板(一靠二过三画)、量角器、尺规作图 6、 两条直线被第三条直线所截,构成了八个角,简称“三线八角”.如图:直线AB 、CD 被直线EF 所截或直线EF 截直线AB 、CD 于点 M 、N . 直线EF 就是第三条直线叫做截线,AB 、CD 叫做被截线. 7、 同位角、内错角、同旁内角同位角:在截线同侧,在被截线同方向; 内错角:在截线两侧,在被截线的内部; 同旁内角:在截线同侧,在被截线的内部.注意:(1)同位角、内错角、同旁内角是“两条直线被第三条直线所截”形成的八个角中,没有公共顶点的两个角的位置关系;(2)判断同位角、内错角、同旁内角时,首先要判断截线和被截线:两个角都有一边在这条直线上,那么这条直线就是被截线(公共边). 二、平行线1、 两条直线的位置关系:同一平面内,两条不重合的直线的位置关系只有两种:相交或平行.2、 平行线:在同一平面内,不相交(没有公共点)的两条直线叫做平行线. 如图:直线AB 、CD 互相平行,记作:AB ∥CD . 注意:(1)同一平面;(2)不相交是指没有交点;(3)线段、射线平行特指线段、射线所在直线平行.3、 平行线的性质(1)平行公理:经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.(2)平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 4、平行线的识别(1)同位角相等,两直线平行.(∵∠1=∠5, ∴AB ∥CD ) (2)内错角相等,两直线平行.(∵∠4=∠5, ∴AB ∥CD )C DE BAFM N BD CAB DC AE F7 4 8 6 532 1(3)同旁内角互补,两直线平行.(∵∠3+∠5=180°,∴AB∥CD)(4)垂直于同一直线的两直线平行.(∵C D⊥AB,E F⊥AB,∴CD∥EF)(5)平行线的定义.(6)平行公理推论.(∵a∥b,a∥c,∴b∥c)5、平行线的性质:(1)两直线平行,同位角相等.(∵AB∥CD ∴∠2=∠6)(2)两直线平行,内错角相等.(∵AB∥CD ∴∠3=∠6)(3)两直线平行,同旁内角互补.(∵AB∥CD ∴∠4+∠6=180°)注意:判断线段或射线的垂直或平行,就是判断它们所在直线垂直或平行.※典例剖析【例1】如图,图中有对同位角,分别是.图中有对内错角,分别是.图中有对同旁内角,分别是.【例2】如图,∠1和∠2是直线和被直线所截得的角;∠2和∠3是直线和被直线所截得的角;∠4和∠A是直线和被直线所截得的角.【例3】如图,AB⊥CD,垂足为O,OE是一条射线,OF平分∠BOC,∠AOE=35°,求∠EOF的度数.【例4】如图,AB∥DE,∠B=135°,∠D=145°,求∠C的度数.【例5】如图,已知∠E=∠F,∠E=∠BAD,AD是∠BAC的平分线吗?为什么?B DC AEF7486 532 1C B1D A5342EB DCA43 12AEOCBDFEBDCAAEGFCDB※培优训练1、 如图一,∠1=65°,∠C=65°,∠ADC=115°, 则图中的平行线有 .2、 如图二,若∠1= ,则DE ∥AC ; 若∠1= , 则EF ∥BC ,若∠FED+ =180°, 则DE ∥AC ;若∠2+ =180°,则AB ∥DF.3、 如图三,若AB ∥CD ,则根据 , 可得∠2= ;若AD ∥BC ,根据 , 可得∠DAB+ =180°.4、如图,已知∠B=62°,∠3=30°,∠4=88°, AB 与CD 平行吗?AD 与BC 平行吗?说明理由.5、如图,已知AC ∥DE ,∠D =70°,CD 平分∠ACE ,求∠E 的度数.6、如图,已知:∠1=∠2,∠A=∠C ,请猜想∠E 与∠F 的关系,并说明你的理由.图二图三BA D C4 3 2 1 图一A E DBC1CB DA43 21 A C E D BB 1 2H G A F D E C※能力拓展题组一:1、如图,直线CD 、EF 、GH 交于一点P ,直线AB 交EF 、GH 于 点M 、N ,则图中共有内错角( ).A 、4对B 、8对C 、10对D 、12对2、平面内有5条直线两两相交,其中仅有3条直线经过同一点,则它们彼此截得的线段共有( ). A 、36条 B 、33条 C 、24条 D 、21条 题组二:1、如图,已知AB ∥CD ,∠B =∠C. 求证:CE ∥BF2、如图,已知AB ∥CD ,AE 平分∠BAC ,CE 平分∠ACD .求证:A E ⊥CE. 题组三:1、如图,已知AB ∥CD ,EF 交AB 、CD 于点G 、H ,点P 是为HD 上一动点, 过点P 的直线交HF 于点O. 求证:∠HOP=∠AGF -∠HPO.2、如图,已知AB ∥CD ,∠EAF=EAB ∠41,∠ECF=ECD ∠41.求证:∠AFC=AEC ∠43D ABEC FHPG MNDCEBGA F ED CB APG H ABCD O FECEFBA D。
初一数学平行线培优讲座
【基础知识精讲】一、与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合应用,主要体现在以下两个方面:1. 由角定角已知角的关系两直线平行确定其它角的关系2. 由线定线已知两直线平行角的关系确定其它两直线平行•二、探索几何问题的解决方法,主要从以下两个方面去分析:••1. 由因导果(综合法):•即——从已知条件出发,推出相应的结论。
•2. 执果溯因(分析法):•即——要得到结论需要具备什么条件。
••所以:解题时,我们即要抓住条件,又要盯住目标,努力促使已知与未知的转化与沟通例1 如图,某人从A点出发,每前进10米,就向右转18°再前进10米,又向右转18°,这样下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了________米.18ºAA18º变式训练:1. 如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过,如果第一次拐的角∠A是120°,第二次拐的角∠B是150°,第三次拐的角是∠C,这时恰好和第一次拐弯之前的道路平行,则∠C=.2.一学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是().(A)第一次向左拐30°,第二次向右拐30°(B)第一次向右拐50°,第二次向左拐130°(C)第一次向右拐50°,第二次向右拐130°(D)第一次向左拐50°,第二次向左拐130°•例2如图,将纸片△ABC沿DE折叠,点A落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,•求∠A的度数.•••12AEADC B变式训练:•1.如图, 已知:∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6.•求证: AD∥BC.A BC DEF2314562.如图,已知CD⊥AB于D ,EF⊥AB于F ,∠DGC=105°,∠BCG=75°,求∠1+∠2的度数.BCAD EF G21•例3.如图,DE∥CB,试证明∠AED=∠A+∠B。
七年级数学培优辅导十三
七年级数学培优辅导十三-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN49第十三讲 相交线、平行线※ 知识纵横一、相交线1、 垂直的定义:互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的垂线,它们的交点叫垂足. 示,如图,直线AB 、CD 互相垂直,记作“AB ⊥CD 于点O ”.注意:(1(2)线段、射线的垂直特指它们所在的直线垂直. 垂直的判定:∵∠BOC=90°,∴AB ⊥CD ; 垂直的性质:∵AB ⊥CD ,∴∠AOC=90°2、 垂线段的定义:过直线外一点作已知直线的垂线,这一点与垂足连接而成的线段叫垂线段.3、 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.4、 垂线的性质:(1)在同一平面内,经过直线外或直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.(2)直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短. 5、 垂线的画法:用三角板(一靠二过三画)、量角器、尺规作图6、 两条直线被第三条直线所截,构成了八个角,简称“三线八角”.如图:直线AB 、CD 被直线EF 所截或直线EF 截直线AB 、CD 于点 M 、N . 直线EF 就是第三条直线叫做截线,AB 、CD 叫做被截线.7、 同位角、内错角、同旁内角同位角:在截线同侧,在被截线同方向;内错角:在截线两侧,在被截线的内部;同旁内角:在截线同侧,在被截线的内部.注意:(1)同位角、内错角、同旁内角是“两条直线被第三条直线所截”形成的八个角中,没有公共顶点的两个角的位置关系;(2)判断同位角、内错角、同旁内角时,首先要判断截线和被截线:两个角都有一边在这条直线上,那么这条直线就是被截线(公共边). 二、平行线1、 两条直线的位置关系:同一平面内,两条不重合的直线的位置关系只有两种:相交或平行.2、 平行线:在同一平面内,不相交(没有公共点)的两条直线叫做平行线. 如图:直线AB 、CD 互相平行,记作:AB ∥CD . 注意:(1)同一平面;(2)不相交是指没有交点;(3)线段、射线平行特指线段、射线所在直线平行.3、 平行线的性质(1)平行公理:经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.(2)平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 4、平行线的识别C DE BA FM N B D CAB DCA E 7 4 86 532 1(1)同位角相等,两直线平行.(∵∠1=∠5,∴AB∥CD)(2)内错角相等,两直线平行.(∵∠4=∠5,∴AB∥CD)(3)同旁内角互补,两直线平行.(∵∠3+∠5=180°,∴AB∥CD)(4)垂直于同一直线的两直线平行.(∵C D⊥AB,E F⊥AB,∴CD∥EF)(5)平行线的定义.(6)平行公理推论.(∵a∥b,a∥c,∴b∥c)5、平行线的性质:(1)两直线平行,同位角相等.(∵AB∥CD ∴∠2=∠6)(2)两直线平行,内错角相等.(∵AB∥CD ∴∠3=∠6)(3)两直线平行,同旁内角互补.(∵AB∥CD ∴∠4+∠6=180°)注意:判断线段或射线的垂直或平行,就是判断它们所在直线垂直或平行. ※典例剖析【例1】如图,图中有对同位角,分别是.图中有对内错角,分别是.图中有对同旁内角,分别是.【例2】如图,∠1和∠2是直线和被直线所截得的角;∠2和∠3是直线和被直线所截得的角;∠4和∠A是直线和被直线所截得的角.【例3】如图,AB⊥CD,垂足为O,OE是一条射线,OF平分∠BOC,∠AOE=35°,求∠EOF的度数.【例4】如图,AB∥DE,∠B=135°,∠D=145°,求∠C的度数.B DC AEF7486 532 1C B1D A5342EB DCA43 12AEOCBDFEBDCA5051【例5】如图,已知∠E =∠F ,∠E =∠BAD ,AD 是∠BAC 的平分线吗为什么※培优训练1、 如图一,∠1=65°,∠C=65°,∠ADC=115°, 则图中的平行线有 .2、 如图二,若∠1= ,则DE ∥AC ; 若∠1= , 则EF ∥BC ,若∠FED+ =180°, 则DE ∥AC ;若∠2+ =180°,则AB ∥DF.3、 如图三,若AB ∥CD ,则根据 , 可得∠2= ;若AD ∥BC ,根据 , 可得∠DAB+ =180°.4、如图,已知∠B=62°,∠3=30°,∠4=88°, AB 与CD 平行吗AD 与BC 平行吗说明理由.图图BA DC4 3 2 1 图AE DB C1CBDA 4 321A EG FC D B525、如图,已知AC ∥DE ,∠D =70°,CD 平分∠ACE ,求∠E 的度数.6、如图,已知:∠1=∠2,∠A=∠C ,请猜想∠E 与∠F 的关系,并说明你的理由.※能力拓展题组一:1、如图,直线CD 、EF 、GH 交于一点P ,直线AB 交EF 、GH 于 点M 、N ,则图中共有内错角( ). A 、4对 B 、8对 C 、10对 D 、12对2、平面内有5条直线两两相交,其中仅有3条直线经过同一点,则它们彼此截得的线段共有( ).A 、36条B 、33条C 、24条D 、21条题组二:1、如图,已知AB ∥CD ,∠B =∠C. 求证:CE ∥BFA CED B B 12HGAFD E CDABE CF HPG M N D C EBGAF532、如图,已知AB ∥CD ,AE 平分∠BAC ,CE 平分∠ACD .求证:A E ⊥CE. 题组三:1、如图,已知AB ∥CD ,EF 交AB 、CD 于点G 、H ,点P 是为HD 上一动点, 过点P 的直线交HF 于点O. 求证:∠HOP=∠AGF -∠HPO.2、如图,已知AB ∥CD ,∠EAF=EAB ∠41,∠ECF=ECD ∠41.求证:∠AFC=AEC ∠43ED CB A PGH A B C DO FEEFBA D。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练38 平行线的判定与性质中基本模型
专题平行线的四大基本模型【题型目录】题型一平行线基本模型之M模型题型二平行线四大模型之铅笔模型题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型题型四平行线四大模型之“骨折”模型【经典例题一平行基本模型之M模型】【结论1】若AB∥CD,则∠B0C=∠B+∠C【结论2】若∠BOC=∠B+∠C,则AB∥CD.【结论3】如图所示,AB∥EF,则∠B+∠D=∠C十∠E朝向左边的角的和=朝向右边的角的和结论3的模型也称为锯齿模型;锯齿模型的变换解题思路拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型【例1】(2022春·山东济宁·七年级统考阶段练习)如图所示,如果AB ∥ CD ,则∠α、∠β、∠γ之间的关系为( )A .∠α+∠β+∠γ=180°B .∠α-∠β+∠γ=180°C .∠α+∠β-∠γ=180°D .∠α-∠β-∠γ=180°[【变式训练】【变式1】(2021春·全国·七年级专题练习)如图,直线a//b ,一块含60°角的直角三角板ABC (∠A=60°)按如图所示放置.若∠1=43°,则∠2的度数为( )A .101°B .103°C .105°D .107°【变式2】(2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中)如图,已知AB CD ∥,BE 平分ABC ∠,DE 平分ADC ∠,80BAD ∠=︒,BCD n ∠=︒,则BED ∠的度数为___________.(用含n 的式子表示)【变式3】(2022春·山东聊城·七年级统考阶段练习)已知直线AB //CD ,EF 是截线,点M 在直线AB 、CD 之间.(1)如图1,连接GM ,HM .求证:∠M =∠AGM +∠CHM ;(2)如图2,在∠GHC 的角平分线上取两点M 、Q ,使得∠AGM =∠HGQ .试判断∠M 与∠GQH 之间的数量关系,并说明理由.【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】【结论1】如图所示,AB ∥CD ,则∠B+∠BOC+∠C=360°【结论2】如图所示,∠B+∠BOC+∠C=360°,则AB ∥CD.变异的铅笔头:拐点数n,∠A+...+∠C=180°×(n+1)拐点数:1 拐点数:2 拐点数:n【例2】(2021·全国·九年级专题练习)如图,两直线AB 、CD 平行,则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=( ).A .630︒B .720︒C .800︒D .900︒【变式训练】【变式1】(2022·全国·七年级假期作业)如图,直线//m n ,在Rt ABC 中,90B ,点A 落在直线m 上,BC 与直线n 交于点D ,若2130∠=︒,则1∠的度数为( ).A .30°B .40°C .50°D .65°【变式2】(2020春·山西临汾·七年级统考期末)如图,一环湖公路的AB 段为东西方向,经过四次拐弯后,又变成了东西方向的FE 段,则B C D E ∠+∠+∠+∠的度数是______.【变式3】(2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习)已知直线AB ∥CD ,P 为平面内一点,连接P A 、PD .(1)如图1,已知∠A =50°,∠D =150°,求∠APD 的度数;(2)如图2,判断∠P AB 、∠CDP 、∠APD 之间的数量关系为 .(3)如图3,在(2)的条件下,AP ⊥PD ,DN 平分∠PDC ,若∠P AN +12∠P AB =∠APD ,求∠AND 的度数.【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】【例3】(2022秋·全国·八年级专题练习)①如图1,AB ∥CD ,则360A E C ∠+∠+∠=︒;②如图2,AB ∥CD ,则P A C ∠=∠-∠;③如图3,AB ∥CD ,则1E A ∠=∠+∠;④如图4,直线AB ∥CD ∥ EF ,点O 在直线EF 上,则180αβγ∠-∠+∠=︒.以上结论正确的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个【变式训练】【变式1】(2021秋·八年级课时练习)(1)已知:如图(a ),直线DE AB ∥.求证:ABC CDE BCD ∠+∠=∠; (2)如图(b ),如果点C 在AB 与ED 之外,其他条件不变,那么会有什么结果?你还能就本题作出什么新的猜想?【变式2】(2021春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中)(1)如图(1)AB ∥CD ,猜想∠BPD 与∠B 、∠D 的关系,说出理由.(2)观察图(2),已知AB ∥CD ,猜想图中的∠BPD 与∠B 、∠D 的关系,并说明理由.(3)观察图(3)和(4),已知AB ∥CD ,猜想图中的∠BPD 与∠B 、∠D 的关系,不需要说明理由.【变式3】(2022·全国·七年级假期作业)已知,//AE BD ,A D ∠=∠. (1)如图1,求证://AB CD ;(2)如图2,作BAE ∠的平分线交CD 于点F ,点G 为AB 上一点,连接FG ,若CFG ∠的平分线交线段AG 于点H ,连接AC ,若ACE BAC BGM ∠=∠+∠,过点H 作HM FH ⊥交FG 的延长线于点M ,且3518E AFH ∠-∠=︒,求EAF GMH ∠+∠的度数.【经典例题四平行基本模型之“骨折”模型】【例4】(2021·全国·九年级专题练习)如图所示,AB∥CD,∠E=37°,∠C=20°,则∠EAB的度数为__________.【变式训练】AB DE,∠ABC=80°,∠CDE=140°,则【变式1】(2022春·湖北黄冈·七年级校考期中)如图,已知//∠BCD=_____.AB CD,则∠1+∠3-∠2的度【变式2】(2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习)如图,若//数为______【变式3】(2021春·全国·七年级专题练习)(1)如图,AB//CD,CF平分∠DCE,若∠DCF=30°,∠E=20°,求∠ABE的度数;(2)如图,AB//CD,∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°,求∠ABE 的度数.(3)如图,P为(2)中射线BE上一点,G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,GN//PQ,GM平分∠DGP,若∠B=30°,求∠MGN的度数.【培优检测】1.(2022·全国·七年级假期作业)如图,AB//ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,则β与α的数量关系是()A.2β=3αB.β=2αC.2β=5αD.β=3α2.(2020·湖南·中考真题)如图,已知AB∥DE,∠1=30°,∠2=35°,则∠BCE的度数为()A .70°B .65°C .35°D .5°3.(2021·全国·九年级专题练习)把一副三角板放在水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,则∠1的度数是( )A .90°B .105°C .120°D .135°4.(2021春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆师范大学附属中学校考阶段练习)如图所示,AB ∥CD ,则∠A+∠E+∠F+∠C 等于( )A .180°B .360°C .540°D .720°5.(2022·全国·七年级假期作业)如图,已知//AB CD ,140A ∠=︒,120E ∠=︒,则C ∠的度数是( )A .80°B .120°C .100°D .140°6.(2022春·甘肃金昌·七年级校考期中)如图,已知//AB DE ,则123∠+∠+∠的度数是( )A .180︒B .270︒C .360︒D .540︒7.(2022·全国·七年级假期作业)如图,已知//a b ,将直角三角形如图放置,若∠2=40°,则∠1为( )A .120°B .130°C .140°D .150°8.(2021春·全国·七年级专题练习)如图,已知AB//CD ,则α∠,∠β,γ∠之间的等量关系为( )A .180αβγ∠+∠-∠=︒B .180βγα︒∠+∠-∠=C .360αβγ︒∠+∠+∠=D .180αβγ∠+∠+∠=︒9.(2022秋·山东临沂·八年级校考阶段练习)如图,已知点P 是矩形ABCD 内一点(不含边界),设12,PAD θPBA θ∠=∠=,34,PCB θPDC θ∠=∠=,若80,50APB CPD ∠=∠=,则( )A .1423()()30θθθθ+-+=B .2413()()40θθθθ+-+=C .1234()()70θθθθ+-+=D .1234()()180θθθθ+++=10.(2021春·全国·七年级河南省淮滨县第一中学校考期末)如图,//AB CD ,点E 在AC 上,110A ∠=︒,15D ∠=︒,则下列结论正确的个数是( )(1)AE EC =;(2)85AED ∠=︒;(3)A CED D ∠=∠+∠;(4)45BED ∠=︒A .1个B .2个C .3个D .4个11.(2021春·全国·七年级专题练习)如图,∠BCD =70°,AB ∥DE ,则∠α与∠β满足( )A .∠α+∠β=110°B .∠α+∠β=70°C .∠β﹣∠α=70°D .∠α+∠β=90°12.(2021春·全国·七年级专题练习)如图,AB //EF,∠D=90°,则α,β,γ的大小关系是( )A .βαγ=+B .90βαγ=+-︒C .90βγα=+︒-D .90βαγ=+︒-13.(2022·全国·七年级假期作业)如图所示,直角三角板的60°角压在一组平行线上,AB CD ∥,40ABE ∠=︒,则EDC ∠=______度.14.(2021春·甘肃庆阳·七年级校考期中)如图,如果AB ∥CD ,那么∠B +∠F +∠E +∠D =___°.15.(2022·全国·七年级假期作业)如图,若直线l 1∥l 2,∠α=∠β,∠1=30°则∠2的度数为 ___.16.(2022·全国·七年级假期作业)如图,如果AB ∥EF ,EF ∥CD ,则∠1,∠2,∠3的关系式__________.17.(2022·全国·七年级假期作业)如图,//,,3527'EE MN CA CB EAC ⊥∠=︒,则MBC ∠=____________________.18.(2021春·安徽安庆·七年级统考期末)如图,直线AB //CD ,点M 、N 分别在直线AB 、CD 上,点E 为直线AB 与CD 之间的一点,连接ME 、NE ,且∠MEN =80°,∠AME 的角平分线与∠CNE 的角平分线交于点F ,则∠MFN 的度数为______________.19.(2022秋·贵州六盘水·八年级统考期末)如图,已知AB //CD ,易得∠1+∠2+∠3=360°,∠1+∠2+∠3+∠4 =540°,根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________ °.20.(2022·全国·七年级专题练习)如图,已知AB//CD ,120AFC ∠=︒,13EAF EAB ∠=∠,13ECF ECD ∠=∠,则AEC ∠=____度.21.(2022秋·全国·七年级统考期末)请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记,然后解决问题.小明:老师说在解决有关平行线的问题时,如果无法直接得到角的关系,就需要借助辅助线来帮助解答,今天老师介绍了一个“美味”的模型一“猪蹄模型”.即已知:如图1,//AB CD ,E 为AB 、CD 之间一点,连接AE ,CE 得到AEC ∠.求证:AEC A C ∠=∠+∠小明笔记上写出的证明过程如下: 证明:过点E 作//EF AB , ∴1B ∠=∠∵//AB CD ,//EF AB ∴//EF CD ∴2C ∠=∠. ∵12AEC ∠=∠+∠ ∴AEC A C ∠=∠+∠请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法,完成下面的两个问题. (1)如图,若//AB CD ,60E ∠=︒,则B C F ∠+∠+∠=___________.(2)如图,//AB CD ,BE 平分ABG ∠,CF 平分DCG ∠,27G H ∠=∠+︒,则H ∠=___________.22.(2021·全国·九年级专题练习)如图所示,已知//AB CD ,BE 平分ABC ∠,DE 平分ADC ∠,求证:1()2E A C ∠=∠+∠23.(2022·全国·七年级假期作业)如图,AB //CD ,点 E 为两平行线间的一点.请证明两个结论.(1)12BED ∠=∠+∠;(2)360EBM EDN BED ∠+∠+∠=.24.(2021春·山东德州·七年级统考期中)(1)如图1,//AB CD ,33A ∠=︒,40C ∠=︒,则APC ∠=︒;(2)如图2,//AB DC ,点P 在射线OM 上运动,当点P 在B 、D 两点之间运动时,BAP α∠=∠,DCP β∠=∠,求CPA ∠与α∠、∠β之间的数量关系,并说明理由;(3)在(2)的条件下,如果点P 在B 、D 两点外侧运动时(点P 与点B 、D 、O 三点不重合),请你直接写出CPA ∠与α∠、β之间的数量关系.25.(2022·全国·七年级假期作业)综合探究:已知//AB CD ,点M 、N 分别是AB 、CD 上两点,点G 在AB 、CD 之间,连接MG 、NG .(1)如图1,若GM GN ⊥,求AMG CNG +∠∠的度数;(2)如图2,若点P 是CD 下方一点,MG 平分BMP ∠,ND 平分GNP ∠,已知40BMG ∠=︒,求MGN MPN ∠+∠的度数.26.(2022·全国·七年级假期作业)(1)问题情景:如图1,AB //CD ,∠P AB =130°,∠PCD =120°,求∠APC 的度数.小明想到一种方法,但是没有解答完:如图2,过P 作PE //AB ,∴∠APE +∠P AB =180°, ∴∠APE =180°-∠P AB =180°-130°=50° ∵AB //CD ,∴PE //CD . ……请你帮助小明完成剩余的解答.(2)问题迁移:请你依据小明的解题思路,解答下面的问题:如图3,AD //BC ,当点P 在A 、B 两点之间时,∠ADP =∠α,∠BCP =∠β,则∠CPD ,∠α,∠β之间有何数量关系?请说明理由.27.(2021春·广西柳州·七年级统考期中)已知直线a b ∥,直线EF 分别与直线a ,b 相交于点E ,F ,点A ,B 分别在直线a ,b 上,且在直线EF 的左侧,点P 是直线EF 上一动点(不与点E ,F 重合),设∠P AE =∠1,∠APB =∠2,∠PBF =∠3.(1)如图1,当点P 在线段EF 上运动时,试说明∠1+∠3=∠2; (2)当点P 在线段EF 外运动时有两种情况.①如图2写出∠1,∠2,∠3之间的关系并给出证明;②如图3所示,猜想∠1,∠2,∠3之间的关系(不要求证明).28.(2022春·江苏常州·七年级统考期中)问题情境:如图①,直线AB CD ∥,点E ,F 分别在直线AB ,CD 上.(1)猜想:若1130∠=︒,2150∠=︒,试猜想P ∠=______°;(2)探究:在图①中探究1∠,2∠,P ∠之间的数量关系,并证明你的结论; (3)拓展:将图①变为图②,若12325∠+∠=︒,75EPG ∠=︒,求PGF ∠的度数. 29.(2022秋·河南平顶山·八年级统考期末)如图:(1)如图1,AB CD ∥,=45ABE ∠︒,21CDE ∠=︒,直接写出BED ∠的度数.(2)如图2,AB CD ∥,点E 为直线AB ,CD 间的一点,BF 平分ABE ∠,DF 平分CDE ∠,写出BED ∠与F ∠之间的关系并说明理由.(3)如图3,AB 与CD 相交于点G ,点E 为BGD ∠内一点,BF 平分ABE ∠,DF 平分CDE ∠,若60BGD ∠=︒,95BFD ∠=︒,直接写出BED ∠的度数.30.(2022春·江西九江·七年级统考期中)如图1,//AB CD ,130PAB ∠=︒,120PCD ∠=︒,求APC ∠的度数.小明的思路是:如图2,过P 作//PE AB ,通过平行线性质可求APC ∠的度数.(1)请你按小明的思路,写出APC ∠度数的求解过程;(2)如图3,//AB CD ,点P 在直线BD 上运动,记PAB α∠=∠,PCD β∠=∠. ①当点P 在线段BD 上运动时,则APC ∠与α∠、∠β之间有何数量关系?请说明理由; ②若点P 不在线段BD 上运动时,请直接写出APC ∠与α∠、∠β之间的数量关系.专题平行线的四大基本模型【题型目录】题型一平行线基本模型之M模型题型二平行线四大模型之铅笔模型题型三平行线四大模型之“鸡翅”模型题型四平行线四大模型之“骨折”模型【经典例题一平行基本模型之M模型】【结论1】若AB∥CD,则∠B0C=∠B+∠C【结论2】若∠BOC=∠B+∠C,则AB∥CD.【结论3】如图所示,AB∥EF,则∠B+∠D=∠C十∠E朝向左边的角的和=朝向右边的角的和结论3的模型也称为锯齿模型;锯齿模型的变换解题思路拆分成猪蹄模型和内错角拆分成2个猪蹄模型【例1】(2022春·山东济宁·七年级统考阶段练习)如图所示,如果AB ∥ CD ,则∠α、∠β、∠γ之间的关系为()A.∠α+∠β+∠γ=180°B.∠α-∠β+∠γ=180°C.∠α+∠β-∠γ=180°D.∠α-∠β-∠γ=180°[【答案】C【分析】过E作EF∥AB,由平行线的质可得EF∥CD,∠α+∠AEF=180°,∠FED=∠γ,由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系.【解答】解:过点E作EF∥AB,∴∠α+∠AEF=180°(两直线平行,同旁内角互补),∵AB∥CD,∴EF∥CD,∴∠FED=∠EDC(两直线平行,内错角相等),∵∠β=∠AEF+∠FED,又∵∠γ=∠EDC,∴∠α+∠β-∠γ=180°,故选:C.【点评】本题主要考查了平行线的性质,正确作出辅助线是解答此题的关键.【变式训练】【变式1】(2021春·全国·七年级专题练习)如图,直线a//b,一块含60°角的直角三角板ABC(∠A=60°)按如图所示放置.若∠1=43°,则∠2的度数为()A .101°B .103°C .105°D .107°【答案】B【分析】如图,首先证明∠AMO=∠2;然后运用对顶角的性质求出∠ANM=43°,借助三角形外角的性质求出∠AMO 即可解决问题. 【解答】解:如图,∵直线a ∥b , ∴∠AMO=∠2;∵∠ANM=∠1,∠1=43°, ∴∠ANM=43°,∴∠AMO=∠A+∠ANM=60°+43°=103°, ∴∠2=∠AMO=103°. 故选:B .【点评】该题主要考查了平行线的性质、对顶角的性质、三角形的外角性质等几何知识点及其应用问题;牢固掌握平行线的性质、对顶角的性质等几何知识点是灵活运用、解题的基础.【变式2】(2022秋·辽宁鞍山·八年级统考期中)如图,已知AB CD ∥,BE 平分ABC ∠,DE 平分ADC ∠,80BAD ∠=︒,BCD n ∠=︒,则BED ∠的度数为___________.(用含n 的式子表示)【答案】1402n ︒+︒【分析】首先过点E 作EF AB ∥,由平行线的传递性得AB CD EF ∥∥,再根据两直线平行,内错角相等,得出BCD ABC n ∠=∠=︒,80BAD ADC ∠=∠=︒,由角平分线的定义得出12ABE n ∠=︒,40EDC ∠=︒,再由两直线平行,内错角相等得出12BEF ABE n ∠=∠=︒ 40FED EDC ∠=∠=︒,由BED BEF FED ∠=∠+∠即可得出答案.【解答】解:如图,过点E 作EF AB ∥,则AB CD EF ∥∥,∥AB CD ,∴BCD ABC n ∠=∠=︒,80BAD ADC ∠=∠=︒, 又∵BE 平分ABC ∠,DE 平分ADC ∠, ∴1122ABE ABC n ∠=∠=︒,11804022EDC ADC ∠=∠=⨯︒=︒,∵AB EF CD ∥∥, ∴12BEF ABE n ∠=∠=︒ ,40FED EDC ∠=∠=︒,∴1402BED FED BEF n ∠=∠+∠=︒+︒,故答案为:1402n ︒+︒.【点评】本题考查平行线的性质,角平分线的定义,解题关键是作出正确的辅助线,掌握平行线的性质和角平分线的定义.【变式3】(2022春·山东聊城·七年级统考阶段练习)已知直线AB //CD ,EF 是截线,点M 在直线AB 、CD 之间.(1)如图1,连接GM ,HM .求证:∠M =∠AGM +∠CHM ;(2)如图2,在∠GHC 的角平分线上取两点M 、Q ,使得∠AGM =∠HGQ .试判断∠M 与∠GQH 之间的数量关系,并说明理由. 【答案】(1)证明见解答(2)180GQH M ∠=︒-∠;理由见解答【分析】(1)过点M 作MN AB ∥,由AB CD ∥,可知MN AB CD ∥∥.由此可知:AGM GMN ∠=∠,CHM HMN ∠=∠,故=AGM CHM GMN HMN M ∠+∠=∠+∠∠;(2)由(1)可知=AGM CHM M ∠+∠∠.再由CHM GHM ∠=∠,∠AGM =∠HGQ ,可知 :M HGQ GHM ∠=∠+∠,利用三角形内角和是180°,可得180GQH M ∠=︒-∠.(1)解:如图:过点M 作MN AB ∥, ∴MN AB CD ∥∥,∴AGM GMN ∠=∠,CHM HMN ∠=∠, ∵M GMN HMN ∠=∠+∠, ∴=M AGM CHM ∠∠+∠. (2)解:180GQH M ∠=︒-∠,理由如下: 如图:过点M 作MN AB ∥, 由(1)知=M AGM CHM ∠∠+∠, ∵HM 平分GHC ∠, ∴CHM GHM ∠=∠, ∵∠AGM =∠HGQ , ∴M HGQ GHM ∠=∠+∠, ∵180HGQ GHM GQH ∠+∠+∠=︒, ∴180GQH M ∠=︒-∠.【点评】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系,正确的作出辅助线是解决本题的关键,同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用.【经典例题二 平行基本模型之铅笔模型】【结论1】如图所示,AB ∥CD ,则∠B+∠BOC+∠C=360°【结论2】如图所示,∠B+∠BOC+∠C=360°,则AB ∥CD.变异的铅笔头:拐点数n,∠A+...+∠C=180°×(n+1)拐点数:1 拐点数:2 拐点数:n【例2】(2021·全国·九年级专题练习)如图,两直线AB 、CD 平行,则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=( ).A .630︒B .720︒C .800︒D .900︒ 【答案】D【解答】分别过E 点,F 点,G 点,H 点作L 1,L 2,L 3,L 4平行于AB观察图形可知,图中有5组同旁内角,则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠=1805900.⨯=故选D【点评】本题考查了平行线的性质,添加辅助线是解题的关键【变式训练】【变式1】(2022·全国·七年级假期作业)如图,直线//m n ,在Rt ABC 中,90B ,点A 落在直线m 上,BC 与直线n 交于点D ,若2130∠=︒,则1∠的度数为( ).A .30°B .40°C .50°D .65°【答案】B【分析】由题意过点B 作直线//l m ,利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案.【解答】解:如图,过点B 作直线//l m ,∵直线m//n ,//l m ,∴//l n ,∴∠2+∠3=180°,∵∠2=130°,∴∠3=50°,∵∠B=90°,∴∠4=90°-50°=40°,∵//l m ,∴∠1=∠4=40°.故选:B .【点评】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理,熟练掌握两直线平行,平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键.【变式2】(2020春·山西临汾·七年级统考期末)如图,一环湖公路的AB段为东西方向,经过四次拐弯∠+∠+∠+∠的度数是______.后,又变成了东西方向的FE段,则B C D E【答案】540°【分析】分别过点C,D作AB的平行线CG,DH,进而利用同旁内角互补可得∠B+∠BCD+∠CDE+∠E的大小.【解答】解:如图,根据题意可知:AB∥EF,分别过点C,D作AB的平行线CG,DH,所以AB∥CG∥DH∥EF,则∠B+∠BCG=180°,∠GCD+∠HDC=180°,∠HDE+∠DEF=180°,∴∠B+∠BCG+∠GCD+∠HDC+∠HDE+∠DEF=180°×3=540°,∴∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=540°.故答案为:540°.【点评】考查了平行线的性质,解题的关键是作辅助线,利用平行线的性质计算角的大小.【变式3】(2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习)已知直线AB∥CD,P为平面内一点,连接P A、PD.(1)如图1,已知∠A=50°,∠D=150°,求∠APD的度数;(2)如图2,判断∠P AB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为.∠P AB=∠APD,求∠AND的(3)如图3,在(2)的条件下,AP⊥PD,DN平分∠PDC,若∠P AN+12度数.【答案】(1)∠APD=80°;(2)∠P AB+∠CDP-∠APD=180°;(3)∠AND=45°.【分析】(1)首先过点P作PQ∥AB,则易得AB∥PQ∥CD,然后由两直线平行,同旁内角互补以及内错角相等,即可求解;(2)作PQ∥AB,易得AB∥PQ∥CD,根据平行线的性质,即可证得∠P AB+∠CDP-∠APD=180°;(3)先证明∠NOD=12∠P AB,∠ODN=12∠PDC,利用(2)的结论即可求解.【解答】解:(1)∵∠A=50°,∠D=150°,过点P作PQ∥AB,∴∠A=∠APQ=50°,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠D+∠DPQ=180°,则∠DPQ=180°-150°=30°,∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°;(2)∠P AB+∠CDP-∠APD=180°,如图,作PQ∥AB,∴∠P AB=∠APQ,∵AB∥CD,∴PQ∥CD,∴∠CDP+∠DPQ=180°,即∠DPQ=180°-∠CDP,∵∠APD=∠APQ-∠DPQ,∴∠APD=∠P AB-(180°-∠CDP)=∠P AB+∠CDP-180°;∴∠P AB+∠CDP-∠APD=180°;(3)设PD交AN于O,如图,∵AP⊥PD,∴∠APO=90°,由题知∠P AN+12∠P AB=∠APD,即∠P AN+12∠P AB=90°,又∵∠POA+∠P AN=180°-∠APO=90°,∴∠POA=12∠P AB,∵∠POA=∠NOD,∴∠NOD=12∠P AB,∵DN平分∠PDC,∴∠ODN=12∠PDC,∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-12(∠P AB+∠PDC),由(2)得∠P AB+∠CDP-∠APD=180°,∴∠P AB+∠PDC=180°+∠APD,∴∠AND=180°-12(∠P AB+∠PDC)=180°-12(180°+∠APD)=180°-12(180°+90°)=45°,即∠AND =45°.【点评】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.【经典例题三 平行基本模型之“鸡翅”模型】【例3】(2022秋·全国·八年级专题练习)①如图1,AB ∥CD ,则360A E C ∠+∠+∠=︒;②如图2,AB ∥CD ,则P A C ∠=∠-∠;③如图3,AB ∥CD ,则1E A ∠=∠+∠;④如图4,直线AB ∥CD ∥ EF ,点O 在直线EF 上,则180αβγ∠-∠+∠=︒.以上结论正确的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【分析】①过点E 作直线EF ∥AB ,由平行线的性质:两直线平行,同旁内角互补,即可得出结论; ②如图2,先根据三角形外角的性质得出∠1=∠C +∠P ,再根据两直线平行,内错角相等即可作出判断; ③如图3,过点E 作直线EF ∥AB ,由平行线的性质可得出∠A +∠AEC ﹣∠1=180°,即得∠AEC =180°+∠1﹣∠A ;④如图4,根据平行线的性质得出∠α=∠BOF ,∠γ+∠COF =180°,再利用角的关系解答即可.【解答】解:①如图1,过点E 作直线EF ∥AB ,∵AB ∥CD ,∴AB ∥CD ∥EF ,∴∠A +∠1=180°,∠2+∠C =180°,∴∠A +∠B +∠AEC =360°,故①错误;②如图2,∵∠1是△CEP的外角,∴∠1=∠C+∠P,∵AB∥CD,∴∠A=∠1,即∠P=∠A﹣∠C,故②正确;③如图3,过点E作直线EF∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥CD∥EF,∴∠A+∠3=180°,∠1=∠2,∴∠A+∠AEC﹣∠1=180°,即∠AEC=180°+∠1﹣∠A,故③错误;④如图4,∵AB∥EF,∴∠α=∠BOF,∵CD∥EF,∴∠γ+∠COF=180°,∵∠BOF=∠COF+∠β,∴∠COF=∠α﹣∠β,∴∠γ+∠α﹣∠β=180°,故④正确;综上结论正确的个数为2,故选:B.【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质,熟练掌握平行线的性质,根据题意作出辅助线是解答此题的关键.【变式训练】∠+∠=∠;【变式1】(2021秋·八年级课时练习)(1)已知:如图(a),直线DE AB∥.求证:ABC CDE BCD (2)如图(b),如果点C在AB与ED之外,其他条件不变,那么会有什么结果?你还能就本题作出什么新的猜想?∠-∠=∠,见解析【答案】(1)见解析;(2)当点C在AB与ED之外时,ABC CDE BCD【分析】(1)由题意首先过点C作CF∥AB,由直线AB∥ED,可得AB∥CF∥DE,然后由两直线平行,内错角相等,即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD;(2)根据题意首先由两直线平行,内错角相等,可得∠ABC=∠BFD,然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD.【解答】解:(1)证明:过点C作CF∥AB,∵AB∥ED,∴AB∥ED∥CF,∴∠BCF=∠ABC,∠DCF=∠EDC,∴∠ABC+∠CDE=∠BCD;(2)结论:∠ABC-∠CDE=∠BCD,证明:如图:∵AB∥ED,∴∠ABC=∠BFD,在△DFC中,∠BFD=∠BCD+∠CDE,∴∠ABC=∠BCD+∠CDE,∴∠ABC -∠CDE =∠BCD .若点C 在直线AB 与DE 之间,猜想360ABC BCD CDE ︒∠+∠+∠=,∵AB ∥ED ∥CF ,∴180,180,ABC BCF CDE DCF ︒︒∠+∠=∠+∠=∴360ABC BCD CDE ABC BCF DCF CDE ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=.【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质,熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键,注意掌握辅助线的作法.【变式2】(2021春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中)(1)如图(1)AB ∥CD ,猜想∠BPD 与∠B 、∠D 的关系,说出理由.(2)观察图(2),已知AB ∥CD ,猜想图中的∠BPD 与∠B 、∠D 的关系,并说明理由.(3)观察图(3)和(4),已知AB ∥CD ,猜想图中的∠BPD 与∠B 、∠D 的关系,不需要说明理由.【答案】(1)∠B +∠BPD +∠D =360°,理由见解析;(2)∠BPD =∠B +∠D ,理由见解析;(3)∠BPD =∠D -∠B 或∠BPD =∠B -∠D ,理由见解析【分析】(1)过点P 作EF ∥AB ,根据两直线平行,同旁内角互补即可求解;(2)首先过点P 作PE ∥AB ,由AB ∥CD ,可得PE ∥AB ∥CD ,根据两直线平行,内错角相等,即可得∠1=∠B ,∠2=∠D ,则可求得∠BPD =∠B +∠D .(3)由AB ∥CD ,根据两直线平行,内错角相等与三角形外角的性质,即可求得∠BPD 与∠B 、∠D 的关系.【解答】解:(1)如图(1)过点P 作EF ∥AB ,∴∠B+∠BPE=180°,∵AB∥CD,EF∥AB,∴EF∥CD,∴∠EPD+∠D=180°,∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°,∴∠B+∠BPD+∠D=360°.(2)∠BPD=∠B+∠D.理由:如图2,过点P作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥AB∥CD,∴∠1=∠B,∠2=∠D,∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D.(3)如图(3),∠BPD=∠D-∠B.理由:∵AB∥CD,∴∠1=∠D,∵∠1=∠B+∠BPD,∴∠D=∠B+∠BPD,即∠BPD=∠D-∠B;如图(4),∠BPD=∠B-∠D.理由:∵AB ∥CD ,∴∠1=∠B ,∵∠1=∠D +∠BPD ,∴∠B =∠D +∠BPD ,即∠BPD =∠B -∠D .【点评】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质.此题难度不大,解题的关键是注意掌握平行线的性质,注意辅助线的作法.【变式3】(2022·全国·七年级假期作业)已知,//AE BD ,A D ∠=∠.(1)如图1,求证://AB CD ;(2)如图2,作BAE ∠的平分线交CD 于点F ,点G 为AB 上一点,连接FG ,若CFG ∠的平分线交线段AG 于点H ,连接AC ,若ACE BAC BGM ∠=∠+∠,过点H 作HM FH ⊥交FG 的延长线于点M ,且3518E AFH ∠-∠=︒,求EAF GMH ∠+∠的度数.【答案】(1)见解析;(2)72︒【分析】(1)根据平行线的性质得出180A B ∠+∠=︒,再根据等量代换可得180B D ∠+∠=︒,最后根据平行线的判定即可得证;(2)过点E 作//EP CD ,延长DC 至Q ,过点M 作//MN AB ,根据平行线的性质及等量代换可得出ECQ BGM DFG ∠=∠=∠,再根据平角的含义得出ECF CFG ∠=∠,然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出,BHF CFH CFA FAB ∠=∠∠=∠;设,FAB CFH αβ∠=∠=,根据角的和差可得出2AEC AFH ∠=∠,结合已知条件35180AEC AFH ∠-∠=︒可求得18AFH ∠=︒,最后根据垂线的含义及平行线的性质,即可得出答案.【解答】(1)证明://AE BD180A B ∴∠+∠=︒A D ∠=∠180B D ∴∠+∠=︒ //AB CD ∴;(2)过点E 作//EP CD ,延长DC 至Q ,过点M 作//MN AB//AB CDQCA CAB ∴∠=∠,BGM DFG ∠=∠,CFH BHF ∠=∠,CFA FAG ∠=ACE BAC BGM ∠=∠+∠ECQ QCA BAC BGM ∴∠+∠=∠+∠ECQ BGM DFG ∴∠=∠=∠180,180ECQ ECD DFG CFG ∠+=︒∠+=︒ECF CFG ∴∠=∠//AB CD//AB EP ∴,PEA EAB PEC ECF ∴∠=∠∠=∠AEC PEC PEA ∠=∠-∠AEC ECF EAB ∴∠=∠-∠ECF AEC EAB ∴∠=∠+∠AF 平分BAE ∠12EAF FAB EAB ∴∠=∠=∠ FH 平分CFG ∠12CFH HFG CFG ∴∠=∠=∠ //CD AB,BHF CFH CFA FAB ∴∠=∠∠=∠设,FAB CFH αβ∠=∠=AFH CFH CFA CFH FAB ∠=∠-∠=∠-∠AFH βα∴∠=-,BHF CFH β∠=∠=222ECF AFH AEC EAB AFH AEC β∴∠+∠=∠+∠+∠=∠+22ECF AFH E BHF ∴∠+∠=∠+∠2AEC AFH ∴∠=∠35180AEC AFH ∠-∠=︒18AFH ∴∠=︒FH HM ⊥90FHM ∴∠=︒90GHM β∴∠=︒-180CFM NMF ∠+∠=︒90HMB HMN β∴∠=∠=︒-EAF FAB ∠=∠18EAF CFA CFH AFH β∴∠=∠=∠-∠=-︒189072EAF GMH ββ∴∠+∠=-︒+︒-=︒72EAF GMH ∴∠+∠=︒.【点评】本题考查了平行线的判定及性质,角平分线的定义,能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键.【经典例题四 平行基本模型之“骨折”模型】【例4】(2021·全国·九年级专题练习)如图所示,AB ∥CD ,∠E =37°,∠C = 20°,则∠EAB 的度数为__________.【答案】57°【分析】根据三角形内角和180°以及平行线的性质:1、如果两直线平行,那么它们的同位角相等;2、如果两直线平行,那么它们的同旁内角互补;3、如果两直线平行,那么它们的内错角相等,据此计算即可.【解答】解:设AE、CD交于点F,∵∠E=37°,∠C=20°,∴∠CFE=180°-37°-20°=123°,∴∠AFD=123°,∵AB∥CD,∴∠AFD+∠EAB=180°,∴∠EAB=180°-123°=57°,故答案为:57°.【点评】本题主要考查三角形内角和定理以及平行线的性质,熟知平行的性质是解题的关键.【变式训练】AB DE,∠ABC=80°,∠CDE=140°,则【变式1】(2022春·湖北黄冈·七年级校考期中)如图,已知//∠BCD=_____.【答案】40︒∠,再利【分析】延长ED交BC于M,根据两直线平行,内错角相等证明∠BMD=∠ABC,再求解CMD用三角形的外角的性质可得答案.【解答】解:延长ED交BC于M,∵//AB DE,∴∠BMD=∠ABC=80°,∴180100∠=︒-∠=︒;CMD BMD又∵∠CDE=∠CMD+∠C,∴14010040∠=∠-∠=︒-︒=︒.BCD CDE CMD故答案是:40°【点评】本题考查了平行线的性质.三角形的外角的性质,邻补角的定义,掌握以上知识是解题的关键.AB CD,则∠1+∠3-∠2的度【变式2】(2022春·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习)如图,若//数为______【答案】180°AB CD可得∠1=∠EFD,最后根据领【分析】延长EA交CD于点F,则有∠2+∠EFC=∠3,然后根据//补角及等量代换可求解.【解答】解:延长EA交CD于点F,如图所示:AB CD,//∴∠1=∠EFD,∠2+∠EFC=∠3,∴32∠=∠-∠,EFCEFC EFD∠∠=︒,+180∴132180∠+∠-∠=︒;故答案为180°.【点评】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质,熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键.【变式3】(2021春·全国·七年级专题练习)(1)如图,AB//CD,CF平分∠DCE,若∠DCF=30°,∠E=20°,求∠ABE的度数;(2)如图,AB//CD,∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE,若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°,求∠ABE 的度数.(3)如图,P为(2)中射线BE上一点,G是CD上任一点,PQ平分∠BPG,GN//PQ,GM平分∠DGP,若∠B=30°,求∠MGN的度数.【答案】(1)∠ABE=40°;(2)∠ABE=30°;(3)∠MGN=15°.【分析】(1)过E作EM∥AB,根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可;(2)过E作EM∥AB,过F作FN∥AB,根据平行线的判定与性质,角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可;(3)过P作PL∥AB,根据平行线的判定与性质,三角形的内角和定理,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,角平分线的定义解答即可.【解答】解:(1)过E作EM∥AB,∵AB∥CD,∴CD∥EM∥AB,∴∠ABE=∠BEM,∠DCE=∠CEM,∵CF平分∠DCE,∴∠DCE=2∠DCF,∵∠DCF=30°,∴∠DCE=60°,∴∠CEM=60°,又∵∠CEB=20°,∴∠BEM=∠CEM﹣∠CEB=40°,∴∠ABE=40°;(2)过E作EM∥AB,过F作FN∥AB,∵∠EBF=2∠ABF,∴设∠ABF=x,∠EBF=2x,则∠ABE=3x,∵CF平分∠DCE,∴设∠DCF=∠ECF=y,则∠DCE=2y,∵AB∥CD,∴EM∥AB∥CD,∴∠DCE=∠CEM=2y,∠BEM=∠ABE=3x,∴∠CEB=∠CEM﹣∠BEM=2y﹣3x,同理∠CFB=y﹣x,∵2∠CFB+(180°﹣∠CEB)=190°,∴2(y﹣x)+180°﹣(2y﹣3x)=190°,∴x=10°,∴∠ABE=3x=30°;(3)过P作PL∥AB,∵GM平分∠DGP,∴设∠DGM=∠PGM=y,则∠DGP=2y,∵PQ平分∠BPG,∴设∠BPQ=∠GPQ=x,则∠BPG=2x,∵PQ∥GN,∴∠PGN=∠GPQ=x,∵AB∥CD,∴PL∥AB∥CD,∴∠GPL=∠DGP=2y,∠BPL=∠ABP=30°,∵∠BPL=∠GPL﹣∠BPG,∴30°=2y﹣2x,∴y﹣x=15°,∵∠MGN=∠PGM﹣∠PGN=y﹣x,∴∠MGN=15°.【点评】此题考查平行线的判定与性质,角平分线的定义,三角形的内角和定理,解题关键在于作辅助线和掌握判定定理.【培优检测】1.(2022·全国·七年级假期作业)如图,AB//ED,α=∠A+∠E,β=∠B+∠C+∠D,则β与α的数量关系是()A.2β=3αB.β=2αC.2β=5αD.β=3α【分析】作CF//ED,利用平行线的性质求得β与α,再判断β与α的数量关系即可.【解答】解:如图,作CF//ED,∵AB//ED,∴∠A+∠E=180°= α,∵ED//CF,∴∠D+∠DCF=180°,∵AB//ED,ED//CF,∴AB//CF,∴∠B+∠BCF=180°,∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°即∠B+∠C+∠D =360°= β,∴β=2α.故选B.【点评】本题考查了平行线的性质,熟悉运用平行线的性质是解题的关键.2.(2020·湖南·中考真题)如图,已知AB∥DE,∠1=30°,∠2=35°,则∠BCE的度数为()A.70°B.65°C.35°D.5°【答案】B【分析】作CF∥AB,根据平行线的性质可以得到∠1=∠BCF,∠FCE=∠2,从而可得∠BCE的度数,本题得以解决.【解答】作CF∥AB,∴CF∥DE,∴AB∥DE∥DE,∴∠1=∠BCF,∠FCE=∠2,∵∠1=30°,∠2=35°,∴∠BCF=30°,∠FCE=35°,∴∠BCE=65°,故选:B.【点评】本题考查平行线的性质,解答本题的关键是明确题意,利用平行线的性质解答.3.(2021·全国·九年级专题练习)把一副三角板放在水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,则∠1的度数是()A.90°B.105°C.120°D.135°【答案】B【分析】先作直线OE平行于直角三角板的斜边,根据平行线的性质即可得到答案.【解答】作直线OE平行于直角三角板的斜边.可得:∠A=∠AOE=60°,∠C=∠EOC=45°,故∠1的度数是:60°+45°=105°.故选B.【点评】本题考查平行线的性质,解题的关键是掌握平行线的性质.4.(2021春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆师范大学附属中学校考阶段练习)如图所示,AB∥CD,则∠A+∠E+∠F+∠C等于()A .180°B .360°C .540°D .720°【答案】C【解答】解:作EM ∥AB ,FN ∥AB ,∵AB ∥CD ,∴AB ∥EM ∥FN ∥CD .∴∠A+∠AEM=180°,∠MEF+∠EFN=180°,∠NFC+∠C=180°,∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°.故选:C .5.(2022·全国·七年级假期作业)如图,已知//AB CD ,140A ∠=︒,120E ∠=︒,则C ∠的度数是( )A .80°B .120°C .100°D .140°【答案】C【分析】过E 作直线MN //AB ,根据两直线平行,同旁内角互补即可求出∠1,进而可求出∠2,然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN //CD ,根据平行线性质从而求出∠C .【解答】解:过E 作直线MN //AB ,如下图所示,∵MN //AB ,∴∠A +∠1=180°(两直线平行,同旁内角互补),∴∠1=180°﹣∠A =180°﹣140°=40°,∵12120AEC ∠=∠+∠=︒,∴211204080AEC ∠=∠-∠=︒-︒=︒∵MN //AB ,AB //CD ,∴MN //CD ,∴∠C +∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补),∴∠C =180°﹣∠2=180°﹣80°=100°,故选:C .【点评】此题考查的是平行线的判定及性质,掌握构造平行线的方法是解决此题的关键.6.(2022春·甘肃金昌·七年级校考期中)如图,已知//AB DE ,则123∠+∠+∠的度数是( )A .180︒B .270︒C .360︒D .540︒【答案】C【分析】由题意过点C 作CF//AB ,可得CF//ED ,进而利用平行线的性质进行分析计算即可.【解答】解:过点C 作CF//AB ,∵CF//AB ,//AB DE ,∴CF//ED ,∴∠1+∠ACF=180°,∠FCD+∠3=180°,∵∠2=∠FCD+∠ACF,∴123∠+∠+∠=∠1+∠ACF +∠FCD+∠3=180°+180°=360°.故选:C .【点评】本题考查平行线的性质,注意掌握两直线平行时,巧妙构造辅助线,熟练运用平行线的性质,由两直线平行的关系得到角之间的数量关系,从而达到解决问题的目的. 7.(2022·全国·七年级假期作业)如图,已知//a b ,将直角三角形如图放置,若∠2=40°,则∠1为( )A .120°B .130°C .140°D .150°【答案】B【分析】过A 作AB ∥a ,即可得到a ∥b ∥AB ,依据平行线的性质,即可得到∠5的度数,进而得出1∠的度数.【解答】解:标注字母,如图所示,过A 作AB ∥a ,∵a ∥b , ∴a ∥b ∥AB ,∴∠2=∠3=40°,∠4=∠5,又∵∠CAD=90°,∴∠4=50°,∴∠5=50°,∴∠1=180°-50°=130°,故选:B .【点评】本题考查了平行线的性质,平行公理,熟记性质并作出辅助线是解题的关键.8.(2021春·全国·七年级专题练习)如图,已知AB//CD ,则α∠,∠β,γ∠之间的等量关系为( )A .180αβγ∠+∠-∠=︒B .180βγα︒∠+∠-∠=C .360αβγ︒∠+∠+∠=D .180αβγ∠+∠+∠=︒【答案】C。
初一下数学培优辅导5(平行线与相交线2)
初一下数学培优辅导5平 行 线 与 相 交 线(2)例1:如图:已知直线a ∥b ,直线AB 交a 与b 于A 、B ,AC 平分∠1,CB 平分∠2. 试说明:∠C=090.例2:如图所示,已知AE ∥BD ,∠1=3∠2,∠2=025,求∠C.例3:如图所示,1AA ∥2BA ,求∠1A -∠1B +∠2A 的值.例4:如图,已知AB ∥CD ,CM 平分∠BCD ,∠B =074,CM ⊥CN ,求∠NCE 的度数.例5:已知:如图CD ⊥AB 于D ,GF ⊥AB 于F ,∠1=∠2,试说明:DE ∥BC .21ba CBAF21EDC BAB 1A 1A 2BAN M EDC BA3G F21ED CB A例6:已知:如图∠B =0120,∠C =060,DF 平分∠ADC ,AG 平分∠EAB .试说明:DF ∥AG .例7:如图,AC AE 、是直线,∠1=∠2=∠A ,试说明:(1)∠A +∠0180ADF =; (2)∠ADF =∠ABF .例8:如图,AB ∥EF ,求∠A +∠ACE +∠E 的值.例9:已知:如图,AB∥CD,BE∥CF . 试说明:∠1=∠4.例10:已知:如图,BE∥DF,∠B=∠D . 试说明:AD∥BC .GF21E DCBAF 21ED CB A FE C BA3412EPQDCB Aba21D CBA DFCBEA3241C DBA一、选择题(3×10=30)1.互为余角的两个角的差是20o ,则这两个角中较小的那个角的补角是( ) A .105o B .115o C .135o D .145o2.如果∠1与∠2是同旁内角,则∠1与∠2与的关系是( ) A .相等 B .互补 C .互余 D .无法确定 3.如图,以下推理正确的是( )A .因为∠1=∠2,所以PB ∥DQ (同位角相等,两直线平行 ) B .因为∠1+∠3=∠2+∠4,所以P B ∥DQ (同位角相等,两直线平行)C .因为∠3=∠4,所以P B ∥DQ (同位角相等,两直线平行 )D .因为∠1=∠4,所以P B ∥DQ (同位角相等,两直线平行 )3题 4题 5题 4.如图,a ∥b ,若∠1=50o ,则∠2的度数为( ) A .15o B .120o C .130o D .140o5.如图,在四边形ABCD 中,能使DC 与AB 平行的条件是 ( ) A .∠A 与∠B 互补 B .∠A 与∠C 相等 C .∠B 与∠C 互补 D .∠B 与∠D 相等6.在同一平面内,四条直线的交点个数不能是( )A .2个B .3个C .4个D .5个 7题 7.如图,C D ⊥AB ,CE ⊥CF ,则图中互补的角有( )A .4对B .5对C .6对D .7对8.如图,四条直线相交,∠1和∠2互余,∠3是∠1的 余角的补角,且∠3=116o ,则∠4为( )A .116oB .154oC .164oD .126o 8题 9.下列说法正确的个数是( )①若∠1+∠2+∠3=180o ,则∠1与∠2,∠3互为补角②若两个角互为余角,且他们的度数之比为4:6,则这两个角的度数分别为40o 和60o ③一个锐角的余角比这个角大④一个锐角的补角比这个角大⑤EDFCBA F ED CBABA21CBAb aBCOA若两个角互余,则这两个角都是锐角⑥若两个角互补,则这两个角中一个是锐角,一个是钝角 A .5个 B .4个 C .3个 D .2个10.如果∠A 与∠B 互为补角,∠A ﹥∠B ,那么∠B 的余角为( ) A .21(∠A+∠B ) B .21∠A C .21(∠A-∠B ) D .不能确定 二、填空题(3×8=24)1.若∠A=30o 44’,则∠A 的余角为 ,∠A 的补角为2.如图,要使得A B ∥CD ,必须具备的条件是 或 或 3.互为补角的两个角之比为3:2,这个两个角的度数为 和 4.如图,如果D E ∥BC ,则有∠AED= ,∠B+ =180o2题 4题 5题5.平面镜A 与B 之间夹角为120o ,光线经平面镜A 反射在平面镜B 上,再反射出去,若∠1=∠2,则∠1=6.∠A 的余角与∠A 的补角互为补角,那么2∠A= 度 7.若∠A 和∠B 的两边分别平行,则∠A 和∠B 的数量关系 为8.如图“回”字型的道路宽为1米,整个“回”字形的OA 8题长为8米,宽OC 长为7米,一个人从入口点A 沿着道路中央走到终点B ,他共走了 三、作图题(尺规作图,要求保留作图痕迹,不写作法,4×2=8) 1.已知∠ABC ,求作∠A ’B ’C ’=2∠ABC2.已知线段a 和b ,a ﹥b ,求作线段AB=2b-a21F EDCBACEAB12GFE DCB A四、解答题(38分)1.已知:如图所示,∠BED=∠B+∠D,求证:A B ∥CD (5分) 证明:过E 作直线EF ,使E F ∥AB∵E F ∥AB∴∠1= ( ) ∵∠EBD=∠B+∠D ( 已知 )∴∠2=∠D ( ) ∴EF ∥CD ( ) ∴AB ∥CD ( ) 2.一个角的补角与它的余角的2倍的差是平角的31,求这个角的度数?(6分)3.如图,从A 岛测得灯塔C 为北偏东70o ,从B 岛测得C 在南偏东40o ,求∠BCA 的度数(6分) 北北 北4.如图,AB ∥CD ,直线EF 分别交AB ,CD 于E ,F 。
专题06 平行线中三角尺综合运用(原卷版)七年级数学下册《高分突破-培优新方法》(北师大版)
专题06平行线中三角尺综合运用1.(2022秋•天山区校级期末)把一块直尺与一块三角板如图放置,若∠1=38°,则∠2的度数是()A.128°B.138°C.142°D.152°2.(2022秋•和平区校级期末)将直尺和三角板按如图所示的位置放置.若∠1=40°,则∠2度数是()A.60°B.40°C.80°D.70°3.(2022秋•通川区期末)已知直线m∥n,将一块含30°角的直角三角板ABC,按如图所示方式放置,其中A、B两点分别落在直线m、n上,若∠1=35°,则∠2的度数是()A.45°B.35°C.30°D.25°4.(2022秋•长清区期末)如图,直角三角板的直角顶点放在直线b上,且a∥b,∠1=55°,则∠2的度数为()A.35°B.45°C.55°D.25°5.(2022秋•丹东期末)若将一副三角板按如图所示的方式放置,则下列结论正确的是()A.∠1=∠2B.如果∠2=30°,则有AC∥DEC.如果∠2=45°,则有∠4=∠D D.如果∠2=50°,则有BC∥AE 6.(2022•定远县模拟)将一副三角板按如图所示放置,则下列结论:①∠1=∠3;②如果∠2=30°,则有AC∥DE;③如果∠2=30°,则有BC∥AD;④如果∠2=30°,必有∠4=∠C.其中正确的有()A.①③B.①②④C.③④D.①②③④7.(2022春•秦淮区校级月考)已知直线a∥b,将一块含30°角的直角三角板(∠BAC=30°,∠ACB=90°)按如图所示的方式放置,并且顶点A,C分别落在直线a,b上,若∠1=22°.则∠2的度数是()A.38°B.45°C.52°D.58°8.(2022春•龙岗区校级期中)一副直角三角板如图放置(∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°),如果点C在FD的延长线上,点B在DE上,且AB∥CF,则∠DBC的度数为()A.10°B.15°C.18°D.30°9.(2022春•宁阳县期末)将含30°角的一个直角三角板和一把直尺如图放置,若∠1=50°,则∠2等于()A.80°B.100°C.110°D.120°10.(2022春•罗庄区期末)将直角三角板按照如图方式摆放,直线a∥b,∠1=136°,则∠2的度数为()A.44°B.45°C.46°D.56°11.(2022春•盐田区校级期中)如图,m∥n∥l,一块三角板按图所示摆放,则下列结论正确的有()①∠1+∠2=90°;②∠3+∠4=∠5;③∠5+∠6−∠1=90°;④∠5+∠6=∠2+2∠4.A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④12.(2022春•蜀山区期末)将一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起,若AC∥DE,则∠BCE的度数为()A.65°B.70°C.75°D.80°13.(2022•深圳)一副三角板如图所示放置,斜边平行,则∠1的度数为()A.5°B.10°C.15°D.20°14.(2022春•玄武区期末)将两个形状相同,大小不同的三角板按如图所示方式放置,C是公共顶点,且∠ACB=∠A'CB'=90°,∠B=∠B'=60°.对于下列三个结论,其中正确的结论有()①∠1+∠ACB'=180°;②∠B'DA﹣∠1=90°;③如果∠1=30°,那么AB∥CB'.A.①②B.②③C.①③D.①②③15.(2022•南召县模拟)将一块含30°角的直角三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放,若∠2=40°,则∠1的度数为()A.10°B.15°C.20°D.25°16.(2022秋•城关区校级期末)同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动,提出了很多数学问题,请你解答:(1)如图1,∠α和∠β具有怎样的数量关系?请说明理由;(2)如图2,∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q,求∠FQG的大小.17.(2022秋•渝中区校级期末)已知,AB∥CD,直线FE交AB于点E,交CD 于点F,点M在线段EF上,过M作射线MR、MP分别交射线AB、CD于点N、Q.(1)如图1,当MR⊥MP时,求∠MNB+∠MQD的度数;(2)如图2,若∠DQP和∠MNB的角平分线交于点G,求∠NMQ和∠NGQ的数量关系;(3)如图3,当MR⊥MP,且∠EFD=60°,∠EMR=20°时,作∠MNB的角平分线NG.把一三角板OKI的直角顶点O置于点M处,两直角边分别与MR和MP重合,将其绕点O点顺时针旋转,速度为5°每秒,当OI落在MF 上时,三角板改为以相同速度逆时针旋转.三角板开始运动的同时∠BNG绕点N以3°每秒的速度顺时针旋转,记旋转中的∠BNG为∠B'NG',当NG'和NA重合时,整个运动停止.设运动时间为t秒,当∠B'NG'的一边和三角板的一直角边互相平行时,请直接写出t的值.18.(2020秋•景德镇期末)含30度角的直角三角板和直尺按如图所示方式放置,直尺与三角板的外围边缘分别交于A,B,C,D四点.(1)若∠3=95°,试求∠2的大小.(2)∠1与∠2的和是否的定值,若为定值,请求出该定值;若不为定值,请说明理由.19.(2022春•顺德区校级月考)如图1,把一块含30°的直角三角板ABC的BC 边放置于长方形直尺DEFG的EF边上.(1)填空:∠1=°,∠2=°(2)如图2,现把三角板绕B点逆时针旋转n°,当0<n<90,且点C恰好落在DG边上时,①请直接写出∠1=°,∠2=°(结果用含n的代数式表示);②若∠2恰好是∠1的倍,求n的值.(3)如图1三角板ABC的放置,现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM,同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN,当射线QN旋转至与QB重合时,则射线BM、QN均停止转动,设旋转时间为t(s).①在旋转过程中,若射线BM与射线QN相交,设交点为P.当t=20(s)时,则∠QPB=°②在旋转过程中,是否存在BM∥QN.若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.20.(2022•南谯区校级开学)如图,将一副直角三角板放在同一条直线AB上,其中∠ONM=30°,∠OCD=45°.(1)将图①中的三角板OMN沿BA方向平移至图②的位置,MN与CD相交于点E,求∠CEN的度数;(2)将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转,使∠BON=30°,如图③,MN与CD相交于点E,求∠CEN的度数;(3)将图①中的三角尺COD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转过程中,在第几秒时,MN恰好与CD平行;第几秒时,MN恰好与直线CD垂直.21.(2022春•新罗区期中)如图1,直线DE上有一点O,过点O在直线DE上方作射线OC.将一直角三角板AOB(∠OAB=30°)的直角顶点放在点O 处,一条直角边OA在射线OD上,另一边OB在直线DE上方.将直角三角板绕着点O按每秒20°的速度逆时针旋转一周,设旋转时间为t秒.(1)当直角三角板旋转到如图2的位置时,OA恰好平分∠COD,此时,∠BOC与∠BOE之间有何数量关系?并说明理由;(2)在旋转的过程中,若射线OC的位置保持不变,且∠COE=140°.①当边AB与射线OE相交时(如图3),则∠AOC﹣∠BOE的值为;②当边AB所在的直线与OC平行时,求t的值.22.(2022春•岳阳期末)如图,已知∠DCF和∠ECF互为邻补角,∠DCF=α(0<α<90°),将一个三角板的直角顶点放在点C处(注:∠ACB=90°,∠ABC=60°).(1)如图1,使三角板的短直角边BC与射线CD重合,若α=40°,则∠ACF =.(2)如图2,将图1中的三角板ABC绕点C顺时针旋转60°,试判断此时AB与DE的位置关系,并说明理由.(3)如图3,将图1中的三角板ABC绕点C顺时针旋转β(0<β<90°),使得∠ACE=∠BCF,此时α和β满足什么关系?请说明理由.(4)将图1中的三角板绕点C以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周,在旋转的过程中,第t秒时,AC恰好与直线CF重合,求t的值(用含α的式子表示).23.(2022春•平南县期末)如图已知∠MON=α(0°<α<90°),有一块三角板ABC,其中∠ACB=90°,∠BAC=30°,现将该三角板如图所示放置,使顶点B始终落在ON上,过点A作DA∥ON交OM于点E.(1)如图1,若BC∥OM,∠CAD=40°,请求出α的大小;(2)若∠BAE的平分线AP交ON于点P;①如图2,当AP∥OM,且α=60°时,请说明:BC∥OM;②如图3,将三角板ABC沿直线ON从左往右平移,且在平移的过程中,始终保持BC∥OM不变,请探究∠OPA与α之间的数量关系,并直接写出你的结论.24.(2022春•莆田期末)李想是一位善于思考的学生,在一次数学活动课上,他将一块含有60°的直角三角板摆放在一组平行线上展开探究.已知直线EF ∥GH,直角三角板ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=60°,点C为直线EF 上一定点.将直角三角板ABC绕点C转动,当点A在直线GH上时,点B也恰好在直线GH上.(1)如图1,求∠ECB的度数;(2)如图2,若点A在直线EF上方,点B在GH下方,BC与GH交于点Q,作∠ACE的角平分线并反向延长与∠CQH的角平分线交于点O.在直角三角板ABC绕点C转动的过程中,∠O的度数是否保持不变?若不变,求出∠O 的度数;否则,请说明理由;(3)如图3,直角三角板ABC绕点C转动,若点A在直线EF,GH之间(不含EF,GH上),点B在GH下方,AB,BC分别与GH交于点P,Q.设∠FCB=n°,是否存在正整数m和n,使得∠APH=m∠FCB,若存在,请求出m和n的值;若不存在,请说明理由.25.(2022春•岳池县期中)已知在三角板ABC中,∠BAC=60°,∠B=30°,∠C=90°,在长方形DEFG中,DE‖GF.如图①,若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上,AB⊥DE于点N,BC与DE相交于点M,则∠EMC的度数是多少呢?若过点C作CH‖GF,则CH‖DE,这样就将∠CAF转化为∠HCA,∠EMC转化为∠MCH,从而可以求得∠EMC的度数.(1)请你直接写出:∠CAF=°,∠EMC=°;(2)若将三角板ABC按图②所示方式摆放(AB与DE不垂直),请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系,并证明你的猜想;(3)请在图②中探究∠BAG与∠BMD有何数量关系?并说明理由.26.(2021秋•南岗区校级期末)已知:直线AB∥CD,一块三角板EFH,其中∠EFH=90°,∠EHF=60°.(1)如图1,三角板EFH的顶点H落在直线CD上,并使EH与直线AB相交于点G,若∠2=2∠1,求∠1的度数;(2)如图2,当三角板EFH的顶点F落在直线AB上,且顶点H仍在直线CD上时,EF与直线CD相交于点M,试确定∠E、∠AFE、∠MHE的数量关系;(3)如图3,当三角板EFH的顶点F落在直线AB上,顶点H在AB、CD之间,而顶点E恰好落在直线CD上时得△EFH,在线段EH上取点P,连接FP并延长交直线CD于点T,在线段EF上取点K,连接PK并延长交∠CEH 的角平分线于点Q,若∠Q﹣∠HFT=15°,且∠EFT=∠ETF,求证:PQ∥FH.27.(2021秋•王益区期末)已知:∠AOB=α(0°<α<90°),一块三角板CDE 中,∠CED=90°,∠CDE=30°,将三角板CDE如图所示放置,使顶点C 落在OB边上,经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M,且点M在点D 的左侧.(1)如图,若CE∥OA,∠NDE=45°,则α=°;(2)若∠MDC的平分线DF交OB边于点F,①如图,当DF∥OA,且α=60°时,试说明:CE∥OA;②如图,当CE∥OA保持不变时,试求出∠OFD与α之间的数量关系.28.(2022春•睢阳区期末)问题情境:我们知道,“如果两条平行被第三条直线所截,所截得的同位角相等,内错角相等,同旁内角互补”,所以在某些探究性度量中通过“构造平行线”可以起到转化角的作用.已知三角板ABC中,∠BAC=60°,∠B=30°,∠C=90°,长方形DEFG 中,DE∥GF.问题初探:如图(1),若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上,BC与DE相交于点M,AB⊥DE于点N.则∠EMC的度数是多少呢?若过点C作CH∥GF,则CH∥DE,这样就将∠CAF转化为∠HCA,∠EMC转化为∠MCH,从而可以求得∠EMC的度数为….(1)请你直接写出:∠CAF=°,∠EMC=°.类比再探:(2)若将三角板ABC按图(2)所示方式摆放(AB与DE不垂直),请你猜想∠EMC与∠CAF的数量关系?并说明理由.方法迁移:(3)请你总结(1),(2)解决问题的思路,在图(2)中探究∠BAG与∠BMD 的数量关系?并说明理由.29.(2019春•南开区校级月考)如图1,点B,点C分别在线段AD、线段MN 上,且∠NCE+∠CEB﹣∠ABE=180°.(1)求证:AD∥MN;(2)如图2,把一个三角板的直角顶点放在点C处,三角板直角边在射线CI,CG上,其中CG平分∠ECM,BF平分∠DBE,交CI于点F,当∠CEB=80°时,求∠CFB的度数,写出推导过程;(3)在(2)的条件下,如图3,过点E作EH∥BF,交CG于点H,当∠CHE =α,∠BFI=β,请直接写出α和β的关系式.30.(2020春•海陵区校级期末)如图,直线OM⊥ON,垂足为O,三角板的直角顶点C落在∠MON的内部,三角板的另两条直角边分别与ON、OM交于点D和点B.(1)填空:∠OBC+∠ODC=;(2)如图1:若DE平分∠ODC,BF平分∠CBM,求证:DE⊥BF:(3)如图2:若BF、DG分别平分∠CBM、∠NDC,判断BF与DG的位置关系,并说明理由.。
七年级下册数学平行线三角形期末总复习知识点学案教案练习
16专题《综合平行线、三角形复习》核心例讲独立自主回忆复述平行线性质1、2、3、平行线判定定理1、、2、3、4、5、平行线基本功考验、1、如图,AD ∥BC ,BD 平分∠ABC ,且︒=∠110A ,则=∠D ▲ .2、如图,AB CD ⊥于点B BE ,是ABD ∠的平分线,则CBE ∠的度数为 .°3、如图,1502110AB CD ∠=∠=∥,°,°,则3∠= .4、如图5,直线a 、b 被c 所截,且11202a b ∠=∠=∥,°,则 °.5、在图2中,直线AB ∥CD ,直线EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F , 如果∠1=46°,那么∠2= °.6、如图AB//CD,直线EF 与AB 、CD分别相交于E 、F 两点,EP 平分∠AEF,过点F 作FP ⊥EP,垂足为P ,若∠PEF=300,则∠PFC=__________。
cab1 2 图5ADCBAEDBCABC 123 300 PFEBA CDFEDC BA2 1 图27、如图,1502110AB CD ∠=∠=∥,°,°,则3∠= . 8、如图,已知AB ED ∥,58B ∠=°,35C ∠=°,则D ∠的度数为________.9、如图,已知//AE BD ,∠1=130o ,∠2=30o ,则∠C = . 10、如图,AB ∥CD ,∠BAC 的平分线和∠ACD 的平分线交于点E ,则∠AEC 的度数是 .11、如图,AB ∥CD ,AE 交CD 于点C ,DE ⊥AE ,垂足为E ,∠A =37º,求∠D 的度数是_____.三角形基础性质定理回忆、思考提示:点、线、面、角,增新点线形构成新图形、性质、定理等,周长、面积等。
三角形基本功考验、1.如图:(1)AD ⊥BC ,垂足为D ,则AD 是________的高, ∠________=∠________=90°;(2)AE 平分∠BAC ,交BC 于点E ,则AE 叫________,∠________=∠________=21∠________,AH 叫________;(3)若AF =FC ,则△ABC 的中线是________;(4)若BG =GH =HF ,则AG 是________的中线,AH 是________的中线.A B D C1 23 DE AB CED CBAABCDE2.如图,∠ABC =∠ADC =∠FEC =90°.(1)在△ABC 中,BC 边上的高是________; (2)在△AEC 中,AE 边上的高是________; (3)在△FEC 中,EC 边上的高是________;(4)若AB =CD =3,AE =5,则△AEC 的面积为________. 3.在等腰△ABC 中,如果两边长分别为6cm 、10cm ,则这个等腰三角形的周长为________.4.线段长分别为1cm 、2cm 、3cm 、4cm 、5cm ,以其中三条线段为边长共可以组成________个三角形. 5.已知三角形的两边长分别为3和10,周长恰好是6的倍数,那么第三边长为________. 6.一个等腰三角形的周长为5cm ,如果它的三边长都是整数,那么它的腰长为________cm . 7.在△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =5∶2∶3,则∠A =______;∠B =______;∠C =______.8.如图,△ABC 中,∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点I . (1)若∠ABC =70°,∠ACB =50°,则∠BIC =________; (2)若∠ABC +∠ACB =120°,则∠BIC =________; (3)若∠A =60°,则∠BIC =________; (4)若∠A =100°,则∠BIC =________; (5)若∠A =n °,则∠BIC =________.9、△ABC 外角平分线AD 交CD 于D ,设角ABC=n °, 则∠ADC=10、△ABC 内、外角平分线BE 交CE 于E,设角A=n °,则∠E=培优训练培优、1、若设,,a b c 是△ABC 的三边,则a b c a b c +++--=2、已知,,a b c 是△ABC 的三边,2,5a b ==,且三角形的周长是偶数,(1)求c 的值;(2)判断△ABC 的形状。
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第一部分1.如图,下列条件中,不能判断直线a//b 的是( )A.∠1=∠3B.∠2=∠3C.∠4=∠5D.∠2+∠4=180°2.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置,下列结论:(1)∠1=∠2;(2)∠3=∠4;(3)∠2+∠4=900;(4)∠4+∠5=1800;其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.下列说法正确的是( )A.若两条直线被第三条直线所截,则同旁内角互补B.相等的角是对顶角C.有一条公共边并且和为180º的两个角互为邻补角D.若三条直线两两相交,则共有6对对顶角4.如图,将三个相同的三角尺不重叠不留空隙地拼在一起,观察图形,在线段AB 、AC 、AE 、ED 、EC 、DB 中,相互平行的线段有( ).A.4组B.3组C.2组D.1组5.用八根木条钉成如图所示的八边形木架,要使它不变形,至少要钉上木条的根数是( )A.3根B.4根C.5根D.6根 6.等腰三角形的一个角为40°,则它的底角为( )A.100°B.40°C.70°D.70°或40° 7.如图所示,A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠等于( )A.1800B.2700C.3600D.540021ED CABA‘8.如图,把△ABC 纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 的外部时,则∠A 与∠1、∠2之间保持一种数量关系始终不变,请试着找一找这个规律,你发现的规律是( )A .∠A=∠1-∠2B .2∠A=∠1-∠2C .3∠A=2∠1-∠2D .3∠A=2(∠1-∠2) 9.一个多边形去掉一个角后,形成另一个多边形的内角和是2520°,则原多边形的边数是( ) A .14 B .16 C .15或17 D .15或16或1710.如图, AB ∥CD, OE 平分∠BOC, OF ⊥OE, OP ⊥CD, ∠ABO =40°, 则下列结论: ①∠BOE =70°; ②OF 平分∠BOD; ③∠POE =∠BOF; ④∠POB =2∠DOF. 其中正确结论有( ) A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.①②④11.如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D '、C '的位置,若70=∠EFB ,则D AE '∠等于______12.若(m ,n )在第二象限,则(2-m ,n-1)在第 象限。
13.三角形三顶点的坐标分别为A(a,b),B(c,d),C(m,n),把三角形ABC•向右平移x 个单位向下平移2个单位得到三角形A ′B ′C ′,A ′点的坐标是14.已知点P 的坐标(2-a ,3a+6),且点P 到两坐标轴的距离相等,则点P 的坐标是 15.已知,线段AB 的端点A,B 坐标分别为A(3,1),B(5,5),将线段AB 平移,使得线段AB 的两端点都在坐标轴上,则平移后的点A 的坐标是16.如图,在长方形草地内修建了宽为2米的道路,则草地面积为_______米2.17.生活中,将一个宽度相等的纸条按图5所示折叠一下, 如果∠1=140º,那么∠2=____ 18.将点P(-3,4)先向下平移3个单位,再向左平移2个单位后得到点Q ,则点Q 的坐标是19.一个长方形的三个顶点坐标为(-1,-1),(-1,2),(3,-1),则第四个顶点的坐标是20.如图,把直角梯形ABCD 沿AD 方向平移到梯形EFGH 的位置,HG=24cm ,MG=8cm ,MC=6cm ,则阴影部分的面积是CF21.一个三角形的三边分别为3、1-2m 、8,则m 的取值范围是 22.等腰三角形的周长为24cm ,腰长为xcm,则x 的取值范围23.如图,DE AB //,AC GF //,如果∠B 、∠C 都不等于∠A ,那么除∠A 外与∠A 相等的角有 个。
24.如图,若直线AB ∥ED,你能推出∠ABC,∠BCD,∠CDE 之间的数量关系吗?请说明理由。
25.如图,将一张长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在点D ′、C ′的位置,ED ′的延长线与BC 相交于点G .若∠EFB =50°,求∠1、∠2的度数.26.如图,在直角坐标系中,)23,6(),5,2(--B A ,求OAB ∆的面积.27.如图:C D 是△A B C 中∠A C B 的外角平分线, 请猜测∠B A C 和∠B 的大小关系,并说明理由.28.一个三角形有两条边相等,周长为18,且每一条边的长都是整数,求这个三角形三边的长。
29.在三角形△A B C 中,B O 平分∠A B C ,C O 平分∠A C B ,D E 过O 且平行于B C ,如果△A D E 的周长为10c m ,B C =5c m ,那么△A B C 的周长是多少?并说清理由。
AE CD OB30.如图,BD 是△ABC 的角平分线,DE ∥BC ,交AB 于点E ,∠A=38°,∠BDC=55°,求△BED 各内角的度数。
31.如图,已知在∆ABC 中,∠C=∠ABC,BE ⊥AC,∆BDE 是正三角形,求∠C 的度数。
32.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,P 为线段AD 上的一个点,PE ⊥AD 交直线BC 于点E .(1)若∠B=30°,∠ACB=70°,则∠ADC=_________,∠E=_________; (2)若∠B=58°,∠ACB=102°,则∠ADC=_________,∠E=_________;(3)若∠B=m °,∠ACB=n °,且n >m ,请用含m 、n 的式子表示∠ADC ,∠E 的度数.33.已知线段8AC =,6BD =.(1)已知线段AC 垂直于线段BD .设图(1)、图(2)和图(3)中的四边形ABCD 的面积分别为1S ,2S 和3S ,则1S = ,2S = ,3S = ;(2)如图(4),对于线段AC 与线段BD 垂直相交(垂足O 不与点A ,C ,B ,D 重合)的任意情形,请你就四边形ABCD 面积的大小提出猜想,并证明你的猜想.34.实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.如图,即∠1=∠4,∠5=∠6.⑴如图,一束光线m 射到平面镜a 上,被a 反射到平面镜b 上,又被b 反射.若被b 反射出的光线n 与光线m 平行,且∠1=50°,则∠3= °.⑵在⑴中,若∠1=55°,则∠3= °;若∠1=40°,则∠3= °;⑶由⑴、⑵,请你猜想:当两平面镜a 、b 的夹角∠3= °时,可以使任何射到平面镜a 上的光线m ,经过平面镜a 、b 的两次反射后,入射光线m 与反射光线n 平行.你能说明理由吗?35.(1)已知△ABC为正三角形,点M是BC上一点,点N是AC上一点,AM、BN相交于点Q,∠BAM=∠NBC,猜想∠BQM等于多少度,并证明你的猜想;将(1)中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n 边形ABCD…X,“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点,其余条件不变,分别推断出∠BQM等于多少度,将结论填入下表:36.如图,AD是△ABC的角平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:①DO是△DEF的角平分线吗?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.②若将结论与AD是△ABC的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换,•所得命题正确吗?37.已知:在如图①至图③中,△ABC 的面积为a ,解答下面各题:(1)如图1,延长△ABC 的边BC 到点D ,使CD=BC ,连接DA .若△ACD 的面积为S 1,则S 1=_________(用含a 的代数式表示);(2)如图2,延长△ABC 的边BC 到点D ,延长边CA 到点E ,使CD=BC ,AE=CA ,连接DE .若△DEC 的面积为S 2,则S 2=_________(用含a 的代数式表示);(3)在图2的基础上延长AB 到点F ,使BF=AB ;连接FD ,FE ,得到△DEF (如图3).若阴影部分的面积为S 3,求S 3的大小(用含a 的代数式表示);(4)像上面那样,将△ABC 各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF (如图3),此时我们称△ABC 向外扩展了一次.可以发现,扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的多少倍?38.如图,在平面直角坐标系中,∠ABO=2∠BAO ,P 为x 轴正半轴上一动点,BC 平分∠ABP ,PC 平分∠APF ,OD 平分∠POE 。
(1)求∠BAO 的度数;(2)求证:∠C=15°+21∠OAP ; (3)P 在运动中,∠C+∠D 的值是否变化,若发生变化,说明理由,若不变求其值。
第二部分1.若点P(2x,3x+5)在第二象限,且点P到两坐标轴的距离相等,则点Q(-x2,2x2+2)的坐标是()A.(1,-4)B.(-1,-4)C.(-1,4)D.(1,4)2.已知M(1,5)、N(4,1),将MN平移,使MN两点都在坐标轴上,则M点坐标为()A.(0,4)B.(0,-4)C.(0, 4)或(-3,0)D.(0,-3)、或(-4,0)3.如图,阴影部分的面积为4.小明同学将一幅直角三角板如图④放置,若AE∥BC,则∠EFC的度数为5.已知长方形ABCD在平面直角坐标系中位置如图,将长方形ABCD沿x轴向左平移到使C 点与坐标原点重合后,再沿y轴向下平移到使D点与坐标原点重合,此时B点的坐标是_________.6.将平面直角坐标系中的点A的横坐标乘2再加上2,纵坐标减2再除以2,点A恰好落在原点上,则点A的坐标是_______7.若三角形三边长分别为3、4、2x+3,则x的取值范围是8.如图所示,分别在三角形、四边形、五边形的广场各角修建半径为R的扇形草坪。
(1)图○1中草坪的面积为________________。
(2)图○2中草坪的面积为________________。
(3)图○3中草坪的面积为________________。
(4)如果多边形边数为n,其余条件不变,那么,你认为草坪的面积为____________。
8.如图,已知∠1=∠2,∠GFA=55°,∠ACB=75°,∠HAQ=10°,AQ 平分∠FAC ,求证:BD//AH.9.如图,E 是△ABC 的边CA 延长线上一点,D 点在BC 的延长线上,试说明:∠1<∠2.10.如图,桌面内,直线l 上摆放着两块大小相同的直角三角板,它们中较大锐角的度数为60 .将EC D △沿直线l 向左平移到图的位置,使E 点落在AB 上,即点/E ,点P 为AC 与//E D 的交点.(1)求∠CPD'的度数;(2)求证:AB ⊥//E D .11.已知如图BC 交DE 于O ,给出下面三个论断:①∠B=∠E ;②AB//DE ;③BC//EF 。