12.1 微分方程的基本概念(学生版)
12-1 微分方程的基本概念
(n) 高阶(n>2)微分方程 F ( x , y , y ,, y ) 0,
y
(n)
( n 1 ) f ( x , y , y , , y ).
分类3: 线性与非线性微分方程.
2 y P ( x ) y Q( x ), x ( y ) 2 yy x 0,
第一节 微分方程的基本概念
一、问题的提出
二、微分方程的基本概念 三、小结
一、问题的提出
例 1 一曲线通过点(1,1),且在该曲线上任一点 M ( x , y ) 处 的切线的斜率为2 x ,求这曲线的方程.
解
设所求曲线为 y y( x )
dy 2 x 其中 x 1时, y 1 dx y 2 xdx 即 y x 2 C , 求得C 0,
一、填空题: 1、 xy 2 y x 2 y 0 是______阶微分方程； d 2Q dQ Q 0 是______阶微分方程； 2、 L 2 R dt c dt d 3、 sin 2 是______阶微分方程； d 4、一个二阶微分方程的通解应含有____个任意常数 .
所求曲线方程为 y x .
2
例2 一质量为m的物体以初速度v0自高H处自 由落下，求物体下落的距离s与时间t的函数关 系（不计空气阻力） 解 根据牛顿第二定律
ds d s m 2 mg t 0时, s 0, v v 0, dt dt ds 1 2 v gt C1 s gt C1 t C 2 dt 2
0
y f ( x , y , y ) 二阶: y x x y0 , yx x y0
0 0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
12_1_微分方程的基本概念
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微分方程的基本概念
d2 x dt 2
k2
x
0,
x
t0
A, dx dt
t0
0
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解, 且为
通解.
x t0
A
A C1
又 dx 0 dt t0
而
dx dt kC1 sinkt kC2 cos kt
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微分方程的基本概念
二、基本概念
凡含有未知函数的导数(或微分)的方程称 微分方程.
如 y xy 一阶
y 2 y 3 y e x 二阶
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程; 未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程. 方程中所出现的导数的最高阶数称 微分方程的阶.
y f (x)
2
第一节 微分方程的基本概念
(differential equation)
问题的提出 基本概念 小结 思考题 作业
3
第十二章 微分方程
微分方程的基本概念
一、问题的提出
例 一曲线通过点 (1,2), 且在该曲线上任一点 M( x, y)处的切线的斜率为 2x,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y y( x)
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微分方程的解：
如果将某函数 y ( x) 及其导数代入微分方程
使其成为恒等式，则称 y ( x)为微分方程的解。
(1)通解 若微分方程的解中包含有独立的任意常数,且独 立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则 此解为通解。
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微分方程的基本概念
第一节 微分方程的基本概念
第一节 微分方程的基本概念教学目的： 理解微分方程的概念，理解微分方程的通解的概念，区分特解与通解。
教学重点：微分方程的概念 通解的概念教学难点：区分特解与通解教学时数：2教学内容：一、 两个引例例1：一条曲线过点()0,1，且在该曲线任意点(,)M x y 处的切线斜率都为2x ，求该曲线的方程。
解： 设所求曲线方程为()y f x =根据题意和导数的几何意义，得2dy x dx= 且当0x =时，1y =。
例2：一质量为m 的物体只受重力作用由距地面h 米处开始下落，试求物体下落的运动方程。
解 ：设物体下落距离s 与时间t 的关系为 ()s s t =依题意和二阶导数的物理意义，得g td s d 22=（其中g 为重力加速度） 且当0t =时,0s =且0v =。
以上所列举两例的方程中，都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。
二、基本概念定义 含有未知函数导数（或微分）的方程，称为微分方程。
定义 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。
能使微分方程变成恒等式的函数，称为微分方程的解。
求微分方程解的过程叫做解微分方程。
如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
在通解中若使任意常数取某定值，或利用附加条件求出任意常数应取的值，所得的解叫做微分方程的特解。
为了得到满足要求的特解，必须根据要求对微分方程附加一定条件，这些条件叫做初始条件。
例如，例1的初始条件记为01x y ==；例2的初始条件记为000,0t t ds s dt ==== 评注：⑴.在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的导数或微分必须出现.⑵一般情况下，如果微分方程是一阶的，其初始条件是00x x y y ==；如果是二阶的，其初始条件是00x x y y ==，00x x y y =''=，其中0,0,0x y y '都是给定的值。
第一节 微分方程的基本概念
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
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例 一 曲 线 通 过 点 (1,2),且 在 该 曲 线 上 任 一 点 M (x,y) 处 的 切 线 的 斜 率 为 2x,求 这 曲 线 的 方 程 .
解 设所求曲y线 y为 (x)
d y 2 x ， y(1)2, dx
yxy, 一阶
y2y3yex, 二阶
(t2x)dtxdx0, 一阶
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定义 使方程成为恒等式的函数称微分方程的解. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独立 任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
例yy, 通解 yCex; yy0, 通 y 解 C 1six n C 2co xs
本章还要学习一阶常系数线性差分方程的解法.
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2
定义 含有自变量，自变量的未知函数以及未知函数 的若干阶导数或微分的函数方程称为微分方程. 定义 出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或 微分的阶数，称为微分方程的阶.
未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程， 未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.在本 书中只讨论常微分方程，如下例：
(2)特解: 不含任意常数的解.
定解条件: 用来确定任意常数的条件.
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初始条件: 规定微分方程中的未知函数及其若干阶 导数在某一点处的取值 。
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
一阶:
y f (x, y)
y
x
x0
y0
过定点的积分曲线;
二阶:
yf(x,y,y) yxx0 y0,yxx0 y0
微分方程的基本概念
微积分Calculus微分方程的基本概念一问题的提出一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这条曲线的方程.(,) x y)2,1(x2例一解2y =其中1x =时，设所求曲线为()y y x =x y 2='2y xdx =⎰即2,y x C =+求得1,C =所得曲线方程为2 1.y x =+这里是从所建立的含有未知函数导数的关系式x y 2='来解出未知函数的，这种含有未知函数导数的关系式称为微分方程，求解未知函数的过程称为解微分方程．二微分方程的定义1定义凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程;未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程;未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程;23x y y y e '''+−=2()0t x dt xdx ++=z x y x ∂=+∂22220u ux y ∂∂+=∂∂常微分方程本章仅研究一元函数的常微分方程,简称微分方程.例如偏微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式．在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但必须含有未知函数的导数(或微分)．实质三微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
例二是_________阶微分方程；3是______阶微分方程；2是______阶微分方程；1阶微分方程的一般形式：n ()(,,,,)0n F x y y y '=或()(1)(,,,,).n n y f x y y y −'=四微分方程的解如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解．()(,(),(),,())0n F x x x x ϕϕϕ=且n 设有阶导数，()y x ϕ=()y x ϕ=则为该微分方程的解.例如22,(y x y x C C ==+为任意常数)xy 2='是该微分方程的解. 可见一个微分方程有无穷多个解．微分方程解的分类(1)通解:微分方程的解中含有独立的任意常数,且其个数与微分方程的阶数相同.阶微分方程n ()(,,,,)0n F x y y y '=通解的一般形式1(,,,,)0n x y c c Φ=或1(,,,)n y y x c c =通解并不一定包含微分方程的所有解.注意:微分方程：23dy y dx =通解为：27)(3C x y +=2()9x C y +'=223332()[]27()9x C y x C +=+=0y =显然也是解，但通解中由于找不到一个常数C ，0y =使得，所以通解中不包含。
微分方程的基本概念
第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念一、（20分）判断题1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y ′=2x 的特解。
( )2.y=(y ′′)3是二阶微分方程。
( )3.微分方程的通解包含了所有特解。
( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
（ ）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
（ ）二、（20分）填空题1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。
2. 积分曲线y=(c 1+c 2x)ex 2中满足y x=0=0, y ′x=0=1的曲线是 。
3. 微分方程0)'('''242=++y y y x 的阶是4. 若x e B Ax y )(+=是微分方程xxe y y =−'2''的一个特解，则=A ，=B三、（20分）选择题1．下列方程中 是常微分方程。
（A ）x 2+y 2=a 2(B) y+0)(arctan =x e dx d (C) 22x a ∂∂+22y a ∂∂=0 （D ）y ′′=x 2+y 2 2.下列方程中 是二阶微分方程。
（A ）（y ′′）+ 2x y ′+x 2=0；(B) (y ′) 2+3x 2y=x 3 ；(C) y ′′′+3y ′′+y=0； (D)2y y ′− =sinx 3.微分方程22dx y d +w 2y=0的通解是 其中c ，c 1，c 2均为任意常数。
（A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx4．C 是任意常数，则微分方程y ′=323y 的一个特解是（A ）y=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3四、（20分）微分方程的通解为2212()()1x C y C −+−=（其中21,C C 为任意常数），求该微分方程。
最新01第一节微分方程的基本概念
01第一节微分方程的基本概念第八章常微分方程与差分方程对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.-------傅里叶微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程. 通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 因此，微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”，那么微分方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题. 例如，物体的冷却、人口的增长、琴弦的振动、电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题. 这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系. 本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的微分方程的求解方法及线性微分方程解的理论.第一节微分方程的基本概念分布图示★引言★微分方程的概念★例1★例2★例3★例4★微分方程解的概念★例5★例6★内容小结★课堂练习★习题8-1内容要点：一、微分方程的概念我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程. 类似地，未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程，本章我们只讨论常微分方程. 常微分方程的一般形式是:«Skip Record If...» (1.5)其中«Skip Record If...»为自变量，«Skip Record If...»是未知函数.如果能从方程(1.5)中解出最高阶导数，就得到微分方程«Skip Record If...» (1.6)以后我们讨论的微分方程组主要是形如(1.6)的微分方程，并且假设(1.6)式右端的函数«Skip Record If...»在所讨论的范围内连续.如果方程(1.6)可表为如下形式:«Skip Record If...» (1.7)则称方程(1.7)为«Skip Record If...»阶线性微分方程. 其中«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»和«Skip Record If...»均为自变量«Skip Record If...»的已知函数.不能表示成形如(1.7)式的微分方程，统称为非线性方程.在研究实际问题时，首先要建立属于该问题的微分方程，然后找出满足该微分方程的函数（即解微分方程），就是说，把这个函数代入微分方程能使方程称为恒等式，我们称这个函数为该微分方程的解. 更确切地说，设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上有«Skip Record If...»阶连续导数，如果在区间«Skip Record If...»上，有«Skip Record If...»则称函数«Skip Record If...»为微分方程(1.5)在区间«Skip Record If...»上的解.二、微分方程的解微分方程的解可能含有也可能不含有任意常数. 一般地，微分方程的不含有任意常数的解称为微分方程的特解. 含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解称为微分方程的通解（一般解）. 所谓通解的意思是指，当其中的任意常数取遍所有实数时，就可以得到微分方程的所有解（至多有个别例外）.注：这里所说的相互独立的任意常数，是指它们不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.许多实际问题都要求寻找满足某些附加条件的解，此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数，这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件. 例如，条件(1.2)和(1.4)分别是微分方程(1.1)和(1.3)的初始条件.带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线.例题选讲：微分方程的概念例1 (E01) 设一物体的温度为100℃, 将其放置在空气温度为20℃的环境中冷却. 根据冷却定律:物体温度的变化率与物体和当时空气温度之差成正比, 设物体的温度«Skip Record If...»与时间«Skip Record If...»的函数关系为«Skip Record If...»则可建立起函数«Skip Record If...»满足的微分方程«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为比例常数. 这就是物体冷却的数学模型.根据题意, «Skip Record If...»还需满足条件 «Skip Record If...»例2（E02）设一质量为«Skip Record If...»的物体只受重力的作用由静止开始自由垂直降落. 根据牛顿第二定律：物体所受的力«Skip Record If...»等于物体的质量«Skip Record If...»与物体运动的加速度«Skip Record If...»成正比，即«Skip Record If...»，若取物体降落的铅垂线为«Skip Record If...»轴，其正向朝下，物体下落的起点为原点，并设开始下落的时间是«Skip Record If...»，物体下落的距离«Skip Record If...»与时间«Skip Record If...»的函数关系为«Skip Record If...»，则可建立起函数«Skip Record If...»满足的微分方程«Skip Record If...» (1.1)其中«Skip Record If...»为重力加速度常数. 这就是自由落体运动的数学模型.根据题意，«Skip Record If...»还需满足条件«Skip Record If...» (1.2)例3（E03）如果设某商品在时刻t的售价为P, 社会对该商品的需求量和供给量分别是P的函数«Skip Record If...»则在时刻t的价格«Skip Record If...»对于时间t的变化率可认为与该商品在同时刻的超额需求量«Skip Record If...»成正比, 即有微分方程«Skip Record If...» (1.3)在«Skip Record If...»和«Skip Record If...»确定情况下, 可解出价格与t的函数关系.例4（E04）试指出下列方程是什么方程，并指出微分方程的阶数.«Skip Record If...»解(1)是一阶线性微分方程，因方程中含有的«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都是一次.(2)是一阶非线性微分方程，因方程中含有的«Skip Record If...»的平方项.(3)是二阶非线性微分方程，因方程中含有的«Skip Record If...»的三次方.(4)是二阶非线性微分方程，因方程中含有非线性函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»微分方程的解例5求曲线族«Skip Record If...»满足的微分方程，其中«Skip Record If...»为任意常数.解求曲线族所满足的方程，就是求一微分方程,使所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.因此所求的微分方程的阶数应与已知曲线族中的任意常数的个数相等.这里,我们通过消去任意常数的方法来得到所求的微分方程.在等式«Skip Record If...»两端对«Skip Record If...»求导,得«Skip Record If...»再从«Skip Record If...»解出«Skip Record If...»代入上式得«Skip Record If...»化简即得到所求的微分方程 «Skip Record If...»例6（E05）验证函数«Skip Record If...»(C为任意常数)是方程«Skip Record If...»的通解, 并求满足初始条件«Skip Record If...»的特解.解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将«Skip Record If...»求一阶导数,得«Skip Record If...»«Skip Record If...»把«Skip Record If...»和«Skip Record If...»代入方程左边得«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»因方程两边恒等,且«Skip Record If...»中含有一个任意常数,故«Skip Record If...»是题设方程的通解.将初始条件«Skip Record If...»代入通解«Skip Record If...»中，得«Skip Record If...»从而所求特解为 «Skip Record If...»课堂练习1．验证函数«Skip Record If...»是微分方程«Skip Record If...»的解. 并求满足初始条件«Skip Record If...»的特解.。
微分方程的基本概念与解法
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汇报人：XX
适用范围：对于某些复杂的微分方程，通过代换可以将方程转化为更易 于解决的形式 步骤：选择适当的代换变量，将原方程中的未知函数和其导数表示为代 换变量的函数，从而简化方程 举例：对于形如dy/dx=f(x/y)的微分方程，可以通过令y=xu来将其转 化为关于u和x的方程
积分因子法
定义：积分因子 是使微分方程左 边成为全导数的 因子
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判定方法：通过求解微分方程的解， 分析解的性质，如解的收敛性和稳 定性
应用：非线性微分方程的稳定性在 物理学、工程学、经济学等领域有 广泛应用
稳定性判据
定义：稳定性是指微分方程的解在初始条件下的行为 判据：如果微分方程的解在初始条件下的行为是收敛的，则称该解是稳定的 判断方法：通过分析微分方程的解的性质，如导数的符号等，来判断解的稳定性 应用：稳定性理论在物理学、工程学等领域有广泛应用
优缺点：步进法简单易行，但精度不易控制，需要选择合适的步长和迭代公式
微分方程的稳定性
线性微分方程的稳定性
定义：如果一个线性微分方程的解在某 个初始条件下保持恒定或随时间有规律 地变化，则称该微分方程是稳定的。
判别方法：通过计算微分方程的特征根或 利用Routh-Hurwitz定理来判断稳定性。
原理：基于泰勒级数展开， 通过迭代逼近精确解
定义：是一种用于求解常微 分方程初值问题的数值方法
步骤：包括预估、校正和更 新三个步骤
优点：精度高，稳定性好， 适用于多维问题
Hale Waihona Puke 步进法定义：通过逐步逼近的方法求解微分方程的数值解法
原理：将微分方程转化为一系列离散点上的代数方程，逐步求解
微分方程实例和基本概念
第七章 微分方程
——第一节 微分方程实例和基本概念
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本节内容
• 微分方程的基本概念 • 微分方程 • 常（偏）微分方程 • 微分方程的阶 • 微分方程的解（通解，特解） • 微分方程的初值问题
• 简单微分方程求解举例
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微分方程的基本概念
• 微分方程:
含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分 的方程叫微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
注意: 自变量，未知函数有时不显含.
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微分方程的基本概念
• 常（偏）微分方程
如果在微分方程中，自变量的个数只有一个 （也就是未知函数是一元函数），称这种微分 方程为常微分方程。 自变量的个数为两个或两个以上的微分方程为 偏微分方程。
例3
d2y 1
dx 2
dy
dx
1dx x C1
y
(x
C1 )dx
1 2
x2
C1 x
C2
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说明: 微分方程的初等解法: 初等积分法.
求解微分方程
求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来)
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感谢您的观看。
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微分方程的基本概念
• 微分方程的阶:
微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y); 高阶(n)微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
微分方程的概念
微分方程的概念微分方程是自然科学和工程技术中最重要的数学工具之一。
自从17世纪初被引入后，微分方程已经成为科学家和工程师不可或缺的一部分。
微分方程是研究有关生物、物理、化学等领域中连续现象的数学工具，因此，在现代科学和工程技术的研究中，微分方程起着至关重要的作用。
微分方程是以某些未知函数的导数和自变量的函数形式表示的方程。
未知函数可以是一个或多个，通常表示为y或y1、y2等。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种类型。
常微分方程是只有一变量的微分方程，例如dy/dx = y，其中y 是未知函数。
另一方面，偏微分方程也是微分方程的一种形式，它包含多个未知函数和多个变量，并且它的解不是一般的函数，而是一组函数。
偏微分方程的一个典型例子是热传导方程，也称为热方程。
微分方程可以按照它们的阶数分类。
微分方程的阶数是指它所包含的最高导数的阶数。
例如，dy/dx = y是一个一阶微分方程，y''+2y'+y=0是一个二阶微分方程。
微分方程的解通常是用函数表示的，但是，有时候可以有通解或特定的解，这取决于方程本身的形式。
对于一阶微分方程来说，其一般解可以通过积分得到，特定解可以通过给出初始条件来获得。
微分方程的应用非常广泛，尤其是在自然科学和工程技术领域。
微分方程可以用于描述物理系统的运动、天气预报、化学反应、人口增长等等。
在分析这些问题时，微分方程是必要的，因为连续现象不能通过游程数值进行表示。
总之，微分方程是现代科学和技术的一项基本工具。
微分方程的基本概念与应用是各个领域研究的重要组成部分，因此，对于那些希望从事相关领域的研究的人来说，了解和掌握微分方程的概念和应用至关重要。
微分方程教案
微分方程教案引言：微分方程作为数学的一个重要分支，是描述自然界中变化规律的一种数学工具。
本教案将介绍微分方程的定义和基本概念，并以实例演示如何求解微分方程，旨在帮助学生理解微分方程的基本原理和解题方法。
一、微分方程的定义和分类1. 微分方程的定义微分方程是一个包含未知函数及其导数或微分的方程。
一般表示为F(x, y, y', y'', ...) = 0，其中y是自变量x的某个函数。
2. 常微分方程和偏微分方程常微分方程中只含有一个自变量，如dy/dx = f(x)。
偏微分方程中含有多个自变量，如∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 = 0。
二、微分方程的基本概念1. 解函数和通解解函数是满足微分方程的具体函数，通解是含有任意常数的解函数的集合。
2. 初值问题和边值问题初值问题是在给定某一点上的函数值和导数值，求解满足微分方程条件的特解。
边值问题是在给定边界上的函数值，求解满足微分方程条件的特解。
三、常见的微分方程和求解方法1. 一阶常微分方程1) 可分离变量方程2) 齐次方程3) 线性方程4) Bernoulli 方程2. 高阶常微分方程1) 常系数线性齐次方程2) 常系数线性非齐次方程3) 变系数线性齐次方程4) 变系数线性非齐次方程3. 偏微分方程1) 热传导方程2) 波动方程3) Laplace 方程四、求解微分方程的技巧和方法1. 变量分离法将微分方程中的变量分离到方程两边，再进行积分。
2. 齐次方程的换元法通过引入新的变量，将齐次方程转化为变量分离的形式。
3. 一阶线性方程的积分因子法通过乘以适当的积分因子，将一阶线性方程转化为变量分离的形式。
4. 常系数线性方程的特解法根据齐次方程的通解求解非齐次方程的特解。
五、案例演示1. 一阶常微分方程求解以可分离变量方程为例，演示解题步骤和方法。
2. 高阶常微分方程求解以常系数线性非齐次方程为例，演示解题步骤和方法。
微分方程的基本概念
第十二章 微分方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5) 把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线. 例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解.解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dtx d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .。
第十二章第1节微分方程的基本概念(1)
s 0.2 t 2 C1 t C2 ( C1 , C2 为任意常数 )
利用后两式可得 C1 20 , C2 0 , 因此所求运动规律为
s 0.2 t 2 20 t.
说明 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能
停住, 以及制动后行驶了多少路程.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
引例1
dy 2x, dx y x 1 2.
引例2
d 2s 0.4, d t2
ds s t 0 0 , d t t 0 20.
几个基本概念
1.含未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程,
如 y xy2 , xdy ydx 0.
2. 只有一个自变量的微分 方程称为常微分方程 .
3.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶. x2( y)2 xy y 0 二 阶
由①得
2
引例2 列车在平直线路上以 20 m s 的速度行驶,制动时 2 获得加速度 a 0.4 m s ,求制动后列车的运动规律. 解 设列车在制动后t秒行驶了s 米,即求s = s (t) . 已知
由前一式两次积分,可得
d 2s 0.4 2 dt ds 20. s t 0 0 , d t t 0
12
练习题答案
一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2.
二、C1 1, C 2 . 2
三、 yy 2 x 0 . 四、 y y 1 x .
13
第一节
微分方程的基本概念
引例1 一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的切 线斜率为2x,求该曲线的方程. 解 设所求曲线方程为 y = y(x) ,则有如下关系式
微分方程的概念
微分方程的概念
'微分方程'是用来描述一类特定类型的偏微分方程的数学概念，它是由若干变量及其变化速度的函数表示的,其中一类变量被称为未知函数。
它们可以用来描述某种类型的动态系统的变化情况，以及动态系统的未知变量、物理参数和运动规律等信息。
微分方程的基本思想是，由于某种已知的系统原因或理论原因，微分方程中的变量会受到某种给定的外力影响，而随着时间的推移，微分方程中变量会随影响它的原因而发生变化，从而导致系统整体的变化。
一般而言，微分方程的求解要求用某种给定的数学方法来解决，这些数学方法可以大体分为两类：求积分和偏微分积分，在解决某些比较复杂的微分方程时，可能还会用到大量的数学算法和数值技术。
有些问题的微分方程可以用解析方法来解决，但是大多数情况下都要采用数值方法来解决。
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