函数单调性、奇偶性、对称性、周期性
函数的基本性质
函数的基本性质其性质通常是指函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
函数表⽰每个输⼊值对应唯⼀输出值的⼀种对应关系。
函数f中对应输⼊值x的输出值的标准符号为f(x)。
性质有界性设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于⼀切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上⽆界。
单调性设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。
如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）>f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递减的。
单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。
奇偶性设为⼀个实变量实值函数，若有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数。
⼏何上，⼀个奇函数关于原点对称，亦即其图像在绕原点做180度旋转后不会改变。
奇函数的例⼦有x、sin（x）、sinh（x）和erf（x）。
设f（x）为⼀实变量实值函数，若有f（x）=f（-x），则f（x）为偶函数。
⼏何上，⼀个偶函数关于y轴对称，亦即其图在对y轴映射后不会改变。
偶函数的例⼦有|x|、x2、cos（x）和cosh（x）。
偶函数不可能是个双射映射。
连续性在数学中，连续是函数的⼀种属性。
直观上来说，连续的函数就是当输⼊值的变化⾜够⼩的时候，输出的变化也会随之⾜够⼩的函数。
如果输⼊值的某种微⼩的变化会产⽣输出值的⼀个突然的跳跃甚⾄⽆法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。
函数的奇偶性、单调性、周期性
一. 函数的奇偶性
2．对函数奇偶性的理解 ． （1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函 ）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质， 数的整体性质. 数的整体性质 （2）函数奇偶性中对定义域内任意一个 ，都有 (－x) = ）函数奇偶性中对定义域内任意一个x，都有f － f (x)，f (－x) = －f (x)的实质是：函数的定义域关于原点 的实质是： ， － 的实质是 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件. 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件 函数的奇偶性是 其相应图象特殊的对称性的反映. 其相应图象特殊的对称性的反映
A.关于原点对称 A.关于原点对称 C.关于y C.关于y轴对称 关于
B.关于直线y B.关于直线y=-x对称 关于直线 D.关于直线y D.关于直线y=x对称 关于直线
解析: 解析:
由于定义域为（ 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 关于原点对称，
f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. )=),故函数为奇函数,图象关于原点对称. 故函数为奇函数
例3：(2008·山东)函数y=ln cos x (2008·山东)函数y 山东
(−
π
2
<x<
π
2
)
的图象是 （A ）
解析: 解析:
为偶函数, y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 [ 0 , π )上单
2
调递减. 调递减.
若函数f 的导函数 若函数 (x)的导函数 f ′(x) 在D上的函数 上的函数
值为正,则称 上为增函数； 值为正 则称y = f (x)在D上为增函数； 则称 在 上为增函数
四.函数的单调性
2. 函数单调性的等价定义
高考专项：函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性全部总结)含详细解析(教师版)
函数单调性、奇偶性、周期性与对称性综合思路破解有关函数的奇偶性、单调性、周期性和图像对称性的综合问题，历来都是一个难点，并且几乎是必考的重点内容，它考察的内容是非常多的，综合性也是非常强的，而且不易想，因而，对很多同学来说，十分头疼，在这一章节内容上，我们绝对要摒弃大量做题不顾总结的复习思路，基于此，我们从以下几个方面讲这部分内容。
第一个问题，就是对于“已知奇/偶函数一段定义域上的解析式，求另一段的解析式”这样的问题，最为基础，考生一定要知道怎么解决这种问题，但是对于求确切的()f a 的问题，这里的a 代指一个确切的常数，我们可以不求出另一段上的解析式，我们采取“进/退周期”的方式，什么意思呢？就是如果让我们求的()f a 中的a 不在已知解析式的定义域上，对于比定义域最大值还要大的，要根据周期定义每次减一个周期，逐步将其转化到已知解析式的定义域之上，比如，题目让我们求(13)f ，我们通过分析发现该函数的周期为2，题目中已知()0,2x ∈上的解析式，那么我们就可以“退周期”，即(13)(261)(1)f f f =⨯+=，即只需要求出这个(1)f 就是了，同理，对于比定义域最小值还要小的，我们用同样方法，可以“进周期”，求解相关问题。
第二个问题，我们必须要说这个周期的问题，周期其实在高中教材中只是在必修四三角函数中学了，但是函数中却经常出现，而且不算是超纲内容，不能因为函数教材中没有讲就认为不需要掌握，但是有一点需要考生知道，就是对于周期性，我们更多的是记住一些结论，推导这些结论是不要求的，因此，我们在这里总结这些结论，希望考生都记住。
如果一个函数满足()()f x f x a =+，则这个函数就是以a 为一个周期的函数，这里要强调“一个周期”，事实上，ka 都是这个函数的周期，也就是说()(),()(-),()()f x f ka x f x f x ka f x f x a =+==-，还有一些有关周期的拓展定义：①()()f a x f x +=-；②()()1f a x f x +=；③()()1f a x f x +=-，这三个式子都可以推导出函数()f x 的周期为2a 。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)(原卷版)
专题04 函数的基本性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）知识点1 函数的单调性 1、单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I.如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递增函数。
当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说函数f(x)在区间D 上是单调递减函数。
2、单调性的图形趋势（从左往右）上升趋势 下降趋势3、函数的单调区间若函数y ＝f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f(x)的单调区间． 4、单调性定义的等价形式:（1）函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .（2）函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ； ⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .5、定义法证明函数单调性的步骤①取值：设1x ，2x 为该区间内任意的两个值，且12x x <②作差变形：做差()()12f x f x -，并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论 ④判断：根据定义做出结论。
函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析
函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析一、函数的单调性1．单调函数与严格单调函数设为定义在上的函数，若对任何，当时，总有()f x I 12,x x I ∈12x x <(ⅰ) ，则称为上的增函数，特别当且仅当严格不等式)()(21x x f f ≤()f x I 成立时称为上的严格单调递增函数。
12()()f x f x <()f x I (ⅱ) ，则称为上的减函数，特别当且仅当严格不等式)()(21x x f f ≥()f x I 成立时称为上的严格单调递减函数。
12()()f x f x >()f x I 2．函数单调的充要条件★若为区间上的单调递增函数，、为区间内两任意值，那么有：()f x I 1x 2x 或1212()()0f f x x x x ->-1212)[()()]0f f x x x x -->（★若为区间上的单调递减函数，、为区间内两任意值，那么有：()f x I 1x 2x 或1212()()0f f x x x x -<-1212)[()()]0f f x x x x --<（3．函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法)(2)作商法4复合函数的单调性的判定对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当()y f u =()u g x =()u g x =(,)a b 时，且函数在区间上也具有单调性，则复合函数(),x a b ∈(),u m n ∈()y f u =(,)m n 在区间具有单调性。
(())y f g x =(),a b 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数和，若它们的定义域分别为和，且：()f x ()g x I J I J ⋂≠∅(1)当和具有相同的增减性时，函数、()f x ()g x 1()()()F x f x g x =+的增减性与 (或)相同，、2()()()F x f x g x =⋅()f x ()g x 3()()()F x f x g x =-的增减性不能确定；4()()(()0)()f x F xg x g x =≠(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：()f x ()g x ()f x ()g x ①、的增减性不能确定；1()()()F x f x g x =+2()()()F x f x g x =⋅② 、为增函数，3()()()F x f x g x =-4()()(()0)()f x F x g x g x =≠为减函数。
高中函数四性质(单调性、奇偶性、周期性与对称性)
函数四性质之一：单调性1、定义：对定义在D 上的函数)(x f ，有D x x ∈21,若21x x <，)()(21x f x f <，则)(x f 为单调递增函数若21x x <，)()(21x f x f >，则)(x f 为单调递减函数经典例题1、 证明：函数)0()(>+=a xa x x f 在),(+∞a 上的单调递增函数。
2、常见函数的单调性一次函数 b kx y += 0>k 0<k二次函数 c bx ax y ++=2 a b a 2,0-> a b a 2,0-< 反比例函数xk y = 0>k 0<k 指数函数 x a y = 10<<a 1>a对数函数 x y a log = 10<<a 1>a对勾与斜对勾函数 x a x y += )0(>-=a xa x y另一组对称函数 x x x f ++=1)(2 x x x g -+=1)(2①)(x f 为单调增函数， )(x g 为单调减函数②1)()(=•x g x f ，即互为倒数3、复合函数的单调性复合函数))((x g f y =，分里函数)(x g ，外函数)(x f单调性遵循四个字：同增异减经典例题：设)(x f y =是R 上的减函数，则)3(-=x f y 的单调递减区间为:______________________4、组合函数的单调性增+增=增 减+减=减通常：一个函数的单调性：在到倒数和添负号两种情况下发生改变。
经典例题3（1）设函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在),2[+∞上递增，则a 的取值范围为:_____________（2）函数21)(++=x ax x f 在区间),2[+∞-上单调递增，刚实数a 的取值范围为:_____________（3）已知1)1()(2--=x x f ，1)(2-=x x g ，则))((x g f 在什么范围内递增？提高练习；1、已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 取值范围为______________2、函数)(x f 对任意的R b a ∈,，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，并且当0>x 时，1)(>x f（1）求证：)(x f 在R 上为增函数（2）若5)4(=f ，解不等式3)23(2<--m m f3、设函数)0(1)(2>-+=a ax x x f ，试确定，当a 的取什么值时，函数)(x f 在),0[+∞上为单调递减函数？函数四性质之一：奇偶性5、定义：在函数定义域对称的前提下，若)()(x f x f =-，则函数为偶函数；若)()(x f x f -=-，则函数为奇函数。
函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)
函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”。
2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。
(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。
(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。
3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。
二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所 以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区 间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。
定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等
1 4.若f ( x ) 0, 则f ( x )与 的单调性 f ( x)
相反？ 相同
5.若f ( x) 0, 则f ( x)与 f ( x)的单调性
6. f ( x)与g ( x)在区间A上均为增函数， 则①f ( x)+g ( x)；②f ( x)-g ( x).
增 无
课堂小结
1．两个定义：增函数、减函数． 2．两种方法： 判断函数单调性的方法 有图象法、定义法．
2 2
2
y
5
2 1
f ( x) x
2
4
这时我们就说f ( x) x 在区间(-， 0)上
2
f ( x23)
3 2 1
是减函数.
x1 x2
o1
2
3
x
"随着x的增大, 相应的f ( x)随着增大"
2 在区间(0, )上任取x1 , x2得到f ( x1 ) x12 , f ( x2 ) x2 ,
练习3.已知y f ( x )与y g ( x )在区间A上均为 增函数，判断下列函数在区间A上增减性. （） 1 y -2 f ( x );( 2) y 3 f ( x ) 2 g ( x )
三、与单调性相关的一些结论
1.函数y=f(x)与y=-f(x)的单调性 相反 相同 2.函数y=f(x)与y=f(x)+c（c为常数）的单调性 3.函数y=f(x)与y=cf(x)的单调性 c>0,相同 c<0,相反
当x1 x2时, 有f ( x1 ) f ( x2 )这时我们就说f ( x) x 2在 区间(0, )上是増函数.
一、函数单调性的定义
一般地, 设函数f ( x)的定义域为I : 如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量 x1 , x2 , 当x1 x2时, 都有f ( x1 ) f ( x2 ), 那么就说f ( x)在区 间D上是增函数.
第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合
第02讲函数的奇偶性单调性周期性综合函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的基本性质，可以帮助我们更好地理解函数的特点和行为。
本文将详细介绍函数的奇偶性、单调性和周期性，并综合讨论它们的关系及应用。
一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是对于函数的自变量取相反数，函数值是否相同的特性进行分类的。
具体定义如下：1.奇函数：对于任意实数x，函数f(-x)=-f(x)成立。
也就是说，如果一个函数满足f(-x)=-f(x)，那么它就是奇函数。
奇函数关于原点对称，即关于原点中心对称。
2.偶函数：对于任意实数x，函数f(-x)=f(x)成立。
也就是说，如果一个函数满足f(-x)=f(x)，那么它就是偶函数。
偶函数关于y轴对称，即关于y轴中心对称。
对于一个给定的函数，我们可以通过观察函数图像或者计算函数表达式来判断它的奇偶性。
例如，对于一次函数f(x)=2x+3，我们可以发现它的函数图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x)，因此它是奇函数；对于二次函数f(x)=x^2，我们可以发现它的函数图像关于y轴对称，即f(-x)=f(x)，因此它是偶函数。
奇函数和偶函数的性质：1.两个奇函数的和仍然是奇函数，两个偶函数的和仍然是偶函数。
2.一个奇函数和一个偶函数的和是一个既不是奇函数也不是偶函数的函数。
二、函数的单调性单调性是描述函数在定义域上的增减性质。
具体定义如下：1.递增函数：如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≤f(x2)，那么函数f(x)就是递增函数。
也就是说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。
2.递减函数：如果对于定义域上的任意两个实数x1和x2，当x1<x2时，有f(x1)≥f(x2)，那么函数f(x)就是递减函数。
也就是说，递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。
我们可以通过求导或者观察函数图像来判断函数的单调性。
对于一次函数f(x)=kx+b，其中k为非零常数，我们可以发现它的函数图像为一条斜率为k的直线，当k>0时，它是递增函数；当k<0时，它是递减函数。
函数的四个性质
函数的性质(奇偶性，单调性，周期性，对称性一、奇偶性常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ；3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数奇偶性满足：奇函数±奇函数=奇函数奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶 奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
二、函数)(x f y =图象本身的对称性〔自身对称〕若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
推论1：)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -=⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=-⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论1、b x a f x a f 2)()(=-++⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++-⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称三、函数周期性的几个重要结论2、()()f x a f x b +=+⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+⇔)(x f y =的周期为2T a = 7、()1()()1f x f x a f x ++=-⇔)(x f y =的周期为2T a = 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y =周期a T 4=跟踪练习1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0 B.1 C.3 D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是()A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(f A.0 B.2 C.2- D.2±4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C.16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B.)(x f 的周期为6C.)(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1]时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于()A.12 B ．1C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32等于()A ．0B ．1C.12D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则()A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则()7.5f 等于〔〕A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ 〔a R ∈〕的大小关系是〔〕A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f a a -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有〔〕A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值X 围是〔〕A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥316、已知函数()()0f x x a x a a =+--≠,111)(-+-=x x x x g ,⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+-=)0()0()(22x x x x x x x h ， 则()()(),,f x g x h x 的奇偶性依次为〔〕A ．奇函数，偶函数，奇函数B ．奇函数，奇函数，偶函数C ．奇函数，奇函数，奇函数D ．奇函数，非奇非偶函数，奇函数17、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值X 围是〔 〕A ．10b -<<B ．2b >C ．12b b <->或D ．不能确定18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么〔〕 A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数 B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的是〔〕A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23x f x =-，则()2f -等于〔〕A ．1-B ．114C ．1D ．114- 21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定22、函数()y f x =与()y g x =的定义域相同，且对定义域中任何x 有()()0f x f x -+=，()()1g x g x -=，若()1g x =的解集是{}0，则函数()()()()21f x F x f x g x =+-是〔〕 A ．奇函数B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值X 围是A. (1,-∞-)),2(+∞B. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1( )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题： 24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为 25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为;26、定义在()1,1-上的奇函数()21x m f x x nx +=++，则常数m =，n =； 27、已知f (x )是定义在实数集上的函数，且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则 f (2005)=.28、函数()f x 定义域为R ，且对于一切实数,x y 都有()()()f x y f x f y +=+，试判断()f x 的奇偶性.29、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+，当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式；⑶计算：+)0(f +)1(f +)2(f )2005(f +30、已知31≤a ≤1，若函数()221f x ax x =-+在区间[1，3]上的最大值为()M a ，最小值为()N a ，令()()()g a M a N a =-．〔1〕求()g a 的函数表达式；〔2〕判断函数()g a 在区间[31，1]上的单调性，并求出()g a 的最小值 .。
函数的基本性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)
函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性）“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、单调性、周期性、换元时易忽略定义域，所以必须先考虑函数的定义域，离开函数的定义域去研究函数的性质没有任何意义。
1. 奇偶性奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数； ②f(-x)-f(x)=0为偶；f(x)+f(-x)=0为奇； ③f(-x)÷f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. （1）若定义域关于原点对称（2）若定义域不关于原点对称 非奇非偶 例如：3x y =在)1,1[-上不是奇函数 常用性质：1．0)(=x f 是既奇又偶函数；2．奇函数若在0=x 处有定义，则必有0)0(=f ； 3．偶函数满足)()()(x f x f x f =-=；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称；5．0)(=x f 除外的所有函数的奇偶性满足：（1）奇函数±奇函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶（2） 奇函数×奇函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数 奇函数×偶函数=奇函数6．任何函数)(x f 可以写成一个奇函数2)()()(x f x f x --=ϕ和一个偶函数2)()()(x f x f x -+=ψ的和。
2. 单调性 定义：函数定义域为A ，区间，若对任意且①总有则称在区间M 上单调递增②总有则称在区间M 上单调递减应用：（一）常用定义法来证明一个函数的单调性一般步骤：（1）设值（2）作差（3）变形（4）定号（5）结论 （二）求函数的单调区间定义法、图象法、复合函数法、导数法(以后学) 注：常用结论（1） 奇函数在对称区间上的单调性相同 （2） 偶函数在对称区间上的单调性相反 （3） 复合函数单调性-------同增异减3. 周期性（1）一般地对于函数，若存在一个不为0的常数T ，使得一切值时总有，那么叫做周期函数，T 叫做周期，kT （T 的整数倍）也是它的周期（2）如果周期函数在所有周期中存在一个最小正数，就把这个最小正数叫最小正周期。
定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等.
例图1.3 4是定义在区间[-6, 7]上的函数y f (x),根据
图象说出函数的单调区间,以及每一个单调区间上, 它 是增函数还是减函数 ?
y
3
2
2 1
6 54 3
1o1 2 3 4 5
1
7
x
2
y
3 2 2 1
6 54 3 1o1 2 3 4 5 7 x
1 2
问1：在区间端点处，是增函数还是减函数？ 问2：区间的开闭有关系吗？ 问3：单调区间可以合并吗？ 问4：任何函数都具有单调性吗？
定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等.
观察函数图象，说说函数的变化规律？
图象在y轴左侧"下降"
y
f (x) x2
在区间(, 0)上随着x的增大
5
4
相应的f (x)反而随着减小
3
2
1
图象在y轴右侧"上升"
3 2 1 o 1 2 3 x
在区间(0, )上随着x的增大
相应的f (x)也随着增大.
一、函数单调性的定义
一般地,设函数f (x)的定义域为I : 如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量 x1, x2 ,当x1 x2时,都有f (x1) f (x2 ), 那么就说f (x)在区 间D上是增函数.
如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量 x1, x2,当x1 x2时,都有f (x1) f (x2 ), 那么就说f (x)在区 间D上是减函数.
问：如何从解析式f (x) = x2的来描述？
"随着x的增大,相应的f (x)随着减小"
y
f (x) x2
在区间(-，0)上任取x1, x2得到f (x1) x12, f ( x1 ) 5
函数单调性、奇偶性、周期性与对称性涉及的考点梳理JS
3. 复合函数的奇偶性的判断：内偶则偶，内奇同外
对于复合函数 y = f gx 来说，
(1) 若 gx 为偶函数，则 y = f gx 为偶函数，
(2) 若 gx 为奇函数且 y = f x 为奇函数，则 y = f gx 为奇函数，
(3) 若 gx 为奇函数且 y = f x 为偶函数，则 y = f gx 为偶函数，
(4) 若 f a - x =-f a + x 且 f b - x =-f b + x ，则 T = a - b ,
(5) 若 f a - x = f a + x 且 f b - x =-f b + x ，则 T = 4a - b ,
二、考点梳理 考点一 单调性的定义 1. 已知 f(x) 为 R 上增函数，且对任意 x ∈ R，都有 f[f(x) - 3x] = 4，则 f(3) = ( )
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常见形式：
不等式 f x > gx 在区间 D 上恒成立
⇔ 在区间 D 上函数 y = f x 的图象始终在函数 y = gx 的上方，
⇔ F x = f x - gx > 0 在区间 D 上恒成立，⇔ F x min > 0.
③对 ∀ x1 ∈ a,b , ∀ x2 ∈ c,d ，都有 f x1 > gx2 成立 ⇔ f x1 min > gx2 max， 对 ∀ x1 ∈ a,b , ∀ x2 ∈ c,d ，都有 f x1 < gx2 成立 ⇔ f x1 max < gx2 min. (2) 能成立问题的转化，若函数 f(x) 有最大 ( 小 ) 值，则
导数法
导数大于零
导数小于零
运算法
递增 + 递增
专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)
专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（知识梳理）一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=∆x x x ，则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数。
2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。
此时也说函数是这一区间上的单调函数。
在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。
[多选]例1-1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )。
A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(-=x x h D 、12)(+=x x w【答案】BC【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数，|1|)(-=x x h 在]1(，-∞上是减函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数，则)(x g 和)(x h 在区间)10(，上单调递减的函数，选BC 。
(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。
函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。
但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。
函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析
11.已知 是(- )上的奇函数， ，当0 1时，f(x)=x，则f(7.5)=________
12.设 是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足 ，当 时
1求证： 是周期函数；⑵当 时，求 的解析式；(3)算：
13.设 是定义在 上的偶函数，它的图象关于直线 对称，已知 时，函数 ，
推广：若 ，则 是周期函数， 是它的一个周期
4.定义在R上的函数 图象关于直线 和 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期
推论：若定义在R上的偶函数 的图象关于直线 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期
5.定义在R上的函数 图象关于点 和点 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期
推论：若定义在R上的奇函数 的图象关于点 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期
2.两个函数的图象对称性
（1） 与 关于 轴对称。
换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。
（2） 与 关于 轴对称。
换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。
（3） 与 关于直线 对称。
换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。
（4） 与 关于直线 对称。
换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。
注意：关于函数的周期性的几个重要性质：
1.如果函数 是R上的奇函数，且最小正周期为T，那么
2.如果函数 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期，如果函数 的最小正周期为T则函数 的最小正周期为 ，如果 是周期函数，那么 的定义域无界
3.若 是周期函数，T是它的一个周期，说明：nT也是 的周期
（5） 关于点 对称。
换种说法： 与 若满足 ，即它们关于点 对称。
抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)
f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(
A.f(0)=0
解析:法一
B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()
f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,
所以 f( )= .
答案:(1)
第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值(十六大题型)2025年高考数学一轮复习
知识梳理·基础回归
解题方法总结
5、对称性技巧
（1）若函数 = ()关于直线 = 对称，则( + ) = ( − )．
（2）若函数 = ()关于点( ， )对称，则( + ) + ( − ) = 2．
（3）函数 = ( + )与 = ( − )关于轴对称，函数 = ( + )与
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】因为函数 在 0, +∞ 上单调递增，且 > 0, > 0，
由增函数的定义可知，当 > 时，有 > ，
充分性成立；当 > 时，若 = ，由函数定义可知矛盾，
若 < ，由函数单调性的定义可知矛盾，则 > ，必要性成立．
−
2
)
+
知识梳理·基础回归
解题方法总结
3、周期性技巧
函数式满足关系（x R）
f ( x T ) f ( x)
f ( x T ) f ( x)
1
1
f (x T )
; f (x T )
f ( x)
f ( x)
f (x T ) f (x T )
f (a x) f (a x)
f ( x)为奇函数
f (a x ) f (a x )
f (b x) f (b x)
f (a x ) f (a x )
f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x )
对于选项D，由复合函数单调性“同增异减”知，() = log 2 (2) + 1在(0, +∞)上单调
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x a, b 时 u m, n ，且函数 y f (u ) 在区间 (m, n) 上也具有单调性，则复合函
数 y f ( g ( x)) 在区间 a, b 具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f ( x) 和 g ( x) ，若它们的定义域分别为 I 和 J ，且 I J ： (1) 当 f ( x) 和 g ( x) 具 有 相 同 的 增 减 性 时 ， 函 数 F1 ( x)
四、函数的周期性主要结论 1 ． 如 果 函 数 y f ( x) 对 于 一 切 x ∈ R, 都 有 f (a x) f (a x)
( f (2a x) f ( x) ), 那 么 函 数 y=f(x) 的 图 像 关 于 直 线 x a 对 称
y f ( x a) 是偶函数
ab 对称。 2
（7） y f ( x) 与 y f 1 ( x) 关于直线 y x 对称。
a 若 f ( x) f ( x a) ,则函数 y f ( x) 的图象关于点 ( ,0 ) 对称; 2 3.几个常见的函数方程 （1）正比例函数 f ( x) cx , f ( x y) f ( x) f ( y), f (1) c .
函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设 f ( x) 为定义在 I 上的函数，若对任何 x1 , x2 I ，当 x1 x2 时，总有 ( ⅰ ) f ( x1) f ( x2) ， 则 称 f ( x) 为 I 上 的增 函 数 ，特 别 当且 仅当 严 格 不等 式
y f ( x ) 与 函 数 y f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 y 0 ; 函 数 y f ( x ) 与 函 数 y f ( x) 图像关于坐标原点对称。
（ 3 ） 函 数 y f ( x ) 与 函 数 y A f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 y
f ( x) 的最小正周期，如果函数 f ( x) 的最小正周期为 T 则函数 f (ax) 的最小正周
期为
T ，如果 y f ( x) 是周期函数，那么 y f ( x) 的定义域无界 a
10.关于函数的周期性的几个重要性质： （ 1 ） 如 果 y f ( x) 是 R 上 的 周 期 函 数 ， 且 一 个 周 期 为 T ， 那 么
（2）指数函数 f ( x) a x , f ( x y) f ( x) f ( y), f (1) a 0 . （3）对数函数 f ( x) loga x , f ( xy) f ( x) f ( y), f (a) 1(a 0, a 1) . （4）幂函数 f ( x) x , f ( xy) f ( x) f ( y), f ' (1) . （5）余弦函数 f ( x) cos x ,正弦函数 g ( x) sin x ， f ( x y) f ( x) f ( y) g ( x) g ( y) ，
(2)当 f ( x) 和 g ( x) 具有相异的增减性时，我们假设 f ( x) 为增函数， g ( x) 为减函 数，那么： ① F1 ( x) f ( x) g ( x) 、 F2 ( x) f ( x) g ( x) 的增减性不能确定； ② F3 ( x) f ( x) g ( x) 、F4 ( x) 为减函数。 二、函数的奇偶性 1. 奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个 x ， 都有 f ( x) f ( x) ， 则称函数 f ( x) 为偶函数；如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ， 则称函数 f ( x) 为奇函数。 2.奇偶性的几何意义 具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数 的图像关于 y 轴对称。 3.函数奇偶性的判断(证明)（首先注意其定义域是否对称） (1)比较 f ( x) 与 f ( x) 的关系； (2)
2 ．如果函数 y f ( x) 对于一切 x ∈ R, 都有 f(a+x)=f(b-x) 成立，那么函数
y f ( x) 的图像关于直线 x=
ab ( a x ) (b x ) （由 x= 确定）对称 2 2
3. 如果函数 y f ( x) 对于一切 x∈R, 都有 f (a x) f (a x) 2b 成立, 那么函 数 y f ( x) 的图像关于点 ( a, b) 对称 4.两个函数图像之间的对称性 （1） 函数 y f ( x) 与函数 y f ( x) 的图像关于直线 x 0 (即 y 轴)对称； 函数
f ( x1) ห้องสมุดไป่ตู้ f ( x 2)
x x
1
（x1 x2)[ f ( x1) f ( x2)] 0 0或
2
3．函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法 4 复合函数的单调性的判定 对于函数 y f (u ) 和 u g ( x) ，如果函数 u g ( x) 在区间 ( a, b) 上具有单调性，当
2．函数单调的充要条件 ★若 f ( x) 为区间 I 上的单调递增函数， x1 、 x 2 为区间内两任意值，那么有：
f ( x1) f ( x 2)
x x
1
（x1 x2)[ f ( x1) f ( x2)] 0 0或
2
★若 f ( x) 为区间 I 上的单调递减函数， x1 、 x 2 为区间内两任意值，那么有：
f ( x) （ f ( x) 0 ）与 1的关系； f ( x)
f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) 为增函数，F5 ( x) ( f ( x) 0) g ( x) f ( x)
(3) f ( x) f ( x) 与 0 的关系 4.由具有奇偶性的函数的四则运算所得到的函数的奇偶性的判断 对于两个具有奇偶性的函数 f ( x) 和 g ( x) ，若它们的定义域分别为 I 和 J ，且
y
f ( x) A f ( x) 确定
2
A 对称（由 2
n m （4）函数 y f ( x) 与函数 y m f (n x) 的图像关于点 ( , ) 中心对称 2 2
5.左加右减（对一个 x 而言） ，上加下减（对解析式而言） ：若将函数 y f ( x) 的 图像右移 a、 上移 b 个单位， 得到函数 y f ( x a) b 的图像； 若将曲线 f ( x, y) 0 的图像右移 a、上移 b 个单位，得到曲线 f ( x a, y b) 0 的图像 6.函数 f ( x a)(a 0) 的图像是把 y f ( x) 的图像沿 x 轴向左平移 a 个单位得到 的；函数 f ( x a)(a 0) 的图像是把 y f ( x) 的图像沿 x 轴向右平移 a 个单位得 到的； 函数 y f ( wx a) 的图像是把 y f ( wx b) 的图像沿 x 轴向左平移 单位得到的 7.定义：对于函数 f ( x) ，如果存在一个非零常数 T。使得当 x 取定义域内的每一
ab 个 w
个值时，都有 f ( x T ) f ( x) ，则 f ( x) 的最小正周期为 T，T 为这个函数的一个 周期
T T 8.如果函数 f ( x) 是 R 上的奇函数，且最小正周期为 T，那么 f ( ) f ( ) 0 2 2
9. 如果函数 f ( x) 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
f ( x) ( g ( x) 0) 为偶函数； g ( x)
(2)当 f ( x) 和 g ( x) 具有相异的奇偶性时，那么： ① F1 ( x) f ( x) g ( x) 、 F3 ( x) f ( x) g ( x) 的奇偶性不能确定；
② F2 ( x) f ( x) g ( x) 、 F4 ( x)
f ( x nT ) f ( x)(n Z )
f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f ( x) 为 I 上的严格单调递增函数。
( ⅱ ) f ( x1) f ( x2) ， 则 称 f ( x) 为 I 上 的减 函 数 ，特 别 当且 仅当 严 格 不等 式
f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f ( x) 为 I 上的严格单调递减函数。
f( x )
g( 、 x)
F2 ( x) f ( x) g ( x) 的 增 减 性 与 f ( x) ( 或 g ( x) ) 相 同 ， F3 ( x) f ( x) g ( x) 、
F4 ( x) f ( x) ( g ( x) 0) 的增减性不能确定； g ( x)
I J ：
(1)当 f ( x) 和 g ( x) 具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么： ①函数 F1 ( x) f ( x) g ( x) 、 F3 ( x) f ( x) g ( x) 也为奇函数； ② F2 ( x) f ( x) g ( x) 、 F4 ( x)
f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) 、 F5 ( x) ( f ( x) 0) 为奇函数。 g ( x) f ( x)
若函数 y f ( x) 是偶函数，则 f ( x a) f ( x a) ；若函数 y f ( x a) 是偶 函数，则 f ( x a) f ( x a) . 三、函数的对称性 1.函数自对称 （1）关于 y 轴对称的函数（偶函数）的充要条件是 f ( x) f ( x) （2）关于原点 0, 0 对称的函数（奇函数）的充要条件是 f ( x) f ( x) 0 （3）关于直线 y x 对称的函数的充要条件是 f 1 ( x) f ( x) 2.两个函数的图象对称性 （1） y f ( x) 与 y f ( x) 关于 x 轴对称。 换种说法： y f ( x) 与 y g ( x) 若满足 f ( x) g ( x) ，即它们关于 y 0 对称。 （2） y f ( x) 与 y f ( x) 关于 y 轴对称。 换种说法： y f ( x) 与 y g ( x) 若满足 f ( x) g ( x) ，即它们关于 x 0 对称。 （3） y f ( x) 与 y f (2a x) 关于直线 x a 对称。 换种说法： y f ( x) 与 y g ( x) 若满足 f ( x) g (2a x) ，即它们关于 x a 对称。 （4） y f ( x) 与 y 2a f ( x) 关于直线 y a 对称。 换种说法： y f ( x) 与 y g ( x) 若满足 f ( x) g ( x) 2a ，即它们关于 y a 对称。 （5） y f ( x)与y 2b f (2a x) 关于点 a, b 对称。 换种说法：y f ( x) 与 y g ( x) 若满足 f ( x) g (2a x) 2b ， 即它们关于点 a, b 对称。 （6） y f (a x) 与 y ( x b) 关于直线 x