仪征中学年高二上数学期中试卷及答案
江苏省仪征中学2020年高二第一学期期中模拟数学试卷及答案
江苏省仪征中学2020—2021学年第一学期高二数学期中模拟(1)一、单项选择题1.若0a b <<,则下列结论不正确的是( ) A.a b ->->C.22a b >D.11a b> 2.已知3x >,13y x x =+-,则y 的最小值为( ) A.2 B.3 C.4D.53.等比数列{}n a 中,12a =,2q =,126n S =, 则n =( ) A.9 B.8 C.7 D.64.《周髀算经》是中国古代重要的数学著作,其记载的“日月历法”曰:“阴阳之数,日月之法,十九岁为一章,四章为一部,部七十六岁,二十部为一遂,遂千百五二十岁,….生数皆终,万物复苏,天以更元作纪历”,某老年公寓住有20位老人,他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂,其中年长者已是奔百之龄(年龄介于90至100),其余19人的年龄依次相差一岁,则年长者的年龄为( ) A.94B.95C.96D.985.已知双曲线C :2222=1x y a b-(a ＞0,b ＞0)则C 的渐近线方程为( ).A.y ＝14x ±B.y ＝13x± C.y ＝12x ± D.y ＝±x 6.设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点,、则22||||AF BF +的最小值为( ) A.20B.21C.22D.237.已知点()2,1A 在直线10ax by +-=()0,0a b >>上,若存在满足该条件的a ,b 使得不等式2122m m a b+≤+成立,则实数m 的取值范围是( ) A.(,4][2,)-∞-+∞B.(,2][4,)-∞-+∞C.(,6][4,)-∞-+∞D.(,4][6,)-∞-+∞8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S,且132n n tS ++=,若对任意的n ∈N *,(2S n +3)λ≥27(n -5)恒成立, 则实数λ的取值范围是( .) A.[,)181+∞ B.[,)127+∞ C.[,)164+∞ D.[,)116+∞ 二、多项选择题 9.下面命题正确的是( )A.“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B.命题“x R ∀∈,则210++<x x ”的否定是“x R ∃∈,则210++≥x x ”. C.设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D.设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 10.下列有关说法正确的是( ) A.当0x >时,1lg 2lg x x +≥; B.当0a >,0b >时,114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立;C.当0x >时2≥; D.当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,2sin sin θθ+的最小值为.11.设椭圆22193x y +=的右焦点为,直线()与椭圆交于,两点,则( ) A.为定值 B.周长的取值范围是 C.当3m =时,为直角三角形 D.当时,的面积为 12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,……,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”,记为数列的前项和,则下列结论正确的是( ) A. B.C. D.三、填空题13.抛物线的准线方程是12y =,则其标准方程是______ 14.若[]21,2,10x ax ∃∈+≤为真命题,则实数a 的取值范围为______ 15.在数列{}n a 中,112a =,12n n a a n +=+,n *∈N ,则5a 的值为______,数列1112n a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭(n *∈N )的前n 项和为______.16.已知椭圆C 的焦点为1F ,2F ,过点1F 的直线与椭圆C 交于A ,B 两点.若112AF F B =,2AB BF =,则椭圆C 的离心率为______.四、解答题17.已知命题p :实数m 满足的方程221(0)34x y a m a m a+=>--表示双曲线,命题q :实数m 满足的方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆. (1)若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围; (2)若p 是q 的充分不必要条件,求a 的取值范围. .18.已知双曲线的焦点为12(4,0),(4,0)F F -,且该双曲线过点(6,P . (1)求双曲线的标准方程及其离心率、渐近线方程;(2)若双曲线上的点M 满足12MF MF ⊥,求12MF F ∆的面积.19.已知数列是公差不为零的等差数列,,其前n 项和为,数列前n 项和为,从 ,,成等比数列,,,,数列为等比数列,101111021n n n a a=+=∑,,,这三个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题.求数列,的通项公式; 求数列的前n 项和.20.为了加强“平安校园”建设,有效遏制涉校案件的发生,保障师生安全,某校决定在学校门口利用一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为24平方米,且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙,无需建造费用,甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米300元,屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低？并求出最低报价. (2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标,其给出的整体报价为元,若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求的取值范围.21.已知数列{}n a 各项均为正数,S n 是数列{}n a 的前n 项的和,对任意的*n ∈N ,都有2232n n n S a a =+-.数列{}n b 各项都是正整数,121,4b b ==,且数列123,,,,n b b b b a a a a ⋯是等比数列. (1) 证明:数列{}n a 是等差数列; (2) 求数列{}n b 的通项公式n b ; (3)求满足124n n S b <+的最小正整数n .22.已知椭圆E :22221x y a b+=(0a b >>)的离心率是2,1A ,2A 分别为椭圆E 的左右顶点,B 为上顶点,12A BA ∆的面积为2.直线l 过点()1,0D 且与椭圆E 交于P ,Q 两点(P ,Q 异于1A ,2A )(1)求椭圆E 的标准方程; (2)求OPQ ∆的面积最大值;(3)设直线1A P 与直线2A Q 的斜率分别为1k ,2k ,求证:12k k 为常数,并求出这个常数.江苏省仪征中学2020—2021学年第一学期高二数学期中模拟(1)一、单项选择题: BDDB CCAA二、多项选择题: 9.ABD 10.BC 11.AD 12.ACD三、填空题: 13.14.14a ≤- 15.32; 1nn +16.四、解答题17.解:(1)若命题p 为真,即方程221(0)34x ya m a m a+=>--表示双曲线,所以()()340m a m a --<,解得34a m a <<,即()3,4m a a ∈. (2)若命题q 为真,即x 2m －1＋y 22－m ＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆成立, 解得312m <<,记B ＝3(1,)2. 由(1)知,记A ＝()3,4a a 因为p 是q 的充分不必要条件,所以AB ,故33421a a ⎧≥⎪⎨<⎪⎩或33421a a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩,解得1338a ≤≤. 所以实数a 的取值范围为1338a ≤≤.18(1)设双曲线的方程为22221(0,0)x ya b a b-=>>, 由1(4,0)F -,2(4,0)F ,且该双曲线过点(6,P ,可得2a ==∴2212a ==,又4c =,∴22244b =-=,∴双曲线的标准方程为221124x y -=;离心率3c e a ==,渐近线方程为3y x =±(2)由221212|||||||||64MF MF MF MF -=+=,得12||||8MF MF ⋅=, ∴12121||||42MF F SMF MF =⋅=.19.解:选择条件,,成等比数列,,设数列的公差为d ,由,,成等比数列,即, 所以,解得舍或,所以, 因为,则, 所以,则,又,解得,所以,选择条件,设数列的公差为d , 所以,所以,因为,当时,,且时,适合上式, 所以,选择条件,设数列的公差为d ,所以, 所以,又,则, 所以,所以,设数列的公比为q ,因为,,可得, 又,可得,所以, ,所以, ,以上两式相减,并化简可得 .20.解:(1)设甲工程队的总造价为元,则.............3分当且仅当,即时,等号取到,,即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队报价最低,最低报价28800元;..5分(2)由题意无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功可得: 对恒成立,整理得:对恒成立,................................7分令,,当且仅当,即,等号取到,........................................10分,在上递增,,所以,综上的取值范围为.....................................................................12分21 (1)当1n =时,2111232a a a =+-,即211320a a --=,()()113210a a +-=,由10a >得11a =. 当2n ≥时,由2232n n n S a a =+-得2111232n n n S a a ---=+-,所以两式相减得2211233n n n n n a a a a a --=+--,所以()()1113n n n n n n a a a a a a ----+=+.由0n a >知10n n a a ->+,所以113n n a a --=, 所以数列{}n a 是首项11a =,公差13d =的等差数列.(2)由(1)得121(1)333n n a n =+-=+, 由12141,2b b a a a a ====,所以数列{}n b a 的公比221q ==, 所以数列{}n b a 是首项为1,公比为2的等比数列,所以12n n b a -=.又233n n b b a =+,所以12233n n n b b a -=+=,即1322n n b -=⋅-.(3)由()()121526n n n a a S n n +==+,得22155623292n n nn n nS n n b -++==+⨯⨯. 设25()292n nn S n nf n b +==+⨯, 则221222(1)5(1)(1)761269215()2102592n nn n f n n n n n n f n n n n n ++++++++⎛⎫⋅===+ ⎪+++⎝⎭⋅. 令(1)1()f n f n +>得22761210n n n n++>+,即2360n n +-<.由*n N ∈得1n =. 令(1)1()f n f n +<得2360n n +->,知*2,n n ≥∈N , 所以(1)(2),(2)(3)(4)()f f f f f f n <>>>⋯>, 又因为1414611361(1),(4)2183214444S S f f b b ===>===++,故当5n ≥时,1()4f n <, 所以满足124n n S b <+的最小正整数n 为5.22解:(1)设椭圆的焦距为2c (0c >),因为2222c e a ab a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩,所以2a =,1b =,c =所以椭圆的标准方程为2214x y +=(2)设直线l :+1x my =交椭圆于()11,P x y ,()22,Q x y , 联立22144x my x y =+⎧⎨+=⎩,化简得()224230m y my ++-=,由根与系数关系得12212202434m y y m y y m ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩所以1212OPQS OD y y ∆=⨯⨯-==令23t m =+,3t ≥,故 OPQ S ∆== 当[)3,t ∈+∞,12t t++单调递增,故3t =时,POQ S ∆最大值为2;(3)证:因为111121212212122221332y k x y my my y y y k my y my y y x +--==⋅=++-, 由第(2)问知121223y y m y y +=,即()121232my y y y =+ 将其代入上式得1212121312239322y y k k y y +==+为常数,即证 解法2:设直线1A P :()12y k x =+, 联立()()222211112221416164044y k x k x k x k x y ⎧=+⇒+++-=⎨+=⎩,因为2-,1x 是该方程的根, 所以22111122111642821414k k x x k k ---⋅=⇒=++,故2112211284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭; 设直线1A Q :()22y k x =-,联立()()222222222221416164044y k x k x k x k x y ⎧=-⇒+-+-=⎨+=⎩,因为2-,1x 是该方程的根, 所以22222222221648221414k k x x k k ---⋅=⇒=++,故2222222824,1414k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭; 因为P ,D ,Q 三点共线,12212221222124414142882111414PD PQk k k k k k k k k k -++=⇒=----++ 化简得()()12124130k k k k +-=,因为12410k k +>,所以1230k k -=,即1213k k =。
人教版高二上学期期中考试数学试题与答案解析(共两套)
人教版高二上学期期中考试数学试题（一） （本卷满分150分，考试时间120分钟）测试范围：选择性必修第一册：第一章、第二章、第三章一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知两个非零向量)(111z y x a ，，=，)(222z y x b ，，=，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。
A 、||||b b a a ：：= B 、212121z z y y x x == C 、0212121=++z z y y x x D 、存在非零实数k ，使b k a =2．已知焦点在x 轴上的双曲线的焦距为32，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为( )。
A 、1222=-y xB 、1222=-y xC 、1222=-x y D 、1222=-x y3．若直线m my x +=+2与圆012222=+--+y x y x 相交，则实数m 的取值范围为( )。
A 、)(∞+-∞， B 、)0(，-∞ C 、)0(∞+， D 、)0()0(∞+-∞，， 4．点)24(-，P 与圆422=+y x 上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。
A 、1)1()2(22=++-y x B 、4)1()2(22=++-y x C 、1)1()2(22=-++y x D 、4)2()4(22=-++y x5．若P 、Q 分别为直线01243=-+y x 与0586=++y x 上任意一点，则||PQ 的最小值为( )。
A 、59 B 、1029 C 、518 D 、5296．已知椭圆C ：12222=+b y a x (0>>b a )的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为 30的直线与圆222b y x =+相交的弦长为b 3，则椭圆的离心率为( )。
A 、21 B 、22 C 、43 D 、237．已知点1F 是抛物线C ：py x 22=的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F 、2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。
江苏省扬州市仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟试卷(含答案)
江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟（1）一、选择题1. 若0a b <<，则下列结论不正确的是（ ） A. a b ->- B. 33a b >C. 22a b >D.11a b> 2．已知3x >，13y x x =+-，则y 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．53．等比数列{}n a 中，12a =,2q =,126n S =, 则n =（ ） A ．9 B ．8 C ． 7 D ． 64．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94B ．95C ．96D ．985．已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x 6． 设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，、则22||||AF BF +的最小值为（ ） A ．20B ．21C ．22D ．237．已知点()2,1A 在直线10ax by +-=()0,0a b >>上，若存在满足该条件的a ，b 使得不等式2122m m a b+≤+成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(,4][2,)-∞-+∞ B ．(,2][4,)-∞-+∞C ．(,6][4,)-∞-+∞D ．(,4][6,)-∞-+∞8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S，且132n n t S ++=，若对任意的n ∈N *，(2S n +3)λ≥27(n-5)恒成立，则实数λ的取值范围是（ .） A. [,)181+∞ B. [,)127+∞ C. [,)164+∞ D. [,)116+∞ 二、多项题9．下面命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“x R ∀∈,则210++<x x ”的否定是“x R ∃∈,则210++≥x x ”. C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 10．下列有关说法正确的是（ ） A.当0x >时，1lg 2lg x x +≥； B. 当0a >，0b >时，114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立;C.当0x >时，12x x +≥； D.当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin θθ+的最小值为22.11．设椭圆22193x y +=的右焦点为，直线（）与椭圆交于，两点，则（ ） A.为定值 B.周长的取值范围是C.当3m =时，为直角三角形 D.当时，的面积为12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）A.B.C. D.三、填空题13.抛物线的准线方程是12y =，则其标准方程是______ 14. 若[]21,2,10x ax ∃∈+≤为真命题，则实数a 的取值范围为______ 15．在数列{}n a 中，112a =，12n n a a n +=+，n *∈N ，则5a 的值为______，数列1112n a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和为______.16．已知椭圆C 的焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.若112AF F B =，2AB BF =，则椭圆C 的离心率为______.四、解答题17．已知命题p ：实数m 满足的方程221(0)34x y a m a m a+=>--表示双曲线，命题q ：实数m 满足的方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．18. 已知双曲线的焦点为12(4,0),(4,0)F F -，且该双曲线过点(6,P ． （1）求双曲线的标准方程及其离心率、渐近线方程；（2）若双曲线上的点M 满足12MF MF ⊥，求12MF F ∆的面积．19. 已知数列是公差不为零的等差数列，，其前n 项和为，数列前n 项和为，从，，成等比数列，，，，数列为等比数列，101111021n n n a a =+=∑，，，这三个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题．求数列，的通项公式；求数列的前n 项和．20.为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价． （2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元， 若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．21. 已知数列{}n a 各项均为正数，S n 是数列{}n a 的前n 项的和，对任意的*n ∈N ，都有2232n n n S a a =+-.数列{}n b 各项都是正整数，121,4b b ==，且数列123,,,,n b b b b a a a a ⋯是等比数列． (1) 证明：数列{}n a 是等差数列； (2) 求数列{}n b 的通项公式n b ；(3)求满足124n n S b <+的最小正整数n .22．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>，1A ，2A 分别为椭圆E 的左右顶点，B 为上顶点，12A BA ∆的面积为2.直线l 过点()1,0D 且与椭圆E 交于P ，Q 两点（P ，Q 异于1A ，2A ） （1）求椭圆E 的标准方程； （2）求OPQ ∆的面积最大值；（3）设直线1A P 与直线2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为常数，并求出这个常数.江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟（1）一、单项选择题： BDDB CCAA二、多项选择题: 9.ABD 10.BC 11.AD 12.ACD三、填空题: 13.14. 14a ≤- 15．32; 1nn + 16． 3四、解答题17．解：（1）若命题p 为真，即方程221(0)34x ya m a m a+=>--表示双曲线，所以()()340m a m a --<，解得34a m a <<，即()3,4m a a ∈. （2）若命题q 为真，即x 2m －1＋y 22－m ＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆成立， 解得312m <<，记B=3(1,)2. 由(1)知，记A=()3,4a a 因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB ，故33421a a ⎧≥⎪⎨<⎪⎩或33421a a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤. 所以实数a 的取值范围为1338a ≤≤.18（1）设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，由1(4,0)F -，2(4,0)F ，且该双曲线过点(6,22)P ，可得22222(64)(22)(64)(22)43a =++-+=∴22(23)12a ==，又4c =，∴2224(23)4b =-=，∴双曲线的标准方程为221124x y -=；离心率33c e a ==， 渐近线方程为33y x =±（2）由221212||||||43,||||64MF MF MF MF -=+=，得12||||8MF MF ⋅=，∴12121||||42MF F SMF MF =⋅=．19. 解：选择条件，，成等比数列，，设数列的公差为d ，由，，成等比数列，即， 所以，解得舍或，所以，因为，则，所以，则，又，解得，所以，选择条件，设数列的公差为d ，所以，所以，因为，当时，，且时，适合上式，所以，选择条件，设数列的公差为d ，所以，所以，又，则， 所以，所以，设数列的公比为q ，因为，，可得，又，可得，所以，，所以， ，以上两式相减，并化简可得 ．20.解：（1）设甲工程队的总造价为元，则．............3分当且仅当，即时，等号取到，，即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低，最低报价28800元；..5分（2）由题意无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功可得： 对恒成立，整理得：对恒成立，................................7分令，，当且仅当，即，等号取到，........................................10分，在上递增，，所以，综上的取值范围为.....................................................................12分21 (1)当1n =时，2111232a a a =+-，即211320a a --=，()()113210a a +-=，由10a >得11a =. 当2n ≥时，由2232n n n S a a =+-得2111232n n n S a a ---=+-，所以两式相减得2211233n n n n n a a a a a --=+--，所以()()1113n n n n n n a a a a a a ----+=+.由0n a >知10n n a a ->+，所以113n n a a --=， 所以数列{}n a 是首项11a =，公差13d =的等差数列.(2)由(1)得121(1)333n n a n =+-=+， 由12141,2b b a a a a ====,所以数列{}n b a 的公比221q ==， 所以数列{}n b a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n b a -=.又233n n b b a =+，所以12233n n n b b a -=+=，即1322n n b -=⋅-.(3)由()()121526n n n a a S n n +==+，得22155623292n n nn n n S n n b -++==+⨯⨯. 设25()292n nn S n nf n b +==+⨯， 则221222(1)5(1)(1)761269215()2102592n nn n f n n n n n n f n n n n n ++++++++⎛⎫⋅===+ ⎪+++⎝⎭⋅. 令(1)1()f n f n +>得22761210n n n n++>+，即2360n n +-<.由*n N ∈得1n =. 令(1)1()f n f n +<得2360n n +->，知*2,n n ≥∈N ，所以(1)(2),(2)(3)(4)()f f f f f f n <>>>⋯>， 又因为1414611361(1),(4)2183214444S S f f b b ===>===++，故当5n ≥时，1()4f n <， 所以满足124n n S b <+的最小正整数n 为5.22解：（1）设椭圆的焦距为2c （0c >），因为22222c e a ab a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以2a =，1b =，c =所以椭圆的标准方程为2214x y +=（2）设直线l ：+1x my =交椭圆于()11,P x y ，()22,Q x y ， 联立22144x my x y =+⎧⎨+=⎩，化简得()224230m y my ++-=， 由根与系数关系得12212202434m y y m y y m ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩所以1212OPQS OD y y ∆=⨯⨯-==，令23t m =+，3t ≥，故 OPQ S ∆== 当[)3,t ∈+∞，12t t ++单调递增，故3t =时，POQ S ∆最大值为2；（3）证：因为111121212212122221332y k x y my my y y y k my y my y y x +--==⋅=++-， 由第（2）问知121223y y my y +=，即()121232my y y y =+将其代入上式得1212121312239322y y k k y y +==+为常数，即证 解法2：设直线1A P ：()12y k x =+， 联立()()222211112221416164044y k x k x k x k x y ⎧=+⇒+++-=⎨+=⎩，因为2-，1x 是该方程的根， 所以22111122111642821414k k x x k k ---⋅=⇒=++，故2112211284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭； 设直线1A Q ：()22y k x =-，联立()()222222222221416164044y k x k x k x k x y ⎧=-⇒+-+-=⎨+=⎩，因为2-，1x 是该方程的根， 所以22222222221648221414k k x x k k ---⋅=⇒=++，故2222222824,1414k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭； 因为P ，D ，Q 三点共线，12212221222124414142882111414PD PQ k k k k k k k k k k -++=⇒=----++ 化简得()()12124130k k k k +-=，因为12410k k +>，所以1230k k -=，即1213k k =。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
高二上学期期中数学考试试卷及答案
高二上学期期中数学考试试卷及答案SANY GROUP system office room 【SANYUA16H-高二年级上学期期中考试数学试卷一、单项选择题（每小题5分，共40分，请将正确选项填到答题栏里面去） 1、设,0<<b a 则下列不等式中不．成立的是 Ab a 11> B ab a 11>- C b a -> D b a ->- 2、原点O 和点A （1，1）在直线x+y=a 两侧，则a 的取值范围是 A a ＜0或 a ＞2 B 0＜a ＜2 C a=0或 a=2 D 0≤a ≤2 3、在⊿ABC 中，已知ba c b a 2222+=+，则∠C= A 300 B 1500 C 450 D 1350 4、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于 A245 B 12 C 445D 6 5、若a,b,c 成等比数列，m 是a,b 的等差中项，n 是b,c 的等差中项，则=+ncm a A 4 B 3 C 2 D 16、等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于A 2)12(-nB )12(31-nC 14-nD )14(31-n7、若c b a 、、成等比数列，则关于x 的方程02=++c bx axA 必有两个不等实根B 必有两个相等实根C 必无实根D 以上三种情况均有可能8、下列结论正确的是A 当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B 21,≥+>x x x 时当C 21,2的最小值为时当x x x +≥D 无最大值时当xx x 1,20-≤<二、填空题（每小题5分，共30分，请将正确选项填到答题栏里面去） 9、若0＜a ＜b 且a +b=1则21， a ， 2a b ， 22b a +，中的最大的是 ．10、若x 、y ∈R +, x +4y =20,则xy 的最大值为 ．11、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为12、实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥02200y x y x y ，则13+-=x y k 的取值范围为 .13、数列 121, 241, 381, 4161, 5321, …, n n 21, 的前n 项之和等于 ． 14、设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ．试 卷 答 题 栏 班级______姓名__________分数_________ 一．选择题：（每小题5分，共40分）二、填空题：（每小题5分，共30分） 9、 10、 11、 12、 13、． 14、 三、解答题15、在⊿ABC 中，已知030,1,3===B b c .（Ⅰ）求出角C 和A ； （Ⅱ）求⊿ABC 的面积S ；16、已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，且不等式2)6x 3ax (log 22>+- 的解集为{}1|x x x b <>或 ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S 公式 ；（Ⅱ）求数列{11+⋅n n a a }的前n 项和T n17、解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4＜0．18、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?19、设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+ .221+=+n n b b （Ⅰ）求证数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比), （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式.20、（Ⅰ）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足22≤≤-m 的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围；（7分）（Ⅱ）是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足22≤≤-x 的实数x 的取值都成立．（7分）高二年级期中考试数学试卷参考答案一．选择题：（每小题5分，共40分）二、填空题：（每小题5分，共30分） 9、 22b a + 10、 25 11、5000米12、-3≤K ≤31- 13、n n n 21222-++ 14、3+22 15、（1）b cB C =sin sin，23sin =C （2）S==43,23 16、解 ：（Ⅰ）∵不等式2)6x 3ax (log 22>+-可转化为02x 3ax 2>+-，所给条件表明：02x 3ax 2>+-的解集为{}b x or 1x |x ><，根据不等式解集的意义可知：方程02x 3ax 2=+-的两根为1x 1=、b x 2=． 利用韦达定理不难得出2b ,1a ==．由此知1n 2)1n (21a n -=-+=，2n s n = （Ⅱ）令)121121(21)12()12(111+--=+⋅-=⋅=+n n n n a a b n n n则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++++=12112171515131)3111(21321n n b b b b T n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-121121n17、解：当a ＝0时，不等式的解为x ＞2； 当a ≠0时，分解因式a (x －a 2)(x －2)＜0当a ＜0时，原不等式等价于(x －a2)(x －2)＞0，不等式的解为x ＞2或x ＜a2； 当0＜a ＜1时，2＜a2，不等式的解为2＜x ＜a2；当a ＞1时，a2＜2，不等式的解为a2＜x ＜2；当a ＝1时，不等式的解为 Φ 。
江苏省仪征中学2018—2019学年高二上学期期中考试数学试题(含精品解析)
仪征市2018-2019学年度第一学期期中调研测试高 二 数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1.命题：,sin 1x R x "?的否定是______.【答案】∃x ∈R ，sinx≥1【解析】【分析】全称命题的否定为特称命题，即可得解.【详解】命题：,sin 1x R x "?的否定是∃x ∈R ，sinx≥1,故填∃x ∈R ，sinx≥1.【点睛】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于容易题.2.已知过点()2,A m -和(),4B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为________.【答案】-8【解析】【分析】直线AB 与直线210x y +-=平行，即斜率相等，由斜率公式即可得到m 的值.【详解】∵直线2x +y -1＝0的斜率等于﹣2， ∴过点()2,A m -和(),4B m 的直线的斜率也是﹣2， 由斜率公式得422AB m k m -==-+，解得m ＝﹣8， 故答案为：-8．【点睛】本题考查两条直线平行的条件，考查斜率公式，属基础题.3.抛物线24x y = 的焦点到准线的距离为________.【答案】2【解析】【分析】根据抛物线的定义知，焦点到准线的距离为p.【详解】由抛物线方程24x y =知，24p =，2p =，所以焦点到准线的距离为2.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，几何性质，属于容易题.4.双曲线2212y x -= 的焦点坐标是_______.【答案】((0,,-【解析】【分析】根据双曲线的方程 可知焦点位置，且222,1a b ==，求出c 即可写出焦点坐标. 【详解】因为双曲线方程为2212y x -=， 所以222,1a b ==，2223c a b =+=，又焦点在y 轴上，所以焦点坐标为((0,,-.【点睛】本题主要考查了双曲线的方程及简单几何性质，属于中档题. 5.椭圆221x y m+=（1m >）的长轴长是短轴长的2倍，则实数m =_______. 【答案】4【解析】【分析】根据长轴长是短轴长的222b ==，即可求解.【详解】由椭圆方程知，22,1a m b ==，又长轴长是短轴长的2倍，所以224b =?，解得4m =.【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及简单几何性质，属于中档题.6.已知圆O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4，O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1(a ，b ∈R )，则两圆的位置关系是__________ ．【答案】相交【解析】【分析】计算两圆的圆心距，比较与两圆半径之和与差的关系，即可判定两圆位置关系.【详解】因为圆O 1：(x －a )2＋(y －b )2＝4的圆心O 1(,)a b ，半径12r =，圆O 2：(x －a －1)2＋(y －b －2)2＝1的圆心O 2(1,2)a b ++，21r =，所以12O O =12123,1r r r r +=-=因此121212r r O O r r -<<+，所以两圆相交.【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的判定，属于中档题.7.执行如下图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为____．【答案】15【解析】根据题意，本程序框图为求y 的最值，循环体为“直到型”循环结构，输入x =3，第一次循环：y =2×3+1=7，|7−3|=4，x =7； 第二次循环：y =2×7+1=15，|15−7|=8>7， ∴结束循环，输出y =15.故答案为：15.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8.已知2040250x y x y x y ì-+?ïï+-?íï--?ïî ，则y z x = 的取值范围为________. 【答案】13≤yx ≤3【解析】【分析】 作出可行域，yz x =表示可行域内一点与原点连线的斜率，根据图象即可求解.【详解】作出可行域如图所示：=0y y z x x -=-表示可行域内的点(,)x y 与(0,0)的连线的斜率，由图象可知OA OC k zk ＃，由40250x y x y ì+-=ïí--=ïî得(3,1)A ,由4020x y x y ì+-=ïí-+=ïî得(1,3)B 又因为1,33OA OC k k ==, 所以133z ＃.【点睛】本题主要考查了线性规划问题，斜率，属于中档题.9.直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB D 的面积为12”的 条件. (填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)【答案】充分而不必要【解析】 试题分析：1k =时，直线l ：1y x =+与圆O ：221x y +=相交于(0,1),(1,0)-两点，OAB D 的面积为1111.22创=OAB D 的面积为12时直线l ：1y kx =+可与圆O ：221x y +=相交于(0,1),(1,0),两点，此时1k =-，考点：充要关系10.已知点(A -为椭圆2211612x y +=内一点，2F 为其右焦点，M 为椭圆上一动点，则22AM MF +的最小值为________.【答案】10【解析】【分析】根据方程可知216124c =-=，故椭圆的离心率为12，根据椭圆第二定义可将22AM MF +转化为AM d +,d 为M 到准线的距离，根据平几性质即可求出最值.【详解】根据椭圆方程可知216124c =-=， 所以12c e a ==，右准线方程为8x =， 作M 垂直于椭圆的右准线交准线于N,根据椭圆第二定义知22MF MN =, 所以22AM MF AM MN +=+,显然当,,M A N 三点共线的时候取最小值，此时点A 到右准线的距离为2810+=.【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及简单几何性质，椭圆的第二定义，属于中档题.11.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以正方形ABCD 的两个顶点为,A B 焦点，且过点,C D 的双曲线的离心率是_____．1【解析】【分析】设出双曲线方程，求出C 的坐标，代入化简求解双曲线的离心率即可. 【详解】设双曲线方程为：22221x y a b-=， 以正方形ABCD 的两个顶点为,A B 焦点，且过点,C D 的双曲线可得C (,2)c c ， 代入双曲线方程得：222241c c a b-=，即 2222241c c a c a-=-，即222411e e e -=-，解得23e =+所以1e .【点睛】本题主要考查了双曲线的方程，简单几何性质，属于中档题.12.已知点(0,2),(2,0)A B .若点C 在抛物线2x y =的图象上，则使得ABC D 的面积为2的点C 的个数为________.【答案】4【解析】【分析】设2(,)C a a ，因为AB =2(,)C a a 到直线AB ，解方程可得a 的值的个数.【详解】由于AB =2(,)C a a 到直线AB ：20x y +-=的距离为d,则由三角形ABC 的面积为2可得122d =醋，解得d222a a +-=或22=2a a +--，解得12a -?=或1a =或0a =， 故满足条件的点C 的个数为4个.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及简单几何性质，三角形面积公式，点到直线的距离，属于中档题. 13.已知直线0x y b -+= 与圆229x y +=交于不同的两点A ，B ．若O 是坐标原点，且2OA OB AB +?，则实数b 的取值范围是__________.【答案】--?（【解析】分析：先根据直线与圆相交得出d<r 可得b 的第一个范围，然后由2OA OB AB +?，可设AB 的中点为D ，则2OD AB ³,可求出AB 的长度然后再解不等式即可得到b 的范围. 详解：设AB 的中点为D ，则2OA OB OD +=,故2OD AB ³即2218OD AB ³，再由直线与圆的弦长公式可得：AB 2=（d 为圆心到直线的距离），又直线与圆相交故d<r，得3x <?<<2218OD AB³，2AB =得：23OD ³，由点到线的距离公式可得222b OD=，即要232b b b 侈-，综合可得：b的取值范围是[--?（点睛：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，能正确的转化向量的不等式是解题关键，属于中档题．14.如图，椭圆()2:124C a a +=>，圆 222:4O x y a +=+，椭圆C 的左、右焦点分别为12,F F ，过椭圆上一点P 和原点O 作直线l 交圆O 于,M N 两点，若12·8PF PF =，则·PM PN 的值为__________.【答案】8【解析】【分析】设P 点的坐标00(,)x y ，由焦半径公式及12·8PF PF =可得222200=4OP x y a +=-,利用()()·P M P N O M O P O N O P =-+即可求解.【详解】设P 点的坐标00(,)x y ,因为P 在椭圆上， 所以2200214x y a +=，则220024(1)x y a=-， 因为12·8PF PF =，所以00()()8a ex a ex +-=，又2224a e a -=， 则22202(8)4a a x a -=- ， 由对称性得()()·PM PN OM OP ON OP =-+=22222004R OP a x y -=+--22448a a =+-+=.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，焦半径公式，考查了计算能力，属于中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知命题:114p m m +=-- 表示双曲线，命题2:,2q x R x m $?<。
江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟(1)
江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟（1）一、单项选择题1. 若0a b <<，则下列结论不正确的是（ ） A. a b ->-B.>C. 22a b >D.11a b> 2．已知3x >，13y x x =+-，则y 的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．53．等比数列{}n a 中，12a =,2q =,126n S =, 则n =（ ） A ．9 B ．8 C ． 7 D ． 64．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94B ．95C ．96D ．985．已知双曲线C ：2222=1x ya b-(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x6． 设双曲线2211612x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交双曲线左支于,A B 两点，、则22||||AF BF +的最小值为（ ） A ．20B ．21C ．22D ．237．已知点()2,1A 在直线10ax by +-=()0,0a b >>上，若存在满足该条件的a ，b 使得不等式2122m m a b+≤+成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,4][2,)-∞-+∞B ．(,2][4,)-∞-+∞C ．(,6][4,)-∞-+∞D ．(,4][6,)-∞-+∞8．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S，且132n n tS ++=，若对任意的n ∈N *，(2S n +3)λ≥27(n -5)恒成立， 则实数λ的取值范围是（ .） A. [,)181+∞ B. [,)127+∞ C. [,)164+∞ D. [,)116+∞ 二、多项选择题9．下面命题正确的是（ ）A ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“x R ∀∈,则210++<x x ”的否定是“x R ∃∈,则210++≥x x ”. C ．设,x y R ∈,则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ,则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件 10．下列有关说法正确的是（ ）A.当0x >时，1lg 2lg x x +≥； B. 当0a >，0b >时，114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立;C.当0x >2≥； D.当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2sin sin θθ+的最小值为 11．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线y =m （0<m <√3）与椭圆交于A ，B 两点，则（ ） A.AF +BF 为定值 B.∆ABF 周长的取值范围是[6，12] C.当m =时，∆ABF 为直角三角形 D.当m =1时，∆ABF 的面积为√6 12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，……，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A.S 7=33 B.S n+2=S n+1+S nC. a 1+a 3+a 5+⋯+a 2019=a 2020D.a 12+a 22+⋯+a 20192a 2019=a 2020三、填空题13.抛物线的准线方程是12y =，则其标准方程是______ 14. 若[]21,2,10x ax ∃∈+≤为真命题，则实数a 的取值范围为______ 15．在数列{}n a 中，112a =，12n n a a n +=+，n *∈N ，则5a 的值为______，数列1112n a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭（n *∈N ）的前n 项和为______.16．已知椭圆C 的焦点为1F ，2F ，过点1F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.若112AF F B =，2AB BF =，则椭圆C 的离心率为______.四、解答题17．已知命题p ：实数m 满足的方程221(0)34x y a m a m a+=>--表示双曲线，命题q ：实数m 满足的方程x 2m －1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆. （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围． .18. 已知双曲线的焦点为12(4,0),(4,0)F F -，且该双曲线过点(6,P ． （1）求双曲线的标准方程及其离心率、渐近线方程；（2）若双曲线上的点M 满足12MF MF ⊥，求12MF F ∆的面积．19. 已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1=1，其前n 项和为S n ，数列{b n }前n 项和为T n ，从 ①a 1，a 2，a 5成等比数列，T n =2−b n ，②S 55−S 33=2，T n =2−(12)n−1，③数列{b n }为等比数列，101111021n n n a a =+=∑，a 1=b 1，a 3b 4=58，这三个条件中任选一个作为已知条件并解答下列问题． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{an b n}的前n 项和M n ．20.为了加强“平安校园”建设，有效遏制涉校案件的发生，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室．由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元．设屋子的左右两面墙的长度均为米．（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价． （2）现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元， 若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．21. 已知数列{}n a 各项均为正数，S n 是数列{}n a 的前n 项的和，对任意的*n ∈N ，都有2232n n n S a a =+-.数列{}n b 各项都是正整数，121,4b b ==，且数列123,,,,n b b b b a a a a ⋯是等比数列．(1) 证明：数列{}n a 是等差数列； (2) 求数列{}n b 的通项公式n b ；(3)求满足124n n S b <+的最小正整数n .22．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率是2，1A ，2A 分别为椭圆E 的左右顶点，B 为上顶点，12A BA ∆的面积为2.直线l 过点()1,0D 且与椭圆E 交于P ，Q 两点（P ，Q 异于1A ，2A ） （1）求椭圆E 的标准方程； （2）求OPQ ∆的面积最大值；（3）设直线1A P 与直线2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为常数，并求出这个常数.江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟（1）一、单项选择题： BDDB CCAA二、多项选择题: 9.ABD 10.BC 11.AD 12.ACD三、填空题: 13. x 2=−2y 14. 14a ≤- 15．32; 1nn + 16．四、解答题17．解：（1）若命题p 为真，即方程221(0)34x y a m a m a+=>--表示双曲线，所以()()340m a m a --<，解得34a m a <<，即()3,4m a a ∈.（2）若命题q 为真，即x 2m －1＋y 22－m ＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆成立，解得312m <<，记B=3(1,)2. 由(1)知，记A=()3,4a a因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB ，故33421a a ⎧≥⎪⎨<⎪⎩或33421a a ⎧>⎪⎨≤⎪⎩，解得1338a ≤≤. 所以实数a 的取值范围为1338a ≤≤.18（1）设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，由1(4,0)F -，2(4,0)F，且该双曲线过点(6,P ，可得2a ==∴2212a ==，又4c =，∴22244b =-=，∴双曲线的标准方程为221124x y -=；离心率3c e a ==，渐近线方程为3y x =±（2）由221212|||||||||64MF MF MF MF -=+=，得12||||8MF MF ⋅=， ∴12121||||42MF F SMF MF =⋅=．19. 解：选择条件①a 1，a 2，a 5成等比数列，T n =2−b n ，设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 2，a 5成等比数列，即a 22=a 1a 5， 所以(1+d )2=1+4d ，解得d =0(舍)或d =2，所以a n =2n −1， 因为T n =2−b n ，则T n+1=2−b n+1， 所以b n+1=T n+1−T n =2−b n+1−2+b n ，则b n+1b n=12， 又b 1=T 1=2−b 1，解得b 1=1，所以b n =(12)n−1，选择条件②，设数列{a n }的公差为d ，所以S55−S 33=5a 1+10d5−3a 1+3d3=d =2，所以a n =2n −1，因为T n =2−(12)n−1，当n ≥2时，b n =T n −T n−1=(12)n−1，且n =1时，b 1=1适合上式，所以b n =(12)n−1，选择条件③，设数列{a n }的公差为d ，所以1a n a n+1=1d (1a n−1an+1)，所以∑1a n a n+110n=1=1d[(1a 1−1a 2)+(1a 2−1a 3)+⋯+(1a 10−1a 11)]=1d (1a 1−1a 11)=10a1a 11=1021，又a 1=1，则a 11=21， 所以d =2，所以a n =2n −1，设数列{b n }的公比为q ，因为a 3=5，a 3b 4=58，可得b 4=18，又a 1=b 1=1，可得q =12，所以b n =(12)n−1，(2)a nb n=2n−1(12)n−1=(2n −1)·2n−1，所以M n =1×20+3×21+5×22+⋯+(2n −3)·2n−2+(2n −1)·2n−1，2M n =1×21+3×22+5×23+⋯+(2n −3)·2n−1+(2n −1)·2n ， 以上两式相减，并化简可得 M n =(2n −3)·2n +3．20.解：（1）设甲工程队的总造价为元，则．............3分当且仅当，即时，等号取到，，即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队报价最低，最低报价28800元；..5分（2）由题意无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功可得： 对恒成立，整理得：对恒成立，................................7分令，，当且仅当，即，等号取到，........................................10分，在上递增，，所以，综上的取值范围为.....................................................................12分21 (1)当1n =时，2111232a a a =+-，即211320a a --=，()()113210a a +-=，由10a >得11a =. 当2n ≥时，由2232n n n S a a =+-得2111232n n n S a a ---=+-，所以两式相减得2211233n n n n n a a a a a --=+--，所以()()1113n n n n n n a a a a a a ----+=+.由0n a >知10n n a a ->+，所以113n n a a --=， 所以数列{}n a 是首项11a =，公差13d =的等差数列.(2)由(1)得121(1)333n n a n =+-=+， 由12141,2b b a a a a ====,所以数列{}n b a 的公比221q ==， 所以数列{}n b a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12n n b a -=.又233n n b b a =+，所以12233n n n b b a -=+=，即1322n n b -=⋅-.(3)由()()121526n n n a a S n n +==+，得22155623292n n nn n nS n n b -++==+⨯⨯. 设25()292n n n S n nf n b +==+⨯， 则221222(1)5(1)(1)761269215()2102592n nn n f n n n n n n f n n n n n ++++++++⎛⎫⋅===+ ⎪+++⎝⎭⋅. 令(1)1()f n f n +>得22761210n n n n++>+，即2360n n +-<.由*n N ∈得1n =. 令(1)1()f n f n +<得2360n n +->，知*2,n n ≥∈N ，所以(1)(2),(2)(3)(4)()f f f f f f n <>>>⋯>， 又因为1414611361(1),(4)2183214444S S f f b b ===>===++，故当5n ≥时，1()4f n <， 所以满足124n n S b <+的最小正整数n 为5.22解：（1）设椭圆的焦距为2c （0c >），因为2222c e a ab a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以2a =，1b =，c =所以椭圆的标准方程为2214x y +=（2）设直线l ：+1x my =交椭圆于()11,P x y ，()22,Q x y ， 联立22144x my x y =+⎧⎨+=⎩，化简得()224230m y my ++-=， 由根与系数关系得12212202434m y y m y y m ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=-⎪+⎩所以1212OPQ S OD y y ∆=⨯⨯-==令23t m =+，3t ≥，故 OPQ S ∆== 当[)3,t ∈+∞，12t t ++单调递增，故3t =时，POQS ∆（3）证：因为111121212212122221332y k x y my my y y y k my y my y y x +--==⋅=++-， 由第（2）问知121223y y my y +=，即()121232my y y y =+ 将其代入上式得1212121312239322y y k k y y +==+为常数，即证 解法2：设直线1A P ：()12y k x =+， 联立()()222211112221416164044y k x k x k x k x y ⎧=+⇒+++-=⎨+=⎩，因为2-，1x 是该方程的根， 所以22111122111642821414k k x x k k ---⋅=⇒=++，故2112211284,1414k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭； 设直线1A Q ：()22y k x =-， 联立()()222222222221416164044y k x k x k x k x y ⎧=-⇒+-+-=⎨+=⎩，因为2-，1x 是该方程的根， 所以22222222221648221414k k x x k k ---⋅=⇒=++，故2222222824,1414k k Q k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭； 因为P ，D ，Q 三点共线，12212221222124414142882111414PD PQk k k k k k k k k k -++=⇒=----++化简得()()12124130k k k k +-=，因为12410k k +>，所以1230k k -=，即1213k k =。
高二数学上学期期中试题 试题(共10页)
高二数学上学期期中(qī zhōnɡ)试题一、选择题〔本大题有12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1.对于变量x，y有以下四个数点图，由这四个散点图可以判断变量x与y成负相关的是〔〕A. B. C. D.2.为了抽查某城汽车年检情况，在该城主干道上采取抽车牌个位数为6的汽车检查，这种抽样方法是〔〕A. 简单随机抽样B. 抽签法C. 系统抽样D. 分层抽样3.命题p：假设x＞y，那么-x＜-y；命题q：假设x＜y，那么x2＞y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧〔￢q〕；④〔￢p〕∨q中，真命题是〔〕A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4.“a+b=1〞是“直线x+y+1=0与圆〔x-a〕2+〔y-b〕2=2相切〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.执行如下图程序框图，输出的a=〔〕A. -1B.C. 1D. 26.程序框图如图：假如上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入〔〕A. k≤10B. k≤9C. k＜10D. k＜9〔第5题〕〔第6题〕7.一个袋中装有大小一样，编号分别为1，2，3，4，5，6，7， 8的八个球，从中有放回地每次取一个球，一共取2次，那么获得两个(liǎnɡɡè)球的编号和小于15的概率为〔〕A. B. C. D.8.某班级为了进展户外拓展游戏，组成红、蓝、黄3个小队．甲、乙两位同学各自等可能地选择其中一个小队，那么他们选到同一小队的概率为〔〕A. B. C. D.9.圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4x=0的公切线条数〔〕A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条x2+y2=25上一点P〔-4，-3〕的圆的切线方程为〔〕A. 4x-3y-25=0B. 4x+3y+25=0C. 3x+4y-25=0D. 3x-4y-25=0x-y+2=0与圆C：〔x-3〕2+〔y-3〕2=4交于点A，B，过弦AB的中点的直径为MN，那么四边形AMBN的面积为〔〕A.8B.C.4D.12.在区间[0，1]上随机(suí jī)取两个数x和y，那么的概率为〔〕A.43B. C. D.二、填空题〔本大题有4小题，每一小题5分，一共20分.将答案填在题中横线上〕 “∃x ＞0，〞的否认为 ______ ．14.假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进展实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进展编号，假如从随机数表第8行第7列的数7开场向右读，请你依次写出最先被检测的5粒种子的编号 ______，______,______,______,_______ ．〔下面摘取了随机数表第7行至第9行〕 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．15.同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，在两枚骰子点数不同的条件下，两枚骰子至少有一枚出现6点的概率为 ______ ．x 2+y 2=9和〔x +4〕2+〔y +3〕2=8交点的直线方程为 ______ ．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解答题写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕17.〔10分〕某旅游爱好者方案从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游．〔Ⅰ〕假设从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；〔Ⅱ〕假设从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．18.〔12分〕从某校随机抽取100名学生，获得了他们的一周课外阅读时间是〔单位：小时〕的数据，整理得到数据分组级频数分布直方图：组号分组频数1 [0,2) 62 [2,4) 83 [4,6) 174 [6,8) 225 [8,10) 256 [10,12) 127 [12,14) 68 [14,16) 29 [16,18) 2合计100〔1〕从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间是少于12小时的概率；〔2〕求频率(pínlǜ)分布直方图中的a，b的值；〔3〕假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的200名学生该周课外阅读时间是的平均数在第几组．〔只需写出结论〕19.〔12分〕某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间是内每个技工加工的合格(hégé)零件数，按十位数字为茎，个位数字为叶得到的茎叶图如下图．甲、乙两组数据的平均数都为10．〔1〕求m,n的值；〔2〕分别求出甲、乙两组数据的方差S甲2和S乙2，并由此分析两组技工的加工程度〔3〕质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进展检测，假设两人加工的合格零件数之和大于17，那么称该车间“质量合格〞，求该车间“质量合格〞的概率．20.〔12分〕某零售商店近五个月的销售额和利润额资料如下表：商店名称 A B C D E销售额x〔千万元〕 3 5 6 7 9利润额y〔百万元〕 2 3 3 4 5〔1〕画出散点图，观察散点图，说明两个(liǎnɡɡè)变量有怎样的相关关系；〔2〕用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程；〔3〕当销售额为4〔千万元〕时，利用〔2〕的结论估计该零售店的利润额〔百万元〕．〔参考公式〔，〕21.〔12分〕某为了理解民对卫生管理的满意程度，通过问卷调查了学生、在职人员、退休人员一共250人，结果如下表：学生在职人员退休人员满意x y 78不满意 5 z 12假设在所调查人员中随机抽取1人，恰好抽到学生的概率为0.32．〔Ⅰ〕求x的值；〔Ⅱ〕现用分层抽样的方法在所调查的人员中抽取(chōu qǔ)25人，那么在职人员应抽取多少人？〔Ⅲ〕假设y≥70，z≥2，求民对政管理满意度不小于0.9的概率．〔注：〕22.圆N经过点A〔3，1〕，B〔-1，3〕，且它的圆心在直线3x-y-2=0上．23.〔Ⅰ〕求圆N的方程；24.〔Ⅱ〕求圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程．25.〔Ⅲ〕假设点D为圆N上任意一点，且点C〔3，0〕，求线段CD的中点M的轨迹方程．枫叶国际2021-2021学年度第一学期答案和解析【答案】1. B2. C3. C4. A5. D6. A7.B8. A9. A10. B11. D12. A13. ∀x＞0，14.785, 567,199,810,50715.16. 4x+3y+13=017. 解：〔Ⅰ〕某旅游爱好者方案从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．从这6个国家中任选2个，根本领件总数n==15，这2个国家都是亚洲国家包含的根本领件个数m=，∴这2个国家都是亚洲国家的概率P===．〔Ⅱ〕从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，包含的根本领件个数为9个，分别为：〔A1，B1〕，〔A1，B2〕，〔A1，B3〕，〔A2，B1〕，〔A2，B2〕，〔A2，B3〕，〔A3，B1〕，〔A3，B2〕，〔A3，B3〕，这2个国家包括A1但不包括B1包含的根本领件有：〔A1，B2〕，〔A1，B3〕，一共2个，∴这2个国家包括A1但不包括B1的概率P=．18. 解：〔1〕由频率(pínlǜ)分布表知：1周课外阅读时间是不少于12小时的频数为2+2+6=10，∴1周课外阅读时间是少于12小时的频率为1-；〔2〕由频率分布表知：数据在[4，6〕的频数为17，∴频率为，∴a；数据在[8，10〕的频数为25，∴频率为，∴b；〔3〕数据的平均数为〔6×1+3×8+5×17+7×22+9×25+11×12+13×6+15×2+17×2〕〔小时〕，∴样本中的100名学生该周课外阅读时间是的平均数在第四组．19. 解：〔1〕由题意得，解得m=3，再由，解得n=8；〔2〕分别求出甲、乙两组技工在单位时间是内加工的合格零件数的方差：，，并由，可得两组技工程度根本相当，乙组更稳定些．〔3〕质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进展检查，设两人加工的合格零件数分别为〔a，b〕，那么所有的〔a，b〕有：〔7，8〕、〔7，9〕、〔7，10〕、〔7，11〕、〔7，12〕、〔8，8〕、〔8，9〕、〔8，10〕、〔8，11〕、〔8，12〕、〔10，8〕、〔10，9〕、〔10，10〕、〔10，11〕、〔10，12〕、〔12，8〕、〔12，9〕、〔12，10〕、〔12，11〕、〔12，12〕、〔13，8〕、〔13，9〕、〔13，10〕、〔13，11〕、〔13，12〕，一共计25个，而满足a+b≤17的根本领件有：〔7，8〕、〔7，9〕、〔7，10〕、〔8，8〕、〔8，9〕，一共计5个根本领件，故满足a+b＞17的根本领件个数为25-5=20，所以该车间“质量合格〞的概率为．20. 〔1〕散点图如右，两变量(biànliàng)是正相关关系．〔2〕由表计算=6； =，∴===；=-=-×6=．∴回归直线方程是：y=x+．〔3〕当销售额为4〔千万元〕时，代入回归直线方程得y〔百万元〕21. 解：〔Ⅰ〕依题意可得，解得x=75．〔II〕学生数为80，退休人员人数90，∴在职人员人数为：250-80-90=80，可得在职人员应抽取80×=8人；〔III〕由y≥70，z≥2，且y+z=80，那么根本领件〔y，z〕为〔70，10〕，〔71，9〕，〔72，8〕，〔73，7〕，〔74，6〕，〔75，5〕，〔74，6〕，〔73，7〕，〔78，2〕一共有9组．由得y≥72，∴满足条件的根本领件一共有7组，故所求的概率P=．22. 解：〔Ⅰ〕由可设圆心(yuánxīn)N〔a，3a-2〕，又由得|NA|=|NB|，从而有=，解得：a=2．于是圆N的圆心N〔2，4〕，半径r=．所以，圆N的方程为〔x-2〕2+〔y-4〕2=10；〔Ⅱ〕设N〔2，4〕关于直线x-y+3=0对称点的坐标为〔m，n〕，那么，∴m=1，n=5，∴圆N关于直线x-y+3=0对称的圆的方程为〔x-1〕2+〔y-5〕2=10；〔Ⅲ〕设M〔x，y〕，D〔x1，y1〕，那么由C〔3，0〕及M为线段CD的中点得：．又点D在圆N：〔x-2〕2+〔y-4〕2=10上，所以有〔2x-3-2〕2+〔2y-4〕2=10，化简得：．故所求的轨迹方程为．内容总结（1）高二数学上学期期中试题一、选择题〔本大题有12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕对于变量x，y有以下四个数点图，由这四个散点图可以判断变量x与y 成负相关的是〔〕为了抽查某城汽车年检情况，在该城主干道上采取抽车牌个位数为6的汽车检查，这种抽样方法是〔〕命题p：假设x＞y，那么-x＜-y（2）=，∴===。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
仪征中学年高二上数学期中试卷及答案.doc
江苏省仪征中学201X-201X 学年度高二上学期数学期中试卷注意事项:1．本试题由填空题和解答题两部分组成,满分160分，考试时间为120分钟.2. 答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.3. 作题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.一 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.已知命题p ：“有的实数没有平方根。
”，则非p 是 。
2. 已知椭圆两个焦点坐标分别是（5,0），（－5，0），椭圆上一点P 到两个焦点的距离之和为26，则椭圆的方程为 ▲ 。
3.“若a ＞b ，则ba 22>”的逆否命题为 ▲ 。
4.若点（a ，b ）在直线x ＋3y ＝1上，则ba 82+的最小值为 ▲ 。
5. 方程1)1(22+=-+k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是 ▲ 。
6.双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为6，虚轴长为8，则双曲线的标准方程是 ▲ 。
7. 椭圆16422=+y x 的焦点坐标是 ▲ 。
8.若抛物线顶点为（0，0），对称轴为x 轴，焦点在3x-4y-12=0上，那么抛物线的方程为 ▲ 。
9.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F （1,0），直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中点坐标为（2,2），则直线l 的方程为 ▲ 。
10.命题甲：“双曲线C 的方程为x a y b22221-=（a ＞0，b ＞0）”，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y bax =±”，那么甲是乙的 ▲ 。
（下列答案中选填一个： 充分不必要条件； 必要不充分条件 ； 充要条件 ；既不充分也不必要条件.）.11. 在等差数列｛a n ｝中，已知a 14＋a 15＋a 17＋a 18＝82，则S 31＝ ▲ . 12. 在等比数列{}n a 中，若2,48,93===q a S n n ，则n= ▲ .13.已知双曲线C ：10x 2－62y ＝1，抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点为双曲线的左焦点，则抛物线的标准方程是 ▲ .14. 设P 是椭圆1162522=+y x 上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2=60º，则ΔPF 1F 2的面积为▲ .二、 解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（14分）已知双曲线的方程为369422=-y x ，求双曲线的顶点坐标，焦点坐标，离心率，准线方程，渐近线方程.16．（14分）已知a 、b 、c A 、B 、C 的对边，△ABC 的外接圆半222c ab b a +=+.（1）求角C 与边c.（2.17.（15分）已知p ：关于x 的方程012=++mx x 有两个不相等的负数根q ：关于x 的方程01)2(442=+-+x m x 无实根；如果复合命题“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围.18. （15分）已知等差数列}{n a 中，82=a ，前10项的和18510=S .（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）求从数列}{n a 中依次取出第2，4，8，…，n2，…项按原来的顺序排成一个新的数列}{n b ，试求新数列}{n b 的前n 项的和n T .19.（16分）如图在直角梯形ABCD 中，AD=3，AB=4，BC=，曲线DE 上任一点到A 、B 两点距离之和为常数. （1）建立适当的坐标系，求曲线DE 的方程；（2）过C 点作一条与曲线DE 相交且以C 为中点的弦，求出弦所在直线的方程.20.（16分）如图，椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的焦点F 1、F 2和短轴的一个端点A 构成等边三角形，点（3，23）在椭圆C 上，直线l 为椭圆C 的左准线， ⑴求椭圆C 的方程；⑵设P 是椭圆C 上的点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，以Q 为圆心，PQ 为半径作圆Q ，当点F 1在该圆上时，求圆的方程.理科数学答案1. 所有实数都有平方根。
江苏省仪征中学2018—2019学年高二上学期期中考试数学试题(含精品解析)
:
x2 a2
+
y2 4
=1
a >2
，圆
O : x2 + y2 = a2 +4 ，椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，
过椭圆上一点 P 和原点 O 作直线 l 交圆 O 于 M , N 两点，若 PF1·PF2 = 8 ，则 PM·PN 的值为__________.
【答案】8 【解析】 【分析】
． 【答案】相交 【解析】 【分析】 计算两圆的圆心距，比较与两圆半径之和与差的关系，即可判定两圆位置关系.
【详解】因为圆 O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4 的圆心 O1 (a, b) ，半径 r1 = 2 ，圆 O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1 的圆心 O2 (a +1, b +2) ， r2 =1， 所以 O1O2 = 1+22 = 5 ， r1 +r2 = 3, r1 - r2 =1 因此 r1 - r2 <O1O2 < r1 +r2 ，
(填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)
条件.
【答案】充分而不必要
【解析】
试题分析： k =1时，直线 l ： y = x +1与圆 O ： x2 + y2 =1相交于 (0,1), (- 1, 0) 两点， DOAB 的面积为
1 ´ 1´ 1 = 1 . DOAB 的面积为 1 时直线 l ： y = kx +1 可与圆 O ： x2 + y2 =1相交于 (0,1), (1, 0), 两点，此
【详解】因为双曲线方程为 y2 - x2 =1 ， 2
所以 a2 = 2, b2 =1， c2 = a2 +b2 = 3 ，
2018-2019学年江苏省仪征中学高二上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年江苏省仪征中学高二上学期期中考试数学试题一、填空题1．命题：的否定是______.【答案】∃x∈R，sinx≥1【解析】全称命题的否定为特称命题，即可得解.【详解】命题：的否定是∃x∈R，sinx≥1,故填∃x∈R，sinx≥1.【点睛】本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于容易题.2．抛物线的焦点到准线的距离为________.【答案】2【解析】根据抛物线的定义知，焦点到准线的距离为p.【详解】由抛物线方程知，，，所以焦点到准线的距离为2.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程，几何性质，属于容易题.3．双曲线的焦点坐标是_______.【答案】【解析】根据双曲线的方程可知焦点位置，且，求出即可写出焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为，所以，，又焦点在y轴上，所以焦点坐标为.【点睛】本题主要考查了双曲线的方程及简单几何性质，属于中档题.4．椭圆（）的长轴长是短轴长的2倍，则实数_______.【答案】4【解析】根据长轴长是短轴长的2倍可知，即可求解.【详解】由椭圆方程知，，又长轴长是短轴长的2倍，所以，解得.【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及简单几何性质，属于中档题.5．已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a，b∈R)，则两圆的位置关系是__________ ．【答案】相交【解析】计算两圆的圆心距，比较与两圆半径之和与差的关系，即可判定两圆位置关系.【详解】因为圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4的圆心O1，半径，圆O2：(x－a－1)2＋(y－b －2)2＝1的圆心O2，，所以，因此，所以两圆相交.【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的判定，属于中档题.6．执行如下图所示的程序框图，若输入，则输出的值为____．【答案】15【解析】根据题意，本程序框图为求y的最值，循环体为“直到型”循环结构，输入x=3，第一次循环：y=2×3+1=7，|7−3|=4，x=7；第二次循环：y=2×7+1=15，|15−7|=8>7，∴结束循环，输出y=15.故答案为：15.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.7．已知，则的取值范围为________.【答案】≤≤3【解析】作出可行域，表示可行域内一点与原点连线的斜率，根据图象即可求解.【详解】作出可行域如图所示：表示可行域内的点与的连线的斜率，由图象可知，由得, 由得又因为,所以.【点睛】本题主要考查了线性规划问题，斜率，属于中档题.8．直线l ： 1y kx =+与圆O ： 221x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB ∆的面积为12”的 条件. (填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”之一)【答案】充分而不必要【解析】试题分析： 1k =时，直线l ： 1y x =+与圆O ： 221x y +=相交于()()0,1,1,0-两点，OAB ∆的面积为1111.22⨯⨯= OAB ∆的面积为12时直线l ：1y kx =+可与圆O ： 221x y +=相交于()()0,1,1,0,两点，此时1k =-，【考点】充要关系9．已知点为椭圆内一点，为其右焦点，为椭圆上一动点，则的最小值为________.【答案】10【解析】根据方程可知，故椭圆的离心率为，根据椭圆第二定义可将转化为,d为M到准线的距离，根据平几性质即可求出最值.【详解】根据椭圆方程可知，所以，右准线方程为，作M垂直于椭圆的右准线交准线于N,根据椭圆第二定义知,所以,显然当三点共线的时候取最小值，此时点A到右准线的距离为.【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及简单几何性质，椭圆的第二定义，属于中档题.10．如图，在平面直角坐标系中，以正方形的两个顶点为焦点，且过点的双曲线的离心率是_____．【答案】【解析】设出双曲线方程，求出C的坐标，代入化简求解双曲线的离心率即可.【详解】设双曲线方程为：，以正方形的两个顶点为焦点，且过点的双曲线可得C，代入双曲线方程得：，即，即，解得，所以.【点睛】本题主要考查了双曲线的方程，简单几何性质，属于中档题.11．已知点.若点在抛物线的图象上，则使得的面积为2的点的个数为________.【答案】4【解析】设，因为，根据三角形面积知到直线AB的距离为，解方程可得的值的个数.【详解】由于，设到直线AB：的距离为d,则由三角形ABC的面积为2可得，解得，即，化简得或，解得或或，故满足条件的点C的个数为4个.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及简单几何性质，三角形面积公式，点到直线的距离，属于中档题.12．已知直线x－y＋b＝0与圆交于不同的两点A，B．若O是坐标原点，且，则实数b的取值范围是______．【答案】【解析】分析：先根据直线与圆相交得出d<r可得b的第一个范围，然后由，可设AB的中点为D，则,可求出AB的长度然后再解不等式即可得到b的范围.详解：设AB的中点为D，则,故即，再由直线与圆的弦长公式可得：AB2=，（d为圆心到直线的距离），又直线与圆相交故d<r，得，根据，得：，由点到线的距离公式可得，即要，综合可得：b的取值范围是点睛：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，能正确的转化向量的不等式是解题关键，属于中档题．13．如图，椭圆，圆，椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为__________.【答案】8【解析】设P点的坐标，由焦半径公式及可得,利用即可求解.【详解】设P点的坐标,因为P在椭圆上，所以，则，因为，所以，又，则，由对称性得=.【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，焦半径公式，考查了计算能力，属于中档题.二、解答题14．已知命题表示双曲线，命题。
江苏省仪征中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟（2）2020.11.4一、单项选择题1、等差数列中，若，为方程的两根，则等于A. 10B. 15C. 20D. 402、对抛物线，下列描述正确的是A. 开口向上，焦点为B. 开口向上，焦点为C. 开口向右，焦点为D. 开口向右，焦点为3、已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线l交C于A、B两点，若的周长为，则C 的方程为A. B. C. D.4、九章算术中一文：蒲第一天长3尺，以后逐日减半；莞第一天长1尺，以后逐日增加一倍，则天后，蒲、莞长度相等？参考数据：，，结果精确到注：蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．A. B. C. D.5、已知点，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，为等腰三角形，且顶角为，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D.6、一元二次方程两个根均大于1的充分必要条件是A. B. C. D. 7、已知正数满足，则的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 58、北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板称为天心石，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板不含天心石A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块二、多项选择题9、给出以下四个命题，其中正确的是A. “”的否定是；B. 设是公差为的无穷等差数列的前n项和，若数列有最大项，则；C. 已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件；D. 已知数列的前n项和，若为等比数列，则实数．10、已知，关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是．A. 6B. 7C. 8D. 911、公差为d的等差数列，其前n项和为，，，下列说法正确的有A. B. C. 中最大 D.12、将个数排成n行n列的一个数阵，如下图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列其中己知，，记这个数的和为下列结论正确的有A. B.C. D.三、填空题13、已知双曲线C：的一条渐近线方程为，且经过点，则C的方程为__ ____．14、已知，，，则的最小值为______．15、椭圆左右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点且最大值的取值范围是，其中，则椭圆离心率e取值范围是_________________．16、已知，且，则________．四、解答题17、已知焦点在x轴上的双曲线C的实轴长为，焦距为．求双曲线C的标准方程；若直线与双曲线C交于两点，求弦长18、已知命题p：不等式对一切实数x恒成立，命题q：．若是假命题，求实数a的取值范围；若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19、解不等式；已知a，b，，求证：．20、某科技创新公司在第一年年初购买了一台价值昂贵的设备，该设备的第1年的维护费支出为20万元，从第2年到第6年，每年的维修费增加4万元，从第7年开始，每年维修费为上一年的．求第n年该设备的维修费的表达式；设，若万元，则该设备继续使用，否则须在第n年对设备更新，求在第几年必须对该设备进行更新？21、已知O为坐标原点，椭圆C：上顶点为A，右顶点为B，离心率，圆O：与直线AB相切．求椭圆C的标准方程；若D，E，F为椭圆C上的三个动点，直线EF，DE，DF的斜率分别为．若EF的中点为，求直线EF的方程；若，证明：直线EF过定点．22、已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为d，为其前n项和，且满足，数列满足，为数列的前n项和．求数列的通项公式和数列的前n项和；若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．江苏省仪征中学2020—2021学年度第一学期高二数学期中模拟（2）一、单项选择题：BAAC DAAC二、多项选择题: 9、ABD 10、ABC11、AD 12、ACD三、填空题: 13、 14、215、 16、四、解答题17、解：联立18、解：解：当命题p是真命题时：当时，可化为，成立；当时，解得，综上所述，实数a的取值范围是，当命题p是假命题时，实数a的取值范围是，p是q的必要不充分条件，则是的真子集，即或，解得或，实数m的取值范围是．19、解：由，可得且，解得，所以不等式的解集为；证明：因为a，b，，所以，当且仅当时等号成立．故证．20、解：当时，数列是首项为20，公差为4的等差数列，；当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又，所以．因此第n年该设备的维修费的表达式为．设数列的前n项和为，由等差及等比的求和公式得，当时，，此时恒成立，即该设备继续使用；当时，，此时，因为，即所以是递增数列，又，，故在第9年必须对该设备进行更新．21、由题意，直线AB的方程为：，即为，因为圆O与直线AB相切，所以，设椭圆的半焦距为c，因为，，所以由得：，，所以椭圆C的标准方程为：．设，，，由题知：，，两式作差得：，，整理得：，所以此时直线EF的方程为：；设直线DE：，设直线DF：，将代入，得：，所以，，因此．又因为，且同理可得：，可得，设直线EF的方程为：，将代入，得：，得，所以，所以直线EF过定点．22、法一在中，令，，得即解得，，又时，满足，．，法二是等差数列，由，得，又，，则求法同法一．当n为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．，等号在时取得．此时需满足当n为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．是随n的增大而增大，时取得最小值．此时需满足综合、可得的取值范围是．，若成等比数列，则，即由，可得，即，又，且，所以，此时．因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．。
2020-2021学年江苏省扬州市仪征中学、江都中学高二上学期期中联考试题 数学
江苏省扬州市仪征中学、江都中学2020-2021学年度第一学期高二期中联考数学试题考试范围：不等式,数列,常用逻辑用语,圆锥曲线一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 1.已知,0,a b a b >+=则下列选项必定正确的是(▲) A ．0a >B ．0a ≤C ．0b =D ．0b >2.在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =(▲) A ．0B ．53C ．73D ．33.已知命题:p n N ∀∈，2n >p ⌝是(▲)A ．n ∀∈N，2n ≤B.n ∀∈N，2n <C.n N ∃∈，2n ≤D.n N ∃∈，2n >4.已知等比数列{}n a 满足11353,21,a a a a =++=则357a a a ++=(▲)A ．21B ．42C ．63D ．845.若不等式08322<-+kx kx 对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为(▲) A.()0,3- B ．[)0,3- C.[]0,3- D ．(]0,3-6.设命题1:0,2x p x -≥+命题:(1)(2)0,q x x -+≥则命题p 是命题q 的(▲) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.一百个高矮互不相同的士兵，排成一个十行十列的方阵。
现在从每行中选出一个最高的，再从这些最高的中选出一个最矮的，其高度记为h(高中矮)；然后从每列中选出一个最矮的，再从这个最矮的中间选出一个最高的，其高度记为h(矮中高),则(▲) A ．h(高中矮)>h(矮中高)B ．h(高中矮)≥h(矮中高) C ．h(高中矮)<h(矮中高)D ．h(高中矮)≤h(矮中高)8.已知A 、B 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点，(0,)C b ，直线:2l x a =与x 轴交于点D ，与直线AC 交于点P ，且BP 平分APD ∠，则此椭圆的离心率为(▲)A ．13B．3C ．23D．3二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．已知曲线22:1C mx ny +=，则下列结论正确的是(▲) A ．若0m n >>，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若0m n =>，则CC ．若0mn <，则C是双曲线，其渐近线方程为y x =D ．若0,0m n =>，则C 是两条直线10．下列不等式成立的是(▲)A ．若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2B ．若ab ＝4，则a ＋b ≥4C ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2D ．若a ＞b ＞0，m ＞0，则b b m a a m +<+ 11．设{}()n a n N *∈是等差数列，d 是其公差，n S是其前n 项和．若S5<S 6=S 7>S 8，则下列结论正确的是 A ．d<0B ．70a = C ．95S S >D ．67nS S S 与均为的最大值12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C :x 2＋y 2＝1＋|xy |就是其中之一， 给出下列四个结论，其中正确的选项是(▲)． A.曲线C 关于坐标原点对称B.曲线C 上任意一点到原点的距离的最小值为1C.曲线C 上任意一点到原点的距离的最大值为 2D.曲线C 所围成的区域的面积大于4三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.准线方程为y =2的抛物线的标准方程是 ▲ . 14.设双曲线x 24−y 2b 2=1(b >0)的一条渐近线方程为y =√22x ，则该双曲线的离心率为 ▲ .15.在等差数列{a n }中，满足a n >0，且a 4=5，则1a 2+16a 6的最小值为 ▲ .16.一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何?即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a ，当a ∈[1,2020]时，符合条件的a 共有 ▲ 个．四、解答题（本大题共6小题，计70分．应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知}034|{:2≤+-=x x x A p ，()(){}01|:2≤---=a x a x x B q （1）若1-=a ,求集合；B（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．（12分）在①2n S n n =+，②3516a a +=且3542S S +=，③11n na n a n ++=且756S =，这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答． 问题：设等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，数列{}n b 为等比数列，_________，11b a =，1222a a b =． 求数列1n n b S ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和nT ．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）19.（12分）设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，点),(b a P 满足212F F PF =.（1）求椭圆的离心率e ；（2）设直线2PF 与椭圆相交于B A 、两点，若椭圆的长轴长为24，求1ABF ∆的面积.20.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a =，1n n S a n +=-，*n ∈N . （1）求证：数列{}1na +是等比数列；（2）设数列{}n b 的前n 项和为nT ，已知1n n n b a =+，若不等式922n n T m a ≥-+对于*n ∈N 恒成立，求实数m 的最大值.21.（12分）已知O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，双曲线2214x y -=的渐近线与椭圆C（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点,,D M N 为椭圆C 上的动点，,,M O N 三点共线，直线,DM DN 的斜率分别为12,k k .（i ）证明：1214k k =-；（ii ）若120k k +=，设直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，证明：22m n +为定值.22.（12分）某商家销售某种商品,已知该商品进货单价由两部分构成：一部分为每件产品的进货固定价为3百元,另一部分为进货浮动价,据市场调查,（1）分别建立恰当的函数模型,使它能比较近似地反映该商品日销售量y 与销售单价x 的关系()f x 、进货浮动价d 与日销售量y 的关系()d y ；【注：可选的函数模型有一次函数、二次函数、反比例函数】（2）运用第一问中的函数模型判断,该产品销售单价确定为多少元时,每件产品的利润最大？【注：单件产品的利润=单件售价−(进货浮动价+进货固定价)】2020—2021学年度第一学期期中联考试题高二数学参考答案2020.111.A2、B3、C4、B5、D6、A7、B8、D9.ACD10.AD11.ABD12.ABCD 13、x 2=−8y 14、√6215、5216.13517.解：（1）当1=a 时，{}{}210)2)(1(≤≤-=≤-+=x x x x x B ………………3分（2）{}{}310)3)(1(≤≤=≤--=x x x x x A …………………4分043)21(122>+-=-+a a a ∴{}12+≤≤=a x a x B …………………5分p 是q 的充分不必要条件，∴A B …………………………6分⎩⎨⎧≥+≤∴3112a a 等号不能同时成立…………………………8分解之得2-≤a …………………………10分 18.选①当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，12n n n a S S n-=-=，又1n =满足2n a n=，所以2n a n=．设数列{}n b 的公比为q ，又因为12a =，24a =，由11b a =，1222a a b =，得2b =，2q =，所以2n n b =，…………………………5分数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，211111(1)1n S n n n n n n ===-+++，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++．…………………………10分选②设数列{}n a 的公差为d ，由3516a a +=，3542S S +=，得11261681342a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以2n a n =，2n S n n =+．…………………………5分设数列{}n b 的公比为q ，又因为12a =，24a =，由11b a =，1222a a b =， 数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，211111(1)1n S n n n n n n ===-+++，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++．…………………………10分选③由11n n a n a n ++=，得11n n a a n n +=+，所以11n a a n =， 即1n a a n =，74172856S a a ===，所以12a =，所以2n a n=，2n S n n=+．设数列{}n b 的公比为q ，又因为12a =，24a =，由11b a =，1222a a b =， 得12b =，2q =，所以2nn b =．…………………………5分数列{}n b 的前n 项和为11222212n n ++-=--，211111(1)1n S n n n n n n ===-+++，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111122311n n n -+-+⋅⋅⋅+-=-++， 故11112212111n n n T n n ++=-+-=--++．…………………………10分 19.解：（1）212F F PF =()0122222=-+∴=+-∴e e c b c a 又()211,0=∴∈e e …………………………5分 （2）22122242=∴==∴=c e a a 又6222=-=c a b16822=+∴y x 椭圆的方程为…………………………7分63-=∴x y AB 方程为：设()()2211,,,y x B y x A 联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=24436322y x x y 得：086252=++y y 518,5622121-=-=+∴y y y y …………………………9分()531642212122121211=-+=-⋅=∴∆y y y y y y F F S ABF ………………………12分20.解：（1）由1231n n a a a a n a ++++++=，得12311n na a a a n a -+++++-=（2n ≥），两式相减得121n n a a +=+，所以()1121n n a a ++=+（2n ≥），因为10a =，所以111a +=，2111a a =+=，()21121a a +=+.所以{}1n a +是以1为首项，2为公比的等比数列.…………………………4分（2）由1n n n b a =+，又由（1）可知121n n a -=-，得12n n n b -=，从而922n n T m a ≥-+， 即2123912222n nn m -++++≥-， 因为21231222n n n T -=++++，则23112322222n nnT =++++， 两式相减得2311111121122222222n n n nn n T -+⎛⎫-=+++++-=- ⎪⎝⎭，所以1242n n n T -+=-.…………………………8分 由92n n T m ≥-恒成立，即2542n n m--≥恒成立，又1123252744222n nn n n n ++---⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当3n ≤时，2542n n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递减；当3n =时，323531428⨯--=； 当4n ≥时，2542n n -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭单调递增；当4n =时，4245614216⨯--=；则2542nn --的最小值为6116，所以实数m 的最大值是6116..…………………………12分 21.（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c e a ====，2a b ∴=…①，双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±，∴可设双曲线的渐近线与椭圆C 在第一象限的交点为()2,P t t ，2=，解得：212t =. ()2,P t t 在椭圆上，222241t t a b∴+=，即：222112a b +=…②，由①②解得：2a =，1b =，∴椭圆C 标准方程为：2214x y +=.……3分 （2）由题意知：,M N 关于原点对称，则可设()11,D x y ，()22,M x y ，()22,N x y --.（i ）点,D M 在椭圆C 上，221114x y ∴+=，222214x y +=，221114x y ∴=-，222214x y =-，22122212121212222212121212114414x x y y y y y y k k x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭∴=⋅===--+--.……6分（ii ）不妨设10k >，20k <，1214k k =-，112k ∴=，212k =-，直线DM 过点()0,m ，直线DN 过点()0,n ，∴直线1:2DM y x m =+，1:2DN y x n =-+，由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：22 2220x mx m ++-=，21222x x m ∴=-， 由221214y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：222220x nx n -+-=，21222x x n ∴-=-， ()2212122240x x x x m n ∴+-=+-=，即222m n +=，22m n ∴+为定值2.……12分22.（1）根据表中数据,销售单价每增加1百元,日销量减少10件,所以销售单价与销售量为一次函数的关系,故可设(),f x kx b =+由41105100,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得10,150,k b =-=即()10150,f x x =-+……2分 又根据表中数据,日销售量和进货浮动价的积为一个固定常数90,考虑其为一个反比例函数关系,设(),m d y y =由题意可得90,m =于是90(),d y y=……4分 （2）由150100,0x x ->⎧⎨>⎩可得015x <<,设单件产品的利润为P 百元, 则90909(()3)333,()1501015P x d y x x x f x x x=-+=--=--=---- 因为015x <<,所以150x ->,所以9(15)12,15P x x =--++-……8分又9156,15x x -+≥=-当且仅当915=15x x--即12x =时等号成立,所以max 6126,P =-+=……11分答：单件产品售价定为1200元时,单件产品的利润最大,为600元．……12分。
2022-2023学年江苏省扬州市仪征中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省扬州市仪征中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（每小题5分，共40分） 1．直线kx ﹣y +2﹣k ＝0恒过定点（ ） A ．（﹣1，2）B ．（1，2）C ．（2，﹣1）D ．（2，1）2．若平面内两条直线l 1：x +（a ﹣1）y +2＝0，l 2：ax +2y +1＝0平行，则实数a ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣2或1C ．﹣1D ．﹣1或23．直线l ：3x +4y ﹣1＝0被圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝9所截得的弦长为（ ） A ．2√5B ．4C ．2√3D ．2√24．在数列{a n }中，a 1＝2，a n =2a n−1+1(n ≥2)，则a 4＝（ ）A ．23B ．65C ．1011D ．22215．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点，点M 是过原点O 且倾斜角为120°的直线l与椭圆C 的一个交点，且MF 1→⋅MF 2→=0，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．2−√3C ．√32D ．√3−16．已知点M （1，﹣2）、N （m ，2），若M 、N 关于直线x +2y ﹣2＝0对称，则实数m 的值是（ ） A ．3B ．1C ．﹣2D ．﹣77．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的中心为原点，焦点F 1、F 2在y 轴上，椭圆C 的面积为2√3π，且离心率为12，则C 的标准方程为（ ）A ．x 24+y 23=1B ．x 212+y 2=1C ．x 23+y 24=1D ．x 216+y 23=18．已知点P 在曲线C 1：x 216−y 29=1上，点Q 在曲线C 2：（x ﹣5）2+y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x +5）2+y 2＝1上，则|PQ |﹣|PR |的最大值是（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12二、多选题（每小题5分，错选得0分，少选得2分，共20分）9．已知点A （2，3），B （4，﹣5）到直线l ：（m +3）x ﹣（m +1）y +m ﹣1＝0的距离相等，则实数m 的值可以是（ ） A ．−75B ．75C ．−95D ．9510．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值可以是（ ） A ．−43B ．−23C ．23D ．211．已知双曲线M ：x 2a 2−y 2b 2=1的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（ ） A ．M 的离心率为2√33 B ．M 的标准方程为x 23−y 2=1C ．M 的渐近线方程为y =±√3xD ．直线x +y ﹣2＝0经过M 的一个焦点 12．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．圆C ：x 2﹣2ax +y 2+a 2﹣1＝0与圆D ：x 2+y 2＝4有且仅有两条公共切线，则实数a 的取值可以是3B ．圆x 2+y 2＝4上有且仅有3个点到直线l ：x −y +√2=0的距离都等于1C ．具有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限的交点为P ，若∠F 1PF 2=π2，椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别记作e 1，e 2，则1e 12+1e 22=2D ．已知圆C ：x 2+y 2＝1，点P 为直线x4+y 2=1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，A ，B为切点，则直线AB 经过定点(12，14) 三、填空题（每小题5分，共20分）13．直线y ＝kx +2（k ＞0）被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为 ． 14．在等差数列{a n }中，a 1+a 9＝2，则a 4+4a 5+a 6＝ ．15．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为 ．16．已知x ，y 为实数，代数式√1+(y −2)2+√9+(3−x)2+√x 2+y 2的最小值是 ．四、解答题（第17题10分，其他每题12分，共70分） 17．（10分）设直线l 的方程为（a +1）x +y ﹣3+a ＝0（a ∈R ）． （1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； （2）若l 不经过第三象限，求a 的取值范围． 18．（12分）已知数列{a n }的通项公式为a n =9n 2−9n+29n 2−1．（1）求这个数列的第10项． （2）98101是不是该数列中的项？为什么？（3）在区间（13，23）内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由． 19．（12分）已知抛物线G ：y 2＝4x 的焦点与椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 重合，椭圆E 的短轴长为2√3． （1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，交抛物线G 于M ，N 两点，请问是否存在实常数t ，使t |AB|−1|MN|为定值？若存在，求出t 的值及定值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知双曲线：C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)与x 24+y 2=1有相同的焦点，且经过点M(√2，−√2)．（1）求双曲线C 的方程；（2）是否存在以P （1，2）为中点作双曲线C 的一条弦AB ，如果存在，求弦AB 所在直线的方程． 21．（12分）已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线x −√3y +2=0的距离为54．点N （2，2），不过点N 的直线l 与抛物线交于两点A ，B ，且k NA +k NB ＝﹣2． （1）求抛物线方程及抛物线的准线方程； （2）求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标．22．（12分）已知圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切，且与x 轴正半轴交于A ，B 两点（A 在B左侧），|OA |•|OB |＝1（O 为坐标原点）． （1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 任作一条直线与圆O ：x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点． ①证明：|PA||PB|为定值；②求|PB |+2|PC |的最小值．2022-2023学年江苏省扬州市仪征中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（每小题5分，共40分） 1．直线kx ﹣y +2﹣k ＝0恒过定点（ ） A ．（﹣1，2）B ．（1，2）C ．（2，﹣1）D ．（2，1）解：kx ﹣y +2﹣k ＝0化为y ﹣2＝k （x ﹣1），故恒过点（1，2）． 故选：B ．2．若平面内两条直线l 1：x +（a ﹣1）y +2＝0，l 2：ax +2y +1＝0平行，则实数a ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣2或1C ．﹣1D ．﹣1或2解：∵平面内两条直线l 1：x +（a ﹣1）y +2＝0，l 2：ax +2y +1＝0平行， ∴a （a ﹣1）﹣2＝0， 解得a ＝﹣1，或2．经过验证可得：a ＝﹣1，或2都满足两条直线平行． 因此a ＝﹣1，或2． 故选：D ．3．直线l ：3x +4y ﹣1＝0被圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝9所截得的弦长为（ ） A ．2√5B ．4C ．2√3D ．2√2解：由已知，圆C ：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝9，圆心坐标为C （1，2），半径为3， 所以点C （1，2）到直线l ：3x +4y ﹣1＝0的距离为√32+42=2，所以直线被圆截得的弦长为2√32−22=2√5． 故选：A ．4．在数列{a n }中，a 1＝2，a n =2a n−1+1(n ≥2)，则a 4＝（ ）A ．23B ．65C ．1011D ．2221解：由已知可得a 2=2a 1+1=22+1=23，∴a 3=2a 2+1=65，∴a 4=2a 3+1=1011，故选：C ．5．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点，点M 是过原点O 且倾斜角为120°的直线l与椭圆C 的一个交点，且MF 1→⋅MF 2→=0，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12B ．2−√3C ．√32D ．√3−1解：不妨设M 在第二象限，因为MF 1→⋅MF 2→=0，即MF 1⊥MF 2，|OM|=12|F 1F 2|=c ，又∠MOF 2＝120°，所以∠MOF 1＝60°，即△MOF 1为等边三角形， ∴|MF 1|＝c ，|MF 2|=√3c ， ∴2a =√3c +c ， ∴e =ca =√3−1． 故选：D ．6．已知点M （1，﹣2）、N （m ，2），若M 、N 关于直线x +2y ﹣2＝0对称，则实数m 的值是（ ） A ．3B ．1C ．﹣2D ．﹣7解：由题意得MN 的中点在直线x +2y ﹣2＝0上，且直线x +2y ﹣2＝0与直线MN 垂直，即{1+m 2+2×−2+22−2=02+2m−1⋅(−12)=−1，解得：m ＝3， 故选：A ．7．阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 的中心为原点，焦点F 1、F 2在y 轴上，椭圆C 的面积为2√3π，且离心率为12，则C 的标准方程为（ ）A ．x 24+y 23=1B ．x 212+y 2=1C ．x 23+y 24=1D ．x 216+y 23=1解：由题意可得ca=12，ab ＝2√3，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆的方程为：x 23+y 24=1，故选：C ．8．已知点P 在曲线C 1：x 216−y 29=1上，点Q 在曲线C 2：（x ﹣5）2+y 2＝1上，点R 在曲线C 3：（x +5）2+y 2＝1上，则|PQ |﹣|PR |的最大值是（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12解：由双曲线的知识可知：C 1x 216−y 29=1的两个焦点分别是F 1（﹣5，0）与F 2（5，0），且|PF 1|﹣|PF 2|＝8而这两点正好是两圆（x +5）2+y 2＝1和（x ﹣5）2+y 2＝1的圆心， 两圆（x +5）2+y 2＝1和（x ﹣5）2+y 2＝1的半径分别是r 1＝1，r 2＝1， ∴|PQ |max ＝|PF 1|+1，|PR |min ＝|PF 2|﹣1，∴|PQ |﹣|PR |的最大值为：（|PF 1|+1）﹣（|PF 2|﹣1） ＝|PF 1|﹣|PF 2|+2＝8+2＝10， 故选：C ．二、多选题（每小题5分，错选得0分，少选得2分，共20分）9．已知点A （2，3），B （4，﹣5）到直线l ：（m +3）x ﹣（m +1）y +m ﹣1＝0的距离相等，则实数m 的值可以是（ ） A ．−75B ．75C ．−95D ．95解：∵两点A （2，3），B （4，﹣5）到直线l ：（m +3）x ﹣（m +1）y +m ﹣1＝0的距离相等， ∴22=22，化简得|5m +8|＝1， 解得m =−75，或m =−95， 故选：AC ．10．已知三条直线2x ﹣3y +1＝0，4x +3y +5＝0，mx ﹣y ﹣1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值可以是（ ） A ．−43B ．−23C ．23D ．2解：由已知，设l 1：2x ﹣3y +1＝0，l 2：4x +3y +5＝0，l 3：mx ﹣y ﹣1＝0， 由{2x −3y +1=04x +3y +5=0可知，直线l 1，l 2相交于点A(−1，−13)， 直线l 3：mx ﹣y ﹣1＝0恒过定点B （0，﹣1），因为三条直线不能构成三角形，所以l 1∥l 3；l 2∥l 3；l 3经过点A(−1，−13)；①当l 1∥l 3时，l 1：2x ﹣3y +1＝0，l 3：mx ﹣y ﹣1＝0，所以2×（﹣1）＝﹣3m ，解得m =23； ②当l 2∥l 3时，l 2：4x +3y +5＝0，l 3：mx ﹣y ﹣1＝0，所以4×（﹣1）＝3m ，解得m =−43； ③当l 3经过点A(−1，−13)时，m =−23， 所以实数m 的取值集合为{−23，23，−43}． 故选：ABC ．11．已知双曲线M ：x 2a 2−y 2b2=1的焦距为4，焦点到渐近线的距离是1，则下列说法正确的是（ ）A ．M 的离心率为2√33 B ．M 的标准方程为x 23−y 2=1C ．M 的渐近线方程为y =±√3xD ．直线x +y ﹣2＝0经过M 的一个焦点 解：由题意可得：2c ＝4，∴c ＝2，又焦点到渐近线的距离为b ＝1， ∴a 2＝c 2﹣b 2＝4﹣1＝3，∴a =√3， ∴M 的离心率为ca =√3=2√33，∴A 正确； ∴M 的标准方程为x 23−y 2=1，∴B 正确；∴M 的渐近线方程为y =13=±√33x ，∴C 错误； 又（2，0）在直线x +y ﹣2＝0上，故x +y ﹣2＝0经过M 的一个焦点，∴D 正确． 故选：ABD ．12．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．圆C ：x 2﹣2ax +y 2+a 2﹣1＝0与圆D ：x 2+y 2＝4有且仅有两条公共切线，则实数a 的取值可以是3B ．圆x 2+y 2＝4上有且仅有3个点到直线l ：x −y +√2=0的距离都等于1C ．具有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2在第一象限的交点为P ，若∠F 1PF 2=π2，椭圆C 1与双曲线C 2的离心率分别记作e 1，e 2，则1e 12+1e 22=2D ．已知圆C ：x 2+y 2＝1，点P 为直线x4+y 2=1上一动点，过点P 向圆C 引两条切线P A ，PB ，A ，B为切点，则直线AB 经过定点(12，14)解：圆C ：x 2﹣2ax +y 2+a 2﹣1＝0变形为（x ﹣a ）2+y 2＝1，故圆心为C （a ，0），半径为r 1＝1，圆D ：x 2+y 2＝4圆心为D （0，0），半径为r 2＝2， 当a ＝3时，故圆心距|CD |＝3＝1+2＝r 1+r 2， 此时两圆外切，故两圆有3条公共切线，A 错误；圆x 2+y 2＝4的圆心（0，0）到直线l ：x −y +√2=0的距离为√2|√1+1=1，而圆x 2+y 2＝4的半径为2，故有且仅有3个点到直线l ：x −y +√2=0的距离都等于1，B 正确； 设椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1，双曲线C 2：x 2m 2+y 2n 2=1，F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），因为∠F 1PF 2=π2，所以|PF 1|+|PF 2|＝2a ，|PF 1|﹣|PF 2|＝2m ， 解得：|PF 1|＝a +m ，|PF 2|＝a ﹣m ，由勾股定理：|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，即（a +m ）2+（a ﹣m ）2＝4c 2， 化简得：a 2+m 2＝2c 2，则椭圆C 1的离心率e 1=c a ，双曲线C 2的离心率e 2=cm ， 则1e 12+1e 22=a 2c 2+m 2c 2=2，C 正确；设P （m ，n ），则m 4+n 2=1，由题意得：P ，A ，B ，O 四点共圆，且OP 为直径，则此圆圆心为(m2，n 2)，半径为12√m 2+n 2， 故圆的方程为，(x −m 2)2+(y −n 2)2=14(m 2+n 2)与C ：x 2+y 2＝1相减得：mx +ny ＝1， 因为m 4+n 2=1，所以mx +ny ＝1过定点(14，12)，即直线AB 经过定点(14，12)，D 错误． 故选：BC ．三、填空题（每小题5分，共20分）13．直线y ＝kx +2（k ＞0）被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为 60° ． 解：∵直线y ＝kx +2（k ＞0）被圆x 2+y 2＝4截得的弦长为2√3， ∴圆心O （0，0）到直线kx ﹣y +2＝0的距离d =√22−(√3)2=1， 即√k 2+1=1，解得k =√3（k ＞0）．设直线的倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），则tan θ=√3，则θ＝60°． ∴直线的倾斜角为60°． 故答案为：60°．14．在等差数列{a n }中，a 1+a 9＝2，则a 4+4a 5+a 6＝ 6 ．解：根据等差数列的性质可得：a 1+a 9＝2a 5＝2， 所以a 5＝1， 又a 4+a 6＝2a 5，所以a 4+4a 5+a 6＝6a 5＝6， 故答案为：6．15．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的13，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ，如图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为 2.5cm ．解：由题意可建立以鼻尖所在位置为原点O ，中庭下边界为x 轴，垂直中庭下边界为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示：又三庭中一庭的高度为2cm ，五眼中一眼的宽度为1cm ， 则A(12，4)，B(−32，2)， ∴k AB =4−212−(−32)=1， 直线AB 的方程为y −2=x +32，即2x ﹣2y +7＝0， 故原点O 到直线AB 距离为d =|7|4+4=7√24≈2.5(cm)， 故答案为：2.5cm ．16．已知x ，y 为实数，代数式√1+(y −2)2+√9+(3−x)2+√x 2+y 2的最小值是 √41 ． 解：如图所示，由代数式的结构构造点P （0，y ），A （1，2），Q （x ，0），B （3，3）则√1+(y −2)2+√9+(3−x)2+√x 2+y 2=|P A |+|BQ |+|PQ |，分别作点A 关于y 轴的对称点A '（﹣1，2），点B 关于x 轴的对称点B '（3，﹣3），则√1+(y −2)2+√9+(3−x)2+√x 2+y 2≥|A 'B '|＝sqrt 41，当且仅当P ，Q 为A 'B '与坐标轴的交点时等号成立，所以最小值为√41故答案为：√41．四、解答题（第17题10分，其他每题12分，共70分）17．（10分）设直线l 的方程为（a +1）x +y ﹣3+a ＝0（a ∈R ）．（1）若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）若l 不经过第三象限，求a 的取值范围．解：（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0；若a ≠3，则3−a a+1=3﹣a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y ﹣3＝0，∴a 的值为0或3．（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y ＝﹣（a +1）x +3﹣a ，则{−(a +1)≤03−a ≥0，解得﹣1≤a ≤3， ∴a 的取值范围是[﹣1，3]．18．（12分）已知数列{a n }的通项公式为a n =9n 2−9n+29n 2−1． （1）求这个数列的第10项．（2）98101是不是该数列中的项？为什么？（3）在区间（13，23）内是否有数列中的项？若有，求出有几项；若没有，请说明理由．解：a n =9n 2−9n+29n 2−1=(3n−1)(3n−2)(3n−1)(3n+1)=3n−23n+1． （1）令n ＝10，则a 10=3×10−23×10+1=2831．（2）令3n−23n+1=98101，解得n =1003不是正整数， 因此98101不是该数列中的项．（3）令13＜3n−23n+1＜23，解得：76＜n ＜83， 由n ∈N *，∴n ＝2．∴在区间（13，23）内有数列中的项，只有一项． 19．（12分）已知抛物线G ：y 2＝4x 的焦点与椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 重合，椭圆E 的短轴长为2√3．（1）求椭圆E 的方程； （2）过点F 且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，交抛物线G 于M ，N 两点，请问是否存在实常数t ，使t |AB|−1|MN|为定值？若存在，求出t 的值及定值；若不存在，说明理由．解：（1）抛物线G ：y 2＝4x 的焦点坐标为（1，0），故F （1，0），且2b =2√3，解得：b =√3，从而a 2＝b 2+c 2＝3+1＝4，所以椭圆E 的方程为E ：x 24+y 23=1；（2）当直线斜率为0时，直线l 与抛物线只有一个交点，不合要求，故直线l 的斜率不为0，设方程为x ＝1+my ，联立x ＝1+my 与G ：y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4＝0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），故y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，则x 1+x 2=1+my 1+1+my 2=2+m(y 1+y 2)=4m 2+2，故|MN|=x 1+x 2+2=4m 2+4，联立x ＝1+my 与E ：x 24+y 23=1，可得：（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0， 设A （x 3，y 3），B （x 4，y 4），则y 3+y 4=−6m 3m 2+4，y 3y 4=−93m 2+4， 则|AB|=√1+m 2⋅√(y 3+y 4)2−4y 3y 4=√1+m 2⋅√(−6m 3m 2+4)2+363m 2+4=12(m 2+1)3m 2+4， 所以t |AB|−1|MN|=t(3m 2+4)12(m 2+1)−14m 2+4=3tm 2+4t−312m 2+12， 令3t 12=4t−312，解得：t ＝3， 此时t |AB|−1|MN|为定值9m 2+912m 2+12=34． 20．（12分）已知双曲线：C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)与x 24+y 2=1有相同的焦点，且经过点M(√2，−√2)．（1）求双曲线C 的方程；（2）是否存在以P （1，2）为中点作双曲线C 的一条弦AB ，如果存在，求弦AB 所在直线的方程． 解：（1）因为椭圆x 24+y 2=1的焦点坐标为(±√3，0)，所以双曲线的焦点坐标为(±√3，0)，又因为M(√2，−√2)在双曲线上，所以{2a 2−2b 2=1c 2=3c 2=a 2+b 2， 所以a 2＝1，b 2＝2，所以双曲线的方程为：x 2−y 22=1；（2）假设存在，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以{2x 12−y 12=22x 22−y 22=2， 两式相减可得2x 12−2x 22=y 12−y 22，所以2x 1+x 2y 1+y 2=y 1−y 2x 1−x 2， 又因为x 1+x 2＝2x P ＝2，y 1+y 2＝2y P ＝4，所以y 1−y 2x 1−x 2=k AB =1，所以弦AB 所在直线的方程为：y ﹣2＝x ﹣1，即x ﹣y +1＝0，由{2x 2−y 2=2x −y +1=0，得x 2﹣2x ﹣3＝0， 则Δ＝4+12＝16＞0，所求直线与双曲线有2个交点，故存在，且弦AB 所在直线的方程为x ﹣y +1＝0．21．（12分）已知抛物线的顶点为原点，焦点F 在x 轴的正半轴，F 到直线x −√3y +2=0的距离为54．点N （2，2），不过点N 的直线l 与抛物线交于两点A ，B ，且k NA +k NB ＝﹣2．（1）求抛物线方程及抛物线的准线方程；（2）求证：直线AB 过定点，并求该定点坐标．解：（1）设抛物线方程为y 2＝2px ，p ＞0，则F(p 2，0)，故F 到直线x −√3y +2=0的距离为|p 2+2|√1+3=54， 因为p ＞0，解得：p ＝1，故抛物线方程为y 2＝2x ，准线方程为x =−12；（2）证明：当直线AB 的斜率为0时，直线AB 与抛物线方程y 2＝2x 无交点，舍去； 故直线AB 的斜率不为0，设直线AB ：x ＝ny +b ，因为直线AB 不过点N ，故2n +b ≠2，联立x ＝ny +b 与y 2＝2x 联立，可得y 2﹣2ny ﹣2b ＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 1+y 2＝2n ，y 1y 2＝﹣2b ，则k NA +k NB =y 1−2x 1−2+y 2−2x 2−2=y 1−2ny 1+b−2+y 2−2ny 2+b−2=(y 1−2)(ny 2+b−2)+(y 2−2)(ny 1+b−2)(ny 1+b−2)(ny 2+b−2)=2ny 1y 2+(b−2−2n)(y 1+y 2)−4b+8n 2y 1y 2+(nb−2n)(y 1+y 2)+(b−2)2=−4nb+2n(b−2−2n)−4b+8−2n 2b+2n(nb−2n)+(b−2)2=−2，整理得：6n 2﹣b 2+6b ﹣8+nb +2n ＝0，即（2n +b ﹣2）（3n ﹣b +4）＝0，因为2n +b ≠2，所以3n ﹣b +4＝0，故b ＝3n +4，直线方程为x ＝ny +3n +4，变形为x ﹣4＝n （y +3），过定点（4，﹣3）．22．（12分）已知圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切，且与x 轴正半轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），|OA |•|OB |＝1（O 为坐标原点）．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点A 任作一条直线与圆O ：x 2+y 2＝1相交于P ，Q 两点． ①证明：|PA||PB|为定值；②求|PB |+2|PC |的最小值．解：（1）由已知，圆心C 在第一象限，半径为54的圆与y 轴相切， 所以设圆心C(54，b)(b ＞0)，因为圆C 与x 轴正半轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），|OA |⋅|OB |＝1， 所以|AB|=2√(54)2−b 2，所以|OA|=54−12|AB|，|OB|=54+12|AB|， 所以|OA|⋅|OB|=2516−14|AB|2=b 2=1，解得b ＝1， 所以圆C 的方程为：(x −54)2+(y −1)2=2516．（2）①证明：由（1）可知，圆C 的方程为：(x −54)2+(y −1)2=2516， 当y ＝0时，x ＝2或x =12，所以A(12，0)，B （2，0），设P （x 0，y 0），则x 02+y 02=1，所以|PA||PB|=√(x 0−1)2+y 020202=√54−x 05−4x 0=12； ②由|PA||PB|=12可知，|PB |＝2|P A |，所以|PB|+2|PC|=2(|PA|+|PC|)≥2|AC|=2√(54−12)2+1=52，当A ，P ，C 三点共线时等号成立，所以|PB |+2|PC |的最小值为52．。
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江苏省仪征中学2011-2012学年度高二上学期
数学期中试卷
注意事项:
1．本试题由填空题和解答题两部分组成,满分160分，考试时间为120分钟.
2. 答题前，请您务必将自己的学校、班级、姓名、考试证号用书写黑色字迹的毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.
3. 作题时必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效.
一 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.已知命题p ：“有的实数没有平方根。
”，则非p 是 。
2. 已知椭圆两个焦点坐标分别是（5,0），（－5，0），椭圆上一点P 到两个焦点的距离之和为26，则椭圆的方程为 ▲ 。
3.“若a ＞b ，则b a 22>”的逆否命题为 ▲ 。
4.若点（a ，b ）在直线x ＋3y ＝1上，则b
a 82+的最小值为 ▲ 。
5. 方程1)1(22+=-+k y k x 表示焦点在x 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围是 ▲ 。
6.双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为6，虚轴长为8，则双曲线的标准方程是 ▲ 。
7. 椭圆16422=+y x 的焦点坐标是 ▲ 。
8.若抛物线顶点为（0，0），对称轴为x 轴，焦点在3x-4y-12=0上，那么抛物线的方程为 ▲ 。
9.已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F （1,0），直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，线段AB 的中点坐标为（2,2），则直线l 的方程为 ▲ 。
10.命题甲：“双曲线C 的方程为x a y b
222
21-=（a ＞0，b ＞0）”，命题乙：“双曲线C 的渐近线方程为y b a
x =±”，那么甲是乙的 ▲ 。
（下列答案中选填一个： 充分不必要条件； 必要不充分条件 ； 充要条件 ；既不充分也不必要条件.）.
11. 在等差数列｛a n ｝中，已知a 14＋a 15＋a 17＋a 18＝82，则S 31＝ ▲ .
12. 在等比数列{}n a 中，若2,48,
93===q a S n n ，则n= ▲ . 13.已知双曲线C ：10x 2－6
2y ＝1，抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点为双曲线的左焦点，则抛物线的标准方程是 ▲ .
14. 设P 是椭圆116
252
2=+y x 上的一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2=60o ，则ΔPF 1F 2的面积为 ▲ .
二、 解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.（14分）已知双曲线的方程为369422=-y x ，求双曲线的顶点坐标，焦点坐标，离心率，准线方程，渐近线方程.
16．（14分）已知a 、b 、c 分别是∆ABC 中角A 、B 、C 的对边，△ABC 的外接圆半径是2，且满足条件222c ab b a +=+.
（1）求角C 与边c.
（2）求∆ABC 面积的最大值.
17.（15分）已知p ：关于x 的方程012
=++mx x 有两个不相等的负数根q ：关于x 的方程01)2(442=+-+x m x 无实根；如果复合命题“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求m 的取值范围.
18. （15分）已知等差数列}{n a 中，82=a ，前10项的和18510=S .
（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；
（2）求从数列}{n a 中依次取出第2，4，8，…，n 2，…项按原来的顺序排成一个新的数列}{n b ，试求新数列}{n b 的前n 项的和n T .
19.（16分）如图在直角梯形ABCD 中，AD=3，AB=4，BC=
，曲线DE 上任一点到A 、B 两点距离之和为常数.
（1）建立适当的坐标系，求曲线DE 的方程；
（2）过C 点作一条与曲线DE 相交且以C 为中点的弦，求出弦
所在直线的方程. 20.（16分）如图，椭圆C ：122
22=+b
y a x （a ＞b ＞0）的焦点F 1、F 2和短轴的一个端点A 构成等边三角形，点（3，2
3）在椭圆C 上，直线l 为椭圆C 的左准线， ⑴求椭圆C 的方程；
⑵设P 是椭圆C 上的点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，以Q 为圆心，PQ 为半径作圆Q ，当点F 1在该圆上时，求圆的方程.
x
y A F 1 F 2 l
理科数学答案
1. 所有实数都有平方根。
2. 1144
1692
2=+y x 3. 若b a 22≤，则a ≤b. 4. 22. 5. （－1,1）. 6. 116
92
2=-y x . 7. （0，－23），（0，－23）. ＝-16x. ＝x. 10. 充分不必要条件. 11.2
1271. 12. 5. 13. y 2＝－8x.. 14.3316.
15.顶点坐标：（±3,0），焦点坐标：（±13，0）离心率：313，准线方程x ＝±13139，渐近线方程：y ＝±3
2x. 16．（1）C ＝60°，c ＝22sin60°＝6. （2）6＝ab b a -+22≥2a b － a b 得a b ≤6，
S ＝2
1a bsin60°≤233，当且仅当a ＝b ＝6时等号成立，△ABC 面积的最大值为233 17. 若P 真，m ＞2；若q 真，1＜m ＜3. 因为“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，所以P 与Q 一真一假，求出m 的取值范围是m ≥3或1＜m ≤2. 18. ⑴n a ＝3n ＋2 ⑵n b =3×n 2＋2，n T ＝6×n
2＋2n －6 19.⑴a ＝2
1（｜AD ｜＋｜BD ｜）＝4，可求出曲线DE 的方程为121622y x +＝1，（－2≤x ≤4,0≤y ≤23）
（2）椭圆弧DE 与y 轴的交点M （0，），与x 轴的交点N （4，0），C （2，）为M ，N 的中点，所以弦MN 即为所求，其所在直线方程为322
3+-=x y . 20.⑴椭圆方程13
42
2=+y x ， ⑵设P 点坐标（x ，y ），则Q 点坐标（－4，y ）由PQ ＝F 1Q ，｜x ＋4｜＝22)14(y +-， 平方化简得07822=+-+y x x 与椭圆方程解得P （－74，±7153），r ＝4－74＝724 所求圆方程为49576)7153()74(22=±++
y x。