高中数学学案条件概率
《条件概率》学案
能够做到这两点，你就非常地OK 啦！§2.2.1条件概率（第一课时）（学案）东阳市横店高级中学 周永刚一、学习内容：本节内容是必修的独立性》的基础.在本节中，我们将学习条件概率的概念和它的许多计算方法.很有趣哦！二、学习目标：1.你需要深刻理解条件概率的概念；2.你还要掌握条件概率的的计算方法. 三、学习过程：有三扇门，只有一扇门后有奖品.你选了一扇，主持人从你没选的两扇门中排除一扇没有奖品的门，问你改不改变你原来的选择？这是美国的一个电视台在某次节目中抛出的一个题目.数学家不休的争论呢！你会作这样的选择？能够用概率的知识说明吗？问题情境1：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取, 问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是多少？是否比其他同学小？请研读教材P51-52.并思考以下三个问题：思考1：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？思考2：已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？思考3：对于上面的事件A 和事件B ，P ( B|A ）与它们的概率有什么关系呢？问题情境2：抛掷一枚质地均匀的硬币两次.（1）第一次是正面的概率是多少？（2）第二次是正面的概率是多少？（3）在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？思考：已知有一次正面向上的条件下为什么会影响两次都正面向上的概率？类比思考：对于上面的事件A 和事件B ，P ( B|A ）与它们的概率有什么关系呢？1.条件概率的概念一般地，设A ,B 是两个事件，且0)(>A P ，称=)(A B P 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率. )(A B P 读作 . 为了区别于条件概率，我们也可以把不涉及到其他事件的概率称为无条件概率.2.条件概率的性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都啊0和1之间，即 ；（2）如果B 和C 是两个互斥事件，则=⋃)(A C B P .思考： (1)=Φ)(A P ；=)(A A P ；=Ω)(A P ；(2)当A 与B 互斥时，=)(A B P ； (3)=+)()(A B P A B P .3.条件概率计算公式：（1）定义式：=)(A B P ； （定义法）（2）对于古典概型，有=)(A B P )()(A n AB n . （缩减样本空间法） 4.概率乘法公式：⋅=)()(A P AB P ⋅=)(B P .A 级1.把一枚硬币任意抛掷两次，事件=A “第一次出现正面”，事件=B “第二次出现正面”，求)(A B P .2.已知21)()(==A B P B A P ,31)(=A P ,则=)(B P .3.盒子中有10个外形相同的球，其中5个白的2个黄的3个黑的，从盒子中任意取出一球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率.B 级4.甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每个人只去一个景点，设事件A =“三个人去的景点不相同”，B =“甲独自去一个景点”，则概率=)(B A P .5.一个盒子中有4只白球、2只黑球，从中不放回地每次任取１只，连取２次，求：（1）第一次取得黑球而第二次取得白球的概率；（2）第一次是白球的情况下，第二次取得白球的概率.第一关：条件概率的判定例1.判断下列是否属于条件概率：（划去错误的选项）（1）从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张，每次抽1张.则第一次抽到A ，第二次也抽到A 的概率（是，不是）条件概率.（2）从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张，每次抽1张.则第二次抽到A 的概率（是，不是）条件概率.（3）从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2张，每次抽1张.已知第一次抽到A ，则第二次也抽到A 的概率（是，不是）条件概率.点评：看一个事件的概率算不算条件概率，就看这个事件有没有涉及到别的事件，是否建立在别的事件已经发生的基础上.某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。
4.1.1条件概率教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第二册
1. 教材：确保每位学生都有本节课所需的教材或学习资料，即2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册。教师需提前检查教材的完整性，确保学生能够跟随教学进度。
2. 辅助材料：准备与教学内容相关的图片、图表、视频等多媒体资源。例如，可以准备一些关于条件概率的实例，如疾病与症状之间的关系、判断事件的独立性等，以帮助学生更好地理解概念。此外，还可以准备一些实际问题，让学生在课堂上进行讨论和解决。
5. 条件概率的应用：
条件概率在实际生活中有着广泛的应用，例如判断疾病的症状与疾病之间的关系、判断事件的独立性、求解概率的最大值等。通过条件概率的学习，学生可以更好地理解和解决实际问题。
七、教学反思与总结
今天讲授的是条件概率，这个概念对学生来说相对抽象，且与之前学习的概率知识有较大的区别。在教学过程中，我尝试采用了多种教学方法和策略，以提高学生的理解和应用能力。
8. 教学反思表：准备一份教学反思表，让学生在课后对自己的学习情况进行评估，以便教师了解学生的学习效果，调整教学方法和策略。
9. 作业布置：根据教学内容，布置相应的作业，让学生巩固所学知识。作业应包括习题和实际问题，以培养学生的应用能力。
10. 课后辅导：为那些在课堂上没有完全理解的学生提供课后辅导机会，可以安排课后答疑时间，或者建立线上辅导群，以便学生随时提出问题，教师及时解答。
3. 学生可能遇到的困难和挑战：在学习条件概率时，学生可能对全概率公式和贝叶斯公式的理解有困难，不知道如何正确运用这些公式。此外，学生可能对如何将实际问题转化为条件概率模型感到困惑，不知道如何从实际问题中提取关键信息。还有，学生在解决实际问题时，可能不知道如何判断事件的独立性，以及如何求解概率的最大值等。这些都是学生在学习本节课时可能遇到的困难和挑战。
苏教版高中数学选修2-3《条件概率》参考学案
2.3 .1条件概率学习目标了解条件概率的概念了解条件概率的乘法公式学习过程一、课前准备预习教材找出疑惑之处，并准备解决下面问题:在一次抛掷两粒质地均匀骰子试验中，问两粒骰子正面向上数字之和是7的概率二、新课导学【学习探究】一抛掷一枚质地均匀的硬币两次.（1）两次都是正面向上的概率是多少？（2）在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？（3）在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？新知1 条件概率一般地，若有两个事件A和B，在已知事件B发生的条件下考虑事件A发生的概率，则称此概率为B已发生的条件下A的条件概率.记为(|)P A B.试试用条件概率的相关知识表示一下学习探究一中的问题思考若事件A与B互斥，则(|)P A B等于多少？新知2 事件AB表示事件A和事件B同时发生【学习探究】二通过具体事例来发现(|)P AB P B三者的关系，证明不作要求。
P A B，(),()新知 3 条件概率公式 乘法公式一般地，若()0P B >,则事件B 已发生的条件下A 发生的条件概率是()(|)()P AB P A B P B = 乘法公式 ()()()P AB P A B P B =【数学运用】例1 教材 例1例2 教材 例2例3 教材 例3小结 （1）条件概率的“条件”可以理解为“前提”的意思（2）本章中条件概率仍可用古典概型知识求解学习评价当堂练习1.练习1,22．已知P(B|A)=103,P(A)=51,则P(AB)=_______________． 3．由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=_______________．4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为_______________．课后拓展1．设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是________．2．某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人．如果要在班内任选一人当学生代表（1）求这个代表恰好在第一小组内的概率（2）求这个代表恰好是团员代表的概率（3）求这个代表恰好是第一小组内团员的概率（4）现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率3．一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩的概率？（每个小孩是男孩和女孩的概率相等）本课时小结。
条件概率优秀教学设计
2.2.1条件概率
教学过程
授课教师
授课班级
问题1：概率变化的原因是什么？
【探究2】从1,2,3,4,5中任取两个不同的数，事件A表示“取到的数字1”，事件B表示“取到的两个数之和为偶数”，则：
（1）事件A发生的概率是多少？
（2）事件A发生并且事件B发生的概率是多少？
（3）在事件A发生的情况下，事件B发生的概率为多少？
（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次也抽到理科题的概率.
问题3：求解条件概率的一般步骤是什么？
教学目标
知识与技能：了解条件概率的概念，掌握条件概率的计算公式，能运用公式解决简单的概率问题.
过程与方法：通过实例探究，抽象出条件概率的一般概念；配套例题巩固训练，加深理解并能熟练应用；在题目中启发学生归纳条件概率的性质及解题技巧.
情感、态度与价值观：在知识的教学过程中，培养学生从特殊到一般的数学抽象能力、规范逻辑推理能力及数学运算和数据分析能力，渗透归纳、转化、数学建模等数学思想方法．
教学重点、难点
重点：条件概率的概念及计算.
难点：条件概率计算公式的简单应用.
教学方法、手段
方法：学案导学、探究讲授
手段：多媒体课件、一体机
教学过程
四、总结提升
1.定义
条件概率：2.计算公式
有界性
3.性质乘法公式
可加性
注意：（1）P(AB)或n(AB)；
（2）P(AB)与P(A)原样本空间下的概率.
板
书
设
计
2.2.1条件概率
（一）条件概率的定义：
或
（2）发现条件概率的性质：
（1）有界性：0≤P(B|A)≤1
（2）乘法公式：
（3）可加性：B和C互斥，P(B∪C |A)= P(B|A)Biblioteka P(C|A)1、复习旧知
高中数学教案 条件概率
条件概率的定义与性质 条件概率与边缘概率的联系与区别 条件概率在日常生活中的应用实例 条件概率的数学表达方式及计算方法
搜集与条件概率相关的实际应 用案例并尝试用所学知识解决 其中问题
预习下一章节了解条件概率的 应用场景
完成课后习题巩固所学知识
总结条件概率在实际问题中的 应用方法和技巧
实例2：一个盒 子中有3个黑球 和2个白球先从 盒中摸出1个黑 球再从盒中摸出 1个白球求第二 次摸出白球的概
率。
实例3：一个盒 子中有5个红球 和3个蓝球先从 盒中摸出1个红 球再从盒中摸出 1个蓝一个盒 子中有3个白球 和2个黑球先从 盒中摸出1个黑 球再从盒中摸出 1个白球求第二 次摸出白球的概
条件概率的取值范围：0 ≤ P(|B) ≤ 1
条件概率的意义：描述在已 知事件B发生的条件下事件
发生的可能性大小。
天气预报：根据历史数据预测未来天气情况 医学诊断：根据症状和检查结果判断疾病的可能性 金融投资：根据市场走势和风险因素制定投资策略 社交媒体推荐：根据用户兴趣和行为推送相关内容
条件概率的概念 和计算方法
回顾概率的基 本概念：事件、 样本空间、概
率等
复习概率的计 算方法：古典 概型、几何概
型等
引出条件概率 的概念：在已 知某些事件发 生的条件下另 一个事件发生
的概率
强调条件概率 与全概率公式、 贝叶斯公式的
联系和区别
定义：条件概率 是指在某一事件 发生的条件下另 一事件B发生的 概率记作P(B|)。
率。
条件概率的定义： 在某个条件下某 一事件发生的概 率。
条件概率的特点： 与独立事件不同 条件概率会受到 其他事件的影响。
条件概率的计算 方法：使用条件 概率的公式 P(|B) = P(B)/P(B) 进行 计算。
条件概率教案(数学教案)
2. 2二项分布及其应用（第一课时）一、学习目标：1、了解条件概率概念2、掌握求限制条件下事情发生的概率的两种方法3、灵活运用两种方法解题二、教学重难点1，理解条件概率概念2，解决条件概率问题3，掌握并能灵活运用两种求条件概率的方法三、学习过程1、复习引入：探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.思路：若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“1X ,2X ”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有六种可能：1X 2X Y,Y X X 12,1X Y 2X ,12YX X ,Y 1X 2X ,12X YX ．用 B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券” , 则 B 仅包含两个基本事件Y X X 21和Y X X 12．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为3162)(==B P .思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y X X 21,Y X X 12和1221,YX X YX X ．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y X X Y X X 1221,.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为12，假设A 表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”.那就可以把第一名同学没有抽到中奖券时最后一名同学抽到中奖券记为P （B|A ),读作：事件A 发生的条件下事件B 发生的概率已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件 B 发生的概率，P ( B|A ）等不等于P ( B ) ?思考:对于上面的事件A 和事件B ，P ( B|A ）与它们的概率有什么关系呢？ 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛122112211221,,,,,X YX X YX YX X YX X Y X X Y X X ｝．既然已知事件A 必然发生，那么只需在A={12211221,,,YX X YX X Y X X Y X X }的范围内考虑问题，即只有4个基本事件12211221,,,YX X YX X Y X X Y X X ．在事件 A 发生的情况下事件B 发生，等价于在事件A 中：事件 A 和事件 B 同时发生，即事件A 中， AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y X X 21，Y X X 12因此(|)P B A =12=()()n AB n A . 【n （AB ）=n （A ）*n （B ）】 其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，()()(),()()()n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ 其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以，(|)P B A =)()()()()()()(A P AB P n n AB n A n AB n =ΩΩ=. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) .条件概率1.定义设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ).(|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．(|)P B A 定义为()(|)()P AB P B A P A =. 由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有()(|)()P AB P B A P A =⋅.并称上式微概率的乘法公式.2.条件概率的性质：①：任何事件的条件概率都在0和1之间即：1)|(0≤≤A B P②：如果B 和C 是两个互斥事件，则)|()|()|(A C P A B P A C B P +=小结：关于求条件概率，我们有两种方法，在可以列出或者求出总事件数和所求事件数的情况下，用古典概型公式求解会比较简单。
最新人教版高中数学选修2-3《条件概率》示范教案
最新人教版高中数学选修2-3《条件概率》示范教案2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率整体设计：本章节介绍条件概率的概念及其在概率理论中的重要性。
为了方便学生理解，教材采用简单的例子，通过探究，逐步引导学生理解条件概率的思想。
课时分配：本节课程安排为1课时。
教学目标：知识与技能：通过具体情境的分析，学生将了解条件概率的定义，并掌握简单的条件概率计算方法。
过程与方法：本节课程旨在发展学生的抽象思维和概括能力，提高他们解决实际问题的能力。
情感、态度与价值观：本节课程旨在让学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想。
重点难点：本节课程的重点在于让学生理解条件概率的定义，难点在于应用概率计算公式。
教学过程：探究活动：本节课程采用抓阄游戏的方式，三张奖券中只有一张能中奖，由三名同学无放回地抽取，最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小。
活动结果：XXX：如果抽到中奖奖券用“Y”表示，没有抽到用“N”表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：XXX，XXX和XXX。
用B表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”，则B仅包含一个基本事件XXX。
由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为P(B)=1/3.因此，三名同学抽到中奖奖券的概率是相同的。
法二：(利用乘法原理)记XXX表示：“第i名同学抽到中奖奖券”的事件，i=1,2,3，则有P(A1)=1/2,P(A2)=1/3,P(A3)=1/3.提出问题：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？设计意图：引导学生深入思考，小组内同学合作讨论，得出以下结论，教师因势利导。
学情预测：一些学生缺乏用数学语言来表述问题的能力，教师可适当辅助完成。
师生共同指出：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有XXX和XXX。
而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是XXX。
由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为P(B|A)，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”。
人教A版选择性必修第三册 第七章 第1课时 条件概率 学案
§7.1 条件概率与全概率公式7.1.1 条件概率第1课时 条件概率 学习目标 1.结合古典概型，了解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题． 导语集市上，有这样一个游戏很受孩子们的喜欢，游戏规则是：袋中有两个球，一个白球，一个黑球，从袋中每次随机摸出1个球，现有两种方案：(1)若两次都取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱；(2)若已知第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球，摊主送给摸球者10元钱，否则摸球者付给摊主5元钱．你觉得这个游戏公平吗？摊主会不会赔钱？一、条件概率的理解问题 抛掷一枚质地均匀的硬币两次．(1)两次都是正面向上的概率是多少？(2)在已知有一次出现正面向上的条件下，两次都是正面向上的概率是多少？(3)在第一次出现正面向上的条件下，第二次出现正面向上的概率是多少？提示 (1)两次抛掷硬币，试验结果的样本点组成样本空间Ω＝{}正正，正反，反正，反反，其中两次都是正面向上的事件记为B ，则B ＝{}正正，故P (B )＝14. (2)将两次试验中有一次正面向上的事件记为A ，则A ＝{}正正，正反，反正，那么，在A 发生的条件下，B 发生的概率为13.在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率产生了变化． (3)将第一次出现正面向上的事件记为C ，则C ＝{}正正，正反，那么，在C 发生的条件下，B 发生的概率为12.在事件C 发生的条件下，事件B 发生的概率产生了变化． 知识梳理条件概率：一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P (A )>0，则P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率．注意点：A 与B 相互独立时，可得P (AB )＝P (A )P (B )，则P (B |A )＝P (B )．例1 判断下列几种概率哪些是条件概率：(1)某校高中三个年级各派一名男生和一名女生参加市里的中学生运动会，每人参加一个不同的项目，已知一名女生获得冠军，则该名女生是高一的概率．(2)掷一枚骰子，求掷出的点数为3的概率．(3)在一副扑克的52张(去掉两张王牌后)中任取1张，已知抽到梅花的条件下，再抽到的是梅花5的概率．解 由条件概率定义可知(1)(3)是，(2)不是．反思感悟 判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的．跟踪训练1 下面几种概率是条件概率的是( )A ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率B ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C ．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，则小明在一次上学中遇到红灯的概率答案 B解析 由条件概率的定义知B 为条件概率．二、利用定义求条件概率例2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A ，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的样本点数n (Ω)＝A 26＝30. 根据分步乘法计数原理，得n (A )＝A 14A 15＝20，所以P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23. (2)因为n (AB )＝A 24＝12，所以P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1230＝25. (3)由(1)(2)，得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2523＝35. 延伸探究 本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．解 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A ，“第2次抽到语言类节目”为事件C ，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC .P (A )＝23，P (AC )＝830＝415，∴P (C |A )＝P (AC )P (A )＝25. 反思感悟 利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P (AB )和P (A )．(2)将它们相除得到条件概率P (B |A )＝P (AB )P (A )，这个公式适用于一般情形，其中AB 表示A ，B 同时发生．跟踪训练2 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率．解 设A ＝“抽到的两张都是假钞”，B ＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”，则所求概率为P (A |B )．∵P (AB )＝P (A )＝C 25C 220，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220， ∴P (A |B )＝P (AB )P (B )＝C 25C 25＋C 15C 115＝1085＝217.三、缩小样本空间求条件概率例3 集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．解 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，甲抽到奇数的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个样本点中，乙抽到的数比甲抽到的数大的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35. 延伸探究1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．解 在甲抽到奇数的样本点中，乙抽到偶数的样本点有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35. 2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A 为“甲抽到的数大于4”，事件B 为“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P (B |A )．解 甲抽到的数大于4的样本点有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的样本点有(5,2)，(6,1)，共2个，所以P (B |A )＝212＝16. 反思感悟 利用缩小样本空间法求条件概率的方法(1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A ，原来的事件B 缩小为事件AB .(2)数：数出A 中事件AB 所包含的样本点．(3)算：利用P (B |A )＝n (AB )n (A )求得结果． 跟踪训练3 (1)投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A ＝{两次的点数均为奇数}，B ＝{两次的点数之和为4}，则P (B |A )等于( )A.112B.14C.29D.23答案 C解析 由题意知，事件A 包含的样本点是(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共9个，在A 发生的条件下，事件B 包含的样本点是(1,3)，(3,1)，共2个，所以P (B |A )＝29. (2)5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率为________．答案 12解析 设第1次取到新球为事件A ，第2次取到新球为事件B ，则P (B |A )＝n (AB )n (A )＝3×23×4＝12.1．知识清单：(1)条件概率的理解．(2)利用定义求条件概率． (3)缩小样本空间求条件概率．2．方法归纳：定义法、缩小样本空间法．3．常见误区：分不清“在谁的条件下”，求“谁的概率”．1．设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，若P (AB )＝13，P (A )＝23，则P (B |A )等于( ) A.12B.29C.19D.49答案 A解析 P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1323＝12. 2．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天的空气质量为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45答案 A解析 根据条件概率公式得所求概率为0.60.75＝0.8.3．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点不相同”，B 为“甲独自去一个景点”，则概率P (A |B )等于( )A.49B.29C.12D.13答案 C解析 由题意可知．n (B )＝C 1322＝12， n (AB )＝A 33＝6，∴P (A |B )＝n (AB )n (B )＝612＝12. 4．从标有1,2,3,4,5的五张卡中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为________．答案 34解析 由题意，知从标有1,2,3,4,5的五张卡中，依次抽出2张，第一次抽到偶数所包含的样本点有(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，共8个；第一次抽到偶数，第二次抽到奇数，所包含的样本点有(2,1)，(2,3)，(2,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，共6个，因此在第一次抽到偶数的情况下，第二次抽到奇数的概率为P ＝68＝34.。
高中数学 第二章 概率 2.3.1 条件概率学案 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学学案
2．3.1 条件概率学习目标 1.理解条件概率的定义.2.掌握条件概率的计算方法.3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．知识点一条件概率100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的质量合格，85件产品的长度、质量都合格．令A＝{产品的长度合格}，B＝{产品的质量合格}，AB＝{产品的长度、质量都合格}．思考1 试求P(A)、P(B)、P(AB)．思考2 任取一件产品，已知其质量合格(即B发生)，求它的长度(即A发生)也合格(记为A|B)的概率．思考3 P(B)、P(AB)、P(A|B)间有怎样的关系．梳理(1)条件概率的概念一般地，对于两个事件A和B，在已知________发生的条件下________发生的概率，称为事件B发生的条件下事件A的条件概率，记为________．(2)条件概率的计算公式①一般地，若P(B)＞0，则事件B发生的条件下A发生的条件概率是P(A|B)＝________.②利用条件概率，有P(AB)＝________________.知识点二条件概率的性质1．任何事件的条件概率都在______之间，即________________________________________________________________________．2．如果B 和C 是两个互斥的事件，则P (B ∪C |A )＝____________________.类型一 求条件概率 命题角度1 利用定义求条件概率例1 某个班级共有学生40人，其中团员有15人．全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员有4人．如果要在班内任选1人当学生代表，(1)求这个代表恰好在第一小组的概率；(2)求这个代表恰好是团员代表的概率；(3)求这个代表恰好是第一小组团员的概率；(4)现在要在班内任选1个团员代表，问这个代表恰好在第一小组的概率．反思与感悟 用定义法求条件概率P (B |A )的步骤(1)分析题意，弄清概率模型．(2)计算P (A )，P (AB )．(3)代入公式求P (B |A )＝P (AB )P (A ). 跟踪训练1 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，记事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝________. 命题角度2 缩小基本事件范围求条件概率引申探究1．在本例条件下，求乙抽到偶数的概率．2．若甲先取(放回)，乙后取，若事件A ：“甲抽到的数大于4”；事件B ：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P (B |A )．例2 集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A 中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率．反思与感悟 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A ，原来的事件B 缩小为AB .而A 中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P (B |A )＝n (AB )n (A )，这里n (A )和n (AB )的计数是基于缩小的基本事件范围的．跟踪训练2 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．类型二条件概率的综合应用例3 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个．其中，第一个盒子中有7个球标有字母A,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母A的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的球是红球，则称试验成功，求试验成功的概率．反思与感悟当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率．跟踪训练3 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一球，则从2号箱中取出红球的概率是多少？1．已知P (AB )＝310，P (A )＝35，则P (B |A )＝________. 2．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是________．3．盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率为________．4．假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有两个小孩，已知有一个是女孩，则另一个小孩是男孩的概率是________．5．抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A 为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A 发生的条件下事件B 发生的概率；(2)事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．1．P(A|B)表示事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．2．若事件A，C互斥，则P[A∪C|B]＝P(A|B)＋P(C|B)．答案精析问题导学知识点一思考1 P (A )＝93100，P (B )＝90100， P (AB )＝85100. 思考2 事件A |B 发生，相当于从90件质量合格的产品中任取1件长度合格，其概率为P (A |B )＝8590. 思考3 P (A |B )＝P (AB )P (B ). 梳理 (1)事件B 事件A P (A |B ) (2)①P (AB )P (B ) ②P (A |B )P (B ) 知识点二1．0和1 0≤P (B |A )≤12．P (B |A )＋P (C |A )题型探究例1 解 设A ＝{在班内任选1名学生，该学生属于第一小组}，B ＝{在班内任选1名学生，该学生是团员}．(1)P (A )＝1040＝14. (2)P (B )＝1540＝38. (3)P (AB )＝440＝110. (4)方法一 P (A |B )＝P (AB )P (B )＝11038＝415. 方法二 P (A |B )＝n (AB )n (B )＝415.跟踪训练1 解析 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25， P (AB )＝C 22C 25＝110， ∴P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11025＝14. 例2 解 将甲抽到数字a ，乙抽到数字b ，记作(a ，b )，甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个．在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35. 引申探究1．解 在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1,2)，(1,4)，(1,6)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，共9个，所以所求概率P ＝915＝35. 2．解 甲抽到的数大于4的情形有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个，其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有(5,2)，(6,1)，共2个．所以P (B |A )＝212＝16. 跟踪训练2 解 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB .根据分步计数原理得n (A )＝A 14A 15＝20，n (AB )＝A 24＝12. 所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1220＝35. 例3 解 设A ＝{从第一个盒子中取得标有字母A 的球}，B ＝{从第一个盒子中取得标有字母B 的球}，R ＝{第二次取出的球是红球}，W ＝{第二次取出的球是白球}，则容易求得P (A )＝710，P (B )＝310， P (R |A )＝12，P (W |A )＝12，P (R |B )＝45，P (W |B )＝15.事件“试验成功”表示为AR ∪BR ，又事件AR 与事件BR 互斥，故由概率的加法公式，得 P (AR ∪BR )＝P (AR )＋P (BR )＝P (R |A )P (A )＋P (R |B )P (B )＝12×710＋45×310＝0.59. 跟踪训练3 解 记事件A ＝“最后从2号箱中取出的球是红球”， 事件B ＝“从1号箱中取出的球是红球”，则P (B )＝42＋4＝23，P (B )＝1－P (B )＝13， P (A |B )＝3＋18＋1＝49，P (A |B )＝38＋1＝13， 从而P (A )＝P (AB )＋P (A B )＝P (A |B )P (B )＋P (A |B )P (B )＝49×23＋13×13＝1127. 当堂训练1.122.0.6653.254.235．解 抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为6×6＝36，事件A 的基本事件数为6×2＝12，所以P (A )＝1236＝13. 由于3＋6＝6＋3＝4＋5＝5＋4>8,4＋6＝6＋4＝5＋5>8,5＋6＝6＋5>8,6＋6>8， 所以事件B 的基本事件数为4＋3＋2＋1＝10，所以P (B )＝1036＝518. 事件AB 的基本事件数为6，故P (AB )＝636＝16. 由条件概率公式，得(1)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1613＝12. (2)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝16518＝35.。
高中数学教案条件概率
高中数学教案条件概率一、教学目标：1. 理解条件概率的定义和性质。
2. 学会计算条件概率。
3. 能够应用条件概率解决实际问题。
二、教学内容：1. 条件概率的定义：在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率，记作P(B|A)。
2. 条件概率的性质：(1) P(B|A) = P(A∩B) / P(A)(2) 0 ≤P(B|A) ≤1(3) P(B|A) ≠P(B)三、教学重点与难点：1. 教学重点：条件概率的定义和性质，条件概率的计算方法。
2. 教学难点：条件概率的计算方法，如何正确运用条件概率解决实际问题。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解条件概率的定义、性质和计算方法。
2. 运用案例分析法，让学生通过实际例子学会计算条件概率。
3. 运用练习法，让学生在课堂上和课后巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入：通过一个简单的概率问题引入条件概率的概念。
2. 讲解：讲解条件概率的定义、性质和计算方法。
3. 案例分析：分析几个实际例子，让学生学会计算条件概率。
4. 练习：布置一些练习题，让学生在课堂上和课后巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对条件概率的理解程度。
2. 练习题：布置课堂练习题，检查学生掌握条件概率计算方法的情况。
3. 课后作业：布置相关课后作业，评估学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思：1. 针对学生的掌握情况，调整教学方法和节奏。
2. 针对学生的疑惑，进行答疑和辅导。
八、课后作业：1. 复习条件概率的定义、性质和计算方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何将条件概率应用到实际问题中。
九、拓展与延伸：1. 研究条件概率在实际问题中的应用，如统计学、概率论等领域。
2. 了解贝叶斯定理与条件概率的关系，进一步拓展知识面。
十、教学计划：1. 下一节课内容：独立事件的概率。
2. 教学目标：理解独立事件的定义，学会计算独立事件的概率。
3. 教学方法：讲授法、案例分析法、练习法。
2.3 条件概率-王后雄学案
张喜林制2.3 条件概率教材知识检索考点知识清单1．在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率称为 ，其概率记为 2．条件概率公式=)|(A B P要点核心解读1．复习有关概念在本节学习前要先复习下列内容： (1)并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件，记作.B A(2)交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件，记作.B A(3)互斥事件：若B A 为不可能事件),(∅=B A那么称事件A 与事件B 互斥．(4)对立事件：若B A为不可能事件，B A为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件，),()()()5(B P A P B A P += 其中A 、B 为相互独立事件，复习上述5个问题可以更好地理解条件概率，更好地理解条件概率中的条件与附加条件的不同． 2．条件概率的定义(1)在条件概率的定义中，事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．(2)在定义中，要强调.0)(>B P 当0)(=B P 时，不能用现成的方法定义事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．对于0)(=B P 的情况，可以从其他角度来定义事件B 发生的条件下事件A 发生的概率．)()()|(.3B P AB P B A P 、、的区别)|(B A P 是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率，)(AB P 是事件A 与事件B 同时发生的概率，无附加条件，)(B P 是事件B 发生的概率，无附加条件它们的联系是：⋅=)()()|(B P AB P B A P 4.条件概率的计算(1)计算事件B 发生的条件下事件A 发生的条件概率，常有以下两种方式： ①利用定义计算，先分别计算概率),()(B P AB P 及然后借助于条件概率公式⋅=)()()|(B P AB P B A P 求解， ②利用缩小样本空间的观点计算．在这里，原来的样本空间缩小为已知的条件事件B ，原来的事件A 缩小为事件AB ，从而=)|(B A P，包含的基本事件数包含的基本事件数B AB 此法常应用于古典概型中的条件概率求解．(2)条件概率公式的变形公式， 公式)()()|(B P AB P B A P =揭示了)()|()(AB P B A P B P 与、的关系，常常用于知二求一，即要熟练应用它的变形公式．如，若>)(B P ,0则),|()()(B A P B P AB P ⋅=该式称为概率的乘法公式．(3)注意：条件概率也是概率，所以条件概率具有概率的性质．如： ①任何事件的条件概率取值在O 到1之间；②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为O ； ③条件概率也有加法公式：),|()|()|(A C P A B P A C B P +=其中B 和C 是两个互斥事件，事实上，由事件B 和事件C 互斥，知事件AB 与事件AC 也互斥，从而P AC AB P C B A P ==)]()[()]([),()AC P AB +（再由条件概率的定义，得+=+==)P()P()()()()()]([)|(A AB A P AC P AB P A P C B A P A C B P ).|()|()()(A C P A B P A P AC P += 典例分类剖析考点 条件概率的运算命题规律条件概率公式)()()|(A P AB P A B P =及其加法公式 B P ()|()|()|A C P A B P A C +=的运用． [例1] 一种耐高温材料，能承受C o200高温不熔化的概率为0.9，能承受C300高温不熔化的概率为0.5，现有一种这样的材料，在能承受C200高温不熔化的情况下，还能承受C300高温不熔化的概率是多少？[解析] 要想求该材料承受C 0300高温不熔化的概率，则必须在C 0200高温不熔化的条件下，用条件概率的计算公式求解[解] 设事件A ：“该材料承受C200高温不熔化”，事件B:“该材料承受C o300高温不熔化”，则有,5.0)(,9.0)(==B P A P 由于,)()()|(A P AB P A B P =又因为,A B ⊆所以,B B A = 故有⋅===959.05.0)()()|(A P B P A B P [点拨] 这是在条件概率计算中经常遇到的一种题型，当事件A 和事件B 满足关系A B ⊆时，利用,B B A = 可将条件概率计算公式简化为,)()()|(A P B P A B P =所以在求解时要注意对所给事件之间的关系进行恰当的判断，发现其包含关系，然后利用相应的公式求解．母题迁移 1．甲、乙两地都位于长江下游，根据_百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为%.18%20和两地同时下雨的比例为%12，问：(1) 乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为多少？ (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？[例2] 5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第1次抽到理科题的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率 [解析] 本题考查古典概型、条件概率．(1)和(2)中利用nmP =解决，(3)利用条件概率公式解决． [解] 设“第1次抽到理科题”为事件A ，“第2次抽到理科题”为事件B ，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.⋅===532012)()1(251413A A A A P⋅===103206)()2(523A A AB P⋅===2153103)()()|()3(A P AB P A B P[点拨] (1)从解题过程可看出，本题是将求条件概率问题分解为三问，通过本题体会解题方法． (2)本题第(3)问可用下面的方法求解：用)(A n 表示事件A 中包含的基本事件个数， 则,6)(,12)(==AB n A n故⋅===21126)()()|(A n AB n A B P 母题迁移 2．假定生男孩或女孩是等可能的，在一个有3个孩子的家庭中，已知有一个女孩，求至少有一个男孩的概率．[例3] 某个兴趣小组有学生10人，其中有4人是三好学生，现已把这10人分成两小组进行竞赛辅导，第一小组5人，其中三好学生2人．(1)如果要从这10人中选一名同学作为该兴趣小组组长，那么这个同学恰好在第一小组内的概率是多少？(2)现在要在这10人中任选一名三好学生当组长，问这名同学在第一小组内的概率是多少？[解析] 这实际是一道简单的古典概型问题，在第二问中，由于任选的一个学生是三好学生，比第一问多了一个“附加的”条件，因而本题又是一个简单的条件概率题．[解] 设A 表示“在兴趣小组内任选一名同学，该同学在第一小组内”，B 表示“在兴趣小组内任选一名同学，该同学是三好学生”，而第二问中所求概率为⋅)|(B A P(1)由等可能事件概率的定义知，⋅==21)(1015C C A P⋅====51)(,52)()2(1101211014C C AB P C C B P⋅==∴21)()()|(B P AB P B A P[点拨] 运用)()()|(A P AB P A B P =计算条件概率时，要准确计算)(A P 以及).(AB P 母题迁移 3．某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？[例4] 1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？[解析]从2号箱取出红球，有两种互斥的情况：一是当从1号箱取出红球时；二是当从1号箱取出白球时． [解] 记事件A ：从2号葙中取出的是红球；事件B ：从1号箱中取出的是红球．则,31)(1)(,32424)(=-==+=B P B P B P ,31183)|(,941813)|(=+==++=B A P B A P从而)()()(B A P AB P A P +=)()|()()|(B P B A P B P B A P +⋅=⋅=⨯+⨯=271131313294 [点拨] 求复杂事件的概率，可以把它分解为若干个互不相容的简单事件，然后利用条件概率公式和乘法公式，求出这些简单事件的概率，最后利用概率的加法公式，得到最终结果．母题迁移 4．—个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么： (1)先摸出一个白球不放回，再摸出一个白球的概率是多少？ (2)先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是多少？[例5] -张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都是0~9中任意一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字．(1)求他任意按最后一位数字，求不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，求不超过2，次就按对的概率．[解析] 本题考查互斥事件的概率、条件概率等．(1)中“不超过2次”是指①第1次按对，②第1次未按对且第2次按对这两个互斥事件．(2)中求条件概率，可利用缩小基本事件空间的办法求解．[解] 设第i 次按对密码为事件),2,1(=i A i 则=A )(211A A A 表示不超过2次就按对密码．(1) ∵ 事件1A 与事件21A A 互斥，由概率的加法公式得⋅=⨯⨯+=+=5191019101)()()(211A A P A P A P (2)用B 表示“最后一位按偶数，且不超过2次就按对”的事件，则⋅=⨯⨯+=+=52451451)|()|()|(211B A A P B A P B A P [点拨] (1)中用到了互斥事件的概率加法公式： A P (⋅+=)()()B P A P B(2)中用到了条件概率公式：==)|()|(211B AA A PB A P ).|()|(211B A A P B A P +母题迁移 5．在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中依次买两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．学业水平测试1．关于条件概率),|(A B P 下面几种说法正确的是( )．①在条件概率中事件B 发生的概率与事件A 是否发生没有关系；②在条件概率中事件B 发生的概率一般要大于事件A 发生的条件下事件B 发生的概率；③只有在事件A 发生的条件下事件B 才发生；⑧事件A 与事件B 可以不同时发生．①②.A ②③④.B ②③.C ①④.D2．已知,53)(,103)(==A P AB p 则)|(A B P 为( )． 509.A 21.B 109.C 41.D 3．下列式子成立的是( )．)|()|(.A B P B A P A = .1)|(0.B <<A B P )|()()(.A B P A P AB P C ⋅= )()|(.B P A B A P D =4．若,2.0)(,3.0)(,5.0)(===AB P B P A P 则=)|(B A P =)|(,A B P5．抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不超过3，则出现的点数是奇数的概率为____ 6. 5个乒乓球，其中3个是新的，2个是旧的，每次取1个 ，不放回地取两次，求： (1)第一次取到新球的概率； (2)第二次取到新球的概率；(3)在第一次取到新球的条件下，第二次取到新球的概率．．高考能力测试（测试时间：60分钟测试满分：100分） 一、选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 1．下面几种概率是条件概率的是( )．A ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率B ．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率C ．有10件产品，其中3件为次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率D ．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是,52则小明在一次上学路上遇到红灯的概率 2．（2011年陕西高考题）甲、乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )．361.A 91.B 365.C 61.D 二、解答题（共90分） 3．（15分）有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率． 4．（15分）10个考题中有4道难题，甲、乙两人依次不放回地任取一道，求： (1)甲抽到难题的概率；(2)在甲抽到难题的情况下，乙抽到难题的概率． 5．（15分）100件产品中有5件次品，不放回地任取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第二次抽出的是正品的概率是多少？ 6．（15分）把一副扑克除大小王外的52张牌随机均分给赵、钱、孙、李四家，A 表示“赵家得到6张草花（梅花）”，B 表示“孙家得到3张草花（梅花）”． (1)计算);|(A B P(2)计算 )(AB P7．（15分）盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的，现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？ 8．（15分）某种元件用满6000小时未坏的概率是,43用满10000小时未坏的概率是,21现有一个此种元件，已经用了6000小时未坏，求它用到10000小时未坏的概率，参考答案。
高中数学选择性必修三 7 1 1 条件概率 导学案
7.1.1 条件概率1.通过实例,了解条件概率的概念；2.掌握求条件概率的两种方法；3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题；4.通过条件概率的形成过程,体会由特殊到一般的思维方法.重点：运用条件概率的公式解决简单的问题难点：条件概率的概念1.条件概率一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,.称为条件概率,记作P(A|B), 而且P(A|B)=P(A⋂B)P(B)2. 概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P（A）>0，则P（AB）=P（A）P（B|A）.我们称上式为概率的乘法公式（multiplication formula）.3.条件概率的性质条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设P（A）>0，则（1）P（Ω|A）=1；（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（BUC |A）=P（B | A）+P（C | A）；（3）设B和B̅互为对立事件，则P（B̅|A）=1−P（B|A）.一、问题探究在必修“概率” 一章的学习中，我们遇到过求同一实验中两个事件A 与B 同时发生（积事件AB ）的概率的问题，当事件A 与B 相互独立时,有 P(AB )=P （A ）P （B ）如果事件A 与B 不独立，如何表示积事件AB 的概率呢？下面我们从具体问题入手.问题1 . 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如表所示， 在班级里随机选一人做代表， （1）选到男生的概率是多大？（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 301545问题2. 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选一个家庭，那么 （1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？分析：求P （B|A ）的一般思想因为已经知道事件A 必然发生，所以只需在A 发生的范围内考虑问题，即现在的 样本空间为A.因为在事件A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件A 和事件 B 同时发生，A A B即AB发生.所以事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率P（B|A）=n(AB)n(A).为了把这个式子推广到一般情形，不妨记原来的样本空间为W，则有P（B|A）=n(AB)n(W)n(A)n(W)=P(AB)P(A).一般地,当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0),已知事件B发生的条件下事件A发生的概率,称为条件概率,记作P(B|A), 而且P(B|A)=P(AB)P(A).问题1. 如何判断条件概率?问题2. P(B|A)与P(A|B)的区别是什么?条件概率与事件独立性的关系探究1：在问题1和问题2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地，P（B|A）与P（B）不一定相等。
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第3章 概率 3.1.1 条件概率
=
6
20
=
3
.
10
3
故第一次和第二次都抽到选择题的概率为10 .
(3)(方法一)由(1)(2)可知
3
3
P(A)=5,P(AB)=10 ,所以
()
P(B|A)= ()
=
1
故在第一次抽到选择题的条件下,第二次抽到选择题的概率为2.
(方法二)由(1)(2)可知 n(AB)=6,n(A)=12,
所以
6
=
1
2
,P(AB)=
2
6
=
1
,
3
所以在 A 发生的条件下 B 发生的概率为
()
P(B|A)=
()
=
2
.
3
探究点二
条件概率的求法
【例2】 集合A={1,2,3,4,5,6},甲、乙两人各从A中任取一个数,若甲先取
(不放回),乙后取,在甲抽到奇数的条件下,求乙抽到的数比甲抽到的数大的
概率.
课程标准
1.理解条件概率的概念,能够结合古典概型,掌握求条件概率的两种方法.
2.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
知识点
条件概率
当P(A)=0时,不能用本定义求解条件概率
A
一般地,如果事件A,B是两个随机事件,且P(A)>0,则在事件
7
17
.
解析 记“某用户的自用新能源汽车已经经过了2 000次充电”为事件A,“他
的车能够充电2 500次”为事件B,即求条件概率
(⋂)
高中数学_条件概率教学设计学情分析教材分析课后反思
2．2．1条件概率一、教学目标：1根据具体事例理解条件概率定义。
2掌握条件概率的公式。
3利用公式解决简单的实际问题。
重点：利用公式解决实际问题。
难点：定义及公式的理解。
二、新课探究:1、三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小？解：三张奖券分别用X1,X2,Y,其中Y表示那张中奖奖券，那么三名同学的抽奖结果共有六种可能：__________________________________最后一名同学抽到中奖奖券的概率为____________思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？解：因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有__________________________________________________最后一名同学抽到中奖奖券的概率为__________________________总结：已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件 A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中，从而影响事件 B 发生的概率。
.2、条件概率定义和公式：设A和B为两个事件，那么，在"A已发生"的条件下，事件B发生的概率叫做______________________. 用符号___________表示。
读作A 发生的条件下 B 发生的概率。
一般的，我们有条件概率公式____________________________.三、深入探究:类型一：利用公式解决问题。
例1 、甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？类型二：教材例题例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求：(l）第1次抽到理科题的概率；(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．变式练习：第一次抽到理科题，第二次抽到文科题的概率。
学案条件概率
学案条件概率
【学习目标】1．在具体情境中，了解条件概率的意义；2．学会应用条件概率解决实际问题．
【问题导入】
问题1：在3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？请算出其概率.
问题2：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？
问题3：第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？
问题4：对于上面的事件A〝第一名同学没有抽到中奖奖券〞和事件B 〝最后一名同学抽到中奖奖券〞，
P与它们的概率有什么关系呢？
B
(A
)
【典例探究】
在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
第1次抽到理科题的概率；
第1次和第2次都抽到理科题的概率；
〔3〕在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率；
〔4〕在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到文科题的概率．
一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记
了密码的最后一位数字．求：211
任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
〔2〕如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率；
〔3〕任意按最后一位数字，第3次就按对的概率．
【知识小结】请问你在这节课学会了哪些知识？
【当堂检测】
从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张．第1次抽到A，求第2次也抽到A的概
率．
100件产品中有5件次品，不入回地抽取2次，每次抽1件．第1次抽出的是次品，求第2次抽出正品的概率．。
新教材高中人教B版数学选择性学案第4章4-1-1条件概率
4.1条件概率与事件的独立性4.1.1条件概率学习任务核心素养1．在具体情境中，了解条件概率．(难点)2．掌握条件概率的计算方法．(重点) 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(易错点)1．通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养．2．借助条件概率公式解题，提升数学运算素养．高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员．问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？[提示]2 5．问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共青团员的概率又是多少？[提示]1 2．知识点1条件概率定义一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率表示P(A|B)计算公式P(A|B)＝P(A∩B) P(B)P(A|B)与P(B|A)相同吗？[提示]不同，前者是事件B发生的条件下事件A发生的概率，而后者是事件A发生的条件下事件B发生的概率．一般情况下，它们也不相等．提醒：当题目涉及“在……前提下”等字眼时，一般为条件概率，如题目中没有上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率．在条件概率的表示中，“|”之后的部分表示条件．1．(对接教材P43例3)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．0.5[根据条件概率公式知P＝,0.8)＝0.5．]知识点2条件概率的性质(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)如果B与C互斥，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1．()(2)P(B|A)≠P(A∩B)．()[答案](1)×(2)√类型1利用定义求条件概率【例1】(对接教材P44练习T3)一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B．(1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率；(2)求P(B|A)．[思路点拨]首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．[解]由古典概型的概率公式可知(1)P(A)＝2 5，P(B)＝2×1＋3×25×4＝820＝25，P(A∩B)＝2×15×4＝110．(2)P(B|A)＝P(A∩B)P(A)＝11025＝14．1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(A∩B)；(3)代入公式求P(B|A)＝P(A∩B) P(A)．2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．[跟进训练]1．甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A，P(B，P(A∩B，则P(A|B)＝________，P(B|A)＝________．2 335[由公式P(A|B)＝P(A∩B)P(B)＝23，P(B|A)＝P(A∩B)P(A)＝35．]类型2利用基本事件个数求条件概率在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有2个红球，8个黄球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为多少？[提示]法一：依题意，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有8个黄球，而坛子中此时共有9个球，故再取一球为黄球的概率为89．法二：设“取出的第一个球为红色”为事件A，“取出的第二个球为黄色”为事件B，则P(A)＝210＝1 5，P(A∩B)＝2×810×9＝845，所以P(B|A)＝84515＝89．【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．[思路点拨]第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．[解]设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B．(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A26＝30，根据分步乘法计数原理n(A)＝A14A15＝20，于是P(A)＝n(A)n(Ω)＝2030＝23．(2)因为n(A∩B)＝A24＝12，于是P(A∩B)＝n(A∩B)n(Ω)＝1230＝25．(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝P(A∩B)P(A)＝2523＝35．法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，所以P(B|A)＝n(A∩B)n(A)＝1220＝35．[解] 设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到语言类节目为事件C ，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A ∩C ．n (A )＝A 14×A 15＝20，n (A ∩C )＝A 14×A 12＝8，∴P (C |A )＝n (A ∩C )n (A )＝820＝25． 1．本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．2．计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间ΩA 中计算事件B 发生的概率，即P (B |A )．(2)在原样本空间Ω中，先计算P (A ∩B )，P (A )，再利用公式P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )，计算求得P (B |A )．类型3 条件概率的综合应用【例3】 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．[思路点拨] (1)不超过2次，即第1次按对或第1次未按对第2次按对；(2)条件概率，利用互斥事件的条件概率公式求解． [解] 设第i 次按对密码为事件A i (i ＝1,2)，则A ＝A 1∪(A －1A 2)表示不超过2次按对密码．(1)因为事件A 1与事件A －1A 2互斥，由概率的加法公式得P (A )＝P (A 1)＋P (A －1A 2)＝110＋9×110×9＝15． (2)用B 表示最后一位按偶数的事件，则P (A |B )＝P (A 1|B )＋P ((A －1A 2)|B )＝15＋4×15×4＝25． 1．利用公式P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B 与C 互斥”．2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．[跟进训练]2．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第1个球是红球的条件下，第2个球是黄球或黑球的概率．[解] 设“摸出第1个球为红球”为事件A ，“摸出第2个球为黄球”为事件B ，“摸出第2个球为黑球”为事件C ．则P (A )＝110，P (A ∩B )＝1×210×9＝145，P (A ∩C )＝1×310×9＝130． 所以P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝145÷110＝29， P (C |A )＝P (A ∩C )P (A )＝130÷110＝13． 所以P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝29＋13＝59．所以所求的条件概率为59．1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )A ．0.2B ．0.33A [记“数学不及格”为事件A ，“语文不及格”为事件B ，P (B |A )＝P (A ∩B )P (A )＝,0.15)＝0.2，所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为0.2．]2．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率是( )A ．14B ．13C ．12D ．35B [抛掷红、黄两枚骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6,6×4,6×5,6×6，共4个基本事件，所求概率为13．] 3．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为( )A ．35B ．25C ．23D ．310B [记事件A ＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B ＝{第二次取到不合格高尔夫球}，事件AB ＝{第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球}．由题意可得事件AB 发生所包含的基本事件数n (A ∩B )＝4×2＝8，事件A 发生所包含的基本事件数n (A )＝4×5＝20，所以P (B |A )＝n (A ∩B )n (A )＝820＝25．] 4．把一枚硬币投掷两次，事件A ＝{第一次出现正面}，B ＝{第二次出现正面}，则P (B |A )＝________．12 [∵P (A ∩B )＝14，P (A )＝12，∴P (B |A )＝12．]5．某种元件用满6 000小时未坏的概率是34，用满10 000小时未坏的概率是12，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．23 [设“用满6 000小时未坏”为事件A ，“用满10 000小时未坏”为事件B ，则P(A)＝34，P(A∩B)＝P(B)＝12，所以P(B|A)＝P(A∩B)P(A)＝1234＝23．]回顾本节内容，自我完成以下问题：1．求解条件概率应注意哪些问题？[提示](1)在具体问题中，必须弄清楚哪是事件A，哪是事件B，即在哪个事件发生的条件下，求哪个事件的概率；(2)重点抓住“把事件A发生作为条件”还是“把事件B发生作为条件”和“A与B同时发生”这两件事；(3)正确理解事件A∩B，准确求出P(A∩B)．(4)要注意结合题意分析事件A与B的关系，有时可从集合知识的角度来分析，若事件A发生时B一定发生，而B发生时A不一定发生，则有A⊆B，且P(A∩B)＝P(A)．2．如何理解条件概率公式？[提示](1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝n(A∩B)n(A)＝n(A∩B)n(Ω)n(A)n(Ω)＝P(A∩B)P(A)．(教师用书独具)概率论的起源概率论渗透到现代生活的方方面面．正如19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题．你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解．甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上．因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……”有趣的是，这样一门被称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于人类贪婪的产物，赌博，文明一点的说法，就是机会性游戏，即靠运气取胜的游戏．希罗多德在他的巨著《历史》中记录到，早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起掷骰子，游戏发展到后来，到了公园前1200年，有了立方体的骰子，6个面上刻上数字，和现代的赌博工具已经没有了区别．但概率论的概念直到文艺复兴后才出现，概率论出现如此迟缓，有人认为是人类的道德规范影响了对赌博的研究——既然赌博被视为不道德的，那么将机会性游戏作为科学研究的对象也就是大逆不道．第一个有意识地计算赌博胜算的是文艺复兴时期意大利的卡尔达诺，他几乎每天赌博，并且由此坚信，一个人赌博不是为了钱，那么就没有什么能够弥补在赌博中耗去的时间．他计算了同时掷出两个骰子，出现哪个数字的可能最多，结果发现是“7”．17世纪，法国贵族德·梅勒在骰子赌博中，有急事必须中途停止赌博．双方各出的30个金币的赌资要靠对胜负的预测进行分配，但不知用什么样的比例分配才算合理．德·梅勒写信向当时法国的最具声望的数学家帕斯卡请教．帕斯卡又和当时的另一位数学家费尔马长期通信．于是，一个新的数学分支——概率论产生了．概率论从赌博的游戏开始，最终服务于社会的每一个角落．。
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2．2．1条件概率
教学目标：
知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。
情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。
教学重点：条件概率定义的理解
教学难点：概率计算公式的应用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教具：多媒体、实物投影仪
教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。
教学过程：
一、复习引入：
探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小.
若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B 仅包含一个基本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券
的概率为
1 ()
3 P B=.
思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？
因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式
可知．最后一名同学抽到中奖奖券的概率为1
2
，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第
一名同学没有抽到中奖奖券”.
已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？
在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) .
思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？
用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑
问题，即只有两个基本事件Y Y Y 和Y Y Y ．在事件 A 发生的情况下事件B 发生，等价于事件 A 和事件 B 同时发生，即 AB 发生．而事件 AB 中仅含一个基本事件Y Y Y ，因此
(|)P B A =12=()()n AB n A .
其中n ( A ）和 n ( AB ）分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数．另一方面，根据古典概型的计算公式，
()()(),()()()
n AB n A P AB P A n n ==ΩΩ 其中 n （Ω）表示Ω中包含的基本事件个数．所以，
(|)P B A =()
()()()()()()
()
n AB n AB P AB n n A n P n Ω==ΩΩΩ. 因此，可以通过事件A 和事件AB 的概率来表示P （B| A ) .
条件概率
1.定义
设A 和B 为两个事件，P(A )>0，那么，在“A 已发生”的条件下，B 发生的条件概率（conditional probability ). (|)P B A 读作A 发生的条件下 B 发生的概率．
(|)P B A 定义为
()(|)()
P AB P B A P A =. 由这个定义可知，对任意两个事件A 、B ，若()0P B >，则有
()(|)()P AB P B A P A =⋅.
并称上式微概率的乘法公式.
2.P （·|B ）的性质：
（1）非负性：对任意的A ∈f. 0(|)1P B A ≤≤；
（2）规范性：P （Ω|B ）=1；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件,则
(|)(|)(|)P B C A P B A P C A =+.
更一般地,对任意的一列两两部相容的事件i A （I=1,2…），有
P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞= 1|i i B A =)|(1
B A P i i ∑∞
=.
例1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题，求： (l ）第1次抽到理科题的概率；
(2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3）在第 1 次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率．
解：设第1次抽到理科题为事件A ，第2次抽到理科题为事件B ，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
(1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为
n （Ω）=35A =20.
根据分步乘法计数原理，n (A ）=1134A A ⨯=12 ．于是 ()123()()205
n A P A n ===Ω. (2）因为 n (AB)＝23A =6 ，所以
()63()()2010
n AB P AB n ===Ω. (3）解法 1 由（ 1 ) ( 2 ）可得，在第 1 次抽到理科题的条件下，第 2 次抽到理科题的概
3
()110(|)3()2
5
P AB P B A P A ===. 解法2 因为 n (AB ）=6 , n (A ）=12 ，所以
()61(|)()122
P AB P B A P A ===. 例2.一张储蓄卡的密码共位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
(1）任意按最后一位数字，不超过 2 次就按对的概率；
(2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
解：设第i 次按对密码为事件i A (i=1,2) ，则1
12()A A A A =表示不超过2次就按对
密码．
(1）因为事件1A 与事件12A A 互斥，由概率的加法公式得 1121911()()()101095
P A P A P A A ⨯=+=+=⨯. (2）用B 表示最后一位按偶数的事件，则
112(|)(|)(|)P A B P A B P A A B =+
14125545
⨯=+=⨯.
课堂练习.
1、抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为S={1，2，3，4，5，6}，令事件A={2，3，5}，B={1，2，4，5，6}，求P （A ），P （B ），P （AB ），P （A ︱B ）。
2、一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P （AB ），P （A ︱B ）。
3、在一个盒子中有大小一样的20个球，其中10和红球，10个白球。
求第1个人摸出1个红球，紧接着第2个人摸出1个白球的概率。
巩固练习： 课本55页练习1、2
课外作业：第60页 习题 2. 2 1 ，2 ，3
教学反思：
1. 通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。
2. 掌握一些简单的条件概率的计算。
3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用。