【精准课堂】【北师版】九年级数学下册 第二章 二次函数 2.4 .2 二次函数的应用学案及同步练习

2．4 .2 二次函数的应用一、问题引入：1. 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降低0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？请根据题意，思考下面问题：（1）成本价10元，批发价13元，则一件T恤衫可以获得多少利润？（2）什么是“经销商愿意经销5000件”？这时厂家获得多少利润？（3）为什么降价后经销商可以多经销一些T恤衫？（4）降低0.1元后，批发价为多少？销售量为多少？所获利润呢？（5）降低0.2元后，批发价为多少？销售量为多少？所获利润呢?（6）降低x个0.1元后，批发价为多少？销售量为多少？所获利润呢？你能确定它的最大值吗？（7）厂家能无限降价吗？x的取值有什么限制？（8）你还有其他解决方法吗？（小组合作共同完成，将解题过程写在练习本上）二、基础训练：1. 函数y=2x 2+4x+3的最小值是（ ）A. 1B. －1C. 2D. －22. 某产品进货单价为90元，按100元一个出售时，能售500个，若这种产品涨价一元，其销售额就减少10个，为了获得最大利润，其价格应定为（ ） A. 130元 B. 120元 C. 110元 D. 100元 三、例题展示：例：某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满.经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？四、课堂检测：1. 对于二次函数221x x y -+=，对称轴是，顶点坐标是. 2. 两个数的和为8，这两个数的积最大可以达到 .3.某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱． （1）写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．（注明范围） （2）求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润=售价-进价)．（3）求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x ＝40，70时W 的值． （4）当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大?最大利润为多少?2.4.2二次函数的应用同步练习一、选择题1．如图2－109所示的抛物线的解析式是 ( )A．y＝x2－x＋2 B．y=－x2－x＋2C．y＝x2＋x＋2 D．y=－x2＋x＋22. （佛山，第6题3分）下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是（）A、y=xB、y=2x﹣1C、y=D、y=x23 （浙江金华，第9题，3分）如图是二次函数y=﹣x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是（）A、﹣1≤x≤3B、x≤﹣1C、x≥1D、x≤﹣1或x≥34.（甘肃天水，第4题4分）将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A y=（x﹣1）2+2B y=（x+1）2+2C y=（x﹣1）2﹣2D y=（x+1）2﹣2 5．（齐齐哈尔，9题3分）如图，二次函y=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点（2，0），下列说法：①abc＜0；②a+b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣2，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是（）A ①②④B ③④C ①③④D ①②二、填空题6．如图2－110所示的是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a的值是．7．已知抛物线y＝4x2－11x－3，则它的对称轴是，与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是.8．抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为l，则b的值是．9. （辽宁沈阳，第15题，4分）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为元．10.（甘肃天水，第18题4分）如图，一段抛物线y=﹣x（x﹣1）（0≤x≤1）记为m1，它与x轴交点为O、A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3，…，如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为（）．三、解答题11．用12米长的木料做成如图2－111所示的矩形窗框(包括中间的十字形)，当长、宽各为多少时，矩形窗框的面积最大?最大面积是多少?12．如图2－112所示，△ABC的面积为2400c m2，底边BC的长为80cm，若点D在BC上，点E在AC上，点F在AB上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD＝x cm，S BDEF=y cm2． (1)求y与x之间的函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)当x为何值时，y最大?最大值是多少?13．如图2 - 113所示，在 ABCD中，AB＝4，BC＝3，∠BAD＝120°，E为BC上一动点(不与B重合)，作EF⊥AB于F，延长FE与DC的延长线交于点G，设BE＝x，△DEF的面积为S．(1)求证△BEF∽△CEG；(2)用x表示S的函数关系式，并写出x的取值范围；(3)当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少?14．如图2－114所示，在边长为82cm的正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个点，它们分别从点A、点C同时出发，沿对角线以1 cm／s的相同速度运动，过E作EH垂直AC，交Rt△ADC的直角边于H；过F作FG垂直AC，交Rt△ADC的直角边于G，连接HG，EB. 设HE，EF，FG，GH围成的图形面积为S1，AE，EB，BA围成的图形面积为S2(这里规定：线段的面积为0)．若E到达C，F到达A，则停止运动．若E的运动时间为x s，解答下列问题．(1)当0＜x＜8时，直接写出以E，F，G，H为顶点的四边形是什么四边形，并求x为何值时，S1=S2；(2)①若y是S1与S2的和，求y与x之间的函数关系式；(图2－115为备用图)②求y 的最大值．15. （湖北潜江仙桃，第25题12分）已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2），C（，0）三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q．设点P的运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）当BQ=AP时，求t的值；（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形？若存在，请直接写t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．D[提示：应用待定系数法．] 2.C3.D4.A5.A6．1[提示：抛物线开口向上，故a ＞0．因为图象过原点，所以a 2－1＝0，所以a ＝±1，所以a ＝1．] 7．x ＝118 (3，0), (－14，0) (0，－3)8．－3 9.25 10（10.5，﹣0.25）11．解：设窗框的长为x 米，则窗框的宽为1233x -米，矩形窗框的面积y ＝x(1233x-)＝－x 2＋4x ．配方得y ＝－(x －2)2＋4．∵a=－l ＜0，∴函数y ＝－(x －2)2＋4有最大值．当x ＝2时，y最大值＝4平方米，此时1233x-＝4－2＝2(米)，即当长、宽各为2米时，矩形窗框的面积最大，最大值为4平方米．12．解：(1)设A 到BC 的距离为d cm ，E 到BC 的距离为h cm ，则y=S BDEF=xh ．∵S △ABC＝12BC ²d ，∴2400=12³80d ，∴d=60．∵ED ∥AB ，∴△EDC ∽△ABC ，∴h DC d BC =，即806080h x -=，∴h=3(80)4x -，∴y ＝3(80)4x -x ＝－34x 2＋60x ．(2)自变量x 的取值范围是0＜x ＜80． (3)∵a=－34＜0，－2b a ＝40，0＜40＜80，∴当x ＝40时，y 最大值＝1200．13．(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠ECG ．又∠BEF=∠CEG ，∴△BEF ∽△CEG ．(2)解：由(1)得，∠G ＝∠BFE ＝90°，∴DG 为△DEF 中EF 边上的高．在Rt △BFE 中，∠B=60°，EF ＝BEsin B ＝3x.在Rt △CGE 中，CE=3－x ，CG=(3－x)cos 60°=32x -，∴DG=DC ＋CG=112x -，∴S=12EF ²DG=－3x 2＋113x ，其中0＜x ≤3．(3)解：∵a=＜0，对称轴x ＝112，∴当0＜x ≤3时，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝3，即E 与C 重合时，S 有最大值，S 最大值＝14．解：(1)以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是矩形．∵正方形ABCD 的边长为82，∴AC=16．∵AE ＝x ，过点B 作BO ⊥AC 于O ，如图2－116所示，则BO ＝8，∴S 2＝4x ．∵HE=x ，EF ＝16－2x ，∴S 1=x(16－2x)．当S 1＝S 2，即x(16－2x)=4x 时，解得x 1=0(舍去)，x 2＝6．∴当x ＝6时，S 1＝S 2．(2)①当0≤x ＜8时，如图2－116所示．y=x(16－2x)＋4x ＝－2x 2＋20x ．当8≤x ≤16时，如图2－117所示，AE ＝x ，CE=HE ＝16－x ，EF ＝16－2(16－x)=2x －16，∴S 1＝(16－x)(2x －16)，∴y ＝(16－x)(2x －16)＋4x=－2x 2＋52x －256．(2)解法1：②当0≤x ＜8时，y ＝－2x 2＋20x ＝－2(x 2－10x ＋25)＋50=－2(x －5)2＋50，∴当x ＝5时，y 的最大值为50．当8≤x ≤16时，y ＝－2x 2＋52x －256=－2(x －13)2＋82，∴当x ＝13时，y 的最大值为82．综上可得，y 的最大值为82．解法2：②y ＝－2x 2＋20x(0≤x ＜8)，当x ＝－202(2)⨯-＝5时，y 最大值＝2204(2)-⨯-＝50．y=－2x 2＋52x －256(8≤x ≤16)，当x=－522(2)⨯-＝13时，y最大值=24(2)(256)524(2)⨯-⨯--⨯-＝82．综上可得，y 的最大值为82．15.解：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ， ∵抛物线经过A （﹣2，0），B （0，2），C （，0）三点，∴，解得，∴y=﹣x2﹣x+2．（2）∵AQ⊥PB，BO⊥AP，∴∠AOQ=∠BOP=90°，∠PAQ=∠PBO，∵AO=BO=2，∴△AOQ≌△BOP，∴OQ=OP=t．①如图1，当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ=2﹣t，AP=2+t．∵BQ=AP，∴2﹣t=（2+t），∴t=．②如图2，当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ=t﹣2，AP=2+t．∵BQ=AP，∴t﹣2=（2+t），∴t=6．综上所述，t=或6时，BQ=AP．（3）当t=﹣1时，抛物线上存在点M（1，1）；当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3）．分析如下：∵AQ⊥BP，∴∠QAO+∠BPO=90°，∵∠QAO+∠AQO=90°，∴∠AQO=∠BPO．在△AOQ和△BOP中，，∴△AOQ≌△BOP，∴OP=OQ，∴△OPQ为等腰直角三角形，∵△MPQ为等边三角形，则M点必在PQ的垂直平分线上，∵直线y=x垂直平分PQ，∴M在y=x上，设M（x，y），∴，解得或，∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．①如图3，当M的坐标为（1，1）时，作MD⊥x轴于D，则有PD=|1﹣t|，MP2=1+|1﹣t|2=t2﹣2t+2，PQ2=2t2，∵△MPQ为等边三角形，∴MP=PQ，∴t2+2t﹣2=0，∴t=﹣1+，t=﹣1﹣（负值舍去）．②如图4，当M的坐标为（﹣3，﹣3）时，作ME⊥x轴于E，则有PE=3+t，ME=3，∴MP2=32+（3+t）2=t2+6t+18，PQ2=2t2，∵△MPQ为等边三角形，∴MP=PQ，∴t2﹣6t﹣18=0，∴t=3+3，t=3﹣3（负值舍去）．综上所述，当t=﹣1+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t=3+3时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．。