2019版数学选修2-2人教a版作业及测试：课时作业20复数代数形式的加、减运算及其几何意义 含解析
2019高中数学复数代数形式的加减运算及其几何意义测试题(有答案)语文
高中数学复数代数形式的加减运算及其几何意义测试题（有答案）选修2-23.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义一、选择题1．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1－z2是纯虚数，则有()A．a－c＝0且b－d0B．a－c＝0且b＋d0C．a＋c＝0且b－d0D．a＋c＝0且b＋d0[答案] A[解析] z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i，∵z1－z2是纯虚数，a－c＝0且b－d0.故应选A.2．[(a－b)－(a＋b)i]－[(a＋b)－(a－b)i]等于()A．－2b－2biB．－2b＋2biC．－2a－2biD．－2a－2ai[答案] A[解析] 原式＝[(a－b)－(a＋b)]＋[－(a＋b)＋(a－b)]i ＝－2b－2bi.3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i，那么这个复数是()A.115B.3iC.115＋3iD.115＋23i[答案] C[解析] 设这个复数为a＋bi(a，bR)，则|a＋bi|＝a2＋b2.由题意知a＋bi＋a2＋b2＝5＋3i即a＋a2＋b2＋bi＝5＋3ia＋a2＋b2＝5b＝3，解得a＝115，b＝3.所求复数为115＋3i.故应选C.4．已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] A[解析] ∵z1＝3＋2i，z2＝1－3i，z＝z1－z2＝3＋2i－(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i＝2＋5i. 点Z位于复平面内的第一象限．故应选A.5．ABCD中，点A，B，C分别对应复数4＋i,3＋4i,3－5i，则点D对应的复数是()A．2－3iB．4＋8iC．4－8iD．1＋4i[答案] C[解析] AB对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i＝－1＋3i，设点D对应的复数为z，则DC对应的复数为(3－5i)－z. 由平行四边形法则知AB＝DC，－1＋3i＝(3－5i)－z，z＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i＝4－8i.故应选C.6．已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，若z1－z2＝0，则m的值为()A．4B．－1C．6D．0[答案] B[解析] z1－z2＝(m2－3m＋m2i)－[4＋(5m＋6)i]＝(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i＝0m2－3m－4＝0m2－5m－6＝0解得m＝－1，故应选B. 7．已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝()A．－3iB．3iC．3iD．4i[答案] B[解析] 令z＝a＋bi(a，bR)，则a2＋b2＝9 ①又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数a＝0b＋30 ②由①②得a＝0，b＝3，z＝3i，故应选B.8．已知z1，z2C且|z1|＝1，若z1＋z2＝2i，则|z1－z2|的最大值是()A．6B．5C．4D．3[答案] C[解析] 设z1＝a＋bi(a，bR，a2＋b2＝1)z2＝c＋di(c，dR)∵z1＋z2＝2i(a＋c)＋(b＋d)i＝2ia＋c＝0b＋d＝2c＝－ad＝2－b，|z1－z2|＝|(a－c)＋(b－d)i|＝|2a＋(2b－2)i|＝(2a)2＋(2b－2)2＝2a2＋(b－1)2＝2a2＋b2＋1－2b＝22－2b.∵a2＋b2＝1，－1102－2b4，|z1－z2|4.9．复数z＝x＋yi(x，yR)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y 的最小值为()A．2B．4C．42D．82[答案] C[解析] ∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2x＝－2y＋3，2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝814y＋4y42.10．若xC，则方程|x|＝1＋3i－x的解是()A.12＋32iB．x1＝4，x2＝－1C．－4＋3iD.12＋32i[答案] C[解析] 令x＝a＋bi(a，bR)则a2＋b2＝1＋3i－a－bi所以a2＋b2＝1－a0＝3－b，解得a＝－4b＝3故原方程的解为－4＋3i，故应选C.二、填空题11．若z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，x2，y1，y2R)，则|z2－z1|＝______________.[答案] (x2－x1)2＋(y2－y1)2[解析] ∵z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i，z2－z1＝(x2－x1)＋(y2－y1)i，|z2－z1|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.12．已知z1＝32a＋(a＋1)i，z2＝－33b＋(b＋2)i(a，bR)，若z1－z2＝43，则a＋b＝________.[答案] 3[解析] z1－z2＝32a＋(a＋1)i－[－33b＋(b＋2)i]＝32a ＋33b＋[(a＋1)－(b＋2)i]32a＋33b＝43a－b－1＝0，解之得a＝2b＝1，a＋b＝3.13．计算：(2＋7i)－|－3＋4i|＋|5－12i|i＋3－4i＝______.[答案] 16i[解析] 原式＝2＋7i－5＋13i＋3－4i＝(2－5＋3)＋(7＋13－4)i＝16i.14．复平面内三点A、B、C，A点对应的复数为2＋i，BA对应的复数为1＋2i，向量BC对应的复数为3－i，则点C对应的复数为________．[答案] 4－2i[解析] ∵BA对应的复数是1＋2i，BC对应的复数为3－i，AC对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC＝OA＋AC，C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.三、解答题15．计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)．[解析] 解法1：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)解法2：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝(5－2－3)＋[－6＋(－1－4)]i＝0＋(－11)i＝－11i.16．已知复数z1＝2＋3i，z2＝a－2＋i，若|z1－z2||z1|，求实数a的取值范围．[解析] z1－z2＝2＋3i－[(a－2)＋i]＝[2－(a－2)]＋(3－1)i＝(4－a)＋2i由|z1－z2||z1|得(4－a)2＋44＋9，(4－a)29，17a的取值范围为(1,7)．17．已知z1＝cos＋isin，z2＝cos－isin且z1－z2＝513＋1213i，求cos(＋)的值．[解析] ∵z1＝cos＋isin，z2＝cos－isinz1－z2＝(cos－cos)＋i(sin＋sin)＝513＋1213icos－cos＝513 ①sin＋sin＝1213 ②①2＋②2得2－2cos(＋)＝1即cos(＋)＝12.18．(1)若f(z)＝z＋1－i，z1＝3＋4i，z2＝－2＋i，求f(z1－z2)；(2)z1＝2cos－i，z2＝－2＋2isin(0)，且z1＋z2对应的点位于复平面的第二象限，求的范围．[解析] (1)z1－z2＝3＋4i－(－2＋i)＝5＋3i，f(z1－z2)＝(z1－z2)＋(1－i)＝5＋3i＋1－i＝6＋2i.(2)z1＋z2＝(2cos－i)＋(－2＋2isin)＝(2cos－2)＋(2sin－1)i，由题意得：2cos－202sin－10，即cos22sin12又[0,2]，故4，56.。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 Word版含答案
3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义[学习目标]1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则．2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题． [知识链接]在小学我们学习过实数的加减运算，上一节我们把实数系扩充到了复数系．那么，复数如何进行加减运算？两个复数的和差是个什么数，它的值唯一确定吗？复数加减法的几何意义是什么？这就是本节我们要研究的问题．[预习导引]1．复数加法与减法的运算法则(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.(2)对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 2．复数加减法的几何意义如图，设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，向量OZ →与复数z 1＋z 2对应，向量Z 2Z 1→与复数z 1－z 2对应．要点一 复数加减法的运算 例1 (1)计算(2＋4i)＋(3－4i)； (2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i)． 解 (1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i ＝5.(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i ＝－2＋2i.规律方法 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项． 跟踪演练1 计算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)； (2)1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．解 (1)原式＝(5－2－3)＋(－6－1－4)i ＝－11i. (2)原式＝1＋(i －1)＋(－1＋2i)＋(－1－2i) ＝(1－1－1－1)＋(1＋2－2)i ＝－2＋i. 要点二 复数加减法的几何意义例2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．解 设复数z 1，z 2，z 3在复平面内所对应的点分别为A ，B ，C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )，如图．则AD →＝OD →－OA →＝(x ，y )－(1,2)＝(x －1，y －2)． BC →＝OC →－OB →＝(－1，－2)－(－2,1)＝(1，－3)． ∵AD →＝BC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝1y －2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1， 故点D 对应的复数为2－i.规律方法 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用．跟踪演练2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3＋2i ，－2＋4i. 求：(1)AO →表示的复数； (2)对角线CA →表示的复数； (3)对角线OB →表示的复数．解 (1)因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i.(2)因为CA →＝OA →－OC →，所以对角线CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为对角线OB →＝OA →＋OC →，所以对角线OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i. 要点三 复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.解 法一 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )， ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1， ∴a 2＋b 2＝c 2＋d 2＝1， ① (a －c )2＋(b －d )2＝1 ②由①②得2ac ＋2bd ＝1， ∴|z 1＋z 2|＝(a ＋c )2＋(b ＋d )2 ＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝ 3. 法二 设O 为坐标原点，z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点分别为A ，B ，C . ∵|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，∴△OAB 是边长为1的正三角形，∴四边形OACB 是一个内角为60°，边长为1的菱形， 且|z 1＋z 2|是菱形的较长的对角线OC 的长， ∴|z 1＋z 2|＝|OC →|＝|OA →|2＋|AC →|2－2|OA →||AC →|cos 120°＝ 3. 规律方法 (1)设出复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x ，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用． (2)在复平面内，z 1，z 2对应的点为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点，则四边形OACB ：①为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形；③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形． 跟踪演练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.解 由|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝2，知z 1，z 2，z 1＋z 2对应的点是一个边长为1的正方形的三个顶点，所求|z 1－z 2|是这个正方形的一条对角线长，所以|z 1－z 2|＝ 2.1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( ) A ．0 B ．2i C ．6 D ．6－2i答案 D解析 z ＝3－i －(i －3)＝6－2i.2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案 B解析 i ＋i 2＝－1＋i ，对应的点在第二象限．3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( ) A ．2＋8i B ．－6－6i C ．4－4i D ．－4＋2i 答案 C解析 BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝(4，－4)． ∴BC →表示的复数为4－4i.4．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在( ) A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限 答案 B解析 ∵|z －1|＝|z ＋1|，∴点Z 到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z 在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上．5．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 答案 －1解析 z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、基础达标1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0 B.32＋52iC ．52－52iD ．52－32i答案 C解析 z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎫2＋12－⎝⎛⎭⎫12＋2i ＝52－52i. 2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1＋3i C ．－1－i D ．－1－3i答案 B解析 z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i.3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( ) A ．2 B ．2＋2i C ．4＋2i D ．4－2i答案 C4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋b i ＝－2－i. 5．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________．解析 ∵P (－1,0)，Q (2,1)，∴PQ →＝(3,1)，∴PQ →对应的复数为3＋i.6．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________． 答案 1解析 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1. 7．计算：(1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)； (2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i . (3)已知z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i ，求z 1＋z 2，z 1－z 2. 解 (1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i) ＝－7i ＋5－9＋8i ＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. (2)⎝⎛⎭⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝⎛⎭⎫43－32i ＝13＋12i ＋2－i －43＋32i ＝⎝⎛⎭⎫13＋2－43＋⎝⎛⎭⎫12－1＋32i ＝1＋i. (3)z 1＋z 2＝2＋3i ＋(－1＋2i)＝1＋5i ， z 1－z 2＝2＋3i －(－1＋2i)＝3＋i. 二、能力提升8．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( ) A ．－3i B ．3i C ．±3i D ．4i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数， ∴a ＝0，b ＋3≠0，又|b |＝3，∴b ＝3，z ＝3i.9．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD →|等于( ) A ．5 B ．13 C ．15 D ．17 答案 B设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫2，32， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ， 所以BD →＝OD →－OB →＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)， 所以|BD →|＝13.10．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 答案115＋3i 解析 设这个复数为x ＋y i(x ，y ∈R ) ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ， ∴⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115y ＝3，∴x ＋y i ＝115＋3i.11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标． 解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．解 法一 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝⎛⎭⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎨⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.法二 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )． 则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， 由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i. 三、探究与创新13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB →，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ， BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。
人教a版数学【选修2-2】练习：3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义(含答案)
选修2-2 第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( ) A ．1＋i B ．2＋i C ．3 D ．－2－i[答案] D[解析] ∵z 1＋z 2＝(2＋b i)＋(a ＋i) ＝(2＋a )＋(b ＋1)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0，b ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.∴a ＋b i ＝－2－i.2．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝( ) A ．23－2i B ．－23－2i C ．±23－2i D ．23±2i[答案] C[解析] ∵z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )， 由|z |＝4得a 2＋4＝16， ∴a 2＝12，∴a ＝±23， ∴z ＝±23－2i.3．(2014·浙江台州中学期中)设x ∈R ，则“x ＝1”是“复数z ＝(x 2－1)＋(x ＋1)i 为纯虚数”的( )A ．充分必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] z 是纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ＋1≠0，⇔x ＝1，故选A.4．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3 D ．－4[答案] B[解析] z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.5．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1[答案] D[解析] z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i. ∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.6．▱ABCD 中，点A 、B 、C 分别对应复数4＋i 、3＋4i 、3－5i ，则点D 对应的复数是( ) A ．2－3i B ．4＋8i C ．4－8i D ．1＋4i[答案] C[解析] AB →对应的复数为(3＋4i)－(4＋i)＝(3－4)＋(4－1)i ＝－1＋3i ， 设点D 对应的复数为z ，则DC →对应的复数为(3－5i)－z . 由平行四边形法则知AB →＝DC →， ∴－1＋3i ＝(3－5i)－z ，∴z ＝(3－5i)－(－1＋3i)＝(3＋1)＋(－5－3)i ＝4－8i.故应选C. 二、填空题7．在复平面内，若OA →、OB →对应的复数分别为7＋i 、3－2i ，则 |AB →|＝________. [答案] 5[解析] |AB →|对应的复数为3－2i －(7＋i)＝－4－3i ，所以|AB →|＝(－4)2＋(－3)2＝5. 8．(2014·揭阳一中期中)已知向量OA →和向量OC →对应的复数分别为3＋4i 和2－i ，则向量AC →对应的复数为________．[答案] －1－5i[解析] ∵AC →＝OC →－OA →，∴AC →对应复数为(2－i)－(3＋4i)＝－1－5i.9．在复平面内，O 是原点，O A →、O C →、A B →对应的复数分别为－2＋i 、3＋2i 、1＋5i ，那么B C →对应的复数为________________．[答案] 4－4i[解析] B C →＝O C →－O B →＝O C →－(O A →＋A B →) ＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i) ＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i＝4－4i. 三、解答题10．已知平行四边形ABCD 中，A B →与A C →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求A D →对应的复数； (2)求D B →对应的复数； (3)求△APB 的面积．[分析] 由复数加、减法运算的几何意义可直接求得A D →，D B →对应的复数，先求出向量P A →、P B →对应的复数，通过平面向量的数量积求△APB 的面积．[解析] (1)由于ABCD 是平行四边形，所以A C →＝A B →＋A D →，于是A D →＝A C →－A B →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即A D →对应的复数是－2＋2i.(2)由于D B →＝A B →－A D →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即D B →对应的复数是5.(3)由于P A →＝12C A →＝－12A C →＝⎝⎛⎭⎫－12，－2， PB →＝12D B →＝⎝⎛⎭⎫52，0， 于是P A →·P B →＝－54，而|P A →|＝172，|PB →|＝52，所以172·52·cos ∠APB ＝－54， 因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717， 故S △APB ＝12|P A →||PB →|sin ∠APB＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52.[点评] (1)根据复数加减法运算的几何意义可以把复数的加减法运算转化为向量的坐标运算．(2)复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．一、选择题11．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] ∵z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，∴z ＝z 1－z 2＝3＋2i －(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i ＝2＋5i.∴点Z 位于复平面内的第一象限．故应选A.12．若复数(a 2－4a ＋3)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．3 C ．1或3 D ．－1[答案] B[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a ＋3＝0，a －1≠0.∴a ＝3.13．(2014·新乡、许昌、平顶山调研)复数z 1、z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m 、λ、θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－916，1]C ．[－916，7]D ． [916，1][答案] C[解析] ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ. ∴λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4(sin θ－38)2－916，∵sin θ∈[－1,1]，∴λ∈[－916，7]．二、填空题14．在复平面内，z ＝cos10＋isin10的对应点在第________象限． [答案] 三[解析] ∵3π<10<7π2，∴cos10<0，sin10<0，∴z 的对应点在第三象限．15．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是________________． [答案] 1[解析] 解法一：设z ＝a ＋b i ，(a ，b ∈R )， 则|(a －1)＋b i|＝|(a ＋1)＋b i|. ∴(a －1)2＋b 2＝(a ＋1)2＋b 2， 即a ＝0，∴z ＝b i ，b ∈R ，∴|z －1|m i n ＝|b i －1|m i n ＝(－1)2＋b 2， 故当b ＝0时，|z －1|的最小值为1. 解法二∵|z －1|＝|z ＋1|，∴z 的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y 轴，|z －1|表示，y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1.三、解答题16．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )，设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，求z 1、z 2.[解析] z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x 、y ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ， z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.*17.已知关于t 的方程t 2＋2t ＋2xy ＋(t ＋x －y )i ＝0(x 、y ∈R )，求使该方程有实根的点(x ，y )的轨迹方程．[解析] 设原方程的一个实根为t ＝t 0，则有(t 20＋2t 0＋2xy )＋(t 0＋x －y )i ＝0.根据复数相等的充要条件有⎩⎪⎨⎪⎧t 20＋2t 0＋2xy ＝0， ①t 0＋x －y ＝0， ② 把②代入①中消去t 0，得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故所求点的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.[点评] 因为t 0为实数，故根据复数相等的充要条件让实部与虚部分别为0，而要求的是点(x ，y )的轨迹方程，故应用代入消元法将t 0消去整理即可．。
高中数学选修2-2课时作业2：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
3．2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义一、基础达标1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于 ( )A ．0B ．32＋52i C ．52－52i D ．52－32i[答案] C[解析] z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2i ＝52－52i.2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3iC ．－1－iD ．－1－3i[答案] B[解析] z ＝4＋i －(3－2i)＝1＋3i. 3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于 ( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i[答案] C4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为 ( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i[答案] D[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋a ＝0b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1，∴a ＋b i ＝－2－i.5．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P 、Q ，则向量PQ →对应的复数是________． [答案] 3＋i[解析] ∵P (－1,0)，Q (2,1)， ∴PQ→＝(3,1)，∴PQ →对应的复数为3＋i. 6．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________． [答案] 1[解析] 由|z －2|＝|z ＋2|，知z 对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴．|z －1|表示z 对应的点与(1,0)的距离．∴|z －1|min ＝1. 7．计算：(1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i)； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i . (3)已知z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋2i ，求z 1＋z 2，z 1－z 2. 解 (1)(－7i ＋5)－(9－8i)＋(3－2i) ＝－7i ＋5－9＋8i ＋3－2i＝(5－9＋3)＋(－7＋8－2)i ＝－1－i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12i ＋(2－i)－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－32i ＝13＋12i ＋2－i －43＋32i＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋2－43＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋32i ＝1＋i. (3)z 1＋z 2＝2＋3i ＋(－1＋2i)＝1＋5i ， z 1－z 2＝2＋3i －(－1＋2i)＝3＋i. 二、能力提升8．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于 ( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i[答案] B[解析] 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z ＋3i ＝a ＋b i ＋3i ＝a ＋(b ＋3)i 为纯虚数， ∴a ＝0，b ＋3≠0，又|b |＝3，∴b ＝3，z ＝3i.9．复平面内点A ，B ，C 对应的复数分别为i,1,4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作▱ABCD ，则|BD →|等于( )A ．5B ．13C ．15D ．17[答案] B [解析] 如图，设D (x ，y )，F 为▱ABCD 的对角线的交点，则点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝4，y ＋0＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以点D 对应的复数为z ＝3＋3i ， 所以BD →＝OD →－OB →＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)， 所以|BD→|＝13. 10．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． [答案] 115＋3i[解析] 设这个复数为x ＋y i(x ，y ∈R ) ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝5＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 2＋y 2＝5y ＝3，∴⎩⎨⎧x ＝115y ＝3，∴x ＋y i ＝115＋3i.11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．解 ∵AC→＝BC →－BA →， ∴AC→对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．解 法一 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )， 则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分， ∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.法二 设D 点对应的复数为x ＋y i(x ，y ∈R )． 则AD→对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC→对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD→＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i. 三、探究与创新13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i. (1)求AB→，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ， BC→对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB→|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB→|2＋|AC →|2＝|BC →|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.。
2019版高中数学 第三章 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学案 新人教A版选修2-2
3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．知识点一 复数代数形式的加减法思考 类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i. 梳理 (1)运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i.(2)加法运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)． 知识点二 复数加减法的几何意义思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 答案 如图，设OZ 1→，OZ 2→分别与复数a ＋b i ，c ＋d i 对应，则OZ 1→＝(a ，b )，OZ 2→＝(c ，d )，由平面向量的坐标运算，得OZ 1→＋OZ 2→＝(a ＋c ，b ＋d )，所以OZ 1→＋OZ 2→与复数(a ＋c )＋(b ＋d )i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行． 思考2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？答案 z 1－z 2可以看作z 1＋(－z 2)．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行．所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z 1－z 2对应的向量(如图)．图中OZ 1→对应复数z 1，OZ 2→对应复数z 2，则Z 2Z 1→对应复数z 1－z 2.梳理1．两个虚数的和或差可能是实数．( √ )2．在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．( √ ) 3．复数的减法不满足结合律，即(z 1－z 2)－z 3＝z 1－(z 2＋z 3)可能不成立．( × )类型一 复数的加法、减法运算例1 (1)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，复数z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a ＝________. (2)已知复数z 满足|z |i ＋z ＝1＋3i ，则z ＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 (1)－1 (2)1＋43i解析 (1)z 1＋z 2＝(2＋i)＋(3＋a i)＝5＋(a ＋1)i ， 由题意得a ＋1＝0，则a ＝－1.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |i ＋z ＝x 2＋y 2i ＋x ＋y i ＝x ＋(x 2＋y 2＋y )i ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧x ＝1，x 2＋y 2＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝43，∴z ＝1＋43i.反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减． (2)当一个等式中同时含有|z |与z 时，一般用待定系数法，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )． 跟踪训练1 (1)若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝________. (2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i ＝________(a ，b ∈R )． (3)已知复数z 满足|z |＋z ＝1＋3i ，则z ＝________.考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则答案 (1)6－2i (2)－a ＋(4b －3)i (3)－4＋3i 解析 (1)∵z ＋i －3＝3－i ，∴z ＝6－2i. (2)(a ＋b i)－(2a －3b i)－3i＝(a －2a )＋(b ＋3b －3)i ＝－a ＋(4b －3)i. (3)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，|z |＝x 2＋y 2， ∴|z |＋z ＝(x 2＋y 2＋x )＋y i ＝1＋3i ，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＋x ＝1，y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3，∴z ＝－4＋3i.类型二 复数加、减法的几何意义例2 (1)如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别对应的复数为0，3＋2i ，－2＋4i.求：①AO →表示的复数； ②CA →表示的复数； ③OB →表示的复数．考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应解 ∵A ，C 对应的复数分别为3＋2i ，－2＋4i ，由复数的几何意义，知OA →与OC →表示的复数分别为3＋2i ，－2＋4i. ①因为AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－3－2i. ②因为CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. ③OB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.(2)已知z 1，z 2∈C ，|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝3，求|z 1－z 2|. 考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的模的问题解 根据复数加减法的几何意义，由|z 1|＝|z 2|知，以OA →，OB →为邻边的平行四边形OACB 是菱形． 如图，OA →对应的复数为z 1，OB →对应的复数为z 2，∴|OA →|＝|OB →|，OC →对应的复数为z 1＋z 2，∴|OC →|＝ 3. 在△AOC 中，|OA →|＝|AC →|＝1，|OC →|＝3， ∴∠AOC ＝30°.同理得∠BOC ＝30°，∴△OAB 为等边三角形，则|BA →|＝1，BA →对应的复数为z 1－z 2，∴|z 1－z 2|＝1. 引申探究若将本例(2)中的条件“|z 1＋z 2|＝3”改为“|z 1－z 2|＝1”，求|z 1＋z 2|. 解 如例2(2)图，向量BA →表示的复数为z 1－z 2， ∴|BA →|＝1，则△AOB 为等边三角形，∴∠AOC ＝30°， 则|OD →|＝32，∴|OC →|＝3，OC →表示的复数为z 1＋z 2，∴|z 1＋z 2|＝ 3.反思与感悟 (1)常用技巧①形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理；②数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中． (2)常见结论：在复平面内，z 1，z 2对应的点分别为A ，B ，z 1＋z 2对应的点为C ，O 为坐标原点． ①四边形OACB 为平行四边形；②若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为矩形； ③若|z 1|＝|z 2|，则四边形OACB 为菱形；④若|z 1|＝|z 2|且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则四边形OACB 为正方形．跟踪训练2 (1)已知复平面内的平面向量OA →，AB →表示的复数分别是－2＋i,3＋2i ，则|OB →|＝________. (2)若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i ，复数z 2－z 1所对应的点在第四象限上，则实数a 的取值范围是__________． 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数的加减法与向量的对应 答案 (1)10 (2)(－∞，1) 解析 (1)∵OB →＝OA →＋AB →，∴OB →表示的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i ， ∴|OB →|＝12＋32＝10.(2)z 2－z 1＝1＋(a －1)i ，由题意知a －1<0，即a <1.1．设z 1＝3－4i ，z 2＝－2＋3i ，则z 1－z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 D解析 ∵z 1－z 2＝5－7i ，∴z 1－z 2在复平面内对应的点位于第四象限．2．已知复数z 1＝(a 2－2)－3a i ，z 2＝a ＋(a 2＋2)i ，若z 1＋z 2是纯虚数，那么实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－2或1考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 C解析 由z 1＋z 2＝a 2－2＋a ＋(a 2－3a ＋2)i 是纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＋a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，得a ＝－2.3．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →表示的复数分别为－2＋i ，3＋2i,1＋5i ，则BC →表示的复数为( ) A ．2＋8i B ．4－4i C ．6－6iD ．－4＋2i考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 B解析 BC →＝OC →－OB →＝OC →－(AB →＋OA →)＝4－4i.4．设f (z )＝|z |，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2－i ，则f (z 1－z 2)等于( ) A.10 B ．5 5 C. 2D ．5 2考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 D解析 因为z 1－z 2＝5＋5i ，5．设平行四边形ABCD 在复平面内，A 为原点，B ，D 两点对应的复数分别是3＋2i 和2－4i ，则点C 对应的复数是__________．考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的综合应用 答案 5－2i解析 设AC 与BD 的交点为E ，则E 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－1，设点C 坐标为(x ，y )，则x ＝5，y ＝－2，故点C 对应的复数为5－2i.1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.一、选择题1．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 B解析 ∵z ＋(3－4i)＝1， ∴z ＝－2＋4i ，故z 的虚部是4.2．实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 A解析 z 1－z 2＝(y ＋x )＋(x －y )i ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴x ＝y ＝1，则xy ＝1.3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( ) A ．3B ．2精 品 试 卷C ．1D ．－1考点 复数加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 D解析 z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上， ∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.4．设复数z 满足关系式z ＋|z |＝2＋i ，那么z 等于( ) A ．－34＋iB.34－i C ．－34－iD.34＋i 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则 答案 D解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＋|z |＝(a ＋a 2＋b 2)＋b i ＝2＋i ，则⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝34，b ＝1，∴z ＝34＋i.5．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量正确的是( )考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 A解析 由图知z ＝－2＋i ，则z ＋1＝－1＋i ，由复数的几何意义可知，A 是正确的．6．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和z 1＋z 2为实数，差z 1－z 2为纯虚数，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝－3，b ＝－4 B ．a ＝－3，b ＝4 C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用 答案 A解析 因为z 1＋z 2＝(a －3)＋(4＋b )i 为实数， 所以4＋b ＝0，b ＝－4.因为z 1－z 2＝(a ＋4i)－(－3＋b i)＝(a ＋3)＋(4－b )i 为纯虚数， 所以a ＝－3且b ≠4.故a ＝－3，b ＝－4.7．在复平面内点A ，B ，C 所对应的复数分别为1＋3i ，－i ，2＋i ，若AD →＝BC →，则点D 表示的复数是( ) A ．1－3i B ．－3－i C ．3＋5iD ．5＋3i考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的综合应用 答案 C解析 ∵点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋3i ，－i,2＋i ， ∴BC →对应的复数为2＋2i.设D (x ，y )， ∵AD →＝BC →，∴(x －1，y －3)＝(2,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，y －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5.∴点D 表示的复数为3＋5i. 二、填空题8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________.考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 5－9i －8－7i解析 ∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y －4y ＋2x )＋(y －4x ＋5x ＋3y )i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i.9．设z ＝3－4i ，则复数z －|z |＋(1－i)在复平面内的对应点在第________象限． 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与点的对应 答案 三解析 因为z ＝3－4i ，所以|z |＝5，所以z －|z |＋(1－i)＝3－4i －5＋(1－i)＝－1－5i.复数z ＝－1－5i 在复平面内的对应点Z (－1，－5)位于第三象限． 10．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用 答案 ±23－2i解析 因为z ＋2i 是实数，可设z ＝a －2i(a ∈R )， 由|z |＝4得a 2＋4＝16， 所以a 2＝12，所以a ＝±23， 所以z ＝±23－2i.11.如图所示，在复平面内的四个点O ，A ，B ，C 恰好构成平行四边形，其中O 为原点，A ，B ，C 所对应的复数分别是z A ＝4＋a i ，z B ＝6＋8i ，z C ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z A －z C ＝________.考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法与向量的对应 答案 2－4i解析 因为OA →＋OC →＝OB →， 所以4＋a i ＋(a ＋b i)＝6＋8i. 因为a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋a ＝6，a ＋b ＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝6.所以z A ＝4＋2i ，z C ＝2＋6i ，所以z A －z C ＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i. 三、解答题12．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的运算法则解 因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2，所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)． 13．(1)若f (z )＝z ＋1－i ，z 1＝3＋4i ，z 2＝－2＋i ，求f (z 1－z 2)；(2)若z 1＝2cos θ－i ，z 2＝－2＋2isin θ(0≤θ≤2π)，且z 1＋z 2在复平面内对应的点位于第二象限，求θ的取值范围．考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的综合应用 解 (1)z 1－z 2＝(3＋4i)－(－2＋i)＝5＋3i ，f (z 1－z 2)＝f (5＋3i)＝(5＋3i)＋1－i ＝6＋2i.(2)z 1＋z 2＝(2cos θ－2)＋(2sin θ－1)i ，由题意得⎩⎨⎧2cos θ－2<0，2sin θ－1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ<22，sin θ>12.又θ∈[0,2π]，所以θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π6. 四、探究与拓展14．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( ) A ．3－2 2 B.2－1 C ．3＋2 2D.2＋1考点 复数加减法的几何意义及应用 题点 与加减法几何意义有关的模的问题 答案 D解析 |z 1－z 2|＝|(1－sin θ)＋(cos θ＋1)i| ＝(1－sin θ)2＋(1＋cos θ)2＝3＋2(cos θ－sin θ) ＝3＋22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4max ＝1，∴|z 1－z 2|max ＝3＋22＝2＋1.15．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，求：精 品 试 卷推荐下载 (1)点C ，D 对应的复数；(2)平行四边形ABCD 的面积．考点 复数加减法的几何意义及应用题点 与加减法几何意义有关的综合应用解 (1)因为向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，所以向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又OC →＝OA →＋AC →，所以点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为AD →＝BC →，所以向量AD →对应的复数为3－i ，即AD →＝(3，－1)．设D (x ，y )，则AD →＝(x －2，y －1)＝(3，－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3，y －1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝0.所以点D 对应的复数为5.(2)因为BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ，所以cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝210. 所以sin B ＝7210. 所以S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×7210＝7， 所以平行四边形ABCD 的面积为7.。
人教a版数学【选修2-2】备选练习：3.2.1复数代数形式的加减运算(含答案)
选修2-2 第三章 3.2 3.2.11．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根，则这个实根以及实数k 的值分别为__________________________和__________________________．[答案] ⎩⎨⎧ x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧ x 0＝－2，k ＝2 2.[解析] 方程的实根必然适合方程，设x ＝x 0为方程的实根，代入整理后得a ＋b i ＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x 0和k 的方程组，通过解方程组可得x 及k 的值．2．已知a ∈R ，z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？[分析] 根据复数与复平面上点的对应关系知，复数z 对应的点在第几象限，与复数z 的实部与虚部的符号有关，所以本题的关键是判断(a 2－2a ＋4)与－(a 2－2a ＋2)的符号．求复数z 对应点的轨迹问题，首先把z 表示成z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )的形式，然后寻求x 、y 之间的关系，但要注意参数限定的条件．[解析] 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，复数z 的虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限． 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)， 消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2(x ≥3)．∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)．[点评] 对于求复数z 的轨迹方程问题，关键是要设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，利用复数相等的充要条件转化为动点(x ，y )关于a 的参数方程，在消去参数a 时，注意观察到a 2－2a 是一个整体，这样可以简化消参数的过程．3．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．[解析] 因为z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i. 因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2.所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2.所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞)．4．已知z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β且z 1－z 2＝513＋1213i ，求cos(α＋β)的值． [解析] ∵z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β，∴z 1－z 2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝513＋1213i ， ∴⎩⎨⎧ cos α－cos β＝513 ①sin α＋sin β＝1213② ①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，即cos(α＋β)＝12. 5．设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，且4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，又ω＝sin θ－icos θ，求z 的值和|z －ω|的取值范围．[解析] ∵4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，∴6a ＋2b i ＝33＋i ，∴⎩⎨⎧ 6a ＝33，2b ＝1，∴⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12.∴z ＝32＋12i ， ∴z －ω＝⎝⎛⎭⎫32＋12i －(sin θ－icos θ) ＝⎝⎛⎭⎫32－sin θ＋⎝⎛⎭⎫12＋cos θi ∴|z －ω|＝⎝⎛⎭⎫32－sin θ2＋⎝⎛⎭⎫12＋cos θ2 ＝2－3sin θ＋cos θ＝2－2⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ ＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤1， ∴0≤2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤4 ∴0≤|z －ω|≤2，故所求得z ＝32＋12i ， |z －ω|的取值范围是[0,2]．。
【人教A版数学选修2-2】课时作业20
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6．在复平面内，复数 z＝sin3＋icos3 对应的点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解析：∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0， ∴z＝sin3＋icos3 在第四象限．
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7．已知复数 z 满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是( D )
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三、解答题 12．已知复数 z1＝3＋2i，z2＝－5－i，且 z1，z2 在复平面内 对应的点分别为 Z1，Z2，求过 Z1，Z2 两点的直线的斜率．
解：由题知 Z1(3,2)，Z2(－5，－1)，所以 kZ1Z2＝－ －15－ －23＝38 为所求直线的斜率．
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∴||zz||≤ ≥11， ， ∴|z|＝1. 由复数的模的几何意义知，复数 z 在复平面内对应的点的 轨迹是以原点为圆心，1 为半径的圆．
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4．在复平面内，O 为原点，向量O→A对应的复数为－1＋2i，
若点 A 关于直线 y＝－x 的对称点为 B，则向量O→B对应的复数为
( B)
A．－2－i
B．－2＋i
C．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ＋2i
D．－1＋2i
解析：∵A(－1,2)关于直线 y＝－x 的对称点 B(－2,1)，∴向 量O→B对应的复数为－2＋i.
A．5
B．2
C．7
D．3
2019-2020学年数学人教A版选修2-2作业与测评：3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义
∴z1－z2 在复平面内对应的点位于第一象限． 2．已知|z|＝3，且 z＋3i 是纯虚数，则 z 等于( )
A．－3i B．3i C．±3i D．4i
答案 B
解析 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，由 z＋3i＝x＋(y＋3)i 为纯虚数，得 x＝0，且 y≠－3，又|z|＝ x2＋y2＝|y|＝3，∴y＝3.故选 B.
－2i＝(3＋2)＋(4＋1－2)i＝5＋3i. 4．A，B 分别是复数 z1，z2 在复平面内对应的点，O 是原点，若
|z1＋z2|＝|z1－z2|，则三角形 AOB 一定是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 答案 B →→ OA OB 解析 根据复数加(减)法的几何意义，知以 ， 为邻边所作的
→→ AB·AD
→→
2 25
|AB||AD|
所以 cos∠DAB＝
＝
5
×
5＝ 25 .
11 5
因此 sin∠DAB＝ 1－cos2∠DAB＝ 25 .
于是平行四边形 ABCD 的面积
→→
11 5
AB AD S＝| || |sin∠DAB＝
5×5×
25
＝11.
x－32＋y＋42＝ x＋32＋y－42， 化简可得 3x－4y＝0， 所以复数 z 在复平面上对应点的轨迹是一条直线． 三、解答题 9．若 z∈C，且|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．
解 设 z＝x＋yi，x，y∈R，由|z＋2－2i|＝1，得|z－(－2＋2i) |＝1，表示以(－2,2)为圆心，1 为半径的圆，如图所示，则 |z－2－2i|＝ x－22＋y－22表示圆上的点与定点(2,2)的距离，由数 形结合得|z－2－2i|的最小值为 3.
2019年人教版高中数学选修2-23.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课后习题
答案 : C
2. 已知复数 z 满足 z+i - 3=3- i, 则 z 等于 ( )
A. 0
B.2i
C.6
D.6 - 2i
解析 : z=3- i - (i - 3) =6- 2i .
答案 : D
3. 若复数 z1=a-i, z2=- 4+bi, z1-z 2=6+i, z1+z2+z3=1( a, b∈ R), 则 z3 为 (
()
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C.等边三角形
D. 等腰直角三角形
解析 : 根据复数加 ( 减) 法的几何意义知 , 以为邻边所作的平行四边形的对角线相等 , 则 此平行四边形
为矩形 , 故三角形 OAB为直角三角形 .
答案 : B
6. 计算 ( - 1+2i) +(i +i 2) -| 1+2i |=
2019 年编·人教版高中数学
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
课时演练 · 促提升
A组
1. 已知 z1=2+i, z2=1- 2i, 则复数 z=z2-z 1 对应的点位于 (
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D. 第四象限
解析 : z=z2-z 1=(1 - 2i) - (2 +i) =- 1- 3i, 故 z 对应的点为 ( - 1, - 3), 在第三象限 .
△ABC的外心 .
答案 : A
3. 设纯虚数 z 满足 |z- 1- i |= 3, 则 z=
.
解析 : ∵z 为纯虚数 , ∴ 设 z=bi( b∈ R, 且 b≠ 0) .
最新整理人教A版高中数学选修2-2课时跟踪检测(二十) 复数代数形式的加、减运算及其几何意义.doc
课时跟踪检测（二十） 复数代数形式的加、减运算及其几何意义层级一 学业水平达标1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( )A ．z －1B ．z ＋1C ．－10＋18iD ．10－18i解析：选C 1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4解析：选B z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．4．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R)，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1解析：选D z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.5．设向量OP ――→，PQ ――→，OQ ――→对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( )A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0解析：选D ∵OP ――→＋PQ ――→＝OQ ――→，∴z 1＋z 2＝z 3，即z 1＋z 2－z 3＝0.6．已知x ∈R ，y ∈R ，(x i ＋x )＋(y i ＋4)＝(y －i)－(1－3x i)，则x ＝__________，y ＝__________.解析：x ＋4＋(x ＋y )i ＝(y －1)＋(3x －1)i∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4＝y －1，x ＋y ＝3x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝11. 答案：6 117．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝32＋42＝5.答案：58．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝43，则a ＋b ＝________. 解析：∵z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i]＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， 由复数相等的条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴a ＋b ＝3. 答案：39．计算下列各式．(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i ＝1 008－1 009i.10．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.解：∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8， ∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.层级二 应试能力达标1．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )A ．0B ．1 C.22 D.12解析：选C 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离即为22. 2．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量Z 1Z 2――→对应的复数为( )A ．3＋4iB ．5－2iC ．－2＋6iD ．2－6i解析：选D Z 1Z 2――→＝OZ 2――→－OZ 1――→，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋4i)＝2－6i.3．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA ――→，OB ――→对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD ――→对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i解析：选D 依题意有CD ――→＝BA ――→＝OA ――→－OB ――→.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，故CD ――→对应的复数为4－2i ，故选D.5．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|z |＝x 2＋y 2. ∴x ＋y i ＋x 2＋y 2＝2＋i.∴⎩⎨⎧ x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.∴z ＝34＋i. 答案：34＋i 6．在复平面内，O 是原点，OA ――→，OC ――→，AB ――→对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么BC ――→对应的复数为________．解析：BC ――→＝OC ――→－OB ――→＝OC ――→－(OA ――→＋AB ――→)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.答案：4－4i7．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求向量AB ――→，AC ――→，BC ――→对应的复数；(2)判断△ABC 的形状．(3)求△ABC 的面积．解：(1)AB ――→对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC ――→对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，AC ――→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.(2)∵|AB ――→|＝2，|BC ――→|＝10，|AC ――→|＝8＝22，∴|AB ――→|2＋|AC ――→|2＝|BC ――→|2，∴△ABC 为直角三角形．(3)S △ABC ＝12×2×22＝2.8．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，又ω＝sin θ－icos θ，求z 的值和|z －ω|的取值范围．解：∵4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝33＋i ，∴6a ＋2b i ＝33＋i ，∴⎩⎨⎧ 6a ＝33，2b ＝1，∴⎩⎨⎧ a ＝32，b ＝12.∴z ＝32＋12i ， ∴z －ω＝⎝⎛⎭⎫32＋12i －(sin θ－icos θ) ＝⎝⎛⎭⎫32－sin θ＋⎝⎛⎭⎫12＋cos θi ∴|z －ω|＝ ⎝⎛⎭⎫32－sin θ2＋⎝⎛⎭⎫12＋cos θ2 ＝2－3sin θ＋cos θ ＝ 2－2⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ＝ 2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤1， ∴0≤2－2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6≤4，∴0≤|z －ω|≤2， 故所求得z ＝32＋12i ，|z －ω|的取值范围是[0,2]．。
高中数学(人教A版选修2-2)课时作业321复数代数形式的加、减运算及其几何意义(DOC)
课时提升作业（二十二）复数代数形式的加、减运算及其几何意义［基础巩固训练分即中金I一、选择题（每小题3分，共18分）1. （2014 •昆明高二检测）实数x, y 满足z i =y+xi , Z2=yi-x，且z i-z 2=2，则xy 的值是（）A. 1B.2C.-2D.-1N + y = 2t【解析】选 A.z i-z 2二x+y+（x-y）i=2 ?（兀—y = °? xy=1.T T2. 在复平面内，向量朋对应的复数是2+i，则向量砧对应的复数在第______________ 象限（）A. 一B.二C.三D.四T T【解析】选C.向量昇」对应的复数为-2-i，所以向量亿1对应的复数在第三象限. 3. （2014 •西宁高二检测）在平行四边形ABCDK对角线AC与BD相交于点O,若T T T向量亿1,门"对应的复数分别是3+i , -1+3i，贝卩丿对应的复数是（）A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2iT T T T T【解析】选D.依题意有门m」-⑵;,而（3+i）-（-1+3i）=4-2i ,即门」对应的复数为4-2i.T —>【变式训练】在复平面内，向量对应的复数是2+i，向量川对应的复数是-1-3i , 则向量小对应的复数为（）C.3+4iD.-3-4iT A.1-2i B.-1+2i5. 复数 Z 1=1+icos 0 , Z 2=sin 0 -i ,则 |z 1-z 2| 的最大值为（）A.3-2 tB. t-1C.3+2t D>2+1 【解析】 选D.|z 1-Z 2|=|(1+icos 0 )-(sin 0 -i)| =、［l - W.L H 1；= \'、 2； I H-Jl i6. （2014 •丽江高二检测）A , B 分别是复数Z 1, Z 2在复平面内对应的点，O 是原点, 若 |Z 1+Z 2|=|Z 1-z 2|，则三角形 AOB-定是（）厂5叩「「丄.2=2 + 1 A.等腰三角形 C.等边三角形【解析】选D.向量 川对应的复数是2+i ，则；1对应的复数为-2-i ，因为门1=门5」. T 所以门对应的复数为（-1-3i ）+（-2-i ）=-3-4i. 4.（2014 •广州高二检测）已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的 向量正确的是（ ） 【解析】选A.由图可知z=-2+i ，所以z+仁-1+i ，贝卩复数z+1所对应的向量的坐 标为（-1 , 1）.故A 正确.B. 直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.根据复数加（减）法的几何意义，知以门」，门"为邻边所作的平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形.二、填空题（每小题4分，共12分）7. ______________________________________ 若复数z 满足z=|z|-3-4i ，贝S z= ________________________________________ .【解析】设复数z=a+bi（a , b€ R）,, ______ （7贝讥 b 4, 所以U —4,所以z=6-4i.7答案：兀-4i8. (2014 •成都高二检测)已知|z|=3，且z+3i是纯虚数，则z= _____________ . 【解析】设z=a+bi(a , b€ R),因为|z|=3，所以a2+b2=9.又w=z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i 为纯虚数，r a = 0, ( a = O f所以[b+ 3手0,即(方工-生又a2+b2=9,所以a=0, b=3,所以z=3i.答案：3i9. (2014 •重庆高二检测)已知z i=(3x+y)+(y-4x)i(x , y € R),Z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x , y € R).设z=z i-z 2,且z=13-2i ,贝U z i= ____________ ,【解析】z=Z1-z 2=[(3x+y)+(y-4x)i]-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=(5x-3y)+(x+4y)i 又z=13-2i ,f5x -3y = 13, ( x = 2f[x + 4ry=-2,解得(y 二—于是，z i=(3 x 2-1)+(-1-4 x 2)i=5-9i ,Z2=(-4-2 x 2)-(5 x 2-3 x 1)i=-8-7i.答案：5-9i -8-7i三、解答题(每小题10分，共20分)10. 设m€ R,复数z=(2+i)m -3(1+i)m-2(1-i).(1) 若z为实数，求m的值.⑵若z为纯虚数，求m的值.【解题指南】根据复数z为实数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出相应的m值.利用概念解题时，要看准实部与虚部.2 2【解析】z=(2m-3m-2)+(m -3m+2)i.(1)若z为实数，则m-3m+2=0,所以m=1或2.2m2 - 3m -2 = 0,⑵若z为纯虚数，则lm J-3m + 2^ 0,1解得m=--.【变式训练】实数k为何值时，复数(1+i)k 2-(3+5i)k-2(2+3i) 满足下列条件, (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.【解析】(1+i)k 2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k 2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0，即卩k=6或k=-1时，该复数为实数.⑵当k2-5k-6工0,即k工6且心-1时，该复数为虚数.k，— 5k — 6 O x ⑶当怕- 3k 一4 =①即k=4时，该复数为纯虚数.11. (2014 •太原高二检测)已知：复平面上的四个点A B, C, D构成平行四边形，顶点A, B，C对应复数-5-2i，-4+5i，2,求点D对应的复数.T T【解析】因为;1=少，所以Z A-Z B=Z D-Z C，所以Z D=Z A-Z B+z c=(-5-2i)-(-4+5i)+2=1-7i.即点D对应的复数为1-7i.用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数乙图①中点D对应的复数为3+7i，图②中点D对应的复数为-11+3i.故点D对应的复数为1-7i或3+7i或-11+3i.【误区警示】四个点A, B, C, D构成平行四边形，并不仅有D ABCD一种情况，应该还有□ABDCJH □ ACB测种情况.T T【变式训练】已知平行四边形ABCD中与川■■对应的复数分别是3+2i与1+4i , 两对角线AC与BD相交于O点.T(1)求」U对应的复数.⑵求川'对应的复数.(3)求厶AOB的面积.【解析】⑴ 由于四边形ABCD是平行四边形，所以；=川+川,T T —>T T T于是 An=Af.：^ / ；，而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i ,—>即对应的复数是-2+2i.T T T(2) 由于皿社山-」」\ 而(3+2i)-(-2+2i)=5, 即"〃对应的复数是5.(3) 由于刁, 云=孙=(瓠)T T § 于是U 丨•"」=-[,T 邑 T 5 而 I "5=，，I C|= 一，A/17 55所以」• — cos / AOB=-,因此 cos / AOB=^ ,4yl7故 sin / AOB=「, 1 T故 S A°=|O|| 门竹sin /AOB5 4碍52x=25即厶AOB 勺面积为了.T即门」=I 能力提升训练 a 3。
2019_2020学年高中数学课时分层作业19复数代数形式的加减运算及其几何意义含解析新人教A版选修2_2
课时分层作业(十九) 复数代数形式的加、减运算及其几何意义(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A ．75 B ．－115C ．－185D ．5B [(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝(－3a －2b )＋(b －a )i ＝3－5i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－3a －2b ＝3，b －a ＝－5，解得a ＝75，b ＝－185，故有a ＋b ＝－115.]2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3D ．－4B [z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.]3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．－1D [z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i. ∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上， ∴1＋a ＝0， ∴a ＝－1.]4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i 、－1＋3i ，则CD →对应的复数是( )A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2iD [依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ， 即CD →对应的复数为4－2i.故选D.]5．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [设z ＝x ＋y i ，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z －2－2i|的最小值为3.]二、填空题6．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.3 [由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0，解得a ＝3.]7．若z 1＝2－i ，z 2＝－12＋2i ，则z 1，z 2在复平面上所对应的点为Z 1，Z 2，这两点之间的距离为________．612[|Z 1Z 2→|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋122＋(－1－2)2＝612.] 8．若复数z 满足|z －i|＝3，则复数z 对应的点Z 的轨迹所围成的图形的面积为________． 9π [由条件知|z －i|＝3，所以点Z 的轨迹是以点(0,1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S ＝9π.]三、解答题9．在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．[解] 如图所示. AC →对应复数z 3－z 1， AB →对应复数z 2－z 1， AD →对应复数z 4－z 1.由复数加减运算的几何意义，得AD →＝AB →＋AC →，∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)， ∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.∴AD 的长为|AD →|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．[解] ∵z 1＝m 2＋m m ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )．所以m 的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．[能力提升练]1．复平面上三点A ，B ，C 分别对应复数1,2i,5＋2i ，则由A ，B ，C 所构成的三角形是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形A [|AB |＝|2i －1|＝5，|AC |＝|4＋2i|＝20，|BC |＝5，∴|BC |2＝|AB |2＋|AC |2.故选A. ]2．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C.22D.12C [由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，即为22.] 3．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________. 76－4i [设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76，b ＝－4，所以z ＝76－4i.]4．已知z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β且z 1－z 2＝513＋1213i ，则cos(α＋β)的值为________．12[∵z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β－isin β， ∴z 1－z 2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝513＋1213i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos α－cos β＝513 ①sin α＋sin β＝1213②①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，即cos(α＋β)＝12.]5．已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数； (3)求△APB 的面积．[解] (1)由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i ，即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5， 即DB →对应的复数是5.(3)由于PA →＝12CA →＝－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，PB →＝12DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，于是PA →·PB →＝－54，而|PA →|＝172，|PB →|＝52，所以172·52·cos∠APB ＝－54，因此cos∠APB ＝－1717， 故sin∠APB ＝41717，故S △APB ＝12|PA →||PB →|sin∠APB＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52.。
2019高中数学 课时分层作业20 复数代数形式的乘除运算 新人教A版选修2-2
课时分层作业(二十)复数代数形式的乘除运算(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题 1.＋3－2＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－iD [∵＋3－2＝＋－2i＝－1－i ，选D.]2．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )【导学号：31062225】A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋iC [z －1＝1＋ii＝1－i ，所以z ＝2－i ，故选C.]3．在复平面内，复数i 1＋i ＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [i 1＋i ＋(1＋3i)2＝12＋12i ＋(－2＋23i)＝－32＋(23＋12)i ，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，23＋12在第二象限．]4．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D ．45D [∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴z ＝53－4i＝＋－＋＝35＋45i. 故z 的虚部为45，选D.]5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( )A ．34 B ．43 C ．－43D ．－34A [∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i.z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝3t ＋4＋(4t －3)i ，又∵z 1·z 2∈R ，∴4t －3＝0，∴t ＝34.]二、填空题6. i 为虚数单位，若复数z ＝1＋2i2－i，z 的共轭复数为z ，则z ·z ＝________.【导学号：31062226】[解析] ∵z ＝1＋2i2－i＝＋＋－＋＝5i5＝i ， ∴z ＝－i ，∴z ·z ＝1. [答案] 1 7．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.[解析] ∵a ＋2ii＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝(b ＋i)i ＝－1＋b i ，∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1. [答案] 18．设复数z 1、z 2在复平面内的对应点分别为A 、B ，点A 与B 关于x 轴对称，若z 1(1－i)＝3－i ，则|z 2|＝________.[解析] ∵z 1(1－i)＝3－i ，∴z 1＝3－i1－i＝－＋－＋＝2＋i ，∵A 与B 关于x轴对称，∴z 1与z 2互为共轭复数，∴z 2＝z 1＝2－i ，∴|z 2|＝ 5.[答案]5三、解答题9．已知复数z ＝52－i .(1)求z 的实部与虚部；(2)若z 2＋m z ＋n ＝1－i(m ，n ∈R ，z 是z 的共轭复数)，求m 和n 的值． [解] (1)z ＝＋－＋＝＋5＝2＋i ，所以z 的实部为2，虚部为1.(2)把z ＝2＋i 代入z 2＋m z ＋n ＝1－i ， 得(2＋i)2＋m (2－i)＋n ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＋3＝1，4－m ＝－1.解得m ＝5，n ＝－12.10．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及z z.【导学号：31062227】[解] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，由已知得：(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3.得a ＝2，b ＝1，∴z ＝2＋i. ∴z z＝2＋i2－i ＝＋2－＋＝3＋4i 5＝35＋45i.[能力提升练]1．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－iA [∵z 1＝2＋i ，z 1与z 2关于虚轴对称， ∴z 2＝－2＋i ，∴z 1z 2＝－1－4＝－5，故选A.]2．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22D [A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．] 3．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________.【导学号：31062228】[解析] z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝a ＋＋9＋16＝3a ＋4a i ＋6i －825＝a －＋a ＋25，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －8＝0，4a ＋6≠0，∴a ＝83.[答案] 834．设x 、y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，则x ＋y ＝________.[解析]x1－i ＋y 1－2i ＝51－3i可化为， x＋2＋y＋25＝＋10，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋25y i ＝12＋32i ， 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 5＝12，x 2＋25y ＝32.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4. [答案] 45．设z 是虚数，ω＝z ＋1z是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z，证明u 为纯虚数.【导学号：31062229】[解] (1)因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0.所以ω＝z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i. 因为ω是实数且y ≠0， 所以y －yx 2＋y 2＝0，所以x 2＋y 2＝1， 即|z |＝1.此时ω＝2x . 因为－1＜ω＜2， 所以－1＜2x ＜2， 从而有－12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)证明：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，且y ≠0， 由(1)知，x 2＋y 2＝1， ∴u ＝1－z1＋z ＝1－x ＋y 1＋x ＋y＝－x －y＋x －y＋x2＋y2＝1－x 2－y 2－2y i ＋x 2＋y 2＝－y 1＋xi. 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，y ≠0， 所以y1＋x ≠0，所以u 为纯虚数．。
人教版数学高二A版选修2-2练习 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
第三章 数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义A 级 基础巩固一、选择题1．若z －3＋5i ＝8－2i ，则z 等于( )A ．8－7iB ．5－3iC ．11－7iD ．8＋7i解析：z ＝8－2i －(－3＋5i)＝11－7i.答案：C2．设m ∈R ，复数z ＝(2m 2＋3i)＋(m －m 2i)＋(－1＋2m i)，若z 为纯虚数，则m 等于( )A.12B ．3C ．－1D ．－1或3 解析：z ＝(2m 2＋m －1)＋(3＋2m －m 2)i ，依题意，2m 2＋m －1＝0，且3＋2m －m 2≠0，解得m ＝12. 答案：A3．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：z ＝z 1－z 2＝(3＋2i)－(1－3i)＝2＋5i ，在复平面内对应的点为(2，5)，故选A.答案：A4．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚线，则z 等于( )A ．－3B ．3C ．－3iD ．3i解析：设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则z ＋3i ＝x ＋(y ＋3)i.因为z ＋3i 是纯虚数，所以⎩⎨⎧x ＝0，y ＋3≠0，即⎩⎨⎧x ＝0，y ≠－3，又因为|z |＝x 2＋y 2＝3，所以x ＝0，y ＝3，即z ＝3i.答案：D5．复平面上三点A ，B ，C 分别对应复数1，2i ，5＋2i ，则由A ，B ，C 所构成的三角形是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形解析：由题易知|AB |＝|2i －1|＝5，|AC |＝|4＋2i|＝20，|BC |＝5，所以|BC |2＝|AB |2＋|AC |2.故选A.答案：A二、填空题6．在复平面内，若OA →、OB →对应的复数分别为7＋i 、3－2i ，则|AB →|＝________．解析：|AB →|＝|OB →－OA →|＝|－4－3i|＝（－4）2＋（－3）2＝5.答案：57．已知|z |＝4，且z ＋2i 是实数，则复数z ＝____________． 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＋2i ＝a ＋(b ＋2)i ，因为z ＋2i 是实数，所以b ＝－2，又|z |＝4，所以a 2＋b 2＝16，所以a ＝±2 3.所以z ＝±23－2i.答案：±23－2i8．在复平面内，复数z 1、z 2、z 的对应点分别为Z 1、Z 2、Z ，已知OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，z 1＝1＋a i ，z 2＝b －2i ，z ＝3＋4i(a ，b ∈R)，则a ＋b ＝________．解析：由条件知z ＝z 1＋z 2，所以(1＋a i)＋(b －2i)＝3＋4i ，即(1＋b )＋(a －2)i ＝3＋4i ，由复数相等的条件知，1＋b ＝3且a －2＝4，解得a ＝6，b ＝2，a ＋b ＝8.答案：8三、解答题9．计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]．解：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i ＝－1－8i.(2)5i －[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i －(4＋i)＝－4＋4i.10．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i ，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R)，设z ＝z 1－z 2＝13－2i ，求z 1，z 2.解：z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y )＋(y －4x )i －[(4y －2x )－(5x ＋3y )i]＝[(3x ＋y )－(4y －2x )]＋[(y －4x )＋(5x ＋3y )]i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ，又因为z ＝13－2i ，且x ，y ∈R ，所以⎩⎨⎧5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，所以z 1＝(3×2－1)＋(－1－4×2)i ＝5－9i ，z 2＝4×(－1)－2×2－[5×2＋3×(－1)]i ＝－8－7i.B 级 能力提升1．已知复数z 对应的向量如图所示，则复数z ＋1所对应的向量表示正确的是( )A B C D解析：由题图知，z ＝－2＋i ，所以z ＋1＝－2＋i ＋1＝－1＋i ，易知选A.答案：A2．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝____________． 解析：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则a ＝a 2＋b 2－3且b ＝－4，解得a ＝76，b ＝－4，所以z ＝76－4i.答案：76－4i3．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1，2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数；(2)判断△ABC 的形状；(3)求△ABC 的面积．解：(1)AB →对应的复数为(2＋i)－1＝1＋i.BC →对应的复数为(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i.AC →对应的复数为(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)可得：|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝22，所以|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2，所以△ABC 为直角三角形．(3)由(2)可知，三角形ABC 为直角三角形，∠A 为直角， 所以S ＝12|AB →||AC →|＝12×2×22＝2.。
人教新课标版数学高二人教A版选修2-2练习 3.2.1复数代数形式的加、减运算
3．2 复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．基础梳理1．复数的加法与减法．(1)复数的加、减法法则．(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i．即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．(2)复数加法的运算律．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数加、减法的几何意义．复数z 1，z 2对应的向量OZ1→，OZ 2→不共线． (1)复数加法的几何意义：复数z 1＋z 2是以OZ1→，OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．(2)复数减法的几何意义：复数z 1－z 2是连结向量OZ 1→，OZ 2→的终点，并指向被减向量所对应的复数．想一想：(1)类比绝对值|x －x 0|的几何意义，|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是什么？(2)若z 1＝－1＋2i ，z 2＝3－5i ，则z 1＋z 2＝________，z 1－z 2＝________． (1)解析：|z －z 0|(z ，z 0∈C)的几何意义是复平面内点Z 到点Z 0的距离． (2)解析：z 1＋z 2＝(－1＋2i)＋(3－5i)＝2－3i ，z 1－z 2＝(－1＋2i)－(3－5i)＝－4＋7i.答案：2－3i －4＋7i自测自评1．a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为(D )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i 2．|(3＋2i)－(4－i)|等于(B )A.58B.10 C ．2 D ．－1＋3i 解析：|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝（－1）2＋32.故选B.3．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则AOB一定是(B)A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形→，OB→为邻边所作的平行解析：根据复数加(减)法的几何意义，知以OA四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故△OAB为直角三角形．基础巩固1．已知复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(D)A．0 B．2iC．6 D．6－2i解析：z＝3－i－(i－3)＝6－2i.→和OB→，其中O为2．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量OA坐标原点，则|AB→|等于(B)A. 2 B．2C.10 D．4→＝OB→－OA→＝(1＋3i)－(1＋i)＝2i.解析：∵AB∴|AB→|＝2.3．(2014·昆明高二检测)实数x ，y 满足z 1＝y ＋x i ，z 2＝y i －x ，且z 1－z 2＝2，则xy 的值是(A )A ．1B ．2C ．－2D ．－1解析：z 1－z 2＝x ＋y ＋(x －y )i ＝2⇒⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0⇒xy ＝1.4．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________． 解析：设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则⎩⎨⎧a ＝a 2＋b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝76，b ＝－4， 所以z ＝76－4i.答案：76－4i能力提升5．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA→对应的复数为(D ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i解析：向量AB→对应的复数是2＋i ，则BA →对应的复数为－2－i ，因为CA →＝CB→＋BA →.所以CA →对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i. 6．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为(D )A ．3－2 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D.2＋1 解析：|z 1－z 2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝ （1－sin θ）2＋（1＋cos θ）2＝3－2（sin θ－cos θ）＝3＋22sin （θ－π4）≤3＋22＝2＋1.故选D.7．已知|z |＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝________． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z －2＋4i ＝(x －2)＋(y ＋4)i.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，y ＋4≠0，x 2＋y 2＝5，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1.所以z ＝2±i.答案：2±i8．如图，平行四边形顶点A ，B ，C 所对应的复数分别为i ，1，4＋2i(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)．(1)向量BA→对应的复数为____________；(2)向量BC→对应的复数为____________； (3)向量BD→对应的复数为____________； (4)点D 坐标是____________．答案：(1)－1＋i (2)3＋2i (3)2＋3i (4)(3，3)9．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．解析：因为z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，所以z 1＋z 2＝⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m －2＋(m 2－2m －15)i.因为z 1＋z 2是虚数，所以m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 所以m ≠5且m ≠－3且m ≠－2， 所以m 的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞)．10．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA→＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离． 解析：向量OA→＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA→＝OA→－OB→，∴向量BA→对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A，B两点间的距离为|－8－2i|＝（－8）2＋（－2）2＝217.。
2019-2020学年数学人教A版选修2-2作业与测评：3.2.2 复数代数形式的乘除运算
课时作业25 复数代数形式的乘除运算知识点一 复数的乘除运算1.设复数z ＝1＋i ，则z 2－2z 等于( )2A ．－3 B ．3 C ．－3i D ．3i答案 A解析 z 2－2z ＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i －2－2－2i ＝－3.22222．复数(1＋i)2(2＋3i)的值为( )A ．6－4iB ．－6－4iC ．6＋4iD ．－6＋4i答案 D解析 (1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.3．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )i1＋i 3A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析 ＋(1＋i)2＝i ＋＋1－3＋2ii 1＋i 312123＝－＋i ，对应点在第二象限.32(12＋23)知识点二 共轭复数4.若z ＝，则复数＝( )1＋2ii z A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i 答案 D解析 z ＝2＋＝2－i ，＝2＋i ，故选D.1i z 5．设z 的共轭复数是，若z ＋＝4，z ·＝8，则等于( )z z z zz A ．i B ．－i C ．±1 D ．±i答案 D解析 令z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )则Error!得Error!或Error!不难得出＝±i ，故选D.z z 6．复数z ＝的共轭复数是( )－3＋i2＋i A ．1－i B ．1＋i C ．－1＋i D ．－1－i答案 D解析 z ＝＝＝＝－1＋i ，所以其共轭－3＋i 2＋i (－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )－5＋5i5复数为＝－1－i.选D.z 知识点三 虚数单位i 的幂的周期性7.已知复数z 1＝＋i ，z 2＝－＋i ，则z ＝－z 1z 2＋i 5在复平面12321232内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 因为z 1＝＋i ，z 2＝－＋i ，所以z ＝－12321232(12＋32i )＋i 5＝1＋i ，所以复数z 在复平面内对应的点为(1,1)，位于(－12＋32i )第一象限．故选A.一、选择题1．已知复数z 满足(z －1)i ＝1＋i ，则z ＝( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i答案 C解析 z －1＝＝1－i ，∴z ＝2－i.1＋i i 2．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1024B ．1024C ．0D ．512答案 C解析 (1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.3．已知(i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝( )1＋a i1－i A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2答案 A解析 因为＝＝为纯虚数，所以1＋a i 1－i (1＋a i )(1＋i )(1－i )(1＋i )1－a ＋(1＋a )i 21－a ＝0且1＋a ≠0，得a ＝1.4．若a 为正实数，i 为虚数单位，＝2，则a ＝( )|a ＋i i |A ．2 B. C. D ．132答案 B解析 ∵＝(a ＋i)(－i)＝1－a i ，a ＋ii ∴＝|1－a i|＝＝2，解得a ＝或a ＝－(舍)．|a ＋ii |1＋a 2335．若集合A ＝{i ，i 2，i 3，i 4}(i 是虚数单位)，B ＝{1，－1}，则A ∩B 等于( )A ．{－1}B ．{1}C ．{1，－1}D ．∅答案 C解析 因为A ＝{i ，－1，－i,1}，B ＝{1，－1}，所以A ∩B ＝{1，－1}．二、填空题6．已知复数z ＝，是z 的共轭复数，则的模等于1－3i3＋i z z ________．答案 1解析 由z ＝＝＝＝－i ，得1－3i3＋i (1－3i )(3－i )(3＋i )(3－i )－4i 4||＝|z |＝|－i|＝1.z 7．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的θ＝________.答案 ＋k π，k ∈Zπ2解析 z 2＝(cos θ＋isin θ)2＝cos 2θ－sin 2θ＋2isin θcos θ＝cos2θ＋isin2θ＝－1.于是Error!所以2θ＝π＋2k π，k ∈Z ，所以θ＝＋k π，k ∈Z .π28．若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且为纯虚数，则实数a 的值为z 1z 2________．答案 83解析 ＝＝z 1z 2a ＋2i3－4i (a ＋2i )(3＋4i )9＋16＝＝，3a ＋4a i ＋6i －825(3a －8)＋(4a ＋6)i 25∵为纯虚数，∴Error!z 1z 2∴a ＝.83三、解答题9．计算＋2014＋.－23＋i1＋23i (21＋i )(4－8i )2－(－4＋8i )24＋3i 解 原式＝＋1007＋i (23i ＋1)1＋23i (22i )(4－8i )2－(4－8i )24＋3i＝i ＋(－i)1007＋04＋3i＝i ＋i ＋0＝2i.10．满足z ＋是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 5z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．解 存在．设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则z ＋＝x ＋y i ＋＝x ＋5z 5x ＋y i ＋i.5x x 2＋y 2(y －5y x 2＋y 2)由已知得Error!∵y ≠0，∴Error!解得Error!或Error!∴存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足以上条件．。
2019-2020学年高二数学人教A版选修2-2训练：3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义 Word版含解析
3.2复数代数形式的四则运算3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义课时过关·能力提升基础巩固1.(6-2i)-(3i+1)等于()A.3-3iB.5-5iC.7+iD.5+5i解析:(6-2i)-(3i+1)=(6-1)+(-2-3)i=5-5i.故选B.答案:B2.若复数z满足z+(3-4i)=1,则z的虚部是()A.-2B.4C.3D.-4解析:z=1-(3-4i)=-2+4i,所以z的虚部是4.答案:B3.在复平面内,已知点A对应的复数为2+3i,向量对应的复数为-1+2i,则向量对应的复数为A.1+5iB.3+iC.-3-iD.1+i解析:因为所以对应的复数为(2+3i)-(-1+2i)=(2+1)+(3-2)i=3+i.故选B.答案:B4.若z1=2+i,z2=3+a i(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1解析:z1+z2=2+i+3+a i=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a=0.∴a=-1.答案:D5.若在复平面内的▱ABCD中对应复数6+8i对应复数-4+6i,则对应的复数是A.2+14iB.1+7iC.2-14iD.-1-7i解析:设对应的复数分别为z1与z2,得2z2=2+14i,z2=1+7i,则--故对应的复数是-1-7i.答案:D6.已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的第象限.答案:一7.已知z1=1+a i,z2=2a-3i,z3=a2+i(a∈R),若z1-z2+z3是纯虚数,则a=.解析:由已知得z1-z2+z3=(1-2a+a2)+(a+4)i.因为z1-z2+z3是纯虚数,所以-解得a=1.答案:18.已知z是复数,|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z=.解析:设z=a+b i(a,b∈R),则a+b i+3i=a+(b+3)i是纯虚数,∴a=0,b+3≠0.又|z|=3,∴b=3,∴z=3i.答案:3i9.若|z-1|=1,试说明复数z对应点的轨迹.分析:解答本题可根据复数的减法和模的几何意义求解.解:根据复数的减法和模的几何意义,知|z-1|=1表示复数z对应的点到点(1,0)的距离为1, 所以复数z对应的点的轨迹是以点(1,0)为圆心,以1为半径的圆.10.已知z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,且z1-z求cos(α+β)的值.解:因为z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,所以z1-z2=(cos α-cos β)+(sin α+sin β所以-两式平方相加可得(cos α-cos β)2+(sin α+sin β)2=2-2(cos αcos β-sin αsin β)=2-2cos(α+β即2-2cos(α+β)=1,所以cos(α+β能力提升1.已知复数z复数z2=cos 60°+isin 60°,则z1+z2等于()A.1B.-1C答案:A2.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是则复数z1-z2=()A.-1+2iB.-2-2iC.1+2iD.1-2i解析:由题意,知z1=-2-i,z2=i,所以z1-z2=-2-2i,故选B.答案:B3.已知A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点.若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:因为|z1+z2|=|z1-z2|,所以由复数加减运算的几何意义知,以OA,OB为邻边的平行四边形是矩形,故△AOB是直角三角形.答案:B4.★已知z∈C,|z-2|=1,则|z+2+5i|的最大值和最小值分别是()A和和1C.和和3解析:由|z-2|=1知z对应的点在以(2,0)为圆心,半径为1的圆上,而|z+2+5i|=|z-(-2-5i)|表示z对应的点到点(-2,-5)的距离.而圆心(2,0)与(-2,-5)间的距离为故所求最大值为最小值为.答案:A5.★已知|z1|=1,|z2|=1,|z1+z2|则|z1-z2|=.解析:在平面直角坐标系内以原点O为起点作出z1,z2对应的向量则向量对应z1+z2对应z1-z2.由题意知可得∠OZ1Z=120°,所以∠Z2OZ1=60°,即△Z2OZ1是等边三角形.所以在△Z2OZ1中即|z1-z2|=1.答案:16.若复数z满足z-1=cos θ+isin θ,则|z|的最大值为.解析:因为z-1=cos θ+isin θ,所以z=(1+cos θ)+isin θ,故|z|即|z|的最大值为2.答案:27.★在复平面内,复数z1对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,设复数z2对应的点在以原点为圆心,半径为1的圆周上移动,求复数z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积.解:设ω=z1+z2,则z2=ω-z1,所以|z2|=|ω-z1|.因为|z2|=1,所以|ω-z1|=1.此式说明对于给定的z1,ω对应的点在以z1对应的点为圆心,1为半径的圆上运动.又z1对应的点在连接1+i和1-i对应的点的线段上移动,所以ω对应点的移动范围的面积为S=2×2+π×12=4+π,即复数z1+z2对应的点在复平面上移动的范围的面积是4+π.8.★已知复数z1=1-2i和z2=4+3i分别对应复平面内的A,B两点.求:(1)A,B两点间的距离;(2)线段AB的垂直平分线方程的复数形式,并化为实数表示的一般形式.解:(1)|AB|=|z2-z1|=|(4+3i)-(1-2i)|=|3+5i|(2)线段AB的垂直平分线上任一点Z到A,B两点的距离相等,设点Z对应的复数为z,由复数模的几何意义,知|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|.设z=x+y i(x,y∈R),代入上式,知|(x-1)+(y+2)i|=|(x-4)+(y-3)i|,即(x-1)2+(y+2)2=(x-4)2+(y-3)2.整理上式可得线段AB的垂直平分线的方程为3x+5y-10=0.所以线段AB的垂直平分线方程的复数形式为|z-(1-2i)|=|z-(4+3i)|,实数表示的一般形式为3x+5y-10=0.。
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)
2 a －2＋a＝0， 解析：由 z1＋z2＝a －2＋a＋(a －3a＋2)i 是纯虚数，得 2 a －3a＋2≠0
⇒ a＝－2. 答案：C 3．复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在( A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 )
解析：复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋ i，其对应的点为(9,1)，在第一象限． 答案：A → → 4．在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若向量OA、OB对应 → 的复数分别是 3＋i、－1＋3i，则CD对应的复数是( A．2＋4i C．－4＋2i B．－2＋4i D．4－2i )
课时作业 20
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
|基础巩固|(25 分钟，60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1．|(3＋2i)－(4－i)|等于( A. 58 C．2 D．－1＋3i B. 10 )
解析：|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝ 10. 答案：B 2．已知复数 z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若 z1＋z2 是纯虚数，那 么实数 a 的值为( A．1 C．－2 B．2 D．－2 或 1
所以 zA＝4＋2i，zC＝2＋6i， 所以 zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i. 答案：2－4i 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 9．计算： 3 (1)( 2－ 3i)＋－ 2＋ i＋1； 2 i 1 i 1 (2)－ － － － ＋i； 2 3 3 2 (3)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋3i)． 3 3 解析：(1)原式＝( 2－ 2)＋－ 3＋ i＋1＝1－ i. 2 2 1 1 1 1 1 1 (2)原式＝－ ＋ ＋－ － ＋1i＝ ＋ i. 6 6 3 2 2 3 (3)原式＝(5－2－3)＋[－6＋(－2)－3]i＝－11i. 10．在复平面内，A，B，C 三点对应的复数为 1,2＋i，－1＋2i. → → → (1)求向量AB，AC，BC对应的复数； (2)判定△ABC 的形状． → → → 解析：(1)OA＝(1,0)，OB＝(2,1)，OC＝(－1,2)， → → → ∴AB＝OB－OA＝(1,1)，对应的复数为 1＋i，
→ → → → 解析：依题意有CD＝BA＝OA－OB. 而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i， → 而CD对应的复数为 4－2i， 故选 D. 答案：D 5．|(3＋2i)－(1＋i)|表示( A．点(3,2)与点(1,1)之间的距离 B．点(3,2)与点(－1，－1)之间的距离 C．点(3,2)到原点的距离 D．以上都不对 解析：由减法的几何意义可知． 答案：A 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6．复数 z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为________． 解析：|z1－z2|＝|(cosθ－sinθ)＋2i| ＝ cosθ－sinθ2＋4 ＝ 5－2sinθcosθ ＝ 5－sin2θ≤ 6. 答案： 6 7．已知 x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则 x＝ ________，y＝________. 解析：x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i x＋4＝y－1， ∴ x＋y＝3x－1， 答案：6 11 x＝6， 解得 y＝11. )
8．如图所示，在复平面内的四个点 O，A，B，C 恰好构成平行四边形，其中 O 为原点， A， B， C 所对应的复数分别是 zA＝4＋ai， zB＝6＋8i， zC＝a＋bi(a， b∈R)， 则 zA－zC＝________.
→ → → 解析：因为OA＋OC＝OB. 所以 4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i. 因为 a，b∈R， 4＋a＝6， 所以 a＋b＝8， a＝2， 所以 b＝6.
解析：∵z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i 为实数， ∴4＋b＝0，b＝－4. ∵z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i 为纯虚数，∴a＝－3 且 b≠4.故 a＝－3，b＝－4. 答案：A 12． 设 z＝3－4i， 则复数 z－|z|＋(1－i)在复平面内的对应点在第________ 象限． 解析：∵z＝3－4i，∴|z|＝5. ∴z－|z|＋(1－i)＝3－4i－5＋(1－i)＝－1－5i. ∴该复数对应的点为(－1，－5)，在第四象限． 答案：四 13．已知 z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R)， 设 z＝z1－z2＝13－2i，求 z1，z2. 解析：z＝z1－z2 ＝(3x＋y)＋(y－4x)i－[(4y－2x)－(5x＋3y)i] ＝[(3x＋y)－(4y－2x)]＋[(y－4x)＋(5x＋3y)]i
＝(5x－3y)＋(x＋4y)i. 又∵z＝13解得 y＝－1，
→ → → AC＝OC－OA＝(－2,2)，对应的复数为－2＋2i， → → → BC＝OC－OB＝(－3,1)，对应的复数为－3＋i. (2)∵|AB|＝ 1＋1＝ 2，|AC|＝ －22＋22＝ 8， |BC|＝ －32＋1＝ 10， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形． |能力提升|(20 分钟，40 分) 11．复数 z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和 z1＋z2 为实数，差 z1－z2 为 纯虚数，则 a，b 的值为( A．a＝－3，b＝－4 C．a＝3，b＝－4 ) B．a＝－3，b＝4 D．a＝3，b＝4