泊松过程1
高数泊松方程
高数泊松方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高等数学中的泊松方程是一个非常重要的概念，它在物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
泊松方程是一个偏微分方程，它描述了一个标量函数的拉普拉斯算子（拉普拉斯算子是二阶空间导数的和）等于一个给定函数的情况。
泊松方程在物理学中的应用特别广泛，比如在电磁学中描述电势分布、在热传导中描述温度分布等等。
我们来看一下泊松方程的数学表达式：设函数u(x,y,z)在空间区域D内有定义，记\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}、\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} 、\frac{\partial^2 u}{\partial z^2} 分别为u对x、y、z的二阶偏导数，那么泊松方程可以表示为：其中f(x,y,z)是给定的函数。
可以看出，泊松方程是一个二阶偏微分方程，描述了一个标量函数的拉普拉斯算子等于一个给定函数的情况。
泊松方程在物理学中的应用非常广泛，其中最为著名的应用就是在电磁学中描述电势分布。
根据麦克斯韦方程组，电荷在空间中分布会产生电场，而电场又会引起电荷的移动，形成电流。
泊松方程可以描述电势分布，即描述电场的强度和方向。
通过求解泊松方程，我们可以得到电势分布的解析表达式，从而进一步推导出电场分布、电流分布等物理量。
另一个比较常见的应用就是在热传导中描述温度分布。
热传导是物体内部的热量传递过程，它遵循热传导方程。
如果我们知道物体表面的温度分布，可以通过泊松方程求解得到物体内部的温度分布。
这对于工程设计和热力分析非常重要，可以帮助我们优化散热结构，提高能效等。
除了电磁学和热传导，泊松方程还有很多其他的应用，比如在流体力学中描述流场的速度分布、在弹性力学中描述物体变形的表面位移等等。
泊松方程是一个非常重要且有着广泛应用的数学工具，它帮助我们理解和描述自然界中许多复杂的现象。
在实际应用中，泊松方程的求解并不是一件容易的事情。
泊松过程
(t ) D[ X (t )] D[ X (t ) X (0)] t
2 X
R X ( s, t ) E[ X ( s ) X (t )] E[ X ( s )( X (t ) X ( s ) X ( s ))] E[ X ( s )( X (t ) X ( s ))] E[( X ( s ))2 ] E[( X ( s ) X (0))(X (t ) X ( s ))] D[ X ( s )] E[ X ( s )]2 E[ X ( s ) X (0)]E[ X (t ) X ( s )] D[ X ( s )] E[ X ( s )]2 s (t s ) s (s ) 2 s (t 1)
从而W1的条件分布函数为
0 , s 0 s FW1| X (t )1 ( s) , 0st t 1 , s t
条件分布密度函数为
1 , 0st fW1| X (t )1 (s) t 0 ,
设{X(t), t0}是泊松过程， 已知在[0, t]内 事件A发生n次，则这n次事件的到达时间 W1< W2<< Wn的条件概率密度为
T1服从均值为1/的指数分布
t t
FT1 (t ) P T1 t 1 P T1 t 1 e
(2)n=2
P{T2>t| T1=s} = P{在(s, s+t]内没有事件发生| T1=s}
=P{X(s+t) -X(s)=0 | X(s) -X(0) =1} = P{X(s+t) -X(s)=0 }
等待时间Wn与时间间隔Tn均为随机变量
时间间隔Tn
设{X(t), t0}是参数为的泊松过程， {Tn,n1}是相应第n次事件A发生的时间间隔 序列，则随机变量Tn是独立同分布的均值 为1/的指数分布。
第3讲 第三章泊松过程(1)
g N (u ) E e
iuN t
e
t eiu 1
二. 时间间隔的分布与到达时间（等待时间） N(t) T4 一个样本：跃度 T3 为1 的阶梯函数 T2 T1 W1 W2 W3 W4 … t
Wn为第n个事件到达的时间(等待时间). Tn为第n个事件与第n－1个事件出现的时间间隔.
§3.2 泊松过程的性质 一.有限维分布、特征函数、布数字特征 N(t)的有限维分布：
对任意 0<t1 t2 , tn ,
N(t)的有限维分布为：
P X t1 k1 , X t2 k2 , , X t n k n
P X t1 k1 , X t2 X t1 k2 k1 ,, X t n X t n 1 k n k n 1
t1
k1 !
k1
e
t1
k
i i 2
n
t
ti 1
k1 ki 1
1
ki 1 !
e (ti ti 1 )
N(t)的特征函数： N (t ) ~ t
g N (u ) E e
iuN t
e
t eiu 1
0
s
t
显然，计数过程应满足： (1) N( 0)=0; (2) N( t ) 取非负整数值；
(3) 如果s < t，则N( s )≤N( t )；
(4) 对于s < t, N(t) －N(s)表示时间间隔(s, t]内事 件出现的次数.
定义3.2 若计数过程{N(t),t≥0}满足下述条件： (1) N(0)=0；
泊松分布的概念及表和查表方法
目录1命名原因2分布特点3关系4应用场景5应用示例6推导7形式与性质命名原因泊松分布实例泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布（法语：loi de Poisson，英语：Poisson distribution，译名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等），是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。
泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。
这个分布在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
分布特点泊松分布的概率函数为：泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为特征函数为关系泊松分布与二项分布泊松分布当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。
通常当n≧20,p≦时，就可以用泊松公式近似得计算。
事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。
应用场景在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位（在早期学界认为人类行为是服从泊松分布，2005年在nature上发表的文章揭示了人类行为具有高度非均匀性）。
应用示例泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。
泊松过程poisson
研究如何将泊松过程与其他 随机过程进行更有效的结合，
以更好地描述复杂现象。
探索如何利用机器学习方法改 进泊松过程的参数估计和模型 选择，以提高模型的预测能力
和解释性。
THANKS
泊松分布的性质
泊松分布具有指数衰减的性质， 即随着时间的推移，事件发生的
概率逐渐减小。
泊松分布的期望值和方差都是参 数λ（λ > 0），即E(X)=λ， D(X)=λ。
当λ增加时，泊松分布的概率密 度函数值也增加，表示事件发生
的频率更高。
泊松分布的应用场景
通信网络
泊松分布用于描述在一定 时间内到达的电话呼叫或 数据包的数量。
生物信息学中的泊松过程
在生物信息学中，泊松过程用于描述基因表达、蛋白质相互 作用等生物过程中的随机事件。例如，基因表达数据可以用 泊松过程来分析，以了解基因表达的模式和规律。
通过泊松过程，生物信息学家可以识别出与特定生物学功能 或疾病相关的基因，为药物研发和个性化医疗提供有价值的 线索。
06 泊松过程的扩展与展望
交通流量分析
泊松分布用于描述在一定 时间内经过某个地点的车 辆数量。
生物学和医学研究
泊松分布可以用于描述在 一定时间内发生的事件数 量，例如基因突变或细菌 繁殖。
04 泊松过程的模拟与实现
离散时间的模拟
01
定义时间间隔
首先确定模拟的时间区间，并将其 划分为一系列离散的时间点。
随机抽样
使用随机数生成器，在每个时间间 隔内随机决定是否发生事件。
有限可加性
在有限的时间间隔内，泊松过 程中发生的事件数量服从二项
分布。
与其他随机过程的比较
与马尔可夫链的比较
随机过程-4泊松过程性质1
• 定义2.12 如果随机变量X 的密度函数为
f
(
x)
e
x
,
x0
0, x 0
• 其中 > 0 为常数，则称 X 服从 参数为的 指数分布，记作X~Exp()
指数分布的密度函数图像：
y
1.4
1.2
f
(
x)
e x
,
x0
1
0, x 0
0.8
2.3.4 几何和指数随机变量的分布函数
指数分布的分布函数：
指数分布的密度函数为：f
(
x)
e
x
,
x0
0, x 0
当 x 0 时， F(x) P(X x) 0
当
x0
时， F ( x) P( X x)
x e t dt
0
e t
|0x
• 例 进入银行，你发现有3个营业员在服务客 户，而且没有其他人在排队等待。假设你 的服务时间和正在接受服务的客户的服务 时间都是具有相同参数的指数分布，且相 互独立。那么你是最后一个离开银行的概 率是多少？
• 答案是1/3.从你开始接受一名营业员服务的 那一刻算起，另两名正在接受服务的顾客 还需要的服务时间，与你所需的服务时间 具有相同的分布。另外两位顾客虽然比你 早接受服务，但由于泊松过程的无记忆性， 他们与你处于同一起跑线上，不算以前的 服务时间，三人所需的服务时间的分布是 相同的。所以你和其他2人具有相同的概率 最后离开银行。
fWn
(t)
e
t
(t)n1 , t
(n 1)!
泊松过程及例子1
泊松过程及例子1
泊松过程及例子1
泊松过程是一种在随机时间发生事件的数学模型。
它最初由法国数学家西蒙·德·拉普拉斯在十九世纪提出，并以法国数学家西姆恩·丹尼埃尔·泊松的名字命名。
泊松过程具有以下特点：
1.事件是独立发生的：泊松过程中的事件是独立发生的，也就是说先前事件的发生与后续事件的发生没有关系。
2.事件之间的间隔服从指数分布：泊松过程中事件之间的间隔时间服从指数分布，也就是说事件的发生是一个连续的过程。
3.事件发生的速率恒定：泊松过程中事件发生的速率在任何时间段内都是恒定的。
泊松过程适用于多种实际情况，例如：
2.交通事故：假设我们关注的是一个道路上的交通事故发生次数。
每个交通事故的发生时间可以建模为一个泊松过程，其中每个交通事故的发生时间是随机的，但其发生率是恒定的。
3.放射性衰变：放射性元素的衰变过程可以建模为一个泊松过程。
每个放射性衰变事件的发生时间是随机的，但其发生率是恒定的。
P(k;λ)=(λ^k*e^(-λ))/k!
其中，P(k;λ)表示在特定时间段内发生k个事件的概率，λ表示事件发生的速率，e是自然对数的底数。
P(2;10/小时)=((10/小时)^2*e^(-(10/小时)))/2!
总结起来，泊松过程是一个用于描述随机事件发生的数学模型。
它有一些重要的特点，包括事件的独立性、事件之间的间隔服从指数分布以及事件发生的速率恒定。
通过泊松过程，我们可以对事件的发生次数进行统计和预测，并将其应用于多个实际领域。
泊松方程的推导公式
泊松方程的推导公式泊松方程（Poisson’s equation）是描述二维或三维空间中电场、重力场、温度场等场的分布的一种微分方程。
它源于法国数学家西蒙·泊松（Siméon-Denis Poisson）的研究工作，因此得名。
∇²φ=f(x,y,z)其中，∇²是拉普拉斯算子（Laplace Operator），定义为二阶偏导数的和：∇²=∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²φ是待求解的标量场（例如电势、位势等），f(x,y,z)是给定的源项函数。
为了简洁起见，我们在以下推导中仅考虑二维空间的情况。
1.定义相关概念：- 梯度（Gradient）：标量场φ的梯度表示为∇φ，它是一个向量，指向标量场在每个坐标轴方向上的变化率最大的方向。
- 散度（Divergence）：向量场F的散度表示为∇·F，它是一个标量，描述向量场在每个坐标轴方向上的流动性。
- 斯托克斯定理（Stokes' theorem）：它表示对一个具有光滑边界Ω的区域进行曲面积分，等于该区域的边界曲线的环量积分，即∮∇×F·dS = ∬∇·FdA。
2.假设φ是一个具有连续二阶偏导数的标量场，可用泰勒级数展开：φ(x + h, y + k) = φ(x, y) + h∂φ/∂x + k∂φ/∂y +(1/2)h²∂²φ/∂x² + (1/2)k²∂²φ/∂y² + hk∂²φ/∂x∂y + O(h³, k³, hk², h²k)3. 考虑一个二维面积元素dA = dx dy，由斯托克斯定理可得：∮∇φ·dS=∬∇·∇φdA4.将标量场φ在上一步展开的泰勒级数中对面积元素dA求散度：∇·(∇φ)=∂²φ/∂x²+∂²φ/∂y²+O(h,k)5.根据泊松方程的定义可得：f(x,y)=∇·(∇φ)=∂²φ/∂x²+∂²φ/∂y²6.将泊松方程改写为：∇²φ=f(x,y)至此，我们得到了泊松方程的推导公式。
第三章 泊松(Poisson)过程
DN (t ) Var[ N (t )] t
E[
N (t ) ]. t
泊松过程的强度等于单位长时间间隔内发生的事件 数目的均值.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(2)
协方差函数:
C N ( s, t ) mins, t , s, t 0.
基础部张守成 2014年6月18日星期三
(1) 7时至9时为t(2,4],则由非齐次泊松过程的 性质可得7时至9时乘车人数的数学期望为
E[ N (4) N (2)] m(4) m(2)
( t )dt
2
4
(200 400t )dt 1400dt
2 3
3
4
由于Wn Ti , 利用矩母函数容易证明
i 1
n
Wn ~ (n, ), 即Wn具有概率密度
t ( t )n 1 ,t 0 e fWn ( t ) ( n 1)! 0 , t 0
基础部张守成 2014年6月18日星期三
二、泊松过程的推广
由于 N ( s, t ) N ( t ) N ( s) ~ ( (t s )) ， (1) E[ N (t ) N ( s )] Var[ N (t ) N ( s )] (t s ).
令 s 0, 根据假设 N (0) 0 可得
均值函数: 方差函数:
P Yn 2 0.4，P Yn 3 0.4， P Yn 4 0.1.
设X (t)表示 [0, t )时间内移民到该地的人口数， 求在五周内移民到该地人口数的的期望和方差.
X ( t ) Yn 是复合泊松过程, 解： 由Yn的分布律可得
随机过程3.3 泊 松 过 程(一)
(1)
平稳 增量
P0(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0,N(t+h)－N(t)=0｝
= P{N(t)=0} P{ N(t+h) － N(t)=0}
=P0(t)[1－λh+o(h)]
增量 独立
P0
(t
h) h
P0
(t
)
P0
(t
)
o(h) h
电子科技大学
令h 0, 得
§3.3 泊 松 过 程(一)
dP0 (t dt
)
P0 (t )
P0(0) 1, (条件(1) N (0) 0)
解得 p0 (t) et , t 0.
2o 当n≥1, 根据全概率公式有
pn (t h) pn (t) p0 (h) pn1(t) p1(h)
P{N (t ) 2} pk (t ) o(t ),
k2
其中λ＞0.
电子科技大学
§3.3 泊 松 过 程(一)
定义3.3.2 设计数过程{N( t ), t≥0} 满足： (1) N(0)=0; (2) 是平稳独立增量过程； (3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0；
Ti Wi1 Wi
定理3设.3{.2Tn, n≥1}是参数为λ的泊松过程{N(t),
t≥0}的时间间隔序列则，{Tn, n≥1}相互独立同服
从指数分布，
且E{T}=1/λ.
证 (1) 因 {T1>t }={(0, t )内事件A不出现}
P{T1>t}=P{N(t)=0}=e－λt
泊松过程及例子1
,
(t) n1
(n 1)!
积分得
eλtPn(t)=
+(ct.) n
n!
பைடு நூலகம்
由于Pn(0)=P{X(0)=n}=0, 因而c=0, 所以 Pn(t)=e-λt . (t)n
由条件(2)X(t)是独立、n! 平稳增量过程,故有
P{X(t+s)-X(s)=n}=e-λt ,(nt=)n0,1,2,…
n! 故定义3.3蕴涵定义3.2.
所以 P0 (t h)=-Pλ0 (Pt)0(t)+ .
h
o(h) h
令h→0取极限得 P’0(t)=-λP0(t) 或
=P0-(λt ). P0 (t)
积分得 lnP0(t)=-λt+C 即 P0(t)=ke-λt.
由于P0(0)=P{X(0)}=1, 代入前式得 P0(t)=e-λt. 类似地,对于n≥1,有
(t)k et
kn k!
t0
首页
于是 Wn 的概率密度为
f (t) F(t)
(t)k1 et (t)k et
kn (k 1)!
kn (k )!
(t)n1 et (t)k1 et (t)k et
(n 1)! kn1 (k 1)!
kn (k )!
et (t)n1
P1(t)=(λt+c)e-λt.
由于P1(0)=0, 代入上式得
以 假下设Pc用n={X-0数1(,t时P学+1有s归()t-结)纳X=论(法λst,)证证e=-nλ对明t}.=n: P有en-λ:(tt)=(,nt(=)enn0t-!)λ,n1t成,2立,…..
根 式据,有[[eeλλddddttttPPnn((tt))]]==λλeeλλttPn-1e(t-λ)((tn=t) n1n)1!!
无记忆的有序 泊松过程
无记忆的有序泊松过程
在数学中，有序的泊松过程（Ordered Poisson Process）作为一种无记忆过程，分布在生物学和可靠性，延迟故障检测，计算机科学，在多个学科中被广泛使用，其基本思想是没有明确的界定，用来解决不同学科和问题特定需要。
有序的泊松过程可以用来模拟不同事件之间的相互影响，例如，它可以用来模
拟火车到达火车站时客人进站数量的最大值。
另外，它也可以用来模拟声学事件，例如来自不同方向的声源和焰火，以及连续声音的多次重复。
此外，有序的泊松过程还可用来建模生物学中的某些事件，例如生物分子之间的碰撞和细胞的元素的合成。
有序的泊松过程也可以用来辅助分配资源，如表示能源分配的非均衡泊松过程。
此外，它也可以用于检测系统延迟故障，这是指一种由系统性和随机性变化引起的故障。
有序的泊松过程可以帮助分析这类故障对系统的影响。
总的来说，有序的泊松过程的几个方面都可以为多个学科中的各种问题提供解
决方案。
它很容易用来建模不同事件之间的相互影响，同时也可以用来研究系统的缺陷和抵抗故障的能力。
有序的泊松过程，再次向我们表明，研究复杂问题，会有更多具体的更有效的解决方案展现出来。
五点差分格式求解泊松方程的第一边值问题(可编辑)
五点差分格式求解泊松方程的第一边值问题（可编辑）五点差分格式求解泊松方程的第一边值问题摘要:给出了二维泊松方程在单位正方形上的五点差分格式。
并运用线性方程组的古典迭代解法??Jacobi迭代求解出在区域上的数值解。
最终绘制数值解的图形。
关键字:泊松方程五点差分格式 Jacobi迭代有限差分法的介绍有限差分法是求解偏微分方程的主要数值解法之一;其基本思想是把连续问题离散化,即对求解区域做网格剖分,用有限个网格点代替连续区域;其次将微分算子离散化,从而把微分方程组的问题化为线性方程组的求解问题,解方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。
差分法的步骤:1 对求解域做网格剖分2 插值函数的选择3 方程组的建立4 方程组的求解五点差分格式的构造二维泊松方程:在单位正方形上,在正方形边界上的边界条件.在正方形网格上,就是在上离散化,.对于N3如图1所示:图1沿方向分别用二阶中心差商代替2.12.21、2式相加可得差分方程:2.3利用Taylor展式可得差分算子的截断误差其中是方程2.3的光滑解。
由于差分方程2.3中只出现在及其四个邻点上的值见图1的中间的粗的点,所以称为五点差分格式。
由边界条件知道,因而2.3式确定了一组具有个未知量的个线性方程。
对应的系数矩阵为对称、不可约对角占优,且对角元为正,因而系数矩阵非奇异,且为对称正定阵。
三、方程组的求解我们已经知道,利用差分方法解椭圆型方程边值问题归结为解大型线性代数方程组的问题。
因为差分格式产生的大型线性代数方程组的系数矩阵中非零元素占的比例小,分布很有规律性。
而且通过数值线性代数的学习,我们知道对于大型的稀疏矩阵来说,迭代法是比较好的选择,其程序实现比较简单,迭代过程能自动校正计算过程中的偶然误差,要求计算机的存储相对较少。
本文采用了线性方程组古典迭代解法??Jacobi迭代求解由五点差分格式得到的线性方程组。
以下对Jacobi迭代作简要的介绍:给定3.1令3.2其中3.3那么3.1可以写成,3.4其中.若给定初始向量,并代入3.4的右端,就可以计算出一个新的向量,即,再把代入3.4的右端,又可以得到一个向量;依次类推有,.这就是Jacobi迭代格式.称为Jacobi迭代的迭代矩阵,称为常数项.四、算法及流程图1算法:输入整数NN可取自2n+1n1,2,3,…构成称数列中的任意数;误差要求e;最大迭代次数M。
华中刘次华的3-1泊松过程的定义
定义2可推出定义3 由 则
t s e t s , P N t N s k k!
k
k 0,1, 2,
P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0； P{N(h)≥2}=o(h).
h
证： PN (h) 1 P N (h) N (0) 1 ( h) e 1!
(1)
Po(t+h)=P{N(t+h)=0}=P{N(t)=0, N(t+h)－ N(t)=0｝ = P{N(t)=0} P{ N(t+h) － N(t)=0}
P0 t h P0 t o h P0 t h h dP0 t P0 t 令h 0, 得 dt 条件1N 0 0 P0 0 1, t 解得 p0 ( t ) e ,解放军电子技术学院 t 0.
t
( 2)
卢
当n=1, 则 d [e t P1 ( t )] t t t e P0 t e e dt P 0 0 1
d [e Pn (t )] et pn 1 (t ) dt
t
解得
p1 ( t ) te
卢
定义3可推出定义2
若{N( t ), t≥0} 满足： (1 )N(0)=0; (2) 是平稳独立增量过程； (3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0； (4) P{N(h)≥2}=o(h). 则齐次泊松过程{N( t ),t≥0}在时间间隔(t0, t0+t) 内事件出现n 次的概率为:
k
(3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0； (4) P{N(h)≥2}=o(h).
泊松分布1
p k ' ( t ) p k ( t ) p k 1 ( t ) 解 ,
得
( t )k t p k (t ) e 。 k!
结论成立。 由归纳法知，对一切k=0,1,2,…，结论成立。 ( t )k t 得证 P[N(t ) k ] e , k 0,1,2,。
2 泊松过程的基本性质
1.对任意t>0,N(t)～ (t),P{N(t)=k} 由泊松分布知
特别地,令t0 =0,由于假设N(0)=0,故可推知
泊松过程的均值函数和方差函数分别为
,即泊松过程的强度 λ (常数)等于
单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值.
2 泊松分布的一维特征函数
(u ) E[eiuN (t ) ] eiuk
(4) 对于充分小的
在泊松过程中,相应的质点流即质点出现的随机时刻称为强 度为 λ 的泊松流.
定义2 如果取非负整数值的计数过程{N(t),t0}满足： 1.N(0)＝0； 2.具有独立增量； 3.对任意0s<t,N(t)-N(s)服从参数为(t-s)泊松分布，
[ (t s)]k (t s ) P{N(t)- N(s) k} e , k 0,1, 2, k!
为一随机过程, 1.计数过程:设 如果N(t)是取非负整数值的随机变量,且满足s<t时, N(s) ≤N(t),则称 X T {N (t ), t T [0, )} 为计数过程(counting process). 若用N(t)表示电话交换台在时间[0,t]中接到 电话呼叫的累计次数,则{N(t) ,t≥0}就是一计数过程. 对电话呼叫次数进行累计的计数过程,这也就是计数 过程名称的由来.对 0≤s<t,N(t)-N(s)就表示在(s,t]中 发生的电话呼叫次数.
精品文档-随机过程——计算与应用(研究生)(冯海林)-泊松过程1
m!
n!
=P(Ns m)P(Nts Ns =n)
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
定理4.2.1 泊松过程的到达时间间隔 相互独立同服从参数为λ指数分布．
n, n 1, 2,
证明： t 0时，F（ 1 t） P{1 t}=P{T1 t}
1 P{T1 t} 1 P{Nt 0} 1 et
随机过程引论—西安电子科技大学数学与统计学院 冯海林
对0 t1 t2，以及充分小的i , (i 1, 2),有 P{t1 1 T1 t1 1, t2 2 T2 t2 2}
P{Nt11 0, Nt11 Nt11 1, Nt2 2 Nt11 0, Nt2 2 Nt2 2 1}
f 2
(t2
)，即
1、
独立.
2
类似可以证 1, 2 n , 独立且同服从参数为的指数分布.
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例1. 两个独立的泊松过程之和仍然是泊松过程.
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例4.1.1 上随机过程的教室A有两入口B和 C.
对时刻t 0,设从B口进入教室的学生人数为NtB , 从C口进入教室的学生人数为NtC ,并假设随机过程
每一种知识都需要努力， 都需要付出，感谢支持！
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知识就是力量，感谢支持！
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一一一一谢谢大家！！
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n
n1
0 P(s - u m1 mi s t u mi Tm u)dP(Tm u)
i 1
泊松分布的应用概要
泊松分布的应用泊松分布的应用摘要泊松分布是指一个系统在运行中超负载造成的失效次数的分布形式。
它是高等数学里的一个概念,属于概率论的范畴,是法国数学家泊松在推广伯努利形式下的大数定律时,研究得出的一种概率分布,因而命名为泊松分布。
作为一种常见的离散型随机变量的分布,泊松分布日益显示其重要性,成为概率论中最重要的几个分布之一。
服从泊松分布的随机变量是常见的,它常与时间单位的计数过程相联系。
在现实生活中应用更为广泛,如数学建模、管理科学、运筹学及自然科学、概率论等等。
并且在某些函数关系起着一种重要作用。
例如线性的、指数的、三角函数的等等。
本文对泊松分布产生的过程、定义和性质做了简单的介绍，研究了泊松分布的一些性质, 并讨论了这些性质在实际生活中的重要作用。
关键词：泊松过程；泊松分布；定义；定理；应用；一、 计数过程为广义的泊松过程1．计数过程设)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为一随机过程, 如果 t )( N 是取非负整数值的随机变量,且满足s < t 时, t)( s) ( N ≤,则称)} 0, [ T t , t)( {N X T ∞=∈=为计数过程。
将增量 t t 0 , t), t ( N ) t ( N - t)( N 000<≤∆=,它表示时间间隔 t), t [ 0内出现的质点数。
“在 t), t [ 0内出现k 个质点”,即k} t), t ( {N 0=是一随机事件,其概率记为 2 0,1, k , k} t), t ( P{N t), t ( P 00K ===总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程,而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。
2．泊松过程计数过程0} t , t)( {N ∈称为强度为λ的泊松过程,如果满足条件:(1)在不相重叠的区间上的增量具有独立性;(2)0 (0) N =;(3)对于充分小的, t)( O t 1} t) t t,( P{N t) t t,( P 1∆+∆==∆+=∆+λ其中常数0>λ,称为过程)(t N 的强度。
泊松方程的求解1非线性泊松方程离...
第三章一维PN结的模拟主要内容(3.2)-(3.8)为了能可靠地进行半导休器件的数值模拟，保证计算过程中不至于因数3．1．4方程的归一化4. 归一化边界条件：归一化以后的边界条件可写为，N(0) + p(0) –n(0) = 0(3.23a)N(L) + p(L) –n(L) = 0(3.23b)n(0) p(0) = 1(3.23c)n(L) p(L) = 1(3.23d)3.1基本方程及边界条件)23.3()(ln )()23.3()0(ln )0(f L p V L e n A −==ϕϕ3.2网格划分及差分离散3．2．1 有限差分法基本概念1．离散数值分析法：对函数所在区间分离成小区间后求值，故称离散分析过程。
其中包括有限差分法和有限元法。
有限差分法具有如下优点：♥差分格式简洁。
典型的是三点、五点和七点差分格式。
♥适于处理边界不太复杂的问题。
大多数半导体器件（如MOS器件、双极器件）的边界是简单的。
♥编制程序方便。
差分格式是规格化的，对半导体器件而言，只须列出器件内部格点和边界格点的为数有限的差分格式。
1721，按照通常的差分方法，中点分形式为，电流密度方程的差分离散(3.18)图3.3重新回到坐标系，以格点）代入式(3.27)，则可得到(3.27)2125(3.27c) 的求解可以有两种方法。
（方程：在求解方程时，认为n 方法的收敛速度，因此比前者应用(3.35c) 的具体形式为，(3.27c)(3.35c)(3.40)(3.40)二阶以上高次项，得3．3．4 电流连续性方程的求解将电位和空穴浓度视为固定值时，离散电子电流连续性方程(3.35a)重写为，由于产生复合项的影响，上式是关于n 的非线性方程，同样可以通过牛顿迭代法求解，n 的初值由非线性泊松方程的解根据式(3.47)得到。
类似地，由空穴电流连续性方程可求得空穴的分布。
3．3 PN 结稳态特性求解的非耦合法)48.3(0)]1(),(),1([(=+−K n K n K n F n (3.35a)3．4 PN结稳态特性求解的耦合法3．4．1 耦合法求解的基本思想1．基本思想非耦合的Gummel方法是建立在方程之间的弱耦合假设基础上的。
泊松表面重建1
实验 结果 (shíyàn)
叉八取，面表的景场建重法算建重面表松泊用采上础基的建重云点稀疏(xīshū)在
10。实验场景包括牛牛实验室，和图书馆。为度深树
实验室稀疏点云
共十九页
表面重建结果
实验 结果 (shíyàn)
图书馆稀疏(xīshū) 点云
表面重建结果
共十九页
总结(zǒngjié)
例图观直的(nàij ɡnòhz)建重松泊维二
共十九页
隐函数(hánshù)
创建一个指示函数来表示表面(biǎomiàn)模型
Mp 1 0
i i
fpM fpM
0பைடு நூலகம்
0
1
1 0
0 1
0
指示函数
M
共十九页
构造 指示函数 (gòuzào)
如何(rúhé)构造指示函数？
原始点集
指示函数
M
共十九页
构造 泊松方程 (gòuzào)
（3）基于隐式曲面重建法； （4）基于统计学重建法。
共十九页
三维场景表面 重建 (biǎomiàn)
整完到得难很也景场的富丰不理纹，理处散扩过经使即。均不布分、疏稀、大声噪，云点间空维三的成生像图由
洞孔充填理合、据数声噪滤过、构结扑拓的面表断推要需(ǎfgnāf)法方建重，在存的题问些这于由。云点密稠的 上以决解地效有以可法算建重面表松泊的出提等Michael Kazhdan而，等络网型模分划、据数样采整调、
。建重面表行进云点的出建重像图对现实来法算建重面表松泊用采此因。题问
东北大学信息楼
共十九页
体育馆
泊松表面 重建 (biǎomiàn)
隐函数 方法 (hánshù)
恒定电流场泊松方程
恒定电流场泊松方程
恒定电流场泊松方程（Poisson's Equation for Steady-State Electric Fields）是描述恒定电流场中电荷分布与电势之间关系的微分方程。
在静电场或恒定电流场中，没有电荷的积累或消失，因此电荷密度ρ是固定的。
泊松方程在这种情况下可以表示为：
∇²φ = -ρ/ε₀
其中：
∇²是拉普拉斯算子，表示二阶空间导数。
φ是电势。
ρ是电荷密度。
ε₀是真空中的介电常数。
这个方程描述了电势φ与电荷密度ρ之间的关系。
在恒定电流场中，电荷分布决定了电势的分布，而电势的分布又通过电场强度E（通过E = -∇φ定义）来影响电荷的运动。
泊松方程是麦克斯韦方程组在静电或恒定电流条件下的简化形式。
在更一般的情况下，麦克斯韦方程组描述了时变电磁场的行为，而泊松方程则专注于静态或恒定条件。
要解这个方程，通常需要知道电荷分布ρ的具体形式，以及可能存在
的边界条件（例如，在导体表面电势为零）。
然后，可以使用数值方法（如有限差分法、有限元法等）或解析方法（在特定几何形状和电荷分布下）来求解电势φ。
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2)
mN (t ) t ,
2
DN (t ) t ,
t 0 s, t 0
RN ( s, t ) st min( s, t ),
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1) 对t 0,
P(N t k ) P( Nt N0 k )
由定义
=P( Ns m)P( Nt s Ns =n)
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定理4.2.1 泊松过程的到达时间间隔 n , n 1, 2, 相互独立同服从参数为λ指数分布．
P{1 t}=P{T1 t} 证明： t 0时，F（ 1 t）
s s t
s
(t ) n (s t) e n!
(t )n (s t u ) 同理 P( s u T1 Tn s t u Tn 1 ) e n!
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P( Nt s N s n) (t )n (s t) s (t )n (s t u ) e e dP(Tk u ) 0 n! n! k 1
泊松过程定义 称随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊 松过程，如果它满足：
（ 1） N0 0 (2) 对任意的0 s t , 增量Nt -Nt 服从参数为
(t s)的泊松分布，即
( (t s))k e (t s ) P( Nt - N s k ) , k 0,1, 2, k!
P{Nt1 1 0, Nt1 1 Nt1 1 1, Nt2 2 Nt1 1 0, Nt2 2 Nt2 2 1}
[ (t1 1 )]0 (t1 1 ) (21 ) 21 e e 0! 1!
利用独立增量 [ (t2 2 t1 1 )]0 (t2 2 t1 1 ) (2 2 ) 2 2 e e 0! 1!
T3
Tn 1
Tn
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Hale Waihona Puke 易知计数过程的样本轨道是跳跃的、右连续的
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泊松过程是一类特殊的计数过程。
即如果一个计数过程满足一定的条件，这个计数过程 就是泊松过程。
泊松过程的定义（回顾）
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4 21 2e (t2 2 )
可得(T1 ,T2 )的联合密度为 2e t2 t1 t2 0 fT1 ,T2 (t1 , t2 ) , 其它 0
i 1 i 1
n
n 1
P( s T1 Tn s t Tn 1 ) P( s u k 1
s k 1 0
Tn s t u Tn 1 )dP(Tk u )
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其中,P( s T1 Tn s t Tn 1 )
t
n1
n!
0
x n e x dx
[t ]n e t n!
由此得到，对t 0, Nt 服从参数为t的泊松分布.
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对s,t 0,
P( Nt s N s n) P( N s k , Nt s k n)
(3)对任意的n 2, 及0 t0 t1 Ntn - Ntn-1 ,
tn , n个增量
, Nt1 - Nt0 是相互独立的.
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泊松过程的一维分布与数字特征 若随机过程N={Nt,t≥0}是参数为λ 的泊松过程，则
1)对t 0,N t 服从参数为t的泊松分布.
x0 x0
n 1 k 1
则利用Tn1 k 和 n的独立性，可得Tn k + n的密度函数为
fTn ( x) f n ( x u ) fTn1 (u )du
0
e
0
x
( x u )
n 1
(n 2)!
u n 2 e u du x0
n
(n 1)!
x n 1e x ,
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第n个随机点 的到达时刻
对t 0
P( Nt n) P(Tn t Tn1 )
P(Tn t ) P(Tn1 t )
Tn
t
t
n
(n 1)!
0
x n1e x dx-
3. 若Nt表示时刻t之前诞生的总人数，则{Nt,t≥0}为计数过 程 .是否为泊松过程？
可以用到达时间的间隔分布判断计数过程是否为泊松过程
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定理4.1.1 如果计数过程N c {Ntc : t 0}的到达时间间隔 序列{ n , n 1, 2, }是独立的、且同服从参数为 0的 指数分布，则该计数过程一定是参数为的泊松分布.
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一般地，如果Nt表示直到时刻t为止发生的某随机 事件总数, 则称实随机过程{Nt,t≥0}为计数过程. 计数过程的一些例子：
1. 若Nt表示直到时刻t为止进入某商店的人数, 则{Nt,t≥0}为计数过程. 2. 若Nt表示某球员在时刻t之前进球的个数，则{Nt,t≥0}为计数过程. 3. 若Nt表示时刻t之前诞生的总人数，则{Nt,t≥0}为计数过程. 4. 。。。。。。
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泊松过程的样本轨道是跳跃的、右连续的
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试思考或直观判断前述的计数过程例子是否为泊 松过程
1.若Nt表示直到时刻t为止进入某商店的人数, 则{Nt,t≥0}为
计数过程.是否为泊松过程？
2. 若Nt表示某球员在时刻t之前进球的个数，则{Nt,t≥0}为 计数过程.是否为泊松过程？
证 明 ： 显 然 计 数 过 程 满 足 泊 松 过 程 定 义 中 (1)， 以 下 验 证 (2)(3)即 可 .
由Tn
k 知， Tn 服从(n , ),即参数为(n, )的伽玛分布. k
1
n
密度函数为
n x n 1e x , fTn ( x) (n 1)! 0, x0 x0
E[( N s N 0 )( N t N s N s )] E[( N s N 0 )( N t N s )] E[ N s ]2
是独立增量
E[N s ]E[N t N s ] D N ( s ) (mN ( s )) 2 s ( t s ) s 2 s 2 2 st s 2 st min( s, t )
s 0 i 1 i 1
n
n 1
P( s - u T1 Tn s t u Tn 1 )dP(Tm u )
0
s
s
0
(t ) n ( s t u ) (u ) m 1 u e e du n! (m 1)!
( s ) m s ( t ) n t e e m! n!
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对s, t 0, 可证Nt s Ns与N s独立.
P( N s m, Nt s N s =n) P(Tm s Tn 1 Tm n s t Tm n 1 )
P( s - u m1 mi s t u mi Tm u )dP(Tm u )
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计数过程通常 满足： ① t , Nt 0
② Nt是非负整数
③ 0 s t , Nt . N s ④ 0 s t , Nt N s 表示时间间隔 t-s (或(s,t]) 内发生的随机事件数．
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(t )k e t ,k 0,1,2, k!
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2）由1）显然有 mN (t ) t , DN (t ) t , t 0. 又对s≥0, t ≥0,不妨设s≤t,则有 R N (s ,t ) E[N s N t ]
第四章 跳跃随机过程
直观讲：跳跃随机过程是指样本轨道存在跳跃点的随
机过程。
如计数过程、泊松过程、复合泊松过程、泊
松点过程等. 本章主要介绍泊松过程
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第四章 跳跃随机过程
内容包括 计数过程
泊松过程概念等
泊松过程的基本性质
泊松过程的进一步推广
本章作业：1，2，3，6，8，9
k 0
P(Tk s Tk 1 , , Tk n s t Tk n 1 )
k 0
P( s T1 Tn s t Tn 1 ) P(Tk s Tk k 1 Tk
s k 1 0
k i s t Tk k i Tk u )dP(Tk u )
(t )n (s t) s (t )n (s t u ) k e e u k 1e u du 0 n! n! (k 1)! k 1
(t )n (s t) (t )n (s t) s u e e e du 0 n! n! ( t ) n t e n!