2014-2015年福建省宁德市五校联考高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

2014-2015学年福建省宁德市五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知实数m是1和5的等差中项，则m等于（）A．B．C．3 D．±32．（5分）点（1，2）在不等式x+y﹣a＞0表示的平面区域内，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，﹣3）C．（3，+∞）D．（﹣3，+∞）3．（5分）在△ABC中，若AB=4，AC=3，A=30°，则S△ABC=（）A．3 B．6 C．3 D．64．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a4=6，则前5项和S5为（）A．5 B．6 C．15 D．305．（5分）已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．a2＞b2C．a3＞b3D．ac2＞bc26．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a：b：c=3：5：7，则△ABC中的最大内角为（）A．60°B．90°C．120° D．150°7．（5分）已知等比数列{a n}中，=2，a4=8，则a6=（）A．31 B．32 C．63 D．648．（5分）已知正实数a，b满足+=1，x=a+b，则实数x的取值范围是（）A．[6，+∞）B．{2，+∞）C．[4，+∞）D．[3+2，+∞）9．（5分）若不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）10．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，则a1+a9等于（）A．19 B．20 C．21 D．2211．（5分）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（）A．B．C．D．12．（5分）对于正项数列{a n}，定义G n=为数列{a n}的“匀称”值．已知数列{a n}的“匀称”值为G n=n+2，则该数列中的a10，等于（）A．2 B．C．1 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）不等式x（1﹣x）＞0的解集是．14．（4分）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为km．15．（4分）已知数列{a n}中，a1=2，a8=58，a n+1=a n+cn（c为常数），则c的值是．16．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，有下列结论：①若A＞B，则sinA＞sinB；②若c2＜a2+b2，则△ABC为锐角三角形；③若a，b，c成等差，则sinA+sinC=2sin（A+C）；④若a，b，c成等比，则cosB的最小值为．其中结论正确的是．（填上全部正确的结论）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）公差不为0的等差数列{a n}中，a1=3，a5=7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）若数列{b n}中，b n=2，求数列{b n}前n项的和S n．18．（12分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，2bsinC=c （Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，△ABC的面积为，求a，c的值．19．（12分）红旗化肥厂生产A、B两种化肥．某化肥销售店从该厂买进一批化肥，每种化肥至少购买5吨，每吨出厂价分别为2万元、1万元．且销售店老板购买化肥资金不超过30万元．（Ⅰ）若化肥销售店购买A、B两种化肥的数量分别是x（吨）、y（吨），写出x、y满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示）；（Ⅱ）假设该销售店购买的A、B这两种化肥能全部卖出，且每吨化肥的利润分别为0.3万元、0.2万元，问销售店购买A、B两种化肥各多少吨时，才能获得最大利润，最大利润是多少万元？20．（12分）如图：在平面四边形ABCD中，AB=3，AC=6，∠ACB=45°．（Ⅰ）求∠ACB的大小；（Ⅱ）若∠CAD=∠CBD=60°，求CD的长．21．（12分）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=4a n+3．（Ⅰ）试写出数列{a n}的前三项；（Ⅱ）求证：数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）设b n=log2（a n+1），记数列{}的前n项和为T n，求T n的取值范围．22．（14分）已知f（x）=x2﹣abx+2a2．（Ⅰ）当b=3时，（ⅰ）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，求实数a的值；（ⅱ）求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（2）＞0在a∈[1，2]上恒成立，求实数b的取值范围．2014-2015学年福建省宁德市五校联考高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知实数m是1和5的等差中项，则m等于（）A．B．C．3 D．±3【解答】解：因为实数m是1和5的等差中项，所以2m=1+5=6．则m=3，故选：C．2．（5分）点（1，2）在不等式x+y﹣a＞0表示的平面区域内，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，3）B．（﹣∞，﹣3）C．（3，+∞）D．（﹣3，+∞）【解答】解：∵点（1，2）在不等式x+y﹣a＞0表示的平面区域内，∴点（1，2）满足不等式成立，即1+2﹣a＞0，∴a＜3，即a的取值范围为（﹣∞，3）．故选：A．3．（5分）在△ABC中，若AB=4，AC=3，A=30°，则S△ABC=（）A．3 B．6 C．3 D．6===3．【解答】解：S△ABC故选：A．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2+a4=6，则前5项和S5为（）A．5 B．6 C．15 D．30【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a4=6，得2a3=6，a3=3．∴前5项和S5=5a3=5×3=15．故选：C．5．（5分）已知a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．B．a2＞b2C．a3＞b3D．ac2＞bc2【解答】解：对于选项A，当a＞0，b＜0时，不成立，对于选项B，当a=0，b=﹣2时，不成立，对于选项D，当c=0时，不成立，故选：C．6．（5分）已知△ABC的三边a，b，c满足a：b：c=3：5：7，则△ABC中的最大内角为（）A．60°B．90°C．120° D．150°【解答】解：根据题意设a=3k，b=5k，c=7k，且C为最大角，由余弦定理得：cosC===﹣，则△ABC最大内角C=120°，故选：C．7．（5分）已知等比数列{a n}中，=2，a4=8，则a6=（）A．31 B．32 C．63 D．64【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，由=2，a4=8，得，解得：．∴．故选：B．8．（5分）已知正实数a，b满足+=1，x=a+b，则实数x的取值范围是（）A．[6，+∞）B．{2，+∞）C．[4，+∞）D．[3+2，+∞）【解答】解：∵+=1，∴x=a+b=（a+b）（+）=2+1++≥3，（当且仅当=即b=，a=2+时，等号成立），故选：D．9．（5分）若不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，则k的取值范围是（）A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【解答】解：∵不等式x2+kx+1＜0的解集为空集，∴△=k2﹣4≤0，解得﹣2≤k≤2，∴k的取值范围是[﹣2，2]．故选：A．10．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，则a1+a9等于（）A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，∴a1+a9=S1+S9﹣S8=（1+1+1）+（81+9+1﹣64﹣8﹣1）=21．故选：C．11．（5分）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB把已知AC=，BC=2 B=60°代入可得，7=AB2+4﹣4AB×整理可得，AB2﹣2AB﹣3=0∴AB=3作AD⊥BC垂足为DRt△ABD中，AD=AB×sin60°=，即BC边上的高为故选：B．12．（5分）对于正项数列{a n}，定义G n=为数列{a n}的“匀称”值．已知数列{a n}的“匀称”值为G n=n+2，则该数列中的a10，等于（）A．2 B．C．1 D．【解答】解：∵G n=，数列{a n}的“匀称”值为G n=n+2，∴a1+2a2+3a3+…+na n=n（n+2），①∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n=（n﹣1）（n+1），②﹣1①﹣②，得na n=2n+1，∴a n=，n≥2，当n=1时，a1=G1=3满足上式，∴a n=，∴．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）不等式x（1﹣x）＞0的解集是（0，1）．【解答】解：∵不等式x（1﹣x）＞0可化为x（x﹣1）＜0，解得0＜x＜1，∴该不等式的解集是（0，1）．故答案为：（0，1）．14．（4分）一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为30km．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，可得出∠B=75°﹣30°=45°，在△ABC中，根据正弦定理得：=，即=，∴BC=30km，则这时船与灯塔的距离为30km．故答案为：3015．（4分）已知数列{a n}中，a1=2，a8=58，a n+1=a n+cn（c为常数），则c的值是2．【解答】解：在数列{a n}中，∵a n=a n+cn，+1∴a2=a1+c，a3=a2+2c，…a8=a7+7c，累加得：a8=a1+（c+2c+…+7c）==a1+28c，又a1=2，a8=58，∴58=2+28c，即c=2．故答案为：2．16．（4分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，有下列结论：①若A＞B，则sinA＞sinB；②若c2＜a2+b2，则△ABC为锐角三角形；③若a，b，c成等差，则sinA+sinC=2sin（A+C）；④若a，b，c成等比，则cosB的最小值为．其中结论正确的是①③④．（填上全部正确的结论）【解答】解：对于①，若A＞B，则a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，命题①正确；对于②，若c2＜a2+b2，则，说明C为锐角，但A，B不一定为锐角，△ABC不一定是锐角三角形，命题②错误；③若a，b，c成等差，则a+c=2b，结合正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，即sinA+sinC=2sin （A+C），命题③正确；对于④，若a，b，c成等比，则b2=ac，则cosB==，命题④正确．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）公差不为0的等差数列{a n}中，a1=3，a5=7．（Ⅰ）求数列{a n}的通项a n；（Ⅱ）若数列{b n}中，b n=2，求数列{b n}前n项的和S n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，（Ⅰ）根据题意得：，解得，∴a n=3+（n﹣1）×1=n+2；（Ⅱ）∵b n=2=2n，∴b1=2，则，∴数列{b n}是公比为2等比数列，∴．18．（12分）已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，2bsinC=c （Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=2，△ABC的面积为，求a，c的值．【解答】解：（Ⅰ）∵2bsinC=c，∴由正弦定理化简得：2sinBsinC=sinC，∵sinC≠0，∴sinB=，又∵B为三角形内角，∴B=60°；（Ⅱ）根据题意得b2=a2+c2﹣2accosB，acsinB=，把b=2，cosB=，sinB=，以及已知面积为代入得：a2+c2﹣ac=4，ac=4，解得：a=c=2．19．（12分）红旗化肥厂生产A、B两种化肥．某化肥销售店从该厂买进一批化肥，每种化肥至少购买5吨，每吨出厂价分别为2万元、1万元．且销售店老板购买化肥资金不超过30万元．（Ⅰ）若化肥销售店购买A、B两种化肥的数量分别是x（吨）、y（吨），写出x、y满足的不等式组；并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域（用阴影表示）；（Ⅱ）假设该销售店购买的A、B这两种化肥能全部卖出，且每吨化肥的利润分别为0.3万元、0.2万元，问销售店购买A、B两种化肥各多少吨时，才能获得最大利润，最大利润是多少万元？【解答】解：（Ⅰ）依题意，x、y满足的不等式组如下：，画出的平面区域（Ⅱ）设销售店出售这两种化肥的总利润为z万元，则目标函数为z=0.3x+0.2y，即y=﹣x+5z，5z表示过可行域内的点，斜率为﹣的一组平行线在y轴上的截距．联立，解得即M（5，20），当直线过点M（5，20）时，在y轴上的截距最大，即Z的最大值为0.3×5+0.2×20=5.5（万元），故销售店购买A、B两种化肥分别为5吨、20吨时，才能使利润最大，最大利润为5.5万元．20．（12分）如图：在平面四边形ABCD中，AB=3，AC=6，∠ACB=45°．（Ⅰ）求∠ACB的大小；（Ⅱ）若∠CAD=∠CBD=60°，求CD的长．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得：=，即=，整理得：sin∠ABC=1，则∠ABC=90°；（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠CAB=180°﹣90°﹣45°=45°，又∵∠CAD=∠CBD=60°，∴∠ABD=30°，在△ABD中，∠ADB=180°﹣105°﹣30°=45°，由正弦定理=得：AD==3，在△ABD中，由余弦定理得：CD2=AD2+AC2﹣2AD•AC•cos∠DAC=9+36﹣18=27，∴CD=3．21．（12分）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=4a n+3．（Ⅰ）试写出数列{a n}的前三项；（Ⅱ）求证：数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅲ）设b n=log2（a n+1），记数列{}的前n项和为T n，求T n的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵a1=3，a n+1=4a n+3，∴a1=3，a2=15，a3=63；（Ⅱ）∵，∴数列{a n+1}是公比为4的等比数列．∴，∴；（Ⅲ）∵b n=log2（a n+1）=，∴，∴=，∵是关于n（n∈N*）的单调递增函数，∴n=1时，；n→+∞时，T n→．∴T n的取值范围是．22．（14分）已知f（x）=x2﹣abx+2a2．（Ⅰ）当b=3时，（ⅰ）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，求实数a的值；（ⅱ）求不等式f（x）＜0的解集；（Ⅱ）若f（2）＞0在a∈[1，2]上恒成立，求实数b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当b=3时，f（x）=x2﹣abx+2a2=x2﹣3ax+2a2，（ⅰ）∵不等式f（x）≤0的解集为[1，2]时，∴1，2是方程x2﹣3ax+2a2=0的两根．∴，解得a=1．（ⅱ）∵x2﹣3ax+2a2＜0，∴（x﹣a）（x﹣2a）＜0，∴若a＞0时，此不等式解集为（a，2a），若a=0时，此不等式解集为空集，若a＜0时，此不等式解集为（2a，a）．（Ⅲ）f（2）=4﹣2ab+2a2＞0在a∈[1，2]上恒成立即b＜a+在a∈[1，2]上恒成立；又∵a+，当且仅当a=，即a=时上式取等号．∴b，实数b的取值范围是（﹣∞，）。