圆锥曲线韦达定理题例
中点弦问题(基础知识)
圆锥曲线的中点弦问题一：圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率；②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。
注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！1、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
例2、已知双曲线1222=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。
若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
例4、已知椭圆1257522=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。
∴所求椭圆的方程是1257522=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆13422=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
五、注意的问题（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
韦达定理的应用 讲义及练习
韦达定理的应用-教师版一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与 交于 ， 两点，设 ，证明：， ；分析:设直线 的方程为：，与抛物线联立得 ，利用韦达定理即可证得； 答案:见解析解析:设直线 的方程为：，联立方程化简得： ,易知 所以 ，而．点评:当直线恒过x 轴上的点时,可以考虑设直线方程为 这样联立方程消去x 比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆离心率为， ， 是椭圆的左、右焦点，以 为圆心， 为半径的圆和以 为圆心、 为半径的圆的交点在椭圆 上. (1)求椭圆 的方程；(2)设椭圆 的下顶点为 ，直线与椭圆 交于两个不同的点 ，是否存在实数使得以 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由. 解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为（2）由题意知 ，联立方程，整理得 ，（化简可得），①设，则，,设 中点为 ，>0∆(),0n由，知，所以点 的坐标为，因为 ，所以 ， 又直线 斜率均存在，所以 . 于是解得，即，将代入①，满足 ．故存在 使得以 为邻边的平行四边形可以是菱形，值为．例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2） 解析：（1）设所求双曲线方程为,代入点得，即 所以双曲线方程为，即. （2）.直线的方程为.设 联立得 满足 由弦长公式得点到直线的距离()2222:10,0x y C a b a b -=>>22162y x -=()2,3C C 12F F 、l 2F 34πl C ,A B 1F AB ∆2213y x -=1F AB S ∆=C 2262y x λ-=()2,3223262λ-=12λ=-C 221622y x -=-2213y x -=()()1220,20F F -，，AB ()2y x =--()()1122,,,A x y B x y ()222 13y x y x =---=⎧⎪⎨⎪⎩22470x x +-=0.∆>AB =6==()120F -，:20AB x y +-=d ==所以 点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ，且长轴长为8． Ⅰ 求椭圆的方程；Ⅱ 直线 与椭圆相交于 ， 两点，求弦长 ．解析: Ⅰ 椭圆的中心在原点，焦点为 ， ， ， ， 且长轴长为 故要求的椭圆的方程为Ⅱ 把直线 代入椭圆的方程化简可得 ，，，弦长例3:已知双曲线的左右两个顶点是,,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点， （1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） . 解析:（1）由已知 ，设 则直线 ，直线， 两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在，111622F AB S AB d ∆=⋅=⋅⋅=22:14x C y -=1A 2A C ,P Q x 1A P 2A Q M M D ()0,2E D ,A B EA EB λ=λ2214x y +=1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦()()122,0,2,0A A-.,P t Q t ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭)1:2A P y x =+)2:2A Q y x =-()22144y x -=-2214xy +=M D 2214x y +=()0,2E 13λ=k ()()1122,,,A x y B x y， 则 由（2）（4）解得代入（3）式得 ， 化简得，由（1）解得代入上式右端得，,解得, 综上实数的取值范围是. 规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程； （2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1）∵，∴ （2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理：联立： 得： ，()222221416120440y kx k x kx x y ⎧⎨⎩=+⇒+++=+-=()()()()122122120116214123144k x x k x x k x x λ∆≥+=-+=⎧⎪⎪⎨+=⎪⎪⎪⎪⎩12,x x ()2222161214141k k k λλ-⎛⎫⋅= ⎪++⎝⎭+()22314641k λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+0∆≥234k ≥()2311641λλ<≤+133λ<<1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()1,0C y x m =-+y P C ,Q R 2PQ PR=m 2,1,2,e a c b ====22:13y C x -=Q Q x P P x 2Q Px PQ PRx ==22{33y x m x y =-+-=222230x mx m +--=，则或（舍）与实际情况不符故三.课堂练习 强化技巧1.已知椭圆过，且离心率为. （1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2. 解析（Ⅰ）解：由已知得解之得，a =2，b，c =1.所以椭圆方程为:（Ⅱ）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x 得， 所以①所以 ② 将①带入②,化简得:当直线斜率不存在时，A (1, －)，B (1, )，,P Qx =2QP x x ===21,1m m ==1m =-1m =2222:1(0)x y C a b a b +=>>31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭12e =C F l ,A B D ()4,3,DA DB 22143x y +=,DA DB 222221911,,42c a b c a b a +===+22143x y +=()()1122,,,Ax y B x y ()1,0F l ()1y k x =-221{ 43x y y kx k+==-()222223484120k x k x k +-+-=221212228412,4343k k x x x x k k -+==++121212121233333333=2444444DA DB y y kx k kx k k k k k k x x x x x x --------+=+=+++------()()()1212121281=233=2334+1+14+6x x k k k k x x x x x x ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭2DA DB k k +=l 32322DA DB k k +=所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点（1，）在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△AF 2B 的面积为，求以F 2为圆心且与直线l 相切的圆的方程。
韦达定理在圆锥曲线中的应用
计算题1. 已知直线：与椭圆：交于，两点，与直线：交于点。
（1）证明：与相切。
（2）设线段的中点为，且，求的方程。
2. （本小题满分12分）已知点，，动点满足条件，记动点的轨迹为。
（1）求的方程。
（2）若，是上的不同的两点，是坐标原点，求的最小值。
3. （本小题满分14分）已知直线经过椭圆：（）的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线、与直线：分别交于、两点，（1）求椭圆的方程；（2）确定线段的长度的最小值；（3）当线段的长度取最小值时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定的个数；若不存在，请说明理由。
4. （本小题满分12分）已知椭圆：（）的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点。
（1）求椭圆的方程；（2）若直线的斜率存在且与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点，求到直线的距离。
5. （本小题满分12分）已知椭圆的方程为（），称圆心在坐标原点，半径为的圆为椭圆的“伴随圆”，椭圆的短轴长为，离心率为。
（1）求椭圆及其“伴随圆”的方程；（2）若直线与椭圆交于，两点，与其“伴随圆”交于，两点，当时，求面积的最大值。
6. （本小题满分14分）已知椭圆：（，）的右准线的方程为，短轴长为。
（1）求椭圆的方程；（2）已知定点，若直线（）与椭圆交于、两点，问：是否存在的值，使以为直径的圆过点？请说明理由。
7. （本小题满分13分）已知椭圆：（）的离心率，并且经过定点。
（1）求椭圆的方程；（2）问是否存在直线，使直线与椭圆交于点、，满足。
若存在，求的值，若不存在，请说明理由。
8. （本小题满分14分）如图，已知椭圆（）的离心率为，、为其左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，的周长为。
（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值（为坐标原点）；（3）直线也过且与椭圆交于、两点，且，设线段、的中点分别为、两点，试问：直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。
9. 已知以坐标原点为圆心的圆与抛物线：（）相交于不同的两点，，与抛物线的准线相交于不同的两点，，且。
学科素养专题9 圆锥曲线中韦达定理的整体应用
大一轮复习·数学·BSD（文）
[典例 1] 设不过点 P(0,1)的直线 l 与椭圆 C：x42＋y2＝1 交于 A，B 两点，若直线 PA 与直线 PB 的斜率之和为－1，证明：直线 l 过定点．
证明：当直线 l 垂直于 y 轴时，直线 PA 与直线 PB 的斜率的 和为 0，不符合题意，故可设直线 l 的方程为 x＝my＋n，直线 l 不过 P(0,1)，故 m＋n≠0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠0，x2≠0，
大一轮复习·数学·BSD（文）
则 kPA＝y1x－1 1，kPB＝y2x－2 1. 直线 l 的方程可改写为m＋x n－mmy＋－n1＝1，椭圆 C 的方程可 改写为 x2＋4(y－1)2＋8(y－1)＝0，两者联立，可得 x2＋4(y－1)2 ＋8(y－1)·m＋x n－mmy＋－n1＝0，x≠0 时，整理可得4mn－＋4nmy－x 1 2＋m＋8 n·y－x 1＋1＝0①
k1k2＝yx2020－ －88＝24－y20－ 2y208－8＝－12.
大一轮复习·数学·BSD（文）
应用三 共线线段比问题 设 P，Q 是不在圆锥曲线上的两点，过 P，Q 两点的直线交 圆锥曲线于 A，B 两点，满足P→A＝λ1A→Q，P→B＝λ2B→Q，可以考虑用 韦达定理处理一些有关系数 λ1，λ2 的问题．
由M→A＝λ1A→F知 x1＝12＋λ1λ1，y1＝1＋y0λ1. 又点 A 在椭圆 x2＋5y2＝5 上，则1＋2λ1λ12＋51＋y0λ12＝5，
大一轮复习·数学·BSD（文）
整理得 λ12＋10λ1＋5－5y20＝0. 由M→B＝λ2B→F同理得 λ22＋10λ2＋5－5y20＝0. 由于 A，B 不重合，则 λ1≠λ2，故 λ1，λ2 是二次方程 λ2＋10λ ＋5－5y02＝0 的两根．由韦达定理可得 λ1＋λ2＝－10，为定值．
高中数学圆锥曲线系统讲解第19讲《韦达定理之设而不求》练习及答案
第19讲 韦达定理之设而不求知识与方法在圆锥曲线的大题中，将直线与圆锥曲线的方程联立，消去y （或x ）整理得出关于x （或y ）的一元二次方程是常规操作，如果设直线与圆锥曲线的交点分别是()11,A x y 、()22,B x y ，很多时候我们都不去求这两个交点的坐标，而是直接根据交点坐标会满足上面得到的关于x （或y ）的一元二次方程，借助韦达定理来计算其他需要用到的量，这种处理方法叫做设而不求.一般地，若联立后得到的关键方程用20ax bx c ++=()0a ≠来表示，其判别式24b ac ∆=−，则：（1）12b x x a+=−；（2）12c x x a=；（3）12x x a−==；（4）()2222121212222b ac x x x x x x a −+=+−=；（5）12121211x x bx x x x c++==−.借助韦达定理及其推论，我们可以计算很多关于1x 和2x 的具有对称结构的代数式. 典型例题1.（★★★）设A 、B 为曲线2:4x C y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4.（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程.【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=，且21122244x y x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，两式作差得：()()()1212124x x x x y y +−=−，所以12121214y y x x x x −+==−，故直线AB 的斜率为1. （2）解法1：设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2x y '=，由（1）可得，012x =，故02x =，所以()2,1M ，设直线AB 的方程为y x t =+，联立24yx tx y ⎧⎨==+⎩消去y 整理得：2440x x t −−=，判别式16160t ∆=+>，故1t >−，由韦达定理，124x x +=，124x x t =−，1212242y y x x t t +=++=+，2212124x x y y t ⎛⎫== ⎪⎝⎭()112,1MA x y =−−，()222,1MB x y =−−，因为AMBM ⊥，所以0MA MB ⋅=，即()()()()()()2121212121212221125484250x x y y x x x x y y y y t t t −−+−−=−++−++=−−+−−+=解得：7t =或1−（舍去），所以直线AB 的方程为7y x =+.解法2：设200,4x M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2x y '=，由（1）可得，012x =，故02x =，所以()2,1M ，设直线AB 的方程为y x t =+，联立24yx tx y ⎧⎨==+⎩消去y 整理得：2440x x t −−=，判别式16160t ∆=+>，故1t >−，由韦达定理，124x x +=，1212242y y x x t t +=++=+， 所以AB 中点为()2,2N t +，故211MN t t =+−=+而12AB x x =−==，因为AM BM ⊥，所以2AB MN =，故()21t =+，解得7t =或1−（舍去），所以直线AB 的方程为7y x =+.2.（★★★★）已知抛物线2:2C y px =过点()1,1P ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M 、N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为原点. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.【解析】（1）将点()1,1代入22y px =解得：12p =，故抛物线C 的方程为2y x =，其焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14x =−.（2）设直线l 的方程为12y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y将2y x =代入12y kx =+消去x 整理得：22210ky y −+=()0k ≠判别式()22420k ∆=−−⨯>，所以12k <且0k ≠，由韦达定理，121y y k +=，1212y y k=，直线AB 的方程为1x x =，直线OP 的方程为y x =，直线ON 的方程为22y y x x =联立1x x y x =⎧⎨=⎩，解得：1y x =，所以1A y x =，联立122x x y y xx =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：122x y y x =，所以122B x y y x = 故()122212212121221221122112112222222222M BA x y y y y y y y y y y x x y x y y y y y x x y x x x x x ++−+++−−=−=−== 2211122202k k k x ⎛⎫⋅− ⎪⎝⎭== 所以2M B A y y y +=，故A 为线段BM 的中点.3.（2021·北京·20·★★★★）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,2A −，以4个顶点围成的四边形面积为（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()0,3P −的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B 、C ，直线AB 交3y =−于点M ，直线AC 交3y =−于点N ，若15PM PN +≤，求k 的取值范围.【解析】（1）由题意，2b =，四个顶点围成的四边形面积1222S a b =⨯⨯=，所以a =，即椭圆E 的标准方程为22154x y += （2）设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l 的方程为3y kx =−， 直线AB 的斜率为112y x +，其方程为1122y y x x +=−， 联立11223y y x x y +⎧=−⎪⎨⎪=−⎩，解得：112x x y =−+， 所以112x PM y =+，同理，222x PN y =+，所以121222x x PM PN y y +=+++，联立223154y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()224530250k x kx +−+=，判别式()22900100450k k ∆=−+>.解得：1k <−或1k >，由韦达定理，1223045kx x k +=+，1222545x x k =+，显然120x x >，故1x 、2x 同号，而120y +>，220y +>，所以112x y +与222xy +同号， 故()()12121212122121212121222222111kx x x x x x x x x x PM PN y y y y kx kx k x x k x x −++=+=+=+=++++−−−++ 222222503045455253014545k k k k k k k k k −++==−+++，由题意，15PM PN +≤，所以515k ≤，故33k −≤≤， 综上所述，k 的取值范围为[)(]3,11,3−−.强化训练4.（★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，长轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y kx m =+()0k ≠与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线过点()1,0P ，求k 的取值范围.【解析】（1）由题意，椭圆C的离心率e=，长轴长2a =，所以a =，2b =，故椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222214280k x kmx m +++−=， 判别式()()222216421280k m k m ∆=−+−>，化简得：()224210k m +−>①， 由韦达定理，122421km x x k +=−+，()121222221my y k x x m k +=++=+，所以AB 中点为222,2121m m G k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，因为AB 的中垂线过点()1,0P ，所以PG AB ⊥，从而222112121m k k km k +⋅=−−−+，化简得：221k m k +=−，代入①得：()222214210k k k ⎛⎫++−−> ⎪⎝⎭解得：2k <或2k >，故k 的取值范围为2,,22⎛⎛⎫−∞−+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.5.（★★★）已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为2，且过点2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03D ⎛⎫− ⎪⎝⎭且不与y 轴垂直的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点()1,0A ，证明：AP AQ ⊥.【解析】（1）由题意，2213124a b =⎨⎪+=⎪⎩，解得：1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为2212y x +=. （2）由题意，可设直线1的方程为13x my =−，代入2212yx +=消去x 整理得：()2241621039my my +−−=， 易得判别式0∆>，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()1224321my y m +=+，()12216921m y y m =−+ 所以()()12122223321x x m y y m +=+−=−+，()()221212122111839921m m x x m y y y y m −=−++=+ ()111,AP x y =−，()221,AQ x y =−，故()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=−−+=−+++()()()()()222222211869211611821610921321921921m m m m m m m −+++−−=++−==++++ 所以AP AQ ⊥.。
圆锥曲线大题处理策略：非对称韦达定理 (原卷版)
专题3 圆锥曲线大题处理策略：非对称韦达定理在圆锥曲线解答题中我们通常利用直线与二次曲线联立得到一元二次方程的韦达定理来处理类似12212122212111,y x y x x x x x x x +++-，，等结构，这些形式通过合理的变形均可以用2121x x x x ⋅+，整体带入的方法达到避开解交点坐标的目的。
（这是圆锥曲线大题中普遍使用韦达定理的初衷）。
但我们在做题中也经常会遇到类似于11212122121232,2x x x x x x x x x x x x λμ+-+-+，这种系数不对称的结构，称之为“非对称韦达定理”。
显然按照先前的方法就很难顺利的处理掉，本专题就此类问题给出几个常见的处理策略。
（1）求椭圆C 方程（2）B A ,分别为椭圆C 的上下顶点，过()40，P 点斜率为k 的直线与椭圆C 交于N M ,两点，求证：直线ANBM ,的交点在定直线上 韦达化处理由引例1可知，核心条件坐标化后，并不全是直接韦达化的形式．对于坐标化后的表达式不是韦达形式的，还需进行韦达化处理．韦达化处理主要有以下几种处理方法：代换（直线代换或曲线代换）、和积消元法、配凑、解方程组．韦达化处理一：代换——即消去x 或y 中的一个由于我们联立后的方程式关于x 或y 的二次方程，韦达定理中的两根之和与两根之积只式单独的x 或y 的形式，而此时坐标表达式并非是直接的韦达形式，因此需进行代换：方向一：直线代换：1122x ty m x ty m =+⎧⎨=+⎩）又1122x ty mx ty m =+⎧⎨=+⎩，即()()()2212121212x x ty m ty m t y y tm y y m =+⋅+=+++ 方向二：曲线代换：若两个点均在直线12y kx =-和曲线2219x y +=上，那么形如()()122111x y x y +-的式子，如果用直线替换显然麻烦，注意到()()2222211111111999119x y x y x y y +=⇒=-⇒=-+，替换掉原式中含有的()11y -，可以得到()()1212911y y x x ++。
高考数学专题讲解：圆锥曲线韦达定理
高考数学专题讲解：圆锥曲线韦达定理第一部分：韦达定理解法设计【题型一】：已知直线的斜率例题一：已知斜率为1的直线l 与椭圆12:22=+y x C 相交于A 、B 两点。
解法设计：假设：直线l 与y 轴的截距为m 。
根据直线的斜截式方程得到直线l 的方程：m x y +=。
假设：两个交点的坐标。
A 点的坐标为),(11y x ，B 点的坐标为),(22y x 。
联立直线l 的方程和椭圆C 的方程： m x y +=022122222=-+⇒=+y x y xm x y +=代入02222=-+y x 得到：02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x022430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。
根据韦达定理得到：3421mx x -=+，322221-=⋅m x x 。
A ，B 为直线l 与椭圆C 的两个交点),(11y x A ⇒，),(22y x B 为直线:l m x y +=上的两点m x y +=⇒11，m x y +=22；322342212121mm m m x x m x m x y y =+-=++=+++=+； 2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅3233422343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。
【题型二】：已知直线与y 轴的截距例题二：已知：过点)2,0(的直线l 与双曲线C ：x y 42=相交于A ，B 两点。
解法设计：假设：直线l 的斜率为k ，直线l 过点⇒)2,0(根据直线的斜截式方程的直线l ：2+=kx y 。
假设：两个交点的坐标。
点A 的坐标为),(11y x ，点B 的坐标为),(22y x 。
圆锥曲线的应用(韦达定理,对称)
韦达定理——圆锥曲线硬解定理 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222212k a b km a x x +-=+；22222221)(ka b b m a x x +-=+；)(4222222m k a b b a -+=∆ 消去x 得：0)(2)(222222222=-+-+k a m b my b y k a b2222212k a b m b y y +-=+；222222221)(ka b b a m b y y +-=+；)(42222222m k a b k a b -+=∆ 韦达定理：主要适用于设而不求，弦长公式，如面积;2222222222212)(411k a b m k a b b a k x x k AB +-+•+=-+= 22222222222212)(41111k a b m k a b k a b k y y k AB +-+•+=-+=超级韦达定理——反向点乘双根式 联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+m kx y b y a x 12222消去y 得：0)(2)(22222222=-+++b m a kmx a x k a b2222222222222121212)()())((p k a b kmp a k a b b m a p x x p x x p x p x ++++-=++-=-- 2222222222221)(2)())((ka b b m a kmp a p k a b p x p x +-+++=-- 22222222222221)(2)())((k a b k a m b mq b q k a b p y p y +-+-+=-- 超级韦达定理：主要适用于λ=•→→MB MA 型，如垂直、圆过定点；例1、（全国卷）已知)2,0(-A ，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的离心率为23，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为332，O 为坐标原点． （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点)2,0(-A 的直线l 与E 相交于Q P ,两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．例2、（上海高考）已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、 (1)若112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且11F P FQ ⊥u u u r u u u r ,求直线l 的方程.例3、已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线:l y kx m=+与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.对称与对称思想： 1、标准对称例1、如图，椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x E 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，离心率21=e 。
高考数学圆锥曲线专题：韦达定理
高考数学圆锥曲线专题：韦达定理第一部分：直线的斜截式方程使用条件一：已知斜率第一类直线的方程：直线的斜截式方程直线的斜截式方程：b kx y +=，其中k 为斜率，b 为与y 轴的截距。
第一种使用条件：已知直线的斜率。
【例题一】：已知：斜率为1的直线与椭圆C ：1222=+y x 相交于A ，B 两点。
【本题解析】：第一部分：韦达定理的计算部分。
韦达定理的使用条件：直线与曲线相交于两点。
第一步：假设两个交点的坐标。
假设：点A 的坐标为),(11y x ，点B 的坐标为),(22y x 。
第二步：假设直线的方程。
本题已知直线l 的斜率为1，需要假设直线l 与y 轴的截距得到直线l 的方程。
假设：直线l 的方程为：m x y +=。
第三步：联立直线l 的方程和椭圆C 的方程。
mx +022********=-+⇒=+⇒=+y x y x y 把m x y +=代入02222=-+y x 得到：02)2(202)(222222=-+++⇒=-++m mx x x m x x 0)22(430224222222=-++⇒=-+++⇒m mx x m mx x x 。
第四步：韦达定理计算两个交点的横坐标之和21x x +，横坐标之积21x x 。
原理：一元二次方程02=++c bx ax 的两个根1x ，2x ：a b x x -=+21，ac x x =21。
340)22(432122mx x m mx x -=+⇒=-++，322221-=m x x 。
第五步：根据直线的方程的纵坐标之和21y y +，纵坐标之积21y y 。
),(11y x A ，),(22y x B 为直线m x y l +=:上两点m x y +=⇒11，m x y +=22；3236342342212121mm m m m m x x m x m x y y =+-=+-=++=+++=+；2222121221212121)34(322)()()(m mm m m x x m x x m mx mx x x m x m x y y +-⋅+-=+++=+++=+⋅+=⋅323342233343222222222-=+--=+--=m m m m m m m 。
高中数学培优点08圆锥曲线中非对称韦达定理的应用(2大考点+强化训练)(习题版)
培优点08圆锥曲线中非对称韦达定理的应用（2大考点+强化训练）在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y ，得到一个一元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理|x 1－x 2|，x 21＋x 22，1x 1＋1x 2之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x 1，x 2的不同系数的代数式的运算，比如求x 1x 2，3x 1x 2＋2x 1－x 22x 1x 2－x 1＋x 2或λx 1＋μx 2之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非对称韦达结构”．知识导图考点分类讲解考点一分式型规律方法非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义等方法，将其转化为对称结构计算．【例1】(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(－25，0)，离心率为 5.(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过点(－4,0)的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于点P .证明：点P 在定直线上．【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线2222:1x y C a b-=的左右焦点分别为12,F F ，点()1,2P -在C 的渐近线上，且满足12PF PF ⊥.(1)求C 的方程；(2)点Q 为C 的左顶点，过P 的直线l 交C 于,A B 两点，直线AQ 与y 轴交于点M ，直线BQ 与y 轴交于点N ，证明：线段MN 的中点为定点.【变式2】（23-24高三上·江苏·开学考试）已知双曲线22:1C x y -=．(1)求C 的右支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（横纵坐标均为整数的点）的个数．(2)记C 的左、右顶点分别为12A A ，，过点()2,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上．【变式3】（23-24高三上·河北唐山·阶段练习）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为()-，离心(1)求C的方程；(2)记C的右顶点为A，过点A作直线,MA NA与C的左支交于,M N两点，且MA NA⊥，AD MN⊥，D为垂足．证明：存在定点Q，使得||DQ为定值．考点二比值型规律方法比值型问题适用于x1＝λx2型，可以采用倒数相加，但有时得到的可能不是这种形式，而是x1＝λx2＋k的形式，此时采用待定系数法，例如x1＝－3x2＋4，可以转化x1－1＝－3(x2－1)，得到x1－1x2－1＝－3，继续采用倒数相加解决．【例2】(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy中，已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝33x，且点P(3，2)在C上．(1)求C的方程；(2)设C的上焦点为F，过F的直线l交C于A，B两点，且AF→＝7BF→，求l的斜率．【变式1】（2024·河南·模拟预测）已知12,A A 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右顶点，122A A =，动直线l 与双曲线C 交于,P Q 两点．当//PQ x 轴，且4PQ =时，四边形12PQA A 的面积为(1)求双曲线C 的标准方程．(2)设,P Q 均在双曲线C 的右支上，直线1A P 与2A Q 分别交y 轴于,M N 两点，若2ON OM =，判断直线l 是否过定点．若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆C ：22221x y a b+=的左右顶点为A ，B ，点P 为椭圆C 上不同于A ，B 的一点，且直线PA ，PB 的斜率之积为12-．(1)求椭圆的离心率；(2)设()1,0F -为椭圆C 的左焦点，直线l 过点F 与椭圆C 交与不同的两点M ，N ，且3MF FN =，求直线l的斜率．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点()2,2P 在C 上，点P 与C 的上、下焦点连线所在直线的斜率之积为12-．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)经过点()0,1A 的直线1l 与双曲线C 交于E ，F 两点(异于点P )，过点F 作平行于x 轴的直线2l ，直线PE 与2l 交于点D ，且2DF BF =求直线AB 的斜率．强化训练一、单选题1．（2023·江西·一模）已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为,F A ，且焦距等于4，AF 的延长线交椭圆于点B ，5OF OB⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A B C D ．352．（2023·内蒙古包头·一模）已知点(2,1)P 在双曲线2222:1(1)1x yC a a a -=>-上，斜率为k 的直线l 过点(0,2)A -且不过点P ．若直线l 交C 于M ，N 两点，且MP NP ⊥，则k =（）A ．16-B ．16C ．32-D ．323．（2023·河南·三模）过抛物线24y x =的焦点F 作斜率为k 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点M 的坐标为()1,1-，若0MA MB ⋅=，则k =（）A ．1B ．2C ．3D ．44．（23-24高二下·吉林·开学考试）如图，已知抛物线21:4C y x =，圆222:(1)1C x y -+=，过圆心2C 的直线l与抛物线和圆依次交于P M N Q 、、、，则4PN QM +的最小值为（）A ．14B ．23C ．18D ．155．（2024·江苏南通·二模）设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，C 的准线与x 轴交于点A ，过A 的直线与C 在第一象限的交点为M ，N ，且||3||FM FN =，则直线MN 的斜率为（）A 32B ．12C 33D ．236．（23-24高二上·北京·期中）已知椭圆22:14x M y +=的上、下顶点为,A B ，过点()0,2P 的直线l 与椭圆M 相交于两个不同的点,C D （C 在线段PD 之间），则OC OD ⋅的取值范围为（）A ．()1,16-B ．[]1,16-C ．131,4⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．131,4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭7．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆()2222:10y x M a ba b =>>+的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆M 的上焦点F 作斜率为()0k k >的直线l ，直线l 交椭圆M 于,A B 两点，若4AF FB =，则k =（）A 23913B ．396C 235D ．213138．（2023·内蒙古包头·一模）已知点()2,1P 在双曲线C ：222211x ya a -=-（1a >）上，斜率为k 的直线l 过点()0,2A -且不过点P ．若直线l 交C 于M ，N 两点，且以线段MN 为直径的圆过点P ，则k =（）A ．16-B ．16C ．32-D ．32二、多选题1．（23-24高三上·山东青岛·期末）已知椭圆2222:1(1,0)x y E a b a b+=>>，直线1y x =+与E 相交于,A B 两点，(1,0),0P AP BP ⋅=，若椭圆E 恒过定点00(,)M x y ，则下列说法正确的是（）A ．2200327x y +=B ．||4OM =C ．|AB |的长可能为3D ．|AB |的长可能为42．（23-24高三上·江苏·阶段练习）双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>，左、右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，如图，已知动直线l 与双曲线C 左、右两支分别交于P ，Q 两点,与其两条渐近线分别交于R ，S 两点,则下列命题正确的是（）A ．存在直线l ，使得AP ORB ．l 在运动的过程中，始终有PR SQ=C ．若直线l 的方程为2y kx =+，存在k ，使得ORB S 取到最大值D ．若直线l 的方程为)y x a =-，RS 2SB = ，则双曲线C 3．（23-24高三上·辽宁大连·期末）已知椭圆22:143x y E +=左焦点F ，左顶点C ，经过F 的直线l 交椭圆于,A B 两点（点A 在第一象限），则下列说法正确的是（）A ．若2AF FB =，则l 的斜率2k =B ．4AF BF +的最小值为274C ．以AF 为直径的圆与圆224x y +=相切D ．若直线,AC BC 的斜率为12,k k ，则1294k k ⋅=-三、填空题1．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，直线:30l x y c -+=与C 交于A ，B 两点，若3AB AF =，则C 的离心率是.2．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线22:1C x y -=，过点()0,2B 的动直线与C 交于两点P ，Q ，若曲线C 上存在某定点A 使得Q PA A k k +为定值λ，则定点A 的坐标为．3．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线C 的焦点在y 轴上，对称中心O 为坐标原点，焦距为过点(A ，则C 的标准方程为；若斜率为2的直线l 与C 交于P ，Q 两点．且2119⋅=- OP OQ ，则PQ ＝．四、解答题1．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，直线l ：()0x t t =<与C 的渐近线相交于点A ，B ，且ABF △2-.(1)求C 的标准方程；(2)过点F 作直线l '与C 的右支相交于M ，N 两点，若x 轴上的点G 使得等式MF MG NFNG=恒成立，求证：点G 的横坐标为12.2．（2024·河北·一模）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>过点81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，且其离心率为13．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点()1,0-的斜率不为零的直线与椭圆E 交于C ，D 两点，A ，B 分别为椭圆E 的左、右顶点，直线AC ，BD 交于一点P ，M 为线段PB 上一点，满足OM PA ∥，问⋅OA OM 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（O 为坐标原点）．3．（2024·四川成都·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为12，短轴长为过点(1,0)P 斜率存在且不为0的直线l 与椭圆有两个不同的交点A B ，．(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆左右顶点为M N ，，设AB 中点为Q ，直线OQ 交直线4x =于点()BN AM PR R k k k -，是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明理由．4．（23-24高三上·福建福州·期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上、下顶点分别是A ，B ，点E （异于A ，B 两点）在椭圆C 上，直线EA 与EB 的斜率之积为12-，椭圆C 的短轴长为2．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点Q 是椭圆C 长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q 作斜率不为0的直线l ，l 与椭圆的两个交点分别为P ，N ，若11||||PQ QN +为定值，则称点Q 为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．5．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F ，2F 分别是C 的左、右焦点，C上的点到1F 的最小距离为1，P 是C 上一点，且12PF F △的周长为6．(1)求C 的方程；(2)过点2F 且斜率为k 的直线l 与C 交于M ，N 两点，过原点且与l 平行的直线与C 交于A ，B 两点，求证：2ABMN为定值．。
高中数学圆锥曲线系统讲解第29讲《非对称韦达定理》练习及答案
第29讲 非对称韦达定理知识与方法将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去y ，得到关键方程（设方程的两根为1x 和2x ），在某些问题中，可能会涉及到需计算两根系数不相同的代数式.例如，运算过程中出现了122x x −、1223x x +等结构，且无法直接通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这种非对称的结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，此时一般的处理技巧是抓住12x x +和12x x 的关系将两根积向两根和转化，通过局部计算、整体约分的方法解决问题.请同学们通过本节的一些考题来感悟这种运算技巧.典型例题1.（★★★★）如下图所示，椭圆有两个顶点()1,0A −，()1,0B ，过其焦点()0,1F 的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与BD 交于点Q. （1）当2CD =时，求直线l 的方程； （2）当P 点异于A 、B 两点时，证明:OP OQ ⋅为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长1b =，半焦距1c =，故长半轴长a =所以椭圆的方程为2212y x +=，当2CD =时，易得直线l 不与x 轴垂直，故可设l 的方程为1y kx =+()0,1k k ≠≠±，设()11,C x y ，()22,D x y ，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222210k x kx ++−= 判别式()2810k ∆=+>，由韦达定理，1221222212k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩①②故12CD x x =−=，解得：k =所以直线l 的方程为1y =+.（2）解法1：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111y y x x =++③，直线 BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−− 而()()()()()()212112211212121211111111y x kx x kx x kx x y x kx x kx x kx x ++++++==−+−−++，所以122112121111Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=−−++，由①知12222kx x k =−−+， 故()()()()()()22222222222212211112222121111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k k x k k x x k x k k k −−−+−−++−+−+++===−+−+⎛⎫−−−−++++ ⎪+++⎝⎭，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.解法2：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−− ⑤ 所以()()()()()()()()()()()()22222222212121121222221212121212221212111111112212111111211122Q Q kx x x y x x x x x x x k k k k x x x x x x x k y x x x k k −−+−+⎛⎫+++++++−⎛⎫++====== ⎪ ⎪ ⎪−−−−+++⎝⎭−−−⎝⎭−++++ 因为()12,1,1x x ∈−，所以12101x x +<−，结合⑤可得11Q Q x x +−与21y y 异号，又()()()2222121212122222221111222k k k y y kx kx k x x k x x k k k −=++=+++=−−+=+++()()()222211211221k k k k k k k +−+−==−⋅+++ 所以12y y 与11k k −+异号，即21yy 与11k k −+异号，从而11Q Q x x +−与11k k −+同号，所以1111Q Q x k x k +−=−+，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.【反思】本题的解法1是两根结构不对称时的常规处理方法，局部计算，整体约分；解法2则通过平方，转化为对称结构计算，技巧性较强. 2.（★★★★）已知椭圆22:33C x y +=，过点()1,0D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M . （1）求椭圆C 的离心率；（2）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（3）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由.【解析】（1）椭圆C 的方程可化为2213x y +=，故其长半轴长a =1b =半焦距c =C的离心率c e a =（2）解法1：若AB 垂直于x 轴，如图1，直线AB 的方程为1x =，联立22133x x y =⎧⎨+=⎩，可解得：y =若A ⎛ ⎝⎭，则1,B ⎛ ⎝⎭，设()03,M y ，因为A 、E 、M 三点共线，所以AE EM k k =，故01131232y −=−−，解得：02y =，所以直线BM的斜率03131BM y k +==−若1,A ⎛ ⎝⎭，则B ⎛ ⎝⎭，因为A 、E 、M 三点共线，所以AE EM k k =，故01131232y −−=−−，解得：02y =，所以直线BM的斜率03131BM y k ==− 综上所述，直线BM 的斜率为1.解法2：因为AB 过点()1,0D 且垂直于x 轴，所以可设()11,A y ，()11,B y − 直线AE 的方程为()()112y y x −=−−，令3x =得：12y y =−，所以()3,2M y −，故直线BM 的斜率112131BM y y k −+==−.解法3：因为AB 过点()1,0D 且垂直于x 轴，故其方程为1x =，如图1，设直线2x =交x 轴于点G ，直线3x =交x 轴于点H ，则1AE DG EMGH==_所以E 为AM 中点，由对称性，显然D 为AB 中点，所以DE BM ∥而直线DE 的斜率10121DE k −==−，所以直线BM 的斜率为1. （3）解法1：当AB x ⊥轴时，由（2）可得直线BM 的斜率为1，等于直线DE 的斜率，所以DE BM ∥，当AB 不与x 轴垂直时，设其方程为()()11y k x k =−≠，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则直线AE 的方程为()111122y y x x −−=−−，令3x =解得：11112y y x +=+−，所以1113,12y M x ⎛⎫−+ ⎪−⎝⎭，从而直线 BM 的斜率()()()()()()()121121211121222121113112123233232BM y y x x k x k x k x x x x y y y k x x x x x −+−−−−+−+−−−−++===−−−−− ()()()112121121211221121232332336262x k x x x x kx kx x k x x kx x x x x x x x x −++−−⎡⎤−−++−⎣⎦==−−+−++− ①联立()22133y k x x y ⎧=−⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()2222136330k x k x k +−+−=，易得判别式0∆>， 所以2122613k x x k +=+，21223313k x x k −=+，故()222121222212339323131313k k k x x x x k k k −++−=−==+++代入式①得：11333163BM x k kk x −+−==−+，即直线BM 与直线DE 斜率相等，所以DE BM ∥综上所述，直线BM 与直线DE 平行.解法2：当AB y ⊥轴时，若A 为左顶点，如图2，则2AEEM =+，12AD BD −==+ 所以AE AD EMBD=，同理可得当A为右顶点时，2AE AD EMBD==DE BM ∥当AB 不与y 轴垂直时，如图3，设其方程为()11x my m =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y 则1112211AE x my my EM=−=−−=−，1122AD y y BDy y ==−， 所以111212211AE AD y y my y my EMBDy y −==−+=+ ①联立22133x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 整理得：()323220m y my ++−=，易得判别式0∆>， 由韦达定理，12223m y y m +=−+，12223y y m =−+，故1212my y y y =+ 代入式①可得()11211222110AE AD y y y y my y EMBDy y −+−−=+=+= 所以AE AD EMBD−，从而DE BM ∥综上所述，直线BM 与直线DE 平行.强化训练3.（★★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(P，且离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的上、下顶点分别为A 、B ，过点()0,4P 斜率为k 的直线与椭圆C 交于M 、N 两点.求证：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上.【解析】（1）由题意，224212a b ⎧+=⎪=，解得：2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为22184x y += （2）由题意，直线MN 的方程为4y kx =+，()0,2A ，()0,2B −，设()11,M x y ，()22,N x y ，联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()221216240k x kx +++=，判别式()()2216412240k k ∆=−+⨯>，所以k <或k >，由韦达定理，12212216122412k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①②直线BM 的方程为1122y y x x ++=，直线AN 的方程为2222y y x x −−=，联立11222222y y x x y y xx +⎧+=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩消去x 可得：()()12212222y x y y y x ++=−− 从而()()()()1212122212112126262222G G y x kx x y kx x x y y x kx x kx x x ++++===−−++ ③ 接下来给出以下两种计算非对称结构12212162kx x x kx x x ++的方法：法1：由①②知()121232kx x x x =−+， 代入式③得：()()122121221211211233966222331322222x x x x x kx x x kx x x x x x x x −++−++===−+−++− 从而232G G y y +=−−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上. 法2：由①知1221612kx x k =−−+，代入式③得：22221221212222224246661212382416222121212k kx x kx x x k k k k k kx x x xx k k k +++++===−+⎛⎫−−+−− ⎪+++⎝⎭从而232G G y y +=−−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上.4.（★★★★）已知F 为椭圆22143x y +=的右焦点，A 、B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 交椭圆于不与A 、B 重合的M 、N 两点.（1）当l 斜率为1时，求四边形AMBN 的面积S ；（2）设直线AM 、BN 的斜率分别为1k 和2k ，求证：12k k 为定值. 【解析】（1）由题意，()2,0A −，()2,0B ，()1,0F ，当l 斜率为1时，其方程为1y x =− 设()11,M x y ，()22,N x y联立221143y x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得：27690y y +−=，判别式()264792880∆=−⨯⨯−=>所以四边形AMBN的面积1211422S AB y y =⋅−=⨯（2）显然直线l 不与y 轴垂直，故可设其方程为1x my =+， 联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()2234690m y my ++−=，易得判别式10>△，由韦达定理122122634934m y y m y y m ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩①② ，()()()()121211212121212221233y x y my k my y y k x y my y my y y −−−===+++ ③， 接下来给出两种方法求非对称结构1211223my y y my y y −+的值法l ：由①②知()121232my y y y =+，代入式③得：()()121121212212313122233933222y y y y y k k y y y y y +−+===+++，即12k k 为定值13.法2：由①知122634my y m =−−+，代入式③得：222221222229631343434993333434m m m y y k m m m m m k y y m m ⎛⎫−−−−−+ ⎪++⎝⎭+===−+−+++即12k k 为定值13.5. （★★★★）点,A B 是椭圆22:143x y+=E 的左右顶点若直线:(1)l y k x =−与椭圆E 交于M ，N 两点，求证：直线AM 与直线BN 的交点在一条定直线上． 【解析】由题意得，()2,0A −，()2,0B ，设()()1122,,,M x y N x y ，联立22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，化简得(222234)84120k x k x k +−+−=， 所以2122834k x x k+=+，212241234k x x k −=+， 直线AM 的方程为()1122y y x x =++，直线BN 的方程为22(2)2y y x x =−−， 联立()112222(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=−⎪−⎩，即()1122(1)22(1)(2)2k x y x x k x y x x −⎧=+⎪+⎪⎨−⎪=−⎪−⎩，解得1121222(23)34x x x x x x x −+=+−原式()()222221212221222241282234223434342482434k k x x x x x x k k x x x k x k ⎛⎫−⋅−⋅+ ⎪⎡−++⎤++⎣⎦⎝⎭==++−+−+ 2222222222221624812244234344812812223434k k x x k k k k x x kk⎛⎫−−−−++ ⎪++⎝⎭==⎛=−−−−++++⎫ ⎪⎝⎭， 故直线AM 与直线BN 交点在定直线x ＝4上． 6 . （★★★★）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =. (I)求椭圆C 的离心率； (II)如果|AB |=154，求椭圆C 的方程. 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意知10y >，20y <.（1）直线l的方程为)y x c =+，其中c =.联立)2222{1y x c x y a b=++=得()22224330a b y cy b +−−=，解得()212223c a y a b+=+，()222223c a y a b−=+.因为2AF FB =，所以122y y −=.即()()222222222?33c a c a a ba b+−−=++，得离心率23c e a ==. （2）因为21||||AB y y =−2154=.由23c a =得3b a =.所以51544a =，得3a =，b =.椭圆C 的方程为22195x y +=考点：椭圆的标准方程及其几何性质. 7. （★★★★）已知1A 、2A分别是离心率2e =的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左右项点，P 是椭圆E 的上顶点，且121PA PA ⋅=−. （1）求椭圆E 的方程；（2）若动直线l 过点()0,4−，且与椭圆E 交于A 、B 两点，点M 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AM 恒过定点. 【解析】（1）由题意得()1,0A a −，()2,0A a ，()0,P b ，则22212(,)(,)1PA PA a b a b a b c ⋅=−−⋅−=−+=−=−，所以1c =，又2222c e a a b c ⎧==⎪⎨⎪=+⎩，所以a =1b =，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）当直线l 的斜率存在时，设直线:4l y kx =−，()11,A x y ，()22,B x y ，则()22,M x y −，由22124x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩，消去y 得()221216300k x kx +−+=.由()22(16)120120k k ∆=−−+>，得2152k >，所以1221612kx x k +=+，1223012x x k =+. ()12121212121244AM k x x y y kx kx k x x x x x x −−−−+===+++，直线AM 的方程为()()121112k x x y y x x x x −−=−+，即()()()()()()()()12121121211*********44k x x k x x kx x x k x x x x y y x x kx x x x x x x x x −−−++−−=+−=−+−=+++()()()12121212121212122424kx x x x kx x x k x x kx x x x x x x x x −++−−==+−+++，因为1221612k x x k +=+，1223012x x k =+，所以21212230221124416412kkx x k k x x k +−=−=−++， 直线AM 的方程为可化为()121214k x x y x x x −=−+，则直线AM 恒过定点10,4⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，直线AM 也过点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上知直线AM 恒过定点10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭. 8. （★★★★）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）过点(P，且离心率为2．11（1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 的上下顶点分别为,A B ，过点()0,4斜率为k 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，证明：直线BM 与AN 的交点G 在定直线上，并求出该定直线的方程．【解析】（1）由椭圆过点(P，且离心率为2，所以222224212a b c aa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2284a b ⎧=⎨=⎩ 故所求的椭圆方程为22184x y +=．（2）由题意得()0,2A ，()0,2B −，直线MN 的方程4y kx =+，设()()1122,,,M x y N x y ， 联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()221216240k x kx +++=， ∴1221612k x x k −+=+，1222412x x k =+．由求根公式可知，不妨设12812k x k −−=+，22812k x k −+=+， 直线AN 的方程为2222y y x x −−=，直线BM 的方程为1122y y x x ++=， 联立22112222y y x x y y x x −⎧−=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，得()()()()2121121121212222222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x −++−===++++ 代入12,x x，得2224162123k k y y −−+−===−+， 解得1y =，即直线BM 与AN 的交点G 在定直线1y =上。
高考数学专题六解析几何 微专题43 非对称韦达定理
设A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为T(1,0)，则直线l的方程为y＝k(x－1).
y＝kx－1， 联立直线 l 与椭圆方程得x82＋y42＝1， 消去y，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0， 所以 x1＋x2＝2k42k＋2 1，x1x2＝22kk22－ ＋81. 因为MN∥l，所以直线MN的方程为y＝kx，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1，代入椭圆方程， 得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0， 从而 y1＋y2＝4－＋63mm2，y1y2＝4＋－39m2，
于是 k2k3＝x2y－2 2·x1y－1 2＝x2－2y2yx11－2， 因此 k2k3＝my2－1y2ym1 y1－1＝m2y1y2－my2yy11＋y2＋1. 将 y1＋y2，y1y2 代入，化简得 k2k3＝－94，故 k2k3 为定值.
专题六 解析几何
微专题43
非对称韦达定理
Байду номын сангаас
考情分析
圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，非对称韦达定理 的应用在高考中经常出现，常以解答题的形式压轴出现，难度 较大.
思维导图
内容索引
典型例题
热点突破
PART ONE
典型例题
考点一 两根之比型
典例1 设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭 圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60°，A→F＝2F→B，求椭圆 C 的离 心率.
因为A→F＝2F→B，所以 y1＝－2y2，
即
33ba22＋c＋b22 a＝－2·
3b2c－2a 3a2＋b2 .
整理得，离心率 e＝ac＝23.
解析几何专题：方法篇之韦达定理
解析几何专题之韦达定理一、 基本应用 直线与圆锥曲线相交相关的弦长、弦的中点、垂直等问题 例1、椭圆122=+byax 与直线01=-+y x 相交于A 、B ，点C 是AB 的中点，若22=AB ，OC 的斜率为22，求椭圆的方程。
例2、已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率23=e ；直线l ：01=++y x 与椭圆E 交于Q P ，两点，且OQ OP ⊥，求椭圆E 的方程。
例3．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022>=p px y 上。
（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积； （2）求证：直线AB 经过一个定点，求出该定点的坐标；（3）过定点(,0)M p 任作抛物线的一弦PQ ，求证：2211M P M Q+为定值。
二、综合应用 直线与椭圆相交问题：同一条直线上的线段之比问题、三角形及四边形面积问题、三点共线、定值定直线等问题4．如图，已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，P 为平 面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且Q P Q F F P F Q ⋅=⋅ 。
（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于,A B 两点，交直线l 于点M ，已知1M A AF λ= ，2M B BF λ=， 求12λλ+的值。
例5．如图，已知椭圆22221(0)xya b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,A 、B 、C 是椭圆上的三个动点，且111222,AF F B AF F C λλ==，若已知椭圆的离心率2e =。
（1）求12λλ+的值；（2）求△ABC 与△12AF F 的面积之比的最小值。
例6．如图，设抛物线214C y mx =：(0)m >的准线与x 轴交于1F ，焦点为2F ；以12F F 、为 焦点，离心率12e =的椭圆2C 与抛物线1C 在x 轴上方的一个交点为P 。
“韦达定理”“反点斜式”“目标函数”——玩转圆锥曲线题
“韦达定理”“反点斜式”“⽬标函数”——玩转圆锥曲线题圆锥曲线试题作为⾼考⾼难度甚⾄压轴题，⼀直是⼴⼤⾼考学员甚⾄是所有⾼中学员的⼀块⼼病和挥之不去的“梦魇”。
这么说毫不夸张，据我的学员和我说，她的同学被圆锥曲线题完全弄得绝望了！客观的说，圆锥曲线有如此境遇确实和它本⾝的难度扯不开关系。
原因有三：1、知识⾯涉及⼴。
圆锥曲线题不只是涉及圆锥曲线本⾝，同时经常和函数、⼀元⼆次⽅程、⼏何等等知识相联相关。
2、因为涉及的知识⾯多⽽⼴，故解题过程⽐较复杂，花费时间长，打持久战⼀直是⼴⼤⾼中学员不愿意做的事情。
3、也是最主要的：代数化简繁杂，抽象思维要求⾼，对学员的综合计算推导能⼒要求⾼！尽管如此，本⽂将通过“韦达定理”+“反点斜式”+“⽬标函数”三个⽅⾯玩转圆锥曲线试题。
让你找到⼀条捷径，原来运⽤“韦达定理”+“反点斜式”+“⽬标函数”——可以轻松玩转圆锥曲线题。
游戏规则介绍：⼩⼉垂钓⾃学始，圆锥曲线：平⾯与圆锥相交所成的切⾯，有椭圆、双曲线、抛物线以及圆四种。
平时我们⼀般仅指除圆外的三种。
椭圆、双曲线、抛物线分别有如下不同的性质和特征。
椭圆：双曲线：抛物线：直线⽅程：韦达定理：⽬标函数：题⽬中能⽤韦达定理表⽰的条件，⽐如两直线的斜率之和，线段的长度，两个向量的点积等等⽤韦达定理表⽰的函数表达式。
游戏开始：第⼀步：理论分享与证明（以椭圆为例进⾏与直线相交联⽴分析）第⼆步：⾼考真题分享解：由题意有如下⽰意图：下图请欣赏：抛物线与直线相交动态图第三步：⼩结从以上的椭圆与直线相交的理论推导求解韦达定理，以及实操中【2019全国⼀】题中涉及的抛物线与斜率不变的平⾏直线问题和【2018全国⼀】题涉及的椭圆与过椭圆内⼀定点的旋转直线问题的两道⾼考真题。
分别通过圆锥曲线与直线联⽴得出“韦达定理”，同时因为⽤的是“反斜率直线⽅程”，【2019全国⼀】题中“⽬标函数”是关于“两段焦点弦的和”，“过定点直线两段弦的向量关系”和“弦长公式”需要运⽤“韦达定理”的数量关系；【2018全国⼀】题中的直线与x轴垂直的问题因运⽤“反斜率直线”不需要单独讨论“k不存在”的情况(令m=0即可)，同时“韦达定理”的解答过程和表达也有⼀定的简捷，最后在“⽬标函数”——“斜率和”的解答过程中也表现解答简捷⽅便。
圆锥曲线技巧提升篇：韦达定理联立及弦长问题
设点 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(x3 , y3 ), D(x4 , y4 ),
因为 AC 与 BD 同向，且|AC|＝|BD|，故 | AC | | CB || BD | | CB |, | AB || CD |,
联立
y kx x2 4
y
1 ,
整理得
x2
B 两点都在曲线上时，通常称为弦长公式，根据前面的根差形式，弦长即可表达为：
| AB |
1 k 2 | x1 x2 |
1
k2
b2
△ a2k2
若是反设直线 x ty 1 ，则：
| AB |
1
1 t2
x1 x2
1 t2
y1 y2
特别地，在抛物线 y2 2 px( p 0) 中，若直线 AB 过焦点 F，根据抛物线定义，有
x4
16k 9 8k 2
64 9 8k
，所以
| CD |
1 k 2 | x1 x2 |
1 k2
( x1
x2 )2
4x1 x2
48(1 k 2 ) 9 8k 2
，
由|AB|＝|CD|，即
4k 2
4
48(1 k 2 9 8k 2
)
，
整理即得 (8k 2 3)(k 2 1) 0 ，解得 k 2 1 (舍)，或 k 2 3 , k 6 ，
| AB |
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
1 k 2 | x1 x2 |
1
1 2 k
|
y1
y2
|
两点距离公式任何时候都可以使用，而若知道 A、B 两点所在直线的斜率，只需再知道它们横坐标
或纵坐标差值即可求两点距离．对于这两种情形，在后续的题型中都将出现，应懂得灵活应用．当 A、
3.圆锥曲线中的同构--原卷版
圆锥曲线中的同构与韦达定理(1)圆锥曲线中的直线同构形式:例如:已知直线l上两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，且满足y1=kx1+b，y2=kx2+b，则可知直线l: y=kx+b.(2)圆锥曲线中的一元二次方程同构:例如直线l: y=kx+m与圆(x−a)2+(y−b)2=r2相切，可知圆心到直线的距离等于半径，故r=|ka−b+m|√1+k2，整理可得关于k的一元二次方程，(a2−r2)k2−2(b−m)ak+(b−m)2−r2=0，我们知道切线一般有两条，设这两条直线的斜率存在且为k1,k2，则可用韦达定理得到k1+k2=2(b−m)aa2−r2，k1k2=(b−m)2−r2a2−r2.类型一同构求直线例1.（2010·重庆·高考真题）已知以原点O为中心，F(√5,0)为右焦点的双曲线C的离心率e=√52．（I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（II）如图，已知过点M(x1,y1)的直线l1:x1x+4y1y=4与过点N(x2,y2)（其中x2≠x）的直线l2:x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求△OGH的面积．例2.（2019·全国·统考高考真题）已知曲线C：y=x 22，D为直线y=−12上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，52)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.例3.（2022下·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知抛物线E:x2=4y 的焦点为F，过F的直线交抛物线E于A、B两点.(1)当直线AB的斜率为1时，求弦AB的长度|AB|；(2)在x轴的正半轴上是否存在一点P，连接PA，PB分别交抛物线E于另外两点C、D，使得AB//CD且|AB|=4|CD|？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.例4.（2021·全国·统考高考真题）已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M:x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，PA,PB 是C 的两条切线，A,B 是切点，求△PAB 面积的最大值．例5.（2021·全国·统考高考真题）抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：x =1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ．已知点M (2,0)，且⊙M 与l 相切．（1）求C ，⊙M 的方程；（2）设A 1,A 2,A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．类型二 同构为一元二次方程，利用韦达定理求解例1.（2022·山东潍坊·统考一模）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦距为2，点(1,√22)在C 上. (1)求C 的方程；(2)若过动点P 的两条直线l 1，l 2均与C 相切，且l 1，l 2的斜率之积为1，点A(−√3,0)，问是否存在定点B ，使得PA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0？若存在，求出点B 的坐标；若不存在，请说明理由. 例2.（2020下·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 作圆R:(x −a )2+(y −b )2=8的两条切线，切点分别为A,B ，圆心R 的轨迹为C .（1）若∠AOB 为钝角，求四边形OARB 的面积的取值范围；（2）设OA 与OB 的斜率分别为k 1,k 2，且k 1k 2=−12，OA 与OB 交轨迹C 于M,N ，求OM 2+ON 2的值.例3.（2023·四川南充·统考一模）已知点Q (1,2)是焦点为F 的抛物线C ：y 2=2px (p >0)上一点．(1)求抛物线C 的方程；(2)设点P 是该抛物线上一动点，点M ，N 是该抛物线准线上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，求△PMN 面积的最小值．例4.（2023上·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线E:x 2=2py(p >0)，圆M:x 2+(y −2p)2=1，F 为抛物线E 的焦点，过F 作圆M 的切线，切线长为√52．(1)求抛物线E的方程；(2)已知A，B，C是抛物线E上的三点，A不与坐标原点重合，直线AB，AC与圆M相交所得的弦长均为3，直线BC与直线AF垂直，求A的坐标．。
高中数学圆锥曲线中非对称韦达定理的应用及参考答案
圆锥曲线中非对称韦达定理的应用1已知抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F ，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若AF =2FB ，求直线AB 的斜率．2已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)(c>0)．点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为6+42，面积为13 c.(1)求E的方程；(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点32，0的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则．(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)①求直线AC和BD交点的轨迹方程；②是否存在实常数λ，使得k1=λk2恒成立；③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点．3(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(-25，0)，离心率为5.(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(-4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．4已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，M ，N 分别为左、右顶点，直线l ：x =ty +1与椭圆C 交于A ，B 两点，当t =-33时，A 是椭圆的上顶点，且△AF 1F 2的周长为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM ，BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上．(3)设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值．5(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，已知双曲线C ：y 2a 2-x 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线为y =33x ，且点P 3，2 在C 上．(1)求C 的方程；(2)设C 的上焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且AF =7BF ，求l 的斜率．6已知点A (0，-2)，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，且AP =12AQ ，求△OPQ 的面积及直线l 的方程．圆锥曲线中非对称韦达定理的应用1已知抛物线关于x 轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F ，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若AF =2FB ，求直线AB 的斜率．【答案】解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2=2px (p >0)，∵点P (1,2)在抛物线上，∴22=2p ×1，解得p =2.故抛物线的方程是y 2=4x ，其准线方程是x =-1.(2)方法一 由(1)可知F (1,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线AB 的方程可设为x =ty +1，联立y 2=4x ，x =ty +1，整理得y 2-4ty -4=0，所以y 1+y 2=4t ，y 1y 2=-4.又AF =2FB ，即(1-x 1，-y 1)=2(x 2-1，y 2)，可得-y 1=2y 2，即y1y 2=-2，则y 1y 2+y 2y 1=(y 1+y 2)2y 1y 2-2=-52，即(4t )2-4-2=-52，解得t =±122，故k AB =-1t =±22.方法二 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F (1,0)，AF =(1-x 1，-y 1)，2FB =(2x 2-2,2y 2)，AF =2FB ⇒1-x1=2x 2-2，-y 1=2y 2⇒x 1=3-2x 2，①y 1=-2y 2，②∵A ，B 在抛物线上，∴y21=4x1，③y22=4x2，④由①②③④联立可得x2=1 2，则y2=±2，由③-④得(y1+y2)(y1-y2) =4(x1-x2)，即k AB=y1-y2x1-x2=4y1+y2=4-2y2+y2=-4y2=±22.2已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(-c,0)，F2(c,0)(c>0)．点M在E上，MF2⊥F1F2，△MF1F2的周长为6+42，面积为13 c.(1)求E的方程；(2)设E的左、右顶点分别为A，B，过点32，0的直线l与E交于C，D两点，记直线AC的斜率为k1，直线BD的斜率为k2，则．(从以下①②③三个问题中任选一个填到横线上并给出解答)①求直线AC和BD交点的轨迹方程；②是否存在实常数λ，使得k1=λk2恒成立；③过点C作关于x轴的对称点C′，连接C′D得到直线l1，试探究：直线l1是否恒过定点．【答案】解：(1)依题意，得2a+2c=6+42，12·2c·b2a=b2a·c=13c，a2=b2+c2，即a+c=3+22，b2a=13，a2=b2+c2，解得a2=9，b2=1，c2=8，所以E的方程为x29+y2=1.(2)选择①.设直线l的方程为x=ty+32，联立方程x29+y2=1，x=ty+32，化简整理，得4(t2+9)y2+12ty-27=0，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得y1+y2=-3tt2+9，y1y2=-274(t2+9)，得ty1y2=94(y1+y2)，直线AC的方程为y=y1x1+3(x+3)，直线BD的方程为y=y2x2-3(x-3)，联立方程，得y=y1x1+3(x+3)，y=y2x2-3(x-3)，两式相除，得x+3x-3=y2x2-3·x1+3y1=(x1+3)y2(x2-3)y1=ty1+92y2ty2-32y1=2ty1y2+9y22ty1y2-3y1=2·94(y1+y2)+9y22·94(y1+y2)-3y1=3(y1+y2)+6y23(y1+y2)-2y1=3(y1+3y2)y1+3y2=3，即x+3x-3=3，解得x=6，所以直线AC和BD交点的轨迹方程是直线x=6.选择②.联立方程x29+y2=1，x=ty+32，化简整理，得4(t2+9)y2+12ty-27=0，假设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由韦达定理，得y1+y2=-3tt2+9，y1y2=-274(t2+9)，得ty1y2=94(y1+y2)，于是k1k2=y1x1+3·x2-3y2=(x2-3)y1(x1+3)y2=ty2-32y1ty1+92y2=2ty1y2-3y12ty1y2+9y2=2·94(y1+y2)-3y12·94(y1+y2)+9y2=32y1+92y292y1+272y2=32(y1+3y2)92(y1+3y2)=13，故存在实数λ=13，使得k1=λk2恒成立．选择③.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，C′(x1，-y1)，联立方程x29+y2=1，x=ty+32，化简整理，得4(t 2+9)y 2+12ty -27=0，由韦达定理，得y 1+y 2=-3t t 2+9，y 1y 2=-274(t 2+9)， 设直线C ′D 与x 轴交于点M (m ,0)，由对称性可知k CM +k DM =0，即y 1x 1-m +y 2x 2-m=0，则y 1(x 2-m )+y 2(x 1-m )=0，所以y 1(x 2-m )+y 2(x 1-m )=x 1y 2+x 2y 1-m (y 1+y 2)=ty 1+32 y 2+ty 2+32 y 1-m (y 1+y 2)=2ty 1y 2+32-m (y 1+y 2)=2t ·-274(t 2+9)+32-m ·-3t t 2+9=0，即-9t +(3-2m )·(-t )=0，解得m =6，所以直线C ′D 恒过定点M (6,0)．3(2023·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(-25，0)，离心率为5.(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过点(-4,0)的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于点P .证明：点P 在定直线上．【答案】(1)解：设双曲线C 的方程为x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)，由焦点坐标可知c =25，则由e =c a=5，可得a =2，b =c 2-a 2=4，所以双曲线C 的方程为x 24-y 216=1.(2)证明 由(1)可得A 1(-2,0)，A 2(2,0)，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，显然直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x =my -4，且-12<m <12，与x 24-y 216=1联立可得(4m 2-1)y 2-32my +48=0，且Δ=64(4m 2+3)>0，则y 1+y 2=32m 4m 2-1，y 1y 2=484m 2-1，直线MA 1的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线NA 2的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，联立直线MA 1与直线NA 2的方程可得x +2x -2=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=y 2(my 1-2)y 1(my 2-6)=my 1y 2-2y 2my 1y 2-6y 1，方法一 (和积转化)因为my 1y 2=32(y 1+y 2)，所以my 1y 2-2y 2my 1y 2-6y 1=32(y 1+y 2)-2y 232(y 1+y 2)-6y 1=32y 1-12y 2-92y 1+32y 2=-13.方法二 (配凑)因为my 1y 2=32(y 1+y 2)，所以my 1y 2-2y 2my 1y 2-6y 1=my 1y 2-2y 1-2y 2+2y 1my 1y 2-6y 1=my 1y 2-2(y 1+y 2)+2y 1my 1y 2-6y 1=32y 1-12y 2-92y 1+32y 2=-13.由x +2x -2=-13可得x =-1，即x P =-1，据此可得点P 在定直线x =-1上运动．4已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，M ，N 分别为左、右顶点，直线l ：x =ty +1与椭圆C 交于A ，B 两点，当t =-33时，A 是椭圆的上顶点，且△AF 1F 2的周长为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线AM ，BN 交于点Q ，证明：点Q 在定直线上．(3)设直线AM ，BN 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1k 2为定值．【答案】(1)解：当t =-33时，直线l ：x =-33y +1，令x =0，得y =3，即椭圆的上顶点为0，3 ，则b =3，又△AF 1F 2的周长为6，即2a +2c =6，即a +c =3，又a 2-c 2=b 2=3，解得a =2，c =1，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明 由(1)知，M (-2,0)，N (2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意，点A ，B 不在x 轴上，由x =ty +1，x 24+y 23=1，消去x 并整理得(3t 2+4)y 2+6ty -9=0，Δ>0，则y 1+y 2=-6t3t 2+4，y 1y 2=-93t 2+4，得ty 1y 2=32(y 1+y 2)，直线AM 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BN 的方程为y =y 2x 2-2(x -2)，联立直线AM ，BN 的方程得x +2x -2=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=y 2(ty 1+3)y 1(ty 2-1)=ty 1y 2+3y 2ty 1y 2-y 1=32(y 1+y 2)+3y 232(y 1+y 2)-y 1=32y 1+92y 212y 1+32y 2=3，于是得x =4，所以直线AM ，BN 的交点Q 在定直线x =4上．(3)证明 由(2)知，k 1k 2=y 1(x 2-2)y 2(x 1+2)=y 1(ty 2-1)y 2(ty 1+3)=ty 1y 2-y 1ty 1y 2+3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13，为定值．5(2023·深圳模拟)在平面直角坐标系Oxy 中，已知双曲线C ：y 2a 2-x 2b2=1(a >0，b >0)的一条渐近线为y =33x ，且点P 3，2 在C 上．(1)求C 的方程；(2)设C 的上焦点为F ，过F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且AF =7BF ，求l 的斜率．【答案】解：(1)由双曲线标准方程可知，其渐近线方程为y =±a b x ，所以33=a b ，可得b 2=3a 2，将点P 3，2 代入双曲线C 的方程可得2a 2-3b 2=1，解得a 2=1，b 2=3，所以双曲线C 的方程为y 2-x 23=1.(2)由(1)可知，上焦点F (0,2)，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则直线l 的方程为y =kx +2，联立y 2-x 23=1，y =kx +2，整理得(3k 2-1)x 2+12kx +9=0，所以x 1+x 2=-12k3k 2-1，x 1x 2=93k 2-1，又AF =7BF ，即(-x 1,2-y 1)=7(-x 2,2-y 2)，可得x 1=7x 2，方法一 因为x 1x 2=7，所以x 1x 2+x 2x 1=(x 1+x 2)2x 1x 2-2=507，即-12k 3k 2-1 293k 2-1-2=507，解得k =±255，所以直线l 的斜率为±255.方法二 x 1+x 2=8x 2=-12k 3k 2-1，x 1x 2=7x 22=93k 2-1， 即-3k 2(3k 2-1) 2=97(3k 2-1)，解得k =±255，所以直线l 的斜率为±255.方法三 利用焦点弦定理(此方法只能在小题中使用)：|e cos α|=λ-1λ+1.由题意得AF =-7FB ，则λ=-7，e =2，α为直线l 的倾斜角，则有|2cos α|=43，解得|cos α|=23，则k =tan α=±255.6已知点A (0，-2)，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，且AP =12AQ ，求△OPQ 的面积及直线l 的方程．【答案】解：(1)设F (c ,0)，因为直线AF 的斜率为233，A (0，-2)，所以2c =233，解得c =3.又c a =32，b 2=a 2-c 2， 解得a =2，b =1， 所以椭圆E 的方程为x 24+y 2=1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可设直线l 的方程为y =kx -2，联立x 24+y 2=1，y =kx -2， 消去y 得(1+4k 2)x 2-16kx +12=0，当Δ=16(4k 2-3)>0，即k 2>34，即k <-32或k >32时，x 1+x 2=16k 1+4k 2，x 1x 2=121+4k 2，由AP =12AQ，得x 2=2x 1，即x 2x 1=2，所以x 1x 2+x 2x 1=(x 1+x 2)2x 1x 2-2=52，解得k 2=2720>34.又|PQ |=1+k 2(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 216k1+4k 2 2-481+4k 2=41+k 24k 2-31+4k 2，点O 到直线l 的距离d =2k 2+1，所以S △OPQ =12·d ·|PQ |=44k 2-31+4k 2=154，此时直线l 的方程为y =31510x -2或y =-31510x -2.。
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如果我们将所有的二次曲线方程用 ①表示，与直线 ②相交于 、 两点，联立①②式可得最终的二次方程：
消去 得：
消去 得：
应用韦达定理，可得：
， ，
， ，
（根据 ， 写 ， 的方法： 、 互换； 、 互换； 不变。）
对于等价的一元二次方程 的数值不唯一，且 的意义仅在于其与零的关系,故由 及 恒成立，则可取与 同号的 作为 的值。
消 得 ……①
（套公式，能简化运算）
，故有 ……①
由韦达定理有 ， ，（根据方程①，套公式）
（写 容易犯错，要小心）
因为以 为直径的圆过点 ，所以 ，
即 ，即 。
（这一运算简化很多）
化简得 ，即 。
所以 （舍去）或 （满足①式）。
令 ，则
又当 不存在时， 。综上，三角形 的面积最大值为 。
编制：高中数学QQ群648051755
曲线与直线相交，由 或 均可得
由
即
亦即 （其中 ， ）
（其ห้องสมุดไป่ตู้ ）
有时，曲线方程需要经过简单变形
曲线方程
方程变形
应用举例
例：已知直线 与椭圆 交于 两点( 不是左右顶点）且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，求△ 面积的最大值。
应用韦达定理，可得：
， ，
， ，
解： 即
（把直线写成 ，以及这个表格，不要省略！）