冀教版九年级上册 数学 课件 28.4 垂径定理(20张PPT)教学课件

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(冀教版)九年级数学上册精品教学课件:28.4垂径定理

(冀教版)九年级数学上册精品教学课件:28.4垂径定理
C
A
O● E
B
D
新课学习 探究二
(1)如图,在⊙O中,直径CD与弦AB(非直
径)相交于点E.
C
若AE=BE,则CD与AB垂直吗?
A⌒D=B⌒D,A⌒C=⌒BC吗?
O● A
E D
连接OA,OB
由三线合一可知,CD⊥AB.
B 再由垂径定理可得
⌒AD=B⌒D,A⌒C=B⌒C.
平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并平分 弦所对的两条弧.
A
故事中谁是主动者?做了什么?
E
B
直径
垂直于弦
D
出现了什么结果?
弦及弦所对的两条弧均被平分
巩固小练习
1.如图,在⊙O中,直径MN⊥AB于点C,则下 列结论中不一定正确的是___D__.
M
·O
C
A
B
N
巩固小练习 2.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E, OC=5cm,CD=8cm,则OE=___3___.
总结提升
利用垂径定理解决问题的基本图形
AC O●
直角三角形中 B
已知两边
用勾股定理直接 求第三边
只知一边 需要用到勾股方程
做弦心距、连半径是最常做的辅助线
典例精析
例2.已知:如图,BC为⊙O的直径,BF为弦, A为B⌒F的中点,AD⊥BC与点D,AD和BF相交于点
E.求证:AE=BE.
A
分析:已知中出现直径,
F
从“直径所对的圆周角
E
是直角”角度考虑.
B D ·O
C
典例精析
连接AB,AC AB是⊙O的直径 ∠ABC=90° AD⊥BC
A F
E
B D ·O

优秀课件冀教版九年级数学上册:28.4垂径定理课件 (共14张PPT)

优秀课件冀教版九年级数学上册:28.4垂径定理课件 (共14张PPT)

CD是直径 , AB ⊥CD, AE = BE、
例题解析1
咱们学校的供水管道损坏,现在工人师傅要为小区 换管道,他测量出管道有积水部分的最大深度是2CM, 水面的宽度为8CM,这个工人师傅想了又想,也不知道 该用多大的水管来替换,你能帮他解决这个问题吗?
解:连结OC,设⊙O的半径为R ∵AB为⊙O直径,AB⊥CD∴CE=DE ∵CD=8∴CE=DE=4 在Rt△COE中 CO2=OE2+CE2,R2=(R-2)2+42 解得R=5 答:该用半径为5 CM的水管来替换
.
证明:连结OA、OB,
∵ OA = OB,又OE⊥AB,
O E B
A
∴AE=BE, ∠AOE=∠BOE ∴ ∵∠AOC=180-∠AOE, ∠BOC=180-∠BOE ∴∠AOC=∠BOC ∴
D
垂径定理
1、文字语言
C
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平 分这条弦所对的两条弧。
2、符号语言
O A D E B
选做题:垂径定理还能得出其他的结 论吗?
请领导多提宝贵意见!
北郭村农业中学 数学组
创设情境,导入课题
咱们学校的供水管道损坏,现在工人师 傅要为小区换管道,他测量出管道有积水部 分的最大深度是2CM,水面的宽度为8CM, 这个工人师傅想了又想,也不知道该用多大 的水管来替换,你能帮他解决这个问题吗?
九年级上册冀教版
北郭中学九轴对称性探究垂径定理、证明垂径定 理,能利用垂径定理进行相关的计算和证明
2、通过观察、比较、操作,推理、归纳等活动,发 展空间观念,推理能力及概括问题的能力
3、利用圆是轴对称图形,引导独立探究垂径定理, 并培养学生积极探索数学问题态度及方法

冀教版-数学-九年级上册-28.4垂径定理 教学课件

冀教版-数学-九年级上册-28.4垂径定理 教学课件

1.直径垂直于弦
(条件)
垂径定理的几何语言叙述:
直径平分弦
直径平分弦所对的弧 (结论)
∵CD为直径,CD⊥AB(或OC⊥AB)垂足为E
∴ EA=EB, A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
A
2.分一条弧成相等的两条弧的点,
叫做这条弧的中点.
CE O
D
⌒ 例如,点C是⌒AB的中点,点D是ADB的中点B.
3.请你对上述命题写出已知,求证,并给出证明. 解 已知:如图,CD是⊙O的直径,AB是⊙O的一
条弦,CD⊥AB,且交AB于点E.
求证: EA=EB,

AC=
B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
A
思考:你能利用等腰
三角形的性质,说明 OC平分AB吗?
CE O
D
B
证明:连结OA,OB.
三 概括性质(垂径定理:垂直于弦的直 径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.)
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8. 由勾股定理得:
OC OB2 BC2 102 82 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
10 C 88 D
例1:一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径
OB=10,水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
变式一:
若已知排水管的半径OB=10,
截面圆心O到水面的距离OC=6, 求水面宽AB。
在解与圆有关的证明题中,常做的辅 助线是过圆心做弦的垂线段。遇到题 目有一题多解的情况时,要善于用最 简单的方法解决,同时注意解题的方 法的归纳总结,做到举一反三,触类 旁通。
1.如图,⊙O的直径为10,弦AB长为8,M是
弦AB上的动点,则OM的长的取值范围是( )

冀教版初中数学九年级上 册28.4 垂经定理 课件 教学课件

冀教版初中数学九年级上 册28.4 垂经定理 课件 教学课件

AEB

当堂检测:
4、如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为
13cm,OE=5cm,则A2B4= cm。
AE
B
·O
• 方法提炼:涉及半径、弦长、圆心到弦距 离的计算时,通常作半径,及过圆心作弦 的垂线,构造以半径为斜边的直角三角形 ,利用垂径定理和勾股定理解决。
温馨提示
·O
计算中常用勾股定理 呀!
A
E
B
F
例题:一条排水管的截面如图所示。已知水面宽
AB=16,排水管中水的最大深度为4.求排水管的半径。
·O
A
B
变式: 一条排水管的截面如图,水面宽AB=6,排水
管中水的最深度为9。求排水管的半径。
A
B
·O
解决问题:
体会.分享
说出你这节课的收获和体验,让大家 与你一起分享!!!
拓展延伸:
1、在半径为5的⊙O中,AB,CD为两 条平行的弦,若AB=8,CD=6,求这两 条平行弦之间的距离。
28.4
垂径定理(一)
问题情境
东东是一个淘气的小男孩,在与小猫 玩耍时不小心打碎了妈妈的圆形梳妆镜。 还好,剩下了如图的部分,他想为妈妈再 买一个同样大小的镜片,但不知买多大的 ,你能帮帮东东吗?
学习目标
1、经历探索垂径定理的证明过程。 2、会用垂径定理进行简单的证明 和计算。
? 思 考 猜一猜:
A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE
⌒⌒
D、BD=BC
C
D
E

B
当堂检测:
2、如图,OE⊥AB于E,若弦AB=16cm, OE=6cm,则⊙O的半径是10 cm。
A

九年级数学上册 第28章 圆 28.4 垂径定理导学课件 (新版)冀教版

九年级数学上册 第28章 圆 28.4 垂径定理导学课件 (新版)冀教版

28.4 垂径定理
[归纳总结]利用垂径定理构造直角三角形是解决此类问题的关键, 能些题目在解题时引入方程,可以达到事半功倍的效果.
28.4 垂径定理
总结反思
小结 知识点一 垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且___平__分___这条弦 所对的两条弧.
28.4 垂径定理
知识点二 垂径定理的推论
图28-4-3
28.4 垂径定理
解:连接 OC,过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,交 CD 于点 F, 则 OE⊥CD,AE=BE,CF=DF. ∵OA=1 m,AB=1.2 m, ∴OE= 12-(12.2)2=0.8(m). ∵下雨后,水管水面上升了 0.2 m,即 EF=0.2 m,∴OF=0.6 m, ∴CF= OC2-OF2= 12-0.62=0.8(m), ∴CD=2CF=1.6 m. 答:此时排水管水面的宽 CD 为 1.6 m.
如图 28-4-4,在⊙O 中,设直径 CD 与弦 AB(非直径)相交于点 E.若把 AE=BE, CD⊥AB,A︵D=B︵D中的一项作为条件,则可 得到另外两项结论.
图28-4-4
28.4 垂径定理
反思
已知⊙O 的半径为 13 cm,弦 AB∥CD,AB=24 cm,CD= 10 cm,求 AB,CD 之间的距离.
解:如图 28-4-5,过点 O 作 OF⊥CD,垂足为 F,交 AB 于点 E,连接 OA,OC.
∵AB∥CD,OF⊥CD, ∴OE⊥AB.∵AB=24 cm,CD=10 cm, ∴AE=12 cm,CF=5 cm.
图28-4-5
28.4 垂径定理
∵OA=OC=13 cm, ∴OE= OA2-AE2=5 cm, OF= OC2-CF2=12 cm, ∴EF=12-5=7(cm). 以上解答过程正确吗?如果不正确,请你写出正确的 解答过程.

冀教版九年级上册数学《垂径定理》PPT教学课件

冀教版九年级上册数学《垂径定理》PPT教学课件

连接 OP,∵OC=OP,∴∠OCP=∠P,又∠DCP=∠OCP,∴∠DCP
︵ =BP

=∠P,∴CD∥OP,∵CD⊥AB,∴OP⊥AB,则AP
14.(9分)如图,两个圆都以点O为圆心,大圆的弦AB交小圆于点C,D,
求证:AC=BD.
过点O作OM⊥AB,垂足为M,由垂径定理可得MA=MB,MC=MD,



CD AB,
AD =BD


(或
AC =BC)
AE=BE.







思考:
“不是直径”这个条件能去掉吗?如果不能,请举出反例.
M
A
提示:
C
D
O
圆的两条直径是互相平分
B
的,但是不一定相互垂直.
N
一条直线满足五个条件:
①过圆心(非直径)
④平分弦所对优弧 ①
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证:AE=BE,AC =BC, AD =BD.
证明:如图,连接OA,OB.
∵ OA=OB,CD⊥AB,
∴ AE=BE.
又∵ ⊙O关于直径CD对称,
∴ A点和B点关于直径CD对称,
෽ 重合,

∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,与
෽ = .

因此
෽ = .

同理得到
=OC=5,则OD=OC-CD=5-
1=4.∵ OC⊥AB,∴ ∠ODA=
90°,∴ AD==3.又∵ AB为⊙O
的弦,∴AB=2AD=6.
课堂小结
定 理




推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,

冀教版九年级上册数学教学课件 第二十八章 圆 垂径定理

冀教版九年级上册数学教学课件 第二十八章 圆 垂径定理

D
∴弧AD=弧BD. 又∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE, ∴∠AOC=∠BOC.∴弧AC=弧BC.
课程讲授
1 垂径定理及其推论
问题2:如图,在⊙O中,直径CD与弦AB(非直径)相
交于点E.若AE=BE,你能判断CD与AB垂直吗?
弧AD与弧BD相等吗?弧AC与BC相等吗?说明你的理
解 设圆弧的圆心为点O,过点O
E
作OD⊥AB,交AB于点D,交圆
弧于点E,
D
则AD=BD=
1 2
AB=30 m,
DE=18 m.
设拱桥的半径为x m,
O
则(x-18)2+302=x2,
解得x=34.
即拱桥的半径为34 m.
课堂小结
垂弦定理
垂直于弦的直径平分弦,并 且平分弦所对的两条弧.
垂直于 弦的直
由.
C
CD⊥AB,弧AD=弧BD.
证明:连接OA,OB.
O
在△OAB中,∵OA=OB,AE=BE,
A
B
E
∴CE⊥AB,∠AOE=∠BOE. ∴弧AD=弧BD.
D
又∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE,
∴∠AOC=∠BOC.∴弧AC=弧BC.
课程讲授
1 垂径定理及其推论
问题3:如图,在⊙O中,直径CD与弦AB(非直径)相
随堂练习
1.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5 cm,
CD=8 cm,则AE=( A )
A.8 cm B.9 cm C.7 cm D.6 cm
随堂练习
2.如图,⊙O的弦AB=8,半径ON交AB于点M,M是AB的中

冀教版九年级数学 28.4 垂径定理(学习、上课课件)

冀教版九年级数学  28.4 垂径定理(学习、上课课件)

C. 21 cm D. 2 21 cm
感悟新知
解题秘方:连接半径,构造垂径定理的基本图形 . 知1-练
解:如图 28-4-2, 连接 OA.
∵ OE=2 cm, DE=7 cm,
∴ OD=5 cm,
在使用垂径定理时,若已知圆心,作 垂直于弦的半径(或直径)或连接圆
∴ OA=5 cm, 心和弦的一个端点(即连半径),是
感悟新知
拓宽视野 对于圆中的一条直线,如果具备下列五个
条件中的任意两个,那么一定具备其他三个: (1)过圆心; (2)垂直于弦; (3)平分弦(非直径); (4)平分弦所对的劣弧; (5)平分弦所对的优弧 .
简记为“知二推三” .
知2-讲
感悟新知
知2-练
例2 如图 28-4-4, AB, CD 是⊙ O 的弦, M, N 分别为 AB,CD 的中点,且∠ AMN= ∠ CNM. 求证: AB=CD.
感悟新知
知2-练
解题秘方:根据弦的中点作符合垂径定理推论的 基本图形,再结合全等三角形的判定 和性质进行证明 .
感悟新知
证明:如图 28-4-4,连接 OM, ON, OA, OC. 知2-练
∵ O 为圆心,且 M, N 分别为 AB, CD 的中点, ∴ AB=2AM, CD=2CN, OM ⊥ AB, ON ⊥ CD. ∴∠ OMA= ∠ ONC=90° . ∵∠ AMN= ∠ CNM, ∴∠ OMN= ∠ ONM. ∴ OM=ON. 又∵ OA=OC,
CD 是直径, CD ⊥ AB,
⌒AE=B⌒E, ൠ⇒ቐA⌒D = B⌒D ,
AC = BC .
感悟新知
知1-练
例1 [母题 教材 P164 例 ]如图 28-4-2,⊙ O 的直径 CD 垂 直弦 AB于点 E,且 OE=2 cm, DE=7 cm,则 AB 的 长为( )

冀教版九年级上册 数学 课件 28.4 垂径定理(20张PPT)最新课件

冀教版九年级上册 数学 课件 28.4 垂径定理(20张PPT)最新课件
,垂足为M,则OM的长为____3_c,m CM的长为8_c_m__或__2_c_m_.
解:连接AO,
A
∵AB⊙=8Oc的m,直径∴CADM==1M0cBm=,12 A×B8⊥=4CcDm,,
OD=OC=5cm. 当M点在半径OD上时,
C
O D
M
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB, ∴OM=3cm, ∴CM=OC+OM=5+3=8cm.
1/10/2021
探究活动二
如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足 为E. (1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什 么? (2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?
(1)是轴对称图形.直径CD所在的
C
直线是它的对称轴.
(2) 线段: AE=BE
弧:A⌒C=B⌒C ,A⌒D=B⌒D
A
B
r

O
1/10/2021
例1:赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦
的长)为37米,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23米,你
能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
C
解:经过圆心O作弦AB的垂线OC,垂 足为D ,OC与弧AB相交于点C,
A
D B
由垂径定理,D是AB的中点,C 是弧AB的中点,CD就是拱高.
·O
把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个A E
B
半,圆AC重⌒, 合AD,⌒分点别A与与B点CB⌒、重B合D⌒,重A合E.与BE重合
1/10/2021
D
叠合法
动手试试 如何证明上述结论呢?
如图,理由如下:
连接OA、OB, 则OA=OB.
C
∵OA=OB,OE⊥AB, ∴AE=BE.

冀教版初中数学九年级上 册28.4 垂经定理 课件 最新课件

冀教版初中数学九年级上 册28.4 垂经定理 课件 最新课件

AEB

当堂检测:
4、如图,OE⊥AB于E,若⊙O的半径为
13cm,OE=5cm,则A2B4= cm。
AE
B
·O
• 方法提炼:涉及半径、弦长、圆心到弦距 离的计算时,通常作半径,及过圆心作弦 的垂线,构造以半径为斜边的直角三角形 ,利用垂径定理和勾股定理解决。
温馨提示
·O
计算中常用勾股定理 呀!
如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E . (1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?
(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧(半圆除外)?为什么?
C
条件 CD为直径 CD⊥AB
结论
AE=BE ⌒⌒ A⌒C=B⌒C

AD=BD
A
E
B
D
请用证明的方式,验证猜 想的正确性。
A、∠COE=∠DOE B、CE=DE C、OE=AE
⌒⌒
D、BD=BC
C
D
E

B
当堂检测:
2、如图,OE⊥AB于E,若弦AB=16cm, OE=6cm,则⊙O的半径是10 cm。
A
EB
· O
当堂检测:
3、如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,
⊙O的半径为5cm,则圆心O到AB的距离
是 3cm 。
证一证:
已知: CD是圆0的直径, AB为弦,且AB⊥CD,
垂足为E。
C
求证:AE=BE,A⌒D=B⌒D, A⌒C=B⌒C.

说一说:
A
E
B
D
你能把上述的条件及结论归纳成定理
吗?
垂径定理: 垂直于弦的直径平分弦,

冀教版九年级上数学课件 第28章圆28.4垂径定理(共19张PPT)

冀教版九年级上数学课件 第28章圆28.4垂径定理(共19张PPT)

例2:如图,一条排水管的截面。已知排水管的半径 OB=10,水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
解:作OC⊥AB于C, 由定理得:
AC=BC=AB/2=0.5×16=8 由勾股定理得:
10 C 88
O C O B 2 B C 21 0 2 8 2 6 D 答:截面圆心O到水面的距离为6
概念:弦心距
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇,谁就心想事成。2021/8/262021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好,他就不能发展培养和教育别人。2021年8月26日星期四2021/8/262021/8/262021/8/26 •15、一年之计,莫如树谷;十年之计,莫如树木;终身之计,莫如树人。2021年8月2021/8/262021/8/262021/8/268/26/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习,自己研究,用自己的头脑来想,用自己的眼睛看,用自己的手来做这种精神。2021/8/262021/8/26August 26, 2021 •17、儿童是中心,教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/262021/8/262021/8/262021/8/26
请观察下列3个银行标志有 何共同点?
圆是轴对称图形吗?
O
圆是轴对称图形,每一条直径所在的直线都 是对称轴。
如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O直径.
(1)该图是轴对称图形吗?
(2)能不能通过改变AB、CD的位置关系,使它成
为轴对称图形?
C
直径AB和弦CD互相垂直
O E
B
A D

冀教版-数学-九年级上册-28.4垂径定理 精品课件

冀教版-数学-九年级上册-28.4垂径定理 精品课件

OAOE 中,由勾股定理,得:
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
2、 如图,在⊙O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦, OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证四边形ADOE是正方形.
证明: OE AC OD AB AB AC
OEA EAD ODA 90
平分弦所对的两条弧.
归纳
“知二推三”
(1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分 线所对的优弧 (5)平分线所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一条弦增加( ) 的限制
小结:
C
·O
E
A
B
1、如图,已知CD是⊙O的直径,弦AB⊥ CD于E,ADB=8,
则AE= 4 , BE= 4 ,
·O
E
A
B
D
由 ① CD是直径
可推得
② CD⊥AB
③AE=BE,
⌒⌒
④AC=BC,
⌒⌒
⑤AD=BD.
三、探究活动三:探究垂径定理的推论
已知⊙O,在圆上任意画一弦AB,找出弦 C
AB的中点E,过点E作直径CD,则
(1)直径CD是否垂直AB?
(2)是否平分弦所对的两条弧?
·O
结论:
●E
A
B
D
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且
此你能得到什么结论?
圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称 轴。
自主探究 合作交流
如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB, 垂足为E。
1、你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什 么
C
·O
E
A
B
D
2、你能用一句话概括这些结论吗?

28.4 垂径定理 课件(共20张PPT) 数学冀教版九年级上册

28.4 垂径定理 课件(共20张PPT) 数学冀教版九年级上册
28.4 垂径定理
第二十八章 圆
1.理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程. (重点)2.能够运用垂径定理及其推论解决实际问题. (难点)
学习目标
问题 赵州桥的半径是多少?
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
情景导入
知识点一:垂径定理
问题1 如图,AB是⊙O的一条弦,做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E.沿着CD所在的直线折叠,你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?

线段:AE=BE
·
O
A
B
C
E
D
证明:如图所示,连接OA,OB.
在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB,
∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.
解:如图,连接OA.设⊙O的半径为r. ∴ CD为⊙O的直径,AB⊥CD, ∴ AE=BE. ∴AB=8,∴ AE=BE=4, 在 Rt△OAE 中,OA2=OE2+AE2, OE=OD-ED,即r2 = (r-2)2+42. 解得r=5,从而2r=10. 所以直径CD的长为10.
例2 解决求赵州桥拱半径的问题:
如图,用弧AB表示主桥拱,设弧AB所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知,D是弦AB的中点,C是弧AB的中点,CD就是拱高.它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理推论1
几何语言:
你还有其他的结论吗?你发现了什么?
∵ CD是直径,AE=BE,

冀教版初中数学九年级上册垂经定理优质PPT

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因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
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二 垂径定理的推论
问题 命题:“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且
平分弦所对的两条弧。”是真命题吗?若是,请证明;若
不是请举出反例. C
∵ CD是直径,AE=BE
·O
∴ CD⊥AB,
⌒⌒ AC =BC,
⌒ AD
=B⌒D.
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AE D
B
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(1)如何证明?
已知:如图,CD是⊙O的直径,AB为弦,且AE=BE.
求证:CD⊥AB,且⌒AD=⌒BD, ⌒AC =B⌒C C
证明:连接OA,OB,则OA=OB
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AE=BE,弧AD=弧BD,弧AC=弧BC
C
即直径CD平分弦AB,并且平分弧AB及弧ACB
由此,我们得到下面的定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且
·O
平分弦所对的两条弧.
E
A
B
我们还可以得到结论:
D
平分这条弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦
所对的两条弧.
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E
A
B
D
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C
(2)线段:AE=BE
弧:弧AC=弧BC,弧AD=弧BD
·O
把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个 A
E
B
半圆重合,点A与点B重合,AE与BE重合,
D
弧AC、弧AD分别与弧BC、弧BD重合.

冀教九年级数学上册《垂径定理》课件

冀教九年级数学上册《垂径定理》课件

• 例1.如图,如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB, 垂足为E,那么下列结论中,错误的是(D )。
• A. CE=DE
B.弧BC=弧BD
A
• C.∠BAC=∠BAD D.AC>AD
O
C
D
B
• 例2.如图,CD为直径,AB⊥CD于E, DE=8,CE=2cm,则AB=__8__.
C
A
2
3E
B
5O 8
《垂径定理》
复习:
• 圆是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴 • 是什么?你能找到多少条对称轴?
• 圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过 圆心的直线
如图AB是⊙O的一条弦,作直径 CD,使CD⊥AB,垂足为M。
A
1.此图是轴对称图形吗?如果是, 其对称轴是什么?
2.你能发现图中有哪些等量关系? 说一说你的理由。
•2、gladly would learn, and gladly teach.勤于学习的人才能乐意施教。 •3、is not the filling of a pail but the lighting of a fire. •4、好的教师是让学生发现真理,而不只是传授知识。 •5、be unboun than untaught, for ignorance is the root of misfortune与其不受教育,不知不生,因为无知是不幸的根源。
D
常用辅助线:
• 1.见弦作垂径(垂直于弦的直径).
• 2.见弦作弦心距.
• 3.连半径(OA或OB)成为直角三角形,用
直角三角形性质来解题.
CAEBO源自D本节课小结:• 垂径定理是解决有关弦及弧的问题的依据, 见弦作垂径、见弦作弦心距、连半径是几 种重要的辅助线。
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F,则EF=__4___.
解:∵OE⊥AP于E,OF⊥PB于F,
∴AE=PE,PF=BF.
∴EF是△APB的中位线.
∴EF=
1 2
AB=4.
AE
O
F
B
P
12/9/202012/9/2020
圆是轴 对称图

垂径定理
垂 直 于 弦 的 直 径
垂径定 理推论
垂径定理 的应用
垂径定理 与勾股定 理结合
12/9/2020
·O
把圆沿着直径CD折叠时,CD两侧的两个A E
B
半,圆AC重⌒, 合AD,⌒分点别A与与B点CB⌒、重B合D⌒,重A合E.与BE重合
12/9/2020
D
叠合法
动手试试 如何证明上述结论呢?
如图,理由如下:
连接OA、OB, 则OA=OB.
C
∵OA=OB,OE⊥AB, ∴AE=BE.
O
∴点A和点B关于CD对称.
图1
B
当M点在半径OC上时,
A
同理可得OM=3cm,
∵OC=5cm,∴MC=5﹣3=2cm, 故CM的长为8cm或2cm.
O
C
D
M
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图2
B
解 决 问 题
赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长 )为37米,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23米,你能 求出赵州桥主桥拱的半径吗?
方法总结
对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、 圆半径r、弓形高h,这四个量中,只要已知其 中任意两个量,就可以求出另外两个量,如图 有:
h da rO
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⑴d + h = r
⑵r 2
d
2
a 2
2
中考链接
如图,点A、B是⊙O上两点,AB=8,点P是⊙O上的动点(P与 A、B不重合),连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于
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探究活动二
如图,AB是⊙O的一条弦,作直径CD,使CD⊥AB,垂足 为E. (1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什 么? (2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧?为什么?
(1)是轴对称图形.直径CD所在的
C
直线是它的对称轴.
(2) 线段: AE=BE
弧:A⌒C=B⌒C ,A⌒D=B⌒D
A
B
r

O
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例1:赵州桥的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦
的长)为37米,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23米,你
能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
C
解:经过圆心O作弦AB的垂线OC,垂 足为D ,OC与弧AB相交于点C,
A
D B
由垂径定理,D是AB的中点,C 是弧AB的中点,CD就是拱高.
AB与CD位置关系是: CD⊥AB,
等量关系有:
A⌒D=B⌒D, A⌒C=B⌒C.
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C
·O
A
E
B
D
A
为什么题目中要强调AB是一条非直径
的弦呢?
C
OD
C
条件
·O
由 CD是直径
E A
AE=BE
B
D
可推得
B
结论
CD⊥AB,
A⌒C=B⌒C, A⌒D=B⌒D.
(垂径定理推论) 平分弦(不是直径)的直 径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
∵⊙O关于直线CD对称,
E
∴重当合圆, ⌒A沿C和着B⌒直C重径合C, D⌒ AD对和折B⌒D时重,点合A. 与点B A
D
B
∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
我们把这个结论称为垂径定理
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垂径定理 的三种语言形式
定理: 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两Leabharlann 弧.探C索


A E└
28.4 垂径定理
它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23m,
你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
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探究活动一
把一个圆沿着它的任意一条直径所在的 直线对折,重复几次,你发现了什么?由 此你能得到什么结论?
·
可以发现:圆是_轴__对_称_图形,任何一条_直__径__所__在_直_都线 是它的对称轴,它有____无__数_条_对称轴.
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1

判断题: (1)平分弦的直径,平分这条弦所对的弧.
( )
(2)弦的垂直平分线,必定过圆心.
( √)
(3)垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
牛 刀
( )


A
C
C
•O D
•O
(1) B
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ACB (2)
•O
A
B
D
(3)
2

如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O 到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.
∵ AB=37,CD=7.23,
1 2
∴ AD= AB= 12×37=18.5,
OD=OC-CD=r-7.23.
r
连 •O 作



线
在Rt△OAD中由勾股定理,得OA2=AD2+OD2 , 即 r2=18.52+(r-7.23)2 , 解得r≈27.3(m)
12/9/20201因2/9/2此020,赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
D
●O
如图∵ CD是直径
CD⊥AB,
∴AE=BE,
A⌒C = B⌒C,
B
A⌒D
=

BD.
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对优弧 ⑤平分弦所对劣弧
• 提示:垂径定理是圆中一个重要的结论,三种 语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
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探究活动三
如图,AB是⊙O的一条弦(不是直径) ,且AE=BE.过点E 作直径CD. (1)从图中你能发现AB与CD有什么位置关系? (2)图中有哪些等量关系?并说出理由.
,垂足为M,则OM的长为____3_c,m CM的长为8_c_m__或__2_c_m_.
解:连接AO,
A
∵AB⊙=8Oc的m,直径∴CADM==1M0cBm=,12 A×B8⊥=4CcDm,,
OD=OC=5cm. 当M点在半径OD上时,
C
O D
M
∵OA=5cm,AM=4cm,CD⊥AB, ∴OM=3cm, ∴CM=OC+OM=5+3=8cm.
本节课你有哪些收获,哪些感想?
明白了 圆是轴对称性图形 垂径定理及推论.
学会了 圆中常作辅助线(连半径、作垂线)构 造直角三角形,用垂径定理和勾股定 理来解决有关的证明、计算问题.
12/9/2020
懂得了 动手实践的重要性; 认真观察、大胆猜想、求证的科学态度.
牛 刀
变式1) 若⊙O的半径为5cm,OE=3cm,则AB= 8 cm .

A
试 解:过点O作OE⊥AB于点E,连接OA
∵OE⊥AB,AB=8, ∴AE=BE=4.
·E
O
∵OE=3,
B
∴AO=5.
12/9/人202教0 版九年级数学上册
变式2) 若⊙O的半径为5cm,弦AB的长为8cm ,弦AB⊥直径CD
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