[原创]2011年《随堂优化训练》数学 北师大版 八年级 第四章 3 菱形 [配套课件]

【易错指津】利用邻边相等或对角线垂直判别菱形时不要忽略 “平行四边形”这个前提条件，满足一组邻边相等或对角线垂直的 四边形不一定是菱形，还必须说明四边形是平行四边形．
C．对角线互相垂直
D．对角线互相垂直平分
4．如图 3，AD 是△ABC 的角平分线，AD 的垂直平分线
EF 交 AB 于 E，交 AC 于 F，四边形 AEDF 是菱形吗？说说你 的理由．
图3 解：四边形 AEDF 是菱形，理由如下：由 EF 垂直平分 AD， 得 AE＝DE，于是∠1＝∠3，又因为∠1＝∠2，所以∠2＝∠3，
2．如图 2，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F，
AE 与 AF 相等吗？为什么？
图2 解：AE＝AF，理由如下： 连接 AC，∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC 平分∠BAD，即∠BAC＝∠DAC.
在△ACE 和△ACF 中，∠AEC＝∠AFC＝90°，
∠BAC＝∠DAC，AC＝AC， ∴△ACE≌△ACF.∴AE＝AF.
图5 解：∵∠ACB＝90°，DE 是 BC 的垂直平分线，
∴CE＝BE，∠B＝∠BCE＝30°.
∴∠ECA＝90°－30°＝60°. ∴∠ECA＝∠EAC.∴CE＝AE＝BE.
∵∠BAC＝60° ，∴△ACE 为等边三角形． 在△AEF 中，∠AEF＝∠DEB＝∠CAB＝60° ， 而 AF＝CE，又 CE＝AE，∴AE＝AF， ∴△AEF 为等边三角形． ∴∠CAE＝∠AEF＝60° ，∴AC 綊 EF. ∴四边形 ACEF 为平行四边形． 又∵CE＝AC，∴四边形 ACEF 为菱形．
【规律总结】利用菱形的性质可以证明线段相等、线段垂
直、角相等．由于菱形的对角线把菱形分成两个全等的等腰三 角形和四个全等的直角三角形，因此有关菱形的计算或证明常 常可以应用等腰三角形或直角三角形知识来解决．
【例2】如图 5，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝
60°，DE 垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB 于点 E，又点 F 在 DE 的延长线上，且 AF＝CE.试说明：四边形 ACEF 是菱形．
随堂小练
1．如图 1，过菱形 ABCD 的钝角的顶点 C 所作的高 CE 平 分边 AD ，并交 AD 于点 E ，则这个菱形中的锐角 ∠D 等于 60° ________．
图1 点拨：连接 AC，因为 CE 垂直平分 AD，所以 CD＝CA，又 因为 CD＝DA，所以△CDA 是等边三角形，所以∠D＝60°.
从而 AF∥DE，同理 AE∥DF，所以四边形 AEDF 是平行四边形，
又因为 AE＝DE，所以四边形 AEDF 是菱形．
菱形的性质 【例1】如图 4，菱形ABCD的周长为16 cm，∠ABC＝120°，
求对角线 BD 和 AC 的长．
图4
1 解： 在菱形 ABCD 中， AB＝AD＝BC＝CD＝4×16＝4(cm)， 1 对角线 BD 平分∠ABC，∠ABD＝2∠ABC＝60° ， ∴△ABD 是正三角形．∴BD＝AB＝4 cm，OB＝2 cm. 在△AOB 中，AO＝ AB2－OB2＝2 3(cm)． ∴AC＝2AO＝4 组______相等的平行四边形叫做菱形． 2 ． 菱形的性质： (1) 具有平行四边形的一切性质； 四条边 互相垂直 (2)______都相等；(3)对角线________，并且每一条对角 轴对称 线平分一组对角；(4)菱形是______图形，对称轴是两条 对角线所在的直线．
菱形的判别方法(难点)
菱形的判别方法： 邻边 (1)一组______相等的平行四边形是菱形；
互相垂直 (2)对角线__________的平行四边形是菱形；
都相等 (3)四条边________的四边形是菱形． 剖析：判别方法二也可以理解为对角线互相垂直平分的四 边形是菱形．
随堂小练
3．下列条件中，能判断出四边形是菱形的是( D ) A．组对边相等，另一组对边平行 B．一组对角相等，一组邻角互补