(完整word版)高三物理专项基础训练：第19练圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题
向心力最小时,角速度最小
向心力最大时,角速度最大
m
四、实例分析
例4：如图，长为L的绳子，下端连着质量为m的小球，上端接于天花 板上，当把绳子拉直时，绳与竖直方向夹角θ=60°。此时小球静止于光
三、解决圆周运动中临界问题的一般方法
1、对物体进行受力分析 2、找到其中可以变化的力以及它的临界值 3、求出向心力（合力或沿半径方向的合力）的临界值
4、用向心力公式求出运动学量（线速度、角速度、周期、 半径等）的临界值
四、实例分析
例1：如图，在质量为M的电动机的飞轮上，固定着一个 质量为m的重物（m的体积和大小可忽略），重物m到飞 轮中心距离为R，飞轮匀速转动时，为了使电动机的底 座不离开地面，转动的角速度ω最大为多少？
B A
O’
四、实例分析
例3：在以角速度ω匀速转动的转台上放着一质量为M的物体，通过一 条光滑的细绳，由转台中央小孔穿下，连接着一m的物体，如图所示。 设M与转台平面间的最大静摩擦力为压力的k倍，且转台不转时M不能 相对转台静止。求：
（1）如果物体M离转台中心的距离保持R不变，其他条件相同，则转台转动
A A
30°
30°
B
45°Biblioteka B 45°CCO
A
O’
水平转盘上放有质量为m的物快，当物块到转 轴的距离为r时,若物块始终相对转盘静止，物 块和转盘间最大静摩擦力是正压力的μ倍，求 转盘转动的最大角速度是多大？
物体与圆筒壁的动摩擦因数为μ ，圆筒的半 径为R，若要物体不滑下，圆筒的角速度至少 为多少？
圆周运动_临界问题
当v=v0，对轨道刚好无压力，小球刚好能够通过最高点；
当v>v0，对轨道有压力，小球能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点。
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须满足：v gr
规律总结：无支持物
物体在圆周运动过最高点时，轻绳对物体只能产生沿绳收 缩方向向下的拉力，或轨道对物体只能产生向下的弹力； 若速度太小物体会脱离圆轨道——无支持物模型
①临界条件：绳子或轨道对小球恰好没有弹力的 作用，重力提供向心力，即 mg＝mvR2临界， 解得小球恰能通过最高点的临界速度为: v ＝ 临界 Rg. ②能过最高点的条件：v≥ gR，当 v> gR时，绳对 球产生拉力，轨道对球产生压力．
③不能过最高点的条件：V<V临界(实际上小球尚未到达 最高点时就脱离了轨道)．
能使小球在管内做完整的圆周运动？
临界速度：F 0,v0 gR
当v<v0，内壁对球有向上的支持力；
当v>v0，外壁对球有向下的压力。
使小球能做完整的圆周运动在最低点的速度：
vA＞2
gr
过最高 点的临 界条件 最低点 的临界
速度
轻绳模型 由 mg＝mvr2 得 v 临＝ gr 由机械能守恒可得
,v2
gL
由牛顿第三定律，B球对O轴的L 拉力 T v24mg ，竖直向下。 ⑵杆对B球无作用力，对A球:T mg m ,T mg
由牛顿第三定律，A球对O轴的拉力 T 2Lmg ，竖直向下。
⑶在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不 受力的情况？请计算说明。
v2
若B球在上端A球在下端，对B球：T 2mg 2mg
（1）若m在最高点时突然与电机脱离， 它将如何运动? （2）当角速度ω为何值时，铁块在最高 点与电机恰无作用力? （3）本题也可认为是一电动打夯机的原 理示意图。若电机的质量为M，则ω多大 图3-5 时，电机可以“跳”起来?此情况下，对 地面的最大压力是多少?
高中物理圆周运动的临界问题(含答案)
1圆周运动的临界问题一 ．与摩擦力有关的临界极值问题物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F m ＝m rv 2，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连物体，其中一个在水平面上做圆周运动时，存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
二 与弹力有关的临界极值问题压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力等。
【典例1】 (多选)(2014·新课标全国卷Ⅰ，20) 如图1，两个质量均为m 的小木块a 和b ( 可视为质点 )放在水平圆盘上，a 与转轴OO′的距离为l ，b 与转轴的距离为2l ，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g 。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是 ( )A ．b 一定比a 先开始滑动B ．a 、b 所受的摩擦力始终相等C ．ω＝lkg2是b 开始滑动的临界角速度 D ．当ω＝lkg32 时，a 所受摩擦力的大小为kmg 答案 AC解析 木块a 、b 的质量相同，外界对它们做圆周运动提供的最大向心力，即最大静摩擦力F f m ＝km g 相同。
它们所需的向心力由F 向＝mω2r知，F a < F b ，所以b 一定比a 先开始滑动，A 项正确；a 、b 一起2绕转轴缓慢地转动时，F 摩＝mω2r ，r 不同，所受的摩擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有kmg ＝mω2·2l ，其临界角速度为ωb ＝l kg 2 ，选项C 正确；当ω ＝lkg32时，a 所受摩擦力大小为F f ＝mω2 r ＝32kmg ，选项D 错误【典例2】 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O 、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m 的小球上，OA ＝OB ＝AB ，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB 始终在竖直平面内，若转动过程OB 、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )A ．OB 绳的拉力范围为 0～33mg B ．OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg C ．AB 绳的拉力范围为33mg ～332mg D ．AB 绳的拉力范围为0～332mg 答案 B解析 当转动的角速度为零时，OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为F 1，则2F 1cos 30°＝mg ， F 1＝33mg ，增大转动的角速度，当AB 绳的拉力刚好等于零时，OB 绳的拉力最大，设这时OB 绳的拉力为F 2，则F 2cos 30°＝mg ，F 2 ＝332mg ，因此OB 绳的拉力范围为33mg ～332mg ，AB 绳的拉力范围为 0～33mg ，B 项正确。
圆周运动中的临界问题
圆周运动的临界问题【例1】如图所示，半径为0.5 m 的光滑细圆管轨道固定在底座上，底座放在水平地面上两地桩之间，不能左右移动，圆管轨道和底座的总质量为5 kg 。
在圆管最低点静置一个质量为1 kg 的小球（直径略小于圆管内径），给小球一个水平方向的初速度v 0，小球能在圆管内做完整的圆周运动，整个过程中底座不会脱离地面，重力加速度g 取10 m/s 2。
（1）若小球运动到圆管最高点时，对圆管恰好无作用力，则初速度v 0多大？（2）若小球运动到圆管最高点时，底座对地面的压力不超过55 N ，求初速度v 0应满足的条件。
【例2】一个质量为m 的小物块（可视为质点）放在一水平圆盘上，圆盘可绕过圆 心O 的竖直轴转动，物块到转轴的距离为r ，物块与圆盘间的动摩擦因数为μ， 设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
当圆盘以角速度ω0匀速转动时，物块与圆盘保持相对静止，则此时物块受到的摩擦力大小为_____________；要使物块与圆 盘始终保持相对静止，圆盘转动的角速度应满足的条件是_____________。
【例3】用一根长为L 的不可伸长的轻绳一端固定在悬点O ，另一端拴住一个质量为m 的小球（可视为质点），开始时用外力使小球静止在最低点，然后释放小球，同时给小球一个水平方向的初速度v 0，使小球在竖直平面内运动，空气阻力不计，重力加速度为g 。
（1）若小球能做完整的圆周运动，则初速度v 0至少为多少？（2）若在空间加上场强大小为E 、方向向下的匀强电场，同时让小球带上q （q ＞0）的电荷，轻绳绝缘，则（1）的结果又为多少？O练习1：A 、B 、C 三个质量分别为m 、3m 、m 的小物块（均可视为质点）放在一水平圆盘上，圆盘可绕过圆心O 的竖直轴转动。
已知物块A 和B 到转轴的距离均为r ，物块C 到转轴的距离为2r ，如图所示。
三物块与圆盘间的动摩擦因数均相同，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
当圆盘以角速度ω0匀速转动时，三物块与圆盘均保持相对静止，则物块________受到的静摩擦力最大；若逐渐增大圆盘转动的角速度，则物块________最先开始相对圆盘滑动。
专题：圆周运动中的临界问题
专题：圆周运动中的临界问题一、竖直平面内的圆周运动 1.受力分析 小球用轻绳拉着在竖直平面内做圆周运动是典型的变速圆周运动。
如图所示，把重力分解可知，除最高点和最低点外，其他各点，小球切线方向加速度均不为零，因此小球做变速（速度、方向）圆周运动。
2.最高点的临界状态分析 （1）“绳模型”（或单圆形轨道，球在轨道内做圆周运动模型，此处简称为“单轨模型”）a.小球能通过最高点的临界条件为：mg ＝m Rv 2得：v ＝gR ，此时物体处于完全失重状态，绳上没有拉力；b.当v ＞gR ，小球能过最高点，绳上有拉力；c.当v ＜gR故球不能过最高点。
（2）“杆模型”（或双圆形轨道，球在双轨道内部运动，此处简称为“双轨模型”）因轻杆可以产生拉力，也可产生支持力，双轨模型时，内轨可产生支持力，外轨产生向下的压力。
a.小球能通过最高点的临界条件为：v ＝0，F ＝mg （F 为支持力）；b.当０＜v ＜gR 时，v 增大，F 减小且0<F<mg （F 方向沿半径向外），mg －F ＝m Rv 2 ；c. 当v ＝gR 时，F=0 ，完全失重状态；d.当v ＞gR 时，F 方向沿半径向内， F ＋mg ＝m Rv 2；最低点时，对于各种模型，都是拉力（或者支持力N ）T －mg ＝m Rv 2。
例1、长L=0.5m ，质量可忽略不计的轻杆，其一端固定于O 点，另一端连有质量m ＝2kg 的小球，它绕O 点在竖直平面内做圆周运动。
当通过最高点时，如图所示，求下列情况下杆对小球的作用力（计算大小，并说明是拉力还是支持力） （1）当v ＝1m/s 时，大小为 16 N ，是 支持 力； （2）当v ＝4m/s 时，大小为 44 N ，是 拉力 力。
解析： 此题先求出v ＝gR ＝5.010⨯m/s ＝5m/s 。
（1）因为v ＝1m/s ＜5m/s ，所以轻杆作用给小球的是支持力，有mg －F ＝m R v 2得：F ＝16N ；（2）因为v ＝4m/s ＞5m/s ，所以轻杆作用给小球的是拉力，有mg ＋F ＝m Rv 2得：F ＝44N ；3.竖直平面内的匀速圆周运动 如果某物体固定在电动机或其他物体上绕水平轴匀速转动，则该物体将做匀速圆周运动，此时电动机或转动体对该物体的作用力与物体的重力的合力提供向心力，向心力大小不变，方向始终指向圆心。
圆周运动的临界问题-高考物理复习
力提供向心力，有μmg＝mω2lsin θ，解得 ω＝ 4gl，可得
当 ω≤ 4gl时绳子无张力，ω> 4gl时绳子有张力，故 A、B 正确；圆台对木箱恰好无支持力时，有 mgtan θ＝mω2lsin θ，
解得 ω＝ 53gl ，即当 ω≥ 故 C 正确，D 错误。
53gl 时，圆台对木箱无支持力，
目录
研透核心考点
2.解题技巧 (1)物体通过圆周运动最低点、最高点时，利用合力提供向心力列牛顿第二定律 方程。 (2)物体从某一位置到另一位置的过程中，用动能定理找出两处速度关系。 (3)注意：求对轨道的压力时，转换研究对象，先求物体所受支持力，再根据牛 顿第三定律求出压力。
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研透核心考点
2.(2024·北京丰台高三期中)如图5甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做 圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点 时小球速度的平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的 一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的
0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在
竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法不正确
的是( D )
A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为 2 m/s
图3
B.当小球在最高点的速度为 4 m/s 时，轻绳拉力为 15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为 45 N，小球的最大速度不能超过 4 2 m/s
目录
研透核心考点
1.(多选)如图2所示，在水平圆台的转轴上的O点固定一根结实的细绳，细绳长度为l， 细绳的一端连接一个小木箱，木箱里坐着一只玩具小熊，此时细绳与转轴间的夹 角为θ＝53°，且处于恰好伸直的状态。已知小木箱与玩具小熊的总质量为m，木箱 与水平圆台间的动摩擦因数μ＝0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8， cos 53°＝0.6，重力加速度为g，不计空气阻力。在可调速电动机的带动下，让水
高三物理复习：圆周运动中的临界问题
如图所示，质量为0.5kg的杯子里盛有1kg的水， 用绳子系住水杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动 半径为1m，水杯通过最高点的速度为4m/s，求： （1）在最高点时，绳的拉力？ （2）在最高点时水对杯底的压力？
质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，若经最高点
不脱离轨道的临界速度为v，则当小球以2v速度经过最高点时，
圆周运动中的临界问题
复习引入
注意：向心力由外力或者某些外力的合力
来提供的
解题思路：让提供向心力的外力等于向心力
难点：受力分析找出是哪些外力用于提
供向心力
竖直平面内做圆周运动的临界问题
轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
特点 在最高点时，没有物体支 轻杆对小球既能产生拉
撑，只能产生拉力
力，又能产生支持力
物体做圆周运动时，题干中常常会出 现“最大”“最小”“刚好”“恰好” 等词语，该类问题即为圆周运动的临界 问题
在最高点时速度应 不小于
gr
在最高点时速度应 不小于
gr
在最高点速度应大 于0
在最高点速度应大 于0
竖直面内圆周运动类问题的解题技巧
(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过
最高点的临界条件不同。
(2)确定临界点：抓住绳模型中最高点v≥
及杆模型中
v≥0这两个临界条件。
(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高
竖直平面内的圆周运动
竖直面内圆周运动的临界问题分析 对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种
典型的变速曲线运动，该类运动常有临界 问题，并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，常分析两种模型——轻绳模型和轻 杆模型，分析比较如下：
(完整版)圆周运动中的临界问题
圆周运动中的临界问题一、水平面内圆周运动的临界问题关于水平面内匀速圆周运动的临界问题，涉及的是临界速度与临界力的问题，具体来说，主要是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力有关。
1、与绳的拉力有关的临界问题例1 如图1示，两绳系一质量为kg m 1.0=的小球， 上面绳长m l 2=，两端都拉直时与轴的夹角分别为o30与o45，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为s rad /3时，上、下两绳拉力分别为多大？2、因静摩擦力存在最值而产生的临界问题 例2 如图2所示，细绳一端系着质量为kg M 6.0= 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着 质量为kg m 3.0=的物体，M 的中心与圆孔距离为m 2.0并知M 与水平面间的最大静摩擦力为N 2，现让此平面 绕中心轴匀速转动，问转动的角速度ω满足什么条件 可让m 处于静止状态。
（2/10s m g =）3、因接触面弹力的有无而产生的临界问题二、竖直平面内圆周运动的临界问题对于物体在竖直平面内做变速圆周运动，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且也经常会出现临界状态。
1、轻绳模型过最高点如图所示，用轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直平面内光滑轨道内侧做圆周运动过最到点的情况相似，都属于无支撑的类型。
临界条件：假设小球到达最高点时速度为0v ，此时绳子的拉力（轨道的弹力）C图1图2刚好等于零，小球的重力单独提供其做圆周运动的向心力，即rvm mg 20=，gr v =0，式中的0v 是小球过最高点的最小速度，即过最高点的临界速度。
（1）0v v = （刚好到最高点，轻绳无拉力）（2）0v v > （能过最高点，且轻绳产生拉力的作用） （3）0v v < （实际上小球还没有到最高点就已经脱离了轨道） 例4、如图4所示，一根轻绳末端系一个质量为kg m 1=的小球， 绳的长度m l 4.0=， 轻绳能够承受的最大拉力为N F 100max =， 现在最低点给小球一个水平初速度，让小球以轻绳的一端O 为 圆心在竖直平面内做圆周运动，要让小球在竖直平面内做完整的圆周运动且轻绳不断，小球的初速度应满足什么条件？（10m g =2、轻杆模型过最高点如图所示，轻杆末端固定一小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，与小球在竖直放置的圆形管道内过最到点的情况相似，都属于有支撑的类型。
(完整word版)圆周运动中的临界问题专题
课题28圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题（1）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：mg=mv2/R宀v临界=.Rg （可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力提供向心力，此时临界速度V临工Rg②能过最高点的条件：v> Rg，当v> Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力.③不能过最高点的条件：v v V临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）【例题1】如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速V o,若v o w10■ -gR，则有关小球能够上升到最大高3 g度（距离底部）的说法中正确的是（2Vo ，定可以表示为2g B、可能为R3C、可能为RD、可能为5R3【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度v gr时，汽车对弧顶的压力F N=O，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为桥面不能对汽车产生拉力.（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况:特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力.①当v= 0时，F N = mg （N为支持力）②当0 v v v Rg时，F N随v增大而减小，且mg > F N > 0, F N为支持力.③当v= . Rg 时，F N = 0④当v> . R g时，F N为拉力，F N随v的增大而增大（此时F N为拉力，方向指向圆心）典例讨论1. 圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点.结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程【例题2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴0O旋转，现将轻质弹簧的一端固定O在圆盘中心，另一端系住一个质量为 m 的物块A,设弹簧劲度系数为 k ，弹簧原长为L 。
圆周运动的临界问题
解：在最高点F向=G+T, 即G+T=mv2/r
T=mv2/r-mg≥0
小球经过最高点的速度：v gr
线或绳
讨论：
①、当 v gr 时，细绳对小球没有拉力作用。向心
力只由小球所受重力提供。
②、如果 v＞ gr ，轻绳对小球存在拉力。
③、如果 v＜ gr ，小球无法到达圆周的最高点
练习：如图，在“水流星”表演中，绳长为 1m，水桶的质量为2kg,若水桶通过最高点的 速度为4m/s，求此时绳受到的拉力大小。
变式训练2：如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其
轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为θ＝30°，一条长度为L 的绳（质量不计），一端的位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端 拴着一个质量为m的小物体（物体可看质点），物体以速率v绕圆 锥体的轴线做水平匀速圆周运动。
⑴当v＝ gl 6
时，求绳对物体的拉力；
练习：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端 固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小球A，A 绕O点做圆周运动,在A通过最高点时，试讨论在下列 两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m/s时 ②当A的速率v2＝4m/s时
A
L
O
小结：
一．水平面内的圆周运动的临界问题
处理这类问题的关键是分析出静摩擦力的变化，从 而结合其他力分析出指向圆心的合外力的变化，以 确定圆周运动的其他物理量的变化范围。
mgt0 am n ω 1 2L 3s0 i3n00
B
30 0
45 0
C
将已知代入解得ω1＝2.4 rad/s
②当角速度ω继续增大时TAC减小，TBC
增大。设角速度达到ω2时，TAC=0，则③ω＝3 rad／s，此时两绳拉
专题 圆周运动临界问题
专题 圆周运动的临界问题一．水平转台上与静摩擦力有关的临界问题在转台上做圆周运动的物体，若有静摩擦力参与，当转台的转速变化时，静摩擦力也会随之变化。
关键：（1）找出与最大静摩擦力对应的临界条件 （2）牢记“静摩擦力大小有个范围，方向可以改变1．单个物体做圆周运动【例1】如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。
物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。
求：⑴当转盘角速度ω1＝μg 2r 时，细绳的拉力T 1 ⑵当转盘角速度ω2＝3μg 2r时，细绳的拉力T 22．绳子连接两个物体在圆心的一侧做圆周运动【例2】一圆盘可以绕其竖直轴在图所示水平面内转动，A 、B 物体质量均为m ，它们与圆盘之间的最大静摩擦力均为正压力的μ倍，两物体用一根长为L 的轻绳连在一起。
若将A 放在距轴心为L 的位置，A 、B 之间连线刚好沿半径方向被拉直，随着圆盘角速度ω的增加，摩擦力或绳子拉力会出现不同的状态，（两物体均看作质点）求：（1）ω1＝Lg 3μ时，细绳的拉力T 1和A 所受的摩擦力f 1（2）ω1＝Lg 53μ时，细绳的拉力T 2和A 所受的摩擦力f 23.绳子连接两个物体分别在圆心的两侧做圆周运动【例3】(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为m 的两个物体A 和B ，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A ＝r ，R B ＝2r ，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )A ．此时绳子张力为3μmgB ．此时A 所受摩擦力方向沿半径指向圆内C ．此时圆盘的角速度为2μg rD ．此时烧断绳子，A 仍相对盘静止，B 将做离心运动【针对训练1】如图所示，水平转台上的小物体A 、B 通过轻绳连接，转台静止时绳中无拉力，A 、B 的质量分别为m 、2m ，A 、B 与转台间的动摩擦因数均为μ， A 、B 离转台中心的距离分别为1.5r 、r ，当两物体随转台一起匀速转动时，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是（ ）A ．绳中无拉力时，A 、B 物体受到的摩擦力大小相等B ．当绳中有拉力时，转台转动的角速度应大于√μg rC ．若转台转动的角速度为√6μg r ，则A 、B 一起相对转台向B 离心的方向滑动D ．物体A 所受的摩擦力方向一定指向圆心【针对训练2】（多选）如图所示，圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动。
圆周运动中的临界问题(最新整理)
C、24N 的拉力
D、24N 的压力
m
A L O
例 3 长 L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 O 点， 上端连接着一个质量 m＝2kg 的小球 A，A 绕 O 点做圆周运动（同 图 5），在 A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当 A 的速率 v1＝1m／s 时 ②当 A 的速率 v2＝4m／s 时
离圆心，大小等于最大静摩擦力 2N。 此时，对 M 运用牛顿第二定律。
M
ro
有
T－fm＝Mω12r
且 T＝mg
解得 ω1＝2.9 rad／s
m
第5页
图 7
当ω为所求范围最大值时，M 有背离圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向向着圆
心，大小还等于最大静摩擦力 2N。
再对 M 运用牛顿第二定律。
有
T＋fm＝Mω22r
解得 ω2＝6.5 rad／s
所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s
第6页
注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。
如果ω＜2.4 rad／s 时，TBC＝0，AC 与轴的夹角小于 30°。 如果ω＞3.16rad／s 时，TAC＝0，BC 与轴的夹角大于 45
例 5 解析：要使 m 静止，M 也应与平面相对静止。而 M 与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对 M 的静摩擦力的方向背
①当 v1＝1m／s＜ 5m／s 时，小球受向下的重力 mg 和向上的支持力 N v2
由牛顿第二定律 mg－N＝m L v2
N＝mg－m ＝16N L
(完整word版)圆周运动的临界问题
圆周运动的临界问题要点提示一.圆周运动中的临界问题的分析方法首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值．二.竖直平面内作圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。
一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。
１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
（注意：绳对小球只能产生拉力）（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg =2vmRv临界（2）小球能过最高点条件：v（当v（3）不能过最高点条件：v（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况（注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。
）（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg（F为支持力）（2）当0< vF随v增大而减小，且mg > F > 0（F为支持力）图6-11-1a b图6-11-2（3）当v =Rg时，F=0（4）当v >Rg时，F随v增大而增大，且F >0（F为拉力）注意：管壁支撑情况与杆一样。
杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力．由于两种模型过最高点的临界条件不同，所以在分析问题时首先明确是哪种模型，然后再利用条件讨论．（3）拱桥模型如图所示，此模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v=rg时，F N=0，物体将飞离最高点做平抛运动。
若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s= 2R。
【典型题目】竖直平面内作圆周运动的临界问题（1）绳模型1、如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F可能（）A．是拉力B．是推力C．等于零D．可能是拉力，可能是推力，也可能等于零2、如图，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取10m/s2,求：(1) 在最高点时，绳的拉力？(2) 在最高点时水对小杯底的压力？(3) 为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少?（2）杆模型1、长度为L＝0.5 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g 取10m/s2，则此时细杆OA受到（）ALO mA.6.0N 的拉力B.6.0N 的压力C.24N 的拉力D.24N 的压力2、如图所示，小球m 在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法中正确的有：A ．小球通过最高点的最小速度为B ．小球通过最高点的最小速度为零C ．小球在水平线ab 以下管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力D ．小球在水平线ab 以上管道中运动时，内侧管壁对小球一定有作用力3、在质量为M 的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r ，如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( ) A ．g mr m M + B ．g mr mM + C ．g mrm M - D ．mr Mg（3）拱桥模型1、如图4－3－1所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m 的小球，当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时弹簧长度为L 1；当汽车以同一速度匀速率通过一个桥面为圆弧形凸形桥的最高点时，弹簧长度为L 2，下列答案中正确的是( ) A ．L 1＝L 2 B ．L 1>L 2C ．L 1<L 2D ．前三种情况均有可能2、半径为 R 的光滑半圆球固定在水平面上，顶部有一小物体，如图所示。
(完整版)单元圆周运动中的临界问题
第五单元 圆周运动中的临界问题一．圆周运动的临界问题，实际上是讨论物体能否通过该点继续做圆周运动的问题。
物体在某点是否符合圆周运动的特点关键是看物体的“动”“力”学特征。
“动”——物体以在该点的线速度和半径做圆周运动所需要的向心力向F 。
向F =___________=___________=____________=__________“力”——物体在该点实际所受合力在径向的分力r F二．讨论围绕物体在某点实际运动所需要的向心力向F 和在该点实际所受合力在径向的分力r F 的大小比较，来分析物体做何种运动。
1．若r F =向F ，则说明物体能够通过以圆周运动的形式通过该点，即为圆周运动。
2．若r F <向F ，则说明____________________________________，即为______运动。
3．若r F >向F ，则说明____________________________________，即为______运动。
一、竖直平面内圆周运动问题分析1.“轻绳”模型例题1 如图，用长为l 的轻质细绳一端系一质量为m 的小球，另一端固定于O 点。
满足什 么条件才能使物体在竖直面上做完整的圆周运动？思考：为什么只有满足这个条件才能保证小球能够在竖直面上做完整的圆周运动？充式训练1一质量为m 的小球在半径为R 的光滑圆弧轨道上运动，要满足什么条件才能使它在竖直面内做匀速圆周运动？巩固练习1 如图所示，一细绳一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是：A．小球过最高点时，细绳所受的弹力可以等于零OB ．小球过最高点时的起码速度为gRC．小球过最高点时，细绳对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于绳对球的作用于力D．小球过最高点时，绳对球作用力一定与小球所受重力方向相反2.“轻杆”模型例题2如图，用长为l的轻质细杆一端系一质量为m的小球，另一端固定于O点。
(完整版)圆周运动中临界问题(可编辑修改word版)
圆周运动中的临界问题教学目的:会运用受力分析及向心力公式解决圆周运动的临界问题 教学重点:掌握解决圆周运动的两种典型的临界问题 教学难点:会分析判断临界时的速度或受力特征 教学内容 -■ 有关舱1、 向心加速度的概念2、 向心力的意义（由一个力或几个力提供的效果力） 二、内容1、在竖直平面内作圜周运动的临界问题（1）如图4一2 — 2和图4一2 — 3所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况:ZZ / R图4-2-2 图4一2—3①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：也gnn —=＞从界=阿R②能过最高点的条件：心厲,当¥＞ 廡时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力: ③不能过最高点的条件:（实际上球还没到最高点时就脱离了轨逍）・ （2）如图4-2-4的球过最高点时，轻质杆对球产生的弹力情况： ①当v=o 时，2吨（凡为支持力）；②当OVvV 阿时，忌随卩增大而减小.且吨＞斥＞0・忌为支持力: ③当V=莎 时，F N =O ：④当¥＞疾时，F N 为拉力• F N 随V 的增大而增大.图 4 一2 — 4 若是图4一2 — 5的小球在轨逍的最髙点时，如果心賦,此时将脱离轨道做平抛运动，因为轨道对小球不能 产生拉力.例1 长L=0.5m,质量可以忽略的的杆，其下端固左于O 点，上 2kg 的小球A, A 绕0点做圆周运动（同图5）,在A 通过最高 情况下杆的受力：①当A 的速率vi = lm/s 时②当A 的速率V2=4m/ s 时解析： Vo=dgL=QlO X 0・5m / s=、Sm / s小球的速度大于时受拉力，小于v5m / s 时受压力。
村:图4-2-5端连接着一个质量m= 点，试讨论在下列两种解法一：①当V|=lni /s＜V*5m/ s时，小球受向下的重力mg和向上的支持V- 由牛顿第二；^^律mg-N=m —v2 N=mg —m -^16N即杆受小球的压力16N 。
(精校版)高中物理圆周运动的临界问题(含答案)
擦力不同，B 项错；b 开始滑动时有 kmg＝mω2·2l，其
3
3
临界角速度为 ωb＝
kg 2l
,选项 C 正确；当 ω ＝
2kg 3l
C．AB 绳的拉力范围为 3 mg ～ 2 3 mg
3
3
时,a 所受摩擦力大小为 Ff＝mω2 r＝ 2 kmg,选项 D 错误
3
D．AB 绳的拉力范围为 0~ 2 3 mg
μ1，M 与圆盘面间的动摩擦因数为 μ2,最大静摩擦力等 于滑动摩擦力．μ1 与 μ2 应满足的关系式为（ )
将已知条件代入上式解得 ω2＝3。16 rad／s
所以 当 ω 满足 2.4 rad／s≤ω≤3.16 rad／s，AC、
BC 两绳始终张紧。 本题所给条件 ω＝3 rad／s，此时两绳拉力 TAC 、TBC 都存在。 TACsin30°＋TBCsin45°＝mω2Lsin30° TACcos30°＋TBCcos45°＝mg
离转轴 L 处,整个装置能绕通过转盘中心的转轴 O1O2转动, 不变，C 项错误；0＜ω≤ 2L）时，A 所受摩擦力提供 开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始 向心力，即 Ff＝mω2L，静摩擦力随角速度增大而增大，
转动，使角速度缓慢增大,以下说法正确的是（ ） 当 Error!＜ω＜ 时，以 AB 整体为研究对象，FfA＋Kmg＝
A．b 一定比 a 先开始滑动 B．a、b 所受的摩擦力始终相等 C．ω＝ kg 是 b 开始滑动的临界角速度
2l
二 与弹力有关的临界极值问题
D．当 ω＝ 2kg 时,a 所受摩擦力的大小为 kmg
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零；
3l
绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上 答案 AC
(完整word版)训练5：圆周运动中的临界问题.doc
物理必修（ 2）训练 5—— 圆周运动中的临界问题圆周运动中的临界问题求解策略圆周运动是一种特殊的也是较为简单的曲线运动，它可分为匀速圆周运动和变速圆周运动．它们服从相同的力学规律，但又有着不同的运动特征，其临界问题也是错综复杂的． 一、圆周运动的特征与解题基本思路1.匀速圆周运动的动力学特征(1) 始终受合外力作用，合外力提供向心力，其大小不变，始终指向圆心。
（ F 合 F 向，F 合v ）(2) 匀速圆周运动的动力学方程：F 合 ma根据题意，可以选择相关的运动学量如v ， ω， T ， f 列出如下动力学方程：2Fm2r4 2mr2 2F 合 mv / r ，，合，F 合 4mrf .合FT 2熟练掌握这些方程，会给解题带来方便． 2．变速圆周运动的动力学特征(1) 受合外力作用，但合力并不总是指向圆心，且合力的大小也是可以变化的（合外力的法向分量提供向心力，切向分量改变速度的大小） 。
(2) 合外力的分力 (在某些位置上也可以是合外力 )提供向心力．3．解答圆周运动问题时的注意事项(1) 明确圆周运动的轨道平面、圆心位置和半径；(2) 确定是匀速圆周运动还是变速圆周运动，以确定运用相应的物理规律；(3) 正确进行受力分析，并进行相应的分解 (一般是沿法向和切向进行正交分解 )，再根据牛顿第二定律沿半径方向列出动力学方程；(4) 注意圆周运动问题中的临界状态及临界条件的确定．二、圆周运动中的临界问题在变速圆周运动中的某些特殊位置上，常存在着最小 (或最大 )的速度，小于 (或大于 )这个速度，物体就不能再继续作圆周运动了，此速度即为临界速度．在这个位置，物体的受力必满足特定的条件，这就是临界条件．当物体的受力发生变化时，其运动状态随之变化．当某力突然变为零时，对应物体出现相应的临界状态．常见的如绳子突然断裂、支持物的作用力突然变化、静摩擦力充当向心力时突然消失或达最大值等．通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法．1．竖直平面内圆周运动临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型：（ 1）绳模型 （注意：绳对小球只能产生拉力）绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力 T （圆轨道问题可归结为轻绳类，圆轨道问题中只能产生沿半径方向的支持力 N），如下图T NmgmgO① . 在最高点时：T mg mv 2 / R(或：N mg mv 2 / R )小球能过最高点的临界条件：绳子（或轨道）对小球刚好没有力的作用mg mv 2 / R v 临界gR②. 当v gL 时，质点可通过最高点；③. 当v gL 时，质点不能运动到最高点，实际上质点还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动 .【例题 1】如右图，质量为0.5kg的小杯里盛有1kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s， g 取 10m/s2, 求：(1)在最高点时，绳的拉力？(2)在最高点时水对小杯底的压力？(3)为使小杯经过最高点时水不流出 , 在最高点时最小速率是多少 ?（ 2）杆模型（杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力）有物体支撑的小球在竖直平面内作圆周运动的情况. 小球在圆管道内作圆周运动的情况类似杆模型。
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第19练圆周运动中的临界问题
基础过关
一、单项选择题（每小题只有一个选项符合题意）
1．如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直盘面的竖直轴OO′转动.在圆盘上放置一木块，木块随圆盘一起做匀速转动，则（）
A．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相反
B．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向与木块的运动方向相同
C．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向指向圆心
D．木块受到圆盘对它的摩擦力，方向背离圆心
合肥精品教育（国购广场东侧梅园公寓5#602）王老师物理辅导电话：187--1510--6720 2．乘坐如图所示游乐园的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，下列说法中正确的是
（）
A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，
人一定会掉下去
B．人在最高点时对座位仍可能产生压力，但压力一定小于mg
C．人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等
D．人在最低点时对座位的压力大小mg
3．如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上与圆台一起旋转，且与圆台间保持相对静止，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离是2R，B和C的质量均为m，A的质量为2m，它们与圆台的最大静摩擦因数相同，则当圆台的转速逐渐增大时，最先滑动的是（）A．A
B．B
C．C
D．同时开始滑动
4．半径为R的光滑半圆球固定在水平面上，如图所示，顶部有一小物体甲，今给它一个水平初速度v0=gR，则物体甲将（）
A．沿球湎下滑至M点
B．先沿球面下滑至某点N，然后便离开球面做斜下抛运动
C．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动
D．立即离开半圆球做平抛运动
5．如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆形轨道内侧做圆周运动，通过最高点且刚好不脱离轨道时的速度为v，将小球视为质点，则当小球通过与圆心等高的
A点时，对轨道内侧的压力大小为（）
A．mg
B．2mg
C．3mg
D．5mg
二、多项选择题（每小题有多个选项符合题意）
6．如图所示，一连接体一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r.图中P、Q两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则下列说法中正确的是（）A．若连接体是轻质细绳时，小球到达P点的速度可以为零
B．若连接体是轻质细杆时，小球到达P点的速度可以为零
C．若连接体是轻质细绳时，小球在P点受到绳的拉力可能为零
D．若连接体是轻质细杆时，小球在P点受到细杆的作用力为拉力，在Q
点受细杆的作用力为推力
7．长为L的细杆一端拴一小球，可绕另一端在竖直面内做圆周运动，小球尖最高点的速度为v，下列说法中正确的是（）A．v越大，球在最高点受到的合外力越大
B．v越大，球在最高点受到的向心力越大
C．v越大，球在最高点对杆的作用力越大
D．v至少要大于gL
8．如图所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在通过最高点时的速度v，下列说法中正确的是（）A．v的最小值为gl
B．若v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大
C．若v由gl值逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大
D．若v 由gl值逐渐减小，杆对小球的弹力也逐渐减小
9．如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO1转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块B到OO1轴的距离为物块A到OO1轴的距离的两倍，现让该装置由静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳子处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程，下列说法中正确的是（）A．A受到的静摩擦力一直增大
B．A受到的静摩擦力先增大，后保持不变
C．A受到的静摩擦力是先增大后减小
D．A受到的合外力一直在增大
三、计算或论述题
10．如图所示，细绳一端系着质量M=0.6kg 的物体，静止在水平面上，另一端通过光滑小孔吊着质量m=0.3kg 的物体，M 的中点与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面间的最大静摩擦力为2N ，现使此平面绕中心轴线转动，问：角速度ω在什么范围m 处于静止状态？（g 取10m/s 2）
11．如图所示，使一小球沿半径为R 的圆形轨道从最低点上升，那么需给它最小速度为多大时，才能使它达到轨道的最高点？
12．如图所示，在绕竖直轴匀速转动的水平圆盘盘面上，离轴心r=20cm 处放置一小物块A ，其质量m=2kg ，A 与盘面间相互作用的静摩擦力的最大值为其重力的k （k=0.5）倍，试求：
（1）当圆盘转动的角速度ω=2rad/s 时，物块与圆盘间的摩擦力大小多大？方向如何？
（2）欲使A 与盘面间不发生相对滑动，则圆盘转动的最大角速度多大？（g 取10m/s 2）
13．如图所示，游乐列车由许多节车厢组成.列车全长为L ，圆形轨道半径为R ，（R 远大于一节车厢的高度和长度，但L ＞2ωR ）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动不能脱轨.试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度v 0，才能使列车通过圆形轨道？
能力提升
14．半径为R 的圆桶固定在小车上，有一光滑小球静止在圆桶的最低点，如图所示，小车以速度v 向右匀速运动，当小车遇到障碍物突然停止时，小球在圆桶中上升的高度可能是 （ ）
A ．等于g v 22
B ．大于g v 22
C ．小于g v 22
D ．等于2R
15．如图所示，空间有一竖直的坐标轴，一长为L 的细绳一端系一质量为m 的小球，另一端固定在y 轴上的A 点，坐标原点O 在A 点下方
2
L 处，在坐标轴上有一光滑的细钉.将小球拉至细绳呈水平状态，然后静止开始释放小球.
（1）细钉在y 轴上的某一点y ′、球落下后可绕y ′在竖直平面内做完整的圆周运动，求y ′的可能位置；
（2）如细钉在x 轴上的某一点x ′，小球落下后可绕x ′在竖直平面内做完整的圆周运动，求x ′的可能位置.（最后结果可用根式表示）
第19练 圆周运动中的临界问题
1.C
2.D
3.C 解析 临界角速度与质量无关，半径越大，临界角速度越小，先滑动.
4.D 解析 小物块和球面间的弹力为零，脱离球面做平抛运动.
5.C
6.BC
7.AB 解析 球在最高点合外力提供向心力，速度越大，向心力越大.
8.BC
9.BD 解析 A 、B 角速度相同，B 半径大，所需向心力大.A 所受静摩擦力先减小，再反向增大，直到发生滑动.
10.要使m 静止，M 必须相对于转盘静止，即具有与转盘相同的角速度.M 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成.角速度取最大值时，M 有离心趋势，静摩擦力指向圆心O ；角速度取最小值时，M 有向心运动的趋势，静摩擦为背离圆心O.对于m ，T=mg ，
对于M ，21ωMr f T =+，s rad Mr f T /5.6,122
==-ωω， ω2=2.9 rad/s ，所以2.9 rad/s ≤ω≤6.5 rad/s.
11.以小球为研究对象.小球在轨道最高点时，受重力和轨道给的弹力.小球在圆莆轨道
最高点A 时满足方程R
v m N mg A A 2=+ 根据机械能守恒，小球在圆形轨道最低点B 时的速度满足方程
222
1221B A mv R mg mv =+ 解以上方程组得A B N m
R gR v +=5，当N A =0时，v B 为最小，gR v B 5=.所以在B 点应使小球至少具有gR v B 5=的速度，才能使它到达圆形轨道的最高点A.
12.（1）f =mω2r =1.6 N ，方向为指向圆心.
（2）r m kmg m 2ω=，得s rad r
kg m /5==ω 13.列车开上圆轨道时速度开始减慢，当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时，列车速度达最小值v ，此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道，然后列车开始加速.由于轨道光滑，列车机械能守恒，设单位长列车的质量为m ，则有：gR Rm mLv mLv •+=π22
121220，要使列车能通过圆形轨道，则必有v ＞0，解得：0v ＞.2L g
R π
14.ACD
15.（1）设细钉在y 轴上A 点下方d 处，质点掉下来刚好做完整圆周运动，则考虑从落点到圆周运动的最高点，由机械能守恒有
[]22
1)(2mv d L L mg =-- 而在最高点恰能做圆周运动的条件是
)(d L g v -= 解得L d 5
3= 当钉子在往下时，即d ＞L 5
3，由于半径减小，同时最高点变低，速度变大，则能更能做完整圆周运动.但钉子应能挡住细绳.即d ＞L.
由A 点的纵坐标值为2L ，则钉子的坐标位置应为：.10
2L d L y -=-=' 最低点坐标为：2L -，所以y '的坐标范围为：)10
,2(L L -- （2）如钉子在x 轴上x ′处，则考虑从开始到最高点物理过程，有：
22
1)2(mv r L mg =- 能做完整圆周运动有：v 2=gr 由几何关系有：22)2
(x L L r '+-=， 由以上三式，解得：L x 6
7=' 为使钉子能挡住绳子，则有r ＞0，所以x '＜
L 23 综上则有：x ′的范围为：).23,67(
L L。