《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第四章三角函数题组18 Word版含解析
(新课标)高考数学大一轮复习第四章三角函数题组22文
3
23 1
sinx ＋ cosx ＝ ( － sinx ＋
3
2
cosx) ＝
3 sin(x
＋2π ) ．
3
32
2
3
3
（ sinx － cosx ） sin2x
17．已知函数 f(x) ＝
sinx
.
- 5 - / 11
(1) 求 f(x) 的定义域及最小正周期； (2) 求 f(x) 的单调递减区间．
π
π
kπ π
∴ －2φ＝ kπ＋ ， k∈Z，即 φ＝－ － ， k∈ Z.
4
2
28
3π
因此当 k＝－ 1 时，φ有最小正值
. 8
π 12．(2015 ·东北四校模拟 ) 已知函数 f(x) ＝－ 2sin(2x ＋φ )(| φ |< π ) ，若 f( ) ＝－ 2，则
8
f(x) 的一个单调递增区间可以是 ( ) π 3π
2
3
12
3
π 5π
5π 2π
综上可知， f(x) 在 [ 6 ， 12 ] 上单调递增；在 [ 12 ， 3 ] 上单调递减．
π
5π
π
5π
得 3 ＋ kπ≤ x≤ 6 ＋ kπ， k∈ Z，即函数的增区间为 [ 3 ＋ kπ， 6 ＋ kπ ] ，k∈ Z，∴当 k＝
π 5π 0 时，增区间为 [ 3 ， 6 ] ． 4．(2016 ·山东济宁模拟 ) 已知 f(x) ＝ sin 2x ＋ sinxcosx ，则 f(x) 的最小正周期和一个单调增
∴ f(x)
＝－ 2sin(2x
＋
π 4
)
．
π
π
3π
【高考调研】高考数学总复习 第四章 三角函数配套单元测试(含解析)理 新人教A版
第四章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求) 1. 集合M ＝{x |x ＝sinn π3，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝cosn π2，n ∈N }，则M ∩N 等于( )A ．{－1,0,1}B ．{0,1}C ．{0}D ．∅答案 C解析 ∵M ＝{x |x ＝sinn π3，n ∈Z }＝{－32，0，32}， N ＝{－1,0,1}，∴M ∩N ＝{0}．应选C.2．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7答案 A解析 ∵α∈(π2，π)，∴tan α＝－34.∴tan(α＋π4)＝－34＋11＋34＝17.3. 已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 答案 B解析 f (x )＝－cosπx －1，周期为2，且为偶函数，故选B.4．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的图像向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为( )A ．1，π3B ．1，－π3C ．2，π3D ．2，－π3答案 D解析 由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π3＋π3)＋φ＝π.∴φ＝－π3.故选D.5．函数y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π3)的一条对称轴为( )A ．x ＝π3B ．x ＝π6C ．x ＝－π3D ．x ＝－5π6答案 C解析 y ＝2sin(x －π6)＋cos(x ＋π3)＝2sin(x －π6)＋sin[π2－(x ＋π3)]＝2sin(x －π6)＋sin(π6－x )＝sin(x －π6)．方法一 把选项代入验证．方法二 由x －π6＝k π＋π2，得x ＝k π＋23π(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－π3.6．如图，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面为2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是(A ．h ＝8cos π6t ＋10B ．h ＝－8cos π3t ＋10C ．h ＝－8sin π6t ＋10D ．h ＝－8cos π6t ＋10答案 D解析 排除法，由T ＝12，排除B ，当t ＝0时，h ＝2，排除A 、C.故选D. 7．设a >0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x (0<x <π)，下列结论正确的是( )A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值也无最小值 答案 B解析 令t ＝sin x ，则函数f (x )＝sin x ＋a sin x (0<x <π)的值域为函数y ＝1＋at ，t ∈(0,1]的值域，又a >0，所以y ＝1＋at，t ∈(0,1]是一个减函数．故选B.8．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( ) A.1507min B.157h C ．21.5 min D ．2.15 h答案 A解析 如右图：设t 小时甲行驶到D 处AD ＝10－4t ， 乙行驶到C 处AC ＝6t ，∵∠BAC ＝120°，DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100. 当t ＝514 h 时DC 2最小，DC 最小，此时t ＝514×60＝1507min.9．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B ，那么△ABC 一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形答案 B解析 C ＝π－(A ＋B )，B ＋C ＝π－A .有sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B . 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0，则A ＝B . ∴△ABC 为等腰三角形．故选B.10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π2)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )答案 C解析 因为当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，所以f (π6)＝sin(π3＋φ)＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6.因为f (π2)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin(2x －5π6)，函数的单调递增区间为－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，所以x ∈[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )，故选C. 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.答案 －35解析 由角θ的终边在直线y ＝2x 上可得tan θ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. 12．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 答案π2解析 法一：f (x )＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝1＋cos 4x －cos 2x ＝1＋cos 2x (cos 2x －1)＝1－cos 2x ·sin 2x ＝1－14sin 22x ＝1－14(1－cos4x 2)＝78＋18cos4x . 法二：f (x )＝(sin 2x )2＋cos 2x ＝(1－cos2x 2)2＋1＋cos2x2＝34＋14cos 22x ＝78＋18cos4x . 13．已知等腰△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ＋a ，c －a )，若p∥q ，则角A 的大小为________．答案 30°解析 由p∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b ＋a )，即－ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab2ab＝－12.因为0°<C <180°，所以C ＝120°.又由△ABC 为等腰三角形得A ＝12(180°－120°)＝30°.14．若1＋tan α1－tan α＝2 012，则1cos2α＋tan2α＝________.答案 2 012解析 1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α＝sin α＋cos α2cos 2α－sin 2α ＝sin α＋cos αcos α－sin α＝tan α＋11－tan α＝2 012.15．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.若AC ＝2AB ，则BD ＝________. 答案 2＋ 5解析 如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则由题可知BD ＝13a ，CD ＝23a ，所以根据余弦定理可得b 2＝(2)2＋(23a )2－2×2×23a cos45°，c 2＝(2)2＋(13a )2－2×2×13a cos135°，由题意知b ＝2c ，可解得a ＝6＋35，所以BD ＝13a ＝2＋ 5.16．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }．③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点．④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图像向右平移π6得到y ＝3sin2x 的图像．⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数．其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号) 答案 ①④解析 考查①y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，所以最小正周期为π. ②k ＝0时，α＝0，则角α终边在x 轴上．③由y ＝sin x 在(0,0)处切线为y ＝x ，所以y ＝sin x 与y ＝x 图像只有一个交点．④y ＝3sin(2x ＋π3)图像向右平移π6个单位得y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin2x .⑤y ＝sin(x －π2)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ，求f (x )的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．解析 由cos2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4，k ∈Z .所以f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π2＋π4，k ∈Z }．因为f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝6cos4－x ＋5sin 2－x －4cos －2x＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x ＝f (x )，所以f (x )是偶函数． 当x ≠k π2＋π4，k ∈Z 时， f (x )＝6cos 4x ＋5sin 2x －4cos2x＝2cos 2x －13cos 2x －1cos2x＝3cos 2x －1，所以f (x )的值域为{y |－1≤y <12或12<y ≤2}．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋sin(π2－2x )．求：(1)f (π4)的值；(2)f (x )的最小正周期和最小值； (3)f (x )的单调递增区间．答案 (1)1 (2)π，－ 2 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z ) 解析 (1)f (π4)＝2sin π4cos π4＋sin(π2－2×π4)＝2×22×22＋0＝1.(2)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2(22sin2x ＋22cos2x ) ＝2(sin2x cos π4＋cos2x sin π4)＝2sin(2x ＋π4)．所以最小正周期为π，最小值为－ 2. (3)由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，可得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b ＝3a . (1)求cos A 的值； (2)求cos(2A ＋π4)的值．答案 (1)13 (2)－8＋7218解析 (1)由B ＝C,2b ＝3a ，可得c ＝b ＝32a . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13.(2)因为cos A ＝13，A ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝223，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－79.故sin2A ＝2sin A cos A ＝429.所以cos(2A ＋π4)＝cos 2A cos π4－sin 2A sin π4＝(－79)×22－429×22＝－8＋7218.20．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝2，求△ABC 面积的最大值． 答案 (1)π3(2) 3解 (1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2. ∴a 2＋c 2－ac ＝4.∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立． ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4. ∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤ 3.∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为 3.21．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.(1)求bc 的最大值及θ的取值范围．(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．解析 (1)∵AB →·AC →＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·cos θ＝8. 又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32. 又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16. 而bc ＝8cos θ，∴8cos θ≤16.∴cos θ≥12.又0<θ<π，∴0<θ≤π3.(2)f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－ 3＝3·[1－cos(π2＋2θ)]＋1＋cos2θ－ 3＝3sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋π6)＋1.∵0<θ≤π3，∴π6<2θ＋π6≤5π6.∴12≤sin(2θ＋π6)≤1. 当2θ＋π6＝5π6，即θ＝π3时，f (θ)min ＝2×12＋1＝2；当2θ＋π6＝π2，即θ＝π6时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x ＋m sin(x ＋π4)sin(x －π4)．(1)当m ＝0时，求f (x )在区间[π8，3π4]上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．解析 (1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12(sin2x －cos2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12. 又由x ∈[π8，3π4]，得2x －π4∈[0，5π4]，所以sin(2x －π4)∈[－22，1]，从而f (x )＝22sin(2x －π4)＋12∈[0，1＋22]． (2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m 2cos2x ＝12[sin2x －(1＋m )cos2x ]＋12，由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以35＝12[45＋(1＋m )35]＋12，得m ＝－2.1．(·上海)若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则( )A ．E ∩F ＝EB ．E ∪F ＝EC ．E ＝FD ．E ∩F ＝∅答案 A2．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x －π3)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝sin(2x ＋π6)D ．y ＝sin(x 2＋π6)答案 B解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，排除D ，把x ＝π3代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值，故选B.3．函数y ＝tan(π4x －π2)的部分图像如图所示，则(OA →＋OB →)·AB →＝( )A ．6B ．4C ．－4D ．－6答案 A解析 由tan(π4x －π2)＝0，得π4x －π2＝k π(k ∈Z )，x ＝4k ＋2(k ∈Z )，结合图形可知A (2,0)，由tan(π4x －π2)＝1，得π4x －π2＝π4＋k π(k ∈Z )，∴x ＝3＋4k (k ∈Z )，结合图形可知B (3,1)，∴(OA →＋OB →)·AB →＝(5,1)·(1,1)＝6.4．(本小题满分12分)如图(a )，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶．在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ，再行驶a km 到达B 处，测得山脚点O 的方位角是西偏北β.(1)设计一个方案，用测量的数据和有关公式写出计算OE 的步骤；(2)函数f (x )＝a sin(βx ＋φ)的部分图像如图(b )所示，θ＝π6，求塔顶E 到公路的距离．解析 (1)第一步：求OA ，在△AOB 中，∠ABO ＝π－β，∠AOB ＝β－φ，AB ＝a ，由正弦定理，得OA ＝a sin π－βsin β－φ＝a sin βsin β－φ；第二步：求OE ，在Rt△EOA 中，∠EAO ＝θ，∠EOA ＝90°，则OE ＝OA tan θ＝a sin βtan θsin β－φ.(2)由图像易得a ＝3，β＝π3，φ＝π6，又θ＝π6，则OE ＝3sin π3tanπ6sin π3－π6＝ 3.过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ，连接OF ，因为AB ⊥OE ，又OE ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平面EOF ，所以AB ⊥OF .在△AOB 中，∠OAB ＝∠AOB ＝π6，则OB ＝AB ＝a ＝3，在Rt △BFO 中，∠OBF ＝π3，则OF ＝OB sin π3＝3×32＝32，又在Rt △EOF 中，OE ＝3，所以EF ＝OE 2＋OF 2＝32＋322＝212. 5．(本小题满分12分)(·福建文)设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为(12，32)，求f (θ)的值；(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．答案 (1)2 (2)0≤θ≤π2，f (θ)最大值2，最小值1解析 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2. (2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π6)，且π6≤θ＋π6≤2π3，故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.。
新课标2024高考数学大一轮复习第四章三角函数题组层级快练28正余弦定理文含解析
题组层级快练(二十八)1．(2024·沧州七校联考)已知△ABC，a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°，则c ＝( ) A ．2 5 B. 5 C ．25或 5 D ．均不正确答案 C解析 ∵a sinA ＝bsinB，∴sinB ＝bsinA a ＝155·sin30°＝32.∵b>a ，∴B ＝60°或120°.若B ＝60°，C ＝90°，∴c ＝a 2＋b 2＝2 5. 若B ＝120°，C ＝30°，∴a ＝c ＝ 5.2．(2024·安徽马鞍山一模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知a ＝3，b ＝2，A ＝60°，则c ＝( ) A.12 B ．1 C.3 D ．2答案 B解析 ∵a＝3，b ＝2，A ＝60°，∴由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得3＝4＋c 2－2×2×c×12，整理得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.故选B.3．(2024·安徽合肥模拟)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B. 3 C ．2 3 D ．2答案 B解析 因为S ＝12AB ·ACsinA ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos60°＝3. 所以BC ＝ 3.4．(2024·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sinA)，则A ＝( )A.3π4B.π3C.π4D.π6答案 C解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝2b 2－2b 2cosA ，所以2b 2(1－sinA)＝2b 2(1－cosA)，所以sinA ＝cosA ，即tanA ＝1，又0<A<π，所以A ＝π4.5．(2024·陕西西安一中期中)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，则A 的取值范围是( ) A ．(0，π6]B ．[π6，π)C ．(0，π3]D ．[π3，π)答案 C解析 ∵sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sinBsinC ，由正弦定理，得a 2≤b 2＋c 2－bc ，∴bc ≤b 2＋c 2－a 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥12，∴A ≤π3.∵A>0，∴A 的取值范围是(0，π3]．故选C.6．(2024·广东惠州三调)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2答案 A解析 由正弦定理b sinB ＝c sinC ，得sinB ＝bsinC c ＝12.又c>b ，且B∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以S ＝12bcsinA ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.故选A.7．(2024·江西七校一联)在△ABC 中，若sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)，则△ABC 的形态肯定是( ) A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形答案 D解析 sin(A －B)＝1＋2cos(B ＋C)sin(A ＋C)＝1－2cosAsinB ，∴sinAcosB －cosAsinB ＝1－2cosAsinB ，∴sinAcosB ＋cosAsinB ＝1，即sin(A ＋B)＝1，则有A ＋B ＝π2，故三角形为直角三角形．8．(2014·江西)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b)2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3 B.932C.332D ．3 3答案 C解析 利用所给条件以及余弦定理整体求解ab 的值，再利用三角形面积公式求解． ∵c 2＝(a －b)2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2abcos π3＝a 2＋b 2－ab.②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12absinC ＝12×6×32＝332.9．(2014·课标全国Ⅱ)已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1答案 B解析 由题意可得12AB ·BC ·sinB ＝12，又AB ＝1，BC ＝2，所以sinB ＝22，所以B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB＝1，此时AC ＝AB ＝1，BC ＝2，易得A ＝90°，与“钝角三角形”条件冲突，舍去．所以B ＝135°.由余弦定理可得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cosB＝ 5.故选B.10．(2015·安徽，文)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________． 答案 2解析 因为∠A＝75°，∠B ＝45°，所以∠C＝60°，由正弦定理可得AC sin45°＝6sin60°，解得AC ＝2.11．(2015·重庆，文)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cosC ＝－14，3sinA ＝2sinB ，则c ＝________． 答案 4解析 由3sinA ＝2sinB 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ，得－14＝22＋32－c22×2×3，解得c ＝4. 12．(2024·河北唐山一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90°，则cosB ＝________． 答案 34解析 ∵a，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c. ∴2sinB ＝sinA ＋sinC.∵A －C ＝90°，∴2sinB ＝sin(90°＋C)＋sinC. ∴2sinB ＝cosC ＋sinC. ∴2sinB ＝2sin(C ＋45°)．①∵A ＋B ＋C ＝180°且A －C ＝90°，∴C ＝45°－B 2，代入①式中，2sinB ＝2sin (90°－B2)．∴2sinB ＝2cos B2.∴4sin B 2cos B 2＝2cos B 2.∴sin B 2＝24.∴cosB ＝1－2sin 2B2＝1－14＝34.13．(2024·北京，文)若△ABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B＝________；ca的取值范围是________． 答案 60° (2，＋∞)解析 △AB C 的面积S ＝12acsinB ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝34×2accosB ，所以tanB ＝3，因为0°<∠B<180°，所以∠B＝60°.因为∠C 为钝角，所以0°<∠A<30°，所以0<tanA<33，所以c a ＝sinC sinA ＝sin （2π3－A ）sinA ＝sin 2π3cosA －cos 2π3sinAsinA ＝32tanA ＋12>2，故ca 的取值范围为(2，＋∞)．14．(2024·北京，理)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝37a.(1)求sinC 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积． 答案 (1)3314 (2)6 3解析 (1)依据正弦定理：a sinA ＝c sinC ⇒sinC ＝csinA a ＝37×sin60°＝37×32＝3314. (2)当a ＝7时，c ＝37a ＝3<a ，又sinC ＝3314，∴cosC ＝1－sin 2C ＝1314.在△ABC 中，sinB ＝sin[π－(A ＋C)]＝sin(A ＋C)＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝32×1314＋12×3314＝437， ∴S △ABC ＝12ac ×sinB ＝12×7×3×437＝6 3.15．(2024·福建中学毕业班质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2bcosC －c ＝2a. (1)求B 的大小；(2)若a ＝3，且AC 边上的中线长为192，求c 的值． 答案 (1)2π3 (2)5解析 (1)∵2bcosC－c ＝2a ，∴由余弦定理得2b·a 2＋b 2－c22ab－c ＝2a ，化简得a 2＋c 2－b 2＝－ac ，∴cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.(2)由(1)可得b 2＝a 2＋c 2＋ac ＝c 2＋3c ＋9.① 又cosC ＝a 2＋b 2－c22ab，②取AC 的中点D ，连接BD ，在△CBD 中，cosC ＝BC 2＋CD 2－BD22BC ·CD ＝a 2＋b 24－194ab，③由②③得2c 2－b 2＝1.④由①④得c 2－3c －10＝0，解得c ＝5或c ＝－2(舍去)，∴c ＝5.16．(2024·衡水中学调研卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且有2sinBcosA ＝sinAcosC ＋cosAsinC. (1)求角A 的大小；(2)若b ＝2，c ＝1，D 为BC 的中点，求AD 的长． 答案 (1)π3 (2)72解析 (1)方法一：由题设知，2sinBcosA ＝sin(A ＋C)＝sinB ，因为sinB≠0，所以cosA ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.方法二：由题设可知，2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ，于是b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.由于0<A<π，故A ＝π3.(2)方法一：因为AD →2＝(AB →＋AC →2)2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14(1＋4＋2×1×2×cos π3)＝74，所以|AD →|＝72，从而AD ＝72.方法二：因为a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝4＋1－2×2×1×12＝3，所以a 2＋c 2＝b 2，B ＝π2.因为BD ＝32，AB ＝1，所以AD ＝1＋34＝72.17．(2024·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知bsinA ＝acos(B －π6)． (1)求角B 的大小；(2)设a ＝2，c ＝3，求b 和sin(2A －B)的值． 答案 (1)π3 (2)7 3314解析 (1)在△ABC 中，由正弦定理a sinA ＝bsinB ，可得bsinA ＝asinB ，又由bsinA ＝acos(B－π6)，得asinB ＝acos(B －π6)，即sinB ＝cos(B －π6)，可得tanB ＝ 3.又因为B∈(0，π)，可得B ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理及a ＝2，c ＝3，B ＝π3，有b 2＝a 2＋c 2－2accosB ＝7，故b ＝7.由bsinA ＝acos(B －π6)，可得sinA ＝37.因为a<c ，故cosA ＝27.因此sin2A ＝2sinAcosA＝437，cos2A ＝2cos 2A －1＝17，所以sin(2A －B)＝sin2AcosB －cos2AsinB ＝437×12－17×32＝3314.。
高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测：第四章 三角函数、解三角形 4-6 Word版含答案
A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的() A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0； cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A. 【答案】 A2．(2016·山东)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是() A.π2B ．π C.3π2D ．2π 【解析】∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.【答案】 B 3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为()A.118 B ．－118 C.1718 D ．－1718【解析】 cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.【答案】 D4．(2017·成都第一次诊断性检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4【解析】∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos 2α＝－255. ∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， ∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. 又∵α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4.【答案】 A5．(2016·菏泽期末)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 【解析】∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C.【答案】 C6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________．【解析】∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3， ∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∴sin 2θ－2cos 2θ ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－214＋1＝－45.【答案】－457．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________．【解析】由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.【答案】218．(2015·北京西城一模)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________．【解析】因为(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 所以1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，即3(tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β＝3(1－tan αtan β)， 即tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)． ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β为锐角，∴α＋β＝π3.【答案】π39．(2016·沈阳质检)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．【解析】 (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)10．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则()A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2【解析】由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.【答案】 B11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin αsin βcos αcos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于()A.π12B.π6C.π4 D.π3【解析】依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32， 故β＝π3，故选D.【答案】 D12．(2017·河南百校联盟教学质量监测)已知函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |，则下列结论中错误的是()A ．f (x )是周期函数B ．f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈ZC ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上为增函数D ．方程f (x )＝65在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32π，0上有6个根 【解析】因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，所以f (x )是周期为π2的函数．因为f (x )为偶函数，所以f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈Z ，故A ，B 项正确．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，作出函数f (x )的部分图象如图所示，由图象可知C 项错误，D 项正确．【答案】 C13．设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________．【解析】方法一因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2xsin 2x，所以令k ＝2－cos 2x sin 2x .又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0，2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为 3.方法二y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x.∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan x ＞0.∴32tan x ＋12tan x≥2 32tan x ·12tan x＝ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号即函数的最小值为 3. 【答案】 314．(2016·临沂一模)已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．【解析】f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.(1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13.又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos 12x ，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.。
2018届高考新课标数学理大一轮复习检测：第四章 三角函数、解三角形 4-2 含答案 精品
A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2017·江西五校联考)cos 350°－2sin 160°sin （－190°）＝( )A ．－ 3B ．－32C.32D. 3 【解析】 原式＝cos （360°－10°）－2sin （180°－20°）－sin （180°＋10°）＝cos 10°－2sin （30°－10°）－（－sin 10°）＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.【答案】 D2．(2017·江西鹰潭余江一中第二次模拟)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）等于( )A ．－32 B.32C ．0 D.23【解析】 ∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3x －y ＝0上，∴tan θ＝3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋θ＋2cos （π－θ）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ－sin （π－θ）＝－3cos θcos θ－sin θ＝－31－tan θ＝32.故选B. 【答案】 B3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1【解析】 由角α的终边落在第三象限得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.【答案】 B4．(2017·湖北重点中学第三次月考)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.5π3 C.11π6 D.2π3【解析】 因为sin 5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝sin π6＝12，cos 5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在第四象限．又因为tan α＝cos5π6sin5π6＝－3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝tan 5π3，所以角α的最小正值为5π3.故选B.【答案】 B5．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3【解析】 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3. 【答案】 D6．(2017·湖南岳阳一模)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________．【解析】 原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. 【答案】 17．(2015·四川)sin 15°＋sin 75°的值是________．【解析】 sin 15°＋sin 75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＋sin 45°cos 30°＋cos 45°·sin 30°＝2sin 45°cos 30°＝62. 【答案】628．(2017·浙江温州十校联考)若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45，则sin αtan α的值是________．【解析】 |OP |＝r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝1，∴点P 在单位圆上，∴sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－4535＝－43，得 sin α·tan α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝1615.【答案】 16159．已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α·1＋1tan 2α＝________． 【解析】 原式＝cos α 1＋sin 2αcos 2α＋sin α 1＋cos 2αsin 2α＝cos α 1cos 2α＋sin α 1sin 2α＝cos α1－cos α＋sin α1sin α＝0.【答案】 010．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.【解析】 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6 D.π3【解析】 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝ 3. ∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.【答案】 D12．(2017·黄州联考)若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P (cos B －sin A ，sin B －cos A )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【解析】 ∵△ABC 是锐角三角形，则A ＋B ＞π2，∴A ＞π2－B ＞0，B ＞π2－A ＞0，∴sin A ＞sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ， sin B ＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴点P 在第二象限，选B. 【答案】 B13．(2017·江苏淮安四星级高中段考)已知α是第二象限角且sin α＝45，则tan α的值是________．【解析】 ∵α是第二象限角且sin α＝45，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，则tan α＝sin αcos α＝－43.【答案】 －4314．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________．【解析】 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912.【答案】 91215．(2017·广东肇庆二模)已知向量a ＝(2，sin θ)与b ＝(1，cos θ)互相平行，其中θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值； (2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值． 【解析】 (1)∵a 与b 互相平行， ∴sin θ＝2cos θ，代入sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得cos θ＝±55， 又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝55，∴sin θ＝255.(2)∵0＜φ＜π2，0＜θ＜π2，∴－π2＜θ－φ＜π2，又sin(θ－φ)＝1010， ∴cos(θ－φ)＝1－sin 2（θ－φ）＝31010， ∴cos φ＝cos＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ)＝22.。
2017版《高考调研》大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第四章三角函数题组22 Word版含解析
题组层级快练(二十二)1．(2016·衡水调研卷)与图中曲线对应的函数是( )A ．y ＝sinxB ．y ＝sin|x|C ．y ＝－sin|x|D ．y ＝－|sinx|答案 C2．(2016·西安九校联考)将f(x)＝cosx 图像上所有的点向右平移π6个单位，得到函数y ＝g(x)的图像，则g(π2)＝( )A.32B ．－32 C.12 D ．－12答案 C解析 由题意得g(x)＝cos(x －π6)，故g(π2)＝cos(π2－π6)＝sin π6＝12.3．(2015·山东)要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图像，只需将函数y ＝sin4x 的图像( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案 B解析 y ＝sin(4x －π3)＝sin4(x －π12)，故要将函数y ＝sin4x 的图像向右平移π12个单位．故选B.4．若把函数y ＝f(x)的图像沿x 轴向左平移π4个单位，沿y 轴向下平移1个单位，然后再把图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sinx 的图像，则y ＝f(x)的解析式为( ) A ．y ＝sin(2x －π4)＋1B ．y ＝sin(2x －π2)＋1C ．y ＝sin(12x ＋π4)－1D ．y ＝sin(12x ＋π2)－1答案 B解析 将y ＝sinx 的图像上每个点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得到y ＝sin2x 的图像，再将所得图像向上平移1个单位，得到y ＝sin2x ＋1的图像，再把函数y ＝sin2x ＋1的图像向右平移π4个单位，得到y ＝sin2(x －π4)＋1的图像，即函数f(x)的图像，所以f(x)＝sin2(x －π4)＋1＝sin(2x －π2)＋1，故选B.5．函数y ＝sinx －cosx 的图像可由y ＝sinx ＋cosx 的图像向右平移( ) A.3π2个单位 B ．π个单位 C.π4个单位 D.π2个单位 答案 D解析 y ＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，y ＝sinx －cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4.6．(2015·邯郸一中期末)设函数f(x)＝2sin(π2x ＋π5)．若对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.12答案 B解析 f(x)的周期T ＝4，|x 1－x 2|min＝T 2＝2. 7．(2013·湖北)将函数y ＝3cosx ＋sinx(x ∈R )的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6答案 B解析 y ＝3cosx ＋sinx ＝2(32cosx ＋12sinx)＝2sin(x ＋π3)的图像向左平移m 个单位后，得到y ＝2sin(x ＋m ＋π3)的图像，此图像关于y 轴对称，则x ＝0时，y ＝±2，即2sin(m ＋π3)＝±2，所以m ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，由于m>0，所以m min ＝π6，故选B.8．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I ＝Asin (ωt ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π2)的图像如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5 AB ．5 AC ．5 3 AD ．10 A答案 A解析 由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴ω＝2πT＝100π.∴T ＝10sin(100πt ＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5 A ，故选A.9. (2016·武汉市二中)已知函数f(x)＝Acos (ωx ＋φ)的图像如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)＝( )A ．－23B ．－12C.23D.12答案 C解析 由图像可知所求函数的周期为23π，故ω＝3，将(11π12，0)代入解析式得114π＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－9π4＋2k π，令φ＝－π4代入解析式得f(x)＝Acos(3x －π4)，又因为f(π2)＝－Acos π4＝－23，所以f(0)＝Acos(－π4)＝Acos π4＝23，故选C.10．将函数y ＝sinx 的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图像，则φ等于( ) A.π6 B.5π6 C.7π6 D.11π6答案 D解析 平移后图像的解析式为y ＝sin(x ＋φ)，依题意可得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，又0≤φ<2π，故只有选项D 正确．11．(2016·宁夏一模)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，－3≤x<0，2sin （ωx ＋φ），0≤x ≤8π3的图像如下图，则( )A ．k ＝13，ω＝12，φ＝π6B ．k ＝13，ω＝12，φ＝π3C ．k ＝－13，ω＝2，φ＝π6D ．k ＝－3，ω＝2，φ＝π3答案 A解析 由图像可知f(－3)＝0⇒－3k ＋1＝0⇒k ＝13.又知T 4＝8π3－5π3＝π⇒T ＝4π，故ω＝12，根据五点法作图可知(8π3，－2)应为第四个点，即令12· 8π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6.12．(2014·四川卷改编)(1)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sinx 的图像上所有的点向________平移________个单位长度．(2)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin2x 的图像上所有的点向________平移________个单位长度． 答案 (1)左，1 (2)左，1213．将函数y ＝sin(－2x)的图像向右平移π3个单位，所得函数图像的解析式为________．答案 y ＝sin(23π－2x)14．(2014·重庆文)若将函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图像上每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sinx 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________． 答案22解析 将y ＝sinx 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图像，故f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6.所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.15．若函数y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图像恰好关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值是________． 答案5π12解析 y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得y ＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．因其中一条对称轴方程为x ＝π6，则2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．因为φ>0，所以φ的最小值为5π12.16. (2014·北京)函数f(x)＝3sin(2x ＋π6)的部分图像如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f(x)在区间[－π2，－π12]上的最大值和最小值．答案 (1)T ＝π，x 0＝7π6，y 0＝3 (2)最大值为0，最小值为－3解析 (1)f(x)的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈[－π2，－π12]，所以2x ＋π6∈[－5π6，0]．于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f(x)取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f(x)取得最小值－3.17．(2016·江西测试)已知函数f(x)＝4cosxsin(x ＋π6)＋a 的最大值为2.(1)求实数a 的值及f(x)的最小正周期； (2)在坐标纸上作出f(x)在[0，π]上的图像． 答案 (1)a ＝－1，T ＝π (2)略 解析 (1)f(x)＝4cosx(sinxcosπ6＋cosxsin π6)＋a ＝3sin2x ＋cos2x ＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1，最大值为3＋a ＝2，∴a ＝－1.T ＝2π2＝π.(2)列表如下：18.已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(x ∈R ，A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示．(1)试确定函数f(x)的解析式；(2)若f(α2π)＝13，求cos(2π3－α)的值．答案 (1)f(x)＝2sin(πx ＋π6) (2)－1718解析 (1)由图像知，f(x)max ＝A ＝2，设函数f(x)的最小正周期为T ，则T 4＝56－13＝12，所以T＝2，∴ω＝2πT ＝2π2＝π，故函数f(x)＝2sin(πx ＋φ)．又∵f(13)＝2sin(π3＋φ)＝2，∴sin(π3＋φ)＝1.∵|φ|<π2，即－π2<φ<π2，∴－π6<π3＋φ<5π6. 故π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，∴f(x)＝2sin(πx ＋π6)． (2)∵f(α2π)＝13，即2sin(π·α2π＋π6)＝2sin(α2＋π6)＝13，∴sin(α2＋π6)＝16.∴cos(π3－α2)＝cos[π2－(π6＋α2)]＝sin(π6＋α2)＝16.∴cos(2π3－α)＝cos[2(π3－α2)]＝2cos 2(π3－α2)－1＝2×(16)2－1＝－1718.1．(2015·湖南理)将函数f(x)＝sin2x 的图像向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足||f （x 1）－g （x 2）＝2的x 1，x 2，有||x 1－x 2min ＝π3，则φ＝( )A.5π12B.π3 C.π4 D.π6答案 D解析 向右平移φ个单位后，得到g(x)＝sin(2x －2φ)．又∵|f(x 1)－g(x 2)|＝2，∴不妨2x 1＝π2＋2k π，2x 2－2φ＝－π2＋2m π，∴x 1－x 2＝π2－φ＋(k －m)π，又∵||x 1－x 2min ＝π3，∴π2－φ＝π3⇒φ＝π6，故选D 项．2．(2016·西安八校联考)若函数y ＝cos (ωx ＋π6)(ω∈N *)图像的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．8答案 B 解析πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，∴ωmin ＝2，故选B. 3. (2016·洛阳统考)已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式是( )A ．f(x)＝sin(3x ＋π3)B ．f(x)＝sin(2x ＋π3)C ．f(x)＝sin(x ＋π3)D ．f(x)＝sin(2x ＋π6)答案 D解析 由图像可知T 4＝5π12－π6，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，故排除A 、C ，把x ＝π6代入检验知，选项D 符合题意．4．(2016·武汉调研)已知函数f(x)＝sin(2x －π2)(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f(x)是偶函数B ．函数f(x)的最小正周期为πC ．函数f(x)在区间[0，π2]上是增函数D ．函数f(x)的图像关于直线x ＝π4对称答案 D解析 f(x)＝sin(2x －π2)＝－cos2x ，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A ，B 正确，函数图像的对称轴方程为x ＝k π2(k ∈Z )，显然，无论k 取任何整数，x ≠π4，所以D 错误，答案为D.5．(2013·福建文)将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)(－π2<θ<π2)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P(0，32)，则φ的值可以是( ) A.5π3B.5π6C.π2D.π6答案 B解析 因为函数f(x)的图像过点P ，所以θ＝π3，所以f(x)＝sin(2x ＋π3)．又函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝sin[2(x －φ)＋π3]的图像，所以sin(π3－2φ)＝32，所以φ可以为5π6，故选B.6．将函数y ＝sin(2x ＋π4)的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图像解析式是( )A ．f(x)＝sinxB ．f(x)＝cosxC ．f(x)＝sin4xD ．f(x)＝cos4x答案 A解析 y ＝sin(2x ＋π4)→y ＝sin(x ＋π4)→y ＝sin(x －π4＋π4)＝sinx.7．(2014·浙江)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图像，可以将函数y ＝2cos3x 的图像( ) A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位答案 C解析 因为y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos3⎝⎛⎭⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos3x 的图像向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4的图像，故选C.8．(2016·重庆一中)要得到函数y ＝sin 12x 的图像，只需将函数y ＝sin(12x －π3)的图像( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位答案 C9．(2016·临沂一中月考)如图的函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π8B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4答案 C解析 A ＝2，T ＝7π8－⎝⎛⎭⎫－π8＝π，ω＝2，当x ＝－π8时，y ＝0.10．(2016·长沙雅礼中学)将函数y ＝sin2x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( ) A ．y ＝cos2x B ．y ＝2cos 2x C ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝2sin 2x 答案 B解析 所得解析式是y ＝sin2(x ＋π4)＋1＝cos2x ＋1＝2cos 2x.11．(2016·杭州学军中学)已知函数y ＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ≤π2)，且此函数的图像如图所示，则点P(ω，φ)的坐标是( )A ．(2，π2)B ．(2，π4)C ．(4，π2)D ．(4，π4)答案 B解析 ∵T ＝2(7π8－3π8)＝π，∴ω＝22×3π8＋φ＝π，∴φ＝π4，∴选B.12．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在一个周期内的图像如图所示，要得到函数y ＝sin(12x ＋π12)的图像，则需将函数y ＝sin ωx 的图像向________平移________个单位长度．答案 左，π6解析 由图像知函数y ＝sin ωx 的周期为T ＝3π－(－π)＝4π， ∴ω＝2πT ＝12，故y ＝sin 12x.又y ＝sin(x 2＋π12)＝sin 12(x ＋π6)，∴将函数y ＝sin 12x 的图像向左平移π6个单位长度，即可得到函数y ＝sin(x 2＋π12)的图像．13.若函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________．答案 3解析 由函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图像可知： T 2＝(－π3)－(－23π)＝π3，∴T ＝23π. ∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.14.已知函数f(x)＝Atan (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f(x)的部分图像如图所示，则f(π24)＝________．答案3解析 由图像知T 2＝38π－π8＝π4，T ＝π2，ω＝πT ＝2，2×π8＋φ＝π2＋k π，φ＝π4＋k π，k ∈Z . 又|φ|<π2，∴φ＝π4.∵函数f(x)的图像过点(0，1)，∴f(0)＝Atan π4＝A ＝1.∴f(x)＝tan(2x ＋π4)．∴f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.15．(2015·湖南文)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________． 答案π2解析 由题意，两函数图像交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，易知|PQ|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin (ωx －π4)的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝(2π2ω)2＋(22)2，ω＝π2.16．(2016·石家庄二中调研)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入的数据如下表：(1)求x 123(2)将函数f(x)的图像向左平移π个单位，可得到函数g(x)的图像，求函数y ＝f(x)·g(x)在区间(0，5π3)的最小值．答案 (1)x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3，f(x)＝2sin(12x －π3)解析 (1)由2π3ω＋φ＝0，8π3ω＋φ＝π可得ω＝12，φ＝－π3，由12x 1－π3＝π2，12x 2－π3＝3π2，12x 3－π3＝2π可得x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3， 又Asin(12×5π3－π3)＝2，∴A ＝2，∴f(x)＝2sin(12x －π3)．(2)函数f(x)＝2sin(12x －π3)的图像向左平移π个单位，得g(x)＝2sin(12x －π3＋π2)＝2cos(x 2－π3)的图像，∴y ＝f(x)g(x)＝2sin(x 2－π3)·2cos(x 2－π3)＝2sin(x －2π3)，∵x ∈(0，5π3)，∴x －2π3∈(－2π3，π)，∴当x －2π3＝－π2，即x ＝π6时，y ＝f(x)·g(x)取得最小值－2.。
2018届高考新课标数学理大一轮复习检测：第四章 三角
A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2016²全国卷Ⅲ)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425 B.4825C ．1 D.1625【解析】 通性通法 由tan α＝sin αcos α＝34，cos 2α＋sin 2α＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝35cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35cos α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2425，则cos 2α＋2sin 2α＝1625＋4825＝6425. 光速解法 cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝1＋31＋916＝6425. 【答案】 A2．(2017²河北石家庄第二次模拟)在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π8，cos π8，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π12＝( )A.32 B ．－32C.12 D ．－12【解析】 ∵角α的终边过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π8，cos π8，∴sin α＝cos π8，cos α＝sin π8，∴α＝3π8＋2k π，k ∈Z ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k π＋3π4－π12＝sin 2π3＝32.故选A. 【答案】 A3．(2016²江西九校联考)已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( )A ．α＜π4＜βB ．β＜π4＜αC.π4＜α＜β D.π4＜β＜α 【解析】 ∵α为锐角，sin α－cos α＝16＞0，∴α＞π4.又tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，∴α＋β＝π3，又α＞π4，∴β＜π4＜α.【答案】 B4．(2017²黑龙江哈尔滨三中第二次检测)sin 182°³cos 28°－cos 2°³sin 28°的值为( )A.12 B ．－12 C.32 D ．－32【解析】 sin 182°³cos 28°－cos 2°³sin 28°＝(－sin 2°)³cos 28°－cos 2°³sin 28°＝－sin 30°＝－12.故选B.【答案】 B5．(2017²福建四地六校联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6的值是( )A ．－235B ．－45C.235 D.45【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，∴32cos α－32sin α＝435， 12cos α－32sin α＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝sin αcos 11π6＋cos αsin 11π6＝32sin α－12cos α＝－45.故选B. 【答案】 B6．(2017²山东滨州重点高中模拟)已知角α，β满足tan αtan β＝713，若sin(α＋β)＝23，则sin(α－β)的值为________．【解析】 设sin(α－β)＝x ，即sin αcos β－cos αsin β＝x ，① 由sin(α＋β)＝23，可得sin αcos β＋cos αsin β＝23，②由①②求得sin αcos β＝x 2＋13，cos αsin β＝13－x2.由tan αtan β＝713＝sin αcos βcos αsin β＝x 2＋1313－x 2，可得x ＝－15. 【答案】 －157．(2016²合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________．【解析】 (1)∵α为锐角，∴sin α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.∵α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴0＜α＋β＜π.又∵sin(α＋β)＜sin α，∴α＋β＞π2，∴cos(α＋β)＝－1114.cos β＝cos ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)²sin α＝－1114³17＋5314³437＝4998＝12. 【答案】 128．(2016²杭州模拟)函数f (x )＝2cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值为________．【解析】 ∵f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－32，∴f (x )的最大值为1－32. 【答案】 1－329．(2017²吉林省实验中学期末)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值；(2)求sin （2α＋2π）－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α1－cos （π－2α）＋sin 2α的值．【解析】 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1＋tan α1－tan α＝12，解得tan α＝－13. (2)sin （2α＋2π）－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α1－cos （π－2α）＋sin 2α＝sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＋sin 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＋sin 2α ＝2tan α－12＋tan 2α＝－1519. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)10．(2017²宁夏中卫一中期末)在△ABC 中，A ，B ，C 成等差数列，则tan A 2＋tan C2＋3tan A 2²tan C2的值是( )A ．± 3B ．－ 3C. 3D.33【解析】 在△ABC 中，∵A ，B ，C 成等差数列， ∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3.则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2²tan C2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎪⎫1－tan A 2²tan C 2＋3tan A 2²tan C2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan A2²tan C 2＋3tan A 2²tan C2＝ 3.故选C.【答案】 C11．(2016²贵阳监测)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( )A.79B.13 C ．－13 D ．－79【解析】 ∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＝79，∴cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2α＝－79.【答案】 D12．(2016²四川卷)cos2π8－sin 2π8＝________． 【解析】 由二倍角公式得， cos2π8－sin 2π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2³π8＝cos π4＝22.【答案】2213．(2017²河北师大附中第一次段考)函数y ＝cos 2x ＋2cos x 的最大值为________． 【解析】 ∵y ＝cos 2x ＋2cos x ＝2cos 2x ＋2cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫cos x ＋122－32，∴当cos x ＝1时，函数y ＝cos 2x ＋2cos x 取最大值y max ＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122－32＝3.【答案】 314．(2017²北京海淀期末练习)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )－1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12上的最大值与最小值的和．【解析】 (1)因为f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )－1＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12，所以2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π12.根据函数f (x )＝sin x 的性质，当2x ＋π4＝－π12时，函数f (x )取得最小值2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12， 当2x ＋π4＝π12时，函数f (x )取得最大值2sin π12.因为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0， 所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，－π12上的最大值与最小值的和为0.。
【免费下载】高考调研高考数学总复习人教新课标配套单元测试第四章三角函数 Word版含解析
第四章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1. 集合M ＝{x |x ＝sin ，n ∈Z }，N ＝{x |x ＝cos ，n ∈N }，则M ∩N 等于( )n π3n π2A ．{－1,0,1} B ．{0,1}C ．{0}D ．∅答案 C 解析 ∵M ＝{x |x ＝sin ，n ∈Z }＝{－，0，}，n π33232N ＝{－1,0,1}，∴M ∩N ＝{0}．应选C.2．已知α∈(，π)，sin α＝，则tan(α＋)等于( )π235π4A. B ．717C ．－ D ．－717答案 A 解析 ∵α∈(，π)，∴tan α＝－.π234∴tan(α＋)＝＝.π4－34＋11＋34173. 已知函数f (x )＝sin(πx －)－1，则下列命题正确的是( )π2A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数断习题线缆敷设完毕，要进行检查和检测处出具高试卷试验报告与相关技术资料，并且电源料试卷切除从而采用高中资料试卷主C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数答案 B 解析 f (x )＝－cosπx －1，周期为2，且为偶函数，故选B.4．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<)的图像向左平移个单位，所得曲线的π2π3一部分如图所示，则ω、φ的值分别为( )A ．1， B ．1，－π3π3C ．2， D ．2，－π3π3答案 D 解析 由题知，×＝－，∴ω＝2，∵函数的图像过点(，0)，∴2(＋)142πω7π12π3π3π3π3＋φ＝π.∴φ＝－.故选D.π35．函数y ＝2sin(x －)＋cos(x ＋)的一条对称轴为( )π6π3A ．x ＝ B ．x ＝π3π6C ．x ＝－D ．x ＝－π35π6答案 C 解析 y ＝2sin(x －)＋cos(x ＋)π6π3＝2sin(x －)＋sin[－(x ＋)]π6π2π3＝2sin(x －)＋sin(－x )＝sin(x －)．π6π6π6方法一 把选项代入验证．方法二 由x －＝k π＋，得x ＝k π＋π(k ∈Z )．π6π223当k ＝－1时，x ＝－.π36．如图，一个大风车的半径为8 m ，每12 min 旋转一周，最低点离地面为2 m ．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P 离地面的距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系是( )A ．h ＝8cos t ＋10 B ．h ＝－8cos t ＋10π6π3C ．h ＝－8sin t ＋10 D ．h ＝－8cos t ＋10π6π6答案 D 解析 排除法，由T ＝12，排除B ，当t ＝0时，h ＝2，排除A 、C.故选D.7．设a >0，对于函数f (x )＝(0<x <π)，下列结论正确的是( )sin x ＋a sin x A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值也无最小值答案 B 解析 令t ＝sin x ，则函数f (x )＝(0<x <π)的值域为函数y ＝1＋，t ∈(0,1]的sin x ＋a sin x a t 值域，又a >0，所以y ＝1＋，t ∈(0,1]是一个减函数．故选B.a t8．甲船在岛A 的正南B 处，以4 km/h 的速度向正北航行，AB ＝10 km ，同时乙船自岛A 出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A. minB. h 1507157C ．21.5 min D ．2.15 h 答案A解析 如右图：设t 小时甲行驶到D 处AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处AC ＝6t ，∵∠BAC ＝120°，DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100.当t ＝ h 时DC 2最小，DC 最小，此时t ＝×60＝ min.51451415079．在△ABC 中，已知sin C ＝2sin(B ＋C )cos B ，那么△ABC 一定是( )A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形答案 B 解析 C ＝π－(A ＋B )，B ＋C ＝π－A .有sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B .即sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0，则A ＝B .∴△ABC 为等腰三角形．故选B.10．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f ()|对x ∈R 恒成π6立，且f ()>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )π2A ．[k π－，k π＋](k ∈Z )π3π6B ．[k π，k π＋](k ∈Z )π2C ．[k π＋，k π＋](k ∈Z )π62π3D ．[k π－，k π](k ∈Z )π2答案 C 解析 因为当x ∈R 时，f (x )≤|f ()|恒成立，所以f ()＝sin(＋φ)＝±1，可得π6π6π3φ＝2k π＋或φ＝2k π－.因为f ()＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sinπ65π6π2φ，故sin φ<0，所以φ＝2k π－，所以f (x )＝sin(2x －)，函数的单调递增区间为5π65π6－＋2k π≤2x －≤＋2k π，所以x ∈[k π＋，k π＋](k ∈Z )，故选C.π25π6π2π62π3二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.答案 －35解析 由角θ的终边在直线y ＝2x 上可得tan θ＝2，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝＝＝－.cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ1－tan2θ1＋tan2θ3512．函数f (x )＝sin 4x ＋cos 2x 的最小正周期为________．答案 π2解析 法一：f (x )＝(1－cos 2x )2＋cos 2x ＝1＋cos 4x －cos 2x ＝1＋cos 2x (cos 2x －1)＝1－cos 2x ·sin 2x ＝1－sin 22x ＝1－()＝＋cos4x .14141－cos4x 27818法二：f (x )＝(sin 2x )2＋cos 2x＝()2＋1－cos2x 21＋cos2x 2＝＋cos 22x ＝＋cos4x .3414781813．已知等腰△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b ＋a ，c －a )，若p ∥q ，则角A 的大小为________．答案 30°解析 由p ∥q ，得(a ＋c )(c －a )＝b (b ＋a )，即－ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝＝＝－.因为0°<C <180°，所以C ＝120°.又由△ABC 为a 2＋b 2－c 22ab －ab 2ab 12等腰三角形得A ＝(180°－120°)＝30°.1214．若＝2 012，则＋tan2α＝________.1＋tan α1－tan α1cos2α答案 2 012解析 ＋tan2α＝＋＝1cos2α1cos2αsin2αcos2α(sin α＋cos α)2cos2α－sin2α＝＝＝2 012.sin α＋cos αcos α－sin αtan α＋11－tan α15．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝，∠ADB ＝135°.2若AC ＝AB ，则BD ＝________.2答案 25解析 如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则由题可知BD ＝a ，CD ＝a ，所以1323根据余弦定理可得b 2＝()2＋(a )2－2××a cos45°，c 2＝()2＋(a )2232232132－2×a cos135°，由题意知b ＝c ，可解得a ＝6＋3，所以BD ＝a ＝2＋2132513.516．下面有五个命题：①函数y ＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π.②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝，k ∈Z }．k π2③在同一坐标系中，函数y ＝sin x 的图像和函数y ＝x 的图像有三个公共点．④把函数y ＝3sin(2x ＋)的图像向右平移得到y ＝3sin2x 的图像．π3π6⑤函数y ＝sin(x －)在[0，π]上是减函数．π2其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)答案 ①④解析 考查①y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，所以最小正周期为π.②k ＝0时，α＝0，则角α终边在x 轴上．③由y ＝sin x 在(0,0)处切线为y ＝x ，所以y ＝sin x 与y ＝x 图像只有一个交点．④y ＝3sin(2x ＋)图像向右平移个单位得π3π6y ＝3sin[2(x －)＋]＝3sin2x .π6π3⑤y ＝sin(x －)＝－cos x 在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．π2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝，求f (x )的定义域，6cos4x ＋5sin2x －4cos2x 判断它的奇偶性，并求其值域．解析 由cos2x ≠0，得2x ≠k π＋，解得x ≠＋，k ∈Z .π2k π2π4所以f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠＋，k ∈Z }．k π2π4因为f (x )的定义域关于原点对称，且f (－x )＝6cos4(－x )＋5sin2(－x )－4cos (－2x )＝＝f (x )，6cos4x ＋5sin2x －4cos2x 所以f (x )是偶函数．当x ≠＋，k ∈Z 时，k π2π4f (x )＝6cos4x ＋5sin2x －4cos2x＝＝3cos 2x －1，(2cos2x －1)(3cos2x －1)cos2x 所以f (x )的值域为{y |－1≤y <或<y ≤2}．121218．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin x cos x ＋sin(－2x )．求：π2(1)f ()的值；π4(2)f (x )的最小正周期和最小值；(3)f (x )的单调递增区间．答案 (1)1 (2)π，－ (3)(k ∈Z )2[－3π8＋k π，π8＋k π]解析 (1)f ()＝2sin cos ＋sin(－2×)π4π4π4π2π4＝2××＋0＝1.2222(2)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝(sin2x ＋cos2x )22222(sin2x cos ＋cos2x sin )＝sin(2x ＋)．2π4π42π4所以最小正周期为π，最小值为－.2(3)由－＋2k π≤2x ＋≤＋2k π(k ∈Z )，π2π4π2可得－＋k π≤x ≤＋k π(k ∈Z )．3π8π8所以函数的单调递增区间为(k ∈Z )．[－3π8＋k π，π8＋k π]19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B ＝C,2b a .3(1)求cos A 的值；(2)求cos(2A ＋)的值．π4答案 (1) (2)－138＋7218解析 (1)由B ＝C,2b ＝a ，可得c ＝b ＝a .332所以cos A ＝＝＝.b 2＋c 2－a 22bc 34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a 13(2)因为cos A ＝，A ∈(0，π)，所以sin A ＝＝，cos 131－cos2A 2232A ＝2cos 2A －1＝－.故sin2A ＝2sin A cos A ＝.79429所以cos(2A ＋)＝cos 2A cos －sin 2A sin π4π4π4＝(－)×－×＝－.7922429228＋721820．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足ac ＝a 2＋c 2－b 2.(1)求角B 的大小；(2)若|－|＝2，求△ABC 面积的最大值．BA → BC → 定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避答案 (1) (2)π33解 (1)∵在△ABC 中，ac ＝a 2＋c 2－b 2，∴cos B ＝＝.a 2＋c 2－b 22ac 12∵B ∈(0，π)，∴B ＝.π3(2)∵|－|＝2，∴||＝2，即b ＝2.BA → BC → CA → ∴a 2＋c 2－ac ＝4.∵a 2＋c 2≥2ac ，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立．∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4.∴△ABC 的面积S ＝ac sin B ＝ac ≤.12343∴当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积取得最大值为.321．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，·＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4.AB → AC → (1)求bc 的最大值及θ的取值范围．(2)求函数f (θ)＝2sin 2(＋θ)＋2cos 2θ－的最值．3π43解析 (1)∵·＝8，∠BAC ＝θ，∴bc ·cos θ＝8.AB → AC → 又∵a ＝4，∴b 2＋c 2－2bc cos θ＝42，即b 2＋c 2＝32.又b 2＋c 2≥2bc ，∴bc ≤16，即bc 的最大值为16.而bc ＝，∴≤16.8cos θ8cos θ∴cos θ≥.又0<θ<π，∴0<θ≤.12π3(2)f (θ)＝2sin 2(＋θ)＋2cos 2θ－3π43·[1－cos(＋2θ)]＋1＋cos2θ－3π23sin2θ＋cos2θ＋1＝2sin(2θ＋)＋1.3π6∵0<θ≤，∴<2θ＋≤.π3π6π65π6∴≤sin(2θ＋)≤1.12π6当2θ＋＝，即θ＝时，f (θ)min ＝2×＋1＝2；π65π6π312当2θ＋＝，即θ＝时，f (θ)max ＝2×1＋1＝3.π6π2π622．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(1＋)sin 2x ＋m sin(x ＋)1tan x π4sin(x －)．π4(1)当m ＝0时，求f (x )在区间[，]上的取值范围；π83π4(2)当tan α＝2时，f (α)＝，求m 的值．35解析 (1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝(sin2x －cos2x )＋＝sin(2x －)＋.121222π412又由x ∈[，]，得2x －∈[0，]，所以sin(2x －)∈[－，1]，从而f (x )π83π4π45π4π422＝sin(2x －)＋∈[0，]．22π4121＋22(2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －cos2x ＝＋sin2x －cos2x ＝[sin2x －(1＋m )cos2x ]m 21－cos2x 212m 212＋，12由tan α＝2，得sin2α＝＝＝，2sin αcos αsin2α＋cos2α2tan α1＋tan2α45口不设备资料试cos2α＝＝＝－.cos2α－sin2αsin2α＋cos2α1－tan2α1＋tan2α35所以＝[＋(1＋m )]＋，得m ＝－2.35124535121．(2011·上海)若三角方程sin x ＝0与sin 2x ＝0的解集分别为E ，F ，则( )A ．E ∩F ＝EB ．E ∪F ＝EC ．E ＝FD ．E ∩F ＝∅答案 A 2．下列函数中，其中最小正周期为π，且图像关于直线x ＝对称的是( )π3A ．y ＝sin(2x －) B ．y ＝sin(2x －)π3π6C ．y ＝sin(2x ＋) D ．y ＝sin(＋)π6x 2π6答案 B解析 ∵T ＝π，∴ω＝2，排除D ，把x ＝代入A 、B 、C 只有B 中y 取得最值，π3故选B.3．函数y ＝tan(x －)的部分图像如图所示，则(＋)·＝( )π4π2OA → OB → AB →A ．6B ．4C ．－4D ．－6答案 A 解析 由tan(x －)＝0，得x －＝k π(k ∈Z )，x ＝4k ＋2(k ∈Z )，结合图形可知π4π2π4π2A (2,0)，由tan(x －)＝1，得x －＝＋k π(k ∈Z )，∴x ＝3＋4k (k ∈Z )，结合图形可π4π2π4π2π4知B (3,1)，∴(＋)·＝(5,1)·(1,1)＝6.OA → OB → AB → 4．(本小题满分12分)如图(a )，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶．在A 处分别测得山顶上铁塔的塔顶E 的仰角为θ和山脚点O (点O 是点E 在公路所在平面上的射影)的方位角是西偏北φ，再行驶a km 到达B 处，测得山脚点O 的方位角是西偏北β.(1)设计一个方案，用测量的数据和有关公式写出计算OE 的步骤；(2)函数f (x )＝a sin(βx ＋φ)的部分图像如图(b )所示，θ＝，求塔顶E 到公路π6的距离．解析 (1)第一步：求OA ，在△AOB 中，∠ABO ＝π－β，∠AOB ＝β－φ，AB ＝a ，由正弦定理，得OA ＝＝；第二步：求OE ，在Rt △EOA 中，a sin (π－β)sin (β－φ)a sin βsin (β－φ)∠EAO ＝θ，∠EOA ＝90°，则OE ＝OA tan θ＝.a sin βtan θsin (β－φ)(2)由图像易得a ＝，β＝，φ＝，又θ＝，则3π3π6π6OE ＝＝.3sin π3tan π6sin (π3－π6)3过点E 作EF ⊥直线AB 于点F ，连接OF ，因为AB ⊥OE ，又OE ∩EF ＝E ，所以AB ⊥平面EOF ，所以AB ⊥OF .在△AOB 中，∠OAB ＝∠AOB ＝，则π6管口保护卷破OB ＝AB ＝a ＝，在Rt △BFO 中，∠OBF ＝，则OF ＝OB sin ＝×＝，又在3π3π333232Rt △EOF 中，OE ＝，所以EF ＝＝＝.3OE 2＋OF 2(3)2＋(32)22125．(本小题满分12分)(2010·福建文)设函数f (θ)＝sin θ＋cos θ，其中，角3θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为(，)，求f (θ)的值；1232(2)若点P (x ，y )为平面区域Ω：Error!上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．答案 (1)2 (2)0≤θ≤，f (θ)最大值2，最小值1π2解析 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得Error!于是f (θ)＝sin θ＋cos θ＝×＋＝2.333212(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤.π2又f (θ)＝sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋)，且≤θ＋≤，3π6π6π62π3故当θ＋＝，即θ＝时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；π6π2π3当θ＋＝，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1. π6π6。
2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测：第四章 三角函数、解三角形 4-4 Word版含答案
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是( )∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.【答案】 D2．(2016·课标全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后对应的函数解+析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，可得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，7π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2. 又图象过点⎝⎛⎭⎪⎫512π，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2， ∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.【答案】 D4．(2016·沈阳质检)已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0，0)中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0等于( )A.π12B.π6 C.π3 D.5π12f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0，0)中心对称； ∴2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝π3.【答案】 C5．(2016·开封模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点( )A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变由图象可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由y ＝sin x 的图象先左移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变．【答案】 C6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝10， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 【答案】 －57．(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．【答案】 2π38．(2015·忻州市高三联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.【答案】 π3或43π9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．(1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 10．(2016·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在上的单调递减区间．(1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， ∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 当ω＞0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω＜0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.【答案】 D12．(2016·宁夏大学附中第三次月考)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是( )A ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数 B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是．∵f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，则T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .其图象如图．由图可知，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，A 错误；其图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，B 错误；函数为偶函数，C 错误；2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝1，2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＝－1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π时，函数g (x )的值域是，D 正确．故选D.【答案】 D13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．画出函数的图象．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18 14．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________．依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值， ∴π3－π4＜πω，即ω＜12，令k ＝0，得ω＝143.【答案】 14315．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．(1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．。
高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测：第四章 三角函数、解三角形 4-4 Word版含答案
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的部分图象可能是()【解析】∵y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，∴当2x －π3＝0， 即x ＝π6时，函数取得最大值1，结合图象看，可使函数在x ＝π6时取得最大值的只有D.【答案】 D2．(2016·课标全国Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z ) B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z ) C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z ) D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z ) 【解析】将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度后对应的函数解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，可得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，7π12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12 【解析】由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2. 又图象过点⎝⎛⎭⎪⎫512π，2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴取k ＝0，则φ＝－π3，即得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ，取k ＝0，即得选项D.【答案】 D4．(2016·沈阳质检)已知曲线f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)相邻的两条对称轴之间的距离为π2，且曲线关于点(x 0，0)中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0等于()A.π12B.π6C.π3D.5π12【解析】f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3. ∵曲线f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3相邻的两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. ∵曲线关于点(x 0，0)中心对称； ∴2x 0＋π3＝k π(k ∈Z )，∴x 0＝k π2－π6(k ∈Z )， 又x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x 0＝π3.【答案】 C5．(2016·开封模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点()A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解析】由图象可知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由y ＝sin x 的图象先左移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变．【答案】 C6．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的图象如右图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是________安．【解析】由图象知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100，∴ω＝2πT＝100π，∴I ＝10sin(100πt ＋φ)．∵图象过点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10，∴10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100π×1300＋φ＝10， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又∵0＜φ＜π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100秒时，I ＝－5安． 【答案】－57．(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝sin x －3cos x 的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．【解析】函数y ＝sin x －3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的图象可由函数y ＝sin x ＋3cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象至少向右平移2π3个单位长度得到．【答案】2π38．(2015·忻州市高三联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的图象如图所示．若方程f (x )＝m 在区间上有两个不同的实数x 1，x 2，则x 1＋x 2的值为________．【解析】由图象可知y ＝m 和y ＝f (x )图象的两个交点关于直线x ＝π6或x ＝23π对称，∴x 1＋x 2＝π3或43π.【答案】π3或43π9．(2015·天津)已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．【解析】 (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12. 10．(2016·青岛模拟)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在上的单调递减区间．【解析】 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋1＋a .当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＝1时，f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a ， 又f (x )图象上最高点的纵坐标为2， ∴3＋a ＝2，∴a ＝－1.又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π，∴f (x )的最小正周期T ＝π，∴2ω＝2πT＝2，∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，得π6≤x ≤2π3，∴函数f (x )在上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－92∪∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】当ω＞0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω＜0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.【答案】 D12．(2016·宁夏大学附中第三次月考)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为π2的等差数列，把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象．关于函数g (x )，下列说法正确的是()A ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增函数 B ．其图象关于直线x ＝－π4对称C ．函数g (x )是奇函数D ．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，函数g (x )的值域是．【解析】∵f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2⎝⎛⎭⎪⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，由题意知T 2＝π2，则T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， 把函数f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位长度，得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .其图象如图．由图可知，函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，A 错误；其图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0，B 错误；函数为偶函数，C 错误；2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＝1，2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＝－1，∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，23π时，函数g (x )的值域是，D 正确．故选D.【答案】 D13．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________．【解析】画出函数的图象．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32， 所以π≤3m ＋π3≤76π，则2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18. 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18 14．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________．【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴ω＝8k ＋143(k ∈Z )，∵f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值， ∴π3－π4＜πω，即ω＜12，令k ＝0，得ω＝143.【答案】14315．(2016·天津卷)已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的单调性．【解析】 (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3 ＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3－ 3＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x － 3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π.所以，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，－π12上单调递减．。
大一轮复习(新课标,数学理)题组训练第四章三角函数题组22含解析
题组层级快练(二十二)1．(2016·衡水调研卷)与图中曲线对应的函数是( )A ．y ＝sinxB ．y ＝sin|x|C ．y ＝－sin|x|D ．y ＝－|sinx|答案 C2．(2016·西安九校联考)将f(x)＝cosx 图像上所有的点向右平移π6个单位，得到函数y ＝g(x)的图像，则g(π2)＝( ) A.32B ．－32 C.12 D ．－12答案 C解析 由题意得g(x)＝cos(x －π6)，故g(π2)＝cos(π2－π6)＝sin π6＝12.3．(2015·山东)要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图像，只需将函数y ＝sin4x 的图像( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π3个单位D ．向右平移π3个单位答案 B解析 y ＝sin(4x －π3)＝sin4(x －π12)，故要将函数y ＝sin4x 的图像向右平移π12个单位．故选B.4．若把函数y ＝f(x)的图像沿x 轴向左平移π4个单位，沿y 轴向下平移1个单位，然后再把图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sinx 的图像，则y ＝f(x)的解析式为( ) A ．y ＝sin(2x －π4)＋1B ．y ＝sin(2x －π2)＋1C ．y ＝sin(12x ＋π4)－1D ．y ＝sin(12x ＋π2)－1答案 B解析 将y ＝sinx 的图像上每个点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得到y ＝sin2x 的图像，再将所得图像向上平移1个单位，得到y ＝sin2x ＋1的图像，再把函数y ＝sin2x ＋1的图像向右平移π4个单位，得到y ＝sin2(x －π4)＋1的图像，即函数f(x)的图像，所以f(x)＝sin2(x －π4)＋1＝sin(2x －π2)＋1，故选B.5．函数y ＝sinx －cosx 的图像可由y ＝sinx ＋cosx 的图像向右平移( ) A.3π2个单位 B ．π个单位 C.π4个单位 D.π2个单位 答案 D解析 y ＝sinx ＋cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，y ＝sinx －cosx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4.6．(2015·邯郸一中期末)设函数f(x)＝2sin(π2x ＋π5)．若对任意x ∈R ，都有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.12答案 B解析 f(x)的周期T ＝4，|x 1－x 2|min ＝T 2＝2. 7．(2013·湖北)将函数y ＝3cosx ＋sinx(x ∈R )的图像向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是( ) A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6答案 B解析 y ＝3cosx ＋sinx ＝2(32cosx ＋12sinx)＝2sin(x ＋π3)的图像向左平移m 个单位后，得到y ＝2sin(x ＋m ＋π3)的图像，此图像关于y 轴对称，则x ＝0时，y ＝±2，即2sin(m ＋π3)＝±2，所以m ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，由于m>0，所以m min ＝π6，故选B.8．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I ＝Asin (ωt ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π2)的图像如右图所示，则当t＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5 AB ．5 AC ．5 3 AD ．10 A答案 A解析 由图像知A ＝10，T 2＝4300－1300＝1100.∴ω＝2πT＝100π.∴T ＝10sin(100πt ＋φ)．(1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I ＝10sin(100πt ＋π6)，当t ＝1100秒时，I ＝－5 A ，故选A.9. (2016·武汉市二中)已知函数f(x)＝Acos (ωx ＋φ)的图像如图所示，f(π2)＝－23，则f(0)＝( )A ．－23B ．－12C.23D.12答案 C解析 由图像可知所求函数的周期为23π，故ω＝3，将(11π12，0)代入解析式得114π＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，所以φ＝－9π4＋2k π，令φ＝－π4代入解析式得f(x)＝Acos(3x －π4)，又因为f(π2)＝－Acos π4＝－23，所以f(0)＝Acos(－π4)＝Acos π4＝23，故选C. 10．将函数y ＝sinx 的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图像，则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6答案 D解析 平移后图像的解析式为y ＝sin(x ＋φ)，依题意可得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，又0≤φ<2π，故只有选项D 正确．11．(2016·宁夏一模)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋1，－3≤x<0，2sin （ωx ＋φ），0≤x ≤8π3的图像如下图，则( )A ．k ＝13，ω＝12，φ＝π6B ．k ＝13，ω＝12，φ＝π3C ．k ＝－13，ω＝2，φ＝π6D ．k ＝－3，ω＝2，φ＝π3答案 A解析 由图像可知f(－3)＝0⇒－3k ＋1＝0⇒k ＝13.又知T 4＝8π3－5π3＝π⇒T ＝4π，故ω＝12，根据五点法作图可知(8π3，－2)应为第四个点，即令12· 8π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6.12．(2014·四川卷改编)(1)为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sinx 的图像上所有的点向________平移________个单位长度．(2)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin2x 的图像上所有的点向________平移________个单位长度．答案 (1)左，1 (2)左，1213．将函数y ＝sin(－2x)的图像向右平移π3个单位，所得函数图像的解析式为________．答案 y ＝sin(23π－2x)14．(2014·重庆文)若将函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图像上每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sinx 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．答案22解析 将y ＝sinx 的图像向左平移π6个单位长度可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图像，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6的图像，故f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.15．若函数y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图像恰好关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值是________． 答案5π12解析 y ＝sin2x 的图像向右平移φ(φ>0)个单位，得y ＝sin2(x －φ)＝sin(2x －2φ)．因其中一条对称轴方程为x ＝π6，则2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )．因为φ>0，所以φ的最小值为5π12. 16. (2014·北京)函数f(x)＝3sin(2x ＋π6)的部分图像如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f(x)在区间[－π2，－π12]上的最大值和最小值．答案 (1)T ＝π，x 0＝7π6，y 0＝3 (2)最大值为0，最小值为－3解析 (1)f(x)的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈[－π2，－π12]，所以2x ＋π6∈[－5π6，0]．于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f(x)取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f(x)取得最小值－3.17．(2016·江西测试)已知函数f(x)＝4cosxsin(x ＋π6)＋a 的最大值为2.(1)求实数a 的值及f(x)的最小正周期； (2)在坐标纸上作出f(x)在[0，π]上的图像． 答案 (1)a ＝－1，T ＝π (2)略解析 (1)f(x)＝4cosx(sinxcos π6＋cosxsin π6)＋a＝3sin2x ＋cos2x ＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1，最大值为3＋a ＝2，∴a ＝－1.T ＝2π2＝π.(2)列表如下：画图如下：18.已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(x ∈R ，A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示．(1)试确定函数f(x)的解析式； (2)若f(α2π)＝13，求cos(2π3－α)的值．答案 (1)f(x)＝2sin(πx ＋π6) (2)－1718解析 (1)由图像知，f(x)max ＝A ＝2，设函数f(x)的最小正周期为T ，则T 4＝56－13＝12，所以T ＝2，∴ω＝2πT ＝2π2＝π，故函数f(x)＝2sin(πx ＋φ)． 又∵f(13)＝2sin(π3＋φ)＝2，∴sin(π3＋φ)＝1.∵|φ|<π2，即－π2<φ<π2，∴－π6<π3＋φ<5π6.故π3＋φ＝π2，解得φ＝π6，∴f(x)＝2sin(πx ＋π6)． (2)∵f(α2π)＝13，即2sin(π·α2π＋π6)＝2sin(α2＋π6)＝13，∴sin(α2＋π6)＝16.∴cos(π3－α2)＝cos[π2－(π6＋α2)]＝sin(π6＋α2)＝16.∴cos(2π3－α)＝cos[2(π3－α2)]＝2cos 2(π3－α2)－1＝2×(16)2－1＝－1718.1．(2015·湖南理)将函数f(x)＝sin2x 的图像向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图像，若对满足||f （x 1）－g （x 2）＝2的x 1，x 2，有||x 1－x 2min ＝π3，则φ＝( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6答案 D解析 向右平移φ个单位后，得到g(x)＝sin(2x －2φ)．又∵|f(x 1)－g(x 2)|＝2，∴不妨2x 1＝π2＋2k π，2x 2－2φ＝－π2＋2m π，∴x 1－x 2＝π2－φ＋(k －m)π，又∵||x 1－x 2min ＝π3，∴π2－φ＝π3⇒φ＝π6，故选D 项．2．(2016·西安八校联考)若函数y ＝cos (ωx ＋π6)(ω∈N *)图像的一个对称中心是(π6，0)，则ω的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8答案 B解析 πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，∴ωmin ＝2，故选B.3. (2016·洛阳统考)已知函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式是( )A ．f(x)＝sin(3x ＋π3)B ．f(x)＝sin(2x ＋π3)C ．f(x)＝sin(x ＋π3)D ．f(x)＝sin(2x ＋π6)答案 D解析 由图像可知T 4＝5π12－π6，∴T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，故排除A 、C ，把x ＝π6代入检验知，选项D 符合题意．4．(2016·武汉调研)已知函数f(x)＝sin(2x －π2)(x ∈R )，下列结论错误的是( )A ．函数f(x)是偶函数B ．函数f(x)的最小正周期为πC ．函数f(x)在区间[0，π2]上是增函数D ．函数f(x)的图像关于直线x ＝π4对称答案 D解析 f(x)＝sin(2x －π2)＝－cos2x ，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A ，B 正确，函数图像的对称轴方程为x ＝k π2(k ∈Z )，显然，无论k 取任何整数，x ≠π4，所以D 错误，答案为D.5．(2013·福建文)将函数f(x)＝sin(2x ＋θ)(－π2<θ<π2)的图像向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图像，若f(x)，g(x)的图像都经过点P(0，32)，则φ的值可以是( ) A.5π3B.5π6C.π2D.π6答案 B解析 因为函数f(x)的图像过点P ，所以θ＝π3，所以f(x)＝sin(2x ＋π3)．又函数f(x)的图像向右平移φ个单位长度后，得到函数g(x)＝sin[2(x －φ)＋π3]的图像，所以sin(π3－2φ)＝32，所以φ可以为5π6，故选B.6．将函数y ＝sin(2x ＋π4)的图像上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得到的图像解析式是( ) A ．f(x)＝sinx B ．f(x)＝cosx C ．f(x)＝sin4x D ．f(x)＝cos4x答案 A解析 y ＝sin(2x ＋π4)→y ＝sin(x ＋π4)→y ＝sin(x －π4＋π4)＝sinx.7．(2014·浙江)为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图像，可以将函数y ＝2cos3x 的图像( ) A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位答案 C解析 因为y ＝sin3x ＋cos3x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝2cos3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，所以将函数y ＝2cos3x 的图像向右平移π12个单位后，可得到y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的图像，故选C.8．(2016·重庆一中)要得到函数y ＝sin 12x 的图像，只需将函数y ＝sin(12x －π3)的图像( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移2π3个单位D ．向右平移2π3个单位答案 C9．(2016·临沂一中月考)如图的函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π8B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π8C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4答案 C解析 A ＝2，T ＝7π8－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝π，ω＝2，当x ＝－π8时，y ＝0.10．(2016·长沙雅礼中学)将函数y ＝sin2x 的图像向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是( ) A ．y ＝cos2x B ．y ＝2cos 2x C ．y ＝1＋sin(2x ＋π4)D ．y ＝2sin 2x 答案 B解析 所得解析式是y ＝sin2(x ＋π4)＋1＝cos2x ＋1＝2cos 2x.11．(2016·杭州学军中学)已知函数y ＝sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ≤π2)，且此函数的图像如图所示，则点P(ω，φ)的坐标是( )A ．(2，π2)B ．(2，π4)C ．(4，π2)D ．(4，π4)答案 B解析 ∵T ＝2(7π8－3π8)＝π，∴ω＝22×3π8＋φ＝π，∴φ＝π4，∴选B.12．已知函数y ＝sin ωx (ω>0)在一个周期内的图像如图所示，要得到函数y ＝sin(12x ＋π12)的图像，则需将函数y ＝sin ωx 的图像向________平移________个单位长度．答案 左，π6解析 由图像知函数y ＝sin ωx 的周期为T ＝3π－(－π)＝4π， ∴ω＝2πT ＝12，故y ＝sin 12x.又y ＝sin(x 2＋π12)＝sin 12(x ＋π6)，∴将函数y ＝sin 12x 的图像向左平移π6个单位长度，即可得到函数y ＝sin(x 2＋π12)的图像．13.若函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________．答案 3解析 由函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图像可知： T 2＝(－π3)－(－23π)＝π3，∴T ＝23π. ∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.14.已知函数f(x)＝Atan (ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f(x)的部分图像如图所示，则f(π24)＝________．答案3解析 由图像知T 2＝38π－π8＝π4，T ＝π2，ω＝πT ＝2，2×π8＋φ＝π2＋k π，φ＝π4＋k π，k ∈Z .又|φ|<π2，∴φ＝π4.∵函数f(x)的图像过点(0，1)，∴f(0)＝Atan π4＝A ＝1.∴f(x)＝tan(2x ＋π4)．∴f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3. 15．(2015·湖南文)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图像的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________． 答案π2解析 由题意，两函数图像交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，易知|PQ|2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin (ωx －π4)的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝(2π2ω)2＋(22)2，ω＝π2.16．(2016·石家庄二中调研)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)在某一个周期内的图像时，列表并填入的数据如下表：(1)求x 1，x 2，x 3(2)将函数f(x)的图像向左平移π个单位，可得到函数g(x)的图像，求函数y ＝f(x)·g(x)在区间(0，5π3)的最小值．答案 (1)x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3，f(x)＝2sin(12x －π3)解析 (1)由2π3ω＋φ＝0，8π3ω＋φ＝π可得ω＝12，φ＝－π3，由12x 1－π3＝π2，12x 2－π3＝3π2，12x 3－π3＝2π可得x 1＝5π3，x 2＝11π3，x 3＝14π3， 又Asin(12×5π3－π3)＝2，∴A ＝2，∴f(x)＝2sin(12x －π3)．(2)函数f(x)＝2sin(12x －π3)的图像向左平移π个单位，得g(x)＝2sin(12x －π3＋π2)＝2cos(x 2－π3)的图像，∴y ＝f(x)g(x)＝2sin(x 2－π3)·2cos(x 2－π3)＝2sin(x －2π3)，∵x ∈(0，5π3)，∴x －2π3∈(－2π3，π)，∴当x －2π3＝－π2，即x ＝π6时，y ＝f(x)·g(x)取得最小值－2.。
高考(新课标)数学(文)大一轮复习检测：第四章 三角函数、解三角形 4-8 Word版含答案
A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．(2017·山西太原五中4月模拟)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC ＝2，则b 的值为() A. 3 B.322C ．2 2D ．2 3 【解析】在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3，①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝12，∴b ＋c ＝2 3.②由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是()A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里 【解析】如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里)．【答案】 A3．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为()A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h【解析】设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.选B.【答案】 B4．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于()A ．240(3＋1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m【解析】如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ， 在Rt △ACD 中，CD ＝ADtan ∠ACD＝60tan 30°＝60 3 m ，在Rt △ABD 中，BD ＝ADtan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)m ，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)m. 【答案】 C5．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于()A ．5 6B ．15 3C ．5 2D ．15 6【解析】在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6. 【答案】 D6．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.【解析】如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)，ON ＝AO tan 30°＝33×30 ＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 【答案】 10 37．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.【解析】如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°， ∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°. 又AB ＝200 m ，∴AC ＝4003 3 m.在△ACD 中，由余弦定理得，AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos 120°＝3CD 2，∴CD ＝13AC ＝4003m. 【答案】40038．(2016·洛阳统考)如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos ∠C ＝________．【解析】由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ， 则由余弦定理得9b 2＝a 2＋4－43a .①因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ， 所以4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6，②联合①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3.在△ABC 中，cos ∠C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝32＋32－222×3×3＝79.【答案】799．(2017·辽宁沈阳二中月考)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°且与点A 相距1013海里的位置C .(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【解析】 (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626. 由于0°＜θ＜90°， 所以cos θ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫26262＝52626. 由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时)．(2)如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q . 在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.从而sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010. 在△ABQ 中，由正弦定理得，AQ ＝AB sin ∠ABCsin （45°－∠ABC ）＝402×101022×21010＝40，由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15.过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·sin ∠PQE ＝QE ·sin ∠AQC＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7. 所以船会进入警戒水域．10．(2016·江苏卷)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4.(1)求AB 的长；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6的值．【解析】 (1)因为cos B ＝45，0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C ，所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )，于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4，又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210.因此，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m【解析】设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，BC ＝3h .在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.【答案】 A12．如图，一艘船上午9：30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.【解析】设航速为v n mile/h在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32.【答案】 3213．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．【解析】如图，连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝507.【答案】 50714．(2016·杭州二中月考)如图，为了测量A ，C 两点间的距离，选取同一平面上B ，D 两点，测出四边形ABCD 各边的长度(单位：km)：AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，且A ，B，C ，D 四点共圆，则AC 的长为________km.【解析】因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D ＋B ＝π.在△ABC 和△ADC 中，由余弦定理可得82＋52－2×8×5×cos(π－D )＝32＋52－2×3×5×cos D ，cos D ＝－12，代入得AC 2＝32＋52－2×3×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝49，故AC ＝7.【答案】 715．(2017·河南六市3月联考)如图，在一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声检测点，B ，C 到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻B 收到来自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求出x 的值； (2)求P 到海防警戒线AC 的距离．【解析】 (1)依题意，有PA ＝PC ＝x ，PB ＝x －1.5×8＝x －12.在△PAB 中，AB ＝20，cos ∠PAB ＝PA 2＋AB 2－PB 22PA ·AB ＝x 2＋202－（x －12）22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△PAC 中，AC ＝50，cos ∠PAC ＝PA 2＋AC 2－PC 22PA ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x.∵cos ∠PAB ＝cos ∠PAC ，∴3x ＋325x ＝25x， 解得x ＝31.(2)作PD ⊥AC 于D ，在△ADP 中， 由cos ∠PAD ＝2531，得sin ∠PAD ＝1－cos 2∠PAD ＝42131，∴PD ＝PA sin ∠PAD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米．。
2018届高考(新课标)数学(理)大一轮复习检测第四章三角函数、解三角形4-6Word版含答案
A 组 专项基础训练(时间：30分钟)1．(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 sin α＝cos α⇒cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝0； cos 2α＝0⇔cos α＝±sin α⇒/ sin α＝cos α，故选A. 【答案】 A2．(2016·山东)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2B ．π C.3π2D ．2π 【解析】 ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π，故选B.【答案】 B 3．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A.118 B ．－118 C.1718 D ．－1718【解析】 cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α 代入原式，得6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝－1718.【答案】 D4．(2017·成都第一次诊断性检测)若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是( )A.7π4B.9π4 C.5π4或7π4 D.5π4或9π4【解析】 ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π.∵sin 2α＝55，∴2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π， ∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，cos 2α＝－255. ∵β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，∴β－α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π4， ∴cos(β－α)＝－31010，∴cos(α＋β)＝cos＝cos 2αcos(β－α)－sin 2αsin(β－α) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22. 又∵α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，∴α＋β＝7π4.【答案】 A5．(2016·菏泽期末)函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12＋k π，－π12＋k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z 【解析】 ∵f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3， 由题意知2×π6＋θ＋π3＝k π(k ∈Z )，∴θ＝k π－23π(k ∈Z )．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋23π.由2k π－π2≤2x ＋23π≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－712π≤x ≤k π－π12(k ∈Z )．故选C.【答案】 C6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，则sin 2θ－2cos 2θ的值为________．【解析】 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝3，∴1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12.∴sin 2θ－2cos 2θ ＝2sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝2tan θ－2tan 2θ＋1＝2×12－214＋1＝－45.【答案】 －457．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________．【解析】 由于2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以A ＝2，b ＝1.【答案】 2 18．(2015·北京西城一模)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________．【解析】 因为(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 所以1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，即3(tan α＋tan β)＝3－3tan αtan β＝3(1－tan αtan β)， 即tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)． ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β为锐角，∴α＋β＝π3.【答案】 π39．(2016·沈阳质检)已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域．【解析】 (1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32.所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)10．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2【解析】 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.【答案】 B 11．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【解析】 依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin 2（α－β）＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32， 故β＝π3，故选D.【答案】 D12．(2017·河南百校联盟教学质量监测)已知函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |，则下列结论中错误的是( )A ．f (x )是周期函数B ．f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈ZC ．f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4上为增函数D ．方程f (x )＝65在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32π，0上有6个根 【解析】 因为f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝|sin x |＋|cos x |＝f (x )，所以f (x )是周期为π2的函数．因为f (x )为偶函数，所以f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π4，k ∈Z ，故A ，B 项正确．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，作出函数f (x )的部分图象如图所示，由图象可知C 项错误，D 项正确．【答案】 C13．设x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为________．【解析】 方法一 因为y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝2－cos 2xsin 2x，所以令k ＝2－cos 2x sin 2x .又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以k 就是单位圆x 2＋y 2＝1的左半圆上的动点P (－sin 2x ，cos 2x )与定点Q (0，2)所成直线的斜率．又k min ＝tan 60°＝3，所以函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x 的最小值为 3.方法二 y ＝2sin 2x ＋1sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x2sin x cos x＝3tan 2x ＋12tan x ＝32tan x ＋12tan x.∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan x ＞0.∴32tan x ＋12tan x≥2 32tan x ·12tan x＝ 3. ⎝ ⎛⎭⎪⎫当tan x ＝33，即x ＝π6时取等号即函数的最小值为 3. 【答案】 314．(2016·临沂一模)已知函数f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx (0＜ω＜1)，直线x ＝π3是f (x )图象的一条对称轴．(1)试求ω的值；(2)已知函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移2π3个单位长度得到的，若g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝65，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin α的值．【解析】 f (x )＝2cos 2ωx －1＋23cos ωx sin ωx ＝cos 2ωx ＋3sin 2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.(1)由于直线x ＝π3是函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3ω＋π6＝±1.∴2π3ω＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ω＝32k ＋12(k ∈Z )．又0＜ω＜1，∴－13＜k ＜13.又∵k ∈Z ，从而k ＝0，∴ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6，即g (x )＝2cos 12x ，∵g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝65， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴π6＜α＋π6＜2π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45.∴sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.。
高考(新课标)数学(文)大一轮复习检测：第四章 三角函数、解三角形 4-7 Word版含答案
A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2016·山东)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )．则A ＝()A.3π4B.π3C.π4D.π6【解析】由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2b 2－2b 2cos A ，所以2b 2(1－sin A )＝2b 2(1－cos A )，所以sin A ＝cos A ，即tan A ＝1，又0＜A ＜π，所以A ＝π4.【答案】 C2．(2017·甘肃定西模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为()A.32 B.22C.12 D ．－12【解析】因为a 2＋b 2＝2c 2，所以由余弦定理可知，c 2＝2ab cos C ，cos C ＝c 22ab ＝12×a 2＋b 22ab≥12×2ab 2ab ＝12.故选C. 【答案】 C3．(2017·河南实验中学模拟)在△ABC 中，a ＝2，A ＝45°，若此三角形有两解，则b 的范围为()A ．2＜b ＜2 2B ．b ＞2C ．b ＜2 D.12＜b ＜ 2【解析】∵在△ABC 中，a ＝2，A ＝45°，且此三角形有两解，∴由正弦定理a sin A ＝bsin B ＝22，得b ＝22sin B ，B ＋C ＝180°－45°＝135°，由B 有两个值，得到这两个值互补，若B ≤45°，则和B 互补的角B ′≥135°，这样A ＋B ′≥180°，不成立， ∴45°＜B ＜135°.又若B ＝90°，这样补角也是90°，一解，∴22＜sin B ＜1，∴2＜b ＜22，故选A. 【答案】 A4．(2017·辽宁沈阳模拟)在△ABC 中，已知∠A ∶∠B ＝1∶2，角C 的平分线CD 把三角形面积分为4∶3两部分，则cos A ＝()A.13B.23C.34D.45 【解析】∵∠A ∶∠B ＝1∶2，即B ＝2A ， ∴B ＞A ，∴AC ＞BC .∵角平分线CD 把三角形面积分成4∶3两部分，∴由角平分线定理得BC ∶AC ＝BD ∶AD ＝3∶4，∴由正弦定理BC sin A ＝AC sin B 得sin A sin B ＝34，整理得sin A sin 2A ＝sin A 2sin A cos A ＝34，则cos A ＝23.故选B. 【答案】 B5．(2017·云南玉溪一中月考)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A的值等于()A.2722B ．16 2C ．8 2D ．16 【解析】∵cos B ＝45，B 为三角形内角，∴sin B ＝1－cos 2B ＝35.∵a ＝10，△ABC 的面积为42，∴12ac sin B ＝42，即3c ＝42，解得c ＝14， ∴由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝100＋196－224＝72，即b ＝6 2.再由正弦定理可得a sin A ＝b sin B ＝6235＝102，∴b ＋asin A＝162，故选B.【答案】 B6．(2017·福建莆田二十五中月考)若△ABC 的周长等于20，面积是103，A ＝60°，则a ＝________．【解析】∵A ＝60°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝103，即34bc ＝103，解得bc ＝40. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝(b ＋c )2－3bc ＝(b ＋c )2－120，∵△ABC 的周长a ＋b ＋c ＝20，∴b ＋c ＝20－a ，得a 2＝(20－a )2－120，解得a ＝7. 【答案】 77．(2016·北京)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________．【解析】在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ， 将∠A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理得2c 2＝b 2＋bc .∵c ≠0，∴等式两边同时除以c 2，得2＝b 2c 2＋bc c 2，即2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋b c.令t ＝b c(t ＞0)，有2＝t 2＋t ，即t 2＋t －2＝0， 解得t ＝1或t ＝－2(舍去)， 故b c＝1. 【答案】 18．(2017·甘肃张掖二模)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c ，则tan Atan B的值为________．【解析】由a cos B －b cos A ＝35c 及正弦定理可得sin A cos B －sin B cos A ＝35sin C ，即sin A cos B －sin B cos A ＝35sin(A ＋B )，即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )即sin A cos B ＝4sin B cos A ， 因此tan A ＝4tan B ， 所以tan A tan B ＝4.【答案】 49．(2016·浙江)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a cosB .(1)证明：A ＝2B ；(2)若cos B ＝23，求cos C 的值．【解析】 (1)证明由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ， 于是sin B ＝sin(A －B )．因为A ，B ∈(0，π)，所以0＜A －B ＜π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B . 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B . (2)由cos B ＝23得sin B ＝53，cos 2B ＝2cos 2B －1＝－19，故cos A ＝－19，sin A ＝459，cos C ＝－cos(A ＋B )＝－cos A cos B ＋sin A sin B ＝2227.10．(2016·湖北宜昌调研)△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3a sinC －c cos A .(1)求A ；(2)若a ＝1，△ABC 的面积为34，求b ，c . 【解析】 (1)由已知结合正弦定理，得 sin C ＝3sin A sin C －sin C cos A . ∵sin C ≠0，∴1＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.(2)S ＝12bc sin A ，即34＝12bc ·32，∴bc ＝1.① 又∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos π3，即1＝(b ＋c )2－3，且b ，c 为正数， ∴b ＋c ＝2.②由①②两式，解得b ＝c ＝1.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．(2016·课标全国Ⅲ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A ＝()A.310 B.1010 C.55 D.31010【解析】设BC 边上的高为AD ，则BC ＝3AD ，DC ＝2AD ，所以AC ＝AD 2＋DC 2＝5AD .由正弦定理，知AC sin B ＝BCsin A，即5AD 22＝3AD sin A ，解得sin A ＝31010，故选D.【答案】 D12．(2017·河南洛阳期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tanA ＝12，tan B ＝13，且最长边的长为1，则△ABC 最短边的长为________．【解析】由题意可得tan C ＝－tan(A ＋B ) ＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－12＋131－12×13＝－1，∴C ＝135°，c 为最长边，故c ＝1.又∵0＜tan B ＝13＜12＝tan A ，∴B 为最小角，b 为最短边，∵tan B ＝13，∴sin B ＝1010，由正弦定理可得b ＝c sin B sin C ＝55. 【答案】5513．(2015·重庆)在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________．【解析】由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°，解得sin ∠ADB ＝22，所以∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝2×sin 120°sin 30°＝ 6.【答案】 614．(2016·课标全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．【解析】在△ABC 中，cos A ＝45，cos C ＝513，∴sin A ＝35，sin C ＝1213，∴sin B ＝sin(A＋C )＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝35×513＋1213×45＝6365.∴由正弦定理a sin A ＝bsin B ，可得b＝a sin B sin A ＝1×6365×53＝2113. 【答案】211315．(2017·贵州贵阳六中月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A －3cos(B ＋C )＝1.(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sin C 的值． 【解析】 (1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，得 2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝34bc ＝53，得bc ＝20.又由b ＝5，知c ＝4.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－20＝21，所以a ＝21.b a sin A·casin A＝bca2sin2A＝2021×34＝57.由正弦定理，得sin B sin C＝。
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题组层级快练(十八)
1．tan 8π
3的值为( )
A.
3
3
B ．－
33
C. 3 D ．－ 3
答案 D
解析 tan 8π3＝tan(2π＋2π3)＝tan 2π
3＝－ 3.
2．(2014·新课标全国Ⅰ文)若tan α>0，则( ) A ．sin2α>0 B ．cos α>0 C ．sin α>0 D ．cos2α>0
答案 A
解析 ∵tan α>0，∴角α终边落在第一或第三象限，故B ，C 错；sin2α＝2sin αcos α>0，A 正确；同理D 错，故选A.
3．已知sin α＝45，cos α＝3
5，则角2α的终边所在的象限是( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案 B
解析 由sin α＝45，cos α＝3
5，知2k π＋π4<α<2k π＋π2，k ∈Z ，∴4k π＋π2<2α<4k π＋
π，k ∈Z ，∴角2α的终边所在的象限是第二象限．故选B. 4．已知tan α＝3
3
，且α∈[0，3π]，则α的所有不同取值的个数为( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 答案 B 解析 ∵tan α＝
3
3，且α∈[0，3π]，∴α的可能取值分别是π6，7π6，13π6，∴α的所有不同取值的个数为3.
5．(2016·山东临沂一中月考)已知角α的终边过点P(－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－4
5，则
m 的值为( ) A ．－12
B ．－
32
22
答案 C
解析 由点P(－8m ，－6sin30°)在角α的终边上，且cos α＝－4
5，知角α的终边在第三象
限，则m>0，又cos α＝
－8m
（－8m ）2
＋9
＝－45，所以m ＝12.
6．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π
2弧长到达点
N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2
答案 B
解析 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为{α|α＝2k π＋π
4，
k ∈Z }，故tan α＝1.
7．集合{α|k π＋π4≤α≤k π＋π
2
，k ∈Z }中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k ＝2n 时，2n π＋
π4≤α≤2n π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π4≤α≤π
2
的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2(n ∈Z )，此时α的终边和π＋π
4≤
α≤π＋π
2
的终边一样．
8．(2016·沧州七校联考)已知角x 的终边上一点坐标为(sin 5π6，cos 5π
6
)，则角x 的最小正值为( ) A.5π6
B.5π3
63
答案 B
解析 因为sinx ＝cos 5π6＝－3
2，cosx ＝sin 5π6＝12，所以x ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，当k ＝1
时，x ＝5π3，即角x 的最小正值为5π
3
，故选B.
9．若一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π
3 B.2π3 C. 3 D. 2 答案 C
解析 设圆的半径为R ，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R ，∴圆弧长为3R.∴该圆弧所对圆心角的弧度数为
3R
R
＝ 3. 10．已知角α的终边与单位圆的交点P(－1
2，y)，则sin α·tan α＝( )
A ．－
33
B ．±
33
C ．－32
D ．±32
答案 C
11．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则 cos2θ＝( ) A ．－45
B ．－35
C.35
D.45
答案 B
解析 由角θ的终边在直线y ＝2x 上可得tan θ＝2，cos2θ＝cos 2
θ－sin 2
θ＝cos 2θ－sin 2θ
cos 2
θ＋sin 2θ
＝1－tan 2θ1＋tan 2θ
＝－35. 12．sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在
答案 A
解析 ∵π2<2<3<π<4<3π
2
，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.。