【解析】河南省南阳市第一中学校2020届高三上学期10月月考数学(理)试题

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河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高三上学期第三次月考地理试题(解析版)

南阳一中2023年秋期高三年级第三次月考地理试题一、选择题组（每小题1.5分，共40题）城市土地出让是指城市政府土地主管部门依法将城市土地的使用权出让给用地单位，是联系城市产业结构与空间结构的纽带。

土地出让空间区位选择与诸多社会经济因素有关，其中人口规模、经济发展水平对土地出让具有重要影响。

下图示意黄山市城市土地出让区位模式。

据此完成下面小题。

1.V区虽位于城市外围，但商业用地和住宅用地规模大，主要原因是（）A.位于城市外围，土地租金廉价B.人口规模较市中心大，商业服务需求高C.中心城区环境差，商业服务外迁D.位于旅游景区，经济发展水平高2.黄山市城市用地的分布特点是（）A.分布均衡，集聚程度较低B.住宅用地分布在近郊和旅游区C.集中度高，成多中心状态D.中心城区土地利用率较外围低【答案】1.D 2.C【解析】【1题详解】黄山市为旅游业发达的城市，V区可能为旅游区，虽然与市中心距离较远，但旅游业的发展使其土地租金并不廉价，A错误；V区位于城市外围，人口规模并不如市中心大，B错误；没有信息说明中心城区环境质量差，C错误；旅游业的发展带动了经济发展，该地经济发展水平高，商业和度假旅居型、疗养等服务业的发展，使得V区商业用地和住宅用地规模较大，D正确。

故选D。

【2题详解】据图及上题可知，黄山市三类用地区域位置差异较大，A错误；住宅用地主要集中于中心城区、重要旅游区附近，B错误；商业服务用地分布的热点区域主要集中于城市商业集聚区、大型公共设施和旅游景区周围、重要交通设施附近，因此，黄山市各类用地集中程度高，成多中心状态，C正确；中心城区土地利用率较外围高，D错误。

故选C。

【点睛】影响城市土地租金的因素有距离市中心的远近和交通通达度。

波兰首都华沙的工业园区逐步转型成为次级商务区（SBD）,其与西南运输走廊（IBD）和主城区的中央商务区（CBD）共同构成华沙的经济增长极。

下图示意华沙经济增长极的空间分布读图，完成下面小题。

2020届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

2020届河南省南阳市第一中学高三下学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是( )A ．{1,3,5,6}B ．{1,3,5}C ．{1,3}D ．{1,5}【答案】D【解析】利用补集和交集的定义可求出集合U A B I ð. 【详解】Q 集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}2,3,4B =，则{}1,5,6U B =ð，因此，{}1,5U A B =I ð. 故选：D. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足()13z i i -=+（i 为虚数单位),则复数z =（） A ．12i + B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】B【解析】运用复数的除法运算法则求出复数z ,在根据共轭复数的定义求出复数z . 【详解】由题意()13z i i -=+,可变形为()()()()31324121112i i i i z i i i i ++++====+-+-. 则复数12z i =-. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则和共轭复数的定义,属于基础题.3．等比数列{}n a 的各项均为正数，已知向量()45,a a a =r ，()76,b a a =r ，且4a b ⋅=r r ，则2122210log log log (a a a ++⋯+= )A ．12B ．10C ．5D ．22log 5+【答案】C【解析】利用数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质即可得出．【详解】向量a v ＝（4a ，5a ），b v ＝（7a ，6a ），且a v •b v＝4，∴47a a +56a a ＝4，由等比数列的性质可得：110a a ＝……＝47a a ＝56a a ＝2，则2122210log log log a a a +++=L log 2（12a a •10a ）＝()5521102log log 25a a ==．故选C ．【点睛】本题考查数量积运算性质、等比数列的性质及其对数运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 4．下列四个命题：①函数()f x cosxsinx =的最大值为1；②“x R ∀∈，3210x x -+≤”的否定是“320,10x R x x ∃∈-+>”；③若ABC V 为锐角三角形，则有++>++sinA sinB sinC cosA cosB cosC ；④“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件．其中错误的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断①;写出全称命题的否定判断②;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断③;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断④. 【详解】解：①由()122f x cosxsinx sin x ==,得()f x 的最大值为12,故①错误; ②“x R ∀∈,3210x x -+≤”的否定是“320,10x R x x ∃∈-+>”,故②正确; ABC QV ③为锐角三角形,2A B π∴+>,则2A B π>-，y sinx =Q 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数,2sinA sin B cosB π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭,同理可得sinB cosC >，sinC cosA >,sinA sinB sinC cosA cosB cosC ∴++>++,故③正确;0a ≤④,函数()2f x x ax =-的零点是a ,0,结合二次函数的对称轴,可得函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增;若函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得02a≤, 0a ∴≤,∴“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件,故④正确．∴其中错误的个数是1.故选:A. 【点睛】本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题．5．在锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若221sin cos 2C C -=，则下列各式正确的是（） A ．2a b c += B ．2a b c +≤ C ．2a b c +<D ．2a b c +≥【答案】B【解析】根据二倍角公式可知1cos 22C =-，求出角C ，再根据正弦定理表示2a b c +-，转化为()22sin sin 2sin a b c R A B C +-=+-，再根据三角函数化简，转化为函数值域问题. 【详解】221sin cos cos 22C C C -=-=，即1cos 22C =-，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭223C π∴=，3C π∴=，根据正弦定理可知2sin sin sin a b cR A B C===， ()22sin sin 2sin a b c R A B C ∴+-=+-，sin sin 2sin sin sin 33A B C A A π⎛⎫+-=++- ⎪⎝⎭33sin cos 33sin 30226A A A π⎛⎫=+-=+-≤ ⎪⎝⎭, 当3A π=时，等号成立，20a b c ∴+-≤即2a b c +≤. 故选：B 【点睛】本题考查三角恒等变换，以及正弦定理边角互化和三角函数求值域的综合问题，意在考查转化与化归的思想，和计算能力，本题的关键是根据正弦定理转化为()22sin sin 2sin a b c R A B C +-=+-，再通过三角函数恒等变换转化为三角函数求值域.6．函数()3sin 2xx x f ex =+在[]2,2ππ-上的图象大致为（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断函数()f x 的奇偶性，排除C ；再验证()4f π的值，排除B ，D ，即可.【详解】依题意，()()()3sin 2xx x fx e--+--=()3sin 2xx x f x e+=-=-，故函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ；3334273sin 11191919124646440.54 2.8 2.8 2.864179.2182e ef πππππ⎛⎫++++ ⎪⎛⎫⎝⎭=>>===>= ⎪⨯⎝⎭，排除B ，D. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象问题.此类问题可根据函数的单调性、奇偶性、特值检验，通过排除法解决.属于中档题.7．某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）为A ．18B ．63C ．33D ．3【答案】C【解析】判断三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求解几何体的体积即可. 【详解】由题意可知几何体是底面为正三角形的三棱柱，底面边长为2，高为3，所以几何体的232333⨯=C ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，考查转化思想以及空间想象能力．8．已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是（） A ．2 B ．42C ．4D ．8【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，圆B 的方程为：222x y +=, 444DB AP sin πθ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()A 0,2，()D 2,2，圆B 的方程为：222x y +=,∴()22Pcos sin θθ，，∴()22DB =--u u u v，，()222AP cos sin θθ=-u u u v ，，∴22224444DB AP cos sin sin πθθθ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v∴14sin πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是8，故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>≤ ⎪⎝⎭，其图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是( ) A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由题意可得相邻最低点距离1个周期，T π=，2ω=，()1f x >，即()sin 20x ϕ+>，222,k x k k Z πϕππ≤+≤+∈，即,,222x k k k Z ϕϕπππ⎡⎤∈-+-++∈⎢⎥⎣⎦所以,123ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⊆,,222k k k Z ϕϕπππ⎡⎤-+-++∈⎢⎥⎣⎦，包含0,所以k=0, ,,222k Z ϕϕπ⎡⎤--+∈⎢⎥⎣⎦,122223πϕϕππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩, 63ππϕ≤≤,选A ．【点睛】由于三角函数是周期周期函数，所以不等式解集一般是一系列区间并集，对于恒成立时，需要令k 为几个特殊值，再与已知集合做运算．10．已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I 为12PF F ∆的内心，且1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，若椭圆的离心率为e ，则λ=（） A ．1eB ．2eC ．eD ．2e【答案】A【解析】设12PF F ∆内切圆的半径为r ，根据题意化简得到1212F F PF PF λ=+，代入数据计算得到答案. 【详解】设12PF F ∆内切圆的半径为r 则1112IPF S r PF ∆=⋅，2212IPF S r PF ∆=⋅，121212IF F S r F F ∆=⋅·∵1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，∴112211222r PF r F F r PF λ⋅=⋅-⋅整理得1212F F PF PF λ=+.∵P 为椭圆上的点，∴22c a λ⋅=，解得1eλ=. 故选：A 【点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到1212F F PF PF λ=+是解得的关键.11．已知椭圆22143x y +=的右焦点F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，则过F 作倾斜角为60︒的直线分别交抛物线于,A B （A 在x 轴上方）两点，则||||AF BF 的值为（）AB ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用抛物线的定义和焦点弦的性质，求得1213,3x x ==，进而可求得||||AF BF 的值．【详解】由椭圆22143x y +=，可得右焦点为(1,0)，所以12p =，解得2p =，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线的定义可得1222816sin 6033p p AB x x p =++===o，所以12103x x +=，又由21214p x x ==，可得1213,3x x ==，所以12||31231||123px AF p BF x ++===++. 故选C ．【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，以及抛物线的焦点弦的性质的应用，其中解答中熟练应用抛物线的定义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+ ，当[0,1]x ∈时，()f x x =.函数|1|()(13)x g x e x --=-<<，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为（） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】由(1)(1)f x f x -=+，|1|()(13)x g x e x --=-<<可得函数(),()f x g x 的图像都关于直线1x =对称，再作函数()f x ，()g x 在()1,3-上的图像，观察交点的个数即可得解. 【详解】解：由()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称，又 |1|()(13)x g x ex --=-<<的图像也关于直线1x =对称，当12x ≤≤时，()2f x x =-，1()x g x e -=，设1()2x h x x e -=--，()12x ≤≤，则'1()10xh x e-=-+<，即函数()h x 在[]1,2为减函数，又(1)0h =，即()0h x ≤，即函数()f x ，()g x 的图像在()1,2无交点，则函数()f x ，()g x 在()1,3-上的图像如图所示，可知两个图像有3个交点，一个在直线1x =上，另外两个关于直线1x =对称，则三个交点的横坐标之和为3，故选A.【点睛】本题考查了函数图像的对称性，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、填空题13．已知,x y 满足条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若目标函数=+z -ax y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为__________．【答案】2或1-.【解析】先画出不等式组所代表的平面区域，解释目标函数为直线=+y ax z 在y 轴上的截距，由目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一，得直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，从而解出a 的值.【详解】解：画出不等式组20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩对应的平面区域如图中阴影所示将=+z ax y -转化为=+y ax z ，所以目标函数z 代表直线=+y ax z 在y 轴上的截距若目标函数=+z ax y -取得最大值的最优解不唯一则直线=+y ax z 应与直线20x y +-=或220x y -+=平行，如图中虚线所示又直线20x y +-=和220x y -+=的斜率分别为1-和2 所以2a =或1a =- 故答案为：2或1-.【点睛】本题考查了简单线性规划，线性规划最优解不唯一，说明目标函数所代表的直线与不等式组某条边界线平行，注意区分最大值最优解和最小值最优解. 14．函数()f x x x a =+的图象在1x =处的切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则实数a 的值为________. 【答案】6-或2【解析】根据导数的几何意义，求出()f x 在1x =处的切线，根据圆的弦长，得到圆心距，根据圆心到切线的距离公式，得到关于a 的方程，从而得到a 的值. 【详解】因为()f x x x a =+ 所以()2f x x xx'=代入切点横坐标1x =，可知切线的斜率(1)1k f '==.又(1)f a =，所以切点坐标为(1,)a ，所以函数()f x x a =+的图象在1x =处的切线方程为1y x a =+-. 又因为圆22:2440C x y x y +-+-= 圆心坐标为(1,2)-，半径为3，所以圆心到切线的距离d =. 因为切线被圆22:2440C x y x y +-+-=截得弦长为2，则22213+=，解得实数a 的值是6-或2. 故答案为：6-或2 【点睛】本题考查导数的几何意义求在一点的切线方程，根据圆的弦长求参数，属于中档题. 15．已知6(12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ba=___________. 【答案】12【解析】由()n a b +的二项展开式的通项1C r n r r r n T a b -+=，可知6(12)x +展开式的二项式系数为6(0,1,,6)r C r =L ，当3r =时，二项式系数的最大值为a ，6(12)x +展开式的系数为62(0,1,,6)r rC r =L ，当满足116611662222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩时，系数的最大值为b ，求解即可. 【详解】由题意可知6(12)x +展开式的二项式系数为6(0,1,,6)r C r =L ，当3r =时，取得最大值3620a C ==6(12)x +展开式的系数为62(0,1,,6)r r C r =L ，当满足116611662222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩时，系数最大. 即116!6!22!?(6)!(1)!?[6(1)]!6!6!22!?(6)!(1)!?[6(1)]!r r r r r r r r r r r r +-⎧≥⎪-+-+⎪⎨⎪≥⎪----⎩ ∴1261217r r r r⎧≥⎪⎪-+⎨⎪≥⎪-⎩，即12(6)2(7)r r r r +≥-⎧⎨-≥⎩解得111433r ≤≤又0,1,,6r =Q L4r ∴=时，系数的最大值为4462240b C ==则2401220b a == 故答案为：12 【点睛】本题考查二项式定理，求二项式系数最大值时，列出不等式组116611662222r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩是解决本题的关键.属于一道较难的题.16．平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为_____. 【答案】20π【解析】取AD,BC 的中点分别为12,O O ,过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，确定球心的位置，再取BD 中点E ，连结12,O E O E ,得到12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，在Rt △1O OE 和在Rt △1O OA 中，求得的球的半径，即可求解．【详解】由题意，取AD,BC 的中点分别为12,O O ,过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，两垂线交点O 即为所求外接球的球心，取BD 中点E ，连结12,O E O E ,则12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，又由121O E O E ==，连接OE ，在Rt △1O OE 中，则13OO =，在Rt △1O OA 中，12O A =，得5OA =，即球半径为5R OA ==，所以球面积为24S R =π= 20π.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及几何体的结构特征、二面角的应用，其中解答中熟练应用几何体的结构特征，以及二面角的定义求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．三、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若73B b ABC π==V ，，的面积332S =，求a +c 值；（2）若2cos C （BA BC ⋅u u u r u u u r +AB AC ⋅u u u r u u u r）=c 2，求角C ．【答案】（1）5（2）3π【解析】（1）由已知利用三角形面积公式可求ac=6，结合余弦定理可求a+c 的值．（2）利用平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求cosC=，结合范围C ∈（0，π），可求C 的值．【详解】解：（1）∵73B b ABC π==，，的面积332S =， 33=12ac sin B 3，可得：ac =6， ∵由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，可得：7=a 2+c 2-ac =（a +c ）2-3ac =（a +c ）2-18，解得：a +c =5．（2）∵2cos C （BA BC ⋅u u u r u u u r +AB AC ⋅u u u r u u u r）=c 2，∴2cos C （ac cos B +bc cos A ）=c 2，可得：2cos C （a cos B +b cos A ）=c ，∴由正弦定理可得：2cos C （sin A cos B +sin B cos A ）=sin C ，即2cos C sinC=sin C ， ∵sin C ≠0， ∴cos C =12， ∵C ∈（0，π）， ∴C =3π．【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，平面向量数量积的运算，正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析【解析】（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CMCP =λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解．【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形，且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以22BD =，又因为4,4CDBDC π=∠=．根据余弦定理得22,BC =所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面（2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ，平面ABCD I 平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点分别以AD u u u r ，AB u u u r和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ，假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=u u u u r u u u r ，所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =u u u v.设(,,)n x y z =r 为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =u u u r ， =(2-,4-3,2)λλλu u u u rAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v 得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-r .因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412224(2)λλλ=+-，解得2,23λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．19．近来天气变化无常，陡然升温、降温幅度大于10C︒的天气现象出现增多.陡然降温幅度大于10C︒容易引起幼儿伤风感冒疾病.为了解伤风感冒疾病是否与性别有关，在某妇幼保健院随机对人院的100名幼儿进行调查,得到了如下的列联表,若在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为2 5 ,(1)请将下面的列联表补充完整;(2)能否在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有关?说明你的理由;(3)已知在患伤风感冒疾病的20名女性幼儿中,有2名又患黄痘病.现在从患伤风感冒疾病的20名女性中,选出2名进行其他方面的排查,记选出患黄痘病的女性人数为X,求X的分布列以及数学期望.下面的临界值表供参考:参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中.n a b c d=+++【答案】(1)见解析,(2) 不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美.(3)分布列见解析,1 5【解析】(1)根据在全部100名幼儿中随机抽取1人，抽到患伤风感冒疾病的幼儿的概率为25,可以求出患伤风感冒疾病的幼儿的数量，这样可以补充完成列联表；(2)代入公式求出2K的值，根据所给的表写出结论；(3) 根据题意,X 的值可能为0,1,2.分别求出相应的概率值，列出分布列，计算出数学期望即可. 【详解】(1)列联表补充如下;()2计2K 算的观测值为()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2100203520250.6734 2.70640604555⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以不能在犯错误的概率不超过0.1的情况下认为患伤风感冒疾病与性别有美. (3)根据题意,X 的值可能为0,1,2.则()()121512222020153180,119095CC P X P X C C ======,()2222012190C P X C ===, 故X 的分布列如下：故X 的数学期望：()1531811012190951905E X ⨯++⨯==⨯. 20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，过2F 的一条直线交椭圆于P Q 、两点，若12PF F ∆的周长为4+，且长轴长与短轴长之比为2:1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若12F P F Q PQ +=u u u v u u u u v u u u v ，求直线PQ 的方程. 【答案】(1)22184x y +=；220x y ±-=【解析】(1)根据椭圆的定义和已知12PF F ∆的周长，可以得到等式，根据长轴长与短轴2，再结合椭圆中,,a b c 的关系，可以求出,,a b c 的值，进而求出椭圆的标准方程；(2)设出直线2PF 的方程，化简12F P F Q PQ +=u u u r u u u u r u u u r，将直线2PF 的方程与椭圆的标准方程联立，利用一元二次方程根与系数关系最后可以求出PQ 的方程. 【详解】(1)由条件可知：22442a c +=+，:2a b =，∵222a b c =+，解得：2,2,2a b c ===，所以椭圆C 的方程为22184x y +=(2)设直线2PF 的方程为：()()11222,,,,x ty P x y Q x y =+；因为1212F P F Q FO OP F O OQ OP OQ+=+++=+u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v，所以OP OQ PQ +=u u u v u u u v u u u v，所以OP OQ ⊥，所以12120x x y y +=，()222212440842x y t y ty x ty ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，12122244,22t y y y y t t --+==++ ()()2412121212121x x y y t y y t y y ++=+++，解得：212,22t t ==±所以直线PQ 220x y ±-=.【点睛】本题考查了椭圆的定义和标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了向量表达式的化简，考查了数学运算能力. 21．已知函数()cos xf x e x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)证明：()f x 在区间(,)2π-+∞上有且仅有2个零点.【答案】（1）0x y -=；（2）见解析【解析】（1）给函数求导，将切点的横坐标带入原函数，导函数，分别求出切点和斜率，用点斜式写出直线方程即可.（2）当0x >时，()cos 0xf x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.因为函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<，()010f '=>，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【详解】（1）()cos x f x e x =-Q ，则()sin xf x e x '=+，()00f ∴=，()01f '=.因此，函数()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y x =，即0x y -=. （2）当0x >时，1cos x e x >≥，此时，()cos 0xf x e x =->，所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上没有零点；又()00f =，下面只需证明函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.()sin x f x e x '=+，构造函数()sin x g x e x =+，则()cos x g x e x '=+，当02x π-<<时，()cos 0x g x e x '=+>，所以，函数()y f x '=在区间(,0)2π-上单调递增，2()102f eππ-'-=-<Q ，()010f '=>，由零点存在定理知，存在(,0)2t π∈-，使得()0f t '=，当2x t π-<<时，()0f x '<，当0t x <<时，()0f x '>.所以，函数()y f x =在x t =处取得极小值，则()()00f t f <=，又2()02f eππ--=>，所以()()02f f t π-⋅<，由零点存在定理可知，函数()y f x =在区间(,0)2π-上有且只有一个零点.综上可得，函数()y f x =在(,)2π-+∞上有且仅有两个零点.【点睛】本题第一问考查导数几何意义中的切线问题，第二问考查函数零点的存在，同时考查了利用导函数求函数的单调区间，属于难题.22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为1(x cos y sin ααα=+⎧⎨=⎩为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足||||8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C . （1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为2,2π⎛⎫⎪⎝⎭，求ABM ∆面积的最小值。

2020届河南省南阳市高三上学期期末数学(理)试题(解析版)

2020届河南省南阳市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|160A x x =-≤，{}lg 20B x x =-，则A B =I （） A ．[)(]4,13,4-⋃ B ．[)(]4,31,4--⋃- C ．()()4,13,4-⋃ D ．()()4,31,4--⋃-【答案】A求解二次不等式可得：{}|44A x x =-≤≤，求解对数不等式可得：{}31B x x x =<或，结合交集的定义有：[)(]4,13,4A B ⋂=-⋃. 本题选择A 选项.2．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z 满足122z z ⋅=-，则2||z =（）A B ．2CD ．10【答案】A由已知可得z 1＝﹣1﹣i ，则11z i =-+，代入1z •z 2＝﹣2，变形后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z 2，则答案可求．解：由已知可得z 1＝﹣1﹣i ，则11z i =-+，又1z •z 2＝﹣2，∴()()()22121111i z i i i i ----===+-+-+--，∴|z 2|=故选A ．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =（）【答案】C由等差数列{}n a 通项公式得2375150a a a +-+=，求出5a ，再利用等差数列前n 项和公式能求出9S . 【详解】Q 正项等差数列{}n a 的前n 项和n S ，2375150a a a +-+=，2552150a a ∴--=，解得55a =或53a =-（舍），()91959995452S a a a ∴=+==⨯=，故选C. 本题主要考查等差数列的性质与求和公式，属于中档题. 解等差数列问题要注意应用等差数列的性质2p q m n r a a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系. 4．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为30°，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取3 1.732≈），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A ．134B ．67C ．182D ．108【答案】B根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论. 【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为132，则小正方形的边长为3122-，小正方形的面积231312S ⎫==-⎪⎪⎝⎭则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为31325001500(10.866)5000.1345006711-⎛⎫⨯=-⨯≈-⨯=⨯= ⎪ ⎪⨯⎝⎭，故选：B.本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键. 5．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则λμ+等于（）A ．12B ．23C ．16D ．13【答案】A根据题意，用,AB AC u u u r u u u r 表示出,AH BH u u u r u u u r 与AM u u u u r，求出,λμ的值即可.【详解】解：根据题意，设BH xBC =u u u r u u u r，则11111()()()22222AM AH AB BH AB xBC AB x AC AB ==+=+=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r 11(1)22x AB xAC =-+u u u r u u u r ，又AM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，11(1),22x x λμ∴=-=，111(1)222x x λμ∴+=-+=，故选：A.本题主要考查了平面向量基本定理的应用，关键是要找到一组合适的基底表示向量，是基础题.6．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <【答案】D首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及i 的关系，最终得出选项．【详解】经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：110112122S i =+==+=⨯，；第二次循环：1122132233S i =+==+=⨯，；第三次循环：2133143344S i =+==+=⨯，，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，4i ∴<？，故选D ．题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题．解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序，（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可． 7．将函数sin(3)y x ϕ=+的图象向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则6π=ϕ”是()f x 是偶函数”的A ．充分不必要条件B ．必婴不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条仲【答案】A【详解】把函数()sin 3y x ϕ=+的图像向左平移9π个单位长度后，得到的图象的解析式是33y sin x πϕ=++（），该函数是偶函数的充要条件是 32k k Z ππϕπ+=+∈，，所以则“6πϕ=”是“()f x 是偶函数”的充分不必要条件．故选A ．本题考查三角函数的图象变换以及充分必要条件，属中等题．8．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是A ．2()(2)3-∞+∞，，U B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，，U 【答案】D先由(2)f x +是偶函数，得到()f x 关于直线2x =对称；进而得出()f x 单调性，再分别讨论232x -≥和232x -<，即可求出结果. 【详解】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称；因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->，解得23x <-；当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<，解得23x >；因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，U . 本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.9．函数1()ln 1f x x x =--的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案. 【详解】设()ln 1g x x x =--，(1)0g =，则1()ln 1f x x x =--的定义域为(0,1)(1,)x ∈+∞U .1()1g x x'=-，当(1,)x ∈+∞，()0g x '>，()g x 单增，当(0,1)x ∈，()0g x '<，()g x 单减，则()(1)0g x g ≥=.则()f x 在(0,1)x ∈上单增，(1,)x ∈+∞上单减，()0f x >.选B.本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.10．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为 A ．48 B ．72 C ．90 D ．96【答案】D因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．11．已知1F 、2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（） A ．(2,)+∞ B．2)C．D．【答案】A双曲线22x a﹣22y b =1的渐近线方程为y=b a ±x ，不妨设过点F 2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba（x ﹣c ），与y=﹣b a x 联立，可得交点M （2c ，﹣2bc a）， ∵点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF 2|，即有24c +2224b c a ＞c 2， ∴22b a＞3，即b 2＞3a 2， ∴c 2﹣a 2＞3a 2，即c ＞2a ．则e=ca＞2． ∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：A ．点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12．已知函数()2ln 2,03,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在 1y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭C ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭可将问题转化，求直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线，再分别讨论两函数的增减性，结合函数图像，分析临界点，进一步确定k 的取值范围即可【详解】可求得直线 1y kx =-关于直线1y =-的对称直线为1y mx =-()m k =-，当0x >时，()ln 2f x x x x =-，()'ln 1f x x =-，当x e =时，()'0f x =，则当()0,x e ∈时，()'0f x <，()f x 单减，当(),x e ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单增；当0x ≤时，()232f xx x =+，()3'22f x x =+，当34x =-，()'0f x =,当34x <-时，()f x 单减，当304x -<<时，()f x 单增；根据题意画出函数大致图像，如图：当1y mx =-与()232f x x x =+（0x ≤）相切时，得0∆=，解得12m =-；当1y mx =-与()ln 2f x x x x =-（0x >）相切时，满足ln 21ln 1y x x xy mx m x =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1,1x m ==-，结合图像可知11,2m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，即11,2k ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，1,12k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故选：A本题考查数形结合思想求解函数交点问题，导数研究函数增减性，找准临界是解题的关键，属于中档题二、填空题13．在32nx x ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____.由题意可得8n=，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值．【详解】2)nx-的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r rr r r rr nT C x C x--+=-=-g g g g，令843r-=，求得2r=，可得二项展开式常数项等于284112C⨯=，故答案为112．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14．设数列{}n a为等差数列，其前n项和为n S，已知14799a a a++=，25893a a a++=.若对任意n*∈N都有n kS S≤，成立，则k的值为__________. 【答案】20设出等差数列的公差为d，由14799a a a++=，25893a a a++=，利用等差数列的性质求出4a和5a的值，两者相减即可得到d的值，根据4a和公差d写出等差数列的通项公式n a，令n a大于0列出关于n的不等式，求出解集中的n的最大正整数解即为满足题意k的值.【详解】解：设等差数列{}n a的公差为d，由14799a a a++=，得4399a=，即433a=.由25893a a a++=，得5393a=，即531a=.所以42,(4)241nd a a n d n=-=+-=-+.由0na>，得20.5n<，所以n S的最大值为20S，所以20k=，故答案为：20.本题考查学生灵活运用等差数列的性质及等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题.15．已知抛物线()220y px p=>的焦点为F，过焦点F且斜率为13的直线与抛物线【答案】313-求得抛物线的焦点，设出直线AB 的方程，以及,A B 的坐标，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示和夹角公式，计算可得所求值. 【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设1:32p AB y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立22y px =，可得224760x px p -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，则2212121219,,4p x x p x x y y p +===-，则2121234OA OB x x y y p ⋅=+=-u u u r u u u r ，()()()()22222211221122||||22OA OB x y x y x px x px ⋅=++=++u u u r u u u r ()()2222221212121342438444p p x x x x p p x x p p p ⎛⎫=+++=++= ⎪⎝⎭，则22334cos 1313||||4p OA OB AOB OA OB p -⋅∠===-⋅u u u r u u u r u u ur u u u r ，故答案为：313-.本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题.16．若函数f （x ）=﹣x ﹣cos2x+m （sinx ﹣cosx ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则m 的取值范围是____________．【答案】[，]先求导得f ′（x ）=﹣+sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（）则sin2x =t 2﹣1那么y =+ m t -1，（t ）=+ m t -1≤0在t ∈[，]恒成立．可得，解不等式得解.函数f （x ）=﹣x ﹣cos2x +m （sin x ﹣cos x ）,则f ′（x ）=﹣+sin2x +m （sin x +cos x ），令sin x +cos x =t ，（）则sin2x =t 2﹣1那么y =+ m t -1，因为f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，则（t ）=+ m t -1≤0在t ∈[，]恒成立．可得，即解得：，故答案为：[，]．本题考查了利用导函数研究单调性，求解参数范围问题．属于中档题.三、解答题17．如图，在ABC V 中，已知点D 在边BC 上，且DAC 90∠=o ，22sin BAC ∠=，AB 32=，AD 3=．()1求BD 长； ()2求cosC【答案】（13（2）63. ()1由已知利用诱导公式可求cos BAD ∠的值，利用余弦定理即可计算BD 的长． ()2由()1可求cos BAD ∠的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin BAD ∠，由正弦定理可求sin ADB ∠的值，根据诱导公式可求cosC 的值．【详解】（1）由题意，因为DAC 90∠=o ，πsin BAC sin BAD cos BAD 2∠∠∠⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭，22cos BAD ∠∴=在ABD V 中，由余弦定理得，222BD AB AD 2AB AD cos BAD ∠=+-⋅⋅，即222BD 18923233=+-⨯=，得BD 3.= ()2由22cos BAD 3∠=，得1sin BAD 3∠=，在ABD V 中，由正弦定理，得：BD ABsin BAD sin ADB∠∠=．1AB sin BADsin ADB BD∠∠⋅∴===πADB DAC C C 2∠∠=+=+Q，cosC ∴= 本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18．设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，又{}n b 单调递增的等比数列， 123512b b b =，11a b + 33a b =+.(Ⅰ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅱ)若()()21n n n n b c b b =-- ，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并求证：213n T ≤<.【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）详见解析.【详解】（1）当1n =时，13n a S ==-，当2n ≥时，2213[3(1)]63n n n a S S n n n -=-=----=-+，当1n =时，也满足63n a n =-+，∴63n a n =-+，∵等比数列{}n b ，∴2132b b b =， ∴3123225128b b b b b ==⇒=，又∵1133a b a b +=+，∴831582q q q -+=-+⇒=或12q =-（舍去）， ∴2122n n n b b q -+==；（2）由（1）可得：111112211(22)(21)(21)(21)2121n n n n n n n n n c +++++===-------，∴123n n T c c c c =++++L 2231111111()()()212121212121n n +=-+-++-------L 111121n +=-<-，显然数列{}n T 是递增数列，∴123n T T ≥=，即213n T ≤<.） 19．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M ，N 两点，点D 在C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=u u u u r u u u r u u u r，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】(1) 22142x y += (2)见解析（1）根据离心率和椭圆经过的点的坐标，建立方程组求解椭圆的方程；（2）写出四边形的面积表达式，结合表达式的特征进行判断. 【详解】解：（1）因为椭圆C的离心率e ==，即222a b =.因为点)在椭圆C 上，所以22211a b+=. 由22222211a b a b⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩.所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =，此时四边形OMDN.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是y kx m =+，联立方程组22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222124240k x kmx m +++-=，()228420k m∆=+->，122412km x x k -+=+，21222412m x x k-=+，()121222212my y k x x m k +=++=+.22222421k m MN k +-=+⨯，点O 到直线MN 的距离是21m d k=+.由OM ON OD +=u u u u v u u u v u u u v，得2412D km x k -=+，2212D my k=+. 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=. 由题意，四边形OMDN 为平行四边形，所以四边形OMDN 的面积为2222222421121OMDNm k m S MN d k k k +-==+⨯++ 222242m k m +-=. 由22122k m +=，得6OMDN S ∆=，故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为6. 本题主要考查椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系，椭圆方程求解一般是采用待定系数法；直线和椭圆的关系问题一般是求出目标表达式，根据表达式的特征选择合适的方法. 20．在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x （同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z 服正态分布2(,)N μσ，其中μ，2σ分别取考生的平均成绩x 和考生成绩的方差2s ，那么该区4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过．．．84.81分的考生人数为ξ，求(3)P ξ≤.（精确到0.001）附：①2204.75s =204.7514.31=；②2(,)z N μσ:，则()0.6826P z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P z μσμσ-<<+=；③40.84130.501=.【答案】（1）70.5分；（2）634人；（3）0.499 （1）根据平均数公式计算x ；（2）根据正态分布的对称性计算P （z ≥84.81），再估计人数；（3）根据二项分布的概率公式计算P （ξ≤3）．【详解】（1）由题意知：∴450.1550.15650.2750.3x =⨯+⨯+⨯+⨯ 850.15950.170.5+⨯+⨯=， ∴4000名考生的竞赛平均成绩x 为70.5分. （2）依题意z 服从正态分布()2,Nμσ，其中70.5x μ==，2204.75D σξ==，14.31σ=，∴z 服从正态分布()()22,70.5,14.31N N μσ=，而()(56.1984.81)0.6826P z P z μσμσ-<<+=<<=，∴()10.682684.810.15872P z -≥==.∴竞赛成绩超过84.81分的人数估计为0.158********.8⨯=人634≈人.（3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413-=.而()4,0.8413B ξ~，∴()()44431410.8413P P C ξξ≤=-==-⋅10.5010.499=-=.关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1. 21．已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e． ()1求实数b 的值；()2当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；()3当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[],(1m n ⊆，)+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦？若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1) 0b =;(2) 2a =时，()f x 在()0,+∞单调增；12a <<时, ()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；2a >时,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增；（3）不存在. 分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值，由111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.详解：(1) 由题意得()'ln 1g x x =--，令()'0g x =，解得1x e=，当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减. 所以当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值，所以111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得0b =. （2）()f x 的定义域为()0,+∞.()()()21111x x a a x ax a f x x a x x x-+---+-=-+==' ①11a -=即2a =,则()()21x f x x='-，故()f x 在()0,+∞单调增②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当()1,1x a ∈-时，()0f x '<; 当()0,1x a ∈-及()1,x ∈+∞时，()0f x '>故()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增．③若11a ->,即2a >,同理()f x 在()1,1a -单调递减，在()()0,1,1,a -+∞单调递增（3）由（1）知()2ln 2F x x x x =-+，所以()'2ln +1F x x x =-，令()()'2ln +1x F x x x ω==-，则()1'20x xω=->对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以()'F x 在区间()1,+∞内单调递增，所以()()''110F x F >=>恒成立，所以函数()F x 在区间()1,+∞内单调递增.假设存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦，则()()()()2222{22F m m mlnm k m F n n nlnn k n =-+=+=-+=+，问题转化为关于x 的方程()2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，即方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内是否存在两个不相等的实根，令()2ln 22x x x h x x -+=+， ()1,x ∈+∞，则()()22342ln '2x x x h x x +--=+，设()2342ln p x x x x =+--， ()1,x ∈+∞，则()()()2122'230x x p x x x x-+=+-=>对()1,x ∀∈+∞恒成立，所以函数()p x 在区间()1,+∞内单调递增，故()()10p x p >=恒成立，所以()'0h x >，所以函数()h x 在区间()1,+∞内单调递增，所以方程2ln 22x x x k x -+=+在区间()1,+∞内不存在两个不相等的实根.综上所述，不存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域是()()2,2k m k n ⎡⎤++⎣⎦.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值值，属于难题.求函数极值、最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.22．在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是2sin 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭:3OM πθ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 【答案】（1）2cos ρθ=；（2）2（1）首先利用221cos sin ϕϕ+=对圆C 的参数方程1{x cos y sin ϕϕ=+=（φ为参数）进行消参数运算，化为普通方程，再根据普通方程化极坐标方程的公式得到圆C 的极坐标方程．（2）设11P ρθ（，），联立直线与圆的极坐标方程，解得11ρθ，；设22Q ρθ（，），联立直线与直线的极坐标方程，解得22ρθ，，可得PQ ．【详解】（1）圆C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos x ρθ=，sin y ρθ= 所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设()11,ρθP ，则由2{3cos ρθπθ==解得11ρ=，13πθ=，得1,3P π⎛⎫⎪⎝⎭；设()22Q ,ρθ，则由2sin 3{3πρθπθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭=解得23ρ=，23πθ=，得3,3Q π⎛⎫⎪⎝⎭；所以Q 2P =本题考查圆的参数方程与普通方程的互化，考查圆的极坐标方程，考查极坐标方程的求解运算，考查了学生的计算能力以及转化能力，属于基础题. 23．已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |·f b a ⎛⎫⎪⎝⎭.【答案】（1）{x |x ≥3或x ≤－5}．（2）证明见解析（1）分段讨论当x ＜－3时，当－3≤x ≤1时，当x ＞1时，求解不等式即可；（2）利用分析法，要证f (ab )＞|a |f b a ⎛⎫⎪⎝⎭，只需证|ab －1|＞|b －a |，再两边平方证明即可. 【详解】解：（1）依题意，原不等式等价于|x －1|＋|x ＋3|≥8. 当x ＜－3时，则－2x －2≥8，解得x ≤－5. 当－3≤x ≤1时，则4≥8不成立，不等式解集为∅. 当x ＞1时，则2x ＋2≥8，解得x ≥3.所以不等式f (x )＋f (x ＋4)≥8的解集为{x |x ≥3或x ≤－5}．（2）证明：要证f (ab )＞|a |f b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，只需证|ab －1|＞|b －a |，只需证(ab －1)2＞(b －a )2.∵|a |＜1，|b |＜1，知a 2＜1，b 2＜1，∴(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)＞0. 故(ab －1)2＞(b －a )2成立．从而原不等式成立．本题考查了解绝对值不等式，重点考查了利用分析法证明不等式，属中档题.。

河南省南阳市第一中学2020届高三数学上学期第三次考试试题文(含解析)

南阳一中2020级高三第三次考试文数试题（A）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，所以.故选C.2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题求定义域内既是奇函数又是增函数为增函数，A．为减函数．B．，有减有增且为偶函数． D．．有减有增，C．为奇函数且为增函数，满足．考点：三角函数及幂函数的函数性质．3. 函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查函数的三要素及函数的单调性.由得：所以函数的定义域为设，在上是增函数，在上是减函数；时，取最大值4；时，取最小值0；所以则则即函数的值域为故选B点评:与函数有关的问题，要注意定义域优先的原则.4. 三个数的大小顺序为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：,,,故.考点：1、指数及其指数函数的性质；2、对数及其对数函数的性质.5. 函数的零点所在的区间都是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题设可知，所以函数的零点所在的区间是，故应选A。

考点：函数零点的判断方法及运用。

6. 已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，令，解得；当时，令，解得，及，所以不等式的解集为，故选C．考点：分段函数的应用．7. 已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.8. 函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：A、当时，，所以不正确；B、当时，，所以不正确；D、当时，，所以不正确；综上所述，故选C．考点：函数的图象与性质．【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性以及数学化归思想，属于难题．这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除．本题主要是利用特殊点排除法解答的．9. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由，由于在区间上单调递减，则有在上恒成立，即，也即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，故选C．考点：利用导数研究函数的极值与最值；函数的恒成立问题．10. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵是定义在R上的偶函数，∴∴可变为，即，又∵在区间[0,+∞)上单调递增，且f(x)是定义在R上的偶函数，∴，即，解得，故选C.11. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意设则∵当x>0时,有，∴当x>0时,，∴函数在(0,+∞)上为减函数，∵函数f(x)是奇函数，∴g(−x)=g(x)，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，g(x)在(−∞,0)上递增，由f(−1)=0得,g(−1)=0，∵不等式f(x)>0⇔x⋅g(x)>0，∴或，即有或，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是：，故选：C.点睛：本题主要考查构造函数，根据题中，联想到函数，并结合奇偶性和单调性即可解决.12. 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，又，若方程恰有两解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴是周期为2的函数，根据题意画出函数的图象过点A时斜率为,相切时斜率为1,过点B的斜率为,过点C的斜率为故选D.点睛：本题考查利用函数解决方程问题.一个是转为函数零点问题，利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先由，变为两个函数，先画出在时的图象，然后利用函数的对称性和周期性得到的图象，再画的直线，由图求解即可.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13. 经过原点作函数图象的切线，则切线方程为__________．【答案】【解析】∵，①若原点(0,0)是切点，则切线的斜率为f′(0)=0，则切线方程为y=0；②若原点(0,0)不是切点，设切点为，则切线的斜率为，因此切线方程为，因为切线经过原点(0,0)，∴，∵，解得.∴切线方程为，化为.∴切线方程为或.故答案为或.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14. 已知，，则__________．【答案】【解析】因为，，所以...答案为：.15. 函数的图像为，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）.①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③在区间内是增函数；④将的图象向右平移个单位可得到图像.【答案】①②③【解析】对于，令,求得f(x)=−1,为函数的最小值,故它的图象C关于直线对称故①正确。

2020-2021学年河南省南阳一中高三(上)第一次月考数学试题Word版含解析

2020-2021学年河南省南阳一中（上）第一次月考高三数学试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}2．（5分）集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义P*Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为（）A．7 B．12 C．32 D．643．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q4．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b5．（5分）函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题p：“”，则¬p是真命题B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件7．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，则要得到函数F（x）=f′（x）﹣f（x+）的图象，只需把函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍8．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（2x）的定义域为[0，1]，则f（log2x）的定义域为（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[﹣1，0]10．（5分）已知f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．911．（5分）已知函数f（x）=，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）A．（2，4] B．（﹣∞，0]∪[4，+∞） C．[4，+∞）D．（2，+∞）12．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二、填空题（每小题5分，共20分.）13．（5分）已知直线x=是函数f（x）=asinx﹣bcosx（ab≠0）图象的一条对称轴，则直线ax+by+c=0的倾斜角为．14．（5分）函数f（x）=lg（2cosx﹣1）+的定义域是．15．（5分）已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是．16．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）化简计算下列各式的值（1）+；（2）．18．（12分）已知集合A={x|≤2x≤128}，B={y|y=log2x，x∈[，32]．（1）若C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．（2）若D={x|x＞6m+1}，且（A∪B）∩D=∅，求实数m的取值范围．19．（12分）命题p：“关于x的方程x2+ax+1=0有解”，命题q：“∀x∈R，e2x﹣2ex+a≥0恒成立”，若“p ∧q”为真，求实数a的取值范围．20．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=[f（x﹣）]2，求函数g（x）在x∈[﹣，]上的最大值，并确定此时x的值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）根据a的不同取值，讨论函数f（x）的极值点情况．22．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）．（1）若函数在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：（）2017＜（e是自然对数的底数）．2020-2021学年河南省南阳一中（上）第一次月考高三数学试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1．（5分）全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，4}，N={4，5}，则∁U（M∪N）等于（）A．{1，3，5} B．{1，5} C．{l，6} D．{2，4，6}【分析】由题意和并集的运算求出M∪N，再由补集的运算求出∁U（M∪N）【解答】解：因为M={2，3，4}，N={4，5}，所以M∪N={2，3，4，5}，又全集U={1，2，3，4，5，6}，所以∁U（M∪N）={l，6}，故选：C．【点评】本题考查了补、交、并的混合运算，属于基础题．2．（5分）集合P={3，4，5}，Q={6，7}，定义P*Q={（a，b）|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为（）A．7 B．12 C．32 D．64【分析】先求出集合P*Q中的元素有6个，由此可得P*Q的子集个数为26个，从而得出结论．【解答】解：集合P*Q中的元素为（3，6），（3，7），（4，6），（4，7），（5，6），（5，7）共6个，故P*Q的子集个数为26=64，故选 D．【点评】本题主要考查求集合的子集，属于基础题．3．（5分）已知命题p：函数y=2﹣a x+1的图象恒过定点（1，2）；命题q：若函数y=f（x﹣1）为偶函数，则函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A．p∨q B．p∧q C．￢p∧q D．p∨￢q【分析】由函数的翻折和平移，得到命题p假，则￢p真；由函数的奇偶性，对轴称和平移得到命题q假，则命题￢q真，由此能求出结果．【解答】解：函数y=2﹣a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2﹣a x+1恒过（﹣1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x﹣1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x﹣1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=﹣1对称，所以命题q假，则命题￢q真．综上可知，命题p∧￢q为真命题．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断，是中档题，解题时要认真审题，注意得复合命题的性质的合理运用．4．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，若a=f（20.3），，c=f（log25），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b【分析】由题意可知f（x）在[0，+∞）为增函数，根据函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）为减函数，∴f（x）在[0，+∞）为增函数，∵=f（﹣2）=f（2），1＜20.3＜2＜log25，∴c＞b＞a，故选：B．【点评】考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+∞）上，根据单调性去比较函数值大小．5．（5分）函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）【分析】先求f′（x），讨论a的取值从而判断函数f（x）在每段上的单调性，当在每段上都单调递增时求得a＞0，这时需要求函数ax2+1在x=0时的取值大于等于（a+2）e ax在x=0时的取值，这样又会求得一个a的取值，和a＞0求交集即可；当在每段上都单调递减时，求得﹣2＜a＜0，这时需要求函数ax2+1在x=0处的取值小于等于（a+2）e ax在x=0处的取值，这样又会求得一个a的取值，和﹣2＜a＜0求交集即可；最后对以上两种情况下的a求并集即可．【解答】解：f′（x）=；∴（1）若a＞0，x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且ax2+1≥1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＞0，∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）e ax＜a+2，∴a+2≤1，解得a≤﹣1，不符合a＞0，∴这种情况不存在；（2）若a＜0，x≥0时，f′（x）≤0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且ax2+1≤1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＜0，解得﹣2＜a＜0，并且（a+2）e ax＞a+2，∴a+2≥1，解得a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0；综上得a的取值范围为[﹣1，0）．故选：B．【点评】考查函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调递增，递减函数的定义．6．（5分）下列说法正确的是（）A．命题p：“”，则¬p是真命题B．命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件【分析】A．利用含有量词的命题的否定去判断．B．利用含有量词的命题的否定去判断．C．利用充分条件和必要条件的定义判断．D．利用对数函数单调性的性质判断．【解答】解：A．∵sinx+cosx=，∴sinx+cosx成立，即p为真命题，则￢p为假命题，∴A错误．B．根据特称命题的否定是特称命题可知：命题“∃x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，∴B错误．C．∵△=4﹣4×3=﹣8＜0，∴x2+2x+3=0方程无解，∴C错误．D．根据对数函数的性质可知，若a＞1时，f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，成立．若f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数，则a＞1．∴“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件，∴D正确．故选D．【点评】本题主要考查命题的真假判断，利用充分条件和必要条件的定义以及含有量词的命题的否定的定义和性质是解决本题的关键．7．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，则要得到函数F（x）=f′（x）﹣f（x+）的图象，只需把函数f（x）的图象（）A．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍B．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍C．向左平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍D．向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的倍【分析】由题意根据正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由于函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜）图象的一条对称轴为x=，可得2×+φ=kπ+，k∈Z，求得φ=kπ+，k∈Z．再结合0＜φ＜，可得φ=，f（x）=sin（2x+），∴f′（x）=2cos（2x+），∴F（x）=f′（x）﹣f（x+）=2cos（2x+）﹣sin（2x+）=2cos2xcos﹣2sin2xsin﹣cos2x=﹣sin2x．故把函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象；再把所得图象的纵坐标伸长为原来的倍，可得F（x）=﹣sin2x的图象，故选：C．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．8．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】由于f（x）=x2+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解答】解：由于f（x）=x2+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．【点评】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．9．（5分）已知函数f（2x）的定义域为[0，1]，则f（log2x）的定义域为（）A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[﹣1，0]【分析】由f（2x）的定义域为[0，1]，能够导出1≤2x≤2，从而得到在f（log2x）中，1≤log2x≤2，由此能求出f（log2x）的定义域．【解答】解：∵f（2x）的定义域为[0，1]，∴0≤x≤1，1≤2x≤2，∴在f（log2x）中，令1≤log2x≤2，解得2≤x≤4，故选C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查指数函数和对数函数的运算，属于基础题．10．（5分）已知f（x）是定义在R上且以3为周期的奇函数，当时，f（x）=ln（x2﹣x+1），则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（）A．3 B．5 C．7 D．9【分析】由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0，先求出当时的零点个数，然后利用周期性和奇偶性判断f（x）在区间[0，6]上的零点个数即可．【解答】解：因为函数为奇函数，所以在[0，6]上必有f（0）=0．当时，由f（x）=ln（x2﹣x+1）=0得x2﹣x+1=1，即x2﹣x=0．解得x=1．因为函数是周期为3的奇函数，所以f（0）=f（3）=f（6）=0，此时有3个零点0，3，6．f（1）=f（4）=f（﹣1）=f（2）=f（5）=0，此时有1，2，4，5四个零点．当x=时，f（）=f（）=f（）=﹣f（），所以f（）=0，即f（）=f（）=f（）=0，此时有两个零点，．所以共有9个零点．故选D．【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用函数的周期性和奇偶性，分别判断零点个数即可，综合性较强．11．（5分）已知函数f（x）=，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（）A．（2，4] B．（﹣∞，0]∪[4，+∞） C．[4，+∞）D．（2，+∞）【分析】利用分段函数，分析出m的范围，然后利用数形结合求解选项即可．【解答】解：函数f（x）=，可知x≤1时，函数是圆的上半部分，函数的最大值为1，x＞1时，f（x）=﹣x2+2mx﹣2m+1，的对称轴为x=m，开口向下，对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f （x）﹣a=0都有四个不相等的实根x1，x2，x3，x4，则x＞1时，函数的最大值中的最小值为1，此时m≥2，在平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）与y=a的图象如图：x1+x2=0，x3+x4≥2m≥4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是[4，+∞）．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数与方程的应用，函数的图象，以及分析问题解决问题的能力，是难度比较大的题目．12．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f （x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x=﹣1可得f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）=f（1），可得f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y=f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即 log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．【点评】本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分.）13．（5分）已知直线x=是函数f（x）=asinx﹣bcosx（ab≠0）图象的一条对称轴，则直线ax+by+c=0的倾斜角为．【分析】先根据函数的对称轴推断出f（0）=f（），求得a和b的关系，进而求得直线的斜率，则直线的倾斜角可求得．【解答】解：由条件知f（0）=f（），∴﹣b=a，∴=﹣1，∴k=﹣=1，故倾斜角为．故答案为：．【点评】本题主要考查了函数的图象，直线的方程及斜率的问题．考查了学生逻辑思维和空间思维的能力．解题的关键是利用好函数的对称轴．14．（5分）函数f（x）=lg（2cosx﹣1）+的定义域是{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7} ．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，解得﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7，故函数的定义域为{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7}，故答案为：{x|﹣7≤x＜﹣或＜x＜或＜x≤7}．【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件15．（5分）已知f（x）=log（x2﹣ax+3a）在区间[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是﹣4＜a≤4 ．【分析】令t=x2﹣ax+3a，则由题意可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，由此解得实数a的取值范围．【解答】解：令t=x2﹣ax+3a，则由函数f（x）=g（t）=log t 在区间[2，+∞）上为减函数，可得函数t在区间[2，+∞）上为增函数且t（2）＞0，故有，解得﹣4＜a≤4，故答案为：﹣4＜a≤4．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．16．（5分）对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f′′（x）是f′（x）的导数，若方程f′′（x）有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数f（x）=x3﹣x2+3x﹣，请你根据这一发现，计算f（）+f（）+f（）+…+f（）= 2014 ．【分析】由题意可推出（，1）为f（x）的对称中心，从而可得f（）+f（）=2f（）=2，从而求f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014的值．【解答】解：f′（x）=x2﹣x+3，由f′′（x）=2x﹣1=0得x0=，f（x0）=1，则（，1）为f（x）的对称中心，由于，则f（）+f（）=2f（）=2，则f（）+f（）+f（）+…+f（）=2014．故答案为：2014．【点评】本题考查了类比推理的应用，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）化简计算下列各式的值（1）+；（2）．【分析】（1）利用诱导公式化简函数的表达式即可．（2）利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：（1）+==﹣sinα+sinα=0；（2）==1．【点评】本题考查三角函数化简求值，对数运算法则的应用，考查计算能力．18．（12分）已知集合A={x|≤2x≤128}，B={y|y=log2x，x∈[，32]．（1）若C={x|m+1≤x≤2m﹣1}，C⊆（A∩B），求实数m的取值范围．（2）若D={x|x＞6m+1}，且（A∪B）∩D=∅，求实数m的取值范围．【分析】先化简集合A，B，（1）根据集合的交集的运算和C⊆（A∩B），分类讨论，求出m的范围，（2）根据集合的并集和（A∪B）∩D=∅，求出m的范围．【解答】解：A={x|﹣2≤x≤7}，B={y|﹣3≤y≤5}（1）A∩B={x|﹣2≤x≤5}，①若C=φ，则m+1＞2m﹣1，∴m＜2；②若C≠φ，则，∴2≤m≤3；综上：m≤3；（2）A∪B={x|﹣3≤x≤7}，∴6m+1≥7，∴m≥1．【点评】本题主要考查集合的基本运算，参数的取值范围，属于中档题．19．（12分）命题p：“关于x的方程x2+ax+1=0有解”，命题q：“∀x∈R，e2x﹣2ex+a≥0恒成立”，若“p ∧q”为真，求实数a的取值范围．【分析】若p为真，可得△≥0，解得a范围．若q为真，令h（x）=e2x﹣2ex+a，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出，a的取值范围．由“p∧q”为真，可得p为真且q为真．【解答】解：若p为真，则△=a2﹣4≥0，故a≤﹣2或a≥2．若q为真，则令h（x）=e2x﹣2ex+a，则h′（x）=2e2x﹣2e=2e（e2x﹣1﹣1），令h′（x）＜0，则，∴h（x）在上单调递减；令h′（x）＞0，则x，∴h（x）在上单调递增．∴当时，h（x）有最小值，．∵∀x∈R，h（x）≥0恒成立，∴a≥0．∵“p∧q”为真，∴p为真且q为真．∴，解得a≥0．从而所求实数a的取值范围为[0，+∞）．【点评】本题考查了导数的应用、一元二次方程的实数根与判别式的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=[f（x﹣）]2，求函数g（x）在x∈[﹣，]上的最大值，并确定此时x的值．【分析】（1）结合具体的图象进行确定其解析式；（2）首先，结合（1）对所给函数进行化简，然后，结合三角函数的单调性求解．【解答】解：（1）结合图象，得A=2，T=，∴T=，∴=，∴ω=，∴y=2sin（x+φ），将点（﹣，0）代入，得2sin（﹣+φ）=0，∴φ=，∴f（x）=2sin（x+），（2）结合（1）f（x）=2sin（x+），∴g（x）=[f（x﹣）]2，={2sin[（x﹣）+]}2，=4sin2（x+）=4×[1﹣cos（3x+）]=2﹣2cos（3x+），∴g（x）=2﹣2cos（3x+），∵x∈[﹣，]，∴3x∈[﹣，π]，∴3x+∈[﹣，]，∴cos（3x+）∈[﹣1，1]，∴cos（3x+）=﹣1时，函数取得最大值，此时，x=，最大值为4．【点评】本题重点考查了二倍角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣2ax+a2，a∈R．（1）若a=0，求函数f（x）在[1，e]上的最小值；（2）根据a的不同取值，讨论函数f（x）的极值点情况．【分析】（1）求出函数的导数，判断函数的单调性求出f（x）的最小值即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而判断函数的极值问题．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x2，其定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x＞0，所以f（x）在[1，e]上是增函数，当x=1时，f（x）min=f（1）=1；故函数f（x）在[1，e]上的最小值是1．（2）f′（x）=，g（x）=2x2﹣2ax=1，（ⅰ）当a≤0时，在（0，+∞）上g（x）＞0恒成立，此时f′（x）＞0，函数f（x）无极值点；（ⅱ）当a＞0时，若△=4a2﹣8≤0，即0＜a≤时，在（0，+∞）上g（x）≥0恒成立，此时f′（x）≥0，函数f（x）无极值点；若△=4a2﹣8＞0，即a＞时，易知当＜x＜时，g（x）＜0，此时f′（x）＜0；当0＜x＜或x＞时，g（x）＞0，此时f′（x）＞0，所以当a＞时，x=是函数f（x）的极大值点，x=是函数f（x）的极小值点，综上，当a≤时，函数f（x）无极值点；a＞时，x=是函数f（x）的极大值点，x=是函数f（x）的极小值点．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．22．（12分）已知函数f（x）=ln（1+x）﹣（a＞0）．（1）若函数在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；（2）若f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）证明：（）2017＜（e是自然对数的底数）．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1）=0，解得a的值即可；（2）通过讨论a的范围，求出f（x）的单调性，从而求出f（x）的最小值，结合题意确定a的范围即可；（3）问题转化为证明，即证，由（2）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增，从而证出结论即可．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（1+x）﹣，（a＞0），∴f′（x）=，f′（1）=0，即a=2；（2）∵f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴f（x）min≥0，当0＜a≤1时，f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，即f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）min=f（0）=0成立，即0＜a≤1，当a＞1时，令f′（x）≥0，则x＞a﹣1，令f′（x）＜0，则0≤x＜a﹣1，即f（x）在[0，a﹣1）上为减函数，在（a﹣1，+∞）上为增函数，∴f（x）min=f（a﹣1）≥0，又f（0）=0＞f（a﹣1），则矛盾．综上，a的取值范围为（0，1]．（3）要证，只需证两边取自然对数得，，即证，即证，即证，由（2）知a=1时，f（x）=ln（1+x）﹣在[0，+∞）单调递增．又，f（0）=0，所以，所以成立．【点评】本题考查了函数的单调性、极值的意义，考查导数的意义以及不等式的证明，分类讨论思想，是一道综合题．。

河南省南阳市第一中学校2020届高三数学上学期10月月考试题理(含解析)

河南省南阳市第一中学校2020届高三数学上学期10月月考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1.复数1ii+的虚部是（） A. i - B. 1-C. 1D. i【答案】B 【解析】试题分析：，虚部为-1.考点：复数的概念和运算.2.已知R 是实数集，22{|1},{|1}=<==-M x N y y x x，则()R C M N =I （） A. ()1,2- B. []1,2-C.(0)2， D. []0,2【答案】D 【解析】【分析】由分式不等式解法和二次函数值域可求得集合M 和集合N ，根据补集和交集的定义可求得结果. 【详解】由21x<得：0x <或2x >，即()(),02,M =-∞+∞U []0,2R C M ∴= 21y x =-Q 的值域为[)1,-+∞，即[)1,N =-+∞ ()[]0,2R C M N ∴=I本题正确选项：D【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集混合运算，属于基础题.3.已知向量()1,2a =r ，()1,0b =r ，()3,4c =r，若λ为实数，()//a b c λ+r r r ，则λ=（）A. 2B. 1C.12D. 2-【答案】C【解析】【分析】根据向量坐标运算可求得()1,2a b λλ+=+r r；由向量共线坐标表示可构造方程求得结果. 【详解】()()()1,2,01,2a b λλλ+=+=+r r()//a b c λ+r r r Q ()4123λ∴+=⨯，解得：12λ=本题正确选项：C【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值的问题，关键是能够熟练掌握向量的坐标运算.4.已知α∈（-4π，0）且sin2α=-2425，则sinα+cosα=（） A.15 B. -15C. -75D. 75【答案】A 【解析】24sin 22sin cos 25ααα==-,又α∈（-4π，0），所以sin 0,cos 0αα<>，且sin cos 0αα+>，222241sin cos 2sin cos (sin cos )12525αααααα++=+=-=，所以 1sin cos 5αα+=，选A.5.在ΔABC 中，a x =，2,45b B ==︒，若ΔABC 有两解，则x 的取值范围是（）A. (2,B. (0,2)C. (2,)+∞D. 2)【答案】A 【解析】【详解】因为ΔABC 有两解，所以2sin 45bb a a <<∴<<︒A ．6.直线12y =与曲线2sin cos 22⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ππ在y 轴右侧的交点自左向右依次记为M 1，M 2，M 3，…，则113||M M u u u u u u u r等于（）A. 6πB. 7πC. 12πD. 13π【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式和二倍角公式可将函数化为sin 2y x =，结合正弦函数图象可得12y =与函数sin 2y x =在y 轴右侧的交点坐标，求得113,M M 坐标后，根据向量模长的求解方法可求得结果.【详解】2sin cos 2cos sin sin 222y x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11,122M π⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，13731,122M π⎛⎫⎪⎝⎭()1136,0M M π∴=u u u u u u u r 1136M M π∴=u u u u u u u r本题正确选项：A【点睛】本题考查直线与正弦型函数交点的问题，关键是能够将函数化为正弦型函数，结合正弦函数的图象求解交点坐标.7.已知函数()3sin()6f x x πω=-(0)ω>和()3cos(2)g x x ϕ=+的图象的对称中心完全相同，若[0,]2x π∈，则()f x 的取值范围是（）A. 3[,3]2-B. [3,3]-C. 1[2-D. [0,2【答案】A 【解析】考点：由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．解答：解：函数f(x)=3sin(ωx -π6)（ω＞0）和g （x ）=3cos （2x+φ）的图象的对称中心完全相同，所以ω=2，f(x)=3sin(2x-π6)，因为x∈[0，π2]所以2x-π6∈ [-π6，5π6]，所以3sin(2x-π6)∈[-32，3]；故选A点评：本题是基础题，考查三角函数的基本知识，基本性质的应用，周期的应用，考查计算能力．8.在 ABC V 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知()()32sin B A sin B A sin A -++=，且c =3C π=，则 ABC V 的面积是 ()n nA.4B.6C.3D.4或6【答案】D 【解析】分析：由题意得3sinBcosA sinAcosA =，分0cosA =和0cosA ≠两种情况求解，然后结合三角形面积公式可得结果．详解：∵()()32sin B A sin B A sin A -++=， ∴3sinBcosA sinAcosA =．①当0cosA =时，ABC V 为直角三角形，且2A π=．∵c =3C π=，∴33b tanπ==．∴1122ABC S bc ===n ②当0cosA ≠时，则有3sinB sinA =，由正弦定理得3b a =．由余弦定理得2222c a b abcosC =+-，即()()22173232a a a a =+-⋅⋅，解得1a =．∴1133132234ABC S absinC sin n π==⨯⨯⨯=．综上可得ABC V 的面积是334 或 736．故选D ．点睛：在判断三角形的形状时，对于形如3sinBcosA sinAcosA =的式子，当需要在等式的两边约去cosA 时，必须要考虑cosA 是否为0，否则会丢掉一种情况． 9.若是的重心，a ，b ，c 分别是角的对边，若3G G GC 0a b c A +B +=u u u r u u u r u u ur r ，则角（）A. 90oB. 60oC. 45oD. 30o【答案】D 【解析】试题分析：由于是的重心，，，代入得，整理得，，因此，故答案为D.考点：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.10.在平面直角坐标平面上，(1,4),(3,1)OA OB ==-u u u r u u u r ，且O A u u u v 与OB uuur 在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为（）A.43B.52C.25D.34【答案】C 【解析】【详解】设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方向向量为(1,)m k =r ，由且O A u u u v 与OB uuu r在直线l 上的射影长度相等，得OA m OB m m m⋅⋅=u u u v u u u v r rr r，即143k k +=-+，解之得25k =或43k =-（舍），故选C ．考点：向量投影定义及运算．11.定义域为R 的函数()f x 满足()()24+=f x f x ，当[)0,2x ∈时，2,[0,1)()1),[1,2)x x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨+∈⎪⎩,若)2[0∈-，x 时,对任意的 )2[1∈，t 都有2()168t a f x t ≥-成立，则实数a 的取值范围是（）A. (]2-∞，B. [)2+∞，C. (]6-∞，D. [)6+∞，【答案】D 【解析】【分析】由()()24+=f x f x 可求解出[)2,1x ∈--和[)1,0-时，()f x 的解析式，从而得到()f x 在[)2,0-上的最小值，从而将不等式转化为2116816t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立，利用分离变量法可将问题转化为322a t t ≥+，利用导数可求得32t t +在[)1,2上的最大值，从而得到212a ≥，进而求得结果.【详解】当[)2,1x ∈--时，[)20,1x +∈()()()()()2211122232444f x f x x x x x ⎡⎤∴=+=+-+=++⎣⎦[)2,1x ∴∈--时，()min 31216f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当[)1,0x ∈-时，[)21,2x +∈ ()()()112344f x f x x ∴=+=+[)1,0x ∴∈-时，()()min 112f x f =-= [)2,0x ∴∈-时，()min116f x =-，即2116816t a t -≤-对[)1,2t ∈恒成立即：322a t t ≥+对[)1,2t ∈恒成立令()32g t t t =+，[)1,2t ∈，则()232g t t t '=+当[)1,2t ∈时，()0g t '>，则()g t 在[)1,2上单调递增 ()()212g t g ∴<=212a ∴≥，解得：[)6,a ∈+∞本题正确选项：D【点睛】本题考查恒成立问题的求解，涉及到利用函数性质求解出未知区间内函数的解析式，关键是能够将问题转化为所求变量与函数最值之间的大小关系的比较问题.12.已知函数32()(0)g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，且230a b c ++=，(0)(1)0,f f >设12,x x 是方程()0f x =的两根，则12x x -的取值范围是（）A. 2[0,)3B. 4[0,)9C. 12(,)33D. 14(,)99【答案】A 【解析】试题分析：因为2()32f x ax bx c=++，所以(0)(1)(32)(22)0,01c f f c a b c c a c a=++=-><<，又12312[0,).33333a c c x x a a a a --====-∈考点：二次方程根与系数关系二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.下列四个命题：①函数()cos sin f x x x =的最大值为1；②“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；③若ABC ∆为锐角三角形，则有sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++； ④“0a ≤”是“函数()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件．其中所有正确命题的序号为____________．【答案】③④ 【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数，可得()1sin 22f x x =，根据正弦型函数值域可知①错误；确定原命题的逆命题后，通过20m =可知逆命题为假，②错误；利用诱导公式和角的范围可证得结论，③正确；分类讨论去掉函数中的绝对值符号，根据二次函数的性质可确定函数的单调性，从而得到满足题意的范围，进而说明充要条件成立，④正确. 【详解】①()1cos sin sin 22f x x x x ==()max 12f x ∴=，①错误 ②“若22am bm <，则a b <”的逆命题为：“若a b <，则22am bm <” 若20m =，可知22am bm =，则其逆命题为假命题，②错误 ③ABC∆Q 锐角三角形 0,2A π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2A B π+>2A B π∴>-且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ sin sin cos 2A B B π⎛⎫∴>-= ⎪⎝⎭同理可得：sin cos B C >，sin cos C A >sin sin sin cos cos cos A B C A B C ∴++>++，③正确④令20x ax -=，解得：10x =，2x a =当0a ≤时，20x ax ->对()0,x ∈+∞恒成立 ()2f x x ax ∴=-()f x Q 对称轴为02ax =≤ ()f x ∴在()0,∞+上单调递增，充分条件成立当0a >时，()22,0,ax x x a f x x ax x a⎧-<<=⎨-≥⎩，此时()f x 在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，不满足题意∴“0a ≤”是“()2f x x ax =-在区间()0,∞+内单调递增”的充分必要条件，④正确本题正确结果：③④【点睛】本题考查正假命题的判定，涉及到函数最值的求解、逆命题真假性的判断、诱导公式的应用、函数单调性的应用、充要条件的判定等知识，属于中档题.14.若点(sin ,cos )P αα在直线2y x =-上，则tan()4πα+=___________．【答案】13【解析】【分析】根据点在直线上可代入求得tan α，利用两角和差正切公式可求得结果.【详解】()sin ,cos P ααQ 在直线2y x =-上 cos 2sin αα∴=- 1tan 2α∴=-1tan tan1142tan 1431tan tan 142παπαπα+-+⎛⎫∴+=== ⎪⎝⎭-+本题正确结果：13【点睛】本题考查两角和差正切公式的应用，属于基础题.15.已知向量,a b rr 满足20a b =≠r r ，且函数在()()321132f x x a x a b x =++⋅r r r 在R 上有极值，则向量,a b rr 的夹角的取值范围是_______________．【答案】,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据函数有极值可知导函数有变号零点，由()f x '为二次函数可知>0∆，从而得到214a b a ⋅<r r r ，根据向量夹角公式可求得cos ,a b <>rr 的范围，根据向量夹角的范围和余弦函数图象可确定夹角的取值范围.【详解】由题意得：()()2f x x a x a b '=++⋅r r r ()f x Q 在R 上有极值 ()240aa b ∴∆=-⋅>r r r ，即214a b a⋅<r r r22114cos ,11222aa b a b a b a b a a a ⋅⋅∴<>==<=⋅⋅r r r r r r r r r r r r[],0,a b π<>∈r r Q ,,3a b ππ⎛⎤∴<>∈ ⎥⎝⎦r r本题正确结果：,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查向量夹角取值范围的求解，涉及到导数与极值之间的关系、向量夹角公式的应用等知识；关键是能够根据函数有极值确定导函数有变号零点，从而利用二次函数的性质得到向量数量积和模长之间的关系.16.设奇函数()f x 定义在(,0)(0,)ππ-U 上，其导函数为()f x '，且()02f π=，当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<,则关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为．【答案】(,0)(,)66πππ-U 【解析】【详解】设()()sin f x g x x =，∴2()sin ()cos ()sin f x x f x xg x x'='-，∵()f x 是定义在(,0)(0,)ππ-U 上的奇函数，∴()()()()sin()sin f x f x g x g x x x--===-，∴()g x 是定义在(,0)(0,)ππ-U 上的偶函数， ∵当0πx <<时，()sin ()cos 0f x x f x x '-<，∴()0g x '<，∴()g x 在(0,)π上单调递减，()g x 在(,0)π-上单调递增，∵()02f π=，∴()2()02sin 2f g πππ==， ∵()2()sin 6f x f x π<，∴()()6g x g π<，(0,)x π∈，或，(,0)x π∈-，∴6x ππ<<或06x π-<<.∴关于x 的不等式()2()sin 6f x f x π<的解集为(,0)(,)66πππ-U . 考点：利用导数研究函数的单调性.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知函数2()1xe f x ax=+ （Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

河南省南阳市第一中学2020届高三第十次考试数学(理)答案

6
9．【解析】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中 AB 的中点为 P ，则 AP OP ， ∴ OP 最长时， AB 最小， ∵ 最小 l 经过可行域，由图形可知点 P 为直线
x
2y
1 0与
y
2

0
的交点 3, 2 时，
OP
最长，∵ kOP

若 g x f x2 f a 2 x 恰有 4 个零点，等价于当 x 0 时，g x 有两个不同的零点， ∵ f x 是奇函数， ∴ 由 g x f x2 f a 2 x 0 ，得 f x2 f a 2 x f 2 x a ，∵ f x 是单调函数，∴ x2 2 x a ，即 a x2 2 x ，
12.【解析】 an1 an2 an , a1 2 ∴ an 0 ,∴ an1 an an2 0 ,即数列 an 为单调增数列,
an1

an (an +1）
6 ,即
1 an1

an
1 (an
+1）
1 an

1 an +1

1 6
,
1 1 1 , an +1 an an1
2 3
，则直线 l
的方程
为 y 2 3 x 4 ，即 3x 2y 13 0 ．故选 D．
2
10．【解析】由题得 AB AC a2cos π 1 a2 ， 32
BN CM
BA AN
CA AM

1 2
a2

a2

河南省南阳市第一中学2020届高三第十次考试数学(理)试题

南阳一中2020年春期高三第十次考试数学（理）试题本试题分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． “112x <<”是“不等式11x -<成立”的（） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分也不必要条件2．已知i 为虚数单位，若复数()()1i 2i a ++是纯虚数，则实数a 等于（）A ．2-B ．12C ．12-D ．23．已知1cos 4α=，则πsin 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（） A ．18 B ．18- C ．78 D ．78- 4．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是（）A ．1B ．2CD 5．函数()()1e 2cos 1x f x x -=--的部分图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足212PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．340x y ±=B ．350x y ±=C ．430x y ±=D ．540x y ±=7．已知函数()()π2sin 02f x x ωϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，且()01f =，若函数()f x 的图象关于4π9x =对称，则ω的取值可以是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．若向量a ，b 的夹角为π3，且2=a ，1=b ，则向量2+a b 与向量a 的夹角为（） A ．π3 B ．π6 C ．2π3 D ．5π69．已知直线l 经过不等式组21034020x y x y y -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，且与圆22:16O x y +=相交于A 、B 两点，则当AB 最小时，直线l 的方程为（）A ．20y -=B ．40x y -+=C ．20x y +-=D ．32130x y +-=10．已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=，()1AN AC λ=-()λ∈R ，设()f BN CM λ=⋅，当函数()f λ的最大值为2-时，a =（）AB．CD．11．已知奇函数()f x 是定义在R 上的单调函数，若函数()()()22g x f x f a x =+-恰有4个零点，则a 的取值范围是（） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．(]01,D ．()01, 12．已知数列{}n a 中，12a =，若21n n n a a a +=+，设1212222111m m m a a a S a a a =++⋅⋅⋅++++，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（）A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．。

河南省南阳市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)试题(扫描版,有答案)

南阳一中2019年秋期高三第一次月考数学试题一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.已知条件或，条件，且是的充分不必要条件，则a的取值范围可以是A. B. C. D.3.函数的定义域为A. B. C. D.4.若函数则A. B. 2 C. D. 45.已知定义域为，则的定义域为A. B. C. D.6.已知函数满足，则A. B. C. D.7.给出如下四个命题：其中不正确的命题的个数是( )若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；若p：，则：；“，”的否定是“，”；任意“，”为真命题的一个充分不必要条件是．A. 4B. 3C. 2D. 18.定义在R 上的奇函数满足，且在上，则A.B.C.D.9. 已知点在幂函数的图象上，设131(),(ln())3a f mb f −==，则的大小关系为( ) A.B.C.D.10.已知，且，那么等于A.B.C.D. 1011. “函数在区间上不单调”的一个必要不充分条件是A.B.C.D.522m <<12. 已知函数2ln()3,21;()21, 1.x x f x x x x −+−<≤−⎧=⎨−−+>−⎩且2211(2)(22)(12)(14),22f a a f a a −+<−−−，则实数a 的取值范围为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 函数的最小值为14.函数的定义域为，则实数m 的取值范围是15.已知函数3()ln f x x x =+，则不等式((1))(2)f x x f −<的解集是16. 已知，，若，，使得成立，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题满分10分）.已知函数的定义域为集合A，函数g x x x a的定义域为集合B．Ⅰ当a时，求；Ⅱ若x x，求a的值．18.（本小题满分12分）已知二次函数b为常数，且满足条件：，且方程有两相等实根．求的解析式；设命题p：“函数在上有零点”，命题q：“函数在上单调递增”，若命题“”为真命题，求实数t的取值范围．19. （本小题满分12分）已知定义域为R的函数是奇函数．Ⅰ求a，b的值；Ⅱ若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围．。

2020-2021学年河南南阳高三上数学月考试卷(1)

2020-2021学年河南南阳高三上数学月考试卷一、选择题1. 设集合U ={−5,−3,−1,0,1,3}，A ={x ∈U ∣y =2−2x +3}，则∁U A =( ) A.[−5,3] B.{−3,1} C.{−5,3} D.{−5,−3,1,3}2. 命题“∀x ∈R ，e x >x 2”的否定是( )A.∀x ∈R ，e x <x 2B.∀x ∈R ，e x ≤x 2C.∃x ∈R ，e x >x 2D.∃x ∈R ，e x ≤x 23. 已知函数f(x)={sin πx3,x ≥0,x 2+√3x,x <0,则f(f (2021))=( )A.−94 B.−34C.34D.944. 若a =log 0.25−log 0.22，b =0.20.3，c =30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a <b <cB.c <b <aC.c <a <bD.b <c <a5. “欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D 点看楼顶点A 的仰角为30∘，沿直线前进79米到达E 点，此时看点C 的仰角为45∘，若BC =2AC ，则楼高AB 约为( )A.65米B.74米C.83米D.92米6. 已知在四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD =1，AB →+2CD →=0，则AB →⋅AC →=( ) A.4 B.3C.2D.17. 若函数f (x )=e x −ax 的极值为1，则实数a 的值为( ) A.e B.2C.√2D.18. 函数f(x)=x 2+ln |x|2x 2的图象大致为( )A. B.C. D.9. 若α∈(π2,π)， cos 2α+sin (5π4−α)=0，则sin (2α+π6)=( ) A.−√32B.0C.√32D.−√32或010. 已知函数f (x )=e −x −2x −5的零点位于区间(m,m +1)，m ∈Z 上，则2m +log 4|m|=( ) A.−14 B.14C.12D.3411. 若a ，b 为正实数，且12a+b +1a+2b =1，则a +b 的最小值为( )A.23 B.43C.2D.412. 数学中一般用min {a,b }表示a ，b 中的较小值．关于函数f (x )=min {sin x +√3cos x,sin x −√3cos x}有如下四个命题：①f (x )的最小正周期为π；②f (x )的图象关于直线x =3π2对称；③f (x )的值域为[−2,2]；④f (x )在区间(−π6,π4)上单调递增．其中是真命题的是( ) A.②④B.①②C.①③D.③④二、填空题若变量x ，y 满足约束条件{2x −y +2≥0，x +y −2≤0，x −2y −2≤0,则z =3x −y 的最大值为________.已知向量a →=(1,−3)，b →=(2,m +1)，若(2a →+b →)⊥b →，则m =________.已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x <0时，f (x )=ax 2−2x +1，且曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为2，则a =________.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin A +2sin B =2cos A sin C ，a +b =3√2，△ABC 的面积是√3，则c =________. 三、解答题已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=8，S 3是3a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =na n，求数列{b n }的前n 项和T n .为了加快恢复疫情过后的经济，各地旅游景点相继推出各种优惠政策，刺激旅游消费．8月份，某景区一纪念品超市随机调查了180名游客到该超市购买纪念品的情况，整理数据，得到下表：(1)估计8月份游客到该超市购买纪念品不少于90元的概率；(2)估计8月份游客到该超市购买纪念品金额的平均值（结果精确到0.1，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)完成下面的2×2列联表，并判断能否有99.5%的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关.附：K 2=n(ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )，n =a +b +c +d .如图，在四棱锥P −ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥BC ，CD =2AB ，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)证明：AE//平面PBC ；(2)若PA =CD =2，求点E 到平面PBC 的距离．已知函数f (x )=ax 2−ln x . (1)若a =1，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且∠F 1AF 2=60∘，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点M ，N 为椭圆C 上的两个动点，若OM →⋅ON →=0，问：点O 到直线MN 的距离d 是否为定值？若是，求出d 的值；若不是，请说明理由.已知在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程为ρ(√3cos θ−sin θ)=2√3+2．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C 2的参数方程为{x =3(1+cos t )，y =−2+3sin t（t 为参数）. (1)求曲线C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程；(2)设曲线C 1与曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB|的值．已知函数f(x)=|2x−1|+|x+2|.(1)求不等式f(x)>4的解集；(2)若f(x)的最小值为m，且实数a，b满足3a−4b=2m，求(a−2)2+(b+1)2的最小值．参考答案与试题解析2020-2021学年河南南阳高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】C【考点】函数的定义域及其求法补集及其运算【解析】首先解出集合A,再利用补集得解.【解答】解：由题设得−x2−2x+3≥0，解得：−3≤x≤1.即A={−3,−1,0,1},所以∁U A={−5,3}.故选C.2.【答案】D【考点】命题的否定【解析】此题暂无解析【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，e x>x2”的否定是“∃x∈R，e x≤x2”.故选D.3.【答案】B【考点】分段函数的应用函数的求值【解析】利用诱导公式，以及分段函数求值.【解答】解：由题设得f(2021)=sin 2021π3=sin(673π+2π3)=sin(π+2π3)=−sin2π3=−√32，所以f(f(2021))=f(−√32)=(−√32)2+√3×(−√32)=−34.故选B.4.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出.【解答】解：∵a=log0.252<0，b∈(0,1)，c>1，∴a<b<c.故选A.5.【答案】B【考点】解三角形的实际应用【解析】设出AC，表示出BD，BE，构造方程即可解出.【解答】解：设AC=x，则BC=2AC=2x，在Rt△BCE中，由于∠BCE=45∘，则BE=BC=2x，在Rt△ABD中，由于∠ADB=30∘，则BD=√3AB=3√3x，所以DE=BD−BE=3√3x−2x=79，解得x=3√3−2≈24.7，所以楼高AB=3x=24.7×3≈74（米）.故选B.6.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算向量的加法及其几何意义【解析】利用平面向量数量积及线性运算，即可解出.【解答】解：AB→⋅AC→=AB→⋅(AD→+DC→)=AB→⋅AD→+AB→⋅DC→，又AB⊥AD，∴AB→⋅AD→=0.又AB →=−2CD →=2DC →， ∴ AB →⋅DC →=2DC →2=2|DC →|2.∵ |CD →|=1， ∴ AB →⋅DC →=2， ∴ AB →⋅AC →=0+2=2. 故选C . 7.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的极值【解析】利用导数求出函数的单调性和极值，列出关于a 的方程，求解即可. 【解答】解：∵ f (x )=e x −ax ， ∴ f ′(x )=e x −a ，令f ′(x )<0，可得x <ln a ，此时函数单调递减；令f ′(x )>0，可得x >ln a ，此时函数单调递增， ∴ 当x =ln a 时，函数有极小值， ∴ f (ln a )=e ln a −a ln a =1，解得a =1. 故选D . 8.【答案】 B【考点】复合函数的单调性函数的图象【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ f(−x)=(−x)2+ln |−x|2(−x)2=x 2+ln |x|2x 2=f(x)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称，故排除C ，D. 又f(1)=1>0，f(12)=14−ln 4<0，故排除A. 故选B.9. 【答案】A【考点】二倍角的余弦公式两角和与差的正弦公式三角函数的恒等变换及化简求值【解析】由cos 2α+sin (5π4−α)=0得到sin (α+π4)=12，进而求出α=7π12，代入即可求解.【解答】解：∵ cos 2α+sin (5π4−α)=0， ∴ cos 2α−sin 2α−√22cos α+√22sin α=0，∴ (cos α+sin α−√22)(cos α−sin α)=0，∵ α∈(π2,π)， ∴ cos α+sin α−√22=0或cos α−sin α=0(舍去)，∴ √2sin (α+π4)=√22， ∴ sin (α+π4)=12， ∵ α∈(π2,π)，α+π4∈(3π4,5π4)，∴ α+π4=5π6，∴ α=7π12，∴ sin (2α+π6)=sin 4π3=−sin π3=−√32. 故选A .10. 【答案】 D【考点】对数与对数运算函数零点的判定定理有理数指数幂的化简求值【解析】判断函数的连续性，利用函数的零点判定定理求出m ，再利用指数幂和对数的运算即可得到答案．【解答】解：∵ 函数f (x )=e −x −2x −5是单调减函数，且f(−2)=e2−1>0，f(−1)=e−3<0，∴f(−2)⋅f(−1)<0，∴函数f(x)=e−x−2x−5的零点位于区间(−2,−1)上，∴m=−2，∴2m+log4|m|=2−2+log42=14+12=34.故选D.11.【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】把a+b变形为a+b=(a+b)(12a+b +1a+2b)=a+b2a+b+a+ba+2b，再利用已知可得(2a+b)(a+2b)=3(a+b)，利用基本不等式即可得出．【解答】解：a+b=13(3a+3b)=1[(2a+b)+(a+2b)]=13[(2a+b)+(a+2b)]⋅(12a+b+1a+2b)=13(2+2a+ba+2b+a+2b2a+b)≥13(2+2√2a+ba+2b⋅a+2b2a+b)=43，当且仅当2a+ba+2b =a+2b2a+b，即b=23，a=23时等号成立，∴a+b的最小值是43.故选B.12.【答案】A【考点】正弦函数的周期性正弦函数的对称性正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】作出函数图像，由三角函数的性质逐个进行判断. 【解答】解：根据题意作出y=f(x)的部分图象如图所示，因为函数y=2sin(x+π3)和y=2sin(x−π3)的最小正周期均为2π，所以f(x)的最小正周期为2π，故①错误；由图可知f(x)的图象的对称轴位于两条正弦曲线的交点处，由sin x+√3cos x=sin x−√3cos x得cos x=0，所以x=kπ+π2(k∈Z)，所以②正确；当x=2kπ+π2(k∈Z)时f(x)取得最大值1，且容易看出f(x)的最小值为−2，所以f(x)的值域为[−2,1)，故③错误；当x∈(−π6,π4)时，f(x)=2sin(x−π3)，此时x−π3∈(−π2,−π12)，可得f(x)在区间(−π6,π4)上单调递增，故④正确．故选A.二、填空题【答案】6【考点】求线性目标函数的最值【解析】首先作出线性区域，再结合集合意义确定最值.【解答】解：作出线性区域如图：（阴影区域）由z=3x−y，则y=3x−z，由图可知：当直线y=3x−z平移过点(2,0)时，z取得最大值，故z max=3×2−0=6.故答案为：6.【答案】1或3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】由题可得2a→+b→=(4,−5+m)，根据(2a→+b→)⊥b→，可得(2a→+b→)⋅b→=0，即8+(−5+m)(m+1)=0，求解即可. 【解答】解：∵ a →=(1,−3)，b →=(2,m +1)， ∴ 2a →+b →=(4,−5+m). ∵ (2a →+b →)⊥b →， ∴ (2a →+b →)⋅b →=0，∴ 8+(−5+m )(m +1)=0，解得m =1或m =3. 故答案为：1或3. 【答案】 −2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程函数奇偶性的性质【解析】利用函数的奇偶性解得x >0时的解析式，再利用求导得解. 【解答】解：由题设x >0，则−x <0，∴ −f(x)=f(−x)=ax 2+2x +1，即f(x)=−ax 2−2x −1. ∵ f ′(x )=−2ax −2， ∴ f ′(1)=−2a −2=2，解得：a =−2. 故答案为：−2. 【答案】 √14【考点】余弦定理正弦定理【解析】根据正弦定理和余弦定理将已知条件变形求出角C ，再根据三角形面积公式求出ab,最后由余弦定理求解即可得结果. 【解答】解：由sin A +2sin B =2cos A sin C 得，a +2b =2c ⋅b 2+c 2−a 22bc，整理得a 2+b 2−c 2=−ab ，所以cos C =−12. 因为0<C <π，所以C =2π3, 又S =12ab sin C =√34ab =√3⇒ab =4，所以c 2=a 2+b 2−2ab cos C =(a +b )2−ab =18−4=14，所以c =√14. 故答案为：√14. 三、解答题【答案】解：(1)设数列{a n }的公比为q(q ≠0).因为S 3是3a 2和a 4的等差中项，所以2S 3=3a 2+a 4，即2(a 1+a 1q +a 1q 2)=3a 1q +a 1q 3，整理得2(1+q 2)=q(1+q 2)，解得q =2，所以a 1=a3q =2，所以a n =2×2n−1=2n ． (2)由(1)可知b n =n a n=n2，所以T n =121+222+323+⋯+n2n ①，12T n =122+223+⋯+n−12n+n 2n+1②，由①−②，可得12T n =121+122+123+⋯+12n −n2n+1 =12(1−12n )1−12−n 2n+1=1−n+22n+1，所以T n =2−n+22．【考点】等差中项数列的求和数列递推式等比数列的通项公式【解析】【解答】解：(1)设数列{a n }的公比为q(q ≠0).因为S 3是3a 2和a 4的等差中项，所以2S 3=3a 2+a 4，即2(a 1+a 1q +a 1q 2)=3a 1q +a 1q 3，整理得2(1+q 2)=q(1+q 2)，解得q =2，所以a 1=a3q 2=2，所以a n =2×2n−1=2n ．(2)由(1)可知b n =n a n=n2n ，所以T n =121+222+323+⋯+n 2n①，1 2T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1②，由①−②，可得12T n=121+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−n+22n+1，所以T n=2−n+22．【答案】解：(1)估计8月份游客到该超市购买纪念品不少于90元的概率为30+40+20180=0.5.(2)估计8月份游客到该超市购买纪念品金额的平均值为：1 180[15×20+45×30+75×40+105×30+135×40+165×20]=16500180≈91.7.(3)填写2×2列联表，如下：则K2=180×(24×40−80×36)260×120×104×76=2880247≈11.66>7.879，因此，有99.5%的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关．【考点】概率的应用众数、中位数、平均数独立性检验【解析】本题考查用样本估计总体，独立性检验的应用．【解答】解：(1)估计8月份游客到该超市购买纪念品不少于90元的概率为30+40+20180=0.5.(2)估计8月份游客到该超市购买纪念品金额的平均值为：1 180[15×20+45×30+75×40+105×30+135×40+165×20]=16500180≈91.7.(3)填写2×2列联表，如下：则K2=180×(24×40−80×36)260×120×104×76=2880247≈11.66>7.879，因此，有99.5%的把握认为购买纪念品的金额与年龄有关．【答案】(1)证明：取CD的中点F，连接EF，AF．因为E为PD的中点，所以EF//PC．因为CD=2AB，所以AB=CF．又AB//CD，所以四边形ABCF是平行四边形，所以AF//BC．因为EF∩AF=F，PC∩BC=C，所以平面AEF//平面PBC．因为AE⊂平面AEF，所以AE//平面PBC．(2)解：因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离是点D到平面PBC距离的12．因为PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以V三棱锥P−BCD=13×S△BCD×PA=13×12×2×BC×2=23BC．在Rt△PAB中，AB=1，PB=√PA2+AB2=√4+1=√5，所以S△PBC=12×BC×√5=√52BC．设点D到平面PBC的距离为d，则13×d×√52BC=23BC，解得d=4√55，所以点E 到平面PBC 的距离是d2=2√55．【考点】点、线、面间的距离计算直线与平面平行的判定【解析】【解答】(1)证明：取CD 的中点F ，连接EF ，AF ．因为E 为PD 的中点，所以EF//PC ．因为CD =2AB ，所以AB =CF ．又AB//CD ，所以四边形ABCF 是平行四边形，所以AF//BC ．因为EF ∩AF =F ，PC ∩BC =C ，所以平面AEF//平面PBC ．因为AE ⊂平面AEF ，所以AE//平面PBC ．(2)解：因为E 是PD 的中点，所以点E 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 距离的12．因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥BC ，PA ∩AB =A ，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥PB ，所以V 三棱锥P−BCD =13×S △BCD ×PA =13×12×2×BC ×2=23BC ．在Rt △PAB 中，AB =1，PB =√PA 2+AB 2=√4+1=√5，所以S △PBC =12×BC ×√5=√52BC ．设点D 到平面PBC 的距离为d ，则13×d ×√52BC =23BC ，解得d =4√55，所以点E 到平面PBC 的距离是d2=2√55．【答案】解：(1)当a =1时，f (x )=x 2−ln x (>0)， f (x )=2x −1x =2x 2−1x.令f ′(x )=2x 2−1x =0，解得x =√22. （负值舍去）当0<x <√22时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >√22时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上，f(x)在(0,√22)上单调递减，在(√22,+∞)上单调递增． (2)f ′(x)=2ax −1x =2ax 2−1x(x >0) .当a ≤0时，f ′(x )<0，f(x)单调递减，此时f(x)仅有1个零点，不满足题意；当a >0时，令f ′(x )=0，解得x =√2a2a. 当0<x <√2a2a时，f ′(x )<0，f(x)单调递减；当x >√2a2a时，f ′(x )>0，f(x)单调递增，所以f(x)min =f (√2a2a)=12−ln √2a2a=12+12ln 2a .因为f (x )有两个零点，所以f (x )min <0，即12+12ln 2a <0，解得a <12e . 当0<a <12e 时，0<1<√2a 2a <1a ，而f (1)=a >0，f (1a )=1a +ln a . 令u (a )=1a +ln a ，当a ∈(0,12e)时，u ′(a )=a−1a 2<0，则u(a)>u (12e )=2e −ln 2−1>0，故f (x )存在两个零点．所以实数a 的取值范围是(0,12e ) . 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=x2−ln x(>0)，f(x)=2x−1x =2x2−1x.令f′(x)=2x2−1x =0，解得x=√22. （负值舍去）当0<x<√22时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>√22时，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上，f(x)在(0,√22)上单调递减，在(√22,+∞)上单调递增．(2)f′(x)=2ax−1x =2ax2−1x(x>0) .当a≤0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，此时f(x)仅有1个零点，不满足题意；当a>0时，令f′(x)=0，解得x=√2a2a.当0<x<√2a2a 时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>√2a2a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)min=f(√2a2a )=12−ln√2a2a=12+12ln2a .因为f(x)有两个零点，所以f(x)min<0，即12+12ln2a<0，解得a<12e.当0<a<12e 时，0<1<√2a2a<1a，而f(1)=a>0，f(1a )=1a+ln a .令u(a)=1a+ln a，当a∈(0,12e )时，u′(a)=a−1a2<0，则u(a)>u(12e)=2e−ln2−1>0，故f(x)存在两个零点．所以实数a的取值范围是(0,12e) .【答案】解：(1)设椭圆C的半焦距为c，由已知可得2a=4，解得a=2.∵∠F1AF2=60∘，∴在Rt△OAF2中，∠OAF2=30∘，|OA|=b，|OF2|=c，∴|AF2|=a=2，∴cos∠OAF2=ba =√32，解得b=√3，∴椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，由OM→⋅ON→=0，可得OM→⊥ON→，结合椭圆的对称性，可设M(x,x)，N(x,−x)，则d=|x|.将点M(x,x)代入椭圆C的方程，得x24+x23=1，解得x=±2√217，∴d=2√217；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，此时点O到直线MN的距离d=2，即d2=m21+k2.设M(x1,y1)，N(x2,y2)，联立{y=kx+m，x24+y23=1，整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，则Δ=64k2m2−4(3+4k2)(4m2−12)>0，化简得：m2<4k2+3，∴x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)⋅4m2−123+4k2−8k2m23+4k2+m2=7m2−12(k2+1)3+4k2.又∵OM→⋅ON→=0，∴x1x2+y1y2=0，即7m2−12(k2+1)3+4k=0，解得m2=127(1+k2)，∴d2=127，得d=2√217.综上所述，点O到直线MN的距离d是2√217，是定值．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题解三角形椭圆的标准方程【解析】【解答】解：(1)设椭圆C 的半焦距为c ，由已知可得2a =4，解得a =2.∵ ∠F 1AF 2=60∘，∴ 在Rt △OAF 2中，∠OAF 2=30∘，|OA|=b ，|OF 2|=c ， ∴ |AF 2|=a =2， ∴ cos ∠OAF 2=b a=√32，解得b =√3， ∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)当直线MN 的斜率不存在时，MN ⊥x 轴，由OM →⋅ON →=0，可得OM →⊥ON →，结合椭圆的对称性，可设M (x,x )，N (x,−x )，则d =|x|. 将点M (x,x )代入椭圆C 的方程，得x 24+x 23=1，解得x =±2√217， ∴ d =2√217；当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =kx +m ，此时点O 到直线MN 的距离d =√1+k 2，即d 2=m 21+k 2.设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{y =kx +m ，x 24+y 23=1，整理得：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，则Δ=64k 2m 2−4(3+4k 2)(4m 2−12)>0，化简得：m 2<4k 2+3， ∴ x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，∴ x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m) =(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=(1+k 2)⋅4m 2−122−8k 2m 22+m 2 =7m 2−12(k 2+1)3+4k 2.又∵ OM →⋅ON →=0，∴ x 1x 2+y 1y 2=0，即7m 2−12(k 2+1)3+4k 2=0，解得m 2=127(1+k 2)，∴ d 2=127，得d =2√217. 综上所述，点O 到直线MN 的距离d 是2√217，是定值．【答案】解：(1)曲线C 1的直角坐标方程为√3x −y =2√3+2，即y =√3x −2√3−2，曲线C 2的参数方程为{x =3(1+cos t )，y =−2+3sin t（t 为参数）消去参数t ，可得C 2的普通方程为(x −3)2+(y +2)2=9． (2)曲线C 1的参数方程可写为{x =2+12s ，y =−2+√32s（s 为参数），代入曲线C 2的普通方程，得(s2−1)2+(√3s 2)2=9，整理得s 2−s −8=0.设A ，B 所对应的参数分别为s 1，s 2，则{s 1+s 2=1，s 1s 2=−8，∴ |AB|=|s 1−s 2|=√12+4×8=√33.【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线的参数方程参数方程的优越性直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：(1)曲线C 1的直角坐标方程为√3x −y =2√3+2，即y =√3x −2√3−2，曲线C 2的参数方程为{x =3(1+cos t )，y =−2+3sin t（t 为参数）消去参数t ，可得C 2的普通方程为(x −3)2+(y +2)2=9． (2)曲线C 1的参数方程可写为{x =2+12s ，y =−2+√32s（s 为参数），代入曲线C 2的普通方程，得(s2−1)2+(√3s 2)2=9，整理得s 2−s −8=0.设A ，B 所对应的参数分别为s 1，s 2，则{s 1+s 2=1，s 1s 2=−8，∴ |AB|=|s 1−s 2|=√12+4×8=√33. 【答案】解：(1)f(x)=|2x −1|+|x +2|={−3x −1,x ≤−2,−x +3,−2<x <12,3x +1,x ≥12.由f(x)>4，可得{x ≤−2,−3x −1>4或{−2<x <12,−x +3>4或{x ≥12,3x +1>4,解得x ≤−2或−2<x <−1或x >1，所以不等式的解集为{x|x <−1或x >1}．(2)由(1)易求得f (x )min =f(12)=3×12+1=52，即m =52，所以3a −4b =2m =5，即3a −4b −5=0．因为点(2,−1)到直线3x −4y −5=0的距离d =√32+(−4)2=1 ，所以(a −2)2+(b +1)2的最小值为d 2=1. 【考点】绝对值不等式的解法与证明点到直线的距离公式两点间的距离公式【解析】本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想．【解答】解：(1)f(x)=|2x −1|+|x +2|={−3x −1,x ≤−2,−x +3,−2<x <12,3x +1,x ≥12.由f(x)>4，可得{x ≤−2,−3x −1>4或{−2<x <12,−x +3>4或{x ≥12,3x +1>4,解得x ≤−2或−2<x <−1或x >1，所以不等式的解集为{x|x <−1或x >1}．(2)由(1)易求得f (x )min =f(12)=3×12+1=52，即m =52，所以3a −4b =2m =5，即3a −4b −5=0．因为点(2,−1)到直线3x −4y −5=0的距离d =22=1 ，所以(a −2)2+(b +1)2的最小值为d 2=1.。

河南省南阳市数学高三上学期理数10月月考试卷

河南省南阳市数学高三上学期理数 10 月月考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2016 高二下·咸阳期末) 设集合 U={-2，-1，0，1，2},A={1，2},B={-2，-1，2}则等于（）A . {1}B . {1,2}C . {2}D . {0,1,2}2. （2 分） (2017·商丘模拟) i 为虚数单位，若（）A.1 B . ﹣1 C.7 D . ﹣7（a，b∈R）与（2﹣i）2 互为共轭复数，则 a﹣b=3. （2 分） (2019 高三上·河北月考) 已知向量值为（）A.0的夹角为，则的B.C.D.4. （2 分） (2020 高二上·青铜峡期末) “”是“第 1 页共 12 页”的（）A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 5. （2 分）根据右边给出的数塔猜测 123456 9+8=（）A . 1111110 B . 1111111 C . 1111112 D . 1111113 6. （2 分）若关于 x 的方程 A.在上有解，则 m 的取值范围是（）B. C.D.7. （2 分） (2015 高一下·河北开学考) 已知 y=f（x+1）是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x∈[1，2）时，f（x）=log2x，设 a=f（），，c=f（1），则 a，b，c 的大小关系为（）A . a＜c＜bB . c＜a＜b第 2 页共 12 页C . b＜c＜a D . c＜b＜a 8. （2 分） △ABC 所在平面上一点 P 满足 A . 2∶3 B . 1∶3 C . 1∶4 D . 1∶6，则△PAB 的面积与△ABC 的面积之比为（）9. （2 分）在等比数列{an}中，，则 a3=（）A . ±9B.9C . ±3D.310. （2 分） (2017·山西模拟) 执行若图所示的程序框图，若输入的 n=216，则输出 s 的值为（）A. B.C. D.011. （2 分） (2018 高一下·吉林期中) 已知函数的一个最低点为 A，离 A 最近的两个最高点分别为 B 与 C，则第 3 页共 12 页（）图像上A.B.C.D. 12. （2 分）某种细菌经 60 分钟培养，可繁殖为原来的 2 倍，且知该细菌的繁殖规律为 y=10ekt ，其中 k 为常数，t 表示时间（单位：小时），y 表示细菌个数，10 个细菌经过 7 小时培养，细菌能达到的个数为（） A . 640 B . 1280 C . 2560 D . 5120二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2017·昆明模拟) 实数 x，y 满足则的最小值为________．14. （1 分） (2017 高一下·苏州期末) 已知 cosθ=﹣ ，θ∈（，π），则 cos（ ﹣θ）=________．15. （1 分）若直线 ax+by+1=0（a、b＞1）过圆 x2+y2+8x+2y+1=0 的圆心，则 + 的最小值为________．16. （1 分） (2019 高一上·石河子月考) 已知函数数的取值范围________.三、解答题 (共 7 题；共 70 分)为上的单调递减函数，则实17. （10 分） (2017·红河模拟) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 asinA=（ b ﹣c）sinB+（ c﹣b）sinC．（1）求角 A 的大小；第 4 页共 12 页（2）若 a=，cosB=，D 为 AC 的中点，求 BD 的长．18. （10 分） (2017 高一上·昌平期末) 已知函数为偶函数，且函数 y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（0＜φ＜π，ω＞0）（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数 y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y=g（x）的图象，求 g（x）的单调递减区间．19. （10 分）已知等差数列满足(I)求的通项公式；(II)设等比数列满足问：与数列的第几项相等？20. （10 分） (2019 高一上·柳州月考) 已知函数．（1）求函数的定义域；（2）利用对数函数的单调性，讨论不等式中的的取值范围．21. （10 分） (2017·黑龙江模拟) 已知函数 f（x）=xlnx﹣ x2（a∈R）．（1）若 x＞0，恒有 f（x）≤x 成立，求实数 a 的取值范围；（2）若函数 g（x）=f（x）﹣x 有两个相异极值点 x1、x2，求证：+＞2ae．22. （10 分） (2019 高三上·凤城月考) 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线的方程是，直线的参数方程为参数，），设，直线与曲线交于，两点.（为（1）当时，求的长度；（2）求的取值范围.第 5 页共 12 页23. （10 分） (2018 高二下·黑龙江期中) 已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．第 6 页共 12 页一、单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页共 12 页16-1、三、解答题 (共 7 题；共 70 分)17-1、17-2、18-1、第 8 页共 12 页19-1、 20-1、第 9 页共 12 页20-2、 21-1、第 10 页共 12 页21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。

2020-2021学年河南省南阳市某校高三(上)10月月考数学试卷有答案

2020-2021学年河南省南阳市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 设i 为虚数单位，a ∈R ，“复数z =a 22−i 20201−i是纯虚数”是“a =1”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2. 已知集合A ={x|x−1x−2≤0}，B ={y|y =√4−x 2}，则A ∩B =( ) A.⌀ B.(−∞, 2] C.[1, 2) D.[0, 2]3. 已知定义在[m −5,1−2m]上的奇函数f(x)，满足x >0时，f(x)=2x −1，则f(m)的值为( ) A.−15 B.−7 C.3 D.154. 已知a ，b ，c 均为正实数，若2a =log 2a −1，2−b =log 12b ，(12)c =log 2c ，则( )A.c <a <bB.c <b <aC.a <b <cD.b <a <c5. 要得到函数f (x )=cos (π2x −π6)的图象，可将函数g (x )=sin π2x 的图象（）A.向左平移π3个单位长度B.向左平移23个单位长度C.向右平移π3个单位长度 D.向右平移23个单位长度6. 已知cos (π2−α)=2cos (π+α)，且tan (α+β)=13，则tan β的值为( ) A.−2 B.−1 C.3 D.77. 如图，在△ABC 中，AN →=2NC →，P 是BN 上一点，若AP →=tAB →+13AC →，则实数t 的值为( )A.16 B.23C.12D.348. 设向量a →，b →满足a →+b →=(3,1)，a →⋅b →=1，则|a →−b →|=( ) A.2 B.√6C.2√2D.√109. 已知函数f (x )的图像如图所示，则f (x )的解析式可能是( )A. (x 2−π24)(x 2−9π24)x 3B.|tan 4x|xC.1+cos 2x 2xD.|sin x 2|3x10. 已知数列{a n }的通项公式a n =n +100n，则|a 1−a 2|+|a 2−a 3|+⋯+|a 99−a 100|=( ) A.162 B.175 C.180 D.21011. 已知a =log 0.55，b =log 32，c =20.3，d =(12)2，从这四个数中任取一个数m ，使函数f(x)=13x 3+mx 2+x +2有极值点的概率为( ) A.14B.12C.34D.112. 已知函数f(x)=e xx −ax,x∈(0,+∞)，当x2>x1时，不等式f(x1)x2<f(x2)x1恒成立，则实数a的取值范围为( )A.(−∞,e]B.(−∞,e)C.(−∞,e2) D.(−∞,e2]二、填空题已知等比数列{a n}中，各项都是正数，前n项和为S n，且4a3，a5，2a4成等差数列，若a1=1，则S4=________.已知y=f(x)是定义在R上的偶函数，且它在[0, +∞)上单调递增，那么使得f(−2)≤f(a)成立的实数a的取值范围是________．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3−cos A)sin B=sin A(1+ cos B)，a+c=6，则△ABC的面积的最大值为________.已知函数f(x)=(2−a)(x−1)−2ln x．若函数f(x)在(0, 12)上无零点，则a的最小值为________．三、解答题已知集合A={x∈R|0<ax+1≤5}，B={x∈R|−12<x≤2}(a≠0)．(1)A，B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，试说明理由；(2)若命题p:x∈A，命题q:x∈B，且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+kn+k.(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n.已知函数f(x)=sin x cos(π2+x)+√3sin x cos x．(1)求函数f(x)的最小正周期及对称中心；(2)若f(x)=a在区间[0,π]上有两个解x1，x2，求a的取值范围及x1+x2的值．2abc，且b sin 在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，若△ABC的面积S=14B−a sin A=2sin B sin C−2sin2C.(1)求角A的大小；(2)求△ABC面积的最大值.已知函数f(x)=2ax2−2x+1，且函数f(x+1)为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若方程f(x)=m有三个不同的实数根，求实数m的取值范围．e x已知函数f(x)=x(1+a+a cos x).(1)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程；]时，f(x)≥m sin x恒成立，求m的取值范围．(2)若a=1,x∈[0,π2参考答案与试题解析2020-2021学年河南省南阳市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算虚数单位i及其性质必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】（1）先对复数进行化简整理，进而进行推断即可.【解答】解：复数z=a 22−i20201−i=a22−1+i(1+i)(1−i)=a22−12−12i=a2−12−12i，因为复数z为纯虚数，则a 2−12=0，解得a=±1，故“复数z=a 22−i20201−i是纯虚数”是“a=1”的必要而不充分条件.故选B.2.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|1≤x<2}，B={y|0≤y≤2}，∴A∩B=[1, 2)．故选C.3.【答案】A【考点】奇函数函数的求值【解析】先根据奇函数定义域关于原点对称求出m ，然后代入即可求解【解答】解：由奇函数的对称性可知， m −5+1−2m =0， ∴ m =−4，∵ x >0时，f(x)=2x −1，则f(m)=f(−4)=−f(4)=−15．故选A . 4.【答案】 C【考点】指数式、对数式的综合比较对数值大小的比较【解析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【解答】解：2a =log 2a −1，(12)b =log 12b ，(12)c =log 2c ，利用函数y =2x ，y =log 12x ，y =(12)x ，y =log 2x ，如图所示：由图象可得：a <b <c . 故选C ． 5.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】（1）根据题目所给信息进行求解即可. 【解答】解：要得到函数f(x)=cos (π2x −π6)的图象，即要使函数g(x +φ)=sin π2(x +φ)=cos (π2x −π6) ，解得φ=23，即需要将函数g(x)的图象向左平移23个单位长度. 故选B . 6. 【答案】 D【考点】两角和与差的正切公式诱导公式【解析】由题意利用诱导公式求得tan α的值，再利用两角和的正切公式，求得tan β的值．【解答】解：∵ 已知cos (π2−α)=2cos (π+α)，即 sin α=−2cos α，则 tan α=−2．又∵ tan (α+β)=tan α+tan β1−tan α⋅tan β=−2+tan β1+2tan β=13，则tan β=7. 故选D . 7. 【答案】 C【考点】向量的共线定理向量加减混合运算及其几何意义【解析】根据AN →=2NC →即可得出AC →=32AN →，进而可得出AP →=tAB →+12AN →，然后根据B ，P ，N 三点共线即可得出t 的值．【解答】解：∵ AN →=2NC →， ∴ AC →=32AN →，∴ AP →=tAB →+13AC →=tAB →+12AN →，且B ，P ，N 三点共线， ∴ t +12=1，解得t =12．故选C . 8. 【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算向量的模【解析】本题考查平面向量的运算，属于基础题．将求|a →−b →|的问题转化为求|a →−b →|2，利用|a →−b →|2=(a →−b →)2=(a →+b →)2−4a →⋅b →=|a →+b →−4a →⋅b →|2，将|a →+b →|2=10，a →⋅b →=1代入即可求解．【解答】解：∵ |a →−b →|2 =(a →−b →)2 =(a →+b →)2−4a →⋅b →=10−4=6， ∴ |a →−b →|=√6．故选B ． 9.【答案】 C【考点】函数的图象【解析】利用函数的图象特征，检验各个选项中的函数是否满足条件，从而得出结论．【解答】解：由图像可得当x >0时，f (x )≥0，故可排除选项A ；对于函数y =|tan 4x |x，当x =π8时，函数无意义，故排除选项B ；当x =π2，f(x)=0，故排除选项D . 故选C ． 10.【答案】 A【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：由对勾函数的性质知，当n ≤10时，数列{a n }单调递减，当n≥10时，数列{a n}单调递增，故|a1−a2|+|a2−a3|+⋯+|a99−a100|=(a1−a2)+(a2−a3)+⋯+(a9−a10)+(a11−a10)+(a12−a11)+(a13−a12)+⋯+(a100−a99)=a1−a10+a100−a10=1+100−(10+10)+100+1−(10+10)=162.故选A.11.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较利用导数研究函数的极值古典概型及其概率计算公式【解析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出m的范围，通过判断a，b，c，d的范围，得到满足条件的概率值即可．【解答】解：f′(x)=x2+2mx+1，若函数f(x)有极值点，则f′(x)有2个不相等的实数根，故Δ=4m2−4>0，解得：m>1或m<−1，而a=log0.55<−2，0<b=log32<1，c=20.3>1，0<d=(12)2<1，满足条件的有2个，分别是a，c，故满足条件的概率p=24=12.故选B.12.【答案】D【考点】利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ x∈(0,+∞)，∴x1f(x1)<x2f(x2).即函数g(x)=xf(x)=e x−ax2在x∈(0,+∞)时是单调增函数. 则g′(x)=e x−2ax≥0恒成立.∴2a≤e xx，令m(x)=e xx，则m′(x)=(x−1)e x，x2x∈(0,1)时，m′(x)<0,m(x)单调递减，x∈(1,+∞)时，m′(x)>0,m(x)单调递增，∴2a≤m(x)min=m(1)=e，∴a≤e.2故选D.二、填空题【答案】15【考点】等差中项等比数列的前n项和【解析】利用等差数列性质得到2a5=4a3+2a4，再利用等比数列通项得到2a1q4=4a1q2+ 2a1q3，求出公比，代入等比数列求和公式即可得到答案.【解答】解：等比数列{a n}中，各项都是正数，a1=1，∵4a3，a5，2a4成等差数列，∴2a5=4a3+2a4，即2a1q4=4a1q2+2a1q3，解得q=2，q=−1(舍去)，∴S4=1−24=15.1−2故答案为：15.【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】利用函数是偶函数得到不等式f(−2)≤f(a)等价为f(2)≤f(|a|)，然后利用函数在区间[0, +∞)上单调递增即可得到不等式的解集．【解答】解：∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0, +∞)上单调递增．∴不等式f(−2)≤f(a)等价为f(2)≤f(|a|)，即2≤|a|，∴a≤−2或a≥2.故答案为：(−∞,−2]∪[2,+∞).【答案】2√2【考点】余弦定理正弦定理基本不等式在最值问题中的应用诱导公式【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出b 的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积及基本关系式的应用求出结果．【解答】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(3−cos A)sin B =sin A(1+cos B)，整理得3sin B =sin A +sin B cos A +cos B sin A =sin A +sin C ，利用正弦定理：3b =a +c ，由于a +c =6，整理得：3b =a +c =6， ∴ 解得：b =2． ∵ a +c =6，∴ 6=a +c ≥2√ac ，整理可得：ac ≤9，（当且仅当a =c =3时等号成立） ∴ cos B =a 2+c 2−b 22ac=(a+c)2−2ac−42ac =16−ac ac．∴ sin B =√1−cos 2B =4ac×√2ac −16，∴ S △ABC =12ac ×4ac ×√2ac −16 =2√2ac −16≤2√2×9−16=2√2，当且仅当a =c =3时，等号成立．则△ABC 的面积的最大值为2√2. 故答案为：2√2. 【答案】 2−4ln 2 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题由函数零点求参数取值范围问题【解析】根据函数无零点，得到函数的导函数小于0在一个区间上不恒成立，得到函数在这个区间上没有零点，构造新函数，对函数求导，利用求最值得方法求出函数的最小值．【解答】解：因为函数f(x)在(0, 12)上无零点即f(x)<0或f(x)>0在(0, 12)上恒成立，但是f(x)<0恒成立不可能，故只有f(x)=(2−a)(x −1)−2ln x >0在(0, 12)上恒成立，即a >2−21nxx−1在(0, 12)上恒成立，令ℎ(x)=2−21nxx−1，x ∈(0, 12)，则ℎ′(x)=21nx+2x −2(x−1)2，令m(x)=2ln x −2+2x，x ∈(0, 12)，则m′(x)=−2(1−x)x 2，易得，m(x)在(0, 12)上单调递减，则可得m(x)>m(12)=−2ln 2+2>0，即ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, 12)上单调递增，ℎ(x)<ℎ(12)＝2−4ln 2，故a ≥2−4ln 2，即a 的最小值2−4ln 2．故答案为：2−4ln 2. 三、解答题【答案】解：(1)若A =B 显然a =0时不满足题意，当a >0时A ={x|−1a <x ≤4a }， ∴ {−1a =−12，4a =2，⇒a =2，当a <0时，A ={x|4a≤x <−1a}，显然A ≠B ，故A =B 时，a =2.(2)p ⇒q 得A ⊆B 且A ≠B ，0<ax +1≤5⇒−1<ax ≤4，当a =0时，A =R 不满足．当a >0时，A ={x|−1a <x ≤4a }，则{−1a ≥−12，4a <2，或{−1a >−12，4a ≤2，解得a >2.当a <0时，A ={x|4a ≤x <−1a }，则{4a>−12，−1a ≤2，⇒a <−8.综上p 是q 的充分不必要条件，实数a 的取值范围是a >2，或a <−8. 【考点】根据充分必要条件求参数取值问题集合的相等【解析】（1）集合相等，转化为元素间的相等关系求解（2）p ⇒q 得A ⊆B 且A ≠B ，转化为集合的关系求解．【解答】解：(1)若A =B 显然a =0时不满足题意，当a >0时A ={x|−1a<x ≤4a}，∴ {−1a =−12，4a=2，⇒a =2，当a <0时，A ={x|4a≤x <−1a}，显然A ≠B ，故A =B 时，a =2.(2)p ⇒q 得A ⊆B 且A ≠B ，0<ax +1≤5⇒−1<ax ≤4，当a =0时，A =R 不满足．当a >0时，A ={x|−1a <x ≤4a }，则{−1a ≥−12，4a <2，或{−1a >−12，4a ≤2，解得a >2.当a <0时，A ={x|4a≤x <−1a}，则{4a >−12，−1a ≤2，⇒a <−8. 综上p 是q 的充分不必要条件，实数a 的取值范围是a >2，或a <−8. 【答案】解：(1)当 n =1时， a 1=S 1=2+2k ，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=2n 2+kn +k −[2(n −1)2+k(n −1)+k] =4n −2+k .由4×1−2+k =2+2k ，得k =0.所以 a n =4n −2. (2)因为 b n =1a n a n+1=1(4n −2)(4n +2)=18(12n−1−12n+1)，所以T n =18(1−13)+18(13−15)+⋯+18(12n−1−12n+1)=18(1−12n+1)=n8n+4.【考点】数列的求和数列递推式等差数列的通项公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当n=1时，a1=S1=2+2k，当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n2+kn+k−[2(n−1)2+k(n−1)+k] =4n−2+k.由4×1−2+k=2+2k，得k=0.所以a n=4n−2.(2)因为b n=1a n a n+1=1(4n−2)(4n+2)=18(12n−1−12n+1)，所以T n=18(1−13)+18(13−15)+⋯+18(12n−1−12n+1)=18(1−12n+1)=n8n+4.【答案】解：(1)函数f(x)=sin x cos(π2+x)+√3sin x cos x=−sin2x+√32sin2x=−1−cos2x2+√32sin2x=sin(2x+π6)−12．所以函数的最小正周期为T=2π2=π，令2x+π6=kπ(k∈Z)，解得x=kπ2−π12(k∈Z)，所以函数的对称中心为(kπ2−π12,−12)(k∈Z)．(2)由于0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，在区间[0,π2]上有两个解x1，x2，所以12≤sin(2x+π6)<1时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0, 12)．由于函数的图象在区间[0,π2]上关于x=π6对称，故x1+x2=2⋅π6=π3．【考点】二倍角的正弦公式两角和与差的正弦公式正弦函数的周期性正弦函数的对称性三角函数的周期性及其求法【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和对称中心．（2）利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出参数a的范围和x1+x2的值．【解答】解：(1)函数f(x)=sin x cos(π2+x)+√3sin x cos x=−sin2x+√32sin2x=−1−cos2x2+√32sin2x=sin(2x+π6)−12．所以函数的最小正周期为T=2π2=π，令2x+π6=kπ(k∈Z)，解得x=kπ2−π12(k∈Z)，所以函数的对称中心为(kπ2−π12,−12)(k∈Z)．(2)由于0≤x≤π2，所以π6≤2x+π6≤7π6，在区间[0,π2]上有两个解x1，x2，所以12≤sin(2x+π6)<1时，函数的图象有两个交点，故a的范围为[0, 12)．由于函数的图象在区间[0,π2]上关于x=π6对称，故x1+x2=2⋅π6=π3．【答案】解：(1)由S=12ab sin C=14abc，∴csin C =2=bsin B=asin A，∴由b sin B−a sin A=2sin B⋅sin C−2sin2C=b sin C−c sin C，即b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(2)∵A=π3，∴a=2sin A=√3，∴a2=3=b2+c2−2bc cos A=b2+c2−bc≥bc，∴S△ABC=12bc sin A≤32sin A=3√34，即△ABC面积的最大值为3√34. 【考点】基本不等式在最值问题中的应用余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由S=12ab sin C=14abc，∴csin C =2=bsin B=asin A，∴由b sin B−a sin A=2sin B⋅sin C−2sin2C=b sin C−c sin C，即b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =12，∵A∈(0,π)，∴A=π3．(2)∵A=π3，∴a=2sin A=√3，∴a2=3=b2+c2−2bc cos A=b2+c2−bc≥bc，∴S△ABC=12bc sin A≤32sin A=3√34，即△ABC面积的最大值为3√34.【答案】解：(1)由题可知a≠0，所以函数f(x)=2ax2−2x+1的对称轴为x=12a，由于y=f(x+1)是偶函数，所以f(−x+1)=f(x+1)，即f(x)=2ax2−2x+1关于x=1对称，所以12a =1，即a=12．所以f(x)=x2−2x+1．(2)方程f(x)=me x有三个不同的实数根，即方程m=e x⋅f(x)有三个不同实数根．令g(x)=e x⋅f(x)，由(1)有g(x)=(x2−2x+1)e x，所以g′(x)=(x2−1)e x，令g′(x)=0，则x=−1或x=1．当x<−1时，g′(x)>0；当−1<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0．故当x<−1时，g(x)单调递增；当−1<x<1时，g(x)单调递减；当x>1时，g(x)单调递增．所以，当x=−1时，g(x)取得极大值g(−1)=4e；当x=1时，g(x)取得极小值g(1)=0．又由于g(x)≥0，且当x→−∞时，g(x)→0；当x→+∞时，g(x)→+∞．所以，方程m=e x⋅f(x)有三个不同实数根时，m的范围是(0,4e)．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）由于函数f(x)＝2ax2−2x+1，的对称轴为x=12a，且函数f(x+1)为偶函数．所以f(x)的对称轴为x＝1，即可解得a的值，得f(x)的解析式；（2）方程f(x)=me x有三个不同的实数根，即方程m＝e x⋅f(x)有三个不同实数根．把判断方程f(x)e x＝m何时有三个不同的实数根的问题，转化为研究函数的零点问题，通过导数得到函数的极值，把函数的极值同m进行比较，得到结果．【解答】解：(1)由题可知a≠0，所以函数f(x)=2ax2−2x+1的对称轴为x=12a，由于y=f(x+1)是偶函数，所以f(−x+1)=f(x+1)，即f(x)=2ax2−2x+1关于x=1对称，所以12a =1，即a=12．所以f(x)=x2−2x+1．(2)方程f(x)=me x有三个不同的实数根，即方程m=e x⋅f(x)有三个不同实数根．令g(x)=e x⋅f(x)，由(1)有g(x)=(x2−2x+1)e x，所以g′(x)=(x2−1)e x，令g′(x)=0，则x=−1或x=1．当x<−1时，g′(x)>0；当−1<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0．故当x<−1时，g(x)单调递增；当−1<x<1时，g(x)单调递减；当x>1时，g(x)单调递增．所以，当x=−1时，g(x)取得极大值g(−1)=4e；当x=1时，g(x)取得极小值g(1)=0．又由于g(x)≥0，且当x→−∞时，g(x)→0；当x→+∞时，g(x)→+∞．所以，方程m=e x⋅f(x)有三个不同实数根时，m的范围是(0,4e)．【答案】解：(1)由f(x)=x(1+a+a cos x)，得f′(x)=1+a+a cos x−ax sin x，所以f(π)=π，f′(π)=1，所以曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为：y−π=x−π，即y=x．(2)当a=1时，f(x)=x(2+cos x)，则f(x)≥m sin x等价于x(2+cos x)≥m sin x，当x∈[0,π2]时，x(2+cos x)≥0，sin x≥0，当m≤0时，f(x)≥m sin x恒成立；当m>0，x∈[0,π2]时，x(2+cos x)≥m sin x恒成立等价于xm −sin x2+cos x≥0，令g(x)=xm −sin x2+cos x，则g′(x)=1m −1+2cos x(2+cos x)2，设t=cos x，则t∈[0,1]，ℎ(t)=1+2t(2+t)2，ℎ′(t)=−2(t+2)(t−1)(2+t)4=−2(t−1)(2+t)3≥0，所以ℎ(t)在[0,1]上单调递增，所以ℎ(t)的值域为[14,13 ]．①当1m ≥13，即0<m≤3时，g′(x)≥0，g(x)为[0,π2]上的增函数，所以g(x)≥g(0)=0，符合条件；②当0<1m ≤14，即m≥4时，g′(x)≤0，g(x)为[0,π2]上的减函数，所以当x∈(0,π2]时，g(x)<g(0)=0，不符合条件，舍去；③当14<1m<13，即3<m<4时，存在x0∈(0,π2)，使g′(x0)=0，且x∈(0,x0)时，g′(x)<0，此时g(x)<g(0)=0，不符合条件，舍去．综上，所求的m的取值范围为(−∞,3]．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：(1)由f(x)=x(1+a+a cos x)，得f′(x)=1+a+a cos x−ax sin x，所以f(π)=π，f′(π)=1，所以曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为：y−π=x−π，即y=x．(2)当a=1时，f(x)=x(2+cos x)，则f(x)≥m sin x等价于x(2+cos x)≥m sin x，当x∈[0,π2]时，x(2+cos x)≥0，sin x≥0，当m≤0时，f(x)≥m sin x恒成立；当m>0，x∈[0,π2]时，x(2+cos x)≥m sin x恒成立等价于xm −sin x2+cos x≥0，令g(x)=xm −sin x2+cos x，则g′(x)=1m −1+2cos x(2+cos x)2，设t=cos x，则t∈[0,1]，ℎ(t)=1+2t(2+t)2，ℎ′(t)=−2(t+2)(t−1)(2+t)4=−2(t−1)(2+t)3≥0，所以ℎ(t)在[0,1]上单调递增，所以ℎ(t)的值域为[14,13 ]．①当1m ≥13，即0<m≤3时，g′(x)≥0，g(x)为[0,π2]上的增函数，所以g(x)≥g(0)=0，符合条件；②当0<1m ≤14，即m≥4时，g′(x)≤0，g(x)为[0,π2]上的减函数，所以当x∈(0,π2]时，g(x)<g(0)=0，不符合条件，舍去；③当14<1m<13，即3<m<4时，存在x0∈(0,π2)，使g′(x0)=0，且x∈(0,x0)时，g′(x)<0，此时g(x)<g(0)=0，不符合条件，舍去．综上，所求的m的取值范围为(−∞,3]．。

2021学年高三上学期月考数学(理)答案(河南省南阳市第一中学)-(185)

12 ，
将 y sin , 2 x2 y 2 代入，
得 x2 y2 1， 43
所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y2 1 . 43
（2）由（1）可设曲线
C
的参数方程为
x y
2 cos , 3 sin
（
为参数），
则曲线 C 上的点到 l 的距离
d | 2 cos 2
3 sin
h x h 0 0 恒成立，即 x h x 0 恒成立；
若
x
π 2
,
0
，则
h
x
ex
cos
x
，
h
x
ex
sin
x
在
π 2
,
0
上为增函数，
又
h0
1，
h
π 2
π
e2
1
0 ，故存在唯一
x0
π 2
, 0
，使得
h x0
0
.
当
x
π 2
,
x0
时，h
x
0
，h
x
为减函数；
x
x0
,
0
时，h
x
0
，h
x
为增函数.
2
a
a
上单调递减，在
2
a
a
,
单调递增，
∴
f
x min
f
2
a
a
f
1
0 ，故 0 a 1不满足题意.
综上， a 的取值范围为1, .
21．（1） f x ex sin x ，令 g x ex sin x ， x 0 ，则 g x ex cos x .

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本题正确选项： D
【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集混合运算，属于基础题
.
r
r
3. 已知向量 a 1,2 ， b
r 1,0 ， c
3,4 ，若
为实数，
r a
rr b / /c ，则
（）
A. 2
【答案】 C
B. 1
1
C.
2
D. 2
-1-
【分析】
根据向量坐标运算可求得 ar
r b
1
,2 ；由向量共线坐标表示可构造方程求得结果
.
【详解】 ar
r b
1,2
,0 1 ,2
Q ar
r b
/ / cr
41
2 3，解得：
1
2
本题正确选项： C
【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值的问题，关键是能够熟练掌握向量的坐标运算
.
24
4. 已知 α （ - ， 0）且 sin2 α＝- ，则 sin α+cosα=（）
4
25
1
A.
5
【答案】 A
A. 6
B. 7
C. 12
D. 13
-2-
南阳市一中 2019 年高三年级第三次月考
理数试题
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）
1. 复数 1 i 的虚部是（） i
A. i
B. 1
C. 1
【答案】 B
D. i
试题分析：考点：复数的概念和运算 .
，虚部为 -1.
2. 已知 R是实数集， M A. 1,2
{ x | 2 1}, N { y | y x 2 1} ，则 (CR M ) I N （） x
1
B. -
5
7 C. -
5
7 D.
5
sin 2 sin sin
2sin cos cos
cos
24
,又
25
0 ， sin 2 cos2
1
，选 A.
5
α （ - ， 0 ），所以 sin 4
2sin cos (sin cos )2
0,cos 0 ，且
24 1
1
，所以
25 25
5. 在 ΔABC中， a x ， b 2, B 45 ，若 ΔABC有两解，则 x 的取值范围是（
）
A. (2, 2 2)
【答案】 A
B. (0, 2)
C. (2, )
D. ( 2, 2)
b 【详解】因为 ΔABC有两解，所以 b a
sin 45
2 a 2 2 2sin x
cos x
在 y 轴右侧的交点自左向右依次记为 M1，
2
2
2
uuuuuuur M2， M3，…，则 | M 1M 13 |等于（）
B. 1,2
C. (0，2)
D. 0,2
【答案】 D
【分析】由分式不等式解法和二次函数值域可求得集合果.
M 和集合 N ，根据补集和交集的定义可求得结
2
【详解】由
1得： x 0 或 x 2 ，即 M
x
,0 U 2,
CR M 0,2
Q y x2 1 的值域为 1, ，即 N
1,
CRM I N 0,2