横截面上的最大正应力

(2)
y2 [ ]
例6：图示外伸梁，受均布载荷作用，材
料的许用应力［σ］=160 MPa，校核该梁 的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
10 kN / m
200
2m
4m
Fs( kN) 25 45 kN
100
15kN 解：由弯矩图可见
Mmax 20 kN m
20 M (kN m)
B max
4 88 Iz
46.1MPa
例8：简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应
变片，测得其应变ε= 6×10-4，材料的弹性 模量 E=200GPa，求载荷P的大小。
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
解：C点的应力 C E 200 103 6 104
120MPa
C截面的弯矩 MC C Wz 640 N m
15 11.25
max
M max Wz
20 103 0.1 0.22
6
30MPa < [ ]
该梁满足强度条件，安全 20
例7：图示铸铁梁，许用拉应力[σ+ ]=30MPa，
许用压应力[σ- ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，
试校核此梁的强度。
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
B 300 200
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力
C
MC Wz
15MPa
应变值
C
E
15 106 200 109
7.5 105=75με
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例10：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长
为 10 mm，E=10GPa，求载荷 P 的大小。
第六章
圆环：
复 习
I y I z I z大 I z小
D4 d 4
64 64
D4 (1 4 )
64
其中 d
D
y
z
d D
bh3 I Z 12
d4
I Z 64
WZ
bh2 6
WZ
d 3
32
h
Z
b
d
Z
IZ
(D4
64
d4)
D4
64
(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
Z
d D
横截面上的最大正应力：
支座位置直接影响支座截面和跨
中截面上的弯矩值。当中性轴为截
a
a
面的对称轴，最大拉、压应力相等
l
时，只有支座处截面与跨中截面之
弯矩的绝对值相等，才能使该梁的
ql2 qla
最大弯矩的绝对值为最小，从而使 其最大正应力为最小。
82
⊕
qa2
qa2
2
2
ql2 qla qa2
82 2
取有效值 a 0.207 l
P
300
A
C
B 200
2m
2m
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 ( x) d x l/2 M ( x) d x
0E
0 Wz E
l/2 P x
dx
Pl2
0 2Wz E
16Wz E
P
16Wz E AC l2
16 42
0.2 0.32 6
1010
5 103
150 kN
P
a Pa
C2 A
2D B
l
l
2
2
解：
主梁AB
P 2
A
P 2
B
La M2
M max AB
P (l a) 4
La 2
副梁CD
P
C
D
a
M
Pa M max CD 4
主梁AB的最大弯矩 副梁CD的最大弯矩
P M max AB 4 (l a)
Pa M max CD 4
由 M max AB M max CD
由 MC 0.5RA 0.5 0.4P 0.2P 640 N m
得 P 3.2kN
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
例9：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下
边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试 问该应变片所测得的应变值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
由此得 b d
3 h d2 b2 2 d
3
h 2 ≈3:2
b
dh b
例12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示,已知材料许用拉、
压应力分别为
30MPa 和 90MPa
试根据截面最为合理的要求，确定T形梁横截面的
P2 b
例3：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽
度减小一半时，从正应力强度条件考虑，
该梁的承载能力将是原来的多少倍？
解： 由公式
max
M max Wz
M max bh 2
6
可以看出：该梁的承载能力将是原来的2倍。
例4：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD
的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料 相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度 a为多少？
max
M y1 IZ
max
M y2 IZ
y2 y1
当中性轴是横截面的对称轴时：
y1 y2 ymax
max
max
max
max
M ymax IZ
M WZ
y
Wz
Iz y max
Wz: 抗弯截面模量
例1：图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试
求当最大正应力为最小时的支座位置。
q
解：作弯矩图
A
x
dx C
2m
2m
300 B
200
例11：我国营造法中，对矩形截面梁给出的
尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明： 从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近 最佳比值。
（使Wz最大）
dh b
解： b2 h2 d 2
bh2 b(d 2 b2 )
Wz 6
6
Wz d 2 b2 0 b 6 2
P (l a) P a
4
4
得 a l 2
例5：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应
力和许用压应力分别为［σ+］和［ σ-］，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少? (Ｃ为截面形心)
P
y1
y2
Cz
解：
max
M max y1 Iz
[ ]
max
M max y2 Iz
[ ]
(1)
(2)
(1) 得： y1 [ ]
88
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
2.5kN
10.5kN
M ( kN m) 2.5
C截面：
C
max
2.5 88
Iz
28.8 MPa
满足强度要求
4
Hale Waihona Puke Baidu
C max
2.5 52
I z 17.0 MPa
B截面：
B
max
4 52
Iz
27.3 MPa
本题
可不必计算
C max
为什么？
例2：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力
均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力
强度条件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？
P1 P2
P
h
z
b
l
z
h b
(b) (a)
解：
max 1
M max 1 Wz 1
P1l bh2
6
max 2
M max 2 Wz 2
P2l hb2
6
由 max 1 max 2 [ ] 得: P1 h