一类退化抛物型方程组解的渐近性质
一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程解的唯一性
一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程解的唯一性袁海君【摘要】主要利用了凸集的有序性,证明了一类p-Laplacian椭圆抛物型偏微分方程即:ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u) =f(t,x)的解的唯一性,其定义在区域(0,T)×Ω,其中Ω是RN的一个有界区域(N≥1),边界(a)Ω是C2光滑的p≥2,ρ(u(0,x))=ρ0.【期刊名称】《山东商业职业技术学院学报》【年(卷),期】2014(014)005【总页数】3页(P124-126)【关键词】p-Laplacian;凸集;有序性;唯一性【作者】袁海君【作者单位】山东商业职业技术学院,山东济南250103【正文语种】中文【中图分类】O172目前，物理学、生物化学、医学、控制论等学科的实际问题均可以通过偏微分方程来解决。
人们对其的研究日渐深入，并取得了很多重要的成果，使得这方面的理论日趋完善。
本文研究一类具有初边值问题的椭圆抛物型偏微分方ρt(u)-▽·(|▽u|p-2▽u)=f(t,x)其中，(t,x)∈(0,T)×Ω且ρ(u(0,x))=ρ0其中Ω是RN的一个有界区域(N≥1)，ρ:R→R是有界的非减的Lipschitz连续的函数，其中Lipschitz常数Cp>0。
近年来具有上述初值的椭圆抛物型方程解的问题受到越来越多的关注，在工程力学方面应用性越来越广泛。
文献[1]已经证明了该方程解的存在性。
接下来利用解的有序性来证明该方程解的唯一性。
首先结合文献[2]做如下假设(a)如果和▽，那么。
(b)对任意的和,并且有,有).为了去陈述下面的定理，接下来定义在凸集间的有序关系。
定义1对于两凸集⊂H,如果下面的结论成立，即对所有的1,有.我们就认为，并写作。
下面的引理主要是和解的有序性有关，而解的有序性又是由给定的数ρ0，f和K1(t)来决定的。
引理1(解的有序性)若u和分别是(*;ρ0,f,K1(t))和的解，并假设对所有的t∈[0,T]，有。
拟线性退化抛物方程组解的整体存在和有限爆破
方 向上充 分窄 ， 则式 （ ） ４ 的解 整体存 在 ；ｉ） （ｉ 如果 初值 充分 大 ， ｉ 则式 （ ） ４ 的每个 非零 解都 在有 限时 刻爆 破．
（） ｂ 如果 ｐ ＞ｍｎ （） ｑ ｉ对任 意 的 ｎ， 如果初 值充 分 小 ， （ ） 式 ４ 的解 整体 存在 ；ｉ 对任 意 的 ｎ， （ ） （ｉ ） 式 ４ 有解
在有 限时 刻爆破 ． 献 ［ ］ 文 ４ 研究 了反应 项为 幂 函数形 式 的一类 由三 个方 程组 成 的非线性 扩散 方 程组解 的整 体 存 在和 有 限爆 破性 质． 文献 ［ ３ 究 了微 分方 程数 值解 在连 续铸 造 中的应 用． ５研
定理 １ 当 ｍｌ ｌ ｍ２ ２ ｍ３ ” ＜ 或 ＜ 或 ＜ ３
应项和扩散项 的指数满足 不同条件时 ， 方程组 的解具有 不同的性质．
关 键 词 ： 线 性 ， 化 抛 物方 程组 ， 体 存 在 ，有 限 爆 破 拟 退 整
中 图分 类 号 ： ７ ． ６ Ｏ１５ ２ 文献 标 志 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ３ ４０ （０ ７ Ｏ 一 Ｏ ９ 一 Ｏ １７－ ６２２０）１ Ｏ９ ４
笔 者研 究下 列一 类拟 线性 退 化抛 物方 一 △“ ｌ “ ｌ ＋ ” ， 一△ ２ ＋ ” ， 一△ ３ ＋ 。 ， ｚ， ） Ｏ Ｘ （ Ｔ） ｅ （ ｔＥ ０， （） １ ｕ ｘ， ） ０， （ ￡ 一 ０， ｘ， ） ０ （ ￡ ∈ ａ × （ Ｔ） （ ￡一 ｖ ｘ， ） ｗ（ ￡ 一 ， ｚ， ） ｎ ０，
式 （ ） 以用 来描 述化 学反 应 中三种 反 应物 的反 应变 化 ， 传 导过程 中三种介 质燃 料混 合体 的传 热情 １可 热
况 或生 态 系统 中三个 种群 的演 化情 况． 于 单个 方程 ［ ： 对 １ ］
一类拟线性退化抛物型方程组解的存在性与爆破
Ｋ ｙ ｗ ｄｓ — ａ ｌｃ ａ ｓ ｓｅ ；ｅ ｍｐ ｒｓ ｎ ｐ ｉ ｃ ｐ ｅ ｘｓｅ ｃ ；ｂｏ ｕ ｅ ｏｒ ：ｐ Ｌ ｐ ａ ｉ ｎ￣ ｔｍ ｙ ｏ ａｉｏ ｒ ｉ ｌ ；ｅ ｉｔｎ ｅ ｌｗ— ｐ ｎ
考 虑如 Ｆ发 展型 ｐＩ ｐａｉ —ａ ｔ ａ ｅ ｎ方程绀 ：
（）， ． ）
∈ ｃ ｏ Ｔ Ｌ ） ０ Ｔ （ ， ； （ ）ｎ Ｌ （ ， ；
为 了利用 上下 解 方法证 明解 的全 局 存在 性 与爆 破 ， 先 给 出比较原 理 ． 首
关键 词 ： ・ａ ｌ ｉ Ｐ Ｌ ｐａ ａ ｃ ｎ方程 组 ；比较 原理 ；存 在 性 ；爆破 中图分类 号 ： １ ５ ２ ０ ７ ． 文 献标 志码 ： Ａ 文 章编 号 ： ６ １５ ８ （ ０ ０ ０ － ０ － １７ —４ ９ ２ １ ） ３０ ６ ３ ４ ０
Ｅｘｓｅ ｃ ｎ ｌ ｗ－ ｐ ｏ ｏ ｕ ｉｎ ｏ ａ Ｃｌｓ ｆ ｉｔ ｎ ｅ ａ ｄ Ｂ ｏ ｕ ｆＳ ｌ ｔ ｓ ｔ ａ ｓｏ ｏ
第４ ８卷
第 ３期
吉 林 火 学 学 报 （理 学 版 ）
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类 拟 线 性 退化 抛 物 型 方 程 组 解 的 存 在 性 与 爆 破
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退化抛物方程组解的全局存在及爆破速率
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摘要 本文运用正则化方法证明了一类退化抛物方程组解的存在唯一性 ， 上下解方 法， 讨论了解的全局存在性与爆破， 在一定的初值条件下利用积分方法得到了解的爆
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１４ ３
南 京大学 学报数 学 半年刊
２０ 年 ５月 ０７
引理 ２１ 设 １ １ ２ ＯＰ口ｚ １初值 （０ｚ，ｏｘ） ． ＞Ｃ ＞ ＞ ，，，ｍ ． ， “（）ｖ（） 满足 条件 （ ）（４ Ｃ１。 ） Ｃ （ （，） ， ，） （ （，） （，） ｕ，３￡， （ ｔ ， ｕ ｚｔ， ｚｔ） ７ ） ｕ
弓理 ２ 假设初值 （ （ ， （ ） Ｉ ， ２ ｕ ｚ ｕ ｚ 满足条件 （１ （４ 则 ０ ）０ ） ｃ ）ｃ ） 方程（ １的解 （ （ ｔ （ ｔ － ， ２） ． ｕｚ） ｚ） ，， ，）
关于 ｔ 为增 函数． 引理 ２ 假设 初值 （Ｏｚ，０ｚ） ， ３ Ｕ（）ｕ（） 满足条 件 （ ）（４， Ⅱ ＣＩ Ｃ ）贝 存在正 常数 和 与 Ｅ无关 的上 。 界 ｋ，２使 得方 程组 （． 的解 （ ｚ￡， （，）满 足 ｘ ， ２１ ） ｕ （，） ３ｔ ７ ） （ｏｚ ＋ＥＶ（） ） （ ｚｔ， ｚ ｔ （１七）（，） Ｄｒ． ｕ （） ，ｏＺ ＋Ｅ ｕ （， ｕ（， ） 七，２，ｚｔ ∈－ ｏ ） ） 因此 Ｅ ０时 ，ｕ （，） （， ） 限存 在， （ ｚｔ， ３ｔ 极 ７） 记 （（， ，（，） ｉ （ｅｚ ｔ， （， ） （， ∈ ｕｚｔ ｕｚｔ） ｕ （， ｚｔ ， ｚ ｔ ） ｍ ） ） ） 利用 Ｓｈ ｕ ｅ 和 Ａｓｏｉ ｒｅ ｃａｄｒ ｃｌＡ ｚｌ — ａ定理 可证到 下面定 理． （．） ２６ （． ２） ５
退化抛物型方程的零阶项系数的反演问题
退化抛物型方程的零阶项系数的反演问题退化抛物型方程的零阶项系数的反演问题引言：退化抛物方程是一类常见的偏微分方程，广泛应用于物理、工程、生物和经济学等领域中。
在退化抛物方程的研究中，我们通常需要了解它们的系数如何影响方程的解。
其中，零阶项系数在方程中起着重要的作用。
本文将详细讨论如何处理退化抛物型方程的零阶项系数反演问题。
一、退化抛物型方程的基本概念和性质退化抛物方程是指具有退化二阶导数的抛物型偏微分方程。
方程的一般形式可以表示为：∂u/∂t = ∂/∂x (a(x) ∂u/∂x)，其中a(x)为零阶项系数，u(x, t)为待求解函数。
具体讨论时，我们假设方程在某个有界域Ω上成立，并满足一些边界条件和初值条件。
二、零阶项系数的重要性在退化抛物方程中，零阶项系数a(x)描述了介质的性质。
它可以代表材料的热导率、介电常数、电导率等物理参数。
所以，a(x)的取值对方程解的性质具有重要影响。
三、零阶项系数反演问题的提出零阶项系数反演问题是指已知退化抛物型方程的解和其他系数，如何确定零阶项系数a(x)的问题。
这个问题在实际应用中具有重要意义。
比如，在地质勘探中，我们需要根据地震波传播速度的测量结果来推断地下储层的物理性质。
四、零阶项系数反演的方法和技术目前，常用的零阶项系数反演方法主要有以下几种：1. 逆问题方法：将零阶项系数反演问题转化为逆问题，通过最小化正问题和逆问题之间的误差来确定零阶项系数。
这种方法需要使用数值优化算法，如梯度法、共轭梯度法等。
2. 偏微分方程方法：利用偏微分方程理论中的一些求解技巧，将退化抛物型方程的零阶项系数反演问题转化为一个求解问题。
例如，可以利用泛函分析中的极小值原理，通过求解变分问题来确定零阶项系数。
3. 数值方法：利用数值计算方法，通过有限差分、有限元等数值离散方法直接求解退化抛物方程，然后根据已知解的特征，通过逆推的方式得到零阶项系数。
五、案例分析考虑以下退化抛物方程：∂u/∂t = ∂/∂x (a(x) ∂u/∂x)，其中a(x)未知。
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边界退化的半线性抛物方程解的渐近行为
第61卷 第4期吉林大学学报(理学版)V o l .61 N o .4 2023年7月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )J u l y2023d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2022424边界退化的半线性抛物方程解的渐近行为郭 微1,靳曼莉1,井鑫鑫2(1.北华大学数学与统计学院,吉林吉林132013;2.山东科技大学数学与系统科学学院,山东青岛266590)摘要:用加权能量估计和构造自相似上解的方法,研究一类在边界退化的半线性抛物方程初边值问题解的渐近行为,得到了问题解的整体存在性和爆破性,建立了F u j i t a 型定理,并刻画了临界F u j i t a 指标与退化扩散项和非线性源项之间的定量关系.关键词:边界退化;临界F u ji t a 指标;半线性抛物方程中图分类号:O 175.23 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2023)04-0801-07A s y m pt o t i cB e h a v i o r o f S o l u t i o n s t o S e m i l i n e a r P a r a b o l i cE q u a t i o n sw i t hB o u n d a r y D e g e n e r a c yG U O W e i 1,J I N M a n l i 1,J I N G X i n x i n2(1.S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,B e i h u aU n i v e r s i t y ,J i l i n 132013,J i l i nP r o v i n c e ,C h i n a ;2.C o l l e g e o f M a t h e m a t i c s a n dS y s t e m sS c i e n c e ,S h a n d o n g U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,Q i n g d a o 266590,S h a n d o n g Pr o v i n c e ,C h i n a )A b s t r a c t :W es t u d i e dt h ea s y m p t o t i c b e h a v i o ro fs o l u t i o n sf o rac l a s s o fi n i t i a l -b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m so fas e m i l i n e a r p a r a b o l i ce q u a t i o n w i t h b o u n d a r y d e g e n e r ac y b y u s i n g th e m e t h o d so f w e i g h t e de n e r g y e s t i m a t e sa n dc o n s t r u c t i n g s e l f -s i m i l a ru p p e rs o l u t i o n s .W eo b t a i n e dt h e g l o b a l e x i s t e n c e a n db l o w i n g -u pp r o p e r t i e s o f s o l u t i o n s t o t h e p r o b l e m ,e s t a b l i s h e dF u j i t a t y p e t h e o r e m ,a n d c h a r a c t e r i z e dt h e q u a n t i t a t i v er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ec r i t i c a lF u j i t ae x p o n e n ta n dt h ed e g e n e r a t e d i f f u s i o n t e r ma n d t h en o n l i n e a r s o u r c e t e r m.K e yw o r d s :b o u n d a r y d e g e n e r a c y ;c r i t i c a l F u j i t a e x p o n e n t ;s e m i l i n e a r p a r a b o l i c e q u a t i o n 收稿日期:2022-10-24.第一作者简介:郭 微(1976 ),女,汉族,博士,教授,从事非线性扩散方程理论的研究,E -m a i l :g u o w e i ji l i n @163.c o m.通信作者简介:靳曼莉(1980 ),女,汉族,博士,副教授,从事微分方程定性理论的研究,E -m a i l :64278144@q q.c o m.基金项目:吉林省教育厅科学技术研究项目(批准号:J J K H 20210031K J ;J J K H 20210029K J ).0 引 言考虑如下在边界退化的半线性抛物方程初边值问题解的渐近行为:∂u ∂t =∂∂x x λ∂u ∂æèçöø÷x +b (x )u p ,x >0, t >0, (1) l i m x ң0+xλ∂u ∂x(x ,t )=0,t >0,(2) u (x ,0)=u 0(x ),x >0,(3)其中:λ>0;p >1;b ɪC 1[0,+ɕ)满足Copyright ©博看网. All Rights Reserved.l 1(x γ+1)ɤb (x )ɤl 2(x γ+1), x >0,(4)这里0<l 1ɤl 2,γȡ0.方程(1)在边界x =0上是退化的.对于具边界退化的半线性抛物方程的初边值问题(1)-(3),其解的渐近行为由方程(1)在边界x =0上的退化强度和非线性源项决定,本文建立问题(1)-(3)的F u ji t a 型定理.F u ji t a [1]研究了如下含内部源热传导方程∂u ∂t=Δu +u p , x ɪℝn , t >0的C a u c h y 问题,证明了当1<p <p c =1+2/n 时该问题不存在非负非平凡的整体解,而当p >p c =1+2/n 时既存在非负非平凡整体解(小初值)又存在非负爆破解(大初值).指标p c 称为临界F u j i t a 指标.文献[2-3]证明了临界情形p =p c 也属于爆破情形.F u j i t a 的工作揭示了非线性偏微分方程的一类重要性质,目前已有很多研究拓展了F u ji t a 的结果,包括各种非线性发展方程和方程组㊁不同类型的非线性源㊁不同类型的区域以及不同类型的边值条件等[4-17],其中,文献[10]首先研究了如下两个在边界退化的半线性抛物方程的初边值问题:∂u ∂t =∂∂x x λ∂u ∂æèçöø÷x +up ,0<x <1, t >0,l i m x ң0+xλ∂u ∂x(x ,t )=0, u (1,t )=0,t >0,u (x ,0)=u 0(x ),0<x <1和∂u ∂t =∂∂x x λ∂u ∂æèçöø÷x +up ,x >0, t >0,l i m x ң0+xλ∂u ∂x(x ,t )=0,t >0,u (x ,0)=u 0(x ),x >0,式中λ>0,p >1.对于有界区间上的问题,文献[10]证明了如果退化较强即λȡ2,则任意非平凡解都在有限时刻内爆破,如果退化不强即0<λ<2,则该问题既存在非平凡整体解(小初值)又存在爆破解(大初值).对于无界区间上的问题,文献[10]建立了F u j i t a 定理,证明了临界F u ji t a 指标为pc =3-λ,0<λ<2,+ɕ,λȡ2{.本文建立问题(1)-(3)的F u ji t a 型定理.与文献[10]所考虑的问题相比,方程(1)中的非线性源项具有更一般的系数,该系数会影响问题(1)-(3)的临界F u j i t a 指标.问题(1)-(3)的临界F u j i t a 指标是pc =3-λ+γ,0<λ<2,+ɕ,λȡ2{.(5)即当λȡ2时,对p >1,问题(1)-(3)的任意非平凡解都在有限时刻爆破;当0<λ<2时,对1<p ɤ3-λ+γ,问题(1)-(3)的任意非平凡解都在有限时刻爆破,而对p >3-λ+γ,问题(1)-(3)既存在非平凡整体解(小初值)又存在爆破解(大初值).受文献[10-14]中的方法启发,为证明问题(1)-(3)解的爆破性质,采用加权能量估计的方法,通过选取恰当的权函数,比较退化扩散项与非线性源项之间的相互作用,建立能量估计进而得到解的爆破性质;为证明问题(1)-(3)存在非平凡的整体解,构造自相似形式的上解.由于方程(1)的非线性源具有一般的系数,因此本文需要一些更细致复杂的运算和估计.特别地,对于临界情形需要建立一系列精确的估计.1 预备知识定义1 设0<T ɤ+ɕ.如果非负函数u 满足下列条件,则u 称为问题(1)-(3)在(0,T )上的下解(上解):208 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.1)对任意的0<췍T <T ,有u ɪL ɕ((0,+ɕ)ˑ(0,췍T )),且对任意的R >0有∂u ∂t ,x λ/2∂u ∂xɪL 2((0,R )ˑ(0,췍T));2)对任意的0<췍T <T 及任意满足在t =췍T 或者当x 充分大时为零的非负函数φɪC 1([0,+ɕ)ˑ[0,췍T ]),积分不等式ʏ췍T 0ʏ+ɕ∂u ∂t (x ,t )φ(x ,t )+x λ∂u ∂x (x ,t )∂φ∂x (x ,t æèçöø÷)d x d t ɤ(ȡ)ʏ췍Tʏ+ɕb (x )u p (x ,t )φ(x ,t )d x d t 成立;3)式(3)在迹的意义下成立.如果u 既是问题(1)-(3)在(0,T )上的上解,又是问题(1)-(3)在(0,T )上的下解,则称u 是问题(1)-(3)在(0,T )上的解.下面不加证明地给出问题(1)-(3)的适定性定理和比较原理,类似证明可参考文献[10].引理1 设^u 和㊅u 分别是问题(1)-(3)在(0,T )上的上解和下解,则㊅u ɤ^u 于(0,+ɕ)ˑ(0,T ).引理2 设0ɤu 0ɪL ɕ((0,+ɕ)),且对任意的R >0,有x λ/2u ᶄ0ɪL 2((0,R )),则问题(1)-(3)至少存在一个局部解.如果u 是问题(1)-(3)在(0,+ɕ)上的解,则称u 是全局解.否则,存在T >0,使得u 是问题(1)-(3)在(0,T )上的解,并满足l i m t ңT-s u p (0,+ɕ)u (㊃,t )=+ɕ,则称u 在有限时刻T 爆破,T 称为爆破时间.2 F u ji t a 型定理的证明定理1 假设λȡ2,b ɪC 1([0,+ɕ))满足式(4),对任意非平凡的初值0ɤu 0ɪL ɕ((0,+ɕ)),且对任意的R >0有x λ/2u ᶄ0ɪL 2((0,R )),则问题(1)-(3)的解在有限时刻爆破.证明:当λȡ2时,类似文献[10]中定理2.5的证明可得结论.定理2 假设0<λ<2,b ɪC 1([0,+ɕ))满足式(4).1)如果1<p <p c =3-λ+γ,对任意非平凡的初值0ɤu 0ɪL ɕ((0,+ɕ)),且对任意R >0有x λ/2u ᶄ0ɪL 2((0,R )),则问题(1)-(3)的解在有限时刻爆破;2)如果p >p c =3-λ+γ,对任意非平凡的初值0ɤu 0ɪL ɕ((0,+ɕ)),且对任意R >0有x λ/2u ᶄ0ɪL 2((0,R )),则当初值u 0充分小时,问题(1)-(3)的解全局存在,当初值u 0充分大时,问题(1)-(3)的解在有限时刻爆破.证明:仿文献[10]中定理2.4选取ψR :ψR (x )=1,0<x ɤR ,121+c o s (x -R )πæèçöø÷R ,R <x <2R ,0,x ȡ2R ìîíïïïï.(6)易得ψR ɪC 1([0,+ɕ)),ψR 分片光滑且满足(x λψᶄR (x ))ᶄ=-λπ2R x λ-1s i n (x -R )πR -π22R 2x λc o s (x -R )πR ȡ-λπ2R 2x λ-π22R2x λc o s (x -R )πR ȡ-2λπ2R λ-2ψR (x ), R <x <2R .由定义1可得u 满足d d t ʏ0+ɕu (x ,t )ψR (x )dx =ʏ+ɕu (x ,t )(x λψᶄR (x ))ᶄd x +ʏ+ɕb (x )u p (x ,t )ψR (x )d x ȡ-2λπ2Rλ-2ʏ+ɕu (x ,t )ψR(x )d x +ʏ+ɕb (x )u p(x ,t )ψR(x )d x , t >0.(7)由H öl d e r 不等式可得308 第4期 郭 微,等:边界退化的半线性抛物方程解的渐近行为 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR(x )d x ɤʏ+ɕ(x γ+1)-1/(p-1)ψR (x )d ()x (p -1)/pʏ+ɕ(x γ+1)u p(x ,t )ψR(x )d ()x 1/pɤC(p -1)/p1R(p -γ-1)/pʏ+ɕ(x γ+1)u p(x ,t )ψR(x )d ()x 1/p, t >0,(8)其中C 1是与R 无关的正常数.将式(8)代入式(7)得d d t ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR (x )d x ȡ-2λπ2R λ-2ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR(x )d x +C 1-p 1Rγ-p+1ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR(x )d ()x p, t >0.(9)由于p <p c 且u 0是非负的,故存在充分大的R >0,使得2λ+1π2Rλ-2<C 1-p1Rγ-p+1ʏ+ɕu 0(x )ψR (x )d ()x p-1.因此,由式(9)可得d d t ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR (x )d x ȡ12C 1-p 1R γ-p +1ʏ+ɕu (x ,t )ψR (x )d ()x p, t >0.故存在T >0,使得l i m t ңT-ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR(x )d x =+ɕ,从而l i m t ңT-s u p (0,+ɕ)u (㊃,t )=+ɕ,表明u 在有限时刻爆破.下面讨论情形2)即p >p c .当初值充分大时,考虑问题(1)-(3)的爆破解.设u 是问题(1)-(3)的一个非负非平凡解,由定义1和式(4)可得u 满足d d t ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR (x )d x ȡ-2λπ2R λ-2ʏ+ɕu (x ,t )ψR (x )d x +ʏ+ɕb (x )u p (x ,t )ψR (x )d x ȡ-2λπ2Rλ-2ʏ+ɕu (x ,t )ψR (x )d x +l 1ʏ+ɕ(x γ+1)u p (x ,t )ψR (x )d x , t >0,(10)其中ψR (x )是式(6)定义的函数.由H öl d e r 不等式可得ʏ+ɕu (x ,t )ψR(x )d x ɤʏ+ɕ(x γ+1)-1/(p-1)ψR(x )d ()x (p -1)/p㊃ʏ+ɕ(x γ+1)u p(x ,t )ψR(x )d ()x 1/p, t >0.(11)将式(11)代入式(10)可得d d t ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR (x )d x ȡ-2λπ2R λ-2ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR(x )d x +l 1ʏ+ɕ(x γ+1)-1/(p -1)ψR(x )d ()x 1-p㊃ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR(x )d ()x p, t >0.(12)选取u 0充分大,使得2λ+1π2Rλ-2ɤl 1ʏ+ɕ(x γ+1)-1/(p-1)ψR (x )d ()x 1-pʏ+ɕ0u 0(x )ψR(x )d ()x p-1.类似于情形1)的讨论可得u 在有限时刻爆破.当初值充分小时证明方程(1)具有如下形式的自相似上解:u (x ,t )=(t +1)-αw ((t +1)-βx ), x >0, t >0,(13)其中α=2-λ+γ(2-λ)(p -1),β=1(2-λ).当0<x <1时,由式(4)可知b (x )有界;当x ȡ1时,由式(4)可得12l 1x γɤb (x )ɤ2l 2x γ.将式(13)代入式(1),经过运算可得(r λw ᶄ(r ))ᶄ+12-λr w ᶄ(r )+2-λ+γ(2-λ)(p -1)w (r )+2(l 2r γ+1)w p (r )ɤ0, r >0.(14)令w (r )=εe -A r 2-λ, r >0,(15)408吉林大学学报(理学版)第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.其中ε>0为待定常数,A 满足2-λ+γ(2-λ)2(p -1)<A <1(2-λ)2.将式(15)代入式(14)可得(r λw ᶄ(r ))ᶄ+12-λr w ᶄ(r )+2-λ+γ(2-λ)(p -1)w (r )+2(l 2r γ+1)w p (r )=εe-A r 2-λA (2-λ)A (2-λ)-12-æèçöø÷λr 2-λéëêê+2-λ+γ(2-λ)(p -1)-A (2-λæèçöø÷)+2(l 2r γ+1)εp -1e -A (p -1)r 2-ùûúúλ, r >0.根据A 的定义可知A (2-λ)<12-λ, 2-λ+γ(2-λ)(p -1)<A (2-λ),从而可知式(14)成立.注意到x λ∂^u ∂æèçöø÷x (0,t )=0,t >0,因此,存在充分小的ε>0,使得u 0(x )ɤ^u (x ,0), x >0.(16)由引理1可知,如果u 0满足式(16),则问题(1)-(3)的解全局存在.3 临界情形下面考虑当0<λ<2时的临界情形p =p c =3-λ+γ.引理3 假设0<λ<2,b ɪC 1([0,+ɕ))满足式(4),p =pc ,u 是问题(1)-(3)在(0,+ɕ)上的解.则对任意R >0,有ʏ+ɕu (x ,t )ψR (x )d x ɤ2(λ+1)/(p -1)π2/(p -1)C 1, t >0,(17)d d t ʏ+ɕu (x ,t )ψR(x )d x ȡ-p -1p2λp /(p -1)π2p /(p-1)C 1R λ-2, t >0(18)d d tʏ+ɕu (x ,t )ψR(x )d x ȡR λ-2ʏ+ɕu (x ,t )ψR(x )d ()x 1/2-2λπ2ʏ2RRu (x ,t )ψR(x )d ()x 1/2[+C 1-p1ʏ+ɕu (x ,t )ψR(x )d ()x (2p-1)/]2, t >0,(19)其中ψR (x )是式(6)定义的函数,C 1是定理2中给出的常数.证明:首先,由式(9)可得d d t ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR (x )d x ȡ-2λπ2R λ-2ʏ+ɕu (x ,t )ψR(x )d x +C 1-p1R λ-2ʏ+ɕu (x ,t )ψR(x )d ()x p, t >0.(20)下面利用反证法证明式(17)成立.否则,存在t 0>0,使得2λ+1π2ɤC 1-p1ʏ+ɕu (x ,t )ψR(x )d ()x p-1.则根据式(20)知d d t ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR (x )d x ȡ12C 1-p 1R λ-2ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR (x )d()x p, t >t 0,从而u 在有限时刻爆破,与假设矛盾.因此式(17)成立.下面证明式(18)成立.由式(20)和Y o u n g 不等式,有d d t ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR (x )d x ȡC 1-p 1R λ-2-2λπ2C p -11ʏ+ɕu (x ,t )ψR (x )d x +ʏ+ɕu (x ,t )ψR (x )d ()x []pȡC 1-p1Rλ-2-1pʏ+ɕu (x ,t )ψR (x )d ()x éëêp-p -1p2λp /(p -1)π2p /(p -1)C p 1+ʏ+ɕu (x ,t )ψR (x )d ()x ùûúúpȡ-p -1p2λp /(p -1)π2p /(p -1)C 1R λ-2, t >0,508 第4期 郭 微,等:边界退化的半线性抛物方程解的渐近行为 Copyright ©博看网. All Rights Reserved.式(18)得证.最后证明式(19)成立.根据式(7)可得d d t ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR (x )d x =ʏ2RRu (x ,t )(x λψᶄR (x ))ᶄd x +ʏ+ɕb (x )u p (x ,t )ψR (x )d x ȡ-2λπ2Rλ-2ʏ2RRu (x ,t )ψR (x )d x +C 1-p 1R λ-2ʏ+ɕu (x ,t )ψR (x )d ()x pȡRλ-2ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR (x )d ()x 1/2-2λπ2ʏ2RRu (x ,t )ψR (x )d ()x 1/[2+C 1-p1ʏ+ɕu (x ,t )ψR(x )d ()x (2p-1)/]2, t >0,即式(19)成立,证毕.定理3 假设0<λ<2,b ɪC 1([0,+ɕ))满足式(4).如果p =p c =3-λ+γ,对任意非平凡的初值0ɤu 0ɪL ɕ((0,+ɕ)),且对任意R >0有x λ/2u ᶄ0ɪL 2((0,R )),则问题(1)-(3)的解在有限时刻爆破.证明:假设u 是问题(1)-(3)在(0,+ɕ)上的解.对任意R >0,令w R (t )=ʏ+ɕ0u (x ,t )ψR(x )d x , t ȡ0,其中ψR (x )是式(6)定义的函数.记Λ=s u p R >0,t >0w R (t )=s u p t >0ʏ+ɕ0u (x ,t )d x .(21)由式(17)和u 0的非平凡性可得0<Λ<+ɕ.固定ε0ɪ(0,Λ),M 0>0,使得2λπ2(ε0+M 0)1/2ɤ12C 1-p 1(Λ-ε0)(2p-1)/2.根据式(21)可知,存在t 1ȡ0和R 0>0,使得w R 0(t 1)ȡΛ-ε0.(22)对任意t ȡt 1,在式(18)中取R =R 0并由式(22)可得ʏ+ɕu (x ,t )ψR 0(x )d x ȡʏ+ɕ0u (x ,t 1)ψR 0(x )d x -p -1p2λp /(p -1)π2p /(p -1)C 1R λ-20(t -t 1)ȡΛ-ε0-p -1p2λp /(p -1)π2p /(p -1)C 1R λ-20(t -t 1),(23)由式(21),(23)可得ʏ4R 02R 0u (x ,t )ψ2R 0(x )d x ɤʏ+ɕu (x ,t )d x -ʏ+ɕu (x ,t )ψR 0(x )d x ɤε0+p -1p2λp /(p -1)π2p /(p-1)C 1R λ-20(t -t 1).(24)在式(19)中选取R =2R 0,有d d tw 2R 0(t )ȡ(2R 0)λ-2w 1/22R 0(t )-2λπ2ʏ4R 02R 0u (x ,t )ψ2R 0(x )d ()x1/2+C 1-p 1w (2p -1)/22R 0(t []), t >t 1,(25)由式(21),(22),(24),(25)可得d d tw 2R 0(t )ȡ2λ-3C 1-p 1R λ-20(Λ-ε0)p , t 1<t <t 2,(26)其中t 2=t 1+p (p -1)C 12-λp /(p -1)π-2p /(p -1)M 0R 2-λ0.根据式(26)和式(22)可得w 2R 0(t 2)ȡw 2R 0(t 1)+2λ-3C 1-p 1R 0λ-2(Λ-ε0)p (t 2-t 1)ȡΛ-ε0+γ0,其中γ0=p p -12(3-λ-3p )/(p -1)C -p 1π-2p /(p -1)M 0(Λ-ε0)p.同理可得w 4R 0(t 3)ȡw 4R 0(t 2)+γ0ȡw 2R 0(t 2)+γ0ȡΛ-ε0+2γ0,这里t 3=t 2+p (p -1)C12-λp /(p -1)π-2p /(p -1)M 0(2R 0)2-λ.依次重复上述步骤,对任意正整数i ,可得608 吉林大学学报(理学版) 第61卷Copyright ©博看网. All Rights Reserved.w 2i R 0(t i +1)ȡw 2i R 0(t i )+γ0ȡw 2i -1R 0(t i )+γ0ȡΛ-ε0+i γ0,其中t i +1=t i +p (p -1)C12-λp /(p -1)π-2p /(p-1)M 0(2i -1R 0)2-λ.因此s u pt >0ʏ+ɕ0u (x ,t )d x =+ɕ,与式(21)矛盾.证毕.参考文献[1] F U J I T A H.O n t h eB l o w i n g u p o f S o l u t i o n s o f t h eC a u c h y P r o b l e mf o r u t =Δu +u 1+α[J ].JF a cS c iU n i vT o k y o S e c tⅠ,1966,13:109-124.[2] HA Y A K AWA K.O nN o n e x i s t e n c e o fG l o b a l S o l u t i o n s o f S o m eS e m i l i n e a rP a r a b o l i cD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s [J ].P r o c J a pa nA c a d ,1973,49:503-505.[3] K O B A Y A S H IK ,S I A R O T ,T A N A K A H.O nt h eB l o w i n g u p P r ob l e mf o rS e m i l i n e a r H e a tE q u a t i o n s [J ].JM a t hS oc J a p a n ,1977,29(1):407-424.[4] A N D R E U C C ID ,C I R M IG R ,L E O N A R D I S ,e t a l .L a r geT i m eB e h a v i o r o f S o l u t i o n s t o t h eN e u m a n nP r o b l e m f o ra Q u a s i l i n e a rS e c o n d O r d e r D e g e n e r a t e P a r a b o l i c E q u a t i o ni n D o m a i n s w i t h N o n c o m p a c tB o u n d a r y [J ].JD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,2001,174(2):253-288.[5] D E N G K ,L E V I N E H A.T h eR o l eo fC r i t i c a lE x p o n e n t s i nB l o w -u p T h e o r e m s :T h eS e q u e l [J ].J M a t h A n a l A p pl ,2000,243(1):85-126.[6] 郭微,高云柱.一类非线性耦合对流扩散方程组的临界F u ji t a 曲线[J ].吉林大学学报(理学版),2020,58(2):271-276.(G U O W ,G A O Y Z .C r i t i c a lF u j i t aC u r v e sf o raC l a s so f N o n l i n e a rC o u p l e d C o n v e c t i o n -D i f f u s i o n S y s t e m s [J ].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n ),2020,58(2):271-276.)[7] J I N G XX ,N I E Y Y ,WA N G CP .A s y m p t o t i cB e h a v i o ro fS o l u t i o n s t oC o u p l e dS e m i l i n e a rP a r a b o l i cS y s t e m s w i t hB o u n d a r y D e g e n e r a c y [J ].E l e c t r o n JD i f f e r e n t i a l E qu a t i o n s ,2021,2021:67-1-67-17.[8] J I N G X X ,N I E Y Y ,WA N GCP .A s y m p t o t i cB e h a v i o r o f S o l u t i o n s t oC o u p l e dS e m i l i n e a rP a r a b o l i cE q u a t i o n s w i t hG e n e r a lD e g e n e r a t eD i f f u s i o nC o e f f i c i e n t s [J ].D i s c r e t eC o n t i nD y nS y s t S e rB ,2023,28(2):959-983.[9] L E V I N E H A.T h eR o l e o fC r i t i c a l E x p o n e n t s i nB l o w -u p T h e o r e m s [J ].S I AM R e v ,1990,32(2):262-288.[10] WA N G C P .A s y m p t o t i c B e h a v i o ro fS o l u t i o n st oa C l a s so fS e m i l i n e a rP a r a b o l i c E q u a t i o n s w i t h B o u n d a r y D e g e n e r a c y [J ].P r o cA m e rM a t hS o c ,2013,141(9):3125-3140.[11] WA N GCP ,Z H E N GSN.C r i t i c a lF u j i t aE x p o n e n t so fD e g e n e r a t ea n dS i n g u l a rP a r a b o l i cE q u a t i o n s [J ].P r o c R o y S o cE d i n b u r ghS e c tA ,2006,136(2):415-430.[12] WA N GCP ,Z H E N G S N ,WA N G ZJ .C r i t i c a lF u j i t aE x p o n e n t sf o raC l a s so fQ u a s i l i n e a rE q u a t i o n s w i t h H o m o g e n e o u sN e u m a n nB o u n d a r y D a t a [J ].N o n l i n e a r i t y,2007,20(6):1343-1359.[13] Z H E N GSN ,WA N GCP .L a r g eT i m eB e h a v i o u r o f S o l u t i o n s t o aC l a s s o fQ u a s i l i n e a rP a r a b o l i cE q u a t i o n sw i t h C o n v e c t i o nT e r m s [J ].N o n l i n e a r i t y,2008,21(9):2179-2200.[14] Z HO U Q ,N I E Y Y ,HA N X Y.L a r g e T i m eB e h a v i o ro fS o l u t i o n st oS e m i l i n e a rP a r a b o l i c E q u a t i o n s w i t h G r a d i e n t [J ].JD y nC o n t r o l S y s t ,2016,22(1):191-205.[15] 周倩,那杨,高冬.一类耦合半线性扩散方程组的F u ji t a 临界曲线[J ].吉林大学学报(理学版),2020,58(4):733-743.(Z HO U Q ,N A Y ,G A O D.F u j i t aC r i t i c a l C u r v e s f o r aC l a s s o fC o u p l e dS e m i l i n e a rD i f f u s i o nS y s t e m s [J ].J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n ),2020,58(4):733-743.)[16] Z HO U M J ,L E N G Y.E x i s t e n c ea n d N o n e x i s t e n c eo ft h eS o l u t i o n st ot h e C a u c h y P r o b l e m o f Q u a s i l i n e a r P a r a b o l i cE qu a t i o nw i t haG r a d i e n tT e r m [J ].L i t h M a t hJ ,2021,61(1):123-142.[17] Z HA O X T ,Z HO U M J ,J I N G X X.A s y m p t o t i cB e h a v i o ro fS o l u t i o n st o P o r o u s M e d i u m E qu a t i o n s w i t h B o u n d a r y D e g e n e r a c y [J ].E l e c t r o n JD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s ,2021,2021:96-1-96-19.(责任编辑:赵立芹)708 第4期 郭 微,等:边界退化的半线性抛物方程解的渐近行为Copyright ©博看网. 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一类拟线性退化抛物方程组初边值问题正解的存在性
一类拟线性退化抛物方程组初边值问题正解的存在性本文主要讨论了一类拟线性退化抛物方程组初边值问题正解的存在性。
解决这一类问题，需要考虑以下几个方面：一、概述：1. 拟线性退化抛物方程组是一类复杂的方程组，在建模过程中，可以利用方程组的性质，将原本抛物方程的初边值问题转变为拟线性退化抛物方程组的问题。
2. 拟线性退化抛物方程组初边值问题的正解，即建模的最终目的，是获取一组有效的初边值，以及一个稳定、可行的解。
二、初边值问题存在性条件：1. 方程组必须满足Lipschitz条件，也就是显式满足：变量y(t)经过函数f(x,y)映射后，其曲线可用一定程度的Lipschitz系数来表示，以确保方程的有解性。
2. 初边值问题的一致性(Consistency)，指的是初边值问题的解必须符合Lipschitz连续性:任意解(任意n维度下的初边值)，只要满足依次构成该初边值问题的Lipschitz连续条件，该初边值问题即具有正解。
三、解法求解：1. 有限差分法：这一方法通过将问题转化为等价的差分形式，直接求得不等式约束间形成的可行解。
2. 动态规划法：该法将原有初边值问题拆解为若干子问题，利用动态规划将子问题的解组合出初边值问题的最优解。
3. 定性逼近法：即把问题当作函数极值优化问题来求解，给出一个离散点集合，该集包含每个维度上有N个取值点组成，依次逐一求解，最终求得最优解。
四、结论：通过对拟线性退化抛物方程组初边值问题的分析，可以发现，它的解的存在性是经过严格的条件约束才可能得到的，主要以Lipschitz连续性为主要约束条件。
本文介绍的三种解法可以用于求解拟线性退化抛物方程组的初边值问题，在实际应用中，要根据实际情况，从这三种解法中找到最合适的一种来求解。
一类双重退化抛物型不等式问题解的Liouville型定理
ＭＲ（０ ０ 主题分类：５ ３； ５ ５ 中图分类号： ７． 文献标识码： ２０ ） ３Ｂ ３３Ｋ ７ Ｏ１５ ６ ２ Ａ
文章编号 ：０ ３３ ９ （０ ００ —３ —５ １ ０ —９ ８２ １ ）３６ ９０
１ 引言 和 结 果
在本 文 中，我们考 虑下 列双 重退化 抛物 型不 等式 问题 ｔ ｄｖ Ｉ ｌＶｕ ４ ， ｉ（ 卢 ） － ｖｕ ｐ
（，） ｔ ∈Ｓ
基 金 项 目： 国家 自然 科 学 基金 （０ ７ ０ ４ １ ７ １２ ）资 助
６０ ４
数
学
物
理
学
报
、 １０ 厂． Ａ ０３
（ 其中ｍ １ ＞１的 Ｆｊａ ， ） ｕｔ临界指标为 Ｐ＝ｍ十吾方程 Ｐ ｉ 。 ，
ｔ ｉ（ ［ ） ｐ ＝ｄｖ Ｉ Ｚ Ｖｕ Ｖｕ 十Ｕ ， （，） Ｘ ｔ ∈ｓ （） ４
解．
对 于拟 线性 抛物 型方 程也 有很 多类似 结果 Ｉ ． 例如 ，方程 ｉ ＝ ／ｉ 仳 ， ｔ ｋｔ ４ ｔ ｍ－
收稿 日期： ０ ８ １— ５ 修订 日期： ０ ９ １— ３ ２ ０ — １２ ； ２ ０ —０ １
Ｅ ｍａｌ ｊ ｘ ｌ ｔ ６ ．ＯＩ — ｉ ｚ ｄ ｕ ＠１ ３ Ｃ Ｉ ： １
数学物理学报
２ １ ，０ ３：３ — ４ ０ ０３ Ａ（） ９ ６ ３ ６ ｈ ｔ ： ａｔｍｓ ｐ ａ ． ｔｐ／ ｃａ ． ｍ． ｃ ／ ｗｉ ｃｎ
一
类双重退化抛物型不等式问题解的 Ｌｏ ｖｌ ｉｕ ｉｅ型定理 ｌ
姜朝欣 郑斯 宁
（ 大连理工大学数学科 学学院 大连 １ ６ ２ ） １ ０ ４
ｕ
，
。 ，
：
。 ｚ
抛物型方程解的估计及其应用
前言抛物型方程解的估计及其应用1前言数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系．连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围．它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象．它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用．微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究．早在18世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法．随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性．有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用．在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支——偏微分方程理论．它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法．它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具．因此，数学物理方程又是纯粹数学的抛物型方程解的估计及其应用许多分支和自然科学各部门及工程技术等领域之间的一个重要的桥梁．2 选题背景2.1 题目类型及来源题目类型：研究论文题目来源：专题研究2.2研究目的和意义数学物理方程将数学与物理紧密地结合在一起，用精微的数学思想和方法应用于实际的物理研究中，通过物理过程建立数学模型（偏微分方程），通过求解和分析模型，对实际物理过程进一步深入理解，提出解决实际问题的途径和方法．而抛物型方程是偏微分方程中的一类，且在研究热传导、扩散等物理现象时都会遇到，具有巨大的理论价值，同时，抛物型方程的概念和性质也决定了它在工程数学，物理等方向的巨大实用价值．研究抛物型方程解的估计及其应用，有助于我们更好的理解和掌握偏微分方程理论，并在认识和了解抛物型方程广泛的使用价值的基础上，能够探索抛物型方程更广泛的应用．随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛．从数学自身的角度看，抛物型方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展．2.3国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向自18世纪以来，偏微分方程理论在得到广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展，如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等，并从它们之中引进许多有力的解决问题的方法．关于抛物型方程的解，有经典解、广义解、数值解等方面的研究．经典解在求解区域中具有方程中所出现的连续偏导数，并按通常意义满足方程与定解条件，也就是热传导方程的一些知识说，将解代入方程及定解条件后即可使其化为恒等式．求经典解的方法有分离变量法、Fourier变换法．经典解容易理解，且应用方便，但实际求解抛物型方程的定解问题时，往往不一定能得到经典解．于是就提出了广义解[1]的理论，即先寻求一个正则性较低的函数（广义解），它按较弱的意义满足方程与定解条件，然后再进一步证明这个函数实际上就是原来问题的经典解．广义解可按逼近过程来定义，也可按分部积分的方法来定义．由于抛物型方程的广义解是在“较差”的函数类中寻求相应定解问题按拓广意义下的解，因而又提出了广义函数的概念、性质、应用等方面的研究．在实际求解抛物型方程的定解条件时，除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外，在一般的情况下，当方程或定解条件具有比较复杂的形式，或求解区域具有比较复杂的形状时，往往求不到或不易求到其精确解，我们就只得去寻求抛物型方程定解问题的近似解，特别是数值近似解，于是就有了抛物型方程数值解的理论研究．求抛物型数值解的方法主要有：有限差分法、有限元素法．随着社会文明的发展，我国与其它国家的文化交流沟通很全面，偏微分方程的研究方向基本上也是一致的．在微分方程定性理论中有着重要应用的时滞积分不等式以及在差分方程定性理论中有重要应用的时滞离散不等式和关于时间尺度的动力方程理论，在研究了抛物型方程及抛物型方程系统、双曲型方程及双曲型方程系统的强迫振动性理论以及某些时滞脉冲偏微分方程在特定边值条件下解的振动的若干充要条件和多时滞脉冲抛物型微分方程系统解的强迫振动性，推广了已有的结果，建立了若干新定理，促进了偏泛函微分方程理论的发展，并主要创新提出并建立了偏泛函微分方程系统的强迫振动性理论以及具有连续分布变元的双曲型偏泛函微分方程系统和抛物型偏泛函微分方程系统的振动性理论；获得了变系数抛物型偏泛函微分方程解的振动的若干充分必要条件和时滞脉冲抛物型微分方程解的振动的若干充分必要条件和多时滞脉冲抛物型微分系统解的强迫振动性；研究了时滞积分不等式理论和关于时间尺度的动力不等式理论．这些理论的建立，为偏泛函微分方程理论和积分不等式理论的进一步发展起到了非常大的促进作用．3热传导方程的一些知识3.1 热传导方程的导出若物体内各点的温度不相同，则其热量就会从温度较高的地方向温度较低的地方抛物型方程解的估计及其应用传递，这就是常说的热传导现象．由于热量的传递，所以物体内温度随时间和点的位置不同而不同，因此热传导问题可归结为研究物体内部的温度分布情况．下面我们考察一个均匀的、各向同性的物体G 在Ω内部的温度变化规律． 设以(),,u x y z 表示物体G 在Ω内任一点(),,M x y z 处在时刻t 的温度．在Ω内任取一小块区域V ，使V -⊂Ω，并且其边界Γ是光滑的闭曲面，Γ上面积元素的单位外法向量记作n ．根据传热学中的傅里叶实验定律[2]，物体在无穷小时段dt 内，从V 内经过dS 流出的热量dQ 与时间dt ，流经面积dS 以及温度沿dS 的外法向量的方向导数un∂∂成正比，即ud Q k d S d t k u n d S d t n∂=-=-∇⋅∂ 其中0k >是物体的热传导系数，,,x y z ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭．上式中的负号表示热流的方向与温度梯度的方向相反（因为热量总是由温度高处流向温度低处），因此从时刻1t 到时刻2t 经过Γ流入V 内的全部热量211t t Q d t k u n d s d t Γ=∇⋅⎰⎰⎰若物体Ω内有热源，且热源强度为(),,,F x y z t （即在时刻t 点(),,x y z 处的单位面积在单位时间内发出的热量），则在[]12,t t 内，V 从热源上吸收的热量为 ()212,,,t t VQ F x y z t d x d yd z d t =⎰⎰⎰⎰另一方面，在[]12,t t 内，V 内温度从()1,,,u x y z t 升高到()1,,,u x y z t 所需吸收的热量为()()321,,,,,,VQ c ux y z t u x y z td x d y d zρ=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 其中为c 物体的比热，ρ为物体的密度． 根据能量守恒，有热传导方程的一些知识123Q Q Q +=若(),,,u x y z t 关于,,x y z 具有二阶连续偏导数，则由高斯公式得 22111t t t t VQ dt k u ndsdt k udxdydzdt Γ=∇⋅=∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰这里 ∆ 是laplace 算子，222222x y z∂∂∂∆=++∂∂∂若(),,,u x y z t 关于t 具有一阶连续偏导数，则由Newton-Leibniz 公式有213t t t VQ d t c u d x d y d zρ=⎰⎰⎰⎰ 因此有()2211t t t t t VVdt c u dxdydz dt k u F dxdydz ρ=∇+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于时间段[]12,t t 及区域V 是任意取定的，并且被积函数是连续的，则2t u a u f-∆= 其中2k a c ρ=，Ff c ρ=，并且当0f ≥时，表示Ω内有热源；当0f ≤时，表示Ω内有冷源（即热汇）．在适当情况下，方程中描述空间坐标的独立变量的数目还可以减少．例如当物体是均匀细杆时，假如它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假定温度的分布在同一截面是相同的，则温度函数u 仅与坐标x 及时间t 有关，我们就得到一维热传导方程222u u a t x ∂∂=∂∂ 同样，如考虑薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程22222u u u a t x y ⎛⎫∂∂∂=+ ⎪∂∂∂⎝⎭抛物型方程解的估计及其应用3.2 定解问题的提法方程描述的是同类物理现象的共性，但是每一具体的物理现象都是处在各自特定条件之下的，这就需要我们把它所处的特定条件也用数学形式表达出来，我们称这些特定条件为定解条件．定解条件分为初始条件和边界条件．初始条件是说明初始状态的条件，边界条件是描述边界状态的条件，边界条件可分为三类，第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）是直接给出未知函数在研究区域Ω的边界∂Ω上的值；第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）是在∂Ω上给出未知函数u 沿∂Ω沿外法方向n 的方向导数；第三类边界条件（又称为Robin 条件）是在边界∂Ω上给出未知函数u 及其沿∂Ω的外法方向导数的某种线性组合的值．从物理学角度来看，如果知道了物体在边界上的温度状况（或热交换状况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻的温度．因此热传导方程最自然的一个定解问题就是在已给的初始条件与边界条件下求解问题的解．初始条件的提法显然为()(),,,0,,u x y z x y z ϕ=其中(),,x y z ϕ为已知函数，表示物体在0t =时的温度分布第一边界条件：在3R 中的有界区域Ω的导热问题中，若Ω的边界∂Ω处于恒温0u 的环境下，则边界条件为0u u ∂Ω|=若边界温度按已知规律(),,,g x y z t 变化，则(),,,u g xy z t ∂Ω|= 第二边界条件：若热量在边界曲面∂Ω各点的流速为(),,,G x y z t ，则由Fourier 定律，边界条件可写成(),,,ug x y z t n ∂=∂ 其中Gg k =-，若0G =，则0u n ∂Ω∂=∂，此时称之为绝热边界条件．定解问题的求解第三边界条件：如果物体内部与周围的介质通过边界∂Ω有热量交换，物体外介质的温度为2u ，物体表面的温度为1u ，内外两种介质间的热交换系数为()110k k >，根据Newton 定律，从物体内部流到外部的热量与两介质间的温度差成正比，即有()112d Q k u u d sd t =-另一方面，由Fourier 定律[3]，在时间间隔内从边界曲面上面积元流出的热量为ud Q k d s d tn∂=-∂ 从而有()112u k u u d s dt k d s d t n∂-=-∂ 即(),,,u u g x y z t n σ∂Ω∂⎛⎫+=⎪∂⎝⎭ 其中1k kσ=， ()1,,,u g x y z t σ= 4 定解问题的求解4.1 初值问题的求解我们可以利用傅里叶变换来求解热传导问题的初值问题．其思想是把原函数变换到另一类函数中去，经过变换，使热传导方程变为常微分方程，从而可以找出一个解，再经过Fourier 的逆变换，得到原热传导方程的解．()()()()2,,,,0,t xx yy u a u u f x y t u x y x y ϕ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ （1） 视t 为参数，先求解齐次热传导方程的初值问题()()()2,,0,t x x yy u a u u u xy x y ϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ （2）对,x y 进行Fourier 变换，记()()12,,,,F u x y t U t λλ=⎡⎤⎣⎦，抛物型方程解的估计及其应用()()12,,F x y ϕλλ=Φ⎡⎤⎣⎦在（1）式两边关于,x y 进行Fourier 变换，原问题变为()()()()()()()222121122121212,,,,,,,,0,d U t a i U t i U t dtU λλλλλλλλλλλλ⎧⎡⎤=+⎪⎣⎦⎨⎪=Φ⎩（3） （2）式是带参数12,λλ的常微分方程的柯西问题，它的解为()()()2121212,,,a tU t eλλλλλλ-+=Φ （4）函数()212a teλλ-+的Fourier 逆变换[4]为()()()()()()()2222221212122222112211221221F 21=2a a i x y a t i xa t i xe t e te d d ed ed λλλλλλλλλλλλπλλπ+∞-+-++-∞----+∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰－()222222111122111111+11cos sin =2cos a t i xa ta ta ted exd i exd exd λλλλλλλλλλλλ----+∞+∞+∞-∞-∞-∞∞-=+⎰⎰⎰⎰令()221+110cos a t I x e xd λλλ∞-=⎰()()221222211+/111111202sin 1 =sin cos 2 =2a t a t a t Ix e xd e x x xe d a t xI x a tλλλλλλλλλ∞-+∞--+∞0=-⎡⎤∣-⎢⎥⎣⎦-⎰⎰ 解得()224x a tI x ce-=又()2212+1+00 a t y I e d e dy λλ∞-∞-===⎰⎰定解问题的求解则有()222222121421F 4x y a a tet e a tλλπ+--+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦－由（4）可得初值问题（2）的解为()()()()222421,,,4x y a tu x y t ed d a t ξηϕξηξηπ-+--+∞+∞-∞-∞=⎰⎰ （5）再求解非齐次热传导方程具有齐次初始条件的柯西问题()()()2,,,.00t xx yy u a u u f x y t u x y ⎧=++⎪⎨=⎪⎩ （6） 由齐次化原理[5]，此柯西问题的解可写为()(),,,,;tu xy t x y t d ωττ=⎰ 而(),,;x y t ωωτ=为下述柯西问题的解：()()()2,,,,,t x x yy a t x y f x y ωωωτωττ⎧=+>⎪⎨=⎪⎩于是，利用（5）式，易知柯西问题（6）的解为()()()()()222420,,1,,4x y t a t u x y t ed d d a t ξητϕξητξητπτ-+--+∞+∞--∞-∞=-⎰⎰⎰ （7）由叠加原理[6]，由（5）及（7）就得到柯西问题（1）的解为()()()()()()()()222222424201,,,4,,1 4x y a tx y ta t u x y t ed d a t ed d d a t ξηξητϕξηξηπϕξητξητπτ-+--+∞+∞-∞-∞-+--+∞+∞--∞-∞=+-⎰⎰⎰⎰⎰在上面的推导中，由于预先不知道是否满足进行傅里叶变换及有关计算的条件，所得的解还只是形式解．为证明上式确实是柯西问题（1）的解，还得进行验证．抛物型方程解的估计及其应用4.2 初边值问题的求解热传导方程的初边值问题20 t xx u a u -= （8）00x x l u u ==∣=∣= （9） ()0 t u x ϕ=∣= （10） 令()()() ,u x t X x T t = （11）并要求它满足齐次边界条件（9），这里()X x 及()T t 分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的特定函数．将（11）代入方程（8）中，得到()()()()///X x T t X x T t -= （12） 将上式分离变量，有()()()()///2T t X x a T t X x λ==- （13） 由于在（13）式中，左边仅是t 的函数，右边仅是x 的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能．记次常数为λ-（其值待定），就得到()()/2T aT 0t t λ+= （14）()()//0Xx X x λ+= （15）这样方程（13）就被分离为两个常微分方程，其中一个含有自变量t ，另一个仅含有自变量x ，我们可以通过求解这两个方程来决定()T t 及()X x ，从而得到方程（8）的特解（11）为了使此解是满足齐次边界条件（9）的非平凡解，就必须找到方程（8）满足边界条件定解问题的求解()()00,0X X l == （16） 的非平凡解．方程（15）的通解随0λ>，0λ=以及0λ<而不同，下面分三种情况讨论：情形1 当0λ<时，方程（15）的通解可写成 ()12X x C C e =+要使它满足边界条件（16），就必须1200C C e +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 由于110e≠只能120C C ==．故在0λ<的情况得不到非平凡解．情形2 当0λ=时，方程（15）的通解可以写成 ()12X x C C X =+ 要满足边界条件（16），()X x 也只能恒等于零．情形3 当0λ>时，方程（15）的通解具有如下形式： ()12X x C C =+ 由边界条件()00X =知10C =，再由()2s i 0X l C l ==可知，为了使20C ≠，就必须0=．于是222(1,2,)k k k lπλλ===⋯这样就找到了一族非零解()s i n(1,2,)k k k X x A x k lπ==⋯ 将固有值代入方程（14）中，可得到其通解为()2222(1,2,)a k tl k k T t B ek π-==⋯ 这样就得到方程（8）的满足齐次边界（9）的下列分离变量形式的特解：()()()2222k ,s i n (1,2,)a k tl k k k k u x t X x T t a ex k lππ-===⋯现在我们设法作这种特解的适当的线性组合，以得出初边值问题的解，也就是说，要决定常数k a 使()22221,s i n a k tl k k k u x t a ex lππ∞-==∑ （17）满足初始条件（10）． 故由初始条件（10）应有()1s i n kk k x a x l πϕ∞==∑ 由于 1,sin k x l π⎧⎫⎨⎬⎩⎭在[]0,l 上正交，因此，k a 是在[]0,l 区间中正弦展开的傅里叶级数的系数，即()02sin l k k a d l lπϕξξξ=⎰ （18） 故()()222201,sin sina k tll k k k u x t d ex l lπππϕξξξ∞-==⋅∑⎰ （19） 是用级数形式表示的初边值问题的形式解．为了考察由分离变量法得到的形式解是否是混合问题的经典解，还得进行验证． 当1C ϕ∈，且()()00l ϕϕ==，()x ϕ是有界函数，（18）式确定的函数(),u x t 是混合问题的解．分析：在求解过程中，级数（17）中的每一项都满足方程（8），因此只要证明级数（17）可以逐项求导两次就好了．也就是说，如果证明了级数（17）求导两次后仍是一致收敛的，那么它一定满足方程（8），此时边界条件（9）和初始条件（10）的满足也是显然的推论了．证明：由于式（19）中含有因子2222a k tl eπ-，因此对于任意0δ>，当0t >时，对任意的0p >，级数22221p a k tl k k el ππ∞-=⎛⎫⎪⎝⎭∑均是一致收敛的，而由ϕ是有界函数的假设（()x M ϕ<），可得()0sinlk d Ml lπϕξξξ≤⎰故（19）式中列举的所有级数是一致收敛的，因而，由式（19）表示的级数，当0t >时，关于x 及t 是无穷次可导的，并且求导与求和可以交换．由于级数的每一项都满足方程（8）及边界条件(9)、(10)，从而式（19）式表示的级数在0t >时确实满足方程及边界条件．当加上条件()()00l ϕϕ==时，当0t →时，对任意[]0,x l ∈，由式（19）给出的级数趋于初值()x ϕ，即得到式（19）给出的级数确实是初边值问题（8）~（10）的经典解．5 抛物型方程解的估计及其应用先验估计是偏微分方程理论研究中的一个常用的方法．其特点是在假设定解问题解存在的前提下导出解所应当满足的估计，而常用的估计有最大模估计[7]，能量估计[8]等等．一般地，我们可以根据先验估计得到定解问题解的唯一性和稳定性，并且可结合其他一些分析方法推导出解的存在性，此外，作为对解的一种估计，先验估计还可能提供关于解的某种性态（如有界性等）方面的信息．5.1 极值原理考虑热传导方程()()2,,,t x x L u u a u f x t x t Q≡-=∈ 其中(){},0,0Q x t x l t T =<<<≤，Q 的侧边和底边统称为Q 的抛物边界，记作Γ，即(){}(){}(){},0,0,,0,0,0x t x t T x t x l t T x t t x l Γ==<≤⋃=<≤⋃=≤≤在热传导过程中，如果物体内部无热源，则热量总是由温度高处向其它地方扩散，而温度最低处的温度会逐渐上升．因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到．这就是热传导方程的“极值原理”．定理 1（弱极值原理） 设函数()()()2,1,C u x t Q C Q ∈⋂满足Lu f =． （1） 若0f ≤，则u 在Q 上的最大值必在抛物边界Γ上达到，即 ()()m a x ,m a x ,Qu x t u x t Γ=（2） 若0f ≥，则()()m i n ,m i n ,Qu x t u x t Γ=（3） 若0f =，则()()m a x ,m a x ,Qu x t u x t Γ=， ()()m i n ,m i n ,Qu x t u x t Γ=同时成立，这里()2,1C Q 表示在Q 内关于x 二次连续可微，且关于t 一次连续可微的函数全体．证明：（1）不妨先考虑0f <情形． 反设存在点()00,x t Q ∈，使得()()00,max ,Qu x t u x t =则在该点处0x u =，0xx u ≤，0t u ≥（如果0t T <，则0t u =；如果0t T =，则0t u ≥）．因此()()()00200,,0t xx x t f x t u a u =-≥，这与0f <的假设相矛盾．故(),u x t 不能在Q 内达到最大值，从而有()()m a x,m a x ,Qu x t u x t Γ= 当 (),0f x t ≤时，设法将其转化为前面的情形．为此构造辅助函数 ()(),,v x t u x t t ε=- 其中ε是任意小的正数．因为0L v L u f εε=-=-<所以()()m a x ,m a x ,Qv x t v x t Γ=于是()()()()max ,max ,max ,max ,QQu x t v x t t v x t T u x t T εεεΓΓ=+≤+≤+⎡⎤⎣⎦令0ε→，得()()m a x ,m a x ,Qu x t u x t Γ=（2）若0f ≥，则对u -应用情形（1）的结论即可．（3）结合前面两种情况，若0Lu =，则u 在Q 的上的最大值与最小值都在抛物边界Γ上达到．下面我们将弱极值原理推广到稍一般的热传导方程()()()21,,,t x x x L u u a u bx t u c x t u f x t≡-++= 定理 2 函数()()2,1u C Q C Q ∈⋂满足10L u f =≤，则u 在Q 上的正最大值必在抛物边界Γ上达到，即()()m a x ,m a x ,Qu x t u x t +Γ≤由于其证明与定理1的证明方式类似，这里不再赘述．定理3 设()0,c x t c ≥-，其中0c 为正常数．若函数()()()2,1,u x t C Q C Q ∈⋂满足10L u f =≤，且()max ,0u x t Γ≤，则必有()max ,0Qu x t ≤证明 令()()0,,c t v x t e u x t -=，则(),v x t 满足方程 ()0200c t t xx x v a v bv c c v fe --+++=≤ 由于00c c +≥，根据定理2，得()()()0m a x,m a x ,m a x ,0c tQv x t v x t e u x t -++ΓΓ≤≤≤ 因此结论得证．利用定理3，不难得到下列推论：推论1（比较原理） 设()()00,0c x t c c ≥-≥，又设()()2,1,u v C Q C Q ∈⋂，且11L u L v ≤，u v ΓΓ≤，则对任意的(),x t Q ∈，有 ()(),,u x t v x t ≤5.2 初边值问题解的最大模估计设Ω是n R 中的有界开集，0T >．记(0,]T Q T =Ω⨯，(){}()[0,)0T T Γ=∂Ω⨯⋃Ω⨯这里的T Γ称为T Q 的抛物边界．我们先在T Q 中研究抛物型方程记 []()()1,,int i x i A u u u b x t uf x t ==-∆+=∑[]()()()1,,,i nt ix i B u u u b xt u c x t u f x t==-∆++=∑ 考察第一初边值问题[]()()()()()()()()[]1,, ,,0 ,, ,0,i nt i x Ti A u u u b x t u f x t x t Qu x x xu x t g x t x t T ϕ=⎧=-∆+=∈⎪⎪⎪=∈Ω⎨⎪=∈∂Ω⨯⎪⎪⎩∑ （20）定理4 设()()2,1T T u C Q C Q ∈⋂是问题（20）的解，则TQ max u FT B ≤+其中sup TQ F f =，()[]{}0,max max ,max T B x g ϕ∂Ω⨯Ω=证明 令v tF B =+，与u ±作比较．因为 [][]A u F f A u =≥±=± ，(),T x t Q ∈()()(),0,0v x B x u x ϕ=≥±=± ， x ∈Ω v B g u ∂Ω∂Ω∂Ω≥≥±=± ， 0t T ≤≤ 由比较原理知，u v FT B ±≤≤+，即 ()TQ max ,u x t FT B ≤+推论 2 第一初边值问题（20）的解在函数类()()2,1T T C Q C Q ⋂中是唯一的，且连续地依赖于f ，ϕ和g ．证明 当0f g ϕ==≡时，对应的解u 满足TQ max 0u =，故0u ≡，从而解是唯一的．假设i u 是对应于{},,i i i f g ϕ的解，1,2i =，则12u u -是对应于{}121212,,f f g g ϕϕ---的解．于是[]{}TT121212120,Q Q max max ax max ,max T u u T f f g g ϕϕ∂Ω⨯Ω-≤-+--所以当{}111,,f g ϕ与{}222,,f g ϕ充分接近时，1u 与2u 也充分接近，这说明问题（20）的解连续地依赖于f ，ϕ和g ．现在考察第一初边值问题[]()()()()()()()[], ,,0 ,, ,0,TB u f x t x t Q u x x x u x t g x t x t T ϕ⎧=∈⎪⎪=∈Ω⎨⎪=∈∂Ω⨯⎪⎩ （21） 定理5 设()0,c x t c ≥-，()()2,1T T u C Q C Q ∈⋂是问题（21）的解，则 ()0TQ m a x c T u e FT B ≤+其中sup TQ F f =，()[]{}0,max max ,max T B x g ϕ∂Ω⨯Ω=．证明 不妨认为00c ≥，令()0c t v e FT B =+，与u ±作比较．因为[]()()()()()()[]()00000000, =, ,c t c t c t c t c t c t T B u Fe c e Ft B c x t e Ft B Fe e c c x t Ft B Fe F f B u x t Q =+++++++≥≥≥±=±∈()()(),0,0v x B x u x ϕ=≥±=± ， x ∈Ω v B g u ∂Ω∂Ω∂Ω≥≥±=± ， 0t T ≤≤ 由比较原理知，()0c Tu v e FT B ±≤≤+，即()()0TQmax, c T u x t e FT B ≤+5.3 初值问题解的最大模估计记[]T D 0,n R T =⨯，[](),t C u u u c x t u =-∆+ 考察初值问题[]()()()(), ,,0 TnC u f x t x tD u x x x Rϕ⎧=∈⎪⎨=∈⎪⎩ (22) 设(),c x t 连续，()()00,0c x t c c ≥->，(),f x t 和()x ϕ有界，记 s u p TD F f =， sup nR ϕΦ=如果()()2,1T T u C D C D ∈⋂是初值问题（22）的解，则 ()0s u p Tc T D u e FT ≤+Φ证明 令()()0,,c t v x t u x t e -=，则v 满足[]()()()(),,,0 t nD v v v c x t v f x t v x x x R ϕ⎧=-∆+=⎪⎨=∈⎪⎩ （23） 其中()()0,,0c x t c x t c =+≥，()()0,,c t f x t e f x t -=由于解得先验估计方法不能直接用于初值问题，我们希望借助于一个有界区域上的初边值问题进行讨论，任意取定较大的常数L ，记{}](,0,L T D x L T =≤⨯．因为解u 有界，所以存在正常数K 使得u K ≤在D T 上成立，在有界区域,L T D 上考虑辅助函数()()22,2K w x t Ft x nt v L =+Φ++± 直接计算知，在,L T D 上w 满足[]()()()()()()002,22220 ,,0 ,,0c t L T c tx L x L K D w F c Ft x nt e f x t D L K w x x x x LL w x t K u x t e ϕ--==⎧⎧⎫=++Φ++±≥∈⎨⎬⎪⎩⎭⎪⎪=Φ+±≤⎨⎪⎪≥Φ+±>⎪⎩利用比较原理知，(),0w x t ≥在,L T D 上成立对于D T 内的任一点()00,x t ，取L 充分大使得()00,,L T x t D ∈，于是()00,0w x t ≥ 即()()2000002,2K v x t Ft x nt L≤+Φ++ 令L →∞得()000,v x t Ft Ft ≤+Φ≤+Φ从而()()()000000,,c t c T u x t v x t e e Ft =≤+Φ由()00,T x t D ∈的任意性知，估计式（23）成立．推论3 初值问题（23）的解在函数类()()2,1T T C D C D ⋂中是唯一的，且连续地依赖于f ，ϕ．由于其证明与推论3的证明方式类似，这里不再赘述.5.4 初边值问题的能量估计设Ω是n R 中的一个光滑区域，在](0,T Q T =Ω⨯上考察第一初边值问题()()()()()[], ,,0 0 ,0,t T u u f x t x t Q u x x x u x t T ϕ-∆=∈⎧⎪⎪=∈Ω⎨⎪=∈∂Ω⨯⎪⎩ （24） 定理6 设()()1,02,1T T u C Q C Q ∈⋂是问题（23）的解，则存在正常数()C C T =使得()222200max ,2TT t Tux t dx u dxdt C dx f dxdt ϕΩΩΩΩ≤≤⎛⎫+∇≤+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （25） 证明 问题（24的方程两边乘以u 并在T Q 上积分，得000tttt uu dxdt u udxdt f udxdt ΩΩΩ-∆=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（26）对（26）式左端第一项中关于t 的积分利用分部积分以及初值条件，可知()()22011,22t t uu dt u x t x ϕ=-⎰ （27）对（26）式左端第二项关于x 的积分利用散度定理以及边界条件，推出22u u u d x u d S u d x u d x n Ω∂ΩΩΩ∂∆=-∇=-∇∂⎰⎰⎰⎰ （28） 将（27）式和（28）式代入（26）式，得2220022ttu dx u dxdt f udxdt dx ϕΩΩΩΩ+∇=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （29）利用不等式222ab a b ≤+可知 220002t ttf u d x d t f d x d tud x d t ΩΩΩ≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 将上式代入（29）式，得222220002tttu dx u dxdt f dxd u dxdt dx ϕΩΩΩΩΩ+∇≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （30）记 ()20tY t u dxdt Ω=⎰⎰，()220t F t f dxd dx ϕΩΩ=+⎰⎰⎰那么不等式蕴含()()()Y t Y t F t '≤+ 利用Gronwall 不等式[9]推出()()()()()()2022001 tt t t ttu dxdtF t Y t Y e e F t e F t e f dxd dx ϕΩΩΩ=≤+-⎛⎫≤=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰将上式代入（30）式知()22220021tt tu dx u dxdt e f dxd dx ϕΩΩΩΩ⎛⎫+∇≤++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 此式两边关于t 在[]0,T 上取上确界，就得到估计式（25）.下面我们将讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题．设Ω为n R 中的有界区域，且有光滑边界()0,T Q T =Ω⨯，在区域中讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题()()()(),11,,,,i j i nnij x x i x i j i u a x t u u b x t u c x t u f x t t ==∂-++=∂∑∑ （31） ()0 t u x x ϕ==∈Ω （32） 0T u ∑= （33） 解的性质．式中，()0,T T ∑=Γ⨯为区域的侧边界；()12,,n x x x x =∈Ω为方便讨论，作如下假设：（1） 系数ij a 、i b 、c 及右端项f 都是T Q 上的连续函数，并且ij a 在T Q 上还具有一阶连续偏导数．（2） 对一切,1,2,i j n = ；ij ji a a =且存在正常数0α>，使得对一切(),T x t Q ∈及任意给定的实向量()12,,,n ξξξ ，有：()2,11,nnijiji i j i a x t ξξαξ==≥∑∑成立．对于初边值问题的解，定义能量函数：()212E t u d x Ω=⎰ （34）定理7 若(),u x t 为初边值问题（31）~（33）的解，能量函数()E t 按式（34）定义，则能量估计式：()()200 0t C tC tE t E e C e f d x d t t T Ω≤+≤≤⎰⎰（35）成立．其中，C 为一个不依赖于u 的正常数．证明 用u 乘以式(31)，并在Ω上关于x 积分，就得到：()(),11,,i j i n n t ij x x i x i j i u udx a x t u u dx b x t u u cu dx fudx ΩΩΩΩ==⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰⎰⎰ []0,t T ∈ (36) 式左端的第一项可以写成212d u dx dt Ω⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰；当3n ≥时，记12,,,n ααα 为侧边界T ∑法向量的方向角，dS 为广义面积微元．令(),1,2,,i ij ij x p a uu i j n == ，固定i ，让1,2,,j n = ，利用高维高斯公式[10]，并注意边界条件（它隐含着0T u ∑=），边界积分项为零，可得()()()()()()12121122121212120cos cos cos = ==Ti i i n i ni i in n i i in n i x x i x x in x x i i in x x x x p p p dSp p p dx x x x a u a u a u udx a u a u a u u dxααα∑ΩΩΩ=++⎛⎫∂∂∂+++ ⎪∂∂∂⎝⎭+++++⎰⎰⎰⎰故对固定的i ，有：()()()()()12121212=i i i n i ni x x i x x in x x i i in x x x x a u a u a u udx a u a u a u u dx ΩΩ-+++++⎰⎰(37)成立，对式(37)关于i 从1到n 求和．式（36）左端的第二项可以写成：(),1,1,1i j i j iin n ni j x x i j x x i jx x i j i j i j a u u d x a u u d x au u d x ΩΩΩ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰ （38） 将上式的第二项，连同式右端的第三、四项移至等式右边，并将其和记为(),t Q u u dx Ω⎰ 则有()()()1,1,,i i i n n ti x ij x x i i j Q u u dx fudx b x t u u cu a u u dx ΩΩΩ==⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰则由于系数的可微性假设（1）可得，对一切0t T ≤≤成立()21,i nt T xi Q u u d x C u u u d x ΩΩ=⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭∑⎰⎰ （39） 其中T C 为一个不依赖于T 的正常数，但与u 无关．对任意给定的0ε>，有2211122i innnx x i i i nuu dx u dx u dx εεΩΩΩ===≤+∑∑∑⎰⎰⎰ （40）取TC αε=，由式（40）就得到()22111,2innt x i i Q u u dx u dx C u dx αΩΩΩ==≤+∑∑⎰⎰⎰（41）其中212TT nC C C α=+，将式（41）代入式（36），容易得到2221,11111222i j i n n n ij x x x i j i i dE a u u dx u dx C u dx f dx dt αΩΩΩΩ===⎛⎫⎛⎫+≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰⎰ （42） 再注意到由假设（2）有2,11i j i n n ij x x x i j i a u u dx u dx αΩΩ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰ 就可得到()22dEC E t f dx dtΩ≤+⎰ （43）其中2121C C =+．在式（43）两边乘以2C t e -再对t 积分，，并放大被积函数，即可得 ()()200tC tC tE t E e C ef dx d t Ω≤+⎰⎰定理证毕．5.5 能量不等式的应用5.5.1 初边值问题解的唯一性热传导方程是抛物型方程的典型代表．下面考虑二维热传导方程的初边值问题()2t xx yy u a u u f =++ （44）()0,t u x y ϕ== （45） (),,u x y t μΓ= （46） 这里，Γ表示Ω的边界，应用能量不等式可得如下定理．定理8 若热传导方程的初边值问题的解存在，则其解唯一．证明 设1u ，2u 是该定解问题的两个解，则其差12u u u =-满足相应的齐次方程及齐次初始条件和齐次边界条件．此时的齐次方程满足假设（1）、（2），有（34）式定义的能量函数知，在初始时刻有()00E =，故由能量不等式（35）得：()()22220x y E t u a u u dxdy Ω⎡⎤=++=⎣⎦⎰⎰ 即0x y u u u ===，从而可推出(),,u x y t const =．又由于在初始时刻0u =，故得(),,0u x y t ≡．即12u u =．这样就证明了初边值问题（44）~（46）解的唯一性． 5.5.2 初边值问题解的稳定性为了记号简单起见,对于定义在区域Ω上的函数ϕ和定义在区域上()0,T ⨯Ω的函数f ,常以()2L ϕΩ和()()20,L T f ⨯Ω分别表示()122dxdy ϕΩ⎰⎰和()1220Tf dxdydt Ω⎰⎰⎰．定理9 热传导方程的初边值问题：()2t xx yy u a u u f =++()0,t u x y ϕ== 0u Γ=的解(),,u x y t ，在下述意义下关于初始值ϕ与方程右端项f 是稳定的：对任何给定的0ε>，一定可以找到仅依赖于ε和T 的0η>，只要 ()212L ϕϕηΩ-≤ ()212x xL ϕϕηΩ-≤()212y yL ϕϕηΩ-≤ ()()2120,L T f f η⨯Ω-≤ (47)那么以1ϕ为初值、1f 为右端项的解1u 与以2ϕ为初值、2f 为右端项的解2u 之差在上满足()212L u u εΩ-≤ ()212x xL u u εΩ-≤ ()212y yL u u εΩ-≤ （48）证明 记12u u u =-，12ϕϕϕ=-，1f f f =-，则u 满足()2t xx yy u a u u f =++ （49）()0,t u x y ϕ== （50） 0u Γ= （51） 方程（49）满足假设（1）、（2），从而利用能量不等式（35），可得：()()()()222000t TCt Ct E t E e Ce f dxdydt C E f dxdydt ΩΩ≤+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰[]0,t T ∈ （52）式中，2C 为一个仅依赖于T 的正常数．记。
数学中的抛物型方程
数学中的抛物型方程抛物型方程（parabolic equation）是数学中一类重要的偏微分方程，它在物理学、工程学和社会科学等领域中具有广泛的应用。
本文将从抛物型方程的定义、特征和解法等方面进行论述，以帮助读者更好地理解和应用抛物型方程。
一、抛物型方程的定义在数学中，抛物型方程是一类二维或三维偏微分方程，其形式可以表示为：∂u/∂t = a∇²u + bu + c其中，∂u/∂t 表示函数 u 对时间 t 的偏导数，∇²u 表示函数 u 对空间坐标的拉普拉斯算子，a、b、c 是常数。
抛物型方程通常描述了某一物理现象随时间变化的规律，比如热传导、扩散等。
通过解抛物型方程，我们可以预测和分析这些物理现象。
二、抛物型方程的特征1. 热传导方程抛物型方程在热传导方程中的应用是最常见的。
热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间的变化情况。
在一维情况下，热传导方程具有以下形式：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x, t) 表示在时刻 t 位置为 x 的温度，α 是热扩散系数。
2. 扩散方程抛物型方程在扩散方程中的应用也是非常重要的。
扩散方程描述了物质在浓度梯度驱动下的扩散过程。
在一维情况下，扩散方程具有以下形式：∂u/∂t = D∂²u/∂x²其中，u(x, t) 表示在时刻 t 位置为 x 的物质浓度，D 是扩散系数。
三、抛物型方程的解法对于抛物型方程，我们通常采用偏微分方程的求解方法，如分离变量法、格林函数法等。
1. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解抛物型方程的方法。
它的基本思想是将多元函数分解为几个一元函数的乘积，并利用分离后的一元函数满足各自的方程来求解。
以热传导方程为例，我们可以将其分离变量为时间部分和空间部分：u(x, t) = X(x)T(t)代入原方程，得到两个方程：X''(x)T(t)/X(x) = T'(t)/T(t) = -λ²其中，λ² 是常数。
具有退化扩散的抛物—抛物keller-segel方程组全局弱解的存在性
具有退化扩散的抛物—抛物keller-segel方程组全局弱解的存在性几类退化Keller-Segel方程一致L~∞有界弱解的存在性现如今,随着交叉学科研究风靡全世界,越来越多的数学家开始关注其他学科的模型,例如生物模型,化学模型和物理模型.在这篇文章中,我们将研究一个非常有趣的关于细菌趋化性的生物数学模型:Keller-Segel模型.Keller-Segel模型是由Keller和Segel在1970年[1,2]提出的,它主要描述的是网柄菌的生物趋化性.在这个模型中,细菌被一种化学物质所吸引,并且可以释放出同一种化学物质.我们研究的主要目标是对于两种不同的退化Keller-Segel模型,证明其弱解的全局存在性.这篇文章的主要内容如下:在第一章中,我们介绍了Keller-Segel模型的背景信息.通过叙述原始模型的构造过程,我们希望读者能够更深入而全面的了解Keller-Segel模型.我们还列出了一些著名的简化模型以及优雅的结果,旨在向读者展示Keller-Segel模型的动人之处,从而吸引更多的人投身到研究中来.随后,我们陈述了此文灵感的来源,克服的困难以及得到的结论.我们还在这一章中给出了一些尚未解决的问题.在第二章中,我们研究了如下的退化抛物-抛物Keller-Segel模型:这里d≥3,扩散指数0m2-2/d其中,u(x,t)表示细菌的密度,v(x,t)表示化学物质的浓度.不失一般性地,我们假设v(x,0)=0,即最初的容器中并没有化学物质,随后由细菌产生.为了证明弱解的全局存在性,我们首先要得到先验估计.对于已经被广泛研究的退化抛物-椭圆Keller-Segel方程,具有最佳常数的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式是进行估计的关键:然而在退化的抛物一抛物Keller-Segel方程中,HLS不等式不再适用,因为v(x,t)无法由基本解的形式表出.因此,我们利用半群理论代替HLS不等式进行先验估计.以下关于半群的定义及估计是标准的.考虑柯西问题:定义0.0.1.设T＞0，p≥1(?)以及(?).函数(?)满足是问题(2)在[0,T]上唯一的温和解.这里热半群算子et△为(?),其中G(x,t)是热核即(?)不难证明,上面定义的温和解也是方程的一个弱解.接下来,我们介绍一个著名的热核的最大Lp模正则性结论,它是进行先验估计的关键.引理0.0.1.假设1p+∞,T0.那么对每一个f∈Lp(0,T;Lp(Rd)),方程(2)在Lp(0,T;Lp(Rd))的意义下,有且仅有一个解h(x,t)满足h0(x)=0.进一步地,对所有的f∈Lp(0,T;Lp(Rd)存在一个只与p有关的正常数Cp,使得现在,应用最大Lp模正则性以及一些标准估计,我们得到了方程(1)弱解的先验估计：众所周知,弱解的L1模和L∞模有界是两个非常重要的性质.在进行先验估计的过程中,我们能够得到弱解的质量守恒.接下来,我们将应用Bootstrap迭代的方法证明弱解的L∞模是一致有界的.根据上面所得到的弱解的先验估计,我们能够通过构造(1)的正则化问题来证明方程弱解的全局存在性,即证明第二章的主要定理.我们考虑如下的正则化问题:对ε0,其中d≥3,0m2-2/d对初值u0ε(x)进行适当的假设,我们能够证明正则化问题存在一个经典解且满足定理0.0.1中所有的先验估计.在整个证明的过程中,我们主要遇到的困难是无法应用Aubin-Lions引理证明强收敛,因为只得到了的一致有界性而不是▽uε模的.因此,我们需要应用Aubin-Lions-Dubinskii引理[3]:引理0.0.2.设B,Y是Banach空间,M+是B中的一个非负半赋范锥,且满足M+∩Y≠(?),1≤p≤∞.如果(i)M+→B是紧的,(ii)对所有(ωn)(?)B,当n→∞时,在B中有ωn→ω,在Y中有ωn→0,则ω=0,(iii)U(?)Lp(0,T;M+∩Y)且在Lp(0,T;M+)中有界,(ⅳ)当h→0时,在u∈U中一致地有||u(t+h-h)-u(t)||Lp(0,T-h;Y)→0,那么U在Lp(0,T;B)中是相对紧的.为了应用Aubin-Lions-Dubinskii引理,我们选取B=Lp(Ω),并构造是一个满足下面定义的Lp+1中的非负半赋范锥.定义0.0.2.设B是一个Banach空间,M+(?)B满足(1)对所有的u∈M+,C≥0有有Cu∈M+,(2)存在函数[·]:M+→[0,∞),使得当且仅当u=0时,[u]=0,(3)对所有C≥0,有[Cu]=C[u],那么M+是B中的一个非负半赋范锥.从而,应用Aubin-Lions-Dubinskii引理,我们可以逐步的证明全局弱解的存在性.此外,当1m2-2/d时,弱解还是一个弱熵解.我们已经列出了证明第二章中存在性定理的重要思想,现在我们给出定理的完整叙述:在第二章的最后,我们证明了弱解的局部存在性并给出了一个爆破准则.当0m2-2/d时,退化抛物-抛物Keller-Segel方程弱解的有限时间爆破仍然是一个公开问题.第三章,我们在d≥3的情况下提出了p-LaplaceKeller-Segel方程:其中p1.这个模型是退化抛物-椭圆Keller-Segel模型的一个自然延伸,因为多孔介质方程和p-Laplace方程都叫作非线性扩散方程.二者虽然属于不同的领域,但在描述的现象上,使用的技巧上以及获得的结果上都有很多重合之处.在这个p-LaplaceKeller-Segel方程中,我们找到了一个临界指数p,它与方程(1)中的m=2-2/d扮演相同的角色.当p=3d/d+1时,如果(u,v)是方程(5)的一个解,我们构造u的质量守恒坐标变换以及相应的v的坐标变换那么(uλ,vλ)也是方程(5)的一个解.因此,我们将p=3d/d+1称为临界指数.对一般的p,(u λ,vλ)满足如下的方程根据p的不同取值,我们将问题分为超临界情形和次临界情形.当1p3d/d+1时,我们称为超临界情形.在超临界问题中,当细菌密度很高时,聚合作用强于扩散作用,导致有限时间爆破;当细菌密度很低时,扩散作用强于聚合作用,导致无限时间的传播.相应地,当p3d/d+1时,我们称为次临界情形.在次临界问题中,当细菌密度很高时,扩散作用强于聚合作用,阻止了有限时间爆破;当细菌密度很低时,聚合作用强于扩散作用,从而阻止了无限时间的传播.在第三章中,我们的主要目的是在超临界大初值假设下,证明方程(5)弱解的全局存在性.为了证明定理,我们首先要进行先验估计:对于p-LaplaceKeller-Segel方程,我们并没有像第二章一样得到u的质量守恒,这是一个公开问题.但是使用Bootstrap迭代方法,我们同样能够得到方程(5)弱解的L∞一致有界性.证明过程中的主要思想与定理0.0.2基本相同,但细节上却存在很大差异.得到弱解的先验估计后,我们构造方程(5)对应的正则化问题来证明本章中最主要的存在性定理:对于ε0这里α(d)是d-维单位球的体积.对初值u0ε(x)进行适当的假设,我们能够证明正则化问题存在一个经典解且满足定理0.0.4中所有的先验估计.那么结合Aubin-Lion引理得到的强收敛以及一致有界估计得到的弱收敛,我们能够证明第三章的主要定理:定理0.06.设d≥3,1p3d/d+1,q=d(3-p)/p.如果u0∈L+1(Rd)∩L ∞(Rd),A(d,p)=Cp,d3-p-‖u0‖Lq3-p0,其中Cp,d=[qpp/Kp(d,p)(q-2)+p)p]1/3-p是一个常数,那么方程(5)存在一个非负的全局弱解(u,v),使得定理0.04中所有的先验估计以及定理0.05中的L∞一致有界估计都成立.定理的证明过程中,困难的部分是用单调算子理论得到非线性项的极限.下面的引理是单调算子的一个重要性质:引理0.0.3.对任意η,η'∈Rd,下列不等式成立其中C1和和C2是两个只依赖于p的正数.当1p3d/d+1时,p-LaplaceKeller-Segel方程弱解的有限时间爆破仍然是有待解决的问题。
一类带有非局部源的退化抛物型方程组解的局部存在性
（） ３
。
（ ＋ ｄ一 ＋－ ） △ 。 ｘ （ 口型 ＝ 。） ｆｄ 。 （ ＋ ｄ一 （ ＋ ｄ＋（ ＋ 。 ＋ｆ ｄ ＝ △ 口 △ 。 △ 。 ｄ一（ 。ｙ ） 瓦 ） ） 面 ） ａ ｍ （ ＋ｊ （ｔ △＋ｆ ｓ， △ 口 ） ，＋（ 口 （ｔ ） ’ ｓ ） ． ｘ） ． ｄ ｘ ｃ ｄ ２
Ｏ Ｕｏ
＜ ｏ，
＜ ０；
（２ Ａ ０ｘ Ｈ ） ｕ（ ）＋０ ｍ ｘ≥０Ａ ０ ｕｄ ０ ∈ ． ｌ口ｄ ｏ ， ｖ ＋ｂ ￣ｘ≥ ， Ｉｏ
在过 去几 年 中 ， 多作 者研 究 了各种 各 样 的退 化 问题 和 非局 部 问题 ｎ ］Ｄ ｎ ； 研究 了问题 （ ）中 许 ． ｅｇ １ ｍ ＝ ｎ＝ １ 的特殊 情 形 ， 用 一般 的逼 近 方法 ， 利 即构 造 问题 的逼 近解 序列 ， 到 了局部 解 的存在 性 ， 得 受此
Ｗ￡ １ｗ ≥ ｃ ２ １ ｃ ２ ｔｄ ， ｌ一ｄＡ ｌ １ ＋Ｃ １ （ ）ｘ ｌ ２ ３ ， Ｉ Ｗ
√ “
ｒ
２ 一 ￡
ｄＡ ２ ｃ ｌ ２ ２ １ ｔｄ ，戈 ｔ Ｅ Ｑ ， ２ ｗ ≥ ２ ＋Ｃ Ｃ （ ）ｘ （ ，） ｒ １ ２ ３ ， Ｉ Ｗ
√
１
（ ｔ ， ）≥ ｏ Ｗ （ ｔ ， ２ ， ）≥ ｏ （ ｔ ， ， ）∈ ｓ ， ｒ （ ０ ，）≥ ０ Ｗ （ ０ ，２ ， ）≥ ０ ∈ 力． ，
≥
同理
ｓ ≥
（ ＋－ ）Ｘ） （ ＋＇ｗ ｄ． △ 。 ，＋ △ ６善（ 『 （ｔ ｓ ｊ２ ） 。 ）
其 中
１ （ ＋（ 一 里 ｄ ， ＝９ （ ＝Ｐ Ｉ １ ）） Ｏ ２ 臼 一 Ｊ 瓦＋（ 一 ） Ｏ １ ） ｄ， 一
一类具有非线性边界条件的退化抛物型方程整体弱解的存在唯一性
摘要 ： 讨 论 了一 类 具 有 非 线 性 边 界 条 件 和 非 线 性 源 项 的退 化抛 物 型方 程 的整 体 弱 解 的存 在 唯 一 性 ． 首先 给出 了经 典 解 的一 致 估 计 ， 然 后 利 用 弱 解 的 比较 原 理 以及 分 析 方 法 证 明 了 该 问题 整 体 弱 解 的 存 在 唯 一 性 ． 在 宽 松
第３ ９ 卷 第 ４期
２ ０ １ ３年 １ ２月
延边大学学报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙａ ｎ ｂ ｉ ａ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
Ｖｏ【 ＿３ ９ ＮＯ． ４
Ｄｅ ｃ ． ２ ０１ ３
文 章编 号 ：１ ０ ０ ４ — ４ ３ ５ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ２ ４ ４ — ０ ４
一
类具 有 非线 性 边界 条 件 的退化 抛物 型 方 程 整 体 弱 解 的存 在 唯 一 性
朴 东 哲
（延 边 大 学 理 学 院 数 学 系 ， 吉林 延吉 １ ３ ３ ０ ０ ２）
许多学 者利 用方 程 （ １ ）的定解 问题对 多孔 媒介 中流体 的渗流Ⅲ 、 某 种 生物 群 的扩散 跚 、 非线 性媒 介 中热 传导 。 等实 际 问题进 行 了研 究 ， 并 取得 了很多 成果 ．目前 为 止 ， 有关 具 有非 线性 边 界条 件 的退 化抛 物型 方程 整体弱 解 的存 在 唯一性 的研究 成果 很少 ． 本文 证 明方程 （ １ ）经 典解 的一致 估计 后 ， 结 合 文
ｔ ｉ ｏ ｎｓ ． Ｔｈｅ ｎ，ｗ ｅ ｐ ｒ ｏ ｖｅ ｅ ｘ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎｃ ｅ ａ ｎｄ ｕｎ ｉ ｑ ｕ ｅ ｎｅ ｓ ｓ ｏ ｆ ｇ ｌ ｏ ｂａ ｌ ｗｅ ａ ｋ ｓ ｏｌ ｕ ｔ ｉ ｏｎｓ ｔ Ｏ ｔ ｈｅ ｐｒ ｏ ｂｌ ｅ ｍ ｂ ｙ ｔ ｈｅ ｃ ｏｍ ｐａ ｒ ｉ ｓ ｏｎ
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解
一维抛物型偏微分方程初边值问题求解摘要：一、引言二、一维抛物型偏微分方程1.定义与性质2.初边值问题三、求解方法1.紧差分格式2.追赶法3.有限元算法四、Matlab程序实现1.紧差分格式程序2.追赶法程序五、结论与展望正文：一、引言在数学、物理等领域，偏微分方程是一类重要的方程。
其中，一维抛物型偏微分方程在科学研究和实际应用中具有广泛的意义。
本文将探讨一维抛物型偏微分方程的初边值问题的求解方法，并介绍相应的Matlab程序实现。
二、一维抛物型偏微分方程1.定义与性质一维抛物型偏微分方程是指具有如下形式的方程：u_t = a * u_xx其中，u(x, t) 表示未知函数，t 表示时间，x 表示空间坐标，a 为常数。
2.初边值问题初边值问题是指在给定的初始条件和边界条件下求解偏微分方程的问题。
在一维抛物型偏微分方程中，初边值问题可以表示为：u(x, 0) = u_0(x)u(x, t) = u_t(x, t) 在边界x=0，x=L上三、求解方法1.紧差分格式紧差分格式是一种求解偏微分方程的方法，其精度为O(h^(1/2) * Δt)，无条件稳定。
在这种方法中，我们首先需要建立离散的网格系统，然后通过数值积分求解离散化的偏微分方程。
2.追赶法追赶法是一种求解线性方程组的方法，也可以用于求解初边值问题。
在这种方法中，我们首先需要将偏微分方程转化为线性方程组，然后使用追赶法求解线性方程组。
3.有限元算法有限元算法是一种基于变分原理的求解方法，可以将偏微分方程问题转化为求解有限元空间的线性方程组。
这种方法在求解一维抛物型偏微分方程时具有较高的精度和可靠性。
退化抛物方程
退化抛物方程
退化抛物方程是一类特殊的偏微分方程，它是指在某些条件下，一般的抛物方程会退化成低维的方程。
具体来说，退化抛物方程是指存在一个参数 $\epsilon$，当 $\epsilon$ 趋近于零时，抛物方程中的某些项变得可以忽略不计，从而导致方程退化为低维方程。
退化抛物方程在数学和物理学中都有广泛的应用。
其中一个经典的例子是热方程，热方程是指物质中的热量随着时间的推移而传导的方程。
在一些情况下，热方程的传导速度可能非常快，这时候就需要使用退化抛物方程来更好地描述现象。
另一个应用退化抛物方程的例子是生物学中的扩散方程，例如在细胞扩散、细胞分裂等现象中，使用退化抛物方程就能更好地描述细胞的行为。
总之，退化抛物方程是一类重要的偏微分方程，不仅在数学领域中具有重要研究价值，而且在物理学、生物学等实际应用中也起到重要的作用。
拟线性抛物型方程解的渐近性
拟线性抛物型方程解的渐近性拟线性抛物型方程是现代数学中的一类重要方程，它是一种非线性的方程，它的解决方案或渐近性性是值得研究的热门话题。
拟线性抛物型方程是一种把一类非线性方程用线性化处理的解法，它可以将复杂的方程简化为引入新变量后的线性方程组，用这种线性化处理方法可以极大地简化难解的非线性问题，而且也减少解决的计算参数，使计算机能够有效地解决问题。
拟线性抛物型方程的渐近性是指当某种变量增大到无穷大时，它的解的某些性质会不断改变，而且往往这种变化是有规律的，即当这个变量趋近无穷大时，这个方程解的某些性质也会随之发生变化，那么这种变化就是拟线性抛物型方程渐近性的重要特征。
此外，拟线性抛物型方程的渐近性还可以表示在不同的参数范围内，方程的解的某些性质也会不断的发生变化，而这种变化也是按照一定的规律发生的，所以说拟线性抛物型方程的渐近性也就是它解的某些性质将会随着参数的变化而不断变化的一种性质。
研究拟线性抛物型方程的渐近性的研究最早是在20世纪50年代末，当时有美国数学家泰勒在研究这一主题，他建立了拟线性解抛物型方程的渐近性的理论，他提出在不同参数下，方程解的某些性质将会随参数变化而发生变化，从而建立了该方程解的渐近性的理论基础。
随后，美国数学家斯坦森又针对该方程解进行了进一步的研究，他证明了拟线性抛物型方程解的渐近性也具有一定的抗变形特性，也即在一定的参数范围内，只要方程的参数发生变化，这个方程的解的某些性质也能够较好地克服这种改变而保持不变。
后来，丹麦数学家维森也针对该方程解进行了深入的研究，他从另一个角度考虑了拟线性抛物型方程解的渐近性，他提出拟线性抛物型方程解的渐近性也可以用于估计问题的解，即当参数的取值不断增大时，方程的解的某些性质也能够更好地接近实际的解。
综上所述，拟线性抛物型方程的渐近性是一类重要的数学理论，它的理论构建与研究也是现代数学领域的一项重要研究内容，它对于研究复杂非线性问题的解决方案有着重要的指导意义。
抛物型方程
一 热传导方程如果空间某物体内温度分布不均匀，内部将会产生热应力，当热应力过于集中时。
物体就会产生裂变，从而破坏物体的形状，工程技术上称此种现象为裂变。
当物体内点处的温度不同时，则热量就从温度较高的点处向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。
1初值问题一维热传导方程的初值问题是222(,),,0,(,0)(),.u ua f x t x t tx u x x x ϕ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪=-∞<<∞⎩应用Fourier 变换解初值问题，可得到(,)(,)()(,)(,)t u x t K x t d d K x t f d ξϕξξτξτξτξ∞∞-∞-∞=-+--⎰⎰⎰其中(,)K x t=22/(4),0,0,0.x a t t t ->⎪≤⎩若()(,)x C ϕ∈-∞∞且有界，(,)0f x t ≡时，(,)u x t 确定的函数确实是初值问题的有界解。
对于多维热传导方程的初值问题，我们同样可以用多维Fourier 变换求出它的解的表达式，以三维问题为例，我们有33(,,,)(,,,)(,,)(,,,)(,,,)RtRu x y z t K x y z t d d d d K x y z t f d d ξηζϕξηζξηζτξηζτξηζτξηζ=---+----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中2222()/(4)23/21,0(4)(,,,)0,0.x y z a t e t a t K x y z t t π-++⎧>⎪=⎨⎪≤⎩2混合问题混合问题指由基本方程，初始条件和边界条件构成的问题。
实际上，很多物体的运动不仅依赖于初始条件，而且还受边界条件的影响，从而构成微分方程的混合问题。
有界杆的热传导问题2(,),0,0,(,0)(),0,(0,)(,)0,0.t xx u a u f x t x l t T u x x t l u t u l t t T ϕ⎧-=<<<≤⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎩初始条件是指开始时刻物体的分布情况，可表示为00(,,,)|(,,)t u x y z t x y z ϕ==边界条件有多种情，第一种情形，在物体边界上能够给定具体的温度分布的约束，即1|(,,)s u x y z ϕ=这种边界条件称为第一类边界条件。
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>
n−qq2 qp2
或m
≤ pp1或n
≤
qq2,
以及初值数据u0(x), v0(x)充
分小.
那么, 问题(1.1)-(1.4)的每个非负解都具有整体性.
证 根据比较原理, 对于任意的T > 0, 我们只需要构造有界的、 正的上解即可. 假
设φ(x)表示下列线性椭圆问题的唯一正解:
−∆φ(x) = 1, x ∈ Ω; φ(x) = 1, x ∈ ∂Ω.
的局部存在性定理:
定理 1 假设u0, v0 0, u0, v0 ∈ L∞(Ω), 则存在T ∗ = T ∗(u0, v0) > 0使得对于任意 的T < T ∗, 问题(1.1)-(1.4)都存在一个非负的弱解(u(x, t), v(x, t)), 而且, T ∗ = +∞或者
lim sup ∥u(·, t)∥∞ = +∞ 或 lim sup ∥v(·, t)∥∞ = +∞.
u(x, t) = 0, v(x, t) = 0,
(x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ),
(1.4)
其中Ω是RN (N 1)中具有光滑边界∂∫Ω的一个有界区域, m, n > 1,的有界函数, ∥ · ∥αα = Ω | · |αdx.
应用数学 MATHEMATICA APPLICATA 2019, 32(3): 664-668
一类退化抛物型方程组解的渐近性质
覃思乾, 周泽文, 凌征球 ( 玉林师范学院数学与统计学院, 广西 玉林 537000 )
摘要： 本文利用正则化技术和上下解方法, 研究一类退化抛物型方程组，确定了
解的整体存在与爆破的渐近性质.
记
C = (C + 1) |Ω| , 1
(
p1 m
+
q1 n
)
p m−pp1
p α(m−pp1 )
C2
=
(C
+
1) |Ω| −
1 p2
(
p2 m
+
q2 n
)
−
1 βp2
.
(i) 如果m
> pp1, n >
qq2
以及
pq1 m−pp1
<
n−qq2 qp2
,
那么一定存在足够大的常数k1
≥
∥u0∥∞, k2
到
u¯t − ∆u¯m = k1m,
∥u¯p1 v¯q1 ∥pα
≤
k1pp1 k2pq1 (C
+
1)p(
p1 m
+
q1 n
)
|Ω
|
p α
.
(2.2)
类似地,
v¯t − ∆v¯n = k2n,
∥u¯p2 v¯q2 ∥qβ
≤
k1qp2 k2qq2 (C
+
1)q(
p2 m
+
q2 n
)|Ω|
q β
.
(2.3)
方程(1.1)-(1.2)组成一个反应扩散系统的简单例子, 可用于描述化学反应、热传导以及种
群动力系统等过程的数学模型. 最近, 出现了许多非线性抛物方程组解的渐近性质问题的研究
成果, 如DENG[1], 杨婕[2], 雷学红[3]，王文海[4], 凌征球[5]等, 他们通过使用不同的方法与手段,
讨论各种退化抛物型方程组解的性质。 特别, 周泽文[6]研究了p1 = q1 = 1, p2 = q2 = 1时方程 组(1.1)-(1.2)的情况, 借助于正则化技术与上下解方法, 给出了方程组解的局部存在性, 整体存
t→T ∗
t→T ∗
∗ 收稿日期：2018-08-20
基金项目：国家自然科学基金 (11461076) 作者简介：覃思乾, 男, 汉族, 广西人, 副教授, 研究方向：微分方程理论. 通迅作者： 凌征球.
第3期
覃思乾等：一类退化抛物型方程组解的渐近性质
665
这里我们省略上述的细节而专注于讨论解的性质. 对于定理1的T ∗, 如果T ∗ < +∞, 我们 称方程组的解(u(x, t), v(x, t))在有限时刻爆破, 否则称解是整体存在的.
在与爆破条件. 受以上文献思想启发, 本文在更一般的情况下讨论方程组(1.1)-(1.2)的解的渐
近性质, 主要目的是要扩展文[6]的结果, 而且给出有别于文[6]的方法得到了方程组解的整体存
在与爆破的条件.
首先, 当初值u0(x), v0(x)非负且具有紧支集和满足适当相容性条件的光滑函数时, 使用 文[1]的方法, 我们可以建立最大值原理与比较原理, 而且通过正则化手段, 还可以得到下列解
令C = max φ(x), 那么1 ≤ φ(x) ≤ C. 定义如下的函数
x∈Ω
(
)1
(
)1
u¯(x, t) = k1 φ(x) + 1 m , v¯(x, t) = k2 φ(x) + 1 n ,
(2.1)
其中k1, k2 > 0是待定常数. 显然, 对于任意的T > 0, (u¯, v¯)都是有界函数. 另外, 简单的计算得
≥
∥v0∥∞使得
pq1
n−qq2
C k m−pp1 12
≤ k1 ≤ C2k2 qp2
.
(2.4)
由此得到
u¯t − ∆u¯m ≥ ∥u¯p1 v¯q1 ∥pα, v¯t − ∆v¯n ≥ ∥u¯p2 v¯q2 ∥qβ,
(2.5)
这样, 函数(u¯, v¯)就是问题(1.1)-(1.4)的一个上解.
爆破的条件:
ut = ∆um + ∥up1 vq1 ∥pα, vt = ∆vn + ∥up2 vq2 ∥qβ,
(x, t) ∈ Ω × (0, T ), (x, t) ∈ Ω × (0, T ),
(1.1) (1.2)
u(x, 0) = u0(x), v(x, 0) = v0(x),
x ∈ Ω,
(1.3)
2. 解的整体存在定理及证明
定理 2 如果下列的条件之一成立:
(i)
m > pp1, n > qq2,
pq1 m−pp1
<
; n−qq2 qp2
(ii)
m
> pp1, n
>
qq2,
pq1 m−pp1
=
n−qq2 qp2
以及区域(|Ω
|)充分小;
(iii)
m
>
pp1, n
> qq2,
pq1 m−pp1
(ii)
如果m
>
pp1,
n
>
q
q2
并且
pq1 m−pp1
=
. n−qq2 qp2
不失一般性,
我们假设Ω
⊂⊂ B,
这里B是
一个充分大的球, 并且设ψB(x)是下列椭圆问题的唯一解
关键词：退化抛物型方程组; 渐近性质; 上下解
中图分类号： O175.2
AMS(2000)主题分类：35K15; 35K55; 35K65
文献标识码： A
文章编号： 1001-9847(2019)03-0664-05
1. 简介
本文研究下列退化的抛物型方程组解的渐近性质，并专注于讨论方程组解的整体存在与