试用积分法求图示各梁的转角方程和挠度方程
工程力学第2节 确定梁位移的积分法
例10-3 如图图示简支梁， l 4m ，弯曲刚度EI 1640N m2。在无限接近右支座 B 处受到矩为的集中 力偶 M e 120 N m 作用，试求 (1)转角方程和位移方 程；(2)梁的最大挠度。
解：(1)转角方程和 位移方程 x
Me FA FB l
梁的弯矩方程为
5
3
4
令 x 0，得B截面的挠度为
ql yB （ ） 30 EI
Me 2 x C (1) 将上式一次积分得转角 y' 2EIl
Me M ( x) x l
转角方程
Me 2 y' x C 2EIl
(1)
再次积分，可得挠度方程：
Me 3 y x Cx D (2) 6EIl 边界条件： x 0 时，y0 0 ； x l 时，yl 0 M el D0 C 6EI M e 2 M el 2 0 . 00915 x 0.0488 x 2EIl 6EI M e 3 M el 3 x 0.0488x y x x 0.00305 6EIl 6EI
再次积分，可得挠度方程：
1 1 1 3 4 y ( qlx qx ) Cx D EI 12 24
1 1 1 3 2 ( qlx qx ) C EI 4 6 1 1 1 3 4 y ( qlx qx ) Cx D EI 12 24 边界条件： x 0 时，y0 0 ； x l 时，yl 0
补充例 悬臂梁AB在三角形分布载荷作用下，跨 度为l，抗弯刚度为EI，如图所示。试求B截面的挠度。 解：与B截面距离为 x 的任一截面的载荷集度为
x q( x) q l
(0 x l )
梁的挠度及转角(1)
yc2 = mL2/16EI
力的分解法----各横截面的位移或转角等 于每项荷载独立作用时在同位置产生的挠 度和转角代数和。
A= A1+ A2= FL2/16EI + mL/6EI
B= B1+ B2= - FL2/16EI - mL/3EI
yc= yc1 + yc2 = FL3/48EI +mL2/16EI
2）M(x)是连续函数。
3）梁的变形是在线弹性小变形范围内。
4)
0
x
5.EXANPEL y
例5-1：求悬臂梁B截面的转角和B截面挠度， 设 ：梁长为L，EI = 常数 。
Ax
F ①求约束反力 YA=F mA= FL
x
B ②列弯矩方程 M(x)=Fx-FL
③列挠曲线近似微分方程
yM (x)F(Lx) EI EI
1. 叠加原理的适用范围 2.叠加原理
1)力的分解法-2)梁的分段法--
1. 叠加原理的适用范围
在材料的线弹性范围内，梁的小变形且纵向变形忽略不计的条件下，梁的 挠度和转角与作用在梁上的荷载成线性关系.
2.叠加原理—
１）梁在几项荷载同时作用下某一横截面 的挠度和转角，可等于每一项荷载单独作 用下该截面的挠度和转角的叠加．
1.弯曲变形的弊与利 2.挠曲线（deflection curve) 3.挠度和转角方程(equation of deflection and slope) 4.弯曲位移的符号规则
1.弯曲变形的弊与利
Fp
Fp
q
2Fp
❖❖❖使利设结用计构变成的形弯使的曲用物形功理以能条达受件到到求减影弯震象曲，，静减严不少重定动时问载会题荷破。。坏。
《材料力学》 练习题 (弯曲变形)
《材料力学》练习题（弯曲变形）
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1、试用积分法求如图所示梁：
（1）挠曲线方程，并绘出挠曲线的大致形状；
（2）截面A处的挠度和截面B处的转角。
（EI为已知）
2、用积分法求图所示各梁的挠曲线方程、转角方程和B截面的转角、挠度。
（设EI=常数）
3、试用积分法求图中截面A 处的挠度和转角。
4、外伸梁受力如图所示，试用积分法求A θ、B θ及D y 、C y 。
（设EI =常数）
6、试用叠加法求如图所示简支梁C截面的挠度和两端的转角。
8、如图所示梁AB 的右端由拉杆BC 支承。
已知：4kN/m q =，2m l =，3m h =，梁的截面为边长200mm b =的正方形，材料的弹性模量110GPa E =；拉杆的横截面面积2250mm A =，材料的弹性模量2200GPa E =。
试求拉杆的伸长l ∆，以及梁的中点在竖直方向的位移。
用积分法求梁的变形
M ( x) EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
o
M
M
x
o
x
d2y 0 2 dx
y y
M
d2y 0 2 dx
M
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
梁挠曲线近似微分方程
d 2 M ( x) 2 dx EI Z
x0
x0
L b 3
1 L 2
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
b0
3 L 0.577 L 3
例题 5.4
画出挠曲线大致形状。图中C为中间铰。
F
A
两根梁由中间铰连接，挠曲线在 中间铰处，挠度连续，但转角不 连续。
1 2
1 2
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
y
A
C
B
x
C
B
tan
d dx
d dx
M ( x) EI Z dx C1
M ( x ) 在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。 dx dx C1 x C2 EI Z
通过积分求弯曲位移的特征： 1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
B
2M ( x ) d d Fx dx C C EI Fxdx EI C z 11 z 1 dx dx 2 EI Z
x
y
边界条件
2 3 Fx C xC Fx EI dx z 2 EI z 1 x C2 26 C1
积分法计算梁的变形
积分法计算梁的变形
步骤：（EI为常量） 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M（x）。 2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
EIw(x) M (x)
EIw(x) M (x)dx C1 EIw (x) ( M (x)dx)dx C1x C2
积分法计算梁的变形
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确
C1
C2
Fb 6L
(L2
b2 );
D1 D2 0
确定挠曲线和转角方程
w1
F b x1 6LEI
L2 b2 x12
w2
Fb 6LEI
L b
(x2
a)3
x23
(L2
b2
)x2
1
w1
Fb 6LEI
(L2 b2 ) 6x12
2
w2
Fb 2LEI
L b
(x2
a)2
x22
1 3
(L2
5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大 值、转角的最大值。
例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
w
x
L
F
x
解：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) F(L x)
写出微分方程并积分 EIw FL Fx
EIw
FLx
1 2
Fx
2
C1
EIw
FLx2 2
Fx3 6
C1x
C2
EIw
q
确定积分常数
x =0 , w=0 ; x=L , w=0 .
C1
ql3 24,C2 0A NhomakorabeaB
L
最大挠度及最大转角
确定挠曲线和转角方程 w qx (l3 2lx2 x3 )
材料力学第六版答案第07章
习 题7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI 为常量。
7－1（a ） 0M()M x = ''0EJ M y ∴='0EJ M y x C =+ 201EJ M 2y x Cx D =++ 边界条件: 0x =时 0y = ；'0y = 代入上面方程可求得：C=D=0201M 2EJ y x ∴='01=M EJ y x θ= 01=M EJ B l θ 201=M 2EJ B y l（b ）222()1M()222q l x qx x ql qlx -==-+- 2''21EJ 22qx y ql qlx ∴=-+-3'2211EJ 226qx y ql x qlx C =-+-+422311EJ 4624qx y ql x qlx Cx D =-+-++边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=04223111()EJ 4624qx y ql x qlx ∴=-+-'2231111=(-)EJ 226y ql x qlx qx θ=+- 3-1=6EJ B ql θ 4-1=8EJ B y ql（c ）()()()()()0303''04'050()1()()286EJ 6EJ 24EJ 120l xq x q lq l x M x q x l x l x l q y l x l q y l x Cl q y l x Cx Dl-=-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭∴=-=--+=-++边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：4024q l C l -= 50120q l D l=()455000232230120EJ 24EJ 120EJ(10105)120EJq q l q l y l x x l l l q x l l lx x l ∴=---+-=-+-3024EJ B q l θ=- 4030EJB q l y =-(d)'''223()EJ 1EJ 211EJ 26M x Pa Pxy Pa Pxy Pax Px C y Pax Px Cx D=-=-=-+=-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=023'232321112611253262B C C B y Pax Px EJy Pax Px EJ Pa Pa Pay y a a EJ EJ EJPa EJθθθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭⎛⎫==-⎪⎝⎭=+=+==g g(e)()()()21222''1'211231113()02()2223EJ 231EJ ()2231EJ ()46a M x q qax x a q M x a x a x a a y q qaxa y qa x x C a y qa x x C x D =-+≤≤=--≤≤=-+=-++=--+++g g 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=0()()()22118492024EJ 12EJ qax qax y a x a x x a ∴=--=--≤≤''2223'222242232221EJ ((2)4)21EJ (42)2312EJ (2)2312y q a ax x x y q a x ax C x y q a x ax C x D =--+=--++=---+++边界条件：x a = 时 12y y = ；12θθ=代入上面方程可求得：2296a C = 4224qa D =-()()43223421612838464162384q y x ax a x a a a x a EJ-=-+-+≤≤43412476B B qa y EJqa EJθ=-=-(f)()()221222''212'231122341115()20225()2225251EJ 22251EJ 26511EJ 4324qa qx M x qax x a qa qa a M x qax x a x a a y q ax x a y q x ax x C a y q x ax x C x D =-+-≤≤⎛⎫=-+--≤≤ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C 1=D 1=0''22'2222223222EJ (2)1EJ (2)21EJ ()6y q a ax y q a x ax C y q a x ax C x D =--=--+=---++ 边界条件：x a = 时 12y y = ； ''''12y y =3296a C =- 4224a D =-437124136B B qa y EJqa EJθ=-=-7-2 用积分法求图示各梁的挠曲线方程，端截面转角θA 和θB ，跨度中点的挠度和最大挠度，梁的抗弯刚度EI 为常量。
积分法求变形
版权所有 钟艳玲 张强
(3) 确定转角和挠度方程 (AB 段)
0 x1 l :
EI z
y1
M (x1)
Fx1 2
EIz1 EIz y1 M (x1) dx1
Fx1 2
dx1
Fx12 4
C1
1
1 EI z
(
Fx12 4
C1)
EIz y1
26
2
2
版权所有 钟艳玲 张强
例 1 求如图所示悬臂梁的最大挠度和转角。
y
工 程 力 学
第 7 章
弯 曲 变
5. 挠曲线和转角方程
EIy Fl x2 F x3 26
EI EIy ' Flx F x2
2
6. 最大挠度和转角 (在 B 截面处)
xl:
MA y
F
Ax
Bx
FA
l
MA A
1 2
M
0x2
Cx
D
y
1 EI z
(1 2
M0x2
Cx
D)
1 EI z
(M 0 x
C)
工 程 力
y
1 EI z
(1 2
M0x2
Cx
D)
学 (3) 确定积分常数
M0
第
A
7
x 0: 0 C 0
B
章
y0 D0
l
弯 曲 变 形
M0x
EI z
y M0x2 2EI z
F
工程力学--材料力学(北京科大、东北大学版)第4版第六章习题答案
第六章习题6—1用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。
已知抗弯刚度EI为常数。
6-2、用积分法求以下各梁的转角方程、挠曲线方程以及指定的转角和挠度。
已知抗弯刚度EI为常数。
6-3、用叠加法求图示各梁中指定截面的挠度和转角。
已知梁的抗弯刚读EI为常数。
6-4阶梯形悬臂梁如图所示，AC段的惯性矩为CB段的二倍。
用积分法求B端的转角以及挠度。
6-5一齿轮轴受力如图所示。
已知：a=100mm,b=200mm,c=150mm,l=300mm;材料的弹性模量E=210Pa;轴在轴承处的许用转角[]=0.005rad。
近似的设全轴的直径均为d=60mm,试校核轴的刚度。
回答：6-6一跨度为4m的简支梁，受均布载荷q=10Kn/m,集中载荷P=20Kn,梁由两个槽钢组成。
设材料的许用应力[]=160Ma,梁的许用挠度[]=。
试选择槽钢的号码，并校核其刚度。
梁的自重忽略不计。
m壁厚=4mm,单位长度重量6-7两端简支的输气管道，外径D=114m。
q=106N/m,材料的弹性模量E=210Gpa。
设管道的许用挠度试确定管道的最大跨度。
6-845a号工字钢的简支梁，跨长l=10m,材料的弹性模量E-210Gpa。
若梁的最大挠度不得超过，求梁所能承受的布满全梁的最大均布载荷q。
6-9一直角拐如图所示，AB段横截面为圆形，BC段为矩形，A段固定，B段为滑动轴承。
C端作用一集中力P=60N。
有关尺寸如图所示。
材料的弹性模量E=210Gpa,剪切弹性模量G=0.4E。
试求C端的挠度。
提示：由于A端固定，B端为滑动轴承，所以BC杆可饶AB杆的轴线转动。
C端挠度由二部分组成；（1）把BC杆当作悬臂梁，受集中力P作用于C端产生的挠度，；（2）AB杆受扭转在C锻又产生了挠度，。
最后，可得C端的挠度6-10、以弹性元件作为测力装置的实验如图所示，通过测量BC梁中点的挠度来确定卡头A处作用的力P，已知,梁截面宽b=60mm,高h=40mm,材料的弹性模量E=210Gpa。
工程力学(天津大学)第11章答案
第十一章 梁弯曲时的变形习 题11−1 用积分法求下列简支梁A 、B 截面的转角和跨中截面C 点的挠度。
解：（a ）取坐标系如图所示。
弯矩方程为：xlM M e=挠曲线近似微分方程为：xlM y EI e-=''积分一次和两次分别得：Cxl My EI e +-='22， （a ）DCx xlMEIy e++-=36 (b)边界条件为：x =0时，y =0，x =l 时，y =0， 代入（a ）、(b)式，得：0,6==D l M Ce梁的转角和挠度方程式分别为：)62(12l M xlMEIy e e+-='，)66(13lx M xlMEIyee+-=所以：EIlM y l EIMθEIl M θe C eB e A 16,3,62=-==（b ）取坐标系如图所示。
AC 段弯矩方程为：)20(11l x x lM M e≤≤=BC段弯矩方程为：)2(22l x l Mx lM M ee≤≤-=两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：(a)(b)习题11−1图xAC 段：11x lM y EI e-=''12112C x l My EI e+-='， （a ） 1113116D x C x lMEIye++-= (b)BC 段：eeMx lM y EI +-=''2222222C Mx l My EI ee++-='， （c ）22223226D x C x M x lMEIye e+++-= (d)边界条件为：x 1=0时，y 1=0，x 2=l 时，y 2=0， 变形连续条件为：2121212y y y y l x x '='===，时，代入（a ）、(b)式、（c ）、(d)式,得：,8D 0,2411,2422121l M D l M C l MC eee==-==，梁的转角和挠度方程式分别为：AC 段：)242(121l M x lMEIy e e+-='，)246(11311lx Mx lMEIy ee+-=BC 段：)24112(12222l M x M x lMEIy e e e-+-='，)8241126(12222322l M lx M x M x lMEIy e eee+-+-=所以：0,24,24===C eB e A y l EIMθEIl M θ11−2 用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。
材料力学 积分法求梁的变形
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
7章习题解材料力学课后习题题解
1 3 2 2 1 l 3 EIy2 qlx ql x q x C2 x D2 12 16 24 2
4
1 2 3 2 qlx ql x C1 4 8 1 3 EIy1 qlx 3 ql 2 x 2 C1 x D1 12 16 EIy1
M =3ql /8 A
2
q B C x
ql/2 y
x1 x2 l/2
(b)
l/2
1 3 2 M1 ( x) qlx ql EIy1 2 8 1 2 3 2 qlx ql x C1 EIy1 4 8 1 3 2 2 3 EIy1 qlx ql x C1 x D1 12 16
3
2
代入积分常数可得：
13ql C y(l ) 48EI
4
M =5ql /8
A
2
q
B x1 x2 l/2
(b)
ql/2
C
71ql yC y (l ) 384 EI
4
ql
l/2
补例：采用叠加法求梁截面C处的挠度yC和转角 。梁的抗弯 刚度EI为常数。 q ql/2 解：分为图示两种荷载 B 单独作用的情况 C A
3
A
yC
l/2
(b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l/2
q
B C
A
l/2 l/2
θB
yB
y C1
ql/2
B
A
l/2 l/2
C
y C2
7.2（d）试用积分法求图示梁 C 截面处的挠度yC和转角θC 。 梁的抗弯刚度EI为常数。 q qa 解：支座反力如图， A B 本题应分3段建立 C 挠曲近似微分方程。 3qa/ 4 5qa/ 4 ( d ) 因此，写出3段弯矩 x1 x2 方程为：
材料力学刘德华版课后习题答案
2.1 试求图示杆件各段的轴力，并画轴力图。
2.2 已知题2.1图中各杆的直径d =20mm ，F =20kN ，q =10kN/m ，l =2m ，求各杆的最大正应力，并用图形表示 正应力沿轴线的变化情况。
答 （1）63.66MPa ，（2）127.32MPa ，（3）63.66MPa ，（4）-95.5MPa ，（5）127.32MPa2.4 一正方形截面的阶梯柱受力如题2.4图所示。
已知：a=200mm ，b=100mm ，F=100kN ，不计柱的自重，试 计算该柱横截面上的最大正应力。
解：1-1截面和2-2截面的内力为： FN1=-F ；FN2=-3F相应截面的应力为：最大应力为：15kN15kN20kN10kN(4)10kN5kN10kN 30kN+---FN 图-+++FF FF 20k N 30k N 50k N 40k N 40k N10k N 20k N (2)(1)F N图图NF l(5)q FFF q ll(5)qF+127.32MPa63.69MPa15kN 15kN 20kN 10kN (4)31.85MPa 15.82MPa +---Fs 图31.85MPa95.5MPa 4m4mabF题2.4图FF3N11213N22221001010MPa 100300107.5MPa200F A F A σσ-⨯===--⨯===-max 10MPaσ=2.6 钢杆受轴向外力如图所示，横截面面积为500mm2，试求 ab 斜截面上的应力。
解： FN=20kN2.8 图示钢杆的横截面积 A=1000mm2，材料的弹性模量E=200GPa ，试求：（1）各段的轴向变形；（2）各段的轴向线应变；（3）杆的总伸长。
解：轴力图如图所示2.10 图示结构中，五根杆的抗拉刚度均为EA ，杆AB 长为l ，ABCD 是正方形。
在小变形条件下，试求两种加载情况下，AB 杆的伸长。
解 （a ）受力分析如图，由C 点平衡可知：3020kNob aa b a b p αs αατF N o N N 0cos30==F F p A A ααo 2oN 03cos30cos 302010330MPa 5004F p A σ==⨯=⨯=αα3o o o N020103sin30cos30sin3017.32MPa 5004F p A ⨯===⨯=αατ-+20kN20kN 20kN ⅠⅡⅢ20kN20kN1m 1m 2m12320N 0N 20N N N N F k F k F k ===-41119624333962011020010100010020221020010100010N N F l L m EA L m F l L m EA ----⨯∆===⨯⨯⨯∆=⨯∆===-⨯⨯⨯⨯4411122244333101010210102L m l mL l L ml mεεε----∆===∆==∆-⨯===-41243100210L m L m L m--∆=∆=∆=-⨯I II III 0.1mm 00.2mm 0.1mm l l l l ∆=∆+∆+∆=+-=-F ’AC=F ’CB=0；由D 点平衡可知： F ’AD=F ’BD=0； 再由A 点的平衡：因此（b ）受力分析如图，由C 点平衡可知：再由A 点的平衡：因此2.12 图示结构中，水平刚杆AB 不变形，杆①为钢杆，直径d1=20mm ，弹性模量E1=200GPa ；杆②为铜杆，直径d2=25mm ，弹性模量E2=100GPa 。
04-8.2 积分法求梁的变形
材料力学大连理工大学王博积分法求梁的变形积分法计算梁的变形每段弯矩方程积分后出现两个积分常数，须确定它们积一次分： 积两次分：挠曲线微分方程： EIMw"=C x EIMw'+==⎰d θ⎰⎰++⎪⎭⎫ ⎝⎛=DCx x x EI M w d d积分常数的确定1.边界条件 —— 约束条件挠曲线必须正确地通过约束点2. 连续条件 —— 相邻挠曲线必须光滑连接x = 0, w = 0 x = l , w = 0 x = 0 , w = 0 θ = 0lxBAlxBA例题1：写出确定积分常数的条件边界条件 : x = 0, w 1 = 0w 1′ = 0 x=a+l , w 2= Δl CDa l l xABC Dyq12连续条件 : x = a , w 1= w 2例题2已知：EI = 常数求：1. 挠度、转角方程 2. w max , θmax3. 画挠曲线大致形状 解：1. 建立坐标系EIw = -Flx 2/2 + Fx 3/6+C x+DEIw ′ = -Flx +Fx 2/2+CEIw ″ = M(x)= - Fl + Fx 4.列挠曲线近似微分方程并积分M(x)= -Fl+Fx （0<x ≤l ）3.列弯矩方程2. 求支反力 Fxy F lx BA F AM AF A =F （↑）, M A =Fl （ ）5. 确定积分常数6. 确定转角方程和挠曲线方程7. 求w max , θmaxx = 0 , w = 0 D = 0x = 0 , w’ = 0 C = 0xy FlxB A )2(2x l EI Fxw'--==θ)3(62x l EIFx w --=EIFll x B 2,2max-===θθ33max Fl x l ,w EI ==-（ ） （ ）EIw = -Flx 2/2 + Fx 3/6 +C x+DEIw ′ = -Flx +Fx 2/2+C例题3已知：EI = 常数求：1. 挠度、转角方程 2. w max , θmax 3. 画挠曲线大致形状 解：1. 建立坐标系F A =2F /3（↑）, F B =F /3（↑） EIw 1= F A x 3/6＋C 1 x ＋D 1 EIw 1′= F A x 2/2＋C 1EIw 1″= F A x 4.列挠曲线近似微分方程并积分M 1=F A x （0≤x ≤a ） 3.列弯矩方程 EIw 2″= F A x －F (x －a )EIw 2′= F A x 2/2 －F (x －a )2/2 ＋C 2EIw 2= F A x 3/6 －F (x －a )3/6＋C 2x ＋D 2M 2= F A x －F (x －a ) （ a ≤x ≤3a ） 2.求支反力2aay xA F C BxxF A F B5. 确定积分常数x= 0 , w 1= 0 —D 1= 0x = 3a , w 2 = 0 —C 1 = C 2 = －5Fa 2/96. 确定转角方程和挠曲线方程EI θ1=Fx 2/3－ 5Fa 2/9 EIθ2=Fx 2/3－F (x －a )2/2－ 5Fa 2/9 EIw 1=Fx 3/9－ 5Fa 2x /9 EIw 2=Fx 3/9－F (x －a )3/6－ 5Fa 2x /9 （0≤x ≤ a ） （ a ≤ x ≤3a ）x =a , w 1′= w 2′ —C 1 = C 2w 1 = w 2 — D 1 = D 2 = 0EIw 1= F A x 3/6＋C 1 x ＋D 1EIw 2= F A x 3/6 －F (x －a )3/6＋C 2x ＋D 22aa y x A F C Bx xF A F B2aay xA F CB xxF AF B8.画挠曲线大致形状 可根据约束和载荷画出7. 求w max , θmax)(95,02max ↵===EI Fa x A θθEIFa a x B 94,32==θ00'22=⇒=θw )(4838.03max↓=EIFa w ax 367.1=简支梁在挠曲线无拐点时 可用中点挠度代替最大挠度对比, 梁的中点D接近最大挠度（误差1％）1，最大挠度的计算2aay xAF CB F A F B1.5a1.367a w maxw D)(4838.0,367.13max↓==EIFa w a x )(4792.03↓=EIFa w D 讨论：2.画挠曲线大致形状依据如下条件：1. 约束条件2. 载荷情况，作出M图3. 凹凸情况——由w″即M的正负号决定M>0,则凹M<0,则凸一段M= 0,直线一点M= 0,拐点4. 光滑连续特性《咏挠曲线》挠挠挠曲线弯矩图光连和支座正负有凹凸13FlFlMM e M eA B C Dl l l哪一个是正确的？DCA BMM e。
工程力学第六章答案 梁的变形-工程力学梁的弯曲答案
第五章 梁的变形测试练习1. 判断改错题5—1—1 梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面,转角亦为零。
（ )5-1—2 两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。
（ ） 5—1—3 悬臂梁受力如图所示，若A 点上作用的集中力P 在A B 段上作等效平移,则A 截面的转角及挠度都不变。
( ）5—1—4 图示均质等直杆（总重量为W )，放置在水平刚性平面上，若A 端有一集中力P 作用，使A C 部分被提起，C B 部分仍与刚性平面贴合，则在截面C 上剪力和弯矩均为零.( ）5-1—5 挠曲线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。
( ） 5-1—6 等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。
( ） 5—1—7两简支梁的抗刚度E I 及跨长2a 均相同，受力如图所示,则两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的. （ ） 5-1-8 简支梁在图示任意荷载作用下，截面C 产生挠度和转角，若在跨中截面C 又加上一个集中力偶M 0作用，则梁的截面C 的挠度要改变,而转角不变。
（ )5—1-9 一铸铁简支梁,在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时，梁同一截面的应力及变形均相同。
（ ) 5—1—10 图示变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个,则通常有6个积分常量。
（ ）题5-1-3图题5-1-4图题5-1-8图题5-1-7图题5-1-9图2．填空题5—2—1 挠曲线近似微分方程EIx M x y )()("-= 的近似性表现在和。
5—2—2 已知图示二梁的抗弯度E I 相同，若使二者自由端的挠度相等，则=21P P 。
5—2—3 应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是：。
5—2—4 在梁的变形中挠度和转角之间的关系是。
5—2-5 用积分法求图示的外伸梁（B D 为拉杆)的挠曲线方程时,求解积分常量所用到的边界条件是，连续条件是.5—2—6 用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时,求解积分常量所用到边界条件是,连续条件是。
材料力学第2版 课后习题答案 第7章 弯曲变形
解：查自重得：
q = 587.02 N / m
J = 15760cm4 Pl 3 5ql 4 f =− − 48EJ 384EJ −176 × 103 × 113 = 48 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 −587.02 × 5 × 114 + 385 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 = 0.0377 m = 3.77cm
(d) 解：
D A P P E
' yC = y E + θ B ia + y C
C B P
− P ( 2a ) − Pa 3 − Pa3 = − − 3EJ 3EJ 3EJ 3 −10 Pa = 3EJ
3
252
7-5 门式起重机横梁由4根36a工字钢组成如图所示， 梁的两端均可视为铰支， 钢的弹 性模量E=210Gpa。试计算当集中载荷P＝176 kN作用在跨中并考虑钢梁自重时，跨中截面 C的挠度yC。
x=l
∴y =−
'
∴D = 0
y=0
∴C =
− M 0l 6
M 0l 2 ⎛ x x 3 ⎞ ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
M 0l 2 ⎛ 1 3 x 2 ⎞ ∴θ = y = − ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
− M 0l 2 l ；此时挠度最大 f = 3 9 3EJ 2 ⎛ l ⎞ − M 0l 中点挠度 y ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 16 EJ − M 0l Ml θA = θB = 0 6 EJ 3EJ （b）解： 设中点为C点，则分析CB段
''
C2 = −
D2 = −
a4 24
名师讲义【段乐珍】工程力学第13章 梁的挠度和刚度计算
2
2 EIw(l) 0
EIw
1 6
qx3
ql 4
x2
C1
1 24
ql 4
ql 12
l3
C1l
D1
0
EIw
1 24
qx 4
ql 12
x3
C1x
D1
C1
ql 3 24
5 梁的转角方程和挠曲线方程
EIq 1 qx3 ql x2 ql3
6
4 24
EIw 1 qx4 ql x3 ql3 x 24 12 24
l
D2
C2l
C2l D2 0
D2
7ql 4 24 16
,
C2
7ql 3 24 16
C1
q 48
4
l3
7ql 3 24 16
9ql 3 24 16
EIw1
q 24
x4
3ql 48
x3
C1x
D1
EIw2
1 48
ql
l
x3
C2 x
D2
EIw1
l 2
q 24 16
l4
3ql 48 8
l3
C1
l 2
when w1 0
Fb x2 Fb l2 b2 0 2l 6l
l2 b2 a l b a a 2b
x
3
3
3
if a b then x a
wmax
w1(x )
9
Fb 3EIl
l2 b2 3
if a b then x a
wmax
Fl 3 48EI
例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 A
载荷分解如图eipapaeiqaqa24qcqlpcpa叠加qapaeipapaeiqaqaeiqlqc24eipaqapaeieiqaqaqleieieiqaqleiei27155256qlplqleieiei3511309256qlqlqleieiei136用逐段刚性法求阶梯悬臂梁自由端的挠度和转角把变形后的ac刚性化把未变形cb刚性化fleieieieieieiflei求cb的变形把变形后的ac刚化此时cb可看成以c为固定端的悬臂梁fleieieiei把变形后的ac刚性化b截面的位移等于ac段变形引起cb的刚性位移和cb自身弯曲引起的位移之和482416flflfleieieiqlqlqleieiei137用逐段刚性法求解简支外伸梁的挠度把未变形bc刚性化把变形后的ab刚性化faleileifaleieieiei求bc的变形把变形后的ab刚化此时bc可看成以b为固定端的悬臂梁c截面的位移等于ab段变形引起bc的刚性位移和bc自身弯曲引起的位移alfaeieieialfaeieiea抗扭刚度135梁的刚度条件与合理刚度设计1353511309256qlqlqleieiei三种计算max设计截面尺寸设计载荷a01m200mm例空心圆杆d40mmd80mme210gpa工程规定c点的wl000001b点的q0001弧度校核此杆的刚度
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角梁是一种常见的结构，在结构设计和分析中经常需要求解梁的挠度和转角。
挠度和转角是评价梁在受载过程中变形情况的重要指标，对于保证梁的安全性和使用寿命有着重要作用。
本文将介绍用积分法求解梁的挠度和转角的方法。
首先，需要明确梁的基本假设及其约束条件。
梁的基本假设包括：梁轴线是直线、截面内部应力分布均匀、横截面形状及尺寸在受力过程中不变、截面在平面内转动的角度很小、且不影响梁内部的应力分布等。
约束条件一般有：端部固定或支承等。
接着，需要根据约束条件和配重条件列出梁的弯曲方程和边界条件。
假设梁长度为L，x轴方向为梁轴线方向，则弯曲方程为：d^2y/dx^2+M/(EI)=0其中，y是梁的挠度，M是弯矩，E是杨氏模量，I是梁的截面惯性矩，上述方程即为梁的弯曲方程。
根据约束条件和配重条件，可以列出边界条件。
对于悬臂梁，端点处有一个支承，因此边界条件为y(0)=0,d^2y/dx^2(0)=0；对于双端支承梁，两端都有支承，因此边界条件为y(0)=y(L)=0,d^2y/dx^2(0)=d^2y/dx^2(L)=0。
根据弯曲方程和边界条件可以解出梁的挠度和转角。
但是，弯曲方程中的弯矩是未知的，需要通过力学分析求解。
通常的做法是，将梁截面分成若干小段，每段长度为dx，考虑该段上下两点的受力平衡条件，可以得到该段的弯矩M。
然后将弯矩代入弯曲方程求解，就可以得到该段的挠度和转角。
最后将所有小段的挠度和转角相加即可得到整个梁的挠度和转角。
具体的计算过程可以用数值方法进行，也可以用解析方法求解。
下面介绍解析方法的两种常用技巧：超定积分法和欧拉-伯努利积分法。
超定积分法是一种较为简单和常用的求解梁挠度和转角的方法。
它的基本思想是将弯曲方程两端同时积分两次，得到整个梁的挠度函数和转角函数，然后根据边界条件解出各个常数。
以悬臂梁为例，弯曲方程为：将上式积分两次，得到：其中，b1和b2是积分常数，需要根据边界条件求解。
试用积分法求图示各梁的转角方程和挠度方程
8-1试用积分法求图示各梁的转角方程和挠度方程，并求A 截面转角和C 截面挠度。
解：如(c)图所示 约束反力为：P R B =， Pl M B 23=弯矩方程为：8-3 滚轮在天车梁上移动。
现将梁做成向上微弯，若要求滚轮在梁上能走一水平路径，问需把梁预弯成什么形状（用v＝f (x)的方程表示）才能达到要求？8-6 试画出下列各梁的挠曲线的大致形状。
注意曲率符号及支座约束条件。
8-9．EIa q y c 84=，此梁曲线的大致形状如图c 所示。
8-178－23 试用，叠加法计算图示等截面刚架B 处的垂直位移。
C 处为刚节点。
此刚架的截面为圆形，抗弯刚度为EI ，抗扭刚度为GI P 。
解： 分段考虑（1）AC ：C 点受力P 和力矩M ＝Pl 的共同作用。
在力P 作用下：EIpl y c 331=在力矩M 作用下：ρϕGI pl l y c 22== （2）BC ：EIpl y B 33= ρGI pl EI pl y y y v B c c B 332132+=++=8－28 A 1B 梁用A 2C 梁加固，两梁的EI 相同，试用变形比较法求两梁接触处的压力Y C 。
并用叠加法求v B 。
解：分开考虑两个梁 （1） 对A 1B ：A 1B 受到P 和Y c 的共同作用，当P 单独作用时：))(3(6121/1↓−=l l EI pl v c当Y c 的单独作用：)(321//1↑=EIl Y v c c//1/11c c c v v v −=∴对A 2C ：)(3212↓=EIl Y v c c利用，可得： 21c c v v =∴ 114)3(l l l p Y c −=（2）当P 单独作用时：)(321↓=EIpl v B当Y c 的单独作用： ))(3(61211↓−=l l EIl Y v c B)3(63121321l l EIl Y EI pl v v v c B B B −−=−=∴ 8-30 图示结构，悬臂梁AB 和简支梁DG 均用18号工字钢制成，BC 为圆截面钢杆，直径d ＝20mm 。
用积分法求图示各梁的挠曲线方程
用积分法求图示各梁的挠曲线方程『7-1』写出图示各梁的边界条件。
在图（d）中支座B的弹簧刚度为C （N/m）『7-3』用积分法求图示各梁的挠曲线方程及自由端的绕度和转角。
设EI=常数。
卜•Tu me(a) * 3057，'「2AEI0(b)—\随厂—：:：。
(c)41屛v ----- ,3845/•二。
V =-(d)3BAE!1奶4857o5PaIPa『7-4』用积分法求图示各梁的挠曲线方程、端截面转角挠度和最大挠度。
设EI=常量。
巴和「、跨度中点的解答(a)(b)(c)(d) 8A =~e£=S A=WqaJ I：..--',5 01汕三，V r —1 16£Z旳=i\9qa:V 二—---q岸_ V T =-一血二o二丄-,7685/9^321时為，V| =—----------------------彳768525.04护768刚7-5』求图示悬臂梁的挠曲线方程及自由端的挠度和转角。
设时应注意到梁在CB段内无载荷，故CB仍为直线。
EI=常数。
求解______________ C r JJ■ 1fli解答（a ）V»=一選6EI『7-6』若只在悬臂梁的自由端作用弯曲力偶 m 使其成为纯弯曲，则由 1 m===■ __Q 知心=常量，挠曲线应为圆弧。
若由微分方程（7-1）积分，将得到 卩2E1。
它表明挠曲线是一抛物线。
何以产生这种差别？试求按两种结果所 得最大挠度的相对误差。
解答(b )ma z . 叫二——(! _一) 耳 EC 2\冷tp田 r ElP血 HIA L 成J 毎-X J L J—1 -- 112; T rTJ +1 1r T点对称，所以可以只考虑梁的二分之一解答\e\『7-7』用积分法求梁的最大转角和最大挠度。
在图 b 的情况下，梁对跨度中 Inwc （a ）16So1::hb2(a)(h)n 9H 8S(a ) o(b ) o76857 (c)pBJtAB -T◎SB =同二竺 LI 二3P 卩(b ) I 忘—面7 ,卩「~2%EI解答『7-8』用叠加法求图示各梁截面 A 的挠度和截面B 的转角。
用积分法求梁的挠度和转角
d 2 y M (x) dx2 EI
EI
d2y dx2
M
(x)
积分一次得转角方程为：
EIy M (x)
dy dx
M (x) EI
dx
C
再积分一次得挠度方程为：
y
M (x) EI
dx
dx
Cx
D
梁截面的已知位移条件或位移约束条件，称为梁位移的边界条件。 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
由边界条件：
x 0，yA 0 ; D 0
xl,
yB 0 ;
C ql3 24
例8-2 一简支梁如图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用 。试求此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。
x 0，yA 0 ; D 0
dx EI 2
再积分一次
y
F
lx 2 (
x3 ) Cx D
EI 2 6
2、由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0, yA 0
代入求解
C 0, D 0
3、确定转角方程和挠度方程
F (lx x2 ) y F (lx2 x3 )
EI 2
EI 2 6
4、确定最大转角和最大挠度
24EI
最大转角和最大挠度分别为：
5ql 4
ymax
y
x l 2
384EI
max
A
B
ql3 24 EI
感谢下 载
xl,
yB 0 ;
C ql3 24
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
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8-1试用积分法求图示各梁的转角方程和挠度方程，并求A 截面转角和C 截面挠度。
解：如(c)图所示 约束反力为：
P R B =， Pl M B 2
3=
弯矩方程为：
8-3 滚轮在天车梁上移动。
现将梁做成向上微弯，若要求滚轮在梁上能走一水平路径，问需把梁预弯成什么形状（用v＝f (x)的方程表示）才能达到要求？
8-6 试画出下列各梁的挠曲线的大致形状。
注意曲率符号及支座约束条件。
8-9．
EI
a q y c 84=，此梁曲线的大致形状如图c 所示。
8-17
8－23 试用，叠加法计算图示等截面刚架B 处的垂直位移。
C 处为刚节点。
此刚架的截面为圆形，抗弯刚度为EI ，抗扭刚度为GI P 。
解： 分段考虑
（1）AC ：C 点受力P 和力矩M ＝Pl 的共同作用。
在力P 作用下：EI
pl y c 33
1=
在力矩M 作用下：ρ
ϕGI pl l y c 2
2
== （2）BC ：EI
pl y B 33
= ρ
GI pl EI pl y y y v B c c B 3
32132+
=++=
8－28 A 1B 梁用A 2C 梁加固，两梁的EI 相同，试用变形比较法求两梁接触处的压力Y C 。
并用叠加法求v B 。
解：分开考虑两个梁 （1） 对A 1B ：
A 1
B 受到P 和Y c 的共同作用，
当P 单独作用时：))(3(612
1/1
↓−=l l EI pl v c
当Y c 的单独作用：)(32
1//1
↑=EI
l Y v c c
//1/11c c c v v v −=∴
对A 2C ：)(3212
↓=EI
l Y v c c
利用，可得： 21c c v v =∴ 1
14)
3(l l l p Y c −=
（2）
当P 单独作用时：)(321↓=
EI
pl v B
当Y c 的单独作用： ))(3(61211
↓−=l l EI
l Y v c B
)3(6312132
1l l EI
l Y EI pl v v v c B B B −−=−=∴ 8-30 图示结构，悬臂梁AB 和简支梁DG 均用18号工字钢制成，BC 为圆截面钢杆，直径d ＝20mm 。
梁和杆的弹性模量均为E ＝200GPa 。
若P ＝30kN ，试计算梁和杆内最大正应力以及截面C 的垂直位移。
解：求C 点位移
设杆BC 的轴力为N ，则AB 杆收力为N
∴
c
P P N =− 根据几何关系: C B v v −=∆l 由物理方程得
1.4N
l EA
∆= ()3
48C P N v EI −⋅=
33B N v EI α=
∴ ()4 1.4833P N N N EI
EA
EI
−⋅=+
∴
9.82N K =N
3max
6
9.82102106.118510AB a z N AB MP W σ−⋅××===×
3max
26
9.821031.31010
BC a A MP N σπ−×===⋅×
()()3max
6
111309.82104224109.118510
DG a z P N DG MP W σ−−⋅−×××
===× 所以 梁最大正应力为109.1a MP 杆最大正应力为31.3a MP ()()333934
309.82104108.1484820010166010a
P N DG v mm EI
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8-31．。