构造法证明不等式
灵活运用构造函数法，提升证明不等式的效率
设 0 < x1 < x 2 ，
æx
ö
2 ç 1 - 1÷
x1 2 ( x1 - x 2 )
è x2
ø
=
③ 可变形为 ln <
④，
x2
x1
x1 + x 2
+1
x2
令 t=
x1
( 0 < t < 1 )，
x2
可得 h( t ) = ln t -
2
2 ( t - 1)
，
t+1
( t - 1)
即需证
数学篇
42
首先将要证明的不等式进行移项、作差，使所有
则函数 h( x) 单调递减且 h(1) = 0 ，
1 ·h( x) > 0
所以当 x ∈ ( 0,1) 时，h( x) > 0 ，
；
1 - x2
1 ·h( x) > 0
当 x ∈ (1, +∞) 时，h( x) < 0 ，
；
1 - x2
综上所述，当 x > 0 且 x ≠ 1 时，
所以当 x > 0 时, h′(x) < 0 , h(x) 单调递减,
1
1
1
1 ö,
因为 >
,所以 hæ ö < hæ
n n+1
è n ø è n + 1ø
1 ö > n ln æ1 + 1 ö
故 (n + 1)ln æ1 +
.
nø
n + 1ø
è
è
运用函数最值法证明数列不等式时，同学们需依
例谈“构造法”证明不等式
ｆ （ ） ｂ ＋ ６ ｃ １ （ ＋ １ （ ＋ １ 厂 １一 ｃ ＋ ＋ 一 ｂ ）ｃ ）
Ｉ （ １ 一 ６ 一 ６ Ｃ １ （ — １ （ 一 １ 一 ） ｃ 一 ＋ 一 ６ 点Ｑ 直 ＋ 一 一 的 离为ｄ则ｄ 去， ， 一 ‘ ・ ‘
‘
． ．
使 Ｐ — ， Ｂ— Ｙ Ｐ Ａ Ｐ ， Ｃ一
，
。
且 ＡＰＢ一 ＢＰＣ＝ ＣＰＡ １ ０ ２。
‘
． ．
Ａ Ｂ＝、
歹 ，
Ｂ ＝ ，—————— ． ＝ Ｊ——————． Ｃ ， Ｚ ｚ ＋ｙ ＡＣ ／ ＋ ｅ ｚ ｙ ｘ ＋ｚ ＋ｘ ｚ ｚ ｚ
在 △ＡＢＣ中 ， Ｂ＋ Ｂ ＞ＡＣ， Ａ Ｃ
功倍．
证 明 ： 口 （ １ ｂ ，１ ， ＝ （ ２ ｂ ，２ 设 一 ｎ ，１ Ｃ ） 西 口 ，２ Ｃ ）
Ｏ
ｔ １
［ 责任 编校
钱 骁 勇］
０ ａ ＋ ｂ ６ ＋ ２ 口 ・ｂ １２ １２ １ ＝ Ｃ
１ ＋ ６ ＋ Ｃ ２ １ １ １ ； 口 ，ａ ＋ ｂ ＋ Ｃ ２ ２ ２ 一 ｂ
｛ Ｑｌ Ｐ ≥ ， ‘ ｌ Ｑ ｌ≥ ｄ ，‘ （ ＋ ２ ＋ （ ＋ ２ 即 ． ‘ Ｐ 。． ． ） ｙ ）
．
１ ６ １， １＜ ｃ １ ＜ ＜ 一 ＜
≥ 萼
５ 构造 图形
．
．
ｆ １＞ ０ ，（ ）
Ｉ （ １＞ Ｏ 厂 一 ）
一 ： ．． ＋
． ．
当 一１ ＜ １ ， （ ） ０ ＜口 时 ｆａ ＞ ． 口
０ｄ 一４ 。 口 １ ≥ Ｏ 即 （ ４ （ 一 ４ ≥ ０ ． 。 ａ ＋４ 一 ６ ， 口＋ ）口 ） ，‘ ．
论运用构造法证明不等式
显然 当 Ｉ ＰＱＩ 短 时 ， Ｑ 分 别 是 直 线 — Ｘ 最 Ｐ， 与 半 圆 。 ＋ 一２ ｙ Ｏ 及 双 曲线 ｚ 一 ９在 （≥ ）
第 一 象 限 的 两 个 交 点 ， 时 Ｐ（ ， ） Ｑ（ ， 此 １ １ ， ３
３ ，Ｐ 一２ ２ 所 以 ） Ｉ Ｑｉ √ ．
一
Ｉ Ｉ ｎ ． ｆＩ ｂ １ Ｉ Ｊ ＪＩ’ ＋ ｝ 』 Ｊ ＋ 口＋ ６ １ 口 ＋ Ｊ ６
十 ，
≤
得 以解 决． 造法 的内涵十 分丰富 ， 构 没有 完全 固定 的模 式 可 以套 用 ， 是 以 广泛 抽象 的普 它 遍 性与现 实 问题 的特 殊性 为基 础 ， 对 具 体 针 问题 的特 点而 采取 相 应 的解 决 办法 ， 基本 其 的方法是 ： 用一类 问题 的性质 ， 借 来研 究另一
ｆ ＋６ ≤ ｌ ｌ ｆｊ ｅ ｆ ａ ＋ ｂ， ｌ 有 ≤
由于复数与 其他 内容 联 系密 切 ， 因而 对
某些 问题 的特 点 ， 以指 导学 生从 复 数 的定 可
义性质 出发来解决一些数 学难 题． 例 ３ 求证 、 ＋ 干 ＝ ＋
第 ３ Ｏ卷第 ５ 期
简析
不 等式左 边可看成／ ｚ称 与 玛
对提 高我们 的解 题 能 力也 有所 帮 助 ， 面我 下
们 通 过 举 例 来 说 明如 何 通 过 构 造 法 证 明 一 些 不等式 ．
、９ 。 两 乘 积 的 和 ， 而 联 想 到 数 量 积 的 ／ 一ｚ 两 从
坐标表 示 ， 左 边看 成 向量 口 （ ， ） 将 ＝ 与
于 是 由
ｌ ＋ Ｊ ｌ ｌ Ｉ Ｉ Ｉ Ｊ ＋ 。 ＋ ｚ ≥ ｉｌ ２ ｚ ＋ ＋ ＋ ， ４ ｆ
高中数学解题方法-----构造函数法证明导数不等式的八种方法
高中数学解题方法构造函数法证明不等式的八种方法1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。
2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。
以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：1.移项法构造函数 2、作差法构造函数证明3、换元法构造函数证明4、从条件特征入手构造函数证明5、主元法构造函数6、构造二阶导数函数证明导数的单调性7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）8.构造形似函数1.移项法构造函数【例1】 已知函数x x x f −+=)1ln()(，求证：当1−>x 时，恒有x x x ≤+≤+−)1ln(111 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数111)1ln()(−+++=x x x g ，从其导数入手即可证明。
【解】1111)(+−=−+=′x x x x f ∴当01<<−x 时，0)(>′x f ，即)(x f 在)0,1(−∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<′x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(−，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞−上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1−>x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤−+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(−+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+−+=′x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>′+∞∈<′−∈x g x x g x 时当时 ，即)(x g 在)0,1(−∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞−上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1−>x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥−+++x x ∴111)1ln(+−≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤−+−>)1ln(111,1有时 【警示启迪】如果()f a 是函数()f x 在区间上的最大（小）值，则有()f x ≤()f a （或()f x ≥()f a ），那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可得证．2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；分析：函数)(x f 的图象在函数)(x g 的图象的下方)()(x g x f <⇔不等式问题， 即3232ln 21x x x <+，只需证明在区间),1(∞+上，恒有3232ln 21x x x <+成立，设)()()(x f x g x F −=，),1(+∞∈x ，考虑到061)1(>=F 要证不等式转化变为：当1>x 时，)1()(F x F >，这只要证明： )(x g 在区间),1(+∞是增函数即可。
不等式证明六(构造法及其它方法)
教材：不等式证明六（构造法及其它方法）目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。
过程：一、构造法：1．构造函数法例一、已知x > 0，求证：511≥++x ∴310313)3(910322=+=≥++=f x x y2．构造方程法：例三、已知实数a , b , c ，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a , b , c 中至少有一个不小于2。
证：由题设：显然a , b , c 中必有一个正数，不妨设a > 0，则 ⎝⎛=-=+a bc a c b 2即b , c 是二次方程022=++aax x 的两个实根。
∴082≥-=∆aa 即：a ≥2例四、求证：),2(3tan sec tan sec 3122Z k k ∈π+π≠θ≤θ+θθ-θ≤ 证：设θ-θ=tan sec 22y 则：(y - 1)tan 2θ + (y + 1)tan θ + (y - 1) = 0 322)1(||-+=b a DO 又：2||||==BD AC ∴22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a二、 作业：证明下列不等式：1． 3113122≤+++-≤x x x x BC令1122+++-=x x x x y ，则 (y - 1)x 2 + (y + 1)x + (y - 1) = 0用△法，分情况讨论2．已知关于x 的不等式(a 2 - 1)x 2 - (a - 1)x - 1 < 0 (a ∈R )，对任意实数x 恒成立，求证：135≤<-a 。
分a 2- 1 = 0和⎩⎨⎧<∆<-012a 讨论 3．若x左边412= t f )(4．若0令f ∴b 5．记f 使|则|6．若x 作∠AOB = ∠BOC = ∠COA = 120︒, 设|OA | = x , |OB | = y , |OC | = zC。
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方法
构造函数法证明泰勒展开不等式的八种方
法
泰勒展开定理是微积分中一个非常重要的定理，它可以将一个函数在某一点附近展开为无穷的多项式和。
在实际应用中，我们经常需要保留部分项，将函数近似表示，而泰勒展开就可以很好地满足我们的需求。
本文将介绍泰勒展开不等式的八种证明方法，其中均使用了构造函数的方法。
1. 利用 $(1+x)^n$ 的二项式展开式证明。
2. 利用 $e^x$ 的泰勒展开式证明。
3. 利用 $\ln (1+x)$ 的泰勒展开式证明。
4. 利用 $\int_0^x \cos t^2 dt$ 的收敛性证明。
5. 利用 $\int_0^x e^{-t^2} dt$ 的平方证明。
6. 利用 $\tan^{-1} x$ 和 $\tanh^{-1} x$ 的泰勒展开式证明。
7. 利用 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式证明。
8. 利用 $\int_0^1 x^p (1-x)^q dx$ 的收敛性证明。
这八种证明方法各有不同的特点和难度，涉及到的数学知识也
各有侧重。
但它们都使用了构造函数的方法，通过寻找适当的函数，将展开式转化为极限形式或积分形式，然后进一步证明不等式的成立。
总之，泰勒展开定理和泰勒展开不等式是数学中非常重要的工具，它们不仅有着重要的理论价值，在工程和自然科学中也有着广
泛的应用。
构造函数证明不等式的八种方法
构造函数证明不等式的八种方法下面将介绍构造函数证明不等式的八种常见方法：1.特殊赋值法：这种方法通过为变量赋特殊的值来构造函数，使得不等式成立。
例如，对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2，当a=2，b=1时，即f(2)>f(1)，从而得到a^2>b^22.梯度法：这种方法通过构造一个变化率为正（或负）的函数来推导出不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x-a)^2-(x-b)^2，当x>(a+b)/2时，即f'(x)>0，从而得到a^2>b^23.极值法：这种方法通过构造一个函数的极大值（或极小值）来证明不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=x^2-b^2，当x=a时，f(x)>0，从而得到a^2>b^24.差的平方法：这种方法通过构造一个差的平方形式的函数来证明不等式。
例如对于不等式a^2>b^2，可以构造函数f(x)=(x+a)^2-(x+b)^2，当x>(a+b)/2时，即f(x)>0，从而得到a^2>b^25.相似形式法：这种方法通过构造一个与要证明的不等式形式相似的函数来证明不等式。
例如对于不等式(a+b)^4 > 8(ab)^2，可以构造函数f(x) = (x+1)^4- 8(x-1)^2，令x = ab，当x > 1时，即f(x) > 0，从而得到(a+b)^4 > 8(ab)^26.中值定理法：这种方法通过应用中值定理来证明不等式。
例如对于不等式f(a)>f(b)，可以构造函数g(x)=f(x)-f(b)，当a>b时，存在c∈(b,a)，使得g'(c)>0，从而得到f(a)>f(b)。
7.逼近法：这种方法通过构造一个逼近函数序列来证明不等式。
例如对于不等式a > b，可以构造一个逼近函数序列f_n(x) = (a+x)^n - (b+x)^n，当n 趋近于正无穷时，即lim(n→∞)(a+x)^n - (b+x)^n = ∞，从而得到a > b。
构造函数法证明不等式的八种方法
构造函数法证明不等式的八种方法一、构造函数法是一种常用的数学证明方法，通过巧妙地构造函数，并对其性质进行分析，可以证明各种数学不等式。
下面就列举八种常用的构造函数法证明不等式的方法。
1.构造平方函数法：对于形如x^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。
2.构造递增函数法：对于形如a≥b的不等式，可以构造f(x)=x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。
3.构造递减函数法：对于形如a≤b的不等式，可以构造f(x)=-x，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。
4.构造两个函数之差法：对于形如a-b≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=(x-a)(x-b)，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
5. 构造函数的和法：对于形如(a+b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2+b^2+2ab，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
6.构造函数的积法：对于形如(a·b)^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2和g(x)=a^2·b^2，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
7.构造函数的倒数法：对于形如1/(a·b)≥0的不等式，可以构造f(x)=1/x和g(x)=a·b，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
8.构造指数函数法：对于形如e^x≥1的不等式，可以构造f(x)=e^x 和g(x)=1，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。
以上就是八种常用的构造函数法证明不等式的方法。
在实际证明过程中，需要注意选择合适的函数，并结合函数的性质进行分析，以确定不等式的成立情况。
此外，还需要注意构造的函数在给定范围内是否满足所要求的性质，以确保证明的正确性。
不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ． 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ． 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数． 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ， 即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４ 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ． 因为0)1(1)(2'>+=x x f ， 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212． 因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤． 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性 例５ 求证221xx x <-)0(≠x ．证明 设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ， 所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ． 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ． 即 当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ． 注意 由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６ 已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证 如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+， 即得所要证明的不等式．注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++． 证明 如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++， 即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析 观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明 如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长， 从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明 如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++． 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边， 夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明 如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ， 所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+． 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明 设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121， 所以OC OB k k <， 即<+1n n S S 21++n n S S ． 所以212++<⋅n n n S S S ． 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ． 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+， 所以t y t y +<+， 即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率． 证明 设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,， 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη， 则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12． 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ． 而b bx b <+<+2211ξ， 故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ． 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=． 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+． 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ． 当2ln >x 时，0)(''>x f ． 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）． 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明 设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+． 即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++， 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可． 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明 因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ． （1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ． （2） 把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式． 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ． 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。
利用导数证明不等式——构造法证明不等式
利用导数证明不等式——构造法证明不等式构造法又称作图法，是一种利用几何图形来论证不等式的方法。
这种方法通常比较直观，易于理解和应用。
本文将利用导数和构造法相结合的方法来证明一些不等式。
首先，我们将考虑最简单的一类不等式，即严格单调递增函数和递增不等式。
假设函数f(x)在区间[a,b]上是单调递增的，即对于任意的x1,x2属于[a,b]，且x1<x2，有f(x1)<f(x2)。
现证明对于任意的x1,x2属于[a,b]，且x1<x2，有f'(x1)<f'(x2)。
证明：根据导数的定义，函数f(x)在点x1到x2之间的平均变化率即为[f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]。
由于f(x)是单调递增函数，所以f(x2)>f(x1)，且x2-x1>0。
因此，平均变化率[f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]大于0。
根据拉格朗日中值定理，存在一个c属于(x1,x2)，使得f'(c)=[f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]。
由于f'(c)>0，所以f'(x1)<f'(x2)。
接下来，我们将应用构造法来证明一些不等式。
以求解函数的最值为例，说明构造法证明不等式的基本思路。
假设我们要证明不等式f(x)>=k，其中k是常数。
首先，我们可以在坐标系中画出函数f(x)的图像。
然后尝试找到这个函数的极值点，并计算这些极值点处函数的取值。
如果我们发现函数在一些极值点处的取值大于k，那么我们可以断定不等式f(x)>=k是成立的。
举例说明，假设我们要证明函数f(x)=x^2>=0对于所有的实数x成立。
我们可以考虑函数g(x)=x^2-k（k>0），并尝试找到g(x)的极值点。
由于g(x)=x^2-k是一个二次函数，它的顶点坐标即为极值点。
顶点的横坐标为x=0，纵坐标为y=-k。
因此，函数g(x)的图像是一个开口向上的抛物线，它的顶点在y轴的负半轴上，纵坐标小于0。
高考数学导数与不等式 导数方法证明不等式
探究点二 双变量不等式的证明
[思路点拨]首先求得导函数的解析式,然后结合导函数的符号即可确定函数的单调性;解: f'(x)=1-ln x-1=-ln x,x∈(0,+∞).当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
[总结反思]待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,即若证明f(x)>g(x)在区间D上恒成立,则构造函数h(x)=f(x)-g(x),再根据函数h(x)的单调性,证明h(x)>0在区间D上恒成立.
课堂考点探究
课堂考点探究
变式题 [2021·云南师大附中模拟] 已知函数f(x)=aex+b,若f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程为y=x+1.(1)求a,b的值;
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁丹东二模] 已知函数f(x)=ln(ax)-x+a.(2)当0<a≤1时,证明:f(x)≤(x-1)ex-a-x+a.
妙用构造法证明数列不等式
备考指南证明数列不等式的常用方法有数学归纳法、放缩法、构造法等，但运用数学归纳法论证过程比较繁琐，放缩法的技巧性又较强，而巧妙运用构造法，可使问题得以简化，快速证明结论.运用构造法证明数列不等式，可结合数列的特征，构造辅助数列、函数、不等式，从而将问题转化，以便从新的角度顺利求得问题的答案.一、构造辅助数列有些数列不等式证明题中的数列较为复杂，我们很难快速求得数列的和，此时，可根据数列的特征、规律，构造辅助数列，如等差数列、等比数列、常数列，再运用等差、等比数列的前n 项和公式，即可快速求得数列的和，然后通过求辅助数列的和，来求得数列的和的最值，从而证明不等式成立.例1.证明对于任意一个大于1的正整数n ，都有1n +1+1n +2+⋯+12n ≥712.证明：令a n =1n +1+1n +2+⋯+12n(n ≥2,n ∈N *)，则a n +1-a n =12n +1+12n +2-1n +1=12n +1-12n +2>0所以数列{}a n 是递增数列，因为n 是大于1的正整数，所以a n ≥a 1=712，当且仅当n =2时等号成立，所以1n +1+1n +2+⋯+12n ≥712成立.通过观察可以发现：该数列每一项的分母都比后一项的大1，于是构造辅助数列{}a n ，并令a n =1n +1+1n +2+⋯+12n ，再将数列的前后项作差，判断出数列的单调性，便可根据数列的单调性证明不等式成立.二、构造函数数列是一种特殊的函数，其自变量n ∈N *.在证明数列不等式时，根据数列的特征，构造关于n 的函数式，即可将问题转化为函数最值问题.在求函数的最值时，需先根据函数单调性的定义、导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，再根据函数的单调性来求得最值.例2.证明13+15+⋯+12n +1<2n +1-1证明:令F ()n =2n +1-1-13-15-⋯-12n +1，则F ()n +1-F ()n =æèç2n +3-1-⋯--æèçöø÷2n +1-1-13-15-⋯-12n +12n +32n +112n +3>0，所以F ()n >F()n -1>F ()n -2>⋯>F ()1>0，故对于∀n ∈N *都有+⋯<2n +1-1.解答本题，需根据不等式中数列的特征，构造函数F ()n =2n +1-1--⋯-，然后根据函数单调性的定义，将F )n +1-F n 与0进行比较，判断出函数的单调性，再根据函数的单调性证明数列不等式.三、构造不等式在证明数列不等式时，可根据不等式的结构特点，构造新不等式，以便利用不等式的性质，如可加性、可乘性、传递性来证明结论.在构造新不等式时，可将原数列不等式进行适当的变形、放缩、化简，从而构造出合适的不等式.例3.求证：1+12+13+⋯+1n <2n (n ∈N *).证明：2()n -n -1=2∙1n +n -1>2n+n =1n ，所以1n<2()n -n -1，令n =1,2,3，…,n ，可得1<2()1-0，<2()2-1， (2))n -n -1，将上述式子相加可得1++⋯+<2n .观察数列不等式的特征，可发现不等式左边的数列的通项公式为1n ，于是构造新不等式1n<2()n -n -1，再令n =1,2,3,…,n ，得到n 个式子，通过累加，便可证明数列不等式.根据数列不等式的特征，构造辅助数列、函数、不等式，便可将问题转化为简单的数列求和问题、函数最值问题、不等式证明问题来求解，这样可以使证明的思路更加清晰、明朗，有利于提升解题的效率.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）58Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
构造法解不等式问题
构造法解不等式问题构造法是解不等式问题的一种常用方法。
它的基本思路是通过构造一些特定的实数或算式，来判断不等式的取值范围。
下面以一些具体例子来说明构造法解不等式问题的步骤。
例1：解不等式x^2 - 5x < 6。
步骤1：将不等式转化为等式，即x^2 - 5x = 6。
步骤2：将等式左边变形，得到x^2 - 5x - 6 = 0。
步骤3：因为不等式是小于号，所以我们需要找到x^2 - 5x - 6 < 0的解。
步骤4：构造因式分解，得到(x - 6)(x + 1) < 0。
步骤5：画出x轴上的数线，并在-1和6的位置上标记。
步骤6：根据不等式的符号，将数线分割成三个区间：(-∞, -1)，(-1, 6)，(6, +∞)。
步骤7：选取区间中的一个数，代入原不等式进行计算判断。
例如选取区间(-2, -1)中的数-1.5，代入原不等式得到(-1.5 - 6)(-1.5 + 1) < 0，判断结果为真。
步骤8：根据不等式的取值范围，确定原不等式的解为(-∞, -1) U (6, +∞)。
例2：解不等式|2x - 1| < 3。
步骤1：将不等式转化为等式，即|2x - 1| = 3。
步骤2：根据绝对值的定义，得到两个等式：2x - 1 = 3 和 2x - 1 = -3。
步骤3：解两个等式，得到x = 2 和 x = -1。
步骤4：根据两个等式的解，将数轴分成三个区间：(-∞, -1)，(-1, 2)，(2, +∞)。
步骤5：选取区间中的一个数，代入原不等式进行计算判断。
例如选取区间(-2, -1)中的数-1.5，代入原不等式得到|2(-1.5) - 1| < 3，判断结果为真。
步骤6：根据不等式的取值范围，确定原不等式的解为(-∞, -1) U (2, +∞)。
构造法是一种直观且易于理解的方法，但在复杂的不等式问题中可能需要较多的计算和判断。
在实践中可以配合其他方法来求解不等式问题，例如代入法、辅助变量法等。
用构造法证明不等式
，
， ，
八 、 造 几 何体 构
证 ： 不 式。 一 一‘ ，ｎ｝ｎ） ＞ 明构 等 （｝（ ） 即６ （ 造 一） ＞ 一 舶 １ ６ ０ ０ 以＋｝ ），ｎ＜ ， 。＜ （ ：即舶１ 所 ６ ＋ １ 。
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证明：构造向量 ： 一 （ ｖ可
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） ，由向量数量积性质 （ ． ａ『．６Ｊ，得 ４ 三 ）≤ｌ ｆ ｚ ≤
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证 明 ： Ｄ ｌ得 Ｖ ａ ＞ ， 弋 ａ 一 ＞ ， 原 不 等 式 等 价 于 由 ， １即 ｖ ／ １０故
一
０。
＞ 。 构 造 以 １为 首 项 ，
为 公 比 的 等 比数 列 ％， 则
证 明 ： Ｐ ａｂ ， 设 （ ， ） 由题 意 知 点 Ｐ是 直 线 ｘ ｙ ｌ ｃ 与 圆 ＋ ＋ ＝ — ＝ — ｌ ｃ 的公 共 点 ， 是 圆心 ｏ ｏ ０ 到 直 线 ｘ ｙ ｌ ｃ 于 （ ，） ＋ ＝ — 的距 离 不 大 于该 圆 的半 径 ， 即
七 造 解 析 几 何 模 型 构
。
＜
图 １
二 构 造数 列
例 ２ 已知 ｎ １ｎ ， ∈Ｎ， 证 ： Ｉ 一 ＜ ＿ ： ＞ ， ≥２ ｎ 求 ＿ １旦 ｌ
ｎ
例 ７ 已 知 Ⅱ ｂ ｃ∈Ｒ， ＋ ＋ ＝ ，Ｚｂ＋ １ 求 证 ： ＜ ＜ ： ，， ａ ｂ ｃ ｌ ａ ｃ＝ ， ＋ 一１ ｃ
≥
四 、 造 方 程 法 构
2025年高考数学总复习课件24第三章第二节第3课时利用导数证明不等式——构造法证明不等式
令g(x)＝x＋e2x，x≥1，可得g′(x)＝1－e2x＝exe－x 2>0， 所以当x∈[1，＋∞)时，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(1)＝1＋2e>ln 2＋1，即x＋ e2x>ln 2＋1. 所以(x ln x＋1)ln x＋e2x>ln 2成立．
证明：f ′(x)＝2ax－2x，若f ′(1)＝2a－2≥0，则a≥1.
所
以
1 2
a
－
1
x2
－
x－2 ex+2 x3
≥1 2－来自1x2－
x－2 ex+2 x3
＝
x3－2x－4－2 2x3
x－2
ex ＝
x－2 x2+2x+2－2ex
2x3
.
令h(x)＝x2＋2x＋2－2ex，0＜x＜2，则h′(x)＝2x＋2－2ex＝2(x＋1－ex)．
所以g(x)min＝g(1)＝e－1－1＝e－2>0，所以g(x)＝exx－ln x－1x－1>0.
所以f (x)＜aex－1得证．
第3课时 利用导数证明不等式——构造法证明不等式
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
待证不等式的两边含有同一个变量时，一般可以直接构造“左减右”或“右减 左”的函数，利用导数研究其单调性等相关函数性质证明不等式．
即f (x)min>h(x)max，所以f (x)>h(x)，即f (x)>exx－2 1 － 52恒成立，得证．
构造函数法证明不等式
构造函数法证明不等式要证明一个不等式，一种常见的方法是使用构造函数法。
构造函数法是通过构造一个满足不等式的函数来证明不等式的正确性。
下面我们来具体说明如何使用构造函数证明一个不等式。
首先，我们需要明确待证明的不等式是什么。
假设我们需要证明的不等式是:f(x) \leq g(x)\]其中，f(x)和g(x)是关于x的函数。
接下来，我们需要构造一个满足不等式的函数h(x)。
我们的目标是证明h(x)满足:f(x) \leq h(x) \leq g(x)\]通过这个中间函数h(x)，我们可以将不等式分解成两个更简单的不等式。
为了构造适当的函数h(x)，我们可以考虑函数的性质，例如导数、零点、拐点等。
以下是几种常见的构造函数的方法:1. 加减常数法: 可以通过给f(x)或g(x)加减一个适当的常数来构造函数h(x)，使得f(x) \leq h(x) \leq g(x)。
例如，如果我们想证明 x^2 \leq x^3，我们可以通过构造一个函数h(x) = x^2 + 1来证明。
显然，对于任意的x，x^2 + 1 \geq x^2，并且x^2 + 1 \leq x^3（因为x^2 \leq x^3对于所有的x成立）。
2. 乘除法: 可以通过乘以或者除以一个适当的函数来构造函数h(x)。
例如，如果我们想证明 x^2\leq x^4，我们可以通过构造一个函数h(x)= \frac{1}{x^2}来证明。
当 x>0时，显然x^2 \leq \frac{1}{x^2}，而当 0\leq x \leq 1时， x^4 \geq x^2、因此，对于所有的x，\frac{1}{x^2} \geq x^2\leq x^43.对函数取导数:如果我们可以找到f(x)和g(x)的导数，并证明导数的关系成立，则可以通过证明导数的关系来证明原始函数的关系。
例如，如果我们想证明 x \leq e^x，我们可以比较两个函数的斜率。
我们知道导数表达式 d/dx(x) = 1 小于 d/dx(e^x) = e^x。
构造函数法证明不等式的八种方法
导数之构造函数法证明不等式 1、移项法构造函数 【例1】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有【解】1111)(+-=-+='x xx x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数 当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数 故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证）， 现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则 当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时 ， 即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数， 故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时2、作差法构造函数证明 【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f +=求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方； 【解】设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2132)(23--=， 则xx x x F 12)(2--='=x x x x )12)(1(2++-当1>x 时，)(x F '=xx x x )12)(1(2++-从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴061)1()(>=>F x F∴当1>x 时 0)()(>-x f x g ，即)()(x g x f <， 故在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方。
构造函数证明不等式
突破疑难点1构造函数证明不等式构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，e x≥x＋1，ln x＜x＜e x(x＞0)，xx＋1≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)；(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．突破疑难点2利用分类讨论法确定参数取值范围一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min.若存在x0∈D，使a＞f(x0)成立，则只需a＞f(x)min；若存在x0∈D，使a＜f(x0)成立，则只需a＜f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围．常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数．突破疑难点3两法破解函数零点个数问题两类零点问题的不同处理方法：利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0.①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)＜0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)＜0.突破疑难点4两法破解由零点个数确定参数问题已知函数有零点求参数范围常用的方法：(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．。
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构造法证明不等式
构造法证明不等式由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中学数学的难点之一.下面通过数例介绍构造法在证明不等式中的应用.
一、构造一次函数法证明不等式
有些不等式可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明.
例1 设0≤a、b、c≤2，求证：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.
证明：视a为自变量，构造一次函数
= 4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca = (bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，
由0≤a≤2，知表示一条线段.又= b+c-2bc = (b-c)≥0，
= b+c-4b-4c+8 = (b-2)+(c-2)≥0，
可见上述线段在横轴及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.
二、构造二次函数法证明不等式
对一些不等式证明的题目，若能巧妙构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明.
例2 实数a、b、c满足( a+c)( a+b+c)4a( a+b+c).
证明：由已知得a = 0时，b≠c，否则与( a+c)( a+b+c)故a = 0时，( b-c )>4a( a+b+c)成立.
当a≠0时，构造二次函数= ax+( b-c )x+( a+b+c)，则有
= a+b+c，= 2(a+c)，而·= 2( a+c)( a+b+c)∴存在m，当-1
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