2019-2020学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题(解析版)
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②当 时, 恒成立,此时
③当 时, 恒成立,此时
综合①②③得
由(1)(2)可知
故答案为：
【点睛】
此题考查分段函数，根据函数的单调性分析根的个数问题，关键在于分类讨论.
三、解答题
18．已知集合 .
(1)若 ,求 ；
(2)若 ,求实数 的值.
【答案】(1) ；(2)2.
【解析】（1）解出一元二次不等式，根据集合的交并补计算求解；
任取 ,则
因为 ,所以 ,所以
所以 ,即
所以 在(0,+∞)单调递增.
【点睛】
此题考查根据函数的奇偶性求参数的值，根据定义法讨论函数的单调性，对计算能力要求比较高.
21．已知函数 的图象经过点 ,且图象上相邻两条对称轴之间的距离为 .
(1)求函数 的解析式及它的单调递增区间；
(2)是否存在实数 ,使得不等式 成立?若存在,请求出 的取值范围；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）根据 ， ，列方程组求解即可；
（2）根据投影公式 代入求解即可.
【详解】
(1)因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,解得 ,
所以 ；
(2)由题意百度文库 ,
所以 ,
因为 在 上的投影是 ,所以 ,
解得 .
【点睛】
此题考查平面向量基本运算的坐标表示，涉及向量投影问题，关键在于熟练掌握计算法则和相关概念及公式，准确计算，属于中档题.
【答案】36
【解析】根据向量的线性运算法则， ， 即可计算求解.
【详解】
,
.
故答案为：36
【点睛】
此题考查平面向量的基本运算，涉及向量的线性运算，根据关系求数量积.
17．设 ,对任意的实数 ,关于 的方程 共有三个不相等的实数根,则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】分类讨论当 时,当 时,讨论函数的单调性，结合根的个数列出不等式组，即可求解.
22．已知函数 .
(1)若 ,求方程 的解集；
(2)若函数 恰有两个不同的零点 ,求 的值.
【答案】(1) ；(2)当 时, ；当 时, .
【解析】（1）分类讨论解方程 即可；
（2）将 转化为讨论函数 的公共点问题,分类讨论求解.
【详解】
(1)当 时, ,所以
所以 或 ,解得 或
所以当 时,方程 的解集为 ；
14．若 ,则 =______, =______.
【答案】5
【解析】①分子分母同时除以 即可得解；
② ，分子分母同时除以 即可得解.
【详解】
①由题： ,
则 ，
② .
故答案为：①5，②
【点睛】
此题考查同角三角函数的基本关系，根据正切求值，关键在于正确处理分子分母齐次式便于解题.
15．设函数 若 ,则实数 的取值范围是______.
【详解】
根据函数图象得定义域为 ，所以 不合题意；
选项，计算 ，不符合函数图象；
对于 选项， 与函数图象不一致；
选项符合函数图象特征.
故选：B
【点睛】
此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.
8．为了得到函数 的图象,可以将函数 的图象( )
A．向左平移 个单位B．向右平移 个单位
2019-2020学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知 ,则集合 可以为( )
A．{1,3}B．{1,9}C．{2,0}D．{2,3}
【答案】B
【解析】根据题意集合 是集合B与C的交集的子集，判断选项即可.
【详解】
由题： ，
，即 .
故选：B
【点睛】
此题考查求集合的交集，判断集合的包含关系，关键在于读懂题目所给的集合关系.
13．已知向量 ,若 ,则 =______；若 三点共线,则 =______.
【答案】
【解析】①用坐标表示出向量 ，根据 ，即可求解；
② 三点共线,即向量 共线即可.
【详解】
①由题：向量 ,
，
所以 ，平方化简得：
解得： ；
② 三点共线,即向量 共线，
所以 ，
解得： .
故答案为：① ，②
【点睛】
此题考查平面向量的坐标表示，根据模长相等求参数的值，根据向量共线求参数的值解决三点共线问题.
又由 ,得 ,所以
结合函数 的单调性,
令 ,解得 ,
所以函数 的单调递增区间是 ；
(2)由题意知 ,所以 ,
所以
由函数 的单调递增区间是 知,
在 上单调递增,
又 ,所以 ,解得
结合 ,得
【点睛】
此题考查三角函数的综合应用，根据曲线上的点和对称轴求解析式，讨论单调性，通过单调性比较函数值的大小求解不等式，综合性强.
【详解】
，
所以 ，
，
，
， .
故选：D
【点睛】
此题考查求向量的数量积，根据数量积判断向量是否垂直，关键在于准确计算，熟练掌握数量积的求法.
6．函数 ,则 ( )
A．在 上单调递增B．在 上单调递增
C．在 上单调递增D．在 上单调递增
【答案】D
【解析】求出 的增区间即可判定.
【详解】
由题 ，
令 ，
得： ，
【答案】(1) , ；(2)存在, .
【解析】（1）根据函数经过的点求A，根据对称轴求周期得 ，即可得到函数解析式，结合正弦函数的单调性求函数的增区间；
（2）根据 得 ,所以 ，结合函数的单调性， 在 上单调递增, 等价于 ,即可求解.
【详解】
(1)因为函数 的图象经过点 ,
所以 ,解得
又函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为 得 ,
【详解】
,
(1)当 时,即 ，
则 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
且 ,
关于 的方程 总有三个不相等的实数根,
只要 对 恒成立,解得 ；
(2)当 时,即 ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
且 ,
关于 的方程 总有三个不相等的实数根,
只要 对 恒成立,
①当 时, 成立,此时
即 的增区间为 ，
所以函数在 上先增后减，在 上单调递减，
在 上先减后增，在 上单调递增.
故选：D
【点睛】
此题考查三角函数单调性的判断，准确求出函数的增区间，逐个讨论其单调性.
7．函数 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据定义域排除 ，求出 的值，可以排除 ，考虑 排除 .
（2）根据并集关系，讨论参数的取值范围.
【详解】
(1)当 时,解不等式 得：
,
所以 或
所以
(2)若 ,
则 , ，
解得 .
【点睛】
此题考查集合的交并补基本运算，根据集合的并集求参数的范围，属于简单题目.
19．已知平面向量 .
(1)若 ,求 的值；
(2)若 在 上的投影是 ,求实数 .
【答案】(1) ；(2) .
，即 ，
即 ， ，所以点 所在区域为梯形 区域，
其面积
故选：B
【点睛】
此题考查平面向量的综合应用，涉及共线定理，线性运算，综合性比较强.
10．若不等式 对 恒成立,则 =( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式 对 恒成立,即 时 的正负情况与 的正负情况一致，得出 的根，即可求解.
【详解】
【答案】C
【解析】根据点的象限，判断对应坐标的符号，结合角的终边和三角函数的符号进行判断即可．
【详解】
∵点 在第二象限，∴ ，且 ，
即 第三象限角，故选C．
【点睛】
本题主要考查三角函数值符号的应用，根据点的坐标符号以及三角函数的符号与象限的关系是解决本题的关键．
4．设函数 ,则它的值域为( )
A．(0,1)B．(0,2)C．(1,+∞)D．(2,+∞)
C．向左移动 个单位D．向右平移 个单位
【答案】A
【解析】根据诱导公式 ，根据平移法则即可得解.
【详解】
由题函数可以变形 ，
，为了得到它的图像，可以将函数 的图象向左平移 个单位.
故选：A
【点睛】
此题考查函数的平移，需要注意在同名三角函数之间进行平移，不同函数名需用诱导公式变形，再根据平移法则得解.
20．已知函数 是偶函数.
(1)求 的值；
(2)当 时,判断函数 的单调性,并证明你的结论.
【答案】(1)1；(2) 单调递增,证明见解析.
【解析】（1）根据偶函数关系结合 求解；
（2）根据定义法讨论单调性任取 ,讨论 的符号.
【详解】
(1)因为 是偶函数,
所以 ,即 ,
化简得 ,
所以 ；
(2)结论: 在(0,+∞)单调递增.证明如下：
【答案】A
【解析】根据指数函数的值域结合反比例函数值域即可求解.
【详解】
由题： ， ， ，
所以
的值域为 .
故选：A
【点睛】
此题考查求函数值域，涉及指数函数值域，反比例型函数值域.
5．已知平面向量 满足 ,且 的夹角为30°,则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据向量的模长和夹角关系，依次求出 ，即可判断四个选项.
二、填空题
11．若 ,则 =______, =______.
【答案】1 0
【解析】①根据换底公式计算即可得解；
②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.
【详解】
①由题： ,
则 ；
②由①可得： .
故答案为：①1，②0
【点睛】
此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.
12．设函数 则 的值为______；若 ,则 =______.
(2)由题意令 得 ,记 ,
作函数 与 的图象,
由函数 在定义域(1,+∞)内恰有两个不同的零点 ,
可知 不合题意,故
如图所示,要使函数 恰有两个不同的零点,则应有直线 与函数 的图象相切或者直线 经过点
(i)当直线 与函数 的图象相切时,
联立方程 ,消去 得 ,
由 得 ,所以 (舍去)或
此时 ,直线 ,联立 ,解得
【答案】0
【解析】①根据分段函数解析式 ，即可得解；
②结合分段函数每段取值范围分析， ，a不可能小于1.
【详解】
①由题：函数 ，则 ；
②根据函数解析式，当 时， ，
所以 ，a不可能小于1，
所以 ， ，即 ，
所以 .
故答案为：①0，②
【点睛】
此题考查分段函数，根据分段函数求函数值，根据函数值求自变量的取值，关键在于准确考虑每段解析式所对应的自变量取值范围.
【答案】
【解析】将不等式进行转化，令 ， 即 ，得出 ，再求解 .
【详解】
作出函数图象如图所示：
求得： 仅有唯一解 ， 仅有唯一解 ，
令 ， 即 ，得 ，
解 得： .
故答案为：
【点睛】
此题考查根据函数解析式解不等式，涉及分段函数和复合函数，利用换元法结合图象处理问题，体现数形结合思想.
16．如图所示, ,则 =______.
2．已知正方形 的边长为1,则 =( )
A．2B．3C． D．
【答案】C
【解析】正方形中根据向量的加法法则 ，即可得解.
【详解】
由题正方形 的边长为1,根据向量加法法则，
.
故选：C
【点睛】
此题考查向量加法的平行四边形法则，根据加法法则求出向量之和，再求模长.
3．已知点 在第二象限，则 为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
由题：不等式 对 恒成立,
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 和 时， ，
即 ，解得： ，
检验当 时，
在 大于等于0，在 时，小于等于0，在 大于等于0，
所以 .
故选：A
【点睛】
此题考查根据不等式恒成立求参数的值，将问题转化为方程的根的问题，涉及转化与化归思想，综合性强.
9．已知 ,其中实数 满足 , ,则点 所形成的平面区域的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出图形，根据向量共线定理及几何意义确定点 所形成的平面区域，即可求出面积.
【详解】
由题： ,作 ， 与线段 交于 ，设 ，如图：
， ，所以点 在图形 内部区域，
根据平面向量共线定理有 ，
，所以 ，
所以 ；
(ii)当直线 经过点 时,有 ,
所以 ,得
此时直线方程为
联立 ,消去 解得 ,
所以 .
综上所述,当 时, ；当 时, .
【点睛】
此题考查函数零点与方程的根的问题，利用分类讨论求解绝对值方程，将函数零点问题转化为两个函数图象公共点的问题求解，涉及分类讨论，数形结合，转化与化归思想.
③当 时, 恒成立,此时
综合①②③得
由(1)(2)可知
故答案为：
【点睛】
此题考查分段函数，根据函数的单调性分析根的个数问题，关键在于分类讨论.
三、解答题
18．已知集合 .
(1)若 ,求 ；
(2)若 ,求实数 的值.
【答案】(1) ；(2)2.
【解析】（1）解出一元二次不等式，根据集合的交并补计算求解；
任取 ,则
因为 ,所以 ,所以
所以 ,即
所以 在(0,+∞)单调递增.
【点睛】
此题考查根据函数的奇偶性求参数的值，根据定义法讨论函数的单调性，对计算能力要求比较高.
21．已知函数 的图象经过点 ,且图象上相邻两条对称轴之间的距离为 .
(1)求函数 的解析式及它的单调递增区间；
(2)是否存在实数 ,使得不等式 成立?若存在,请求出 的取值范围；若不存在,请说明理由.
【解析】（1）根据 ， ，列方程组求解即可；
（2）根据投影公式 代入求解即可.
【详解】
(1)因为 ,所以 ,
又 ,所以 ,解得 ,
所以 ；
(2)由题意百度文库 ,
所以 ,
因为 在 上的投影是 ,所以 ,
解得 .
【点睛】
此题考查平面向量基本运算的坐标表示，涉及向量投影问题，关键在于熟练掌握计算法则和相关概念及公式，准确计算，属于中档题.
【答案】36
【解析】根据向量的线性运算法则， ， 即可计算求解.
【详解】
,
.
故答案为：36
【点睛】
此题考查平面向量的基本运算，涉及向量的线性运算，根据关系求数量积.
17．设 ,对任意的实数 ,关于 的方程 共有三个不相等的实数根,则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】分类讨论当 时,当 时,讨论函数的单调性，结合根的个数列出不等式组，即可求解.
22．已知函数 .
(1)若 ,求方程 的解集；
(2)若函数 恰有两个不同的零点 ,求 的值.
【答案】(1) ；(2)当 时, ；当 时, .
【解析】（1）分类讨论解方程 即可；
（2）将 转化为讨论函数 的公共点问题,分类讨论求解.
【详解】
(1)当 时, ,所以
所以 或 ,解得 或
所以当 时,方程 的解集为 ；
14．若 ,则 =______, =______.
【答案】5
【解析】①分子分母同时除以 即可得解；
② ，分子分母同时除以 即可得解.
【详解】
①由题： ,
则 ，
② .
故答案为：①5，②
【点睛】
此题考查同角三角函数的基本关系，根据正切求值，关键在于正确处理分子分母齐次式便于解题.
15．设函数 若 ,则实数 的取值范围是______.
【详解】
根据函数图象得定义域为 ，所以 不合题意；
选项，计算 ，不符合函数图象；
对于 选项， 与函数图象不一致；
选项符合函数图象特征.
故选：B
【点睛】
此题考查根据函数图象选择合适的解析式，主要利用函数性质分析，常见方法为排除法.
8．为了得到函数 的图象,可以将函数 的图象( )
A．向左平移 个单位B．向右平移 个单位
2019-2020学年浙江省嘉兴市高一上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知 ,则集合 可以为( )
A．{1,3}B．{1,9}C．{2,0}D．{2,3}
【答案】B
【解析】根据题意集合 是集合B与C的交集的子集，判断选项即可.
【详解】
由题： ，
，即 .
故选：B
【点睛】
此题考查求集合的交集，判断集合的包含关系，关键在于读懂题目所给的集合关系.
13．已知向量 ,若 ,则 =______；若 三点共线,则 =______.
【答案】
【解析】①用坐标表示出向量 ，根据 ，即可求解；
② 三点共线,即向量 共线即可.
【详解】
①由题：向量 ,
，
所以 ，平方化简得：
解得： ；
② 三点共线,即向量 共线，
所以 ，
解得： .
故答案为：① ，②
【点睛】
此题考查平面向量的坐标表示，根据模长相等求参数的值，根据向量共线求参数的值解决三点共线问题.
又由 ,得 ,所以
结合函数 的单调性,
令 ,解得 ,
所以函数 的单调递增区间是 ；
(2)由题意知 ,所以 ,
所以
由函数 的单调递增区间是 知,
在 上单调递增,
又 ,所以 ,解得
结合 ,得
【点睛】
此题考查三角函数的综合应用，根据曲线上的点和对称轴求解析式，讨论单调性，通过单调性比较函数值的大小求解不等式，综合性强.
【详解】
，
所以 ，
，
，
， .
故选：D
【点睛】
此题考查求向量的数量积，根据数量积判断向量是否垂直，关键在于准确计算，熟练掌握数量积的求法.
6．函数 ,则 ( )
A．在 上单调递增B．在 上单调递增
C．在 上单调递增D．在 上单调递增
【答案】D
【解析】求出 的增区间即可判定.
【详解】
由题 ，
令 ，
得： ，
【答案】(1) , ；(2)存在, .
【解析】（1）根据函数经过的点求A，根据对称轴求周期得 ，即可得到函数解析式，结合正弦函数的单调性求函数的增区间；
（2）根据 得 ,所以 ，结合函数的单调性， 在 上单调递增, 等价于 ,即可求解.
【详解】
(1)因为函数 的图象经过点 ,
所以 ,解得
又函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为 得 ,
【详解】
,
(1)当 时,即 ，
则 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
且 ,
关于 的方程 总有三个不相等的实数根,
只要 对 恒成立,解得 ；
(2)当 时,即 ,
则 在 上单调递增,在 上单调递减,在 上单调递增,
且 ,
关于 的方程 总有三个不相等的实数根,
只要 对 恒成立,
①当 时, 成立,此时
即 的增区间为 ，
所以函数在 上先增后减，在 上单调递减，
在 上先减后增，在 上单调递增.
故选：D
【点睛】
此题考查三角函数单调性的判断，准确求出函数的增区间，逐个讨论其单调性.
7．函数 的图象如图所示,则它的解析式可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据定义域排除 ，求出 的值，可以排除 ，考虑 排除 .
（2）根据并集关系，讨论参数的取值范围.
【详解】
(1)当 时,解不等式 得：
,
所以 或
所以
(2)若 ,
则 , ，
解得 .
【点睛】
此题考查集合的交并补基本运算，根据集合的并集求参数的范围，属于简单题目.
19．已知平面向量 .
(1)若 ,求 的值；
(2)若 在 上的投影是 ,求实数 .
【答案】(1) ；(2) .
，即 ，
即 ， ，所以点 所在区域为梯形 区域，
其面积
故选：B
【点睛】
此题考查平面向量的综合应用，涉及共线定理，线性运算，综合性比较强.
10．若不等式 对 恒成立,则 =( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式 对 恒成立,即 时 的正负情况与 的正负情况一致，得出 的根，即可求解.
【详解】
【答案】C
【解析】根据点的象限，判断对应坐标的符号，结合角的终边和三角函数的符号进行判断即可．
【详解】
∵点 在第二象限，∴ ，且 ，
即 第三象限角，故选C．
【点睛】
本题主要考查三角函数值符号的应用，根据点的坐标符号以及三角函数的符号与象限的关系是解决本题的关键．
4．设函数 ,则它的值域为( )
A．(0,1)B．(0,2)C．(1,+∞)D．(2,+∞)
C．向左移动 个单位D．向右平移 个单位
【答案】A
【解析】根据诱导公式 ，根据平移法则即可得解.
【详解】
由题函数可以变形 ，
，为了得到它的图像，可以将函数 的图象向左平移 个单位.
故选：A
【点睛】
此题考查函数的平移，需要注意在同名三角函数之间进行平移，不同函数名需用诱导公式变形，再根据平移法则得解.
20．已知函数 是偶函数.
(1)求 的值；
(2)当 时,判断函数 的单调性,并证明你的结论.
【答案】(1)1；(2) 单调递增,证明见解析.
【解析】（1）根据偶函数关系结合 求解；
（2）根据定义法讨论单调性任取 ,讨论 的符号.
【详解】
(1)因为 是偶函数,
所以 ,即 ,
化简得 ,
所以 ；
(2)结论: 在(0,+∞)单调递增.证明如下：
【答案】A
【解析】根据指数函数的值域结合反比例函数值域即可求解.
【详解】
由题： ， ， ，
所以
的值域为 .
故选：A
【点睛】
此题考查求函数值域，涉及指数函数值域，反比例型函数值域.
5．已知平面向量 满足 ,且 的夹角为30°,则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据向量的模长和夹角关系，依次求出 ，即可判断四个选项.
二、填空题
11．若 ,则 =______, =______.
【答案】1 0
【解析】①根据换底公式计算即可得解；
②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.
【详解】
①由题： ,
则 ；
②由①可得： .
故答案为：①1，②0
【点睛】
此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.
12．设函数 则 的值为______；若 ,则 =______.
(2)由题意令 得 ,记 ,
作函数 与 的图象,
由函数 在定义域(1,+∞)内恰有两个不同的零点 ,
可知 不合题意,故
如图所示,要使函数 恰有两个不同的零点,则应有直线 与函数 的图象相切或者直线 经过点
(i)当直线 与函数 的图象相切时,
联立方程 ,消去 得 ,
由 得 ,所以 (舍去)或
此时 ,直线 ,联立 ,解得
【答案】0
【解析】①根据分段函数解析式 ，即可得解；
②结合分段函数每段取值范围分析， ，a不可能小于1.
【详解】
①由题：函数 ，则 ；
②根据函数解析式，当 时， ，
所以 ，a不可能小于1，
所以 ， ，即 ，
所以 .
故答案为：①0，②
【点睛】
此题考查分段函数，根据分段函数求函数值，根据函数值求自变量的取值，关键在于准确考虑每段解析式所对应的自变量取值范围.
【答案】
【解析】将不等式进行转化，令 ， 即 ，得出 ，再求解 .
【详解】
作出函数图象如图所示：
求得： 仅有唯一解 ， 仅有唯一解 ，
令 ， 即 ，得 ，
解 得： .
故答案为：
【点睛】
此题考查根据函数解析式解不等式，涉及分段函数和复合函数，利用换元法结合图象处理问题，体现数形结合思想.
16．如图所示, ,则 =______.
2．已知正方形 的边长为1,则 =( )
A．2B．3C． D．
【答案】C
【解析】正方形中根据向量的加法法则 ，即可得解.
【详解】
由题正方形 的边长为1,根据向量加法法则，
.
故选：C
【点睛】
此题考查向量加法的平行四边形法则，根据加法法则求出向量之和，再求模长.
3．已知点 在第二象限，则 为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
由题：不等式 对 恒成立,
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
当 时， ，所以 ，
所以 和 时， ，
即 ，解得： ，
检验当 时，
在 大于等于0，在 时，小于等于0，在 大于等于0，
所以 .
故选：A
【点睛】
此题考查根据不等式恒成立求参数的值，将问题转化为方程的根的问题，涉及转化与化归思想，综合性强.
9．已知 ,其中实数 满足 , ,则点 所形成的平面区域的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】作出图形，根据向量共线定理及几何意义确定点 所形成的平面区域，即可求出面积.
【详解】
由题： ,作 ， 与线段 交于 ，设 ，如图：
， ，所以点 在图形 内部区域，
根据平面向量共线定理有 ，
，所以 ，
所以 ；
(ii)当直线 经过点 时,有 ,
所以 ,得
此时直线方程为
联立 ,消去 解得 ,
所以 .
综上所述,当 时, ；当 时, .
【点睛】
此题考查函数零点与方程的根的问题，利用分类讨论求解绝对值方程，将函数零点问题转化为两个函数图象公共点的问题求解，涉及分类讨论，数形结合，转化与化归思想.