拐点
拐点的判断方法
拐点的判断方法
拐点的判断方法要根据具体的情况来确定，以下是几种常见的判断方法：
1. 斜率法：对于曲线上的两个相邻的点，计算它们的斜率。
如果斜率从正数逐渐变为负数，或者从负数逐渐变为正数，那么这个点就可能是拐点。
2. 二阶导数法：对曲线的函数进行求导，得到一阶导数。
然后再对一阶导数再次求导，得到二阶导数。
如果二阶导数在某个点上变号（从正数变为负数或从负数变为正数），那么这个点就可能是拐点。
3. 曲率法：曲率是曲线在某一点处的曲率半径的倒数。
如果曲线在某个点的曲率突然增大或减小，那么这个点就可能是拐点。
需要注意的是，这些方法只是一般情况下的判断方法，对于复杂或特殊的曲线，可能需要更加细致的分析和计算，甚至使用数值方法来确定拐点的位置。
另外，在使用这些方法时要注意误差的产生，尤其是在计算导数和曲率时，数值计算可能会引入一定的误差。
什么是拐点拐点概述
什么是拐点拐点概述拐点是一个数学术语，在曲线上表示发生明显变化的点。
拐点也称为转折点，是函数图像中出现的一个特殊点，它具有明显的变化特征。
在拐点处，曲线的斜率发生突变，或者说曲线的凹凸性质发生改变。
拐点通常是解析几何和微积分中重要的概念。
拐点的概念可以从几何和微积分两个角度进行理解。
从几何的角度来看，拐点表示曲线发生弯曲的地方，即在拐点处曲线的曲率发生改变。
拐点通常是曲线由凸向凹或由凹向凸转变的位置。
在几何上，拐点将曲线分成两部分，它是两条不同弯曲方向的分界线。
从微积分的角度来看，拐点是函数图像的二阶导数等于零且存在交叉二阶导数的点。
二阶导数表示函数的曲率，而交叉二阶导数表示曲线的凹凸性质。
在拐点处，函数的二阶导数等于零，表示曲线的斜率变化率为零，此时曲线的凹凸性质发生改变。
如果函数图像二阶导数在拐点处存在交叉点，说明曲线在拐点处由凸向凹或由凹向凸转变。
拐点的存在可以通过以下几个条件来判断：1.函数的一阶导数存在且连续。
2.函数的二阶导数存在且在拐点处等于零。
3.函数的二阶导数在拐点处存在交叉点。
通过这些条件，我们可以确定一个函数是否存在拐点，并且可以找到拐点的位置。
拐点在实际问题中具有重要的应用。
以经济学为例，经济增长曲线通常会出现拐点。
在经济增长的初期阶段，经济增长曲线是向上凸起的，这代表着经济增长速度的加速。
然而，当经济发展到一定阶段时，经济增长曲线会出现拐点，此时经济增长速度会逐渐减缓。
拐点的出现通常代表着经济的结构性变化，例如资源的耗尽、技术的变革等。
在物理学中，拐点也广泛应用于曲线的运动分析。
例如，当火箭发射时，曲线表示了火箭的高度随时间的变化。
在火箭的运动过程中，可能会发生拐点，这表明火箭从上升转为下降或者从下降转为上升。
总之，拐点是一个重要的数学概念，在几何和微积分中具有重要意义。
通过分析拐点，我们可以了解曲线的凹凸性质和变化趋势，它们在经济学、物理学和其他领域都具有广泛的应用。
拐点的概念
拐点的概念拐点是数学中的重要概念，也被应用于各个领域。
在数学中，拐点指的是一个函数曲线上的点，在该点处函数的凸性发生了突变或者改变。
拐点通常伴随着曲线的凸性变化，它是曲线上的一个关键点，揭示了函数的性质和特征。
要理解拐点的概念，首先需要了解函数的凸性和凹性。
对于一条给定的函数曲线，其凸性表示其上的点形成的曲线段向上凸起（也称为上凸曲线），而凹性表示其上的点形成的曲线段向下凹陷（也称为下凹曲线）。
函数的凹凸性能够通过求导来判断。
若函数的导数大于零，则函数曲线上的点是上凸的；而若函数的导数小于零，则函数曲线上的点是下凹的。
拐点的出现意味着函数的凸性或凹性发生了改变。
在数学中，拐点可以分为两种类型：第一类拐点和第二类拐点。
第一类拐点是指函数曲线上的一点，其左右两侧的导数的正负号改变。
换句话说，一个拐点可以视为函数曲线上某一点导数从正值变为负值，或从负值变为正值。
拐点的概念与导数的符号变化密切相关，因此在寻找拐点时我们需要求导函数。
只有当函数的导数存在且可导，才可以判断是否存在拐点。
对于给定函数f(x)，存在一个点x=a，如果其中a点的导数f'(a)由正值变为负值，或者由负值变为正值，则称点a为函数曲线的第一类拐点。
第二类拐点是指函数曲线上的一点，其导数发生突变或改变。
在第二类拐点上求导数是没有意义的，因为其导数在该点处或不存在，或不连续。
在求导数时，如果发现导数在某一点处不连续或不存在，那么该点即为函数曲线的第二类拐点。
拐点的概念在许多领域起到了重要作用。
在经济学中，拐点可以解释价格曲线和需求曲线的交汇点，从而帮助决策者了解产品或服务的价格弹性和需求情况。
在物理学中，拐点可以揭示物体运动轨迹的特征，例如抛物线运动中的高点和低点。
在工程学和计算机科学中，拐点可以帮助优化算法和寻找最优解。
在生物学和医学中，拐点可以用来研究生物或疾病的发展过程以及药物的作用机制。
总结来说，拐点是一个函数曲线上的关键点，它标志着函数的凸性和凹性的突变或改变。
拐点相关知识点总结
拐点相关知识点总结拐点的定义和判定是拐点理论的基础，它是指函数曲线上的一点，该点处的函数二阶导数在该点处存在且为零，同时该点处的函数在该点的左右两侧的二阶导数符号相反。
在数学上，拐点的定义可以形式化表示为：设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在实数c∈I，使得f''(c)=0，且f''(x)的符号在c的左右两侧相反（即f''(x)<0和f''(x)>0），则称c为函数f(x)在区间I上的一个拐点。
根据这一定义，我们可以使用二阶导数判定法来判定一个函数在某一点是否存在拐点。
二阶导数判定法是判定函数拐点的常用方法之一，它是通过函数的二阶导数的符号和零点来确定函数的拐点情况。
具体而言，如果一个函数在某一点的二阶导数为零并且在该点的邻域内符号发生改变，则该点就是函数的拐点。
例如，对于函数f(x)，如果f''(c)=0且在c 的邻域内有f''(x)>0和f''(x)<0的情况发生，则c是函数f(x)的一个拐点。
通过二阶导数判定法，我们可以对函数的拐点进行准确判定，从而对函数的变化趋势和特点有更深入的理解。
拐点理论有着广泛的应用，其中一个重要的应用就是在微积分中的优化问题中。
对于一个实际问题，如果我们需要求解某一函数的最大值或最小值，那么可以通过对函数的导数和拐点进行分析来找到函数的极值点。
当函数的导数存在拐点时，这些拐点通常是函数的极值点。
因此，拐点理论在微积分中可以帮助我们更快、更准确地求解最优化问题。
另外，拐点理论在经济学中也有着重要的应用。
在经济学中，许多经济现象的变化趋势都可以通过函数来描述，而这些函数中可能存在拐点。
例如，一个企业的成本函数、收益函数或供求函数等都可能存在拐点，通过对这些函数的拐点进行分析，可以更好地理解和预测经济现象的变化趋势。
此外，在一些复杂的经济模型中，拐点理论也被广泛应用，以帮助经济学家更好地理解和解释现实经济现象。
高数中的拐点
高数中的拐点
在高等数学中，拐点是函数图像上的一个特殊点，具有一定的性质。
在曲线上，拐点处的切线有一个明显的转折，即曲线从凹向上凸
或从凸向上凹。
由于拐点处的切线变化明显，所以拐点也被称为拐点。
拐点通常由函数的二阶导数来确定。
若函数的二阶导数为0且二阶导
数在该点两侧发生正负转变，则该点为拐点。
拐点对于函数的优化和
函数图像的变化趋势等具有重要意义。
通过识别拐点，我们可以确定
函数的局部极值点和图像的变化趋势，从而更好地理解和分析数学问题。
拐点四种基本图形证明
拐点四种基本图形证明
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。
可以按下列步骤来判断区间I上的连续曲线y=f(x)的拐点：
⑴求f''(x)；
⑵令f''(x)=0，解出此方程在区间I内的实根，并求出在区间I内f''(x)不存在的点；
⑶对于⑵中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点x，检查f''(x)在这个点x左右两侧邻近的符号，那么当两侧的符号相反时，这个点(x，f(x))是拐点，当两侧的符号相同时，(x，f(x))不是拐点。
什么是拐点拐点概述
什么是拐点拐点概述对于由离散点表示的数字地图与GIS图形数据 ,本文首先利用两相邻矢量叉积乘积的原理来判定拐点所在的折线边，什么是拐点呢？下面是店铺整理的什么是拐点，欢迎阅读。
什么是拐点拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点)。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号(由正变负或由负变正)或不存在。
在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方(例如：经济运行出现回升拐点)拐点概述数学可以这样通俗的理解拐点，即在a点的左右f ''(x)的正负发生变化的点，f ''(a)异号(由正变负或由负变正)或者不存在。
在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。
拐点定义(根据高等数学同济6版上册第151页)一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点(除端点外的I内的点)。
如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。
凹的充分条件:若曲线y=f(x)(a≤x≤b)的一段，位于其任意一点的切线之上(或之下)，则称这个可微分的函数y=f(x)的图形于闭区间[a,b]上是凹(或对应地，凸)的。
在假设二阶导函数f"(x)存在的情况下，当a0[或对应地f"(x)<0]成立，为图形是凹(或对应地，凸)的充分条件。
拐点的必要条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x0∈(a,b)，若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，则f‘’(x0)=0。
拐点的充分条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x0∈(a,b)，则f‘’(x0)=0，若在x0两侧附近f‘’(x0)异号，则点(x0,f(x0))为曲线的拐点。
否则(即f‘’(x0)保持同号，(x0,f(x0))不是拐点。
当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。
什么是拐点拐点概述
什么是拐点拐点概述对于由离散点表示的数字地图与GIS图形数据 ,本文首先利用两相邻矢量叉积乘积的原理来判定拐点所在的折线边，什么是拐点呢？下面是店铺整理的什么是拐点，欢迎阅读。
什么是拐点拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点)。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号(由正变负或由负变正)或不存在。
在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方(例如：经济运行出现回升拐点)拐点概述数学可以这样通俗的理解拐点，即在a点的左右f ''(x)的正负发生变化的点，f ''(a)异号(由正变负或由负变正)或者不存在。
在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。
拐点定义(根据高等数学同济6版上册第151页)一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点(除端点外的I内的点)。
如果曲线y=f(x)在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的拐点。
凹的充分条件:若曲线y=f(x)(a≤x≤b)的一段，位于其任意一点的切线之上(或之下)，则称这个可微分的函数y=f(x)的图形于闭区间[a,b]上是凹(或对应地，凸)的。
在假设二阶导函数f"(x)存在的情况下，当a0[或对应地f"(x)<0]成立，为图形是凹(或对应地，凸)的充分条件。
拐点的必要条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x0∈(a,b)，若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的一个拐点，则f‘’(x0)=0。
拐点的充分条件：设f(x)在(a,b)内二阶可导，x0∈(a,b)，则f‘’(x0)=0，若在x0两侧附近f‘’(x0)异号，则点(x0,f(x0))为曲线的拐点。
否则(即f‘’(x0)保持同号，(x0,f(x0))不是拐点。
当函数图像上的某点使函数的二阶导数为零，且三阶导数不为零时，这点即为函数的拐点。
拐点(数学用语)—搜狗百科
可以这样通俗的理解拐点，即在a点的左右f''(x)的正负发生变化的点，f''(a)异号（由正变负或由负变正）或者不存在。
在数学领域是指，凸曲线与凹曲线的连接点。
拐点定义 （根据 高等数学 同济7版上册第147页）
一般的，设y=f(x)在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。
如果曲线y=f(x )在经过点(x0,f(x0))时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点(x0,f(x0))为这曲线的 拐点 。
凹的充分条件:
若曲线y=f(x)(a≤x≤b)的一段，位于其任意一点的切线之上（或之下），则称这个可微分的函数y=f(x)的图形于闭区间[a,b]上是凹（或对应地，凸）的。
在假设二阶导函数f'(x )存在的情况下，当a。
拐点的定义
拐点的定义
拐点是使切线穿越曲线的点
1、拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，
直观地说拐点是使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点)。
若该曲线图
形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号(由正变负或由负
变正)或不存在。
在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方(例如:经
济运行出现回升拐点)拐点在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直
观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点），若该曲线图
形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数必为零或不存在。
在现实生活中
通常指事物的发展趋势开始改变的地方。
2、一般的，设y=f(）在区间I上连续，0是I的内点（除端点外的
I内的点）。
如果曲线y=f(）在经过点（0,f(0））时，曲线的凹凸性改
变了，那么就称点（0,f(0））为这曲线的拐点。
在生活中，拐点多用来
说明其中一种情形持续上升一段时间后开始下降或回落。
在数学上这句话
是错的，这种点叫极值点、稳定点或者叫驻点；所以，有了经济的拐点，
房地产的拐点，以及股市的拐点。
3、拐点是一个不折不扣的数学名词，就是函数（连续）的二阶导数
为零的点。
从函数图像上来讲，就是函数有上凸变下凹或下凹变上凸的点，所表示的几何意义是函数的上升或下降的变化速度率。
拐点的性质
拐点
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点）。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。
一般的，设y=f(x）在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。
如果曲线y=f(x）在经过点（x0,f(x0））时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点（x0,f(x0））为这曲线的拐点。
在生活中，拐点多用来说明某种情形持续上升一段时间后开始下降或回落。
在数学上这句话是错的，这种点叫极值点、稳定点或者叫驻点；所以，有了经济的拐点，房地产的拐点，以及股市的拐点。
微积分-导数(微分)拐点
拐点拐点是曲线从上凹转为下凹的地方（反之亦然）上凹 / 下凹 是什么？上凹 是坡度增大：xyf(x)坡度增大上凹下凹 是坡度减小：xyf(x)坡度减小下凹以下是一些例子：也称 “凸”或 “下凸”上凹下凹也称“凹”或“上凸”去阅读 上凹与下凹 来了解更多。
找在哪里……我们需要找曲线在哪里由上凹转为下凹（反之亦然）。
拐点拐点拐点下凹上凹下凹上凹下凹上凹微积分导数 可以帮助我们！函数的导数是它的坡度。
二阶导数 告诉我们那坡度是在增大还是减小。
若二阶导数是正数，函数是上凹。
若二阶导数是负数，函数是下凹。
拐点是函数由上凹转为下凹的地方（反之亦然）。
例子：y = 5x3 + 2x2 − 3x拐点在 x = −2/15简略重温导数在上面的例子我们算出y = 5x3 + 2x2 − 3x 的导数：y' = 15x2 + 4x − 3你可以用一些法则来求导数，上面我们用了"幂次方法则":x3 的坡度是 3x2，所以 5x3 的坡度是 5(3x2) = 15x2x2 的坡度是 2x，所以 2x2 的坡度是 2(2x) = 4x直线 3x 的坡度是 3再举个例：例子：y = x3 − 6x2 + 12x − 5导数是：y' = 3x2 − 12x + 12二阶导数是：y'' = 6x − 126x − 12 在 x = 2 以下是负数，以上是正数。
所以：在 x = 2 以下，f(x) 是 下凹在 x = 2 以上，f(x) 是 上凹拐点在 x = 2：拐点下凹上凹。
拐点的充要条件
拐点的充要条件
拐点的充要条件是：
1 .二阶导数在这个点的左右两侧变号。
2 .二阶导数等于O是必要条件，若三阶导数不为O （前提存在），则必是拐点。
3 .三阶导数也为0,结论不定。
比如f（x）=xM, 0点的2 3阶导数都是0,但0不是拐点。
从集合的角度来说，必要条件的集合包含要证明的集合，充分条件的集合，是证明集合的子集。
总之，必要条件的集合包含的范围大些，充分的小些。
拐点的定义：
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。
在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方（例如：经济运行出现回升拐点）。
拐点什么意思
拐点什么意思拐点是一个常用的概念，可被用于各个领域，包括数学、经济学、社会学等等。
它通常指的是一个事件、趋势或情况发生变化的关键点，标志着某种变化的开始。
在本文中，我们将深入探讨拐点的含义及其在不同领域的应用。
一、数学中的拐点在微积分中，拐点是一个曲线上的特殊点，一般指的是曲线的凹凸性质发生转折的点。
在一条曲线上，当某个点的二阶导数为零，并且在该点的左右两侧二阶导数的符号发生改变时，我们就称这个点为拐点。
拐点的存在对于曲线的形状和性质有着重要的影响，它可以帮助我们理解和分析曲线的变化规律。
二、经济学中的拐点在经济学中，拐点是指一个经济指标或政策发生重大变化的关键点。
经济中的拐点通常会引发市场的剧烈波动、改变供需关系、产生新的经济周期等。
例如，一个国家的经济可能在某个时间点达到了增长的拐点，从而引发了经济繁荣；又或者某个产业的发展可能会在某个时间点遇到拐点，过去的增长速度停滞或下降，进入衰退阶段。
经济中拐点的研究对于决策者和投资者来说具有重要的指导意义。
三、社会学中的拐点在社会学中，拐点是指社会变革中一个重要的转折点。
社会中的拐点可以是政治制度的变迁、社会结构的剧变、群体意识觉醒等等。
一个社会中的拐点往往标志着社会的进步和发展，也可能导致社会的动荡和混乱。
社会学家通过研究社会中的拐点可以帮助我们更好地理解社会的变化和发展。
四、其他领域中的拐点除了数学、经济学和社会学之外，拐点的概念也可以在其他领域中得到应用。
例如，在生物学中，拐点可以指生物进化中的关键节点；在技术领域中，拐点可以指技术革新的关键时刻；在体育竞技中，拐点可以指运动员的巅峰状态。
无论是哪个领域，拐点都代表着一种变化的开始，需要我们密切关注和深入研究。
结论拐点作为一个重要的概念，被广泛地运用于不同的领域。
通过对拐点的研究，我们可以更好地理解和解释曲线的变化、经济的波动、社会结构的演变等等。
拐点的存在不仅对于学术研究有重要意义，也对于实际生活和决策具有指导作用。
什么是驻点和拐点
什么是驻点和拐点
驻点⼜称为平稳点、稳定点或临界点是函数的⼀阶导数为零，即在“这⼀点”，函数的输出值停⽌增加或减少。
拐点，⼜称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下⽅向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点(即连续曲线的凹弧与凸弧的分界点)。
什么是驻点和拐点
驻点：⼀阶导数为0的点。
拐点：函数凹凸性发⽣变化的点。
极值点：在邻域内为最⼤值的点。
如何判定驻点：只需要函数在某点⼀阶可导，且⼀阶导数值为0。
如何判定拐点：1，若函数⼆阶可导，某点⼆阶导数值为零，两端⼆阶导数值异号。
2，若函数三阶可导，则⼆阶导数为0，三阶导数不为0的点就是拐点。
如何判定极值点：取极值的点⼀阶导数为0或导数不存在。
1，⼀阶导为0时，若⼀阶导两端异号为极值点。
2，⼆阶可导时，⼀阶导为0，⼆阶导不为0则为极值点，⼆阶导⼤于0极⼩值，⼆阶导⼩于0极⼤值。
拐点是什么
拐点是什么
拐点是使切线穿越曲线的点
1.拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点(即曲线的凹凸分界点)。
若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号(由正变负或由负变正)或不存在。
在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方(例如:经济运行出现回升拐点)拐点在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点），若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数必为零或不存在。
在现实生活中通常指事物的发展趋势开始改变的地方。
2.一般的，设y=f(x）在区间I上连续，x0是I的内点（除端点外的I内的点）。
如果曲线y=f(x）在经过点
（x0,f(x0））时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点
（x0,f(x0））为这曲线的拐点。
在生活中，拐点多用来说明某种情形持续上升一段时间后开始下降或回落。
在数学上这句话是错的，这种点叫极值点、稳定点或者叫驻点；所以，有了经济的拐点，房地产的拐点，以及股市的拐点。
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拐点
每条道路都存在拐点，当你越过这个拐点后，面对的可能是羊肠小道，也可能是康庄大道。
人生存在拐点。
人生绝非一帆风顺，九曲回环的航道，向左可能从此仕途平坦，呼风唤雨；向右可能暗礁密布，粉身碎骨，身败名裂。
把握好人生的每一个拐点，只有这般才能够实现弯道的超越，超越他人，超越自己。
人们的心灵历程也一样，是向善还是向恶？往往就在一瞬间就决定了是拐进了平坦大道，还是拐进了暗黑的羊肠小道路。
拐点出现在2006年充满争议的“彭宇”案，热心的彭宇在看见一位徐老太跌倒在地，连忙上前扶起老太太并送她进了医院。
这原本是一件不能再普通的小事，却因为老太太把彭宇告上法庭而家喻户晓，最终以彭宇赔偿告终。
我们不知道彭宇的心里是什么滋味，但人们的心灵却在大道上走得摇摇晃晃，头重脚轻，仿佛一不留神就拐入了一条不知名的小道。
很快，许云鹤的案子再次给人们的心灵一个障碍，令一部分人不断地拐入小道，只有一些坚持道德底线的人越过了障碍。
可不是吗？这又是利用人们的同情心，利用人们乐于助人的品质，却在他们充满热情之火的心上泼上一盆冷水。
拐出黑暗的小路，这样你才能享受光明及美丽的大道，让你的心灵得到清新的呼吸。
拐出孤独的小路，这样你才能感受到周围的热情及大道的热闹，让你的心灵重新得以温暖。
拐出冷漠的小路，这样你才能感到大路充满无数陌生却又真实的爱。
只有转过了这个冷漠的拐点，才能将乐于助人的传统美德永远地传递下去！
把握人生的拐点，无论大小，因为“失之毫厘，差之千里”，因为“勿以恶小而为之”，因为只有把握好人生的每一个拐点，才可以守护心灵的净土，才可以超越别人，超越又或是升华自己。