chapt4-1 随机变量的数学期望
Chap4-1数学期望
在前面的课程中，我们讨论了随机变量 及其分布，如果知道了随机变量X的概率分 布，那么X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般 是较难确定的. 而在一些实际应用中，人 们并不需要知道随机变量的一切概率性质， 只要知道它的某些数字特征就够了.
kq
k 1
k 1
q 1 (q ) ( q ) ( ) 2 1 q ( 1 q ) k 1 k 1
k k
x x 1 x k 1
k
( x 1)
k! e
k 0
k
例2 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有 一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥 匙中的某一把去开门 . 若每把钥匙试开一次后 除去，求打开门时试开次数的数学期望.
2 2 2 0 1 2
0
E( X )
2
1
1 2
x f ( x)dx
2
2
1 4 x 4
2 3 1 4 x x 4 3 0
2
1
7 6
例 5 设:国际市场上对我国某种出口商品的每
年需求量是随机变量X(单位: 吨).X服从区间 [2000,4000]上的均匀分布. 每销售出一吨商品,可为国家赚取外汇3万 元;若销售不出,则每吨商品需贮存费1万元. 求:应组织多少货源,才能使国家收益最大? 设组织货源t吨. 显然2000 ≤ t ≤ 4000. 国家 收益Y(单位:万元)是X的函数Y=g(X).表达式为:
0 1
2
1 3 x 3
1
0
1
4.1 随机变量的数学期望(最新版)2学时
5
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先求出化验次数X的分布律。
化验次数X的可能取值为1，11 (X=1)=“10人都是阴性”
注意求 X期 望值的步骤！
P ( X=1 ) = (1- 0.1)10=0.910 （X=11)=“至少1人阳性” P ( X=11 ) = 1-P（X=1)=1-0.910 E(X) = 0.910×1+(1-0.910）×11≈7.513<10
E( X ) p1 x1 p2 x2 p3 x3
2015年9月29日星期二
4
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例2（由P85 例4.1.2改编） 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做 法是每10个人一组，把这10个人的血液样本混合起来 进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次； 若结果为阳性，则需对10个人再逐个化验，总计化验 11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病 与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通 常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？ 分析： 设随机抽取的10人组所需的化验次数为X 我们需要计算X的数学期望，然后与10比较 因为期望值是概率平均值
（指数分布）If X~E(λ), then E(X)=1 /λ （正态分布）If X ~ N ( , 2 ) , then E ( X )
（详细解答过程参见课本P89例4.1.10~例4.1.12）
2015年9月29日星期二
13
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三、随机变量函数的数学期望
定理 4.1.3 设 Y g( X ) 是随机变量 X 的函数, X概率密度为 f ( x)
随机变量的数学期望和方差
随机变量的数学期望和方差随机变量是概率论中的重要概念，用来描述一个随机事件可能取到的不同值及其对应的概率。
对于一个随机变量而言，数学期望和方差是常用的统计量，用于描述随机变量的平均水平和离散程度。
一、数学期望数学期望是随机变量的平均值，表示了随机变量在大量重复实验中的长期平均表现。
通常用E(X)或μ来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ΣxP(X=x)其中，x为随机变量X可能取到的值，P(X=x)为其对应的概率。
以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，点数可能取到1、2、3、4、5、6，每个点数的概率相等。
则计算掷骰子的数学期望为：E(X) = 1/6 × 1 + 1/6 × 2 + 1/6 × 3 + 1/6 × 4 + 1/6 × 5 + 1/6 × 6 = 3.5对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∫xf(x)dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
二、方差方差是随机变量取值与其数学期望的偏差的平方的平均值，用于衡量随机变量的离散程度。
通常用Var(X)或σ^2来表示，其中X为随机变量。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = Σ(x-E(X))^2P(X=x)以掷骰子为例，假设随机变量X表示掷骰子的点数，其数学期望为3.5。
则计算掷骰子的方差为：Var(X) = (1-3.5)^2 ×1/6 + (2-3.5)^2 ×1/6 + (3-3.5)^2 ×1/6 + (4-3.5)^2 ×1/6 + (5-3.5)^2 ×1/6 + (6-3.5)^2 ×1/6 = 2.9167对于连续型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∫(x-E(X))^2f(x)dx方差的平方根被称为标准差，用于度量随机变量的离散程度。
随机变量的期望值计算
随机变量的期望值计算随机变量的期望值是概率论中一个非常重要的概念，它代表了随机变量在一次试验中平均取值的大小。
在实际问题中，计算随机变量的期望值可以帮助我们更好地理解问题的特性和规律。
本文将介绍随机变量的期望值的计算方法，包括离散型随机变量和连续型随机变量的情况。
一、离散型随机变量的期望值计算对于离散型随机变量X，其取值为有限个或可数个，记为{x1,x2, ..., xn}，对应的概率分布为{p1, p2, ..., pn}，则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = x1*p1 + x2*p2 + ... + xn*pn其中，xi为随机变量X的取值，pi为对应的概率。
通过这个公式，我们可以计算出离散型随机变量的期望值。
例如，假设有一个随机变量X的取值为{1, 2, 3, 4}，对应的概率分布为{0.1, 0.2, 0.3, 0.4}，那么随机变量X的期望值E(X)的计算如下：E(X) = 1*0.1 + 2*0.2 + 3*0.3 + 4*0.4 = 2.8因此，随机变量X的期望值为2.8。
二、连续型随机变量的期望值计算对于连续型随机变量X，其取值为一个区间[a, b]，概率密度函数为f(x)，则随机变量X的期望值E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(a到b) x*f(x) dx其中，f(x)为随机变量X的概率密度函数。
通过这个公式，我们可以计算出连续型随机变量的期望值。
例如，假设有一个连续型随机变量X的概率密度函数为f(x) = 2x，取值区间为[0, 1]，那么随机变量X的期望值E(X)的计算如下：E(X) = ∫(0到1) x*2x dx = 2∫(0到1) x^2 dx = 2*[x^3/3] (0到1) = 2/3因此，随机变量X的期望值为2/3。
三、随机变量的期望值计算的应用随机变量的期望值计算在概率论和统计学中有着广泛的应用。
通过计算随机变量的期望值，我们可以得到随机变量的平均取值大小，从而更好地理解问题的特性和规律。
4-1随机变量的数学期望18页PPT
(1)若离散型随机变量X的分布律为 P{ X
xk}
pk
(k 1, 2, ), 且数项级数 g(xk ) pk 绝对收敛,则
k 1
E(Y) E[g(X )] g(xk ) pk.
k 1
(2)若连续型随机变量X的概率密度为f(x), 且积分
g (x) f (x)dx 绝对收敛, 则
E (Y ) E[ g ( X )] g ( x) f ( x)dx.
xf (x, y)dxdy,
E(Y )
yfY ( y)dy
yf (x, y)dxdy.
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例4 随机变量X的分布律为
X
1 0 2 3
p 1/8 1/4 3/8 1/4
求 E ( X 2 ), E (2 X 1).
解 由定理1可知
E ( X 2 ) (1)2 1 02 1 22 3 32 1 31.
1
e
x
/
,
x 0,
于是
0, x 0,
E ( X )
xf (x)dx 1
xex/ dx
xd
e x /
0
0
xe
x
/
0
0
e
x
/
d
x
ex/
0
.
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二. 随机变量函数的数学期望
定理1设Y是随机变量X的函数:Y=g(X), 其中g(x)
是一元连续函数.
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显然商场在该日搞促销活动预期获得的经济效益X
是一个随机变量，其概率分布为
P { X x 1 } P { X 1 2 } 0 .6 p 1 ,
随机变量的数学期望与方差
随机变量的数学期望与方差随机变量是概率论和统计学中的重要概念，用来表示随机试验的结果。
在研究随机变量时，我们常常关注它们的数学特征，其中最常用的指标是数学期望和方差。
一、数学期望数学期望是描述随机变量平均取值的一个指标，记作E(X)。
对于离散型随机变量，数学期望的计算公式为：E(X) = ∑(x * P(X = x))其中，x 表示随机变量可能的取值，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。
通过这个公式，我们可以计算出随机变量的平均取值。
例如，假设我们抛一枚公平的硬币，正面为1，反面为0。
随机变量 X 表示硬币正面朝上的次数，那么 X 的所有可能取值及其概率为：X = 0，P(X = 0) = 1/2X = 1，P(X = 1) = 1/2根据数学期望的计算公式，我们可以计算得到该随机变量的数学期望为：E(X) = 0 * 1/2 + 1 * 1/2 = 1/2这意味着，在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的平均次数大约为 1/2。
对于连续型随机变量，数学期望的计算公式稍有不同，可以使用积分的方法计算。
二、方差方差是描述随机变量取值分散程度的一个指标，记作Var(X)或σ²。
对于离散型随机变量，方差的计算公式为：Var(X) = ∑((x - E(X))² * P(X = x))其中，x 表示随机变量可能的取值，E(X)表示随机变量的数学期望，P(X = x)表示随机变量取值为 x 的概率。
通过这个公式，我们可以计算出随机变量的方差。
方差的计算公式可以拆解为方差等于随机变量与数学期望的偏差的平方乘以概率的和。
这意味着方差可以用来衡量随机变量的取值与其期望值之间的差异程度。
例如，我们继续以抛硬币的例子来说明方差的计算过程。
在之前的例子中，我们已经计算出随机变量 X 的数学期望为 1/2。
现在，我们可以使用方差的公式来计算方差：Var(X) = (0 - 1/2)² * 1/2 + (1 - 1/2)² * 1/2 = 1/4这意味着在多次独立重复抛硬币的实验中，硬币正面朝上的次数与其期望值的差异程度可以用方差 1/4 来描述。
随机变量的期望与方差知识点
随机变量的期望与方差知识点统计学中的随机变量是指在一次试验中可以取得不同数值的变量。
对于随机变量，我们常常关注它的期望与方差，这些是描述随机变量性质的重要指标。
本文将介绍随机变量的期望与方差的概念、计算方法以及它们的实际含义。
一、随机变量的期望随机变量的期望是一个数学期望值，用来衡量随机变量的平均取值水平。
对于离散型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中Σ 表示求和，x 表示随机变量X可以取到的值，P(X=x) 表示随机变量X取到值x的概率。
对于连续型随机变量X，其期望的计算公式为：E(X) = ∫ [x * f(x)]dx其中∫ 表示积分，x 表示随机变量X可以取到的值，f(x) 表示X的密度函数。
期望的计算方法可以帮助我们了解随机变量的平均取值水平。
例如，在某个游戏中，随机变量X表示一次投掷骰子的结果。
假设骰子是均匀的，那么它的每个面出现的概率都是1/6。
我们可以通过计算期望来了解投掷骰子的平均结果是多少。
二、随机变量的方差随机变量的方差是衡量随机变量取值的离散程度，它描述了随机变量偏离期望的程度。
方差的定义如下：Var(X) = E[(X-E(X))^2]其中 E(X) 表示随机变量X的期望。
方差的计算方法可以帮助我们了解随机变量取值的离散程度。
对于同样表示投掷骰子结果的随机变量X，假设我们想知道投掷10次骰子的结果的离散程度。
我们可以通过计算方差来了解。
三、随机变量期望与方差的实际含义随机变量的期望和方差都是对随机变量的性质进行描述的重要指标。
它们不仅有着严格的数学定义，也有着实际的含义。
期望是描述随机变量的平均取值水平，它可以用来预测随机变量的未来表现。
例如，在股票市场中，可以用过去的股价数据计算股票未来收益的期望，帮助投资者做出投资决策。
方差是描述随机变量取值离散程度的指标，它可以用来评估随机变量的风险。
例如，在金融领域中，可以利用方差来衡量投资组合的风险。
随机变量的数学期望4-1
d (e 2 2 )
8
f
X
(
x)
x3
, x2
,
0 , 其它
则 E (XY ) ＝ ( C ).
2y , 0y1
fY(y)
0 , 其它
A. 4 / 3 B. 5 / 3
C. 8 / 3
D. 7 / 3
E(X)
2
8 x2
dx
4
,
E(Y) 1 2y2dy 2
0
3
EXYEXEY8
3
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*例4-6 天若无雨, 水果商每天可赚100元; 天若有雨, 水果商 每天损失10元. 一年365天, 贩卖水果地的下雨日约130日. 问 水果商在该地卖水果, 每天可期望赚多少钱 ?
10
X Yi i1
，从而就有
10
E(X) E(Yi ) . i1
因各站下车的可能性相等，故旅客在任一站下车的概率为1/10，
不下车的概率为9/10，从而
P{Yi
0}( 9 )20 10
,
P{Yi
1}1( 9)20 10
,
10
E(X) E(Yi)=10E(Yi)
i1
1 0 {0(9)2 0+ 1[1(9)2 0]}8 .7 8 4 .
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( 设 C 是常数 )
1) E(C) C
E (X C )E (X )C
2) E(CX)CE(X )
xf (x, y)dxdy
yf (x, y)dxdy
E(X)E(Y) .
3) E (X Y ) E (X ) E (Y ) 又当 X，Y 相互独立时 E (X Y ) xyf(x,y)dxdy
4.1随机变量的数字期望
此要求 xk pk k 1
否则，称随机变量的数学期望不存在．
例1 设随机变量X的分布列为 X
P
求 E(X )
－1 3 0.4 0.6
解 易知 E(X ) 1 0.4 3 0.6 1.4
若将此例视为甲、乙两队“比赛”，甲队赢的概率为 0.6，输的概率为0.4，并且甲队每赢一次得3分，每输一 次扣1分，则 E(X) = 1.4 是指甲队平均每次可得分．
于是有 E( X ) xi P{X xi} xi ( pij )
xi pij
i 1
i 1
j 1
i1 j 1
同理可得
E(Y ) y j P{Y y j} y j ( pij )
y j pij
j 1
j 1
i 1
i1 j 1
2. 连续型随机变量的数学期望
定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分
g(x, y)
f (x, y)dxdy 收敛, 则Z=g (X,Y)的
数学期望为：
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(x, y) f (x, y)dxdy
例6 设随机变量 X ~ B(n, p) ，Y e2 X , 求 E(Y )
解 因为 X ~ B(n, p) 分布律为
P{X k} Cnk pk qnk , k 0,1, 2, , n,
y)
1 4
x(1
3y2
),
0 x 2, 0 y 1
0,
其它
求 E( X ), E(Y ), E( XY ), E( X 2 Y 2 )
解 E(X ) 4
3
E(Y ) 5 8
E(XY ) 5 6
E(X 2 Y 2 ) 2 1(x2 y2 ) 1 x(1 3y2 )dxdy
随机变量的数学期望例题和知识点总结
随机变量的数学期望例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量的数学期望是一个非常重要的概念。
它反映了随机变量取值的平均水平，具有十分广泛的应用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解随机变量的数学期望，并对相关知识点进行总结。
一、知识点回顾数学期望，简称期望，记作 E(X)。
对于离散型随机变量 X，其概率分布为 P(X ＝ xᵢ) ＝ pᵢ（i ＝ 1, 2, 3,），则数学期望 E(X) ＝Σxᵢpᵢ。
对于连续型随机变量 X，其概率密度函数为 f(x)，则数学期望 E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间为整个定义域）。
数学期望具有以下几个重要性质：1、设 C 为常数，则 E(C) ＝ C。
2、设 X 为随机变量，C 为常数，则 E(CX) ＝ CE(X)。
3、设 X、Y 为两个随机变量，则 E(X ＋ Y) ＝ E(X) ＋ E(Y)。
二、例题解析例 1：掷一枚均匀的骰子，设随机变量 X 表示掷出的点数，求 E(X)。
解：骰子的点数分别为 1, 2, 3, 4, 5, 6，且每个点数出现的概率均为1/6。
则 E(X) ＝ 1×（1/6) ＋ 2×（1/6) ＋ 3×（1/6) ＋ 4×（1/6) ＋ 5×（1/6) ＋ 6×（1/6) ＝ 35例 2：已知离散型随机变量 X 的概率分布如下：｜ X ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 02 ｜ 05 ｜ 03 ｜求 E(X)。
解：E(X) ＝ 0×02 ＋ 1×05 ＋ 2×03 ＝ 11例 3：设连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f(x) ＝ 2x，0 ＜ x ＜1，求 E(X)。
解：E(X) ＝∫0,1 x×2x dx ＝ 2/3例 4：已知随机变量 X 服从参数为λ 的泊松分布，求 E(X)。
解：泊松分布的概率质量函数为 P(X ＝ k) ＝（e^（λ)λ^k) ／ k!E(X) ＝Σk×（e^（λ)λ^k) ／ k! （k 从 0 到正无穷）通过计算可得 E(X) ＝λ三、应用场景数学期望在实际生活中有很多应用。
随机变量的数学期望.52页PPT
随机变量的数学期望.
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
52
随机变量函数的数学期望
若级数
g (xi , y j ) pij
绝对收敛 , 则
ij
E(Z )
g(xi , y j ) pij
ij
设连续 r.v. (X ,Y )的联合密度为 f (x ,y)
若广义积分
g(x,
y)
f
( x,
y)dxdy
绝对收敛,
则
E(Z) g(x, y) f (x, y)dxdy
例 设随机变量 X 的分布律为
i1
E(Y ) g(xi ) pi
i1
设连续 r.v. X 的密度为 f (x)
i 1,2,
若广义积分
g
(
x
)
f
(
x)dx
绝对收敛, 则
E(Y
)
g
(
x)
f
(
x)dx
(2) Z = g(X ,Y )的数学期望
设离散 r.v. (X ,Y ) 的概率分布为
P(X xi ,Y yj ) pij, i, j 1,2,
E(Y ) g(xi ) pi
i1
X
-2
0
2
P
0.4 0. 3 0.3
求E(3X 2 5)
E(3X 2 5) [3(2)2 5] 0.4 [3 02 5] 0.3 [3 22 5] 0.3
13.4
例 设随机变量 X 的概率密度为
ex , x 0 f (x)
0 , x 0
E(Y ) g(x) f (x)dx
第四章 随机变量的数字特征 第二讲 随机变量函数的数学期望
主讲教师 叶宏 副教授
第四章第2讲
随机变量函数的数学期望
上一讲我们介绍了数学期望，如果已知随 机变量X的分布，我们可以求出X的期望.
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2
x2 2
x2 x2 x2 1 1 2 1 2 x e e dx 0 e 2 dx 2π 2π 2
1
定理(P102) Z是随机变量X,Y的函数:Z=g(X,Y)，其中 g(x,y)是连续函数， (1)若(X,Y)二维离散型随机变量，其分布律为
2π x 1 2 E ( X 2 ) x 2 f ( x )dx x2 2 e dx
2
解： X ~ N (0,1) ,
f ( x)
1
e
x2 2
,
x .
x
1 2
e
x2 2
1 x e d ( ) xd 2 2
P{ X xk } pk , k 1,2,
若级数
x
k 1
k
p k 绝对收敛，则称级数 x k p k
k 1
为随机变量X的数学期望，记作E(X).即
E ( X ) x k pk
k 1
随机变量的数学期望反映了变量取值的平均水平。
例l（P97）甲乙两台自动机床生产同一种标准件，生 产1000只产品所出的次品分别用X和Y表示，经过一段 时间的考察，X和Y的分布律分别如下：
2 f ( x, y ) 0
0 x 1, 0 y x 其它
,
o
G
1
x
E ( XY )
1 x
xyf ( x, y )dxdy
1 3
dx xy 2dy x dx 0 0
0
1 4
总结：数学期望的计算
X
离散型
E ( X ) xk pk
1
3
r3 dr 9
1.5 ( 伏 )
例9(P104 例10) 一民航机场的送客汽车载有20位乘客，
自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一个车 站没有旅客下车就不停车，以X表示停车的次数，求E(X) （设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客 是否下车是相互独立的）.
1 解： 设 X i 0
g( x, y ) f ( x, y )dxdy 绝对收敛，则有
E ( Z ) E[ g( X , Y )] g( x, y ) f ( x, y )dxdy
特别地 E( X ) xf ( x, y )dxdy xf X ( x )dx
E ( X ) xf ( x )dx
例2.已知某元件使用寿命X（单位：年）的概率密度为 0 x3 x/6 x 求元件使用寿命的数学期望. f ( x ) 2 3 x 4, 2 其它 0 解： E ( X )
xf ( x )dx
在第i 站有人下车 , 在第i 站无人下车
i 1,2,,10
则停车的次数
X X 1 X 2 X 10
9 20 P{ X i 0} ( ) 10
9 20 P{ X i 1} 1 ( ) 10
9 20 9 20 E ( X i ) 0 ( ) 1 [1 ( ) ] 1 ( 9 ) 20 10 10 10
0 .7
因为
E ( X ) E (Y )
所以机床甲的质量好一些
二.连续型随机变量的数学期望
1.连续型随机变量的数学期望 P98
设连续型随机变量X的密度函数为f(x),若广义积分
xf ( x )dx 绝对收敛，则称广义积分
xf ( x )dx
为随机变量X的数学期望，记作E(X).即：
3
0
4 x x x dx 3 x ( 2 )dx 2 6
x3 3 x3 4 (x2 ) 18 0 6 3
7 3
例3(P99例5). 若随机变量X的概率密度为 1 1 f ( x) , x . 2 1 x
称X服从柯西分布，试问数学期望E(X)是否存在? 解：E ( X ) xf ( x )dx
连续型 E ( X )
k 1
Y g ( X ) 离散型
E (Y ) g( x k ) pk
k 1
xf ( x )dx
连续型 E (Y ) g( x ) f ( x )dx
Z g ( X ,Y ) 离散型 E (Z ) g( x i , y j ) pij
2i g( i ) 0
0i 1 , 其它
r 2 h( r ) 9 0
0r 3 其它
,
求电压V=IR的均值 解： E (V ) E ( IR) E ( I ) E ( R)
ig( i )di rh(r )dr 2i 2 di 0 0
试求E(X), E(X2)
解： ( X ) (2) 0.2 0 0.3 1 0.4 2 0.1 E
0 .2
E( X ) (2) 2 0.2 02 0.3 12 0.4 22 0.1
2
1 .6
例5(P100) 设X服从标准正态分布N(0,1), 求E(X2).
X 概率 Y 概率 0 0.7 0 0.5 1 0.1 1 0.3 2 0.1 2 0.2 3 0.1 3 0
试问哪一台自动机床的质量好一些？
解：
E ( X ) 0 0.7 1 0.1 2 0.1 3 0.1
0 .6
E (Y ) 0 0.5 1 0.3 2 0.2 3 0
定理1（P99） Y是X的函数:Y=g(X)，且g(x)是连续函数 (1) 若X是离散型随机变量，分布律为 且级数 g( x k ) p k 绝对收敛，则有：
k 1
P{ X xk } pk , k 1,2,
E (Y ) E[ g( X )] g( x k ) pk
a10 a6 a0 a 9.7 10 6 0 ( 9.7) N N N N
ak 这里 是随机变量X取值xk的频率，即： N
赢利的平均值
xk f k
k
数学期望的概念源于此.
一、离散型随机变量的数学期望
1.离散型随机变量的数学期望 P97 设离散型随机变量X的分布律为
证明
E(X1+ X2+… +Xn ) = E(X1) +E( X2 ) +… +E(Xn)
性质4 设X、Y是两个相互独立的随机变量，则有
E(XY)=E(X)E(Y) 证明
推广：若X1, X2,… ,Xn相互独立，则有 E(X1 X2… Xn ) = E(X1)E( X2 ) … E(Xn)
例8. 设一电路中电流I(安)与电阻R(欧)是两个相互独 立的随机变量，其概率密度分别为
解：
X的取值分别为10、6、0、－9.7，设一批挂历中 使X取这些值挂历数分别为a10、a6、a0、a﹣9.7，即 X 挂历数 其中 10 a10 6 a6 0 a0 －9.7 a﹣9.7
a10+a6+a0+a﹣9.7 =N
赢利的平均值为
10 a10 6 a 6 0 a 0 ( 9.7) a 9.7 N
E ( X ) x i p i . x i pij
E (Y ) y j p. j y j pij
j 1
i 1 j 1 .
i 1
i 1 j 1
.
(2) 若(X,Y)是二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y),
且积分
4 12 0.15 4 3 2 0.30 4 5 2 0.15
35 .2
例7. 设二维连续型随机变量(X,Y)在区域 G上服从均匀
分布， 其中G={（x，y）|0 < x < 1, 0 < y < x }, 试求 y E(XY) 解： 显然区域G的面积A为1/2，所以
第一节 随机变量的数学期望
一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望
三、随机变量函数的数学期望 四、数学期望的性质
引例：一书店购入一批（共N本）次年的挂历，在当年
11月底前售出可赢利10元/本，当年12月份以折扣价售出
可赢利6元/本，次年1月份以进价售出赢利0元/本，次年
2月份作为废纸售出亏本9.7元/本，售出一本挂历赢利 X(元) 是一个随机变量，求一批挂历赢利的平均值。
P{ X xi ,Y y j } pij , i , j 1,2,
且级数 g( x i , y j ) pij 绝对收敛，则有：
j 1 i 1
E (Z ) E[ g( X , Y )] g( x i , y j ) pij
j 1 i 1
特别地
E(Y )
yf ( x, y )dxdy
yfY ( y )dx
例6. 已知随机变量(X,Y)的分布律为 X Y 1 0.10 0.15 3 0.20 0.30 5 0.10 0.15
2 4
试求E(XY2)
解： E ( XY 2 ) 2 12 0.10 2 3 2 0.20 2 5 2 0.10
k 1
(2) 若X是连续型随机变量，其概率密度为f(x), 且积 分 g( x ) f ( x )dx 绝对收敛，则有