复变函数与积分变换中国石油大学华东崔俭春张高民第五章答案习题五

习题五答案1． 求下列各函数的孤立奇点，说明其类型，如果是极点，指出它的级． （1）221(1)z z z −+解：函数的孤立奇点是0,z z i ==±，因222222221111111(1)(1)()()()()z z z z z z z z z i z z i z i z z i −−−−=⋅=⋅=⋅++−++− 由性质5.2知，0z =是函数的1级极点，z i =±均是函数的2级极点． （2）3sin z z 解：函数的孤立奇点是0z =，因32133sin 1((1))3!(21)!n nz z z z z z n +=−++−+"，由极点定义知，0z =是函数的2级极点．（3）ln(1)z z+ 解：函数的孤立奇点是0z =，因0ln(1)lim1z z z→+=，由性质5.1知，0z =是函数可去奇点．（4）21(1)z z e −解：函数的孤立奇点是2z k i π=,①0k =，即0z =时，因4223(1)2!!n z z z z e z n +−=++++"" 所以0z =是2(1)zz e −的3级零点，由性质5.5知，它是21(1)z z e −的3级极点②2z k i π=，0k ≠时，令2()(1)z g z z e =−，'2()2(1)zzg z z e z e =−+，因(2)0g k i π=，'2(2)(2)0g k i k i ππ=≠，由定义5.2知，2(0)z k i k π=≠是()g z 的1级零点，由性质5.5知，它是21(1)z z e −的1级极点（5）2(1)(1)zzz e π++ 解：函数的孤立奇点是(21),z k i k Z =+∈,令2()(1)(1)zg z z e π=++，'2()2(1)(1)z z g z z e e z πππ=+++，''22()2(1)4(1)z z z g z e ze e z πππππ=++++① 0z i =±时， 0()0g z =，'0()0g z =，''0()0g z ≠，由定义5.2知，0z i =±是()g z 的2级零点，由性质5.5知，它是21(1)(1)z z e π++的2级极点，故0z i =±是2(1)(1)z zz e π++的2级极点．②1(21),1,2,z k i k =+=±"时，1()0g z =，'1()0g z ≠，由定义5.2知，1(21),1,2,z k i k =+=±"是()g z 的1级零点，由性质5.5知，它是21(1)(1)z z e π++的1级极点，故是2(1)(1)zzz e π++的１级极点． （６）21sin z解：函数的孤立奇点是0z =，1,2,z z k ==±=" 令2()sin g z z =，'2()2cos g z z z =，① 0z =时，因64222()sin (1)3!(21)!n nz z g z z z n +==−++−++""，所以0z =是()g z 的2级零点，从而它是21sin z 的2级极点．②1,2,z z k ==±="时，()0g z =，'()0g z ≠，由定义5.2知，1,2,z z k ==±="是()g z 的1级零点，由性质5.5知，它是21sin z的１级极点．2． 指出下列各函数的所有零点，并说明其级数． （1）sin z z解：函数的零点是,z k k Z π=∈，记()sin f z z z =，'()sin cos f z z z z =+① 0z =时，因4222sin (1)3!(21)!n nz z z z z n +=−++−++""，故0z =是sin z z 的2级零点． ②,0z k k π=≠时，()0z k f z π==，'()0z k f z π=≠，由定义5.2知，,0z k k π=≠是sin z z 的1级零点．（2）22z z e解：函数的零点是0z =，因242222(1)2!!nz z z z e z z n =+++++""，所以由性质5.4知，0z =是22z z e 的2级零点． （3）2sin (1)zz e z −解：函数的零点是00z =，1z k π=，22z k i π=，0k ≠，记2()sin (1)zf z z e z =−，'22()cos (1)sin [2(1)]zz zf z z e z z e z z e =−++−① 0z =时，0z =是sin z 的1级零点，，1ze −的1级零点，2z 的2级零点，所以0z =是2sin (1)z z e z −的4级零点．②1z k π=，0k ≠时，1()0f z =，'1()0f z ≠，由定义5.2知，1z k π=，0k ≠是()f z 的1级零点．③22z k i π=，0k ≠时，1()0f z =，'1()0f z ≠，由定义5.2知，22z k i π=，0k ≠是()f z 的1级零点．3． 0z =是函数2(sin 2)z shz z −+−的几级极点？答：记()sin 2f z z shz z =+−，则'()cos 2f z z chz =+−，''()sin f z z shz =−+，'''()cos f z z chz =−+，(4)()sin f z z shz =+，(5)()cos f z z chz =+，将0z =代入，得： ''''''(4)(0)(0)(0)(0)(0)0f f f f f =====，(5)()0f z ≠，由定义5.2知，0z =是函数()sin 2f z z shz z =+−的5级零点，故是2(sin 2)z shz z −+−的10级极点．4． 证明：如果0z 是()f z 的(1)m m >级零点，那么0z 是'()f z 的1m −级零点． 证明：因为0z 是()f z 的m 级零点，所以'''10000()()()()0m f z f z f z fz −====="，0()0m f z ≠，即''''2000()(())(())0m f z f z f z −===="，'10(())0m f z −≠，由定义 5.2知，0z 是'()f z 的1m −级零点．5． 求下列函数在有限孤立奇点处的留数． （1）212z z z+−解：函数的有限孤立奇点是0,2z z ==，且0,2z z ==均是其1级极点．由定理5.2知，0011Re [(),0]lim ()lim22z z z s f z zf z z →→+===−+，0013Re [(),2]lim(2)()lim 2z z z s f z z f z z →→+=−==．（2）4231(1)z z ++ 解：函数的有限孤立奇点是z i =±，且z i =±是函数的3级极点，由定理5.2，423''''35111112123Re [(),]lim[()()]lim()lim 2!2()2()8z i z i z i z z s f z i z i f z i z i z i →→→+−=−===−++， 423''''35111112123Re [(),]lim[()()]lim()lim 2!2()2()8z i z i z i z z s f z i z i f z i z i z i →−→−→−++−=+===−−．（3）241z e z − 解：函数的有限孤立奇点是0z =，因22234443211(2)(2)2222(2)2!!2!3!!z n n n e z z z z z z n z z z n −−=−−−−−=−−−−−"""" 所以由定义5.5知，2414Re [,0]3z e s z −=−． （4）21sinz z解：函数的有限孤立奇点是0z =，因2232121111(1)1(1)sin ()3!(21)!3!(21)!n n n n z z z z z z n z z n z +−−−=−+++=−+++++"""" 所以由定义5.5知，211Re [sin ,0]6s z z =−． （5）1cos1z− 解：函数的有限孤立奇点是1z =，因2211(1)cos 112!(1)(2)!(1)nnz z n z −=−+++−−−"" 所以由定义5.5知，1Re [cos ,1]01s z=−． （6）1sin z z解：函数的有限孤立奇点是,z k k Z π=∈． ①0k =，即0z =，因为3214222sin ((1))(1)3!(21)!3!(21)!n n n nz z z z z z z z z n n ++=−++−+=−++−+++""""所以0z =是1sin z z 的2级极点．由定理5.2， 2''00011Re [,0]lim[]lim()lim 0sin sin sin 2cos z z z z z s z z z z zz z →→→====．②,0z k k π=≠时，记()sin g z z z =，则'()sin cos g z z z z =+，因为'()0,()0g k g k ππ=≠，所以由定义5.2知，,0z k k π=≠是()g z 的1级零点，故它是1sin z z的1级极点．由定理5.3， '1111Re [,](1),0sin ()cos ks k k z z g k k k k πππππ===−≠． 6． 利用留数计算下列积分（积分曲线均取正向）．（1）222(1)zz e dz z =−∫v解：1z =是被积函数22(1)z e z −在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，由定理5.2，222'222211Re [,1]lim[(1)lim 22(1)(1)z z z z z e e s z e e z z →→=−==−−， 由定理5.1知，2222222Re [,1]4(1)(1)z z z e e dz i s e i z z ππ===−−∫v ．（2）232(1)(3)zz e dz z z =−+∫v解：1z =是被积函数2(1)(3)z e z z −+在积分区域内的有限孤立奇点，且为1级极点，所以由定理5.1及定理5.2，22322Re [,1](1)(3)(1)(3)z zz e e dz i s z z z z π==−+−+∫v22112lim((1))2lim (1)(3)(3)8z z z z e e eii z iz z z πππ→→=−==−++．（3）1sin z z dz z =∫v解：0z =是被积函数sin zz在积分区域内的有限孤立奇点， 因为0lim 1sin z z z →=，所以由性质5.1知0z =是函数sin zz的可去奇点， 从而由定理5.1，Re [,0]0sin z s z =，由定理5.1，12Re [,0]0sin sin z z zdz i s z zπ===∫v ． （4）11sin z dz z z =∫v解：0z =是被积函数1sin z z 在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，由定理5.2，2'0011Re [,0]lim()lim 0sin sin 2cos z z z s z z z z zz →→===，由定理5.1，1112Re [,0]0sin sin z dz i s z z z zπ===∫v ． （5）12sin (1)z z zdz z e =−∫v解：0z =是被积函数sin (1)zzz e −在积分区域内的有限孤立奇点，由性质5.6知0z =是函数的1级极点，000sin sin sin cos Re [,0]lim(lim lim 1(1)(1)1z z z z z z z z z z zs z z e z e e e →→→====−−−−− 由定理5.1，12sin sin 2Re [,0]2(1)(1)z z z z z dz i s i z e z e ππ===−−−∫v ． （6）3tan z zdz π=∫v解：被积函数tan z π在积分区域3z =内的有限孤立奇点为：1,3,2,1,02k z k k =+=−±±，由定理5.3，这些点均为tan z π的1级极点，且 sin 1Re [tan ,]sin k k kz s z z z πππππ==−−由定理5.1，2336tan 2Re [tan ,]2(12k z k zdz i s z z i i πππππ==−==⋅−=−∑∫v ．7． 计算积分11()()n n z dz z a z b =−−∫v ，其中n 为正整数，1,1,a b a b ≠≠<． 解：记1()()()n nf z z a z b =−−，则()f z 的有限孤立奇点为,z a z b ==，且为n 级极点，分情况讨论如下：①1a b <<时，,z a z b ==均在积分区域内，由定理5.1，1()2Re [(),]2Re [(),]z f z dz i s f z a i s f z b ππ==+∫v(1)12121(22)!Re [(),]lim[()()](1)()(1)!((1)!)n n n n z a n s f z a z a f z a b n n −−−+→−=−=−−−− (1)12121(22)!Re [(),]lim[()()](1)()(1)!((1)!)n n n n z b n s f z b z b f z b a n n −−−+→−=−=−−−− 故有110()()n n z dz z a z b ==−−∫v ．②1a b <<时，,z a z b ==均不在积分区域内，所以110()()n n z dz z a z b ==−−∫v ．③1a b <<时，z a =在积分区域内，z b =不在积分区域内，所以12211(1)(22)!()2Re [(),][(1)!]()n n z n if z dz i s f z a n a b π−−=−−==−−∫v习题五8．判断z =∞是下列各函数的什么奇点？求出在∞的留数。