上海市长宁区中考二模数学试题 精选
2020届上海市长宁区中考二模数学试卷有答案(加精)
第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷； （C ） aa 121=； （D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形． 二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ． 16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ， 若a AD =，b DC =，用a 、b 表示=DB ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，AD第14题图 A BCD EF第15题图 第16题图 D CBA 第18题图ABCD135sin =∠ABC ． （1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点 G 、F ，且AG GF BE AD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知第22题图ACDEF GB第23题图备用图圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．长宁区第二学期初三数学参考答案和评分建议一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分)=2)1(2+x (1分) 当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分） 将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）O A C BO BA C DBAO解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分） 所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分）把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ，⎩⎨⎧==1122y x . （2分） 21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE // ∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分）∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分）在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分）代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分）（2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分）整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵BC AD // ∴BGDG BE AD = （2分）∵AG GF BE AD = ∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分） ∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分）∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分）（3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限 由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BOAO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO Θ，AO =5，∴322=-=AC AO CO （1分） 5=OD Θ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO Θ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121Θ ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO Θ，AO =5，∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分）②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO Θ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ，在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA Θ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD。
上海市长宁区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
4.如图是关于某班同学一周体育锻炼情况的统计图，那么该班学生这一周参加体育锻炼时间
的众数、中位数分别是（ ）
A. 8 、 9
B. 8 、 8.5
C. 16 、 8.5
D. 16 、14
【答案】A
【解析】
【分析】
根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数．
【详解】众数即出现次数最多的数据，由图中数据知道众数是 8，
由图中知道共有 40 个数据，中位数是从小到大排列，位于中间的两个数的平均数即为中位
数，由图中数据知道是 9；
Байду номын сангаас
故此题选：A．
【点睛】此题考查数据收集，主要是众数，中位数和条形统计图，难度一般．
5.如果两圆的半径长分别为 5 和 3 ，圆心距为 7 ，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A. 内切
B. 外离
∴ BP BO ， BQ BC
即 5 5 ， BQ 2 5
∴BQ=2， ∵BQ>BO， ∴此情况不符合题意，舍去；
2，如图，同理可得 OP= 2 5 ，
在△BOP 与△BQC 中，
OBP QBC OPB BQC ， ∴△BOP ~ △BQC， ∴ BP BO ，
BQ BC 即 5 5 ，
BQ 2 5
C. 相交
D. 外切
【答案】C
【解析】
【分析】
求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，根据得出的数量关系判断位置关系．
【详解】由题意得：∵5-3=2，5+3=8，圆心距为 7，
∴2<7<8，
根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间得：两圆相交，
故此题选：C．
【点睛】此题考查了圆与圆的位置关系，本题利用两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径
2024届上海市长宁区高三下学期二模数学试卷(解析版)
2024届长宁区二模2024.04.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.已知集合{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，则=a ______．【答案】2【解析】【分析】根据集合自己的概念即可求解．【详解】∵{}{}1,2,1,,3A B a ==，且A B ⊆，∴集合A 里面的元素均可在集合B 里面找到，∴a =2．故答案为：22.不等式|21|3x -<的解集为________.【答案】{|12}x x -<<【解析】【分析】根据绝对值定义化简求解，即得结果.【详解】∵|21|3x -<3213x ⇔-<-<12x ⇔-<<，∴不等式|21|3x -<的解集为{|12}x x -<<.故答案为：{|12}x x -<<.【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_______．【答案】4【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】由二项式定理可知，41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为4421441C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令422r -=，解得1r =，所以12224C 4T x x ==，所以二项式41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为4.故答案为：4.4.在ABC ∆中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若222a b bc c =++，则A =_____________.【答案】120︒【解析】【分析】根据已知可化为余弦定理的形式，从而求出A 的余弦，进而求出A.【详解】由题意可知，2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，所以120A =︒.【点睛】本题主要考查了利用余弦定理公式求三角形的角，属于中档题.5.已知236a b ==，则11a b +=________.【答案】1【解析】【分析】首先利用指数和对数互化得到2log 6a =，3log 6b =，再利用换底公式即可得到答案.【详解】由236a b ==可知2log 6a =，3log 6b =，所以66611log 2log 3log 61a b+=+==.故答案为：16.直线230x y --=与直线350x y --=的夹角大小为_______．【答案】π4##45︒【解析】【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果.【详解】设直线230x y --=与直线350x y --=的倾斜角分别为,αβ，则1tan 2,tan 3αβ==，且[),0,παβ∈，所以αβ>，因为()12tan tan 3tan 121tan tan 13αβαβαβ---===++，所以π4αβ-=，即两条直线的夹角为π4，故答案为：π4.7.收集数据，利用22⨯列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中_______（填：有关或无关）【答案】无关【解析】【分析】根据题意，由零假设的定义，即可得到结果.【详解】零假设等价于两个变量相互独立，所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关.故答案为：无关8.已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()2log f x x =，若()1f a >，则实数a 的取值范围为_______．【答案】{1|02a a -<<或}2a >【解析】【分析】由已知结合奇函数的定义可求出0x <及0x =时的函数解析式，然后结合对数函数性质即可求解不等式.【详解】因为函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()2log f x x =，当0x <时，0x ->，所以()()()2log f x x f x -=-=-，所以()()2log f x x =--，若()1f a >，当0a >时，可得2log 1a >，解得2a >，当a<0时，可得()2log 1a -->，解得102a -<<，当0a =时，可得01>，显然不成立，故a 的取值范围为{1|02a a -<<或}2a >.故答案为：{1|02a a -<<或}2a >.9.用铁皮制作一个有底无盖的圆柱形容器，若该容器的容积为π立方米，则至少需要_______平方米铁皮【答案】3π【解析】【分析】由柱体的体积公式可得21r h ⋅=，再求出圆柱形容器的表面积，由基本不等式求解即可.【详解】设圆柱形容器的底面半径为r ，高为h ，所以圆柱形容器的体积为2ππV r h =⋅=，所以21r h ⋅=，所以圆柱形容器的表面积为：()22π2ππ3π3πS r rh r rh rh =+=++≥⋅,当且仅当2r rh =，又21r h ⋅=，即1r h ==时等号成立，故至少需要3π平方米铁皮.故答案为：3π.10.已知抛物线2Γ:4y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在Γ上，,30MN l NFM ⊥∠=︒，则点M 的横坐标为_______．【答案】13【解析】【分析】过点F 作FH NM ⊥于点H ，由抛物线定义以及三角函数可用含M 的横坐标M x 的式子表示,NM HM ，注意到()112MN MH NH +==--=，由此即可列方程求解.【详解】如图所示：过点F 作FH NM ⊥于点H ，显然抛物线2Γ:4y x =的焦点为()1,0F ，准线为:l =1x -，由抛物线定义有MF MN =，结合30NFM ∠=︒得180230120NMF ∠=︒-⨯︒=︒，而()11,cos 6012M M MF MN x MH MF x ==+=︒=+，所以()()111111223M M M MN MH x x x +=+++=--=⇔=.故答案为：13.11.甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表：甲乙丙接单量t （单）783182258338油费s （元）107150110264110376平均每单里程k （公里）151515平均每公里油费a （元）0.70.70.7出租车空驶率=出租车没有载客行驶的里程出租车行驶的总里程；依据以述数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型(),,,u f s t k a =，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为23.26%21.68%%x 、、，则x =_______（精确到0.01）【答案】20.68【解析】【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解.【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为s a，出租车有载客时行驶的里程为tk ，所以出租车空驶率1s tk tka a u s s a -==-，对于甲，7831150.710.232623.26%107150⨯⨯-≈=，满足题意；对于乙，8225150.710.216821.68%110264⨯⨯-≈=，满足题意；所以上述模型满足要求，则丙的空驶率为8338150.7%10.206820.68%110376x ⨯⨯=-≈=，即20.68x =.故答案为：20.68.12.已知平面向量,,a b c 满足：2a b c === ，若()()0c a c b -⋅-= ，则a b - 的最小值为_______．【答案】2【解析】【分析】先利用()2214a b a b a b ⋅=+-- 和()()2240a b a b ++-= 证明228a b --≤ ，再解不等式得到22824a b --≤ ，从而有2a b -≥ ，再验证()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c =时2a b -= ，即得到a b - 的最小值是2.【详解】由于()()()()()()()2222222211122444a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⋅=++⋅-+-⋅=+--=+-- ，且()()()()()()222222222222101040a b a b a b a b a b a b a b ++-=++⋅++-⋅=+=+= ，故有()()0c a c b =-⋅- ()2c a b c a b =-+⋅+⋅ 2c a b c a b ≥-++⋅ 42a b a b =-++⋅ ()()()221424a b a b a b =-+++-- ()()21424024a b a b =-++-- ()2144024a b =-+--21142a b =--- ，所以228a b --≤ ，记228a b x --= ，则有x ≤，从而120x -≤≤或()21612x x ≤+，即120x -≤≤或824x ≤≤.总之有24x ≤，故22824a b --≤ ，即2a b -≥ .存在()3,1a = ，()3,1b =- ，()2,0c = 时条件满足，且此时2a b -= ，所以a b - 的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：对于a b - 的最小值问题，我们先证明2a b -≥ ，再给出一个使得2a b -= 的例子，即可说明a b - 的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可.二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）13.设C z ∈，则“z z =”是“R z ∈”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义结合复数的定义求解即可.【详解】设i z a b =+，则i z a b =-，由z z =可得0b =，所以R z a =∈，充分性成立，当R z ∈时，即z a =，则z a =，满足z z =，故“z z =”是“R z ∈”的充要条件.故选：C .14.已知直线,a b 和平面α，则下列判断中正确的是（）A.若//,//a b αα，则//a bB.若//,//a b b α，则//a αC.若//,a b αα⊥，则a b⊥ D.若,//a b b α⊥，则a α⊥【答案】C【解析】【分析】利用空间线线线面的位置关系判断A 错误；举反例判断B 错误；利用线面平行的性质定理和线面垂直性质得到C 正确；由线面平行和线线垂直的性质判断D 错误.【详解】A ：若//,//a b αα，则两直线平行或异面或相交，故A 错误；B ：若//,//a b b α，当直线a 在平面α内时，则直线a 不平行于平面α，故B 错误；C ：若//a α，设过a 的平面与α相交于c ，则//a c ，又因为b α⊥，c α⊂，所以b c ⊥，所以b a ⊥，所以a b ⊥ ，故C 正确；D ：若,//a b b α⊥，则a α⊥或//a α或a α⊂，故D 错误；故选：C.15.某运动员8次射击比赛的成绩为：9.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、10.0；已知这组数据的第x 百分位为m ，若从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，则x 的取值不可能是（）A.65B.70C.75D.80【答案】D【解析】【分析】先利用古典概型分析m 的取值范围，再利用百分位数的定义逐一分析各选项，从而得解.【详解】将该运动员8次射击比赛的成绩从小到大排列：9.3、9.4、9.5、9.6、9.7、9.8、9.9、10.0，因为从这组数据中任取一个数，这个数比m 大的概率为0.25，一共有8个数，所以比m 大的数有两个，则9.89.9m ≤<，对于A ，因为80.65 5.2⨯=，所以第65百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于B ，因为80.7 5.6⨯=，所以第70百分位为第6个数，即9.8，满足题意；对于C ，因为80.756⨯=，所以第75百分位为第6,7个数的平均数，即9.89.99.852+=，满足题意；对于D ，因为80.8 6.4⨯=，所以第80百分位为第7个数，即9.9，不满足题意.故选：D.16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在非零常数c ，使得对任意正整数n ，都有n a c =+，则称数列{}n a 具有性质p ：①存在等差数列{}n a 具有性质p ；②不存在等比数列{}n a 具有性质p ；对于以上两个命题，下列判断正确的是（）A.①真②真B.①真②假C.①假②真D.①假②假【答案】B【解析】【分析】直接构造21n a n =-和()11n n a -=-，说明存在等差数列{}n a 具有性质p ，且存在等比数列{}n a 具有性质p ，从而得到①真②假.【详解】一方面，对21n a n =-，知{}n a 是等差数列.而()211212n S n n n =⋅+-=，令1c =就有2211n n n a c ==-+=+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等差数列{}n a 具有性质p ；另一方面，对()11n n a -=-，知{}n a 是等比数列.当n 为奇数时，1n a =；n 为偶数时，1n a =-.故当n 为奇数时，1n S =；n 为偶数时，0n S =.故当n为奇数时，2111n a ==+=+；n为偶数时，0111n a ==-+=+.这表明1n a =+恒成立，再令1c =就有n a c =+，所以{}n a 具有性质p ，这表明存在等比数列{}n a 具有性质p .综上，①正确，②错误，故B 正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：构造21n a n =-和()11n n a -=-作为例子，直接判断命题的真假，是判断选项正确性的简单有效的方法.三、解答（共78分）17.某同学用“五点法”画函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx ∆π65π122π311π12()sin x ωϕ+01∆1-0（1）请在答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数()y f x =的解析式；（2）设()()()2ππ1,0,0,22g x f x f x fx x ωϕ⎛⎫⎛⎫⎡⎤===+-∈ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎦⎝⎭，求函数()y g x =的值域；【答案】（1）补充表格见解析，()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）10,2⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）由表得ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解方程组即可得,ωϕ，进一步可据此完成表格；（2）由题意结合二倍角公式、诱导公式以及辅助角公式先化简()g x 的表达式，进一步通过整体换元法即可求解.【小问1详解】由题意ππ622π3π32ωϕωϕ⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪⋅+=⎪⎩，解得π2,6ωϕ==，所以函数()y f x =的解析式为()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令π206x +=时，解得π12x =-，当5π12x =时，ππ2π,sin 2066x x ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，将表中Δ处的数据补充完整如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx π12-π65π122π311π12()sin x ωϕ+0101-0【小问2详解】若1,0ωϕ==，则()22πsin sin sin sin sin cos 2g x x x x x x x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭1cos 212π1πsin 2sin 20,222422x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=+=-+∈⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π2,444x⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，进而πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以函数()y g x =的值域为10,2⎡⎤+⎢⎢⎥⎣⎦.18.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB AD AA ===；（1）求二面角1D AC D --的大小；（2）若点P 在直线11A C 上，求证：直线//BP 平面1D AC ；【答案】（1）6arccos 3（2）见解析【解析】【分析】（1）以A 为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面1ACD 和平面ACD 的一个法向量()1,1,2n =- 和()0,0,1m =，结合向量的夹角公式，即可求解.（2）设()11101A P A C λλ=≤≤ ，求出()2,2,1P λλ，则()22,2,1BP λλ=- ，再由0BP n ⋅=可证明直线//BP 平面1D AC .【小问1详解】以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()0,0,0,0,2,0,2,0,0,2,2,0A D B C ，()()()()11110,0,1,0,2,1,2,0,1,2,2,1A D B C ，因为()()12,2,0,0,2,1AC AD ==，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AC x y n AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =-，可得1,2x z ==，所以()1,1,2n =-，设平面ACD 的法向量为()0,0,1m =所以6cos ,361m nn m n m ⋅===⨯，所以二面角1D AC D --的大小为6arccos3.【小问2详解】设(),,P x y z ，则设()11101A P A C λλ=≤≤ ，()()111,,1,2,2,0A P x y z A C =-=，所以2,2,1x y z λλ===，所以()2,2,1P λλ，()22,2,1BP λλ=-平面1ACD 的法向量为()1,1,2n =-，22220BP n λλ⋅=--+=，因为BP ⊄平面1D AC ，所以直线//BP 平面1D AC .19.盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；（1）从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；（2）从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为X ，求X 的分布、期望与方差；【答案】（1）23（2）分布见解析，期望()()47,318E X D X ==【解析】【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得X 的分布，结合期望、方差计算公式即可求解.【小问1详解】第一次取出红球的概率为23，取出白球的概率为13，第一次取出红球，第二次取出红球的概率为231342⨯=，第一次取出白球，第二次取出红球的概率为111326⨯=，所有第二次取出的球是红球的概率为112263+=；【小问2详解】X 的所有可能取值为0，1，2，()()()21123636222999C C C C 1150,12C 12C 2C 12P X P X P X =========，所以X 的分布为01211512212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，它的期望为()1154012122123E X =⨯+⨯+⨯=，它的方差为()22214145470121232312318D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20.已知椭圆22Γ:1,63x y O +=为坐标原点；（1）求Γ的离心率e ；（2）设点()1,0N ，点M 在Γ上，求MN 的最大值和最小值；（3）点()2,1T ，点P 在直线3x y +=上，过点P 且与OT 平行的直线l 与Γ交于,A B 两点；试探究：是否存在常数λ，使得2PA PB PT λ⋅= 恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；【答案】（1）22（2）MN 的最大值为1+（3）54λ=【解析】【分析】（1）利用椭圆方程即可直接求得其离心率；（2）利用椭圆的几何性质，结合两点距离公式与二次函数的性质即可得解；（3）分别利用向量的模与线性运算的坐标表示求得2,,PT PA PB，再联立直线l 与椭圆方程得到1212,x x x x +关于a 的表达式，进而化简PA PB ⋅ 得到PA PB ⋅ 与2PT 的关系，由此得解.【小问1详解】设Γ的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为c ，则a b ==，则c =22c e a ===.【小问2详解】依题意，设(,)M x y，则x ≤≤22163x y +=，故2232x y =-，则MN ==所以由二次函数的性质可知，当2x =时，MN取得最小值为，当x =时，MN1=+【小问3详解】设()()1122(,3),,,,P a a A x y B x y -，又()2,1T，易得12OT k =，则直线l 为()()132y a x a --=-，即13322y x a =+-，而()()22222312(2)PT a a a =-+--=- ，()111111131,3,33,2222a PA x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()222222131,3,33,2222a PB x a y a x a x a a x a x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+--+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，联立2213322163y x a x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，得222(2)3(2)40x a x a +-+--=则()222Δ4(2)43(2)48420a a a a ⎡⎤=--⨯--=--+>⎣⎦，得22a -<<+所以212122(2),3(2)4x x a x x a +=--=--，故()()()()121214PA PB x a x a x a x a ⋅=--+--()()()21212125544x a x a x x a x x a =--=-++()2253(2)4224a a a a =--+-+252(2)4a =-，所以25||||4PA PB PT ⋅= ，故存在54λ=，使得2||||PA PB PT λ⋅= 恒成立.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.设函数()y f x =的定义域为D ，若存在实数k ，使得对于任意x D ∈，都有()f x k ≤，则称函数()y f x =有上界，实数k 的最小值为函数()y f x =的上确界；记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}；（1）求函数2(26)1y x x =<<-的上确界；（2）若()3212ln f x x hx x x M =-+∈，求h 的最大值；（3）设函数()y f x =一定义域为()0,∞+；若()2f x M ∈，且()y f x =有上界，求证：()0f x <，且存在函数()y f x =，它的上确界为0；【答案】（1）2（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由函数的单调性求出值域再根据题意可得；（2）求出()f x y x=的表达式，求导，再利用()nf x y x=在()0,∞+上严格递增得到导函数大于等于零恒成立，然后利用基本不等式求出最小值即可；（3）假设存在，由单调性可得()()102210f x f x xx>>，再取21x x >，且2x >可得()()212221f x f x x x >，推出①②互相矛盾，然后令()1,0f x x x=->，根据题意求出值域最后确定上确界即可.【小问1详解】因为函数21y x =-在区间()2,6上严格递减，所以函数2(26)1y x x =<<-的值域为2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以函数2(26)1y x x =<<-的上确界为2.【小问2详解】()22ln f x y x hx x x==-+，22,0y x h x x'=-+>，因为记集合n M ={()()nf x f x y x =在区间()0,∞+上是严格增函数}，所以0y '≥恒成立，因为224x h h h x -+≥=-，当且仅当1x =时取等号，所以4h ≤，所以h 的最大值为4.【小问3详解】证明：因为函数()y f x =有上界，设()f x k ≤，假设存在()00,x ∈+∞，使得()00f x ≥，设10x x >，因为()2y f x M =∈，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，进而()()102210f x f x xx>>，得()10,0f x k >>，取21x x >，且2x >，由于21x x >，得到()()212221f x f x xx>，①由2x >，得()()12222122f x f x k x x x >≥，②显然①②两式矛盾，所以假设不成立，即对任意()0,x ∈+∞，均有()0f x <，令()1,0f x x x =->，则()231f x y x x==-，因为当0x >时，430y x'=>，所以()2f x y x=在()0,∞+上严格递增，()2y f x M =∈，因为()1,0f x x x=->的值域为(),0∞-，所以函数()1f x x=-的上确界为零.【点睛】关键点点睛：（1）第二问的关键是导函数大于等于零恒成立，用基本不等式求解；（2）第三问关键是根据不等式的结构能够想到取2x >，再得到()()12222122f x f x k x x x >≥与当21x x >，得到()()212221f x f x x x >矛盾.。
上海市长宁区2022年九年级数学二模试卷-答案
2021学年第二学期初三数学教学质量检测试卷参考答案及评分说明一、选择题：1.C ；2.B ；3.A ；4.D ；5.B ；6.C.二、填空题：7.3y ；8.)2)(2(4-+a a ；9.-2；10.y =-2x ；11.（3,4）；12.101；13.4105⨯；14.2.16；15.40；16.108；17.215+；18.29.三、解答题：19.解：原式=125215++-+…………………………………………………………（各2分）=27.………………………………………………………………………………（2分）20.解：⎩⎨⎧->≤.2,1x x …………………………………………………………………………（各3分）∴不等式组的解集为12≤<-x .………………………………………………（2分）自然数解为0，1.…………………………………………………………………（2分）21.解：作OH ⊥CD ，垂足为点H .得CH =DH .………………………………………………………………………（2分）∵∠C =∠D =∠OHC =90°.∴∠C +∠D =∠C +∠OHC =∠D +∠OHD =180°.∴CE ∥DF ∥OH .…………………………………………………………………（1分）∴DHCH OF OE =.……………………………………………………………………（1分）∴OE =OF .…………………………………………………………………………（1分）∴CE +DF =2OH .…………………………………………………………………（2分）联结OC ，根据题意，得OC =17，CH =15，∴OH =8.……………………………（1分）∴梯形CDFE 的面积为240308)(21=⨯=⨯+=CD DF CE S .…………………（2分）22.解：（1）根据题意，得乙车的速度为506300=（千米/时）.………………………（2分）∴甲车行驶时的速度为每小时60千米.…………………………………………（2分）（2）甲车途中因故停车的时间为1小时.……………………………………………（1分）甲车2小时所行驶的路程为120千米，乙车3小时所行驶的路程为150千米，因此甲车开始继续行驶时，两车还未相遇，也即两车在甲车行驶的后半程相遇.甲车停车后继续行驶的路程与时间的函数解析式为y =60x -60，乙车行驶的路程与时间的函数解析式为y =-50x +300.………………………………………………（2分）∴⎩⎨⎧+-=-=.30050,6060x y x y …………………………………………………………………（1分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.111500,1136y x ……………………………………………………………………（1分）答：两车在离A 地约136千米处相遇.…………………………………………（1分）另解：设两车在离A 地x 千米处相遇.甲车途中因故停车的时间为1小时.……………………………………………（1分）根据题意，得16050300=--x x .……………………………………………………（3分）解得111500=x .……………………………………………………………………（1分）答：两车在离A 地约136千米处相遇.…………………………………………（1分）23.证明：（1）作DM ∥AC ，交线段BE 于点M .…………………………………………（1分）∵DM ∥AC ，∴AG DG AE EM =.……………………………………………………（1分）∵AG =2GD ，∴21=AE EM ，即AE DM 21=.………………………………………（1分）∵DM ∥AC ，∴BC BD CE EM =.………………………………………………………（1分）∴BC BD CE AE =21，即BCBD CE AE 2=.…………………………………………………（1分）（2）∵D 是边BC 的中点，即21=BC BD ，∴AE =CE .………………………………（1分）∵BD =CD ，CP =BC ，∴CP =2CD .…………………………………………………（1分）又∵AG =2GD ，∴21==AG DG CP CD .………………………………………………（1分）∴CG ∥AP .………………………………………………………………………（1分）∴AECE EF GE =.……………………………………………………………………（1分）∵AE =CE ，∴GE =EF .……………………………………………………………（1分）∴四边形AGCF 是平行四边形.…………………………………………………（1分）24.（1）解：根据题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯-++=1023652,43401b c b ……………………………………………（2分）解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,623c b …………………………………………………………………（1分）∴所求抛物线的表达式为3623652+-=x x y .………………………………（1分）（2）证明：设点A 的坐标为（x ,0）.根据题意，得点B 的坐标为（0,3）、点D 的坐标为（4,1），AB =AD .………（1分）∴22221)4(3+-=+x x .解得x =1，即点A 的坐标为（1,0）.………………………………………………（1分）作DH ⊥x 轴，垂足为点H .∵OA =DH =1，OB =AH =3，∴Rt △AOB ≌Rt △DHA .……………………………（1分）∴∠ABO =∠DAH .而∠ABO +∠BAO =90°，∴∠DAH +∠BAO =90°.∴∠BAD =90°.∴菱形ABCD 是正方形.…………………………………………………………（1分）（3）解：作CE ⊥y 轴，垂足为点E .可求得点C 的坐标为（3,4）.……………………………………………………（1分）∵∠BCO +∠OCD =90°，∠PCD =∠BCO ，∴∠PCD +∠OCD =90°，即∠PCO =90°.…………………………………………（1分）又∵∠BOC +∠COP =90°，∠COP +∠CPO =90°，∴∠CPO =∠BOC .又∵∠CEO =∠PCO =90°，∴△POC ∽△OCE .∴CEOC OC OP =.………………………………………………………………………（1分）而CE =3，OC =5，∴325=OP .∴点P 的坐标为（325，0）.……………………………………………………（1分）25.解：（1）设CP =x .∵∠C =90°，∠APC =45°，∴∠PAC =∠APC =45°.∴AC =CP =x .在Rt △ACB 中，222)54()4(=++x x .…………………………………………（1分）解得x =4，x =-8（不符合题意，舍去）.…………………………………………（1分）∵PD ⊥AB ，∴∠BDP =∠BCA =90°.∵∠B =∠B ，∴△BDP ∽△BCA .…………………………………………………（1分）∴AB PB AC PD =，即5444=PD .解得554=PD .……………………………………………………………………（1分）（2）设CQ 交线段AP 于点M ，交边AB 于点N .∵AC =PC ，CQ 平分∠C ，∴CM ⊥AP .∵∠QND =∠ANM ，∠QDN =∠AMN =90°，∴∠CQP =∠PAD .…………………（1分）在Rt △BDP 中，∵BP =4，554=PD ，∴558=BD .…………………………（1分）∴5512=AD .……………………………………………………………………（1分）∴31tan tan ==∠=∠AD PD P AD CQP .……………………………………………（1分）（3）（i ）当DE ∥BC 时，得CP ED CF EF =，53==AB AD PB ED .…………………………（1分）∵CP =PB ，∴53=CF EF .……………………………………………………………（1分）∴32=EF CE .…………………………………………………………………………（1分）（ii ）当DE ∥AC 时，延长边AC ，交直线DP 于点G .根据题意，可求得CG =8，512=DE .……………………………………………（1分）∵DE ∥AC ，∴103==CG DE CF EF .……………………………………………………（1分）∴313=EF CE .…………………………………………………………………………（1分）综上所述，32=EF CE 或313=EF CE .。
2023年上海市长宁区中考数学二模试卷及答案解析
2023年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）下列实数中，比3大的有理数是（）A．|﹣3|B．πC．D．2．（4分）用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的方程是（）A．y2+3y﹣1＝0B．y2﹣3y﹣1＝0C．y2﹣3y+1＝0D．y2+3y+1＝0 3．（4分）如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果⊙O半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点4．（4分）下列命题中，假命题的是（）A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的矩形是正方形5．（4分）某抖音卖货小店专门营销一类货品，以八种型号销售，一段时间内的销售数据如表所示：货品型号A B C D E F G H 销售数据（件）245138731如果每件货品销售利润都相同，该小店决定多进一些D型号货品，那么影响店主决策的统计量是（）A．平均数B．中位数C．标准差D．众数6．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），C（4，2），那么a +b +c 的值是（）A ．2B ．3C ．4D ．t二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）计算：2x •（﹣3xy 2）＝．8．（4分）函数的定义域是．9．（4分）已知，那么＝．10．（4分）如果关于x 的方程x 2﹣4x +2c ＝0有实数根，那么实数c 的取值范围是．11．（4分）不等式组的正整数解是．12．（4分）已知线段a ＝3，b ＝4，从1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中任意选取一个数作为线段c 的长度，那么a ，b ，c 不能组成三角形的概率是．13．（4分）为了解某区九年级3000名学生中“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数，区体测中心随机调查了其中的200名学生，结果仅有45名学生未获满分，那么估计该区九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为．14．（4分）已知点A （﹣4，m ）在反比例函数的图象上，点A 关于y 轴的对称点A 1恰好在直线上，那么k 的值为．15．（4分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝BC ，对角线AC 与BD 交于点O ，设，，那么＝．（结果用、表示）16．（4分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知BD ＝16，，如果点E 是边AB 的中点，那么OE ＝．17．（4分）如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 交于点E ，已知∠CEA ＝45°，DE ＝7，，那么cot ∠ABD 的值为．18．（4分）如图，将平行四边形ABCD沿着对角线AC翻折，点B的对应点为M，CM交AD于点N，如果∠B＝76°，∠ACM＝∠DCM+10°，且NC＝m，那么平行四边形ABCD 的周长为．（参考数据：cos76°≈0.24，tan76°≈4）三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）计算：．20．（10分）解方程组：21．（10分）已知点A（﹣2，m）在双曲线上，将点A向右平移5个单位得到点B．（1）当点B在直线y＝﹣2x+b上时，求直线y＝﹣2x+b的表达式；（2）当线段AB被直线y＝﹣2x+b分成两部分，且这两部分长度的比为3：2时，求b 的值．22．（10分）为了测量某建筑物的高度BE，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为i＝1：2.4的斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为30°，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物BE的高度与AD的长．（参考数据：）23．（12分）如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边AD、AB上，CE与DF交于点G．已知AE+AF＝AB．（1）求证：CE⊥DF；（2）以点G为圆心，GD为半径的圆与线段DF交于点H，点P为线段BH的中点，联结CP，如图2所示，求证：∠BCP+∠DCE＝∠ECP．24．（12分）已知抛物线y＝ax2+2x+6与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧，点B在原点O右侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，点D是抛物线上一点，直线BD恰好平分△ABC的面积，求点D的坐标；（3）如图2，点E坐标为（0，﹣2），在抛物线上存在点P，满足∠OBP＝2∠OBE，请直接写出直线BP的表达式．25．（14分）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心、AC为半径的⊙A交边AB于点D，点E在边BC上，满足CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，垂足为点G．（1）求证：△BCD∽△BFE；（2）延长EF与CA的延长线交于点M，如图2所示，求的值；（3）以点B为圆心、BE为半径作⊙B，当BC＝8，AF＝2时，请判断⊙A与⊙B的位置关系，并说明理由．2023年上海市长宁区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．【分析】根据|﹣3|＝3，π＞3，＝3＞3，＞3，即可得出比3大的数．【解答】解：∵|﹣3|＝3，π＞3，＝3＞3，＞3，∴各数中，比3大的数是，故选：C．【点评】本题主要考查了实数大小的比较，解题时注意：利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．2．【分析】由设出的y，将方程左边两项代换，得到关于y的方程，整理后即可得到结果．【解答】解：设，方程化为y﹣＝3，整理得：y2﹣3y﹣1＝0．故选：B．【点评】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．3．【分析】根据点在圆上，则d＝r；点在圆外，d＞r；点在圆内，d＜r（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）．【解答】解：若⊙O半径为5，那么到圆心O距离为7的点在圆外．观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，注意：点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键．4．【分析】根据菱形、等腰梯形、正方形的判定定理判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；B、对角线相等的梯形是等腰梯形，故本选项说法是假命题，符合题意；C、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，是真命题，不符合题意；D、对角线平分一组对角的矩形是正方形，是真命题，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的D型号就是这组数据的众数．【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响店主决策的统计量是众数．故选：D．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、标准差的意义．6．【分析】根据抛物线的对称性求得抛物线的对称轴，即可得到C（4，2）关于对称轴对称的点为（1，2），故当x＝1时可求得y值为2，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（2，t），B（3，t），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝，∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝，∴C（4，2）对称点坐标为（1，2），∴当x＝1时，y＝2，即a+b+c＝2，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求得点（1，2）在其图象上是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．【解答】解：2x•（﹣3xy2）＝﹣6x2y2．故答案为：﹣6x2y2．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．8．【分析】让x+2为非负数列式求值即可．【解答】解：由题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．故答案为：x≥﹣2．【点评】考查二次根式有意义的条件；用到的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．9．【分析】将x的值代入解析式求值．【解答】解：由题意得，＝．故答案为：．【点评】本题主要考查求函数值，熟练掌握求函数值的方法是解决本题的关键．10．【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式Δ≥0列出关于c的不等式，求出不等式的解集即可得到c的范围．【解答】解：根据方程没有实数根，得到Δ＝b2﹣4ac＝16﹣8c≥0，解得：c≤2．∴实数c的取值范围是：c≤2．故答案为：c≤2．【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．11．【分析】先解不等组，再找出正整数解．【解答】解：解第一个不等式得：x＞2，解第二个不等式得：x≤4，所以不等式组的解集为：2＜x≤4，所以x的正整数解为：3、4，故答案为：3、4．【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的解法是解题的关键．12．【分析】由三角形的三边关系得1＜c＜7，再由概率公式即可得出结论．【解答】解：由三角形的三边关系得：b﹣a＜c＜b+a，即4﹣3＜c＜4+3，∴1＜c＜7，∴a，b，c不能组成三角形的概率是，故答案为：．【点评】本题考查了概率公式以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．【分析】根据200名学生，结果仅有45名学生未获满分求得九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数所占总数的百分比，即可得到结论．【解答】解：3000×＝2325（名），答：估计该区九年级“4分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为2325名．故答案为：2325名．【点评】本题考查了用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．14．【分析】由点A与点A1关于y轴的对称，可得到A1（4，m），代入即可求得m 的值，从而求得A（﹣4，2），进而即可求出k的值．【解答】解：∵点A与点A1关于y轴的对称，点A（﹣4，m），∴A1（4，m），∵点A1恰好在直线上，∴m＝2，∴A（﹣4，2），∵点A（﹣4，m）在反比例函数的图象上，∴k＝﹣4×2＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，一次函数图象上点的坐标特征，关于y轴对称的点的坐标的特征，掌握方程思想是解题的关键．15．【分析】由AB∥CD，即可证得△AOD∽△OBC，又由AD＝BC，即可求得与，即可求得．【解答】解：∵AD∥BC，AD＝BC，∴△AOD∽△OBC，∴，∴，，∴＝+＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查向量的知识与相似三角形的判定与性质，掌握数形结合思想的应用，还要注意向量是有方向的是解题的关键．16．【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝BD＝8，根据三角函数的定义得到OA＝6，根据勾股定理得到AB＝＝10，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝BD＝8，∵，∴OC＝6，∴OA＝6，∴AB＝＝10，∵点E是边AB的中点，∴OE＝AB＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．17．【分析】作OF⊥CD于F，连接OD，根据勾股定理求出OF，再求出DF，再用勾股定理求出圆的半径，作DH⊥OB，再利用勾股定理求出DH、EH，用三角函数解答即可．【解答】解：作OF⊥CD于F，连接OD，∵∠CEA＝45°，∴∠OEF＝45°，∵OE＝3，∴OF＝EF＝3，∵DE＝7，∴DF＝4，∴OD＝＝5，∴OB＝5，BE＝5+3，作DH⊥OB于H，∴△DEH为等腰直角三角形，∵DE＝7，∴EH＝DH＝，∴BH＝5+3﹣＝5﹣，∴cot∠ABD＝＝＝．故答案为：＝．【点评】本题考查了三角函数的应用，正确的辅助线及勾股定理的运用是解题关键．18．【分析】首先利用平行四边形的性质可说明AN＝CD＝CN＝m，再利用等腰三角形的性质可得DN＝0.48m，进而解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵∠MCA＝∠BCA，∠BCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠MCA，AN＝CN＝m，∵∠ACM＝∠DCM+10°，∴∠BCA＝∠DCM+10°，∵∠B＝76°，∠B+∠BCD＝180°，∴∠DCM+2（∠DCM+10°）＝180°﹣76°＝104°，∴∠DCM＝28°，∴∠CND＝180°﹣∠D﹣∠DCN＝180°﹣76°﹣28°＝76°，∴CD＝CN＝m，在等腰△NCD中，，∴DN＝0.48m，∴AD＝1.48m，∴平行四边形ABCD的周长＝2（0.48m+1.48m）＝4.96m．故答案为：4.96m．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质，三角函数等知识，熟练掌握各知识是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．【分析】根据实数的混合运算法则，先计算分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根，再计算乘法，最后计算加减．【解答】解：＝2+﹣1×＝＝1﹣．【点评】本题主要考查实数的混合运算、分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根，熟练掌握实数的混合运算法则、分数指数幂、分母有理化、零指数幂、算术平方根是解决本题的关键．20．【分析】先将x2﹣9y2＝0左边因式分解，得出x+3y＝0或x﹣3y＝0．然后分类讨论即可．【解答】解：由x2﹣9y2＝0得，（x+3y）（x﹣3y）＝0，∴x+3y＝0或x﹣3y＝0，当x+3y＝0时，x＝﹣3y，把x＝﹣3y代入x+y＝2得，﹣3y+y＝2，∴y＝﹣1，∴x＝﹣3y＝3，∴，当x﹣3y＝0时，x＝3y，把x＝3y代入x+y＝2得，3y+y＝2，∴y＝，∴，∴，综上所述原方程组的解为或．【点评】本题考查二先二次方程组的解法，关键将x²﹣9y²＝0左边因式分解，转化为二元一次方程求解．21．【分析】（1）由反比例函数解析式求得点A的坐标，然后根据坐标平移的特点是左减右加、上加下减可以求得点B的坐标，然后利用待定系数法即可求得；（2）当线段AB被直线y＝﹣2x+b分成两部分，且这两部分长度的比为3：2时，且交点为D，分两种情况：或＝计算即可．【解答】解：（1）∵点A（﹣2，m）在双曲线上，∴m＝﹣＝2，∴A（﹣2，2），将点A向右平移5个单位得到点B，则B（3，2），∵点B在直线y＝﹣2x+b上，∴2＝﹣2×3+b，∴b＝8，∴直线y＝﹣2x+b的表达式为y＝﹣2x+8；（2）设直线y＝﹣2x+b交AB于D，①当时，即：＝，∴D（1，2），代入y＝﹣2x+b得，2＝﹣2×1+b，∴b＝4；②当＝时，即：＝，∴D（0，2），代入y＝﹣2x+b得，2＝﹣2×0+b，∴b＝2；故b的值为4或2．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的变化﹣平移，分类讨论思想的运用是解题的关键．22．【分析】过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DC交EB于点G，根据题意可得：DF＝GB，DC＝100米，∠EDC＝30°，∠ECG＝60°，∠BCG＝45°，先利用三角形的外角性质进行计算可得∠EDC＝∠DEC＝30°，从而可得CD＝CE＝100米，再在Rt△ECG 中，利用含30度角的直角三角形的性质求出EG，CG的长，再在Rt△CGB中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而求出EB的长，最后根据斜坡AD的坡比为i＝1：2.4，可求出AF的长，再在Rt△ADF中，利用勾股定理求出AD的长，即可解答．【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，延长DC交EB于点G，由题意得：DF＝GB，DC＝100米，∠EDC＝30°，∠ECG＝60°，∠BCG＝45°，∵∠ECG是△ECD的一个外角，∴∠DEC＝∠ECG﹣∠EDC＝30°，∴∠EDC＝∠DEC＝30°，∴CD＝CE＝100米，在Rt△ECG中，CG＝EC＝50（米），∴EG＝CG＝50（米），在Rt△CGB中，BG＝CG•tan45°＝50（米），∴DF＝BG＝50米，∴EB＝EG+BG＝50+50≈136.6（米），∵斜坡AD的坡比为i＝1：2.4，∴＝，∴AF＝2.4DF＝120（米），在Rt△ADF中，AD＝＝＝130（米），∴建筑物BE的高度约为136.6米，AD的长为130米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．【分析】（1）由四边形ABCD是正方形，得到AB＝AD＝CD，∠A＝∠EDC＝90°由AE+AF ＝AB，AE+DE＝AD，得到AF＝DE，即可证明△DAF≌△CDE，得到∠DCE＝∠ADF，由余角的性质得到∠DGC＝90°，因此CE⊥DF；（2）由等腰三角形的性质，得到∠DCE＝∠HCE，∠BCP＝∠HCP，得到∠BCP+∠DCE ＝∠HCP+∠HCE，因此∠BCP+∠DCE＝∠ECP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝CD，∠A＝∠EDC＝90°，∵AE+AF＝AB，AE+DE＝AD，∴AF＝DE，∵△DAF≌△CDE（SAS），∴∠DCE＝∠ADF，∵∠ADF+∠CDG＝90°，∴∠DCE+∠CDG＝90°，∴∠DGC＝180°﹣（∠DCE+∠CDG）＝90°，∴CE⊥DF；（2）由（1）知CE⊥DH，∵GD＝GH，∴CE垂直平分DH，∴CD＝CH，∴∠DCE＝∠HCE，∵CD＝BC，∴CH＝BC，∵P为线段BH的中点，∴∠BCP＝∠HCP，∴∠BCP+∠DCE＝∠HCP+∠HCE，∴∠BCP+∠DCE＝∠ECP．【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是由正方形的性质证明△DAF≌△CDE，由等腰三角形的性质得到∠DCE＝∠HCE，∠BCP＝∠HCP．24．【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）记直线BD交AC于点G，由直线BD恰好平分△ABC的面积，那么点G为AC的中点，过点G、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点N、T，设D（t，﹣+2t+6），故DT＝﹣t2+2t+6，OT＝﹣t，得出，解方程求出t的值即可；（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）由题意可知C（0，6），∵OB＝OC＝6，∴B（6，0），∴36a+12+6＝0，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2+2x+6；（2）由（1）知抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+6，故令y＝0得：0＝﹣x2+2x+6，解得：x＝﹣2，x2＝6，∴点A的坐标为（﹣2，0）．即OA＝2，记直线BD交AC于点G，由直线BD恰好平分△ABC的面积，那么点G为AC的中点，过点G、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点N、T，在△OCA中，GN∥CO，故由三角形中位线定理可得：GN＝3，ON＝1，故在Rt△BGN中，tan∠GBN＝，设D（t，﹣+2t+6），故DT＝﹣t2+2t+6，OT＝﹣t，在Rt△BDT中，tan∠DBT＝＝，∵tan∠DBT＝tan∠GBN，∴，解得：t1＝﹣，t2＝6（舍），∴D（﹣，）；（3）①当点P在x轴上方时，在y轴上取点G（0，2），连接BG，则∠OBG＝∠OBE，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM＝∠GBO，则∠OBP＝2∠OBE，过点G作GH⊥BM，∵E（0，﹣2），∴OE＝OG＝GH＝2，设MH＝x，则MG＝，在Rt△OBM中，OB2+OM2＝MB2，∴（+2）2+62＝（x+6）2，解得：x＝，故MG＝＝，∴OM＝OG+MG＝2+＝，∴点M（0，），将点B（6，0）、M（0，）的坐标代入一次函数表达式y＝mx+n，，解得：，∴直线BP的表达式为：y＝﹣x+；②当点P在x轴下方时，作点M（0，）关于x轴的对称点N（0，﹣），求得直线BN的解析式为y＝x﹣，综上所述，直线BP的表达式为y＝﹣x+或y＝x﹣．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积，直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是熟练运用分类讨论思想和方程的思想解决问题．25．【分析】（1）可证得∠BCD+∠ACD＝90°，∠ACD＝∠ADC，∠BFE+∠ADC＝90°，从而∠BFE＝∠BCD，进而证得结论；（2）延长CM交⊙A于N，可得出∠CME+∠CEM＝90°，∠CEM+∠BCD＝90°，从而∠BCD＝∠CME，进而得出∠CME＝∠AFM，从而得出AM＝AF，进一步得出结果；（3）设AC＝AD＝r，设BD＝CE＝a，可得出r2+82＝（r+a）2；由△BCD∽△BFE得出，从而得出，从而求得，进一步得出结论．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠BCD+∠ADC＝90°，∵EF⊥CD，∴∠BFE+∠ADC＝90°，∴∠BFE＝∠BCD，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BFE；（2）解：如图，延长CM交⊙A于N，∵∠ACB＝90°，∴∠CME+∠CEM＝90°，∵∠CGE＝90°，∴∠CEM+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CME，∵∠BCD＝∠BFE，∴∠BFE＝∠CME，∵∠AFM＝∠BFE，∴∠CME＝∠AFM，∴AM＝AF，∵AN＝AD，∴DF＝MN，∵AC＝AD，∴＝＝；（3）解：⊙A与⊙B外切，理由如下：设AC＝AD＝r，设BD＝CE＝a，在Rt△ABC中，由勾股定理得，r2+82＝（r+a）2；①∵△BCD∽△BFE，∴，∵DF＝AD﹣AF＝r﹣2，∴BF＝DF+BD＝a+r﹣2，∴，②由①②得，，∴BE＝BD＝CE＝4，AB＝10，∴AD+BD＝AB，∴⊙A与⊙B外切．【点评】本题考查了圆的有关的性质，圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是设未知数，找出相等关系列出方程（组）。
2019-2020学年上海市长宁区中考二模数学试卷有标准答案
第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷； （C ） aa 121=； （D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形． 二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ．16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ， 若a AD =，b DC =，用a 、b 表示=DB ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，D第14题图 A BCDEF第15题图 第16题图 DCBA 第18题图AB CD135sin =∠ABC ． （1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BEAD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．第22题图ACDEFGB第23题图备用图25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．长宁区第二学期初三数学参考答案和评分建议一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) O AC DBO BA C DBAO=2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分)=2)1(2+x (1分)当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分)20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分）将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分） 所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分） 把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE // ∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分） 在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分） 22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分） 代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分） 整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分）23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分）∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGD BD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上 ∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分） ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8， ∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO Θ，AO =5， ∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD Θ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO Θ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ， 则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121Θ ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO Θ，AO =5， ∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分） ②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ， 则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO Θ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ， 在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA Θ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD。
2022年上海市长宁区中考数学二模试题及答案解析
2022年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 在实数3.14、0、√8、π2、227、√49中，无理数有( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 下列各题的运算结果是五次单项式的是( ) A. 2mn 2+3mn 2 B. 3mn 3×2mC. (3m 2n)2D. (2m 2)33. 如图，已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，P 是直线l 外的一点，BC =2AB ，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ⃗ ，那么PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. −2m ⃗⃗⃗ +3n ⃗ B. −m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ C. 2m ⃗⃗⃗ −n ⃗ D. 4m⃗⃗⃗ −3n ⃗ 4. 小张从外地出差回家，根据当地防疫要求，需进行连续14天体温测量，具体结果如表：那么这14天小张测量的体温中，体温的众数和中位数分别是( )A. 36.1℃，36.3℃B. 36.5℃，36.3℃C. 36.3℃，36.4℃D. 36.5℃，36.4℃5. 一次函数y =ax +b 与二次函数y =ax 2+bx 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )A.B.C.D.6. 已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，cotA =65，那么以边AC 长的32倍为半径的圆A 与以BC 为直径的圆的位置关系是( )A. 外切B. 相交C. 内切D. 内含二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：xy 6÷xy 3=______．8. 分解因式：4a 2−16=______．9. 方程√7−x=3的解是______．10. 将直线y=−2x+6向左平移三个单位后，所得直线的表达式为______．11. 已知在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=12的图象经过位于x轴上方的点A，点B的x坐标为(−4,0)，且△AOB的面积等于8，那么点A的坐标为______．12. 盒子里只放有2只红球、3只白球，这五只球除颜色外其他都相同．如果从这个盒子里摸出两只球，那么摸出的两只球都是红球的概率等于______．13. 纳米(nm)是长度单位，1纳米为十亿分之一米，即1nm=10−9m.一根头发的直径约为0.005cm，那么0.005cm=______nm.(用科学记数法表示)14. 某商店销售A、B两种型号的新能源汽车，销售一辆A型汽车可获利2.4万元，销售一辆B 型汽车可获利2万元．如果该商店销售A、B两种型号汽车的数量如图所示，那么销售一辆汽车平均可获利______万元．15. 已知一个正多边形的中心角为45°，边长为5，那么这个正多边形的周长等于______．16. 已知在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD，BD=BC，那么∠A等于______度．17. 我们知道，两条邻边之比等于黄金分割数√5−12的矩形叫做黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，点E在边BC上，将这个矩形沿直线AE折叠，使点B落在边AD上的点F处，那么EF与CE的比值等于______．18. 如图，M是Rt△ABC斜边AB上的中点，将Rt△ABC绕点B旋转，使得点C落在射线CM上的点D处，点A落在点E处，边ED的延长线交边AC于点F.如果BC=6，AC=8，那么CF的长等于______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19. 计算：512+2−1−|√5−2|+(2022−π)0．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分。
上海市长宁区2019-2020学年中考第二次模拟数学试题含解析
上海市长宁区2019-2020学年中考第二次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．通过观察下面每个图形中5个实数的关系，得出第四个图形中y 的值是（ ）A ．8B ．﹣8C ．﹣12D ．12 2．已知二次函数()2y ax bx c a 0=++≠的图象如图所示，则下列结论：①ac>0；②a-b+c<0； ③当x 0<时，y 0<；2a b 0+=④，其中错误的结论有( )A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④3．下列运算正确的是（ ）A ．5ab ﹣ab=4B ．a 6÷a 2=a 4C ．112a b ab +=D ．（a 2b ）3=a 5b 3 4．下列计算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 5B ．2a+a 2=3a 3C ．（﹣a 3）3=a 6D ．a 2÷a=2 5．如图，△ABC 中，AB=AC=15，AD 平分∠BAC ，点E 为AC 的中点，连接DE ，若△CDE 的周长为21，则BC 的长为（ ）A ．16B ．14C ．12D ．6 6．要使分式337x x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x=73 B ．x>73 C ．x<73 D ．x≠737．图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：弧①是以O 为圆心，任意长为半径所画的弧；弧②是以P 为圆心，任意长为半径所画的弧；弧③是以A 为圆心，任意长为半径所画的弧；弧④是以P 为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．如图，已知直线AB 、CD 被直线AC 所截，AB ∥CD ，E 是平面内任意一点（点E 不在直线AB 、CD 、AC 上），设∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC 的度数可能是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④ 9．已知关于x 的一元二次方程()2220x x m +--=有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．1m >B ．1m <C ．m 1≥D ．1m £10．下列实数中是无理数的是（ ）A ．227B ．2﹣2C ．5.15&&D ．sin45°11．长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6 700 000米，将6 700 000用科学记数法表示应为（ ）A ．6.7×106B ．6.7×10﹣6C ．6.7×105D ．0.67×10712．如图，已知函数y=﹣3x 与函数y=ax 2+bx 的交点P 的纵坐标为1，则不等式ax 2+bx+3x＞0的解集是（ ）A ．x ＜﹣3B ．﹣3＜x ＜0C ．x ＜﹣3或x ＞0D ．x ＞0二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在函数1x y -=中，自变量x 的取值范围是_________． 14．关于x 的方程2230mx x -+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是__________． 15．如图，这是一幅长为3m ，宽为1m 的长方形世界杯宣传画，为测量宣传画上世界杯图案的面积，现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.4附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为___________________m 1．16．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2（x≥0）和抛物线C2：y＝24x（x≥0）交于A，B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D，过点B作EF∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E、F，则OFBEADSSVV的值为_____．17．已知ab=﹣2，a﹣b=3，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为_______．18．如图，在5×5的正方形（每个小正方形的边长为1）网格中，格点上有A、B、C、D、E五个点，如果要求连接两个点之后线段的长度大于3且小于4，则可以连接_____. （写出一个答案即可）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）解方程组：113311x x yx x y⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=⎪+⎩20．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上两点，且»»=AC BD，过点O作OE⊥AC于点E⊙O 的切线AF交OE的延长线于点F，弦AC、BD的延长线交于点G.（1）求证：∠F＝∠B；（2）若AB＝12，BG＝10，求AF的长.21．（6分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，点A表示﹣，设点B所表示的数为m．求m的值；求|m﹣1|+（m+6）0的值．⨯的矩形方格纸中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方22．（8分）如图，在65形的顶点上.∆，其面积为5，点C在小正方在图中画出以线段AB为底边的等腰CABW，其面积为16，点D和点E均在小正方形的顶点形的顶点上；在图中面出以线段AB为一边的ABDE上；连接CE，并直接写出线段CE的长.23．（8分）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？24．（10分）如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax+b与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA，设抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点（其中点M在点N的右侧），在x轴上是否存在点Q，使△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）黄石市在创建国家级文明卫生城市中，绿化档次不断提升．某校计划购进A，B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380元．（1）求A种，B种树木每棵各多少元；（2）因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍．学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用．26．（12分）如图，AB是⊙O的直径，BE是弦，点D是弦BE上一点，连接OD并延长交⊙O于点C，连接BC，过点D作FD⊥OC交⊙O的切线EF于点F．（1）求证：∠CBE＝12∠F；（2）若⊙O的半径是23，点D是OC中点，∠CBE＝15°，求线段EF的长．27．（12分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道A．B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．一辆车经过此收费站时，选择A通道通过的概率是；求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据前三个图形中数字之间的关系找出运算规律，再代入数据即可求出第四个图形中的y值．【详解】∵2×5﹣1×（﹣2）=1，1×8﹣（﹣3）×4=20，4×（﹣7）﹣5×（﹣3）=﹣13，∴y=0×3﹣6×（﹣2）=1．故选D．【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据图形中数与数之间的关系找出运算规律是解题的关键．2．C【解析】【分析】①根据图象的开口方向，可得a 的范围，根据图象与y 轴的交点，可得c 的范围，根据有理数的乘法，可得答案；②根据自变量为-1时函数值，可得答案；③根据观察函数图象的纵坐标，可得答案；④根据对称轴，整理可得答案．【详解】图象开口向下，得a ＜0，图象与y 轴的交点在x 轴的上方，得c ＞0，ac ＜，故①错误；②由图象，得x=-1时，y ＜0，即a-b+c ＜0，故②正确；③由图象，得图象与y 轴的交点在x 轴的上方，即当x ＜0时，y 有大于零的部分，故③错误；④由对称轴，得x=-2b a =1，解得b=-2a ， 2a+b=0故④正确；故选D ．【点睛】考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点． 3．B【解析】【分析】由整数指数幂和分式的运算的法则计算可得答案.【详解】A 项, 根据单项式的减法法则可得:5ab-ab=4ab,故A 项错误;B 项, 根据“同底数幂相除,底数不变,指数相减”可得: a 6÷a 2=a 4，故B 项正确;C 项,根据分式的加法法则可得:11a b a b ab++=,故C 项错误; D 项, 根据 “积的乘方等于乘方的积” 可得:2363()a b a b =,故D 项错误;故本题正确答案为B.【点睛】幂的运算法则:(1) 同底数幂的乘法: ·m n m n a a a +=(m 、n 都是正整数)(2)幂的乘方:()m n mn a a =(m 、n 都是正整数)(3)积的乘方:()n n n ab a b = (n 是正整数)(4)同底数幂的除法:m n m n a a a -÷=(a≠0,m 、n 都是正整数,且m>n)(5)零次幂:01a =(a≠0)(6) 负整数次幂: 1p p aa-=(a≠0, p 是正整数). 4．A【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、整式的除法运算法则分别计算得出答案．【详解】A 、a 2•a 3=a 5，故此选项正确；B 、2a+a 2，无法计算，故此选项错误；C 、（-a 3）3=-a 9，故此选项错误；D 、a 2÷a=a ，故此选项错误；故选A ．【点睛】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5．C【解析】【分析】先根据等腰三角形三线合一知D 为BC 中点，由点E 为AC 的中点知DE 为△ABC 中位线，故△ABC 的周长是△CDE 的周长的两倍，由此可求出BC 的值.【详解】∵AB=AC=15，AD 平分∠BAC ，∴D 为BC 中点，∵点E 为AC 的中点，∴DE 为△ABC 中位线，∴DE=12 AB，∴△ABC的周长是△CDE的周长的两倍，由此可求出BC的值.∴AB+AC+BC=42，∴BC=42-15-15=12，故选C.【点睛】此题主要考查三角形的中位线定理，解题的关键是熟知等腰三角形的三线合一定理. 6．D【解析】【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0，即3x−7≠0，解得x．【详解】∵3x−7≠0，∴x≠73．故选D．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．7．C【解析】【分析】根据基本作图的方法即可得到结论．【详解】解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；（3）弧③是以A为圆心，大于12AB的长为半径所画的弧，错误；（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．故选C．【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．8．D【解析】【分析】根据E 点有4中情况，分四种情况讨论分别画出图形，根据平行线的性质与三角形外角定理求解.【详解】E 点有4中情况，分四种情况讨论如下：由AB ∥CD ，可得∠AOC=∠DCE 1=β∵∠AOC=∠BAE1+∠AE 1C ，∴∠AE 1C=β-α过点E 2作AB 的平行线，由AB ∥CD ，可得∠1=∠BAE 2=α,∠2=∠DCE 2=β∴∠AE 2C=α+β由AB ∥CD ，可得∠BOE 3=∠DCE 3=β∵∠BAE 3=∠BOE 3+∠AE 3C ，∴∠AE 3C=α-β由AB ∥CD ，可得∠BAE 4+∠AE 4C+∠DCE 4=360°，∴∠AE 4C=360°-α-β∴∠AEC 的度数可能是①α+β，②α﹣β，③β-α，④360°﹣α﹣β，故选D.【点睛】此题主要考查平行线的性质与外角定理，解题的关键是根据题意分情况讨论.9．C【解析】【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()2220x x m +--=有实数根， ∴△=24b ac -=2241[(2)]m -⨯⨯--，解得m≥1，故选C ．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式．10．D【解析】A、是有理数，故A选项错误；B、是有理数，故B选项错误；C、是有理数，故C选项错误；D、是无限不循环小数，是无理数，故D选项正确；故选：D．11．A【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：6 700 000=6.7×106，故选：A【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12．C【解析】【分析】首先求出P点坐标，进而利用函数图象得出不等式ax2+bx+3x＞1的解集．【详解】∵函数y=﹣3x与函数y=ax2+bx的交点P的纵坐标为1，∴1=﹣3x，解得：x=﹣3，∴P（﹣3，1），故不等式ax2+bx+3x＞1的解集是：x＜﹣3或x＞1．故选C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确得出P点坐标．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．x≤1且x≠﹣1【解析】试题分析：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+1≠0，解得：x≤1且x≠﹣1．故答案为x≤1且x≠﹣1．考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．14．13m<且0m≠【解析】分析：根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△=4-12m＞1且m≠1，求出m的取值范围即可．详解：∵一元二次方程mx2-2x+3=1有两个不相等的实数根，∴△＞1且m≠1，∴4-12m＞1且m≠1，∴m＜13且m≠1，故答案为：m＜13且m≠1．点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=1（a≠1，a，b，c为常数）根的判别式△=b2-4ac．当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．15．1.4【解析】【分析】由概率估计图案在整副画中所占比例，再求出图案的面积.【详解】估计宣传画上世界杯图案的面积约为3×1×0.4=1.4m1．故答案为1.4【点睛】本题考核知识点：几何概率. 解题关键点：由几何概率估计图案在整副画中所占比例.16．1 6【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质结合三角形面积公式求解.【详解】解：设点A B 、横坐标为a ，则点A 纵坐标为2a ，点B 的纵坐标为24a ， ∵BE ∥x 轴，∴点F 纵坐标为24a ， ∵点F 是抛物线2y x =上的点，∴点F横坐标为12x a ==， ∵CD x P 轴，∴点D 纵坐标为2a ， ∵点D 是抛物线24x y =上的点， ∴点D横坐标为2x a ==，22131,,,244AD a BF a CE a OE a ∴==== ∴1141218362OFB EAD BF OE S S AD CE ⋅⋅==⨯=⋅⋅V V ， 故答案为16． 【点睛】此题重点考查学生对二次函数的图象和性质的应用能力，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 17．﹣18【解析】【分析】要求代数式a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3的值，而代数式a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3恰好可以分解为两个已知条件ab ，（a ﹣b ）的乘积，因此可以运用整体的数学思想来解答．【详解】a 3b ﹣2a 2b 2+ab 3=ab （a 2﹣2ab+b 2）=ab （a ﹣b ）2，当a ﹣b=3，ab=﹣2时，原式=﹣2×32=﹣18， 故答案为：﹣18.【点睛】本题考查了因式分解在代数式求值中的应用，熟练掌握因式分解的方法以及运用整体的数学思想是解题的关键.18．答案不唯一，如：AD【解析】【分析】根据勾股定理求出AD，根据无理数的估算方法解答即可．【详解】由勾股定理得：AD=，34<．故答案为答案不唯一，如：AD．【点睛】本题考查了无理数的估算和勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么222+=a b c．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．10.5 xy=⎧⎨=-⎩【解析】【分析】设1x=a，1x y+=b，则原方程组化为331a ba b+=⎧⎨-=⎩①②，求出方程组的解，再求出原方程组的解即可．【详解】设1x=a，1x y+=b，则原方程组化为：331a ba b+=⎧⎨-=⎩①②，①+②得：4a=4，解得：a=1，把a=1代入①得：1+b=3，解得：b=2，即1112 xx y⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得：10.5 xy=⎧⎨=-⎩，经检验10.5xy=⎧⎨=-⎩是原方程组的解，所以原方程组的解是10.5 xy=⎧⎨=-⎩．【点睛】此题考查利用换元法解方程组，注意要根据方程组的特点灵活选用合适的方法. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它,从而使问题得到简化，这叫换元法.换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理.20．（1）见解析；（2）92 AF=.【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得到∠GAB＝∠B，根据切线的性质得到∠GAB+∠GAF＝90°，证明∠F＝∠GAB，等量代换即可证明；（2）连接OG，根据勾股定理求出OG，证明△FAO∽△BOG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.【详解】（1）证明：∵¶¶AC BD=，∴¶¶AD BC=.∴∠GAB＝∠B，∵AF是⊙O的切线，∴AF⊥AO.∴∠GAB+∠GAF＝90°.∵OE⊥AC，∴∠F+∠GAF＝90°.∴∠F＝∠GAB，∴∠F＝∠B；（2）解：连接OG.∵∠GAB＝∠B，∴AG＝BG.∵OA＝OB＝6，∴OG⊥AB.∴22221068 OG BG OB=-=-=，∵∠FAO＝∠BOG＝90°，∠F＝∠B，∴△FAO∽△BOG，∴AF OB AO OG=.∴66982OB AOAFOG⋅⨯===.【点睛】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键. 21．（1）2；（22【解析】试题分析：()1点A表示2,向右直爬2个单位到达点B，点B表示的数为22m=-，()2把m的值代入，对式子进行化简即可．试题解析：()1由题意A点和B点的距离为2，其A点的坐标为2,因此B点坐标2 2.m=-()2把m的值代入得：()()016221226m m-++=-+，(01282=-+，211=+，2.=22．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，5CE=【解析】【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；（2）直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出符合题意的答案；（3）连接CE，根据勾股定理求出CE的长写出即可.【详解】解：（1）如图所示；（2）如图所示；（3）如图所示；CE5【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行四边形的性质、勾股定理，正确应用勾股定理是解题的关键. 23．（1）进价为1000元，标价为1500元；（2）该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．【解析】分析：（1）设进价为x 元，则标价是1.5x 元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5x×0.9×8-8x ，将标价直降100元销售7辆获利是（1.5x-100）×7-7x ，根据利润相等可得方程1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x ，再解方程即可得到进价，进而得到标价；（2）设该型号自行车降价a 元，利润为w 元，利用销售量×每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式，再利用配方法求最值即可．详解：（1）设进价为x 元，则标价是1.5x 元，由题意得：1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x ，解得：x=1000，1.5×1000=1500（元），答：进价为1000元，标价为1500元；（2）设该型号自行车降价a 元，利润为w 元，由题意得：w=（51+20a ×3）（1500-1000-a ）， =-320（a-80）2+26460， ∵-320＜0， ∴当a=80时，w 最大=26460，答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．点睛：此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w 与a 的关系式，进而求出最值．24．（1）y=﹣x 2+2x+1；（2）P （2，135+55-；（1）存在，且Q 1（1，0），Q 2（25，0），Q 1（50），Q 450），Q 550）.【解析】【分析】(1)根据抛物线的解析式，可得到它的对称轴方程，进而可根据点B的坐标来确定点A的坐标，已知OC=1OA，即可得到点C的坐标，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式．（2）求出点C关于对称轴的对称点，求出两点间的距离与CD相比较可知，PC不可能与CD相等，因此要分两种情况讨论：①CD=PD，根据抛物线的对称性可知，C点关于抛物线对称轴的对称点满足P点的要求，坐标易求得；②PD=PC，可设出点P的坐标，然后表示出PC、PD的长，根据它们的等量关系列式求出点P的坐标．（1）此题要分三种情况讨论：①点Q是直角顶点，那么点Q必为抛物线对称轴与x轴的交点，由此求得点Q的坐标；②M、N在x轴上方，且以N为直角顶点时，可设出点N的坐标，根据抛物线的对称性可知MN正好等于抛物线对称轴到N点距离的2倍，而△MNQ是等腰直角三角形，则QN=MN，由此可表示出点N的纵坐标，联立抛物线的解析式，即可得到关于N点横坐标的方程，从而求得点Q的坐标；根据抛物线的对称性知：Q关于抛物线的对称点也符合题意；③M、N在x轴下方，且以N为直角顶点时，方法同②．【详解】解:（1）由y=ax2﹣2ax+b可得抛物线对称轴为x=1，由B（1，0）可得A（﹣1，0）；∵OC=1OA，∴C（0，1）；依题意有：203a a bb++=⎧⎨=⎩，解得13ab=-⎧⎨=⎩；∴y=﹣x2+2x+1．（2）存在．①DC=DP时，由C点（0，1）和x=1可得对称点为P（2，1）；设P2（x，y），∵C（0，1），P（2，1），∴CP=2，∵D（1，4），∴CD=2＜2，②由①此时CD⊥PD，根据垂线段最短可得，PC不可能与CD相等；②PC=PD时，∵CP22=（1﹣y）2+x2，D P22=（x﹣1）2+（4﹣y）2∴（1﹣y）2+x2=（x﹣1）2+（4﹣y）2将y=﹣x 2+2x+1代入可得：32x =，∴y =；∴P 2．综上所述，P （2，1．（1）存在，且Q 1（1，0），Q 2（20），Q 1（0），Q 4，0），Q 5，0）； ①若Q 是直角顶点，由对称性可直接得Q 1（1，0）；②若N 是直角顶点，且M 、N 在x 轴上方时；设Q 2（x ，0）（x ＜1），∴MN=2Q 1O 2=2（1﹣x ），∵△Q 2MN 为等腰直角三角形；∴y=2（1﹣x ）即﹣x 2+2x+1=2（1﹣x ）；∵x ＜1，∴Q 2（2-，0）；由对称性可得Q 10）；③若N 是直角顶点，且M 、N 在x 轴下方时；同理设Q 4（x ，y ），（x ＜1）∴Q 1Q 4=1﹣x ，而Q 4N=2（Q 1Q 4），∵y 为负，∴﹣y=2（1﹣x ），∴﹣（﹣x 2+2x+1）=2（1﹣x ），∵x ＜1，∴x=∴Q 4（0）；由对称性可得Q 5，0）．【点睛】本题考查了二次函数的知识点，解题的关键是熟练的掌握二次函数相关知识点.25． (1) A 种树每棵2元，B 种树每棵80元；(2) 当购买A 种树木1棵，B 种树木25棵时，所需费用最少，最少为8550元．【解析】【分析】（1）设A 种树每棵x 元，B 种树每棵y 元，根据“购买A 种树木2棵，B 种树木5棵，共需600元；购买A 种树木3棵，B 种树木1棵，共需380元”列出方程组并解答；（2）设购买A 种树木为x 棵，则购买B 种树木为（2-x ）棵，根据“购买A 种树木的数量不少于B 种树木数量的3倍”列出不等式并求得x 的取值范围，结合实际付款总金额=0.9（A 种树的金额+B 种树的金额）进行解答．【详解】解：（1）设A 种树木每棵x 元，B 种树木每棵y 元，根据题意，得256003380x y x y +=⎧⎨+=⎩ ，解得10080x y =⎧⎨=⎩， 答：A 种树木每棵2元，B 种树木每棵80元．（2）设购买A 种树木x 棵，则B 种树木（2－x ）棵，则x≥3（2－x ）．解得x≥1．又2－x≥0，解得x≤2．∴1≤x≤2．设实际付款总额是y 元，则y ＝0.9[2x ＋80（2－x ）]．即y ＝18x ＋7 3．∵18＞0，y 随x 增大而增大，∴当x ＝1时，y 最小为18×1＋7 3＝8 550（元）．答：当购买A 种树木1棵，B 种树木25棵时，所需费用最少，为8 550元．26．（1）详见解析；（1）6-【解析】【分析】(1)连接OE 交DF 于点H ，由切线的性质得出∠F+∠EHF =90∘，由FD ⊥OC 得出∠DOH+∠DHO =90∘，依据对顶角的定义得出∠EHF ＝∠DHO ，从而求得∠F=∠DOH ，依据∠CBE=12∠DOH ，从而即可得证； (1)依据圆周角定理及其推论得出∠F=∠COE ＝1∠CBE =30°，求出OD 的值，利用锐角三角函数的定义求出OH 的值，进一步求得HE 的值，利用锐角三角函数的定义进一步求得EF 的值．【详解】（1）证明：连接OE 交DF 于点H ，∵EF 是⊙O 的切线，OE 是⊙O 的半径，∴OE ⊥EF ．∴∠F+∠EHF ＝90°．∵FD ⊥OC ，∴∠DOH+∠DHO＝90°．∵∠EHF＝∠DHO，∴∠F＝∠DOH．∵∠CBE＝12∠DOH，∴12 CBE F ∠=∠（1）解：∵∠CBE＝15°，∴∠F＝∠COE＝1∠CBE＝30°．∵⊙O的半径是23，点D是OC中点，∴3OD=．在Rt△ODH中，cos∠DOH＝OD OH，∴OH＝1．∴232HE=-．在Rt△FEH中，tan=EHFEF∠∴3623EF EH==-【点睛】本题主要考查切线的性质及直角三角形的性质、圆周角定理及三角函数的应用，掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．27．（1）14；（2）34．【解析】试题分析：（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．试题解析：（1）选择A通道通过的概率=14，故答案为14；（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率=1216=34．。
上海市长宁区中考数学二模试卷(含解析)
中考数学二模试卷、选择题（共6小题，每小题4分，满分24 分）=-B • =3 C• 一= 一D：1 ='=—B . =3 C. —D. 一x+y 7 s-y y 3 yc的解集在数轴上可表示为(K-2<0A. * 百*3-2 -1 0 1 23.在正方形网格中，△ ABC的位置如图所示，贝U cos / B的值为（）4. 如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A T B T C^D的路径匀速前进到D为止.5. 已知F为线段AB的黄金分割点，且AF< PB,则（）A. AF2=AB?PBB. A B=AP?PBC. P B"=AP?ABD. Ah+BF^A^1 .已知二=匸，那么下列各式中正确的是（y 4y 4A.2.不等式组1S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（6. 下列说法中，正确的是（）A. —组数据-2,- 1, 0, 1, 1, 2的中位数是0B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件D. 分别写有三个数字-1， - 2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）1 37 .计算：（a s b）= _________ .&在实数范围内分解因式：X2- 3= ______ .9. 已知函数f （x）=丄丄，那么f （〔- 1）= .x10. 已知反比例函数y=—丄的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是x11 .抛物线y= - x2+2x+a的对称轴是 _______ .12. 方程让-1=1的解为___________ .13. 已知关于x的方程x2- 2kx+k=0有两个相等的实数根，那么实数k= ______ .14. 某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为_____________ 15. 化简：2 - 3(. > ')=AF 1EF// BC, = . , EF=3,则CD的长为BE 317. 在△ ABC中，已知BC=4cm以边AC的中点P为圆心1cm为半径画O P,以边AB的中点Q为圆心x cm长为半径画O Q如果O P与O Q相切，那么x= _________ cm.18. ___________ 如图，在Rt△ ABC中，AB=AC D、E是斜边BC上的两点，且/ DAE=45 .设BE=a, DC=b 那么AB= （用含a、b的式子表示AB）.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. （10 分）计算：（.厂 1 2- | - 3+ T tan45 ° |+ （—）°.20. （1°分）解方程组:々乎.3 K3-xy+x+2y+6=021. （1°分）已知直线y= - x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，设0为坐标原点.（1）求/ ABO勺正切值；（2）如果点A向左平移12个单位到点C,直线I过点C且与直线y= - , x+3平行，求直线I的解析式.22. （1°分）小明在海湾森林公园放风筝•如图所示，小明在A处，风筝飞到C处，此时线长BC为4°米，若小明双手牵住绳子的底端B距离地面1.5米，从B处测得C处的仰角为60°，求此时风筝离地面的高度CE （计算结果精确到0.1米，—沁1.732 ）23. （12分）如图，在△ ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ 交AB 于点Q点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E,且三=三，点G在BC延长线上，/ ACG的平分线交直线PQ于点F.2 求证：PC=PE3 当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形.24. ( 12分)已知△ OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6 / AOB=30 .(1)求点A B的坐标；(2)开口向上的抛物线经过原点O和点B,设其顶点为巳当厶OBE 为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式；(3)设半径为2的O P与直线OA交于M N两点，已知MN=2—, P ( m 2)( m> 0),求m的值.25. (14分)如图，△ ABC的边AB是O O的直径，点C在O O上，已知AC=6cm BC=8cm 点P、Q分别在边AB BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k?A( k> 0),联接PC PQ(1 )求0 O的半径长；(2)当k=2时，设AP=x,A CPQ的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域；(3)如果△ CPQ M^ ABC相似，且/ ACB=/ CPQ 求k 的值.参考答案与试题解析一、选择题(共6小题，每小题4分，满分24分)1已知’上上，那么下列各式中正确的是( )y 4A. = 1 B •亠=3 C. 1' ' =「D ='s+y 7 x-y s 3 y 4【考点】S1:比例的性质.【分析】根据比例的基本性质(两内项之积等于两外项之积)作出选择.【解答】解：•止= 的两内项是y、3，两外项是x、4,y 434x=—y, y= x, 3y=4x .4 3A、由原式得，4 ( x+y) =7y，即3y=4x，故本选项正确；B由原式得，3 ( x- y) =x，即2x=3y，故本选项错误；C由原式得，10x=3 (x+2y)，即6y=7x，故本选项错误；D由原式得，4 ( x- y) =y，即3x=5y，故本选项错误.故选A.【点评】本题考查了比例的基本性质•难度不大，是基础题.（2x+3>l2. 不等式组.的解集在数轴上可表示为（）A. •. *B. ■. C-3 -2-1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 2 -3-2-10 1 2【考点】CB解一元一次不等式组；C4:在数轴上表示不等式的解集【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，从而得出答案.【解答】解：解不等式2x+3 > 1，得：x >- 1，解不等式x-2V 0,得：x v 2，.不等式组的解集为-1 w x v 2，故选：B.【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.3. 在正方形网格中，△ ABC的位置如图所示，贝U cos / B的值为（）IH!J I 4* *1"! "jl *1A. B. —C. —D.—2 2 2 3【考点】T1:锐角三角函数的定义.【分析】作ADL BC,可得AD=BD=5利用勾股定理求得AB,再由余弦函数的定义求解可得.【解答】解：如图，作AD L BC于点D,贝U AD=5 BD=5• AB= j，.：訂=；L「=5 :,••• cos / B=.^= _,AB 刃2 2故选：B.【点评】本题主要考查余弦函数的定义和勾股定理，构建直角三角形是解题的关键.4. 如图，在四边形ABCD中,动点P从点A开始沿A T B T C^D的路径匀速前进到D为止.在这个过程中，△ APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（）【分析】根据点P 的运动过程可知：△ APD 的底边为AD,而且AD 始终不变，点P 到直线AD的距离APD 的高，根据高的变化即可判断 S 与t 的函数图象. 【解答】 解：设点P 到直线AD 的距离为h , •••△ APD 的面积为：-一 ADh ,2当P 在相等AB 运动时，此时h 不断增大， 当P 在线段BC 上运动时, 此时h 不变，当P 在线段CD 上运动时, 此时h 不断减小， 故选（C ）【点评】本题考查函数图象， 解题的关键是根据点 P 到直线AD 的距离来判断s 与t 的关系, 本题属于基础题型.5. 已知P 为线段AB 的黄金分割点，且 AP< PB,则（ ） A. AF 2=AB?PBB . A B=AP?PBC. P B=AP?ABD. Ah+B 戸=A^ 【考点】S3:黄金分割.【分析】把一条线段分成两部分， 使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样Or【考点】E7:动点问题的函数图象.的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（丄丄）叫做黄金比.2【解答】解：••• P为线段AB的黄金分割点，且AP v PB,••• PB2=AP?AB故选C.【点评】本题考查了黄金分割的概念，熟记定义是解题的关键.6. 下列说法中，正确的是（）A. —组数据-2,- 1, 0, 1, 1, 2的中位数是0B. 质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式C. 购买一张福利彩票中奖是一个确定事件D. 分别写有三个数字-1 , - 2, 4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为.一【考点】X6:列表法与树状图法；V2:全面调查与抽样调查；W4中位数；X1 :随机事件.【分析】根据中位数、全面调查和抽样调查、事件的分类以及概率的求法分别对每一项进行分析，即可得出答案.【解答】解：A、数据-2, - 1, 0, 1, 1, 2的中位数是二丄，故本选项错误；B质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用抽样调查方式，故本选项错误；C购买一张福利彩票中奖是一个不确定事件，故本选项错误；D分别写有三个数字-1 , - 2, 4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为.，故本选项正确；故选D.【点评】此题考查了中位数、全面调查和抽样调查、事件的分类以及概率的求法. 用到的知识点为：可能发生，也可能不发生的事件叫做随机事件；概率=所求情况数与总情况数之比.二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）1 3 37. 计算：（a - b）3= ab3.【考点】2F：分数指数幕.【分析】根据积的乘方等于乘方的积，可得答案.【解答】解：原式=a二b3=ab3,故答案为：ab3.【点评】本题考查了积的乘方，禾U用积的乘方是解题关键.&在实数范围内分解因式：x2- 3= (x+x -_ ___.【考点】58:实数范围内分解因式；54:因式分解-运用公式法.【分析】把3写成—的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式.【解答】解：x2- 3=x2-( . —) 2= (x+ _)( x - _).【点评】本题考查平方差公式分解因式，把3写成—的平方是利用平方差公式的关键.9.已知函数f (x)=——，那么f ( -- 1) = 2+ ；.【考点】E5:函数值；76：分母有理化.【分析】把x= 一 - 1直接代入函数f (x)=八即可求出函数值.【解答】解：因为函数f (x) =■,X所以当x= ■- 1 时，f (x) =「''[.=2+ ■.【点评】本题比较容易，考查求函数值.(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；(2 )函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个.10.已知反比例函数y= 的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是k> 1【考点】G4反比例函数的性质.【分析】根据反比例函数y=—的图象经过一、三象限得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可.【解答】解：•••反比例函数y= 的图象经过一、三象限,••• k - 1 > 0,即k > 1.故答案为：k > 1.【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键.11 .抛物线y= - x 2+2x+a 的对称轴是 直线x=1 .【考点】H3:二次函数的性质. 【分析】先根据抛物线的解析式得出 a 、b 的值，再根据二次函数的对称轴方程即可得出结论.【解答】解：•••抛物线的解析式为 y= - x 2+2x+a , ••• a= - 1, b=2,故答案为：x=1【点评】 本题考查的是二次函数的性质，即二次函数 y=ax 2+bx+c (a * 0)的对称轴直线 x=2a12.方程 ——=1的解为 x=2 .【考点】AG 无理方程.【分析】方程两边平方转化为整式方程， 求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到无 理方程的解.【解答】 解：方程两边平方得：x -仁1, 解得：x=2,经检验x=2是原方程的解， 故答案为：x=2【点评】 此题考查了无理方程，无理方程注意要检验.13.已知关于x 的方程x 2- 2kx+k=0有两个相等的实数根，那么实数 k= k=0或k=1【考点】AA 根的判别式.【分析】由方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4k 2- 4k=0,解之即可得出结论.【解答】 解：T 关于x 的方程x 2- 2kx+k=0有两个相等的实数根， ••△ = (- 2k ) 2 - 4k=4k 2- 4k=0, 解得：k=0或k=1 .•••其对称轴是直线 x=-b------------- =12X(—1).故答案为：k=0或k=1.【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当厶=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键.14•某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为_匚二=800【考点】B6:由实际问题抽象出分式方程•【分析】根据A、B两种机器人每小时搬运物品间的关系可得出B型机器人每小时搬运物品（x - 20）千克，再根据A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等即可列出关于x的分式方程，由此即可得出结论•【解答】解：设A型机器人每小时搬运物品x千克，则B型机器人每小时搬运物品（x-20）千克，•/ A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，...igo o =800x x-20故答案为：L—=丄」x x-20【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出关于x 的分式方程•本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键.T 丄T T T T15 .化简：2 - 3 （二一-）=—-13；_ .【考点】LM *平面向量.【分析】根据向量的加减运算法则进行计算即可得解.【解答】解: 2 - - 3 U --；）,=2 -】+3 ',=-+3 ' •故答案为：-+3 •【点评】本题考查了平面向量，熟记向量的加减运算法则是解题的关键.EF〃BC -=；，EF=3,则CD 的长为」【考点】S9:相似三角形的判定与性质；L8:菱形的性质.【分析】要求CD的长，只要求出菱形的任意一条边长即可，根据题意可以求得△ AEF^A ABC从而可以求得BC的长，本题得以解决.【解答】解：•••在菱形ABCD中, EF// BC, 丄=—,EF=3,BE 3AE 1•••△AEF^A ABC AB=BC=CD=DA …-,AB 4.「"■• < -，. -• :■，解得，BC=12• CD=12故答案为：12.【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答.17. 在△ ABC中，已知BC=4cm以边AC的中点P为圆心1cm为半径画O P,以边AB的中点Q为圆心x cm长为半径画O Q如果O P与O Q相切，那么x= 1 或3 cm.【考点】MK相切两圆的性质.【分析】根据三角形的中位线的性质得到PQ^BC=2cm①当O P与O Q相外切时，②当O P与O Q相内切时，列方程即可得到结论.【解答】解：I BC=4cm点P是AC的中点，点Q是AB的中点，• PQ=z;BC=2cm①当O P与O Q相外切时，PQ=1+x=2• x=1cm,②当O P与O Q相内切时，PQ=|X- 1|=2 ,••• x=3cm （负值舍去），•••如果O P与O Q相切，那么x=1cm或3cm,故答案为：1或3.【点评】本题考查了相切两圆的性质，三角形的中位线的性质，注意相切两圆的两种情况.18. 如图，在Rt△ ABC中，AB=AC D、E是斜边BC上的两点，且/ DAE=45 .设BE=a, DC=b【考点】KD全等三角形的判定与性质；KW等腰直角三角形.【分析】将厶ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△ AFB只要证明厶FAE^A DAE推出EF=ED / ABF= / C=45 ,由 / EBF= / ABF+ / ABE=90 ,推出ED=EF=J/ + b'，可得BC=a+b+ —. ,根据AB=BC?cos45即可解决问题.【解答】解：将△ ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△ AFB.证明：•••△DAC^A FAB•AD=AF / DAC=/ FAB•••/ FAD=90 ,•••/ DAE=45 ,•••/ DAC+/ BAE=Z FAB+Z BAEK FAE=45 ,在厶FAE和△ DAE中，f DA=FA< ZDAE=ZFAE,AE=AE•△FAE^A DAE•EF=ED Z ABF=Z C=45 ,•••/ EBF=Z ABF+Z ABE=90 ,（用含a、b的式子表示AB二ED=EF=，二BC=a+b+ /十才••• AB=BC?cos45 二宁（a+b+故答案为宁（a+b+ 一——）【点评】本题考查旋转变换、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19. （10 分）（2017?长宁区二模）计算：（，）「1- | - 3+ T tan45 ° |+ （—）°,【考点】2C:实数的运算；6E:零指数幕；6F:负整数指数幕；T5:特殊角的三角函数值.【分析】原式利用零指数幕、负整数指数幕法则，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果.【解答】解：原式=2 - 3+ _+1= 一.【点评】此题考查了实数的运算，零指数幕、负整数指数幕，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键.20. （1°分）（2017?长宁区二模）解方程组:【考点】AF:高次方程.【分析】由①得：2x - y=0, 2x+y=0，这样原方程组化成两个二元二次方程组，求出每个方程组的解即可.由①得：2x- y=0, 2x+y=0,f2z-y=0 f2z+y=0原方程组化为：①，②I 3x -xy+x+2rH6=0 | 3x -xy+x+2rH6=0【解答】解:4x2-y2=0 ①【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化成二元二次方程组 题的关键.21. ( 10分)(2017?长宁区二模)已知直线 y=- ,_x+3与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点， 设O 为坐标原点.(1) 求/ ABO 的正切值；(2) 如果点A 向左平移12个单位到点C ,直线I 过点C 且与直线y= - x+3平行，求直线I 的解析式.【考点】FF :两条直线相交或平行问题；Q3:坐标与图形变化-平移；T7:解直角三角形. 【分析】(1)根据已知条件得到 A (6, 0), B (0, 3),求得OA=6 OB=3,根据三角函数 的定义即可得到结论；(2)将点A 向左平移12个单位到点C,于是得到C (- 6, 0),设直线I 的解析式为y=- —x+b ，把C (- 6, 0)代入y= - —x+b 即可得到结论.2 2【解答】 解：(1 )•••直线y=-：x+3与x 轴、y 轴分别交于 A B 两点， ••• A (6, 0), B ( 0, 3), •••OA=6 OB=3 •••/ AOB=90 ,x0A 6 门• tan / ABO —=2;(2)将点A 向左平移12个单位到点C,• C (- 6 , 0),•••直线l 过点C 且与直线y= - . x+3平行， 设直线I 的解析式为y= - ,_ x+b ,把 C （- 6, 0）代入 y= x+b 得 0=— — 川（-6） +b ,(降次)是解此解方程组①得: ，方程组②无解,所以原方程组的解为:2 2b= - 3,•••直线I的解析式为y= -—x - 3.2【点评】本题考查了两直线平行或相交问题，坐标与图形变换-平移，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键.22. （10分）（2017?长宁区二模）小明在海湾森林公园放风筝.如图所示，小明在A处, 风筝飞到C处，此时线长BC为40米，若小明双手牵住绳子的底端B距离地面1.5米，从B处测得C处的仰角为60°,求此时风筝离地面的高度CE （计算结果精确到0.1米，二~1.732 ）知 ___________【考点】TA解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】过点B作BD丄CE于点D,由锐角三角函数的定义求出CD的长，根据CE=CD+D即可得出结论.【解答】解：过点B作BD丄CE于点D,•/ AB丄AE, DEI AE, BD丄CE•四边形ABDE是矩形，•DE=AB=1.5 米.•/ BC=40米，/ CBD=60 ,•CD=BC?s in60 =40X 一=20 -，•CE=CD+DE=20_+1.5 ~ 20X 1.73+1.5 ~ 36.1 （米）.答：此时风筝离地面的高度CE是36.1米.咚 (4)A E【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.23. （12分）（2017?长宁区二模）如图，在△ ABC中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ交AB于点Q,点D在线段BC上，联接AD交线段PQ于点E,且,CD BD 点G在BC延长线上，/ ACG的平分线交直线PQ于点F.（1）求证：PC=PE（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形.【考点】S9:相似三角形的判定与性质；【分析】（1）根据相似三角形的性质得到出丄亠，于是得到结论；CD CD（2）根据平行线的性质得到/ PFC=/ FCG根据角平分线的性质得到/ PCF=/ FCG等量代换得到/ PFC=/ FCG根据等腰三角形的性质得到PF=PC得到PF=PE由已知条件得到AP=CP 推出四边形AECF是平行四边形，于是得到结论.【解答】（1）证明：T PQ// BC,•••△AQ0A ABD △AEP^A ADCLC:矩形的判定.，「二等量代换得到='，推.•座型匹型BD莎而苛’.CD -而，•空座方-而，.CD 石，•PC=PE(2 )• PF// DG•••/ PFC=/ FCG•/ CF平分/ PCG•/ PCF=/ FCG•/ PFC=/ FCG•PF=PC•PF=PE•P是边AC的中点，•AP=CP•四边形AECF是平行四边形，•PQ// CD•/ PEC玄DCE•/ PCE=/ DCE•/ PCE+/ PCF^- (/ PCD/ PCG =90。
精选上海市长宁区中考二模数学试卷有详细答案
第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷； （C ） aa 121=； （D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形． 二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ．16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ，若a AD =，b DC =，用a 、b 表示=DB ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC 是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，D第14题图 A BCDE F第15题图 第16题图 DCBA 第18题图AB CD135sin =∠ABC ． （1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BEAD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．第22题图ACDEFGB第23题图备用图25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．长宁区第二学期初三数学参考答案和评分建议一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) O AC DBO BA C DBAO=2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分)=2)1(2+x (1分)当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分)20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分）将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分） 所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分） 把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE ∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE // ∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分） 在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，542156cot ===∠DF CF DCB （1分） 22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分） 代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分） 整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分）23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分）∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGD BD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上 ∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分） ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8， ∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO Θ，AO =5， ∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD Θ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO Θ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ， 则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121Θ ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO Θ，AO =5， ∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分） ②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ， 则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO Θ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ， 在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA Θ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD。
上海市长宁区2019-2020学年中考数学第二次调研试卷含解析
上海市长宁区2019-2020学年中考数学第二次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图是由若干个小正方体块搭成的几何体的俯视图，小正方块中的数字表示在该位置的小正方体块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．对于数据：6,3,4,7,6,0,1．下列判断中正确的是（ ） A ．这组数据的平均数是6，中位数是6 B ．这组数据的平均数是6，中位数是7 C ．这组数据的平均数是5，中位数是6D ．这组数据的平均数是5，中位数是73．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）A ．2CD AC =B ．3CD AC =C ．4CD AC =D ．不能确定4．已知一元二次方程2310x x --= 的两个实数根分别是 x 1 、 x 2 则 x 12 x 2 + x 1 x 22 的值为（ ） A ．-6B ．- 3C ．3D ．65．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是( )A ．56B ．58C ．63D ．726．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ） A ．11B ．16C ．17D ．16或177．用半径为8的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于（ ） A ．4B ．6C ．16πD ．88．如图1是2019年4月份的日历，现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2)，下列表示a ，b ，c ，d 之间关系的式子中不正确的是( )A．a﹣d＝b﹣c B．a+c+2＝b+d C．a+b+14＝c+d D．a+d＝b+c9．已知抛物线c：y=x2+2x﹣3，将抛物线c平移得到抛物线c′，如果两条抛物线，关于直线x=1对称，那么下列说法正确的是（）A．将抛物线c沿x轴向右平移52个单位得到抛物线c′ B．将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′C．将抛物线c沿x轴向右平移72个单位得到抛物线c′ D．将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′10．下列各数中，最小的数是（）A．﹣4 B．3 C．0 D．﹣211．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC＝3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y＝kx的图象经过点D，则k值为（）A．﹣14 B．14 C．7 D．﹣712．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．14．1-12的倒数是_____________．15．掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为合数的概率是__________ .16．如图，在一次数学活动课上，小明用18个棱长为1的正方体积木搭成一个几何体，然后他请小亮用其他棱长为1的正方体积木在旁边再搭一个几何体，使小亮所搭几何体恰好和小明所搭几何体拼成一个无空隙的大长方体（不改变小明所搭几何体的形状）．请从下面的A、B两题中任选一题作答，我选择__________．A、按照小明的要求搭几何体，小亮至少需要__________个正方体积木．B、按照小明的要求，小亮所搭几何体的表面积最小为__________．17．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=23，∠AEO=120°，则FC的长度为_____．18．如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是_____cm．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），BC平分∠ABO 交x轴于点C（2，0）．点P是线段AB上一个动点（点P不与点A，B重合），过点P作AB的垂线分别与x轴交于点D，与y轴交于点E，DF平分∠PDO交y轴于点F．设点D的横坐标为t．（1）如图1，当0＜t＜2时，求证：DF∥CB；（2）当t＜0时，在图2中补全图形，判断直线DF与CB的位置关系，并证明你的结论；（3）若点M的坐标为（4，-1），在点P运动的过程中，当△MCE的面积等于△BCO面积的58倍时，直接写出此时点E的坐标．20．（6分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，EF 为AB 的垂直平分线，交BC 于点F ，交AB 于点E ．求证：FC=2BF ．21．（6分）如图1，在长方形ABCD 中，12AB cm =，BC 10cm =，点P 从A 出发，沿A B C D →→→的路线运动，到D 停止；点Q 从D 点出发，沿D C B A →→→路线运动，到A 点停止．若P 、Q 两点同时出发，速度分别为每秒lcm 、2cm ，a 秒时P 、Q 两点同时改变速度，分别变为每秒2cm 、54cm (P 、Q 两点速度改变后一直保持此速度，直到停止)，如图2是APD ∆的面积2()s cm 和运动时间x (秒)的图象．(1)求出a 值；(2)设点P 已行的路程为1()y cm ，点Q 还剩的路程为2()y cm ，请分别求出改变速度后，12,y y 和运动时间x (秒)的关系式；(3)求P 、Q 两点都在BC 边上，x 为何值时P ，Q 两点相距3cm ？22．（8分）解不等式组11232x x --≤，并将它的解集在数轴上表示出来．23．（8分）先化简，再求值：(1﹣11x x -+)÷22691x x x ++-，其中x ＝1．24．（10分）某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI ）数据，绘制出三幅不完整的统计图表，请根据图表中提供的信息解答下列问题：AQI指数质量等级天数（天）0-50 优m51-100 良44101-150 轻度污染n151-200 中度污染 4201-300 重度污染 2300以上严重污染 2（1）统计表中m= ，n= ，扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占%；（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少？25．（10分）如图，分别以线段AB两端点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于C，D两点，作直线CD交AB于点M，DE∥AB，BE∥CD．（1）判断四边形ACBD的形状，并说明理由；（2）求证：ME=AD．26．（12分）某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如表，商品名称甲乙进价（元/件）80 100 售价（元/件）160 240设其中甲种商品购进x件，该商场售完这200件商品的总利润为y元．（1）求y与x的函数关系式；（2）该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）在（2）的基础上，实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案．27．（12分）两家超市同时采取通过摇奖返现金搞促销活动，凡在超市购物满100元的顾客均可以参加摇奖一次．小明和小华对两家超市摇奖的50名顾客获奖情况进行了统计并制成了图表（如图）奖金金额20元15元10元5元获奖人数商家甲超市 5 10 15 20乙超市 2 3 20 25（1）在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是，在乙超市摇奖的顾客获得奖金金额的众数是；（2）请你补全统计图1；（3）请你分别求出在甲、乙两超市参加摇奖的50名顾客平均获奖多少元？（4）图2是甲超市的摇奖转盘，黄区20元、红区15元、蓝区10元、白区5元，如果你购物消费了100元后，参加一次摇奖，那么你获得奖金10元的概率是多少？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．B【解析】【分析】根据俯视图可确定主视图的列数和每列小正方体的个数．【详解】由俯视图可得，主视图一共有两列，左边一列由两个小正方体组成，右边一列由3个小正方体组成．故答案选B.【点睛】由几何体的俯视图可确定该几何体的主视图和左视图．2．C【解析】【分析】根据题目中的数据可以按照从小到大的顺序排列，从而可以求得这组数据的平均数和中位数．【详解】对于数据：6，3，4，7，6，0，1，这组数据按照从小到大排列是：0，3，4，6，6，7，1，这组数据的平均数是：034667957++++++=，中位数是6，故选C.【点睛】本题考查了平均数、中位数的求法，解决本题的关键是明确它们的意义才会计算，求平均数是用一组数据的和除以这组数据的个数；中位数的求法分两种情况：把一组数据从小到大排成一列，正中间如果是一个数，这个数就是中位数，如果正中间是两个数，那中位数是这两个数的平均数.3．B【解析】【分析】由AB=CD，可得AC=BD，又BC=2AC，所以BC=2BD，所以CD=3AC.【详解】∵AB=CD，∴AC+BC=BC+BD，即AC=BD，又∵BC=2AC，∴BC=2BD，∴CD=3BD=3AC.故选B．【点睛】本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．4．B【解析】【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1•x2=﹣1，再把x12x2+x1x22变形为x1•x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】根据题意得：x1+x2=1，x1•x2=﹣1，所以原式=x1•x2（x1+x2）=﹣1×1=－1．故选B．【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2ba =-，x1•x2ca =．5．B【解析】试题分析：第一个图形的小圆数量=1×2+2=4；第二个图形的小圆数量=2×3+2=8；第三个图形的小圆数量=3×4+2=14；则第n个图形的小圆数量=n(n+1)+2个，则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个.考点：规律题6．D【解析】试题分析：由等腰三角形的两边长分别是5和6，可以分情况讨论其边长为5，5，6或者5，6，6，均满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的条件，所以此等腰三角形的周长为5+5+6=16或5+6+6=17.故选项D正确.考点：三角形三边关系；分情况讨论的数学思想7．A【解析】【分析】由于半圆的弧长=圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为8π，底面半径=8π÷2π．【详解】解：由题意知：底面周长=8π，∴底面半径=8π÷2π=1．故选A．【点睛】此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长．8．A【解析】【分析】观察日历中的数据，用含a的代数式表示出b，c，d的值，再将其逐一代入四个选项中，即可得出结论．【详解】解：依题意，得：b＝a+1，c＝a+7，d＝a+1．A、∵a﹣d＝a﹣(a+1)＝﹣1，b﹣c＝a+1﹣(a+7)＝﹣6，∴a﹣d≠b﹣c，选项A符合题意；B、∵a+c+2＝a+(a+7)+2＝2a+9，b+d＝a+1+(a+1)＝2a+9，∴a+c+2＝b+d，选项B不符合题意；C、∵a+b+14＝a+(a+1)+14＝2a+15，c+d＝a+7+(a+1)＝2a+15，∴a+b+14＝c+d，选项C不符合题意；D、∵a+d＝a+(a+1)＝2a+1，b+c＝a+1+(a+7)＝2a+1，∴a+d＝b+c，选项D不符合题意．故选：A．【点睛】考查了列代数式，利用含a的代数式表示出b，c，d是解题的关键．9．B【解析】∵抛物线C：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴抛物线对称轴为x=﹣1．∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣3）．则与A点以对称轴对称的点是B（2，﹣3）．若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x=1对称，就是要将B点平移后以对称轴x=1与A点对称．则B点平移后坐标应为（4，﹣3），因此将抛物线C向右平移4个单位．故选B．10．A【解析】【分析】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可【详解】根据有理数比较大小的方法，可得﹣4＜﹣2＜0＜3∴各数中，最小的数是﹣4故选：A【点睛】本题考查了有理数大小比较的方法，解题的关键要明确：①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小11．B【解析】过点D作DF⊥x轴于点F,则∠AOB=∠DFA=90°,∴∠OAB+∠ABO=90°,∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AD=BC,∴∠OAB+∠DAF=90°,∴∠ABO=∠DAF,∴△AOB∽△DFA,∴OA：DF=OB：AF=AB：AD,∵AB：BC=3：2,点A（3,0）,B（0,6）,∴AB：AD=3：2,OA=3,OB=6,∴DF=2,AF=4,∴OF=OA+AF=7,∴点D的坐标为:（7,2）,∴k14=,故选B.12．B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB，∠AEG=∠EFB，∴△AEG∽△BFE，∴AE AG BF BE=，又∵AE=BE，∴AE2=AG•BF=2，∴（舍负），∴GF2=GE2+EF2=AG2+AE2+BE2+BF2=1+2+2+4=9，∴GF的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG∽△BFE．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P的度数.【详解】∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案为：30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.14．2 3 -【解析】先把带分数化成假分数可得:13122-=-,然后根据倒数的概念可得:32-的倒数是23-,故答案为:23-.15．1 3【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．详解：掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数可能是1、2、3、4、5、6中的任意一个数，共有六种可能，其中4、6是合数，所以概率为26=13．故答案为13．点睛：本题主要考查概率的求法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．16．A，18， 1【解析】【分析】A 、首先确定小明所搭几何体所需的正方体的个数，然后确定两人共搭建几何体所需小立方体的数量，求差即可；B 、分别得到前后面，上下面，左右面的面积，相加即可求解．【详解】A 、∵小亮所搭几何体恰好可以和小明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体，∴该长方体需要小立方体4×32=36个，∵小明用18个边长为1的小正方体搭成了一个几何体，∴小亮至少还需36-18=18个小立方体，B 、表面积为：2×（8+8+7）=1．故答案是：A ，18，1．【点睛】考查了由三视图判断几何体的知识，能够确定两人所搭几何体的形状是解答本题的关键.17．1【解析】【分析】先根据矩形的性质，推理得到OF=CF ，再根据Rt △BOF 求得OF 的长，即可得到CF 的长．【详解】解：∵EF ⊥BD ，∠AEO=120°，∴∠EDO=30°，∠DEO=60°，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠OBF=∠OCF=30°，∠BFO=60°，∴∠FOC=60°-30°=30°，∴OF=CF ，又∵Rt △BOF 中，BO=12BD=12， ∴OF=tan30°×BO=1，∴CF=1，故答案为：1．【点睛】本题考查矩形的性质以及解直角三角形的运用，解题关键是掌握：矩形的对角线相等且互相平分．18．【解析】【分析】先求出扇形弧长，再求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可出圆锥的高. 【详解】圆心角为120°，半径为6cm的扇形的弧长为1206180π⨯=4πcm∴圆锥的底面半径为2，cm【点睛】此题主要考查圆的弧长及圆锥的底面半径，解题的关键是熟知圆的相关公式.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）求出∠PBO+∠PDO=180°，根据角平分线定义得出∠CBO=12∠PBO，∠ODF=12∠PDO，求出∠CBO+∠ODF=90°，求出∠CBO=∠DFO，根据平行线的性质得出即可；（2）求出∠ABO=∠PDA，根据角平分线定义得出∠CBO=12∠ABO，∠CDQ=12∠PDO，求出∠CBO=∠CDQ，推出∠CDQ+∠DCQ=90°，求出∠CQD=90°，根据垂直定义得出即可；（3）分为两种情况：根据三角形面积公式求出即可．【详解】（1）证明：如图1．∵在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（0，4），∴∠AOB=90°．∵DP⊥AB于点P，∴∠DPB=90°，∵在四边形DPBO中，∠DPB+∠PBO+∠BOD+∠PDO=360°，∴∠PBO+∠PDO=180°，∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，∴∠CBO=12∠PBO，∠ODF=12∠PDO，∴∠CBO+∠ODF=12（∠PBO+∠PDO）=90°，∵在△FDO中，∠OFD+∠ODF=90°，∴∠CBO=∠DFO，∴DF∥CB．（2）直线DF与CB的位置关系是：DF⊥CB，证明：延长DF交CB于点Q，如图2，∵在△ABO中，∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，∵在△APD中，∠APD=90°，∴∠PAD+∠PDA=90°，∴∠ABO=∠PDA，∵BC平分∠ABO，DF平分∠PDO，∴∠CBO=12∠ABO，∠CDQ=12∠PDO，∴∠CBO=∠CDQ，∵在△CBO中，∠CBO+∠BCO=90°，∴∠CDQ+∠DCQ=90°，∴在△QCD中，∠CQD=90°，∴DF⊥CB．（3）解：过M作MN⊥y轴于N，∵M（4，-1），∴MN=4，ON=1，当E在y轴的正半轴上时，如图3，∵△MCE的面积等于△BCO面积的58倍时，∴12×2×OE+12×（2+4）×1-12×4×（1+OE）=58×12×2×4，解得：OE=72，当E在y轴的负半轴上时，如图4，1 2×（2+4）×1+12×（OE-1）×4-12×2×OE=58×12×2×4，解得：OE=32，即E的坐标是（0，72）或（0，-32）．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，坐标与图形性质，三角形的面积的应用，题目综合性比较强，有一定的难度．20．见解析【解析】【分析】连接AF，结合条件可得到∠B=∠C=30°，∠AFC=60°，再利用含30°直角三角形的性质可得到AF=BF=12CF，可证得结论．【详解】证明：连接AF，∵EF为AB的垂直平分线，∴AF=BF ，又AB=AC ，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=∠BAF=30°，∴∠FAC=90°，∴AF=FC ，∴FC=2BF ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．21．（1）6；（2）126y x =-；259524y x =-；（3）10或15413； 【解析】【分析】（1）根据图象变化确定a 秒时，P 点位置，利用面积求a ；（2）P 、Q 两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒； （3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm 分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．【详解】（1）由图象可知，当点P 在BC 上运动时，△APD 的面积保持不变，则a 秒时，点P 在AB 上． 110302AP ⨯=， ∴AP=6，则a=6；（2）由（1）6秒后点P 变速，则点P 已行的路程为y 1=6+2（x ﹣6）=2x ﹣6，∵Q 点路程总长为34cm ，第6秒时已经走12cm ，故点Q 还剩的路程为y 2=34﹣12﹣5595(6)424x x -=-； （3）当P 、Q 两点相遇前相距3cm 时，59524x -﹣（2x ﹣6）=3，解得x=10， 当P 、Q 两点相遇后相距3cm 时，（2x ﹣6）﹣（59524x -）=3，解得x=15413， ∴当x=10或15413时，P 、Q 两点相距3cm 【点睛】本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x 的连续性才能直接列出函数关系式．22．x≤1，解集表示在数轴上见解析【解析】【分析】首先根据不等式的解法求解不等式，然后在数轴上表示出解集．【详解】去分母，得：3x ﹣2（x ﹣1）≤3，去括号，得：3x ﹣2x+2≤3，移项，得：3x ﹣2x≤3﹣2，合并同类项，得：x≤1，将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的解法以及在数轴上表示不等式的解集． 23．15. 【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．【详解】原式=2221(1)(1)1(3)x x x x x x +-++-⋅++=2(1)(1)(3)3113x x x x x x x +-=-++⋅++ 当x=1时，原式2123-=+=15． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．24． (1)m=20,n=8；55;(2) 答案见解析.【解析】【分析】（1）由A 占25%，即可求得m 的值，继而求得n 的值，然后求得空气质量等级为“良”的天数占的百分比；（2）首先由（1）补全统计图，然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案.【详解】（1）∵m=80×25%=20，n=80-20-44-4-2-2=8， ∴空气质量等级为“良”的天数占：4480×100%=55%. 故答案为20，8,55；（2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：365×（25%+55%）=292（天）， 答：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天；补全统计图：【点睛】此题考查了条形图与扇形图的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 25．（1）四边形ACBD 是菱形；理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意得出AC BC BD AD ===，即可得出结论；（2）先证明四边形BEDM 是平行四边形，再由菱形的性质得出90BMD ∠=︒，证明四边形ACBD 是矩形，得出对角线相等ME BD =，即可得出结论.【详解】（1）解：四边形ACBD 是菱形；理由如下：根据题意得：AC=BC=BD=AD ，∴四边形ACBD 是菱形（四条边相等的四边形是菱形）；（2）证明：∵DE ∥AB ，BE ∥CD ，∴四边形BEDM 是平行四边形，∵四边形ACBD 是菱形，∴AB ⊥CD ，∴∠BMD=90°，∴四边形ACBD 是矩形，∴ME=BD ，∵AD=BD ，∴ME=AD ．【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定和矩形的判定与性质，并能进行推理结论是解决问题的关键.26．（1）y=﹣60x+28000；（2）若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是22000元；（3）商场应购进甲商品120件，乙商品80件，获利最大【解析】分析：（1）根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×购进甲的数量+（乙的售价-乙的进价）×购进乙的数量代入列关系式，并化简即可；（2）根据总成本≤18000列不等式即可求出x的取值，再根据函数的增减性确定其最值问题；（3）把50＜a＜70分三种情况讨论：一次项x的系数大于0、等于0、小于0，根据函数的增减性得出结论．详解：（1）根据题意得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x），=﹣60x+28000，则y与x的函数关系式为：y=﹣60x+28000；（2）80x+100（200﹣x）≤18000，解得：x≥100，∴至少要购进100件甲商品，y=﹣60x+28000，∵﹣60＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最大值，y大=﹣60×100+28000=22000，∴若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是22000元；（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x）（100≤x≤120），y=（a﹣60）x+28000，①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最大利润，即商场应购进甲商品100件，乙商品100件，获利最大，②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，即商场应购进甲商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利最大，③当60＜a＜70时，a﹣60＞0，y随x的增大而增大，∴当x=120时，y有最大利润，即商场应购进甲商品120件，乙商品80件，获利最大．点睛：本题是一次函数和一元一次不等式的综合应用，属于销售利润问题，在此类题中，要明确售价、进价、利润的关系式：单件利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量；认真读题，弄清题中的每一个条件；对于最值问题，可利用一次函数的增减性来解决：形如y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．27．（1）10，5元；（2）补图见解析；（3）在甲、乙两超市参加摇奖的50名顾客平均获奖分别为10元、8.2元；（4）3 10.【解析】【分析】（1）根据中位数、众数的定义解答即可；（2）根据表格中的数据补全统计图即可；（3）根据计算平均数的公式求解即可；（4）根据扇形统计图，结合概率公式求解即可.【详解】（1）在甲超市摇奖的顾客获得奖金金额的中位数是=10元，在乙超市摇奖的顾客获得奖金金额的众数5元，故答案为：10元、5元；（2）补全图形如下：（3）在甲超市平均获奖为=10（元），在乙超市平均获奖为=8.2（元）；（4）获得奖金10元的概率是=．【点睛】本题考查了中位数及众数的定义、平均数的计算公式及简单概率的求法，熟知这些知识点是解决本题的关键.。
2024届上海市长宁区初三二模数学试题及答案
上海市长宁区2024届初三二模数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列是最简二次根式的是（）.A.B .C .D 2.关于一元二次方程230x x 根的情况，正确的是（）.A .C 3..A y 4.、5000.A 5.，下列说法错误的是（）.A AB .C AC 6..A .B .C 一条对角线平分一组对角，另一条对角线平分一个内角的四边形是菱形；.D 二、7.计算：8.截至2023年底，全国高铁营业里程约为45000公里，这个数45000用科学记数法表示为．9.函数 22f x x的定义域为．10.3 的解是．11.已知方程221213x x x x ，如果设21xy x ，那么原方程转化为关于y 的整式方程为．12.如果二次函数2y x m 的图像向右平移3个单位后经过原点，那么m 的值为．13.在1、2、3中任取两个不重复的数字组成一个两位数，那么这个两位数是素数的概率是．第14题图第15题图第16题图14.为了解某校六年级300名学生来校的方式，随机调查了该校六年级50名学生同一天来校的方式，并绘制了如图所示的饼状图，那么估计该校六年级300名学生中这一天步行来学校的共有名．15.如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，且2BD AD ，点E 是AC 的中点，联结DE ，设向量BA a，BC16.，且45EAF ，BE17.在D 、点E 18.10 ，16BC ，的取值范围是．19.计算： 10383 ．第21题图20.（本题满分10分）解方程组：223560x y x xy y，①②．21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图，⊙O 经过平行四边形ABCD 的顶点B 、C 、D ，点O 在边AD 上，3AO ，5OD ．（1）求平行四边形ABCD 的面积；（2）求D 的正弦值．第23题图22.（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题3分，第（3）小题4分）春节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动．设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x 元，请根据条件回答下列问题：（1）如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款y 元，求y 关于x 的函数解析式（不必写出函数定义域）；（2）购买原价在500元以下的商品时，如果分别选择甲商店的优惠活动和乙商店的优惠活动后，实际付款金额相等，求x 的值；（3）顾客购买原价在900元以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活更合算，23.D 重合），点F 在边CD （1）（2）第24题图在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y ax x c 与x 轴分别交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点 0,6C ，其对称轴为直线2x ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点F 是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF 分别与y 轴、线段BC 交于点D 、E ．①当CF DF 时，求CD 的长；②联结AC ，如果ACF 的面积是CDE 面积的3倍，求点F 的坐标．第25题图1备用图备用图已知在ABC 中，CA CB ，6AB ，3cos 5CAB，点O 为边AB 上一点，以点O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，交边AC 于点D （点D 不与点A 、C 重合）．（1）当4AD 时，判断点B 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点C 作CE OD ，交OD 延长线于点E ．以点E 为圆心，EC 为半径作⊙E ，延长CE ，交⊙E 于点'C ．①如图1，如果⊙O 与⊙E 的公共弦恰好经过线段EO 的中点，求CD 的长；②联结'AC 、OC ，如果'AC 与BOC 的一条边平行，求⊙E 的半径长．上海市长宁区2024届初三二模数学试卷-简答2023学年第二学期初三数学参考答案和评分建议2024.4一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．C ；2．B ；3．D ；4．A ；5．C ；6．D ．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．14；8．44.510⨯；9．2x ≠；10．10x =；11；12．9-；13．12；14．90；15．1126b a - ；16；17．2；18．165r =或4r <<．三、解答题（本大题共7题,满分78分）19.解：2321=+-+原式（8分62=-+1分=41分20.解：由②得：()()230x y x y --=2分∴原方程组化为：3,20x y x y -=⎧⎨-=⎩或3,30.x y x y -=⎧⎨-=⎩2分解得：116,3;x y =⎧⎨=⎩229,23.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩4分∴原方程组解为1163x y =⎧⎨=⎩229232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.2分21.解：（1）作OH BC ⊥，垂足为点H ，联结OC .∵平行四边形ABCD 中，3,5AO OD ==∴8BC AD ==1分∵在⊙O 中，OH 过圆心O ，OH BC ⊥∴4BH CH ==1分∵Rt OCH ∆中，90OHC ︒∠=∴222OH CH OC +=1分∵5OC OD ==∴3OH =1分∴平行四边形面积为8324BC OH ⋅=⨯=.1分（2）作CG AD ⊥，垂足为点G .∵平行四边形ABCD 中，//AD BC ，∴180GCH OGC ∠+∠=︒∵CG AD ⊥∴90OGC ∠=︒∴90GCH ∠=︒∵90OHC ∠=︒∴四边形OGCH 为矩形1分∴3OH CG ==4OG CH ==∴541DG =-=2分∵Rt DCG ∆中，90CGD ︒∠=∴CD =1分∴sin CG D CD ∠===1分22.解：（1）0.8y x=3分（2）0.8=80x x -2分400x =（符合题意）1分答：x 的值为400.（3）由题可知：当300600x ≤<时，800.8x x -<，400x <，300400x ∴≤<；2分当600900x ≤<时，1600.8x x -<，800x <，600800x ∴≤<；2分300400x ∴≤<或600800x ≤<答：x 的取值范围为300400x ≤<或600800x ≤<.23.证明：（1）BD AD ⊥ ，90ADB ︒∴∠=.BC AD ∥，90ADB DBC ︒∴∠=∠=.1分90ABD A ︒∴∠+∠=，90C CDB ︒∠+∠=.C ABD ∠=∠ ，.A CDB ∴∠=∠1分ABD EBF ∠=∠ ，即ABE EBD EBD DBF ∠+∠=∠+∠.ABE DBF ∴∠=∠1分.AB BEABE DBF BD BF∴∆∆∴=∽，2分（2）AB BE BD BF =，AB BDBE BF∴=.又ABD EBF ∠=∠ ，.ABD EBF ∴∆∆∽1分A BEF ∴∠=∠.1分GE GB = ，BEF EBD ∴∠=∠.A EBD ∴∠=∠.1分ABE DBF ∆∆ ∽，.A BDF ∴∠=∠EBD BDF ∴∠=∠，BE DC ∴∥.1分GB GEBD EF ∴=GE GB= BD EF∴=1分BE DC ∥BF 与DE 不平行，BEDF ∴四边形为梯形.1分BD EF= BEDF ∴四边形为等腰梯形1分24.解：（1）对称轴为直线222x a =-=12a ∴=-2分(0,6)C 抛物线经过点6c ∴=1分21262y x x ∴=-++抛物线表达式为：1分（2）①分别作FH y ⊥轴，垂足为点H ；作FG x ⊥轴，垂足为点G .21262y x x =-++由，可得(2,0)A -，(6,0)B .1分CF DF = FH y ⊥轴CFH DFH∴∠=∠//FH x 轴DFH FAG ∴∠=∠CFH FAG ∴∠=∠.1分设21,262F m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭tan tan CFH FAG∠=∠ CH FG FH AG∴=2211226222m m m m m m --++∴=+5m ∴=（符合要求）1分221222452CD CH m m m m ⎛⎫∴==-=-= ⎪⎝⎭1分②分别作FM x ⊥轴，垂足为点M ；作EN x ⊥轴，垂足为点N .(6,0),(0,6),6B C BC y x ∴=-+ 直线的表达式为：设21,262F m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(),6E n n -//EN FMEN AN FM AM∴=EN FMAN AM∴=()2126612=6222m m n m n m -++-∴=--++①1分3ACF DCE S S ∆∆= 3AF DE ∴=////OD EN FM3AM ON∴=23m n ∴+=②1分由①②，解得42m n =⎧⎨=⎩或423m n =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍），(4,6)F ∴.2分25.解：（1）过点O 作OH AC ⊥，垂足为点H .∵OH 过圆心，OH AD ⊥，∴122AH DH AD ===.1分∵OH AC ⊥，∴90AHO ︒∠=.∴3cos 5AH Rt AOH A AO ==在中，，∴103AO =.1分∵6AB =，∴83OB =.1分∴OB AO <.∴点B 在O 内.1分（2）过点C 作CM AB ⊥，垂足为点M .∵AC BC =，CM AB ⊥，∴13.2AM AB ==∵3cos 5AM Rt ACM CAM AC ∠==在中，，∴5AC =.1分∵OA OD =，∴CAB ODA ∠=∠.又∵ODA CDE ∠=∠，∴CAB CDE ∠=∠.3cos 5CAB ∠=.∴在Rt CDE △中，90CED ︒∠=，3cos 5DE CDE DC ∠==.设35DE k CD k ==，，则∴4.CE k ==∴55AD k =-1分H4①两圆的交点记为P 、Q ，联结PE 、PO∵⊙O 、⊙E 相交，PQ 是公共弦，∴OE 垂直平分PQ ，即OE PQ ⊥.∵PQ 经过OE 中点，∴PQ 垂直平分OE ，∴PE PO =，即CE AO =.1分∴11(55)22AH AD k ==-.在Rt AHO △中，90AHO ︒∠=，∴3cos 5AH HAO AO ∠==.∴5(55)6AO k =-.∴54(55)6k k =-，∴2549k =.∴125549CD k ==.1分②由于点A 在直线AB 上，所以'AC 不可能与OB 平行.(i)'AC BC ∥.过点'C 作'C N AD ⊥，垂足为点N .∵AC CB =，∴CAB B ∠=∠.∵180CAB B ACB ︒∠+∠+∠=，∴1802.ACB CAB ︒∠=-∠∵'AC BC ∥，∴'1802C AD ACB CAB ︒∠=∠=-∠.∵','DE CC CE C E ⊥=，∴'DC DC =.∴'CDE C DE ∠=∠.∵180''C DA C DE CDE ︒∠+∠+∠=，∴'1802C DA CDE ︒∠=-∠.∵CAB CDE ∠=∠，∴''C AD C DA ∠=∠.∵'C N AD ⊥，∴11(55)22ND AD k ==-，∴15(55)2CN k k =+-.在Rt 'C NC △中，'90C NC ︒∠=，cos '4'5CN C CN CC ∠==.∴15(55)4285k k k +-=.∴3925=k .∴391004==k CE .3分(ii)'AC OC ∥.延长OE 交'AC 延长线于点F .∵'AC OC ∥，∴1'OE CE EF C E ==.∴EF OE =.∵5(55)6OD OA k ==-，3DE k =，∴53(55)6OE k k =+-.∴53(55)6EF k k =+-.∴56(55)6DF k k =+-.∵'AC OC ∥，∴OD CD DF AD =，∴5(55)565556(55)6k k k k k -=-+-，21475250k k -+=，55()14k =或舍去.∴1047CE k ==.3分综上所述：71039100或=CE.。
【中考专题】2022年上海长宁区中考数学模拟真题练习 卷(Ⅱ)(含详解)
2022年上海长宁区中考数学模拟真题练习 卷（Ⅱ） 考试时间：90分钟；命题人：教研组 考生注意： 1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、一个正有理数在增大时，它的绝对值（ ）．A ．在减小B ．不变C ．在增大D ．不一定变 2、下列说法正确的是（ ） A ．213的倒数是52 B ．计算弧长的公式是2180πn l r =⨯ C ．1是最小的自然数D ．1的因数只有1 3、下列说法正确的是（ ）A ．任何数都有倒数B ．一个数的倒数一定不等于它本身C ．如果两个数互为倒数，那么它们的乘积是1D ．a 的倒数是1a 4、修建一项工程，甲队单独承包要80天完成，乙队单独承包要120天完成，如果甲、乙两队合作30天后，因甲队另有任务，剩下工程由乙队完成，则修建这一项工程共用（ ）·线○封○密○外A ．63天B ．66天C ．72天D ．75天5、如果x ，y 都不为零，且23x y =，那么下列比例中正确的是（ ）A ．23x y =B ．32xy = C ．32xy = D ．23x y = 6、在ABC 中，90ACB ︒∠=，1BC =，=3AC ，将ABC 以点C 为中心顺时针旋转90︒，得到DEC ，连接BE 、AD ．下列说法错误的是（ ）A ．6ABD S =B ．3ADE S ∆=C ．BE AD ⊥ D ．135AED ︒∠=7、20克盐完全溶解在180克水中，盐占盐水的百分比为（ ）A ．20%B ．10%C ．约为11.1%D ．18%8、已知三个数为2、4、8，若再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．89、下列说法中，不正确的是（ ）A ．用“长方形纸片”不可以检验直线与平面平行B ．用“三角尺”可以检验直线与平面垂直C ．用“铅垂线”可以检验直线与水平面平行D ．用“合页型折纸”可以检验平面与平面垂直10、如果54a b =，那么下列各式错误的是（ ）A ．54b a =B ．:22:153ab = C ．:5:4a b = D ．528b a =第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、若23a b =，则a a b =+________． 2、若圆弧所在圆的半径为12，所对的圆心角为60°，则这条弧的长为_____． 3、8和12的最小公倍数是_______________． 4、将一个圆的半径扩大为原来的3倍，则它的面积将扩大为原来的_______倍． 5、求比值（化为最简分数）：75克：0.5千克=____________． 三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分） 1、今年爸爸40岁，女儿的岁数是爸爸岁数的310，那么女儿比爸爸小几岁？ 2、在一张地图上量得上海与南京两市的距离为5厘米，上海与杭州两市的距离为3.2厘米．已知上海与南京两市的实际距离约为300千米，求上海与杭州两市的实际距离约为多少千米．3、计算：182 6.3 1.25(3.2)35⨯-⨯-4、已知n 是正整数，请观察按一定次序排列的数：n ，1n 2+，23n +，34n +，45n +，…探究其中的规律，回答下列问题： （1）第6个数、第7个数分别是什么？ （2）第2008个数是什么？ （3）如果这列数无限写下去，越来越接近哪个数？5、某学校举行“迎世博”知识竞赛；需要制作长条形会议横幅如图所示，已知边空：字宽3:2=，字宽：字距3:1=. ·线○封○密○外（1）将边空：字宽：字距化成最简整数比；（2）如果字距是15米，横幅的字数为10，求长条形会议横幅的长度．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据绝对值的性质，即可完成求解．【详解】∵正有理数的绝对值=正有理数∴正有理数在增大时，它的绝对值在增大故选：C．【点睛】本题考查了有理数绝对值的知识；求解的关键是熟练掌握有理数绝对值的性质，从而完成求解．2、D【分析】依次对各选项进行分析．【详解】A 选项：213的倒数是35，故错误；B 选项：计算弧长的公式是180πn l r =⨯，故错误；C 选项：0是最小的自然数，故错误；D 选项：1的因数只有1，故正确． 故选：D ． 【点睛】 考查了倒数、弧长的公式、自然数和因数，解题关键是熟记相关概念、计算公式． 3、C 【分析】 根据题意，对各题进行依次分析、进而得出结论． 【详解】 解：A 、0没有倒数，故选项错误； B 、1的倒数是1，故选项错误； C 、如果两个数互为倒数，那么他们的乘积一定是1，故选项正确；D 、a=0时，a 没有倒数，故选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了倒数的知识，属于基础题，比较简单，注意平时基础知识的积累．4、D【分析】设剩下的工程乙队完成用了x 天，用甲乙合作的效率乘以30天加上乙单独的效率乘以x 天等于总工程量单位“1”，列方程求解． ·线○封○密○外【详解】解： 设剩下的工程乙队完成用了x 天，甲的效率= 180，乙的效率= 1120，甲乙合作效率= 1118012048+=， 1130148120x ⨯+= 131208x = 45x =∴剩下的工程乙队完成用了45天，修建整个工程用了304575+=天．故选：D ．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据工程问题的等量关系列方程求解未知数．5、B【分析】逆用比例的基本性质作答，即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积．【详解】解：因为x ，y 都不为零，且2x=3y ，所以x ：y=3：2； 即32xy =或32x y = 故选：B【点睛】本题主要是灵活利用比例的基本性质解决问题．6、D【分析】根据旋转的性质可得CD=AC ，再根据三角形的面积公式即可对A 项进行判断；先求出AE 的长，进而可对B 项进行判断；如图，由旋转的性质和等腰直角三角形的性质可分别得出∠1、∠2、∠3、∠4的度数，进而可对C 项进行判断；由于∠CED ≠45°，即可对D 项进行判断. 【详解】 如图，延长BE 交AD 于点F ， ∵ABC 以点C 为中心顺时针旋转90︒，得到DEC ，90ACB ︒∠=，1BC =，=3AC ， ∴CD=AC =3，BC=EC =1，AE =2， ∴BD =1+3=4，∠1=∠2=45°，∠4=∠ADC =45°， ∴14362ABD S =⨯⨯=，12332ADE S ∆=⨯⨯=，∠3=∠2=45°， ∴∠AFE =90°，即BE AD ⊥， ∴A、B 、C 三项都是正确的； 而∠CED ≠45°，∴135AED ︒∠≠，∴D 选项是错误的. 故选D. 【点睛】 本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质和三角形的面积等知识，难度不大，属于常考题型，熟练掌握旋转的性质和等腰直角三角形的性质是关键. 7、B 【分析】 ·线○封○密○外根据题意可得盐占盐水的百分比为2010020180⨯%+，求解即可. 【详解】 解：盐占盐水的百分比为201001020180⨯%=%+， 故选：B ．【点睛】 本题考查比例，根据题意列出算式是解题的关键．8、B【分析】比例的性质是：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积．现在的三个数2、4、8中，2×8＝16，所以16÷4＝4，所以若再添加一个数，使这四个数能组成一个比例，那么这个数可以是4．据此选择即可．也可以通过计算比值的方法．【详解】现在的三个数2、4、8中，2×8＝16，而16÷4＝4，所以若再添加一个数能组成比例，此数可以是4．故选：B ．【点睛】此题主要考查了有理数的除法，此题属于根据比例的意义或基本性质，判断四个数能否组成比例，一般运用比例的性质判断较为简便．9、A【分析】根据直线与平面位置关系的检验方法逐一分析即可．【详解】A ．根据长方形的对边平行，所以用“长方形纸片”可以检验直线与平面平行，故A 不正确；B ．利用“三角尺”中的直角可以检验直线与平面垂直，故B 正确；C ． 根据重力学原理，铅垂线垂直于水平面，与铅垂线垂直的直线则与平面平行，故C 正确；D ． “合页型折纸”其折痕与纸被折断的一边垂直，即折痕与被折断的两线段垂直，把折断的两边放到平面上，可判断折痕与水平面垂直，从而检验平面与平面垂直，故D 正确． 故选A ． 【点睛】 此题考查的是直线与平面位置关系的检验，解答此题应付认真审题，结合教材，并根据垂直和平行的特征进行解答即可． 10、C 【分析】 根据比例的基本性质判断选项的正确性． 【详解】 ∵54a b =，∴:4:5a b =，C 选项错误． 故选：C ． 【点睛】 本题考查比例的基本性质，解题的关键是熟练运用比例的性质进行判断． 二、填空题 1、25 【分析】 根据23a b =，得到23a b =，代入式子计算即可． 【详解】 解：∵23a b =， ·线○封○密○外∴23a b =， ∴2233232553a a b b b b b b +===+， 故答案为：25．【点睛】 此题考查分式的求值以及比例式恒等变形能力，掌握等式的性质变形得到23a b =是解题的关键． 2、4π【分析】直接利用弧长公式计算即可求解．【详解】l ＝6012180π⨯＝4π， 故答案为：4π．【点睛】本题考查弧长计算公式，解题的关键是掌握：弧长l ＝180n r π（n 是弧所对应的圆心角度数） 3、24【分析】先将两个合数分解成质数的成积，再确定最小公倍数即可．【详解】解：8=2×2×2，12=2×2×3，所以8与12的最小公倍数2×2×2×3=24．故答案为：24【点睛】本题考查求几个数的最小公倍数的方法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4、9【分析】设原来圆的半径为r，则扩大后的圆的半径为3r，利用圆的面积公式即可解决问题．【详解】设原来圆的半径为r，则扩大后圆的半径为3r，原来圆的面积为：πr2；扩大后圆的面积为：π(3r)2=9πr2；原来圆的面积：扩大后圆的面积=πr2：9πr2=1：9；答：它的面积将扩大为原来的9倍．故答案为：9．【点睛】本题考查了圆面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用圆的面积计算公式解答．5、3 20【分析】先统一单位，再求其比值．【详解】0.5千克＝500克；75克：0.5千克=75克：500克=3：20=320．·线○封○密○外故答案为：320．【点睛】考查了求比值，解题关键是统一单位，再进行求解．三、解答题1、女儿比爸爸小28岁．【分析】先求出女儿的岁数，即可求出结论．【详解】解：40×310=12（岁）40－12=28（岁）答：女儿比爸爸小28岁．【点睛】此题考查的是分数应用题，掌握比较量=单位“1”×分率是解决此题的关键．2、约为192千米【分析】由题意易得图上距离与实际距离的比例尺，然后利用比例尺求解即可．【详解】解：由题意得：图上距离与实际距离的比例尺为1 5300=60÷，∴上海与杭州之间的距离为13.2=19260÷（千米）；答：上海与杭州两市的实际距离约为192千米．【点睛】本题主要考查比例尺的应用，熟练掌握比例尺的应用是解题的关键．3、12.7【分析】根据分数与小数的混合运算法则计算即可求解．【详解】 解：182 6.3 1.25(3.2)35⨯-⨯- = 6.3 1.25(3.27 1.6)3⨯-⨯- =14.7 1.25 1.6-⨯ =14.72- =12.7 【点睛】 本题考查了分数与小数的混合运算，掌握混合运算法则是解题关键． 4、（1）56n +；67n +；（2）20072008n +；（3）1n + 【分析】 （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题目所给的规律直接进行解答即可； （3）根据规律无限写下去时，另一个加数越来越接近于1，进而问题得解． 【详解】 解：（1）由n ，1n 2+，23n +，34n +，45n +，可得： ·线○封○密·○外第6个数为56n+，第7个数为67n+；（2）由（1）及题意可得：第2008个数为20072008n+；（3）由题意所给规律可得当这列式无限写下去时，1mm-无限接近于1，故这列数无限写下去时，越来越接近于1n+．【点睛】本题主要考查分数的性质及代数式，熟练掌握分数的性质及代数式是解题的关键．5、（1）边空：字宽：字距9:6:2=；（2）长条形会议横幅的长度为9.6米．【分析】（1）根据比的性质解答即可；（2）根据问题一先求出一份的长度进而得出长条形会议横幅的长度解答．【详解】解：（1）因为边空：字宽=3：2=9：6，字宽：字距=3：1=6：2，所以边空：字宽：字距=：9：6：2；（2）一份的长度：15÷2=0.1（米）；两边的两个边空的长度为：0.1×9×2=1.8（米）；10个字的字宽：0.1×6×10=6（米）；10个字的间隔数为：10-1=9个，间隔总长是：0.1×2×9=1.8（米）；所以长条形会议横幅的长度是：1.8+6+1.8=9.6（米）；答：长条形会议横幅的长度是9.6米．【点睛】本题考查了植树问题和求三个数的连比，知识点是：间隔数=字的个数-1，总长度=间隔数×间距；知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数=间隔数-1（两端都不栽），植树的棵数=间隔数+1（两端都栽），植树的棵数=间隔数（只栽一端）． ·线○封○密○外。
2021年上海市长宁区中考数学二模试卷(附答案详解)
2021年上海市长宁区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.−8的倒数是()A. −8B. 8C. −18D. 182.下列运算正确的是()A. (a2)3=a5B. a2⋅a4=a8C. a6÷a3=a2D. (ab)3=a3b33.一家鞋店对上周某品牌女鞋的销售量统计如下：尺寸(码)3536373839销售量(双)241173这家鞋店决定本周进该品牌女鞋时多进一些尺寸为37码的鞋，影响鞋店决策的统计量是()A. 平均数B. 众数C. 中位数D. 方差4.下列方程中，有实数解的是()A. x2−x+1=0B. x2+1=0C. 1x−1=2x2−1D. √x−1=1−x5.下列命题中，假命题是()A. 对角线互相垂直的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形6.如果两个圆相交，且其中一个圆的圆心在另一个圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”.如图1，已知△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点O在边AC上.如果⊙C与直线AB相切，以OA为半径的⊙O与⊙C“内相交”，那么OA的长度可以是()A. 165B. 125C. 85D. 45二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7. 计算：a(a +1)=______．8. 函数：y =√x −2的定义域是______． 9. 方程组{x +2y =3x 2−y 2=0的解是______ ．10. 正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是______ ．11. 如果抛物线y =(m +1)x 2的最高点是坐标轴的原点，那么m 的取值范围是______ ． 12. 观察反比例函数y =2x 的图象，当0<x <1时，y 的取值范围是______ ． 13. 从29,√2，π这三个数中任选一个数，选出的这个数是有理数的概率为______ ． 14. 某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示的频率分布直方图，那么图中m 的值为______ ．15. 如图，在△ABC 中，AB =AC =12，DC =4，过点作C 作CE//AB 交BD 的延长线于点E ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示为______ ．16. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”(注：丈，尺是长度单位，1丈=10尺)这段话的意思是：有一水池一丈见方，池中央生有一棵芦苇，露出水面一尺.如把它引向岸边，正好与岸边齐.问水有多深？即如图所示的截面图中，AB =1丈，CD 垂直平分AB ，DE =1尺，CD =CB ，那么水的深度CE 是______ 尺.17. 如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，圆心O 1、O 2在公共弦AB 的两侧，AB =O 1O 2=4，sin∠AO 1B =1213，那么O 2A 的长是______ ．18. 如图，已知△ABC 中，∠C =90°，AB =6，CD 是斜边AB 的中线.将△ABC 绕点A 旋转，点B 、点C 分别落在点B′、点C′处，且点B′在射线CD 上，边AC′与射线CD 交于点E.如果AEEC′=3，那么线段CE 的长是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分） 19. 计算：2713+(√2−1)2−(12)−1+2√2−1．20. 解不等式组：{6(23x −2)<x −3①1−x 2≤x②，并求出它的正整数解．21.如图，已知梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，CD=15，BC=16，AB=12，点E是边BC上的一点，联结DE，且DE=CE．(1)求梯形ABCD的面积；(2)求∠DEC的正切值．22.某商店销售一种商品.经过市场调查发现：该产品的销售单价需定在50元到110元之间较为合理，每月销售量y(万件)与销售单价x(元/件)存在如图所示的一次函数关系.根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求这种商品的每月销售量y(万件)关于销售单价x(元/件)(50≤x≤110)的函数解析式；(2)已知六月份、八月份这种商品的销售单价分别为95元/件和84元/件，且每月销售量的增长率是相同的，求这个增长率．23.如图，已知四边形ABCD中，AD//BC，对角线AC、BD相交于点O，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，点E在边BC的延长线上，联结OE，交边CD于点F．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果OE⊥CD，求证：CE⋅OF=CF⋅OE．x+c经过点A(1,0)、24.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−163B(3,0)，且与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如果将抛物线向左平移m(m>0)个单位长度，联结AC、BC，当抛物线与△ABC的三边有且只有一个公共点时，求m的值；(3)如果点P是抛物线上一动点，且在点B的右侧，联结PC，直线PA交y轴于点E，当∠PCE=∠PEC时，求点P的坐标．25.已知半圆O的直径AB=4，点C、D在半圆O上(点C与点D不重合)，∠COB=∠DBO，弦BD与半径OC相交于点E，CH⊥AB，垂足为点H，CH交弦BD于点F．(1)如图1，当点D是AC⏜的中点时，求∠COB的度数；=y，求y关于x函数解析式，并写出定义域；(2)如图2，设OH=x，CFCE(3)联结OD、OF，如果△DOF是等腰三角形，求线段OH的长．答案和解析1.【答案】C)=1，【解析】解：根据倒数的定义得：−8×(−18．因此−8的倒数是−18故选：C．)=1，即可解答．根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，−8×(−18此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2.【答案】D【解析】解：A、(a2)3=a6，故此选项错误；B、a2⋅a4=a6，故此选项错误；C、a6÷a3=a3，故此选项错误；D、(ab)3=a3b3，故此选项正确；故选：D．直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】B【解析】解：鞋店最关心的应该是某一尺码鞋子的销售量最多，在统计量中也就是众数，所以影响鞋店决策的统计量是众数，故选：B．平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．此题主要考查统计的有关知识，熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：方程x2−x+1=0的根的判别式△=1−4=−3<0，所以方程A没有实数解；方程x2+1=0的根的判别式△=0−4=−4<0，故方程B没有实数解；方程1x−1=2x2−1可变形为x2−1=2x−2，整理得x2−2x+1=0．解得x=1，当x=1时，分式方程无解．故方程C没有实数解；方程√x−1=1−x的解为x=1，故方程D有实数解．故选：D．解各个方程，根据解的情况得结论．本题考查了一元二次方程、分式方程、无理方程的解法，掌握一元二次方程、分式方程及无理方程的解法是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题；B、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；C、对角线互相相等且垂直平分的四边形是正方形，原命题是假命题；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是真命题；故选：C．根据正方形的判定判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6.【答案】B【解析】解：△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，作CD⊥AB于D，以C为圆心，以CD为半径的圆C与直线AB相切于D，∴CD是⊙C半径，∵12AC⋅BC=12AB⋅CD，即12×4×3=12×5⋅CD，∴CD=125，∴⊙C的半径为125，∵4−125=85，4+125=325，∴85<OA <165，故选：B ．根据勾股定理求得AB =5，两个三角形面积公式求得CD ，即可得出⊙C 的半径，根据“内相交”的定义得出85<OA <165，即可得出结论．本题考查了圆与圆的位置关系，勾股定理的应用，三角形的面积，求得⊙C 的半径是解题的关键．7.【答案】a 2+a【解析】解：原式=a 2+a ． 故答案为：a 2+a原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．此题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8.【答案】x ≥2【解析】解：根据题意得：x −2≥0， 解得：x ≥2．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可知：x −2≥0，解得x 的范围． 本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．9.【答案】{x =−3y =3或{x =−1y =1．【解析】解：∵x 2−y 2=(x +y)(x −y)． ∴x 2−y 2=0可改写成：x +y =0或者x −y =0．∴方程组{x +2y =3x 2−y 2=0可以改写为：{x +2y =3x +y =0或者{x +2y =3x −y =0． 解得：{x =−3y =3或{x =−1y =1．故答案为：{x =−3y =3或{x =−1y =1．将x 2−y 2=0改写成两个等式，再与x +2y =3组成新方程组，即可求解．本题考查的高次方程的解法，关键在于降次，构建我们已经学习过的知识进行求解．10.【答案】18【解析】解：因为外角是20度，360÷20=18，则这个多边形是18边形．故答案为：18根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．11.【答案】m<−1【解析】解：根据题意知点O(0,0)是抛物线y=(m+1)x2的最高点知抛物线的开口向下．∴m+1<0，解得：m<−1．故答案为：m<−1．由点O(0,0)是抛物线y=(m+1)x2的最高点知抛物线的开口向下，即m+1<0，据此可得．本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．12.【答案】y>2【解析】解：∵k=2，∴反比例函数y=2的图象在一三象限，且在每个象限y随x的增大而减小，x当x=1时，y=2，∴当0<x<1时，y的取值范围y>2，故答案为y>2．将x=−1，x=−3代入解析式，根据反比例函数的增减性可求y的取值范围．本题考查了函数图象上点的坐标特征，反比例函数的增减性，关键是利用反比例函数的增减性解决问题．13.【答案】13【解析】解：∵在29,√2，π这三个数中，有理数有29这1个， ∴选出的这个数是无理数的概率为13， 故答案为：13．由题意可得共有3种等可能的结果，其中有理数有29共1种情况，则可利用概率公式求解．此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.【答案】0.140【解析】解：m =(1−0.12−0.2−0.25−0.15)÷2=0.28÷2=0.140， 故答案为：0.140．根据题意和直方图中的数据，可以计算出m 的值，本题得以解决．本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 15.【答案】b ⃗ −12a ⃗ 【解析】 解：∵CE//AB ， ∴ADDC =ABCE ，∵AB =AC =12，DC =4， ∴AD =8； ∴CEAB =48=12， ∴AB =2CE ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ， ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ ， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −12a ⃗ ．由在△ABC 中，AB =AC =12，DC =4，CE//AB ，可得AB =2CE ，然后由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，即可求得BE ⃗⃗⃗⃗⃗． 本题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．16.【答案】12【解析】解：设水池里水的深度是x尺，由题意得，x2+52=(x+1)2，解得：x=12，答：水池里水的深度是12尺．故答案为：12．根据勾股定理列出方程，解方程即可．本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．17.【答案】√5【解析】解：如图，过点A作AE⊥O1B于E，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2垂直平分AB，∴AH=BH=2，∵sin∠AO1B=AEAO1=1213，∴设AE=12x，AO1=13x，∴O1E=√O1A2−AE2=5x，∴BE=8x，∵AE2+BE2=AB2，∴144x2+64x2=16，∴x=√1313，∴AO1=13x=√13，∴O1H=√O1A2−AH2=√13−4=3，∴O2H=1，∴O2A=√AH2+O2H2=√1+4=√5，故答案为√5．过点A作AE⊥O1B于E，由锐角三角函数和勾股定理可求AO1=13x=√13，可求O2H= 1，即可求解．本题考查了锐角三角函数，勾股定理，相交两圆的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．18.【答案】72【解析】解：根据已知，作出的图形，如图所示：∵△ABC中，∠C=90°，AB=6，CD是斜边AB的中线．∴AD=CD=DB=12AB=3，∴∠DAC=∠ACD，根据旋转性质：∠B′AE=∠B′CA，∴△B′AE∽△B′CA，∴B′AB′C =AEAC=B′EB′A，∴AE=3EC′，∴AEAC′=AEAC=34，∴6B′C =34=B′E6，∴B′C=8，B′E=92，∴EC=B′C−B′E=8−92=72，故答案为：72．根据已知，作出图形，求出AD、CD、AE.利用相似三角形的性质求出B′C，B′E即可．本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考填空题掌握的压轴题．19.【答案】解：原式=3+3−2√2−2√2+1)(√2+1)(√2−1)=3+3−2√2−2+2√2+2=6．【解析】原式利用负整数指数幂，分数指数幂法则，完全平方公式，以及分母有理化计算即可求出值．此题考查了实数的运算，分数指数幂，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：{6(23x −2)<x −3①1−x2≤x②， 由不等式①，得 x <3， 由不等式②，得 x ≥13，故原不等式组的解集是13≤x <3， ∴该不等式组的正整数解是1，2．【解析】根据解不等式组的方法，可以求得该不等式组的解集，然后即可写出该不等式组的整数解．本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．21.【答案】解：(1)过D 作DF ⊥BC 于F ，∵梯形ABCD 中，AD//BC ，∠B =90°，CD =15，BC =16，AB =12， ∴DF =AB =12，∴CF =√DC 2−DF 2=√152−122=9， ∴AD =BF =BC −CF =16−9=7， ∴梯形ABCD 的面积=AD+BC 2⋅DF =7+162×12=138；(2)∵DE =CE ， ∴EF =DE −9， ∵DE 2=DF 2+EF 2， ∴DE 2=144+(DE −9)2， ∴DE =252，∴EF =72， ∴tan∠DEC =DFEF =247．【解析】(1)过D 作DF ⊥BC 于F ，由勾股定理可求CF 的长，由梯形面积公式可求解； (2)由勾股定理可求DE 的长，即可求解．本题考查了梯形，勾股定理，锐角三角函数，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．22.【答案】解：(1)由题意，设y =kx +b ，图象过点(70、5)，(90、3)， ∴{5=70k +b3=90k +b，解得：{k =−110b =12， ∴函数解析式为：y =−110x +12(50≤x ≤110)； (2)由(1)中解析式知：六月份的销售量为：y =−110×95+12=2.5(万件)， 九月份的销售量为：y =−110×84+12=3.6(万件)， 设每月销售量的增长率为x ，则由题意得： 2.5(1+x)2=3.6， 解得：x =20%，答：每个月的增长率为20%．【解析】(1)利用待定系数法将点(70,5)，(90,3)代入函数解析式求出即可；(2)利用y =−110x +12求出六月份和九月份的销售量，再设增长率为x ，由增长率和每月增长量之间的关系，求出x 即可．此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及配方法求二次函数最值以及一元二次方程的解法等知识，利用二次函数的性质得出x的取值范围是解题关键．23.【答案】证明：(1)∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠CBD，∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB=∠BAC，∠ADB=∠DBC=∠ABD，∴AB=BC，AB=AD，∴AD=BC，又∵AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形；(2)如图，过点O作OH⊥BC于H，∵四边形ABCD是菱形，∴∠OCB=∠OCD，又∵OF⊥CD，OH⊥BC，∴OF=OH，∵∠E=∠E，∠EFC=∠EHO=90°，∴△CEF∽△OEH，∴CEOE =CFOH，∴CE⋅OF=CF⋅OE．【解析】(1)由平行线的性质和角平分线的性质可证AB=BC，AB=AD，由菱形的判定可得结论；(2)由菱形的性质和角平分线的性质可得OF=OH，通过证明△CEF∽△OEH，可得结论．本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．24.【答案】解：(1)将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得：{a −163+c =09a −16+c =0，解得{a =43c =4， 故抛物线的表达式为y =43x 2−163x +4；(2)当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C(0,4)， 由抛物线的表达式知，其对称轴为x =2， 则平移后抛物线再过点C 时，m =4；(3)设点P 的坐标为(t,43t 2−163t +4)，设直线PA 的表达式为y =kx +b ，则{43t2−163t +4=kt +b0=k +b，解得{k =43t −4b =−43t +4， 故点E 的坐标为(0,−43t +4)， 而点C(0,4)， ∵∠PCE =∠PEC ， 则点P 在CE 的中垂线上，由中点公式得：y P =12(y C +y E )，即43t 2−163t +4=12(4−43t +4)，解得t =1(舍去)或72， 故点P 的坐标为(72,53).【解析】(1)由待定系数法即可求解；(2)当抛物线与△ABC 的三边有且只有一个公共点时，则抛物线过点C(0,4)，即可求解； (3)求出直线PA 的表达式，得到点E 的坐标为(0,−43t +4)，由∠PCE =∠PEC ，则点P 在CE 的中垂线上，进而求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、中垂线的性质、图形的平移等，有一定的综合性，难度适中．25.【答案】解：(1)如图1中，连接BC ．∵AD⏜=CD⏜，∴∠ABD=∠DBC，∵∠COB=∠ABD，∴∠OBC=2∠COB，设∠COB=x，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=2x，∵∠COB+∠OCB+∠OBC=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠COB=36°．(2)如图2中，过点E作EJ⊥CF于J．∵CH⊥OB，∴∠CHO=∠CHB=90°，∵∠COB+∠C=90°，∠ABD+∠HFB=90°，∴∠C=∠HFB，∵∠HFB=∠CFE，∴∠C=∠CFE，∴EC=EF，∵EJ⊥CF，∴CJ=JF，∵OC =4，OH =x ，∴CH =√42−x 2=√16−x 2， ∵EJ//OH ， ∴EC OC =CJ CH ，∴CJCE =CHOC ， ∴2CJ CE =2CH OC， ∴CF CE=√16−x 22，∴y =√16−x 22(0<x <4)．(3)如图3−1中，当FD =FC 时，∵FD =FO ，OD =OB ， ∴∠D =∠FOD =∠B ， ∵∠EOB =∠B ，∴∠D =∠DOF =∠B =∠EOC ， ∴△FDO≌△EOB(ASA)， ∴FD =FO =EO =EB ，设FD =FO =EO =EB =x ，则EC =EF =4−x ，BF =2x −4，BD =3x −4， ∵△DOB∽△BEO ， ∴BDOB =OBBE ， ∴3x−44=4x ，解得x =2+2√133或2−3√133(舍弃)， ∵OF 2−OH 2=BF 2−BH 2， ∴OF 2−OH 2=BF 2−(4−OH)2， ∴(2+2√133)2=(4+4√133−4)2−16+8OH ，∴OH=√13−1．如图3−2中，当DC=DF时，∵OC=OD，∴DF=OC，∵EC=CF，∴DE=OE，∴∠D=∠DOE，∵OD=OB，∴∠D=∠EBO，∵∠COB=∠B，∴∠D=∠B=∠EOB=∠DOE=45°，∵CH⊥OB，∴△OCH是等腰直角三角形，∴OH=√2OC=2√2，2综上所述，OH的值为√13−1或2√2．【解析】(1)连接BC，想办法证明∠OCB=∠OBC=2∠COB，可得结论．(2)如图2中，过点E作EJ⊥CF于J.首先证明EC=EF，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．(3)分两种情形：如图3−1中，当FD=FC时，证明FD=FO=EO=EB，设FD=FO= EO=EB=x，则EC=EF=4−x，BF=2x−4，BD=3x−4，证明△DOB∽△BEO，利用相似三角形的性质求解．如图3−2中，当DC=DF时，证明△OCH是等腰直角三角形即可．本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，需要利用参数解决问题，属于中考压轴题．。
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长宁2013年初三数学教学质量检测（二模）试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各数中，无理数是（ ）. A.21B. 3.14C. 3D.382. 下列各式中，运算正确的是（ ）.A. 523a a a =+ B. a a a 2=-3 C. 523a aa =⋅ D. 2323a a a =÷3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）.A.4 B. 6 C. 8 D. 124. 下列图形中，中心对称图形是（ ）.5. 一次函数y =3x +1的图像不经过（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 甲、乙、丙、丁四人进行射击比赛，每人射击10次，四人射击成绩的平均数都是8.9环，方差分别是4502甲.=S ，5502乙.=S ，5002丙.=S ，6502丁.=S ，则射击成绩最稳定的是（ ）. A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 函数43-x y =的定义域是 . 8. 在实数范围内分解因式：32-m = .9. 不等式组：⎩⎨⎧<-≥021，63x x 的解集是 .A ．B ．C ．D ．10. 计算：⎪⎭⎫⎝⎛b -a -a 212= .11. 已知，△ABC 的重心G 到BC 边中点D 的距离是2，则BC 边上的中线长是 . 12. 方程：31=-x 的解是 . 13. 若将抛物线122+=x -xy 沿着x 轴向左平移1个单位，再沿y 轴向下平移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是 .14. 如图，某超市的自动扶梯长度为13米，该自动扶梯到达的最大高度是5米，设自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ= .15. 为了解某区高三学生的身体发育状况，抽查了该区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图，从图中可知，这100名学生中体重不小于55.5kg 且小于65.5kg 的学生人数是 .16. 若实数x 、y 满足：y x >，则称：x 比y 远离0. 如图，已知A 、B 、C 、D 、E 五点在数轴上对应的实数分别是a 、b 、c 、d 、e. 若从这五个数中随机选一个数，则这个数比其它数都远离0的概率是 .17. 如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为EF ，顶点A 恰好落在CD 边上的中点P 处， B 点落在点Q 处，PQ 与CF 交于点G . 设C 1为△PCG 的周长，C 2为△PDE 的周长，则C 1 :C 2 = .18. 已知边长为1的正方形，按如图所示的方式分割，第1次分割后的阴影部分面积S 1=21，第2次分割后的阴影部分面积S 2=43，第3次分割后的阴影部分面积S 3=87，…….按照这样的规律分割，则第n (n 为正整数)次分割后的阴影部分面积可用n 表示为S n = .第14题图 5米13米θ第15题图0.0040.0120.030.040.050.020.02490.585.580.575.570.565.560.555.550.5体重（kg )频率组距第16题图ed-110c b a 第17题图G F QPEDCBACBOA yB三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：()32230tan 31212+-︒⎪⎭⎫⎝⎛+-. 20．（本题满分10分）解方程：3353112-x x x -x-x x +=+.21．（本题满分10分）如图，已知等腰直角△ABC 中，∠BAC =︒90，圆心O 在△ABC 内部，且⊙O 经过B 、C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O 的半径.22．（本题满分10分）周末，小明和爸爸骑电动自行车从家里出发到郊外踏青．从家出发0.5小时后到达A 地，游玩一段时间后再前往B 地．小明和爸爸离家1.5小时后，妈妈驾车沿相同路线直接前往B 地，如图是他们离家的路程y （千米）与离家时间t （小时）的函数图像．（1）根据函数图像写出小明和爸爸在A 地游玩的时间； （2）分别求小明和爸爸骑车的速度及妈妈的驾车速度； （3）妈妈出发时，小明和爸爸距离B 地有多远？23．（本题满分12分）如图，△ABC 中，∠ACB =︒90，D 、E 分别是BC 、BA 的中点，联结DE ，F 在DE 延长线上，且AF=AE . （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形； （2）若四边形ACEF 是菱形，求∠B 的度数.24．（本题满分12分）如图，直线AB 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，O 是坐标原点，A （-3，0）且sin ∠ABO=53，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 、B 、C 三点，C （-1，0）.O y (千米)302010t (小时)21.510.5FEDBCA（1）求直线AB 和抛物线的解析式；（2）若点D （2，0），在直线AB 上有点P ，使得△ABO 和 △ADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以A 为圆心，AP 长为半径画⊙A ， 再以D 为圆心，DO 长为半径画⊙D ，判断⊙A 和⊙D 的位 置关系，并说明理由.25．（本题满分14分）△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =︒90.，∠BAC =︒30.，BC=6，∠FDE =︒90，DF=DE=4. （1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //；（3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形.图①图②A(D)BCEFH G FEA(D)CBDOCBA 2013年初三数学教学质量检测试卷参考答案一、 单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、C2、C3、B4、B5、D6、A 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、x ≠4 8、(m +3)(m -3) 9、x ≥2 10、b 2 11、 6 12、x =10 13、(0,-2) 14、12515、35 16、0 17、4:3 18、1-n21三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19、（本题满分10分）解：原式=）32（23332--⨯+ (8分，每个化简结果2分)=32432++-=233- (结果正确，2分) 20、（本题满分10分）解：方程两边同时乘以3x (x -1),得3(x +1)-(x -1)=x (x +5) (3分)整理得 x 2+3x -4=0(x -1) (x +4)=0 (2分) x 1=1 x 2=-4 (2分) 经检验：x 1=1 是原方程的增根 (1分) ∴ x 2=4是原方程的根 (2分)21、（本题满分10分）解：联结BO 、CO ，联结AO 并延长交BC 于D . (1分) ∵等腰直角△ABC 且∠BAC =︒90 ∴ AB=AC ∵ O 是圆心 ∴OB=OC∴直线OA 是线段BC 的垂直平分线 ∴ AD ⊥BC ，且D 是BC 的中点 (4分)在Rt △ABC 中，AD=BD =BC 21∵BC=8 ∴ BD=AD = 4 (2分) ∵AO=1 ∴OD=BD-AO=3 (1分)∵AD ⊥BC ∴∠BDO =︒90 ∴OB =5432222=+=+BD OD (2分)22、（本题满分10分）解：（1）0.5 (2分)（2）骑车速度：10÷0.5=20千米/小时 (2分) 驾车速度：30÷0.5=60千米/小时 (2分)（3）设小明和爸爸从A 地前往B 地时，y=kt+b （k ≠0）) 由图可知 t =1时，y =10；t =2时，y =30yxOC BA321F EDBCA代入得⎩⎨⎧+=+=b k b k 23010 解得⎩⎨⎧==1020-b k (2分)得y =20t – 10当t =1.5时，y =20， 30-20=10 (1分)∴ 妈妈出发时，小明和爸爸离B 地10千米。
(1分)23、（本题满分12分，第（1）题8分，第（2）题4分） （1）证：∵∠ACB =︒90， 又∵E 是BA 的中点∴CE=AE=BE∵AF=AE ∴AF=CE (2分) 在△BEC 中 ∵BE=CE 且D 是BC 的中点 ∴ED 是等腰△BEC 底边上的中线∴ED 也是等腰△BEC 的顶角平分线 ∴∠1=∠2∴∠AEC = ︒180－∠1－∠2 =︒180－2∠1 (2分) ∵AF=AE ∴∠F =∠3∵∠1=∠3 ∴∠1=∠F =∠3∴在△AEF 中 ∠FAE = ︒180－∠3－∠F =︒180－2∠1 (2分) ∴ ∠AEC =∠F AE ∴CE//AF 又∵CE=AF∴四边形ACEF 是平行四边形 (2分) （2）解：∵四边形ACEF 是菱形 ∴AC=CE 由（1）知 AE=CE ∴AC=CE=AE ∴△AEC 是等边三角形 (2分) ∴∠4 = ︒60在Rt △ABC 中 ∠B =︒90－∠4= ︒30 (2分) 24、（本题满分12分，每小题4分）解：（1）据题意得 Rt △ABO 中 sin ∠ABO=AB OA =53又OA =3 ，所以 AB =5 OB =22OA -AB =4，所以B （0, 4） (1分) 设AB ：y=kx+b （k ≠0）A （-3，0）、B （0，4）代入得⎩⎨⎧==+403b b k -解得⎩⎨⎧==434bk∴AB 直线解析式：434+=x y (1分)A （-3，0）、C （-1，0）、B （0，4）代入得⎪⎩⎪⎨⎧==+=+40039c c b -a c b -a 解得⎪⎩⎪⎨⎧===431634c b a (1分)∴抛物线解析式：4316234++=x x y (1分)HP BCA(D)EF GH CF（2）设P （x ，434+x ） 已知D （2，0） 据题意，当PD OB AP AB AD AO ==时 DP//BO ，DP 453=，DP =320∴P （2，320） (2分)当AP AO AD AB =时，AP355= AP =3 2223）434（）3（=+++x x 解得524，5621-x -x ==（不合题意,舍去） ∴P （512，56-） (2分) （3）⊙D 的半径r=2当P （2，320）时，⊙A 的半径AP =325 AD =5< 325- 2 ∴两圆内含 (2分)当P （512，56-）时，⊙A 的半径AP =3 AD =5=3+2 ∴两圆外切。