高中数学向量的内积教案苏教版必修4
向量的数量积 教案2 高中数学 必修四 苏教版 Word版
疱丁巧解牛知识·巧学1.平面向量数量积(内积)的定义已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角是θ,我们把数量|a ||b |cosθ叫向量a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cosθ.我们规定零向量与任一向量的数量积为0.误区警示 两个向量的数量积称为内积,写成a ·b ;今后要学到两个向量的外积a ×b ,而a ·b 是两个向量的数量的积,书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替,用a ×b 或ab 表示两个向量的数量积都是错误的.辨析比较 (1)在实数中,若a ≠0,且a ·b =0,则b =0;但是在数量积中,若a ≠0,且a ·b =0,不能推出b =0,因为其中cosθ有可能为0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bc ⇒a =c .但是a ·b =b ·c 并不一定能得到a =c .两向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积,其符号由夹角的余弦值决定.2.两个非零向量的夹角已知非零向量a 与b ,作OA =a ,OB =b ,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫a 与b 的夹角.当θ=0时,a 与b 同向;当θ=π时,a 与b 反向;当θ=2π时,a 与b 垂直,记作a ⊥b . 学法一得 在利用两向量的夹角定义求两个向量的夹角时,两个向量必须是同起点的,当起点不同时可通过平移移到同一个起点.3.两个向量的数量积的性质(1)当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |;特别地,a ·a =|a |2或|a |=a a ∙.该条性质实现了实数与向量的联系,我们在求向量模时,往往先求模的平方,借助向量的数量积运算进行.设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.(2)a ⊥b ⇔a ·b =0.若a ⊥b ,则a 与b 的夹角θ=90°,所以a ·b =|a ||b |cos90°=0;反过来,a ·b =|a ||b |cosθ=0,因|a |≠0,|b |≠0,所以cosθ=0.所以θ=90°,则a ⊥b .数量积的这条性质,是解决代数、几何问题中的垂直关系的基本方法.深化升华 利用性质(2)把平面中几何关系问题转化成向量的计算问题,数与形结合起来. (3)cosθ=||||b a b a ∙. 这条性质是数量积定义式a ·b =|a ||b |cosθ的等价变形式,侧重于两向量的夹角问题.(4)|a ·b |≤|a ||b |.由数量积的定义a ·b =|a ||b |cosθ可知|a ·b |=|a ||b ||cosθ|.∵0≤θ≤180°,∴|cosθ|≤1.∴|a ·b |=|a ||b ||cosθ|≤|a ||b |,当且仅当两个向量共线时“等号”成立.特别地,对于(1)、(2)、(3)三条性质,用向量的数量积可以处理有关长度、角度、垂直的问题.辨析比较(1)在实数中|ab|=|a||b|,而在向量中|a·b|≤|a||b|,这是向量与实数的区别.(2)在实数中a2=|a|2,在向量中也有a2=|a|2,这是向量和实数类似的一个性质.4.平面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a.证明:设a、b夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ,b·a=|b||a|cosθ,∴a·b=b·a.(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).证明:若λ＞0,(λa)·b=λ|a||b|cosθ,λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,a(λb)=λ|a||b|cosθ,若λ＜0,(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ,λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,a·(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ.(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.如图2-4-2,在平面内取一点O,作=a,=b,=c,图2-4-2∵a+b(即OB)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即|a+b|cosθ=|a|cosθ1+|b|cosθ2,∴|c||a+b|cosθ=|c||a|cosθ1+|c||b|cosθ2.∴c·(a+b)=c·a+c·b,即(a+b)·c=a·c+b·c.误区警示在实数中,有(a·b)c=a(b·c),但是(a·b)c=a(b·c)不一定成立.因为左端是与c共线的向量,而右端是与a共线的向量,而一般a与c不共线.学法一得平面向量数量积的运算就类似于多项式的乘法,展开后再合并同类项.这样就可以很好地理解公式的来龙去脉.从系统的角度讲,我们所学的知识都是紧密联系的.把我们未知的东西转化到已知内容上去,这是我们学习的一种方法.5.平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),试用a和b的坐标表示a·b.设i是x轴上的单位向量,j是y轴上的单位向量,它们的方向分别和x、y轴的正向相同,那么a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,所以a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2,又i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0,所以a·b=x1x2+y1y2.这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a·b=x1x2+y1y2.深化升华引入坐标后,实现了向量的数量积的运算与两个向量的坐标的运算的转化,从而将它们联系起来,为计算和证明带来了方便,实现了数与形的结合.6.平面内两点间的距离公式(1)设a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.当平面向量用坐标表示而求模时可代此公式.深化升华 求向量的模通常有两种方法:一是通过数量积的坐标表示推导向量的模;二是向量的模的平方等于向量的平方,即利用向量的数量积来求.(2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么|AB |=221221)()(y y x x -+-(平面内两点间的距离公式).这是因为,若表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则a =(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1),由(1)可得|a |=221221)()(y y x x -+-.即平面内两点之间的距离等于相应坐标的差的平方和的算术平方根.向量a 的模也具有一定的几何意义,即|a |=2222)0()0(-+-=+y x y x ,通过简单的构造,体现点(x,y)到原点(0,0)的距离.联想发散 有关二次式的平方和问题,大部分可考虑转化为两点间距离问题,借“形”直观理解“数”的问题.7.两向量夹角的余弦(0≤θ≤π)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)都是非零向量,若设它们的夹角为θ,则有 cosθ=||||b a b a ∙=222221212121y x y x y y x x +++. 利用此公式,可直接求出两向量的夹角.利用向量的数量积来求两向量夹角的方法是:先利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积,再利用|a |=22y x +计算出这两个向量的模,然后由公式cosθ=||||b a b a ∙直接求出cosθ的值,进一步求出θ的值.求几何图形中的内角也常用类似的方法. 深化升华 运用向量知识求解几何问题的方法称为向量法.向量是沟通数和形内在联系的有力工具,具有多方面的功能.用向量解几何题的主要思想是:将直线形的各边视为向量,把线段的关系式化为向量的关系式,从而把几何问题转化为向量问题,运用向量运算法则,通过向量的化简与计算,推出结论完成解题.8.向量垂直的判定由于两个非零向量垂直的充要条件是这两个向量的数量积为零,若设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)都是非零向量,则可得a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.向量垂直的坐标表示是判定两个向量垂直的非常好用的条件,在实际中应通过训练达到灵活运用它来证明两个向量垂直或三角形为直角三角形或四边形为矩形.误区警示 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)都是非零向量,则a ⊥b 的充要条件是x 1x 2+y 1y 2=0;a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0.对于初学者来说,这两个充要条件极易混淆,因此对于这两个充要条件要对比记忆,关键是从公式的推导过程记忆.典题·热题知识点1 向量的数量积例1 判断正误,并简要说明理由.①a ·0=0;②0·a =0;③0-=;④|a ·b |=|a ||b |;⑤若a ≠0,则对任一非零b 有a ·b ≠0;⑥a ·b =0,则a 与b 中至少有一个为0;⑦对任意向量a ,b ,c 都有(a ·b )c =a (b ·c );⑧a 与b 是两个单位向量,则a 2=b 2.思路分析:利用向量数量积的定义、性质和运算律.解:上述8个命题中只有③⑧正确;对于①,两个向量的数量积是一个实数,应有a ·0=0;对于②,应有0·a =0;对于④,由数量积定义有|a ·b |=|a |·|b |·|cosθ|≤|a ||b |,这里θ是a 与b 的夹角,只有θ=0或θ=π时,才有|a ·b |=|a |·|b |;对于⑤,若非零向量a 、b 垂直,有a ·b =0;对于⑥,由a ·b =0可知a ⊥b ,可以都是非零向量;对于⑦,若a 与c 共线,记a =λc ,则a ·b =(λc )·b =λ(c ·b )=λ(b ·c ),∴(a ·b )c =λ(b ·c )c =(b ·c )λc =(b ·c )a .若a 与c 不共线,则(a ·b )c ≠(b ·c )a .方法归纳 这一类型题,要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.误区警示 如果不注意零向量与实数零的区别,则易出现“①②正确”的错误结论.例2 已知a 、b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直,求a 与b 的夹角. 思路分析:利用两个向量垂直及两向量夹角公式.解:因为a +3b 与7a -5b 垂直,则有(a +3b )·(7a -5b )=0,即7a 2+16a ·b -15b 2=0. ①又a -4b 与7a -2b 垂直,则有(a -4b )·(7a -2b )=0,即7a 2-30a ·b +8b 2=0. ②两式相减2a ·b =b 2,代入①或②得a 2=b 2,设a 、b 的夹角为θ,则cosθ=22||2||||b b b a b a =∙=21, ∴θ=60°.方法归纳 向量的数量积是一个实数,充分利用两向量垂直的条件,把问题转化到实数集中去求解是解本题的关键.误区警示 由于a -4b 与7a -2b 都是向量,在求它们数量积时不能书写成(a -4b )(7a -2b ),这种表示方法是错误的,应书写为(a -4b )·(7a -2b ).例3 已知|a |=|b |=5,a 与b 的夹角为3π,求|a +b |,|a -b |的值. 思路分析:先求|a ±b |2,再求|a ±b |.解:∵|a +b |2=a 2+2a ·b +b 2=25+25+2|a ||b |cos3π=75, ∴|a +b |=35.同理|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=25+25-2|a ||b |cos 3=25. ∴|a -b |=5.方法归纳 求向量模的问题往往先求模的平方,这样绝对值号就去掉了,也与向量的模以及向量的数量积联系起来了.例4 已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1,它们相互之间的夹角为120°.(1)求证:(a -b )⊥c ;(2)若|k a +b +c |＞1(k ∈R ),求k 的取值范围.思路分析:证明向量垂直问题,一般考虑利用向量的数量积为零.要解决模的问题,往往转化成与模平方有关的问题来解决.(1)证法一:∵|a |=|b |=|c |=1且a 、b 、c 之间的夹角均为120°,∴(a -b )·c =a ·c -b ·c=|a ||c |cos120°-|b ||c |cos120°=0.∴(a -b )⊥c .证法二:如图2-4-3,设OA =a ,OB =b ,OC =c ,图2-4-3由题意可知,连结AB 、AC 、BC 的三条线段围成正三角形ABC,O 为△ABC 中心. ∴OC ⊥AB.又∵=a -b ,∴(a -b )⊥c .(2)解:∵|k a +b +c |＞1,∴(k a +b +c )·(k a +b +c )＞1,即k 2a 2+b 2+c 2+2k a ·b +2k a ·c +2b ·c ＞1.∵a ·b =a ·c =b ·c =cos120°=-21, ∴k 2-2k ＞0.解得k ＜0或k ＞2,即k 的取值范围是k ＜0或k ＞2.方法归纳 证明向量的垂直或判定几何图形中线的垂直关系,往往转化成向量的数量积等于零来证明.与模有关的问题,常先考虑模的平方.深化升华 利用向量的有关知识,可以通过数形结合,提供平面几何中许多问题的新颖、直观、简捷的解法.知识点2 平面两向量数量积的坐标表示例5 设a =(m+1,-3),b =(1,m-1),若(a +b )⊥(a -b ),求m 的值.思路分析:解题时可根据已知条件求出a +b 与a -b ,再利用垂直求得m 的值即可.解:∵a +b =(m+2,m-4),a -b =(m,-m-2),又∵(a +b )⊥(a -b ),∴(a +b )·(a -b )=0,即m(m+2)+(m-4)(-m-2)=0.∴m=-2.方法归纳 解题时可利用向量的坐标运算和向量垂直的坐标表示,列出方程解方程即可求解. 例6 已知a =(4,2),求与a 垂直的单位向量的坐标.思路分析:本题利用向量垂直的坐标表示,设出向量的坐标,利用已知条件建立方程组解之即可.解法一:设e =(x,y),据题意x 2+y 2=1. ①又a ⊥e ,∴a ·e =0,即4x+2y=0. ②解由①②组成的方程组⎩⎨⎧=+=+,024,122y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==552,5511y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=552,5522y x ,即e=(55,-552)或(-55,552). 解法二:如图2-4-4,OA =a =(4,2).过圆点与OA 垂直的直线与单位圆交于B 、C 两点,则OB 与即为所求.图2-4-4cosα2=sinα1=55,sinα2=cosα1=552. 依据三角函数的定义,可求得B(-55,552), 即=(-55,552). ∵与互为相反向量, ∴=(55,-552).方法归纳 要求的单位向量即为以与a 垂直的直线与单位圆相交的交点为终点,原点为起点的两向量,可通过解直角三角形或三角函数的定义求解.例7 已知a =(1,3),b =(3+1,3-1),则a 与b 的夹角是多少?思路分析:要求a 与b 夹角,需先求a ·b 及|a ||b |,再结合夹角θ的范围确定其值.解:由a =(1,3),b =(3+1,3-1),则a ·b =3+1+3(3-1)=４,|a |=2,|b |=22,记a 与b 的夹角为θ,则cosθ=||||b a b a ∙=22, 又∵0≤θ≤π,∴θ=4π. 方法归纳 已知三角函数值求角时,应注重角的范围的确定.例8 在△ABC 中,=(3,3),AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.思路分析:由于没指出哪个内角是直角,故需分别讨论,借助向量减法的运算法则求出△ABC 是一边BC 对应的向量,再用两个向量垂直的充要条件,构造出k 的方程,从而求出k 的值. 解:(1)当∠A=90°时,图2-4-5 ∵·=0,∴3×1+3k=0,解得k=-1.(2)当∠B=90°时,AB AC BC -==(1-3,k-3)=(-2,k-3), ∵AB ·BC =0, ∴2×(-2)+3(k-3)=0,解得k=313. (3)当∠C=90°时, ∵AC ·BC =0, ∴-2+k(k-3)=0,即k 2-3k-2=0,解得k 1=2173-或k 2=2173+.综合(1)(2)(3)可知k 的值为k=-1或k=313或k=2173±. 方法归纳 本题在△ABC 的一个内角为直角,但不知道哪个角为直角的情况下,进行分类讨论,分类讨论的数学思想贯穿于中学数学的各门具体课程,在不断总结的基础上,根据具体情况,把握分类的标准.例9 如图2-4-6,在Rt △ABC 中,已知BC=a ,若长为2a 的线段PQ 以A 为中点,问与的夹角θ取何值时,·CQ 的值最大？并求出这个最大值.图2-4-6思路分析:本小题主要考查向量的概念、平面向量的运算法则,考查运用向量及函数知识的能力.注意图形与坐标的转化,与向量的联系.解法一:∵⊥,∴·=0. ∵-=,-=,-=, ∴·=(-)·(-) =·-·-·+·=-a 2-·+·=-a 2+(-)=-a 2+21PQ · =-a 2+a 2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0(PQ 与BC 方向相同)时,BP ·CQ 最大,其最大值为0.解法二:以直角顶点A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图2-4-7所示的平面直角坐标系.图2-4-7设|AB|=c,|AC|=b,则A(0,0)、B(c,0)、C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a.设点P 的坐标为(x,y),则Q(-x,-y),∴=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y). ∴·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.∵2a bycx-,∴cx-by=a2cosθ.∴·CQ=-a2+a2cosθ.故当cosθ=1,即θ=0(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.方法归纳设定OM的坐标(x,y),用坐标表示出MA与MB的数量积,整理成MA·MB是OM的纵坐标的二次函数,通过二次函数知识求·的最小值.深化升华与最值有关的问题,往往是先选取适当的变量,建立关于取定变量的目标关系式(或函数关系式),通过求最值的基本方法求解.如转化成二次函数或三角函数问题等.问题·探究思维发散探究问题设a、b是不相等的实数,试探求证明不等式(a4+b4)(a2+b2)＞(a3+b3)2的方法.探究思路:对于不等式的证明比较常见的方法是作差法,即求出不等式两边式子的差,再根据差与零的关系来达到证明不等式的目的.现在我们又学习了向量数量积的坐标表示,因此可以根据不等式结构构造向量利用向量知识来达到证明不等式的目的.方法一:(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a6+b6+a4b2+a2b4-a6-b6-2a3b3=a4b2+a2b4-2a3b3=a2b2(a2-ab)+a2b2(b2-ab)=a2b2(a-b)2.由于a、b是不相等的实数,则(a4+b4)(a2+b2)-(a3+b3)2=a2b2(a-b)2＞0,即(a4+b4)(a2+b2)＞(a3+b3)2.方法二:设m=(a2,b2),n=(a,b),则m·n=a3+b3,又a、b是不相等的实数,则a2b-ab2≠0,即向量m、n不共线,所以有|m·n|＜|m||n|,即(a4+b4)(a2+b2)＞(a3+b3)2.。
向量的内积教案
向量的内积（第一课时） （一）教学目标 1.知识与技能：（1）理解两个向量的夹角的定义及向量内积的定义。
（2）掌握向量内积的运算性质，能运用其性质求两个向量的内积或夹角。
2.过程与方法目标（1）通过向量内积的引入过程，体会由特殊到一般的思维方法 (2)通过本节课的学习，体会方程的数学思想。
3.情感、态度与价值观通过本节课的学习，培养学生的理性精神。
（二）教学重点、难点教学重点:向量夹角和内积的概念，向量内积的基本性质. 教学难点：对向量内积的概念，基本性质的理解和运用。
（三)教学方法：本节课是在学习了平面向量的线性运算的基础上，近一步学习了向量的内积。
教学中引导 学生联系物理知识引入向量的内积的课题；采用让学生观察、抽象、概括的方式，自主 的得出定义，性质。
在性质的运用中，引导学生分析思路，总结规律，体验解题方法。
（四）教学过程1.设计情境，引入课题。
今天是6月12日，也是中考的日子。
由于天气炎热我们，垦利职业教育中心组织了一支 志 愿者队伍去给参加中考的学生送绿豆水。
而我们班的小张同学也当上了志愿者，他负 责把装有绿豆水的小车从我们学校推到县实验中学。
的内积与位移称作力s f θ小车在小张的力f 的作用下，产生了位移s 。
那么力f所做的功怎样计算？力所做的功θW ,其中的夹角与是s f θ 的内积与位移成为力s f θ。
由上可知，功是一个数量，它是由力和位移两个向量确定，这给我们一个启示，两个向 量之间是否存在一种新的运算呢？这就是我们这节课要研究的向量的内积。
2.两个向量夹角的定义.,,,,〉〈∠==b ab a AOB b OB a OA a b a 记作的夹角与叫则，取一点，作面上任是两个非零向量，与设Ab〉〈=〉〈a b b a ,,注意：两个向量的夹角一定要求这两个向量的起点相同。
⨯该图中的角就不是这两个向量的夹角。
180,0,0≤〉〈≤≤〉〈≤b a b a 或规定：π还有几种比较特殊的夹角:3.向量的内积数量积或点积。
高中数学备课教案向量的内积与垂直关系
高中数学备课教案向量的内积与垂直关系高中数学备课教案：向量的内积与垂直关系引言：在高中数学中，向量是一个重要而广泛应用的概念。
通过向量，我们可以描述物体的位移、速度、加速度等物理量。
本教案将重点介绍向量的内积与垂直关系，通过具体案例与教学方法，帮助学生全面理解与掌握相关概念与知识点。
一、向量的内积概念及性质向量的内积，又称点积或数量积，是两个向量的乘积与夹角余弦值的乘积。
向量a与向量b的内积可表示为a·b，其计算公式为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别为向量a和向量b的模，θ为a与b之间的夹角。
1. 内积的计算方法内积的计算方法包括数量相乘法与坐标法。
数量相乘法即将向量的各个分量对应相乘后相加，得到内积的结果。
坐标法则是通过向量a 和向量b的坐标表示来计算内积。
2. 内积的性质内积具有以下性质：（1）对称性：a·b = b·a（2）线性性：(k·a)·b = k(a·b) = a·(k·b)，其中k为常数（3）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c二、内积与垂直关系向量的内积与垂直关系是一个重要的应用，应用于解决直角三角形、平行四边形等几何问题。
1. 判断两个向量是否垂直若向量a·b = 0，则向量a与向量b垂直。
这是因为当向量a与向量b垂直时，夹角θ为90°，而cos90°=0。
2. 求两个向量的夹角若给定向量a和向量b的坐标表示，可以利用内积的计算公式求得cosθ，再通过反余弦函数得到夹角θ。
3. 应用案例：求解直角三角形通过利用向量的内积与垂直关系，可以快速求解直角三角形的问题。
例如已知两个向量a和b，可以通过对a·b = 0进行求解，得到两个向量垂直的条件，从而解决直角三角形的各类问题。
三、课堂教学设计为了提高学生的理解与应用能力，设计了如下的课堂教学活动：1. 导入环节通过展示一些图形，引导学生思考如何判断两条直线是否垂直，从而引出向量的内积与垂直关系。
向量的内积教学设计
7.4.1 向量的内积【教学目标】1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．2. 掌握向量内积的基本性质与运算律并运用其解决相关的数学问题．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质与运算律．【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质与运算律的正确理解．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．【教学过程】1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作→OA＝a，→OB＝b，则∠AOB叫向量a与b的夹角．记作‹a，b›，规定0≤‹a，b›≤180．说明：(1)当‹a，b›＝0时，a与b同向；(2)当‹a，b›＝180时，a与b反向；(3)当‹a，b›＝90时，a与b垂直，记做a⊥b；(4)在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．2．向量的内积已知非零向量a与b，‹a，b›为两向量的夹角，则数量| a | | b | cos‹a，b›叫做a与b的内积．记作学生阅读课本，讨论并回答教师提出的问题：（1）当‹a， b›＝0和180º时a与b的方向是怎样的？（2）当‹a，b›＝90时，a与b的方向又是怎样的？师生共同总结，师重点强调说明（4）．教师直接给出向量内积的基本表达式．教师引导学生学习向量内积的概念．学生阅读课本中向量a·b＝| a | | b | cos‹a，b›．规定：0向量与任何向量的内积为0．说明：（1）两个向量的内积是一个实数，不是向量，可以是正数、负数或零，符号由cos‹a，b›的符号所决定；（2）两个向量的内积，写成a·b，符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.例1 求 |a|＝5，|b|＝4，‹a，b›＝120．求a·b．解由已知条件得a·b＝| a | | b | cos‹a，b›＝5×4×cos 120＝－10．3．向量的内积的性质设a，b 为两个非零向量，e 是单位向量，则：（1）a·e＝e·a＝∣a∣cos‹a，e›；（2）a b a·b＝0；（3）a·a＝| a |2或 | a |＝a·a；（4）∣a·b∣≤∣a∣∣b∣．4．向量的内积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．例2 求证：（1）(a＋b)·(a－b)＝∣a∣2－∣b∣2；（2）∣a＋b∣2＋∣a－b∣2＝2(∣a∣2－∣b∣2)．证明（1）显然教师引导学生学习向量内积的运算律．让学生明确内积满足交换律和分配律，不满足结合律．比如，实数乘法满足结合律：(a·b)·c＝a·(b·c)，而向量的内积不满足；又如实数乘法满足：a·c＝b·c a ＝b，而向量的内积不满足这种推出关系．学生分组讨论证明的方法；小组讨论后，教师对学生的回答给以补充、完善，师生共同总结解答方法．教师给出具体的证明步骤．。
苏教版高中数学必修四向量的数量积教案(1)(1)
第九课时 平面向量的数量积及运算律(一)教学目标：掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义.教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.教学过程：Ⅰ.课题引入在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F 的作用下产生位移s ，那么力F 所做的功W 可由下式计算：W ＝｜F ｜·｜s ｜cos θ其中θ是F 与s 的夹角.从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.Ⅱ.讲授新课1.两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ (0≤θ≤π)叫a 与b 的夹角.说明：(1)当θ＝0时，a 与b 同向；(2)当θ＝π时，a 与b 反向；(3)当θ＝π2 时，a 与b 垂直，记a ⊥b ；(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.2.数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量｜a ｜｜b ｜cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ·b ，即有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos θ(0≤θ≤π).说明：(1)零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0；(2)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.3.数量积的几何意义两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积. 说明：这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.4.数量积的重要性质设a 与b 都是非零向量，e 是单位向量，θ0是a 与e 夹角，θ是a 与b 夹角.①e ·a ＝a ·e ＝｜a ｜cos θ0②a ⊥b a ·b ＝0③当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜｜b ｜当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜｜b ｜特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝a · a ＝a 2④cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜⑤｜a ·b ｜≤｜a ｜｜b ｜说明：上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证.5.数量积的运算律已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a ·b ＝b ·a (交换律)②(λa )·b ＝λ (a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)说明：(1)一般地，(a ·b )c ≠a (b ·c )(2)a ·c ＝b ·c ，c ≠0 a ＝b(3)有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )·(c ＋d )＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c ＋b ·d(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2［师］为使大家进一步熟悉数量积的性质，加深对数量积定义的理解，我们来看下面的例题.［例题］判断正误，并简要说明理由.①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠0；⑥a ·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a ·b )c ＝a (b ·c )；⑧a 与b 是两个单位向量，则a 2＝b 2.分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a ＝0；对于②：应有0·a ＝0；对于④：由数量积定义有｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜·｜cos θ｜≤｜a ｜｜b ｜，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜a ·b ｜＝｜a ｜·｜b ｜；对于⑤：若非零向量a 、b 垂直，有a ·b ＝0；对于⑥：由a ·b ＝0可知a ⊥b 可以都非零；对于⑦：若a 与c 共线，记a ＝λc .则a ·b ＝(λc )·b ＝λ (c ·b )＝λ (b ·c )，∴(a ·b )c ＝λ (b ·c )c ＝(b ·c )λ c ＝(b ·c )a若a 与c 不共线，则(a ·b )c ≠(b ·c )a .评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.说明：1.概念辨析：正确理解向量夹角定义对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：［例1］已知△ABC 中，a ＝5，b ＝8，C ＝60°，求BC →·CA →.对此题，有同学求解如下：解：如图，∵｜BC →｜＝a ＝5，｜CA →｜＝b ＝8，C ＝60°，∴BC →·CA →＝｜BC →｜｜CA →｜cos C ＝5×8cos60°＝20.分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中BC →与CA →两向量的起点并不同，因此，C 并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C 的补角120°.2.向量的数量积不满足结合律分析：若有(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )，设a 、b 夹角为α，b 、c 夹角为β，则(a ·b )·c ＝｜a ｜·｜b ｜cos α·c ，a ·(b ·c )＝a ·｜b ｜｜c ｜cos β.∴若a ＝c ，α＝β，则｜a ｜＝｜c ｜，进而有：(a ·b )c ＝a ·(b ·c )这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下：已知｜a ｜＝1，｜b ｜＝1，｜c ｜＝ 2 ，a 与b 夹角是60°，b 与c 夹角是45°，则：(a ·b )·c ＝(｜a ｜｜b ｜cos60°)·c ＝12 c ，a ·(b ·c )＝(｜b ｜｜c ｜cos45°)·a ＝a而12 c ≠a ，故(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )3.等式的性质“实数a 、b 、c ，且ab ＝ac ，a ≠0推出b ＝c ”这一性质在向量推理中不正确.［例2］举例说明a ·b ＝a ·c ，且a ≠0，推不出b ＝c .解：取｜a ｜＝1，｜b ｜＝22，a 与b 的夹角为45°，｜c ｜＝12 ，a 与c 的夹角为0°，显然a ·b ＝a ·c ＝12 ，但b ≠c .4.“如果ab ＝0，那么a ，b 中至少有一个为零”这一性质在向量推理中不正确. ［例3］已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝3，a 与b 的夹角为90°，求a ·b .解：a ·b ＝2×3×cos90°＝0，显然a ≠0，b ≠0，由a ·b ＝0可推出以下四种可能： ①a ＝0，b ≠0; ②b ＝0，a ≠0;③a ＝0且b ＝0; ④a ≠0且b ≠0但a ⊥b .Ⅲ.课堂练习课本P 80练习1，2，3Ⅳ.课时小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.Ⅴ.课后作业课本P 82习题 1，2，3。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 2.4.1 向量的数量积》8
§向量数量积（第一课时）教学设计人民中学田佳教学内容分析:本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4苏教版§平面向量的数量积的第一课时，本课主要内容是向量的数量积的定义。
本节课是在学生系统的学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘等线性运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容起到了承上启下的作用。
平面向量数量积是一个很重要的数学概念，它是从物理中功的概念抽象而来的，是沟通代数、几何、三角的桥梁，是数形结合方法的典范。
这些都使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。
教学目标：1.理解平面向量数量积的概念2.掌握平面向量数量积的性质3.体会数形结合与类比等数学思想方法，培养自主学习能力教学重难点：数量积概念的理解教学过程：一、回顾旧知已经学习了哪几种向量运算？它们的运算结果是什么量？【设计意图】通过知识回忆的问题让学生复习回顾向量运算，为平面向量数量积的学习奠定基础。
二、问题情境问题1：一个物体在力F的作用下产生位移，=？此时重力做了多少功？问题2：当力F与位移S成某一角度时，力F所做的功W=问题3：能否将此公式推广到一般向量？【设计意图】从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，创设数量积的物理背景，激发学生的学习热情，同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。
三、 建构数学 师：物理中的F 和S 是两个向量，用两个一般的非零向量和来替换F 和S ，其夹角不变，则θθcos ||||cos |||| b a S F W ==。
在数学中称θcos ||||b a 为非零向量和的数量积，记作：θcos |||| b a b a =⋅，从而得到平面向量数量积的定义：1. 定义：b a b a ,,,叫做向量它们的夹角为两个非零向量θθθcos ,b a b a =⋅⋅即的数量积，记作规定：零向量与任一向量的数量积为0注意点：（1）“·”是数量积的运算符号，不能省略也不能用“”代替；（2）数量积的结果为数量；（3）影响因素是向量的模及夹角。
高中数学 第二章 向量 复习教案3教案 苏教版必修4
高中数学 第二章 向量 复习教案3教案 苏教版必修4 科目数学 主备 孙猛生 时间 课题 平面向量的数量积 课时 教学目标1. 理解平面向量的数量积的含义及其物理意义,掌握数量积的坐标表示2. 会进行平面向量数量积的运算3. 能利用数量积表示两个向量夹角的余弦,会用数量积判断两个非0向量是否垂直 教学重难点 函数的单调性比较大小、三角函数的值域、最值教学过程设计（教法、学法、课练、作业） 个人主页一、 知识回顾1.(2006.北京)若→a 与→b -→c 都是非0向量,则“→→→→•=•c a b a ”是“→a ⊥)(→→-c b ”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.(2006.全国)已知向量→a ,→b ,满足4,1==→→b a ,且13=•→→b a 则→a 与→b 的夹角为( )A.π/6B.π/4C.π/3D.π/23.(2006.福建)已知向量→a 与→b 的夹角为1200,13,3=+=→→→b a a 则→b =( )A ．5 B.4 C.3 D.14.若向量)2,3(),2,(x b x x a -==→→,且→a ,→b 的夹角为钝角,则x 的取值范围是二、 例题讲解例1(2006.全国) 已知向量22),cos ,1(),1,(sin πθπθθππ-==→→b a .(1) 若→a ⊥→b 求θ;(2) 求→→+b a 的最大值.例2求与向量)1,3(-=→a 和)3,1(=→b 夹角相等,且模为2的向量→c 的坐标.例3已知→a ,→b 是两个非0向量,当)(R t b t a ∈+→→的模取最小值时,(1) 求的t 值;(2) 求证:→b ⊥)(→→+b t a三、小结四、 训练练习见练习纸教后感。
高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的数量积教案 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学教案
2.4 向量的数量积整体设计教学分析课本从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的5个重要性质、运算律．向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来，这样为解决三角形的有关问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系．既然向量可以进行加减运算，一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢？如果能，运算结果应该是什么呢？另外，距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系．众所周知，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，物理学家很早就知道，如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1)，那么力F所做的功图1W＝|F||s|cosθ.功W是一个数量，其中既涉及“长度”，也涉及“角”，而且只与向量F，s有关．熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算，从而引进向量的数量积的定义a·b＝|a||b|cosθ.这个定义不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简捷地表述几何中的许多结果．向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．平面向量的数量积，教材将其分为两部分，在第一部分向量的数量积中，首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定的方法．本节课可采用“启发探索”式的教学方法，从教材内容看，由于前面已经学习了平面向量的线性运算的坐标表示，因此在教学中运用指导探究为教学的主线，通过启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探索，将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体地位．三维目标1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，并掌握向量垂直的条件．2．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力；培养学生的交流意识、合作精神；培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．3．通过探究平面向量的数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表示方法；掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题．4．通过平面向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对平面向量数量积的认识，提高学生的运算速度，培养学生的运算能力，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质．重点难点教学重点：平面向量数量积的定义，平面向量数量积的坐标表示．教学难点：平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用，平面向量坐标表示的应用．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答地更简捷、更清晰．并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具，而且用数学的思想方法去审视相关物理现象，研究相关物理问题，可使我们对物理问题认识更深刻．物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位移等都是向量，这些物理现象都可以用向量来研究．在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：W ＝|F||s |cosθ.其中θ是F 与s 的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)． 故从力所做的功出发，我们就顺其自然的引入向量数量积的概念．思路2.前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？推进新课新知探究1．平面向量数量积的概念，向量的夹角．2．数量积的重要性质及运算律．3．两向量垂直的条件．活动：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a||b |cosθ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a·b ，即a·b ＝|a||b |cosθ(0≤θ≤π)，其中θ是a 与b 的夹角．图2为两向量数量积的关系，并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2教师在与学生的一起探究活动中，应特别点拨引导学生注意：(1)两个非零向量的数量积是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积；(2)零向量与任一向量的数量积为0，即a ·0＝0；(3)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；(4)当0≤θ<π2时cosθ>0，从而a·b >0；当π2<θ≤π时，cosθ<0，从而a·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律．已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：①a·b ＝b·a (交换律)；②(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(数乘结合律)；③(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c (分配律)．特别是：(1)当a ≠0时，由a·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a·b ＝0.(2)已知实数a 、b 、c(b≠0)，则ab ＝bc a ＝c ，但对向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·c不能推出a＝c.由图3很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.图3(3)对于实数a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)，但对于向量a、b、c，(a·b)c＝a(b·c)不成立．这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)不成立．讨论结果：由向量数量积的定义可知，当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·a.应用示例思路1例1见课本本节例1.例2已知|a|＝3，|b|＝4，且a 与b 不共线．当k 为何值时，向量a ＋k b 与a －k b 互相垂直？活动：教师引导学生利用数量积的性质来求两向量垂直需满足的条件，教师可让学生独立完成，可找几个学生到黑板上去演练．解：a ＋k b 与a －k b 互相垂直的条件是(a ＋k b )·(a －k b )＝0，即a 2－k 2b 2＝0.∵a 2＝32＝9，b 2＝42＝16，∴9－16k 2＝0.∴k＝±34. 也就是说，当k ＝±34时，a ＋k b 与a －k b 互相垂直． 点评：本题主要考查向量的数量积性质中垂直的条件.思路2例1已知四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a·b ＝c·d ＝b·c ＝d·a ，试问四边形ABCD 的形状如何？活动：教师引导学生总结如何判断四边形的形状．利用向量的关系来判断四边形的形状，就是借助两个向量的共线或者垂直来判断四边形是平行四边形或是矩形．教师先让学生明确四边形各边的位置关系与长度关系，这可以借助向量的有关运算来完成．解：∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，即a ＋b ＋c ＋d ＝0，∴a ＋b ＝－(c ＋d )．由上可得(a ＋b )2＝(c ＋d )2，即a 2＋2a·b ＋b 2＝c 2＋2c·d ＋d 2.又∵a·b ＝c·d ，故a 2＋b 2＝c 2＋d 2.同理，可得a 2＋d 2＝b 2＋c 2.由上两式可得a 2＝c 2，且b 2＝d 2.即|a|＝|c|，且|b|＝|d |，也即AB ＝CD ，且BC ＝DA.∴四边形ABCD 是平行四边形．故AB →＝－CD →，即a ＝－c .又a·b ＝b·c ＝－a·b ，即a·b ＝0，∴a ⊥b .即AB →⊥BC →.综上所述，四边形ABCD 是矩形．点评：本题考查的是向量数量积的性质应用，利用向量的数量积解决有关垂直问题，然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状．例2已知a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |，|b |＝|a ＋b |，求向量b 与a －b 的夹角． 解：∵|b|＝|a ＋b|，|b|＝|a|，∴b 2＝(a ＋b )2.∴|b|2＝|a|2＋2a·b ＋|b|2.∴a·b ＝－12|b|2.而b·(a －b )＝b·a －b 2＝－12|b|2－|b|2＝－32|b |2，①由(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝|b|2－2×(－12)|b|2＋|b|2＝3|b|2，而|a －b|2＝(a －b )2＝3|b|2，∴|a －b|＝3|b|.②设a 与a －b 的夹角为θ，则cosθ＝b·a －b |b||a －b|， 代入①②，得cosθ＝－32|b|2|b|×3|b|＝－32. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. 点评：本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角的问题，解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.知能训练判断正误，并简要说明理由．①a ·0＝0；②0·a ＝0；③0－AB →＝BA →；④|a·b|＝|a||b |；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a·b ≠0；⑥a·b ＝0，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有(a·b )c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.解：上述8个命题中只有③⑧正确．对于①，两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；对于②，应有0·a＝0；对于④，由数量积定义有|a·b|＝|a||b||cosθ|≤|a||b|，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有|a·b|＝|a||b|；对于⑤，若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；对于⑥，由a·b＝0可知a⊥b，可以都非零；对于⑦，若a与c共线，记a＝λc，则a·b＝(λc)·b＝λ(c·b)＝λ(b·c)，∴(a·b)c＝λ(b·c)c＝(b·c)λc＝(b·c)a.若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.课堂小结1．先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、运算，数量积的重要性质，数量积的运算律．2．教师与学生总结本节学习的数学方法：归纳类比、定义法、数形结合等．在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性的思考问题，并鼓励学生进行一题多解．作业课本习题2.4 1、2、3、4、5.设计感想1．本节的重点是平面向量数量积的概念，以及平面向量数量积的运算律，难点是平面向量数量积的应用．利用平面向量的数量积可以解决一些垂直问题，或者解决有关夹角问题．我们发现向量的引入使高中物理学科中的矢量理论有了数学依据，两门学科相互呼应，既可以促进高中学生对两门学科知识更好地理解和吸收，也有助于理科学生高中学习后期整个知识结构体系的整合．其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已．在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量．几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的．矢量广泛地应用于力学(如力，速度，加速度等)和电学(如电流方向，电场强度等)理论之中，在高中新教材中引入向量的数量积后，物理中的功和压强等就自然地形成．对向量进行系统深入的学习和研究，对学生在物理课上学习和理解矢量和标量的知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利．同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量有更深入的了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情．如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用．2．本节的重要性是显而易见的，但本节有几个常见思维误区：不能正确理解向量夹角的定义，对于两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积不但可以解决两向量垂直问题，而且还可以解决两向量共线问题，要深刻理解两向量共线、垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．备课资料一、向量的向量积在物理学中，由于讨论像力矩以及物体绕轴旋转时的角速度与线速度之间的关系等这类问题的需要，就必须引进两向量乘法的另一运算——向量的向量积．定义如下：两个向量a与b的向量积是一个新的向量c：(1)c的模等于以a及b两个向量为边所作成的平行四边形的面积；(2)c垂直于平行四边形所在的平面；(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——设想一个人站在c处观看a与b时，a按逆时针方向旋转一个小于180°的角而达到b.向量a与b的向量积记作a×b.设a与b两个向量的夹角为θ，则|a×b|＝|a||b|sinθ.(1) (2)图4在上面的定义中已默认了a、b为非零向量，若这两个向量中至少有一个是零向量，则a×b＝0.向量的向量积服从以下运算律：(1)a×b＝－b×a；(2)a×(b＋c)＝a×b＋a×c；(3)(m a)×b＝m(a×b)．二、备用习题1．已知a，b，c是非零向量，则下列四个命题中正确的个数为( )①|a·b|＝|a||b|a∥b②a与b反向a·b＝－|a||b|③a⊥b|a＋b|＝|a－b|④|a|＝|b||a·c|＝|b·c|A．1 B．2C ．3D ．42．有下列四个命题：①在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 是锐角三角形；②在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为钝角三角形；③△ABC 为直角三角形AB →·BC →＝0；④△ABC 为斜三角形AB →·BC →≠0.其中为真命题的是( )A ．①B ．②C ．③ D．④3．设|a |＝8，e 为单位向量，a 与e 的夹角为60°，则a 在e 方向上的投影为( )A ．4 3B ．4C ．4 2 D.324．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，有下列四个命题： ①(a·b )c －(c·a )b ＝0；②|a|－|b|<|a －b |；③(b·c )a －(c·a )b 不与c 垂直；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a|2－4|b |2.其中正确的是( )A ．①② B．②③C ．③④ D．②④5．在△ABC 中，设AB →＝b ，AC →＝c ，则|b||c|2－b·c 2等于( )A ．0 B.12S △ABC C ．S △ABC D ．2S △ABC6．设i 、j 是平面直角坐标系中x 轴、y 轴方向上的单位向量，且a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，如果(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m ＝________.7．若向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.8．设|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为150°，求：(1)(a －3b )·(2a ＋b )；(2)|3a －4b |.9．已知|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角为45°，且向量λa ＋b 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．10．已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为π3，求向量m ＝2a ＋b 与向量n ＝a －4b 的夹角的余弦值．参考答案：1．C 2.B 3.B 4.D 5.D6．－2 7.－138．(1)－30＋303； (2)337＋144 3.9．{λ|λ<－11－856或λ>－11＋856且λ≠1}． 10．解：由向量的数量积的定义得a·b ＝2×1×cosπ3＝1. ∵m ＝2a ＋b ，∴m 2＝4a 2＋b 2＋4a·b ＝4×4＋1＋4×1＝21，∴|m |＝21.又∵n ＝a －4b ，∴n 2＝a 2＋16b 2－8a·b ＝4＋16－8＝12.∴|n |＝2 3.设m 与n 的夹角为θ，则m·n ＝|m||n |cosθ.①又m·n ＝2a 2－7a·b －4b 2＝2×4－7－4＝－3， 把m·n ＝－3，|m|＝21，|n|＝23代入①式，得－3＝21×23cosθ，∴cosθ＝－714， 即向量m 与向量n 的夹角的余弦值为－714. (设计者：仇玉法)第2课时导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，其运算的表示方式也会改变．向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便．上一节，我们学习了平面向量的数量积，那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题．思路2.在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示．推进新课新知探究1．平面向量的数量积的坐标表示和运算，向量垂直的坐标表示．2．由向量的坐标计算其数量积并由坐标形式求两个向量的夹角．3．运用向量垂直的坐标表示的条件解决一些综合问题．活动：平面向量的数量积这个实数如何用坐标表示，是培养学生数形结合这种重要思想方法的很好内容，在教学中抓住数形结合这条主线，不但推出了两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，推出平面内两点间的距离公式，并应用平面向量的数量积的坐标表示解决问题，这样不但能够提高学生的解题能力，而且培养学生会运用数形结合这种重要思想方法．本节课开始时应向学生指出：对平面向量的数量积的研究不能仅仅停留在几何角度，还要寻求其坐标表示；在引入新知识之前应复习前面的有关知识，如平面向量，两个向量的和与差，实数与向量的积的坐标表示，以及平面向量的基本定理．应将平面向量数量积的两种形式结合起来，交待等式a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．这个等式体现了数与形的结合，揭示了数与形的内在联系．教学中还应注意设计综合性问题，加强与前段知识的联系．若两个向量为a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用a，b的坐标来表示它们的数量积a·b?设i，j分别是x轴和y轴上的单位向量，则i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0.∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋x1y2i·j＋x2y1i·j＋y1y2j2.又∵i·i＝1，j·j＝1，i·j＝j·i＝0，∴a·b＝x1x2＋y1y2.教师给出结论性的总结，由此可归纳如下：(1)平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(2)向量模的坐标表示若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝x2＋y2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，那么a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝x2－x12＋y2－y12.(3)两向量垂直的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b x1x2＋y1y2＝0.(4)两向量夹角的坐标表示设a、b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.特别地，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.应用示例例1课本本节例2.例2课本本节例3.变式训练1．(1)已知三点A(2，－2)，B(5,1)，C(1,4)，求∠BAC的余弦值；(2)a＝(3,0)，b＝(－5,5)，求a与b的夹角．活动：教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)的数量积a·b ＝x1x2＋y1y2和模|a|＝x21＋y21，|b|＝x22＋y22的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cosθ＝a·b |a||b|＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误．解：(1)AB →＝(5,1)－(2，－2)＝(3,3)，AC →＝(1,4)－(2，－2)＝(－1,6)，∴AB →·AC →＝3×(－1)＋3×6＝15.又∵|AB →|＝32＋32＝32，|AC →|＝－12＋62＝37， ∴cos∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1532×37＝57474. (2)a·b ＝3×(－5)＋0×5＝－15，|a|＝3，|b |＝5 2.设a 与b 的夹角为θ，则cosθ＝a·b |a||b |＝－153×52＝－22. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝3π4. 点评：本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角．利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高．2．设a ＝(5，－7)，b ＝(－6，－4)，求a·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1°)． 解：a·b ＝5×(－6)＋(－7)×(－4)＝－30＋28＝－2.|a |＝52＋72＝74，|b |＝－62＋－42＝52， 由计算器得cosθ＝－274×52≈－0.03. 利用计算器得θ≈92°.例3课本本节例4.例4已知|a|＝3，b＝(2,3)，试分别解答下面两个问题：(1)若a⊥b，求a；(2)若a∥b，求a.活动：对平面中的两向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)，向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，要让学生在应用中深刻领悟其本质属性，两向量垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练，以此巩固并能熟练地掌握和运用．解：(1)设a ＝(x ，y)，由|a |＝3且a ⊥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝|a |2＝9，2x ＋3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－91313，y ＝61313或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝91313，y ＝－61313， ∴a ＝(－91313，61313)或a ＝(91313，－61313)． (2)设a ＝(x ，y)，由|a |＝3且a ∥b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝|a |2＝9，3x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝61313，y ＝91313或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－61313，y ＝－91313，∴a ＝(61313，91313)或a ＝(－61313，－91313)． 点评：本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用，利用已知关系来求向量的坐标.知能训练课本练习1～8.课堂小结1．在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件．其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示．2．在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法，待定系数法等．作业课本习题2.4 8、9、10.设计感想1．由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用，是对平面向量几何意义的综合研究提高，因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高，这符合新课程理念，符合新课标要求．我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容，也是高考中的重点，既有选择题、填空题，也有解答题(大多与立体几何、解析几何一起综合考查)，故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用．而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容，用坐标表示直角坐标平面内点的位置，是解析几何的一个基本特征，从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系．以三角函数表示点的坐标，又可以沟通向量与三角函数的相互关系，由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题．2．本节课学习的重点是两个向量数量积的坐标表示；两个向量垂直的坐标表示以及利用向量数量积的坐标表示解决有关的几何问题．本节学习的难点是建立向量与坐标之间的关系．平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便，也拓宽了向量应用的途径，通过学习本节的内容，要更加加深对向量数量积概念的理解．同时善于运用坐标形式运算解决数量问题，尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等，往往可以使问题简单化．灵活使用坐标形式，综合处理向量的线性运算、数量积、平行等，综合地解决向量综合题，体现数形结合的思想．在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力．备课资料一、|a·b|≤|a||b|的应用若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则平面向量的数量积的性质|a·b|≤|a||b|的坐标表示为x1x2＋y1y2≤x21＋y21x22＋y22 (x1x2＋y1y2)2≤(x21＋y21)(x22＋y22)．不等式(x1x2＋y1y2)2≤(x21＋y21)(x22＋y22)有着非常广泛的应用，由此还可以推广到一般(柯西不等式)：(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2≤(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )．例1(1)已知实数x ，y 满足x ＋y －4＝0，则x 2＋y 2的最小值是________；(2)已知实数x ，y 满足(x ＋2)2＋y 2＝1，则2x －y 的最大值是________．解析：(1)令m ＝(x ，y)，n ＝(1,1)．∵|m ·n |≤|m ||n |，∴|x＋y|≤x 2＋y 2·2，即2(x 2＋y 2)≥(x＋y)2＝16.∴x 2＋y 2≥8.故x 2＋y 2的最小值是8.(2)令m ＝(x ＋2，y)，n ＝(2，－1)，2x －y ＝t.由|m ·n |≤|m ||n |，得|2(x ＋2)－y|≤x ＋22＋y 2·5＝5，即|t ＋4|≤5， 解得－4－5≤t≤5－4，故所求的最大值是5－4.答案：(1)8 (2)5－4例2已知a ，b∈R ，θ∈(0，π2)，试比较a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ与(a ＋b)2的大小． 解：构造向量m ＝(a cosθ，b sinθ)，n ＝(cosθ，sinθ)，由|m ·n |≤|m ||n |得 (a cosθcosθ＋b sinθsinθ)2≤(a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)， ∴(a＋b)2≤a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ. 同类变式：已知a ，b∈R ，m ，n∈R ，且mn≠0，m 2n 2>a 2m 2＋b 2n 2，令M ＝m 2＋n 2，N ＝a ＋b ，比较M 、N 的大小． 解：构造向量p ＝(a n ，b m)，q ＝(n ，m)，由|p ·q |≤|p ||q |得 (a n ×n＋b m ×m)2≤(a 2n 2＋b 2m 2)(m 2＋n 2)＝a 2m 2＋b 2n 2n 2m2(m 2＋n 2)<m 2＋n 2，∴M>N. 例3设a ，b∈R ，A ＝{(x ，y)|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n∈Z }，B ＝{(x ，y)|x ＝m ，y ＝3m 2＋15，m∈Z }，C ＝{(x ，y)|x 2＋y 2≤144}是直角坐标平面xOy 内的点集，讨论是否存在a 和b ，使得A∩B≠∅与(a ，b)∈C 能同时成立．解：此问题等价于探求a 、b 是否存在的问题，它满足⎩⎪⎨⎪⎧ na ＋b ＝3n 2＋15，①a 2＋b 2≤144.②设存在a和b 满足①②两式，构造向量m ＝(a ，b)，n ＝(n,1)．由|m ·n |2≤|m |2|n |2得(na ＋b)2≤(n 2＋1)(a 2＋b 2)，∴(3n 2＋15)2≤144(n 2＋1) ⇒n 4－6n 2＋9≤0. 解得n ＝±3，这与n∈Z 矛盾，故不存在a 和b 满足条件．二、备用习题1．若a ＝(2，－3)，b ＝(x,2x)，且a ·b ＝43，则x 等于( ) A ．3 B.13 C ．－13D ．－3 2．设a ＝(1,2)，b ＝(1，m)，若a 与b 的夹角为钝角，则m 的取值范围是( )A ．m>12B ．m<12C ．m>－12D ．m<－123．若a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，则( )A ．a ⊥bB ．a ∥bC ．(a ＋b )⊥(a －b )D ．(a ＋b )∥(a －b )4．与a ＝(u ，v)垂直的单位向量是( )A ．(－v u 2＋v 2，u u 2＋v2) B ．(v u 2＋v 2，－u u 2＋v2) C ．(v u 2＋v 2，u u 2＋v2) D ．(－v u 2＋v 2，u u 2＋v 2)或(v u 2＋v 2，－u u 2＋v2) 5．已知a ，b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．6．已知△ABC 的三个顶点为A(1,1)，B(3,1)，C(4,5)，求△ABC 的面积．参考答案：1．C 2.D 3.C 4.D5．解：由已知(a ＋3b )⊥(7a －5b ) (a ＋3b )·(7a －5b )＝0 7a 2＋16a ·b －15b 2＝0，① 又(a －4b )⊥(7a －2b ) (a －4b )·(7a －2b )＝0 7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0，②①－②得46a ·b ＝23b 2，即a ·b ＝b 22＝|b |22.③ 将③代入①式可得7|a |2＋8|b |2－15|b |2＝0，即|a |2＝|b |2，有|a |＝|b |，∴若记a 与b 的夹角为θ，则cosθ＝a ·b |a ||b |＝|b |22|b ||b |＝12. 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°，即a 与b 的夹角为60°.6．分析：S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin∠BAC，而|AB →|，|AC →|易求，要求sin∠BAC 可先求出cos∠BAC.解：∵AB →＝(2,0)，AC →＝(3,4)，|AB →|＝2，|AC →|＝5，∴cos∠BAC＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝2×3＋0×42×5＝35.∴sin∠BAC＝45. ∴S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin∠BAC＝12×2×5×45＝4. 三、新教材新教法的二十四个“化”字诀新课导入新颖化，揭示概念美丽化；纵横相联过程化，探索讨论热烈化；探究例题多变化，引导思路发散化；学生活动主体化，一石激浪点拨化；大胆猜想多样化，论证应用规律化；变式训练探究化，课堂教学艺术化；学法指导个性化，对待学生情感化；作业抛砖引玉化，选题质量层次化；学生学习研究化，知识方法思想化；抓住闪光激励化，教学相长平等化；教学意识超前化，与时俱进媒体化；灵活创新智慧化，学生素质国际化．(设计者：仇玉法)附：2．4 向量的数量积第1课时作者：蒋国庆，江苏省泰兴市第四高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛一等奖．整体设计在《普通高中课程标准实验教科书·数学4(必修)》中，2.4平面向量的数量积约用3课时完成．本文从教材分析、目标分析、教学过程、设计说明等几个方面系统阐述第1课时的教学设计．教材分析1．教材的地位和作用向量在物理学中的应用非常广泛，在解析几何中应用更为直接，用向量方法特别便于研究涉及空间里直线与平面的各种问题．平面向量的数量积是向量的基本运算之一，在处理有关长度、角度和垂直问题等方面有很好的应用．“平面向量的数量积”是《平面向量》中的基础知识与重点内容．2．教学重点与难点本节课的重点是理解平面向量的数量积的概念及运算律，这也是本节课的难点．目标分析通过本节课的教学，预计达到下面三个目标：1．知识目标：理解平面向量的数量积的概念；能用公式和运算律进行计算．2．能力目标：培养学生的理性思维能力、创造性思维能力、逻辑思维能力和思维的批判性．3．情感目标：鼓励学生探索发现规律，激发学生学习数学的兴趣．学法分析向量的数量积的结果是一个数量，而不是一个向量．像这样的运算结果与运算对象不在同一“范围”内的运算，学生首次接触，理解上有一定的困难，本文的教学设计准备通过预设的系列问题，发动学生进行合作讨论，调动学生参与到探索中来，让他们总结规律，从而充分经历，体验“发现定义”的过程．教学过程本节课共分四大环节：理解定义、总结性质、学习运算律、巩固训练．1．理解定义教学设想：首先引导学生复习已学过的向量运算，并与实数的加法、减法及实数的乘法进行比较，让学生大胆思维，猜想有无这样的向量运算，结果是一个数量而不是一个向量？在数学上，以前肯定没学过．引导学生进一步联想，在物理上见过两个矢量运算的结果是一个标量的例子吗？有部分学生联想到力对物体作用产生的位移所做的功，力F是一个向量，位移s是一个向量，而功W是一个标量，这时又让学生思考相应的物理公式W＝|F||s|cosθ，这样就为向量数量积概念的引入做了一个积极的铺垫．通过学生联想类比物理学中的“功”，找到向量数量积的原型；通过讨论求功运算的特点，进而抽象出向量数量积的定义．这一过程培养了学生的发散性思维能力及创造性思维能力．复习思考：运算结果向量的加法―→向量向量的减法―→向量实数与向量的乘法―→向量两个向量的乘法―→？？？？。
2015-2016学年高一苏教版数学必修4教案第2章第9课时《向量的数量积》(1)
第9课时向量的数量积(1)教学过程一、问题情境问题1前面已经学过向量加法、减法和实数与向量的乘法,它们有一个共同的特点,即运算的结果还是向量,那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢?如果有,这种“乘法”运算的结果是什么量呢?联想:物理中,功就是矢量与矢量“相乘”的结果.问题2物理学中,一个物体在力F的作用下发生了位移s,那么该力对此物体所做的功是如何计算的?(图1)通过对物理公式:W=|F‖s|cosθ(其中θ是F与s的夹角)的分析,得到如下结论:(1)功W是两个向量F和s的某种运算结果,而且这个结果是一个数量;(2)功不仅与力和位移的大小有关,而且还与它们的方向有关,具体地,它和力F与位移s的夹角有关.由此可见,“求功运算”是一种新的向量运算,不同于我们以前学习过的其他数学运算.二、数学建构1.平面向量数量积(内积)已知两个非零向量a和b,它们的夹角是θ,我们把数量|a‖b|cosθ叫做向量a和b的数量积(内积),记作a·b,即a·b=|a‖b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为零.可见,功W就是两个向量F和s的数量积.2.两个向量的夹角问题3向量数量积(内积)的定义中,提到了“两个向量的夹角”的概念,它究竟代表什么意义呢?从问题情境中的力和位移的夹角出发,得到下面的结论:对于两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(这里要特别强调找向量的夹角两向量要移到共同的起点)当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向;当θ=90°时,则称向量a与b垂直,记作a⊥b.理解概念(1)当a≠0且b≠0时,a·b=|a‖b|cosθ;而当a=0或b=0时,由于零向量的方向是不确定的,因此我们不定义零向量与其他向量的夹角,为了定义的完整性.特别规定:零向量与任一向量的数量积为零.(2)两个向量的数量积的结果是一个实数,而不是向量,符号由cosθ的符号所决定.(3)向量的数量积a·b中的符号“·”,既不能省略,也不能写成“×”,a×b是向量的另外一种运算,不是数量积.三、数学运用【例1】(教材第84页例1)已知向量a与b的夹角为θ,|a|=2,|b|=3,分别在下列条件下求a·b:(1)θ=135°;(2)a∥b;(3)a⊥b.(见学生用书P51)[处理建议]本题主要是巩固概念,对数量积的定义简单应用,可以由学生结合定义给出答案.[规范板书]解(1)a·b=|a‖b|cosθ=2×3×cos135°=-3.(2)当a∥b时,则θ=0°或θ=180°.若θ=0°,a·b=|a‖b|=6;若θ=180°,a·b=-|a‖b|=-6.(3)当a⊥b时,a·b=0.[题后反思]注意第(2)小题中共线有两种情况.问题1在理解例1的基础上,思考数量积有哪些性质?[3]由平面向量数量积的定义和向量夹角的定义可知:(1)当a与b同向时,a·b=|a‖b|;(2)当a与b反向时,a·b=-|a‖b|;(3)a·a=a2=|a|2,|a|=;(4)当a⊥b时,a·b=0.问题2定义了向量的数量积运算,那么它的运算遵循什么规律呢?即向量数量积的运算律是什么?设向量a,b,c和实数λ,向量的数量积满足下列运算律:(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b;(3)(a+b)·c=a·c+b·c.【例2】已知向量a与b的夹角为120°,|a|=2,|b|=3,求:(1)(a+b)·(a-b);(2)|a-b|.(见学生用书P52)[处理建议]本题是向量的综合运算,第(1)小问可让学生根据向量数量积的运算律自主求解;第(2)小问引导学生思考:怎样建立模与向量数量积运算的联系?[规范板书]解(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=-5.(2)因为|a-b|2=(a-b)2=a2-2a·b+b2=19,所以|a-b|=.变式根据例2中的条件求|a+2b|.[规范板书]解因为|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=28,所以|a+2b|=2.[题后反思]由解题结果知数量积满足平方差公式、完全平方公式.【例3】已知x=a+b,y=2a+b,且|a|=|b|=1,a⊥b.(1)求|x|,|y|;(2)若x与y的夹角为θ,求cosθ的值.(见学生用书P52)[处理建议]求向量的模,先求这个向量的平方,再展开完全平方式,代入已知条件求值;求向量的夹角,按照夹角公式求解.[规范板书]解(1)因为|x|2=x2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=2,所以|x|=.因为|y|2=y2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2=5,所以|y|=.(2)因为x·y=(a+b)·(2a+b)=2a 2+3a·b+b2=3,所以cosθ==.[题后反思]这个例题是常见考察向量数量积运算的范例,解决它的思路、方法和过程,都遵循一定的套路.因此要有一定的训练,使学生熟练掌握解决此类问题的步骤.四、课堂练习1.有下列命题:①若a·b=0,则a=0,或b=0;②若a⊥b,则a·b=0;③若a≠0,且a·b=a·c,则b=c;④对任意向量a,都有a2=|a|2.其中正确的是②④.2.在▱ABCD中,已知||=4,||=3,∠DAB=60°,那么·=-16,·=6.提示∵与方向相反,∴·=-||·||=-16.∵=,∴·=·=6.3.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为120°,求b·(2b-3a)的值.解b·(2b-3a)=2b2-3a·b=2×12-3×2×1×cos120°=2-(-3)=5.五、课堂小结本节课主要学习了数量积的定义、性质,数量积的运算律.。
苏教版数学高一数学苏教版必修4教学案2.4向量的数量积
第1课时向量数量积的概念及运算律问题：一个物体在力F的作用下位移为s，则力F所做功W＝|F||s|cos θ，θ为F和位移s的夹角，试想功W是力F和位移s的乘积吗？提示：不是．1．数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.2．规定零向量与任一向量的数量积为0.如图，△ABC为等边三角形．问题1：向量AB与向量AC的夹角的大小是多少？提示：60°.问题2：向量AB与向量BC的夹角的大小是多少？提示：120°.两非零向量的夹角(1)定义：对于两非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b 的夹角．(2)范围：0≤θ≤180°.(3)当θ＝0°时，a与b同向．当θ＝180°时，a与b反向．当θ＝90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.已知向量a和b都是非零向量，θ为a与b的夹角．问题1：若θ＝90°，求a·b；若a·b＝0，求θ.提示：若θ＝90°，则a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0；若a·b＝0，则|a|·|b|cos θ＝0，∴cos θ＝0.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝90°.问题2：若θ＝0°，求a·b；若θ＝180°，求a·b.提示：若θ＝0°，则a·b＝|a|·|b|cos 0°＝|a|·|b|；若θ＝180°，则a·b＝|a|·|b|cos 180°＝－|a|·|b|.1．两个向量的数量积(1)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；(2)当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a.2．数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.1．两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．2．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在该向量方向上的投影值．这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数．3．数量积的运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是因为a·b，b·c都是实数，(a·b)·c与向量c方向相同或相反．a·(b·c)与向量a方向相同或相反，而a与c不一定共线，就是a与c共线，(a·b)·c与a·(b·c)也不一定相等．[例1] 已知正方形ABCD 的边长为2，分别求：(1)AB ·CD ；(2)AB ·AD ；(3)DA ·AC . [思路点拨] 求数量积时，利用定义要注意两个向量的夹角大小和实际图形联系起来． [精解详析] (1)∵AB ，CD 的夹角为π，∴AB ·CD ＝|AB ||CD |cos π＝2×2×(－1)＝－4. (2)∵AB ，AD 的夹角为π2，∴AB ·AD ＝|AB ||AD |cos π2＝2×2×0＝0.(或∵AB ，AD 的夹角为π2，∴AB ⊥AD ，故AB ·AD ＝0)(3)∵DA ，AC 的夹角为3π4，∴DA ·AC ＝|DA ||AC |cos3π4＝2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝－4. [一点通] 求平面向量的数量积时，常用到以下结论： (1)a 2＝|a |2；(2)(x a ＋y b )(m c ＋n d )＝xm a ·c ＋xn a ·d ＋ym b ·c ＋yn b ·d ，其中x ，y ，m ，n ∈R ，类似于多项式的乘法法则；(3)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；(4)(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c .1．若|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为135°，则a ·(－b )＝________. 解析：a ·(－b )＝－a ·b ＝－|a ||b |cos 135° ＝－4×6×cos 135°＝12 2. 答案：12 22．设正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.解析：a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2·2cos 120°＋2·2·cos 120°＋2·2cos 120°＝－3.答案：－33．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，求AB ·AC 的值． 解：∵2AM ＝AB ＋AC ，BC ＝AC －AB ， ∴(2AM )2＝(AB ＋AC )2，BC 2＝(AC －AB )2， ∴4AB ·AC ＝4AM 2－BC 2＝－64， ∴AB ·AC ＝－16，[例2] 已知向量OA ＝a ，OB ＝b ，∠AOB ＝60°，且|a |＝|b |＝4.求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |.[思路点拨] 根据已知条件将向量的模利用|a |＝a ·a 转化为数量积的运算求解． [精解详析] ∵a ·b ＝|a |·|b |cos ∠AOB ＝4×4×12＝8，∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋16＋16＝43， |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝16－16＋16＝4，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2 ＝9×16＋48＋16＝413.[一点通] 关系式a 2＝|a |2可使向量的长度与向量数量积互相转化，利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法，特别注意不要忘记开方．4．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.解析：依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)． 答案：3 25．已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，则a －b |＝________. 解析：由|a ＋b |＝4， 得|a ＋b |2＝42∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.①∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9， 代入①式得4＋2a ·b ＋9＝16， 即2a ·b ＝3.(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10， ∴|a －b |＝10. 答案：106．已知|a |＝2，|b |＝4，a ，b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．解：∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a －b |， ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝4－2×2×4×cos π3＋16＝2 3.[例3] 已知a ，b 是非零向量，且(a －2b )⊥a ，b ⊥(b －2a )，求a 与b 的夹角． [思路点拨] 根据向量的数量积公式变形为cos θ＝a ·b|a ||b |，从而可求θ.[精解详析] ∵(a －2b )⊥a ，b ⊥(b －2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a －2b )·a ＝0，b ·(b －2a )＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＝2a ·b ，|b |2＝2a ·b ，∴|a |＝|b |. 设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b |a |2＝12|a |2|a |2＝12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.[一点通] 向量的数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角，即cos θ＝a ·b |a ||b |.在根据已知三角函数值求角时，要注意角的范围的确定．此外，要注意若两非零向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ·b ≠|a ||b |；两非零向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ·b ≠－|a ||b |.7．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角为________．解析：由条件得a ·b －|a |2＝2，设a 与b 的夹角为α，则a ·b ＝2＋|a |2＝3＝|a ||b |cos α＝1×6×cos α.所以cos α＝12，所以α＝π3.答案：π38．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2. ∴cos 120°＝(a ＋2b )·(a －2b )|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2(a 2＋4b 2)2＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12.∴a 2b 2＝43.∴|a ||b |＝233. 答案：2339．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角． 解：设a ，b 的夹角为θ，∵单位向量e 1，e 2的夹角为60°， ∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12.∴a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝e 1·e 2＋e 22－2e 21－2e 1·e 2 ＝e 22－2e 21－e 1·e 2＝1－2－12＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋e 22＋2e 1·e 2 ＝1＋1＋1＝3， |b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2＝e 22－4e 1·e 2＋4e 21＝ ＝ 3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－323·3＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.1．向量数量积的性质及作用设a 和b 是非零向量，a 与b 的夹角为θ.(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |，当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，即当a 与b 共线时，|a ·b |＝|a ||b |，此性质可用来证明向量共线．(3)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(4)cos θ＝a ·b |a ||b |，此性质可求a 与b 的夹角．2．求向量夹角的一般步骤 (1)求两向量的模； (2)计算两向量的数量积； (3)计算夹角的余弦值；(4)结合夹角的范围[0，π]确定所求的夹角．课下能力提升(二十)一、填空题1．若|a |＝2，|b |＝12，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×12×12＝12.答案：122．已知△ABC 是等腰直角三角形，C ＝90°，AB ＝22，则AB ·BC 等于________． 解析：由题意知|BC |＝22×22＝2. ∴AB ·BC ＝|AB |·|BC |cos 135°＝22×2×⎝⎛⎭⎫－22＝－4. 答案：－43．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，则向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角为________．解析：设a ，b 的夹角为θ.因为|m |＝1，|n |＝1，m ，n 夹角为60°，所以m ·n ＝12.所以|a |＝(2m ＋n )2＝4m 2＋4m ·n ＋n 2＝7， |b |＝(2n －3m )2＝4n 2－12m ·n ＋9m 2＝7， a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝－72.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a ，b 的夹角为120°. 答案：120°4．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________． 解析：设a 与b 的夹角为θ， 由于(a ＋2b )·(a －b )＝－6， 且|a |＝1，|b |＝2， 所以a 2＋a ·b －2b 2＝－6， 即12＋1×2cos θ－2×22＝－6， 化简得cos θ＝12，又∵θ∈[0°，180°]， ∴θ＝60°. 答案：60°5．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC ＝2BD ，CA ＝3CE ，则AD ·BE ＝________.解析：如图所示，∵BC ＝2BD ， ∴D 是BC 的中点． ∴AD ＝12(AB ＋AC )．∵CA ＝3CE ，∴BE ＝BA ＋AE ＝－AB ＋23AC .∴AD ·BE ＝12(AB ＋AC )·⎝⎛⎭⎫－AB ＋23 AC＝12⎝⎛⎭⎫－AB 2－13 AB ·AC ＋23 AC 2 ＝12⎝⎛⎭⎫－1－13×1×1×cos 60°＋23×1 ＝－14.答案：－14二、解答题6．已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°；(4)a 与b 的夹角为150°时．分别求a 与b 的数量积．解：令a 与b 的夹角为θ.(1)因为a ∥b ，则当a 与b 同向时，θ＝0°， a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝20； 当a 与b 反向时，θ＝180°， a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当θ＝60°时，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝4×5×12＝10.7．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角为θ； (2)求|a ＋b |.解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1，∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12，∴|b |＝22.∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝121×22＝22，又θ∈[0，π]， ∴θ＝π4.故a 与b 的夹角为π4.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝102. 8．已知|a |＝5，|b |＝12，当且仅当m 为何值时，向量a ＋m b 与a －m b 互相垂直？ 解：若向量a ＋m b 与a －m b 互相垂直， 则有(a ＋m b )·(a －m b )＝0. ∴a 2－m 2b 2＝0.∵|a |＝5，|b |＝12，∴a 2＝25，b 2＝144.∴25－144m 2＝0.∴m ＝±512.∴当且仅当m ＝±512时，向量a ＋m b 与a －m b 互相垂直．第2课时 平面向量数量积的坐标表示已知两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．问题1：你认为a ·b ＝(x 1x 2，y 1y 2)对吗？为什么？提示：不对．因为两个向量的数量积a ·b 是一个实数，而不是一个向量． 问题2：如何用坐标表示a ·b 呢？ 提示：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.平面向量数量积的坐标表示若两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.由前面的学习，我们知道，|a |＝a ·a ；cos θ＝a ·b|a |·|b |(θ为非零向量a ，b 的夹角)；a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(其中a ，b 为非零向量)问题1：你能用坐标求|a |，cos θ的值吗？ 提示：能．问题2：你能用坐标表示两向量垂直的条件吗？ 提示：能．1．向量的模若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2. 2．向量的夹角设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.3．两向量垂直的条件两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0.反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.1．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，该公式可简记为：“对应相乘来求和．”2．两个向量垂直的等价条件是它们的相应坐标乘积的和为0.公式x1x2＋y1y2＝0是判定两个非零向量垂直的非常好用的条件．[例1](1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)，求a·b和a·(a－b)．(2)若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝4，求x的值．[思路点拨]直接利用平面向量数量积的坐标表示求解即可．[精解详析](1)a·b＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a－b)＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.(2)∵a·b＝(2，－3)·(x,2x)＝2x－6x＝4，∴x＝－1.[一点通]进行平面向量数量积的运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．a＝(1,3)，b＝(－2，－1)，则(3a＋2b)·(2a＋5b)的值为________．解析：∵a＝(1,3)，b＝(－2，－1)，∴3a ＋2b ＝(3,9)＋(－4，－2)＝(－1,7)， 2a ＋5b ＝(2,6)＋(－10，－5)＝(－8,1)，∴(3a ＋2b )·(2a ＋5b )＝(－1,7)·(－8,1)＝8＋7＝15. 答案：152．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1,2)，若x ·a ＝9，x ·b ＝－4，则向量x 的坐标为__________．解析：设x ＝(t ，s )，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ·a ＝9，x ·b ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧3t －s ＝9，t ＋2s ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，s ＝－3.∴x ＝(2，－3)．答案：(2，－3)3．已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b . 解：(1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.[例2] 已知A (16,12)、B (－5,15)，O 为坐标原点，求∠OAB 的大小．[思路点拨] 求∠OAB 的大小转化为求向量AO 与AB 的夹角的大小，所以需要求AO 与AB 二者的坐标，进而求得模的大小和数量积，代入夹角公式求解即可．[精解详析] 由已知得到：AO ＝－OA ＝－(16,12)＝(－16，－12)，AB ＝OB －OA ＝(－5,15)－(16,12)＝(－21,3)，∴|AO |＝(－16)2＋(－12)2＝20， |AB |＝(－21)2＋32＝152，AO ·AB ＝(－16，－12)·(－21,3)＝(－16)×(－21)＋(－12)×3＝300，cos ∠OAB ＝AO ·AB | AO ||AB |＝30020×152＝22，∵0°≤∠OAB ≤180°，∴∠OAB ＝45°.[一点通] 根据向量的坐标表示求a 与b 的夹角时，需要先求出a ·b 及|a ||b |，再由夹角的余弦值确定θ.其中，当a ·b >0时，a 与b 的夹角θ∈[0，π2)；当a ·b <0时，a 与b 的夹角θ∈(π2，π]；当a ·b ＝0，a 与b 的夹角为直角．4．已知a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角为________． 解析：a ·b ＝－15，|a |＝3，|b |＝52， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－153×52＝－22，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.答案：3π45．已知a ＝(－2,2)，b ＝(1，y )，若a 与b 的夹角α为钝角，求y 的取值范围． 解：由a ·b <0得－2×1＋2y <0，∴y <1，又设a ＝λb ，λ<0，则(－2,2)＝λ(1，y )＝(λ，λy )， ∴λ＝－2且λy ＝2，∴y ＝－1， ∴y ∈(－∞，－1)∪(－1,1).[例3] 已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度． [思路点拨] (1)求出AB ，AD 的坐标，计算得到二者数量积为0即可；(2)由(1)知四边形ABCD 为矩形，只需AB ＝DC ，利用相等向量坐标对应相等建立方程求出点C 的坐标，最后利用长度公式求对角线长度．[精解详析] (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB ＝(1,1)，AD ＝(－3,3)． 则AB ·AD ＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB ⊥AD ，即AB ⊥AD .(2)∵AB ⊥AD ，四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝DC . 设C 点的坐标为(x ，y )，则DC ＝(x ＋1，y －4)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴C 点的坐标为(0,5)．∵BD ＝(－4,2)，∴|BD |＝25， 即矩形ABCD 的对角线的长度为2 5. [一点通](1)向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法． (2)已知向量垂直求参数问题，即由向量的数量积为0建立关于参数的方程，求解即可．6．已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与－b 垂直，则λ的值为________． 解析：a ＋λb ＝(3,4)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，4－λ)， －b ＝(－2,1)．∵(a ＋λb )⊥(－b )，∴－2(3＋2λ)＋(4－λ)＝0. ∴λ＝－25.答案：－257．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)， 故|a |＝ 2. 答案： 28．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD . (1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD 的坐标； (3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.解：(1)证明：AB ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，AC ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)．∵AB ·AC ＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0， ∴AB ⊥AC .(2)设D 点的坐标为(x ，y )，则AD ＝(x －2，y －4)，BC ＝(5,5)，∵AD ⊥BC ，∴AD ·BC ＝5(x －2)＋5(y －4)＝0.① 又BD ＝(x ＋1，y ＋2)，而BD 与BC 共线，∴5(x ＋1)－5(y ＋2)＝0.② 联立①②，解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52，∴AD ＝⎝⎛⎭⎫72－2，52－4＝⎝⎛⎭⎫32，－32. (3)cos θ＝BA ·BC | BA ||BC |＝3×5＋6×532＋62·52＋52＝31010.1．两向量平行、垂直的坐标表示的区别(1)已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；向量a 与b 平行⇔存在λ∈R ，使b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．2．向量的坐标运算的应用利用向量的坐标运算有助于解决平面几何中的长度问题、角度大小以及直线的平行与垂直等位置关系的判断．其求解过程就是首先将平面图形放置到坐标系中，正确地写出有关点的坐标，然后利用向量的模长公式、夹角公式以及向量共线、垂直的条件进行求解，实现数与形的结合．课下能力提升(二十一)一、填空题1．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，则a ·(b ＋c )＝________. 解析：∵b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)， ∴b ＋c ＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．又∵a ＝(2,3)，∴a ·(b ＋c )＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6 ＝－6＋18＝12. 答案：122．已知a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则|3a －2b |＝________. 解析：a ＝(2,4)，b ＝(1,3)， 则3a －2b ＝(6,12)－(2,6)＝(4,6)． ∴|3a －2b |＝42＋62＝52＝213. 答案：2133．已知O 是坐标原点，A ，B 是坐标平面上的两点，且向量OA ＝(－1,2)，OB ＝(3，m )．若△AOB 是直角三角形，则m ＝________.解析：在Rt △AOB 中，AB ＝(4，m －2)， 若∠OAB 为直角时，OA ·AB ＝0，可得m ＝4； 若∠AOB 为直角时，OA ·OB ＝0，可得m ＝32； 若∠OBA 为直角时，无解． 答案：32或44．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于________． 解析：由a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)得2a ＋b ＝(3,3)， a －b ＝(0,3)，设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ， 则cos θ＝(2a ＋b )·(a －b )|2a ＋b |·|a －b |＝932·3＝22.∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.答案：π45．设a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，则实数t 的值为________． 解析：a ＋t b ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)， (a ＋t b )·b ＝(4＋2t )×2＋(t －3)×1＝5t ＋5. |a ＋t b |＝(4＋2t )2＋(t －3)2＝5(t ＋1)2＋20. 由(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos 45°， 得5t ＋5＝522·(t ＋1)2＋4，即t 2＋2t －3＝0.∴t ＝－3或t ＝1，经检验t ＝－3不合题意，舍去，∴t ＝1. 答案：1 二、解答题6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值： (1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝5.解：m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)， ∴(1)m ⊥n ⇒(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0⇒λ＝529；(2)m ∥n ⇒(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0⇒λ＝－12；(3)|m |＝5⇒(4＋λ)2＋(3－2λ)2＝5⇒5λ2－4λ＝0 ⇒λ＝0或45.7．已知m ＝(1,1)，向量n 与m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1，求向量n .解：设n ＝(x ，y )．由m ·n ＝－1得x ＋y ＝－1.(1) 因为向量n 与m 的夹角为3π4，有m ·n ＝|m ||n |cos3π4＝－1， 所以|n |＝1，即x 2＋y 2＝1.(2)由(1)(2)得x ＝－1，y ＝0，或x ＝0，y ＝－1， 所以n ＝(－1,0)，或n ＝(0，－1)．8．已知OP ＝(2,1)，OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．(1)求使CA ·CB 取得最小值时的OC ； (2)对于(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB . 解：(1)因为点C 是直线OP 上一点，所以向量OC 与OP 共线，设OC ＝t OP ，则OC ＝(2t ，t )．CA ＝OA －OC ＝(1－2t,7－t )， CB ＝OB －OC ＝(5－2t,1－t )． CA ·CB ＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.当t ＝2时，CA ·CB 取得最小值，此时OC ＝(4,2)．(2)当OC＝(4,2)时，CA＝(－3,5)，CB＝(1，－1)，所以|CA|＝34，|CB|＝2，CA·CB＝－8.所以cos∠ACB＝CA·CB| CA||CB|＝－41717.。
苏教版高中数学必修四新课程第课时向量的数量积导学案(2)
总 课 题向量的线性运算 总课时 第27课时 分 课 题 向量的数量积（3） 分课时 第3课时 教学目标 熟练掌握向量数量积的相关知识。
重点难点 参数的确定引入新课 1、b a b a ，则b 与b a 的夹角为 。
2、若 m a ,1 ，2 a ，则m 的取值范围为 。
3、 ,8,2 b a 16,8 b a ，a 与b 的夹角为 ，则a = 。
b = ，=•b a ， cos 。
4、1 b a ，323 b a ，则 b a 3 。
5、 2,1 a ， 3,2 b ，则b a k 与b k a垂直，则 k 。
6、4 a ，5 b ， b a b a 23 ，则a 与b 的夹角的余弦值是 。
例题剖析 例1、已知 4,6 a ， 2,0 b ，b m a c ，求满足下列条件的m 的范围： （1）10 c （2） c b a （3）b a 2∥c例2、已知 m A ,1， 1,3 B ，()4,3－=AC 。
（1）若2 m 时，求AC AB 2的模； （2）求BAC cos ；（3）△ABC 为锐角三角形，求m 的范围。
巩固练习 1、已知q p ,是夹角为 60的两个单位向量，q p b q p a 32,23 ， （1）求b a • （2）求证：b a b a2、已知直角坐标平面内， 3,1,1,4,8,1 OC OB OA ，求证：△ABC 为等腰直角三角形。
课堂小结熟练掌握向量数量积的相关知识。
课后训练班级：高一（ ）班 姓名__________一、基础题1、已知 m A ,2 ， 4,m B ，若BA 与Ox 轴的正方向的夹角的正切值为21 ，则 m2、2 a ，1 b ，a 与b 的夹角为 60，则a 与b a2 的夹角为 。
3、4 a ，1 b ，62 b a ，a 与b 的夹角为 ，则 cos 。
4、 4,2 a ， 1,1 b ，b a b ，则 。
5、b 是与 13,13a 的夹角为 45的单位向量，则b 。
苏教版高中数学必修四向量的概念及表示教案(4)
第 1 课时：§2.1 向量的概念及表示【三维目标】：一、知识与技能1.了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示；2.理解向量的概念，掌握向量的二要素（长度、方向）；注意向量的特点：可以平行移动（长度、方向确定，起点不确定）。
3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念4.通过教师指导发现知识，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、过程与方法1.通过实例，引导学生了解向量的实际背景，让学生认识到向量在刻画数学问题和物理问题中的作用，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；2.通过师生互动、交流与学习，培养学生探求新知识的学习品质。
3.通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.三、情感、态度与价值观1. 通过向量（包含大小、方向）概念的学习，感知数学美；2.向量的方向包含正反两个方面，正反关系的对照培养学生辩证唯物主义思维.【教学重点与难点】：重点：向量、相等向量、共线向量的概念难点：向量概念的理解及向量的几何表示.【学法与教学用具】：1. 学法：(1)自主性学习+探究式学习法；(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.2.教法：采用提出问题，引导学生通过观察，类比，归纳，抽象的方式形成概念，结合几何直观引导启发学生去理解概念，不断创设问题情景，激发学生探究。
3.教学用具：多媒体、实物投影仪、尺规.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题【问题1】：下列物理量中，哪些量分别与位移和距离这两个量类似：（1）物体在重力作用下发生位移，重力所做的功；（2）物体所受重力；（3）物体的质量为a千克；（4）1月1日的4级偏南风的风速。
苏教版高中数学必修四向量的数量积教案(7)
第十课时 平面向量的数量积及运算律(二)教学目标：掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律. 教学难点：平面向量数量积的应用. 教学过程： Ⅰ.复习回顾上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了5个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾.这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用.Ⅱ.讲授新课［例1］已知：｜a ｜＝3，｜b ｜＝6，当①a ∥b ，②a ⊥b ，③a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b .分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a ·b .解：①当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos0°＝3×6×1＝18；若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18； ②当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°， ∴a ·b ＝0；③当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos60°＝3×6×12 ＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a ∥b 时，有0°或180°两种可能.［例2］已知a 、b 都是非零向量，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角.分析：要求a 与b 的夹角，只要求出a ·b 与｜a ｜，｜b ｜即可. 解：由已知(a ＋3b )⊥(7a －5b )⇔(a ＋3b )·(7a －5b )＝0⇔7a 2＋16a ·b －15b 2＝0 ① 又(a －4b )⊥(7a －2b )⇔(a －4b )·(7a －2b )＝0⇔7a 2－30a ·b ＋8b 2＝0 ② ①－②得：46a ·b ＝23b 2即有a ·b ＝12 b 2＝12 ｜b ｜2，将它代入①可得：7｜a ｜2＋8｜b ｜2－15｜b ｜2＝0 即｜a ｜2＝｜b ｜2有｜a ｜＝｜b ｜ ∴若记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b ｜a ｜｜b ｜ ＝12 ｜b ｜2｜b ｜｜b ｜ ＝12又θ∈［0°，180°］，∴θ＝60° 所以a 与b 的夹角为60°.［例3］四边形ABCD 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CD →＝c ，DA →＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD 是矩形，这是因为： 一方面：∵a ＋b ＋c ＋d ＝0， ∴a ＋b ＝－(c ＋d )， ∴(a ＋b )2＝(c ＋d )2 即｜a ｜2＋2a ·b ＋｜b ｜2＝｜c ｜2＋2c ·d ＋｜d ｜2 由于a ·b ＝c ·d ，∴｜a ｜2＋｜b ｜2＝｜c ｜2＋｜d ｜2 ①同理有｜a ｜2＋｜d ｜2＝｜c ｜2＋｜b ｜2②由①②可得｜a ｜＝｜c ｜，且｜b ｜＝｜d ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形 另一方面，由a ·b ＝b ·c ，有b ·(a －c )＝0，而由平行四边形ABCD 可得a ＝－c ，代入上式得b ·(2a )＝0即a ·b ＝0，∴a ⊥b 也即AB ⊥B C. 综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB →，BC →，CD →，DA →是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a ＋b ＋c ＋d ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.［例4］已知｜a ｜＝2，｜b ｜＝5，a ·b ＝－3，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜. 解：∵｜a ＋b ｜2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝22＋2×(－3)＋52＝23 ∴｜a ＋b ｜＝23 ，∵(｜a －b ｜)2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝22－2×(－3)＋52＝35， ∴｜a －b ｜＝35 .［例5］已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ. 解：∵(｜a ＋b ｜)2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝｜a ｜2＋2｜a ｜｜b ｜cos θ＋｜b ｜2∴162＝82＋2×8×10cos θ＋102， ∴cos θ＝2340 ，∴θ≈55°［例6］在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a ·b ＜0，则△ABC 的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形D.不能确定分析：此题主要考查两向量夹角的概念，应避免由a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos B ＜0得cos B ＜0，进而得B 为钝角，从而错选C.解：由两向量夹角的概念， a 与b 的夹角应是180°－B ∵a ·b ＝｜a ｜｜b ｜cos(180°－B )＝－｜a ｜｜b ｜cos B ＜0 ∴cos B ＞0 又因为B ∈(0°，180°)所以B 为锐角. 又由于角B 不一定最大，故三角形形状无法判定. 所以应选D. ［例7］设e 1、e 2是夹角为45°的两个单位向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋e 2， 试求：｜a ＋b ｜的值.分析：此题主要考查学生对单位向量的正确认识. 解：∵a ＋b ＝(e 1＋2e 2)＋(2e 1＋e 2)＝3(e 1＋e 2)，∴｜a ＋b ｜＝｜3(e 1＋e 2)｜＝3｜(e 1＋e 2)｜＝3（e 1＋e 2）2 ＝3e 12＋2 e 1·e 2＋e 22 ＝3222121||45cos ||||2||e e e e ︒++ ＝322+.［例8］设｜m ｜＝2，｜n ｜＝1，向量m 与n 的夹角为π2 ，若a ＝4m －n ，b ＝m ＋2n ，c ＝2m －3n ，求a 2＋3(a ·b )－2(b ·c )＋1的值.解：∵｜m ｜＝2，｜n ｜＝1且m ⊥n ， ∴m 2＝｜m ｜2＝4， n 2＝｜n ｜＝1，m ·n ＝0. ∴a 2＋3(a ·b )－2(b ·c )＋1 ＝(4m －n )2＋3(4m －n )·(m ＋2n )－2(m ＋2n )·(2m －3n )＋1 ＝16m 2－8m ·n ＋n 2＋12m 2＋24m ·n －3n ·m －6n 2－4m 2－6m ·n －8n ·m ＋12n 2＋1 ＝24m 2＋7n 2＋1＝104. Ⅲ. 课时小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.Ⅳ. 课后作业课本P 83习题 4，7平面向量的数量积及运算律1．设a ，b ，c 为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为 （ ） （1）（a ·b ）·c －(c ·a )·b ＝0 （2）|a |－|b |＜|a －b | （3）(b ·c )·a －(c ·a )·b 不与c 垂直 （4）（3a +2b )(3a －2b )=9|a |2－4|b |2 A.（2）（4） B.（2）（3） C.（1）（2） D.（3）（4） 2．已知|a |＝3，|b |＝4，（a ＋b ）·（a ＋3b ）＝33，则a 与b 的夹角为 （ ） A.30° B.60° C.120° D.150°3．△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，且a ·b ＞0，则△ABC 为 （ ） A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形4．已知等边△ABC 的边长为1，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 等于 （ ） A.－32B. 32 C.0D. 945．已知|a |2＝1，|b |2＝2，（a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角为 （ ） A.60° B.90° C.45° D.30° 6．设e 1，e 2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e 1－e 2）（3e 1＋2e 2）＝ . 7．已知| i |＝| j |＝1，i ·j ＝0，且a ＋b ＝2i －8j ，a －b ＝8i ＋16j ，求a ·b ＝ . 8．已知|a |＝3，|b |＝5，如果a ∥b ，则a ·b ＝ .9．已知a ，b ，c 两两垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求r ＝a ＋b ＋c 的长及它与a ，b ，c的夹角的余弦.10．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k ，使向量m ＝k a ＋b 与n ＝a ＋k b 的夹角为60°，若存在，求k 值；若不存在，说明理由.11．非零向量（a ＋3b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，求向量a 与b 夹角的余弦值.平面向量的数量积及运算律答案1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6．927．－63 8．±159．已知a ，b ，c 两两垂直，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，求r ＝a ＋b ＋c 的长及它与a ，b ，c的夹角的余弦.解：|r |＝|a ＋b ＋c |＝（a ＋b ＋c ）2 ＝1＋4＋9＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝14 设a ＋b ＋c 与a 、b 、c 的夹角分别为θ1，θ2，θ3则cosθ1＝a·（a＋b＋c）|a|·|a＋b＋c|＝114同理cosθ2＝214＝147，cosθ3＝31414.10．设a，b为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m＝k a＋b与n＝a＋k b的夹角为60°，若存在，求k值；若不存在，说明理由.解：∵|a|＝|b|＝1，又a·b＝0m·n＝(k a＋b)·(a＋k b)＝2k，又|m|＝k2＋1 ，|n|＝k2＋1若cos60°＝m·n|m|·|n |＝2kk2＋1＝12∴k2＋4k＋1＝0∵k＝2±3 Z，∴不存在.11．19 38。
(新)高中数学2_4第1课时向量的数量积导学案苏教版必修4
2.4 向量的数量积第1课时 向量的数量积学习目标 重点难点1．能记住向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．2．能说出平面向量的数量积的含义及几何意义． 3．能记住平面向量的数量积与投影的关系． 4．会运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂直的几何问题.重点：平面向量数量积的含义及其几何意义． 难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问题.1．向量的数量积(1)向量的数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定零向量与任一向量的数量积为0.(2)两个向量的夹角：对于两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．其范围是0°≤θ≤180°，当θ＝0°时，a 与b 同向，a ·b ＝|a ||b |；当θ＝180°时，a 与b 反向，a ·b ＝－|a ||b |；当θ＝90°时，称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .预习交流1(1)已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |等于__________． (2)已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则a ·b ＝__________. (3)已知|a |＝5，|b |＝4，a ·b ＝－102，则a 与b 的夹角θ＝__________.提示：(1)|2a －b |＝2a －b 2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝8＝2 2. (2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4cos 120°＝－10.(3)由公式得cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1025×4＝－22，所以θ＝135°.2．向量数量积的性质及其运算律(1)向量数量积的性质：①a ·a 可简写为a 2，所以a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a ·a ；②a⊥b ⇔a ·b ＝0；③a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b|a ||b |；④|a ·b |≤|a ||b |.(2)向量数量积的运算律：已知向量a ，b ，c 和实数λ. ①a ·b ＝b ·a ；②(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )＝λa ·b ； ③(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 预习交流2对于向量a ，b ，c ，等式(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )一定成立吗？提示：不一定成立，因为若(a ·b )·c ≠0，其方向与c 相同或相反，而a ·(b ·c )≠0时其方向与a 相同或相反，而a 与c 方向不一定相同，故该等式不一定成立．3．向量数量积的几何意义(1)向量b 在a 方向上的投影：设a ，b 是两个非零向量，|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影，它是数量．当θ为锐角时，投影为正值．当θ为钝角时，投影为负值；当θ＝90°时，投影为0.(2)数量积a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 方向上的投影|b |cosθ的乘积．预习交流3下列说法正确的是__________． ①a ·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0；②a ∥b ⇒a 在b 上的投影为|a |；③a ⊥b ⇒a ·b ＝(a ·b )2；④a ·c ＝b ·c ⇒a ＝b . 提示：③一、平面向量的数量积及几何意义已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的投影．思路分析：已知向量a ，b 的模及其夹角，求a ·b 及a 在b 上的投影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解便可．解：(1)∵|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos 120°＝5×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－10. (2)由数量积的几何意义可知，a 在b 上的投影为|a |cos θ＝5×cos 120°＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－52.1．已知|a |＝3，|b |＝5，且其夹角θ＝45°，则向量a 在向量b 上的投影为__________．答案：322解析：向量a 在向量b 上的投影为|a |cos θ，应用公式时要分清|a |与|b |，不能套错公式，由已知|a |＝3，|b |＝5，cos θ＝cos 45°＝22，则向量a 在向量b 上的投影为|a |cosθ＝3×22＝322. 2．已知a ，b ，c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为__________． ①|a ·b |＝|a |·|b |⇔a ∥b ；②a ，b 反向⇔a ·b ＝－|a |·|b |； ③a ⊥b ⇔|a ＋b |＝|a －b |； ④|a |＝|b |⇔|a ·c |＝|b ·c |. 答案：3解析：①∵a ·b ＝|a ||b |cos θ，∴由|a ·b |＝|a ||b |及a ，b 为非零向量可得|cos θ|＝1，∴θ＝0或π.∴a ∥b ，且以上各步均可逆，故命题①是真命题．②若a ，b 反向，则a ，b 的夹角为π，∴a ·b ＝|a ||b |cos π＝－|a ||b |，且以上各步均可逆，故命题②是真命题．③当a ⊥b 时，将向量a ，b 的起点确定在同一点，以向量a ，b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a ＋b |＝|a －b |.反过来，若|a ＋b |＝|a －b |，则以a ，b 为邻边的四边形为矩形，故有a ⊥b ，因此命题③是真命题．④当|a |＝|b |，但a 与c 的夹角和b 与c 的夹角不等时，就有|a ·c |≠|b ·c |，反过来由|a ·c |＝|b ·c |也推不出|a |＝|b |，故命题④是假命题．1．数量积的符号同夹角的关系：(1)若a ·b ＞0⇔θ为锐角或零角；(2)若a ·b ＝0⇔θ＝π2或a 与b 至少有一个为0；(3)若a ·b ＜0⇔θ为钝角或平角． 2．平面向量数量积的求法：(1)若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式 a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b .二、平面向量数量积的运算已知|a |＝4，|b |＝5，且a 与b 夹角为60°，求值：(1)a 2－b 2；(2)(2a ＋3b )·(3a －2b )．思路分析：充分利用条件及数量积的定义性质即可求解．解：(1)a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝42－52＝－9；(2)(2a ＋3b )·(3a －2b )＝6a 2＋5a ·b －6b 2＝6|a |2＋5|a ||b |cos 60°－6|b |2＝6×42＋5×4×5×12－6×52＝－4.1．已知正△ABC 的边长为2，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，求a ·b ＋b ·c ＋c ·a .解：如图，a 与b ，b 与c ，a 与c 夹角均为120°，∴原式＝|a ||b |cos 120°＋|b ||c |cos 120°＋|a ||c |cos 120°＝2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×3＝－6.2．已知|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°，求(a ＋2b )·(a －3b )． 解：(a ＋2b )·(a －3b )＝a ·a －a ·b －6b ·b＝|a |2－a ·b －6|b |2＝|a |2－|a ||b |cos θ－6|b |2＝62－6×4×cos 60°－6×42＝－72.1．利用定义求向量的数量积时，要注意a 与b 的夹角大小．若|a ||b |是一个定值k ，则当这两个向量的夹角从0°变化到180°时，两向量的数量积从k 减到－k ，其图象是从0到π的半个周期内的余弦函数图象．2．求平面向量的数量积的一般步骤：(1)运用数量积的运算律展开、化简；(2)确定向量的模和夹角；(3)根据定义求出数量积．三、求向量的夹角问题设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角． 思路分析：n 和m 是两个单位向量且夹角已知，可求其数量积，又向量a ，b 均有向量n 和m 线性表示，待求向量a ，b 的夹角，求解时可先利用|a |＝|2m ＋n |，|b |＝|2n －3m |求模，再利用a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )求数量积，最后代入cos α＝a ·b|a ||b |求α.解：|m |＝1，|n |＝1，由夹角为60°，得m ·n ＝12，则有|a |＝|2m ＋n |＝2m ＋n 2＝4m 2＋4m ·n ＋n 2＝7，|b |＝|2n －3m |＝2n －3m 2＝4n 2－12n ·m ＋9m 2＝7.∴a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝－72.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0°，180°]，∴a ，b 夹角为120°.1．向量m 和n 满足|m |＝1，|n |＝2，且m ⊥(m －n )，求m 与n 的夹角． 解：∵|m |＝1，|n |＝ 2. 又m ⊥(m －n )，∴m ·(m －n )＝m 2－m ·n ＝0. 设m 与n 的夹角为θ，则cos θ＝m ·n |m ||n |＝m 2|m ||n |＝|m ||n |＝22.又θ∈[0°，180°]，∴θ＝45°.2．已知a ，b 是两个非零向量，同时满足|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．解：根据|a |＝|b |，有|a |2＝|b |2.又由|b |＝|a －b |，得|b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2，∴a ·b ＝12|a |2.∴|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2. ∴|a ＋b |＝3|a |.设a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |3|a |＝32.∴θ＝30°.1．求向量a ，b 夹角的流程图求|a |，|b |→计算a ·b →计算cos θ＝a ·b|a ||b |→结合θ∈[0，π]，求解θ2．由于|a |，|b |及a ·b 都是实数，因此在涉及有关|a |，|b |及a ·b 的相应等式中，可用方程的思想求解(或表示)未知量．1．若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝__________. 答案：－12 2解析：m ·n ＝|m ||n |cos 135°＝4×6×cos 135°＝－12 2.2．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影是23，则a ·b 为__________．答案：2解析：∵a 在b 方向的投影为|a |cos θ，∴a ·b ＝|b |·|a |cos θ＝3×23＝2.3．已知a 与b 是相反向量，且|a |＝2，则a ·b ＝__________.答案：－4解析：∵a 与b 互为相反向量， ∴|a |＝|b |且两向量夹角为180°. ∴a ·b ＝2×2×cos 180°＝－4.4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为__________．答案：π3解析：cos θ＝a ·b |a ||b |＝21×4＝12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝π3.5．已知|a |＝3，|b |＝6，当(1)a ∥b ，(2)a ⊥b ，(3)a 与b 的夹角是60°时，分别求a ·b . 解：(1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝3×6×1＝18； 若a 与b 反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝3×6×(－1)＝－18； (2)当a ⊥b 时，它们的夹角θ＝90°， ∴a ·b ＝0；(3)当a 与b 的夹角是60°时，有a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝3×6×12＝9.。
苏教版高中高二数学必修4《向量的数量积》教案及教学反思
苏教版高中高二数学必修4《向量的数量积》教案及教学反思一、教案设计1. 教学目标1.理解向量数量积的概念和特点；2.掌握向量数量积的计算方法；3.运用向量数量积解决几何问题。
2. 教学难点1.向量数量积的概念和特点的理解；2.向量数量积的计算方法的掌握；3.运用向量数量积解决几何问题的能力。
3. 教学重点1.向量数量积的概念和特点的理解；2.向量数量积的计算方法的掌握。
4. 教学方法1.探究法；2.演示法；3.练习法；4.归纳法。
5. 教学内容1.向量数量积的概念；2.向量数量积的计算方法；3.向量数量积的性质；4.向量数量积在几何问题中的应用。
6. 教学过程(1) 导入新课教师将一张图片放在黑板上，上面画有一只猎人和一只飞禽。
请学生思考以下问题：1.猎人用什么手段来抓飞禽？2.飞禽飞行时用什么力量来行进？3.猎人与飞禽之间有什么关系？经过学生讨论，引出向量的概念，并简要介绍向量的加减和数量积。
(2) 学习新课1.向量数量积的定义：$ \mathbf{a} \cdot\mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta $，其中 $\\mathbf{a}$ 和 $\\mathbf{b}$ 分别为向量$\\boldsymbol{OA}$ 和 $\\boldsymbol{OB}$，$\\theta$ 为 $\\boldsymbol{OA}$ 和$\\boldsymbol{OB}$ 的夹角。
2.向量数量积的性质：交换律、分配律、数量积为0的充要条件是 $\\boldsymbol{OA}$ 与$\\boldsymbol{OB}$ 垂直。
3.向量数量积的应用。
(3) 练习1.根据上述内容，让学生完成以下例题：例题：已知向量 $\\mathbf{a} = \\boldsymbol{OA}$，$\\mathbf{b} = \\boldsymbol{OB}$，$\\mathbf{c} =\\boldsymbol{OC}$，$\\boldsymbol{OA} = 2\\boldsymbol{i} + \\boldsymbol{j}$，$\\boldsymbol{OB} = \\boldsymbol{i} + 3\\boldsymbol{j}$，$\\boldsymbol{OC} =3\\boldsymbol{i} + 4\\boldsymbol{j}$，求$\\boldsymbol{OA} \\cdot \\boldsymbol{OB}$ 和$\\boldsymbol{AB}$ 的夹角。
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向量的内积摘 要：向量的数量积在高中阶段应用很广泛，在向量加减法的基础上，进一步学习向量的内积运算的坐标表示，具有针对性的对高中基础薄弱学生采用构建式生态课堂，利用分组式小黑板教学营造高效课堂环境，给学生好的学习空间，教师引导与学生自主学习、讨论、交流我主导完成上课教学目标，培养学生学习数学兴趣。
关键词：向量数量积 构建式生态课堂 小黑板 分组合作 课堂演示 淘金式思维 矛盾课堂 空白领域 简单化一、 案例背景描述本节教材是实施新课改后，应用建构式生态课堂针对高一基础薄弱学生上的一堂数学课，这样的课是在实验教学法的基础上，对“三案·六模块”教学模式的理论探索和数学实践，又受到现在教育改革的新课堂——“建构式生态课堂”深入影响，而展开的一堂高效生态数学课堂。
本堂课教室在高一（4）班，共63位同学，并对学生进行了分组，分组情况是六人一组，但是学生分配是根据上学期期末成绩，座位的排列情况还是和上个学期一样按照顺时针或者逆时针的方向排列。
教室中每组学生都有一块小黑板，小黑板由小组长负责保管，这样学生上课就不需要随意走动，在座位上就能利用小黑板进行操作，这一点是针对第一阶段中学生下位课堂秩序混论作出的进一步调整，以改善课堂秩序，更好的掌控课堂的秩序，教师能够进一步更好的掌控课堂。
二、情景描述：堂课的第一个阶段是物理中物体的做功的真实生活情景中引入课题，一个方面是针对基础薄弱的学生，这方面的物理问题已经学过，可以提升他们的学习兴趣，另一个方面，通过物理的矢量与标量可以很自然的引入向量的内积的概念,对第一、第二课时的教学总结，以及对只是点的初步认识，本节课从向量的方向，进一步对向量加以研究。
我主要摘取的教学片断是教学的第二个环节——交流与展示，具体的环节如下：开始和平常一样，开始上课......师：“同学们，在前面两节课我们学习了向量的内积的一些知识，现在请同学们回忆一下上节课学习的内容，谁能回顾一下上节课的知识？。
”生：“上节课学习了向量的内积的公式||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅，还有（1）交换律：a b b a ⋅=⋅（2）数乘结合律：()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅（3）分配律：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．师：“还有没有要补充的？（一段时间学生没有反应），此时我继续提问：“在学习向量加法坐标运算的时候是如何做的呢？”生：“先建立直角坐标系，然后再在两个坐标轴上分别取单位向量j i ,，然后再......” 师：“我补充一下同学回答的问题，然后再用有序实数对),(y x 表示a ，然后通过坐标运算推到出向量的坐标运算，这是我们上节课学习的内容，同学们，你们能不能根据前面学习的向量的线性运算，来推到向量内积的坐标之间的关系吗？请同学们展开思考，如果能请同学们自己思考，然后小组交流讨论，可以将你们小组最后的结论写到小黑板上。
”（学生思考一段时间，然后很自然的的展开了讨论，学生在上小黑板上写小组的结论时候有的小组很犹豫。
）大约经过了十分钟，大部分小组已经将自己的分析结果写到了小黑板上。
师：“现在大部分小组已经将他们的推到过程写到了小黑板上，还没有写好的同学需要加快速度了。
”师：“好现在请两边各组的同学将你们的小黑板展示出来，共其他的小组观摩，其他小组在看的时候看看那些小组和你们自己写的不一样，以及他们存在的问题你们能不能解决呢？”（现在学生开始七嘴八舌的交流与谈话，并且部分学生站起来看其他小组的题目。
） 五分钟后师：“中间组，你们在看两边组的题目过程中与你们的结果是否一样？”张纹纹（生）：“第二小组的学生没有先设1122(,),(,)a x y b x y == 。
”师：“很好，张纹纹观察的很仔细，还有吗？（学生没有回答，学生开始沉闷，基础薄弱的同学没有信心回答这样的问题）其他同学还有不同的看法吗？”师：“刚才在推到的过程中，有没有同学感觉到推到的吃力，或者那些地方不懂，不好推到，或者你们在什么地方不懂但是又说不来，似是非懂。
”王远（生）：“老师我有一个问题，他们都写了2121y y x x +=可是我不明白为什么可以直接得到这个式子？”师：刚刚这位同学提到了这个问题，哪位同学能为他解答啊？李金玲（生）：“因为1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i，这是上节课学习的内容，根据 ||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅。
1=⋅i i 时他们的夹角是0度，当0=⋅=⋅i j j i 时，他们的夹角是90度。
”师：“这位同学说的不错，很好，现在还有哪位同学什么地方不明白的，看看你们小黑板上的问题是不是得到了解答？”学生没有回答的，接下来我总结了刚刚学生推导的过程。
师：“刚刚同学们已经对向量的内积形式进行了推导，现在请同学们看看黑板上的题目。
（题目是在学生讨论的过程中抄到黑板上的）”例1 设(5,7),(6,4)a b =-=--，求a b ⋅．（例一老师讲解，并且将详细的解题过程写到黑板上，座位板书。
）例2已知1122(,),(,)a x y b x y ==，求（3a -b ）·（a -2b ）师：“请同学们思考例二，并将小组内的结论写到小黑板上。
”5分钟后，学生陆续将小黑板展示出来，然后同学开始互相观看，这次发现了很多的错误。
师：“请同学们观察个小组题目，看看他们的过程以及结果是不是和你的相同，如果不想同，他们的做法和你的做法有什么不同呢？”生：“第二小组的公式没有写对，第三小组计算（3a -b ）·（a -2b ）时，不对，写成了2232→→+b a 。
”师：“第三小组计算（3a -b ）·（a -2b ）时，展开后写成了2232→→+b a ，这也是很多同学经常会犯的错误，以后同学们多留意这个问题。
应该写成什么？”生：“22263+∙-∙-”师：请同学们再仔细观察一下第四组和第七组你们发现了什么？生：两组的方法不一样。
师：那你们再来看一下那种方法比较好？学生七嘴八舌，有的说先化简在求职，有的先求职再化简。
师：“好，你们觉得那种方法更好就可以用那种方法。
”......三、教学设想：1、案例概要本案例是一堂利用小黑板教学的课例。
我首先在设计上不同于过去的讲解式、问答式教学，而是充分利用学生参与学习与探讨的热情，通过小黑板,让学生充分发表意见，通过对问题的争论与探讨，得出正确的结论。
这有利于学生的学习与记忆，同时注重培养学生的淘金式思维。
在课的开始，设计一些问题，进行小组讨论，再针对相应问题展开。
考虑到学生基础薄弱的问题，有针对性地对向量的内积概念、向量内积的坐标表示，进行了讨论和解答，取得了较好的效果，但也存在一些问题待后解决。
2、教学建议采用小组讨论的形式，让学生通过小黑板自主探究与合作，以培养学生的对数学学习的兴趣，教师组织、引导的方式进行，并配以适当的练习加以巩固。
3、建议讨论的问题（1）如何在新的课程实验中利用教学用具（小黑板）进行教学？（2）在学生自主探究、合作学习的过程中，如何调动每个学生的积极性，使他们都能参与到探究活动中去？（3）如何在学生探究活动中，使每个人各有所获，都得到发展，减小差距？（4）让学生都能参入到学习当中。
四、案例分析：首先备课时将备课簿分成了四栏分别是：1、教学流程：主要写本节课的主要上课过程；2、教学内容：一节课讲解的内容，包括书上的内容，还可以补充一些知识；3、学生活动：备学生上课可能出现的活动，包括正常的活动，但更重要的是将学生可能出现的不同寻常的活动备好；4、教师活动：备教师上课时说话方式，问题的呈现方式以及动作等，还有一些要补充的内容也可以备到里面。
为了充分利用备课簿，同时充分的备好教学过程、教学内容、课堂学生、教师的表现，这样备课更细致、精确，但是对老师的要求很高，同时培养的教师创造性思维与抽象思维，也能更好的从整体上把握整堂课，提高教师的能力。
对于基础薄弱的学生，本节课的要求很低，主要是让学生会推导向量内积的坐标公式，然后对公式进行简单的应用。
突出学生的主体性与教师的主导性。
教学过程的环节抓是老师引导学生进行思考，教师活动少但是教师的引导要到位、清晰，讲解的内容要表象性。
在第二个环节中，学生能够充分的利用小黑板来展开讨论，并且效果也很好，学生能积极主动参与学习，小黑板在这个环节中起到了一个中介的作用，使得学生主动的合作与交流他们的信息，让想法扩散，氛围感染，课堂沉浸在思考中。
最后学生将小组内的交流成果写到小黑板上，学生互相展示他们的成果，以及书写的情况，这个过程可以发现学生在书写过程中存在的问题，这节课发现的有书写格式的错误，还有运算法则不会，运算结果不同等。
五、教后反思开始上课回顾学生已经建构过的知识发现学生对之前学过的向量的加减法不能够很好的回忆，学生的回答不全面，这也是基础薄弱学生学习的一个特点，回顾的过程教师在提问的时候还是应该以引导的方式来展开问题，注意跨度适中。
让学生能够反映出已经建构的知识框架。
同时，情境的引入及问题的回顾阶段是课的开始部分，学生没有能够很好的进入课堂的状态，他们的思想、精力依然游离于课堂周围，也可能是因为是下午第一节课，学生困意很浓厚，使得开始部分学生没有精神，不能很好的回答提出的问题。
因此教师在上课时要注重说话的方式与说话内容的，以与学生展开高效、生动、有趣的沟通。
在说向量的加减法的推到方法时，学生没有直接回答，教师却把所有的内容都表达给学生，这个过程可以让学生展开思考与交流，让学生进一步建构知识框架。
学生对公式的推到过程以及在小黑板上书写的时间感觉不能够很好的把握，以及在学生发现问题时，教师少了一句很重要的话：“请问还有其他的想法或者发现吗？”这样可以督促学生展开发现之旅，因为真正的发现不是找到新大陆，而是用新眼光看待事物，看待问题。
通过教学发现这个教学片段还存在一个很大的问题就是随着教学的推进课堂气氛虽然好了，但是整个课堂表现的还是有点乱。
这个问题主要出现在在学生小组展开工作的过程中学生不能有效的组织教学活动，组长分工不明确，因此学生会因为一些小的与课堂无关的事情展开攻击或者讨论。
这增加了教学课堂的风险性，如果同学关系处理不好，可能会出现问题课堂。
因为通过这节课的总结发现，要控制课堂需要老师更需要学生。
通过对这节课的思考，发现课堂给予学生学习的环境，不同的环境，学生的学习心态和上课情绪都会受到感染和影响，通过这个课堂，我感觉上课更应该关注的是学生的情绪的变动，包括个人情绪和整个课堂的情绪，因为情绪可以相互传染，同时教师在课堂中应及时根据学生情绪反馈的信息作出不同调整，以吸引学生的注意力，让学生更好的投入到课堂中。
同时课堂教学要给学生思考的空间，没有思考就没有学习，没有思考也就没有进步。