等腰直角三角形下的计算与证明

专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与证明类型之一 以等腰三角形为背景的计算与证明【经典母题】把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画示意图说明剪法．解：如答图，作∠ABC 的平分线，交AC 于点D .在BA 上截取BE ＝BD ，连结ED ，则沿虚线BD ，DE 剪两刀，分成的3个三角形都是等腰三角形．【思想方法】 等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等，或者与三角形内角和定理结合在一起求角度，或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边长的计算．【中考变形】1．[2017·湖南]已知△ABC 的三边长分别为4，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( B ) A ．3条 B.4条 C.5条 D.6条【解析】 如答图，当AC ＝CD ，AB ＝BG ，AF ＝CF ，AE ＝BE 时，都能得到符合题意的等腰三角形．2．[2016·杭州]已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和n (m ＜n )，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则 ( C )A ．m 2＋2mn ＋n 2＝0B.m 2－2mn ＋n 2＝0 C ．m 2＋2mn －n 2＝0 D.m 2－2mn －n 2＝0 【解析】 如答图，根据题意，得m 2＋m 2＝(n －m )2，2m 2＝n 2－2mn ＋m 2，m 2＋2mn －n 2＝0.3．[2017·绍兴]已知△ABC ，AB ＝AC ，D 为直线BC 上一点，E 为直线AC 上一点，AD ＝AE ，设∠BAD ＝α，∠CDE ＝β. 经典母题答图 中考变形1答图中考变形2答图(1)如图Z10－1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝__20__°，β＝__10__°.②求α，β之间的关系式；(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由．图Z10－1解：(1)①∵AB＝AC，∠B＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°－40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝60°＋20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝10°.②设∠B＝x，∠ADE＝y，∴∠C＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β＋x，在△ABD中，α＋x＝y＋β＝β＋x＋β，∴α＝2β；(2)Ⅰ.当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上时，如答图①，设∠B＝x，∠ADE＝y，∴∠C＝x，∠E＝y，在△ABD中，x＋α＝β－y，在△DEC中，x＋y＋β＝180°，∴α＝2β－180°.中考变形3答图①中考变形3答图②Ⅱ.当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上时，如答图②，同①的方法可得α＝180°－2β.【中考预测】[2016·菏泽]如图Z10－2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连结BE.(1)如图①，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，①求证：AD＝BE.②求∠AEB的度数；(2)如图②，若∠ACB＝∠DCE＝120°，CM为△DCE中DE边上的高线，BN为△ABE 中AE 边上的高线，求证：AE ＝23CM ＋233BN .图Z10－2解：(1)①证明：∵∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°，∴∠ACB ＝∠DCE ＝180°－2×50°＝80°.∵∠ACB ＝∠ACD ＋∠DCB ，∠DCE ＝∠DCB ＋∠BCE ，∴∠ACD ＝∠BCE .∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∴AC ＝BC ，DC ＝EC .在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，DC ＝EC ，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴AD ＝BE ；②∵△ACD ≌△BCE ，∴∠ADC ＝∠BEC .∵点A ，D ，E 在同一直线上，且∠CDE ＝50°，∴∠ADC ＝180°－∠CDE ＝130°，∴∠BEC ＝130°，∴∠AEB ＝∠BEC －∠CED ＝130°－50°＝80°；(2)证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，且∠ACB ＝∠DCE ＝120°，∴∠CDM ＝∠CEM ＝12×(180°－120°)＝30°.∵CM ⊥DE ，∴∠CMD ＝90°，DM ＝EM .在Rt △CMD 中，∠CDM ＝30°，∴DE＝2DM＝2×CMtan∠CDM＝23CM.∵∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE.∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°，∠BEC＝∠CEM＋∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°，∴∠BEN＝180°－120°＝60°.在Rt△BNE中，∠N＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝BNsin∠BEN＝233BN.∵AD＝BE，AE＝AD＋DE，∴AE＝DE＋BE＝23CM＋233BN.类型之二以直角三角形为背景的计算与证明【经典母题】已知：如图Z10－3，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，且BF ＝AC，DF＝DC.求证：BE⊥AC.证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，又∵BF＝AC，DF＝DC，∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，∴∠DBF＝∠DAC，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，即BE⊥AC.【思想方法】直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛，常与三角形全等知识结合使用．【中考变形】1．如图Z10－4，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连结AA′，若∠1＝20°，则∠B的度数是(B) A．70°图Z10－3B ．65°C ．60°D ．55°【解析】 ∵Rt △ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△A ′B ′C ，∴AC ＝A ′C ，∴△ACA ′是等腰直角三角形，∴∠CAA ′＝45°，∴∠A ′B ′C ＝∠1＋∠CAA ′＝20°＋45°＝65°，由旋转的性质，得∠B ＝∠A ′B ′C ＝65°.2．[2016·济宁]如图Z10－5，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，AD ，CE 交于点H ，请你添加一个适当条件____AE ＝CE (答案不唯一)__，使△AEH ≌△CEB .【解析】 该题为开放型题，根据垂直关系，可以找出△AEH与△CEB 的两对相等的对应角，只需要找它们的一对对应边相等就可以了．∵AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，∴∠BEC ＝∠AEC ＝∠ADB ＝90°，在Rt △AEH 中，∠EAH ＝90°－∠AHE ，在Rt △ABD 中，∠EAH ＝90°－∠B ，∴∠B ＝∠AHE .∴根据AAS 添加AH ＝CB 或AE ＝CE ，根据ASA 添加EH ＝EB ，可证△AEH ≌△CEB .故填空答案：AH ＝CB 或EH ＝EB 或AE ＝CE (答案不唯一)．3．如图Z10－6，在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，D 为AB 延长线上一点，点E 在BC 边上，且BE ＝BD ，连结AE ，DE ，DC .(1)求证：△ABE ≌△CBD ；(2)若∠CAE ＝30°，求∠BDC 的度数．解：(1)证明：∵∠ABC ＝90°，∴∠DBE ＝180°－∠ABC ＝180°－90°＝90°，∴∠ABE ＝∠CBD . 图Z10－5图Z10－6在△ABE 和△CBD 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD (SAS )；(2)∵AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ECA ＝45°.∵∠CAE ＝30°，∠BEA ＝∠ECA ＋∠CAE ，∴∠BEA ＝45°＋30°＝75°.由(1)知∠BDC ＝∠BEA ，∴∠BDC ＝75°.4．如图Z10－7，△ACB 与△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上的一点．图Z10－7(1)求证：△ACE ≌△BCD ；(2)若DE ＝13，BD ＝12，求线段AB 的长．解：(1)证明：∵△ACB 与△ECD 都是等腰直角三角形，∴CE ＝CD ，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ACE ＝∠BCD ＝90°－∠ACD ，在△ACE 和△BCD 中，⎩⎨⎧CE ＝CD ，∠ACE ＝∠BCD ，AC ＝BC .∴△ACE ≌△BCD (SAS )；(2)∵△ACE≌△BCD，∴AE＝BD＝12，∠EAC＝∠B＝45°，∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝45°＋45°＝90°，在Rt△EAD中，∠EAD＝90°，DE＝13，AE＝12，由勾股定理，得AD＝DE2－AE2＝5，∴AB＝BD＋AD＝12＋5＝17.5．[2017·重庆B卷]如图Z10－8，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连结BE.(1)如图①，若AB＝42，BE＝5，求AE的长；(2)如图②，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连结CD，CF.当AF＝DF时，求证：DC＝BC.图Z10－8【解析】(1)根据勾股定理先求得AC＝BC＝4，再利用勾股定理求CE的长即可；(2)过C点作CM⊥CF交BD于点M，构造△BCM≌△ACF得FC＝MC，即△FCM为等腰直角三角形，∴∠AFC＝∠DFC＝135°，再证△DCF≌△ACF 即可．解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°.∵AB＝42，∴BC＝AC＝42×22＝4.在Rt △BCE 中，CE ＝BE 2－BC 2＝52－42＝3，∴AE ＝AC －CE ＝4－3＝1；(2)证明：如答图，过C 点作CM ⊥CF 交BD 于点M .∵∠ACB ＝∠FCM ＝90°，∴∠ACF ＝∠BCM ，∵∠ACB ＝∠AFE ＝90°，∠BEC ＝∠AEF ，∴∠F AC ＝∠MBC ，在△ACF 和△BCM 中， ⎩⎨⎧∠ACF ＝∠BCM ，AC ＝BC ，∠F AC ＝∠MBC ，∴△ACF ≌△BCM (ASA )， ∴FC ＝MC ，∴∠MFC ＝∠FMC ＝45°，∴∠DFC ＝180°－45°＝135°，∠AFC ＝90°＋45°＝135°，∴∠DFC ＝∠AFC .在△ACF 和△DCF 中，⎩⎨⎧AF ＝DF ，∠AFC ＝∠DFC ，CF ＝CF ，∴△ACF ≌△DCF (ASA )，∴AC ＝DC .∵AC ＝BC ，∴DC ＝BC .【中考预测】如图Z10－9，AB ＝AC ，AE ＝AF ，∠BAC ＝∠EAF ＝90°，BE ，CF 交于M ，连结AM .(1)求证：BE ＝CF ；(2)求证：BE ⊥CF ；(3)求∠AMC 的度数．中考变形5答图图Z10－9 中考预测答图 解：(1)证明：∵∠BAC ＝∠EAF ＝90°，∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠F AE ＋∠CAE ，∴∠BAE ＝∠CAF ，在△CAF 和△BAE 中， ⎩⎨⎧AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAE ，AF ＝AE ，∴△CAF ≌△BAE (SAS )， ∴BE ＝CF ；(2)证明：设AC 与BE 交点为O ，如答图， ∵△CAF ≌△BAE ，∴∠ABE ＝∠ACF ，∵∠BAC ＝90°，∴∠ABO ＋∠BOA ＝90°，11 ∵∠BOA ＝∠COM ，∴∠COM ＋∠ACF ＝90°， ∴∠CMO ＝180°－90°＝90°，∴BE ⊥CF ；(3)如答图，过点A 分别作AG ⊥BE 于G ，AH ⊥CF 于H ， 则∠AGB ＝∠AHC ＝90°，在△AGB 和△AHC 中， ⎩⎨⎧∠ABG ＝∠ACH ，∠AGB ＝∠AHC ，AB ＝AC ，∴△AGB ≌△AHC (AAS )，∴AG ＝AH ，∵AG ⊥BE ，AH ⊥FC ，BE ⊥CF ，∴∠AGM ＝∠GMH ＝∠AHM ＝90°，∴四边形AHMG 是正方形，∴∠GMH ＝90°，∠AMG ＝12∠HMG ＝45°，∴∠AMC ＝90°＋45°＝135°.。