双曲线的性质离心率渐近线
双曲线的简单性质课件
焦点与准线的关系
焦点到准线的距离相等
双曲线的焦点到任意一条准线的距离相等，这是双曲线的基本性质之一。
焦点和准线共同确定双曲线的形状和大小
通过焦点和准线可以确定双曲线的形状和大小，因为它们决定了双曲线的离心率 和实轴、虚轴的长度。
03
双曲线的离心率
离心率的定义
• 离心率：双曲线的一个重要参数，定义为双曲线的焦点到其顶点的距离与双曲线的实轴长度的比值。
05
双曲线的对称性
双曲线的对称轴
总结词
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线。
详细描述
双曲线的对称轴是垂直平分双曲线两 焦点的直线，也称为主轴。它与双曲 线的渐近线垂直，并且将双曲线划分 为两个对称的部分。
双曲线的对称中心
总结词
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点。
详细描述
双曲线的对称中心是双曲线与对称轴的交点，也称为顶点。它位于双曲线的渐近线上， 并且是双曲线与x轴的交点。
详细描述
双曲线的标准方程是 (x/a)^2 (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是双曲线 的实半轴和虚半轴长度。当a=b时， 双曲线为等轴双曲线；当a≠b时，双 曲线为非等轴双曲线。
双曲线的几何性质
总结词
双曲线具有离心率、渐近线、焦点等几何性质。
详细描述
离心率是双曲线的一个重要几何性质，它表示双曲线与坐标轴之间的相对位置关系。渐近线是双曲线上的直线， 它们与坐标轴平行。焦点是双曲线上的点，它们到原点的距离相等。这些性质在解决与双曲线相关的问题中具有 重要的作用。
感谢聆听
离心率决定双曲线的形状
离心率的变化会导致双曲线形状的变化，从而影响双曲线的形状和开口方向。
04
双曲线的性质大总结
双曲线的性质大总结双曲线是数学中重要的曲线之一，具有许多独特的性质。
在本篇文档中，我们将对双曲线的性质进行详细总结并进行讨论。
什么是双曲线？双曲线是平面上的一类曲线，它由一对称轴和两个分支组成。
双曲线的定义基于其与两个焦点和到两个焦点的距离之差的关系。
具体地说，对于给定的两个焦点F1和F2以及一个常数c，双曲线是满足以下条件的点P的集合：|PF1 - PF2| = c其中，PF1表示点P到焦点F1的距离，PF2表示点P到焦点F2的距离。
双曲线的一般方程双曲线的一般方程可以表示为：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，a和b是与双曲线有关的常数。
这个方程描述了双曲线的形状和大小。
双曲线的性质双曲线具有许多有趣的性质，其中一些将在以下部分进行讨论。
对称轴双曲线有两个对称轴，分别与双曲线的两个分支相切。
对称轴是双曲线的中轴线，过双曲线的焦点。
对称轴是双曲线的一条特殊直线，它将双曲线分成两个对称的部分。
焦点和直线双曲线有两个焦点，每个焦点都位于对称轴上。
焦点是到焦点距离之差与常数c之比的点。
对于给定的双曲线，焦点的位置和数量是固定的。
双曲线的两个焦点和对称轴之间的距离是双曲线的主要特征之一。
另外，双曲线还具有一个特殊的直线，称为渐近线。
渐近线是通过双曲线的两个分支趋向于无限远的点所形成的。
对于双曲线来说，渐近线的斜率接近于对称轴的斜率。
离心率离心率是描述双曲线形状的一个重要参数。
离心率定义为焦点到对称轴距离与焦点到双曲线上点P的距离之比，可以表示为：e = c / a其中，e是离心率，c是到焦点的距离之差，a是双曲线的半长轴长度。
离心率描述了双曲线的形状，它可以是小于1的实数。
离心率越小，双曲线的形状越扁平；离心率越大，双曲线的形状越窄长。
直角双曲线直角双曲线是离心率为根号2的双曲线。
它是一种特殊类型的双曲线，具有与坐标轴相交于直角的性质。
直角双曲线在自然和物理科学中经常出现，具有许多重要的应用。
双曲线的性质离心率渐近线
与抛物线关系比较
离心率的特性
01
抛物线的离心率e=1，处于椭圆和双曲线之间。
焦点和准线
02
抛物线有一个焦点和一条准线，而双曲线有两个焦点和两条渐
近线。
对称性
03
抛物线和双曲线都关于其对称轴对称。
不同圆锥曲线间转换条件
焦点位置变化
随着焦点位置的变化，圆锥曲线的形状也会发生变化。当 焦点沿实轴移动时，双曲线可以转换为椭圆或抛物线。
渐近线与双曲线位置关系
渐近线与双曲线无限接近但永不相交 。
双曲线上的点无限接近于渐近线，但 永远不会落在渐近线上。
利用渐近线判断双曲线开口方向
01 当$a > b$时，双曲线的开口方向沿着$x$轴方向。 02 当$a < b$时，双曲线的开口方向沿着$y$轴方向。 03 可以通过观察渐近线的斜率来判断双曲线的开口
渐近线
双曲线的渐近线方程为 $y = pm frac{b}{a}x$。当x趋近于无穷大 时，双曲线趋近于这两条直线。
离心率与形状
离心率越大，双曲线开口越宽 ；离心率越小，双曲线开口越
窄。
02 离心率及其意义
离心率定义与计算公式
定义
离心率是双曲线的一个重要参数 ，用于描述双曲线与其焦点之间 的距离关系。
对于标准方程 y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 (a>0, b>0)，若a>b，则焦点在y轴上；若 a<b，则焦点在x轴上。
结合图像进行直观判断
观察双曲线图像，若图像关于y轴对称且开口方向沿x轴，则焦点在x轴上。
观察双曲线图像，若图像关于x轴对称且开口方向沿y轴，则焦点在y轴上。 以上判断方法可以帮助我们快速确定双曲线在坐标系中的位置，进而研究 其性质和特点。
第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质
2.3.2双曲线的简单几何性质学习目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.了解直线与双曲线相交的相关问题．知识点一双曲线的性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±ba x y＝±ab x离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2a，b，c间的关系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为 2.1．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的形状相同．(√)2．双曲线x2a2－y2b2＝1与y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线相同．(×)3．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率e＝ 2.(√)4．椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同．(×)5．双曲线有四个顶点，分别是双曲线与其实轴及虚轴的交点．(×)一、由双曲线方程研究其几何性质例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程． 解 将9y 2－4x 2＝－36化为标准方程为x 29－y 24＝1，即x 232－y 222＝1， 所以a ＝3，b ＝2，c ＝13.因此顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133，渐近线方程为y ＝±b a x ＝±23x .延伸探究求双曲线nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解 把方程nx 2－my 2＝mn (m >0，n >0)化为标准方程为x 2m －y 2n＝1(m >0，n >0)， 由此可知，实半轴长a ＝m ， 虚半轴长b ＝n ，c ＝m ＋n ，焦点坐标为(m ＋n ，0)，(－m ＋n ，0)，离心率e ＝ca＝m ＋nm＝1＋n m， 顶点坐标为(－m ，0)，(m ，0)， 所以渐近线方程为y ＝±n mx ，即y ＝±mn m x .反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键．(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值．(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质．跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程为 y 242－x 232＝1. 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3； c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .二、由双曲线的几何性质求标准方程 例2 根据以下条件，求双曲线的标准方程． (1)过点P (3，－5)，离心率为2；(2)与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且离心率e ＝52；(3)与双曲线x 29－y 216＝1有共同渐近线，且过点(－3,23)．解 (1)若双曲线的焦点在x 轴上， 设其方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，∵e ＝2，∴c 2a2＝2，即a 2＝b 2.①又双曲线过P (3，－5)，∴9a 2－5b 2＝1，②由①②得a 2＝b 2＝4，故双曲线方程为x 24－y 24＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上， 设其方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，同理有a 2＝b 2，③ 5a 2－9b 2＝1，④ 由③④得a 2＝b 2＝－4(舍去)． 综上，双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)由椭圆方程x 29＋y 24＝1，知半焦距为9－4＝5，∴焦点是F 1(－5，0)，F 2(5，0)． 因此双曲线的焦点为(－5，0)，(5，0)． 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由已知条件，有⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝52，a 2＋b 2＝c 2，c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(3)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴双曲线方程为x 29－y 216＝14，即双曲线的标准方程为x 294－y 24＝1.反思感悟 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x 轴上的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．②焦点在y 轴上的双曲线的标准方程可设为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．③与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(λ≠0，－b 2<λ<a 2)．④与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．⑤渐近线为y ＝kx 的双曲线方程可设为k 2x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ⑥渐近线为ax ±by ＝0的双曲线方程可设为a 2x 2－b 2y 2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，虚轴长为8，离心率为53；(2)渐近线方程为y ＝±12x 且过点A (2，－3)．解 (1)设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知2b ＝8，e ＝c a ＝53，从而b ＝4，c ＝53a ，代入c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝9， 故双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.(2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，若焦点在x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则b a ＝12.①∵A (2，－3)在双曲线上，∴4a 2－9b 2＝1.②由①②联立，无解．若焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a b ＝12.③∵A (2，－3)在双曲线上，∴9a 2－4b 2＝1.④由③④联立，解得a 2＝8，b 2＝32. ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.方法二 由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设双曲线方程为x 222－y 2＝λ(λ≠0)，∵A (2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，∴λ＝－8 ∴所求双曲线的标准方程为y 28－x 232＝1.三、双曲线的离心率例3 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为________．答案 53解析 不妨设P 为双曲线右支上一点， |PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ， 又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a 2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫b a 2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫432＋1＝53. 反思感悟 求双曲线离心率的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca求解，若已知a ，b ，可利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2求解．(2)方程法：若无法求出a ，b ，c 的具体值，但根据条件可确定a ，b ，c 之间的关系，可通过b 2＝c 2－a 2，将关系式转化为关于a ，c 的齐次方程，借助于e ＝ca ，转化为关于e 的n 次方程求解．跟踪训练3 (1)已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率是( ) A ．4＋2 3 B ．23－1 C.3＋12D.3＋1答案 D解析 因为MF 1的中点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，因为△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a， 所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1.(2)如果双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 如图，因为AO ＝AF ，F (c ,0)，所以x A ＝c2，因为A 在右支上且不在顶点处，所以c 2>a ，所以e ＝c a>2.1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．－14D.14答案 C解析 由双曲线方程mx 2＋y 2＝1，知m <0， 则双曲线方程可化为y 2－x 2－1m＝1， 则a 2＝1，a ＝1，又虚轴长是实轴长的2倍， ∴b ＝2，∴－1m ＝b 2＝4，∴m ＝－14，故选C.2．中心在原点，焦点在x 轴上，且一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线的方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4答案 A解析 令y ＝0，得x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝b 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.3．双曲线x 2－y 2m＝1的离心率大于2的充要条件是( ) A ．m >12B ．m ≥1C ．m >1D ．m >2 答案 C解析 由题意得，a 2＝1，b 2＝m >0，∴c 2＝m ＋1 ∴e ＝c a＝m ＋1>2，∴m >1.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为233，则其渐近线方程为________________．答案 y ＝±33x解析 由题意知，e ＝c a ＝233，得c 2a 2＝43.又c 2＝b 2＋a 2，所以b 2＋a 2a 2＝43. 故b 2a 2＝13. 所以b a ＝33，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±33x .5．若直线y ＝kx 与双曲线4x 2－y 2＝16相交，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－2,2)解析 易知k ≠±2，将y ＝kx 代入4x 2－y 2＝16得关于x 的一元二次方程(4－k 2)x 2－16＝0，由Δ>0可得－2<k <2.1．知识清单： (1)双曲线的几何性质． (2)双曲线的离心率的求法．2．方法归纳：定义法、函数与方程、数形结合． 3．常见误区：忽略双曲线中x ，y 的范围．1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.31414B.324C.32D.43答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，e ＝c a ＝32.2．双曲线x 2－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2 答案 B解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，顶点坐标为(1,0)，(－1,0)，故顶点到渐近线的距离为22. 3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x答案 C解析 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，故有a 2＋b 2a 2＝54，所以b 2a 2＝14，解得b a ＝12. 故双曲线C 的渐近线方程为y ＝±12x ，故选C. 4．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过点P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 共有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条答案 B解析 因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，则P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的有3条．5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 答案 A解析 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ，点P (2,1)在渐近线上，∴4a 2－1b 2＝0，即a 2＝4b 2， 又a 2＋b 2＝c 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，故选A.6．过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．答案 4 3解析 由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，所以|AB |＝4 3.7．已知双曲线方程为8kx 2－ky 2＝8(k ≠0)，则其渐近线方程为________________． 答案 y ＝±22x解析 由已知令8kx 2－ky 2＝0，得渐近线方程为y ＝±22x .8．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1作倾斜角为π6的弦AB ，则|AB |＝________.答案 3解析 易得双曲线的左焦点F 1(－2,0)，∴直线AB 的方程为y ＝33(x ＋2)， 与双曲线方程联立，得8x 2－4x －13＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)两顶点间的距离是6，两焦点所连线段被两顶点和中心四等分；(2)渐近线方程为2x ±3y ＝0，且两顶点间的距离是6.解 (1)由两顶点间的距离是6，得2a ＝6，即a ＝3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c ＝4a ＝12，即c ＝6，于是有b 2＝c 2－a 2＝62－32＝27.由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为x 29－y 227＝1或y 29－x 227＝1. (2)设双曲线方程为4x 2－9y 2＝λ(λ≠0)，即x 2λ4－y 2λ9＝1(λ≠0)，由题意得a ＝3. 当λ>0时，λ4＝9，λ＝36， 双曲线方程为x 29－y 24＝1； 当λ<0时，－λ9＝9，λ＝－81， 双曲线方程为y 29－x 2814＝1. 故所求双曲线的标准方程为x29－y24＝1或y29－x2814＝1.10．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求双曲线C的离心率．解如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝ba(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得4a2a2－y2b2＝1，化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2a，－3b)，代入直线方程得－3b＝ba(2a－c)，化简可得离心率e＝ca＝2＋ 3.11．如图，双曲线C：x29－y210＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于y轴对称，则|P2F1|－|P1F1|的值是()A．3 B．4 C．6 D．8答案 C解析 设F 2为右焦点，连接P 2F 2(图略)，由双曲线的对称性，知|P 1F 1|＝|P 2F 2|，所以|P 2F 1|－|P 1F 1|＝|P 2F 1|－|P 2F 2|＝2×3＝6.12.如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点，若M ，O ，N 将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A ．3B ．2 C. 3 D. 2答案 B解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)， 因为它们共焦点，所以设它们的半焦距均为c ，所以椭圆与双曲线的离心率分别为e 1＝c a ，e 2＝c m， 由点M ，O ，N 将椭圆长轴四等分可知m ＝a －m ，即2m ＝a ，所以e 2e 1＝c m c a＝a m＝2. 13．已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点，且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，点P ，Q 在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，∴△PQF 的周长为|PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.14．设双曲线x 2－y 22＝1上有两点A ，B ，AB 中点M (1,2)，则直线AB 的方程为________________． 答案 y ＝x ＋1解析 方法一 (用根与系数的关系解决)显然直线AB 的斜率存在．设直线AB 的方程为y －2＝k (x －1)，即y ＝kx ＋2－k ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (2－k )x －k 2＋4k －6＝0，当Δ>0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1＝x 1＋x 22＝k (2－k )2－k 2， 所以k ＝1，满足Δ>0，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.方法二 (用点差法解决)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则⎩⎨⎧ x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)． 因为x 1≠x 2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝2(x 1＋x 2)y 1＋y 2， 所以k AB ＝2×1×22×2＝1， 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1，代入x 2－y 22＝1满足Δ>0. 所以直线AB 的方程为y ＝x ＋1.15．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.43 B.53 C ．2 D.73答案 B解析 ∵P 在双曲线的右支上，∴由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∵|PF 1|＝4|PF 2|，∴4|PF 2|－|PF 2|＝2a ，即|PF 2|＝23a ， 根据点P 在双曲线的右支上，可得|PF 2|＝23a ≥c －a ， ∴53a ≥c ，又∵e >1，∴1<e ≤53， ∴此双曲线的离心率e 的最大值为53. 16．已知双曲线C 1：x 2－y 24＝1. (1)求与双曲线C 1有相同的焦点，且过点P (4，3)的双曲线C 2的标准方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 分别交双曲线C 1的两条渐近线于A ，B 两点，当OA →·OB →＝3时，求实数m的值．解 (1)双曲线C 1的焦点坐标为(5，0)，(－5，0)，设双曲线C 2的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝5，16a 2－3b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1， 所以双曲线C 2的标准方程为x 24－y 2＝1. (2)双曲线C 1的渐近线方程为y ＝2x ，y ＝－2x ，设A (x 1,2x 1)，B (x 2，－2x 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 24＝0，y ＝x ＋m ，消去y 化简得3x 2－2mx －m 2＝0， 由Δ＝(－2m )2－4×3×(－m 2)＝16m 2>0，得m ≠0.因为x 1x 2＝－m 23， OA →·OB →＝x 1x 2＋2x 1(－2x 2)＝－3x 1x 2＝m 2， 所以m 2＝3，即m ＝±3.。
双曲线的简单几何性质(经典)
双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。
5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。
双曲线的性质
2.61双曲线的性质2.61双曲线的性质【学习目标】1.理解双曲线的对称性、范围、定点、离心率、渐近线等简单性质.2.能利用双曲线的简单性质求双曲线的方程.3.能用双曲线的简单性质分析解决一些简单的问题. 【要点梳理】要点一、双曲线的简单几何性质 双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质范围22221x x a a x a x a即或≥≥∴≥≤-双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a 和x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a 或x≥a.对称性对于双曲线标准方程22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），把x 换成-x ，或把y 换成-y ，或把x 、y 同时换成-x 、-y ，方程都不变，所以双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
顶点①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A 1（-a ，0），A 2（a ，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
③两个顶点间的线段A 1A 2叫作双曲线的实轴；设B 1（0，-b ），B 2（0，b ）为y 轴上的两个点，则线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。
实轴和虚轴的长度分别为|A 1A 2|=2a ，|B 1B 2|=2b 。
a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长。
①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。
②双曲线的焦点总在实轴上。
③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。
离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e 表示，记作22c c e a a==。
②因为c ＞a ＞0，所以双曲线的离心率1ce a =>。
双曲线渐近线方程与离心率的关系
双曲线渐近线方程与离心率的关系
双曲线渐近线是几何中一类特殊的曲线，它以一个实数Ω为离心率，满足
方程x²/a²-y²/b²=1。
其中a为渐近线长轴，b为短轴，以a和b为直径，以Ω来描述曲线的弯曲程度，当Ω>1时，曲线内角钝角交替，被称为双曲线；当Ω=1时，曲线成圆，为椭圆时，称为椭圆渐近线；而当Ω<1时，曲线内角锐角交替，叫做反椭圆渐近线。
关于双曲线渐近线与离心率Ω之间的关系，当离心率Ω大于1时，椭圆渐近线就变为双曲线。
另外，椭圆的长轴和短轴的长度和离心率Ω有关。
Ω越大，椭圆的长轴越长，短轴越短，双曲线的弧度越大。
反过来，当Ω越小时，长轴越短，短轴越长，双曲线的弧度越小。
双曲线的渐近线与离心率的关系主要有三点：一是随着离心率Ω的增大，双曲线的形状由椭圆向双曲线化变；二是随着离心率Ω的增大，双曲线长轴和短轴的长度有相应的变化；三是随着离心率Ω的增大，双曲线的弧度也会发生变化。
从上面的情况可以看出，长轴、短轴长度以及曲线弧度均和离心率Ω有关联，在双曲线渐近线的形状变化规律上也得出了一定的结果。
此外，它还在很多规律数学中扮演重要的角色，其形状在实际中也有广泛的应用。
双曲线的渐近线和离心率问题
3．求一条渐近线方程是 3x＋4y＝0 且过点( 15，3)的双曲线
的标准方程，并求此双曲线的离心率．
数学 选修 2-1(配人教版)
探究2：离心率问题
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求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法： e＝ac＝ 1＋ba22求解． (2)方程法：根据条件确定 a，b，c 之间的关系，利用方 程思想
∠PF2Q＝90°，求双曲线的离心率．
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的四个顶点都在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，
且 2|AB|＝3|BC|，则 E 的离心率是________.
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2．已知 F1，F2 是双曲线xa22－by22＝1(a＞0，b＞0)的两个焦
点，PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴的双曲线的弦，如果
双
曲
线x 2 a2
y2 b2
1共
渐
近
线
的
双
曲
线方Biblioteka 程可以设为x 2 a2
y2 b2
(
0)
双曲线的渐近线 课前·自主学习
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(1)已知 a>b>0，椭圆 C1 的方程为xa22＋by22＝1，双曲线 C2 的方 程为xa22－by22＝1，C1 与 C2 的离心率之积为 23，则 C2 的渐近线
与渐近线有关的结论：
1.把 双 曲 线 标 准 方 程 的 “1” 改 为 “0”,即 求 出 渐 近 线
2.渐 近 线 为y
双曲线公式大全
双曲线公式大全双曲线是数学中的一种重要曲线，它在几何、代数和微积分中都有广泛的应用。
在本文中，我们将为您详细介绍双曲线的各种公式，帮助您更好地理解和运用双曲线。
1. 双曲线的定义。
双曲线是平面上的一种曲线，其定义可以由以下方程给出：\[ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 \]或者。
\[ \frac{y^2}{b^2} \frac{x^2}{a^2} = 1 \]其中a和b为正实数。
2. 双曲函数的定义。
双曲函数是双曲线的相关函数，其中最常见的有双曲正弦函数sinh(x)和双曲余弦函数cosh(x)。
它们的定义分别为：\[ \sinh(x) = \frac{e^x e^{-x}}{2} \]\[ \cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \]3. 双曲线的性质。
双曲线具有许多独特的性质，其中一些重要的性质包括：双曲线的渐近线。
双曲线的焦点和直焦距。
双曲线的离心率。
双曲线还可以通过参数方程来描述，其中一般的参数方程为：\[ x = a\cosh(t) \]\[ y = b\sinh(t) \]其中t为参数。
5. 双曲线的极坐标方程。
双曲线还可以用极坐标方程来表示，一般的极坐标方程为：\[ r = \frac{b}{\sqrt{1 e^2\sin^2(\theta)}} \]其中r为极径，θ为极角，e为离心率。
6. 双曲线的焦点坐标。
对于双曲线的标准方程，其焦点坐标可以通过以下公式计算得出：\[ F_1 = (-c, 0) \]\[ F_2 = (c, 0) \]其中c为焦距的一半。
7. 双曲线的曲率。
双曲线上任一点处的曲率可以通过以下公式计算得出：\[ k = \frac{|ab|}{(a^2\sinh^2(t) + b^2\cosh^2(t))^{3/2}} \]8. 双曲线的面积。
双曲线所围成的面积可以通过以下公式计算得出：\[ A = ab \]双曲线的渐近线可以通过以下公式计算得出：\[ y = \pm \frac{b}{a}x \]10. 双曲线的对称轴。
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是一个非常重要且有趣的数学概念，它在许多科学领域中都具有广泛的应用。
双曲线的离心率和渐近线是研究双曲线性质时的两个重要方面。
本文将深入探讨双曲线的离心率和渐近线，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
在概率统计学、物理学和工程学等领域，双曲线经常用于描述一些特定的曲线形状。
它具有许多独特的性质，如非对称、无中心和无界等，这使得双曲线在一些特定情况下成为研究对象。
首先，我们将介绍双曲线的离心率。
离心率是用来衡量双曲线扁平程度的一个参数，它决定了双曲线的形状。
通过研究离心率，我们可以更好地理解双曲线的特性，并在实际问题中应用它们。
其次，我们将深入探讨双曲线的渐近线。
渐近线是指曲线在无穷远处趋近于某一直线的情况。
对于双曲线而言，它具有两条渐近线，分别与曲线的两个分支在无穷远处平行。
渐近线的性质可以帮助我们更好地理解双曲线的走向和特征。
本文将通过详细的推导和实例分析，阐明双曲线的离心率和渐近线的定义、性质和应用。
我们将探讨它们在物理学、工程学和数学模型中的应用案例，以及如何利用这些概念来解决实际问题。
在结论部分，我们将总结双曲线的离心率和渐近线的重要性，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。
通过深入理解和应用双曲线的离心率和渐近线，我们可以更好地解决各种问题，并在科学研究和工程实践中取得更好的成果。
在接下来的章节中，我们将逐步展开双曲线的离心率和渐近线的详细内容，希望读者能够跟随我们的步伐，深入了解这些有趣且具有应用价值的数学概念。
1.2文章结构文章结构是指文章的章节安排和组织方式。
对于这篇文章，可以按照以下方式组织文章结构：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 双曲线的离心率2.2 双曲线的渐近线3. 结论3.1 总结双曲线的离心率和渐近线3.2 对双曲线性质的应用和意义在引言部分，可以首先对双曲线的概念进行简要说明，包括其定义和特点。
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论一、概述在数学中，双曲线是一种经常出现的曲线形式，它是一种重要的几何概念。
而双曲线的渐近线方程则是另外一种与双曲线密切相关的数学概念。
本文将从双曲线方程与其渐近线方程之间的关系入手，深入探讨这两者之间的通联和作用。
二、双曲线方程的基本形式双曲线的一般方程形式为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为双曲线在$x$轴和$y$轴上的定点。
通过对双曲线方程进行适当的平移和旋转操作，可以得到不同形式的双曲线方程，如横坐标和纵坐标对调的双曲线方程等。
三、双曲线的渐近线方程双曲线的渐近线方程可以通过双曲线方程中的参数$a$和$b$来确定。
对于双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$，其渐近线方程可以表示为$x=\pm\frac{a}{b}y$。
这意味着，双曲线方程中的参数$a$和$b$可以直接决定双曲线的渐近线方程。
四、双曲线方程和渐近线方程的关系双曲线方程和其渐近线方程之间存在着密切的关系。
从双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$的形式中可以直接得到其渐近线方程$x=\pm\frac{a}{b}y$。
这说明双曲线方程和其渐近线方程是密切相关的，可以互相推导和确定。
另通过双曲线方程和其渐近线方程之间的关系，可以进一步推导出双曲线曲线的性质和特点。
根据双曲线方程和其渐近线方程的关系，可以得到双曲线在无穷远点附近的性态和渐进行为。
这进一步丰富了我们对双曲线的理解和认识。
五、个人观点对于双曲线方程与其渐近线方程之间的关系，我个人认为这种关系不仅能够帮助我们更深入地理解双曲线本身的特性，还可以为我们在数学建模和科学研究中提供重要的数学工具和方法。
通过深入研究和理解双曲线方程和渐近线方程之间的关系，我们可以更好地应用双曲线来描述现实世界中复杂的变化和规律。
双曲线的渐近线与渐近点的解析
双曲线的渐近线与渐近点的解析在数学中，双曲线是一种经典的曲线类型，它具有许多有趣的性质和特征。
其中，双曲线的渐近线和渐近点是研究双曲线的重要内容。
本文将从解析的角度对双曲线的渐近线和渐近点进行探讨。
一、渐近线的概念与性质渐近线是指曲线在无穷远处趋于的直线。
对于双曲线而言，它有两条互相斜交的渐近线，分别称为斜渐近线。
双曲线还有一条水平渐近线，该线与双曲线的两个支极限位置相对应。
下面我们将分别讨论这三条渐近线的解析表示以及其性质。
（一）斜渐近线的解析表示对于标准形式的双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，当$x$趋于正无穷时，该方程可近似为$\frac{x^2}{a^2}=1$。
通过进一步变形，可以得到$y=\pm\frac{b}{a}x$，其中斜率$\frac{b}{a}$为斜渐近线的斜率。
类似地，当$y$趋于正无穷时，方程也可得到两条斜渐近线的解析表示为$y=\pm\frac{a}{b}x$，斜率为$\frac{a}{b}$。
（二）水平渐近线的解析表示双曲线的水平渐近线处于双曲线的两个支之间，与双曲线的两个支的极限位置对应。
对于标准形式的双曲线，水平渐近线的解析表示为$y=\pm\frac{b}{a}$。
这两条水平渐近线与双曲线的支的极限位置相切。
（三）渐近线的性质双曲线的渐近线有以下性质：1. 斜渐近线与双曲线的支无交点；2. 水平渐近线与双曲线的两支有且只有一个交点；3. 渐近线是双曲线的一种特殊直线，其方程与双曲线方程不相邻，且斜率或与$x$轴的交点分别处于双曲线的两支的极限位置。
二、渐近点的概念与解析表示渐近点是双曲线上的特殊点，它与双曲线的渐近线有着密切的联系。
下面我们将对渐近点的概念及其解析表示进行讨论。
（一）渐近点的概念渐近点是指双曲线上与斜渐近线或水平渐近线的交点。
对于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，斜渐近线与双曲线的支相交于两个渐近点$\left(\pm a, \pm b\right)$，水平渐近线与双曲线的两支相交于两个渐近点$\left(\pm a, 0\right)$。
初中数学知识归纳双曲线的性质与计算
初中数学知识归纳双曲线的性质与计算双曲线（hyperbola）是数学中的一个重要的曲线，它有着独特的性质和计算方法。
在初中数学中，学习双曲线的性质和计算可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
本文将对初中数学中的双曲线知识进行归纳总结，包括双曲线的定义与图像特征、焦点与离心率、方程与参数方程的表示、计算过程与方法等内容。
一、双曲线的定义与图像特征双曲线是平面上一类特殊曲线，它由与两焦点之间的距离差恒定的一组点构成。
与椭圆曲线不同的是，双曲线的离心率大于1。
双曲线图像的特点是两支曲线分离且向无穷远延伸，并且对称于两个轴。
二、焦点与离心率焦点是双曲线的两个特殊点，对于双曲线而言，两焦点之间的距离差等于2a，其中a称为双曲线的半焦距。
双曲线的离心率e定义为焦距和半焦距之比，即e=c/a，其中c为焦点距离。
离心率大于1，表示双曲线的形状更加扁平。
三、双曲线的方程与参数方程表示双曲线可以用不同的方程和参数方程进行表示。
一般而言，双曲线的方程具有如下形式：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1。
其中a和b为正实数，代表双曲线的半焦距。
四、双曲线的计算过程与方法在解决与双曲线相关的数学问题时，需要掌握一些计算方法。
比如，根据双曲线的方程可以计算焦点坐标、离心率、曲线上的点坐标等。
另外，双曲线还有一些重要的性质，比如对称性、渐近线、极限性质等，这些性质可以帮助我们更好地理解和应用双曲线知识。
总结：初中数学中的双曲线知识是数学学习中的重要内容之一。
通过学习双曲线的性质与计算方法，我们可以更好地掌握数学知识，提高解题能力。
同时，了解双曲线的定义与图像特征、焦点与离心率、方程与参数方程的表示以及计算过程与方法，可以帮助我们更好地理解双曲线的概念和应用。
希望本文对初中数学学习者在双曲线知识归纳方面有所帮助。
以上是我对初中数学知识归纳双曲线的性质与计算的文章回答，希望对您有所帮助。
双曲线焦点在y轴的渐近线方程
双曲线焦点在y轴的渐近线方程双曲线是一种经典的二次曲线，它与椭圆和抛物线一样，具有很多有趣的性质和应用。
双曲线焦点在y轴的渐近线方程是双曲线的一个特殊情况，它在数学中有广泛的应用，可以描述很多自然现象、物理现象和工程问题。
下面，我们将详细介绍双曲线焦点在y轴的渐近线方程的定义、性质、应用和解法等方面。
一、定义首先，让我们来了解一下双曲线焦点在y轴的渐近线方程的定义。
双曲线是由两个相交的直线和它们的交点为中心所画出的曲线。
如果焦点在y轴上，我们可以得到以下双曲线方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ （1）其中，a和b都是正实数，且满足$a^2+b^2=c^2$，其中c为双曲线的离心率。
双曲线方程中，a和b分别代表x 轴和y轴的半轴长度，c代表双曲线的焦距。
双曲线方程中，当x趋于正无穷或负无穷时，y趋于0，这就是双曲线的y轴渐近线。
双曲线焦点在y轴的渐近线方程可以用以下公式表示：$y=\pm\frac{b}{a}x$ （2）二、性质方程的一些基本性质。
1. 双曲线的y轴渐近线与y轴的夹角为$±\theta$，其中$tan\theta=b/a$。
2. 双曲线的y轴渐近线在双曲线对称轴的对称点为双曲线的中心。
3. 双曲线的y轴渐近线可以帮助我们在求双曲线的渐近线时进行近似计算。
三、应用双曲线焦点在y轴的渐近线方程在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：1. 光学中，双曲线是一个常见的光学曲线。
通过双曲线焦点在y轴的渐近线方程，我们可以推导出反射镜和透镜等光学器具的成像原理。
2. 电学中，双曲线也是一个重要的电学曲线。
通过双曲线焦点在y轴的渐近线方程，我们可以推导出高频电路和天线等电学应用的理论基础。
3. 经济学中，双曲线也可以用来描述市场的供求关系和价格变化趋势。
通过双曲线焦点在y轴的渐近线方程，我们可以推导出市场均衡的价格和数量等经济学理论。
双曲线的基本知识点离心率
双曲线的基本知识点离心率
双曲线的基本知识点包括：
1. 定义：双曲线是与两个固定的点（称为焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
这个固定的距离差是a的两倍，其中a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
2. 形状：双曲线有两个分支，这两个分支关于x轴、y轴或原点对称。
3. 离心率：双曲线的离心率e是定义为圆锥曲线上的一点到平面内一定点的距离与到不过此定点的一定直线的距离之比，其中此定点称为焦点而此定直线称为准线。
对于双曲线，离心率e大于1。
4. 渐近线：双曲线有两条渐近线，这两条渐近线关于原点对称。
离心率和渐近线都表示双曲线张口的大小。
5. 双曲线与椭圆的关系：在椭圆中，a=b+c；而在双曲线中，c=a+b。
双曲线离心率与渐近线的关系
双曲线离心率与渐近线的关系双曲线离心率与渐近线的关系1、什么是双曲线离心率：双曲线离心率（eccentricity）是指一个椭圆及其形状的程度。
它是描述一个椭圆或其它椭圆曲线的形状的一种特殊比例。
其值的取值范围被约束在 0～1 之间，离心率e 就是在这一范围内，椭圆曲线的圆心和焦点之间的距离与大圆的半径的比。
离心率的取值越大，椭圆的形状就越扁。
2、什么是渐近线:渐远线（Asymptote）是指椭圆或其它椭圆曲线的某一总体方向的线段。
它是定义在曲线上但在某一程序趋近无穷大，任何直线与这条曲线趋近时，直线与曲线的距离都会变为无穷小，最终消失的椭圆上的一种总体方向的直线。
3、双曲线离心率与渐近线的关系:（1）双曲线离心率与渐近线的关系有助于理解双曲线的形状。
由于双曲线上有两个焦点，所以它有两个渐近线，都以椭圆的圆心为中心，斜率自然也不同。
（2）由于双曲线的离心率为0到1之间的一个数值，当离心率越大时，椭圆轮廓更扁，渐近线也会越远离椭圆的形心。
当离心率越接近1时，椭圆轮廓变得更扁，而两条渐近线也越来越远离椭圆的圆心。
（3）此外，双曲线的离心率也与渐近线之间的距离存在关系。
双曲线的离心率越大，两个焦点分别处于曲线的最远点，椭圆轮廓变得更扁，而两条渐近线之间的距离也越远。
反之，当离心率越接近0时，椭圆的形状越圆，渐近线之间的距离也越短。
4、结论:总的来说，双曲线离心率与渐近线之间存在着诸多关系，离心率越大，渐近线之间的距离就越远；反之，离心率越小，渐近线之间的距离就越短。
它们的关系彼此之间密不可分，它们对于双曲线的性质和形状分析具有重要意义。
等轴双曲线的离心率是多少
等轴双曲线的离心率是多少等轴双曲线的离心率为√2。
离心率统一定义是在圆锥曲线中，动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。
椭圆扁平程度的一种量度，离心率定义为椭圆两焦点间的距离和长轴长度的比值。
离心率=（ra-rp）/（ra+rp），ra指远点距离，rp指近点距离。
等轴双曲线的性质等轴双曲线的主要性质有：1、半实轴长=半虚轴长，一般而言是a=b；2、等轴双曲线是渐近线；互相垂直，半实轴长与半虚轴长相等；3、等轴双曲线离心率e=√2；4、等轴双曲线渐近线：两条渐近线y=±x互相垂直；5、等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；6、等轴双曲线上任意一点P处的切线，夹在两条渐近线之间的线段，必被P所平分；7、等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2；8、等轴双曲线x^2-y^2=C绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。
等轴双曲线有什么特点在数学中，双曲线是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。
双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。
双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。
（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。
对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。
所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。
双曲线共享许多椭圆的分析属性，如偏心度，焦点和方向图。
包括许多其他数学物体的起源于双曲线，例如双曲抛物面，双曲面，双曲线几何（Lobachevsky的着名的非欧几里德几何），双曲线函数和陀螺仪矢量空间。
双曲线的定义1、平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。
双曲线pf1pf2的关系
双曲线pf1pf2的关系双曲线pf1pf2的关系双曲线是数学中的一种曲线，它是一条平面曲线，其形状类似于两个向相对方向延伸的开口。
在双曲线中，有两个重要的参数pf1和pf2，它们之间存在着一定的关系。
本文将从多个角度深入探讨双曲线pf1pf2的关系。
一、什么是双曲线？双曲线是由平面直角坐标系中满足以下方程的点集构成：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a和b均为正实数。
这个方程描述了一个开口朝左右两侧延伸的双曲线。
二、什么是参数？在数学中，参数通常指一个变量或者一组变量，用来描述某个对象或者系统的特征。
在双曲线中，有两个重要的参数：pf1和pf2。
三、什么是焦点？焦点是指一个几何图形上所有离该图形上某点距离相等（或者满足某种条件）的点所组成的集合。
在双曲线中，有两个焦点F1和F2，它们分别位于双曲线左右两侧，并且它们与双曲线的几何性质密切相关。
四、焦点与参数的关系在双曲线中，焦点F1和F2与参数pf1和pf2之间存在着一定的关系。
具体来说，当a>b时，有以下公式成立：c^2=a^2+b^2其中c是焦距，即F1和F2之间的距离。
同时，有以下关系：pf1=c+apf2=c-a这个公式表明了焦点F1和F2与参数pf1和pf2之间的密切联系。
可以看出，当a>b时，焦点越靠近双曲线中心轴（即x轴），参数pf1和pf2之差越小；反之，则相差越大。
五、双曲线性质与参数的关系除了焦点外，双曲线还有许多其他重要的性质，这些性质也与参数密切相关。
首先是双曲线离心率（eccentricity），它定义为：e=c/a其中c是焦距，a是长半轴长度。
可以看出，离心率也与参数a和c 有关。
其次是双曲线渐近线（asymptote），它定义为：y=±(b/a)x这条直线刚好接触双曲线两个分支，并且在无限远处与双曲线趋于平行。
可以发现，渐近线的斜率正好等于参数b/a。
最后是双曲线面积（area），它可以用以下公式计算：S=2πab其中a和b分别是长半轴和短半轴长度。
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y2 x2 1 有共同焦点，渐近线方程为 练：求与椭圆 16 8
x
3y 0 的双曲线方程。
• 焦点三角形
y
x2 y2 例2： 双 曲 线 1的 左 右 焦 点 为 1 , F2， 点P在 双 曲 线 上 ， F 9 16 且F1 PF2 3 解：设| PF | t1 , | PF2 | t2 1
.
2.双曲线的两条渐进线方程为x 2 y 0 ，且截直线x y 3 0
8 3 所得弦长为 ，则该双曲线的方程为（ ） 3 x2 2 y2 y2 x2 2 y 1 (B) x 2 1 (C) x 2 1 (D) y 1 (A) 2 4 2 4
练.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取 值范围,使直线与双曲线 (1)没有公共点; (1)k＜ 5或k＞ 5 ；
直线与双曲线的位置关系：
• 例5、如图，过双曲线 的右焦 • 点 F2 ,倾斜角为 30 的直线交双曲线于A，B 两点，求|AB|。
x2 y2 1 3 6
练习:
x2 y2 1.过双曲线 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 4 9 16
交于 A、B 两点，则|AB|=
• c，直线l过点（a，0），（0，b）两点，已知 原点 • 到直线l的距离为
3c ， 求双曲线的离心率。 4
• 练2、如下图：已知 F1 , F2 是双曲线 x2 y 2 的两个焦点，
a
2
-
b
2
（a b 0)) 1
以线段 F1 F2 为边作正三角形 MF1 , F2， 若 F1 M 边的中点在双曲线上，求双曲线的离 心率
x2 y2 x2 y2 例3： 已知椭圆 2 2 （a1 b1 0）与双曲线 2 2 1 1 a1 b1 a2 b 2 （a2 0，b2 0）有公共焦点F1、F2，设P是它们的一个 交点，试用b1、b2 表示△PF1 F2的面积。
2 2 2 2 解：由题意得 a1 b1 a2 b2 c2 a12 a22 b12 b22
| t1 t2 | 6
由余弦定理得：
t1 t2 100 1 cos 3 2t1t2 2
2 2
, 求S F1 PF2
P.
由双曲线的第一定义得：
F1
.
O
.
F2
x
(t1 t2 ) 2 2t1t2 100 1 t1t2 64 2t1t2 2
S F1PF2 1 t1t 2 sin 16 3 2 3
且 (2)有两个公共点; (2) 5 ＜k＜ 5 ； k 12 22 Nhomakorabea2
(3)只有一个公共点; (3)k=±1，或k= ± 5 ；
2
(4)交于异支两点； (4)-1＜k＜1 ；
5 (5)与左支交于两点. k 1 2
• 右两焦点 F1、F2 构成 PF F2 ，求 PF1F2 的内 1 • 切圆与边 F F2 的切点坐标。 1
双曲线的离心率
• 例1：已知双曲线
• 近线的夹角为 2
x2 y 2 - 2 （a b 0)) 1 2 a b
的渐
1 ，求证：cos e
练习
• 1、设双曲线
x2 y 2 - 2 （a b 0)) 的半焦距为 1 2 a b
义，得： 令 F1PF2 θ ，则由椭圆，双曲线定 | PF | | PF2 | 2a1 及 | PF | | PF2 | 2a2（令 | PF | | PF2 |） 1 1 1
则 | PF | a1 a2， | PF2 | a1 a2 1
| PF |2 | PF2 |2 | F1F2 |2 1 在 △F1PF2 中, cos θ 2 | PF | | PF2 | 1 2 2 2 2 2 2 2a1 2a2 2 a1 b1 a2 b2 ） b12 b22 （ 2 2 2 2 b1 b2 2 a1 a2 ） （
2b1b2 sinθ 2 2 b1 b2
2b b 2 2 S△PF1F2 1 | PF | | PF2 | sinθ 1 a1 a2 ） 2 1 2 2 b1b2 . （ 1 2 2 b1 b2
x2 y2 • 例4、由双曲线 1 上的一点P与左、 9 4
1、“共渐近线”的双曲线的应 用
x y 与 2 2 1共渐近线的双曲线系 a b 2 2 x y 方程为 2 2 ( 0，为参数)， a b
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线； λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
2
2
例题讲解
例1 :求下列双曲线的标准方程：
x2 y2 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 与双曲线 9 16