【苏教版】2013届高考数学必修1电子题库 模块综合检测 Word版含答案
高中数学(苏教版必修一)模块综合测评 Word版含解析
模块综合测评(时间分钟，满分分)一、填空题(本大题共小题，每小题分，共分，请把答案填在题中横线上)．已知集合＝，＝，则∩＝.【解析】＝＝，∩＝.【答案】．如果集合＝{>－}，那么下列结论成立的是．(填序号)()⊆；(){}∈；()∅∈；(){}⊆.【解析】元素与集合之间的关系是从属关系，用符号∈或∉表示，故()()()不对，又∈，所以{}⊆.【答案】()．设集合＝{，，…，}，＝{，，…，}，定义集合⊕＝{(，)＝＋＋…＋，＝＋＋…＋}，已知＝{}，＝{}，则⊕的子集为．【解析】因为根据新定义可知，＋＋＝＋＋＝，故⊕的子集为∅，{()}．【答案】∅，{()}．若函数()＝的定义域为，()＝(－()的定义域为，则∁(∪)＝.【解析】由题意知，(\\(－>，－>))⇒<<.∴＝()．(\\(－>，(－(≥))⇒≤.∴＝(－∞，]，∪＝(－∞，]∪()，∴∁(∪)＝(]∪[，＋∞)．【答案】(]∪[，＋∞)．若方程－＋＝在区间(，)(，∈，且－＝)上有一根，则＋的值为．【解析】设()＝－＋，则(－)＝－<，(－)＝>，所以＝－，＝－，则＋＝－.【答案】－．已知函数＝()与＝互为反函数，()＝(－)＋，则()的图象恒过定点．【解析】由题知()＝，∴()＝－＋，由－＝，得＝，故函数()＝－＋(>，≠)的图象恒过定点.【答案】．已知函数()＝(－)＋＋为偶函数，则()在(－，－)上是．(填序号)①增函数；②减函数；③非单调函数；④可能是增函数，也可能是减函数．【解析】∵()为偶函数，∴＝，即()＝－＋在(－，－)上是增函数．【答案】①．已知函数()＝＋(＞且≠)在[]上的最大值与最小值之和为＋，则＝.【解析】依题意，函数()＝＋(＞且≠)在[]上具有单调性，因此＋＋＝＋，解得＝.【答案】．已知()＝(\\(＋，≤，，>，))若()＝，则＝.【解析】当≤时，令＋＝，解得＝－或＝(舍去)；当>时，令＝，解得＝.综上，＝－或＝.【答案】－或．若＝()是奇函数，当>时，()＝＋，则错误!＝.【解析】∵()是奇函数，∴错误!＝(－)＝－( )．又>，且>时，()＝＋，∴错误!＝－.【答案】－．定义在上的函数()满足()＝(\\((－(，≤， (－(－ (－(，>，))则()的值为．【解析】∵>，且>时，()＝(－)－(－)，∴()＝()－()，又()＝()－()，所以()＝－()，又∵≤时，()＝(－)，∴()＝－()＝－(－)＝－.【答案】－．函数＝()的图象如图所示，则函数＝()的图象大致是．(填序号)。
【三维设计】2013届高中数学 教师用书 模块综合检测 苏教版必修1.doc
模块综合检测(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上) 1．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(9，13)，则f (25)的值是________．解析：设f (x )＝x α，将(9，13)代入得9α＝13，即32α＝3－1，∴2α＝－1，∴α＝－12，∴f (x )＝x －12.∴f (25)＝25－12＝15.答案：152．(2011·新课标高考改编)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是________．①y ＝x 3②y ＝|x |＋1 ③y ＝－x 2＋1 ④y ＝2－|x |解析：y ＝x 3为奇函数，y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上为减函数，y ＝2－|x |在(0，＋∞)上为减函数．故只有②符合条件答案：②3．若集合A ＝{x |log 12x ≤12}，则∁R A ＝________．解析：由log 12x ≤12得x ≥(12)12＝22.∴A ＝[22，＋∞)．∴∁R A ＝(－∞，22)． 答案：(－∞，22) 4．试比较1.70.2、log 2.1 0.9与0.82.1的大小关系，并按照从小到大的顺序排列为________． 解析：log 2.10.9<0，1.70.2>0，0.82.1>0. ∵1.70.2>1.70＝1，0.82.1<0.80＝1， ∴log 2.10.9<0.82.1<1.70.2. 答案：log 2.10.9<0.82.1<1.70.25．设集合M ＝{x |x －m ≤0}，N ＝{y |y ≥－1}，若M ∩N ＝∅，则实数m 的取值范围是________．解析：M ＝(－∞，m ]，N ＝[－1，＋∞)，∵M ∩N ＝∅， ∴m <－1. 答案：m <－16．(2012·山东高考改编)函数f (x )＝1ln （x ＋1）＋ 4－x 2的定义域为________．解析：x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2.答案：(－1，0)∪(0，2]7．若函数f (x )＝ax －b 有一个零点是3，那么函数g (x )＝bx 2＋3ax 的零点是________． 解析：由条件可得3a －b ＝0，即b ＝3a ， ∴g (x )＝bx 2＋3ax ＝3ax 2＋3ax ，令g (x )＝0 得x ＝－1，0. 答案：－1，08．函数f (x )＝log 13(－3x ＋2)的单调递增区间为________．解析：∵函数的定义域为－3x ＋2>0，∴x <23.令u ＝－3x ＋2，∵f (u )＝log 13u 是减函数，要求f (x )的单调增区间，只需求u ＝－3x ＋2的递减区间，即(－∞，23)．答案：(－∞，23)9．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x＋a e x )＝x (e x ＋a e －x)，化简得x (e －x＋e x)(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－110．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝2x，函数y ＝f (x )的解析式为________．解析：∵y ＝f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又∵当x >0时，f (x )＝2x，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝2－x＝－f (x )， ∴f (x )＝－2－x＝－(12)x .∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，0，x ＝0，－（12）x，x <0.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >00，x ＝0－（12）x，x <011．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，则不等式f (x )≥1的解集是________．解析：x >0时，由log 3x ≥1得x ≥3，∴x ≥3. 当x ≤0时，由2x≥1得x ≥0，∴x ＝0. 由上可知解集为{x |x ＝0或x ≥3}． 答案：{x |x ＝0或x ≥3}12．已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如下左图，则函数g (x )＝a x＋b 的图象是________．解析：由f (x )的图象可知a ∈(0，1)，b ∈(－∞，－1)．∵0<a <1，∴y ＝a x单调递减，b <－1，∴x ＝0时，y ＝b ＋1<0，故g (x )＝a x＋b 的图象是①.答案：①13．函数y ＝log 2x ＋log 2(1－x )的最大值是________．解析：要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧x >01－x >0，解得0<x <1，又y ＝log 2[x (1－x )]＝log 2[－(x －12)2＋14]，当x ∈(0，1)时，0<－(x －12)2＋14≤14，∴y ≤log 214＝－2，∴y max ＝－2. 答案：－214．设定义在R 上的关于x 的函数f (x )＝ax ＋a ＋1，当－1<x <1时，函数有一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：根据零点存在性定理知，f (－1)f (1)<0， ∵f (－1)＝1>0，∴f (1)＝2a ＋1<0，解得a <－12.答案：a <－12二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)计算：(1)[(549)0.5＋(0.008)－23÷(0.2)－1]÷0.06250.25；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解：(1)原式＝[(73)2×0.5＋(0.2)3×(－23)÷(0.2)－1]÷(0.5)4×14＝(73＋52÷5)÷0.5＝223÷12＝443. (2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64＝[(log 66－log 63)2＋log 62·(log 63＋log 66)]÷log 64 ＝[log 62(log 62＋log 63＋1)]÷2log 62＝1.16．(本小题满分14分)已知集合M ＝{x |－ax 2＋2x ＋1＝0}只有一个元素，A ＝{x |y ＝－x ＋1}，B ＝{y |y ＝－x 2＋2x －1}．(1)求A ∩B ；(2)设N 是由a 可取的所有值组成的集合，试判断N 与A ∩B 的关系． 解：(1)由x ＋1≥0得x ≥－1， 则A ＝{x |x ≥－1}；由y ＝－x 2＋2x －1＝－(x －1)2，得y ≤0， 则B ＝{y |y ≤0}，所以A ∩B ＝{x |－1≤x ≤0}．(2)因为集合M 只有一个元素，所以当a ＝0时， 方程2x ＋1＝0只有一个实数解，符合题意； 当a ≠0时，Δ＝4－4(－a )＝0，解得a ＝－1. 所以N ＝{－1，0}，则N ⊆A ∩B .17．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数a ，b 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴ax 2＋2－3x ＋b ＝－ax 2＋23x ＋b ＝ax 2＋2－3x －b. 因此b ＝－b ，即b ＝0.又f (2)＝53，∴4a ＋26＝53，∴a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x，f (x )在(－∞，－1]上为单调增函数．证明：设x 1<x 2≤－1，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝23(x 2－x 1)(1－1x 1x 2)＝23(x 2－x 1)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵x 1<x 2≤－1，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>1，f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(－∞，－1]上为单调增函数．18．(本小题满分14分)A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处的D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市的距离不得小于10 km ，已知供电费用刚好和供电距离的平方与供电量之积成正比，比例系数k ＝0.2，若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．(1)写出x 的范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小． 解：(1)10≤x ≤90.(2)y ＝[20x 2＋10(100－x )2]×0.2 ＝6x 2－400x ＋20 000(10≤x ≤90)． (3)由(2)知，y ＝6x 2－400x ＋20 000 ＝6(x －1003)2＋40 0003.∴当x ＝1003时，y min ＝40 0003.即核电站建在距A 城1003km 处时，才能使供电费用最小．19．(本小题满分16分)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在区间[－2，2]上的最大值、最小值分别是M 、m ，集合A ＝{x |f (x )＝x }．(1)若A ＝{1，2}，且f (0)＝2，求M 和m 的值；(2)若A ＝{1}，且a ≥1，记g (a )＝M ＋m ，求g (a )的最小值．解：(1)由条件得f (1)＝1，f (2)＝2，f (0)＝2得a ＝1，b ＝－2，c ＝2，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，∴M ＝f (－2)＝4＋4＋2＝10，m ＝f (1)＝1.(2)由条件得ax 2＋(b －1)x ＋c ＝0有两个相等实根1，从而a ＋b ＋c ＝1，(b －1)2＝4ac ，得c ＝a ，b ＝1－2a .则f (x )＝ax 2＋(1－2a )x ＋a .∵a ≥1，∴对称轴x ＝2a －12a ＝1－12a ∈[12，1)，∴M ＝f (－2)＝9a －2，m ＝f (1－12a )＝1－14a .∴g (a )＝9a －14a －1，(a ≥1)，又g (a )在[1，＋∞)上单调递增， ∴g (a )最小值＝g (1)＝8－14＝314.20．(本小题满分16分)已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(1)求证：函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数； (2)若f (1)<f (lg x )，求x 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1<x 2≤0，则－x 1>－x 2≥0， 因为f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∴f (－x 1)>f (－x 2)， 又因为f (x )是偶函数，所以f (－x 1)＝f (x 1)，f (－x 2)＝f (x 2)，f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数． (2)当0<x ≤1时，lg x ≤0，由f (1)<f (lg x )得f (－1)<f (lg x )，函数f (x )在区间(－∞，0]上是单调减函数， ∴－1>lg x ，0<x <110，当x ≥1时，lg x ≥0，由f (1)<f (lg x )，f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数， ∴lg x >1，x >10，综上所述，x 的取值范围是1010⎛⎫ ⎪⎝⎭，∪(10，＋∞)．。
2013年江苏高考数学试题及答案解析版1_(word版)
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
．6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 【答案】2 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．63208．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．1：249．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．[—2，12 ]10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ．1211．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．3313．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点，若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所值为 ．1或1014．在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为 ．12二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值． 解：（1）a －b ＝(cosα－cosβ，sin α－sin β)，|a －b |2＝(cosα－cosβ)2＋(sin α－sin β)2＝2－2(cosα·cosβ＋sin α·sin β)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sin α·sin β＝0，所以，b a ⊥． （2）⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 ．所以，α－β＝π32，α＝π32＋β，带入②得：sin(π32＋β)＋sin β＝23cosβ＋12 sin β＝sin(3π＋β)＝1， 所以，3π＋β＝2π． 所以，α＝65π，β＝6π．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证： （1）平面//EFG 平面ABC ；（2）SA BC ⊥． 证：（1）因为SA ＝AB 且AF ⊥SB ， 所以F 为SB 的中点． 又E ，G 分别为SA ，SC 的中点， 所以，EF ∥AB ，EG ∥AC ．又AB ∩AC ＝A ，AB ⊂面SBC ，AC ⊂面ABC ， 所以，平面//EFG 平面ABC ． （2）因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝BC ，AF ⊂平面ASB ，AF ⊥SB ．所以，AF ⊥平面SBC ．又BC ⊂平面SBC ， 所以，AF ⊥BC ．又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， 所以，BC ⊥平面SAB ．又SA ⊂平面SAB ， 所以，SA BC ⊥．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线， 求切线的方程；A BSG F E（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐 标a 的取值范围．解：（1）联立：⎩⎨⎧-=-=421x y x y ，得圆心为：C (3，2)．设切线为：3+=kx y ，d ＝11|233|2==+-+r k k ，得：430-==k or k ．故所求切线为：343+-==x y or y ．（2）设点M (x ，y )，由MO MA 2=，知：22222)3(y x y x +=-+，化简得：4)1(22=++y x ，即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ． 又因为点M 在圆C 上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切． 故：1≤|CD |≤3，其中22)32(-+=a a CD ．解之得：0≤a ≤125 ．18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。
【苏教版】2013届高考数学必修1电子题库 第2章2.1.2知能演练轻松闯关 Word版含答案
随堂自测1.下列图象中表示函数y ＝f(x)关系的有________．解析：根据函数定义知②，③，④表示函数关系，而①不是函数关系． 答案：②③④2.若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x ≥0，3x ＋1，x<0.则f(x)＝________．解析：∵x ≥0，∴f(x)＝(x)2＝x.答案：x3.若函数f(x)满足f(x ＋1)＝2x2＋1，则f(4)＝________． 解析：法一：令x ＝3，得f(3＋1)＝2×32＋1，即f(4)＝19. 法二：f(x ＋1)＝2(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3， 故f(x)＝2x2－4x ＋3.令x ＝4得f(4)＝2×42－4×4＋3＝19. 答案：194.已知f(x)＝ax ＋b ，且对一切x ∈R 恒有f(f(x))＝9x ＋8，则f(x)表达式为________．解析：af(x)＋b ＝a(ax ＋b)＋b ＝a2x ＋(a ＋1)b ＝9x ＋8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a2＝9（a ＋1）b ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－4，∴f(x)＝3x ＋2或f(x)＝－3x －4. 答案：f(x)＝3x ＋2或f(x)＝－3x －45.某皮鞋厂一天的生产成本C(元)与生产数量n(双)之间的函数关系是C ＝4000＋50n ，若要使某天的生产成本不超过5000元，则当天至多生产皮鞋________双． 解析：4000＋50n ≤5000，50n ≤1000，∴n ≤20. 答案：20[A 级 基础达标]1.某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示出的图形如图所示，现给出下面说法：①前5分钟温度增加的速度越来越快；②前5分钟温度增加的速度越来越慢； ③5分钟以后温度保持匀速增加； ④5分钟以后温度保持不变．你认为正确的说法有________．(填序号) 解析：由图象可知开始时温度增加的速度越来越慢，5分钟以后温度保持不变，故②和④正确． 答案：②④2.设函数f(x)＝2x ＋3，g(x ＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式为________． 解析：∵g(x ＋2)＝2x ＋3＝2(x ＋2)－1，∴g(x)＝2x －1. 答案：g(x)＝2x －13.设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2 x ≤22x x ＞2，若f(x0)＝8，则x0＝________.解析：若x0≤2，则f(x0)＝x20＋2＝8，得x0＝± 6.∵x0≤2，∴x0＝－ 6.若x0＞2，则f(x0)＝2x0＝8，∴x0＝4.综上可知，x0＝－6或x0＝4. 答案：－6或44.已知f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，则f(x)＝________解析：设f(x)＝ax2＋bx ＋c ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－3，4a －2b ＋c ＝－7，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝－3.故f(x)＝－12x2＋x －3.答案：－12x2＋x －35.某洗衣店每洗一次衣服(4 kg 以内)需要付费4元，如果在这家洗衣店洗衣每满10次，那么接下来可以免费洗一次，根据条件填写下表：衣次数解析：当1≤x ≤10时y ＝4x ；当x ＝11时y ＝40；当12≤x ≤21时y ＝4x －4；当x ＝22时，y ＝80；当23≤x ≤32时y ＝4x －8.答案：40 40 44 56 76 92 1126.设函数f(x)满足f(x －1)＝2x ＋5，求f(x)，f(x2)． 解：设x －1＝t(t ∈R)，则x ＝t ＋1. ∴f(t)＝2(t ＋1)＋5＝2t ＋7， ∴f(x)＝2x ＋7， f(x2)＝2x2＋7.7.求函数y ＝1－|1－x|的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积．解：函数解析式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x<1，2－x ， x ≥1.作出函数的图象如图所示， 所求面积S ＝12×2×1＝1. [B 级 能力提升]8.函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3， x ≤－2，3x －1， －2<x ≤0，x2－7， x>0，若f(a)＝－3，则a ＝________．解析：若a ≤－2，则5a ＋3＝－3，∴a ＝－65>－2(舍)； 若－2<a ≤0，则3a －1＝－3，∴a ＝0∈(－2，0]．若a >0，则a2－7＝－3，∴a ＝2或a ＝－2(舍)． 综上，a ＝0，或a ＝2. 答案：0或29.已知函数f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，a ，b ∈R ，若f(2)＝3，f(3)＝5，则f(36)＝________． 解析：令a ＝2，b ＝3，有f(6)＝f(2)＋f(3)＝8；令a ＝b ＝6，有f(36)＝f(6)＋f(6)＝16. 答案：1610.已知函数f(x)＝ax2＋bx ＋c ，若f(0)＝0，且f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1对任意x ∈R 成立，求f(x)． 解：由f(0)＝0，得c ＝0，∴f(x)＝ax2＋bx ， 由f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，得a(x ＋1)2＋b(x ＋1)＝ax2＋bx ＋x ＋1， ∴ax2＋(2a ＋b)x ＋(a ＋b) ＝ax2＋(b ＋1)x ＋1， 该式对任意x ∈R 成立． ∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1.解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f(x)＝12x2＋12x.11.(创新题)2011年9月1日开始实施的新《个人所得税法》规定：全月总收入不超过3500元的免征个人工资、薪金所得税，超过3500元的部分需征税，设全月总收入金额为x 元，3500)试写出工资x(x ≤8000元)与税收y 的函数关系式，并求出收入6000元应缴多少税金． 解：由题意得：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 x ∈[0，3500]0.03x －105 x ∈（3500，5000]0.1x －455 x ∈（5000，8000]， 当x ＝6000元时，y ＝0.1×6000－455＝145(元)．∴月收入6000元应缴纳145元税金．。
2013江苏数学高考试题及答案完整版
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1、函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ▲2、设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲3、双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ 4、集合}1,0,1{-共有 ▲ 个子集5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ （流程图暂缺）6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方程较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲7、现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取， 则n m ，都取到奇数的概率为 ▲8、如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，， 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体 积为2V ，则=21:V V ▲9、抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ 10、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ▲11、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ， 若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ▲ABC1ADE F1B1C13、在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点， 若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ 14、在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
2013年高考真题——数学(江苏卷)解析版 Word版含答案
YN输出n 开始1a 2n ←←，1n n ←+32a a ←+20a <结束（第5题） 2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ 注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1.函数)42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ .3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集.5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次甲 87 91 90 89 93乙8990918892 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ .7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ .8.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ .9.抛物线2y x =在1x =处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含三角形内部和边界）。
若点(,)P x y 是区域D 内的任意一点，则10.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ .12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ .13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ . 14.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
2013江苏省高考数学真题(含答案)
（第5题） 2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ．6则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 ．8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ．ABC1A DEF1B1C11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点， 若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 14．在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证：（1）平面//EFG 平面ABC ； （2）SA BC ⊥．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ． 设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线， 求切线的方程；ABCS GFE（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐 标a 的取值范围． 18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。
高中数学(苏教版必修一)配套单元检测：第一章 集 合 模块综合检测C -含答案
模块综合检测(C)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |2x －1≥1}，则右图中阴影部分所表示的集合是______________．2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________.3．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)的大小关系是________．4．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p %纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p %纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元，则p ＝________.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1， x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2.则f (f (2))的值为________． 6．定义运算：如1*2=1，则函数f(x)的值域为________.7．若2lg(x －2y )＝lg x ＋lg y ，则log 2xy＝________.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1x 2－4x ＋3，x >1，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是________．9．在下列四图中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝(ba)x 的图象只可为________．10．已知下表中的对数值有且只有一个是错误的.11．已知log a 12>0，若224x x a +-≤1a，则实数x 的取值范围为______________．12．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－||x ＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________________． 13．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则f (13)、f (2)、f (12)的大小关系为________． 14．已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是________．三、解答题(本大题共6小题，共90分) 15．(14分)已知函数f (x )＝12log [(12)x －1]，(1)求f (x )的定义域； (2)讨论函数f (x )的增减性．16．(14分)已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； (3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．17．(14分)设函数f (x )＝ax －1x ＋1，其中a ∈R .(1)若a ＝1，f (x )的定义域为区间[0,3]，求f (x )的最大值和最小值；(2)若f (x )的定义域为区间(0，＋∞)，求a 的取值范围，使f (x )在定义域内是单调减函数．18．(16分)关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．19．(16分)据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．20．(16分)已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1)证明：f(x)是偶函数；(2)证明：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(3)解不等式f(2x2－1)<2.模块综合检测(C)1．{x|1<x≤2}解析题图中阴影部分可表示为(∁U M)∩N，集合M＝{x|x>2或x<－2}，集合N＝{x|1<x≤3}，由集合的运算，知(∁U M)∩N＝{x|1<x≤2}．2.10解析由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，∴1a＋1b＝log m2＋log m5＝log m10.∵1a＋1b＝2，∴log m10＝2，∴m2＝10，m＝10.3．f(－1)>f(2)解析由y＝f(x＋1)是偶函数，得到y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．4．25解析利润300万元，纳税300·p%万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1 000×2%＝180(万元)，纳税180·p%万元，共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，∴p%＝25%.5．2解析 ∵f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.6．(0,1]解析 由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x x ≤0，2－x ，x >0.作出f (x )的图象(实线部分)如右图所示；由图可知f (x )的值域为(0,1]． 7．2解析 方法一 排除法． 由题意可知x >0，y >0，x －2y >0， ∴x >2y ，x y >2，∴log 2xy >1.方法二 直接法．依题意，(x －2y )2＝xy ，∴x 2－5xy ＋4y 2＝0， ∴(x －y )(x －4y )＝0，∴x ＝y 或x ＝4y ， ∵x －2y >0，x >0，y >0，∴x >2y ， ∴x ＝y (舍去)，∴x y ＝4，∴log 2xy ＝2.8．3解析 当x ≤1时，函数f (x )＝4x －4与g (x )＝log 2x 的图象有两个交点，可得h (x )有两个零点，当x >1时，函数f (x )＝x 2－4x ＋3与g (x )＝log 2x 的图象有1个交点，可得函数h (x )有1个零点，∴函数h (x )共有3个零点． 9．③解析 ∵ba >0，∴a ，b 同号．若a ，b 为正，则从①、②中选．又由y ＝ax 2＋bx 知对称轴x ＝－b2a <0，∴②错，但又∵y ＝ax 2＋bx 过原点，∴①、④错． 若a ，b 为负，则③正确． 10．lg 1.5解析 ∵lg 9＝2lg 3，适合，故二者不可能错误，同理：lg 8＝3lg 2＝3(1－lg 5)，∴lg 8，lg 5正确．lg 6＝lg 2＋lg 3＝(1－lg 5)＋lg 3＝1－(a ＋c )＋(2a －b )＝1＋a －b －c ，故lg 6也正确． 11．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析 由log a 12>0得0<a <1.由224x x a+-≤1a得224x x a +-≤a －1， ∴x 2＋2x －4≥－1，解得x ≤－3或x ≥1. 12．1＜a ＜54解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋a ，x ≥0，x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出图象，如图所示．此曲线与y 轴交于(0，a )点，最小值为a －14，要使y ＝1与其有四个交点，只需a －14＜1＜a ， ∴1＜a ＜54.13．f (12)<f (13)<f (2)解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x 2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝lnx ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大， ∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．14．②解析 据题意由f (4)g (－4)＝a 2×log a 4<0，得0<a <1，因此指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数，函数f (x )＝a x－2的图象是把y ＝a x 的图象向右平移2个单位得到的，而y ＝log a |x |(0<a <1)是偶函数，当x >0时，y ＝log a |x |＝log a x 是减函数．15．解 (1)(12)x －1>0，即x <0，所以函数f (x )定义域为{x |x <0}．(2)∵y ＝(12)x －1是减函数，f (x )＝12log x 是减函数，∴f (x )＝12log [(12)x －1]在(－∞，0)上是增函数．16．解 (1)要使A 为空集，方程应无实根，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0Δ<0，解得a >98.(2)当a ＝0时，方程为一次方程，有一解x ＝23；当a ≠0，方程为一元二次方程，使集合A 只有一个元素的条件是Δ＝0，解得a ＝98，x ＝43. ∴a ＝0时，A ＝{23}；a ＝98时，A ＝{43}．(3)问题(3)包含了问题(1)、(2)的两种情况， ∴a ＝0或a ≥98.17．解 f (x )＝ax －1x ＋1＝a (x ＋1)－a －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，设x 1，x 2∈R ，则f (x 1)－f (x 2)＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1).(1)当a ＝1时，f (x )＝1－2x ＋1，设0≤x 1<x 2≤3，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，又x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[0,3]上是增函数， ∴f (x )max ＝f (3)＝1－24＝12，f (x )min ＝f (0)＝1－21＝－1.(2)设x 1>x 2>0，则x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. 若使f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 只要f (x 1)－f (x 2)<0， 而f (x 1)－f (x 2)＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)，∴当a ＋1<0，即a <－1时，有f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴当a <－1时，f (x )在定义域(0，＋∞)内是单调减函数． 18．解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]． f (0)＝1>0，(1)当2是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解时， 则4＋2(m －1)＋1＝0，∴m ＝－32.(2)当2不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解时， ①方程f (x )＝0在(0,2)上有一个解时，则f (2)<0， ∴4＋2(m －1)＋1<0.∴m <－32.②方程f (x )＝0在(0,2)上有两个解时，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(m －1)2－4≥0，0<－m －12<2，f (2)＝4＋2(m －1)＋1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1，－3<m <1，m >－32.∴－32<m ≤－1.综合(1)(2)，得m ≤－1.∴实数m 的取值范围是(－∞，－1]．19．解 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12， ∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t－550.综上可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150，t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650.t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650. ∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40，∵20<t ≤35，∴t ＝30， 所以沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城． 20．(1)证明 令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.令x 1＝x 2＝－1，得f (－1)＝0， ∴f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )． ∴f (x )是偶函数． (2)证明 设x 2>x 1>0， 则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 1·x 2x 1)－f (x 1)＝f (x 1)＋f (x 2x 1)－f (x 1)＝f (x 2x 1)，∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1.∴f (x 2x 1)>0，即f (x 2)－f (x 1)>0.∴f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)解 ∵f (2)＝1，∴f (4)＝f (2)＋f (2)＝2. 又∵f (x )是偶函数，∴不等式f (2x 2－1)<2可化为f (|2x 2－1|)<f (4)． 又∵函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴|2x 2－1|<4. 解得－102<x <102， 即不等式的解集为(－102，102)．。
高中数学(苏教版必修一)配套单元检测：第一章 集 合 模块综合检测B -含答案
模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为________________．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x 2 (x ≤1)x 2＋3x －2 (x >1)，则f (1f (3))的值为________． 3．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________． 4．三个数a ＝0.32，b ＝log 20.3，c ＝20.3之间的大小关系是________．5．若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是________．(填序号)①函数f (x )在区间(0,1)内有零点；②函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点；③函数f (x )在区间[2,16)内无零点；④函数f (x )在区间(1,16)内无零点．6．已知0<a <1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数是________．7．函数f (x )＝x 2－2ax ＋1有两个零点，且分别在(0,1)与(1,2)内，则实数a 的取值范围是________．8．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n 年后这批设备的价值为________万元．9．下列4个函数中：①y ＝2 008x －1；②y ＝log a 2 009－x 2 009＋x(a >0且a ≠1)；③y ＝x 2 009＋x 2 008x ＋1； ④y ＝x (1a －x －1＋12)(a >0且a ≠1)． 其中既不是奇函数，又不是偶函数的是________．(填序号)10．设函数的集合P ＝{f (x )＝log 2(x ＋a )＋b |a ＝－12，0，12，1；b ＝－1,0,1}，平面上点的集合Q ＝{(x ，y )|x ＝－12，0，12，1；y ＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P 中函数f (x )的图象恰好．．经过Q 中两个点的函数的个数是________．11．计算：0.25×(－12)－4＋lg 8＋3lg 5＝________. 12．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝|ad －bc |，则不等式log 2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 11 x <0的解集是________．13．已知关于x 的函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，则a 的取值范围是________．14．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知函数f (x )A ，函数g (x )＝223m x x --－1的值域为集合B ，且A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围．16．(14分)已知f (x )＝x ＋a x 2＋bx ＋1是定义在[－1,1]上的奇函数，试判断它的单调性，并证明你的结论．17．(14分)若非零函数f (x )对任意实数a ，b 均有f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且当x <0时，f (x )>1；(1)求证：f (x )>0；(2)求证：f (x )为减函数；(3)当f (4)＝116时，解不等式f (x 2＋x －3)·f (5－x 2)≤14.18．(16分)我市有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f (x )元(15≤x ≤40)，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g (x )元(15≤x ≤40)，试求f (x )和g (x )；(2)选择哪家比较合算？为什么？19．(16分)已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：①f(x)在D上是单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a，b]D(其中a<b)，使得当x∈[a，b]时，f(x)的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y＝f(x)(x∈D)是闭函数．(1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．(2)若f(x)＝k＋x＋2是闭函数，求实数k的取值范围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出是增函数还是减函数即可)20．(16分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝a x－1.其中a>0且a≠1.(1)求f(2)＋f(－2)的值；(2)求f(x)的解析式；(3)解关于x的不等式－1<f(x－1)<4，结果用集合或区间表示．模块综合检测(B)1．4解析 ∵A ∪B ＝{0,1,2，a ，a 2}，又∵A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，a 2＝16，即a ＝4.否则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝16a 2＝4矛盾． 2.127128解析 ∵f (3)＝32＋3×3－2＝16，∴1f (3)＝116， ∴f (1f (3))＝f (116)＝1－2×(116)2＝1－2256＝127128. 3．[0,1)解析 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2x ≠1，∴0≤x <1. 4．b <a <c解析 20.3>20＝1＝0.30>0.32>0＝log 21>log 20.3.5．③解析 函数f (x )唯一的一个零点在区间(0,2)内，故函数f (x )在区间[2,16)内无零点．6．2解析 分别画出函数y ＝a |x |与y ＝|log a x |的图象，通过数形结合法，可知交点个数为2.7．1<a <54解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋1，∴f (x )的图象是开口向上的抛物线．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0.即⎩⎪⎨⎪⎧ 1>0，1－2a ＋1<0，4－4a ＋1>0，解得1<a <54. 8．a (1－b %)n解析 第一年后这批设备的价值为a (1－b %)；第二年后这批设备的价值为a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2；故第n 年后这批设备的价值为a (1－b %)n .9．①③解析 其中①不过原点，不可能为奇函数，也可能为偶函数；③中定义域不关于原点对称，则既不是奇函数，又不是偶函数．10．6解析 当a ＝－12，f (x )＝log 2(x －12)＋b ， ∵x >12， ∴此时至多经过Q 中的一个点；当a ＝0时，f (x )＝log 2x 经过(12，－1)，(1,0)， f (x )＝log 2x ＋1经过(12，0)，(1,1)； 当a ＝1时，f (x )＝log 2(x ＋1)＋1经过(－12，0)，(0,1)， f (x )＝log 2(x ＋1)－1经过(0，－1)，(1,0)；当a ＝12时，f (x )＝log 2(x ＋12)经过(0，－1)，(12，0)， f (x )＝log 2(x ＋12)＋1经过(0,0)，(12，1)． 11．7解析 原式＝0.25×24＋lg 8＋lg 53＝(0.5×2)2×22＋lg(8×53)＝4＋lg 1 000＝7.12．(0,1)∪(1,2)解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 11x ＝|x －1|， 由log 2|x －1|<0，得0<|x －1|<1， 即0<x <2，且x ≠1.13．(1,2)解析 依题意，a >0且a ≠1，∴2－ax 在[0,1]上是减函数，即当x ＝1时，2－ax 的值最小，又∵2－ax 为真数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >12－a >0，解得1<a <2. 14．(－∞，－1)解析 当x >0时，由1－2－x <－12， (12)x >32，显然不成立． 当x <0时，－x >0.因为该函数是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝2x －1.由2x －1<－12，即2x <2－1，得x <－1. 又因为f (0)＝0<－12不成立， 所以不等式的解集是(－∞，－1)．15．解 由题意得A ＝{x |1<x ≤2}，B ＝(－1，－1＋31＋m ]． 由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，即－1＋31＋m ≥2，即31＋m ≥3， 所以m ≥0.16．解 ∵f (x )＝x ＋a x 2＋bx ＋1是定义在[－1,1]上的奇函数， ∴f (0)＝0，即0＋a 02＋0＋1＝0，∴a ＝0. 又∵f (－1)＝－f (1)，∴－12－b ＝－12＋b， ∴b ＝0，∴f (x )＝x x 2＋1. ∴函数f (x )在[－1,1]上为增函数．证明如下：任取－1≤x 1<x 2≤1，∴x 1－x 2<0，－1<x 1x 2<1，∴1－x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1x 22＋x 1－x 21x 2－x 2(x 21＋1)(x 22＋1)＝x 1x 2(x 2－x 1)＋(x 1－x 2)(x 21＋1)(x 22＋1) ＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )为[－1,1]上的增函数．17．(1)证明 f (x )＝f (x 2＋x 2)＝f 2(x 2)≥0， 又∵f (x )≠0，∴f (x )>0.(2)证明 设x 1<x 2，则x 1－x 2<0，又∵f (x )为非零函数，∴f (x 1－x 2)＝f (x 1－x 2)·f (x 2)f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)f (x 2)＝f (x 1)f (x 2)>1，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )为减函数． (3)解 由f (4)＝f 2(2)＝116，f (x )>0，得f (2)＝14. 原不等式转化为f (x 2＋x －3＋5－x 2)≤f (2)，结合(2)得： x ＋2≥2，∴x ≥0，故不等式的解集为{x |x ≥0}．18．解 (1)f (x )＝5x,15≤x ≤40；g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90， 15≤x ≤3030＋2x ， 30<x ≤40. (2)①当15≤x ≤30时，5x ＝90，x ＝18，即当15≤x <18时，f (x )<g (x )；当x ＝18时，f (x )＝g (x )；当18<x ≤30时，f (x )>g (x )．②当30<x ≤40时，f (x )>g (x )，∴当15≤x <18时，选甲家比较合算；当x ＝18时，两家一样合算；当18<x ≤40时，选乙家比较合算．19．解 (1)f (x )＝－x 3在R 上是减函数，满足①；设存在区间[a ，b ]，f (x )的取值集合也是[a ，b ]，则⎩⎪⎨⎪⎧－a 3＝b －b 3＝a ，解得a ＝－1，b ＝1， 所以存在区间[－1,1]满足②，所以f (x )＝－x 3(x ∈R )是闭函数．(2)f (x )＝k ＋x ＋2是在[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f (x )＝k ＋x ＋2是闭函数，存在区间[a ，b ]满足②即：⎩⎨⎧ k ＋a ＋2＝a k ＋b ＋2＝b. 即a ，b 是方程k ＋x ＋2＝x 的两根，化简得，a ，b 是方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2＝0的两根．且a ≥k ，b >k .令f (x )＝x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ f (k )≥0Δ>02k ＋12>k ，解得－94<k ≤－2， 所以实数k 的取值范围为(－94，－2]． 20．解 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (－2)＝－f (2)，即f (2)＋f (－2)＝0.(2)当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝a －x －1. 由f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )， ∵f (－x )＝a －x －1， ∴f (x )＝－a －x ＋1(x <0)． ∴所求的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x －1 (x ≥0)－a －x ＋1 (x <0). (3)不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1<0－1<－a －x ＋1＋1<4 或⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0－1<a x －1－1<4， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1<0－3<a －x ＋1<2或⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥00<a x －1<5. 当a >1时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x <1x >1－log a 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x <1＋log a 5，注意此时log a 2>0，log a 5>0， 可得此时不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)． 同理可得，当0<a <1时，不等式的解集为R . 综上所述，当a >1时，不等式的解集为(1－log a 2,1＋log a 5)； 当0<a <1时，不等式的解集为R .。
高考数学 电子题库 第三章 章末综合检测1 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第三章章末综合检测(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填在题中横线上) 1．下列结论中正确的是________．(1)当x ≥2时，x ＋1x的最小值为2；(2)当0<x ≤2时，2x－2－x无最大值；(3)当x ≠0时，x ＋1x≥2；(4)当x >1时，lg x ＋1lg x≥2. 解析：对(1)，x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时取等号，故(1)错；对(2)，函数f (x )＝2x－12x 在(0,2]上是增函数，故最大值为4－14＝154，故(2)错；对(3)，当x <0时，x ＋1x≤－2，故(3)错；对(4)，∵x >1，∴lg x >0，lg x ＋1lg x≥2，当且仅当x ＝10时取等号，故(4)正确．答案：(4)2．已知x >0，y >0，x 、a 、b 、y 成等差数列，x 、c 、d 、y 成等比数列，则a ＋b 2cd的最小值是________．解析：由等差、等比数列的性质得a ＋b 2cd＝x ＋y 2xy＝x y ＋y x ＋2≥2y x ·xy＋2＝4，当且仅当x ＝y 时取“＝”．答案：43．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集是{x |0<x <2}，则实数m 的值是________．解析：将原不等式化为：12x 2＋(m －2)x <0，即x (x ＋2m －4)<0，显然，上式是关于x 的一元二次不等式，故0,2是对应方程的两个根，代入得m ＝1.答案：14．当a >0且a ≠1时，函数f (x )＝log a (x －1)＋1的图象恒过点A ，若点A 在直线mx －y＋n ＝0上，则4m ＋2n的最小值为________．解析：由题意知y ＝f (x )恒过点(2,1)，故2m ＋n ＝1.所以4m ＋2n ≥24m ·2n ＝222m ＋n＝2 2.当且仅当4m ＝2n即m ＝14，n ＝12时取“＝”．答案：2 25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2xx1－x 2x，则不等式f (x )>0的解集为________．解析：由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ x >0－log 2x >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >00<x <1⇔0<x <1；又⎩⎪⎨⎪⎧x ≤01－x 2>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0－1<x <1⇔－1<x ≤0.故不等式的解集为{x |－1<x <1}．答案：{x |－1<x <1}6．设x ，y ，z 为正实数，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________．解析：由x －2y ＋3z ＝0得y ＝x ＋3z 2，代入y 2xz 得x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz4xz＝3，当且仅当x＝3z 时取“＝”．答案：37．(2010年高考山东卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z＝3x －4y 的最大值和最小值分别为________．解析：作出可行域如图阴影部分所示，由图可知z ＝3x －4y 经过点A 时z 有最小值，经过点B 时z 有最大值．易求A (3,5)，B (5,3)．∴z 最大＝3×5－4×3＝3，z 最小＝3×3－4×5＝－11.答案：3，－118．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由定义有(x －a )⊗(x ＋a )＜1⇒(x －a )(1－x －a )＜1⇒x 2－x －a 2＋a ＋1＞0，在R 上恒成立．所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3＜0，解得－12＜a ＜32.答案：－12＜a ＜329．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于________．解析：x ，y 满足的区域为图中阴影部分，由题意知，当(x ，y )在点A 处时，z ＝x －y 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝－x ＋m ，得A (m ＋13，2m －13)．∴m ＋13－2m －13＝－1，∴m ＝5. 答案：510．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是________．(1)a 1b 1＋a 2b 2；(2)a 1a 2＋b 1b 2；(3)a 1b 2＋a 2b 1；(4)12.解析：∵0<a 1<a 2，a 1＋a 2＝1，∴0<a 1<12，12<a 2<1，同理有0<b 1<12，12<b 2<1.∴a 1b 1＋a 2b 2－(a 1a 2＋b 1b 2) ＝(b 1－a 2)·(a 1－b 2)>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2＞a 1a 2＋b 1b 2. ∵a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1) ＝(b 1－b 2)·(a 1－a 2)>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2＞a 1b 2＋a 2b 1.∵a 1b 1＋a 2b 2－12＝a 1b 1＋a 2b 2－a 1＋a 2b 1＋b 22＝12[a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)] ＝12(b 1－b 2)·(a 1－a 2)>0， ∴a 1b 1＋a 2b 2＞12.∴a 1b 1＋a 2b 2的值最大． 答案：(1)11．已知α、β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根，且α∈[0,1]，β∈[1,2]，a ，b ∈R ，则b －3a －1的最大值是________． 解析：α，β是方程x 2＋ax ＋2b ＝0的两根．由α∈[0,1]，β∈[1,2]，设f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧f ，f ，f，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≥0，a ＋2b ＋1≤0，4＋2a ＋2b ≥0，画出可行域(图中阴影部分)，b －3a －1表示阴影区域△ABC 内的点到点P (1,3)的斜率．其中C (－3,1)，B (－1，0)，求得b －3a －1的最大值是32. 答案：3212.如图，目标函数u ＝ax －y 的可行域为四边形OACB (含边界)．若点C (23，45)是该目标函数的最优解，则a 的取值范围是________．解析：由u ＝ax －y 得y ＝ax －u ，于是要使点C (23，45)是目标函数的最优解，需有k AC ≤a ≤k BC ，而k AC ＝－125，k BC ＝－310.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－125，－31013．不等式x 2－2x ＋3≤a 2－2a －1在R 上的解集是∅，则实数a 的取值范围是________．解析：原不等式即x 2－2x －a 2＋2a ＋4≤0，在R 上解集为∅，∴Δ＝4－4(－a 2＋2a ＋4)<0，即a 2－2a －3<0，解得－1<a <3.答案：{a |－1<a <3}14．已知点A (53，5)，过点A 的直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)，若可行域⎩⎨⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆的直径为20，则实数n 的值是________．解析：由题意可知，可行域是由三条直线x ＝my ＋n (n ＞0 )、x －3y ＝0和y ＝0所围成的封闭三角形(包括边界)，如图中阴影部分．又知直线x －3y ＝0过点A (53，5)， 由|OA |＝10，外接圆直径2R ＝20. 设直线l 的倾斜角为α，则由正弦定理，得10π－α＝20，所以sin α＝12，tan α＝±33(正值不合题意，舍去)．由tan α＝1m ，得1m ＝－33，即m ＝－ 3.将点A (53，5)代入直线x ＝－3y ＋n ，得53＝－3×5＋n ，解得n ＝10 3. 答案：10 3二、解答题(本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)已知a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．解：∵(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＝a 2b －b ＋b 2a －a ＝a 2－b 2b ＋b 2－a 2a ＝(a 2－b 2)(1b －1a)＝(a 2－b 2)a －b ab ＝a －b 2a ＋b ab，又∵a ＞0，b ＞0，a ≠b ，∴(a －b )2＞0，a ＋b ＞0，ab ＞0， ∴(a 2b ＋b 2a )－(a ＋b )＞0，∴a 2b ＋b 2a＞a ＋b .16．(本小题满分14分)(2009年高考江苏卷)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为mm ＋a；如果他买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为an ＋a.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h 1和h 2，则他对这两种交易的综合满意度为h 1h 2.现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为m A 元和m B 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙．(1)求h 甲和h 乙关于m A 、m B 的表达式；当m A ＝35m B 时，求证：h 甲＝h 乙；(2)设m A ＝35m B ，当m A 、m B 分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为h 0，试问能否适当选取m A 、m B 的值，使得h 甲≥h 0和h 乙≥h 0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．解：设m A ＝x ，m B ＝y .(1)甲买进产品A 的满意度：h 1甲＝12x ＋12；甲卖出产品B 的满意度：h 2甲＝yy ＋5；甲买进产品A 和卖出产品B 的综合满意度：h 甲＝12x ＋12·yy ＋5； 同理，乙卖出产品A 和买进产品B 的综合满意度：h 乙＝xx ＋3·20y ＋20. 当x ＝35y 时，h 甲＝12x ＋12·yy ＋5＝1235y ＋12·yy ＋5 ＝20yy ＋y ＋，h 乙＝xx ＋3·20y ＋20＝35y 35y ＋3·20y ＋20 ＝20yy ＋y ＋.故h 甲＝h 乙．(2)当x ＝35y 时，由(1)知h 甲＝h 乙＝20yy ＋y ＋，因为20yy ＋y ＋＝20y ＋100y＋25≤49，且等号成立时当且仅当y ＝10. 当y ＝10时，x ＝6.因此，当m A ＝6，m B ＝10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为23.(3)由(2)知h 0＝23.因为h 甲h 乙＝12x ＋12·y y ＋5·x x ＋3·20y ＋20＝12x ＋36x ＋15·20y ＋100y＋25≤49， 所以当h 甲≥23，h 乙≥23时，有h 甲＝h 乙＝23.因此，不能取到m A ，m B 的值，使得h 甲≥h 0和h 乙≥h 0同时成立，但等号不同时成立．17．(本小题满分14分)已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，求z ＝(x ＋1x )·(y ＋1y)的最小值．解：z ＝(x ＋1x )·(y ＋1y )＝xy ＋y x ＋x y ＋1xy＝xy 2＋y 2＋x 2＋1xy＝xy 2＋x ＋y 2－2xy ＋1xy＝xy 2－2xy ＋2xy ＝xy ＋2xy－2，令t ＝xy ，∵x ＋y ＝1，∴0＜xy ≤12，即0＜t ≤14.∴z ＝t ＋2t －2在t ∈(0，14]上是单调减函数．∴当t ＝14时，z min ＝254.18．(本小题满分16分)某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每100 g 含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元，米食每100 g 含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？解：设每盒盒饭需要面食x (百克)，米食y (百克)，所需费用为z ＝0.5x ＋0.4y ，且x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ≥8，4x ＋7y ≥10，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图所示.由图可知，平行直线系y ＝－54x ＋52z 过点A 时，纵截距52z 最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋3y ＝8，4x ＋7y ＝10，解得点A ⎝⎛⎭⎪⎫1315，1415.所以每盒盒饭为面食1315百克，米食1415百克时，既科学又费用最少．19．(本小题满分16分)已知x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1设z ＝ax ＋y (a >0)，若当z 取最大值时对应的点有无数多个，求a 的值．解：画出可行域，如图所示，即直线z ＝ax ＋y (a >0)平行于直线AC ，则直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时将满足条件，有无数多个点使函数取得最大值．分析知当直线y ＝－ax ＋z 刚好移动到直线AC 时，将会有无数多个点使函数取得最大值．又由于k AC ＝4.4－21－5＝－35，即－a ＝－35，∴a ＝35.20．(本小题满分16分)某工厂统计资料显示，一种产品次*,其中p (x )＝a －x (a 为常数)．已知生产一件正品盈利k 元，生产一件次品损失3元(k 为给定常数)．(1)求出a ，并将该厂的日盈利额y (元)表示为日生产量x (件)的函数； (2)为获取最大盈利，该厂的日生产量应定为多少件？ 解：(1)根据表中数据可得a ＝108，∴p (x )＝1108－x(80≤x ≤100，x ∈N *)．由题意，当日产量为x 时，次品数为1108－x·x ，正品数为(1－1108－x )·x ，∴y ＝(1－1108－x )x ·k －1108－x x ·13k .整理，得y ＝13kx (3－4108－x)(80≤x ≤100，x ∈N *)．(2)令108－x ＝t ，t ∈[8,28]，t ∈N *. y ＝13k (108－t )(3－4t )＝13k [328－3(t ＋144t )]≤13k ·(328－3×2× t ·144t )＝2563k . 当且仅当t ＝144t，即t ＝12时取到“＝”．此时x ＝96.即该厂的日生产量定为96件时，获取的盈利最大．。
高中数学 电子题库 模块综合检测 苏教版必修1
模块综合检测(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1.已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{－2，0，2，4}，则A ∩B ＝________． 解析：A ∩B ＝{0，2}． 答案：{0，2}模块综合检测2.函数f (x )＝log 2(5x ＋1)的定义域为________．解析：要使函数有意义，则5x ＋1>0，∴x >－15，∴定义域为(－15，＋∞)．答案：(－15，＋∞)3.计算2lg 2＋lg5的值为________． 解析：原式＝lg2＋lg5＝lg10＝1. 答案：14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x <1，x 2＋x ，x ≥1，则f (f (0))的值为________．解析：f (0)＝2－0＝2，∴f (f (0))＝f (2)＝22＋2＝6. 答案：65.对于任意的a ∈(1，＋∞)，函数y ＝log a (x －2)＋1的图象恒过点________．(写出点的坐标)解析：令x －2＝1，∴x ＝3，∴图象恒过点(3，1)． 答案：(3，1)6.函数f (x )是R 上的偶函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 3＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________．解析：设任意的x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋1＝－x 3＋1，又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即当x ＜0时，f (x )＝－x 3＋1.答案：－x 3＋17.已知函数f (x )满足：x ≥4，则f (x )＝(12)x；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)等于________．解析：∵3＜2＋log 23＜4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)且3＋log 23＞4， ∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23) ＝(12)3＋log 23＝18×(12)log 23 ＝18×(12)log 1213＝18×13＝124. 答案：1248.函数f (x )＝x 2－2＋log 12x 零点的个数为________．解析：f (x )的零点即2－x 2＝log 12x 的方程根的个数，即y ＝2－x 2与y ＝log 12x 两个函数图象的交点个数，画出两个函数的图象(如图)，可得出共有两个交点． 答案：29.已知0≤x ≤2，若不等式a ≤4x －3×2x－4恒成立， 则实数a 的取值范围是________．解析：令f (x )＝4x －3×2x－4，不等式恒成立， 则a ≤f (x )m i n ，f (x )＝(2x )2－3·2x －4＝(2x －32)2－254.∵0≤x ≤2，∴1≤2x≤4，∴当2x＝32时，f (x )m i n ＝－254，∴a ≤－254.答案：(－∞，－254]10.有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的矩形，如图所示，则围成的矩形最大面积为________m 2(围墙厚度不计)．解析：设矩形宽为x m ，则矩形长为(200－4x ) m ，则矩形面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2500(0＜x ＜50)，∴x ＝25 m 时，S max ＝2500 m 2. 答案：250011.已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)＜f (13)的x 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (|2x －1|)＜f (13)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增，∴|2x －1|＜13.∴－13＜2x －1＜13.∴13＜x ＜23. 答案：13＜x ＜2312.已知f (3x)＝4x log 23＋234，则f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)＝________．解析：令3x ＝t ，则x ＝log 3t ，代入f (3x)＝4x log 23＋234， 得f (t)＝4log 2t ＋234，则f (2)＋f (4)＋…＋f (28)＝4(1＋2＋…＋8)＋234×8＝2020. 答案：202013.关于x 的方程x 2－2|x |－3＝m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝x 2－2|x |－3及y ＝m 的图象，两函数图象有两个不同交点时，原方程有两个不相等的实数根，因此可得m ＝－4或m >－3. 答案：(－3，＋∞)∪{－4}14.已知f (x )＝ax 2－2ax ＋b (a >0)，则f (2x )与f (3x )的大小关系是________．解析：f (x )＝a (x －1)2＋b －a .当x >0时，1<2x <3x ，故有f (2x )<f (3x)；当x <0时，3x <2x <1，也有f (2x )<f (3x)；当x ＝0时，3x ＝2x ＝1，有f (2x )＝f (3x)．综上，f (2x )≤f (3x)．答案：f (2x )≤f (3x)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{a |a ≥2或a ≤－2}，B ＝{a |关于x 的方程ax 2－x ＋1＝0有实根}，求A ∪B ，A ∩(∁U B )．解：∵ax 2－x ＋1＝0有实根， ∴①当a ＝0时，x ＝1符合题意，②当a ≠0时，由Δ＝(－1)2－4a ≥0，解得a ≤14，综上：a ≤14，∴B ＝{a |a ≤14}．∴A ∪B ＝{a |a ≤14或a ≥2}，A ∩(∁UB )＝{a |a ≥2}．16.(本小题满分14分)判断函数f (x )＝x ＋1x在(0，1)上的单调性，并给出证明．解：是减函数． 证明如下： 设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋(1x 1－1x 2)＝（x 1－x 2）（x 1x 2－1）x 1x 2.∵0<x 1<x 2<1，∴x 1x 2－1<0，x 1－x 2<0.∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，1)上是减函数．17.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2x ＋1，g(x )＝x 2－2x ＋1. (1)设集合A ＝{x |g(x )＝9}，求集合A ； (2)若x ∈[－2，5]，求g(x )的值域；(3)画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≤0g （x ），x >0的图象，写出其单调区间．解：(1)集合A ＝{x |g(x )＝9}＝{x |x 2－2x －8＝0}＝{－2，4}．(2)g(x )＝(x －1)2，∵x ∈[－2，5]， 当x ＝1时，g(x )m i n ＝0； 当x ＝5时，g(x )max ＝16. (3)画出函数图象如图：则单调增区间是(－∞，0]和[1，＋∞)，单调减区间是[0，1]． 18.(本小题满分16分)定义在[－2，2]上的偶函数g(x )，当x ≥0时，g(x )单调递减．若g(1－m )＜g(m )，求m 的取值范围． 解：∵g(x )在[－2，2]上是偶函数， ∴g(1－m )＝g(|1－m |)，g(m )＝g(|m |)． ∵g(1－m )＜g(m )， ∴g(|1－m |)＜g(|m |)．又g(x )在[0，2]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2－2≤m ≤2|1－m|＞|m|，解得－1≤m ＜12.19.(本小题满分16分)某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆．本年度为节能减排，对产品进行升级换代．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x ≤12)，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.5x .(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)当投入成本增加的比例x 为何值时，本年度比上年度利润增加最多？最多为多少？ 解：(1)由题可知，本年度每辆车的利润为10(1＋0.75x )－8(1＋x )， 本年度的销售量是12(1＋0.5x )，故年利润 y ＝12(1＋0.5x )[10(1＋0.75x )－8(1＋x )]＝－3x 2＋6x ＋24，x ∈(0，12]．(2)设本年度比上年度利润增加为f (x )，则f (x )＝(－3x 2＋6x ＋24)－24＝－3(x －1)2＋3，因为x ∈(0，12]，在区间(0，12]上f (x )为增函数，所以当x ＝12时，函数y ＝f (x )有最大值为94.故当x ＝12时，本年度比上年度利润增加最多，最多为2.25亿元．20.(本小题满分16分)设函数f (x )的定义域为A ，值域为B ，如果存在函数x ＝g(t)，使得函数y ＝f (g(t))的值域仍然是B ，那么称函数x ＝g(t)是函数f (x )的一个等值域变换． (1)判断下列函数x ＝g(t)是不是函数f (x )的一个等值域变换？说明你的理由：①f (x )＝2x ＋1，x ∈R ，x ＝g(t)＝t 2－2t ＋3，t ∈R ；②f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈R ，x ＝g(t)＝2t，t ∈R.(2)设函数f (x )＝log 2(x 2－x ＋1)，g(t)＝a t 2＋2t ＋1，若函数x ＝g(t)是函数f (x )的一个等值域变换，求实数a 的取值范围．解：(1)①函数f (x )＝2x ＋1，x ∈R 的值域为R ，∵x ＝g(t)＝t 2－2t ＋3＝(t －1)2＋2≥2，∴y ＝f (g(t))＝2[(t －1)2＋2]＋1≥5，所以，x ＝g(t)不是f (x )的一个等值域变换；②f (x )＝x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，即f (x )的值域为[34，＋∞)，当t∈R 时，f (g(t))＝(2t－12)2＋34≥34，即y ＝f (g(t))的值域仍为[34，＋∞)，所以x ＝g(t)是f (x )的一个等值域变换．(2)由x 2－x ＋1>0解得x ∈R，函数f (x )＝log 2(x 2－x ＋1)＝log 2[(x －12)2＋34]≥log 234，即f (x )的值域为[log 234，＋∞)，①若a >0，函数g(t)＝a t 2＋2t ＋1有最小值1－1a，只需1－1a ≤12，即0<a ≤2，就可使函数y ＝f (g(t))的值域仍为[log 234，＋∞)；②若a ＝0，函数g(t)＝a t 2＋2t ＋1＝2t ＋1的值域为R ，函数y ＝f (g(t))的值域仍为[log 234，＋∞)；③若a <0，函数g(t)＝a t 2＋2t ＋1 有最大值1－1a，只需1－1a ≥12，即a <0，就可使函数y ＝f (g(t))的值域仍为[log 234，＋∞)．综上可知：实数a 的取值范围为(－∞，2]．。
2013届高考数学 电子题库 1.1第一课时课时活页训练 苏教版选修1
【苏教版】2013届高考数学选修1电子题库 第一章1.1第一课时课时活页训练一、填空题1．在△ABC 中，已知A ＝45°，B ＝60°，a ＝6，则b ＝________.答案：3 62．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，且a ＋b ＋c ＝15，则a ＝________，b ＝________，c ＝________ .解析：由sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶5∶6，知a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，令a ＝4k ，b ＝5k ，c ＝6k 代入，求得k ＝1.答案：4 5 63．在△ABC 中，一定成立的等式是__________．①a sin A ＝b sin B ②a cos A ＝b cos B③a sin B ＝b sin A ④a cos B ＝b cos A解析：将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 分别代入验证．答案：③4．设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________.解析：∵c ＝2R sin C ，∴R ＝AB 2sin C＝2 2. 答案：2 25．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且cos B ＝cos C ，角A 为锐角，则△ABC 的形状是________．解析：由3b ＝23a sin B ，得b sin B ＝23a 3. 根据正弦定理，得b sin B ＝asin A ， 所以a sin A ＝23a 3，即sin A ＝32. 又角A 是锐角，所以A ＝60°.又cos B ＝cos C ，且B 、C 都为三角形的内角，所以B ＝C .故△ABC 为等边三角形．答案：等边三角形6．在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则角A 的取值范围是________．解析：由a sin A ＝b sin B 可得sin A ＝12sin B ， 又因为0＜sin B ≤1，所以0＜sin A ≤12. 所以0°＜A ≤30°或150°≤A ＜180°.又因为A ＜B ，所以只有0°＜A ≤30°.答案：0°＜A ≤30°7．在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，AB →·BC →＞0，则角C ＝________.答案：30°8．在△ABC 中，a ＋b ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则a ＝________，b ＝__________.解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin45°＝b sin60°，即a ＝6b 2.又a ＋b ＝12，将a ＝6b 2代入，得b ＝126－24，a ＝36－12 6.答案：36－12 6 126－249．(2010年高考山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：∵sin B ＋cos B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝1. 又0＜B ＜π，∴B ＝π4. 由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12. 又a ＜b ，∴A ＜B ，∴A ＝π6. 答案：π6二、解答题10．在△ABC 中，c ＝10，cos A cos B ＝b a ＝43，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径． 解：由正弦定理，得b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B sin A， ∵cos A cos B ＝b a ＝43， ∴cos A cos B ＝sin B sin A，且A ≠B . ∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B ，∴2A ＋2B ＝π.∴A ＋B ＝π2. ∴△ABC 是直角三角形，C 为直角．由⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝102，b a ＝43，解得a ＝6，b ＝8，∴三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2. 11．在△ABC 中，已知AB ＝l ，∠C ＝50°，当BC 的长取得最大值时，求∠B 的值． 解：由正弦定理知 l sin C＝BC －C －B， 所以BC ＝l s －B sin50°. 当sin(130°－B )取得最大值1时，BC 的长最大，所以130°－B ＝90°，即B ＝40°. 12．△ABC 的三边各不相等，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，并且a cos A ＝b cos B ，求a ＋b c的取值范围．解：∵a cos A ＝b cos B ，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B .∵2A,2B ∈(0,2π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.如果A ＝B ，则a ＝b ，不符合题意，∴A ＋B ＝π2，∴sin A ＝a c ，cos A ＝b c ，∴a ＋b c ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4. ∵a ≠b ，C ＝π2，∴A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2且A ≠π4， ∴a ＋bc ∈(1，2)．。
苏教版高中数学同步辅导与检测：必修1 模块综合检测卷-附答案
模块综合检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)1．已知全集U＝{1，2，3，4}，A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝()A．{3} B．{4}C．{3，4} D．{1，3，4}解析：因为A＝{1，2}，B＝{2，3}，所以A∪B＝{1，2，3}．所以∁U(A∪B)＝{4}．答案：B2．当a＞1时，在同一平面直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝log a x 的图象是()答案：A3．已知集合A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝() A．∅B．[－1，1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：A＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．答案：D4．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1＜0，x1＋x2＞0，则()A．f(－x1)＞f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)＜f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定解析：由x1＜0，x1＋x2＞0得x2＞－x1＞0，又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－x2)＝f(x2)＜f(－x1)．答案：A5．已知函数f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则y＝f(x＋5)的单调递增区间是()A．(3，8) B．(－7，－2)C．(－2，3) D．(0，5)解析：因为f(x)的单调递增区间是(－2，3)，则f(x＋5)的单调递增区间满足－2＜x＋5＜3，即－7＜x＜－2.答案：B6．若x∈[0，1]，则函数y＝x＋2－1－x的值域是()A．[2－1，3－1] B．[1， 3 ]C．[2－1， 3 ] D．[0，2－1]解析：该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大．故y min ＝2－1，y max ＝ 3.答案：C7．下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1614＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1312 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1612＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1614 答案：A8．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1，3]D ．(1，3)解析：f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1，若有f (a )＝f (b )，则g (b )∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1⇒2－2<b <2＋ 2.答案：B9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，则2a－1＝－1不成立，舍去．当a＞1时，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3.所以a＋1＝8，a＝7.此时f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－74.答案：A10．设偶函数f(x)＝log a|x＋b|在(0，＋∞)上是单调减函数，则f(b －2)与f(a＋1)的大小关系是()A．f(b－2)＝f(a＋1) B．f(b－2)＞f(a＋1)C．f(b－2)＜f(a＋1) D．不能确定解析：因为y＝log a|x＋b|是偶函数，b＝0，所以y＝log a|x|.又在(0，＋∞)上是单调递减函数，所以0＜a＜1.所以f(b－2)＝f(－2)＝f(2)，f(a＋1)中1＜a＋1＜2.所以f(2)＜f(a＋1)，因此f(b－2)＜f(a＋1)．答案：C11．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是()A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时解析：由题设得e b＝192，①e22k＋b＝e22k·e b＝48，②将①代入②得e 22k＝14，则e 11k ＝12. 当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24. 所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．答案：C12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ＋5，x ＜1，1＋1x ， x ≥1，在R 上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．[2，4] 解析：当x ≥1时，f (x )＝1＋1x为减函数， 所以f (x )在R 上应为单调递减函数，要求当x ＜1时，f (x )＝x 2－ax ＋5为减函数，所以a 2≥1，即a ≥2，并且满足当x ＝1时，f (x )＝1＋1x 的函数值不大于x ＝1时f (x )＝x 2－ax ＋5的函数值，即1－a ＋5≥2，解得a ≤4.所以实数a 的取值范围[2，4]．答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．2－3，312与log 25三个数中最大的数是________．解析：因为2－3＜1，312＜2，log 25＞2.所以这三个数中最大的数为log 25.答案：log 2514．函数y ＝x －2x －3lg 4－x 的定义域是__________．解析：由题知⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，4－x ＞0，所以2≤x ＜4且x ≠3. 答案：[2，3)∪(3，4)15．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，则a ＋b ＝________．解析：因为函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，所以－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1.又f (0)＝b －2020＋1＝b －12＝0，所以b ＝1. 故a ＋b ＝2.答案：216．若函数f (x )＝|4x －x 2|－a 的零点个数为3，则a ＝________. 解析：作出g (x )＝|4x －x 2|的图象，g (x )的零点为0和4.由图象可知，将g (x )的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a ＝4.答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程式演算步骤)17．(本小题满分10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0，1]时，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )的两个零点是－3和2，所以函数图象过点(－3，0)，(2，0)．所以有9a －3(b －8)－a －ab ＝0.①4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.②①－②得b ＝a ＋8.③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0，因为a ≠0，所以a ＝－3.所以b ＝a ＋8＝5.所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18， 图象的对称轴方程是x ＝－12，又0≤x ≤1， 所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18.所以函数f (x )的值域是[12，18]．18．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0， (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2，2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋1，f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0.又因为对任意实数x ，均有f (x )≥0，所以Δ＝b 2－4a ≤0.所以(a ＋1)2－4a ≤0.所以a ＝1，b ＝2.所以f (x )＝x 2＋2x ＋1.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0.(2)因为g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1，在[－2，2]上是单调函数，所以k －22≥2或k －22≤－2， 解之得k ≥6或k ≤－2.所以k 的取值范围是{k |k ≥6或k ≤－2}．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1x，其定义域为{x |x ≠0}．(1)用单调性的定义证明函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数；(2)利用(1)所得到的结论，求函数f (x )在区间[1，2]上的最大值与最小值．(1)证明：设x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.f (x 2)－f (x 1)＝2x 2－1x 2－2x 1－1x 1＝x 2－x 1x 1x 2. 因为x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0.又因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，所以x 2x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＞0.故f (x )＝2x －1x在区间(0，＋∞)上为增函数． (2)解：因为f (x )＝2x －1x在区间(0，＋∞)上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝2－11＝1，f (x )max ＝f (2)＝2×2－12＝32. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x m －4x，且f (4)＝3. (1)求m 的值；(2)判断f (x )的奇偶性；(3)若不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)因为f (4)＝3，所以4m －44＝3， 所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －4x， 其定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．又f (－x )＝－x －4－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)因为y ＝x ，y ＝－1x在区间[1，＋∞)上都是增函数， 所以f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，所以f (x )≥f (1)＝－3. 因为不等式f (x )－a ＞0在区间[1，＋∞)上恒成立，即不等式a ＜f (x )在区间[1，＋∞)上恒成立，所以a ＜－3，故实数a 的取值范围是(－∞，－3)．21．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4(尾/立方米)时，v 的值为2(千克/年)；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v 的值为0(千克/年)．(1)当0＜x ≤20时，求函数v (x )的表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．解：(1)由题意：当0＜x ≤4时，v (x )＝2；当4＜x ≤20时，设v (x )＝ax ＋b ，显然该函数在[4，20]是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52.故函数v (x )＝⎩⎨⎧2， 0＜x ≤4，x ∈N *，－18x ＋52， 4≤x ≤20，x ∈N *. (2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎨⎧2x ， 0＜x ≤4，x ∈N *，－18x 2＋52x ， 4≤x ≤20，x ∈N *.当0≤x ≤4时，f (x )为增函数，故f max (x )＝f (4)＝4×2＝8；当4≤x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋10028， f max (x )＝f (10)＝12.5.所以，当0＜x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．22．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)＝m－g（x）1＋g（x）的定义域为R，其中g(x)为指数函数，且过定点(2，9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)＞0恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)设g(x)＝a x(a＞0，且a≠1)，则a2＝9.所以a＝－3(舍去)或a＝3，所以g(x)＝3x，f(x)＝m－3x 1＋3x.又f(x)为奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，则m－301＋30＝0，所以m＝1，所以f(x)＝1－3x1＋3x.(2)设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝1－3x11＋3x1－1－3x21＋3x2＝2（3x2－3x1）（1＋3x1）（1＋3x2）.因为x1＜x2，所以3x2－3x1＞0，所以2（3x2－3x1）（1＋3x1）（1＋3x2）＞0，所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减．要使对任意的t∈[0，5]，f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)＞0恒成立，即f(t2＋2t＋k)＞－f(－2t2＋2t－5)恒成立．因为f(x)为奇函数，所以f(t2＋2t＋k)＞f(2t2－2t＋5)恒成立．又因为函数f(x)在R上单调递减，所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k＜2t2－2t＋5恒成立，即对任意的t∈[0，5]，k＜t2－4t＋5＝(t－2)2＋1恒成立．而当t∈[0，5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，所以k＜1.。
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模块综合检测(时间：120分钟；满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1.已知集合A ＝{－1，0，1，2}，B ＝{－2，0，2，4}，则A ∩B ＝________．解析：A ∩B ＝{0，2}．答案：{0，2}模块综合检测2.函数f(x)＝log2(5x ＋1)的定义域为________．解析：要使函数有意义，则5x ＋1>0，∴x>－15，∴定义域为(－15，＋∞)．答案：(－15，＋∞)3.计算2lg 2＋lg5的值为________．解析：原式＝lg2＋lg5＝lg10＝1.答案：14.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x<1，x2＋x ，x ≥1，则f(f(0))的值为________． 解析：f(0)＝2－0＝2，∴f(f(0))＝f(2)＝22＋2＝6.答案：65.对于任意的a ∈(1，＋∞)，函数y ＝loga(x －2)＋1的图象恒过点________．(写出点的坐标) 解析：令x －2＝1，∴x ＝3，∴图象恒过点(3，1)．答案：(3，1)6.函数f(x)是R 上的偶函数，且当x ＞0时，f(x)＝x3＋1，则当x ＜0时，f(x)＝________． 解析：设任意的x ＜0，则－x ＞0，f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1，又因为f(x)是R 上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即当x ＜0时，f(x)＝－x3＋1.答案：－x3＋17.已知函数f(x)满足：x ≥4，则f(x)＝(12)x ；当x ＜4时，f(x)＝f(x ＋1)，则f(2＋log23)等于________．解析：∵3＜2＋log23＜4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)且3＋log23＞4，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝(12)3＋log23＝18×(12)log23＝18×(12)log 1213＝18×13＝124.答案：1248.函数f(x)＝x2－2＋log 12x 零点的个数为________．解析：f(x)的零点即2－x2＝log 12x 的方程根的个数，即y ＝2－x2与y ＝log 12x 两个函数图象的交点个数，画出两个函数的图象(如图)，可得出共有两个交点．答案：29.已知0≤x ≤2，若不等式a ≤4x －3×2x －4恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：令f(x)＝4x －3×2x －4，不等式恒成立，则a ≤f(x)min ，f(x)＝(2x)2－3·2x －4＝(2x －32)2－254.∵0≤x ≤2，∴1≤2x ≤4，∴当2x ＝32时，f(x)min ＝－254，∴a ≤－254.答案：(－∞，－254]10.有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的矩形，如图所示，则围成的矩形最大面积为________m2(围墙厚度不计)．解析：设矩形宽为x m ，则矩形长为(200－4x) m ，则矩形面积S ＝x(200－4x)＝－4(x －25)2＋2500(0＜x ＜50)，∴x ＝25 m 时，Smax ＝2500 m2.答案：250011.已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x －1)＜f(13)的x 的取值范围是________．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(|2x －1|)＜f(13)．又∵f(x)在[0，＋∞)上递增，∴|2x －1|＜13.∴－13＜2x －1＜13.∴13＜x ＜23.答案：13＜x ＜2312.已知f(3x)＝4xlog23＋234，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝________．解析：令3x ＝t ，则x ＝log3t ，代入f(3x)＝4xlog23＋234，得f(t)＝4log2t ＋234，则f(2)＋f(4)＋…＋f(28)＝4(1＋2＋…＋8)＋234×8＝2016.答案：201613.关于x 的方程x2－2|x|－3＝m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是________．解析：作出函数y ＝x2－2|x|－3及y ＝m 的图象，两函数图象有两个不同交点时，原方程有两个不相等的实数根，因此可得m ＝－4或m>－3.答案：(－3，＋∞)∪{－4}14.已知f(x )＝ax2－2ax ＋b(a>0)，则f(2x)与f(3x)的大小关系是________．解析：f(x)＝a(x －1)2＋b －a.当x>0时，1<2x<3x ，故有f(2x)<f(3x)；当x<0时，3x<2x<1，也有f(2x)<f(3x)；当x ＝0时，3x ＝2x ＝1，有f(2x)＝f(3x)．综上，f(2x)≤f(3x)．答案：f(2x)≤f(3x)二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)已知全集U ＝R ，集合A ＝{a|a ≥2或a ≤－2}，B ＝{a|关于x 的方程ax2－x ＋1＝0有实根}，求A ∪B ，A ∩(∁UB)．解：∵ax2－x ＋1＝0有实根，∴①当a ＝0时，x ＝1符合题意，②当a ≠0时，由Δ＝(－1)2－4a ≥0，解得a ≤14，综上：a ≤14，∴B ＝{a|a ≤14}．∴A ∪B ＝{a|a ≤14或a ≥2}，A ∩(∁UB)＝{a|a ≥2}．16.(本小题满分14分)判断函数f(x)＝x ＋1x在(0，1)上的单调性，并给出证明． 解：是减函数．证明如下：设0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(1x1－1x2)＝（x1－x2）（x1x2－1）x1x2. ∵0<x1<x2<1，∴x1x2－1<0，x1－x2<0.∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在(0，1)上是减函数．17.(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2x ＋1，g(x)＝x2－2x ＋1.(1)设集合A ＝{x|g(x)＝9}，求集合A ；(2)若x ∈[－2，5]，求g(x)的值域；(3)画出y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ≤0g （x ），x>0的图象，写出其单调区间．解：(1)集合A ＝{x|g(x)＝9}＝{x|x2－2x －8＝0}＝{－2，4}．(2)g(x)＝(x －1)2，∵x ∈[－2，5]，当x ＝1时，g(x)min ＝0；当x ＝5时，g(x)max ＝16.(3)画出函数图象如图：则单调增区间是(－∞，0]和[1，＋∞)，单调减区间是[0，1]．18.(本小题满分16分)定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x ≥0时，g(x)单调递减．若g(1－m)＜g(m)，求m 的取值范围．解：∵g(x)在[－2，2]上是偶函数，∴g(1－m)＝g(|1－m|)，g(m)＝g(|m|)．∵g(1－m)＜g(m)，∴g(|1－m|)＜g(|m|)．又g(x)在[0，2]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤1－m ≤2－2≤m ≤2|1－m|＞|m|，解得－1≤m ＜12. 19.(本小题满分16分)某汽车生产企业，上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆．本年度为节能减排，对产品进行升级换代．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x ≤12)，则出厂价相应提高的比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.5x.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)当投入成本增加的比例x 为何值时，本年度比上年度利润增加最多？最多为多少？ 解：(1)由题可知，本年度每辆车的利润为10(1＋0.75x)－8(1＋x)，本年度的销售量是12(1＋0.5x)，故年利润y ＝12(1＋0.5x)[10(1＋0.75x)－8(1＋x)]＝－3x2＋6x ＋24，x ∈(0，12]．(2)设本年度比上年度利润增加为f(x)，则f(x)＝(－3x2＋6x ＋24)－24＝－3(x －1)2＋3，因为x ∈(0，12]，在区间(0，12]上f(x)为增函数，所以当x ＝12时，函数y ＝f(x)有最大值为94.故当x ＝12时，本年度比上年度利润增加最多，最多为2.25亿元．20.(本小题满分16分)设函数f(x)的定义域为A ，值域为B ，如果存在函数x ＝g(t)，使得函数y ＝f(g(t))的值域仍然是B ，那么称函数x ＝g(t)是函数f(x)的一个等值域变换．(1)判断下列函数x ＝g(t)是不是函数f(x)的一个等值域变换？说明你的理由：①f(x )＝2x ＋1，x ∈R ，x ＝g(t)＝t2－2t ＋3，t ∈R ；②f(x)＝x2－x ＋1，x ∈R ，x ＝g(t)＝2t ，t ∈R.(2)设函数f(x)＝log2(x2－x ＋1)，g(t)＝at2＋2t ＋1，若函数x ＝g(t)是函数f(x)的一个等值域变换，求实数a 的取值范围．解：(1)①函数f(x)＝2x ＋1，x ∈R 的值域为R ，∵x ＝g(t)＝t2－2t ＋3＝(t －1)2＋2≥2，∴y ＝f(g(t))＝2[(t －1)2＋2]＋1≥5，所以，x ＝g(t)不是f(x)的一个等值域变换；②f(x)＝x2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，即f(x)的值域为[34，＋∞)，当t ∈R 时，f(g(t))＝(2t －12)2＋34≥34，即y ＝f(g(t))的值域仍为[34，＋∞)，所以x ＝g(t)是f(x)的一个等值域变换．(2)由x2－x ＋1>0解得x ∈R ，函数f(x)＝log2(x2－x ＋1)＝log2[(x －12)2＋34]≥log234，即f(x)的值域为[log234，＋∞)，①若a>0，函数g(t)＝at2＋2t ＋1有最小值1－1a ，只需1－1a ≤12，即0<a ≤2，就可使函数y ＝f(g(t))的值域仍为[log234，＋∞)；②若a ＝0，函数g(t)＝at2＋2t ＋1＝2t ＋1的值域为R ，函数y ＝f(g(t))的值域仍为[log234，＋∞)；③若a<0，函数g(t)＝at2＋2t ＋1 有最大值1－1a ，只需1－1a ≥12，即a<0，就可使函数y ＝f(g(t))的值域仍为[log234，＋∞)．综上可知：实数a 的取值范围为(－∞，2]．。