2020-2021学年北京十二中九年级(上)开学数学试卷-解析版
2019-2020学年北京十二中九年级(上)月考数学试卷(10月份)
2019-2020学年北京十二中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）已知，则的值是（）A．B．C．D．﹣2．（2分）已知2x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D．3．（2分）下列四组图形中，一定相似的图形是（）A．各有一个角是30°的两个等腰三角形B．有两边之比都等于2：3的两个三角形C．各有一个角是120°的两个等腰三角形D．各有一个角是直角的两个三角形4．（2分）抛物线y＝x2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1B．直线x＝1C．x轴D．y轴5．（2分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，下列说法中不正确的是（）A．S△ADE：S△ABC＝1：2B．C．△ADE∽△ABC D．DE＝BC6．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，若AB＝2cm，则短线段的长度是（）A．B．﹣1C．D．3﹣7．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．8．（2分）如图，点A和点B都在坐标轴上，OA＝OB＝2，M为AB的中点，∠PMQ＝45°，MP交y轴于点C，交x轴于点E，MQ交x轴于点D，交y轴于点F，∠PMQ在AB的左侧以M为中心旋转，设AD的长为m（m ＞0），BC的长为n，则下列结论正确的是（）A．△AMD∽△BMC B．mn＝2C．△OCE∽△ODF D．＝二、填空题（每题3分，共24分）9．（3分）方程x2＝3x的根是．10．（3分）若＝＝，则＝．11．（3分）在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是千米．12．（3分）如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，且BE：EC＝2：3，AE交BD于点F，则＝．13．（3分）如图，在△ABC中，DE∥AB，DE分别与AC，BC交于D，E两点，若＝．DC＝3，则AC＝．14．（3分）已知函数y＝（m2﹣3m）的图象是抛物线，则m＝．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，1），B（3，1），如果抛物线y＝ax2（a＞0）与线段AB有公共点，那么a的取值范围是．16．（3分）教学楼前有一棵树，小明想利用树影量树高．在阳光下他测得一根长为1m的竹竿的影长是0.7m，但当他马上测量树高时，发现树的不全在地面上有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），经过思考，他认为继续测量也可以求出树高，他测得，落在地面上的影长是3.5m，落在墙壁上的影长是1.2m，则这棵实际高度为．三、解答题（17-21题，每小题4分，22-24题，每题5分，27题7分，25，26，28题每题6分）17．（4分）解方程：x2﹣4x﹣6＝0（用配方法求解）．18．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD，若AC＝6，BC＝9，试求AD的长．19．（4分）如图，△ABC和△CDE都是直角三角形，∠A＝∠DCE＝90°，DE与BC相交于点F，AB＝6，AC＝9，CD＝4，CE＝6，问△EFC是否为等腰三角形？试说明理由．20．（4分）如图所示，三个边长为1个单位长度的正方形ABCD，ABEF，EFGH拼在一起．（1）请找岀中相似的两个三角形，并证明；（2）直接写出∠1，∠2，∠3这三个角度数之和．21．（4分）如图，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，且A，B，C三点均在小正方形的顶点上，试在这个网格上画一个与△ABC相似的△A1B1C1，要求：A1，B1，C1三点都在小正方形的顶点上，并直接写出△A1B1C1的面积．22．（5分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．23．（5分）已知抛物线y＝ax2经过点A（2，1）．（1）求这个函数的解析式；（2）若点A关于y轴对称的点是B，则抛物线上是否存在点C，使△ABC的面积等于△OAB面积的一半，若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由24．（5分）如图，等边△ABC中，边长为5，D是BC上一点，∠EDF＝60°．（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD＝1，FC＝3时，求BE的长．25．（6分）如图，点E是矩形ABCD边AB上一动点（不与点B重合），过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF，已知AB＝4cm，AD＝2cm，设A，E两点间的距离为xcm，△DEF面积为ycm2．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）确定自变量x的取值范围是；（2）通过取点、画图、测量、分析，得到了x与y的几组值，如表：（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF面积最大时，AE的长度为cm．26．（6分）古代阿拉伯数学家泰比特•伊本•奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中∠BAC为锐角，图2中∠BAC为直角，图3中∠BAC为钝角）．在△ABC的边BC上取B'，C'两点，使∠AB'B＝∠AC'C＝∠BAC，则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，＝，＝，进而可得AB2+AC2＝；（用BB'，CC'，BC表示）若AB＝4，AC＝3，BC＝6，则B'C'＝．27．（7分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒．（1）求直线AB的解析式；（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？（3）当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？28．（6分）问题探究：新定义：将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．解决问题：已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2．（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）2019-2020学年北京十二中九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共16分）1．【解答】解：∵＝，∴b＝2a，∴＝＝．故选：A．2．【解答】解：∵2x＝5y，∴．故选：B．3．【解答】解：A、各有一顶角或底角是30°的两个等腰三角形相似，故错误，不符合题意；B、有两边之比为2：3的两个三角形不一定相似，故错误，不符合题意；C、各有一个角是120°的两个等腰三角形相似，正确，符合题意；D、两个直角三角形不一定相似，故错误，不符合题意；故选：C．4．【解答】解：∵由抛物线y＝x2可知，其顶点坐标为（0，0），∴抛物线的对称轴为y轴．故选：D．5．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，＝＝＝，∴△ADE∽△ABC，DE＝BC，∴＝（）2＝（）2＝．故选：A．6．【解答】解：∵点P是AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝﹣1，则短线段BP＝AB﹣AP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故选：D．7．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．8．【解答】解：∵OA＝OB＝2，∴A（2，0），B（0，2），∵M是AB的中点，∴点M的坐标为（2，2）．∵OA＝OB，∠BOA＝90°，∴∠B＝∠A＝45°，∴∠BCM+∠BMC＝135°，MB＝AM＝AB＝．∵∠PMQ＝45°，∴∠BMC+∠AMD＝135°．∴∠BCM＝∠AMD．∴△AMD∽△BCM，故A选项不符合题意；∴＝，即＝．∴mn＝2；故B选项符合题意；∵∠ECO＝∠BCM＝∠AMD，∴∠ECO不一定等于∠ODF，∴△OCE不一定与△ODF相似，故选项C不符合题意；∵△AMD∽△BMC，∴＝（）2＝（）2＝，故选项D不符合题意．故选：B．二、填空题（每题3分，共24分）9．【解答】解：x2＝3xx2﹣3x＝0即x（x﹣3）＝0∴x＝0或3故本题的答案是0或3．10．【解答】解：由＝＝，得y＝，z＝．＝＝1．故答案为：1．11．【解答】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，根据题意得，＝，解得：x＝600000cm＝6km，故答案为：6．12．【解答】解：∵BE：EC＝2：3，∴BE：BC＝2：5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴BE：AD＝2：5，△ADF∽△EBF，∴＝＝．故答案为：．13．【解答】解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝（）2＝，且DC＝3，∴AC＝3，故答案为3．14．【解答】解：由函数y＝（m2﹣3m）的图象是抛物线，得，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．15．【解答】解：把A（1，1）代入y＝ax2得a＝1；把B（3，1）代入y＝ax2得a＝，所以a的取值范围为≤a≤1．故答案为≤a≤1．16．【解答】解：因为同一时刻物高与影长成比例，所以：，即：，解得落在地上的影长对应的树的高＝5m，所以树的高度为：5+1.2＝6.2m，故答案为：6.2m三、解答题（17-21题，每小题4分，22-24题，每题5分，27题7分，25，26，28题每题6分）17．【解答】解：x2﹣4x﹣6＝0x2﹣4x＝6x2﹣4x+4＝4+6（x﹣2）2＝10x﹣2＝±∴．18．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠B＝∠ACD，△ABC∽△DCA，∴＝，∴＝，解得：AD＝4．19．【解答】解：△EFC是等腰三角形．理由如下：在△ABC和△CDE中，∵∠A＝∠DCE＝90°，，∴△ABC∽△CDE；有∠ACB＝∠CED，故EF＝FC．∴△EFC是等腰三角形．20．【解答】解：（1）ACF∽△AHC．理由如下：∵AC＝，AF＝1，AH＝2，∴＝＝，而∠F AC＝∠CAH，∴△ACF∽△AHC；（2）∵△ACF∽△AHC∴∠2＝∠ACH，而∠1＝∠ACH+∠3，∴∠1＝∠2+∠3．∵∠1＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°．21．【解答】解：如图，△A1B1C1为所作；△A1B1C1的面积＝×2×2＝2．22．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5＞0，解得：m＞﹣．（2）m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，即x（x+3）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣3．23．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2，∵经过点A（2，1），∴4a＝1，解得a＝，∴这个函数的解析式为y＝x2；（2）∵点A（2，1），∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（﹣2，1）；∴AB＝2﹣（﹣2）＝2+2＝4，S△OAB＝×4×1＝2；假设存在点C，且点C到AB的距离为h，则S△ABC＝•AB•h＝×4h，∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半，∴×4h＝×2，解得h＝，①当点C在AB下面时，点C的纵坐标为1﹣＝，此时，x2＝，解得x1＝，x2＝﹣，点C的坐标为（，）或（﹣，），②点C在AB的上面时，点C的纵坐标为1+＝，此时x2＝解得x1＝，x2＝﹣，点C的坐标为（，）或（﹣，），综上所述，存在点C（，）或（﹣，）或（，）或（﹣，）使△ABC的面积等于△OAB面积的一半．24．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，∠EDF＝60°，∴∠BED＝∠CDF，∴△BDE∽△CFD；（2）解：∵等边△ABC中，边长为5，BD＝1，∴CD＝BC﹣BD＝4，∵△BDE∽△CFD，∴BE：CD＝BD：CF，∴BE：4＝1：3，∴BE＝．25．【解答】解：（1）∵点E在AB上，∴0≤x＜4，故答案为：0≤x＜4；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，CD＝AB＝4，∠A＝∠B＝90°，∴∠ADE+∠AED＝90°，∵EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF＝90°，∴∠ADE＝∠BEF，∵∠A＝∠B＝90°，∴△ADE∽△BEF，∴，∵AE＝x，∴BE＝AB﹣AE＝4﹣x，∴，∴BF＝，当x＝1时，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝2﹣＝，y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF﹣S△CDF＝8﹣×2×1﹣×3×﹣×4×＝3.75≈3.8，当x＝2时，BF＝2，∴CF＝BC﹣BF＝0，此时，点F和点C重合，y＝S矩形ABCD﹣S△ADE﹣S△BEF＝8﹣×2×2﹣×2×2＝4.0故答案为：3.8，4.0（3）描点，连线，画出如图所示的图象，（4）由图象可知，当x＝0或2时，△DEF面积最大，即：当△DEF面积最大时，AE＝0或2，故答案为0，2．26．【解答】解：∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC∴＝，＝，∴AB2＝BC•B′B，AC2＝BC•C′C，∴AB2+AC2＝BC•B′B+BC•C′C＝BC（BB′+C′C）；∵AB＝4，AC＝3，BC＝6，∴42+32＝6（BB′+C′C），即6（BC﹣B′C′）＝25，∴6﹣B′C′＝，∴B′C′＝．故答案为BC（BB'+CC'）；．27．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，由题意，得，解得，所以，直线AB的解析式为y＝﹣x+6；（2）由AO＝6，BO＝8得AB＝10，所以AP＝t，AQ＝10﹣2t，①当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．所以＝，解得t＝（秒），②当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．所以＝，解得t＝（秒）；∴当t为秒或秒时，△APQ与△AOB相似；（3）过点Q作QE垂直AO于点E．在Rt△AOB中，sin∠BAO＝＝，在Rt△AEQ中，QE＝AQ•sin∠BAO＝（10﹣2t）•＝8﹣t，S△APQ＝AP•QE＝t•（8﹣t），＝﹣t2+4t＝，解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．∴当t为2秒或3秒时，△APQ的面积为个平方单位28．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵，∠C＝45°，AD是△ABC的一条等积线段，∴点D为线段BC的中点，BC＝4，∴AD＝2；（2）符合题意的图形如右上角图2和图3所示：如图2，当BD是△ABC的一条等积线段时，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BD是△ABC的一条等积线段，∴点D为AC的中点，∴AD＝，∴BD＝＝；如图3，当DE是△ABC的一条等积线段时，此时DE∥BC，则△ADE的面积等于△ABC面积的一半，∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴△ABC的面积为：，∴△ADE的面积是2，设AD＝a，则，得a2＝4，∴DE＝．。
北京市丰台区第十二中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学考试试题【含答案】
北京市丰台区第十二中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学考试试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）已知x=1是一元二次方程的解，则b 的值为（）A ．0B ．1C ．D ．22、（4分）如图，在△ABC 中，∠A=∠B=45︒，AB=4.以AC 为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（）A ．2B ．4C ．8D ．163、（4分）某旅游纪念品商店计划制作一种手工编织的工艺品600件，制作120个以后，临近旅游旺季，商店老板决定加快制作进度，后来每天比原计划多制作20个，最后共用时11天完成，求原计划每天制作该工艺品多少个？设原计划每天制作该工艺品x 个，根据题意可列方程（）A ．1206001120x x +=+B ．1206001201120x x -+=-C ．1206001201120x x -+=+D ．1206001201120x x -+=+4、（4分）如图，在ABC ∆中，D 是BC 边的中点，AE 是BAC ∠的角平分线，AE CE ⊥于点E ，连接DE ，若7AB =，1DE =，则AC 的长度是()A ．5B ．4C ．3D ．2学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………5、（4分）已知a 是方程2x 2﹣4x ﹣2019＝0的一个解，则a 2﹣2a ＝（）A ．2019B ．4038C ．20192D ．201946、（4分）如图，在直角△ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段AN 的长为()A ．6B ．5C ．4D ．37、（4分）如图，函数y kx b =+与y mx n =+的图象交于点()P 1,2，那么关于x ，y 的方程组y kx b y mx n =+⎧=+⎨⎩的解是()A ．{x 1y 2==B ．{x 2y 1==C ．{x 2y 3==D ．{x 1y 3==8、（4分）测得某人一根头发的直径约为0.0000715米，该数用科学记数法可表示为（）A ．0.715×104B ．0.715×10﹣4C ．7.15×105D ．7.15×10﹣5二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）方程320x +=在实数范围内的解是________．10、（4分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（cm ）185180185180方差 3.6 3.67.48.1根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择___________．11、（4分）将一个矩形纸片按如图所示折叠，若170︒∠=,则2∠的度数是______.12、（4分）某校对n 名学生的体育成绩统计如图所示，则n ＝_____人．13、（4分）若一个多边形的每一个内角都是144°，则这个多边形的是边数为_____.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D .过点D 作DE ⊥AB 于点E .求证：△ACD ≌△AED ．15、（8分）如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 边的中点，AC 与BE 相交于点F ，连接DF ．（1）在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；（2）连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；（3）延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．（直接写出结论）16、（8分）在今年“绿色清明，文明祭祀”活动中，某花店用1200元购进若干菊花，很快售完，接着又用3000元购进第二批菊花，已知第二批所购进菊花的数量是第一批所购进菊花数量的2倍，且每朵菊花的进价比第一批每朵菊花的进价多1元.（1）求第一批每朵瓶菊花的进价是多少元？（2）若第一批每朵菊花按5元售价销售，要使总利润不低于1500元（不考虑其他因素），第二批每朵菊花的售价至少是多少元？17、（10分）鞋子的“鞋码”和鞋长（cm）是一次函数关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值：鞋长15182326鞋码20263642（1）设鞋长为x，“鞋码”为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果你需要的鞋长为24cm，那么应该买多大码的鞋？18、（10分）在学校组织的知识竞赛活动中，老师将八年级一班和二班全部学生的成绩整理并绘制成如下统计表：得分(分)5060708090100人数(人)班级一班251013146二班441621212(1)现已知一班和二班的平均分相同，请求出其平均分．(2)请分别求出这两班的中位数和众数，并进一步分析这两个班级在这次竞赛中成绩的情况．B卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）若a2﹣5ab﹣b2＝0，则a bb a-的值为_____．20、（4分）分式211xx--的值为0，那么x的值为_____．21、（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=1．作一边的垂直平分线交另一边于点D，则CD的长是______．22、（4分）一个正多边形的每个内角度数均为135°，则它的边数为____．23、（4分）如图矩形ABCD的对角线AC和BD 相交于点O ，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修．技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达．已知抢修车的速度是摩托车的1.5倍，求这两种车的速度？25、（10分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相较于点O，的角平分线BF交CD于点E，交AC于点F求证：；若，求AB 的值26、（12分）解分式方程：1x x -﹣1=233x x -．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】根据一元二次方程解的定义，把x=1代入x1+bx+1=0得关于b的一次方程，然后解一次方程即可．【详解】解：把x=1代入x1+bx+1=0得1+b+1=0，解得b=-1．故选：C．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2、C【解析】试题解析：3、C【解析】根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，1206001201120x x-+=+，故选：C．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．4、A【解析】延长CE，交AB于点F，通过ASA证明△EAF≌△EAC，根据全等三角形的性质得到AF=AC，EF=EC，根据三角形中位线定理得出BF=1，即可得出结果．【详解】解：延长CE，交AB于点F．∵AE 平分∠BAC ，AE ⊥CE ，∴∠EAF=∠EAC ，∠AEF=∠AEC ，在△EAF 与△EAC 中，EAF EAC AE AE AEF AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△EAF ≌△EAC （ASA ），∴AF=AC ，EF=EC ，又∵D 是BC 中点，∴BD=CD ，∴DE 是△BCF 的中位线，∴BF=1DE=1．∴AC=AF=AB-BF=7-1=5；故选A ．此题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明三角形全等是解题的关键．5、C 【解析】根据“a 是方程2x 2﹣4x ﹣2019＝0的一个解”得出22420190a a --=，即2242019a a -=，则答案可求．【详解】∵a 是方程2x 2﹣4x ﹣2019＝0的一个根，∴22420190a a --=，∴2201922a a -=，故选：C ．本题主要考查整体代入法和方程的根，掌握整体的思想和方程的根的概念是解题的关键．6、B 【解析】设AN x =，由翻折的性质可知DN AN x ==，则BN 9x =-，在Rt DBN 中利用勾股定理列方程求解即可．【详解】解：设AN x =，由翻折的性质可知DN AN x ==，则BN 9x =-．D 是BC 的中点，1BD 632∴=⨯=．在Rt BDN 中，由勾股定理得：222ND NB BD =+，即223x (9x)3=-+，解得：x 5=．AN 5=．故选：B ．本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，由翻折的性质得到DN AN x ==，BN 9x =-，从而列出关于x 的方程是解题的关键．7、A 【解析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．【详解】解：根据题意可得方程组y kx b y mx n =+⎧⎨=+⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩．故选：A ．本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．8、D【解析】0.0000715=57.1510-⨯,故选D.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、x =【解析】由320x +=，得32x =-，根据立方根定义即可解答．【详解】解：由320x +=，得32x =-，x =，故答案为：x =本题考查了立方根，正确理解立方根的意义是解题的关键．10、甲【解析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加即可．【详解】解：∵x x x x =>=甲乙丁丙，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵S 甲2=S 乙2＜S 丙2＜S 丁2，∴选择甲参赛；故答案为：甲．此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．11、40°【解析】依据平行线的性质，即可得到1801110ABD ∠=︒-∠=︒，170DBE ∠=∠=︒，进而得出110DBF ABD ∠=∠=︒，再根据2DBF DBE ∠=∠-∠进行计算即可．【详解】解：如图所示，//AB CD ，1801110ABD ∴∠=︒-∠=︒，170DBE ∠=∠=︒，由折叠可得，110DBF ABD ∠=∠=︒，21107040DBF DBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：40︒．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．12、1【解析】根据统计图中的数据，可以求得n 的值，本题得以解决．【详解】解：由统计图可得，n ＝20+30+10＝1（人），故答案为：1．本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，提取统计图中的有效信息解答．13、1【解析】先求出每一个外角的度数，再根据边数=360°÷外角的度数计算即可．【详解】180°-144°=36°，360°÷36°=1，∴这个多边形的边数是1，故答案为：1．本题考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、见解析.【解析】首先根据AD 平分∠CAB ，90ACD AED ︒∠=∠=，可得CD=DE ，即可证明△ACD ≌△AED.【详解】证明：AD 平分∠CAB ∴CAD BAD ∠=∠90ACD AED ︒∠=∠=∴CD=DE ∴△ACD ≌△AED （AAS ）.本题主要考查三角形的全等证明，是基本知识，应当熟练掌握.15、（1）△ADF ≌△ABF ，△ADC ≌△ABC ，△CDF ≌△CBF ；（1）AE ⊥DF ，详见解析；（3）详见解析【解析】（1）根据正方形的性质得到相关的条件找出全等的三角形：△ADF ≌△ABF ，△ADC ≌△ABC ，△CDF ≌△CBF ；（1）利用正方形的性质证明△ADE ≌△BCE ，再利用全等的关系求出∠AHD ＝90°，得到AE ⊥DF ；（3）利用（1）中结论，及正方形的性质证明△DCM ≌△BCE ，得到CE=CM ，结合点E 为DC 的中点即可证明点M 为BC 的中点．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD=BC=DC ，∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=23°，又∵AF=AF ，∴△ADF ≌△ABF ，∵AC=AC ，∴△ADC ≌△ABC ，∵CF=CF ，∴△CDF ≌△CBF ，∴全等的三角形有：△ADF ≌△ABF ，△ADC ≌△ABC ，△CDF ≌△CBF ．（1）AE ⊥DF ．证明：设AE 与DF 相交于点H ．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠DAF=∠BAF ．又∵AF=AF ，∴△ADF ≌△ABF ．∴∠1=∠1．又∵AD=BC ，∠ADE=∠BCE=90°，DE=CE ，∴△ADE ≌△BCE ．∴∠3=∠2．∵∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠AHD=90°．∴AE ⊥DF ．（3）如图，∵∠ADE=90°，AE ⊥DF ．∴∠1+∠3=90°，∠3+∠1=90°．∴∠3=∠3，∵∠3=∠2，∴∠2=∠3．∵DC=BC ，∠DCM=∠BCE=90°，∴△DCM ≌△BCE ．∴CE=CM ，又∵E 为CD 中点，且CD=CB ，∴CE=12CD=12BC ，∴CM=12CB ，即M 为BC 中点，∴BM=MC ．主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定．充分利用正方形的特殊性质来找到全等的条件从而判定全等后利用全等三角形的性质解题．16、（1）第一批每朵菊花的进价是4元；（2）第二批每朵菊花的售价至少是7元．【解析】（1）设第一批每朵菊花的进价是x 元，则第一批每朵菊花的进价是（x+1）元，根据数量=总价÷单价结合第二批所购菊花的数量是第一批所购菊花数量的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设第二批每朵菊花的售价是y 元，根据总利润=每朵菊花的利润×销售数量结合总利润不低于1500元，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】解：（1）设第一批每朵菊花的进价是x 元，则第二批每朵菊花的进价是()1x +元，依题意得：3000120021x x=⨯+解得：4x =，经检验，4x =是原方程的解，且符合题意．答：第一批每朵菊花的进价是4元．（2）设第二批每朵菊花的售价是y 元，依题意，得：()()120030005451500441y -⨯+-≥+，解得：7y ≥．答：第二批每朵菊花的售价至少是7元．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．17、（1）y=2x-10；（2）38【解析】（1）利用待定系数法求函数关系式即可；（2）代入x=24，求出y即可.【详解】解：（1）设x、y之间的函数关系式为：y＝kx＋b，根据题意得：20=152618k bk b+⎧⎨=+⎩，解得：210 kb=⎧⎨=-⎩，∴y与x之间的函数关系式为：y＝2x−10；（2）当x=24时，y＝2x−10＝48－10＝38，答：应该买38码的鞋.此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．18、(1)平均分为80分；(2)一班的众数为90分、中位数为80分；二班的众数为70分、中位数为80分；分析见解析.【解析】()1根据平均数的定义计算可得；()2根据众数和中位数的定义分别计算，再从平均分和得分的中位数相同的前提下合理解答即可．【详解】解：(1)一班的平均分为5026057010801390141006251013146⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++++＝80(分)，二班的平均分为5046047016802901210012441621212⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++++＝80(分)；(2)一班的众数为90分、中位数为80802+＝80分；二班的众数为70分、中位数为80802+＝80(分)；由于一、二班的平均分和得分的中位数均相同，而二班得分90分及以上人数多于一班，所以二班在竞赛中成绩好于一班．本题主要考查众数、中位数和平均数，解题的关键是掌握众数、中位数和平均数的定义．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、5【解析】由已知条件易得225a b ab -=，22a b a b b a ab --=，两者结合即可求得所求式子的值了.【详解】∵2250a ab b --=，∴225a b ab -=，∵22a b a b b a ab --=，∴2255a b a b ab b a ab ab --===.故答案为：5.“能由已知条件得到225a b ab -=和22a b a b b a ab --=”是解答本题的关键.20、-1【解析】根据分式值为0得出分子等于0求出x 的值，再根据分母不等于0排除x=1，即可得出答案.【详解】∵分式211x x --的值为0∴210x -=解得：x=1或x=-1又x-1≠0∴x=-1故答案为-1.本题考查的是分式的值为0，属于基础题型，注意分式值为0则分子等于0，但分母不等于0.21、85或【解析】分两种情况：①当作斜边AB 的垂直平分线PQ ，与BC 交于点D 时，连接AD 由PQ 垂直平分线段AB ，推出DA=DB ，设DA=DB=x ，在Rt △ACD 中，∠C=90°，根据AD 2=AC 2+CD 2构建方程即可解决问题；②当作直角边的垂直平分线PQ ，与斜边AB 交于点D 时，连接CD ，根据直角三角形斜边上的中线性质求得CD ．【详解】解：当作斜边AB 的垂直平分线PQ ，与BC 交于点D 时，连接AD ．∵PQ 垂直平分线段AB ，∴DA=DB ，设DA=DB=x ，在Rt △ACD 中，∠C=90°，AD 2=AC 2+CD 2，∴x 2=32+（1-x ）2，解得x=175，∴CD=BC-DB=1-175=85；当作直角边的垂直平分线PQ 或P′Q′，都与斜边AB 交于点D 时，连接CD ，则D 是AB 的中点，∴CD=12AB==综上可知，CD=85．故答案为：85．本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22、8【解析】试题分析：多边形的每一个内角的度数=(2)180°n n -⨯，根据公式就可以求出边数.【详解】设该正多边形的边数为n 由题意得：(2)180°n n -⨯=135°解得：n=8故答案为8.考点：多边形的内角和23、1．【解析】首先结合矩形的性质证明△AOE ≌△COF ，得△AOE 、△COF 的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BCD 的面积．【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，∠AEO ＝∠CFO ；又∵∠AOE ＝∠COF ，在△AOE 和△COF 中，∵AEO CFO OA OC AOE COF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩＝，∴△AOE ≌△COF （ASA ），∴S △AOE ＝S △COF ，∴S 阴影＝S △AOE +S △BOF +S △COD ＝S △AOE +S △BOF +S △COD ＝S △BCD ；∵S △BCD ＝12BC •CD ＝1，∴S 阴影＝1．故答案为1．本题主要考查矩形的性质，三角形全等的判定和性质定理，掌握三角形的判定和性质定理，是解题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、摩托车的速度是40km/h ，抢修车的速度是60km/h ．【解析】试题分析：设摩托车的是xkm/h ，那么抢修车的速度是1.5xkm/h ，根据供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修．技术工人骑摩托车先走，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，结果他们同时到达可列方程求解．试题解析：设摩托车的是xkm/h ，x=40经检验x=40是原方程的解．40×1.5=60（km/h ）．摩托车的速度是40km/h ，抢修车的速度是60km/h ．考点：分式方程的应用．25、（1）详见解析；（2）．【解析】根据正方形的性质得到，由角平分线的定义得到，求得，于是得到结论；如图作交BD 于点首先证明是等腰直角三角形，推出，求出OB 即可解决问题．【详解】证明：，BD 是正方形的对角线，，平分，；，，，；解解：如图，作交BD 于点H ．四边形ABCD 是正方形，，，，，，第21页，共21页，，，平分，，，，．本题考查正方形的性质，角平分线的定义，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．26、分式方程的解为x=1.1．【解析】根据解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论依次计算可得．【详解】两边都乘以3（x ﹣1），得：3x ﹣3（x ﹣1）=2x ，解得：x=1.1，检验：x=1.1时，3（x ﹣1）=1.1≠0，所以分式方程的解为x=1.1．本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.。
2024北京十二中初三上学期10月月考数学试题及答案
2024北京十二中初三10月月考数 学2024.10（满分100分，时间90分钟）一、单选题（共36分，每题3分）1. 将一元二次方程5x 2﹣1＝4x 化为一般形式，其中一次项系数是（ ） A. 5B. ﹣4C. 4D. ﹣12. 下列函数中，二次函数是（ ） A. y =8x 2+1B. y =8x +1C. y =8xD. y =281x+ 3. 关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A. a ≤1B. a ＜1C. a ≤1且a ≠0D. a ＜1且a ≠04. 若0k <，则关于x 的一元二次方程210x x k ++−=根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根5. 下列说法正确的是（ ）A. 方程20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程B. 方程234x =的常数项是4C. 当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解D. 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根6. 关于x 的方程()()2212110k x k x −+++=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 14k >且1k ≠ B. 14k ≥且1k ≠ C. 14k >D. 14k ≥7. 方程（x -1）（x -2）=1的根是（ ） A. x 1=1，x 2=2 B. x 1=-1，x 2=-2 C. x 1=0，x 2=3D. 以上都不对8. 用配方法解一元二次方程22310x x −−=，配方正确的是（ ）．A. 2317416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭B. 23142x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭C. 231324x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭D. 231124x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭9. 二次函数2(2)1y x =+−的图像大致为（ ）A. B. C. D.10. 把抛物线25y x =向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ） A. ()2523y x =−+B. ()2523y x =+−C. ()2523y x =++D. ()2523y x =−−11. 在同一直角坐标系中，直线1y ax =+与二次函数21y ax bx =++的图象可能是（ ）A. B. C. D.12. 二次函数21(0)y ax a =+<，线段AB 中，(1,1)A −−，(3,0)B ，将线段AB 向下平移3个单位得到线段MN ，若21(0)y ax a =+<的图象与线段MN 只有一个公共点，则a 的取值范围是（ ） A. 5a <− B. 409a −≤< C. 459a −<≤−D. 50a −≤<二、填空题（共16分，每题2分）13. 写出一个图象开口向上，且经过点()01，的二次函数的解析式：_______． 14. 已知x =2是关于x 的一元二次方程kx 2+（k 2﹣2）x +2k +4=0的一个根，则k 的值为_____． 15. 抛物线23y x =向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到新的抛物线的表达式是______． 16. 由于成本上涨，某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的50元涨到了72元．设平均每次涨价的百分率为x ，则由题意可列方程为，_______________．17. 已知函数()21y x =−−图像上两点()12,y A ，()2,a y B ，其中2a >，则1y 与2y 的大小关系是1y ____2y （填“<”、“>”或“=”）18. 一个三角形的两边长分别为3和6，第三边是方程2680x x −+=的一个根，则这个三角形的周长是______．19. 如图，在平面直角坐标系中，点A B ，的坐标分别为(2,2)−，(4,2)−，若抛物线2(0)y ax a =>与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是______．20. 小轩从如图所示的二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息： ①ab ＞0；②a +b +c ＜0；③b +2c ＞0；④a ﹣2b +4c ＞0；⑤．你认为其中正确的信息是_______三、解答题（共48分，21题16分，22、23、24、26每题6分，25题8分）21. 解方程（1）()219x −=； （2）2650x x −+=； （3）()3122x x x −=−； （4）22410x x −+=．22. 已知关于x 的方程：()()221100mx m x m m +−+−=≠．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数m 的值．23. 某学校要设计校园“数学嘉年华”活动的项目介绍展板．如图，现有一块长25dm ，宽8dm 的矩形展板，展示区域为全等的四个矩形，其中相邻的两个矩形展示区域之间及四周都留有宽度相同的空白区域．如果四个矩形展示区域的面积之和为2120dm ，求空白区域的宽度．24. 如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标． 25. 已知二次函数228=+−y x x ．（1）求此二次函数图象与两坐标轴的交点坐标，在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）当5x 0−<<时，y 的取值范围是________； （3）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221(0)y mx mx m =−−>与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴交于C ．（1）求抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．拋物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域为图形W（不含边界）．m=时，求图形W内的整点个数；①当1②若图形W内有2个整数点，求m的取值范围．参考答案一、单选题（共36分，每题3分）1. 【答案】B【分析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．【详解】解：一元二次方程5x 2﹣1＝4x 化为一般形式是5x 2﹣4x ﹣1＝0，一次项系数分别为﹣4． 故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化． 2. 【答案】A【分析】根据二次函数的定义：形如2y ax bx c =++( a ≠0)的函数叫二次函数，直接判断即可． 【详解】A 、281y x =+符合二次函数的定义，本选项符合题意； B 、81y x =+是一次函数，不符合题意； C 、8y x=是反比例函数，不符合题意； D 、281y x=+不是二次函数，不符合题意； 故选A【点睛】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握二次函数的定义，即可完成． 3. 【答案】D【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且24b ac −＝（﹣2）2﹣4a ＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得a ≠0且224(2)40b ac a −=−−>， 解得a ＜1且a ≠0． 故选：D ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与b 2﹣4ac 有如下关系：当b 2﹣4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2﹣4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根；当b 2﹣4ac ＜0时，方程无实数根． 4. 【答案】A【分析】先计算根的判别式的值可得54k ∆=−，再利用0k <即可判断0∆>，最后根据根的判别式的意义进行判断． 【详解】解：()214154k k ∆=−−=−，而0k <，540k ∴−>，即0∆>，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的性质，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当0∆=时，方程有两个相等的实数根；当0∆<时，方程无实数根． 5. 【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程的有关概念，解题的关键是理解一元二次方程的有关概念．根据一元二次方程的有关概念进行分析即可．【详解】解：A ．对于方程20ax bx c ++=，若0a =，则该方程不是关于x 的一元二次方程，故说法错误；B ．方程234x =整理为一般形式为2340x −=，其常数项是4−，故说法错误；C ．当一次项系数为0时，该方程不一定有解，故说法错误；D ．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根，说法正确． 故选：D ． 6. 【答案】D【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求k 的取值范围即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于x 的方程()()2212110k x k x −+++=有实数根， ∴()()22121410k k ∆=+−⨯⨯≥−，且 1k ≠， 解得，14k ≥且1k ≠， 当方程为一元一次方程时，k =1，方程有实根 综上，14k ≥ 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中0a ≠，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键． 7. 【答案】D【详解】解：方程整理得：x 2﹣3x +1=0，这里a =1，b =﹣3，c =1，∵△=b 2﹣4ac =9﹣4=5，∴x ．故选D ． 8. 【答案】A【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案．【详解】解：22310x x −−=， 移项得2231x x −=， 二次项系数化1的23122x x −=， 配方得22233132424x x ⎛⎫⎛⎫−+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2317416x ⎛⎫−= ⎪⎝⎭， 故选：A ．【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 9. 【答案】D【详解】解：∵a =1＞0， ∴抛物线开口向上，由解析式可知对称轴为x =﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）． 故选：D ． 10. 【答案】C【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．【详解】把抛物线25y x =向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是()2523y x =++ 故选C ．【点睛】本题考查了抛物线的平移及抛物线解析式的变化规律：左加右减、上加下减． 11. 【答案】C【分析】此题主要考查了二次函数的图象、一次函数的图象与系数的关系，假设其中一个图象正确，然后根据图象得到系数的取值范围，然后根据系数的取值范围确定另一个图象的位置，看是否和图象相符即可求解．【详解】解：A 、根据一次函数图象知道0a <，与y 轴的交点不是(0,1)，故A 选项错误；B 、根据二次函数的图象知道0a <，同时与y 轴的交点是(0,1)，但是根据一次函数的图象知道0a >，故B 选项错误；C 、根据图象知道两个函数图象与y 轴的交点坐标为(0,1)，同时也得到0a >，故C 选项正确；D 、根据一次函数图象知道0a <，根据二次函数的图象知道0a >，故D 选项错误． 故选：C ． 12. 【答案】C【分析】本题考查二次函数图象及其性质、线段平移规律，根据线段平移特点求出坐标，再讨论二次函数与线段一个交点的情况，利用排除法即可求解．【详解】解：(1,1)A −−，(3,0)B ，线段AB 向下平移3个单位得到线段MN ，∴(1,4)M −−，(3,3)N −， ∴直线MN 解析式为11544y x =−， 二次函数21y ax =+，当图象过点M 时，将(1,4)M −−坐标代入函数式，得14a +=−，解得5a =−，此时联立2115441y x y ax ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩解得12573,16x x ==−，∵191320−<<， ∴与抛物线有两个交点，故5a =−不符合条件； 故排除D 选项；当图象过点N 时，将(3,3)N −坐标代入函数式，得913a +=−，解得49a =−， 此时联立2115441y x y ax ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩解得12191,20x x =−=， ∵57116−<−， ∴与抛物线只有一个交点，故49a =−符合条件； 故排除A 选项；当1a =−时，联立2115441y x y ax ⎧=−⎪⎨⎪=+⎩解得12x =−∵111322−<−<−+<， ∴与抛物线只有一个交点，故1a =−符合条件； 故排除B 选项． 故选：C ．二、填空题（共16分，每题2分）13. 【答案】21y x =+等【分析】设二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c(a ≠0)，根据开口向上，a ＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式．【详解】设二次函数的表达式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)， ∵图象为开口向上，且经过(0，1)， ∴a ＞0，c=1，∴二次函数表达式可以为：21y x =+(答案不唯一)． 故答案为：21y x =+(答案不唯一)．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，得出a 的符号和c=1是解题关键． 14. 【答案】﹣3【分析】把x =2代入kx 2+（k 2﹣2）x +2k +4=0得4k +2k 2﹣4+2k +4=0，再解关于k 的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k 的值即可．【详解】把x =2代入kx 2+（k 2﹣2）x +2k +4=0得4k +2k 2﹣4+2k +4=0， 整理得k 2+3k =0，解得k 1=0，k 2=﹣3， 因为k ≠0， 所以k 的值为﹣3． 故答案为﹣3．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15. 【答案】()2314y x =−+【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：抛物线23y x =向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到新的抛物线的表达式是：()2314y x =−+，故答案是：()2314y x =−+．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 16. 【答案】()250172x +=【分析】可先表示出第一次涨价后的价格，然后可得第二次涨价后的价格，根据两次连续涨价，每件售价由原来的50元涨到了72元列方程即可． 【详解】解：设平均每次涨价的百分率为x ，则第一次涨价后的价格为()501x +，第二次涨价后的价格为()2501x +，∴可列方程为()250172x +=， 故答案为：()250172x +=．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为()21a x b ±=． 17. 【答案】>【分析】根据二次函数的图象与性质即可完成．【详解】10−<，且对称轴为直线1x =，∴当1x >时，函数值随自变量的增大而减小；∵2a >，21y y ∴<，故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是关键．18. 【答案】13【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系．先解一元二次方程，根据三角形三边关系确定第三边的长，进而即可求解．【详解】解：2680x x −+=，∴()()240x x −−=，解得：1242x x ==，．当4x =时，三边为3，4，6，能组成三角形，∴这个三角形的周长为36413++=；当2x =时，三边为2，3，6，不能组成三角形，故答案为：13．19. 【答案】108a <<或12a > 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，分别把点A B 、坐标代入函数解析求出a 的值，再根据二次函数的图象和性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【详解】解：如图，当抛物线2(0)y ax a =>过点A 时，把()2,2A −代入2y ax = 得，24a =，解得12a =； 过点B 时，把()4,2B −代入2y ax =得，216a =， 解得18a =； ∴当抛物线2(0)y ax a =>与线段AB 没有交点时，由a 的大小与抛物线开口大小关系可知a 的取值范围为108a <<或12a >， 故答案为：108a <<或12a >． 20. 【答案】①②③④⑤【详解】①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a<0.∵对称轴x=−2b a =−13，∴b=23a<0，∴ab>0.故①正确； ②如图，当x=1时，y<0，即a+b+c<0.故②正确；③如图，当x=−1时，y=a−b+c>0，∴2a−2b+2c>0，即3b−2b+2c>0，∴b+2c>0.故③正确；④如图，当x=−1时，y>0，即a−b+c>0.抛物线与y 轴交于正半轴，则c>0.∵b<0，∴c−b>0，∴(a−b+c)+(c−b)+2c>0，即a−2b+4c>0.故④正确；⑤如图，对称轴x=−2b a =−13，则a=32b.故⑤正确． 故答案为①②③④⑤点睛：此题考查二次函数的性质，由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．三、解答题（共48分，21题16分，22、23、24、26每题6分，25题8分）21. 【答案】（1）14x =，22x =−；（2）15x =，11x =；（3）11x =，123x =；（4）122x =，222x =． 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握直接开平方法，因式分解法，公式法是解题的关键． （1）用直接开平方法，即可求解；（2）将方程左边进行因式分解，化为()()510x x −−=，再解一元一次方程即可求解；（3）整理后，将方程右边的项移到左边进行因式分解，化为()()1320x x −−=，再解一元一次方程即可求解；（4）可求2a =，4b =−，1c =，80∆=>，由求根公式2b x a−=，进行求解即可． 【小问1详解】解：()219x −=，开方得13x −=±，∴14x =，22x =−；【小问2详解】解：2650x x −+=，因式分解得()()510x x −−=，50x ∴−=或10x −=，∴15x =，11x =；【小问3详解】解：()3122x x x −=−，整理得()()31210x x x −−−=，∴()()1320x x −−=，10x ∴−=或320x −=，∴11x =，123x =；【小问4详解】解：22410x x −+=， 2a =，4b =−，1c =，∴()224442180b ac ∆=−=−−⨯⨯=>，∴4242x ±±===，∴122x =，222x −=． 22. 【答案】（1）见解析 （2）1±【分析】（1）说明该方程的判别式大于等于零即可证明结论；（2）利用因式分解法求出方程的两个根，然后结合题意即可解答．【小问1详解】证明：∵()()22221414414410m m m m m m m ∆=−−−=−+−+=>，∴方程有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：∵()()221100mx m x m m +−+−=≠， ∴()()110x mx m ++−=∴12111,1m x x m m−=−==−， ∵方程的两个实数根都是整数．∴整数m 的值为1±．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根的个数与∆的关系和利用因式分解法解一元二次方程是解题关键．23. 【答案】1dm【分析】设空白区域的宽度为dm x ，根据题意，列出一元二次方程，求解即可．【详解】解：设空白区域的宽度为dm x ，根据题意可得，()258582255120x x x ⨯−⨯−⨯−=，解得18x =（舍去），21x =，答：空白区域的宽度应是1dm ．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确的列出一元二次方程．24. 【答案】（1）二次函数的解析式为y=x 2+2x ﹣3．（2）P （﹣4，5）（2，5）．【详解】试题分析：（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A （1，0），C （0，﹣3）代入）二次函数y=x 2+bx+c 中，求出b 、c 的值，即可得到函数解析式是y=x 2+2x ﹣3．∵二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3），∴1b c 0{c 3++==−，解得b 2{c 3==−．∴二次函数的解析式为y=x 2+2x ﹣3．（2）求出A 、B 两点坐标，得到AB 的长，再设P （m ，n ），根据△ABP 的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m 的值即可得到P 点坐标：∵当y=0时，x 2+2x ﹣3=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1．∴A （1，0），B （﹣3，0）．∴AB=4．设P （m ，n ），∵△ABP 的面积为10，∴12AB•|n|=10，解得：n=±5． 当n=5时，m 2+2m ﹣3=5，解得：m=﹣4或2．∴P （﹣4，5）（2，5）．当n=﹣5时，m 2+2m ﹣3=﹣5，方程无解．∴P （﹣4，5）（2，5）．25. 【答案】（1）图象与x 轴交点坐标为()4,0−，()2,0，图象与y 轴交点坐标为()0,8−，图象见解析 （2）97y −≤<；（3）27【分析】此题主要考查了配方法求函数顶点坐标以及利用图象判断函数值以及三角形面积求法，正确画出函数图象是解题关键．（1）利用顶点式得出顶点坐标，进而得出函数与坐标轴交点进而画出函数图象；（2）利用1x =−以及5x =−是求出函数值进而得出答案；（3）利用函数图象和三角形的面积公式得出三角形面积即可．【小问1详解】解：解：()222819y x x x =+−=+−；顶点横坐标为()1,9−−，对称轴为直线1x =−，当0y =，则()2019x =+−，解得：14x =−，22x =，故图象与x 轴交点坐标为：()4,0−，(2,0)，当0x =，8y =−，故图象与y 轴交点坐标为：()0,8−，点()0,8−关于对称轴1x =−的对称点为()2,8−−，这个二次函数的图象如图所示：【小问2详解】解：当5x 0−<<时，由图象知，当1x =−时，二次函数有最小值9y =−，当5x =−时，()25197y =−+−=，故当5x 0−<<时，y 的取值范围是：97y −≤<；【小问3详解】解：如图所示：函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为：169272⨯⨯=． 26. 【答案】（1）抛物线的对称轴为1x =，(0,1)C −；（2）①1个；②12m <≤．【分析】（1）先根据二次函数的对称轴2b x a =−可得其对称轴，再令0x =，求出y 的值，从而可得出点C 坐标；（2）①先得出抛物线的解析式，再画出图象，结合图象和整点的定义即可得；②先将二次函数的解析式化为顶点式，求出其顶点坐标，再结合图象，找出两个临界位置，分别求出m 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）抛物线221y mx mx =−−的对称轴为212m x m−=−= 令0x =得：1y =−则点C 坐标为(0,1)C −；（2）①当1m =时 2221(1)2y x x x =−−=−−，画出其图象如下所示：结合图象和整点的定义可得：图形W 内的整点只有1个，即点(1,1)−；②将抛物线221y mx mx =−−化为顶点式2(1)1y m x m =−−−则抛物线的顶点坐标为(1,1)m −−，且图象经过定点(0,1)C −结合图象可知，若图形W 内的整点有2个，则这两个整点只能是(1,1),(1,2)−−因此有两个临界点：抛物线顶点为()1,2−和抛物线顶点为()1,3−当抛物线顶点为()1,2−时，12m −−=−，解得1m =当抛物线顶点为()1,3−时，13m −−=−，解得2m =则m 的取值范围为12m <≤．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2）②，掌握图象法，正确找出两个临界位置是解题关键．。
北京十二中2019-2020学年第一学期初三期初考试试题(含答案)
北京十二中2019-2020学年第一学期期初考试试题初三数学 2019.09班级： 姓名： 学号：（满分100分，时间120分钟）一、选择题（每题2分，共20分）1．函数31-=x y 中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≥3 B ．x ≠-3 C ．x ＞3 D ．x ≠32．若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为（ ） A ．360︒B ．540︒C ．720︒D ．900︒3．在下列图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 4．用配方法解一元二次方程0122=-+x x ，配方后得到的方程是（ ） A ．2)1(2=-x B ．2)1(2=+x C ．5)2(2=+x D ．5)2(2=-x 5．在平面直角坐标系中，将函数x y 3=的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴交点的坐标为（ ）A ．（2,0）B ．（﹣2,0）C ．（6,0）D ．（﹣6,0）6．一次函数1-=kx y 的图象经过点P ，且y 的值随x 的增大而增大，则点P 的坐标可以为（ ）A ．（﹣5，3）B ．（1，﹣3）C ．（2，2）D ．（5，﹣1）7．某班有40人，一次体能测试后，老师对成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差412=s ，后来小亮进行了补测，成绩为90分．则关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ） A ．平均分不变，方差变大 B ．平均分不变，方差变小 C ．平均分和方差都不变 D ．平均分和方差都改变8．如图，已知□AOBC 的顶点O （0，0），A （﹣1，2），点B 在x 轴正半轴上．按以下步骤作图：①以点O 为圆心，适当长度为半径作弧，分 别交边OA ，OB 于点D ，E ；②分别以点D ，E 为圆 心，大于DE 21的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交 于点F ；③作射线OF ，交边AC 于点G ，则点G 的 坐标为（ ）A ．（5﹣1，2）B ．（1，2）C ．（3﹣5，2）D ．（5﹣2，2）9．如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过P 作 EF ∥BC ，分别交AB ，CD 于E 、F ，连接PB 、PD ．若 AE =2，PF =8．则图中阴影部分的面积为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．1810．如图1，分别沿矩形纸片ABCD 和正方形纸片EFGH 的对角线AC ，EG 剪开，拼成如图2所示的□KLMN ，若中间空白部分四边形OPQR 恰好是正方形，且□KLMN 的面积为50，则正方形EFGH 的面积为（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27二、填空题（每题2分，共20分）11．在平面直角坐标系中，点A （x ﹣1，2﹣x ）在第四象限，则x 的取值范围是 ． 12．若关于x 的方程012=--x kx 有两个实数根，则k 的取值范围是___________． 13．某公司一月份营业额为1万元，三月份营业额达到1.96万元，若设该公司二、三月份营业额的平均增长率为x ,则可列出方程为 .14．已知□ABCD ，以下列条件中：①∠A =∠B ；②∠A =∠C ；③AC =BD ；④AB ⊥BC能判定这个平行四边形为矩形的是 ．（填序号）15．若一次函数b kx y +=（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象经过点A （0，﹣1），B （1，1），则不等式1>+b kx 的解集为___________．DCBAHGFELKNM 图1图2FE16．已知点A （﹣1,1），B （2,1），连结AB ，若直线l ：2-=kx y （0≠k ）与线段AB 有公共点，则k 的取值范围为 ．17．如图，正方形ABCD 的面积为8，菱形AECF 的面积为4，则EF 的长是 ．18．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =8，BC =6．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为 ．19．若正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 边上一点，BE =3，M 为线段AE 上一点，射线BM交正方形的一边于点F ，且BF =AE ，则BM 的长为 ．20．小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h （m ）与摆动时间t （s ）之间的关系如图2所示．（1）根据函数的定义，可判断变量h _________（填“是”或“不是”）变量t 的函数； （2）结合图象回答：秋千摆动第一个来回需要的时间为________秒．三、解答题（第21题8分，第22-25每题5分，第29-30每题7分，其它各题每题6分，共60分）21．解关于x 的一元二次方程（1）()412=+x （2）012232=-+x x（第17题）EFMCBDA（第18题）22．如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，且AF =CE ．求证：四边形ABCD 为平行四边形23．已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）若k 为负．整数．．，求此时方程的根．24.列方程解应用题：如图所示，某小区有一块长21米，宽8米的矩形空地，社区计划在其中修建两块完全相同的矩形绿地，并且两块绿地之间及四周都留有宽度为x 米的人行通道．如果这两块绿地的面积之和为60平方米，人行通道的宽度应是多少米？25．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ． （1）求证：四边形ABCD 是菱形； （2）若AB =，2BD =，求OE 的长．26．已知直线AB 的函数表达式为232+=x y ，与 x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ． （1）求 A , B 两点的坐标；（2） 若点P 为线段AB 上的一个动点，作 PE ⊥y 轴于点E ，PF ⊥x 轴于点F ，连接EF ．是否存在点P ，使EF 的值最小?若存在，求出EF 的最小值；若不存在，请说明理由．FEDCBAO EDCB A27. 某综合实践小组的同学对本校八年级学生课外阅读最喜爱的图书种类进行了调查. （1）该综合实践小组设计了下列的调查方式，比较合理的是 （填写序号即可） A ．对八年级各班的数学课代表进行问卷调查 B ．对八年级（1）班的全班同学进行问卷调查 C ．对八年级各班学号为4的倍数的同学进行问卷调查（2）小组同学根据问卷调查（每个被调查的学生只能选择其中一项）的结果绘制了如下两幅统计图（不完整）：根据以上信息，回答下列问题： ①这次被调查的学生共有 人； ②请将图1补充完整并在图上标出数据；③图2中，m = ，“科普类”部分扇形的圆心角是 °； ④若该校八年级共有学生320人，根据调查结果估计此年级最喜欢“文学类” 图书的学生约有 人．28.已知一次函数21+=kx y （k 为常数，k ≠0）和32-=x y . （1）当2-=k 时，若21y y >，求x 的取值范围；（2）当1<x 时，21y y >，结合图象，直接写出k 的取值范围.29．正方形ABCD 中，点M 是直线BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），作射线DM ，过点B 作BN ⊥DM 于点N ，连接CN ． （1）如图1，当点M 在BC 边上时， ①求证：∠CDM =∠MBN ；②用等式表示线段NB ，NC 和ND 之间的数量关系，并证明；最喜爱的图书类别 人数分布统计图其它科普类 25%艺体类 m %文学类 40%图1 图2（2）当点M 在直线BC 上移动时，NB ，NC 和ND 之间还可能存在其他怎样的数量关系，请直接写出，不需证明．30．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P 1关于y 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l 对称，则称点P 2是点P 关于y 轴，直线l 的二次对称点． （1）如图1，点A (−1，0).① 若点B 是点A 关于y 轴，直线x =2的二次对称点，则点B 的坐标为 ； ② 点C (-5，0)是点A 关于y 轴，直线x =a 的二次对称点，则a 的值为 ； ③ 点D (2，1)是点A 关于y 轴，直线l 的二次对称点，则直线l 的表达式为 ； （2）如图2，正方形EFGH 各顶点坐标分别为（1,1）,（﹣1,1）,（﹣1,﹣1）,（1, ﹣1）,若正方形EFGH 上存在点M ，使得点M '是点M 关于y 轴，直线x = b 的二次对称点，且点M '在直线1+=x y 上，求b 的取值范围．ABCD备用图MNDCBA 图1图1 图2北京十二中2019-2020学年第一学期期初考试答案初三数学 2019.09一、选择题（每题2分，共20分）二、填空题（每题2分，共20分） 11、21<<x 12、41-≥k 且0≠k 13、96.1)1(2=+x 14、①③④ 15、1>x 16、3-≤k 或23≥k 17、2 18、8 19、25或512 20、是，2.8 三、解答题（第21题8分，第22-25每题5分，第29-30每题7分，其它各题每题6分，共60分）21、（1）1=x ，﹣3 （2）352±-=x 22、略 23、（1）45->k （2）1-=k ，x =1,2 24、设人行通道的宽度应是x 米，则60)28)(321(=--x x解得21=x ，92=x （舍） 25、（1）略 （2）OE =226、（1）A （﹣3,0），B （0,2） （2）存在，EF =13136 27、（1）C （2）①80；②16；③m =20,90°；④128人 28、（1）35<x （2）14≤≤-k 且0≠k 29、（1）NC NB ND 2+= （2）NC ND NB 2+=，NC ND NB 2=+ 30、（1）①（3,0）；②﹣2；③2+-=x y （2）2123≤≤-b。
北京十二中2020-2021学年第一学期开学考试试题-初三学生用卷
北京十二中2020-2021学年第一学期开学考试试题初三2020.9班级_________姓名__________学号_________满分100分时间90分钟一、选择题（本大题共10小题，共20分）1.下列方程属于一元二次方程的是()B. x(x−1)=y2A. 3x2=1xC. 2x3−x2=2D. (x−3)(x+4)=9652.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A. 4，5，6B. 5，12，13C. 2，3，4D. 1，√2，33.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分4.如图，▱ABCD中，AB=3，BC=5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为()A. 1B. 2C. 3D. 45.A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为(12,13)，则点C的坐标是()A. (0,−5)B. (0,−6)C. (0,−7)D. (0,−8)7.已知关于x的一次函数y=(k2+3)x−2的图象经过点A(2,m)、B(−3,n)，则m，n的大小关系为()A. m≥nB. m≤nC. m>nD. m<n8.在平面直角坐标系中，函数y=2kx(k≠0)的图象如图所示，则函数y=−2kx+2k的图象大致是()A. B. C. D.9.如图1，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于()A. 25B. 20C. 12D. 8√310.“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成图，其中“⊙”表示A组的客户，“∗”表示B组的客户．下列推断不正确的是()A. A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组B. A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组C. A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组D. 这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组二、填空题（本大题共8小题，共16分）11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=4，则EF的长度为______．12.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(4,−3)，则关于x的不等式kx+b<−3的解集为_____________．12题 13题13.如图，直线y=−2x−2与x轴交于点A，与y轴交于点B，把直线AB沿x轴的正半轴向右平移2个单位长度后得到直线CD，则直线CD的函数解析式是______．14.关于x的一元二次方程(k+2)x2+6x+k2+k−2=0有一个根是0，则k的值是______．15.为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）________米.16.若直线y=ax+3与两坐标轴所围成的三角形的面积是6，则a的值是______．17.如图，直线y=32x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，将线段AD沿x轴向右平移4个单位长度得到线段BC，若直线y=kx−4与四边形ABCD有两个交点，则k的取值范围是______．18.在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上的一个动点(与点A，D不重合)，连接EO并延长，交BC于点F，连接BE，DF.下列说法：①对于任意的点E，四边形BEDF都是平行四边形；②当∠ABC>90°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是矩形；③当AB<AD时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是菱形；④当∠ADB=45°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是正方形．所有正确说法的序号是______．三、解答题（本大题共10小题，共64分。
2020-2021年第一学期九年级开学考试(数学) -答案(1)
九年级数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，共30分. 每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CBADDBDBAC二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．11. 31025.1⨯（或1250） 12.0922=--x x 13. - 1 14. 131322+-=+=x y x y ，15. 3 16. 10.1 17.2318. 2021 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19．（本题满分8分） 解：（1）原式=＝6×+3+1+5﹣3+42017×（﹣）2017＝＝8；┈┈┈┈┈┈4分 （2）x 2+4x ＝1（x +2）2＝5 x +2＝±52,5221--=+-=x x ┈┈┈┈┈┈8分20．（本题满分9分）解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求，C 1（﹣3，2）；┈┈┈┈┈┈3分 （2）如图所示，△A 2B 2C 2即为所求，C 2（6，4）；┈┈┈┈┈┈6分（3）∵原点O 为位似中心，位似比为1：2，∴点D （a ，b ）的对应点D 2的坐标为（2a ，2b ）．┈┈┈┈┈┈9分21．（本题满分8分）解：设降价后的销售单价为x 元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x ）]个， 依题意，得：（x ﹣100）[300+5（200﹣x ）]＝32000， ┈┈┈┈┈┈3分整理，得：x 2﹣360x +32400＝0， 解得：x 1＝x 2＝180．┈┈┈┈┈┈6分 180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．┈┈┈┈┈┈8分 22．（本题满分11分）解：（1）∵B （2，﹣4）在反比例函数y ＝的图象上，∴m ＝2×（﹣40＝﹣8．∴反比例函数的解析式为y ＝﹣．┈┈┈┈┈┈2分 ∵A （﹣4，n ）在y ＝﹣上， ∴n ＝2．∴A （﹣4，2）．┈┈┈┈┈┈3分∵y ＝kx +b 经过A （﹣4，2），B （2，﹣4）， ∴． 解之得．∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣2．┈┈┈┈┈┈5分（2）设C 是直线AB 与y 轴的交点， ∴当x ＝0时，y ＝﹣2． ∴点C （0，﹣2）． ∴OC ＝2．∴S △AOB ＝S △ACO +S △BCO ＝×2×4+×2×2＝6．┈┈┈┈┈┈9分 （3）由图象可知当x ＞2或﹣4＜x ＜0时，kx +b ＜， ∴kx +b ﹣＜0的解集为：x ＞2或﹣4＜x ＜0．┈┈┈┈┈┈11分 23．（本题满分8分）解：如图，作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ， …………………………1分则∠BCD =450，∠ACD =600。
北京市第十二中学2020-2021学年九年级上学期开学考试数学试题(解析版)
北京十二中 2020-2021 学年第一学期开学考试初三试题考生须知：1．本试卷满分120分，考试时间为120分钟．2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．3．请按照题号顺序在答题卡各题目的区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答案无效．4．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．一、选择题（本大题共 10 小题，共 20 分）1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. 213x x = B. ()21x x y -= C. 3222x x -=D. ()()34965x x -+=【答案】D【解析】【分析】 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．【详解】A 、213x x =不是整式方程，不属于一元二次方程； B 、()21x x y -=含有两个未知数，不属于一元二次方程；C 、3222x x -=未知数的最高次数是3，不属于一元二次方程；D 、()()34965x x -+=化简后为29770x x +-=符合一元二次方程的定义，属于一元二次方程； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是一个需要识记的内容． 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A. 4, 5, 6B. 5, 12，13C. 2, 3, 4D. 1，3【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定即可．【详解】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；B、∵52+122=132，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形；C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；D、∵12+2≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形．故选B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分【答案】C【解析】【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可.【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选C．【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．4. 如图，□ABCD中，AB=3，BC=5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】利用平行四边形性质得∠DAE=∠BEA，再利用角平分线性质证明△BAE是等腰三角形,得到BE=AB即可解题. 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=3，∴CE=BC-BE=5-3=2，故选B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定,属于简单题,熟悉平行线加角平分线得到等腰三角形这一常用解题模型是解题关键.5. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（分）92 95 95 92方差 3.6 3.6 7.4 8.1要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁【答案】B【解析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛．【详解】解：∵3.6＜7.4＜8.1，∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，∵95＞92，∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙．故选B．【点睛】此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为(12，13)，则点C的坐标是( )A. (0，-5)B. (0，-6)C. (0，-7)D. (0，-8)【答案】A【解析】【分析】根据点A的坐标为(12，13)，可求出菱形的边长及OD的长，然后在Rt△COD中，利用勾股定理求出OC 的长，即可求出点C的坐标.【详解】∵点A的坐标为(12，13)，∴CD=AD=13，OD=12，∴2222--=,13125CD DO∴C（0，-5） .【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，图形与坐标，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键. 7. 已知关于x 的一次函数()232y k x =+-的图象经过点()()2,,3,A m B n -，则,m n 的大小关系为（ ） A. m n ≥B. m n ≤C. m n >D. m n <【答案】C【解析】【分析】 根据题意可得出k 2+3＞0,利用一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大,再结合2＞-3即可得出m ＞n ．【详解】解:∵k 2≥0,∴k 2+3＞0,∴y 随x 的增大而增大．又∵2＞-3,∴m ＞n ．故选:C ．【点睛】本题考查了一次函数的性质,牢记“k ＞0,y 随x 的增大而增大；k ＜0,y 随x 的增大而减小”是解题的关键．8. 在平面直角坐标系中，函数()20y kx k =≠的图象如图所示，则函数22y kx k =-+的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正比例函数图象可得20k <，然后再判断出20k ->，然后可得一次函数图象经过的象限，从而可得答案．【详解】根据图象可得：20k <，∴20k ->，∴函数22y kx k =-+的图象是经过第一、三、四象限的直线，故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，关键是掌握正比例函数图象是经过原点的直线，k ＞0时，直线经过第一、三象限，k ＜0时直线经过第二、四象限．还要掌握一次函数的性质才能灵活解题．9. 如图1，在菱形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿折线B →C →D →B 运动，设点P 经过的路程为x ，ABP△的面积为y .把y 看作x 的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a 等于（ ）A. 25B. 20C. 12D. 3【答案】C【解析】【分析】 连接AC 交BD 于O ，根据图②求出菱形的边长为5，对角线BD 为8，根据菱形的对角线互相垂直平分求出BO ，再利用勾股定理列式求出CO ，然后求出AC 的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，a 为点P 在CD 上时△ABP 的面积，等于菱形的面积的一半，从而得解．。
北京市第十二中学2019-2020学年第一学期九年级期中考试数学试题(含答案)
北京十二中2019-2020学年第一学期期中考试试题 2019.11一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．抛物线213y x 的顶点坐标为（ ）A ．（1,3）B ．（-1,3）C ．（-1,-3）D ．（3,1）2．若32a b =(0ab ≠），则下列比例式中正确的是（ ） A ．32a b = B ．23b a = C ．23a b = D ．32a b = 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB 、AC 于点D 、E ， 若AD :DB =1:2，则△ADE 与△ABC 的面积之比是（ ） A ．1:3 B ．1:4 C ．1:9D ．1:164．若将抛物线y = －12x 2先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（ ） A ．2)3(212-+-=x y B ．2)3(212---=x y C ．2)3(2-+=x yD ．2)3(212++-=x y 5．二次函数22y x x =-，若点A 1(1,)y -，B 2(2,)y 是它图象上的两点，则1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．不能确定6．若二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则下列四个选项正确的是（ ） A ．0>b ，0<c ，0>∆ B ．0<b ，0<c ，0>∆ C ．0>b ，0>c ，0>∆ D ．0<b ，0>c ，0<∆7．如图,点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1）.若以C ，D ，E （E 在格点上）为顶点的三角形与△ABC 相似，则满足条件的点E 的坐标共有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个8．已知抛物线()20y ax bx c a =++≠ 与x 轴交于点A （－1,0），对称轴为直线x =1，与y 轴的交点B 在（0,2）和（0,3）之间（包含这两个点）运动,有如下四个结论： ①抛物线与x 轴的另一个交点是（3,0）；②点()11,C x y ，()22,D x y 在抛物线上，且满足121x x <<，则12y y >； ③常数项c 的取值范围是23c ≤≤； ④系数a 的取值范围是213a -≤≤-． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②③B ．②③④C ．①③D ．①③④二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．若反比例函数ky x=的图象经过（-1，2），则k 的值为 . 10．请你写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的二次函数的解析式 .11．如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，若在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米.12．如图，若点D 为ABC △的AB 边上一点，2=AD ，3=DB .若ACD B ∠=∠，则AC = .第11题 第12题 13．二次函数242y x x =--的最小值为 .14．若二次函数y =kx 2﹣4x +1的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是 .15．将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF .已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长度是 ．第15题 第16题16．如图是二次函数x x y 42+-=的图象，若关于x 的一元二次方程042=-+-t x x （t 为实数）在1<x<5的范围内有解，则t 的取值范围是 .三、解答题（本题共68分，第17~22题，每题5分，第23~26题，每题6分，第27~28题，每题7分） 17．已知二次函数822--=x x y .(1) 将822--=x x y 用配方法．．．．化成k h x a y +-=2)(的形式，并写出顶点坐标； (2) 求此函数图象与x 轴、y 轴的交点坐标.yx–1–2–3–4–5–612345–1–2123456O18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边上一点，DE⊥AB于点E，DE=2，BC=3，AC=6，求AE的长．19．码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v（单位：吨/天），卸货天数为t．(1) 直接写出v关于t的函数表达式：v= ；（不需写自变量的取值范围）(2) 若船上的货物5天卸载完毕，则平均每天要卸载多少吨？20．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE=∠ACB．(1) 求证：△ABE∽△ACB；B A(2) 若AB=6，AE=4，求AC，CD的长．ED21．一个二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：(2) 在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(3) 当-2<x<3时，求y的取值范围．22．已知二次函数321-+=bx x y 的图象与直线12+=x y 交于点A （-1,0）、点C （4，m ）. (1) 求1y 的表达式和m 的值；(2) 当21y y >时，求自变量x 的取值范围；(3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后的直线表达式.23．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+80（20≤x≤40）．设这种健身球每天的销售利润为w元．(1) 求w与x之间的函数关系式；(2) 该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3) 如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？24．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=AF的长．B25．如图，在△ABC中，90∠=°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转50°C∠=︒，40ABC至AD'，连接BD'．已知AB=2 cm，设BD为x cm，B D'为y cm．AD'B D C小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：m的值约为；(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．(3) 结合画出的函数图象，解决问题：①线段BD '的长度的最小值约为__________cm ；②若BD '≥BD ，则BD 的长度x 的取值范围是_____________．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的表达式为222422y x mx m m =-+-+，线段AB 的两个端点分别为A （1，2），B （3，2）.(1) 若抛物线经过原点，求出m 的值；(2) 求抛物线顶点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；(3) 若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求出m 的取值范围.27．如图，∠BAD=90°，AB=AD ，CB=CD ，一个以点C 为顶点的45°角绕点C 旋转，角的两边与BA ，DA 交于点M ，N ，与BA ，DA 的延长线交于点E ，F ，连接AC .(1) 在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA =∠ECA 时，如图1，求证：AE =AF ；(2) 在∠FCE 旋转的过程中，当∠FCA ≠∠ECA 时，如图2，如果∠B=30°，CB=2，用等式表示线段AE ，AF 之间的数量关系，并证明.EMNFA CEMN F AC备用图28．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ），如果点Q （x ，'y ）的纵坐标满足()()⎩⎨⎧<-≥-=时当时当y x xy y x yx y '，那么称点Q 为点P 的“关联点”.(1) 请直接写出点（3，5）的“关联点”的坐标 ；(2) 若点P 在函数2-=x y 的图象上，其“关联点”Q 与点P 重合，求点P 的坐标；(3) 若点M （m ，n ）的“关联点”N 在函数y=2x 2的图象上，当0 ≤m ≤2 时，求线段MN 的最大值.2019—2020北京十二中初三数学期中试卷答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）1． A 2． C 3． C 4. A 5．C 6. B 7． A 8． D 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．-2 10.)0(32<+-=a x y 即可，答案不唯一 11. 6.4 12. 1013. -6 14.0,4≠<k k 15.2或71216. -5<t ≤4 三、解答题（本题共68分，第17~22题，每题5分，第23~26题，每题6分，第27~28题，每题7分） 17．解：（1）y =(x －1)2－9．∴该二次函数图象的顶点坐标是（1，－9）． （2）（4，0）（-2，0），（0,-8） 18.解：∵︒=∠90C ，AB DE ⊥，∴︒=∠=∠90C AED ． …………………………………………………………………………1分 又∵A A ∠=∠，∴AED ∆∽ACB ∆． ……………………………………………………………………………2分 ∴CBEDCA EA =． ……………………………………………………………………………………3分 又∵2=DE ，3=BC ，6=AC ， ∴326=EA ． ………………………………………………………………………………………4分 ∴4=AE ． ………………………………………………………………………………………5分 19．（1）tv 240=（2）48 20． （1）略 （2）AC=9，CD=215 21.解：(1) 25-=m (2). 如图 (3) -6<y ≤2 …………………………5分 22.（1）322--=x x y ，m=5； ………………2分 （2）x>4或x<-1 ………………4分（3）421-=b 421-=x y………………6分 23.解：（1）w =（x ﹣20）∙y=（x ﹣20）（﹣2x +80） =﹣2x 2+120x ﹣1600，w 与x 的函数关系式为：w =﹣2x 2+120x ﹣1600；………………………………1分 （2）w =﹣2x 2+120x ﹣1600=﹣2（x ﹣30）2+200，∵﹣2＜0， ∴当x =30时，w 有最大值．w 最大值为200．…………………………………3分 答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元． （3）当w =150时，可得方程﹣2（x ﹣30）2+200=150．解得 x 1=25，x 2=35．∵35＞28， ∴x 2=35不符合题意，应舍去． ………5分 24．解：方法一：∵□ABCD ，∴AD ∥BC ，OD =12BD= ················ 1 ∵∠CBD =30°，∴∠ADB =30°．∵EO ⊥BD 于O ，∴∠DOF =90°．在Rt △ODF中，tan30°=3OF OD =， ∴OF=3．————————2∴FD =6．过O 作OG ∥AB ，交AD 于点G ． ∴△AEF ∽△GOF ． ∴AF EFGF OF=．∵EF=OF ，∴AF=GF ．∵O 是BD 中点， ∴G 是AD 中点． ·························· 4 设AF=GF=x ，则AD =6+x ． ∴AG =62xx x ++=． ························ 5 解得x =2．∴AF =2． (6)方法二：延长EF 交BC 于H ．B由△ODF ≌△OHB 可知，OH =OF ． (3)∵AD ∥BC ， ∴△EAF ∽△EBH ． ∴EF AFEH BH=． ∵ EF=OF ， ∴13AF BH =． ···························4 由方法一的方法，可求BH =6． ∴ AF =2．25．（1）0.9. ………………2分 （2）图略. ………………3分 （3）0.7， ………………4分 00.9x ≤≤. ………………6分26 . 解：（1）∵抛物线经过原点,1,021==m m ………1分 （2）222(2)2y x mx m m =--++22()2x m m =--+所以，顶点C 的坐标为(,2)m m ……………………3分（3）由顶点C 的坐标可知，抛物线的顶点C 在直线y=2x 上移动． 当抛物线过点A 时，m=2或1； 当抛物线过点B 时，m=2或5．所以m=2时，抛物线与线段AB 有两个公共点，不符合题意． 所以1≤m ≤5且m ≠2. ……………………6分27.解：（1）证明：∵AB=AD ，BC=CD ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC . …1分∴∠BAC =∠DAC =45°，可证∠FAC =∠EAC =135°. 又∵∠FCA =∠ECA ，∴△ACF ≌△ACE . ∴AE =AF . ……3分 其他方法相应给分.（2）过点C 作CG ⊥AB 于点G ，求得AC =2.……4分∵∠FAC =∠EAC =135°，∴∠ACF +∠F =45°. 又∵∠ACF +∠ACE =45°，∴∠F =∠ACE .∴△ACF ∽△AEC. ……5分 ∴ACAFAE AC =，即AF AE AC ⋅=2. ……6分 ∴2=⋅AF AE . ……7分28.（1）（3，2） ……1分 （2）∵点P 在函数y =x -2的图象上， ∴点P 的坐标为（x ，x -2），∵ x ＞x -2，根据关联点的定义，点Q 的坐标为（x ，2） 又∵点P 和点Q 重合 ∴x -2=2 解得 x =4∴点P 的坐标是（4，2） ……3分 (3)点M (m ,n )的关联点是点N ，由关联点定义可知第一种情况：当m ≥n 时，点N 的坐标为（m ，m -n ）∵点N 在函数y =2x 2的图象上， ∴m -n =2m 2，n =-2m 2+ m即m m y M +-=22，22m y N =∴mm y y MN N M +-=-=24……4分①当0≤m ≤41时，m m +-24＞0161814422+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=m m m MN∴当81=m 时，线段MN 的最大值是161……5分 ②当41＜m ≤2时，m m +-24＜0161814422-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=m m m MN∴当m =2时，线段MN 的最大值是14； ……6分 综合 ①与②，当m ≥n 时线段MN 的最大值是14 第二种情况：当m ＜n 时，点N 的坐标为（m ，n -m ） ∵点N 在函数y =2x 2的图象上， ∴n -m =2m 2即n =2m 2 +m ∴m m y M +=22，22m y N =∴my y MN N M =-=∵0 ≤m ≤2 ∴m MN =∴当m ＜n 时，线段MN 的最大值是2； ……7分 综上所述，当m ≥n 时，线段MN 的最大值是14； 当m ＜n 时，线段MN 的最大值是2.。
2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.关于函数y=x2，下列说法不正确的是()A. 当x<0时，y随x增大而减小B. 当x≠0时，函数值总是正的C. 当x>0时，y随x增大而增大D. 函数图象有最高点2.120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是()A. 3B. 4C. 9D. 183.已知：二次函数y=x2−4x−a，下列说法中错误的个数是()①若图象与x轴有交点，则a≤4②若该抛物线的顶点在直线y=2x上，则a的值为−8③当a=3时，不等式x2−4x+a>0的解集是1<x<3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1,−2)，则a=−1⑤若抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为x1、x2，则当x取x1+x2时的函数值与x取0时的函数值相等．A. 1B. 2C. 3D. 44.在平面直角坐标系中，点P(m,n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为()A. (2m,2n)B. (2m,2n)或(−2m,−2n)C. (12m,12n) D. (12m,12n)或(−12m,−12n)5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于()A. 45°B. 60°C. 30°D. 55°6.下列函数中，y随x的增大而减小的是()A. y=x+1B. y=2x2(x>0)C. y=−x2(x<0)D. y=−x2(x>0)7.某型号的手机连续两次降阶，每台手机售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是()A. 580(1+x)2=1185B. 1185(1−x)2=580C. 580(1−x)2=1185D. 1185(1+x)2=5808.抛物线y=x2−2x−8的最小值为()A. −8B. 7C. −7D. −9二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是______．10.如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过坐标原点，且与x轴、y轴分别相交于点A(−8,0)，B(0,−6)两点.若抛物线对称轴过点M，顶点C在圆上，开口向下，且经过点B，交x轴于点D、E两点，P在抛物线上，S△ABC，则满足条件的P点有______ 个.若S△PDE=1511.如图，线段AB=BC=CD=DE=1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于____________厘米．12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的图象如图所示，下面四个结论，①abc<0；②a+c<b；③2a+b=1；④a+b≥m(am+b)，其中全部正确的是()13.如图，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点可得△ABC，则AC边上的高为______ ．14.如图，⊙O与平行四边形的两边CD、BC分别相切于点E、F，与∠ADC的角平分线DG相切于点H，若DH=3，∠A=60°，则阴影部分面积是______．15.已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图)，则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是______ (结果保留准确值)．16.如图，AB为⊙O的直径，AD//OC，∠AOD=84°，则∠BOC=______ ．三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）17.计算：(π−2019)0−|−22|+tan45°18.解方程：3x(x+1)=2x+2．19.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D，点E在直径AB上，且DE=DC，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF，BF，试判断AF与BF的数量关系，并说明理由．20.抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0)，B(2,2)，连结OB，AB．(1)求a、b的值；(2)求证：△OAB是等腰直角三角形；(3)将△OAB绕点O按顺时针方向旋转l35°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的出标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．21.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：BC是⊙D的切线；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB=2√3，求图中阴影部分的面积；(3)假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM<90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM：S四边形ABCD=3：4时，求动点M经过的弧长．22.如图，已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，在直线BC上取点E(在点B左侧)，使得BE=AB，点P是边AB上的一点，点Q是直线BC上位于点E右侧的一点，且有EQ=2AP，连接PQ，以Q为中心将PQ顺时针旋转90°得到QF，连接PF，设AP=m．(1)当m=1时，求点F到直线BC的距离；(2)当点Q在线段BE上，且线段PF被直线BC分成1：2的两部分时，求m的值；(3)如图2，连接BD，在点P的移动过程中．①当点F恰好落在△BCD的角平分线所在的直线上时，求所有满足要求的m值；②当△PQF与△ABD的重叠部分的图形为锐角三角形时，则m的取值范围为______.(直接写出答案)23.若点P(x,y)的坐标满足方程组(1)求点P的坐标(用含m，n的式子表示)；(2)若点P在第四象限，且符合要求的整数m只有两个，求n的取值范围；(3)若点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，求m，n的值(直接写出结果即可)．24.如图在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．(1)求证：AD=DE；(2)求∠DCE的度数．25.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点D是BC⏜上任一点，连接BD，CD．(1)设∠BAC=α，用含α的式子表示∠ADB；(2)若∠BAC=60°，求证：AD=BD+CD；(3)当BC经过圆心O时，BC=10，BD=6，求AD的长．参考答案及解析1.答案：D解析：解：由题意得，图象开口向上，对称轴为y轴，∴当x<0时，y随x增大而减小，A选项说法正确，当x>0时，y随x增大而增大，C选项说法正确，当x=0时，函数取最小值为0，∴B选项正确，∵二次项的系数大于0，∴函数图象有最低点，∴D选项错误，故选：D．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性．本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．2.答案：C解析：，将n及l的值代入即可得出半径r的值．根据弧长的计算公式l=nπr180此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题，难度一般．解：根据弧长的公式l=nπr180得到：6π=120πr180解得r=9．故选C．3.答案：B解析：①和x轴有交点，就说明△≥0，易求a的取值；②求出二次函数定点的表达式，代入直线解析式即可求出a的值；③将a=3代入不等式，即可求其解集；④将解析式化为顶点式，利用解析式平移的规律解答；⑤利用根与系数的关系将x1+x2的值代入解析式进行计算即可．解：①当△=b2−4ac=16+4a≥0，即a≥−4时，二次函数和x轴有交点，故①错误；②∵二次函数y=x2−4x−a的顶点坐标为(2,−a−4)，代入y=2x得，−a−4=2×2，a=−8，故②正确；③当a=3时，y=x2−4x+3，图象与x轴交点坐标为：(1,0)，(3,0)，故不等式x2−4x+a>0的解集是：x<1或x>3，故③错误；④将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后解析式为：y=(x+1)2+a−3，∵图象过点(1,−2)，∴将此点代入得：−2=(1+1)2+a−3，解得：a=−3.故④正确；⑤由根与系数的关系，x1+x2=4，当x=4时，y=16−16+a=a，当x=0时，y=a，故⑤正确．故选B．4.答案：B解析：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．根据位似变换的性质计算即可．解：点P(m,n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(m×2,n×2)或(m×(−2),n×(−2))，即(2m,2n)或(−2m,−2n)．故选B．5.答案：A解析：解：∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BEC等于90°÷2=45°．故选A．由此图可知，正方形正好把圆周长平分为四等分，即把圆心角平分为四等份，所以∠BEC等于90°÷2=45°．此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.答案：D解析：解：A.在y=x+1中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；B.在y=2x2，x>0时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；C.在y=−x2，x<0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；D.在y=−x2，x>0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；故选：D．根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．本题考查一次函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次例函数和二次函数的性质解答．7.答案：B解析：解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，1185(1−x)2=580．故选：B．设出平均每次下调的百分率为x，利用原价×(1−每次下调的百分率)2=实际售价列方程解答即可．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，基本数量关系：原价×(1−每次下调的百分率)2=实际售价．8.答案：D解析：把二次函数配方，把一般形式的二次函数转化成顶点式，考查学生的运算能力，二次方程中的配方。
2020-2021学年北京十二中高二(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年北京十二中高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 两条平行线l 1：x +y −1=0与l 2：x +y +1=0之间的距离为( )A. √2B. 1C. 2D. √32. 过点(1,0)且与直线x −2y −2=0垂直的直线方程为( )A. 2x −y +2=0B. 2x −y −2=0C. 2x +y +2=0D. 2x +y −2=03. 某校高一、高二两个年级比赛目测数学必修第一册教科书的长度，其误差X 和Y(单位：cm)的分布列如下： 高一的目测误差分布列 X −2 −1 0 1 2 P0.10.20.40.20.1高二的目测误差分布列 Y −2 −1 0 1 2 P0.050.150.60.150.05则直观判断X 和Y 的分布中离散程度大的是( )A. XB. YC. 离散程度相同D. 不能确定4. 圆(x +2)2+y 2=5关于y 轴对称的圆的方程为( )A. x 2+(y +2)2=5B. x 2+(y −2)2=5C. (x −2)2+y 2=5D. (x −2)2+(y −2)2=55. 如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，D ，E 分别为棱PA ，BC 的中点，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 12a ⃗ −12b ⃗ −12c ⃗ B. −12a⃗ −12b ⃗ +12c ⃗ C. 12a⃗ +12b ⃗ −12c ⃗ D. −12a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗6. 直线：l ：y =kx +2与圆C ：x 2+(y −1)2=5的位置关系是( )A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定7.在校园艺术节才艺展示活动中，小明书写“求真、崇善、唯美”6个字，有2种不同颜色的笔供选择，要求不能只用1种颜色的笔，则不同的写法共有()A. 34种B. 30种C. 62种D. 63种8.圆x2+y2−2x−8y+13=0与直线ax+y−1=0的相交所得弦长为2√3，则a=()A. −43B. −34C. √3D. 29.近期新冠疫情在全球肆虐，某国在A，B，C三个地区分别有6%，5%，4%的民众核酸检测呈阳性，假设这三个地区的人口数的比为3：4：3，现从这三个地区中任选一人，则这个人核酸检测呈阳性的概率为()A. 320B. 110C. 310D. 12010.校园电视台给甲、乙、丙、丁4位同学安排了“负重扛机”，“对象采访”，“文稿编写”，“编制剪辑”四项工作，每人做且仅做一项工作，甲不能安排“负重扛机”工作，乙不能安排“编制剪辑”工作，则不同的安排方法共有()A. 12种B. 14种C. 7种D. 9种11.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P在抛物线C上，|FP|=10，若以FP为直径的圆过点(0,3)，则p的值为()A. 4或9B. 4或18C. 2或18D. 2或912.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)具有相同焦点F1、F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1、e2，则3e12+e22的最小值是()A. 2B. 3C. 4D. 5二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）13.若直线经过A(1,0)，B(2,√3)两点，则直线AB的倾斜角的大小是______．14.已知两个平面α，β的法向量分别是n1⃗⃗⃗⃗ =(1,x,2)和n2⃗⃗⃗⃗ =(3,6,y)，若α//β，则y−x=______．15.在(x2+2x)5的展开式中，二项式系数的和为______；x的系数为______.(用数字作答)16.已知双曲线C：x24−y28=1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|=|PF|，则双曲线C的实轴长为______；△PFO的面积为______．17.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，Q是棱BB1的中点，点P在侧面BCC1B1(包含边界)．(1)若点P与点Q重合，则点P到平面ACC1A1的距离是______；(2)若A1P⊥DQ，则线段CP长度的取值范围是______．18.已知曲线C：x2+y2+xy=4.给出下列结论：①曲线C是中心对称图形；②曲线C是轴对称图形；③曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；④设O为坐标原点，则曲线C上存在点P，使得|OP|=√2．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.已知(1−x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，求下列各式的值，并用数字作答：(Ⅰ)a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7；(Ⅱ)a1+a3+a5+a7．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(1,2)在抛物线C上．(Ⅰ)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；(Ⅱ)设O为坐标原点，过点F的直线l交抛物线C于点A，B，再从条件①AB的中点为M(3,−2)；②AB的中点为N(9,4)这两个条件中选择一个作为已知，求△OAB的面积．21.甲、乙两位同学到校学生会竞聘同一岗位，进入最后面试环节．具体面试方案如下：甲、乙各自从5个问题中随机抽取3个问题，已知这5个问题中，甲能正确回答其中3，甲、乙对每个问题的回答都相互个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为35独立，互不影响．(Ⅰ)设甲答对的问题个数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；(Ⅱ)请从数学期望和方差的角度分析，甲、乙两位同学，哪位同学竞聘成功的可能性更大？22.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，E是棱DD1的中点．(Ⅰ)求证：BC⊥AB1；(Ⅱ)求平面AB1E与平面ABCD夹角的余弦值；(Ⅲ)在棱CC1上是否存在一点F，使得EF与平面AB1E所成角的，若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由．正弦值为√3323.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,1)，且a=2b．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)设O为坐标原点，椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点P(2,2)的直线l交椭圆E 于点M，N，直线OP交直线AM于点Q，求证：AN//BQ．答案和解析1.【答案】A=√2，【解析】解：两条平行线l1：x+y−1=0与l2：x+y+1=0之间的距离为√1+1故选：A．由题意利用两条平行直线间的距离公式，计算即可．本题主要考查两条平行直线间的距离公式，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：设与直线x−2y−2=0垂直的直线方程为2x+y+m=0，把(1,0)代入2x+y+m=0，可得2+m=0，解得m=−2．所求直线方程为：2x+y−2=0．故选：D．设与直线x−2y−2=0垂直的直线方程为2x+y+m=0，把(1,0)代入2x+y+m= 0，解得m即可．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由表可得E(X)=(−2)×0.1+(−1)×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0，E(Y)=(−2)×0.05+(−1)×0.15+0×0.6+1×0.15+2×0.05=0，直观观察X的数据相对于Y的数据，更加偏离平均值0，故直观判断X和Y的分布中离散程度大的是X．故选：A．根据期望公式，求出二者的期望，再结合数据偏离程度，即可求解．本题主要考查离散型随机变量期望公式的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：已知圆关于y 轴对称的圆的圆心坐标为(2,0)，半径不变，还是2， 故对称圆的方程为(x −2)2+y 2=5， 故选：C ．求出关于y 轴对称的圆的圆心坐标为(2,0)，半径还是2，从而求得所求的圆的方程． 本题主要考查求圆的标准方程，求出关于y 轴对称的圆的圆心坐标为(2,0)，是解题的关键，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵在三棱锥P −ABC 中，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，D ，E 分别为棱PA ，BC 的中点，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PE ⃗⃗⃗⃗⃗ −PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a ⃗ +12b ⃗ +12c ⃗ ，故选：D ．直接根据向量的三角形法则求解即可． 本题主要考查向量的三角形法则，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：直线：l ：y =kx +2恒过定点A(0,2)， ∵圆C ：x 2+(y −1)2=5， ∴圆C(0,1)，半径r =√5， ∵|AC|=1<√5， ∴定点A(0,2)在圆内，∴直线：l ：y =kx +2与圆C ：x 2+(y −1)2=5的位置关系是相交． 故选：A ．根据已知条件，将原问题转化为直线的定点在圆C 内，即可求解． 本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：因为每个字都有两种选择，则分6步，每步都是C 21种选择， 所以C 21×C 21×C 21×C 21×C 21×C 21=26=64，同种颜色写字只有2种，所以要求不能只用1种颜色的笔，则不同的写法共有64−2=62种；故选：C．首先根据分步计数原理求出所有颜色的写法，然后减去2种颜色相同的，即可求出结果．本题考查排列组合，考查学生的运算能力，属于中档题．8.【答案】A【解析】【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，正确运用勾股定理是解题的关键．【解答】解：圆的方程可化为(x−1)2+(y−4)2=4，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：d=√a2+1=1，解得a=−43．故选A．9.【答案】D【解析】解：设三个地区的人口数为10a，在A，B，C三个地区分别有6%，5%，4%的民众核酸检测呈阳性，这三个地区的人口数的比为3：4：3，则核酸检测呈阳性的人数为：3a⋅6%+4a⋅5%+3a⋅4%=0.5a．从这三个地区中任选一人，则这个人核酸检测呈阳性的概率为：0.5 a10a =120，故选：D．设出三个地区的人口数，求出核酸检测呈阳性的人数，然后求解概率即可．本题考查古典概型概率的求法，考查转化思想以及计算能力，是基础题．10.【答案】B【解析】解：当甲安排为“编制剪辑”工作，另外3人任意安排工作有A33=6种方法．当甲也不安排“编制剪辑”工作时，先安排甲有A21种，再安排乙有A21种，另外剩余2人有A22，则此时有A21A21A22=8，共有6+8=14种，故选：B．分甲安排为“编制剪辑”工作和甲也不安排“编制剪辑”工作两种情况分别求出不同的安排数，求和即可得出答案．本题考查排列组合，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：∵抛物线C：y2=2px(p>0)，∴焦点F(p2,0)，设P(x1,y1)，由抛物线的定义可得，|PF|=x1+p2=10，解得x1=10−p2，∵以FP为直径的圆的圆心是FP的中点，∴圆心横坐标为10−p2+p22=5，∵|FP|=10，∴圆的半径r=5，∵以FP为直径的圆过点(0,3)，∴圆心纵坐标为3，则P点纵坐标为6，即P(10−p2,6)，代入抛物线方程得p2−20p+36= 0，故p=2或p=18．故选：C．设P(x1,y1)，由抛物线的定义可得，|PF|=x1+p2=10，解得x1=10−p2，再结合已知条件，以及圆的性质可得，P(10−p2,6)，代入抛物线方程得p2−20p+36=0，解出p，即可求解．本题主要考查抛物的性质，考查转化能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：设|PF1|=s，|PF2|=t，P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a，s−t=2m，解得s=a+m，t=a−m，在三角形F1PF2中，∠F1PF2=π3，可得4c2=s2+t2−2stcosπ3=a2+m2+2am+a2+m2−2am−(a2−m2)，即有a2+3m2=4c2，可得a2c2+3m2c2=4，即为1e12+3e22=4，则3e12+e22=14(1e12+3e22)(3e12+e22)=14(6+e22e12+9e12e22)≥14(6+2√9)=3，当且仅当e22e12=9e12e22，即e22=9e12，取得最小值3．故选：B．设|PF1|=s，|PF2|=t，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s，t，再由余弦定理，可得a，m与c的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.【答案】π3【解析】解：∵直线经过A(1,0)，B(2,√3)两点，∴直线的斜率等于：√3−02−1=√3．设直线的倾斜角等于θ，则有tanθ=√3．再由0≤θ<π可得θ=π3，故答案为：π3．先根据直线的斜率公式求出斜率，再根据倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，求出倾斜角的值．本题主要考查直线的斜率公式，倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：两个平面α，β的法向量分别是n1⃗⃗⃗⃗ =(1,x,2)和n2⃗⃗⃗⃗ =(3,6,y)，α//β，∴n1⃗⃗⃗⃗ //n2⃗⃗⃗⃗ ，∴13=x6=2y，解得x=2，y=6，∴y−x=6−2=4．故答案为：4．由α//β，得n1⃗⃗⃗⃗ //n2⃗⃗⃗⃗ ，列方程求出x=2，y=6，由此能求出y−x．本题考查两数和的求法，考查平面与平面平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】3280【解析】解：在(x2+2x)5的展开式中，二项式系数的和25=32，因为展开式的通项T r+1=C5r x10−2r⋅(2x)r=2r C5r x10−3r，令10−3r=1，则r=3，此时x的系数为23C53=80．故答案为：32，80．直接结合二项式系数的性质即可求解二项式系数的和；先求出二项展开式的通项，结合指定项的指数可求r，进而可求．本题主要考查了二项式系数的性质及二项展开式的通项的应用，属于基础题．16.【答案】43√2【解析】解：双曲线C：x24−y28=1的a=2，实轴长为4；右焦点为F(2√3,0)，渐近线方程为：y=±√2x，不妨设P在第一象限，|PO|=|PF|，P(√3,√6)，所以△PFO 的面积为：12×2√3×√6=3√2． 故答案为：4；3√2．利用双曲线方程求解a ，即可得到实轴长，求出双曲线的渐近线方程，求出三角形POF 的顶点P 的坐标，然后求解面积即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．17.【答案】√2 [2√55,2]【解析】解：(1)在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BB 1//CC 1，BB 1⊄面ACC 1A 1，CC 1⊂面ACC 1A 1，所以BB 1//面ACC 1A 1，连接D 1B 1交A 1C 1于点E ， 所以D 1B 1⊥A 1C 1，又CC 1⊥面A 1B 1C 1D 1，EB 1⊂面A 1B 1C 1D 1， 所以CC 1⊥EB 1， 因为CC 1∩A 1C 1=C 1， 所以EB 1⊥面ACC 1A 1，因为正方体的棱长为2，所以B 1E =√2， 即点B 1到平面ACC 1A 1的距离为√2，若点P 与点Q 重合，则点P 到平面ACC 1A 1的距离即为点B 1到平面ACC 1A 1的距离为√2； (2)如图建立空间直角坐标系，则C(0,2,0)，A 1(2,0,2)，D(0,0,0)，Q(2,2,1)，设P(x,2,z)， 则A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2,z −2)，DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,1)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,0,z)， 因为PA 1⊥DQ ， 所以A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以2(x −2)+4+z −2=0， 即z =2−2x ，所以|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 2+z 2=√x 2+(2−2x)2=√5(x −45)2+45， 因为{0≤x ≤20≤z =2−2x ≤2，解得0≤x ≤1，所以2√55≤|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤2，即|CP⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[2√55,2]．故答案为：√2；[2√55,2]． (1)连接B 1D 1交A 1C 1于点E ，由正方体的性质可证BB 1//面ACC 1A 1，B 1E ⊥面ACC 1A 1，即可得到点B 1到平面ACC 1A 1的距离，当点P 与点Q 重合时，点P 到平面ACC 1A 1的距离即为点B 1到平面ACC 1A 1的距离；(2)建立空间直角坐标系，设P(x,2,z)，由A 1P ⊥DQ 得到z =2−2x ，再根据|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√x 2+z 2及二次函数的性质计算可得．本题考查了点到平面的距离及线段的长度，(1)问中找到点到面的距离是难点，也是关键点；(2)问中建立坐标系，将立方体几何问题转化为代数问题来研究就降低了难度，属于中档题．18.【答案】①②③【解析】解：对于①，设曲线C ：x 2+y 2+xy =4上任意一点坐标为(x,y)， 则其关于原点的对称点坐标为(−x,−y)， 将(−x,−y)代入曲线C ：x 2+y 2+xy =4， 则(−x)2+(−y)2+(−x)(−y)=x 2+y 2+xy =4， 故点(−x,−y)在曲线C 上，故曲线C 关于原点中心对称，故①正确， 对于②，将(y,x)代入曲线C ：x 2+y 2+xy =4， 则y 2+x 2+yx =x 2+y 2+xy =4， 所以曲线关于y =x 轴对称，故②正确，对于③，当x =0时，y =±2，当y =0时，x =±2，当x =2时，y =−2，当y =2时，x =2，故曲线C 恰好经过6个整点(0,2)，(0,−2)，(2,0)，(−2,0)，(2,−2)，(−2,2)，故③正确， 设P(x,y)，则|OP|=√x 2+y 2=√4−xy ， 若|OP|=√2，则|OP|=√x 2+y 2=√4−xy =√2， 所以xy =2，x 2+y 2+xy =4≥3xy ，所以xy ≤43，当且仅当x =y =2√33时，等号成立，又2>43，故在曲线C 上不存在点P ，使得|OP|=√2，故④错误． 故答案为：①②③．设设曲线C ：x 2+y 2+xy =4上任意一点坐标为(x,y)，求出其关于原点的对称点坐标(−x,−y)，关于y =x 的对称点为(y,x)，将这两个点代入曲线C 的方程，即可求解①②，分别令x =0，y =0，x =2，y =2，即可求解③，根据已知条件，结合两点之间的距离公式，以及基本不等式的公式，即可求解④．本题主要考查曲线与方程，需要学生较强的综合能力，属于中档题．19.【答案】解：(I)令x =1得，a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=0，(II)令x =−1，得a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5+a 6−a 7=27=128， 与(I)中等式联立得，2(a 1+a 3+a 5+a 7)=−128， 所以a 1+a 3+a 5+a 7=−64．【解析】(I)令x =1，代入即可求解； (II)分别令x =1，x =−1代入即可求解．本题主要考查了二项展开式的系数的求解，赋值法的应用是求解问题的关键，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)因为P(1,2)在抛物线上，代入可得22=2p ⋅1，可得2p =4，所以抛物线的方程为：y 2=4x ，焦点F(1,0)；(Ⅱ)若选①设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则A ，B 的中点坐标为(x 1+x 22,y 1+y 22)，由题意可得中点M(3,−2)，所以y 1+y 2=−4，将A ，B 的坐标代入可得{y 12=4x 1y 22=4x 2，作差整理可得：y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2=−44=−1，所以直线AB 的斜率为−1， 则直线AB 的方程为：y =−x +1， {y =−x +1y 2=4x ，整理可得x 2−6x +1=0， 则x 1+x 2=6，由抛物线的定义可得|AB|=x 1+x 2+p =6+2=8， O 到直线AB 的距离d =√2，所以S △AOB =12|AB|⋅d =12√2⋅8=2√2；若选②，由A ，B 的中点N(9,4)，同①可得直线的斜率：y 1−y 2x 1−x 2=4y1+y 2=48=12，所以直线AB 的方程为：x =2y +1，{x =2y +1y 2=4x整理可得：y 2−8y −4=0，则y 1+y 2=8，y 1y 2=−4 所以|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√64−4⋅(−4)=4√5， 所以S △AOB =12|OF|⋅|y 1−y 2|=12×1×4√5=2√5．【解析】(Ⅰ)由点P 在抛物线上，可得参数p 的值，进而求出抛物线的方程及焦点坐标； (Ⅱ)若选①，点差法求出直线AB 的斜率，由题意可得直线AB 的方程，与抛物线联立求出横坐标之和，由抛物线的性质，求出弦长|AB|的值，再求O 到直线AB 的距离，代入面积公式，求出三角形的面积；选②，同①先求出直线AB 的斜率，写出直线方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出A ，B 的纵坐标之差的绝对值，代入三角形的面积公式，求出三角形的面积．本题考查求抛物线的方程及点差法求直线的斜率，直线与抛物线的综合应用，三角形的面积公式的应用，属于中档题．21.【答案】解：(I)由题意可知，X 所有可能取值为1，2，3，故P(X =1)=C 31C 22C 53=310，P(X =2)=C 32C 21C 53=35，P(X =3)=C 33C 53=110，故X 的分布列为：故E (X)=1×310+2×35+3×110=95，D(X)=310×(1−95)2+35×(2−95)2+110×(3−95)2=925．(II)设乙答对的题数为Y ，则Y 所有可能的取值为0，1，2，3， 由题意可得，Y ～B(3,35)，则E(Y)=3×35=95，D(Y)=3×35×25=1825， ∵E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)， ∴甲的方差小，甲比较稳定，故甲同学竞聘成功的可能性更大．【解析】(I)由题意可知，X 所有可能取值为1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列，并结合期望与方差公式，即可求解．(II)设乙答对的题数为Y ，则Y 所有可能的取值为0，1，2，3，由题意可得，Y ～B(3,35)，分别求出对应的期望与方差，通过比较二者的期望与方差，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望与方差公式，属于中档题．22.【答案】(Ⅰ)证明：因为ABCD −A 1B 1C 1D 1是长方体，所以BC ⊥平面AA 1B 1B ，因为AB 1⊂平面AA 1B 1B ，所以BC ⊥AB 1．(Ⅱ)解：建系如图，A(0,0,0)，E(0,1,1)，B 1(1,0,2)， AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)， 令m⃗⃗⃗ =(2,1,−1)， 因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =0，所以m ⃗⃗⃗ 是平面AB 1E 的法向量，平面ABCD 的法向量是n⃗ =(0,0,1)， 所以平面AB 1E 与平面ABCD 夹角的余弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=1√6⋅1=√66． (Ⅲ)解：设CF =t ，t ∈[0,2]，则E(1,1,t)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,t −1)， 所以EF 与平面AB 1E 所成角的正弦值为|m ⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|3−t|√6⋅√1+(t−1)2=√33，解得t =√6−1．【解析】(Ⅰ)只要证明BC 垂直于AB 1所在平面AA 1B 1B 即可；(Ⅱ)用向量数量积计算两平面成角余弦值；(Ⅲ)用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求解． 本题考查了直线与平面的位置关系，考查了两平面夹角计算问题，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．23.【答案】(Ⅰ)解：由已知可得，b =1，则a =2b =2，则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)证明：由题意可得，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k(x −2)+2， 代入椭圆方程可得，(1+4k 2)x 2−16k(k −1)x +16k 2−32k +12=0．Δ=(16k)2(k −1)2−4(1+4k 2)(16k 2−32k +12)>0，解得k >38． 设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=16k 2−16k 1+4k 2，x 1x 2=16k 2−32k+121+4k 2，A(−2,0)，B(2,0)，k AM =y 1x1+2，则AM 所在直线方程为y =y 1x1+2(x +2)，OP 所在直线方程为y =x ，联立{y =x y =y 1x 1+2(x +2)，解得Q(2y 1x 1−y 1+2,2y 1x 1−y 1+2)，则k BQ =2y 1x 1−y 1+22y 1x 1−y 1+2−2=y 12y1−x 1−2，k AN =y2x 2+2， 要证AN//BQ ，需证k BQ =k AN ，即证y 12y1−x 1−2=y 2x 2+2，也就是证(kx 1−2k +2)(x 2+2)=(kx 2−2k +2)(2kx 1−4k +4−x 1−2)， 即证(2k 2−2k)x 1x 2−(4k 2−4k +2)(x 1+x 2)+2(4k 2−4k)=0． 把根与系数的关系代入， 需证(k 2−k)(16k 2−32k+12)1+4k 2−(2k 2−2k+1)(16k 2−26k)1+4k 2+4k 2−4k =0．∵k >38≠0，可证(k −1)(4k 2−8k +3)−(2k 2−2k +1)(4k −4)+(k −1)(4k 2+1)=0．也就是证(k −1)(4k 2−8k +3−8k 2+8k −4+4k 2+1)=0， 此时显然成立． ∴AN//BQ ．【解析】(Ⅰ)由已知可得，b =1，则a =2b =2，则椭圆方程可求；(Ⅱ)由题意可得，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k(x −2)+2，代入椭圆方程，得关于x 的一元二次方程，可得M 、N 的横坐标的和与积，再求出AM 所在直线方程，与OP 所在直线方程联立求得Q 的坐标，可得BQ 的斜率，再求出AN 的斜率，证明斜率相等即可．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．。
北京市第十二中学2020-2021学年九年级下学期月考数学试卷(3月份)(解析版)
北京十二中2020-2021学年九年级下学期月考数学试卷（3月份）（解析版）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．B．C．D．2．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（）A．4×1013千米B．4×1012千米C．9.5×1013千米D．9.5×1012千米3．下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b＝0，那么下列结论正确的是（）A．|a|＞|c|B．a+c＜0C．abc＜0D．5．右图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．正方体C．三棱锥D．三棱柱6．如果x﹣3y＝0，那么代数式的值为（）A．﹣2B．2C．D．37．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m8．某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c 且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（）A．每场比赛的第一名得分a为4B．甲至少有一场比赛获得第二名C．乙在四场比赛中没有获得过第二名D．丙至少有一场比赛获得第三名二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是．10．因式分解：ab2﹣25a＝．11．用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝，b＝，c＝．12．不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是．13．如图所示的网格是正方形网格，则∠CBD+∠ABC＝°．（点A，B，C，D是网格线交点）14．如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AD为直径，如果∠BAD＝70°，∠CDA＝50°，BC＝2，那么AD＝．15．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为．16．小周自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、55元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，小周对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，小周会得到支付款的80%．（1）当x＝6时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付元；（2）在促销活动中，为保证小周每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；②连接P A，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PB，QB．∵P A＝QB，∴＝．∴∠PBA＝∠QPB（）（填推理的依据）．∴PQ∥l（）（填推理的依据）．18．（5分）计算：2﹣1﹣2cos30°+|﹣|+（3.14﹣π）0．19．（5分）解方程：﹣＝1．20．（5分）解不等式组：21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．22．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE．（1）求证：四边形ODEC为菱形；（2）连接OE，若BC＝2，求OE的长．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣1，6），直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值；（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数的图象于点D．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．（1）求证：GC∥AE；（2）若sin∠EAB＝，OD＝，求AE的长．25．（6分）为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x ＜100）．b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：平均数中位数众数优秀率83.3847846%根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是（填“A”或“B”）；（2）根据上述信息，推断学校综合素质展示的水平更高，理由为（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到分的学生才可以入选．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），抛物线y＝mx2+4mx+5m的对称轴与x轴交于点B．（1）求点B的坐标；（2）当m＞0时，过A点作直线l平行于x轴，与抛物线交于C、D两点（C在D左侧），C、D横坐标分别为x1、x2，且x2﹣x1＝2，求抛物线的解析式；（3）若抛物线与线段AB恰只有一个公共点，则请结合函数图象，直接写出m的取值范围．27．（7分）四边形ABCD是正方形，将线段CD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段CE，连接DE，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于F，连接BE．（1）依题意补全图1，并直接写出∠FBE的度数；（2）连接AF，用等式表示线段AF与DE的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点A（﹣3，0），B（﹣1，），C（2，﹣1）中，⊙O的伴随点是；②点D在直线y＝﹣x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．2020-2021学年北京十二中九年级（下）月考数学试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下面的多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．B．C．D．【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意得（n﹣2）•180°＝360°，解得n＝4．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．2．广阔无垠的太空中有无数颗恒星，其中离太阳系最近的一颗恒星称为“比邻星”，它距离太阳系约4.2光年．光年是天文学中一种计量天体时空距离的长度单位，1光年约为9 500 000 000 000千米，则“比邻星”距离太阳系约为（）A．4×1013千米B．4×1012千米C．9.5×1013千米D．9.5×1012千米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：依题意得：4.2光年＝4.2×9.5×1012≈4×1013．故选：A．【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列图案中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b＝0，那么下列结论正确的是（）A．|a|＞|c|B．a+c＜0C．abc＜0D．【分析】根据a+b＝0，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．【解答】解：∵a+b＝0，∴原点在a，b的中间，如图，由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0，＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．5．右图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．长方体B．正方体C．三棱锥D．三棱柱【分析】根据三视图的形状可以判断成该几何体的形状．【解答】解：下面的这个几何体的三视图与所给的三视图相同，因此这个几何体是三棱柱，故选：D．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提．6．如果x﹣3y＝0，那么代数式的值为（）A．﹣2B．2C．D．3【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x＝3y代入化简可得．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，∵x﹣3y＝0，∴x＝3y，则原式＝＝2，故选：B．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m【分析】将点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9）分别代入函数解析式，求得系数的值；然后由抛物线的对称轴公式可以得到答案．【解答】解：法一：根据题意知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（0，54.0）、（40，46.2）、（20，57.9），则解得，所以x＝﹣＝﹣＝15（m）．法二：∵抛物线开口向下，∴离对称轴越近，位置越高，从A、C两点来看，对称轴更靠近A，即在20左边，从A、B两点来看，对称轴更靠近B，即在10右边，故选：B．【点评】考查了二次函数的应用，此题也可以将所求得的抛物线解析式利用配方法求得顶点式方程，然后直接得到抛物线顶点坐标，由顶点坐标推知该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离．8．某中学举行了科学防疫知识竞赛．经过选拔，甲、乙、丙三位选手进入到最后角逐．他们还将进行四场知识竞赛．规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为a，b，c（a＞b＞c 且a，b，c均为正整数）；选手总分为各场得分之和．四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（）A．每场比赛的第一名得分a为4B．甲至少有一场比赛获得第二名C．乙在四场比赛中没有获得过第二名D．丙至少有一场比赛获得第三名【分析】根据四场比赛总得分，结合a，b，c满足的条件，可求出a，b，c，再根据已知的得分情况，确定甲、乙、丙的得分情况，问题即可解决．【解答】解：∵甲最后得分为16分，∴a＞4，接下来以乙为主要研究对象，①若乙得分名次为：1场第一名，3场第二名，则a+3b＝8，则3b＝8﹣a＜4，而bb为正整数，则b＝1，又cc为正整数，a＞b＞c，此时不合题意；②若乙得分名次为：1场第一名，2场第二名，1场第三名，则a+2b+c＝8，则2b+c＝8﹣a＜4，由a＞b＞c，且a，b，c为正整数可知，此时没有符合该不等式的解，不符合题意；③若乙得分名次为：1场第一名，1场第二名，2场第三名，则a+b+2c＝8，则b+2c＝8﹣a＜4，由a＞b＞c，且a，b，cc为正整数可知，此时没有符合该不等式的解，不符合题意；④若乙得分名次为：1场第一名，3场第三名，则a+3c＝8，此时显然a＝5，c＝1，则甲的得分情况为3场第一名，1场第三名，共3×5+1＝16分，乙的得分情况为1场第一名，3场第三名，共5+3×1＝8分，丙的得分情况为4场第二名，则4b＝8，即b＝2，此时符合题意．综上分析可知，乙在四场比赛中没有获得过第二名．故选：C．【点评】本题考查了合情推理的问题，考查了推理论证能力，考查了化归与转化思想，审清题意是正确解题的关键，属于中档题．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果二次根式有意义，那么x的取值范围是x≥2．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：x﹣2≥0，∴x≥2，故答案是：x≥2．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解有意义的条件，本题属于基础题型．10．因式分解：ab2﹣25a＝a（b+5）（b﹣5）．【分析】先提取公因式a，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【解答】解：ab2﹣25a，＝a（b2﹣25），＝a（b+5）（b﹣5）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，注意分解要彻底．11．用一组a，b，c的值说明命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，这组值可以是a＝1，b＝2，c＝﹣1．【分析】根据题意选择a、b、c的值即可．【解答】解：当a＝1，b＝2，c＝﹣1时，1＜2，而1×（﹣1）＞2×（﹣1），∴命题“若a＜b，则ac＜bc”是错误的，故答案为：1；2；﹣1．【点评】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．12．不透明的袋子中有三个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，“3”，除数字外三个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为4的概率是．【分析】画树状图，共有9个等可能的结果，两次记录的数字之和为4的结果有3个，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如图：共有9个等可能的结果，两次记录的数字之和为4的结果有3个，∴两次记录的数字之和为4的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．如图所示的网格是正方形网格，则∠CBD+∠ABC＝45°．（点A，B，C，D是网格线交点）【分析】连接DC并延长到点E，使CE＝DC，连接EA、EB，根据勾股定理得到BE＝BD＝＝，AE＝＝，AB＝＝，求得∴AE2+AB2＝2AB2＝BE2，于是得到∠ABE＝45°，进而得到结论．【解答】解：如图，连接DC并延长到点E，使CE＝DC，连接EA、EB，则BC是ED的垂直平分线，∴BE＝BD＝＝，∴∠CBD＝∠CBE．∵AE＝＝，AB＝＝，∴AE2+AB2＝2AB2＝BE2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∴∠CBD+∠ABC＝∠CBE+∠ABC＝∠ABE＝45°．故答案为：45．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．14．如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AD为直径，如果∠BAD＝70°，∠CDA＝50°，BC＝2，那么AD＝4．【分析】连接OB，OC，根据等腰三角形的性质得到∠OBA＝∠A＝70°，∠OCD＝∠D ＝50°，推出△COB是等边三角形，得到OB＝OA＝2，于是得到结论．【解答】解：连接OB，OC，∵OB＝OA，OC＝OD，∴∠OBA＝∠A＝70°，∠OCD＝∠D＝50°，∴∠AOB＝40°，∠COD＝80°，∴∠COB＝60°，∴△COB是等边三角形，∴OB＝OA＝2，∴AD＝2OA＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了圆内接四边形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．15．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．求绳索和竿的长度．设绳索长x尺，竿长y尺，可列方程组为．【分析】设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：设绳索长x尺，竿长y尺，根据题意得：．故答案为：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．16．小周自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、55元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，小周对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，小周会得到支付款的80%．（1）当x＝6时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付94元；（2）在促销活动中，为保证小周每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为10．【分析】（1）根据付款金额减去x，即可求解．（2）根据保证小周每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，建立不等式，即可求解．【解答】解：（1）当x＝6时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒．可得：40+60＝100（元）．顾客支付：100﹣6＝94（元）．故答案为：94．（2）设订单总金额为m元．∴（m﹣x）80%≥m×70%．∴．若m＜80．可得支付款的80%．当m≥80时，x．则x的最大值为：10．故答案为：10．【点评】本题考查一元一次不等式的应用知识，关键在于根据题意找到不等关系，属于中等难度题．三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题5分，第27，28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．（5分）下面是小明设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点O，以点O为圆心，OP长为半径画半圆，交直线l于A，B两点；②连接P A，以B为圆心，AP长为半径画弧，交半圆于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接PB，QB．∵P A＝QB，∴＝．∴∠PBA＝∠QPB（等弧所对的圆周角相等）（填推理的依据）．∴PQ∥l（内错角相等两直线平行）（填推理的依据）．【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）根据平行线的判定方法解决问题即可．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）理由：连接PB，QB．∵P A＝QB，∴＝．∴∠PBA＝∠QPB（等弧所对的圆周角相等）．∴PQ∥l（内错角相等两直线平行）．故答案为：，等弧所对的圆周角相等，内错角相等两直线平行．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18．（5分）计算：2﹣1﹣2cos30°+|﹣|+（3.14﹣π）0．【分析】将原式每一项分别求值为再进行化简即可；【解答】解：原式＝＝【点评】本题考查实数的运算；能熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．19．（5分）解方程：﹣＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x（x+2）﹣2＝x2﹣4，去括号得：x2+2x﹣2＝x2﹣4，解得：x＝﹣1，经检验x＝﹣1是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．20．（5分）解不等式组：【分析】根据不等式的性质得出两个不等式的解集，进而得出不等式组的解集即可．【解答】解：由①，得x＜4，由②，得x≥﹣9，∴此不等式组的解集是﹣9≤x＜4．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．【分析】（1）先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；（2）根据题意列方程即可得到结论．．【解答】解：（1）∵△＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）∵，∴x1＝m+2，x2＝1．∵方程两个根的绝对值相等，∴m+2＝±1．∴m＝﹣3或﹣1．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式△与0的关系判定方程根的情况是解决本题的关键．22．（5分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点O关于直线CD的对称点为E，连接DE，CE．（1）求证：四边形ODEC为菱形；（2）连接OE，若BC＝2，求OE的长．【分析】（1）利用矩形性质可得OD＝OC，再借助对称性可得OD＝DE＝EC＝CO，从而证明了四边形ODEC为菱形；（2）证明四边形OBCE为平行四边形，即可得到OE＝BC＝．【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OD＝OC．∵点O关于直线CD的对称点为E，∴OD＝ED，OC＝EC．∴OD＝DE＝EC＝CO．∴四边形ODEC为菱形（2）由（1）知四边形ODEC为菱形，连接OE．∴CE∥OD且CE＝OD．∴CE∥BO且CE＝BO．∴四边形OBCE为平行四边形．∴．【点评】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，熟知特殊四边形的判定和性质是解题的关键．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣1，6），直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值；（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数的图象于点D．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．【分析】（1）把A（﹣1，6）代入函数，即可求出k；把点B（﹣1，0）代入直线y＝mx﹣2，即可求出m；（2）①求出PC和PD，即可判断PC和PD之间的关系；②求出P点y值的取值范围，即可n的取值范围．【解答】解：（1）∵函数的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣6．∵直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0），∴m＝﹣2．（2）①判断：PD＝2PC．理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2），∵y＝﹣2x﹣2交于于点C，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵函数的图象于点D，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，点D的坐标为（﹣3，2）．∴PC＝1，PD＝2．∴PD＝2PC．②当PD＝2PC时，有两种情况，分别为：y＝2，或者y＝6．若PD≥2PC，0＜y≤2，或y≥6即0＜﹣2n≤2，或﹣2n≤6解得﹣1≤n＜0．或n≤﹣3【点评】本题主要考查了反比例函数上点的坐标特点，熟悉反比例函数图象上点的特点是解答此题的关键．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点G，过点C作CD⊥AB于点D，交AE于点F．（1）求证：GC∥AE；（2）若sin∠EAB＝，OD＝，求AE的长．【分析】（1）连接OC，交AE于点H．根据垂径定理得到OC⊥AE．根据切线的性质得到OC⊥GC，于是得到结论；（2）根据三角函数的定义得到sin∠OCD＝sin∠EAB＝．连接BE．AB是⊙O的直径，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，交AE于点H．∵C是弧AE的中点，∴OC⊥AE．∵GC是⊙O的切线，∴OC⊥GC，∴∠OHA＝∠OCG＝90°，∴GC∥AE；（2）解：∵OD⊥AE，CD⊥AB，∴∠OCD＝∠EAB．∴sin∠OCD＝sin∠EAB＝．在Rt△CDO中，OD＝，∴，∴，连接BE．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．在Rt△AEB中，∵，∴，∴．【点评】本题考查了切线的性质，三角函数的定义，平行线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（6分）为迎接2022年冬奥会，鼓励更多的学生参与到志愿服务中学，甲、乙两所学校组织了志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各有400名学生进入综合素质展开环节，为了了解两所学校这些学生的整体情况，从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图：（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x ＜100）．b．甲学校学生成绩在80≤x＜90这一组是：80 80 81 81.5 82 83 83 84 85 86 86.5 87 88 88.5 89 89c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下：平均数中位数众数优秀率83.3847846%根据以上信息，回答下列问题：（1）甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A（填“A”或“B”）；（2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高学校综合素质展示的水平更高，理由为与甲校相比，乙校的中位数更高，说明乙校综合展示水平较高的同学更多；与甲校相比，乙校的优秀率更高，说明乙校综合展示水平高分的人数更多（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）．（3）若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，预估甲学校分数至少达到88.5分的学生才可以入选．【分析】（1）求得甲校的中位数即可得到结论；（2）根据频数分布直方图和表中信息即可得到结论；（3）求得每所学校被取了50名学生的综合素质展示的前15名学生将被选入志愿服务团队，于是得到结论．【解答】解：（1）甲学校学生成绩的中位数为＝81.25，乙学校学生成绩的中位数为84，故这两人在本校学生中综合素质展示排名更靠前的是A，故答案为：A；（2）根据上述信息，推断乙学校综合素质展示的水平更高，理由为：与甲校相比，乙校。
2022-2023学年北京市第十二中学九年级上学期期中考试数学试卷含详解
北京十二中2022-2023学年第一学期期中考试试卷初三数学一、选择题（共16分，每题2分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.直角三角形B.圆C.等边三角形D.四边形2.小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（）A.30°B.60°C.90°D.120°3.抛物线2241y x x =-+的对称轴是直线（）A.3x =- B.1x = C.32x =-D.=1x -4.二次函数y =3(x –2)2–5与y 轴交点坐标为()A.(0，2)B.(0，–5)C.(0，7)D.(0，3)5.一元二次方程22310x x -+=的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.无法确定6.把二次函数2y x =-的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为（）A.2(1)3y x =-++B.2(1)3y x =-+-C.2(1)3y x =--- D.2(1)+3y x =--7.抛物线上y ＝(m －4)x 2有两点A (－3，y 1)、B (2，y 2)，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是（）A.m ＞4B.m ＜4C.m ≥4D.m ≠48.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：m 3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x ≤90°）近似满足函数关系y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A.33°B.36°C.42°D.49°二、填空题（共16分，每题2分）9.若点P (2，3)与点Q 关于原点对称，则点Q 的坐标是__________．10.若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是__________．（写出一个即可）11.写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当0x >时，y 随着x 的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是______．12.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．以点A 为中心，将矩形ABCD 旋转得到矩形AB 'CD '，使得点B '落在边AD 上，此时DB '的长为______．13.若关于x 的方程2240x kx k ++-=的一个根是1，则k 的值为___________．14.如图，A ，B 两点在函数2y x=-（0x <）图象上，AC 垂直y 轴于点C ，BD 垂直x 轴于点D ，AOC ，BOD 面积分别记为1S ，2S ，则1S ___2S ．（填“＜”，“＝”，或“＞”）．15.抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2A m ，，且经过点()50B ，，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①0ac <；②0a b c -+>；③90m a +=；④若此抛物线经过点()C t n ，，则4t +一定是方程2ax bx c n ++=的一个根．其中所有正确结论的序号是____________16.已知双曲线3y x=-与直线y kx b =+交于点()11,A x y ，()22,B x y ．（1）若120x x +=，则12y y +=__________；（2）若120x x +>时，120y y +>，则k __________0，b __________0．（填“>”，“=”或“<”）三、解答题（共68分，第17题8分，第18-19题每题5分，第20题4分，第21-24题每题5分，第25-26题每题6分，第27-28题每题7分）17.用适当的方法解方程（1）4（x-1）2=9（2）2640x x --=18.如图，点D 是等边三角形ABC 的边BC 上一点，以AD 为边作等边△ADE ，连接CE .（1）求证：ABD ACE ≌△△；（2）若∠BAD =20°，求∠AEC 的度数.19.已知关于x 的一元二次方程2(1)(4)30m x m x -+--=(m 为实数且1m ≠)．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数．．．m 的值．20.如图，在正方形网格中，将格点△ABC 绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A 1B 1C 1，点A 与点A 1，点B 与点B 1，点C 与点C 1是对应点．（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O ；（2）直接写出旋转角α的度数．21.已知二次函数223y x x =--+．（1）将二次函数化成2()y a x h k =-+的形式；（2）在平面直角坐标系中画出223y x x =--+的图象；（3）结合函数图象，直接写出0y >时x 的取值范围．22.刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元，4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．（1）求每个月盈利的增长率；（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？23.如图，排球运动场的场地长18m ，球网高度2.24m ，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m ．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m ，当排球飞行到距离球网3m 时达到最大高度2.5m ．小石建立了平面直角坐标系xOy （1个单位长度表示1m ），求得该抛物线的表达式为215722y x =-+．根据以上信息，回答下列问题：（1）画出小石建立的平面直角坐标系；（2）判断排球能否过球网，并说明理由．24.在平面直角坐标系xOy 中，直线:l 3y x =-与函数(0ky k x=≠，0)x >的图象交于点(4,)A t ．（1）求t ，k 的值；（2）点B 是函数(0ky k x=≠，0)x >的图象上任意一点（不与点A 重合），点P ，Q 在直线l 上，点P 横坐标为2．若1S S 2ABQ ABP △△≥，求点Q 横坐标的取值范围．25.数学学习小组的同学共同探究体积为330mL 圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：（1）建立模型：设该容器的表面积为S 2cm ，底面半径为x cm ，高为y cm ，则2330x y π=，①222S x xy ππ=+，②由①式得2330y x π=，代入②式得26602S x xπ=+．③可知，S 是x 的函数，自变量x 的取值范围是0x >．（2）探究函数：根据函数解析式③，按照下表中自变量x 的值计算（精确到个位），得到了S 与x 的几组对应值：/cmx …1 1.52 2.53 3.54 4.55 5.56…2/cm S …666454355303277266266274289310336…在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（3）解决问题：根据图表回答，①半径为2.4cm 的圆柱形容器比半径为4.4cm 的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）；②若容器的表面积为3002cm ，容器底面半径约为______cm （精确到0.1）．26.已知抛物线242(0)y ax ax a =-+≠过(1,)A m -，(2,)B n ，(3,)C p 三点．（1）求n 的值（用含有a 的代数式表示）；（2）若0mnp <，求a 的取值范围．27.在ABC 中，90,ACB AC CB ∠== ，将线段CA 绕点C 顺时针旋转到如图所示的位置，得到线段CD ，连接,,AD BD CF 平分BCD ∠交BD 于点G ，交AD 的延长线于点F ，连接BF ．（1）依题意补全图形；（2）①求DFC ∠的度数；②用等式表示线段,,AD FB FC 之间的数量关系，并证明．28.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y ≤M ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y ＝﹣（x ﹣3）2＋2是有上界函数，其上确界是2（1）函数①y ＝x 2＋2x ＋1和②y ＝2x ﹣3（x ≤2）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；（2）如果函数y ＝﹣x ＋2（a ≤x ≤b ，b ＞a ）的上确界是b ，且这个函数的最小值不超过2a ＋1，求a 的取值范围；（3）如果函数y ＝x 2﹣2ax ＋2（1≤x ≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a 的值．北京十二中2022-2023学年第一学期期中考试试卷初三数学一、选择题（共16分，每题2分）1.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.直角三角形B.圆C.等边三角形D.四边形【答案】B【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义判断即可.【详解】∵直角三角形不是中心图形，不符合题意，∴A选项错误；∵圆是中心图形，也是轴对称图形，符合题意，∴B选项正确；∵等边三角形不是中心图形，是轴对称图形，不符合题意，∴C选项错误；∵四边形无法确定其对称性，不符合题意，∴D选项错误；故选B.【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，熟记两种对称图形的定义是解题的关键.2.小明将图案绕某点连续旋转若干次，每次旋转相同角度α，设计出一个外轮廓为正六边形的图案（如图），则α可以为（）A.30°B.60°C.90°D.120°【答案】B【分析】由题意依据每次旋转相同角度α，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°进行分析即可得出答案.【详解】解：因为每次旋转相同角度α，旋转了六次，且旋转了六次刚好旋转了一周为360°，所以每次旋转相同角度α360660︒=÷=.故选：B.【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是能够找到旋转中心，从而确定旋转角的度数．3.抛物线2241y x x =-+的对称轴是直线（）A.3x =-B.1x = C.32x =-D.=1x -【答案】B【分析】根据二次函数()20y ax bx c a =++≠的对称轴公式：直线2bx a=-进行求解即可．【详解】解：抛物线2241y x x =-+的对称轴是直线41222b x a -=-=-=⨯．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键．4.二次函数y =3(x –2)2–5与y 轴交点坐标为()A.(0，2)B.(0，–5)C.(0，7)D.(0，3)【答案】C【分析】由题意使x =0,求出相应的y 的值即可求解.【详解】解：∵y =3（x ﹣2）2﹣5，∴当x =0时，y =7，∴二次函数y =3（x ﹣2）2﹣5与y 轴交点坐标为(0，7)，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是二次函数图象上的点满足其解析式.5.一元二次方程22310x x -+=的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.无法确定【答案】A【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到()234210∆=--⨯⨯>，即可得出答案．【详解】解：∵()234219810∆=--⨯⨯=-=>，∴一元二次方程22310x x -+=有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．6.把二次函数2y x =-的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为（）A.2(1)3y x =-++B.2(1)3y x =-+-C.2(1)3y x =---D.2(1)+3y x =--【答案】A【分析】根据二次函数图象平移的方法即可得出结论．【详解】解：抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为：2(1)3y x =-++．故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移变换，熟知“上加下减，左加右减”的规律是解答此题的关键．7.抛物线上y ＝(m －4)x 2有两点A (－3，y 1)、B (2，y 2)，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是（）A.m ＞4B.m ＜4C.m ≥4D.m ≠4【答案】A【分析】把A 、B 两点的坐标分别代入抛物线解析式可用m 分别表示出y 1和y 2，利用条件可得到m 的不等式，可求得m 的取值范围．【详解】解：∵A （−3，y 1）、B （2，y 2）在抛物线上，∴y 1＝9（m −4），y 2＝4（m −4），∵y 1＞y 2，∴9（m −4）＞4（m −4），∴m ＞4，故选：A ．【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．8.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y （单位：m 3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0°＜x ≤90°）近似满足函数关系y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y 的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）A.33°B.36°C.42°D.49°【答案】C 【分析】据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x 的取值范围，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可知，物线开口向上，该函数的对称轴x ＞18542+且x ＜54，∴36＜x ＜54，即对称轴位于直线x ＝36与直线x ＝54之间且靠近直线x ＝36，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．二、填空题（共16分，每题2分）9.若点P (2，3)与点Q 关于原点对称，则点Q 的坐标是__________．【答案】（-2，-3）．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】解：点P （2，3）与点Q 关于原点对称，则点Q 的坐标（-2，-3），故答案是：（-2，-3）．【点睛】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．10.若一个反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是__________．（写出一个即可）【答案】1y x=（答案不唯一）【详解】解：∵反比例函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，∴该反比例函数中，常数0k >，如1y x =等（答案不唯一，只要0k >即可）.故答案为：1y x=（答案不唯一）11.写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当0x >时，y 随着x 的增大而减小．这个二次函数的解析式可以是______．【答案】y=-x 2-2x-1．【分析】首先由①得到a ＜0；由②得到-2b a ≤0；只要举出满足以上两个条件的a 、b 、c 的值即可得出所填答案．【详解】解：二次函数y=ax 2+bx+c ，①开口向下，∴a ＜0；②当x ＞0时，y 随着x 的增大而减小，-2b a≤0，即b ＜0；∴只要满足以上两个条件就行，如a=-1，b=-2，c=-1时，二次函数的解析式是y=-x 2-2x-1．故答案为：y=-x 2-2x-1．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．12.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =．以点A 为中心，将矩形ABCD 旋转得到矩形AB 'CD '，使得点B '落在边AD 上，此时DB '的长为______．【答案】1【分析】利用矩形和旋转的性质，推出4AD BC ==，AB AB 3'==，所以431'=-=DB ．【详解】解：由题意可知：AB AB 3'==，4AD BC ==，∴431'=-=DB ，故答案为：1．【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，关键是利用旋转性质得到AB AB 3'==，再利用矩形的性质得4AD BC ==．13.若关于x 的方程2240x kx k ++-=的一个根是1，则k 的值为___________．【答案】1【分析】把1x =代入方程2240x kx k ++-=，得出关于k 的方程，然后求解即可．【详解】解： 关于x 的方程2240x kx k ++-=的一个根是1，∴21240k k ++-=，解得1k =．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．14.如图，A ，B 两点在函数2y x=-（0x <）图象上，AC 垂直y 轴于点C ，BD 垂直x 轴于点D ，AOC ，BOD 面积分别记为1S ，2S ，则1S ___2S ．（填“＜”，“＝”，或“＞”）．【答案】=【分析】通过用反比例函数上的点坐标表示1S 和2S 的面积比较即可．【详解】∵A 、B 两点在y =-2x（0x <）上，∴x A 0<，x B 0<，y A >0，y B >0，x A y A =-2，x B y B =-2，∴A x y A =2，B x y B =2，∴S 1=12A x A y =1，S 2=12B x B y =2，∴S 1=S 2．故答案为=．【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，找到相关三角形，求出面积即可．15.抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2A m ，，且经过点()50B ，，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①0ac <；②0a b c -+>；③90m a +=；④若此抛物线经过点()C t n ，，则4t +一定是方程2ax bx c n ++=的一个根．其中所有正确结论的序号是____________【答案】①③##③①【分析】先根据函数开口向下判断a 的负号，再根据函数与y 轴的交点判断c 的符号，即可判断①；根据函数的顶点和点B 即可确定函数经过点()1,0-，即可判断②；根据函数的对称轴即可得出a 、b 之间的等量关系，根据0a b c -+=即可的出a 、c 之间的关系，最后将2x =代入函数表达式即可得出结论；④根据二次函数与一元二次方程之间的关系即可进行解答．【详解】解：①∵函数开口向下，∴a<0，∵函数图像与y 轴交于正半轴，∴0c >，∴0ac <，故①正确；②∵顶点为()2A m ，，∴函数对称轴为直线：2x =，∵函数经过点()50B ，，∴函数经过点()1,0-，当1y =-时：()()21·10y a b c a b c =-+-+=-+=，故②不正确；③∵函数对称轴为直线：2x =，∵22b a-=，即：4b a =-，由②可知：0a b c -+=，故45c b a a a a =-=--=-，当2x =时：()()22242459y a b c a a a a =⨯++=+⨯-+-=-，∵函数经过点()2A m ，，∴9m a =-，即90m a +=，故③正确；④若此抛物线经过点()C t n ，，则x t =一定是方程2ax bx c n ++=的一个根，故④不正确；综上：正确的有①③；故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和图像和系数之间的关系．16.已知双曲线3y x=-与直线y kx b =+交于点()11,A x y ，()22,B x y ．（1）若120x x +=，则12y y +=__________；（2）若120x x +>时，120y y +>，则k __________0，b __________0．（填“>”，“=”或“<”）【答案】①.（1）0②.（2）＜③.＞【分析】（1）联立两个函数解析式，整理为：()2300,kx bx k ++=≠再由根与系数的关系求解0,b =从而得到：()11,A x y ，()22,B x y 关于原点对称，从而可得答案；（2）由（1）的结论，结合120x x +>，可得：b k-＞0，由1122,,y kx b y kx b =+=+可得()12122,y y k x x b b +=++=结合：120y y +>，可得b ＞0，从而可得答案．【详解】解：（1）由题意得：3y x y kx b⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，且0,k ≠3,kx b x∴-=+230,kx bx ∴++= 两函数的交点为：()11,A x y ，()22,B x y ．12,b x x k∴+=- 120x x +=，0,b k∴-=0,b ∴=∴()11,A x y ，()22,B x y 为3y x =-与()0y kx k =≠的交点，由两函数的交点的性质可得：()11,A x y ，()22,B x y 关于原点对称，12,y y ∴互为相反数，120,y y ∴+=故答案为：0.（2）由（1）得：230,kx bx ++=同理可得：12b x x k+=-，1122,,y kx b y kx b =+=+ ()1212222,b y y k x x b k b b b b k ⎛⎫∴+=++=-+=-+= ⎪⎝⎭当120x x +>时，120y y +>，b k∴-＞0且b ＞0，k ∴＜0.故答案为：＜，＞．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与反比例函数的图像与性质，同时考查了一元二次方程的根与系数的关系，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题（共68分，第17题8分，第18-19题每题5分，第20题4分，第21-24题每题5分，第25-26题每题6分，第27-28题每题7分）17.用适当的方法解方程（1）4（x-1）2=9（2）2640x x --=【答案】（1）112x =-，252x =；（2）13x =+23x =-【分析】（1）先在方程的两边同时除以4，再直接开方即可；（2）将常数项移到等式的右边，再两边配上一次项系数的一半可得．【详解】（1）解：29(1)4x -=∴112x =-，252x =，（2）解：2(3)13x -=3x -=∴13x =23x =【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．18.如图，点D 是等边三角形ABC 的边BC 上一点，以AD 为边作等边△ADE ，连接CE .（1）求证：ABD ACE ≌△△；（2）若∠BAD =20°，求∠AEC 的度数.【答案】（1）见解析；（2）100°．【分析】（1）根据△ADE 与△ABC 都是等边三角形，得到AC=AB ，AE=AD ，∠DAE=∠BAC=60°，从而得到∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠CAE=∠BAD ，利用SAS 证得△ABD ≌△ACE ；（2）由△ABD ≌△ACE ，得到∠ACE=∠B=60°，∠BAD=∠CAE=20°，再由三角形内角和为180°即可求出∠AEC 的度数．【详解】（1）证明：∵△ADE 与△ABC 都是等边三角形，∴AC=AB ，AE=AD ，∠DAE=∠BAC=60°，∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，即∠CAE=∠BAD ，在△CAE 与△BAD 中，AC AB CAE BAD AE AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；（2）∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ACE=∠B=60°，∠BAD=∠CAE=20°，∴∠AEC=180°-60°-20°=100°．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质，根据等边三角形中隐含的条件可以得到证明三角形全等的一些条件是解题关键．19.已知关于x 的一元二次方程2(1)(4)30m x m x -+--=(m 为实数且1m ≠)．(1)求证：此方程总有两个实数根；(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数．．．m 的值．【答案】(1)证明见解析；(2)2m =或4m =．【分析】（1）求出△的值，再判断出其符号即可；（2）先求出x 的值，再由方程的两个实数根都是整数，且m 是正整数求出m 的值即可．【详解】(1)依题意，得()()()24413m m =---⨯- 28161212m m m =-++-，244m m =++，()22m =+．∵()220m +≥，∴方程总有两个实数根．(2)∵()()1130x m x ⎡⎤+--=⎣⎦，∴11x =-，231x m =-．∵方程的两个实数根都是整数，且m 是正整数，∴11m -=或13m -=．∴2m =或4m =．【点睛】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 的关系是解答此题的关键．20.如图，在正方形网格中，将格点△ABC 绕某点顺时针旋转角α（0＜α＜180°）得到格点△A 1B 1C 1，点A 与点A 1，点B 与点B 1，点C 与点C 1是对应点．（1）请通过画图找到旋转中心，将其标记为点O ；（2）直接写出旋转角α的度数．【答案】（1）见解析；（2）90°【分析】（1）连接11,AA CC ,分别做它们的垂直平分线相交于一点，该点即为所求；（2）观察所作图形，1COC α∠=∠，从而得到答案．【详解】解：(1)如下图所示，点O 即为所求．(2)观察第一问的图形，可知190COC α∠=∠=【点睛】本题考查作图确认旋转中心、旋转角，牢记相关的知识点是解题的关键．21.已知二次函数223y x x =--+．（1）将二次函数化成2()y a x h k =-+的形式；（2）在平面直角坐标系中画出223y x x =--+的图象；（3）结合函数图象，直接写出0y >时x 的取值范围．【答案】（1）2(1)4y x =-++；（2）画图见解析；（3）－3＜x ＜1【分析】（1）运用配方法进行变形即可；（2）根据（1）中解析式可以先得出顶点坐标以及对称轴和开口方向朝下，然后进一步分别可以求出与x 轴的两个交点，及其与y 轴的交点，最后用光滑的曲线连接即可，；（3）根据所画出的图像得出结论即可.【详解】（1）223y x x =--+2(2)+3x x =-+2(211)+3x x =-++-2(1)+4x =-+；（2）由（1）得：顶点坐标为：(-1，4)，对称轴为：1x =-，开口向下，当x=0时，y=3，∴交y 轴正半轴3处，当y=0时，x=1或-3，∴与x 轴有两个交点，综上所述，图像如图所示：（3）根据（2）所画图像可得，0y >，－3＜x ＜1.【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.22.刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元，4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．（1）求每个月盈利的增长率；（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？【答案】（1）20%；（2）4320元【分析】（1）设该商店的月平均增长率为x ,根据等量关系：2月份盈利额×(1+增长率)2=4月份的盈利额列出方程求解即可；（2）5月份盈利=4月份盈利×增长率．【详解】（1）设每月盈利平均增长率为x ，根据题意得：()2250013600x +=，解得：1220%220%x x ==-，（不符合题意舍去）答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）3600120%4320+=（）（元）答：按照这个平均增长率，预计5月份这家商店的盈利将达到4320元．【点睛】本题考查的是二次方程的实际应用，熟练掌握二次方程是解题的关键．23.如图，排球运动场的场地长18m ，球网高度2.24m ，球网在场地中央，距离球场左、右边界均为9m ．一名球员在场地左侧边界练习发球，排球的飞行路线可以看作是对称轴垂直于水平面的抛物线的一部分．某次发球，排球从左边界的正上方发出，击球点的高度为2m ，当排球飞行到距离球网3m 时达到最大高度2.5m ．小石建立了平面直角坐标系xOy （1个单位长度表示1m ），求得该抛物线的表达式为215722y x =-+．根据以上信息，回答下列问题：（1）画出小石建立的平面直角坐标系；（2）判断排球能否过球网，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）排球能过球网，理由见解析【分析】（1）根据该抛物线的表达式为215722y x =-+，可得抛物线的顶点坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而得到小石建立的平面直角坐标系是以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y 轴，即可求解；（2）根据题意得：当3x =时，2153 2.375 2.24722y =-⨯+=>，即可求解．【详解】解：（1）如图，∵该抛物线的表达式为215722y x =-+，∴抛物线的顶点坐标为50,2⎛⎫⎪⎝⎭，∵当排球飞行到距离球网3m 时达到最大高度2.5m ．根据题意得：点A 的坐标为50,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴小石建立的平面直角坐标系是以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴，OA 所在的直线为y轴，如下图：（2）排球能过球网，理由如下：根据题意得：点B 的横坐标为3，∴当3x =时，2153 2.375 2.24722y =-⨯+=>，∴排球能过球网．【点睛】本题主要考查了建立二次函数的图象和性质，建立适当的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．24.在平面直角坐标系xOy 中，直线:l 3y x =-与函数(0k y k x =≠，0)x >的图象交于点(4,)A t ．（1）求t ，k 的值；（2）点B 是函数(0k y k x=≠，0)x >的图象上任意一点（不与点A 重合），点P ，Q 在直线l 上，点P 横坐标为2．若1S S 2ABQ ABP △△≥，求点Q 横坐标的取值范围．【答案】（1）1t =；k=4；（2）3Q x ≤或5Q x ≥【分析】(1)把点A 代入直线求出t ，反比例函数过点A ，可求k ；(2)设点B 到直线AP 的距离为h ．利用面积求出12AQ AP ≥．由(4,1)A ,点P 横坐标为2，当点Q 在射线AP 上时，过A 作AD ⊥x 轴，交过P 、Q 分别与x 轴平行的直线与C 、D ，由QC ∥PD ，易证△AQC ∽△APD ，由性质AQ QC =AP PD 即4AQ 1=AP 422Q x -≥-，当点Q 在线段PA 延长线上时，过P 作PF ∥x 轴，与过A 、Q 作y 轴的平行线交于E ，F ，由AE ∥QF 得△PAE ∽△PQF 由性质PA PE =PQ PE ，推出PA PE =AQ EF 即QPA 42=2AQ 4x -≤-解不等式求出Q 点的横坐标即可．【详解】解：（1） 点(4,)A t 在直线:l 3y x =-上，∴1t =，函数(0k y k x=≠，0)x >的图象经过点(4,1)A ，∴4k =.（2）设点B 到直线AP 的距离为h ．∴1S =2ABQ AQ h ⋅⋅△，1S =2ABP AP h ⋅⋅△， 1S S 2ABQ ABP △△≥，∴12AQ AP ≥． (4,1)A ,点P 横坐标为2，如图，当点Q 在射线AP 上时，；过A 作AD ⊥x 轴，交过P 、Q 分别与x 轴平行的直线与C 、D ，由QC ∥PD ，∴△AQC ∽△APD ，AQ QC =AP PD 即4AQ 1=AP 422Q x -≥-，3Q x ≤，如图，当点Q 在线段PA 延长线上时，过P 作PF ∥x 轴，与过A 、Q 作y 轴的平行线交于E ，F ，∵AE ∥QF ，∴△PAE ∽△PQF ，∴PA PE =PQ PE 即PA PE =PQ-AP PF-PE，∴PA PE =AQ EF 即Q PA 42=2AQ 4x -≤-5Q x ≥．综上所述：点Q 横坐标的取值范围3Q x ≤或5Q x ≥．【点睛】本题考查一次函数，反比例函数，三角形面积，相似三角形的判定与性质，掌握一次函数的性质，反比例函数性质，用三角形面积求出线段的不等关系，相似三角形的判定与性质解决坐标的范围是解题关键．25.数学学习小组的同学共同探究体积为330mL 圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方案．，他们想探究容器表面积与底面半径的关系．具体研究过程如下，请补充完整：（1）建立模型：设该容器的表面积为S 2cm ，底面半径为x cm ，高为y cm ，则2330x y π=，①222S x xy ππ=+，②由①式得2330y x π=，代入②式得26602S x xπ=+．③可知，S 是x 的函数，自变量x 的取值范围是0x >．（2）探究函数：根据函数解析式③，按照下表中自变量x 的值计算（精确到个位），得到了S 与x 的几组对应值：/cm x …1 1.52 2.53 3.54 4.55 5.56…2/cm S …666454355303277266266274289310336…在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；（3）解决问题：根据图表回答，①半径为2.4cm 的圆柱形容器比半径为4.4cm 的圆柱形容器表面积______．（填“大”或“小”）；②若容器的表面积为3002cm ，容器底面半径约为______cm （精确到0.1）．【答案】①大；②2.5或5.4【分析】①根据（2）中的表格中数据与函数图象分析可得当 2.5x =时，303S =，当 4.5x =时，274S =，进而可比较当 2.4x =与 4.4x =时，S 的值的大小，②根据函数图象求解即可【详解】解：①（2）中的表格中数据可知，当 2.5x =时，303S =，当 4.5x =时，274S =，根据函数图象可知，当>4x 时，S 随x 的增大增大，当3x <时，S 随x 的增大而减小，∴ 2.4x =时，277303S <<, 4.4x =时，266274S <<∴半径为2.4cm 的圆柱形容器比半径为4.4cm 的圆柱形容器表面积大故答案为：大②根据函数图象可知，当300S =时， 2.5x ≈或5.4故答案为：2.5或5.4【点睛】本题考查了函数图象，根据函数图象获取信息是解题的关键．26.已知抛物线242(0)y ax ax a =-+≠过(1,)A m -，(2,)B n ，(3,)C p 三点．（1）求n 的值（用含有a 的代数式表示）；（2）若0mnp <，求a 的取值范围．【答案】（1）42n a =-+（2）1223a <<或25a <-【小问1详解】解：B 点在抛物线上，∴把()2n ，代入得：2224242n a a a =⋅-⨯+=-+，即42n a =-+．【小问2详解】A 、C 都在抛物线上，∴把()1m -，，()3p ，分别代入得：()()2141252m a a a =--⨯-+=+，2343232p a a a =⋅-⨯+=-+，抛物线的对称轴为：直线422a x a-=-=，与y 轴的交点坐标为()0,2，①当0a ＞时，函数的最小值为42n a =-+，102- ＜＜，2m ∴＞，∴要使0mnp ＜，则0n ＜，0p ＞，即420320a a -+⎧⎨-+⎩＜＞，解不等式组得：1223a ＜＜；②当0a ＜时，函数有最大值为42n a =-+，∵函数图象与y 轴的交点坐标为()0,2，∴最大值一定是一个正的，即此时0n ＞，∴要使0mnp ＜，必须时使m 、p 一个为正一个为负，点A 离对称轴比C 较远，m p ∴＜，0m \＜，0p ＞，即520320a a +⎧⎨-+⎩＜＞，解不等式组得：25a -＜，综上分析可知，a 的取值范围是1223a ＜＜或25a -＜．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、解一元一次不等式组，根据a 正负情况进行分类讨论是解题的关键．27.在ABC 中，90,ACB AC CB ∠== ，将线段CA 绕点C 顺时针旋转到如图所示的位置，得到线段CD ，连接,,AD BD CF 平分BCD ∠交BD 于点G ，交AD 的延长线于点F ，连接BF．（1）依题意补全图形；（2）①求DFC ∠的度数；②用等式表示线段,,AD FB FC 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析（2）①45︒2AD FB =+，证明见解析【分析】（1）依题意，补全图形即可；（2）①过点C 作CE AD ⊥，交AD 于点E ，利用等腰三角形的“三线合一”可得12DCE DCA ∠=∠，进而证明CEF △是等腰直角三角形，可得45DFC ∠=︒；②利用等腰三角形的“三线合一”及线段垂直平分线的性质可得。
北京市第十二中学2024年数学九上开学考试试题【含答案】
北京市第十二中学2024年数学九上开学考试试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2、（4分）在平面直角坐标系中，一次函数y ＝x ﹣1和y ＝﹣x +1的图象与x 轴的交点及x 轴上方的部分组成的图象可以表示为函数y ＝|x ﹣1|，当自变量﹣1≤x ≤2时，若函数y ＝|x ﹣a |（其中a 为常量）的最小值为a +5，则满足条件的a 的值为（）A ．﹣3B ．﹣5C ．7D ．﹣3或﹣53、（4分）的结果是（）A ．1B 1-C ．1D ．3-4、（4分）下表是两名运动员10次比赛的成绩，21s ，22s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的方差，则有()8分9分10分甲（频数）424乙（频数）343A ．2212s s >B ．2212s s =C ．2212s s <D ．无法确定5、（4分）如图1，动点K 从△ABC 的顶点A 出发，沿AB ﹣BC 匀速运动到点C 停止．在动点K 运动过程中，线段AK 的长度y 与运动时间x 的函数关系如图2所示，其中点Q 为曲线部分的最低点，若△ABC 的面积是5，则图2中a 的值为（）A ．B ．5C ．7D ．36、（4分）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组7名同学捐款的金额(单位：元)分别为6，3，6，5，5，6，9.这组数据的中位数和众数分别是()A ．5，5B ．6，6C ．6，5D ．5，67、（4分）如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为()A ．3B ．4C ．5D ．68、（4分）若关于x 的方程333x mmx x ++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＜92B ．m ＜92且m≠32C ．m ＞﹣94D ．m ＞﹣94且m≠﹣34二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若点(,)a b 在一次函数23y x =+的图像上，则代数式361b a -+的值________。
2021-2022学年北京某校九年级(上)开学数学试卷祥细答案与解析
2021-2022学年北京某校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的选项中，只有一个是符合题意的．1. √1−x实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.x>1B.x≥1C.x<1D.x≤12. 垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.厨余垃圾FoodWasteB.可回收物RecyclableC.其他垃圾ResidualWasteD.有害垃圾HazardousWaste3. 下列各式中，从左向右变形正确的是（）A.√4=±2B.√(−3)2=3C.√6=√−2×√−3D.√8+√2=√104. 已知P1(−2, m)，P2(1, n)是函数y＝−2x+1图象上的两个点，则m与n的大小关系是（）A.m>nB.m<nC.m＝nD.无法确定5. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120∘，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若AB=2，则PB+PE的最小值是（）A.1B.√3C.2D.2√36. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝2，∠ABO＝60∘，线段EF绕点O转动，与AD，BC分别相交于点E，F，当∠AOE＝60∘时，EF的长为（）A.1B.C.2D.47. 已知△ABC（如图1），按图2图3所示的尺规作图痕迹，（不需借助三角形全等）就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是（）A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形8. 如图，动点P在边长为2的等边△ABC的边上．它从点A出发，沿A→C→B→A的方向以每秒1个单位长度的速度运动．如果点P的运动时间为t秒，点P与点C之间的距离记为y，那么y与t之间的函数关系用图象表示大致是（）A. B.C. D.二、填空趣（本趣共24分，每小题4分）写出一个比大且比小的整数是________．已知关于x的一元二次方程(a−2)x2+x+a2−4=0的一个根是0，则a的值为________．一次函数图象经过第一、二、三象限，且过点(0, 2)，写出一个满足条件的一次函数表达式________．在Rt△ABC中，∠ACB＝90∘，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ 的长为________．如图，△ABC的周长为17，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为点N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为点M，若BC=6，则MN的长度为________．在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b与y2=x+m的图象如图所示，若它们的交点的横坐标为2，则下列三个结论中正确的是________（填写序号）．①直线y2=x+m与x轴所夹锐角等于45∘；②k+b>0；③关于x的不等式kx+b<x+m的解集是x<2．三、解答题（本题共44分，第15、16题每題5分，第17、18题每题7分，第19、20题每题6分，第21题8分）解方程：x2+3x−1＝0（公式法）．已知x＝+1，求代数式x2−2x的值．关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的解．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG // EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1, 2)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b 的值，直接写出m的取值范围．2017年国务院印发《新一代人工智能发展规划》，将人工智能上升为国家战略，我国人工智能领域迎来新的发展契机．根据相关信息，回答问题：（1）图1反映了我国人工智能专利授权量（单位：件）近些年的变化情况．2017年，中国人工智能专利授权量为________件；（2）图2是2017年前20名中国人工智能国内专利权人的专利授权量的频数分布直方图．数据被分成5组，其中在100≤x<200之间的数据分是129，154，155，165，170，170，186，190．则20个专利授权量的中位数是________；（3）2017年中国人工智能国内专利权人的专利授权量在基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支位于前20的统计折线图如图3．依据折线图推断，基础算法、基础硬件和垂直应用三个分支的专利授权量的方差最小的是________．在△ABC中，∠C=90∘，AC>BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．(1)如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；(2)当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．四、附加题（本题10分）在平面直角坐标系xOy中，把图形G上的点到直线l距离的最大值d定义为图形G到直线l 的最大距离．如图1，直线l经过(0, 3)点且垂直于y轴，A(−2, 2)，B(2, 2)，C(0, −2)，则△ABC到直线l的最大距离为5．（1）如图2，正方形ABCD的中心在原点，顶点都在坐标轴上，A(0, 2)．①求正方形ABCD到直线y＝x+4的最大距离．②当正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离小于3√2时，直接写出b的取值范围．（2）若正方形边长为2，中心P在x轴上，且有一条边垂直于x轴，该正方形到直线y＝x的最大距离大于2√2，求P点横坐标的取值范围．参考答案与试题解析2021-2022学年北京某校九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）在下列各题的选项中，只有一个是符合题意的．1.【答案】D【考点】二次根式有意义的条件【解析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】∵√1−x实数范围内有意义，∴1−x≥0，解得x≤1．2.【答案】D【考点】中心对称图形轴对称图形【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意．3.【答案】B【考点】二次根式的混合运算【解析】根据二次根式的性质和运算法则逐一判断即可得．【解答】A．√4=2，此选项错误；B．√(−3)2=|−3|＝3，此选项计算正确；C．√6=√2×√3，此选项错误；D．√8+√2=2√2+√2=3√2，此选项错误；4.A【考点】一次函数图象上点的坐标特点【解析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据−2<1即可得出结论．【解答】∵一次函数y＝−2x+1中，k＝−4<0，∴y随着x的增大而减小．∵P1(−4, m)，P2(1, n)是函数y＝−3x+1图象上的两个点，∴m>n．5.【答案】B【考点】轴对称——最短路线问题菱形的性质【解析】找出B点关于AC的对称点D，连接DE交AC于P，则DE就是PB+PE的最小值，求出即可．【解答】解：连接DE交AC于P，连接DE，DB，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠ABC=120∘，∴∠BAD=60∘，∵AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∵AE=BE，∴DE⊥AB（等腰三角形三线合一的性质）．在Rt△ADE中，DE=√AD2−AE2=√3．即PB+PE的最小值为√3，故选B．6.【答案】C【考点】等边三角形的性质与判定矩形的性质【解析】证得△ABO为等边三角形，得出∠BAO＝60∘，由三角形内角和求出∠AEO＝90∘，得出四边形ABFE为矩形，则可得出答案．【解答】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∠ABC＝∠BAD＝90∘，又∵∠ABO＝60∘，∴△ABO为等边三角形，∴∠BAO＝60∘，∴∠OAE＝30∘，∵线段EF绕点O转动，∠AOE＝60∘，∴∠AEO＝180∘−60∘−30∘＝90∘，∴四边形ABFE为矩形，∴AB＝EF＝2．7.【答案】B【考点】平行四边形的判定全等三角形的判定【解析】根据平行四边形的判定和作图依据进行判断即可．【解答】由图可知先作AC的垂直平分线，再连接AC的中点O与B点，并延长使BO＝OD，可得：AO＝OC，BO＝OD，进而得出四边形ABCD是平行四边形，8.【答案】D【考点】动点问题分段求出函数表达式即可求解．【解答】当点P在点H右侧时，y＝PC=√CH2+PH2=√32+(5−t)2=√t2−10t+28(1)该函数为一条曲线，当点P在CH左侧时，同理函数为一条曲线（2）故选：D．二、填空趣（本趣共24分，每小题4分）【答案】2或3【考点】估算无理数的大小【解析】首先估算与的取值范围，再确定有哪些整数．【解答】∵，3<4，∴比大且比，3．【答案】−2【考点】一元二次方程的解一元二次方程的定义【解析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于a的方程，从而求得a的值．【解答】解：把0代入方程有：a2−4=0，a2=4，∴a=±2；∵a−2≠0，∴a=−2，故答案为：−2．【答案】y＝x+2【考点】一次函数图象上点的坐标特点一次函数的性质【解析】由一次函数的图象经过的象限判断出k，b的取值范围，然后根据其经过的点即可确定最后的答案．∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限，∴k>0，b>0，∵经过(6, 2)，∴一次函数可以是y＝x+2【答案】+1或−1【考点】等腰直角三角形【解析】分两种情况：（1）点Q在线段BC的延长线上；（2）点Q在线段CB的延长线上，分别用勾股定理求得QC的长，情况（1）中BQ＝QC+BC，情况（2）中BQ＝QC−BC．【解答】（2）点Q在线段CB的延长线上，如图：∵∠ACB＝90∘，AC＝1，∴QC＝＝，∵BC＝1，∴BQ＝QC−BC＝−1．综上，线段BQ的长为−1．故答案为：+2或．【答案】2.5【考点】等腰三角形的性质：三线合一三角形中位线定理角平分线的性质全等三角形的判定全等三角形的性质【解析】证明△BNA≅△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】解：如图，连结MN，∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，在△BNA和△BNE中，{∠ABN=∠EBN，BN=BN，∠ANB=∠ENB，∴△BNA≅△BNE(ASA)，∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点N是AE中点，点M是AD中点（三线合一），∴MN是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=17−BC=17−6=11，∴DE=BE+CD−BC=5，∴MN=12DE=2.5．故答案为：2.5.【答案】①②【考点】一次函数与一元一次不等式【解析】结合一次函数的性质、一次函数与不等式的关系，根据图象观察，得出结论．【解答】解：由y2=x+m知：直线与坐标轴的截距相等，所以y2=x+m与x轴所夹锐角等于45∘，故①的结论正确；由图知：当x=5时，函数y1图象对应的点在x轴的上方，因此k+b>0故②的结论正确；由图知：当x>7时，函数y1图象对应的点都在y2的图象下方，因此关于x的不等式kx+b<x+m的解集是x>2.故答案为：①②.三、解答题（本题共44分，第15、16题每題5分，第17、18题每题7分，第19、20题每题6分，第21题8分）【答案】∵a＝1，b＝3△＝b8−4ac＝13>0∴x＝＝x1＝，x2＝-．【考点】解一元二次方程-公式法【解析】根据公式法，可得方程的解．【解答】∵a＝1，b＝3△＝b8−4ac＝13>0∴x＝＝x1＝，x2＝-．【答案】x2−2x＝x(x−7)，当x＝+1时，原式＝（+1)（＝2．【考点】二次根式的化简求值【解析】直接将原式分解因式，再把x的值代入进而计算得出答案．【解答】x2−2x＝x(x−7)，当x＝+1时，原式＝（+1)（＝2．【答案】根据题意得△＝1−4m>6，解得m<；∵m≤，∴m的最大整数为0，此时方程变形为x3+x＝0，解得x1＝6，x2＝−1．【考点】根的判别式【解析】（1）根据判别式的意义得到△＝1−4m≥0，然后解不等式即可得到m的范围；（2）在（1）中m的取值范围内确定满足条件的m的值，再解方程即可得到结论．【解答】根据题意得△＝1−4m>6，解得m<；∵m≤，∴m的最大整数为0，此时方程变形为x3+x＝0，解得x1＝6，x2＝−1．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO.∵E是AD的中点，AD，∴AE=OE=12∴∠EAO=∠AOE，∴∠AOE=∠BAO，∴OE // FG.∵OG // EF，∴四边形OEFG是平行四边形.∵EF⊥AB，∴∠EFG=90∘，∴四边形OEFG是矩形.(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90∘.∵E是AD的中点，AD=5.∴OE=AE=12由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5.∵AE=5，EF=4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．【考点】矩形的判定矩形的性质菱形的性质直角三角形斜边上的中线勾股定理【解析】AD，推出（1）根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，得到AE＝OE=12OE // FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；AD＝5；由（1）（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AE=12知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3，于是得到结论．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO.∵E是AD的中点，AD，∴AE=OE=12∴∠EAO=∠AOE，∴∠AOE=∠BAO，∴OE // FG.∵OG // EF，∴四边形OEFG是平行四边形.∵EF⊥AB，∴∠EFG=90∘，∴四边形OEFG是矩形.(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90∘.∵E是AD的中点，AD=5.∴OE=AE=12由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5.∵AE=5，EF=4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=x平移得到，∴k=1，将点(1, 2)代入y=x+b，得1+b=2，解得b=1，∴一次函数的解析式为y=x+1.(2)把点(1, 2)代入y=mx，求得m=2，∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+1的值，∴m≥2．【考点】一次函数图象与系数的关系一次函数图象与几何变换【解析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A(1, 2)代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；（2）根据点(1, 2)结合图象即可求得．【解答】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=x平移得到，∴k=1，将点(1, 2)代入y=x+b，得1+b=2，解得b=1，∴一次函数的解析式为y=x+1.(2)把点(1, 2)代入y=mx，求得m=2，∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+1的值，∴m≥2．【答案】17477141.5基础硬件【考点】频数（率）分布直方图中位数频数（率）分布折线图方差【解析】（1）根据图1中的数据，可以写出2017年，中国人工智能专利授权量；（2）根据题意和题目中的数据，可以得到20个专利授权量的中位数；（3）根据图3中的数据和波动越小，方差越小，可以解答本题．【解答】由图1可知，2017年，中国人工智能专利授权量为17477件，故答案为：17477；由题意可得，20个专利授权量的中位数是(129+154)÷2＝141.2，故答案为：141.5；由图3可知，基础硬件波动最小，故三个分支的专利授权量的方差最小的是基础硬件，故答案为：基础硬件．【答案】解：(1)∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE // BC，DE=12BC，∵∠ACB=90∘，∴∠DEC=90∘，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90∘，∴四边形CEDF是矩形，∴DE=CF=12BC，∴CF=BF=b，∵CE=AE=a，∴EF=√CF2+CE2=√a2+b2；(2)AE2+BF2=EF2．证明：过点B作BM // AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED=∠BMD，∠CBM=∠ACB=90∘，∵D点是AB的中点，∴AD=BD，在△ADE和△BDM中，{∠AED=∠BMD,∠ADE=∠BDM, AD=BD,∴△ADE≅△BDM(AAS)，∴AE=BM，DE=DM，∵DF⊥DE，∴EF=MF，∵BM2+BF2=MF2，∴AE2+BF2=EF2．【考点】动点问题勾股定理三角形中位线定理全等三角形的性质与判定【解析】（1）由三角形的中位线定理得DE // BC，DE=12BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；（2）过点B作BM // AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≅△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．【解答】解：(1)∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE // BC，DE=12BC，∵∠ACB=90∘，∴∠DEC=90∘，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90∘，∴四边形CEDF是矩形，∴DE=CF=12BC，∴CF=BF=b，∵CE=AE=a，∴EF=√CF2+CE2=√a2+b2；(2)AE2+BF2=EF2．证明：过点B作BM // AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED=∠BMD，∠CBM=∠ACB=90∘，∵D点是AB的中点，∴AD=BD，在△ADE和△BDM中，{∠AED=∠BMD,∠ADE=∠BDM, AD=BD,∴△ADE≅△BDM(AAS)，∴AE=BM，DE=DM，∵DF⊥DE，∴EF=MF，∵BM2+BF2=MF2，∴AE2+BF2=EF2．四、附加题（本题10分）【答案】①如图2，延长CB交直线y＝x+4于点E，记直线y＝x+4与y轴交于点F，与x轴交于点G，令x＝0，得y＝x+4＝4，∴F(0, 4)，∴OF＝4，令y＝0，得y＝x+4＝0，解得，x＝−4，∴G(−4, 0)，∴OG＝4，∴OF＝OG，∴∠OGF＝∠OFG＝45∘，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45∘，∴EF＝EC，∠CEF＝90∘，∵A(0, 2)，∴OA＝2，∴OA＝OC＝2，∴CF＝OC+OF＝6，∵CE2+EF2＝CF2，∴CE＝EF＝3√2，即正方形ABCD到直线y＝x+4的最大距离为3√2；②由①可知，当b＝4时，正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离为3√2，若要使正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离小于3√2，则b的取值范围为：−4<b<4；当正方形ABCD在如图3所示位置时，该正方形到直线y＝x的距离为2√2，此时点P的横坐标为−2或2，若要该正方形到直线y＝x的最大距离大于为2√2，则点P横坐标的取值范围为x<−2或x>2．【考点】一次函数的综合题【解析】（1）①延长CB交直线y＝x+4于点E，根据正方形的性质和勾股定理求出CE的长度便是正方形ABCD到直线y＝x+4的最大距离；②由①可知，当b＝4时，正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离为3√2，不难知道当b＝−4时，正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离也应该为3√2，由此便可得出正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离小于3√2时的b的取值范围；（2）根据最大距离的定义，确定最大距离为2√2时P点的位置，便可求得P点的横坐标的取值范围．【解答】①如图2，延长CB交直线y＝x+4于点E，记直线y＝x+4与y轴交于点F，与x轴交于点G，令x＝0，得y＝x+4＝4，∴F(0, 4)，∴OF＝4，令y＝0，得y＝x+4＝0，解得，x＝−4，∴G(−4, 0)，∴OG＝4，∴OF＝OG，∴∠OGF＝∠OFG＝45∘，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45∘，∴EF＝EC，∠CEF＝90∘，∵A(0, 2)，∴OA＝2，∴OA＝OC＝2，∴CF＝OC+OF＝6，∵CE2+EF2＝CF2，∴CE＝EF＝3√2，即正方形ABCD到直线y＝x+4的最大距离为3√2；②由①可知，当b＝4时，正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离为3√2，若要使正方形ABCD到直线y＝x+b的最大距离小于3√2，则b的取值范围为：−4<b<4；当正方形ABCD在如图3所示位置时，该正方形到直线y＝x的距离为2√2，此时点P的横坐标为−2或2，若要该正方形到直线y＝x的最大距离大于为2√2，则点P横坐标的取值范围为x<−2或x>2．。
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2020-2021学年北京十二中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）1.下列方程属于一元二次方程的是()B. x(x−1)=y2A. 3x2=1xC. 2x3−x2=2D. (x−3)(x+4)=92.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()A. 4，5，6B. 5，12，13C. 2，3，4D. 1，√2，33.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分4.如图，▱ABCD中，AB=3，BC=5，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长为()A. 1B. 2C. 3D. 45.下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数(分)92959592方差 3.6 3.67.48.1要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为(12,13)，则点C的坐标是()A. (0,−5)B. (0,−6)C. (0,−7)D. (0,−8)7.已知关于x的一次函数y=(k2+3)x−2的图象经过点A(2,m)、B(−3,n)，则m，n的大小关系为()A.m≥nB. m≤nC. m>nD. m<n8.在平面直角坐标系中，函数y=2kx(k≠0)的图象如图所示，则函数y=−2kx+2k的图象大致是()A. B. C. D.9.如图1，在菱形ABCD中，动点P从点B出发，沿折线B→C→D→B运动，设点P经过的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则图2中的a等于()A. 25B. 20C. 12D. 8√310.“实际平均续航里程”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值，是反映电动汽车性能的重要指标．某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，按年龄不超过40岁和年龄在40岁以上将客户分为A，B两组，从A，B组各抽取10位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”数据整理成图，其中“⊙”表示A组的客户，“∗”表示B组的客户．下列推断不正确的是()A. A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值低于B组B. A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差低于B组C. A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的平均值低于B组D. 这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的中位数落在B组二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D，E，F分别为AB，AC，AD的中点，若BC=4，则EF的长度为______．12.如图，一次函数y=kx+b的图象经过点(4,−3)，则关于x的不等式kx+b<−3的解集为______．13.如图，直线y=−2x−2与x轴交于点A，与轴交于点B，把直线AB沿x轴的正半轴向右平移2个单位长度后得到直线CD，则直线CD的函数解析式是______．14.关于x的一元二次方程(k+2)x2+6x+k2+k−2=0有一个根是0，则k的值是______．15.为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动(人的高度忽略不计)______米．16.若直线y=ax+3与两坐标轴所围成的三角形的面积是6个单位，则a的值是______．x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，将线段AD沿x轴向右17.如图，直线y=32平移4个单位长度得到线段BC，若直线y=kx−4与四边形ABCD有两个交点，则k的取值范围是______．18.在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是边AD上的一个动点(与点A，D不重合)，连接EO并延长，交BC于点F，连接BE，DF.下列说法：①对于任意的点E，四边形BEDF都是平行四边形；②当∠ABC>90°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是矩形；③当AB<AD时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是菱形；④当∠ADB=45°时，至少存在一个点E，使得四边形BEDF是正方形．所有正确说法的序号是______．三、计算题（本大题共2小题，共15.0分）19.解下列方程：(1)(x+3)2−16=0；(2)2x2−3x−1=0．20.关于x的一元二次方程mx2−(2m−3)x+(m−1)=0有两个实数根．(1)求m的取值范围；(2)若m为正整数，求此方程的根．四、解答题（本大题共8小题，共49.0分）21.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象平移得到，且经过点(1,2)．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．22.如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE=AB，连接BD，ED，EC，若ED=AD．(1)求证：四边形BECD是矩形；(2)连接AC，若AD=8，CD=4，求AC的长．23.下面是小明设计的“作平行四边形ABCD的边AB的中点”的尺规作图过程．已知：平行四边形ABCD．求作：点M，使点M为边AB的中点．作法：如图，①作射线DA；②以点A为圆心，BC长为半径画弧，交DA的延长线于点E；③连接EC交AB于点M.所以点M就是所求作的点．根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：连接AC，EB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//BC．∵AE=______，∴四边形EBCA是平行四边形(______)(填推理的依据)．∴AM=MB(______)(填推理的依据)．∴点M为所求作的边AB的中点．24.近年来，重庆着眼本地资源，牢牢把握智能化带来的历史性机遇，积极布局人工智能、集成电路、云计算、大数据和物联网等产业，抢占智能产业未来发展的制高点．市经信委相关人士介绍，目前重庆人工智能产业正处于加速发展的黄金阶段，在中科云丛、凯泽科技等骨干企业的带动下，我市依托两江新区、南岸区、永川区等产业集聚区，围绕基础技术、人工智能硬件和应用等三大核心环节，加快基于人工智能的计算机视听觉、生物特征识别、新型人机交互、智能决策控制、计算机深度学习等应用技术研发和产业化，为了适应我市对高科技人才的需求，重庆邮电大学智能科学与技术专业从今年起扩大招生规模，2018年秋季入学招有学生300名．为了解该专业学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行整理、描述和分析．过程如下：(一)整理、描述数据：信息1：60名学生A课程成绩x的频数分布直方图如图：(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)信息2：60名学生中A课程在70≤x<80这一组的具体成绩是70，71，71，71，76，76，77，78，78.5，78.5，78.5，79，79，79.5(二)分析数据：60名学生A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如表：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083(三)得出结论：根据以上信息，回答下列问题(1)上表中m的值是______．(2)在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名在该门学科中更靠前的课程是______(填“A”或“B“)，理由是______．(3)假设该年级300名学生都参加此次测试，估计A课程成绩不低于76分的人数．25.某超市以3元/本的价格购进某种笔记本若干，然后以每本5元的价格出售，每天可售出20本．通过调查发现，这种笔记本的售价每降低0.1元，每天可多售出4本，为保证每天至少售出50本，该超市决定降价销售．(1)若将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是______本；(用含x的代数式表示)(2)要想销售这种笔记本每天赢利60元，该超市需将每本的售价降低多少元？26.小明根据学习函数的经验，对函数y=x4−5x2+4的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：其中m=；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质______；(4)进一步探究函数图象发现：①方程x4−5x2+4=0有______个互不相等的实数根；②有两个点(x1,y1)和(x2,y2)在此函数图象上，当x2>x1>2时，比较y1和y2的大小关系为：y1______y2(填“>”、“<”或“=”)；③若关于x的方程x4−5x2+4=a有4个互不相等的实数根，则a的取值范围是______．27.如图，在正方形ABCD中，AB=6，M是CD边上一动点(不与D点重合)，点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF=DM，连接EF，AF．(1)当DM=2时，依题意补全图1；(2)在(1)的条件下，求线段EF的长；(3)当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，请直接写出此时DM与AD的数量关系______．28.已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ>0，则称图形M与图形N相离．(1)已知点A(1,2)、B(0,−5)、C(2,−1)、D(3,4)．①与直线y=3x−5相离的点是______；②若直线y=3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；(2)设直线y=x+3、直线y=−x+3及直线y=−3围成的图形为W，正方形T的对角线长为2，两条对角线分别平行于坐标轴，该正方形对角线的交点坐标为(t,0)，直接写出正方形T与图形W相离的t的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；C、不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、是一元二次方程，故本选项符合题意；故选：D．2.【答案】B【解析】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；B、∵52+122=132，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形；C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；D、∵12+(√2)2≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形．故选：B．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3.【答案】C【解析】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．故选：C．矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等．本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=5，AD//BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=3，∴CE=BC−BE=5−3=2，故选：B．由平行四边形的性质得出BC=AD=5，AD//BC，得出∠DAE=∠BEA，证出∠BEA=∠BAE，得出BE=AB，即可得出CE的长．本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE=AB是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵3.6<7.4<8.1，∴甲和乙的最近几次数学考试成绩的方差最小，发挥稳定，∵95>92，∴乙同学最近几次数学考试成绩的平均数高，∴要选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙．故选：B．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，选出方差最小，而且平均数较大的同学参加数学比赛．此题主要考查了方差的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．6.【答案】A【解析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．在Rt△ODC中，利用勾股定理求出OC即可解决问题；【解答】解：∵A(12,13)，∴OD=12，AD=13，∵四边形ABCD是菱形，∴CD=AD=13，在Rt△ODC中，OC=√CD2−OD2=√132−122=5，∴C(0,−5)．故选：A．7.【答案】C【解析】解：∵k2≥0，∴k2+3>0，∴y随x的增大而增大．又∵2>−3，∴m>n．故选：C．利用偶次方的非负性可得出k2+3>0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，再结合2>−3即可得出m>n．本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：根据图象可得：2k<0，∴−2k>0，∴函数y=−2kx+2k的图象是经过第一、三、四象限的直线，故选：D．根据正比例函数图象可得2k<0，然后再判断出−2k>0，然后可得一次函数图象经过的象限，从而可得答案．此题主要考查了正比例函数的图象，关键是掌握正比例函数图象是经过原点的直线，k>0时，直线经过第一、三象限，k<0时直线经过第二、四象限．9.【答案】C【解析】解：如图2，x=5时，BC=5，x=10时，BC+CD=10，则CD=5，x=15时，CB+CD+BD=15，则BD=8，如下图，过点C作CH⊥BD交于H，在Rt△CDH中，∵CD=BC，CH⊥BD，∴DH=12BD=4，而CD=5，故CH=3，当x=5时，点P与点C重合，即BP=5，a=S△ABP=S△ABC=12×BD×CH=12×8×3=12，故选：C．x=5时，BC=5；x=10时，BC+CD=10，则CD=5；x=15时，CB+CD+BD=15，则BD=8，进而求解．本题考查的是动点图象问题，涉及到图形的面积、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．10.【答案】C【解析】解：由图象可得：A组的客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在350左右，B组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的最大值在450左右，故A选项不合题意；由图象可得：A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动比B组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的数据波动小，即A组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差比B组客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的方差小，故B选项不合题意；由图象可得：这20位客户的电动汽车的“实际平均续航里程”的从大到小排序，第10位，第11位都在B 组，故选项D不合题意；故选项C符合题意，故选：C．结合图象，依次判断，利用排除法可求解．本题考查了统计的应用，主要考查了方差，中位数等知识，看懂图形是本题的关键．11.【答案】2【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=8，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=1AB=4，2∵E，F分别为AC，AD的中点，∴EF为△ACD的中位线，CD=2，∴EF=12故答案为：2．根据含30°的直角三角形的性质求出CD，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形中位线定理计算，得到答案．本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．12.【答案】x>4【解析】解：∵一次函数y=kx+b的图象经过(4,−3)，∴x=4时，kx+b=−3，又y随x的增大而减小，∴关于x的不等式kx+b<−3的解集是x>4．故答案是：x>4．由一次函数y=kx+b的图象经过(4,−3)，以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式kx+b<−3的解集．本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．13.【答案】y=−2x+2【解析】解：把直线AB：y=−2x−2沿x轴的正半轴向右平移2个单位长度后得到直线CD，则直线CD的函数解析式是：y=−2(x−2)−2=−2x+2，即y=−2x+2．故答案是：y=−2x+2．利用“左加右减”的规律解答．本题主要考查了一次函数图象与几何变换，难度不大，掌握平移规律“左加右减，上加下减”即可．14.【答案】1【解析】解：把x=0代入方程得：k2+k−2=0，分解因式得：(k−1)(k+2)=0，可得k−1=0或k+2=0，解得：k=1或k=−2，当k=−2时，k+2=0，此时方程不是一元二次方程，舍去；则k的值为1．故答案为：1．把x=0代入方程计算，检验即可求出k的值．此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．15.【答案】0.8【解析】解：梯脚与墙角距离：√2．52−2．42=0.7(米)，∵开始梯脚与墙角的距离为1.5米，∴要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动：1.5−0.7=0.8(米)．故答案为：0.8．仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．16.【答案】±34【解析】解：令x=0，则y=3；令y=0，则ax+3=0，解得x=−3a，所以直线y=ax+3与两坐标轴的交点坐标为(0,3)、(−3a,0)根据题意得12×3×|−3a|=6，解得a=±34．故答案为±34．先根据坐标轴上点的坐标特征确定直线y=ax+3与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式得到1 2×3×|−3a|=6，然后解方程即可确定a的值．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了三角形的面积公式．17.【答案】k≥2或k≤−2【解析】解：直线y=32x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，令x=0，则y=3，令y=0，则x=−2，∴D(0,3)，A(−2,0)，将直线AD向右平移4个单位长度，点A平移后的对应点为点B为(2,0)；把A(−2,0)代入y=kx−4中得−2k−4=0，∴k=−2，把B(2,0)代入y=kx−4中得2k−4=0，∴k=2，∴k≥2或k≤−2，故答案为k≥2或k≤−2．求得A(−2,0)、B(2,0)分别代入y=kx−4中，求得k的值，结合函数图象，即可求得k的取值范围．本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征，坐标和图形的变换−平移，一次函数的图象与系数的关系等，求得对应点的坐标是解题的关键．18.【答案】①③【解析】解：(1)如图1，∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，∴AD//BC，AD=BC，OA=OC，OB=OD，∴∠ODE=∠OBF，∵∠DOE=∠BOF，∴△DOE≌△BOF(ASA)，∴DE=BF，又∵DE//BF，∴四边形BEDF为平行四边形，即E在AD上任意位置(不与A、D重合)时，四边形BEDF恒为平行四边形，故选项①正确．(2)如图2，四边形BEDF不是矩形，故选项②错误．(3)如图3，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，由于AB<AD，即AB<AE+BE，可以保证E点AD上，故一定存在点E满足要求，故选项③正确．(4)如图4，∠ADB=45°，但四边形BEDF不是正方形，故选项④不对．故答案为：①③．①根据平行四边形的性质及判定定理可迅速作出判断；②可以举出反例进行否定；③由于有AB<AD的限制，则BD的垂直平分线与AD的交点一定在A、D之间；④可以举出反例进行否定．本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键．19.【答案】解：(1)(x+3)2−16=0，∴(x+3)2=16，∴x+3=±4，∴x1=1，x2=−7．(2)2x2−3x−1=0，∴a=2，b=−3，c=−1，则△=(−3)2−4×2×(−1)=17>0，∴x=3±√174，即x1=3+√174，x2=3−√174．【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)利用公式法求解即可．本题考查了解一元二次方程中的公式法和直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．20.【答案】解：(1)根据题意得m≠0且△=[−(2m−3)]2−4m(m−1)≥0，解得m≤98且m≠0；(2)由(1)可知m≤98且m≠0，又∵m为正整数，∴m=1，∴原方程变形为x2+x=0，解得x1=0，x2=−1．【解析】(1)根据一元二次方程的定义和根的判别式得到：m≠0且△=(2m−3)2−4(m−1)≥0，然后求出两个不等式解集的公共部分即可；(2)利用m的范围可确定m=1，则原方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是理解方程有两个实数根即△≥0．21.【答案】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由直线y=x平移得到，∴k=1，将点(1,2)代入y=x+b，得1+b=2，解得b=1，∴一次函数的解析式为y=x+1；(2)把点(1,2)代入y=mx求得m=2，∵当x>1时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+1的值，∴m≥2．【解析】(1)先根据直线平移时k的值不变得出k=1，再将点A(1,2)代入y=x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式；(2)根据点(1,2)结合图象即可求得．本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系数，形结合是解题的关键．22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB=CD，∵BE=AB，∴BE=CD，∴四边形BECD是平行四边形，∵AD=BC，AD=DE，∴BC=DE，∴▱BECD是矩形；(2)解：∵CD=4，∴AB=BE=4，∵AD=8，∠ABD=90°，∴BD=√AD2−AB2=4√3，∴CE=4√3，∴AC=√AE2+CE2=√82+(4√3)2=4√7．【解析】(1)证明四边形BECD是平行四边形，根据题意得到BC=DE，根据矩形的判定定理证明；(2)根据矩形的性质得到∠ABD=90°，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理计算即可．本题考查的是矩形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握矩形的判定定理和性质定理是解题的关键．23.【答案】BC一组对边平行且相等的四边形是平行四边形平行四边形的对角线互相平分【解析】(1)解：使用直尺和圆规，补全图形如图所示．(2)证明：连接AC，EB．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE//BC，∵AE=BC，∴四边形EBCA是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴AM=MB(平行四边形的对角线互相平分)∴点M为所求作的边AB的中点．故答案为：BC；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分．(1)根据要求画出图形即可．(2)连接AC，EB，证明四边形ACBE是平行四边形即可解决问题．本题考查基本作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】78.5B B的成绩大于中位数=78.5．【解析】解：(1)由题意中位数是78.5+78.52故答案为78.5．(2)∵B的成绩大于中位数，∴B的成绩更靠前．故答案为B，B的成绩大于中位数．=180(人)，(3)300×3660答：估计A课程成绩不低于76分的人数有180人．(1)根据中位数的定义计算即可．(2)根据中位数的意义解决问题即可．(3)利用样本估计总体即可解决问题．本题考查频数分布直方图，中位数，平均数，众数的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25.【答案】(20+40x)×4=20+40x(本)；【解析】解：(1)将这种笔记本每本的售价降低x元，则每天的销售量是20+x0.1故答案为：(20+40x)；(2)设这种笔记本每本降价x元，根据题意得：(5−3−x)(20+40x)=60，2x2−3x+1=0，解得：x=0.5或x=1，当x=0.5时，销售量是20+40×0.5=40<50；当x=1时，销售量是20+40=60>50．∵每天至少售出50本，∴x=1．答：超市应将每本的销售价降低1元．(1)销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；(2)根据销售量×每本利润=总利润列出方程求解即可．本题考查一元二次方程的应用，关键是根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．26.【答案】(1)观察对应数值表可知：m=0，(2)用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示：(3)函数图象关于y轴对称；<a<4．(4)① 4 ；②<；③−94【解析】解：(1)见答案；(2)见答案；(3)观察函数图象，发现该函数图象关于y轴对称，(答案不唯一)，故答案为：函数图象关于y轴对称；(4)①∵函数的图象与x轴有4个交点，∴方程x4−5x2+4=0有4互不相等的实数根，故答案为4；②函数图象可知，当x2>x1>2时，y1<y2；故答案为<；<a<4，③观察函数图象，结合对应数值表可知：−94<a<4．故答案为：−94【分析】(1)观察对应数值表即可得出；(2)用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可；(3)观察函数图象，即可求得．本题考查二次函数的图象，性质和最值，观察函数图象并结合函数性质是解决本题的关键．27.【答案】AD=DM或AD=2DM【解析】解：(1)根据题意作图如下：(2)连接BM，如图2，∵点D与点E关于AM所在直线对称，∴AE=AD，∠MAD=∠MAE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠ABF=90°，∵BM=BF，∴△ADM≌△ABF(SAS)，∴AF=AM，∠FAB=∠MAD，∴∠FAB=∠NAE，∴∠FAE=∠MAB，∴△FAE≌△MAB(SAS)，∴EF=BM，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=AB=6，∵DM=2，∴CM=4，∴BM=√BC2+CM2=2√13，∴EF=2√13；(3)设DM=x(x>0)，则CM=6−x，∴EF=BM=√CM2+BC2=√x2−12x+72，∵AE=AD=6，AF=AM=√DM2+AD2=√x2+36，∴AF>AE，∴当△AEF为等腰三角形时，只能有两种情况：AE=EF，或AF=EF，①当AE=EF时，有√x2−12x+72=6，解得x=6，∴DM=6，∴AD=DM；②当AF=EF时，√x2−12x+72=√x2+36，解得，x=3，∴DM=3，∵AD=6，∴AD=2DM，综上，DM与AD的数量关系为AD=DM或AD=2DM．故答案为：AD=DM或AD=2DM．(1)根据题意作出图形便可，(2)连接BM，先证明△ADM≌△ABF，再证明△FAE≌△MAB，求得BM，便可得EF；(3)设DM=x(x>0)，求出AE、AF、EF，当△AEF为等腰三角形，分两种情况：AE=EF或AF=EF，列出方程求出x的值，进而求得最后结果．本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理，分类思想和方程思想，关键是证明三角形全等．28.【答案】A，C【解析】解：(1)①∵点A(1,2)，∴当x=1时，3−5=−2，∴点A不在直线y=3x−5上，同理，点C(2,−1)不在直线y=3x−5上，点B(0,−5)，点D(3,4)在直线上，∴与直线y=3x−5相离的点是A，C；故答案为：A，C；②当直线y=3x+b过点A(1,2)时，∴3+b=2．∴b=−1．当直线y=3x+b过点C(2,−1)时，∴6+b=−1．∴b=−7．∴b的取值范围是b>−1或b<−7．(2)如图所示，正方形T与图形W相离的t的取值范围是t<−4或−2<t<2或t>4．(1)①将A，B，C，D四个点的坐标代入直线y=3x−5计算即可判断．②根据直线y=3x+b经过点A，和点C计算b的值即可得出答案．(2)先画出图形，再分三种情形求出经过特殊位置的T的坐标即可得出答案．本题考查了一次函数综合题，涉及一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。